2nd uri ng paraan ng pagsasama

Tingnan natin ang curvilinear integral ng ika-2 uri, kung saan ang L ay isang kurba na nag-uugnay sa mga puntong M at N. Hayaan ang mga function na P(x, y) at Q(x, y) na kurba L. Ang curvilinear integral ay hindi maaaring ideposito sa hugis ng curve L, tanging ang mga puntos na M at N ay pinalawak.

Gumuhit kami ng dalawang karagdagang curve MSN at MTN, na namamalagi sa distansya D at kumonekta sa mga punto M at N (Larawan 14).

Sabihin natin, ano, tobto

de L - closed loop, natitiklop mula sa MSN at NTM curves (din, maaari itong magdagdag ng higit pa). Sa ganitong paraan, ang isip ng pagsasarili ng curvilinear integral ng ika-2 uri sa paraan ng pagsasama ay katumbas ng isip, na ang gayong integral sa likod ng anumang closed loop ay katumbas ng zero.

Theorem 5 (Green's theorem). Ibigay sa lahat ng punto ng totoong lugar D ang mga function na P(x, y) at Q(x, y) at ang kanilang mga pribadong transition. Pagkatapos, upang maging isang closed contour L, na nasa rehiyon D

kailangan at sapat para sa lahat ng punto ng rehiyon D.

Nagdadala.

1) Kaunlaran: hayaan ang iyong isip = vikonano. Tingnan natin ang isang mas saradong contour L ng rehiyon D, na pumapalibot sa rehiyon S, at isulat ang formula ng Green para sa bago:

Otzhe, kasapatan dinala.

2) Pangangailangan: sabihin natin na ang isip ay nakasulat sa balat na punto ng lugar D, ngunit kung nais mong makahanap ng isang punto ng sentro ng lugar, kung saan -? 0. Halika, halimbawa, sa puntong P(x0, y0) marahil: - > 0. Kaya, dahil ang kaliwang bahagi ng nerbiyos ay may walang patid na paggana, magiging positibo at mas malaki ba ito sa isang araw? > 0 sa deakіy maliit na rehiyon D`, upang ipaghiganti ang puntong P. Otzhe,

Ang pagsasaalang-alang para sa formula ng Green ay mahalaga na

de L` - ang tabas na pumapalibot sa lugar D`. Tsey resulta superchit isip. Gayundin, = sa lahat ng mga punto ng rehiyon D, na kinakailangang dalhin.

Paggalang 1. Katulad nito, para sa isang trivi-makamundong espasyo, ang isa ay maaaring magdala na ang kailangan at sapat na mga isip ng pagsasarili ng curvilinear integral

sa direksyon ng pagsasama є:

Tandaan 2. Kapag naisip ni vykonannі (52) viraz Pdx + Qdy + Rdz є nangungunang kaugalian aktwal na function. Pinapayagan ka nitong kalkulahin ang pagkalkula ng curvilinear integral hanggang sa tinukoy na halaga ng pagkakaiba at sa dulo at mga corn point ng contour ng integration, scaling

Para sa kung aling function ako ay maaaring malaman mula sa formula

de (x0, y0, z0) - ang punto ng rehiyon D, at C - ay naging sapat na. Sa katunayan, madaling malito na ang mga pribadong function na ibinigay ng formula (53) ay katumbas ng P, Q at R.

puwit 10.

Kalkulahin ang curvilinear integral ng ika-2 uri

kasama ang buong curve, na nag-uugnay sa mga puntos (1, 1, 1) at (2, 3, 4).

Magpatuloy tayo, kung ano ang iniisip ng mga vicon (52):

Otzhe, ang function ay naroroon. Alam natin ang її sa likod ng formula (53) sa pamamagitan ng pagtatakda ng x0 = y0 = z0 = 0. Pagkatapos

Sa ranggo na ito, ang function at ay tinutukoy nang may katumpakan hanggang sa isang sapat na pag-post dodanku. Ipagpalagay na Z = 0, pagkatapos ay u = xyz. Otzhe,

Tingnan natin ang curvilinear integral

kumukuha pagkatapos ng isang deak na may patag na kurba L, na nag-uugnay sa mga punto Mі N. Ipagpalagay natin na ang mga function P(x, y)і Q(x, y) maaaring walang patid na mga pribadong holiday sa lugar na makikita mo D. Siyempre, para sa gayong mga isip ng pagsulat ng isang curvilinear integral ay hindi maaaring magsinungaling sa anyo ng isang curve L, at magdeposito lamang sa posisyon ng cob at end point Mі N.

Tingnan natin ang dalawa pang kurba MPNі MQN, na matatagpuan malapit sa bukas na lugar D at pagkonekta ng mga punto Mі N. Halika na

(1)

Pagkatapos ay sa batayan ng mga kapangyarihan 1 at 4 na curvilinear integral ay maaaring:

tobto. closed-loop integral L

Sa natitirang bahagi ng formula, ang curvilinear integral ng mga pagkuha kasama ang isang closed contour L nakatiklop mula sa mga kurba MPNі NQM. Tsey contour L maaari mong, malinaw naman, vvazhati dovilnym.

