Ang under-integral ay may kapangyarihan, katulad ng kapangyarihan ng sing integral. Kapansin-pansing mas mababa kaysa sa mga pangunahing:

1. Ano ang mga tungkulin
integrasyon sa rehiyon
, kung gayon ang pagsasama sa kanila ay ang halaga at pagkakaiba, bukod dito

2. Ang patuloy na multiplier ay maaaring sisihin para sa pag-sign underwire integral:

3. Yakscho
isinama sa rehiyon
, at ang lugar na ito ay nahahati sa dalawang lugar na hindi nagsasapawan і
, pagkatapos

.

4. Yakscho
і
integrasyon sa rehiyon
, sa yakіy

, pagkatapos

.

5. Ano ang nasa lugar
function
nasiyahan sa mga hindi pagkakapare-pareho


de
і
 kumikilos diysnі numero, pagkatapos

,

de - lugar ng rehiyon
.

Ang mga patunay ng mga kapangyarihang ito ay kahalintulad sa patunay ng pangalawang teorema para sa simpleng integral.

Pagkalkula ng vertical integral sa rectangular Cartesian coordinate

Hayaang kailangang kalkulahin ang pinagbabatayan na integral
, sa lugar - Parihabang, na kung saan ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga iregularidad ,.

Ipagpalagay natin na
walang tigil sa parehong parihaba at nabuvay sa bagong hindi kilalang halaga, kahit na ang integral ng volume ng katawan na may batayan , nilagyan ng halimaw sa itaas
, mula sa mga gilid - flat
,
,
,
:

.

Mula sa kabilang panig, ang gayong figure ay maaaring kalkulahin para sa tulong ng sing integral:

,

de
- ang lugar ng pagtawid sa katawan na ito gamit ang isang eroplano na dumadaan sa isang punto at patayo sa axis
. Ang mga shards ng pagsusuri ay tumawid sa isang curvilinear trapezium
, napapalibutan ng halimaw na may function graph
, de naayos, at , pagkatapos

.

Z tsikh triokh equalities vyplivaє, scho

.

Mula ngayon, ang pagkalkula ng base integral ay ang pagkalkula ng dalawang sing integral; kapag kinakalkula ang "internal integral" (nakasulat sa mga arko) upang maging hindi nababago.

Paggalang. Maaari mo bang ipaliwanag na ang natitirang formula ay tama kung kailan
, pati na rin sa isang sulyap, kung ang function
baguhin ang tanda ng ipinahiwatig na parihaba.

Ang mga karapatan ng bahagi ng formula ay tinatawag na iterated integral at itinalaga bilang mga sumusunod:

.

Katulad nito, maaari itong ipakita na

.

Sa itaas kung ano ang sinabi, ikaw ay humagulgol

.

Ang natitirang pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan na ang resulta ng pagsasama ay dapat mahulog sa pagkakasunud-sunod ng pagsasama.

Upang tingnan ang pinakamalalim na slope, ipakilala natin ang pag-unawa sa karaniwang lugar. Ang karaniwang (o tama) na lugar na direktang ibinibigay sa axis ay tinatawag na tulad ng isang lugar, kung saan dapat itong tuwid, kahanay sa gitna ng axis, interspersed sa pagitan ng lugar na hindi na, mas mababa sa dalawang punto. Kung hindi man, tila, ang pagbaligtad sa mismong rehiyon, na ang її cordon ay isang simoy ng hangin lamang.

Ito ay katanggap-tanggap na ang rehiyon ay napapalibutan

na napapalibutan ng halimaw na may function graph
, sa ibaba - graph ng function
. Halika R ( ,) - minimal na rektanggulo, kung saan inilalagay ang rehiyon
.

Pumunta sa lugar
na ang walang patid na function ay itinalaga
. Ipakilala natin ang isang bagong function:

,

katulad ng mga kapangyarihan ng underwire integral

.

ako, mamaya,

.

Oskіlki vіdrіzok
upang masakop ang lugar
pagkatapos, mamaya,
sa


, ngunit kasinungalingan sa isang vіdrіzkom posisyon, pagkatapos
.

Na may fixed pwede tayong magsulat:

.

Ang una at pangatlong integral sa kanang bahagi ay nagdaragdag ng hanggang zero, pagkatapos

.

Otzhe,

.

