Αξιώματα πραγματικών αριθμών. Παρακολούθηση των αξιωμάτων της θεωρίας των αριθμών

Οι αριθμοί ομιλίας, οι οποίοι υποδεικνύονται μέσω (το λεγόμενο R ruban), εισάγεται η λειτουργία της πρόσθεσης (“+”), έτσι ώστε το ζεύγος στοιχείων δέρματος ( Χ,y) με απρόσωπους αριθμούς ομιλίας που τίθενται στο στοιχείο vіdpovіdnіst Χ + y z tsієї w πολλαπλασιαστής, τίτλοι sumo Χі y .

Αξιώματα πολλαπλότητας

Εισάγεται η πράξη πολλαπλασιασμού («·»), οπότε το ζεύγος στοιχείων δέρματος ( Χ,y) για απρόσωπους αριθμούς ομιλίας, βάλτε ένα στοιχείο (αλλιώς, συντομογραφία, Χy) s tsієї w πολλαπλασιαστή, τίτλοι δημιουργίας Χі y .

Zvyazok dodavannya ότι πληθυντικός

Αξιώματα κατά παραγγελία

Στην εργασία της σειράς "" (λιγότερο από ένα), μετά για στοίχημα x, y vykonuєtsya που θέλει να είναι ένα από τα μυαλά abo.

Zv'yazok για να διπλώσει

Zvyazok vіdnoshennia σειρά αυτόν τον πληθυντικό

Αξίωμα συνέχειας

Σχολιασμός

Αυτό το αξίωμα σημαίνει ότι Χі Υ- δύο κενοί πολλαπλασιαστές πραγματικών αριθμών έτσι ώστε να υπάρχει οποιοδήποτε στοιχείο του Χμην ανατρέπετε κανένα στοιχείο Υ, τότε μπορείτε να εισαγάγετε έναν αριθμό ομιλίας μεταξύ τους. Για ρητοί αριθμοίαυτό το αξίωμα δεν είναι νικηφόρο. κλασικός πισινός: αναγνωρίσιμα θετικοί ορθολογικοί αριθμοί και εμφανώς μέχρι απροσωπίας Χαυτούς τους αριθμούς, το τετράγωνο των οποίων είναι μικρότερο από 2, και το άλλο - μέχρι Υ. Todi mizh Χі Υδεν μπορεί να εισαγάγει ρητό αριθμό (όχι ρητό αριθμό).

Αυτό είναι το βασικό αξίωμα που διασφαλίζει την ασφάλεια και έτσι επιτρέπει τη μαθηματική ανάλυση. Για να καταδείξω τη σημασία του, επιτρέψτε μου να επισημάνω δύο θεμελιώδεις συνέπειες από αυτό.

Κληρονομιά αξιωμάτων

Χωρίς το ενδιάμεσο αξίωμα z, οι διάκονοι είναι σημαντικοί για τη δύναμη των σημερινών αριθμών, για παράδειγμα,

ενότητα του μηδενός,
την ενότητα των πολλαπλασιαστικών και των λοιμωδών στοιχείων.

Βιβλιογραφία

Zorich V. A.Μαθηματική ανάλυση. Τόμος Ι. Μ.: Φαζής, 1997, μέρος 2.

Div. επίσης

Posilannya

Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

Δείτε επίσης "Αξιωματικά πραγματικών αριθμών" σε άλλα λεξικά:

Η ομιλία, που είναι πραγματικός αριθμός, είναι μια μαθηματική αφαίρεση, η οποία vinikla z απαιτεί τη χρήση γεωμετρικών και φυσικών ποσοτήτων του απαραίτητου φωτός, καθώς και την εκτέλεση τέτοιων πράξεων όπως η εξαγωγή ρίζας, ο υπολογισμός των λογαρίθμων, οι λύσεις.

Ομιλία, chi πραγματικοί αριθμοί είναι μια μαθηματική αφαίρεση, τι να υπηρετήσω, ζώκρεμα, η εκδήλωση αυτής της ομοιότητας της αξίας των φυσικών μεγεθών. Ένας τέτοιος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί διαισθητικά ότι περιγράφει τη θέση ενός σημείου σε μια ευθεία γραμμή.

Το Βικιλεξικό έχει το άρθρο "αξίωμα" Axiom (στα Ελληνικά ... Wikipedia

Ένα αξίωμα, καθώς χρησιμοποιείται σε διάφορα αξιωματικά συστήματα. Αξιωματικά πραγματικών αριθμών Αξιωματική του Χίλμπερτ της Ευκλείδειας γεωμετρίας Αξιωματική του Κολμογκόροφ Η θεωρία imovirnosti του Κολμογκόροφ ... Wikipedia

Σύστημα αριθμών

Ας υποθέσουμε ότι έχει εμφανιστεί η φυσική σειρά για τη μεταφορά αντικειμένων. Αν όμως θέλουμε να δουλέψουμε με αντικείμενα, τότε χρειαζόμαστε αριθμητικές πράξεις στους αριθμούς. Tobto, αν θέλουμε να διπλώσουμε ένα μήλο ή να χωρίσουμε ένα κέικ, πρέπει να μεταφράσουμε τον αριθμό των αριθμών.

Είναι επαίσχυντο το γεγονός ότι μετά την εισαγωγή των πράξεων + і * στη γλώσσα των φυσικών αριθμών είναι απαραίτητο να προστεθούν αξιώματα που δηλώνουν τη δύναμη αυτών των πράξεων. Αλετόδες και απρόσωποι φυσικοί αριθμοί tezh επεκτείνεται.

Θαυμάζουμε πώς διαστέλλονται οι απρόσωποι φυσικοί αριθμοί. Η απλούστερη λειτουργία, καθώς ήταν απαραίτητη για ένα από τα πρώτα - ce dodavannya. Εάν θέλουμε να ορίσουμε μια πρόσθετη λειτουργία, είναι απαραίτητο να ορίσουμε μια επιστροφή σε αυτήν - μια απόφαση. Είναι αλήθεια, όπως γνωρίζουμε, ότι ως αποτέλεσμα της προσθήκης, για παράδειγμα, 5 και 2, τότε είμαστε ένοχοι που προσθέτουμε στη σειρά του τύπου: αυτό που πρέπει να προστεθεί στο 4, για να ληφθεί 11. vimagatimut vminnya viroblyat i zvorotnu diyu - vіdnіmannya. Ale, yakscho dodavannya οι φυσικοί αριθμοί δίνουν ξανά φυσικός αριθμός, τότε κοιτάζοντας τους φυσικούς αριθμούς προκύπτει ένα αποτέλεσμα που δεν ταιριάζει στο Ν. Χρειαζόμαστε περισσότερους αριθμούς. Κατ' αναλογία μιας λογικής όρασης του μεγαλύτερο αριθμόΤο μικρότερο boulo εισήγαγε τον κανόνα του vidnіmannya z μικρότερο μεγαλύτερο - έτσι εμφανίστηκε ο αριθμός των αρνητικών αριθμών.

