Zavdannya, ano ang naiintindihan mo underwire integral.

Ito ay katanggap-tanggap na ang pag-andar ng mga elemento ay itinalaga at isulat ang halaga

bilang ito ay tinatawag na integral.

T: Sa ilalim ng sing integral (o.i.) bilang isang function at bilang isang pagpipilian

pagtatalaga:

Ang mga numero ay tinatawag na integrated (ayon kay Rіman) sa .

T. іsnuvannya: Para sa iyong isip, sho.

Vіdpovіdno hanggang sa appointment ng o.i. mahalaga na ang integral ay maaaring ideposito sa anyo

Vіdpovіdno hanggang sa cl.17.1.1 at 17.1.2 at o. isinulat namin ang mga formula para sa lugar ng curvilinear trapezoid: , mga robotic na pwersa

sa:

Pag-unawa sa sub-integral, integral sums.

Ang batayan ng underwire integral, upang ang interintegral na kabuuan ay halata para sa ibinigay, upang ang hangganan ay nagbibigay ng dami ng isang cylindrical na katawan. Gayunpaman, tse mirkuvannya hindi є suvorim. Sa mas mataas na mga kurso ng hardening, ito ay kinakailangan upang ilabas at tawagan ang teorama sa batayan ng subvertical integral.

Theorem іsnuvannya. Para sa kung ito ay isang function, nang walang pagkagambala sa isang nakapaloob na lugar, kung saan maaari kong sukatin ang isang, mayroong isang sub-integral, upang mayroong isang inter-integral na kabuuan na may isang hindi pinigilan na pagtaas sa bilang ng mga maliliit na maidanchiks para sa isip, na ang balat mula sa kanila ay iginuhit sa isang maliit na butil. Ang hangganan ng Tsya ay hindi maaaring ideposito sa paraan ng pagsira sa rehiyon, ngunit sa bahagi, hindi sa pagpili ng mga puntos.

Nadalі mi vzglyaditimemo walang function, nang walang pagkagambala sa globo ng integration.

Mula sa foundation theorem, maaari nating, halimbawa, hatiin ang rehiyon sa maliliit na parihaba na may mga tuwid na gilid na kahanay sa mga coordinate axes (Larawan 230). Kapag tsimu. Vibirayuchi potim sa balat maliit na tumbong sa pamamagitan ng mga puntos na maaari naming isulat, zgіdno z denominations ng subvertical integral

Upang patunayan na ang pinagbabatayan na integral ay maaaring makuha, dahil sa pagitan ng kabuuan ng isip, ang pangalan ng tanda ng vicorist ay tanda din ng

Ang Viraz ay tinatawag na elemento ng isang parisukat sa mga coordinate ng Cartesian at isang karagdagang parisukat ng isang parihaba na may mga gilid na kahanay sa mga coordinate axes.

Mahalaga na, kapag ang integral bag ay nakatiklop, ang mga maidan, na magkadugtong sa inter-rehiyon, ay hindi bumubuo ng mga parihaba. Gayunpaman, maaari itong dalhin na ang pagpapatawad para sa pagpapalit ng mga maidanchiks na may mga parisukat sa pagitan ng mga parisukat ay mababawasan sa zero.

Ang kapangyarihan ng mga subordinate integral

Ang pangingibabaw ng sub-integral (na yogo visnovok) ay kahalintulad sa pangingibabaw ng isang beses na integral sa pag-awit.

1°. Additiveness. Ano ang function f(x, y) isinama sa rehiyon D at bilang isang lugar D para sa curve ng tulong G ang zero na lugar ay nahahati sa dalawang mga link at hindi muffle ang mataas na panloob na mga punto ng rehiyon D 1 ta D 2 , pagkatapos ay ang function f(x, y) isinama sa mga lugar ng balat D 1 ta D 2, bukod dito

2°. Linear na kapangyarihan . Anong mga function f(x, y) na g(x, y) integrasyon sa lugar D, a α і β - maging mga numero ng pagsasalita, pagkatapos ay ang function na [ α · f(x, y) + β · g(x, y)] ay isinama rin sa rehiyon D, saka

3°. Anong mga function f(x, y) na g(x, y) integrasyon sa lugar D, pagkatapos ay isinama ang mga karagdagang function ng mga function na ito D.

4°. Anong mga function f(x, y) na g(x, y) nakakasakit na pagsasama sa rehiyon D at saanman sa aking gallery f(x, y) ≤ g(x, y), pagkatapos

5°. Ano ang function f(x, y) isinama sa rehiyon D, ang mga function na | f(x, y)| isinama sa rehiyon D, saka

(Siyempre, may integrasyon | f(x, y)| sa D hindi nagpapakita ng integrasyon f(x, y) sa D.)

6°. Ang mean value theorem. Nakakainsulto ang tungkulin f(x, y) na g(x, y) integrasyon sa lugar D, function g(x, y) ay hindi nakikita (hindi positibo) saanman sa gallery na ito, Mі m- eksaktong upper at lower bounds ng function f(x, y) sa rehiyon D, tapos may number μ na satisfy sa kaba m ≤ μ ≤ M at para maging wasto ang formula

Zocrema, bilang isang function f(x, y) ay walang tigil sa D, at ang lugar D zv'yazkova, pagkatapos ay sa gallery na ito mayroong isang punto ( ξ , η ), Ano μ = f(ξ , η ), at pormula (11) ang hitsura

PAGGALAW NG MGA INTEGRALS

panayam 1

Sustained integrals.Ang layunin ng undercurrent integral ay ang kapangyarihan. Mga paulit-ulit na pagsasama. Mga link ng mas mababang integral sa paulit-ulit. Paglalagay sa pagitan ng pagsasama. Pagkalkula ng mga pinagbabatayan na integral ng Cartesian coordinate system.

Ang sub-integral ay isang pagpapalalim ng pag-unawa sa sing integral sa iba't ibang function ng dalawang variable. Sa ganitong paraan, ang vice-versa ng integration ay makikita bilang flat figure.

Halika na D- Ang Dejaka ay isang sarado, may hangganan na lugar, at f(x,y) - isang sapat na function, ito ay minarkahan ng gallery na ito. Ipagpalagay natin na sa pagitan ng mga rehiyon D ay idinagdag mula sa huling bilang ng mga kurba, takdang-aralin ng mga kasamahan isip y=f(x) o x=g( y), de f(x) na g(y) ay mga walang tigil na function.