Bakit kailangang gamitin ang formula para sa pagkalkula ng tumatakbong integral sa lugar ng karaniwang axis
sa pamamagitan ng link sa paulit-ulit na integral:

.

rehiyon ng Yakscho
є karaniwang y straight axis
nagpapakita siya bilang mga hindi pagkakapare-pareho ,

, gayundin, mapapatunayan iyon ng isa

.

Paggalang. Para sa rehiyon
, karaniwang y straight axes
і
, magkakaroon ng vicons

Para sa formula na ito, mayroong pagbabago sa pagkakasunud-sunod ng pagsasama at ang oras ng pagkalkula ng sub-linear integral.

Paggalang. Sa sandaling ang lugar ng pagsasama ay tumigil na maging pamantayan (tama) sa parehong coordinate axes, її hatiin sa kabuuan ng mga karaniwang lugar at kinakatawan ang integral bilang kabuuan ng mga integrasyon sa mga lugar na ito.

puwit. Kalkulahin ang tumatakbong integral
ayon sa rehiyon
, napapalibutan ng mga linya:
,
,
.

Solusyon.

Tsya area є standard yak schodo axis
, kaya ako
.

Kinakalkula namin ang integral, isinasaalang-alang ang lugar ng karaniwang axis
.

.

Paggalang. Paano makalkula ang integral, isinasaalang-alang ang lugar ng karaniwang axis
, kinukuha namin ang parehong resulta:

.

puwit. Kalkulahin ang tumatakbong integral
ayon sa rehiyon
, napapalibutan ng mga linya:
,
,
.

Solusyon. Representably, ang rehiyon ng pagsasama ay ibinibigay sa maliit.

Tsya area є standard schodo axis
.

.

puwit. Baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama para sa paulit-ulit na pagsasama:

Solusyon. Isipin natin ang rehiyon ng integrasyon.

Mula sa mga linya ng inter-integration, alam natin ang mga linya na nakapaloob sa lugar ng pagsasama: ,
,
,
. Upang baguhin ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama, magagawa natin bilang mga function sa at alam natin ang mga tawiran:

,
,
.

Kaya, sa isa sa mga pagitan, ang function ay ipinahayag ng dalawang analytical virase, kung gayon ang lugar ng pagsasama ay dapat nahahati sa dalawang lugar, at ang paulit-ulit na integral ng buwis ay ang kabuuan ng dalawang pagsasama.

.

1.1 Pagpapasiya ng vertical integral

1.2 Dominasyon ng sub-integral

Ang pangingibabaw ng sub-integral (na yogo visnovok) ay kahalintulad sa pangingibabaw ng isang beses na integral sa pag-awit.

1°. Additiveness. Kung ang function na f(x, y) ay isinama sa domain D at kung ang domain D lampas sa karagdagang curve Г ang area zero ay nahahati sa dalawang link at hindi maaaring magkaroon ng magkasanib na panloob na mga punto ng domain D 1 at D 2, kung gayon ang Ang function na f(x, y) ay isinama sa balat mula sa mga lugar D 1 at D 2, bukod dito

2°. Linear na kapangyarihan. Paano mapagsasama ang mga function na f(x, y) at g(x, y) sa espasyo D, huh? ako? - maging mga numero ng pagsasalita, pagkatapos ay ang function [? f (x, y) + ? Ang g (x, y)] ay isinama din sa domain D, bukod dito

3°. Dahil ang mga function na f(x, y) at g(x, y) ay pinagsama-sama sa domain D, kung gayon ang mga karagdagang function ng mga function na ito ay maisasama sa D.

4°. Paano maisasama ang mga function na f(x, y) at g(x, y) sa domain D at cross f(x, y)? g(x, y), pagkatapos

5°. Dahil ang function na f(x, y) ay isinama ng domain D, pagkatapos ay ang th function |f(x, y)| isinama sa rehiyon D, bukod dito

(Malinaw, ang pagsasama ng | f (x, y) | D ay hindi nagpapakita ng pagsasama ng f (x, y) sa D.)