Συμπληρώνοντας τη φυσική σειρά με πράξεις + ι - mi, φτάνουμε σε απρόσωπους ακέραιους αριθμούς.

Z=N+λειτουργίες(+-)

Σύστημα ορθολογικών αριθμών yak mov αριθμητική

Τώρα ας δούμε αυτό για αναδίπλωση diu - πληθυντικός. Στην πραγματικότητα, πρόκειται για προσθήκη μπαγαταράσης. І επιπλέον αριθμός ακεραίων συμπληρώνεται με έναν ακέραιο αριθμό.

Ale, μια αντίστροφη λειτουργία σε πολλαπλά - tse podіl. Αλλά απέχει πολύ από το να δίνει πάντα καλό αποτέλεσμα. Και πάλι βρισκόμαστε αντιμέτωποι με ένα δίλημμα - ή να δεχτούμε σαν να μην μπορούσε να «κατανοηθεί» το αποτέλεσμα ή να μαντέψουμε τον αριθμό ενός νέου τύπου. Κατηγόρησαν λοιπόν τους ορθολογικούς αριθμούς.

Ας πάρουμε ένα σύστημα ακεραίων αριθμών και ας το συμπληρώσουμε με αξιώματα, που καθορίζουν τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού και του πυθμένα. Αφαιρούμε το σύστημα των ρητών αριθμών.

Q=Z+λειτουργίες(*/)

Πατέρα, η γλώσσα των ορθολογικών αριθμών σου επιτρέπει να δουλεύεις όλες οι αριθμητικές πράξειςπάνω από αριθμούς. Η γλώσσα των φυσικών αριθμών δεν ήταν αρκετή.

Ας εισαγάγουμε αξιωματικά το σύστημα των ρητών αριθμών.

Ραντεβού. Το απρόσωπο Q λέγεται οι απρόσωποι ορθολογικοί αριθμοί, όπως και τα στοιχεία - ορθολογικοί αριθμοί, καθώς το προοδευτικό σύμπλεγμα των μυαλών, οι τίτλοι ονομάζεται αξιωματική των ρητών αριθμών:

Αξιώματα λειτουργίας αναδίπλωσης. Για στοίχημα με παραγγελίες x,yστοιχεία Q deyaky στοιχείο x+yÎQ, αθροιστικά κατατάσσονται Χі στο. Όταν κερδίζεις, σκέψου το εξής:

1. (Isnuvannya μηδέν) Iznuє στοιχείο 0 (μηδέν) έτσι ώστε για οποιοδήποτε Χ OQ

Χ+0=0+Χ=Χ.

2. Για οποιοδήποτε στοιχείο Χ Q Q κύριο στοιχείο - ΧО Q (απέναντι Χ) έτσι ώστε

Χ+ (-Χ) = (-Χ) + Χ = 0.

3. (Ανταλλαγή) Για οτιδήποτε x,yО Q

4. (Συσχετισμός) Για κάθε x, y, z Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Αξιώματα της πράξης πολλαπλασιασμού.

Για στοίχημα με παραγγελίες x, yστοιχεία του Q που έχουν εκχωρηθεί στο πραγματικό στοιχείο huÎ Q, τίτλοι δημιουργίας Χі y.Όταν κερδίζεις, σκέψου το εξής:

5. (Isnuvannya μεμονωμένο στοιχείο) Iznuє στοιχείο 1 Q τέτοιο ώστε για οτιδήποτε ΧО Q

Χ . 1 = 1. x = x

6. Για οποιοδήποτε στοιχείο Χ Q Q, ( Χ≠ 0) κύριο στοιχείο Χ-1 ≠0 τέτοιο ώστε

Χ. x -1 = x -1. x = 1

7. (Associativity) Για τα be-things x, y, zО Q

Χ . (στο . z) = (χ . y) . z

8. (Ανταλλαγή) Για οτιδήποτε x, yО Q

Το αξίωμα zv'azku διπλώθηκε και πολλαπλασιάστηκε.

9. (Διανεμητικό) Για οτιδήποτε x, y, zО Q

(x+y) . z=x . z+y . z

Σειρά έχουν τα αξιώματα.

Να είστε σαν δύο στοιχεία x, y, Q Q ξεκινά στο τέλος της γραμμής ≤. Όταν κερδίζεις, σκέψου το εξής:

10. (Χ≤στο)L ( στο≤Χ) ó x=y

11. (Χ≤y)μεγάλο ( y≤ z) => Χ≤z

12. Για μπε-γιακά x, yО Q ή x< у, либо у < x .

Σύνθεση< называется строгим неравенством,

Λόγος = ονομάζεται ισότητα των στοιχείων Q.

Αξίωμα zv'yazku dodavannya ότι η σειρά.

13. Για οποιαδήποτε x, y, z нQ, (x £ y) z x+z £ y+z

Αξίωμα zv'yazku mnozhennya αυτή η σειρά.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) z (0 £ x´y)

Το αξίωμα της αιωνιότητας του Αρχιμήδη.

15. Για το αν a > b > 0, έχουμε m N και n Q έτσι ώστε m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Έτσι, το σύστημα των ρητών αριθμών είναι η αριθμητική του Zem.

Προσέξτε, στην κορυφή των πρακτικών εργασιών μέτρησης, η ταινία δεν είναι αρκετή.

Αξιωματική μέθοδος στα μαθηματικά.

Βασική κατανόηση και κατανόηση της αξιωματικής θεωρίας της φυσικής σειράς. Διορισμός φυσικού αριθμού.

Πρόσθεση φυσικών αριθμών.

Αύξηση φυσικών αριθμών.

Δύναμη του πολλαπλασιαστή των φυσικών αριθμών

Vіdnіmannya raspodіl φυσικοί αριθμοί.

Αξιωματική μέθοδος στα μαθηματικά

Με την αξιωματική προτροπή, συμπληρώνεται κάποιο είδος μαθηματικής θεωρίας τραγουδήστε τους κανόνες:

1. Deyakі κατανοούν τη θεωρία vibirayutsya όπως μείζωνγίνεται δεκτή χωρίς ένταλμα.

2. Διατυπωμένο αξιώματα, που γίνονται αποδεκτές από αυτές τις θεωρίες χωρίς απόδειξη, που έχουν τη δύναμη να κατανοήσουν τις κυριότερες.

3. Το δέρμα καταλαβαίνει τη θεωρία, για να μην εκδικηθεί τη λίστα με τα κύρια, δίνεται ραντεβού, για ένα νέο, εξηγείται yogo zmist για τη βοήθεια των κύριων και το μέτωπο σε αυτή την κατανόηση.

4. Η δερμάτινη πρόταση της θεωρίας, που δεν μπορεί να λείπει από τη λίστα των αξιωμάτων, μπορεί να φανεί στο φως. Τέτοιες προτάσεις λέγονται θεωρήματακαι να τα φέρουν με βάση αξιώματα και θεωρήματα, τα οποία πρόκειται να επεξεργαστούν εκ νέου.