Sa ranggo na ito, tandaan mo:

kaya para sa anumang dalawang puntos M at N ang curvilinear integral ay hindi namamalagi sa anyo ng isang curve, ngunit sa anyo lamang ng isang curve, ngunit namamalagi lamang sa posisyon ng mga puntong ito, sa susunod, Ano Ang curvilinear integral sa likod ng anumang closed contour ay katumbas ng zero .

Makatarungan at masamang visnovok:

kung ang curvilinear integral sa likod ng anumang closed loop ay katumbas ng zero, ang curvilinear integral na ito ay hindi makikita sa anyo ng isang curve, na tumatawid sa dalawang puntos, at humiga lamang sa mga kampo ng tsikh tuldok . Totoo, scho of equivalence (2) exuberant equivalence (1)

Teorama

Hayaang gamitin ang mga function na P(x, y), Q(x, y) sa lahat ng mga punto ng deaco region D nang sabay-sabay nang may sariling pribado at walang pagkaantala. Pagkatapos, upang magkaroon ng isang curvilinear integral sa likod ng anumang closed loop na L, na nasa gitna ng silid, na umaabot sa zero, kung gayon. shob

(2΄)

kinakailangan at sapat na vikonannya pagkakapareho

sa lahat ng punto ng lugar D.

Nagdadala

Tingnan natin ang closed circuit L sa rehiyon D at para sa bago, isinusulat namin ang formula ng Green:

Kung ang isip ay nanalo (3), kung gayon ang underestimated integral, na nagkakahalaga ng kasamaan, ay katumbas din ng zero i, kung gayon,

sa ganoong paraan, kasapatan labhan (3) dinala.

Dalhin natin ngayon pangangailangan isip, tobto. posibleng magwagi ang kapantayan (2) para sa anumang saradong kurba L sa rehiyon D, pagkatapos sa punto ng balat ng rehiyon, ang isip ay nanalo (3).

Katanggap-tanggap naman, panalo ang selos (2), tobto.

at hindi nanalo si Umov (3), tobto.

mainit na bi sa isang punto. Halika, halimbawa, ang punto ng pagkanta ay maaaring kinakabahan

Dahil ang kaliwang bahagi ng nerbiyos ay may walang patid na paggana, ito ay magiging positibo at higit sa isang tiyak na bilang sa lahat ng mga punto upang maabot ang isang maliit na lugar upang ipaghiganti ang punto. Vіzmemo podvіyny іntegrа іn іy galluzі vіd raznitsi. Si Vin matime ay may positibong kahulugan. totoo,

Sa likod ng Green formula, ang kaliwang bahagi ng natitirang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay mas malapit sa curvilinear integral sa inter-region, na, sa likod ng mga allowance, ay mas malapit sa zero. Otzhe, ostannya nerіvnіst supercheat isip (2), otzhe, pripuschennya, scho on vіdminu vіd zero gustong maging sa isang punto, hindi kaya. Parang sumisigaw, ano

sa lahat ng punto D.

Otzhe, tapos na ulit ang theorem.

Sa oras ng kasal ng differential equals, naalala ito

ay katumbas ng katotohanan na ang viraz pdx + Qdyє ang pinakabagong kaugalian ng kasalukuyang function u(x, y), pagkatapos.

Ale sa tsomu vipadku vector

є gradient function u(x, y);

Function u(x, y), ang gradient ay katulad ng vector potensyal aling vector.

Ipaalam sa amin iyon na may curvilinear integral Sa likod ng anumang curve L, na nag-uugnay sa mga puntos na M at N, ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng function i sa mga puntong ito:

Nagdadala

Yakscho Рdx + Qdyє ang nangungunang kaugalian ng function u(x, y), pagkatapos ay titingnan ko ang curvilinear integral

Para sa pagkalkula ng integral na ito, isinusulat namin ang parametric alignment ng curve L, na nag-uugnay sa mga punto Mі N:

Viraz, kung ano ang tatayo sa mga templo, gumana t, na isang ganap na katulad na function ayon sa t. Tom

Yak mi bachimo, ang curvilinear integral sa anyo ng tuluy-tuloy na kaugalian ay hindi maaaring nasa anyo ng isang kurba, kung saan kinakailangan ang pagsasama.

Sa ganitong paraan:

isipin ang pagsasarili ng mga curvilinear integral ng pangalawang uri bumuo ng paraan ng pagsasama tulad nito:

Yakshcho sa deakіy galuzі P(x, y)і Q(x, y) nang walang pagkaantala kasama ng kanilang sariling i, kung gayon:

1. sa lugar D huwag magsinungaling sa anyo mga paraan ng integrasyon, yakscho yogo ibig sabihin sa likod ng isang shmatkovo-makinis na kurba, scho to lie at tsіy galuzі and mum zagalny cob і zagalny kіnets gayunpaman.

2. integral uzdovzh maging-tulad ng isang closed curve L, na matatagpuan sa rehiyon D ay katumbas ng zero.

3. Pangunahing function u(x, y), para sa yakoї viraz pdx+qdyІsnuє povny kaugalian, pagkatapos.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

5

sa punto ng balat ng lugar D.