6°. Ang mean value theorem. Bagama't ang mga nakakasakit na function na f(x, y) at g(x, y) ay isinama sa domain D, ang function na g(x, y) ay hindi nakikita (non-positive) saanman sa rehiyong ito, M at m ang eksaktong upper at lower bounds ng function f(x,y) sa rehiyon D, pagkatapos ay mayroong isang numero?na nakakatugon sa unevenness ng m? ? ? M i para wasto ang formula

Sokrema, dahil ang function na f(x, y) ay tuluy-tuloy na D, at ang domain D ay konektado, pagkatapos ay sa domain na ito ay mayroong isang punto (?, ?), Ano? = f(?, ?), at ang formula ay parang

7°. Mahalagang geometriko na kapangyarihan. lugar ng tirahan D

Hayaang ibigay ang katawan T (Larawan 2.1) sa espasyo, sa ibaba ng lugar D, sa hayop - isang graph ng isang walang tigil at hindi nakikitang pag-andar) z \u003d f (x, y,) habang ito ay itinalaga sa espasyo D, mula sa mga gilid - isang cylindrical na ibabaw, isang direktang isa є sa pagitan ng lugar D, at parallel sa Oz axis. Ang katawan ng ganitong uri ay tinatawag na cylindrical body.

1.3 Geometrical na interpretasyon ng vertical integral

1.4 Pag-unawa sa vertical integral ng isang parihaba

Hayaang magtalaga ng sapat na function f(x, y) saanman sa parihaba R = ? (div. Fig. 1).

Rosemary segment a? x? b by n bahagyang mga segment na lampas sa auxiliary point a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Bakit ang paghahati para sa tulong ng mga tuwid na linya, parallel sa mga axes Ox і Oy, ay paghahati ng parihaba R sa n · p bahagyang mga parihaba R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Ipinahiwatig ng dibisyon ng rektanggulo R, ito ay makabuluhan sa pamamagitan ng simbolo na T. Binigyan namin ito ng dibisyon sa ilalim ng terminong "parihaba" upang maunawaan ang parihaba na may mga gilid na kahanay sa mga coordinate axes.

Sa balat chastkovy rektanggulo Rkl, pumili kami ng isang buong punto (?k,?l). Ang pagkakaroon ng paglalagay ng ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, ito ay makabuluhan sa pamamagitan ng ?R kl ng lugar ng rectangle R kl . Malinaw, ?R kl = ?x k ?y l .

ay tinatawag na integral sum ng function na f(x, y), na nagbibigay ng ibinigay na distribution T ng isang rectangle R at isang binigay na pagpipilian ng mga intermediate point (? k, l) sa mga partial rectangles ng isang distribution T.

Ang dayagonal ay tinatawag na diameter ng parihaba R kl . Isang simbolo? Makabuluhang pinakamalaki sa mga diameter ng lahat ng karaniwang mga rectocut R kl .

Ang numero I ay tinatawag na hangganan ng integral sums (1) sa? > 0, paano ito maaaring maging anumang positibong numero? masasabi mo ba petsa?, Ano sa?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - ako |< ?.

Ang function na f(x, y) ay tinatawag na integrated (ayon kay Riemann) sa rectangle R, dahil may hangganan ang pagitan ng I integral sums ng function at? >0.

Ang itinalagang hangganan I ay tinatawag na subintegral ng function na f(x, y) ng rectangle R at tinutukoy ng isa sa mga sumusunod na simbolo:

Paggalang. Kaya, tulad ng para sa isang beses na sing integral, ito ay itinatag na ang function na f(x, y) ay isinama sa parihaba R at ay circumscribed sa rectangle na ito.

Nagbibigay ito ng pagkakataong tumingin sa malayo mula sa hangganan ng mga function na f(x, y).

Kapangyarihan ng mga subordinate integral.

Ang isang bahagi ng kapangyarihan ng mga sub-integral na walang gitna ay naglalagablab mula sa kahulugan kung saan ang pag-unawa sa kapangyarihan ng integral na iyon ay sumasalamin, ngunit mismo:

1. Ano ang tungkulin f(x, y) isinama sa D, pagkatapos kf(x, y) tezh ito ay isinama sa galusi na ito, bukod pa rito (24.4)

2. Ano ang nasa lugar D mga function ng integration f(x, y)і g(x, y), pagkatapos ay isinama ang mga function na iyon sa gallery na ito f(x, y) ± g(x, y), ako sa

3. Paano mag-integrate sa rehiyon D mga function f(x, y)і g(x, y) nerіvnіst f(x, y)≤g(x, y), pagkatapos

(24.6)

Idagdag pa natin ang kapangyarihan sa under-integral:

4. Yakscho area D nahahati sa dalawang rehiyon D 1 ta D 2 nang walang kumikinang na mga panloob na tuldok at pag-andar f(x, y) walang patid sa rehiyon D, pagkatapos

(24.7) Nagdadala . Integral na kabuuan ayon sa rehiyon D makikita mo sa isang sulyap:

de division ng rehiyon D natupad sa paraang sa pagitan D 1 ta D 2 ay binuo sa pagitan ng mga bahagi ng labanan. Pagpasa ng pawis sa hangganan, habang inaalis ang pagkakapantay-pantay (24.7).