Το σύστημα των αξιωμάτων μπορεί να είναι:

α) αμελητέα:είμαστε ένοχοι buti vpevnenі, scho, roblyachi raznі vysnovki z δεδομένο σύστημα αξιωμάτων, δεν έρχονται σε superechnosti?

β) ανεξάρτητη: κανένα από τα αξιώματα δεν είναι ένοχο για τα ακόλουθα άλλα αξιώματα του συστήματος.

σε) πάλι, ακόμα και μέσα σε αυτό το πλαίσιο, είναι πάντα δυνατό να φέρεις το chi της εταιρείας, που αναγράφεται η yogo.

Η πρώτη απόδειξη του αξιωματικού κινήτρου της θεωρίας πρέπει να ληφθεί υπόψη από το βιβλίο γεωμετρίας του Ευκλείδη στο Yogo "Cobs" (3ος αιώνας ε.). Μια σημαντική συμβολή στην ανάπτυξη της αξιωματικής μεθόδου που εμπνέει τη γεωμετρία και την άλγεβρα αναπτύχθηκε από τον N.I. Lobachevsky και E. Galois. Για παράδειγμα, 19 st. Ο Ιταλός μαθηματικός Peano διέλυσε ένα σύστημα αξιωμάτων για την αριθμητική.

Βασική κατανόηση και κατανόηση της αξιωματικής θεωρίας του φυσικού αριθμού. Διορισμός φυσικού αριθμού.

Ως κύρια (μη σημαντική) κατανόηση στην πολλαπλότητα deakіy Ν επιλέγω παραθυρόφυλλο , και navіt vikoristovuyutsya θεωρητική-πολλαπλή κατανόηση, і navіt τους κανόνες της λογικής.

Ένα στοιχείο που ακολουθεί το στοιχείο χωρίς διακοπή ένα,δηλώ ένα".

Φαινομενικά, "χωρίς ενδιάμεσο follow for" είναι ικανοποιημένοι με τα επερχόμενα αξιώματα:

Αξιώματα Peano:

Αξίωμα 1. Στο απρόσωπο Ν στοιχείο іsnuє, χωρίς μέση όχι προσβλητικόδεν υπάρχουν πολλαπλασιαστές για κανένα στοιχείο. Ας πούμε γιόγκα μοναξιάπου συμβολίζουν 1 .

Αξίωμα 2. Για το στοιχείο του δέρματος ένα η Ν βασικό ενιαίο στοιχείο ένα" , προχωρώντας ακατάπαυστα για ένα .

Αξίωμα 3. Για το στοιχείο του δέρματος ένα η Νіsnuє όχι περισσότερα από ένα στοιχεία, για τα οποία ακολουθεί χωρίς ενδιάμεσο ένα .

Αξίωμα 4.Γίνε σαν πολλαπλασιαστής Μ απρόσωπη Ν spіvpadє z Ν , yakscho maє δύναμη: 1) 1 πάρε εκδίκηση Μ ; 2) από τι ένα πάρε εκδίκηση Μ , επόμενο, τι i ένα" πάρε εκδίκηση Μ.

Ραντεβού 1. Μπέζλιχ Ν , για τα στοιχεία των οποίων τοποθετείται παντζούρι «Ακολουθήστε αμέσως», που ικανοποιεί τα αξιώματα 1-4, ονομάζεται bezlіchchu φυσικοί αριθμοίκαι στοιχεία γιόγκα - φυσικούς αριθμούς.

Αυτό το διορισμένο άτομο δεν έχει τίποτα να πει για τη φύση των στοιχείων του πολλαπλασιαστή Ν . Έτσι, μπορείτε να είστε εκεί. Vibirayuchi σαν απρόσωπο Ν η ημέρα είναι ένας συγκεκριμένος πολλαπλασιαστής, στον οποίο δίνεται μια συγκεκριμένη αναφορά «χωρίς ενδιάμεσο να ακολουθήσει», που ικανοποιεί τα αξιώματα 1-4, το παίρνουμε μοντέλο αυτού του συστήματος αξιώματα.

Το τυπικό μοντέλο του συστήματος αξιωμάτων του Peano είναι μια σειρά αριθμών, που είναι η ρίζα της διαδικασίας της ιστορικής εξέλιξης της διαδοχής: 1,2,3,4,... Η φυσική σειρά ξεκινά από τον αριθμό 1 (αξίωμα 1); Μετά τον φυσικό αριθμό του δέρματος, ακολουθεί αμέσως ένας φυσικός αριθμός (αξίωμα 2). ένας φυσικός αριθμός δέρματος δεν ακολουθεί περισσότερους από έναν φυσικό αριθμό (αξίωμα 3). ξεκινώντας από τον αριθμό 1 και κινούμενοι ώστε να προχωρούν οι φυσικοί αριθμοί ο ένας μετά τον άλλο, παίρνουμε όλους τους πολλαπλασιαστές των αριθμών (αξίωμα 4).

Otzhe, αναπτύξαμε το αξιωματικό σύστημα pobudov των φυσικών αριθμών με την επιλογή του κύριου vodnosiny "χωρίς ενδιάμεσο ακολουθήστε για"αυτό το αξίωμα, σε ορισμένες περιγραφές της γιόγκα της δύναμης. Λίγο πιο πέρα στη θεωρία του pobudov για τη μεταφορά μιας ματιάς στις δυνάμεις των φυσικών αριθμών και στις πράξεις από αυτούς. Η δυσοσμία μπορεί να είναι rozkritі στο ορισμένο και θεωρήματα, tobto. που εισάγεται από την καθημερινή λογική διαδρομή της εισαγωγής του «χωρίς μέση εξέταση», και τα αξιώματα 1-4.

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να καταλάβουμε, όπως εισάγουμε μετά τον προσδιορισμό ενός φυσικού αριθμού, είναι παραθυρόφυλλο "αμέσως μπροστά" , yake συχνά vikoristovuyut για μια ώρα για να δούμε τις δυνάμεις της φυσικής σειράς.

Ραντεβού 2.Τι είναι ένας φυσικός αριθμός σι ακολουθήστε χωρίς ενδιάμεσοφυσικός αριθμός ένα, αυτόν τον αριθμό ένα που ονομάζεται ακριβώς μπροστά(αλλιώς το μπροστινό μέρος) αριθμός β .

Vіdnoshennia "pereduє" maє δίπλα στις αρχές.

Θεώρημα 1. Η ενότητα δεν έχει φυσικό αριθμό εμπρός.

Θεώρημα 2. Το δέρμα είναι ένας φυσικός αριθμός ένα, Vіdmіnne vіd 1, maє one forward number σι,και λοιπόν σι"= ένα.