Rehiyon ng Rozib'ёmo D disenteng ranggo sa n bahagi. lugar i-ї Ang delyanki ay makabuluhan sa pamamagitan ng simbolo D s i. Sa balat dilyantsi, medyo isang vibe ay isang punto Pi, at ilabas ito sa be-yak_y pag-aayos ng cartesian system maє coordinates ( x i, y i). Sklademo integral sum para sa function f(x,y) ayon sa rehiyon D, kung saan ang halaga ng function ay kilala sa lahat ng mga punto Pi, pagpaparami ng їх sa lugar ng dobleng plot na Ds i At ipinapalagay namin na ang lahat ng mga resulta ay inalis:

Nazvemo diam(G) mga lugar G ang pinakamalaking distansya sa pagitan ng mga boundary point ng rehiyon.

integral mga tungkulin f(x,y) sa lugar D ay tinatawag na hangganan, hanggang saan ang pagkakasunod-sunod ng mga integral sums (1.1) na may walang limitasyong pagtaas sa bilang ng mga break n (kung kanino). Sumulat ng ganito

Kapansin-pansin na, tila, ang integral sum para sa isang naibigay na function at isang naibigay na lugar ng pagsasama ay mahulog sa paraan ng pagpapalawak ng lugar D piliin ang punto Pi. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse ibig sabihin nito, na sa pagitan ng vіdpovіdny іntegrаlny sums hindi posible na magsinungaling sa pagitan ng hinirang na chinnikіv. Sa pagkakasunud-sunod(o, parang, pangkalahatang tungkulin f(x,y) ay isinama sa domain D), ito ay sapat na ang integral function ng bool walang tigil sa pagsasama ng task gallery.

Halika sa function f(x,y) isinama sa rehiyon D. Ang mga shards sa pagitan ng pinagsama-samang mga kabuuan para sa mga naturang pag-andar ay hindi maaaring maipon sa pamamagitan ng paraan ng paghahati sa lugar ng pagsasama, ang paghahati ay maaaring isagawa para sa tulong ng mga vertical at pahalang na linya. Todі higit pang mga negosyante ng rehiyon D matime straight-cut looking, ang lugar ng naturang dorivnyu D s i=D x i D y i. Samakatuwid, ang pagkakaiba ng lugar ay maaaring isulat bilang ds=dxdy. Otzhe, sa Cartesian coordinate system sa ilalim ng mga integral maaari mong isulat sa paningin

Paggalang. Tulad ng integrand function f(x,y)º1, kung gayon ang under-integral ng lugar ng rehiyon ng pagsasama ay:

Kapansin-pansin, na ang mga may salungguhit na pagsasama ay maaaring magkaparehong kapangyarihan, gayundin ang isa-isang pinagsama. Ang mga gawa ng mga ito ay makabuluhan.

Kapangyarihan ng mga subordinate integral.

1 0 .Linear na kapangyarihan. Integral ng kabuuan ng mga function ng iba pang kabuuan ng mga integral:

at ang patuloy na multiplier ay maaaring sisihin para sa tanda ng integral:

2 0 .Additive na kapangyarihan. Dahil ang lugar ng pagsasama D ay nahahati sa dalawang bahagi, kung gayon ang subintegral ay mas kumpleto kaysa sa kabuuan ng mga pagsasama sa bahagi ng balat:

3 0 .Ang ibig sabihin ng teorama. Ano ang function f( x,y)ay tuluy-tuloy sa rehiyon D, pagkatapos ay mayroong isang punto sa gallery(x, h) , Ano:

Karagdagang post nutrition: paano kinakalkula ang mga sub-integral? Yogo ay maaaring virahuvati humigit-kumulang, sa paraang ito ito ay nasira mabisang pamamaraan mga nakatiklop na kabuuan ng pinagsama-samang mga kabuuan, na pagkatapos ay kalkulahin ayon sa numero na may karagdagang EOM. Sa isang analytical na pagkalkula ng mga sub-integral, ang mga ito ay nabawasan sa dalawang sing-integral.

Mga nasuspinde na integral para sa mga teapot

Ang araling ito ay nagpapakilala sa mahusay na paksa ng maraming integral, kung saan ang mga mag-aaral ay magpapatunog ng isa pang kurso. Ilipat mo yan sa pamamagitan ng triple integral maaari mong zalyakate ang upholsterer hindi mas mataas, mas mababa katumbas ng kaugalian sa vіdrazu na iyon, tingnan natin ang pagkain: mabuti, ano ito? Zvichayno, deakim ay magiging magkakaugnay, at, sa totoo lang, sinira ko nang kaunti ang mga istatistika ng pagbibigay ng pangalan - upang malaman kung paano virishuvati podvіynі іntegrali, ito ay kinakailangan ina deyakі baguhan. Una, kung pupunta ka tungkol sa mga pagsasama, kung gayon, malinaw naman, kakailanganin mong isama. Lohika. Otzhe, para sa pagbuo ng mga application, kailangan mong malaman hindi gaanong mahalagang integral na bilang mga linear integral mainit na bi sa gitnang antas. Ang isang magandang bagong bagay ay ang katotohanan na sa pamamagitan ng makapangyarihang pwersa ay isinama nila sa mas malaking vipadkiv upang gawin ito nang simple.

Sino ang nahihirapan? Naintindihan ko sa kanan. Si Tim, na umiinom ng maraming beer noong mga unang semestre. Gayunpaman, ang mga normal na mag-aaral ay maaaring mabigla - sa site mayroong lahat ng mga materyales upang punan ang mga puwang o hindi maintindihan. Nagkataon lang na gumugol ka ng higit sa isang oras. Possilannya sa mga, yakі slid vyvchiti o ulitin, dodavatimutsya pіd oras statti.

Sa panimulang aralin, hakbang-hakbang, tatalakayin ang mga sumusunod na pangunahing sandali:

– Pag-unawa sa undercurrent integral

- Lugar ng pagsasama. Ang pagkakasunud-sunod ng pag-bypass sa rehiyon ng pagsasama. Paano baguhin ang pagkakasunud-sunod ng bypass?