Para sa pagkalkula ng integral, upang hindi mahulog sa tabas ng pagsasama

susunod na piliin bilang ang pinaka-navigating path ng integration ng laman, na ang mga connecting point at lankas ay parallel sa mga axes na Ox at Oy.

Pidintegral Viraz P(x, y)dx + Q(x, y)dy para sa paghirang ng mga isip nangungunang kaugalian mga tungkulin sa pag-arte u = u(x, y) tobto.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

function u(x, y)(orihinal) maaari mong malaman kung paano kalkulahin ang pinakakaraniwang curvilinear integral ng lamania de - maging ito ay isang nakapirming punto, B(x, y) – pagbabago ng punto, at ang punto ay ang pinakamataas na coordinate X na . Todi vzdovzh maєmo na dy = 0, at vzdovzh maєmo x = constі dx = 0.

Kunin natin ang formula na ito:

Katulad nito, ang pagsasama ng lamanoy de otrimaemo

Mag-apply

1. Kalkulahin

Ang integral na ito ay dapat na ideposito kasama ang contour ng pagsasama, dahil

Pinipili namin bilang isang paraan upang isama ang laman, ang mga linya ay parallel sa mga coordinate axes. Sa unang sangay:

Sa ibang lokasyon:

Otzhe,

2. Alamin muna u, gusto

Halika at contour datiє lamana OMN. Todi

3. Alam mo, yakscho

Dito, imposibleng kunin ang cob point ng mga coordinate, dahil sa puntong ito ng pag-andar P(x, y)і Q(x, y) hindi itinalaga, para doon, kinuha namin ito para sa isang punto, halimbawa,. Todi

4. Alamin ang lugar, na napapalibutan ng mga elіps

Ang lugar ng figure, ruffled sa HOW area at napapalibutan ng isang closed line C, ay kinakalkula ayon sa formula

,

de contour Z ay na-bypass sa isang positibong direksyon.

Gawin nating kanta ang curvilinear integra, na lumilikha ng pagbabago

Parameter t pumasa sa mga halaga mula 0 hanggang 2?

Ang ganyang ranggo

3. Pinakamataas na curvilinear integral sa haba ng arko L yakscho L– cauliflower cycloid

MGA GAWAIN SA TEMA "CURVILINE INTEGRAL"

Opsyon 1

Ang De L ay isang tatsulok ng tuwid na linya ng puntong A(0;-2) at B(4;0) na nakahiga sa XOY plane.

vzdovzh lamanoї L:OAB, de O(0,0), A(2,0), B(4,5). I-bypass ang tabas ng anti-year arrow.

Sa likod ng mga coordinate, dahil ang L ay ang arko ng ellipse, na nasa unang quarter.

Ang De L ay ang tabas ng isang trikot na may mga vertices A(1,1), B(2,2), C(1,3). I-bypass ang tabas ng anti-year arrow.

at alam ang yoga.

7. Ang force field ay nilikha ng force F(x, y), na nagbibigay-daan sa higit pang mga point na maayos sa cob ng mga coordinate at idirekta sa cob ng mga coordinate. Upang malaman sa robot ang lakas ng field, inilapat sa displacement ng materyal na punto ng isang solong masa kasama ang arko ng parabola y2 = 8x mula sa punto (2; 4) hanggang sa punto (4; 4).

Opsyon 2

1. Kalkulahin ang curvilinear integral sa gilid ng arko (Cartesian coordinates).

Ang De L ay isang contraction ng isang tuwid na punto na nag-uugnay sa O (0; 0) at A (1; 2).

2. Kalkulahin ang curvilinear integral kung saan ang L ay isang parabolic arc mula sa punto A(-1;1) hanggang sa punto B(1,1). I-bypass ang tabas ng anti-year arrow.

3. Kalkulahin ang curvilinear integral yakscho L - arc stake ano ang nasa 1 at 2 parisukat. I-bypass ang contour sa likod ng arrow ng taon.

4. Ang formula ng Zastosovuyuchi Green, kalkulahin ang integral, de L - ang tabas, ang mga solusyon ng linya at ang kabaligtaran na axis OX kapag nilalampasan ang tabas ng anti-Godinnikov arrow.

5. Itatag kung paano kinakalkula ang kalayaan ng isip ng integral sa direksyon ng pagsasama para sa integral at alam ang yoga.

6. Muling bisitahin, chi є mga gawain na may bagong kaugalian ng function na U(x, y), at alamin ang її.

7. Sa skin point ng force field, ang puwersa ay maaaring direktang negatibo at katumbas ng square ng abscissa ng program point. Upang malaman ang patlang para sa robot kapag gumagalaw ng isang solong parabolic mass mula sa punto (1,0) hanggang sa punto (0,1).

Opsyon 3

1. Kalkulahin ang curvilinear integral sa gilid ng arko (Cartesian coordinates).

1. de L - ang arko ng parabola ay nakikita ng parabola.

2. Kalkulahin ang curvilinear integral Ang yakscho L-wire ay isang tuwid na linya, na nagkokonekta sa mga punto A(0,1), B(2,3). I-bypass ang tabas ng anti-year arrow.