5. Sa oras ng pagsasama sa D mga function f(x, y) ang function na ito ay isinama sa aking galus | f(x, y) |, at maє mistse nerіvnіst

(24.8)

Nagdadala.

mga bituin para sa tulong sa pagtawid sa hangganan kung sakaling magkaroon ng nerbiyos (24.8)

6. de S D- lugar ng rehiyon D. Ang patunay kung aling assertion ang inalis, na pinapalitan ang integral sum f(x, y)≡ 0.

7. Isinama pa rin sa rehiyon D function f(x, y) nakakabusog sa kaba

m ≤ f(x, y) ≤ M,

pagkatapos (24.9)

Nagdadala.

Ang patunay ay isinasagawa sa pamamagitan ng paglipat ng hangganan mula sa halatang hindi pantay

Bunga.

Paano supilin ang lahat ng bahagi ng kaba (24.9) sa D, maaari mong kunin ang tinatawag na mean value theorem:

Zokrema, para sa pag-iisip ng walang patid na pag-andar f sa D may ganoong punto sa rehiyon ( x 0, y 0), sa yakіy f(x 0, y 0) = μ , pagkatapos

-

Isa pang pagbabalangkas ng mean value theorem.

Geometric zmist mababang integral.

Tingnan natin ang katawan V, napapaligiran ng isang bahagyang ibabaw, kung ano ang tinatanong ng mga katumbas z = f(x, y), projection D tsієї ibabaw sa bawat eroplano hu isang tabular na cylindrical na ibabaw, na pinutol mula sa mga patayo, na nag-uugnay sa mga punto sa pagitan ng mga ibabaw sa kanilang mga projection.

z = f(x, y)

V

y P i D Fig.2.

Shukatimemo ang dami ng katawan bilang sa pagitan ng kabuuan ng mga volume ng mga cylinder, ang mga base nito ay ang mga bahagi Δ Si mga rehiyon D, at sa pamamagitan ng taas - vіdrіzki zavdovka f(Pi), mga puntos Pi kasinungalingan Δ Si. Pagpasa sa hangganan kasama ang, otrimaemo, scho

(24.11)

na nasa ilalim ng impluwensya ng integral ng tinatawag na silindro, na napapalibutan ng halimaw sa ibabaw z = f(x, y), at sa ibaba - ang lugar D.

Pagkalkula ng integral na salungguhit sa pamamagitan ng path ng yoga link patungo sa pangalawa.

Lugar ng pananaw D, napapaligiran ng mga linya x=a, x=b(a< b ), de φ 1 ( X) at φ 2 ( X) nang walang pahinga sa [ a, b]. Pagkatapos ay tuwid, parallel sa coordinate axis sa at dumaan sa panloob na punto ng lugar D, tumatawid sa kordon ng rehiyon sa dalawang punto: N 1 ta N 2 (Larawan 1). Tawagan natin ang lugar na ito tama sa-

sa tamang axle O sa. Katulad nito, ito ay

y=φ 2 (x) mayroong isang lugar na nasa isang tuwid na linya

N 2 palakol O X. Rehiyon, tama sa direktang-

Nії parehong coordinate axes, gagawin namin

D tawagan mo lang ng tama. Halimbawa,

Ang tamang lugar ay ipinapakita sa Fig.1.

y=φ 1 (x) N 1

O a b x

Halika sa function f(x, y) walang patid sa rehiyon D. Tingnan mo si Viraz

, (24.12)

ranggo dvorazovym integral uri ng pag-andar f(x, y) ayon sa rehiyon D. Kalkulahin natin ang internal integral (nakatayo sa mga braso) sa pamamagitan ng pagbabago sa, sa kabila X postiynim. Bilang resulta, nakikita natin walang tigil na pag-andar tingnan X:

Ang Otrimanu function ay integrable para sa X sa gitna a dati b. Bilang resulta, kinukuha namin ang numero

Dinadala namin ang mahalagang kapangyarihan ng yard-wise integral.

