Ταξινόμηση απρόσωπων φυσικών αριθμών. Η έννοια του φυσικού αριθμού και του μηδενός. Έκφραση του «ίσου», «λιγότερο», «μεγαλύτερο» σε απρόσωπους φυσικούς αριθμούς Κατανόηση της διατροφής για μαθηματική ανάλυση

Μια εναλλακτική στη N φυσική σειρά είναι ένας απρόσωπος φυσικός αριθμός που δεν αλλάζει τον φυσικό αριθμό a, άρα N = (x | x N i x a).

Για παράδειγμα, N ce απρόσωποι φυσικοί αριθμοί, οπότε μην αλλάζετε το 7, έτσι. Ν = (1,2,3,4,5,6,7).

Σημαντικά δύο πιο σημαντικές δυνάμεις στη φυσική σειρά:
1) Be-yaky vіdrіzok N εκδίκηση μοναξιά. Tsya vlastivistvo viplivaє іz vyznachennya vіdrіzka φυσική σειρά.
2) Εάν ο αριθμός x εξαφανιστεί από τον αντίπαλο N і x a, τότε ο αριθμός x + 1 έρχεται μετά από αυτούς και εξαφανίζεται στο N .

Το Bezlich A ονομάζεται kіtsevim, σαν να ήταν ίσο με το ίδιο αντίστοιχο της N φυσικής σειράς. Για παράδειγμα, απρόσωποι Και οι κορυφές του trikutnik, απρόσωποι οι βρωμές είναι ίσες με N = (1,2,3), δηλαδή. A~B~N .
Εφόσον ο αριθμός Α είναι μη κενός και ίσος με Ν, τότε ο φυσικός αριθμός a ονομάζεται αριθμός στοιχείων του πολλαπλασιαστή Α και γράφεται n(A) = a. Για παράδειγμα, αν Α είναι το πλήθος των κορυφών του τρικότα, τότε n(A) = 3.

Αν δεν ήταν άδειο, το kіtsev bezlіch ισούται με ένα και περισσότερα από ένα vіdrіzk της φυσικής σειράς, tobto. δέρμα endian πληθυντικός Και μπορεί να τεθεί σε έναν μοναδικά ίσο αριθμό α, έτσι ώστε το απρόσωπο Α να είναι αμοιβαία μονοσήμαντα στον αριθμό N.

Η διευθέτηση της αμοιβαίας και μιας αρχοντιάς είναι η ηθική των αφόρητων του αφόρητου πολυλίβου και στη φυσική σειρά να φαγώσουμε ένα άροτρο rakhunka A. Zkilka Πίσω από τις λατρείες του ίδιου αριθμού. Σε μια τάξη, όλοι οι πολλαπλασιαστές ενός στοιχείου θα μειωθούν, σε μια άλλη - οι πολλαπλασιαστές δύο στοιχείων κ.λπ. Ο πρώτος αριθμός μπορεί να θεωρηθεί ως η απόλυτη δύναμη της τάξης των πριγκίπων ίσης δύναμης. Με αυτή τη σειρά, από τη θεωρητική-πολλαπλή άποψη, ένας φυσικός αριθμός είναι η κύρια ισχύς της κλάσης των τερματικών πολλαπλασιαστών.

Ο αριθμός 0 μπορεί επίσης να είναι πολλαπλασιαστής-θεωρητικός - θα πρέπει να οριστεί σε έναν κενό πολλαπλασιαστή: n() = 0.

Επίσης, ένας φυσικός αριθμός ως χαρακτηριστικό της ποσότητας μπορεί να φανεί από δύο θέσεις:

1) ως ο αριθμός των στοιχείων στο σετ Α, που κέρδισε για ένα rahunka.
2) πόσο ισχυρή είναι η δύναμη της τάξης των kіtsevyh εξίσου ισχυρά πλήθη.

Η δημιουργία δεσμών μεταξύ τελικών πολλαπλασιαστών και φυσικών αριθμών μας επιτρέπει να δώσουμε μια πολλαπλασιαστική-θεωρητική θόλωση του «λιγότερου».

Αν a = n(A), b = n(B), τότε ο αριθμός a είναι μικρότερος από τον αριθμό b, ακόμα κι αν μόνο ο πολλαπλασιαστής A είναι ίσος με τον υποπολλαπλασιαστή ισχύος του πολλαπλασιαστή, τότε. A ~ B, de B, B, B (Εικ. 1) . Abo αν στη φυσική σειρά N є ας πάρουμε πολλή δύναμη vіdrіzka N, tobto. N N .

Οι αριθμοί а і b ίσοι, οι βρωμές yakscho είναι ίσοι με ίσα πολλαπλάσια: a = k А~B de n(A) = a, n (B) = k. Για παράδειγμα, 2 = 2, επειδή n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.

Η κυριαρχία του όρου «λιγότερο» για τους φυσικούς αριθμούς είναι επίσης παρόμοια με τον πολλαπλασιαστή-θεωρητικό θόλωμα: η μεταβατικότητα και η αντισυμμετρία αυτού του όρου σχετίζεται με αυτόν, ο οποίος είναι μεταβατικός και αντισυμμετρικός του όρου «γίνεται πολλαπλασιαστής».

Αποδεικνύεται ότι η πολυθεωρητική ερμηνεία του «λιγότερου» για φυσικούς αριθμούς, που είναι 2
Ας πάρουμε τον πολλαπλασιαστή Α, για να εκδικηθούν 2 στοιχεία, και τον πολλαπλασιαστή Β, για να εκδικηθούν 5 στοιχεία, tobto. n(A) = 2, n(B) = 5. Για παράδειγμα, A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). Από τον πολλαπλασιαστή B μπορείτε να δείτε τον υποπολλαπλασιαστή, τον ίσο πολλαπλασιαστή A: για παράδειγμα B = (c, d) і A ~ B.
Δικαιοσύνη για το Ν
Tsyu nerіvnіst μπορείτε να κοιτάξετε το μικρό 2. Έλα το 2 είναι ο αριθμός των πτυχών και το 5 είναι ο αριθμός των τετραγώνων. Εάν βάλετε τους κύκλους στα τετράγωνα, τότε είναι ασφαλές να πούμε ότι μέρος των τετραγώνων έχει μείνει ημιτελές.

Otzhe, ο αριθμός των πτυχών είναι μικρότερος από τον αριθμό των τετραγώνων, tobto. 2
Πολλαπλασιαστής-θεωρητική αίσθηση ανομοιομορφίας 0

Η ευθυγράμμιση των αριθμών στο μάθημα του cob των μαθηματικών αναπτύσσεται με διαφορετικούς τρόπους - βασίζεται σε όλες τις προσεγγίσεις που εξετάσαμε πριν ερμηνεύσουμε τη φράση "λιγότερο".

Θεωρήματα για τον «μεγαλύτερο» και τον «λιγότερο» αριθμό

Θεώρημα 4 (σχετικά με τον «λιγότερο» αριθμό). Αν δεν ήταν άδειο, περιτριγυρισμένο από το κάτω μέρος των απρόσωπων αριθμών, εκδικηθείτε τον μικρότερο αριθμό. (Εδώ, όπως και στην περίπτωση των φυσικών αριθμών, η λέξη «πολλαπλός» αντικαθίσταται από τη λέξη «πολλαπλός» Ε

Φέρνοντας. Έστω Ο Α Ζ η Α είναι κρόσσι από κάτω, τομπτο. 36; Zva; Α(β)< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

Έλα τώρα LA.

Todi Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >Ο).

Ας κάνουμε απρόσωπο Μ από όλους τους αριθμούς με τη μορφή a - b, de probіgaє απρόσωπο A, tobto. M \u003d (s [c \u003d a - b, a E A)

Είναι προφανές ότι το απρόσωπο Μ δεν είναι κενό, τα θραύσματα Α 74 0

Το Yak είναι υψηλότερο, M C N . Αργότερα, ακολουθώντας το θεώρημα o r a l n o m h i s l e (54, κεφ. III), ο πολλαπλασιαστής M έχει τον μικρότερο φυσικό αριθμό m. A, και θραύσματα τουλάχιστον στο M, τότε Wah; Στο< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

Θεώρημα 5 (σχετικά με τον «μεγαλύτερο» ακέραιο). Να είσαι κάτι που δεν είναι κενό, να περιβάλλεις το θηρίο των απρόσωπων αριθμών, για να εκδικηθείς τον μεγαλύτερο αριθμό.

Φέρνοντας. Έστω O 74 AC Z i A περιβάλλεται από το θηρίο με τον αριθμό b, έτσι. ? ZVa e A(a< Ь). Тогда -а >β για όλους τους αριθμούς α; ΑΛΛΑ.

Αργότερα, ο πολλαπλασιαστής M (z g \u003d -a, a? A) δεν είναι κενός και περιβάλλεται από τον αριθμό (-6) παρακάτω. Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, ο πολλαπλασιαστής Μ έχει τον μικρότερο αριθμό, δηλαδή. άσσος? ΔΠΔ; Μ (ζ< с).

Tse σημαίνει τι Wah; Οπως και< -а), откуда Уа? А(-с >ένα)

Ζ. Διαφορετικές μορφές της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής ακέραιων αριθμών. Θεώρημα για το πλεόνασμα podіl іz

Θεώρημα 1 (η πρώτη μορφή της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής). Έστω P(s) - απλή κατηγορηματική, αναθέσεις σε πολλαπλάσια Z ακέραιων αριθμών., 4 . Με τον ίδιο τρόπο Για τον deyaky NUMBER και Z η πρόταση P (o) і Για έναν επαρκή ακέραιο αριθμό K > a z P (K) γλίστρησε P (K -4- 1), τότε η πρόταση P (g) είναι σωστή Για όλους τους αριθμούς z > a (έτσι στον πολλαπλασιαστή Z є ο αληθινός τύπος για τον υπολογισμό των κατηγορημάτων είναι:

P(a) cibulya > + 1)) Vus > aP(s)

για κάθε σταθερό ακέραιο α

Φέρνοντας. Αφήστε τις προτάσεις P (c) να είναι αληθείς σε όλα, για να πάμε για το μυαλό του θεωρήματος, tobto.

1) P(a) - true;

2) Το KK SC σε + ισχύει επίσης.

Κάπως απαράδεκτο. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει τέτοιος αριθμός

b> a, sho RF) - γεια. Είναι προφανές ότι το a, oskіlki R (a) είναι αλήθεια. Ικανοποιητικά απρόσωπο M = (z?> a, P (z) - hibno).