Pagkatapos nito, habang naiintindihan mo nang MABUTI ang buong Asya, maaari kang pumunta sa artikulo Paano makalkula ang underestimated integral? Ilapat ang solusyon. Bilang karagdagan, mayroong isang mas malawak na gawain ng pagkalkula ng tumatakbong integral sa polar coordinates na tipikal na suplemento tungkol sa kahalagahan sa sentro ng grabidad ng isang patag na circumscribed figure.

Magsimula tayo sa bastos na pagkain - ano ito?

Pag-unawa sa undercurrent integral

Ang subvariant integral ng ignorante na tao ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Tingnan natin ang mga termino at kahulugan:
- Ang icon ng vertical integral;
- Lugar ng pagsasama (flat figure);
- Integral function ng dalawang variable, kadalasan ito ay simple;
- Mga badge ng mga pagkakaiba.

Ano ang ibig sabihin ng pagkalkula ng underestimated integral?

Kalkulahin ang pinagbabatayan na integral - ibig sabihin ng tse alam KILO. Pinakasimpleng numero:

І vkray bazhano alam ng tama si yogo =)

Ang resulta (numero) ay maaaring negatibo. At ang zero ay madaling maipasok. Espesyal na zupinivsya para sa isang naibigay na sandali, oskolki chimalo mag-aaral ay hindi mapakali, kung lalabas ka "iba pang kahanga-hangang."

Bagato na nakakaalala na "superb" halaga integral- Numero ng Tezh. Ganito lang naman dito. Ang underwire integral ay may іsnuє i vіdminny geometric zmist, Ale tungkol sa tse pіznіshe, usumu svіy oras.

Paano makalkula ang underestimated integral?

Upang makalkula ang pinagbabatayan na integral, kinakailangan na tawagan ito hanggang sa sumusunod inuulit namin ang mga integral. Zrobiti tse posible dalawang paraan. Ang pinakamalaking extension ng nakakasakit na paraan:

Ang deputy food supply ay kinakailangan para mag-set up sa pagitan ng integration. Bukod dito, ang mga nutritional sign ng panlabas na integral ay nag-iisa - tse numero, at ang mga subwire ng mga nutritional sign ng panloob na integral ay mga function odnієї zminnoї , scho upang magdeposito sa anyo ng "iks".

Kunin ang mga bituin sa pagitan ng pagsasama? Ang baho ay ang humiga sa isang v_d tsgogo, tulad ng para sa isip ng ulo ng ibinigay na lugar. Ang lugar ay isang kahanga-hangang patag na pigura, kung saan paulit-ulit kang magkadikit, halimbawa, kung kailan may bilang na mga lugar ng mga flat figure o pagkalkula ng dami ng pambalot sa katawan. Nezabar alam mo kung paano tamang ilagay ang mga hangganan ng pagsasama.

Pagkatapos nito, habang ang paglipat sa paulit-ulit na mga integral ay napagpasyahan, ang sumusunod na pagkalkula ay isinasagawa nang walang tagapamagitan: ang panloob na integral ay unang kinuha, at pagkatapos ay ang panlabas. Sunud-sunod. Pangalan ng Zvіdsi - mga umuulit na integral.

Sa halos tila, ang gawain ay magbilang hanggang sa pagkalkula ng dalawang integral sa pagkanta. Paano ang lahat ay hindi gaanong magkakaugnay at nakakatakot, at paano ka napunta sa "isahan" na singular na integral, ano ang kailangan mong ihiwalay sa dalawang integral ?!

Ang isa pang paraan upang makapasa sa mga iterated integral ay mas simple:

Ano ang nagbago? Ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama ay nagbago: ngayon ang panloob na integral ay kinuha para sa "ix", at ang panlabas na isa - para sa "iplayer". Sa pagitan ng pagsasama, na minarkahan ng mga bituin - maging iba! Isa-isa ang mga bituin ng panlabas na integral - tse numero, at ang pinagbabatayan na mga bituin ng panloob na integral ay mga pag-andar ng pag-ikot, scho to lie in the form of "igrok".

Aling bi mi ang hindi pumili ng paraan ng paglipat sa paulit-ulit na pagsasama, natitirang tunog ng obov'yazkovo viide na mismo:

pakiusap, tandaan ang kahalagahan ng kapangyarihan, dahil posible na vikoristovuvati, zokrema, para sa muling pag-verify ng solusyon.

Algorithm para sa paglutas ng sub-integral:

Nag-systematize kami ng impormasyon: sa anong pagkakasunud-sunod dapat mong tingnan ang gawain?

1) Kinakailangang i-visconate ang upuan. Kung walang silyon, ang gawain ay hindi masira. Mas tiyak, hindi ka mananalo, ngunit ito ay magiging katulad ng isang laro sa mga tseke. Sa armchair, ilarawan ang lugar bilang isang flat figure. Kadalasan, ang pigura ay simple at napapalibutan ng mga linya, parabola, hyperbola, atbp. Mahusay na ang shvidku tekhnіku pobudovі koslene ay maaaring maging mastered sa mga aralin Mga graph at pangunahing kapangyarihan ng elementarya na pag-andar, geometric na pagbabagong-anyo ng mga graphics. Otzhe, ang unang yugto ay ang vikonati ng armchair.

2) Mag-set up sa pagitan ng mga pagsasama at pumunta sa mga paulit-ulit na pagsasama.

3) Kunin ang panloob na integral

4) Kunin ang kasalukuyang integral at ibawas ang pagkakaiba (numero).

Lugar ng pagsasama. Ang pagkakasunud-sunod ng pag-bypass sa rehiyon ng pagsasama.
Paano baguhin ang pagkakasunud-sunod ng bypass?

Sa talatang ito, makikita natin ang pinakamahalagang pagkain - kung paano pumunta sa paulit-ulit na pagsasama at tamang paglalagay sa pagitan ng mga pagsasama. Tulad ng sinabi nang higit pa, magagawa mo ito tulad nito:

Gusto ko ito:

Sa pagsasagawa, ang pag-aaral ng pinakamahihirap na gawain ay humahantong sa pinakamaraming kahirapan, at ang mga mag-aaral ay kadalasang naliligaw sa proseso ng pagsasama. Tingnan natin ang isang partikular na halimbawa:

puwit 1

Solusyon: Isalarawan natin ang lugar ng pagsasama sa armchair:

Zvichayna flat figure at walang espesyal.