Η αξιωματική λογική της θεωρίας των φυσικών αριθμών δεν φαίνεται ούτε στο γυμνάσιο ούτε στο γυμνάσιο. Προστατέψτε την κυριαρχία vіdnosinі "χωρίς ενδιάμεσο ακόλουθο", όπως ήταν στα αξιώματα του Peano, є το αντικείμενο μελέτης στο μάθημα των μαθηματικών cob. Ήδη στο πρώτο μάθημα, είναι μια ώρα για να δείτε τους αριθμούς των πρώτων δέκα, είναι ξεκάθαρο, καθώς μπορείτε να πάρετε έναν αριθμό δέρματος. Σε ποιους γίνονται κατανοητές οι λέξεις «γλίστρησε» και «πριν». Το δέρμα είναι ένας νέος αριθμός ως συνέχεια της στριμμένης συστροφής της φυσικής σειράς αριθμών. Μάθετε να αναθεωρείτε στο tsiom, scho με έναν αριθμό δέρματος, είναι το ίδιο, και πάνω από ένα, ότι η φυσική σειρά των αριθμών είναι ανεξάντλητη.

Πρόσθεση φυσικών αριθμών

Για τους κανόνες της αξιωματικής θεωρίας προτροπής, που προσδιορίζουν την πρόσθεση φυσικών αριθμών, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθούν, αντικαταστάτες, "ακολουθήστε αμέσως", καταλαβαίνω "φυσικός αριθμός"і "προηγούμενος αριθμός".

Το Viperedimo vyznachennya διπλώνεται με την προώθηση του mirkuvannyami. Πώς σε κάθε φυσικό αριθμό έναπροσθέστε 1 και μετά πάρτε τον αριθμό ένα",προχωρώντας ακατάπαυστα ένα, έπειτα. ένα+ 1= α"Και, στη συνέχεια, παίρνουμε τον κανόνα της πρόσθεσης 1 σε οποιονδήποτε φυσικό αριθμό. Ale yak add to έναφυσικός αριθμός σι, vіdmіnne vіd 1; Επιταχύνουμε το επερχόμενο γεγονός: αν δούμε ότι 2 + 3 = 5, τότε το άθροισμα είναι 2 + 4 = 6, που ακολουθεί τον αριθμό 5 χωρίς ενδιάμεσο. Με αυτή τη σειρά, 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". Στο ζεστό μοιάζει ίσως, .

Αυτό το γεγονός αποτελεί τη βάση για τον προσδιορισμό των φυσικών αριθμών στην αξιωματική θεωρία.

Ραντεβού 3. Πρόσθεση φυσικών αριθμώνονομάζεται μια αλγεβρική πράξη, η οποία μπορεί να είναι ισχυρή:

Αριθμός α + β που ονομάζεται άθροισμα αριθμών έναі σι , και οι ίδιοι οι αριθμοί έναі σι - dodanki.

ΟΜΣΚ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ OmDPU πλησίον Γ. ΤΑΡΗ
Το LBC εργάζεται για τις αποφάσεις της έκδοσης και της έκδοσης
22ο 73ο υποκατάστημα του OmDPU κοντά στο μετρό Tari
Κεφ.67

Αναγνωρίζονται συστάσεις για φοιτητές παιδαγωγικών πανεπιστημίων, καθώς διδάσκουν το γνωστικό αντικείμενο «Άλγεβρα και Θεωρία Αριθμών». Στα πλαίσια αυτού του κλάδου αναπτύσσεται το 6ο εξάμηνο ο κλάδος «Αριθμοί του συστήματος». Αυτές οι συστάσεις περιλαμβάνουν υλικό σχετικά με την αξιωματική λογική για συστήματα φυσικών αριθμών (σύστημα αξιωμάτων Peano), συστήματα ακεραίων και ρητών αριθμών. Τα αξιωματικά Tsya σάς επιτρέπουν να κατανοήσετε καλύτερα τι είναι ένας τέτοιος αριθμός, ως ένα από τα κύρια για να κατανοήσετε το μάθημα των σχολικών μαθηματικών. Για τη συντομότερη αφομοίωση της ύλης προτείνεται η εισαγωγή σχετικών θεμάτων. Για παράδειγμα, συστάσεις και συστάσεις, δηλώσεις, καθήκοντα.

Κριτής: Ph.D., καθ. Dalinger V.A.

(Γ) Mozhan N.M.

Υπογραφή σε φίλο - 22.10.98

χαρτί εφημερίδας
Κυκλοφορία 100 αντίτυπα.
Λειτουργική μέθοδος ο ένας για τον άλλον
OmDPU, 644099, Omsk, nab. Τουχατσέφσκι, 14
filiya, 644500, Tara, st. Σκίλνα, 69

1. ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.

Με τον αξιωματικό συλλογισμό του συστήματος των φυσικών αριθμών, είναι σημαντικό να ληφθεί υπόψη η κατανόηση του πολλαπλασιαστή, του μπλε, των συναρτήσεων και άλλων πολυθεωρητικών αντιλήψεων.

1.1 Το σύστημα αξιωμάτων του Peano και τα απλούστερα συμπεράσματα.