Todi bezlich M0, oskіlki L; Τα Μ και Μ οριοθετούνται παρακάτω από τον αριθμό α. Αργότερα, μετά το θεώρημα για το na i m e n n m e l e l o m h i sl (Θεώρημα 4, 2), ο πολλαπλασιαστής M έχει τον μικρότερο αριθμό c. Zvіdsi z\u003e a, sho, μαύρο μου, τράβηγμα s - 1\u003e a.

Ας πούμε ότι το Р(с-1) είναι αλήθεια. Εάν c-1 = a, τότε το P (c-1) είναι αληθές λόγω του νου.

Έστω c-1 > a. Todi pripuschennya, scho R (s-1) - hibno, τραβώντας πίσω του την κατοχή του s 1; M, που δεν μπορεί να είναι αλλά, ο αριθμός των s είναι ο μικρότερος στο M.

Με αυτή τη σειρά, s - 1> a και P (c - 1) - αληθές.

Σκεφτείτε την πρόταση P((c- 1) + 1) από την πρόταση P((c- 1) + 1) - αυτό είναι αλήθεια. R(s) - αληθές. Tse superechit την επιλογή του αριθμού γ, oskіlki; Το θεώρημα έχει ολοκληρωθεί.

Με σεβασμό, αυτό το θεώρημα είναι μια στενή συνέπεια του συμπερασμάτων 1 στα αξιώματα του Peano.

Θεώρημα 2 (άλλη μορφή της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής ακεραίων). Έστω P (s) - deaky one-m_sny predshsatp, vizna-day) σε ένα πλήθος ακεραίων Z. Ωστόσο, η πρόταση P (c) ισχύει για έναν δεκαδικό ακέραιο αριθμό K και για έναν επαρκή ακέραιο αριθμό s Για τη διόρθωση της πρότασης P (c) Για όλους τους ακέραιους αριθμούς που ικανοποιούν τις ανωμαλίες του K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >Πριν.

p align="justify"> Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος είναι πλούσια, γι' αυτό επαναλαμβάνω την απόδειξη ενός παρόμοιου θεωρήματος για φυσικούς αριθμούς (Θεώρημα 1, 55, Κεφ. ΙΙΙ).

Θεώρημα 3 (η τρίτη μορφή της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής). Έστω P(s) - ένα μονό κατηγόρημα, αναθέσεις στον πολλαπλασιαστή Z cіlіs CHІСі. Αν το P(c) είναι αληθές Για όλους τους αριθμούς του δεκαδικού πολλαπλασιαστή M μηδενικών φυσικών αριθμών i Για έναν επαρκή ακέραιο a C είναι αληθής P(a) τότε το P(a - 1) είναι αληθές, τότε η πρόταση P(c) είναι αλήθεια Για όλους τους αριθμούς.

Η απόδειξη είναι ανάλογη με την απόδειξη του διπλού θεωρήματος για τους φυσικούς αριθμούς.

Proponuemo yogo σαν τσικάβα σωστά.

Αξίζει να σημειωθεί ότι στην πράξη η τρίτη μορφή της μαθηματικής επαγωγής είναι πιο έντονη, χαμηλότερη και χαμηλότερη. Εξηγείται ότι για το її zastosuvannya είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τον άπειρο υποπολλαπλασιαστή M του πολλαπλασιαστή των φυσικών αριθμών, θα είναι ξεκάθαρο στο θεώρημα. Η γνώση ενός τέτοιου πολλαπλασιαστή μπορεί να φαίνεται σε δύσκολες εργασίες.

Ale, το πλεονέκτημα της τρίτης μορφής πριν από τις άλλες έγκειται στο γεγονός ότι η πρόσθετη πρόταση P (c) φέρεται σε όλους τους ακέραιους αριθμούς.

Παρακάτω στοχεύουμε τον πισινό της τρίτης μορφής zastosuvanya». Άλε, πλάτη με πλάτη, ο ντάμο είναι μια πιο σεβαστή κατανόηση.

Ραντεβού. Η απόλυτη τιμή ενός ακέραιου αριθμού a είναι ο αριθμός που εκχωρείται σύμφωνα με τον κανόνα

0, αν a O a, αν a > O

Ένα yakscho α< 0.

Otzhe, σαν ένα 0, τότε; Ν.

Προτείνεται στον αναγνώστη ότι έχει το δικαίωμα να φέρει τέτοια δύναμη σε απόλυτο μέγεθος:

Θεώρημα (περί υπερχείλισης). Για οποιονδήποτε αριθμό αριθμών a i b, de b 0, iсnuє i πριν από αυτό, υπάρχει μόνο ένα ζεύγος αριθμών q U m έτσι ώστε a r: bq + T L D.

Φέρνοντας.

1. Βάση του στοιχήματος (q, t).

Έστω α, β; Z i 0. Δείχνεται ότι υπάρχει ζεύγος αριθμών q i

Η απόδειξη πραγματοποιείται με επαγωγή στην τρίτη μορφή για την ποσότητα α με σταθερό αριθμό β.

Μ = (mlm = n lbl, η? Ν).

Είναι προφανές ότι το M lt είναι μια έκφραση f: N M, η οποία καθορίζεται από τον κανόνα f (n) = nlbl για οποιοδήποτε n; Το Ν είναι μια διχοτόμηση. Τσε σημαίνει ότι Μ Ν, αυτό. Μ-αδιάκριτα.

Ας πούμε ότι από έναν συγκεκριμένο αριθμό α; Ο M (ι L-σταθερός) ισχυρισμός του θεωρήματος για τη βάση του ζεύγους αριθμών q і t είναι αληθής.

Αλήθεια, ας είναι ένα (- M. Todi a pf! για ένα πραγματικό p;

Αν b > 0, τότε a \u003d n + O. Θεωρώντας τώρα q \u003d n και m O, παίρνουμε το απαραίτητο ζεύγος αριθμών q και m.< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

Zrobimo τώρα επαγωγικό επίδομα. Ας υποθέσουμε ότι από έναν επαρκή ακέραιο αριθμό s (και έναν επαρκή σταθερό b 0) ο ισχυρισμός του θεωρήματος είναι αληθής, τότε. είναι ένα ζεύγος αριθμών (q, m) τέτοιο ώστε

Μπορεί να φανεί ότι είναι πιο σωστό i για τον αριθμό (з 1). Το Z ισούται με s \u003d bq -4 - viplivaє bq + (t - 1). (ένας)

Πιθανόν να πέσει.

1) t\u003e 0. Todі 7 "- 1\u003e 0. Σε αυτό το σημείο, έχοντας βάλει - t - 1, παίρνουμε z - 1 - bq + Tl, de para (q, 7" 1,) προφανώς ευχαριστεί το μυαλό

0. Todi h - 1 bq1 + 711 de q1

Χωρίς εξάσκηση είναι πιθανό το 0< < Д.

Με αυτή τη σειρά, η σταθερότητα είναι αληθής και για ένα στοίχημα αριθμών

Το πρώτο μέρος του θεωρήματος έχει ολοκληρωθεί.

P. Μονό στοίχημα q і κ.λπ.

Ας υποθέσουμε ότι για τους αριθμούς a i b 0 είναι δυνατό να καθοριστούν δύο ζεύγη αριθμών (q, m) i (q1, έτσι ώστε να ικανοποιηθούν τα μυαλά (*)

Για να δούμε ότι ξεφεύγουν οι βρωμιές. Ελα τώρα

i a bq1 L O< Д.

Zvіdsi vyplivaє, scho b(q1 -q) t-7 1

Ας υποθέσουμε τώρα ότι q ql, μετά q - q1 0, αστέρια lq - q1l 1. - q11 D. (3)

Vodnocha іz nerіvnosti 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

Είσαι νιώθω:

1. Συμπληρώστε τις αποδείξεις των θεωρημάτων 2 και 3 από 5 1.

2. Συμπληρώστε το συμπέρασμα 2 από το Θεώρημα 3, 1.

3. Για να προσθέσετε, ποιο είναι το άθροισμα του NS Z, τι αθροίζεται από τους αριθμούς που δίνονται στη μορφή< п + 1, 1 >(n? N), κλειστός τρόπος αναδίπλωσης αυτού του πολλαπλασιασμού.

4. Έστω το Ν να σημαίνει εκείνα τα ίδια απρόσωπα πράγματα στα οποία έχετε το δικαίωμα 3. Φέρτε αυτό που βλέπετε j: M ευχαριστεί τα μυαλά:

1) ј - bієktsіya;

2) j(n + m) = j(n) + j(m) και j(nm) = j(n) j(m) για οποιουσδήποτε αριθμούς n, m , i (H, +,).

5. Συμπληρώστε την απόδειξη του Θεωρήματος 1 από 2.

6. Για να αποδείξετε ότι για οποιονδήποτε αριθμό αριθμών a, b, ισχύουν οι ακόλουθες συνέπειες:

7. Πείτε σε έναν φίλο ότι το τρίτο του θεωρήματος από το Ζ.

8. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός των Ζ ακεραίων δεν εκδικείται τους αριθμούς του μηδενός.

Βιβλιογραφία

1. Μπουρμπάκη Ν. Θεωρία πολλαπλών. Μ.: Svit, 1965.

2. Vinogradiv I. Μ. Βασικές αρχές της θεωρίας αριθμών. Μ.: Nauka, 1972. Z. Demidov I. Τ. Δώστε αριθμητική. Μ: Uchpedgiz, 1963.

4. Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Βασικές αρχές της θεωρίας ομάδων.

Μ: Nauka, 1972.

5. Κοστρίκιν Α. Ι. Εισαγωγή στην Άλγεβρα. Μ: Nauka, 1994.

σι. Kulikov L. Ya. Άλγεβρα και θεωρία αριθμών. Μ: Βίσσα. σχολείο, 1979.

7. Kurosh A.G. Η πορεία της πιο εξελιγμένης άλγεβρας. Μ: Nauka, 1971.

8. Lyubetsky V. A. Βασικές έννοιες των σχολικών μαθηματικών. Μ: Prosvitnitstvo, 1987.

9. Lyapin ES. αυτο μεσα. Ακριβώς από τη θεωρία των ομάδων. Μ: Nauka, 1967.

10. Maltsev A. I. Αλγεβρικά συστήματα. Μ: Nauka, 1970.

11. MenDelson Ege. Εισαγωγή στη μαθηματική λογική. Μ: Nauka, 1971.

12. Nechaev V. I. Αριθμητικά συστήματα. Μ: Prosvitnitstvo, 1975.

13. Novikov P.S. Στοιχεία μαθηματικής λογικής. M.. Nauka, 1973.

14. Petrova V. T. Lectures on Algebra and Geometry.: U 2 year.

CHL. Μ: Βλάδος, 1999.