3. Kalkulahin ang curvilinear integral dahil ang L ay ang arko ng unang arko ng cycloid. I-bypass ang contour sa likod ng arrow ng taon.

4. Ang formula ng Zastosovuyuchi Green, kalkulahin ang integral de L – elіps Obkhіd contour ng arrow ng anti-godinnikov.

5. Itatag kung paano kinakalkula ang kalayaan ng isip ng integral sa direksyon ng pagsasama para sa integral at alam ang yoga.

6. Muling bisitahin, chi є mga gawain na may bagong kaugalian ng function na U(x, y), at alamin ang її.

7. Kalkulahin ang lakas ng robot at oras ng paggalaw ng materyal na punto ng itaas na kalahati ng ellipse mula sa punto A (a, 0), punto B (-a, 0).

Opsyon 4.

1. Kalkulahin ang curvilinear integral sa gilid ng arko (Cartesian coordinates).

1. de L - balangkas ng isang parisukat

2. Kalkulahin ang curvilinear integral kung saan ang L ay ang arko ng parabola ng punto А(0,0), hanggang sa punto (1,1). I-bypass ang tabas ng anti-year arrow.

3. Kalkulahin ang curvilinear integral yakscho L - ang itaas na kalahati ng ellipse I-bypass ang contour sa likod ng arrow ng taon.

4. Gamit ang Green formula, kalkulahin ang integral de L - ang tabas ng tricot na may vertices A (1; 0), B (1; 1), C (0.1). I-bypass ang tabas ng anti-year arrow.

6. Muling bisitahin, chi є mga gawain na may bagong kaugalian ng function na U(x, y), at alamin ang її.

7. Ang puwersa ay inilapat sa balat na punto ng stake, na may mga projection sa coordinate axis є Italaga ang puwersa sa robot para sa oras ng paglipat ng materyal na punto kasama ang stake. Bakit zero ang halaga ng robot?

Opsyon 5.

1. Kalkulahin ang curvilinear integral sa gilid ng arko (Cartesian coordinates).

De L - isang tuwid na linya na nag-uugnay sa mga puntos na 0 (0.0), і A (4; 2)

2. Kalkulahin ang curvilinear integral dahil ang L ay ang arko ng curved point na napupunta mula A(0.1) hanggang point B (-1,e). I-bypass ang tabas ng anti-year arrow.

3. Kalkulahin ang curvilinear integral bilang L - 1 quarter ng stake I-bypass ang contour sa likod ng arrow ng taon.

4. Ang formula ng Zastosovuyuchi Green, kalkulahin ang integral de L - contour, paligid at pag-bypass sa contour ng kabaligtaran na arrow.

5. Itatag kung paano kinakalkula ang kalayaan ng isip ng integral sa direksyon ng pagsasama para sa integral at alam ang yoga.

6. Muling bisitahin, chi є mga gawain na may bagong kaugalian ng function na U(x, y), at alamin ang її.

7. Ang patlang ay nilikha sa pamamagitan ng puwersa // = tuwid na paraan upang itakda ang hiwa mula sa tuwid na radius ng linya - ang vector ng punto її zastosuvannya. Upang malaman ang field para sa robot kapag ang materyal na punto ng mass m ay inilipat sa likod ng arko ng stake mula sa punto (a, 0) hanggang sa punto (0, a).

Opsyon 6

1. Kalkulahin ang curvilinear integral sa gilid ng arko (Cartesian coordinates).

De L - isang quarter ng isang stake, na namamalagi sa I quadrant.

2. Kalkulahin ang curvilinear integral yakcho L - laman ABC, A (1; 2), B (1; 5), C (3; 5). I-bypass ang tabas ng anti-year arrow.

3. Kalkulahin ang curvilinear integral bilang L ay ang itaas na kalahati ng stake I-bypass ang contour sa likod ng arrow ng taon.

4. Ang formula ng Zastosovuyuchi Green, kalkulahin ang integral de L - ang tabas, ang paligid, pag-bypass sa tabas ng arrow ng anti-godinnikov.

5. Itatag kung paano kinakalkula ang kalayaan ng isip ng integral sa direksyon ng pagsasama para sa integral at alam ang yoga.

6. Muling bisitahin, chi є mga gawain na may bagong kaugalian ng function na U(x, y), at alamin ang її.

7. Alamin ang gawain ng puwersa ng tagsibol, nang direkta sa cob ng mga coordinate, dahil ang punto ng pagwawalang-kilos ng puwersa ay naglalarawan sa kabaligtaran na arrow ng quarter ng ellipse kung ano ang nasa I quadrant. Ang magnitude ng puwersa ay proporsyonal sa distansya ng punto sa cob ng mga coordinate.

Opsyon 7.

1. Kalkulahin ang curvilinear integral sa gilid ng arko (Cartesian coordinates).

De L - bahagi ng parabola mula sa punto (1, 1/4) hanggang sa punto (2; 1).

2. Kalkulahin ang curvilinear integral de L - vertex ng tuwid na linya, na nag-uugnay sa mga puntos na B (1; 2) at B (2; 4). I-bypass ang tabas ng anti-year arrow.