Teorama 1. rehiyon ng Yakscho D, itama nang diretso sa, nahahati sa dalawang lugar D 1 ta D 2 tuwid, parallel axis Pro sa abo axis O X, pagkatapos ay ang dvorazovy integral sa rehiyon D mas maraming kabuuan ng parehong integral ayon sa mga rehiyon D 1 ta D 2:

Nagdadala.

a) Dumiretso ka x = c mga break D sa D 1 ta D 2, diretso sa unahan sa. Todi

+

+

b) Dumiretso y=h mga break D sa kanan diretso sa mga rehiyon D 1 ta D 2 (Larawan 2). Makabuluhang sa pamamagitan ng M 1 (a 1 , h) na M 2 (b 1 , h) mga punto ng cross line ng tuwid na linya y=h mula sa cordon L mga rehiyon D.

y Rehiyon D 1 na napapalibutan ng mga walang patid na linya

y=φ 2 (x) 1) y=φ 1 (x);

D 2 2) kurba PERO 1 M 1 M 2 Sa, katumbas ng isinulat namin

h M 1 M 2 y=φ 1 *(x), de φ 1 *(X) = φ 2 (X) sa a ≤ x ≤ a 1 ta

A 1 D 1 Bb 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(X) = h sa a 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) tuwid x = a, x = b.

Rehiyon D 2 napapaligiran ng mga linya y=φ 1 *(x),

A y= φ 2 (X),a 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (x) Mapapatunayan natin sa panloob na integral ang teorama tungkol sa

pagsira sa pagsasama:

O a a 1 b 1 b

+

Bigyan natin ng isa pang s otrimanih іntegraіv v vyglyadі sumi:

+ + .

Oskilki φ 1 *(X) = φ 2 (X) sa a ≤ x ≤ a 1 ta b 1 ≤ x ≤ b, Ang una at ang pangatlo ay nag-aalis ng mga integral at equalize sa zero. Otzhe,

ako D = , tapos .

Ang pangunahing kapangyarihan ng sub-integral

Ang pangingibabaw ng sub-integral (na yogo visnovok) ay kahalintulad sa pangingibabaw ng isang beses na integral sa pag-awit.

1°. Additiveness. Ano ang function f(x, y) isinama sa rehiyon D at bilang isang lugar D para sa curve ng tulong G ang zero na lugar ay nahahati sa dalawang mga link at hindi muffle ang mataas na panloob na mga punto ng rehiyon D 1 ta D 2 , pagkatapos ay ang function f(x, y) isinama sa mga lugar ng balat D 1 ta D 2, bukod dito

2°. Linear na kapangyarihan. Anong mga function f(x, y) na g(x, y) integrasyon sa lugar D, a α і β - maging mga numero ng pagsasalita, pagkatapos ay ang function na [ α · f(x, y) + β · g(x, y)] ay isinama rin sa rehiyon D, saka

3°. Anong mga function f(x, y) na g(x, y) integrasyon sa lugar D, pagkatapos ay isinama ang mga karagdagang function ng mga function na ito D.

4°. Anong mga function f(x, y) na g(x, y) nakakasakit na pagsasama sa rehiyon D at saanman sa aking gallery f(x, y) ≤ g(x, y), pagkatapos

5°. Ano ang function f(x, y) isinama sa rehiyon D, ang mga function na | f(x, y)| isinama sa rehiyon D, saka

(Siyempre, may integrasyon | f(x, y)| sa D hindi nagpapakita ng integrasyon f(x, y) sa D.)

6°. Ang mean value theorem. Nakakainsulto ang tungkulin f(x, y) na g(x, y) integrasyon sa lugar D, function g(x, y) ay hindi nakikita (hindi positibo) saanman sa gallery na ito, Mі m- eksaktong upper at lower bounds ng function f(x, y) sa rehiyon D, tapos may number μ na satisfy sa kaba m ≤ μ ≤ M at para maging wasto ang formula

PAGGALAW NG MGA INTEGRALS

panayam 1

Sustained integrals.Ang layunin ng undercurrent integral ay ang kapangyarihan. Mga paulit-ulit na pagsasama. Mga link ng mas mababang integral sa paulit-ulit. Paglalagay sa pagitan ng pagsasama. Pagkalkula ng mga pinagbabatayan na integral ng Cartesian coordinate system.

Ang sub-integral ay isang pagpapalalim ng pag-unawa sa sing integral sa iba't ibang function ng dalawang variable. Sa ganitong paraan, ang vice-versa ng integration ay makikita bilang flat figure.