15. Σοχάσνη ενέδρα σχολικού μαθήματος μαθηματικών Avt. πίστωση: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. Μ: Prosvitnitstvo, 1980.

16. L. A. Kushnir, Elements of Algebra. Μ: Nauka, 1980.

17. Stom R.R. Απροσωπία, λογική, αξιωματικές θεωρίες. Μ.; Osvita, 1968.

18. Stolyar A. A. Λογική εισαγωγή στα μαθηματικά. Μινσκ: VISCHII. σχολείο, 1971.

19. V. P. Filippov, Algebra and Number Theory. Volgograd: VGPІ, 1975.

20. Frenkel A., Bar-Hilel I. Δώστε τη θεωρία των πολλαπλασίων. Μ: Svit, 1966.

21. Συστήματα παραγγελιών Fuchs L. Chastkovo. Μ.: Svit, 1965.

Αρχικά φάνηκε

Volodymyr Kostyantinovich Kartashov

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Επικεφαλής βοήθεια

Εκδοτική προετοιμασία Ο. Ι. Molokanova Πρωτότυπη διάταξη σχεδιασμένη από τον O. P. Boshchenko

«PR 020048 με ημερομηνία 20.12.96

Υπογράφηκαν μεταξύ τους στις 28.08.99. Μορφή 60x84/16. Γραφείο ναρκωτικών. κεραία. τύπου. Μ 2. Ουέλ. pich. μεγάλο. 8.2. Uch.-view. μεγάλο. 8.3. Κυκλοφορία 500 αντίτυπα. Μαγεία 2

Vidavnitstvo "Zmina"

Ένας φυσικός αριθμός είναι ο ακέραιος αριθμός, σαν να κερδίζει ένα rahunka αντικειμένων. Vono viniklo z πρακτικές ανάγκες των ανθρώπων. Η ανάπτυξη της κατανόησης του φυσικού αριθμού μπορεί να χωριστεί σε διάφορα στάδια: 1. οι ηλικιωμένοι, για να ξεπεράσουν την ασημαντότητα, καθιέρωσαν τα βασικά: για παράδειγμα, τους πάτους, τα δάχτυλα στα χέρια. Nedolik - por_vnyuvani mnozhini vinni buli αλλά μία ώρα διαθέσιμη για επιθεώρηση. 2. Bezlich - μεσάζοντες, για παράδειγμα, πέτρες, χελώνες, μπαστούνια. Η έννοια του kіlkіst είναι πιο αναδιπλωμένη. І αριθμοί που συνδέονται με συγκεκριμένα θέματα. 3. Εμφάνιση αριθμού (προσδιορισμός αριθμού με τα ορατά ψηφία). Η γέννηση των μαθηματικών. Η αριθμητική ως επιστήμη προέρχεται από τα εδάφη της αρχαίας καταγωγής - Κίνα, Ινδία, Αίγυπτος, μακρινή ανάπτυξηστην Ελλάδα. Ο όρος «φυσικός αριθμός» χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τις ρωμαϊκές διδασκαλίες του Βοέτιου. Το Rakhunok είναι απαραίτητο για να ορίσετε πολλά χρήματα. Rozіb'єmo όλοι οι πολλαπλασιαστές kіlkіsnі στην κλάση ισοδυναμίας, για παράδειγμα, σε μία κατηγορία ισοδυναμίας. να δεις τις απρόσωπες κορυφές των trikutniks, τις πλευρές της πλατείας, τα απρόσωπα γράμματα της λέξης φως. Εάν συνεχίσετε αυτή τη διαδικασία, τότε μέσω αυτών που έχουν ισοδυναμία - όλα είναι εξίσου δυνατά. Kіntsevі πολλαπλασιάστηκε vyyavlyatsya για τις τάξεις. Οτι. θεωρητικά - η πληθώρα του φυσικού αριθμού kіlkіsnogo - є zagalna vlastіvіst τάξη kіncevih εξίσου ισχυρούς πληθυντικούς. Η κατηγορία δέρματος έχει τον δικό της αριθμό. Το μηδέν έχει οριστεί σε κενό πολλαπλασιαστή.

Οι αριθμοί Α και Β λέγονται ίσοι, γιατί είναι ίσοι σε αριθμό.

Μια τέτοια μέθοδος μένει στάσιμη στις τάξεις στάχυ.

Η τεχνική της εργασίας σε εργασίες που αποκαλύπτουν τις συγκεκριμένες έννοιες του αριθμητικού diy.

Οι αριθμητικές εργασίες στο μάθημα των μαθηματικών καταλαμβάνουν σημαντική θέση. Mayzhe μισή ώρα πριν από μια ώρα μαθήματα μαθηματικών για να εισαχθεί στην ολοκλήρωση της εργασίας. Όλο το μεγάλο πνευματικό και φωτιστικό ρολό, που παίζει η βρώμα κάτω από την ώρα της παιδείας των παιδιών. Οι αριθμητικές εργασίες Virishennya βοηθούν να αποκαλυφθούν τα βασικά μαθηματικά των αριθμητικών ενεργειών, να συγκεκριμενοποιηθούν και να συσχετιστούν με την κατάσταση της τραγουδιστικής ζωής. Zavdannya να αναλάβει μαθηματικά καταλαβαίνω, Vіdnosin, νόμοι. Όταν η εργασία εκπληρωθεί, τα παιδιά αναπτύσσουν αρκετό σεβασμό, προσοχή, πιο λογική σκέψη, Mova, kmіtlivist. Ο στόχος είναι να αναπτυχθούν τέτοιες διαδικασίες γνωστικής δραστηριότητας όπως η ανάλυση, η σύνθεση, η ευθυγράμμιση και η τελειοποίηση.

Κατά τη διαδικασία επίλυσης αριθμητικών εργασιών, οι μαθητές μαθαίνουν να σχεδιάζουν και να ελέγχουν τις δραστηριότητές τους, να ανοίγουν την αποδοχή, τον αυτοέλεγχο (επαναβεβαίωση εργασιών, εκτίμηση των εργασιών στη συνέχεια) ταλαντεύονται στην αλαζονεία τους, θέληση, αναπτύσσουν ενδιαφέρον μέχρι το σημείο επίλυσης εργασιών. Μεγάλος είναι ο ρόλος του virishennya zavdan στην προετοιμασία των παιδιών για τη ζωή, για το μέλλον εργασιακή δραστηριότητα. Κατά την επίλυση των εργασιών της πλοκής, οι μαθητές αρχίζουν να μετατοπίζονται μεταξύ αντικειμένων και τιμών στη «γλώσσα των μαθηματικών». Στα αριθμητικά καθήκοντα, το αριθμητικό υλικό είναι νικηφόρο, το οποίο εμπνέει την επιτυχία της χώρας στις διάφορες γκαλερί του λαϊκού κράτους, του πολιτισμού και της επιστήμης. Το Tse spryaє διευρύνει τους ορίζοντες των μαθητών, εμπλουτισμένο με νέες γνώσεις για την επίκαιρη δράση. Uminnyam vyrishuvati αριθμητική zavdannya uchnі opanovuyut με μεγάλες δυσκολίες.

Οι λόγοι για τα συγχωρετικά καθήκοντα των παιδιών μας φωνάζουν μπροστά στις ιδιαιτερότητες του μυαλού τους. Στη διαδικασία navchannya rozvyazannyu οι εργασίες θα πρέπει να τεντώνονται μοναδικά στην κορυφή της εργασίας του πρώτου μυαλού, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η προσέγγιση της rozvyazannya των εργασιών, να προσανατολιστείτε στην απλή κατάσταση ζωής, τις περιγραφές της εργασίας , η εξέταση της εργασίας, η εξέταση του δεδομένου οράματος. Στη διαδικασία επεξεργασίας οποιουδήποτε αριθμητικού προβλήματος, μπορείτε να δείτε τα ακόλουθα στάδια:

1. Εργαστείτε στον διαχειριστή εργασιών.

2. Επίλυση προβλημάτων Poshuk.

3. Επίλυση προβλημάτων.

4. Διατύπωση γνώμης.

5. Αναθεώρηση της επίλυσης προβλημάτων.

6. Μακριά από το ρομπότ πάνω από τις κορυφαίες εργασίες.

Εννοώ τον σεβασμό του επόμενου να κολλήσει τα ρομπότ πάνω από το ζμιστ του εργοστασίου, tobto. πάνω από την κατανόηση της κατάστασης στα καθήκοντα, τη δημιουργία αγρανάπαυσης μεταξύ danim και shukanim. Η σειρά των εργασιών για την κατάκτηση της εργασίας.

α) ανάλυση αδαών λέξεων και βιραζιβών.

β) ανάγνωση του κειμένου που έδωσε ο δάσκαλος και μάθηση.

γ) ένα αρχείο με τον νου της εργασίας.

δ) επανάληψη της τροφής.

Ο Vyraznym διαβάζει το κείμενο του επικεφαλής της επόμενης μελέτης. Είναι απαραίτητο να θυμάστε ότι τα παιδιά χρειάζεται ιδιαίτερα να διαβάσουν μια διαφημιστική ανάγνωση, δεν μπορούν να διαβάσουν την εργασία σωστά από μόνα τους, δεν μπορούν να κανονίσουν λογικές φωνές κ.λπ.

Η σειρά συγκεκριμενοποίησης της εργασίας για πρόσθετα θέματα, στένσιλ και μικρά παιδιά στην εξάσκηση των ρομπότ σε σχολεία μεγάλου πλάτους διαμορφώθηκε σε τέτοια μορφή για να καταγράψει την ανάθεση της εργασίας:

1. Η μορφή της σημείωσης συντομεύεται, όταν στο κείμενο της εργασίας, γράψετε αριθμητικά δεδομένα και μόνο λίγες λέξεις και λέξεις, όπως είναι απαραίτητο για την κατανόηση της λογικής έννοιας της εργασίας.

2. Μια σύντομη δομική μορφή γραφής, εάν το λογικό τμήμα της εργασίας είναι γραμμένο από μια νέα σειρά.

3. Σχηματική μορφή της εγγραφής.

4. Γραφική μορφή γραφής.

Εφόσον η λειτουργία ελέγχου στα παιδιά είναι εξασθενημένη, τότε η επανεξέταση του rozvyazannya zavdannya μπορεί να φωτιστεί και να έχει σημασία. Στις μικρότερες τάξεις είναι απαραίτητο:

1. Διατυπώστε προφορικά τις εργασίες, περιφέροντας πάνω από τα αντικείμενα.