Ngayon ay makakakita ako ng tool sa pangangalaga sa balat para sa iyo - isang digging stick, isang laser pointer. Ang gawain ay i-scan ang tuldok ng balat ng may kulay na lugar:

Promin ang laser upang pumasa sa lugar ng pagsasama mahigpit na pababa, pagkatapos ay dapat mong tapusin ang iyong order mas mababa mga flat figure. Promin na pumasok sa rehiyon sa pamamagitan ng buong abscissa, dahil hinihiling sa iyo ng mga katumbas at lumabas sa rehiyon sa pamamagitan ng isang parabola (pulang arrow). Upang maliwanagan ang buong rehiyon, kailangan mo galit na galit sa kanan gumuhit ng vkazіvka vzdovzh osі vіd 0 hanggang 1 (berdeng arrow).

Otzhe, anong nangyari:
Ang "Іgrek" ay nagbabago mula 0 hanggang ;
Ang "ix" ay nagbabago mula 0 hanggang 1.

Para sa mga gawain, sinasabing isusulat ang nasa itaas kung sakaling may mga hindi pagkakapare-pareho:

Pangalanan ang data ng hindi pagkakapare-pareho pag-bypass sa gallery ng integration o kaya lang pagkakasunud-sunod ng pagsasama

Pagkatapos naming ayusin ang bypass order, maaari kaming pumunta mula sa undercurrent integral patungo sa iterated integrals:

Natapos ang kalahati ng gawain. Ngayon ito ay kinakailangan upang pumasa sa iterated integral sa ibang paraan. Para kanino mo dapat malaman ang mga pivotal function. Sino ang pamilyar sa isa pang talata ng aralin Dami ng pambalot sa katawan magiging mas madali iyon. Tinitingnan ang mga function na tumutukoy sa lugar . Ito ay mas simple, pagkatapos ay pumunta sa mga function ng pagbabalik, na nangangahulugang sabihin ang "iksi" sa pamamagitan ng "igreeks". Isang function, de є ako ay "iks" at "iplayer", є.

Yakscho, pagkatapos, bukod dito:
itinatakda ng reversal function ang kanang bahagi ng parabola;
Itinatakda ng reversal function ang kaliwang sulok ng parabola.

Hindi karaniwan na sisihin ang sumniv, ang axis, halimbawa, ang pag-andar ng pag-sign sa kaliwa o kanan ng parabola? Ang pagbubuod ng mga pagkakaiba ay mas simple: kumuha ng parabolic point, halimbawa, (mula sa kanang karayom) at itakda ang mga coordinate sa isang tuwid na linya, halimbawa, sa parehong linya:

Ang tamang pagkakapantay-pantay ay inalis, simula ngayon, ang function ay itinalaga sa kanang kamay ng parabola, ngunit hindi sa kaliwa.

Higit pa diyan hindiu reverb(nag-iisip ng itim) magpalipas ng gabi pagkatapos nito, dahil naipasa mo na sa mga function ng pagbabalik. Wala akong hihiramin sa loob ng isang oras, ngunit aawit ako ng pardon sa baybayin!

Ang rehiyon ng pagsasama ay na-bypass sa ibang paraan:

Ngayon ay maaari na nating i-trim ang laser pointer levoruch tingnan ang pagsasama ng gallery. Promin laser pass area galit na galit sa kanan. Sa sa partikular na uri na ito vіn ipasok ang rehiyon sa pamamagitan ng parabolic needle at lumabas mula sa rehiyon sa pamamagitan ng isang tuwid na linya, na itinakda ng mga katumbas (pulang arrow). Upang i-scan ang buong lugar gamit ang isang laser, kinakailangan upang magsagawa ng isang vzdovzh axis mahigpit na pababa ilagay ang 0 hanggang 1 (berdeng arrow).

Sa ganitong paraan:
Ang "iks" ay nagbabago mula hanggang 1;
Ang "Іgrek" ay nagbabago mula 0 hanggang 1.

Ang pamamaraan para sa pag-bypass sa lugar sa tabi ng pagtatala bilang mga iregularidad:

Pagkatapos, ang paglipat sa paulit-ulit na pagsasama ay ang mga sumusunod:

Vidpovid maaaring isulat ng ganito:

Muli, hulaan ko na ang natitirang resulta ay hindi maaaring kalkulahin depende sa pagkakasunud-sunod kung saan ang mga rehiyon ay na-bypass (naitatag ang pagiging karapat-dapat para dito). Gayunpaman, ito ay malayo pa sa huling resulta, ngayon ang aming gawain ay hindi na maayos na ilagay ang interintegrasyon.

puwit 2

Ang sub-integral ng Denmark sa rehiyon ng integrasyon. Pumunta sa mga paulit-ulit na pagsasama at palawakin sa pagitan ng mga pagsasama sa dalawang paraan.

Ito ay isang halimbawa ng isang independiyenteng solusyon. Mahusay na gisingin ang upuan kumuha ng isang tuwid na linya sa detour(mga bituin at kung saan sisikat gamit ang isang laser pointer). Zrazok pinong disenyo tulad ng isang aralin.

Karamihan karaniwang mga gawain ang mga troch ay nalalanta sa ibang formula:

puwit 3

Hikayatin ang lugar ng pagsasama

Solusyon: Para sa isip, ang unang paraan upang laktawan ang rehiyon ay ibinigay. Magsisimula muli ang mga desisyon mula sa upuan. Narito ang rehiyon ay hindi nakahiga sa isang pilak na pinggan na may isang blaky oblyamіvkoy, ngunit upang hikayatin ka na huwag lumikha ng mga espesyal na paghihirap. Sa likod ng kamay "knіmaєmo" function mula sa interintegration: , . Ang function, arbitraryo, ay nagtatakda ng isang tuwid na linya, ngunit ano ang itinakda ng function? її baguhin natin:
- malapit sa gitna sa cob ng mga coordinate ng radius 2. Ang function na w ay nagtatakda ng itaas na linya (huwag kalimutan, kung susumahin mo ito, pagkatapos ay maaari mong palaging magtakda ng isang punto na namamalagi sa itaas o mas mababang linya).

Nagtataka kami sa pagitan ng panlabas na integral: ang "ix" ay nagbabago mula -2 hanggang 0.