Halika na D- Ang Dejaka ay isang sarado, may hangganan na lugar, at f(x,y) - isang sapat na function, ito ay minarkahan ng gallery na ito. Ipagpalagay natin na sa pagitan ng mga rehiyon D ay summed up mula sa huling bilang ng mga kurba, na ibinigay ng mga katumbas ng isip y=f(x) o x=g( y), de f(x) na g(y) ay mga walang tigil na function.

Rehiyon ng Rozib'ёmo D disenteng ranggo sa n bahagi. lugar i-ї Ang delyanki ay makabuluhan sa pamamagitan ng simbolo D s i. Sa balat dilyantsi, medyo isang vibe ay isang punto Pi, at ilabas ito sa be-yak_y pag-aayos ng cartesian system maє coordinates ( x i, y i). Sklademo integral sum para sa function f(x,y) ayon sa rehiyon D, kung saan ang halaga ng function ay kilala sa lahat ng mga punto Pi, pagpaparami ng їх sa lugar ng dobleng plot na Ds i At ipinapalagay namin na ang lahat ng mga resulta ay inalis:

Nazvemo diam(G) mga lugar G ang pinakamalaking distansya sa pagitan ng mga boundary point ng rehiyon.

integral mga tungkulin f(x,y) sa lugar D ay tinatawag na hangganan, hanggang saan ang pagkakasunod-sunod ng mga integral sums (1.1) na may walang limitasyong pagtaas sa bilang ng mga break n (kung kanino). Sumulat ng ganito

Mahal, scho, vzagali tila, ang integral sum para sa itakda ang mga function at ang ibinigay na lugar ng pagsasama D piliin ang punto Pi. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse ibig sabihin nito, na sa pagitan ng vіdpovіdny іntegrаlny sums hindi posible na magsinungaling sa pagitan ng hinirang na chinnikіv. Sa pagkakasunud-sunod(o, parang, pangkalahatang tungkulin f(x,y) ay isinama sa domain D), ito ay sapat na ang integral function ng bool walang tigil sa pagsasama ng task gallery.

Halika sa function f(x,y) isinama sa rehiyon D. Ang mga shards sa pagitan ng pinagsama-samang mga kabuuan para sa mga naturang pag-andar ay hindi maaaring maipon sa pamamagitan ng paraan ng paghahati sa lugar ng pagsasama, ang paghahati ay maaaring isagawa para sa tulong ng mga vertical at pahalang na linya. Todі higit pang mga negosyante ng rehiyon D matime straight-cut looking, ang lugar ng naturang dorivnyu D s i=D x i D y i. Samakatuwid, ang pagkakaiba ng lugar ay maaaring isulat bilang ds=dxdy. Otzhe, sa Cartesian coordinate system sa ilalim ng mga integral maaari mong isulat sa paningin

Paggalang. Tulad ng integrand function f(x,y)º1, kung gayon ang under-integral ng lugar ng rehiyon ng pagsasama ay:

Kapansin-pansin, na ang mga may salungguhit na pagsasama ay maaaring magkaparehong kapangyarihan, gayundin ang isa-isang pinagsama. Ang mga gawa ng mga ito ay makabuluhan.

Kapangyarihan ng mga subordinate integral.

1 0 .Linear na kapangyarihan. Integral ng kabuuan ng mga function ng iba pang kabuuan ng mga integral:

at ang patuloy na multiplier ay maaaring sisihin para sa tanda ng integral:

2 0 .Additive na kapangyarihan. Dahil ang lugar ng pagsasama D ay nahahati sa dalawang bahagi, kung gayon ang subintegral ay mas kumpleto kaysa sa kabuuan ng mga pagsasama sa bahagi ng balat:

3 0 .Ang ibig sabihin ng teorama. Ano ang function f( x,y)ay tuluy-tuloy sa rehiyon D, pagkatapos ay mayroong isang punto sa gallery(x, h) , Ano:

Karagdagang post nutrition: paano kinakalkula ang mga sub-integral? Yogo ay maaaring virahuvati humigit-kumulang, sa paraang ito ito ay nasira mabisang pamamaraan mga nakatiklop na kabuuan ng pinagsama-samang mga kabuuan, na pagkatapos ay kalkulahin ayon sa numero na may karagdagang EOM. Sa isang analytical na pagkalkula ng mga sub-integral, ang mga ito ay nabawasan sa dalawang sing-integral.