2. Επανεξετάστε την πραγματικότητα της κατάστασης.

3. Επανεξετάστε την επάρκεια του μυαλού και της τροφής του φυτού. Ο επανέλεγχος της λύσης των εργασιών με άλλους τρόπους її vyshennya είναι δυνατός από την 4η τάξη.

Προκειμένου να ελέγχεται η ορθότητα της ανάπτυξης της εργασίας, είναι απαραίτητο να επιλέξετε και να ενεργήσετε στα στοιχεία της προγραμματισμένης εκπαίδευσης. Αυτό το στοιχείο είναι ακόμη πιο αισιόδοξο, που θα λάβω για άλλη μια φορά υπόψη μου την ορθότητα του τσι και τη συγγνώμη των δικών μου πράξεων. Για τη συγχώρεση της απόφασης των κρασιών, υπάρχουν νέοι τρόποι κερασιού.

Ο δάσκαλος στο σχολείο είναι πολύ πιθανό να τραγουδηθεί ότι η rozvyazannya avdannya διαφωτίστηκε από τις διδασκαλίες. Είναι καλύτερα γι 'αυτόν να εκτελέσει το έργο της επιδιόρθωσης της ολοκλήρωσης αυτής της εργασίας. Η εργασία των σταθερών εργασιών μπορεί να πραγματοποιηθεί με διάφορους τρόπους.

1. Δημιουργήστε ένα πανεπιστημιακό φαγητό για να σώσετε την ημέρα.

2. Proponuetsya rozpovіsti όλα rozvyazannya zadovі z obґruntuvannyam vyboru dіy.

3. Βάλτε φαγητό μέχρι okremih diy chi food. Για τους μαθητές, ο αριθμός των αποκλίσεων ανάλογων εργασιών είναι σημαντικός και η κατανόηση της κατάστασης του θέματος είναι σημαντική μεταξύ τους. Tsіy metі і να υπηρετήσει μακριά ως ρομπότ για τις εργασίες της εργασίας, καθώς μπορείτε να δείτε πόσο σημαντικό είναι να σχηματίσετε την αρχή αυτής της εργασίας. Για την καλύτερη κατανόηση του αντικειμένου, της εργασίας, των παρατάξεων μεταξύ των δεδομένων και του shukani, η τελειοποίηση της εργασίας από τα καθημερινά αριθμητικά δεδομένα, γραμμένα όχι με αριθμούς, αλλά με λέξεις. Προσέξτε να δείξετε ότι οι καλύτεροι δάσκαλοι είναι ευρέως νικητές ως μία από τις μεθόδους διδασκαλίας των εργασιών της τακτοποίησης εργασιών από τους ίδιους τους δασκάλους.

Η σειρά της εργασίας βοηθά τα παιδιά να κατανοήσουν καλύτερα τη ζωή-πρακτική σημασία της εργασίας, να κατανοήσουν καλύτερα τη δομή της και να μάθουν να διαφοροποιούν την εργασία διαφορετικών ειδών, να κατανοούν την απόφαση. Η διάταξη των εργασιών πραγματοποιείται παράλληλα με τις αποφάσεις των προετοιμασμένων εργασιών. Dosvid ότι η προσοχή θα δείξει ότι είναι ευκολότερο για την αναδιπλωμένη εργασία uchnіv chastkovo. Γλιστρήστε για να τονωθεί ο σχηματισμός των διδασκαλιών των επικεφαλής των διαφόρων οικοπέδων. Tse spryaє razvitku їhnyoї vyavlyaet επιείκεια, іnіtsiativi. Είναι πιο ενοχλητικό, αν για την αποθήκευση του διευθυντή του σχολείου παίρνουν το υλικό που «παίρνουν» για μια ώρα εκδρομές, από dovіdnikіv, εφημερίδες, περιοδικά κ.λπ. Οι μαθητές των ανώτερων τάξεων πρέπει να μάθουν πώς να γράφουν και να γράφουν επαγγελματικά έγγραφα που σχετίζονται με αυτά και άλλα rosrahunka. Για παράδειγμα, γράψτε μια επιστολή έγκρισης, συμπληρώστε τη φόρμα για μια παραγγελία σεντ μια χαρά. Όλα τα υψηλότερα ραντεβού μπορούν να χρησιμοποιηθούν ευρέως στον εορτασμό όλων των ειδών εργασιών.

Μια απλή αριθμητική εργασία ονομάζεται εργασία, σαν να πρόκειται να λυθεί μια αριθμητική εργασία. Συγχωρήστε το zavdannya να παίξει τον υπερ-πρωταρχικό ρόλο της ώρας διδασκαλίας των μαθηματικών. Οι απλούστερες εργασίες σας επιτρέπουν να επεκτείνετε τις βασικές γνώσεις και να συγκεκριμενοποιήσετε αριθμητικές συναρτήσεις, να διατυπώσετε αυτές και άλλες μαθηματικές έννοιες. Συγχωρήστε τη σειρά της σειράς αναδίπλωσης της αποθήκης, αργότερα, διαμορφώνοντας το vminnya virishuvati їx, ο δάσκαλος προετοιμάζει τους μαθητές για το άνοιγμα της σειράς αναδίπλωσης.

Με βάση το δερματικό αστάρωμα, μάθετε να μαθαίνετε για νέους τύπους των πιο απλών εργασιών. Η βήμα προς βήμα εισαγωγή τους εξηγείται από τα διαφορετικά στάδια του προβλήματος της μαθηματικής κατανόησης, τη διαδικασία καλλιέργειας ήσυχων αριθμητικών διαδικασιών, αποκαλύπτεται η συγκεκριμένη λύση μιας τέτοιας δυσοσμίας. Όχι λιγότερος σεβασμός για τον δάσκαλο κατά την επιλογή του ηγέτη ποιου είδους αξία και συγκεκριμενοποίηση αυτής της τιμής. Nareshti, αναγνώστη για να συγκεκριμενοποιήσει το zmіst zavdannya, rozkrivayuchi zalezhnistі mіzh dannymi ότι shukanimi για πρόσθετες μορφές σύντομης ηχογράφησης.

Η ολοκλήρωση της εργασίας των καλύτερων αναγνωστών δείχνει ότι η προετοιμασία για την ολοκλήρωση των αριθμητικών εργασιών πρέπει να ξεκινήσει από τη βελτίωση της ανάπτυξης της πρακτικής γνώσης της μάθησης, τον προσανατολισμό τους στην απαραίτητη αποτελεσματικότητα. Έχοντας μάθει, είναι απαραίτητο να οδηγείτε σε αυτήν την κατάσταση ζωής, στην οποία είναι δυνατό να βελτιωθείτε, να αναθεωρήσετε τα αριθμητικά καθήκοντα, να εργαστείτε για να αλλάξετε. Επιπλέον, αυτές οι καταστάσεις δεν είναι το επόμενο πράγμα που πρέπει να δημιουργηθούν κομμάτι-κομμάτι, είναι λιγότερο πιθανό να γυρίσουν και να κερδίσουν τον σεβασμό των μαθητών. Ο δάσκαλος οργανώνει φύλαξη για τον μεταβαλλόμενο αριθμό στοιχείων στα πλήθη του θέματος αντί των αγγείων. bud., sho priyaє razvitku yavlen uchnіv pro kіlkіst to znajomstvo їх іz sing termіnologiєyu, yak zstrіnetsya με τη λεκτική διατύπωση της εργασίας: έγινε, όλα χάθηκαν, το πήραν, αυξήθηκε, άλλαξε κ.λπ. Είναι απαραίτητο να οργανωθεί μια τέτοια παιχνιδιάρικη και πρακτική δραστηριότητα των μαθητών, ώστε, όντας αδιάλειπτοι συμμετέχοντες σε αυτή τη δραστηριότητα, καθώς και posterigayuchi, οι ίδιοι οι μαθητές να μπορούν να δουλέψουν τη visnovka στην κρεμώδη πτώση του δέρματος. ο αριθμός των στοιχείων του πολλαπλασιαστή έχει αυξηθεί ή ο αριθμός των στοιχείων του πολλαπλασιαστή έχει αλλάξει, και κάποια λειτουργία που λεκτική viraz δείχνει την αύξηση ή την αλλαγή. Αυτό το στάδιο προετοιμασίας της εργασίας ξεκινά με το στάχυ της δουλειάς στους αριθμούς της πρώτης δεκάδας και εξοικείωση με αριθμητικές ενέργειες, με λύσεις και αναδιπλούμενες εφαρμογές πράξεων από πληθυντικούς θεμάτων.

Πρώτα απ 'όλα, στην αρχή της εκμάθησης των αριθμητικών εργασιών, ο δάσκαλος είναι ένοχος που αποκαλύπτεται ξεκάθαρα, όπως και η γνώση, είναι απαραίτητο να δώσει αυτές τις δεξιότητες στους μαθητές. Για να λύσετε την εργασία, μάθετε τα καθήκοντα της αριθμητικής αριθμητικής, ακούστε και στη συνέχεια διαβάστε την εργασία, επαναλάβετε την εργασία από το φαγητό, για μια σύντομη σημείωση, από τη μνήμη, δείτε τα στοιχεία της αποθήκης στο πρόβλημα, ελέγξτε την εργασία και αντιστρέψτε την ορθότητα της διάσπασης. Στην 1η τάξη, οι μαθητές αρχίζουν να ελέγχουν το έργο της επίπληξης της τσάντας και της περίσσειας. Τα qi της εργασίας εισάγονται πριν από την έναρξη της ώρας έναρξης των αριθμών της πρώτης δεκάδας. Στην αρχή του rozvyazannya, το καθήκον ήταν να αλλάξει το άθροισμα των ίδιων dodankivs, στο κάτω μέρος στο ίσο μέρος του chi συνεχίστηκε για το ασήμι, ακολουθούμενο από σπειροειδή για την κατανόηση των καθημερινών αριθμητικών διαδικασιών του πολλαπλασιασμού και ο πάτος. Πριν από το άνοιγμα της σειράς της διαφοράς μεταξύ των διδασκαλιών, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τη σειρά των αντικειμένων σε μια ολότητα, δύο αντικειμενικές ολότητες, μεγέθη, αριθμούς, θέτοντας την ομοιότητα τους στην ίδια γραμμή ισοδυναμία και νευρικότητα. Ας το συνδυάσουμε, ή ας το βάλουμε μαζί, οι αριθμητικές εργασίες ονομάζονται εργασίες, όπως δύο άνθρωποι δεν μπορούν περισσότεροαριθμητικές διαδικασίες. Ψυχολογικές μελέτες για την ανάπτυξη των χαρακτηριστικών των εργασιών της αριθμητικής αποθήκης δείχνουν ότι τα παιδιά δεν αναγνωρίζουν απλές εργασίες στο πλαίσιο μιας νέας εργασίας αποθήκης. Η προετοιμασία των εργασιών μέχρι την ολοκλήρωση των εργασιών της αποθήκης βαρύνει το σύστημα δικαιωμάτων, εισδοχών και σωστής συμπεριφοράς των εκπαιδευτικών ιδρυμάτων μέχρι την ολοκλήρωση των αποφάσεων των εργασιών της αποθήκης. Πριν από την ολοκλήρωση του διαχειριστή αποθήκης, μπορείτε να πάτε στο ίδιο μέρος, εάν αλλάξετε γνώμη, ότι οι επιστήμονες κατέκτησαν τη διάταξη απλών εργασιών με τη βοήθεια κόλπων, εάν πάτε στον διευθυντή αποθήκης, μπορείτε μόνοι σας να βάλετε μαζί ένα απλό έργο ενός τραγουδιστή μυαλού. Όταν rozv'yazannі αποθήκευση zavdan uchnі povinnі ή να danih βάλτε τρόφιμα ή τρόφιμα για να λάβετε δεδομένα. Επίσης στην προπαρασκευαστική περίοδο, tobto. τεντώνοντας το τελευταίο από την πρώτη μοίρα, αυτό στο στάχυ μιας άλλης μοίρας, μαθαίνοντας, ακολουθώντας τις διδασκαλίες του έργου:

1. Πλύνετε το φαγητό σας πριν είναι έτοιμο.

2. Από το φαγητό, προσθέστε την εργασία, μαζεύοντας τα ημερήσια αριθμητικά δεδομένα.

Η αναδίπλωση απλών εργασιών και εργασιών αποθήκης, η εκμάθηση βήμα προς βήμα για να μάθετε από εργασίες αποθήκης είναι απλή, ακόμα κι αν τις έχετε ολοκληρώσει ακόμα πιο σωστά, έχετε το δικαίωμα να διπλώσετε τις εργασίες αναδίπλωσης. Tse αποδέχονται τη συντομότερη κατανόηση των προβολών απλών εργασιών, τις έξυπνες ώστε να τις ξεχωρίζουν από τις εργασίες της αποθήκης και βοηθούν τους μαθητές να αναλύσουν τις εργασίες. Όταν vyrіshennі αποθήκη zavdan uchnіv έλκηθρο nauchit zagalnyh priyom_v εργασία z zavdannyam; vminnyu για να αναλύσει τις εργασίες zmist, βλέποντας στα δεδομένα δεδομένα, shukane (για να καθορίσει τι είναι απαραίτητο να αναγνωριστεί στην εργασία), ανάλογα με το ποια δεδομένα δεν χρησιμοποιούνται για ανασκόπηση στον επικεφαλής της διατροφής στην εργασία. Στην πράξη, η εργασία του σχολείου είναι αληθινή με τη χρήση της εργασίας με κάρτες, εργασίες στις οποίες καθορίζεται η σειρά εργασιών για τις εργασίες. Όταν ολοκληρωθεί η παραγγελία, η απόφαση καταγράφεται με τη διατροφή ή η δράση του δέρματος καταγράφεται και εξηγείται. Η παραλλαγή της καθορισμένης μεθόδου τακτοποίησης εργασιών ενός δεδομένου τύπου εξασφαλίζεται από την παραλλαγή της τακτοποίησης εργασιών με διαφορετικούς τύπους, γραφικές παραστάσεις, λύσεις που προετοιμάζονται και διπλώνουν οι ίδιοι οι μαθητές, εργασίες ενός δεδομένου τύπου με τύπους εργασιών που είχαν προηγουμένως λυθεί, και ούτω καθεξής.

1. Εξηγήστε τη μέθοδο μέτρησης για το vipadkіv 40 + 20, 50-30, 34 + 20, 34 + 2, 48-30, 48-3 πρέπει να μετρηθούν με εκατό συγκέντρωση.

1) 40+20= 4d+2d=6d=60

2) 50-30 = 5d-3d = 2d = 20

3) 34+20= 3d+4od+2d=5d 4ed=54

4) 34+2 \u003d 3d + 4od + 2od \u003d 3d 6d \u003d 36

5) 48-30 \u003d 4d + 8od-3d \u003d 1d 8ed \u003d 18

6) 48-3= 4d+8od-3d=4d 5d=45

Usі priyomi και καταμέτρηση usnі και vykonuyutsya με βάση τις τάξεις αναδίπλωσης και vіdnіmannya.

Όπως αποδεικνύεται, οι αμέτρητοι φυσικοί αριθμοί μπορούν να τεθούν σε σειρά για μια πρόσθετη έκφραση "λιγότερο". Πρέπει όμως να τονιστούν οι κανόνες της αξιωματικής θεωρίας, ώστε ο στόχος όχι μόνο να προσδιορίστηκε, αλλά να βελτιωθεί με βάση τους ήδη ανατεθειμένους σε αυτή τη θεωρία για να γίνει κατανοητός. Μπορείτε να κάνετε περισσότερα κάνοντας την πληρωμή «λιγότερο» μέσω της προσθήκης.

Ραντεβού. Ο αριθμός α είναι μικρότερος από τον αριθμό β (α< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = σι.

Για τα μυαλά tsikh να λένε το ίδιο, scho number σιπερισσότερο έναγράφει αυτή β > α.

Θεώρημα 12.Για τυχόν φυσικούς αριθμούς έναі σιμπορεί να είναι ένα και μόνο ένα από τα τρία βιώσιμα: a = b, a > b, ένα < σι.

Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος παραλείπεται. Z ієї του θεωρήματος είναι προφανές, τι είναι αυτό

a ¹ b,τε τσι ένα< b, ή α > β tobto. vіdnoshennia "λιγότερο" μπορεί να είναι η δύναμη του pov'yazanostі.

Θεώρημα 13. Yakscho ένα< b і σι< с. έπειτα ένα< с.

Φέρνοντας. Αυτό το θεώρημα εκφράζει τη δύναμη της μεταβατικότητας προτείνοντας «λιγότερο».

έτσι γιακ ένα< b і σι< с. τότε, για να ονομάσουμε «λιγότερο», υπάρχουν τέτοιοι φυσικοί αριθμοί πρινκαι τι b \u003d a + i c \u003d b + I.Άλε Τόντι h = (a + k)+ / і με βάση τη συσχέτιση της αναδίπλωσης λαμβάνεται: h \u003d a + (έως +/). Οσκίλκι προς + Ι -είναι φυσικός αριθμός, λοιπόν ένα< с.

Θεώρημα 14. Yakscho ένα< b, δεν είναι αλήθεια αυτό σι< а. Φέρνοντας. Το θεώρημα Tsya εκφράζει δύναμη αντισυμμετρία vodnosini «λιγότερο».

Ας ξεκινήσουμε από την αρχή, τι για κάθε φυσικό αριθμό έναμην wi-!>! ■ ) її παραίτηση ένα< ένα.Ας μην το δεχτούμε ρε. τι ένα< а maє mistse. Todi, για τους σκοπούς του μπλε «λιγότερο», υπάρχει ένας τέτοιος φυσικός αριθμός Με,τι ένα+ η= ένα,και όχι να αντικαταστήσει το Θεώρημα 6.

Τώρα ας πούμε ότι το yakscho ένα< σι, τότε δεν είναι αλήθεια αυτό σι < ένα.Ας μην το δεχτούμε ρε. τι yakscho ένα< b , έπειτα σι< а νίκη. Μια λίστα ισοτήτων στο Θεώρημα 12 ένα< а, που είναι αδύνατο.

Έτσι, όπως λέμε, το "λιγότερο" είναι αντισυμμετρικό και μεταβατικό και μπορεί να έχει δύναμη σε σχέση με τη γραμμική τάξη, αλλά η απροσωπία των φυσικών αριθμών γραμμικά διατεταγμένα χωρίς πρόσωπο.

Από τον χαρακτηρισμό «λιγότερο» ότι η γιόγκα δύναμης μπορεί να εισαχθεί στο σπίτι της δύναμης ενός πολλαπλασιαστή φυσικών αριθμών.

Θεώρημα 15.Από όλους τους φυσικούς αριθμούς, ένας είναι ο μικρότερος αριθμός, ο tobto. Εγώ< а для любого натурального числа a¹1.

Φέρνοντας. Ελα ένα -να είναι φυσικός αριθμός. Τότε υπάρχουν δύο πιθανότητες: α = 1 τα ένα ¹ 1. Yakscho α = 1, τότε είναι φυσικός αριθμός σι,για το οποίο ακολουθεί κανείς a: a \u003d b " \u003d b + I = 1+ σι, tobto, για τον σκοπό του vodnosini «λιγότερο», 1< ένα. Otzhe, είτε είναι φυσικό περισσότερο 1 chi περισσότερο από 1. Abo, η μοναξιά είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός.

Η εισαγωγή του "λιγότερο" συνδέεται με την αναδίπλωση και τον πολλαπλασιασμό των αριθμών με τη δύναμη της μονοτονίας.

Θεώρημα 16.

a \u003d b => a + c \u003d b + c ότι a c \u003d b c;

ένα< b =>α + γ< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c και ac > bc.

Φέρνοντας. 1) Η δικαιοσύνη αυτής της σταθερότητας είναι εμφανής από την ενότητα της αναδίπλωσης και του πολλαπλασιασμού.

2) Yakscho ένα< b, τότε είναι φυσικός αριθμός κ,τι ένα + k = β.
Todi σι+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ προς την)= (α + γ) + κ.Μετοχικό κεφάλαιο σι+ c = (a + c) + έωςσημαίνει ότι α + γ< b + Με.

Είναι αυτονόητο λοιπόν ένα< b =>άσσος< bс.

3) Να φέρονται με τον ίδιο τρόπο.

Θεώρημα 17(Αντίστροφο Θεώρημα 16).

1) ένα+ c = b + cή ac ~ bc-Þ α = β

2) α + γ< Ь + с ή άσσος< προ ΧΡΙΣΤΟΥÞ ένα< Ь:

3) α + γ > β+ w o ac > bcÞ α > β.