Mga armchair ng Vikonaemo:

Upang maging tumpak, ipinahiwatig ko sa pamamagitan ng mga arrow ang unang paraan upang i-bypass ang rehiyon, na nagsasabi naman ng mga umuulit na integral ng isip: .

Ngayon ay kinakailangan na baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pag-bypass sa rehiyon, kung saan pupunta tayo sa mga pag-andar ng pag-ikot (viz. "iksi" sa pamamagitan ng "іgreki"):

Hindi pa nagtagal, inayos namin ang function sa antas ng stake, sabihin nating "iks":
Bilang resulta, kinakailangan ang dalawang mahahalagang pag-andar:
- Pagpirma sa tamang pivkolo;
- Makabuluhang leva pіvkolo.
Alam ko ang parehong, na parang sinisisi ang sumniv, kumuha ng isang punto ng taya at sabihin, de kaliwa, at de kanan.

Baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pag-bypass sa lugar:

Zgidno na may ibang paraan, laser promin pumasok sa rehiyon levoruch sa pamamagitan ng leon pivkolo i pumunta sa kanang kamay sa pamamagitan ng isang tuwid na linya (pulang arrow). Sa parehong oras pagpasok ng laser isagawa sa axis ng ordinates paakyat ilagay ang 0 hanggang 2 (berdeng arrow).

Sa ganitong pagkakasunud-sunod, ang utos na i-bypass ang lugar:

Maaaring isulat ang Zagal pahiwatig:

puwit 4

Ito ay isang halimbawa ng isang independiyenteng solusyon. Ang puwit ay hindi na natitiklop, ngunit igalang na ang pamamaraan para sa pag-bypass ng ilang mga gawain sa ibang paraan! Bakit nagtatrabaho sa gayong vipadkah? Una, sinisisi ang mga paghihirap ng mga upuan, ang mga shards ng upuan ay gumagawa ng iskedyul ng hemorrhagic function na biglang insinuate sa akin ang aking sarili. Inirerekomenda ko ang susunod na order dіy: una sa lahat, kinukuha namin ang "pangunahing" function (sinasabi namin ang "gravets" sa pamamagitan ng "iks"). Bibigyan ka namin ng isang iskedyul para sa "matinding" function (maaari kang palaging magpakasawa kung gusto mong krapkovo). Katulad nito, maaari tayong gumamit ng mas malaking simpleng linear na function: maaari tayong "libingan" at magsagawa ng isang tuwid na linya.

Sinusuri namin ang mga inter-integration gaps: pumapasok kami sa gitnang rehiyon sa pamamagitan ng i at lalabas sa pamamagitan ng . Kapag ginawa mo ang lahat ng tama, maaari kang pumunta sa "Greek" na kinis mula -1 hanggang 0. Dahil nagtalaga ka ng isang lugar ng pagsasama sa upuan, baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pag-ikot sa bodega ng mga espesyal na paghihirap. Zrazok dinisenyo solusyon para sa isang aralin.

Ang isang katulad na puwit ay aayusin ko pa mamaya.

Navіt yakscho naintindihan mong mabuti ang lahat, maging mabait ka, huwag magmadali, dumiretso hanggang sa pagkalkula ng integral na tumatakbo. Ang pagkakasunud-sunod ng detour ay mayaman, at mahalagang makuha ang iyong mga kamay sa ilan sa mga ulo, higit pa, hindi ko pa tinitingnan ang lahat!

Sa front chotyroh butts, ang lugar ng integration ay nakita sa kabuuan sa 1st, 2nd, 3rd at 4th coordinate quarters. Bakit maghintay ng ganyan? Hindi, malinaw naman.

puwit 5

Baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama

Solusyon: Ito ay tulad ng isang upuan, kung saan ang graph ng function ay aktwal na isang kubiko na parabola, ay hindi lamang "nakahiga sa gilid":

Ang pagkakasunud-sunod ng pag-bypass sa rehiyon, na nagtuturo sa mga umuulit na integral , na may marka ng mga arrow. Dapat itong igalang na sa kurso ng vikonnanny ng upuan, isa pang nakabalangkas na pigura ang ipininta (levoruch sa axis ng ordinates). Samakatuwid, dapat nating igalang ang pagsasama ng rehiyon - para sa rehiyon maaari mong patawarin ang maling pigura.

Lumipat tayo sa mga function ng pagbabalik:
- kailangan namin ang kanang ulo ng isang parabola;

Baguhin natin ang pagkakasunud-sunod ng pag-bypass sa rehiyon. Tulad ng naaalala mo, sa isa pang paraan ng pag-bypass sa lugar, kinakailangang i-scan ang lugar gamit ang isang laser switch sa kanan. Ale here posterіgaєtsya cіkava rich:

Paano mag-ayos sa mga katulad na sitwasyon? Sa ganitong mga kaso, hatiin ang lugar ng pagsasama sa dalawang bahagi at para sa bahagi ng balat, idagdag ang iyong paulit-ulit na pagsasama:

1) Kung ang "gravity" ay nagbabago mula -1 hanggang 0 (berdeng arrow), mangyaring ipasok ang rehiyon sa pamamagitan ng isang cubic parabola at lumabas sa isang tuwid na linya (pulang arrow). Samakatuwid, ang utos na i-bypass ang lugar ay ang mga sumusunod:

2) Kung ang "gravity" ay nagbabago mula 0 hanggang 1 (brown arrow), pagkatapos ay agad na pumasok sa lugar sa pamamagitan ng parabolic needle at lumabas sa napakatuwid na linya na iyon (crimson arrow). Pagkatapos, ang utos na i-bypass ang lugar ay ang mga sumusunod:

Inulit ko ang paulit-ulit na integral:

Ang pag-awit at maramihang integral ay may tiyak na kapangyarihan pagkakadagdag upang sila ay matiklop, na sa isang naibigay na paraan at susunod na paglaki:
- At ang axis at ang aming paglalakad sa paligid ng rehiyon sa ibang paraan, tinitingnan ang kabuuan ng dalawang integral.

Vidpovid sumulat ng ganito:

Anong pagkakasunud-sunod ng circumvention ang pinaka-halata? Zvichayno ang isa, kung aling titik ang ibinigay sa isip ng isang gawain - bibilang ka ng dalawang beses na mas kaunti!

puwit 6

Baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama

Ito ay isang halimbawa ng isang independiyenteng solusyon. Sa bago ay mayroong pivkol, na ang pagsusuri nito ay naiulat na sinuri sa Appendix 3. Ang solusyon ay iginuhit na parang isang aralin.

