Mga integral para sa mga teapot: kung paano masira ang mga patakaran ng pagkalkula, paliwanag. Ang kapangyarihan lamang ng mga integral

Ang data ng kapangyarihan ay matagumpay para sa paglikha ng pagbabagong-anyo ng integral sa paraan ng pagbawas ng yogo sa isa sa mga elementary integral at ang pinakamalayo na pagkalkula.

1. Pokhіdna neznachennoy іntegrа dоrіvnyuє pіdіntegrаlіnіy funkії:

2. Ang pagkakaiba ng hindi natukoy na integral ay mas mahusay kaysa sa pintegral virase:

3. Hindi mga halaga ng integral sa anyo ng pagkakaiba ng kasalukuyang pag-andar ng malusog na kabuuan ng mga pag-andar at ang sapat na post:

4. Maaaring sisihin ang pare-parehong multiplier para sa tanda ng integral:

Bukod dito, isang ≠ 0

5. Integral ng kabuuan (tingi) ng karagdagang kabuuan (tingi) ng integral:

6. Kapangyarihan - kumbinasyon ng mga kapangyarihan 4 at 5:

Bukod dito, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Ang kapangyarihan ng invariance ng hindi natukoy na integral:

Yakscho something

8. Kapangyarihan:

Yakscho something

Sa katunayan, binigyan tayo ng kapangyarihan, tatawagin natin itong isang hakbang ng pagsasama para sa karagdagang paraan ng pagpapalit ng pagbabago, na mas maiuulat sa pag-atakeng dibisyon.

Tingnan natin ang halimbawa:

Sa likod ng ulo, nakuha namin ang kapangyarihan 5, pagkatapos ay ang kapangyarihan 4, nakuha ang unang talahanayan at kinuha ang resulta.

Ang algorithm ng aming online calculator іntegrіlіv pіdtrimuє sі vіlіchenі vyshe vіsshego і vіstіvі at і madaling znayde rіshenі prіshennia іn ііntegrаіv.

Ang mga pangunahing gawain ng pagkalkula ng kaugalianє pagiging pamilyar f'(x) o kaugalian df=f'(x)dx mga function f(x). Ang problema ay nakabalot sa integral number. Para sa isang naibigay na function f(x) ito ay kinakailangan upang malaman tulad ng isang function F(x), Ano F'(x)=f(x) o dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

sa ganoong paraan, ang mga pangunahing gawain ng integral na pagkalkulaє pag-upgrade ng function F(x) para sa kagalang-galang (differential) function. Integral na pagkalkula ng pinakamalaking numerical na mga karagdagan sa geometry, mechanics, physics at teknolohiya. Ang Vono ay nagbibigay ng isang ligaw na paraan ng pag-alam sa lugar, obsyagіv, mga sentro ng kahalagahan lamang.

appointment. FunctionF(x), , ay tinatawag na pangunahin para sa functionf(x) sa pamamagitan ng isang multiple ng X, dahil ito ay pinag-iba para sa anumang iF'(x)=f(x) odF(x)=f(x)dx.

Teorama. Be-yaka bezperervna sa vіdrіzku [a;b] functionf(x) Maaari ko bang piliin ang unaF(x).

Teorama. YakschoF 1 (x) iyonF 2 (x) – dalawang magkaibang pangunahin at magkaparehong pag-andarf(x) sa impersonal x, pagkatapos ay mabaho sila isa-isa na may pare-parehong dodank, iyon ay.F 2 (x)=F1x)+C de C - postyna.

Kawalang-halaga ng integral, yoga ng pangingibabaw.

appointment. SukupnistnostF(x)+Tatlong pangunahing pag-andarf(x) sa multiplier X ay tinatawag na isang hindi gaanong mahalagang integral at itinalaga:

- (1)

Formula (1) f(x)dx tinawag pidintegral virase,f(x) - pagsasama ng function, x - pagsasama ng variable, a H - post-ynoї іntegratsії.

Tingnan natin ang mga awtoridad hindi kumanta ng integral, yakі z yoga appointment.

1. Pag-alis mula sa undefined integral sa pre-integral function, ang differential ng undefined integral sa pre-integral virase:

na .