Φέρνοντας. Φέρνουμε, για παράδειγμα, τι άσσος< bс Επόμενο ένα< b Ας μην το δεχτούμε, ρε. ότι το θεώρημα δεν είναι νικηφόρο. Ο Τόντι δεν μπορεί να αλλάζει, σκο α = β.στο γεγονός ότι ακόμη και τότε η ζήλια θα ήταν νικηφόρα ακ = π.χ(Θεώρημα 16); δεν μπορώ να είμαι εγώ ένα> σι,όπως και να έχει ac > bc(Θεώρημα!6). Επομένως, όσον αφορά το Θεώρημα 12, ένα< b.

Από τα Θεωρήματα 16 και 17, μπορεί κανείς να εισαγάγει τον κανόνα της πρόσθεσης ανά όρο και του πολλαπλασιασμού των ανωμαλιών. Το παραλείπουμε.

Θεώρημα 18. Για τυχόν φυσικούς αριθμούς έναі σι; είναι επίσης ένας φυσικός αριθμός n, ο οποίος σ α.

Φέρνοντας. Για ποιον έναβρείτε έναν τέτοιο αριθμό Π, τι n > α.Για ποιον αρκεί να πάρει n = a + 1. Πολλαπλασιασμός όρου με όρο ανομοιομορφία Π> έναі σι> 1, αποδεκτό pb > ένα.

Από την εξέταση των αρχών, μπορεί κανείς να δει το μπλε «λιγότερο» για να τραγουδήσει τις σημαντικές ιδιομορφίες του πολλαπλασιαστή των φυσικών αριθμών, που επάγουμε χωρίς απόδειξη.

1. Νι για έναν φυσικό αριθμό έναδεν υπάρχει τέτοιος φυσικός αριθμός Π,τι ένα< п < а + 1. Tsya power λέγεται στην εξουσία
διακριτικότητααπρόσωπους φυσικούς αριθμούς και αριθμούς έναі ένα + 1 όνομα δικαστικός.

2. Be-yak όχι κενός υποπολλαπλασιαστής φυσικών αριθμών για να πάρεις εκδίκηση
ελάχιστος αριθμός.

3. Yakscho Μ- Κενός αριθμός απρόσωπων φυσικών αριθμών
και είναι ο ίδιος αριθμός σι,τι για όλους τους αριθμούς x s Μδεν θα κερδίσει
ισότητα x< σι,μετά στο απρόσωπο Μ¢ τα περισσότερα.

Απεικονίζοντας τη δύναμη του 2 και του 3 στον πισινό. Ελα Μ- ανώνυμοι διψήφιοι αριθμοί. έτσι γιακ Μє υποπολλαπλασιαστής φυσικών αριθμών і για όλους τους αριθμούς< 100, то в множестве Μ* Ο μεγαλύτερος αριθμός είναι 99. Μ, -Νούμερο 10.

Με αυτόν τον τρόπο, η εισαγωγή του "λιγότερο" επέτρεψε να δούμε (και να φέρουμε σε μια σειρά από vipadkiv) τη σημασία της ισχύος ενός πολλαπλασιαστή φυσικών αριθμών. Ζόκρεμα, είναι γραμμικά διατεταγμένο, διακριτό, τουλάχιστον 1.

Με τη ρύθμιση «λιγότερο» («περισσότερο») για τους φυσικούς αριθμούς, οι μικροί μαθητές είναι εξοικειωμένοι με την αρχή της μάθησης. Και συχνά, κατά σειρά πολλαπλασιαστών-θεωρητικών ερμηνειών γιόγκο, ο ορισμός που δίνεται από εμάς στο πλαίσιο της αξιωματικής θεωρίας δικαιώνεται σιωπηρά. Για παράδειγμα, οι μαθητές μπορούν να εξηγήσουν ότι 9 > 7, θραύσματα 9 - όχι 7 + 2. Συχνά και σιωπηρά νικηφόρα δύναμη μονοτονία αναδίπλωση και πολλαπλασιασμό. Για παράδειγμα, τα παιδιά εξηγούν ότι «6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

σωστά

1, Γιατί δεν μπορούν να ταξινομηθούν οι απρόσωποι φυσικοί αριθμοί μετά τη βοήθεια του μπλε "πίσω από τη γραμμή";

Διατυπώστε ένα όραμα α > βκαι να αποδείξετε ότι είναι και μεταβατικό και αντισυμμετρικό.

3. Πες μου τι είναι α, β, γ- φυσικοί αριθμοί, τότε:

ένα) ένα< b Þ ас < bс;

σι) ένα+ η< b + su> ένα< Ь.

4. Μερικά θεωρήματα για τη μονοτονία της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού μπορούν
vykoristovuvaty νεαροί μαθητές, vykonuyuchi zavdannya "Porіvnya, μην vykonuyuchi υπολογίζετε":

α) 27+8...27+18;

β) 27-8...27-18.

5. Όπως η δύναμη του πολλαπλασιαστή των φυσικών αριθμών, οι μικροί μαθητές σιωπηρά κερδίζουν, κερδίζουν το ίδιο έργο:

Α) Γράψτε τους αριθμούς, όπως μεγαλύτερος, χαμηλότερος 65, μικρότερος, χαμηλότερος 75.

Β) Ονομάστε τον επόμενο αριθμό σύμφωνα με την ημερομηνία πριν από τον αριθμό 300 (800.609.999).

Γ) Να ονομάσετε τον μικρότερο και μεγαλύτερο τριψήφιο αριθμό.

Vidnimannya

Στο αξιωματικό κίνητροΗ θεωρία των φυσικών αριθμών είναι γνωστό ότι ακούγεται σαν μια πράξη που επιστρέφει στο απόθεμα.

Ραντεβού. Λαμβάνοντας υπόψη τους φυσικούς αριθμούς a και b, ονομάζεται η πράξη, η οποία ευχαριστεί το μυαλό: a - b = s μόνο και μόνο λίγοι, αν b + c = a.

Αριθμός α - βονομάζεται η διαφορά των αριθμών a i σι,αριθμός ένα- αλλαγή και ο αριθμός σι-δει.

Θεώρημα 19.Παραλλαγή φυσικών αριθμών ένα- σιіsnuє tоdі і λιγότερο από tоdі, αν σι< а.

Φέρνοντας. Αφήστε λιανική ένα- σιІсnuє. Todi, για την καθορισμένη λιανική, υπάρχει ένας τέτοιος φυσικός αριθμός Με,τι β + γ = α,και τσε σημαίνει ότι σι< а.

Yakshcho σι< а, τότε για την ονομασία «λιγότερο» είναι και φυσικός αριθμός που β + γ = α. Todi, για το διορισμένο λιανικό εμπόριο, c \u003d a - b, tobto. λιανεμποριο α - βІсnuє.

Θεώρημα 20. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των φυσικών αριθμών έναі σιΕίμαι σίγουρος ότι υπάρχει μόνο ένα.

Φέρνοντας. Είναι αποδεκτό ότι υπάρχουν δύο διαφορετικές αξίεςδιαφορά αριθμών έναі σι;: α - β= c1і α - β= c2, Εξάλλου c1 1 c2. Todi για καθορισμένους λιανοπωλητές, ίσως: a = b + c1,і a = b + c2 : .Δείτε τι ακολουθεί σι+ s 1 \u003d b + c 2 :και με βάση το Θεώρημα 17 είναι δυνατόν να χωρέσει c1 = c2.Έφτασαν στο σημείο της παράλειψης, λοιπόν, είναι λάθος, αλλά το θεώρημα είναι σωστό.

Vyhodyachi z vznachennya raznitsі φυσικοί αριθμοί που προσέχουν її іsnuvannya, μπορείτε να ακολουθήσετε τους κανόνες των αριθμών vіdnimannya από το sumi και το sumi από τους αριθμούς.

Θεώρημα 21. Ελα ένα. σιі η- φυσικοί αριθμοί.

αλλά yakscho a > c, μετά (a + b) - c \u003d (a - c) + b.

β) Yakscho β > γ. τότε (α + β) - η - α + (β - γ).

γ) Yakscho α > γ και β > γ.τότε μπορείτε να vikoristovuvati αν-yaku από αυτούς τους τύπους.
Φέρνοντας. Σε χρόνους α) διαφορά αριθμών έναі ντοіsnuє, oskelki α > γ.Σημαντικά її μέσω x: a - c \u003d x.αστέρια a = c + x. Yakscho (ένα+ β) - c \u003d y.τότε, για την καθορισμένη τιμή, ένα+ σι = η+ στο. Αντιπροσωπεύουμε σε qiu equanimity zamіst έναβιράζ h + x:(h + x) + b = c + y.Επιταχύνουμε τη δύναμη της συσχέτισης για να προσθέσουμε: γ + (χ + β) = γ+ στο. Ας αλλάξουμε αυτή την ισοτιμία με βάση τη δύναμη της μονοτονίας, προσθέτοντας, παίρνουμε:

x + β = y.. Αντικαταστάθηκε στη δανική ισοδυναμία x με viraz μετα Χριστον,ας μάνα (ένα -ΣΟΛ) + b = y.Σε αυτόν τον βαθμό, μας έφεραν, scho yakscho a > c, τότε (a + b) - c = (a - c) + b

Ομοίως η απόδειξη διενεργείται στην περίπτωση β).

Το αποτέλεσμα του θεωρήματος μπορεί να διατυπωθεί ως κανόνας που είναι εύκολο να θυμόμαστε: για να ληφθεί ο αριθμός από το άθροισμα, αρκεί να ληφθεί ο αριθμός από ένα άθροισμα αποθήκης και στο αποτέλεσμα της προσθήκης περισσότερων συμπληρωμάτων.

Θεώρημα 22.Ελα α, β γ -φυσικούς αριθμούς. Yakscho α > β+ c, λοιπόν ένα- (β + γ) = (α - β) - γή α - (β + γ) \u003d (α - γ) - β.

Η απόδειξη αυτής της θεωρίας είναι παρόμοια με την απόδειξη του Θεωρήματος 21.

Το θεώρημα 22 μπορεί να διατυπωθεί ως οπτικός κανόνας, για να ληφθεί υπόψη το άθροισμα των αριθμών από τον αριθμό, αρκεί να ληφθεί υπόψη ο αριθμός των διαδοχικών προσθηκών δέρματος μία προς μία.