At kaagad, obіtsyane zavdannya, kung ang isang listahan ng mga gawain ay isa pang paraan upang laktawan ang rehiyon:

puwit 7

Baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama

Solusyon: Kung ang pamamaraan para sa pag-bypass ng mga gawain sa ibang paraan, bago ang wake-up chair, kinakailangan na pumunta sa "superior" na mga function. Kung kanino, mayroong dalawang pasyente para sa pagbabagong-anyo: i.
Sa isang linear function, ang lahat ay simple:

Ang graph ng function ay isang parabola na may claim sa canonicity.

Virazimo "iplayer" sa pamamagitan ng "ix":

Kumuha kami ng dalawang pin ng parabola: i. Yaku mula sa kanila vibrati? Ang pinakasimpleng bagay ay ang makita ang viconate ng armchair. Kung nakalimutan mo ang materyal ng analytical geometry tungkol sa isang parabola, kung gayon ang lahat ng isang insulto ay maaaring gawin sa krapkovo:

Muli, binibigyang-galang ko ang katotohanan na sa armchair na ito ay may pagwiwisik ng mga flat figure at mahalagang pumili ng figure! Sa pagpili ng mga figure, na nagbibiro, tutulungan ka nila sa pagitan ng pagsasama ng iba pang mga integral:
, sa puntong iyon huwag kalimutan kung ano ang itinakda ng reversal function lahat parabola.

Ang mga arrow, na nagpapahiwatig ng paglihis ng mga numero, ay eksaktong nagpapahiwatig ng mga hangganan ng pagsasama ng mga pagsasama .

Dosit shvidko natutunan mong isagawa ang gayong pagsusuri sa iyong isip at alam ang pangangailangan para sa isang lugar ng pagsasama.

Kung ang figure ay natagpuan, ang huling bahagi ng solusyon ay mas simple, binabago namin ang pagkakasunud-sunod ng pag-bypass sa lugar:

Ang mga function ng pagbabalik ay kilala na, at ang kinakailangang pamamaraan para sa pag-bypass sa lugar:

Mungkahi:

Ang huling halimbawa ng isang talata para sa malayang pag-unlad:

puwit 8

Baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama

Sa panlabas, ang solusyon ay ito ay katulad ng aralin.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagtingin sa proseso ng pagkalkula ng subvariant integral at pagkilala dito nang may geometrical complexity.

Ang sub-integral ay mas mataas sa bilang sa lugar ng isang patag na pigura (mga rehiyon ng pagsasama). Ang pinakasimpleng anyo ng under-integral, kung ang function ng dalawang nababago ay: .

Maaari naming tingnan ang likod ng ulo sa kasumpa-sumpa na hitsura. Kasabay nito, ikaw ay gumagalaw, ang lahat ay talagang simple! Kalkulahin ang lugar ng mga flat figure, napapaligiran ng mga linya. Para sa pag-awit, mahalaga na mayroon kang vіdrіzku. Ang mga lugar ng mga numero ay mas advanced sa bilang:

Inilalarawan namin ang lugar sa armchair:

Piliin ang unang paraan upang i-bypass ang lugar:

Sa ganitong paraan:

І minsan mahalagang teknikal na trick: maaaring ipasok ang paulit-ulit na integral. Una sa lahat, ang panloob na integral, pagkatapos ay ang panlabas na integral. Lubos kong inirerekomenda ang Danish na paraan sa mga teapot na iyon.

1) Kalkulahin ang panloob na integral, kung saan isinasagawa ang pagsasama para sa pagbabagong "gravet":

Hindi mahalaga ang integral narito ang pinakasimple, at mas matagumpay, ang banal na pormula ng Newton-Leibnitz, na may parehong pagkakaiba, na sa pagitan ng mga pagsasama ay hindi mga numero, ngunit mga function. Ang likod ng ulo ay inilagay sa itaas na hangganan ng "igrok" (orihinal na pag-andar), pagkatapos ay ang mas mababang hangganan

2) Ang resulta, na binabawasan mula sa unang punto, ay dapat idagdag sa kasalukuyang integral:

Ang isang mas malaking compact record ng buong solusyon ay ganito ang hitsura:

Formula ng Otriman - Ito ay eksaktong isang gumaganang pormula para sa pagkalkula ng lugar ng isang patag na pigura para sa tulong ng "matinding" integral na pagkanta! Mamangha sa aralin Pagkalkula ng lugar para sa tulong ng sing integral, Ayan ay sa balat croci!

Tobto, ang gawain ng pagkalkula ng lugar para sa tulong ng underwire integral kakaunti ang nagmamalasakit para sa tulong ng singing integral! Sa katunayan, ito ay pareho!

Maliwanag, hindi ito dapat sisihin sa anumang mga paghihirap! Titingnan ko ang maliliit na puwit, ang mga pira-piraso mo, sa katunayan, higit sa isang beses na nakadikit sa mga gawaing ito.

puwit 9

Para sa tulong ng underwire integral, kalkulahin ang lugar ng flat figure, na napapalibutan ng mga linya,

Solusyon: Inilalarawan namin ang lugar sa armchair:

Ang lugar ng figure ay kinakalkula para sa tulong ng subvertical integral para sa formula:

Piliin ang susunod na order para i-bypass ang lugar:

Dito at higit pa, hindi ako nag-iisip kung paano i-debrief ang rehiyon, ang mga shards sa unang talata ay dinala ng higit pa sa isang ulat ng paglilinaw.

Sa ganitong paraan:

Tulad ng itinalaga ko na, mas madali para sa mga mamamayan na kalkulahin ang paulit-ulit na mga integral nang mas mabilis, na idaragdag ko sa pamamaraan:

1) Ang row sa likod ng mga formula ng Newton-Leibniz ay sinusuri gamit ang internal integral:

2) Ang resulta, ang pagbabawas ng unang croc, ay pinapalitan para sa umiiral na integral:

Point 2 - sa katunayan, ang pag-rebuff sa lugar ng patag na posisyon sa tulong ng sing integral.

Mungkahi:

Ang axis ay napakasama at naїvne zavdannya.