Η κοινή αντίληψη στην αξιωματική θεωρία του Peano είναι το απρόσωπο N (όπως ονομάζεται η απροσωπία των φυσικών αριθμών), ειδικά ο αριθμός μηδέν (0) από τη νέα και δυαδική σχέση «ακολουθεί» στο N, που συμβολίζεται με S ( α) (ή α ().
ΑΞΙΩΜΑ:
1. ((a(N) a"(0 (Αυτός είναι ένας φυσικός αριθμός 0, ο οποίος δεν ακολουθεί κανέναν αριθμό.))
2. a=b (a"=b"
3. a "=b" (a=b (ο φυσικός αριθμός δέρματος ακολουθεί περισσότερους από έναν αριθμούς.)
4. (αξίωμα επαγωγής) Ως πολλαπλασιαστής M(N και M ικανοποιεί δύο μυαλά:
Α) 0 (Μ;
Β) ((α(Ν) α(Μ® α)(Μ, μετά Μ=Ν).
Στη λειτουργική ορολογία, το ze σημαίνει ότι το S:N®N είναι ανενεργό. Από τα αξιώματα 1 είναι σαφές ότι η ζύμωση S:N®N δεν είναι επιδραστική. Το αξίωμα 4 είναι η βάση για την απόδειξη της σκληρής δουλειάς «με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής».
Σημαντικά ενεργεί η δύναμη των φυσικών αριθμών, που χωρίς ενδιάμεσο κραυγάζουν για αξιώματα.
Ισχύς 1. Το δέρμα είναι ένας φυσικός αριθμός a(0 μετά από έναν και περισσότερους από έναν αριθμούς.
Φέρνοντας. Σημαντικά μέσω των M απρόσωπων φυσικών αριθμών, scho εξαφανιστεί το μηδέν και όλοι οι φυσικοί αριθμοί, το δέρμα οποιουδήποτε ακόλουθου για οποιονδήποτε αριθμό. Αρκεί να δείξουμε ότι M=N, η ενότητα είναι εμφανής από τα αξιώματα 3. Ας αποδείξουμε το αξίωμα της επαγωγής 4:
A) 0(M - από τον πολλαπλασιαστή προτροπής M;
Β) ακόμη και α(Μ, εκείνα τα α"(Μ, περισσότερα α" ακολουθεί το α.
Μέσος όρος από τα αξιώματα 4 M=N.
Ισχύς 2. Όπως a (b, μετά ένα "(b").
Η ισχύς φέρεται με τη μέθοδο «από το απαράδεκτο», αξίωμα βίκορη 3. Ομοίως, τέτοια δύναμη φέρεται 3, αξίωμα βίκορη 2.
Ισχύς 3. Όπως ένα "(b", μετά ένα (b.)"
Ισχύς 4. ((a(N)a(a). (Κανένας φυσικός αριθμός δεν ακολουθεί).)
Φέρνοντας. Έστω M=(x(x(N, x(x))). ) σε μια τέτοια κατάταξη Umov A) αξιώματα 4 0(M - win. Αν x(M, τότε x(x"), τότε 2 x" Το ((x")" είναι σε ισχύ και το tse σημαίνει ότι το Umov B) x (M ® x"(M. Ακολουθεί αληθοδικά το αξίωμα 4 M=N."
Έστω (- το δευτερεύον της δύναμης των φυσικών αριθμών. Το γεγονός ότι ο αριθμός α έχει δύναμη (, γράψτε ((α)).
Εργασία 1.1.1. Επιτρέψτε μου να σας πω ότι το αξίωμα 4 του προσδιορισμού των απρόσωπων φυσικών αριθμών είναι πιο κοντά στην προσβλητική σκληρότητα: για κάθε είδους εξουσία (, όπως ((0) i, τότε).
Εργασία 1.1.2. Η μονομερής πράξη (: a(=c, b(=c, c(=a)) ορίζεται με αυτόν τον τρόπο στον πολλαπλασιαστή τριστοιχείων A=(a,b,c).)
Εργασία 1.1.3. Έστω A \u003d (a) - πολλαπλασιαστής ενός στοιχείου, ένα (= α) Yaki με τα αξιώματα αλήθειας του Peano στον πολλαπλασιαστή A με την πράξη (?)
Εργασία 1.1.4. Σε ένα πλήθος Ν, μια σημαντικά μονομερής πράξη είναι σημαντική, ανεξάρτητα από το ποιος. Εξηγήστε τι θα ισχύει για τα αξιώματα του Peano που διατυπώθηκαν ως προς την πράξη.
Εργασία 1.1.5. Ελα. Να αποδείξετε ότι το Α είναι κλειστό χρησιμοποιώντας την πράξη (. Αντιστρέψτε την αλήθεια των αξιωμάτων του Peano στον πολλαπλασιαστή Α με την πράξη (.).
Εργασία 1.1.6. Ελα, . Σημαντικά, στο Α είναι μια μη ενιαία πράξη, ωστόσο. Πώς αληθεύουν τα αξιώματα του Peano στον πολλαπλασιαστή Α της πράξης;

1.2. Μη υπερεκλεκτικότητα και κατηγοριικότητα του συστήματος αξιωμάτων του Peano.