Στο καλαμπόκιμαθηματικοί vyznachennya vіdnimannya yak dії, zvorotnogo dodavannya, στο θέαμα, τον ήχο, δεν δίνουν, αλλά είναι συνεχώς koristuyutsya, pochinayuchi z vikonannya dіy πάνω από μονοψήφιους αριθμούς. Μάθετε να οφείλετε μια καλή κατανόηση του τι έχετε να πείτε για τις πτυχές και κερδίστε τις αλληλεπιδράσεις κατά τον υπολογισμό. Δείτε, για παράδειγμα, από τον αριθμό 40 τον αριθμό 16, μάθετε να σημειώνετε ως εξής: «Κοιτάξτε τον αριθμό 16 από το 40 - που σημαίνει να γνωρίζετε έναν τέτοιο αριθμό, όταν τον διπλώνετε με τον αριθμό 16, εισάγετε το 40. αυτός ο αριθμός θα είναι 24, άρα 24 + 16 = 40. Μέση. 40 - 16 = 24".

Κανόνες για την ερμηνεία αριθμών από άθροισμα και άθροισμα από αριθμούς στο μάθημα cob των μαθηματικών є θεωρητική βάσηΥπολογίστε άλλα εισοδήματα. Για παράδειγμα, η τιμή μιας virase (40 + 16) - 10 μπορεί να γίνει γνωστή, όχι μόνο μετρώντας το άθροισμα στους βραχίονες, αλλά στη συνέχεια μετρώντας τον αριθμό 10 από αυτό, αλλά σε μια τέτοια κατάταξη.

α) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

β) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46.

σωστά

1. Το Chi είναι σωστό, ποιος είναι ο φυσικός αριθμός δέρματος για να βγει από μια αδιάκοπα προοδευτική μοναξιά;

2. Γιατί η λογική δομή του Θεωρήματος 19 είναι ειδική; Μπορείτε να διατυπώσετε, νικηφόρα, τις λέξεις «απαραίτητο τόσο αρκετό»;

3. Φέρτε τι:

αλλά yakscho β > γ,έπειτα (a + b) - c \u003d a + (b - c);

β) yakscho α > β + γ, έπειτα α - (β+ γ) = (α – β) – σελ.

4. Το Τσι μπορεί, χωρίς να υπολογίζει, ας πούμε, την έννοια αυτού του virazіv dorivnyuvatimut:

α) (50 + 16) - 14; δ) 50+ (16 -14 ),

β) (50 - 14) + 16; ε) 50 - (16 - 14);
γ) (50 - 14) - 16, στ) (50 + 14) - 16.

α) 50 - (16 + 14); δ) (50 - 14) + 16;

β) (50 - 16) + 14; ε) (50 - 14) - 16;

γ) (50 - 16) - 14; ε) 50 - 16-14.

5. Yakі power vіdnіmannya є θεωρητική βάση για την προώθηση του λογισμού priyomіv, scho vychayutsya στο μάθημα cob των μαθηματικών:

12 - 2-3 12 -5 = 7

β) 16-7 \u003d 16-6 - P;

γ) 48 - 30 \u003d (40 + 8) - 30 \u003d 40 + 8 \u003d 18;

δ) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. Περιγράψτε τις πιθανές μεθόδους για τον υπολογισμό της τιμής με όψη. α - β- ηκαι εικονογραφήστε τα σε συγκεκριμένους γλουτούς.

7. Πες μου τι σι< а και να είναι κάθε φυσική γ βίρνα ηρεμία (α - β) γ \u003d ac - bc.

Vkazivka. Η απόδειξη βασίζεται στο αξίωμα 4.

8. Υπολογίστε την τιμή του virazu, χωρίς να μετρήσετε τα γράμματα. Περιτύλιγμα Vidpovidi.

α) 7865 × 6 - 7865 × 5, β) 957 × 11 - 957; γ) 12×36 - 7×36.

Podil

Σύμφωνα με την αξιωματική θεωρία των φυσικών αριθμών, το rozpodil ακούγεται σαν μια πράξη, που έχει μετατραπεί σε πολλαπλασιασμό.

Ραντεβού. Η υποδιαίρεση των φυσικών αριθμών a και b είναι μια πράξη που ικανοποιεί το μυαλό: a: b \u003d s todi και μόνο todi,πριν αν β× h = α.

Αριθμός α:βπου ονομάζεται ιδιωτικόςαριθμοί έναі σι,αριθμός ένα dilimim, αριθμός σι- Ντίλνικ.

Όπως φαίνεται, δεν είναι απαραίτητο να διακρίνουμε φυσικούς αριθμούς σε απρόσωπους φυσικούς αριθμούς και δεν υπάρχουν τόσο εμφανείς ενδείξεις ιδιωτικής βάσης, όπως είναι απαραίτητο για το λιανικό εμπόριο. Є tilki απαραίτητο μυαλόη βάση του ιδιωτικού.

Θεώρημα 23.Για να δημιουργήσουμε ιδιωτικά δύο φυσικούς αριθμούς έναі σιαπαραίτητη σι< а.

Φέρνοντας. Διατηρήστε ιδιωτικούς φυσικούς αριθμούς έναі σιΤο ξέρω αυτό. είναι τόσο φυσικός αριθμός c που bc = α.Το Oskіlki για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό 1 ισχύει nerіvnіst 1 £ Με,στη συνέχεια, πολλαπλασιάζοντας το προσβλητικό μέρος με έναν φυσικό αριθμό σι, λαμβάνονται σι£ προ ΧΡΙΣΤΟΥ. ale π.Χ. \u003d α, otzhe, σι£ ένα.

Θεώρημα 24.Πώς είναι ιδιωτικοί οι φυσικοί αριθμοί έναі σιіsnuє, υπάρχει μόνο ένα.

Η απόδειξη του θεωρήματος είναι παρόμοια με την απόδειξη του θεωρήματος για την ενότητα της διαφοράς των φυσικών αριθμών.

Vykhodyachi z vyznachennya μέρη φυσικών αριθμών που προσέχουν το yogo іsnuvannya, μπορείτε να στρογγυλοποιήσετε τον κανόνα σύμφωνα με το sumi (λιανική πώληση, δημιουργία) στον αριθμό.

Θεώρημα 25.Ποιοι είναι οι αριθμοί έναі σιδιαιρέστε με αριθμό Με,τότε αυτό το ποσό α + βκοινή χρήση με και πιο ιδιωτικά ένα+ σιανά αριθμό Με,ένα άθροισμα ιδιωτικών έναστο ηі σιστο η, έπειτα. (α + β):γ = α: γ + β:Με.

Φέρνοντας. Αριθμός Oskіlki ένανα χωριστεί σε Με,τότε αυτός είναι ένας φυσικός αριθμός x = ένα;η, σο a = cx.Παρόμοιο με τον υπάρχοντα φυσικό αριθμό y = β:Με,τι

σι= su.Άλε Τόντι a + b = cx+ su \u003d - s (x + y). Tse σημαίνει τι α + βδιαιρούμενο με το c, επιπλέον, είναι πιο ιδιωτικό, το οποίο αφαιρείται όταν απλώνεται sumi ένα+ σιστον αριθμό c, που είναι πιο ακριβός x + y, tobto. τσεκούρι + β: γ.

Το αποτέλεσμα του θεωρήματος μπορεί να διατυπωθεί με βάση τον κανόνα υποδιαίρεσης του αθροίσματος με τον αριθμό: για να διαιρέσουμε το άθροισμα με τον αριθμό, αρκεί να διαιρέσουμε το άθροισμα με τον αριθμό των προσθηκών δέρματος και να αφαιρέσουμε τα αποτελέσματα.

Θεώρημα 26.Όπως οι φυσικοί αριθμοί έναі σιδιαιρέστε με αριθμό ηі α > βστη συνέχεια λιανική α - βδιαιρείται με το c, επιπλέον, είναι ιδιωτικό, κερδίζεται όταν η διαφορά διαιρείται με τον αριθμό c, πιο ιδιωτικό, κερδίζεται όταν διαιρείται η διαφορά έναστο ηі σιέως γ, tobto. (α - β): γ \u003d α: γ - β: γ.

Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος πραγματοποιείται παρόμοια με την απόδειξη του προηγούμενου θεωρήματος.

Αυτό το θεώρημα μπορεί να διατυπωθεί ως κανόνας για την υποδιαίρεση της διαφοράς στον αριθμό: ΓιαΕπιπλέον, για να διαιρέσουμε τη διαφορά με τον αριθμό, αρκεί να διαιρέσουμε με τον ακέραιο αριθμό, ο οποίος αλλάζει και φαίνεται από την πρώτη ιδιωτική θέαση ενός φίλου.

Θεώρημα 27.Τι είναι ένας φυσικός αριθμός ένανα διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό c, τότε για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό σι tvir αβκοινοποιήστε στη σελ. Σε περίπτωση οποιουδήποτε απορρήτου, τι αφαιρείται όταν διαδίδετε τη δημιουργικότητα αβστον αριθμό z , ένα dobutka ενός ιδιωτικού έναστο Με,εγώ αριθμός β: (α × β): γ - (α: γ) × β.

Φέρνοντας. έτσι γιακ ένανα χωριστεί σε Με,τότε υπάρχει ένας φυσικός αριθμός x που όπως και= x, αστέρια a = cx.Έχοντας πολλαπλασιάσει τα προσβλητικά μέρη της ζήλιας κατά σι,λαμβάνονται ab = (cx) β. Oskіlki πληθυντικός συνειρμικά, λοιπόν (cx) b = c(x b). Zvіdsi (α β): c \u003d x b \u003d (α: γ) β.Το θεώρημα μπορεί να διατυπωθεί ως κανόνας για την υποδιαίρεση ενός αριθμού με έναν αριθμό: διαιρέστε τον αριθμό με έναν αριθμό, διαιρέστε τον αριθμό με έναν από τους πολλαπλασιαστές και αφαιρέστε το αποτέλεσμα, πολλαπλασιάστε τον άλλο πολλαπλασιαστή.

Για τον μαθηματικό με γνώσεις στάχυ, το podil εκχωρείται ως η λειτουργία της αναστροφής, για το άγριο βλέμμα, δεν δίνει ήχο, αλλά είναι συνεχώς koristuyutsya, ξεκινώντας από τα πρώτα μαθήματα γνώσης του podil. Μάθετε να κατηγορείτε τον καλό λόγο, ότι έδωσε τους λόγους για τους πολλαπλασιασμούς και τις νικηφόρες αλληλεπιδράσεις κατά τους υπολογισμούς. Για παράδειγμα, διαίρεσε το 48 με το 16, οι μαθητές λένε το εξής: «Για να διαιρέσουμε το 48 με το 16 σημαίνει να γνωρίζουμε έναν τέτοιο αριθμό, όταν τον πολλαπλασιάσουμε με το 16, θα κάνουμε 48. αυτός ο αριθμός θα είναι 3, θραύσματα 16 × 3 = 48. Επίσης, 48: 16 = 3.