Cicavi butt para sa independiyenteng cherry:

puwit 10

Para sa tulong ng underwire integral, kalkulahin ang lugar ng flat figure, na napapalibutan ng mga linya,

Isang sulyap sa isang panghuling solusyon sa disenyo para sa isang aralin.

Sa Prikladakh 9-10, ito ay makabuluhang mas mahalaga upang manalo sa unang paraan upang i-bypass ang rehiyon, uminom ng mas maraming pagbabasa, bago magsalita, maaari mong baguhin ang pagkakasunud-sunod ng bypass at kalkulahin ang lugar sa ibang paraan. Kung hindi ka magpapatawad, kung gayon, natural, makikita mo ang iyong sariling makabuluhang lugar.

1.1 Pagpapasiya ng vertical integral

1.2 Dominasyon ng sub-integral

Ang pangingibabaw ng sub-integral (na yogo visnovok) ay kahalintulad sa pangingibabaw ng isang beses na integral sa pag-awit.

1°. Additiveness. Kung ang function na f(x, y) ay isinama sa domain D at kung ang domain D lampas sa karagdagang curve Г ang area zero ay nahahati sa dalawang link at hindi maaaring magkaroon ng magkasanib na panloob na mga punto ng domain D 1 at D 2, kung gayon ang Ang function na f(x, y) ay isinama sa balat mula sa mga lugar D 1 at D 2, bukod dito

2°. Linear na kapangyarihan. Paano mapagsasama ang mga function na f(x, y) at g(x, y) sa espasyo D, huh? ako? - maging mga numero ng pagsasalita, pagkatapos ay ang function [? f (x, y) + ? Ang g (x, y)] ay isinama din sa domain D, bukod dito

3°. Dahil ang mga function na f(x, y) at g(x, y) ay pinagsama-sama sa domain D, kung gayon ang mga karagdagang function ng mga function na ito ay maisasama sa D.

4°. Paano maisasama ang mga function na f(x, y) at g(x, y) sa domain D at cross f(x, y)? g(x, y), pagkatapos

5°. Dahil ang function na f(x, y) ay isinama ng domain D, pagkatapos ay ang th function |f(x, y)| isinama sa rehiyon D, bukod dito

(Malinaw, ang pagsasama ng | f (x, y) | D ay hindi nagpapakita ng pagsasama ng f (x, y) sa D.)

6°. Ang mean value theorem. Bagama't ang mga nakakasakit na function na f(x, y) at g(x, y) ay isinama sa domain D, ang function na g(x, y) ay hindi nakikita (non-positive) saanman sa rehiyong ito, M at m ang eksaktong upper at lower bounds ng function f(x,y) sa rehiyon D, pagkatapos ay mayroong isang numero?na nakakatugon sa unevenness ng m? ? ? M i para wasto ang formula

Sokrema, dahil ang function na f(x, y) ay tuluy-tuloy na D, at ang domain D ay konektado, pagkatapos ay sa domain na ito ay mayroong isang punto (?, ?), Ano? = f(?, ?), at ang formula ay parang

7°. Mahalagang geometriko na kapangyarihan. lugar ng tirahan D

Hayaang ibigay ang katawan T (Larawan 2.1) sa espasyo, sa ibaba ng lugar D, sa hayop - isang graph ng isang walang tigil at hindi nakikitang pag-andar) z \u003d f (x, y,) habang ito ay itinalaga sa espasyo D, mula sa mga gilid - isang cylindrical na ibabaw, isang direktang isa є sa pagitan ng lugar D, at parallel sa Oz axis. Ang katawan ng ganitong uri ay tinatawag na cylindrical body.

1.3 Geometrical na interpretasyon ng vertical integral

1.4 Pag-unawa sa vertical integral ng isang parihaba

Hayaang magtalaga ng sapat na function f(x, y) saanman sa parihaba R = ? (div. Fig. 1).

Rosemary segment a? x? b by n bahagyang mga segment na lampas sa auxiliary point a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Tsomu razbittya para sa tulong ng mga tuwid na linya, parallel axes Hinahati ng Ox і Oy ang parihaba R sa n · p bahagyang mga parihaba R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Ipinahiwatig ng dibisyon ng rektanggulo R, ito ay makabuluhan sa pamamagitan ng simbolo na T. Binigyan namin ito ng dibisyon sa ilalim ng terminong "parihaba" upang maunawaan ang parihaba na may mga gilid na kahanay sa mga coordinate axes.

Sa balat chastkovy rektanggulo Rkl, pumili kami ng isang buong punto (?k,?l). Ang pagkakaroon ng paglalagay ng ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, ito ay makabuluhan sa pamamagitan ng ?R kl ng lugar ng rectangle R kl . Malinaw, ?R kl = ?x k ?y l .

ay tinatawag na integral sum ng function na f(x, y), na nagbibigay ng ibinigay na distribution T ng isang rectangle R at isang binigay na pagpipilian ng mga intermediate point (? k, l) sa mga partial rectangles ng isang distribution T.

Ang dayagonal ay tinatawag na diameter ng parihaba R kl . Isang simbolo? Makabuluhang pinakamalaki sa mga diameter ng lahat ng karaniwang mga rectocut R kl .

Ang numero I ay tinatawag na hangganan ng integral sums (1) sa? > 0, paano ito maaaring maging anumang positibong numero? masasabi mo ba petsa?, Ano sa?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - ako |< ?.

Ang function na f(x, y) ay tinatawag na integrated (ayon kay Riemann) sa rectangle R, dahil may hangganan ang pagitan ng I integral sums ng function at? >0.

Ang itinalagang hangganan I ay tinatawag na subintegral ng function na f(x, y) ng rectangle R at tinutukoy ng isa sa mga sumusunod na simbolo:

Paggalang. Kaya, tulad ng para sa isang beses na sing integral, ito ay itinatag na ang function na f(x, y) ay isinama sa parihaba R at ay circumscribed sa rectangle na ito.

Nagbibigay ito ng pagkakataong tumingin sa malayo mula sa hangganan ng mga function na f(x, y).

Ang under-integral ay may kapangyarihan, katulad ng kapangyarihan ng sing integral. Kapansin-pansing mas mababa kaysa sa mga pangunahing:

1. Ano ang mga tungkulin
integrasyon sa rehiyon
, kung gayon ang pagsasama sa kanila ay ang halaga at pagkakaiba, bukod dito

2. Ang patuloy na multiplier ay maaaring sisihin para sa tanda ng gumagalaw na integral:

3. Yakscho
isinama sa rehiyon
, at ang lugar na ito ay nahahati sa dalawang lugar na hindi nagsasapawan і
, pagkatapos

.