Το σύστημα των αξιωμάτων ονομάζεται μη υπερκείμενο, καθώς με τα αξιώματα її είναι αδύνατο να φέρουμε το θεώρημα T και її εγκάρσιο (T. Έγινε κατανοητό ότι τα υπεραποδοτικά συστήματα αξιωμάτων δεν μπορούν να έχουν την ίδια αξία στα μαθηματικά, γιατί σε τέτοια θεωρία είναι δυνατό να φέρεις τα πάντα. Επομένως, η έλλειψη υπεροχής του συστήματος των αξιωμάτων είναι απολύτως απαραίτητη.
Ο Yakshcho στο Aksіomatic θεώρημα δεν σημάδεψε το θεώρημα t і ї ї ї ї ї ї ї δεν σημαίνει, το σύστημα του Aksi δεν κατακλύζεται· στο γεγονός ότι η ερμηνεία του συστήματος των αξιωμάτων σε μια προφανώς μη υπερίσιμη θεωρία S, τότε το ίδιο το σύστημα των αξιωμάτων είναι μη υπερίσο.
Για το σύστημα των αξιωμάτων του Peano, μπορεί κανείς να zbuduvat πλούσιες διαφορετικές ερμηνείες. Ιδιαίτερα πλούσιο σε ερμηνεία της θεωρίας της πολλαπλότητας. Μία από αυτές τις ερμηνείες είναι σημαντική. Με φυσικούς αριθμούς, μπορούμε να πάρουμε πολλαπλάσια (, ((), ((())), (((())),..., θα διακρίνουμε το μηδέν από τον αριθμό (. (M), το μοναδικό στοιχείο του τέτοια και τέτοια Μ. Σε αυτή τη σειρά, ("=((), (()"=((()) και ούτω καθεξής)) είναι μικρό: δείχνει ότι το σύστημα των αξιωμάτων του Peano είναι παρόλο που η θεωρία των πολλαπλασίων δεν είναι υπερθετικό, αλλά η απόδειξη της μη υπερπόλης του συστήματος των αξιωμάτων της θεωρίας των πολλαπλασίων είναι ακόμη πιο σημαντική.
Ένα σύστημα αξιωμάτων που δεν είναι υπερθετικό ονομάζεται ανεξάρτητο, επειδή το αξίωμα του δέρματος αυτού του συστήματος δεν μπορεί να αποδειχθεί ως θεώρημα με βάση άλλα αξιώματα. Να φέρει στο φως ότι το αξίωμα
(1, (2, ..., (n, ((1))
αρκετά για να αποδείξει ότι το σύστημα των αξιωμάτων είναι μη υπερκείμενο
(1, (2, ..., (n, (((2))
Είναι αλήθεια, yakby (ήταν δυνατό να διαφέρει από τα άλλα αξιώματα του συστήματος (1), τότε το σύστημα (2) ήταν εξαιρετικά έξυπνο, τα θραύσματά του θα ίσχυαν για το θεώρημα (και το αξίωμα ((.)).
Επίσης, για να φέρουμε την ανεξαρτησία των αξιωμάτων (από άλλα αξιώματα του συστήματος (1), αρκεί να ενθαρρύνουμε την ερμηνεία του συστήματος των αξιωμάτων (2).
Η ανεξαρτησία του συστήματος των αξιωμάτων είναι μια μεγάλη neobov'yazkova. Μερικές φορές, για να αποφύγουμε την απόδειξη «σημαντικών» θεωρημάτων, θα δημιουργήσουμε ένα υπερκόσμιο (κατάθεση) σύστημα αξιωμάτων. Ωστόσο, τα αξιώματα "zayvі" διευκολύνουν τον ρόλο των αξιωμάτων στη θεωρία, καθώς και τους εσωτερικούς λογικούς δεσμούς μεταξύ των διαφορετικών τμημάτων της θεωρίας. Επιπλέον, η pobudova іinterpretatsіy για συστήματα αγρανάπαυσης αξιωμάτων είναι σημαντικά διπλωμένη, χαμηλότερη για ανεξάρτητα. ακόμα κι αν πρέπει να επανεξετάσετε την εγκυρότητα των αξιωμάτων «zayvih». Από τους λόγους διατροφής της αγρανάπαυσης, ανάμεσα στα αξιώματα του παρελθόντος, δόθηκε η πρώτη σημασία. Προσπαθήστε να φέρετε στην εποχή σας ότι το 5ο αξίωμα στην αξιωματική του Ευκλείδη «Δεν είναι περισσότερο από μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α παράλληλο προς την ευθεία» (», є από το θεώρημα (να βρίσκεται στα άλλα αξιώματα) και κατέληξε στο συμπέρασμα της γεωμετρίας του Lobachevsky).
Ένα μη υπερθετικό σύστημα ονομάζεται απαγωγικά νέο, καθώς εάν η πρόταση Α μιας δεδομένης θεωρίας μπορεί είτε να φερθεί, είτε να διακηρυχτεί, τότε είτε το Α, είτε (το Α είναι θεώρημα της δεδομένης θεωρίας. ένα αξίωμα ονομάζεται επαγωγική θεώρηση - tezh δεν obov'yazkova vimoga, για παράδειγμα, ένα σύστημα αξιωμάτων της θεωρίας των ομάδων, η θεωρία της επικράτειας, η θεωρία του ποτίσματος - δεν είναι αλήθεια, τα θραύσματα βασίζονται σε και ομάδες kіntsevі και neskіnchennі, kіltsya, χωράφια, τότε σε αυτά θεωρίες που δεν μπορείς να ρωτήσεις, δεν μπορείς να φέρεις πρόταση.: "Group (kіltse, field) to avenge kіltse kіlkіst elements".
Πρέπει να σημειωθεί ότι σε πλούσιες αξιωματικές θεωρίες (οι ίδιες, σε μη επισημοποιημένες) οι απρόσωπες προτάσεις δεν μπορούν να ληφθούν επακριβώς υπόψη και είναι αδύνατο να φέρουμε την απαγωγική πληρότητα του συστήματος αξιωμάτων μιας τέτοιας θεωρίας. Η δεύτερη αλλαγή ονομάζεται συχνά κατηγορική. Το σύστημα των αξιωμάτων ονομάζεται κατηγορικό, άρα είτε είναι δύο ερμηνείες ισομορφικές, έτσι ώστε να υπάρχει μια τόσο αμοιβαία σαφής διάκριση μεταξύ πολλαπλών αντικειμένων στάχυ και άλλων ερμηνειών Κατηγορικότητα - tezh neobov'yazkova μυαλό. Για παράδειγμα, το αξιωματικό σύστημα της θεωρίας ομάδων δεν είναι κατηγορηματικό. Ο λόγος είναι ότι η ομάδα Kintsev δεν μπορεί να είναι μια ισόμορφη ομάδα χωρίς δέρμα. Ωστόσο, με την αξιοποίηση της θεωρίας ενός αριθμητικού συστήματος, η κατηγορηματική φύση του obov'yazkova. για παράδειγμα, η κατηγορική φύση του συστήματος των αξιωμάτων, που δηλώνει φυσικούς αριθμούς, σημαίνει ότι, μέχρι τον ισομορφισμό, υπάρχει μόνο μία φυσική σειρά.
Ας φέρουμε την κατηγορία του συστήματος αξιωμάτων του Peano. Έστω (N1, s1, 01) και (N2, s2, 02) δύο ερμηνείες του συστήματος αξιωμάτων του Peano. Είναι απαραίτητο να υποδείξετε μια τέτοια biektivne (αμοιβαία μονοσήμαντη) έκφραση f: N1®N2, για την οποία θα πρέπει να σκεφτείτε:
α) f(s1(x)=s2(f(x)) για οποιοδήποτε x N1;
β) f(01) = 02
Εάν οι μοναδικές πράξεις s1 και s2 προσβάλλονται από την ίδια διαδρομή, τότε umova α) ξαναγράψτε
α) f(x()=f(x)(.
Σημαντικά στον πολλαπλασιαστή N1(N2)
1) 01f02;
2) πώς xfy, x(fy(.
Ας αλλάξουμε, τι χρησιμότητα έχει η ζύμωση Ν1 σε Ν2, μετά για δερματικά x s N1
(((y(N2)xfy(1)
Σημαντικά μέσω του M1 απρόσωπων στοιχείων x N1, για μερικά μυαλά (1) κερδίζουν. Todi