3. Kalkulahin ang curvilinear integral bilang L - ang unang arko ng cycloid Sa pamamagitan ng contour sa likod ng year hand.

5. Itatag kung paano kinakalkula ang kalayaan ng isip ng integral sa direksyon ng pagsasama para sa integral at alam ang yoga.

6. Muling bisitahin, chi є mga gawain na may bagong kaugalian ng function na U(x, y), at alamin ang її.

7. Ang materyal na punto ng isang solong masa ay gumagalaw sa kahabaan ng stake sa ilalim ng direksyon ng puwersa, ang mga projection na kung saan ay nasa coordinate axis є . Mag-udyok ng lakas sa pumalo ng balat na taya. Alamin ang gawain ng tabas.

Opsyon 8.

1. Kalkulahin ang curvilinear integral sa gilid ng arko (Cartesian coordinates).

De L - tabas ng isang rektanggulo na may mga vertices sa mga puntos na 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2).

2. Kalkulahin ang curvilinear integral, halimbawa L ay ang arko ng parabola mula sa punto A (0; 0) hanggang sa punto B (1; 2). I-bypass ang tabas ng anti-year arrow.

3. Kalkulahin ang curvilinear integral yakscho L - bahagi ng isang stake 1. I-bypass ang contour sa likod ng taunang arrow.

4. Ang formula ng Zastosovuyuchi Green, kalkulahin ang integral de L - ang tabas ng tricot na may vertices A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1). I-bypass ang tabas ng anti-year arrow.

5. I-install, chi vykonuetsya isip pagsasarili ng integral sa paraan ng pagsasama para sa integral at alam yoga.

6. Muling bisitahin, chi є mga gawain na may bagong kaugalian ng function na U(x, y), at alamin ang її.

7. Ang materyal na punto ay gumagalaw na may isang ellipse pіd dієyu force, ang halaga nito ay ang pinakamahal na punto sa gitna ng ellipse at itinutuwid sa gitna ng ellipse. Kalkulahin ang lakas ng robot, bilang isang punto upang laktawan ang buong elіps.

Opsyon 9.

1. Kalkulahin ang curvilinear integral sa gilid ng arko (Cartesian coordinates).

De L - ang arko ng parabola, na nasa pagitan ng mga punto

A , (2;2).

2. Kalkulahin ang curvilinear integral kung saan ang L ay isang constriction ng isang tuwid na linya, na nag-uugnay sa mga puntong A (5; 0) at B (0.5). I-bypass ang tabas ng anti-year arrow.

3. Kalkulahin ang curvilinear integral, tulad ng L - ang arc ng ellipse sa pagitan ng mga punto, na magpapakita ng circumference ng contour sa likod ng year arrow.

4. Formula ng Zastosovuyuchi Green, kalkulahin ang integral de L - sa paligid ng tabas ng counter arrow.

5. Itatag kung paano kinakalkula ang kalayaan ng isip ng integral sa direksyon ng pagsasama para sa integral at alam ang yoga.

6. Muling bisitahin, chi є mga gawain na may bagong kaugalian ng function na U(x, y), at alamin ang її.

7. Sa punto ng balat ng kurba, isang puwersa ang inilapat, na ang mga projection sa mga coordinate axes ay nagpapahiwatig ng gawain ng puwersa kapag ang materyal na punto ng isang solong masa ay inilipat sa kahabaan ng kurba mula sa puntong M (-4; 0) hanggang sa puntong N (0; 2).

Opsyon 10.

1. Kalkulahin ang curvilinear integral sa gilid ng arko (Cartesian coordinates).

De L - isang tuwid na linya na nagdurugtong sa mga punto A

2. Kalkulahin ang curvilinear integral, halimbawa L ay ang arko ng curve mula sa puntong A(1;0) hanggang B(e,5). I-bypass ang tabas ng anti-year arrow.

3. Kalkulahin ang curvilinear integral dahil ang L ay ang arko ng stake kung ano ang nasa 1U square. I-bypass ang contour sa likod ng arrow ng taon.

4. Gamit ang Green formula, kalkulahin ang integral de L - ang tabas ng tricot na may vertices A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2). I-bypass ang tabas ng anti-year arrow.

5. Itatag kung paano kinakalkula ang kalayaan ng isip ng integral sa direksyon ng pagsasama para sa integral at alam ang yoga.

6. Muling bisitahin, chi є mga gawain na may bagong kaugalian ng function na U(x, y), at alamin ang її.

7. Ang puwersa ay inilapat sa punto ng balat ng linya, na ang mga projection ay nasa coordinate axes Kalkulahin ang robot na apektado ng puwersa kapag ang materyal na punto ay inilipat sa linya mula M (1; 0) hanggang sa puntong N (0; 3).

Lektura 4

Paksa: Green's formula. Linisin ang kalayaan ng curvilinear integral sa paraan ng pagsasama.

Formula ni Green.

Ang formula ng Green ay nagtatatag ng koneksyon sa pagitan ng isang curvilinear integral sa isang closed contour Г sa isang eroplano at isang lower integral sa isang lugar na napapalibutan ng isang contour.