2. Ang mga hindi halaga ng integral sa kaugalian ng kasalukuyang pag-andar ay mabuti para sa kabuuan ng mga pag-andar at ang sapat na post:

3. Ang patuloy na multiplier a (a≠0) ay maaaring sisihin para sa tanda ng hindi natukoy na integral:

4. Ang mga hindi halaga ng integral sa kabuuan ng algebra ng huling bilang ng mga function ay ang karagdagang kabuuan ng algebra ng mga integral sa anyo ng mga function na ito:

5. YakschoF(x) – pangunahing tungkulinf(x), pagkatapos:

6 (invariance ng integration formula). Kung ang formula ng integration ay nakakatipid sa sarili nitong paningin, kung binago nito ang integration, palitan ito ng ilang function ng variable, na nag-iiba:

deu - function na maiiba.

Talaan ng mga di-makabuluhang integral.

Navigable pangunahing mga patakaran para sa pagsasama ng mga function.

Navigable talahanayan ng mga pangunahing di-makabuluhang integral(Mahalaga na dito, tulad ng i sa pagkalkula ng kaugalian, ang titik u maaari mong pangalanan ang isang malayang pagbabago (u=x), kaya ang function bilang isang malayang pagbabago (u=ikaw(x)).)

(n≠-1). (a>0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u|> |a|).(|u|< |a|).

Integrals 1 - 17 pangalan tabular.

Deyakі z inducing higit pang mga formula ng mga talahanayan ng integrals, yakі mayut analogue ng mga talahanayan ng mga katulad na mga, sila ay binawi sa pamamagitan ng mga derivations ng kanilang mga karapatan bahagi.

Pagpapalit ng pagbabago at pagsasama ng mga bahagi sa isang hindi natukoy na integral.

Pagsasama-sama ng mga substation (pagpapalit ng mga kapalit). Hayaang kinakailangan upang kalkulahin ang integral

, na hindi tabular. Ang kakanyahan ng paraan ng pagpapalit ay nakasalalay sa katotohanan na sa mahalagang pagbabago X palitan ang pagbabago t sa likod ng formula x = φ (t), mga bituin dx=φ'(t)dt.

Teorama. Halika sa functionx = φ (t) na ang pagkita ng kaibhan ay itinalaga sa tunay na multiplier T at hayaang ang X ay ang impersonal na halaga ng function, kung saan itinalaga ang functionf(x). Pareho sa X multiplier functionf(

Ang solusyon ng mga pagsasama ay mas madali, ngunit mas mahirap. Ang artikulong ito ay para sa mga gustong matutong maunawaan ang pagsasama, ngunit walang alam tungkol sa kanila o anuman. Integral... Kailangan pa ng alak? Paano makalkula ang yoga? Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng mga integral?

Kung makikita mo lang ang pagsasama-sama ng integral - ilagay ito sa hugis ng icon ng integral sa kanan ng mahahalagang lugar, hinihiling din namin sa iyo! Alamin kung paano lutasin ang pinakasimple at iba pang integral at kung bakit hindi mo magagawa nang wala ang mga ito sa matematika.

Nakakaintindi kami « integral »

Ang pagsasama ay nasa tahanan Sinaunang Ehipto. Malinaw, hindi sa modernong paraan, ngunit pareho. Samantala, ang mga mathematician ay nagsulat ng maraming mga libro sa paksang ito. Partikular na nakikilala Newton і Leibnitz ngunit hindi nagbago ang diwa ng mga talumpati.

Paano maunawaan ang pinagsamang mula sa zero? Niyak! Para sa kapakanan ng pag-unawa, lahat ng parehong, ang isa ay nangangailangan ng pangunahing kaalaman sa mga pangunahing kaalaman pagsusuri sa matematika. Vіdomosti tungkol sa interi at pokhіdnі, kinakailangan at para sa pag-unawa sa mga pagsasama, gayon pa man mayroon kaming blozі.

Hindi mahalaga ang integral

Hayaan natin ito bilang isang function f(x) .

Ang hindi makabuluhang integral ng function f(x) tinatawag ang naturang function F(x) , katulad ng mga lumang function f(x) .