4. Yakscho
і
integrasyon sa rehiyon
, sa yakіy

, pagkatapos

.

5. Ano ang nasa lugar
function
nasiyahan sa mga hindi pagkakapare-pareho


de
і
 kumikilos diysnі numero, pagkatapos

,

de - lugar ng rehiyon
.

Ang mga patunay ng mga kapangyarihang ito ay kahalintulad sa patunay ng pangalawang teorema para sa simpleng integral.

Pagkalkula ng vertical integral sa rectangular Cartesian coordinate

Hayaang kailangang kalkulahin ang pinagbabatayan na integral
, sa lugar - Parihabang, na kung saan ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga iregularidad ,.

Ipagpalagay natin na
walang tigil sa parehong parihaba at nabuvay sa bagong hindi kilalang halaga, kahit na ang integral ng volume ng katawan na may batayan , nilagyan ng halimaw sa itaas
, mula sa mga gilid - flat
,
,
,
:

.

Mula sa kabilang panig, ang gayong figure ay maaaring kalkulahin para sa tulong ng sing integral:

,

de
- ang lugar ng pagtawid sa katawan na ito gamit ang isang eroplano na dumadaan sa isang punto at patayo sa axis
. Ang mga shards ng pagsusuri ay tumawid sa isang curvilinear trapezium
, napapalibutan ng halimaw na may function graph
, de naayos, at , pagkatapos

.

Z tsikh triokh equalities vyplivaє, scho

.

Mula ngayon, ang pagkalkula ng base integral ay ang pagkalkula ng dalawang sing integral; kapag kinakalkula ang "internal integral" (nakasulat sa mga arko) upang maging hindi nababago.

Paggalang. Maaari mo bang ipaliwanag na ang natitirang formula ay tama kung kailan
, pati na rin sa isang sulyap, kung ang function
baguhin ang tanda ng ipinahiwatig na parihaba.

Ang mga karapatan ng bahagi ng formula ay tinatawag na iterated integral at itinalaga bilang mga sumusunod:

.

Katulad nito, maaari itong ipakita na

.

Sa itaas kung ano ang sinabi, ikaw ay humagulgol

.

Ang natitirang pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan na ang resulta ng pagsasama ay dapat mahulog sa pagkakasunud-sunod ng pagsasama.

Upang tingnan ang pinakamalalim na slope, ipakilala natin ang pag-unawa sa karaniwang lugar. Ang karaniwang (o tama) na lugar na direktang ibinibigay sa axis ay tinatawag na tulad ng isang lugar, kung saan dapat itong tuwid, kahanay sa gitna ng axis, interspersed sa pagitan ng lugar na hindi na, mas mababa sa dalawang punto. Kung hindi man, tila, ang pagbaligtad sa mismong rehiyon, na ang її cordon ay isang simoy ng hangin lamang.

Ito ay katanggap-tanggap na ang rehiyon ay napapalibutan

na napapalibutan ng halimaw na may function graph
, sa ibaba - graph ng function
. Halika R ( ,) - minimal na rektanggulo, kung saan inilalagay ang rehiyon
.

Pumunta sa lugar
na ang walang patid na function ay itinalaga
. Ipakilala natin ang isang bagong function:

,

katulad ng mga kapangyarihan ng underwire integral

.

ako, mamaya,

.

Oskіlki vіdrіzok
upang masakop ang lugar
pagkatapos, mamaya,
sa


, ngunit kasinungalingan sa isang vіdrіzkom posisyon, pagkatapos
.

Na may fixed pwede tayong magsulat:

.

Ang una at pangatlong integral sa kanang bahagi ay nagdaragdag ng hanggang zero, pagkatapos

.

Otzhe,

.

Bakit kailangang gamitin ang formula para sa pagkalkula ng tumatakbong integral sa lugar ng karaniwang axis
sa pamamagitan ng link sa paulit-ulit na integral:

.

rehiyon ng Yakscho
є karaniwang y straight axis
nagpapakita siya bilang mga hindi pagkakapare-pareho ,

, gayundin, mapapatunayan iyon ng isa

.

Paggalang. Para sa rehiyon
, karaniwang y straight axes
і
, magkakaroon ng vicons

Para sa formula na ito, mayroong pagbabago sa pagkakasunud-sunod ng pagsasama at ang oras ng pagkalkula ng sub-linear integral.

Paggalang. Sa sandaling ang lugar ng pagsasama ay tumigil na maging pamantayan (tama) sa parehong coordinate axes, її hatiin sa kabuuan ng mga karaniwang lugar at kinakatawan ang integral bilang kabuuan ng mga integrasyon sa mga lugar na ito.

puwit. Kalkulahin ang tumatakbong integral
ayon sa rehiyon
, napapalibutan ng mga linya:
,
,
.

Solusyon.

Tsya area є standard yak schodo axis
, kaya ako
.

Kinakalkula namin ang integral, isinasaalang-alang ang lugar ng karaniwang axis
.

.

Paggalang. Paano makalkula ang integral, isinasaalang-alang ang lugar ng karaniwang axis
, kinukuha namin ang parehong resulta:

.

puwit. Kalkulahin ang tumatakbong integral
ayon sa rehiyon
, napapalibutan ng mga linya:
,
,
.

Solusyon. Representably, ang rehiyon ng pagsasama ay ibinibigay sa maliit.

Tsya area є standard schodo axis
.

.

puwit. Baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama para sa paulit-ulit na pagsasama:

Solusyon. Isipin natin ang rehiyon ng integrasyon.

Mula sa mga linya ng inter-integration, alam natin ang mga linya na nakapaloob sa lugar ng pagsasama: ,
,
,
. Upang baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama, magagawa natin bilang mga function sa at alam natin ang mga tawiran:

,
,
.

Kaya, sa isa sa mga pagitan, ang function ay ipinahayag ng dalawang analytical virase, kung gayon ang lugar ng pagsasama ay dapat nahahati sa dalawang lugar, at ang paulit-ulit na integral ng buwis ay ang kabuuan ng dalawang pagsasama.

.