Ang curvilinear integral sa isang closed contour Г ay ipinapahiwatig ng simbolong Closed contour Г ay nagsisimula sa pangunahing punto ng contour at nagtatapos sa point B. Ang integral sa isang closed contour ay hindi nagsisinungaling kung ang punto B ay napili.

Paghirang 1. Ang bypass ng contour G ay itinuturing na positibo, tulad ng pag-bypass sa contour G, ang lugar D ay nagiging kaliwete. Ang P + - circuit P ay lumalampas sa positibong direksyon, ang P - - circuit ay lumalampas sa negatibong direksyon. sa kabilang direksyon

G+

X

Y

c

d

X = x 1 (y)

X = x 2 (y)

a

b

B

C

Y=y 2 (x)

Y= y 1 (x)

m

n

Tingnan natin ang pinagbabatayan ng integral

.

Katulad nito, maaari itong maitalo na:

Mula sa pagkakapantay-pantay (1) at (2) kinakailangan:

Otzhe,

Nakumpleto na ang formula ng Green para sa mga durog na pagtanggal.

Paggalang 1. Ang formula ng Green ay nananatiling patas, tulad ng sa pagitan ng G rehiyon D at ang tunay na mga tuwid na linya, parallel sa axis Ang 0X o 0Y ay nagbabago nang mas mababa sa dalawang punto. Sa wakas, ang formula ng Green ay may bisa para sa mga n-stellar na rehiyon.

Hugasan ang kalayaan ng curvilinear integral bilang isang integration sa eroplano.

Sa talatang ito, madaling maunawaan, sa mga viconanies, halimbawa, ang curvilinear integral ay mahulog sa direksyon ng integration, at mahulog sa anyo ng cob at end point ng integration.

Teorama 1. Upang magkaroon ng isang curvilinear integral nang hindi nakahiga sa landas ng pagsasama sa isang solong link na rehiyon, ito ay kinakailangan at sapat, upang ang integral, ng pagkuha kasama ang isang saradong, shmatkovo-makinis na tabas sa rehiyong ito, ay umabot sa zero.

Patunay: Pangangailangan. Ito ay ibinigay: magdeposito sa direksyon ng pagsasama. Ito ay kinakailangan upang dalhin na ang curvilinear integral sa likod ng isang sarado, makinis-makinis na tabas ay katumbas ng zero.

Kumuha tayo ng ilang piecewise-smooth closed contour G malapit sa area D. Sa contour G, kumuha ng ilang point B at C.

G

D

n

m

B

C

Ang Oskіlki ay namamalagi sa landas ng pagsasama, kung gayon

, pagkatapos.

Kasaganaan. Ibinigay: Curvilinear integral Be-yakim zaknenim shmatkovo-makinis na tabas sa zero.

Kinakailangang patunayan na ang integral ay dapat ideposito sa direksyon ng pagsasama.

Tingnan natin ang curvilinear integral sa likod ng dalawang scrambled-smooth contours na nag-uugnay sa mga punto B at C. Sa likod ng isip:

Tobto. curvilinear

integral sa deposito sa direksyon ng pagsasama.

Teorama 2. Pumunta nang walang pagkaantala sa parehong oras sa mga pribadong paglalakad at sa isang one-link na espasyo D. Upang magkaroon ng isang curvilinear integral ang hindi pagtanggi sa landas ng pagsasama ay kinakailangan at sapat, upang ang dibisyon D ay nanalo

Patunay: Sapat. Ibinigay: . Kailangang magdala ng kung ano magdeposito sa direksyon ng pagsasama. Para kanino ito ay sapat na upang dalhin kung ano dovnyuє zero sa likod ng isang sarado, shmatkovo-makinis na tabas. Ayon sa pormula ng Green, maaari nating:

Pangangailangan. Ibinigay: Sa pamamagitan ng Theorem 1, ang curvilinear integral magdeposito sa direksyon ng pagsasama. Kailangang magdala ng kung ano

6. Ang formula para sa average na halaga ng sing integral.

7. Integral sa ibabaw ng nagbabagong itaas na hangganan. Yogo bezperervnіst na pagkita ng kaibhan.

8. Newton-Leibniz formula para sa sing integral.

9. Pagkalkula ng sing integral sa pamamagitan ng mga bahagi at pagpapalit ng pagbabago.

10. Pag-stitching ng sing integral (ang lugar ng flat figure, ang haba ng curved arc, ang volume ng body wrapping).

11. Pag-unawa sa serye ng numero ta yogo sumi. Pamantayan Koshі zbіzhnostі hilera. Kinakailangang katalinuhan.

12. Mga palatandaan ng Delambert at Koshі zbіzhnostі ryadіv іz nevid'єmnimi miyembro.

13. Integral sign ng Koshі zbіzhnostі number series.

14. Makabuluhang mga hanay ng numero. Ganap na mental zbіzhnist. Mga hilera ng mga palatandaan. Leibniz sign.

15. Functional na serye. Ang halaga ay mababa. Ang halaga ng pantay na kita ay mababa. Criterion Koshі pantay na kakayahang kumita ng functional series.