Tobto іntegral - tse pokhіdna navpak o pangunahin. Bago ang pagsasalita, tungkol sa mga iyon, kung paano mabibilang ang mga masama, basahin sa aming artikulo.

Pangunahing mapagkukunan para sa lahat walang tigil na pag-andar. Gayundin, ang simbolo ng isang pare-pareho ay madalas na idinagdag sa pangunahing isa, ang mga shards ng mga katulad na pag-andar, na naiiba sa isang pare-pareho, ay iniiwasan. Ang proseso ng pag-aaral ng integral ay tinatawag na integration.

Simpleng halimbawa:

Upang hindi mo ma-override ang mga pangunahing elementarya na function, manu-manong idagdag ang mga ito sa talahanayan at gamitin ang mga naihanda nang value.

Povna talahanayan ng mga integral para sa mga mag-aaral

Integral na halaga

Sa kanan ng pag-unawa sa integral, maaaring nasa kanan tayo ng hindi maiiwasang maliliit na dami. Bilang karagdagan, kalkulahin ng integral ang lugar ng mga figure, ang masa ng isang heterogenous na katawan, mga sipi sa hindi pantay na Russia at marami pang iba. Isang bakas ng memorya, na ang integral ay ang kabuuan ng isang walang katapusang malaking bilang ng walang katapusan na maliliit na karagdagan.

Bilang isang butt, makikita mo ang iskedyul bilang isang function.

Paano malalaman ang lugar ng isang figure na napapalibutan ng isang graph ng isang function? Para sa tulong ng integral! Rozіb'єmo curvilinear trapezium, napapalibutan ng mga axes ng mga coordinate at isang graph ng function, sa walang katapusang maliliit na ribs. Sa ganitong paraan, lumilitaw na nahahati ang pigura sa manipis na mga haligi. Ang kabuuan ng mga parisukat ng stovpchikiv at tayo ay nagiging parisukat ng trapezium. Ngunit tandaan na ang gayong pagkalkula ay magbibigay ng malinaw na resulta. Gayunpaman, kung may mas kaunti at mayroon nang mga singil, magkakaroon ng mas eksaktong mga singil. Kung babaguhin natin ang kanilang sahig, kung ang dovzhina ay lumubog sa zero, kung gayon ang kabuuan ng lugar ng vіdrіzkіv ay magiging pragnet sa lugar ng figure. Tse i є pevny integrand, na nakasulat tulad nito:

Ang mga puntong a at b ay tinatawag na mga hangganan ng pagsasama.

« integral »

Bago magsalita! Para sa aming mga mambabasa nang sabay-sabay ang isang diskwento ng 10% sa ilang uri ng robot

Mga panuntunan para sa pagkalkula ng mga integral para sa mga teapot

Kapangyarihan ng hindi natukoy na integral

Paano lutasin ang mga insignificance ng integral? Dito maaari nating tingnan ang kapangyarihan ng hindi nasusukat na integral, tulad ng pagkakaroon ng magandang kapalaran na may perpektong aplikasyon.

• Pokhіdna vіd іntegrа dоrіvnyuє pіdіntegrіalіy funktsії:

• Ang pare-pareho ay maaaring sisihin sa integral sign:

• Іntegrаl vіd sumi dorivnyuє sumі іntegrіlіv. Ang parehong ay totoo para sa retail:

Ang lakas ng singing integral

• Linearity:

• Ang tanda ng integral ay binago upang matandaan ang mga punto sa pagitan ng pagsasama:

• Sa kahit ano puntos a, bі h:

Naipaliwanag na namin na ang integral ng kanta ay ang kabuuan sa pagitan ng mga kabuuan. Ale, paano isasaalang-alang ang tiyak na kahulugan ng pіd hour ng virіshennya butt? Para sa kung alin ang gumamit ng Newton-Leibniz formula:

Ilapat ang pagiging perpekto ng pagsasama

Sa ibaba ay tinitingnan natin ang mga hindi pagkakapare-pareho ng integral at inilalapat ito sa mga solusyon. Maipapayo na independiyenteng palawakin ang mga subtleties ng desisyon, ngunit kung ito ay hindi makatwiran, ilagay ang tanong sa mga komento.