σωστά

1. Φέρτε τι:

α) μόνο ένα κλάσμα φυσικών αριθμών α βαν είναι, τότε υπάρχει μόνο ένα?

β) σαν τους αριθμούς α βεγγραφείτε σε ηі α > βέπειτα (α - β): γ \u003d α: γ - β: γ.
2. Τι μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι όλα τα δεδομένα είναι σωστά:
α) 48:(2×4) = 48:2:4; β) 56:(2×7) = 56:7:2;

γ) 850: 170 = 850: 10:17.

Ποιος είναι ο κανόνας για να επιδεινωθούν αυτά τα vipadkіv; Διαμορφώστε τη γιόγκα και φέρτε την.

3. Yakі power podіlu є θεωρητική βάση για
vikonanna τις επόμενες μέρες, κήρυξε σε μαθητές σχολείου μαθήματα στάχυ:

Πώς μπορείτε, χωρίς να εξαρτάστε από το κάτω μέρος, να πείτε ότι οι έννοιες τέτοιων λέξεων θα είναι οι ίδιες:

α) (40 + 8): 2; γ) 48:3; ε) (20 + 28): 2;

β) (30 + 16): 3; δ) (21 +27): 3; στ) 48:2;

Chi vіrnі іvnostі:

α) 48:6:2 = 48: (6:2); β) 96:4:2 = 96: (4-2);

γ) (40 - 28): 4 = 10-7;

4. Περιγράψτε πιθανούς τρόπους υπολογισμού της αξίας του ιού
μυαλό:

ένα) (ένα+ προ ΧΡΙΣΤΟΥ;σι) ένα:σι: Με; σε) ( α × β): s .

Προτεινόμενες μέθοδοι και εικονογράφηση σε συγκεκριμένους γλουτούς.

5. Βρείτε την έννοια της έκφρασης με ορθολογικό τρόπο. το δικό
dії wrap:

α) (7 × 63): 7; γ) (15 × 18):(5× 6);

β) (3 × 4× 5): 15; δ) (12 × 21): 14.

6. Στρογγυλοποιήστε τα επόμενα βήματα και το κάτω μέρος σε έναν διπλό αριθμό:

α) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;

β) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;

γ) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

δ) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560x2 = 1120.

7. Μην χτυπάτε τον εαυτό σας κάτω από τον καναπέ, βρείτε το πιο λογικό
με ιδιωτικό τρόπο? επιλέξτε έναν τρόπο για να προτιμήσετε:

α) 495:15; γ) 455:7; ε) 275:55;

6) 425:85; δ) 225:9; ε) 455:65.

Διάλεξη 34

1. Ανώνυμος αριθμός αγνώστων αριθμών. Η δύναμη μιας πολλαπλότητας αριθμών tsilih nevid'emnyh.

2. Κατανόηση της φυσικής σειράς αριθμών και στοιχείων του τελικού πολλαπλασιαστή. Τακτικοί και kіlkіsnі φυσικοί αριθμοί.

Μέχρι την κυριαρχία της ειδικότητας

1. Γραμμικός (διανυσματικός) χώρος πάνω από το πεδίο. ισχύουν. Κάτω από το διάστημα, η πιο απλή δύναμη. Γραμμικά και ανεξάρτητα διανύσματα.

2. Βάση και ειρήνη διανυσματικός χώρος. Ο πίνακας συντεταγμένων του συστήματος των διανυσμάτων. Μετάβαση από τη μια βάση στην άλλη. Ισομορφισμός του διανυσματικού χώρου.

3. Αλγεβρικό κλείσιμο του πεδίου των μιγαδικών αριθμών.

4. Δακτύλιος ακέραιων αριθμών. Ταξινόμηση ακέραιων αριθμών. Θεωρήματα για τον «μεγαλύτερο» και τον «λιγότερο» αριθμό.

5. Ομάδα, εφαρμογή ομάδας. Οι απλούστερες ομάδες εξουσίας. Υποομάδες. Ομομορφισμός και ισομορφισμός ομάδων.

6. Η κύρια δύναμη των ψεύτικων αριθμών. Συγχωρέστε τους αριθμούς. Άπειρο απρόσωπων πρώτων αριθμών. Η κανονική διάταξη του αριθμού μετοχής είναι αυτή η μοναδικότητα.

7. Το θεώρημα Kronecker-Capelli (κριτήριο για την ακεραιότητα του συστήματος γραμμικά ποτάμια).

8. Κύρια χαρακτηριστικά των δρόμων. Povna που προκαλείται από το σύστημα v_drahuvan modulo. Kіltse kіltse v_drahuvan για την ενότητα. Θεώρημα Euler και Fermat.

9. Η προσθήκη της θεωρίας του porіvnyan στη vysnovka είναι σημάδι ψεύδους. Zvernennya zvichaynogo κλάσμα μέχρι το δέκατο και το ραντεβού της τελευταίας περιόδου γιόγκο.

10. Επιτυχία ρητής ρίζας πολυωνύμου με ενεργούς συντελεστές. Συνέβη στο πεδίο των πραγματικών αριθμών με πλούσιους όρους.

11. Γραμμική ευθυγράμμιση με μία αλλαγή (κριτήριο rozvyaznosti, τρόποι rozvyazannya).

12. Ίσα συστήματα γραμμικών ευθυγραμμίσεων. Η μέθοδος του επακόλουθου αποκλεισμού είναι άγνωστη.

13. Κίλτσε. Εφαρμόστε μια καρίνα. Η απλούστερη δύναμη των κιλέτων. Pidkiltse. Ομομορφισμοί και ισομορφισμοί του δακτυλίου. Πεδίο. Παράδειγμα άρδευσης. Η πιο απλή δύναμη. Ελαχιστοποίηση του πεδίου των ρητών αριθμών.

14. Φυσικοί αριθμοί (θεμέλια της αξιωματικής θεωρίας των φυσικών αριθμών). Θεωρήματα για τον «μεγαλύτερο» και τον «λιγότερο» φυσικό αριθμό.

15. Πλούσια τμήματα πάνω από το γήπεδο. Θεώρημα για το πλεόνασμα podіl іz. Το μεγαλύτερο συνεργατικό δίλημμα δύο πλουσίων μελών, η δύναμη αυτού του τρόπου γνώσης.

16. Binary blues. Πρόταση ισοδυναμίας. Κατηγορίες ισοδυναμίας, πολλαπλασιαστής παραγόντων.

17. Μαθηματική επαγωγή για φυσικούς και ακέραιους αριθμούς.

18. Η κυριαρχία των αμοιβαία πρώτων αριθμών. Το λιγότερο σημαντικό πολλαπλάσιο των αριθμών, η δύναμη αυτού του τρόπου γνώσης.

19. Πεδίο μιγαδικών αριθμών, αριθμητικά πεδία. Γεωμετρική εμφάνιση τριγωνομετρική μορφήμιγαδικός αριθμός.

20. Το θεώρημα για το podіl іz πλεόνασμα για ακέραιους αριθμούς. Η μεγαλύτερη συλλογή αριθμών αριθμών, η δύναμη αυτού του τρόπου γνώσης.

21. Γραμμικοί τελεστές διανυσματικού χώρου. Πυρήνας και εικόνα γραμμικού τελεστή. Άλγεβρα γραμμικών τελεστών στο διανυσματικό χώρο. Τιμές ισχύος και διανύσματα ισχύος ενός γραμμικού τελεστή.

22. Αθηναϊκή μεταμόρφωση του διαμερίσματος, η κυριαρχία τους είναι ο τρόπος της zavdannya. Μια ομάδα αθηναϊκών μετασχηματισμών του επιπέδου και των υποομάδων її.

23. Μπαγκατοκούτνικι. Πλατεία Bagatokutnik. Το θεώρημα της λογικής και της ενότητας.

24. Ισοδυναμία και ομαλότητα του bagatokutnikiv.

25. Γεωμετρία Λομπατσέφσκι. Μη υπεροχή του συστήματος αξιωμάτων της γεωμετρίας του Lobachevsky.

26. Η έννοια του παραλληλισμού στη γεωμετρία του Λομπατσέφσκι. Αμοιβαία επέκταση της ευθείας περιοχής Lobachevsky.

27. Τύποι ruhіv. Ταξινόμηση των ερειπίων της περιοχής. Καθήκοντα Dodatki σε rozvyazannya.

28. Αμοιβαία διαστολή δύο πυλώνων, ευθύγραμμων πλατέων, δύο ευθειών πλησίον της έκτασης (σε αναλυτική παρουσίαση).

29. Προβολικός μετασχηματισμός. Το θεώρημα της λογικής και της ενότητας. Τύποι προβολικών μετασχηματισμών.

30. Scalar, όχι vector δημιουργήστε zmіshaneδιανύσματα, їх προσθήκες στην ανάπτυξη εργασιών.

31. Σύστημα αξιωμάτων Weyl του τετριμμένου Ευκλείδειου χώρου και її zmistovna μη υπεροχής.

32. Ρούχι της περιοχής και γιόγκα δύναμης. Ομάδα ερειπίων επίπεδη. Το θεώρημα της θεμελίωσης και της ενότητας της κίνησης.

33. Το προβολικό επίπεδο αυτού του μοντέλου її. Προβολικός μετασχηματισμός, δύναμη. Ομάδα αλλαγών σχεδιασμού.

34. Αναμόρφωση ομοίωσης με το επίπεδο, κυριαρχία τους. Μια ομάδα μετασχηματισμών παρόμοιων με το επίπεδο και τις υποομάδες її.

35. Λείες επιφάνειες. Η πρώτη τετραγωνική μορφή της επιφάνειας είναι η zastosuvannya.

36. Παράλληλη προβολή εκείνης της γιόγκα της δύναμης. Εικόνες επίπεδων και ευρύχωρων μορφών σε παράλληλη προβολή.

37. Λείες γραμμές. Η καμπυλότητα της καμπύλης του χώρου είναι η ίδια.

38. Ελλείψεις, υπερβολή και παραβολή ως πεπερασμένη παραβολή. Κανονική ισότητα.

39. Διευθυντική δύναμη της έλλειψης, της υπερβολής και της παραβολής. Πολική ευθυγράμμιση.

40. Υπό την επίδραση ορισμένων σημείων της ευθείας, η ισχύς αυτού του υπολογισμού. Αρμονικές κουκκίδες ατμού. Povniy chotirikutnik και γιόγκα δύναμης. Μια προσθήκη στις εργασίες rozvyazannya στο pobudova.

41. Θεωρήματα Pascal και Brianchon. Πολωνοί και πολικοί.

Καλό φαγητό μαθηματική ανάλυση