16. Weijerstras tanda ng kahit na buhay.

18. Hakbang hilera. Ang teorama ni Abel.

19. Radius ng buhay ng isang static na hilera. Ang Cauchy-Hadamard formula para sa radius ng radius ng static na serye.

21. Mga tungkulin ng mayamang pagbabago. Pag-unawa sa n-world Euclidean space. Isang impersonal na punto ng Euclidean space. Ang pagkakasunud-sunod ng mga puntos at її hangganan. Mga itinalagang function ng isang maliit na bilang ng mga pagbabago.

22. Sa pagitan ng mga function ng isang bilang ng mga pagbabago. Walang tigil na pag-andar. Mga pribadong pista opisyal

23. Pagtatalaga ng differential function ng isang bilang ng mga variable at її differential. Pokhіdnі at mga kaugalian ng mas mataas na mga order.

24. Ang pormula ni Taylor para sa kayamanan ng pagbabago. Ang extremum ng pag-andar ng isang maliit na bilang ng mga variable. Kailangang isip extremum. Sapat na isip extremum.

25. Sustained integral at yoga ng kapangyarihan. Zvedennya podvіynogo іtegral hanggang sa paulit-ulit.

27. Pagpapalit ng mga pagbabago sa ikatlong integral. Cylindrical at spherical coordinate.

28. Pagkalkula ng lugar ng isang makinis na ibabaw, ibinigay parametrically at tahasang.

29. Paghirang ng mga curvilinear integral ng una at iba pang uri, ang kanilang pangunahing kapangyarihan at pagkalkula.

30. Green's formula. Linisin ang kalayaan ng curvilinear integral sa paraan ng pagsasama.

31. Mababaw na integral ng una at iba pang uri, ang kanilang pangunahing kapangyarihan at kalkulasyon.

32. Theorem ng Gaus-Ostrogradsky, її notation sa coordinate at vector (invariant) na mga form.

33. Stokes formula, nakasulat sa coordinate at vector (invariant) na mga form.

34. Mga patlang ng Scalar at vector. Gradient, divergence, rotor. Potentiyne at saline field.

35. Operator ng Hamilton. (Nabla) yogo zastosuvannya (mag-apply).

36. Ang mga pangunahing konsepto na ginamit ay ang first-order differential equation (ode) ng unang order: ang pandaigdigang solusyon, ang global integral, ang integral curve. Zavdannya Koshі, її geometrically makabuluhan.

37. Pagsasama ng isang oda sa unang pagkakasunud-sunod na may mga pagbabago na nahahati, at pareho.

38. Pagsasama-sama ng mga linear odes ng unang pagkakasunud-sunod at pagkakapantay-pantay ng Bernoulli.

39. Pagsasama ng isang ode sa unang fret sa polar differentials. Pagsasama ng multiplier.

40. Differential equalities ng unang order, palaging magkatulad. Paraan ng paghiling ng parameter.

41. Equivalence ng n-th order na may pare-parehong coefficient. Katangiang pantay. Fundamental solution system (FSR) ng homogenous alignment, global solution ng heterogenous alignment.

42. Sistema ng mga linear differential equalities ng unang order. FSR ng isang homogenous na sistema. Isang nakasisilaw na pananaw ng isang homogenous na sistema.

30. Green's formula. Linisin ang kalayaan ng curvilinear integral sa paraan ng pagsasama.

Formula ng Green: Kung ang C ay sarado sa pagitan ng lugar D at ng mga function na P(x, y) at Q(x, y) kasama ng kanilang mga pribadong first-order na analog nang walang pagkaantala sa saradong lugar D (kabilang ang cordon C), kung gayon Ang formula ng Green ay wasto:, bukod pa rito, ang bypass sa paligid ng contour C ay pinili upang ang lugar D ay kaliwang kamay.

Tatlong lecture: Ibigay ang mga ibinigay na function na P(x,y) at Q(x,y) bilang mga hindi nagambalang domain D nang sabay-sabay mula sa mga pribado sa unang order. Integral sa ibabaw ng cordon (L), na eksaktong nakahiga sa rehiyon D at sumasakop sa lahat ng mga punto sa rehiyon D: . Ang positibong direkta sa tabas ay tulad, kung ang bahagi ng tabas ay napapalibutan ng isang kaliwang kamay.

Ang pagsasarili ni Umov sa curvilinear integral ng 2nd uri ng integration path. Ito ay kinakailangan na sapat na isip na ang curvilinear integral ng unang uri, na nag-uugnay sa mga punto M1 at M2, ay hindi namamalagi sa landas ng pagsasama, ngunit kasinungalingan lamang sa pumalo at dulo ng mga punto, equanimity:.

.

31. Mababaw na integral ng una at iba pang uri, ang kanilang pangunahing kapangyarihan at kalkulasyon.

- Surface manager.

Ipinapalabas namin ang S sa isang eroplano xy, kumuha kami ng isang board D. Gumuhit kami ng isang board D na may isang grid line sa bahagi, na tinatawag na Di. Mula sa punto ng balat ng linya ng balat, gumuhit kami ng mga parallel na linya z, pagkatapos ay nahahati ang i S sa Si. Idinaragdag namin ang integral sum: . Itinuturo namin ang maximum ng diameter Di sa zero:, kinukuha namin:

Ce ibabaw integral ng unang uri

Ito ay kung paano pumapasok ang surface integral ng unang uri.