Upang pagsamahin ang materyal, tingnan ang video tungkol sa mga iyon, kung paano nilalabag ang mga integral sa pagsasanay. Huwag mahulog sa walang bisa, dahil ang integral ay hindi ibinibigay sa mata. Bumalik sa isang propesyonal na serbisyo para sa mga mag-aaral curvilinear integral kasama ang saradong ibabaw ay bibigyan ka ng lakas.

Sa statistics, na-override namin ang main power ng singing integral. Ang malaking bahagi ng mga kapangyarihang ito ay dinala sa batayan ng pag-unawa sa integral ng pag-awit ng Rimmann at Darboux.

Ang pagkalkula ng unang integral ay madalas na isinasagawa sa unang limang kapangyarihan, kaya hihilingin namin ang demand. Ang natitirang bahagi ng kapangyarihan ng integral sa pagkanta ay pangunahing ginagamit upang suriin ang iba't ibang mga virus.

Bumaba muna kayo sa ang mga pangunahing kapangyarihan ng sing integral, sa tingin namin na ang a ay hindi nagbabago b.

Para sa function na y = f(x) , na itinalaga para sa x = a, ang pagkakapantay-pantay ay wasto.

Iyon ang dahilan kung bakit ang mga halaga ng sing integral z zbіgayutsya interami іntegruvannya doіvnyuє zero. Dahil dito, ang kapangyarihang ito ay itinalaga sa integral ng Riemann, na kung saan ang kabuuan ng balat para sa anumang uri ng paghahati ng puwang at kung ang pagpili ng punto ay katumbas ng zero o hindi, sa gayon, ang hangganan ng integral ang mga kabuuan ay zero.

Para sa isang function na maaaring isama sa isang widget, manalo .

Sa madaling salita, kapag binabago ang upper at lower sa pagitan ng mga integration point, nagbabago ang halaga ng sing integral sa haba. Ang kapangyarihan ng sing integral ay malinaw din mula sa pag-unawa sa Riemann integral, ito ay mas mababa ang pagnunumero ng split at ang susunod na simula mula sa puntong x = b.

para sa pagsasama ng mga function y = f(x) at y = g(x) sa isang cross-sectional na batayan.

Nagdadala.

Isinulat namin ang integral sum ng function para sa isang ibinigay na koneksyon, isang window at isang pagpipilian ng mga punto:

de-integral na kabuuan ng mga function y = f(x) і y = g(x) para sa isang naibigay na distribusyon sa kabaligtaran na kaso.

Pagpasa sa hangganan kasama ng isinasaalang-alang namin na ang pagtatalaga ng integral ng Riemann ay katumbas ng assertion ng dinala na halaga.

Ang pare-parehong multiplier ay maaaring sisihin para sa tanda ng sing integral. Samakatuwid, para sa isang function na y = f(x) na isinama sa isang cross-section at isang naaangkop na numero k, ang pagkakapantay-pantay ay totoo .

Ang patunay ng soberanya ng sing integral ay ganap na katulad ng nauna:


Hayaang maisama ang function na y = f(x) sa pagitan ng X, bukod dito at pagkatapos .

Tsya vlastіvіst patas bilang para sa, kaya para sa o.

Ang patunay ay maaaring isagawa sa pamamagitan ng spiraling sa forward power ng sing integral.

Kung paanong isinama ang function sa windshield, isinama rin ito sa panloob na windshield.

Ang patunay ay nakasalalay sa kapangyarihan ng kabuuan ng Darboux: kung magdadagdag ka ng mga bagong puntos sa halatang breakdown, kung gayon ang mas mababang kabuuan ng Darboux ay hindi magbabago, at ang itaas ay hindi tataas.

Kung ang function na y = f(x) ay isinama sa subdivision y ng anumang halaga ng argument , kung gayon .

Ang kapangyarihan ng Tsya ay dinadala sa pamamagitan ng pagtatalaga ng integral ni Riemann: kung ang kabuuan ay integral para sa kung mayroong isang pagpipilian sa pagitan ng isang punto ng paghahati at isang punto kapag ito ay hindi nakikita (hindi positibo).