Α) 01 (M1 z 1);
Β) x(M1 ® x((M1 δυνάμει του 2) και η ισχύς του 1 σημείου 1).
Επομένως, σύμφωνα με το αξίωμα 4, είναι πιθανό ότι M1=N1, και tse i σημαίνει ότι η εισαγωγή f є ζύμωσης του N1 N2. Στο tsimu z 1) είναι προφανές ότι f (01) = 02. Το Umov 2) γράφεται ως εξής: f(x)=y, μετά f(x()=y(. Ακούγεται σαν f(x()=f(x)(. Επίσης, για την αντανάκλαση της f, σκεφτείτε ένα )) και β.
Σημαντικά μέσα από το M2, απρόσωπα ήσυχα στοιχεία του N2, δέρμα οποιουδήποτε από αυτά με τη μορφή ενός και μόνο ενός στοιχείου του N1 όταν εμφανίζεται το f.
Θραύσματα f(01)=02, μετά 02 є. Αν ναι x(N2 і x(01), τότε για ισχύ 1 στοιχείο 1 x ακολουθεί το τρέχον στοιχείο c z N1 і τότε f(x)=f(c()=f(c)((02. Μέσος όρος, 02 f) η κατάταξη ενός μεμονωμένου στοιχείου 01, μετά 02 (M2.
Προχωρήστε y(M2 і y=f(x), όπου x είναι η μοναδική προεικόνα του στοιχείου y. Στη συνέχεια, δυνάμει του a) y(=f(x)(=f(x()), τότε y( є η εικόνα του στοιχείου x ) (. Έστω c μια προεικόνα του στοιχείου y(, μετά f(c)=y(. Skіlki y((02, μετά c(01 і c) είναι το μπροστινό στοιχείο, που έχει νόημα μέσω του δ.)) Τότε y( =f( c)=f(d()=f(d)(, λόγω του αξιώματος 3 y=f(d)). M2 ® y
Όλα τα προελληνικά μαθηματικά έχουν ελάχιστο εμπειρικό χαρακτήρα. Όλα τα στοιχεία της θεωρίας πνίγονταν στη μάζα των εμπειρικών προσεγγίσεων για την ανάπτυξη πρακτικών εργασιών. Οι Έλληνες έδωσαν αυτό το εμπειρικό υλικό λογικής ανάλυσης, προσπάθησαν να βρουν τη σύνδεση μεταξύ διαφορετικών εμπειρικών δεδομένων. Για τους οποίους η όλη αίσθηση της γεωμετρίας παίζει μεγάλο ρόλο ο Πυθαγόρας και η σχολή (5ος αι. μ.Χ.). Οι ιδέες της αξιωματικής μεθόδου εκφράστηκαν ξεκάθαρα στα έργα του Αριστοτέλη (4ος αι. μ.Χ.). Prote, μια πρακτική ανάπτυξη αυτών των ιδεών πραγματοποιήθηκε από τον Ευκλείδη στη γιόγκα "Cobs" (3 αιώνες μ.Χ.).
Τρεις μορφές αξιωματικών θεωριών μπορούν να ονομαστούν.
ένας). Αξιωματικά Zmistovna, σαν να ήταν ένα μέχρι τα μέσα του περασμένου αιώνα.
2). Napіvformal axiomatics, scho vinyl στο τελευταίο τέταρτο του περασμένου αιώνα.
3). Η τυπική (αλλιώς επισημοποιημένη) είναι η αξιωματική, η ημερομηνία γέννησης της οποίας μπορεί να ληφθεί ως το 1904, αν ο D. Hilbert δημοσίευσε το περίφημο πρόγραμμά του σχετικά με τις βασικές αρχές των επισημοποιημένων μαθηματικών.
Η νέα μορφή δέρματος δεν μπλοκάρεται μπροστά, αλλά με ανάπτυξη και διευκρίνιση, το ίδιο ισχύει και για τη σοβαρότητα της νέας μορφής δέρματος, χαμηλότερα μπροστά.
Τα αξιωματικά του Zmistovna χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι μπορούν να γίνουν κατανοητά διαισθητικά καθαρά πριν από τη διατύπωση αξιωμάτων. Έτσι, στα «Στάδικα» του Ευκλείδη, κάτω από το σημείο της κατανόησης, αυτοί που είναι διαισθητικά αυτονόητοι κάτω από αυτές τις κατανοήσεις. Ταυτόχρονα, υπάρχει μια σπουδαία γλώσσα, και μια μεγάλη διαισθητική λογική, που μοιάζει περισσότερο με τον Αριστοτέλη.
Οι τυπικές αξιωματικές θεωρίες έχουν επίσης ισχυρή γλώσσα και διαισθητική λογική. Ωστόσο, οι πρώτοι κατανοητές δεν βασίζονται στην ίδια διαισθητική αίσθηση, χαρακτηρίζονται μόνο από αξιώματα. Ο ίδιος ο Τιμ κινεί την αυστηρότητα, τα θραύσματα της διαίσθησης με έναν τραγουδιστικό κόσμο κατακτούν την αυστηρότητα. Επιπλέον, η υπνηλία αυξάνεται, στο γεγονός ότι το θεώρημα του δέρματος, που εισάγεται σε μια τέτοια θεωρία, θα είναι δίκαιο σε κάθε ερμηνεία. Ένα σαφές τραγούδι της επίσημης αξιωματικής θεωρίας είναι η θεωρία του Hilbert, που περιλαμβάνεται στο βιβλίο "Imagine Geometry" (1899). Τα άκρα των θεωριών nap_vformalnyh είναι επίσης η θεωρία των kіlets και άλλες θεωρίες, που παρουσιάζονται στην πορεία της άλγεβρας.
Η βάση της επισημοποιημένης θεωρίας είναι ο υπολογισμός του αριθμού των λέξεων, ο οποίος αναπτύσσεται στο μάθημα της μαθηματικής λογικής. Στο vіdmіnu vіd zmіstovnoї napіvformalії aksiomatiki, vіdmіnu vіd zmіstovnoї ї napіvformalії aksiomatics, στα formalіzirovanіy teorії vykoristovuєє mombolіchna osoblіchna. Το αλφάβητο της θεωρίας αποδίδεται στον εαυτό της, έτσι ώστε να είναι ένα απόσπασμα απρόσωπων συμβόλων, που παίζουν τον ίδιο ρόλο με τα γράμματα στην αρχική γλώσσα. Είτε πρόκειται για μια ακολουθία kіntseva από σύμβολα ονομάζεται viraz ή λέξη. Μεταξύ των ιών, υπάρχει μια κατηγορία σκευασμάτων και το ακριβές κριτήριο που επιτρέπει την αναγνώριση του ιού του δέρματος υποδεικνύεται από τη φόρμουλα. Οι τύποι παίζουν τον ίδιο ρόλο με τον λόγο της μεγάλης γλώσσας. Deyakі τύποι goloshuyutsya αξιώματα. Επιπλέον, τίθενται λογικοί κανόνες όρασης. Ένας τέτοιος κανόνας σημαίνει ότι στην πορεία του συνόλου των τύπων, ολόκληρος ο τύπος είναι χωρίς μέση. Η απόδειξη του ίδιου του θεωρήματος είναι το τέλος του lantz των τύπων, ο υπόλοιπος τύπος είναι το ίδιο το θεώρημα και ο τύπος δέρματος είναι είτε αξίωμα, είτε το θεώρημα παρουσιάστηκε νωρίτερα, διαφορετικά τραγουδάει από τη μέση του μπροστινού τύποι της λόγχης σε έναν από τους κανόνες παρατήρησης. Σε αυτήν την κατάταξη, δεν πρέπει να υποστηρίξουμε τα στοιχεία σχετικά με την εγκυρότητα των αποδεικτικών στοιχείων: διαφορετικά Δανέζικο lanciugє απόδειξη, ή є, δεν υπάρχουν οριστικές αποδείξεις. Στον σύνδεσμο με το cim, η αξιωματική επισημοποιείται για να συνηθίσει τις ιδιαίτερα λεπτές αρχές του ασταρώματος μαθηματικές θεωρίες, αν η προφανής διαισθητική λογική μπορεί να οδηγήσει σε συγχωροχάρτια, που αποτελούν τον κύριο βαθμό μέσα από τις ανακρίβειες και την ασάφεια του μεγάλου μας κινήματος.