Saglit na appointment. Bilang isang patakaran, mayroong isang limitasyon ng hangganan ng integral sum, kaya hindi posible na magsinungaling sa paraan ng paghahati ng S sa elementarya na plot Si at sa pagpili ng mga puntos, ang vin ay tinatawag na mababaw na integral ng unang uri. .

Kapag pumasa mula sa binagong x і y sa u at v:

P ang surface integral ay maaaring magkaroon ng lahat ng kapangyarihan ng stellar integral. Mas mataas ang diva sa pagkain.

Ang layunin ng integral sa ibabaw ay ibang uri, na siyang pangunahing kapangyarihan ng pagkalkulang iyon. Link mula sa integral ng unang uri.

Hayaang ibigay ang ibabaw S, napapaligiran ng isang linya L (Larawan 3.10). Posibleng magdagdag ng dalawang normal sa surface S sa surface S, na hindi maaaring double point na may cordon L. Balangkasin ang punto M sa likod ng contour L, pagpili ng normal na tuwid na linya.

Kung ang posisyon ng puntong M ay umiikot sa parehong normal na ito (at hindi kabaligtaran), kung gayon ang ibabaw na S ay tinatawag na dalawang panig. Maaari lamang tayong tumingin sa dalawang panig na ibabaw. Bilateral surface - ito man ay makinis na ibabaw na may katumbas.

Hayaang ang S ay isang dalawang-panig na bukas na ibabaw, na napapalibutan ng isang linyang L, upang walang punto ng pagtawid sa sarili. Pinipili namin ang parehong bahagi ng ibabaw. Tawagan natin ang positibong direktang bypass ng contour L na isang tuwid na linya, kasama ang Russia sa kabilang panig ng ibabaw, ang ibabaw mismo ay walang kasamaan. Ang isang dalawang-panig na ibabaw na naka-install dito sa isang positibong pagkakasunud-sunod sa pamamagitan ng isang direktang bypass ng mga contour ay tinatawag na isang oriented na ibabaw.

Lumipat tayo sa isang integral sa ibabaw ng ibang uri. Kumuha tayo ng double-sided surface S, na nabuo mula sa huling bilang ng mga piraso, leather mula sa ilang mga gawain na katumbas ng isip o isang cylindrical na ibabaw na may kasiya-siyang parallel axes Oz.

Hayaan ang R (x, y, z) - isang function, itinalaga at walang pagkagambala sa ibabaw S. Sa pamamagitan ng isang bilang ng mga linya, ang S ay nahahati sa isang sapat na pagkakasunud-sunod sa n "elementarya" na mga plot ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi , ..., ΔSn, kahit na inaantok na mga panloob na punto. Sa espasyo ng balat ΔSi, pipiliin namin ang puntong Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) sa isang makatwirang pagkakasunud-sunod. Hayaang ang (ΔSi)xy ay ang lugar ng projection ng plot ΔSi papunta sa coordinate plane Oxy, kinuha gamit ang "+" sign, upang ang normal sa surface S sa puntong Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) itinatakda ang Vіsyu Oz ay isang pagalit na hiwa, at may sign na "-", na nangangahulugan na ang hiwa na ito ay hangal. Idinaragdag namin ang integral sum para sa function na R(x,y,z) sa ibabaw ng S pagkatapos baguhin ang x,y: . Hayaang ang λ ang pinakamalaki sa mga diameter na ΔSi (i = 1, ..., n).

Kung mayroong isang pangwakas na hangganan, upang hindi magsinungaling sa paraan ng paghahati sa ibabaw S sa "elementarya" na plot ΔSi at pagpili ng isang punto, kung gayon ang vin ay tinatawag na integral sa ibabaw kasama ang napiling bahagi ng surface S sa function. R (x, y, z) para sa mga coordinate x, y ( o isang mababaw na integral ng ibang uri) at itinalaga .

Katulad nito, posibleng mag-udyok ng mga integral sa ibabaw sa mga coordinate x, z o y, z kasama ang kabaligtaran na bahagi ng ibabaw, iyon ay. і .

Pati na rin ang lahat ng integral, maaari mong ipakilala ang isang "high" integral sa tapat na bahagi ng surface: .

Ang isang mababaw na integral ng ibang uri ay maaaring nakadepende sa kapangyarihan ng integral. Ito ay mas magalang na kung ang anumang ibabaw na integral ng ibang uri ay nagbabago ng tanda ng pagbabago ng gilid ng ibabaw.

Mag-ugnay sa pagitan ng mga integral sa ibabaw ng una at iba pang uri.

Hayaang bigyan ang ibabaw ng pantay: z \u003d f (x, y), bukod pa rito, f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) - walang tigil na pag-andar malapit sa saradong rehiyon τ (ang projection ng surface S papunta sa coordinate plane Oxy), at ang function na R(x,y,z) ay tuloy-tuloy sa surface S. sides ng surface S. Todi.

Para sa isang zagalny vpadku maєmo:

=