Bunga.

Para sa pagsasama ng mga function na y = f(x) at y = g(x) sa subsection, ang mga sumusunod na hindi pagkakapare-pareho ay totoo:


Tse firm ay nangangahulugan na ang pagsasama-sama ng mga iregularidad ay pinahihintulutan. Samantala, karapat-dapat tayo sa oras na patunayan ang napipintong pangingibabaw.

Hayaang maisama ang function na y = f(x) sa kabaligtaran, pagkatapos ay valid ang non-uniformity .

Nagdadala.

Halatang ano . Nakasaad sa harap ng mga awtoridad na ang inconsistency ay maaaring pagsamahin ang termino sa pamamagitan ng termino, ito ay patas . Maaari mong isulat kung paano .

Hayaang maisama ang mga function na y = f(x) at y = g(x) sa subsection i para sa anumang halaga ng argument , pagkatapos , de na .

Ang patunay ay isinasagawa sa katulad na paraan. Kaya m at M ang pinakamaliit ang pinaka makabuluhan function na y = f(x) sa kabilang panig, pagkatapos . Ang pag-multiply ng subvariant unevenness sa hindi kilalang function na y = g(x) ay dadalhin sa nakakasakit na subvariant unevenness. Ang pagsasama ng yoga sa hangin, darating tayo sa isang katatagan, kung ano ang dadalhin.

Bunga.

Kung kukuha tayo ng g(x) = 1, makikita ko ang hindi pagkakapantay-pantay sa hinaharap .

Unang formula para sa average.

Hayaang maisama ang function na y = f(x) sa kabaligtaran, at pagkatapos ito ay ang parehong numero na .

Bunga.

Kung ang function na y = f(x) ay interruptless, kung gayon mayroong isang numero na ganoon .

Ang unang formula ng mean value ng narrowed form.

Hayaang maisama ang mga function na y = f(x) at y = g(x) sa reverse side, і , at g(x) > 0 anuman ang halaga ng argumento . Pagkatapos ay mayroon kang ganoong numero .

Isa pang formula para sa average.

Bilang karagdagan, ang function na y = f(x) ay isinama, at y = g(x) ay monotoniko, kaya mayroong isang bilang na ang pagkakapantay-pantay ay wasto .

Ang data ng kapangyarihan ay matagumpay para sa paglikha ng pagbabagong-anyo ng integral sa paraan ng pagbawas ng yogo sa isa sa mga elementary integral at ang pinakamalayo na pagkalkula.

1. Pokhіdna neznachennoy іntegrа dоrіvnyuє pіdіntegrаlіnіy funkії:

2. Ang pagkakaiba ng hindi natukoy na integral ay mas mahusay kaysa sa pintegral virase:

3. Hindi mga halaga ng integral sa anyo ng pagkakaiba ng kasalukuyang pag-andar ng malusog na kabuuan ng mga pag-andar at ang sapat na post:

4. Maaaring sisihin ang pare-parehong multiplier para sa tanda ng integral:

Bukod dito, isang ≠ 0

5. Integral ng kabuuan (tingi) ng karagdagang kabuuan (tingi) ng integral:

6. Kapangyarihan - kumbinasyon ng mga kapangyarihan 4 at 5:

Bukod dito, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Ang kapangyarihan ng invariance ng hindi natukoy na integral:

Yakscho something

8. Kapangyarihan:

Yakscho something

Sa katunayan, binigyan tayo ng kapangyarihan, tatawagin natin itong isang hakbang ng pagsasama para sa karagdagang paraan ng pagpapalit ng pagbabago, na mas maiuulat sa pag-atakeng dibisyon.

Tingnan natin ang halimbawa:

Sa likod ng ulo, nakuha namin ang kapangyarihan 5, pagkatapos ay ang kapangyarihan 4, nakuha ang unang talahanayan at kinuha ang resulta.

Ang algorithm ng aming online calculator іntegrіlіv pіdtrimuє sі vіlіchenі vyshe vіsshego і vіstіvі at і madaling znayde rіshenі prіshennia іn ііntegrаіv.