Έτσι, όπως στην επισημοποίηση της θεωρίας για το δέρμα βιράζ είναι δυνατόν να πούμε ότι είναι από έναν τύπο, τότε οι απρόσωπες προτάσεις της επισημοποιημένης θεωρίας μπορούν να ληφθούν υπόψη. Σε συνάρτηση με αυτό, είναι δυνατόν, καταρχήν, να αναλυθεί το επιχείρημα για την απόδειξη του απαγωγικού λόγου, καθώς και για την απόδειξη της μη επιπολαιότητας, χωρίς να υπεισέλθει σε ερμηνεία. Με αρκετούς από τους απλούστερους τρόπους, μπορείτε να δείτε τη διαφορά. Για παράδειγμα, η έλλειψη επιπολαιότητας του υπολογισμού πραγματοποιείται χωρίς ερμηνεία.
Στις μη επισημοποιημένες θεωρίες, οι απρόσωπες προτάσεις δεν ορίζονται με σαφήνεια, οπότε ο λόγος απόδειξης της μη επιπολαιότητας, χωρίς να πάμε σε ερμηνεία, τίθεται βλακωδώς. Αυτές οι ίδιες αξίες και τροφή για την απόδειξη της απαγωγικής povnoti. Ωστόσο, παρόλο που ακούστηκε μια τέτοια πρόταση ανεπίσημης θεωρίας, αν δεν είναι δυνατόν να την φέρουμε ή να ρωτήσουμε, τότε η θεωρία, προφανώς, είναι απαγωγικά ανακριβής.
Η αξιωματική μέθοδος έχει καθιερωθεί από καιρό όχι μόνο στα μαθηματικά, αλλά και στη φυσική. Πρώτα, δοκιμάστε το απευθείας, ο Αριστοτέλης προσπάθησε να το κάνει, αλλά διόρθωσε και τη δική του αξιωματική μέθοδο στη φυσική, αποκλείοντας τα ρομπότ του Νεύτωνα από τη μηχανική.
Στο σύνδεσμο με την ταραχώδη διαδικασία της μαθηματοποίησης των επιστημών, βρίσκεται και η διαδικασία της αξιωματικοποίησης. Καμία από τις αξιωματικές μεθόδους δεν βρίσκεται σε διάφορα τμήματα της βιολογίας, για παράδειγμα, στη γενετική.
Οι δυνατότητες της αξιωματικής μεθόδου δεν είναι ατελείωτες.
Είναι σημαντικό ότι δεν πρέπει να ξεχνάμε την επισημοποίηση των θεωριών χωρίς να αγνοούμε τη διαίσθηση. Η ίδια η θεωρία επισημοποιείται χωρίς καμία ερμηνεία του επιθυμητού νοήματος. Η ευθύνη για αυτό είναι χαμηλή στη σύνδεση μεταξύ της επισημοποιημένης θεωρίας και της ερμηνείας. Επιπλέον, όπως και στην επισημοποίηση των θεωριών, τίθεται ένα ερώτημα για τη μη υπεροχή, την ανεξαρτησία και την πληρότητα του συστήματος των αξιωμάτων. Το σύνολο όλων αυτών των τροφίμων γίνεται η ουσία μιας άλλης θεωρίας, όπως ονομάζεται μεταθεωρία μιας επισημοποιημένης θεωρίας. Με βάση την επισημοποιημένη θεωρία, η μεταθεωρία της γλώσσας είναι η πιο σημαντική καθημερινή γλώσσα και ο λογικός καθρέφτης πραγματοποιείται με τους κανόνες της φυσικής διαισθητικής λογικής. Με αυτόν τον τρόπο, η διαίσθηση, η οποία είναι πάλι παρμένη από την επισημοποιημένη θεωρία, επανεμφανίζεται στη μεταθεωρία.
Όμως η κύρια αδυναμία της αξιωματικής μεθόδου δεν είναι στο τσόμα. Παλαιότερα είχε ήδη σκεφτεί το πρόγραμμα του D. Hilbert, καθώς έθεσε τα θεμέλια για μια επισημοποιημένη αξιωματική μέθοδο. Η κύρια ιδέα του Hilbert είναι να κάνει τα κλασικά μαθηματικά ως μια τυπική αξιωματική θεωρία, για να φέρει τη μη υπεροχή. Ωστόσο, το πρόγραμμα στα κύρια σημεία του φαινόταν ουτοπικό. Το 1931, ο διάσημος Αυστριακός μαθηματικός K. Gödel ανέπτυξε τα περίφημα θεωρήματά του, τα οποία κατέστησαν σαφές ότι η προσβολή των βασικών καθηκόντων που έθεσε ο Hilbert δεν δημοσιεύθηκαν. Ο Yomu πήγε πέρα από τη βοήθεια της μεθόδου κωδικοποίησης του για να μάθει τη βοήθεια τύπων τυπικής αριθμητικής και να φέρει τη βοήθεια της μεταθεωρίας ότι αυτοί οι τύποι δεν είναι ορατοί στην επισημοποίηση της αριθμητικής. Με αυτόν τον τρόπο, η τυπική αριθμητική φάνηκε απαγωγικά ανακριβής. Από τα αποτελέσματα του Gödel, ήταν σαφές ότι ακόμα κι αν ένας αναπόδεικτος τύπος συμπεριληφθεί στον αριθμό των αξιωμάτων, τότε υπάρχει ένας άλλος αναπόδεικτος τύπος που εκφράζει την ίδια σωστή πρόταση. Όλα αυτά σήμαιναν ότι όχι μόνο όλα τα μαθηματικά, αλλά για να μάθουν αριθμητική - το πιο απλό μέρος, είναι αδύνατο να επισημοποιηθεί. Ο Zokrema, ο Gödel, έχοντας εμπνεύσει έναν τύπο που δείχνει τις προτάσεις "Τυποποιημένη αριθμητική είναι μη υπεράνω", και δείχνοντας ότι ούτε ο τύπος μπορεί να εμφανιστεί. Αυτό σημαίνει ότι η ατέλεια της τυπικής αριθμητικής δεν μπορεί να φτάσει στο μέσο της ίδιας της αριθμητικής. Zrozumіlo, μπορείτε να ενθαρρύνετε μια ισχυρή επισημοποιημένη θεωρία και її φέρνοντας τη μη υπεροχή της επισημοποιημένης αριθμητικής, και ταυτόχρονα να κατηγορήσετε το πιο σημαντικό για τη μη υπεροχή της νέας θεωρίας.
Τα αποτελέσματα του Gödel δείχνουν την εγκυρότητα της αξιωματικής μεθόδου. Και, το πιο σημαντικό, podstav για απαισιόδοξο visnovkіv στη θεωρία της γνώσης αυτού που δεν γνωρίζει την αλήθεια, - όχι. Το ότι καθιερώνονται αριθμητικές αλήθειες, που δεν μπορούν να οδηγηθούν στην επισημοποίηση της αριθμητικής, δεν σημαίνει εκδήλωση άγνοιας αληθειών και δεν σημαίνει αφάνεια της ανθρώπινης σκέψης. Vin σημαίνει μόνο ότι οι δυνατότητες του μυαλού μας δεν θα περιοριστούν σε διαδικασίες, ότι θα είναι πιο επισημοποιημένες και ότι οι άνθρωποι πρέπει ακόμα να δοκιμάσουν και να βρουν νέες αρχές απόδειξης.

1.3 Αποθήκευση φυσικών αριθμών

Οι πράξεις αναδίπλωσης και πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών με το σύστημα των αξόνων του Peano δεν υποβάλλονται, αλλά αντί για πράξεις.
Ραντεβού. Η πρόσθεση φυσικών αριθμών ονομάζεται δυαδική αλγεβρική πράξη + στον πολλαπλασιαστή N, η οποία μπορεί να είναι ισχυρή:
1s. ((a(N)a+0=a);
2γ. ((a, b (N) a + b (= (a + b)).
Κατηγορώντας τη διατροφή - τι είναι μια τέτοια επέμβαση, αλλά αν είναι, τότε τι είναι;
Θεώρημα. Η πρόσθεση φυσικών αριθμών είναι απαραίτητη και μόνο μία.
Φέρνοντας. Η δυαδική πράξη της άλγεβρας στην πολλαπλότητα N είναι η ζύμωση (:N(N®N. Είναι απαραίτητο να φέρουμε ότι υπάρχει μόνο μία ζύμωση (:N(N®N με δυνάμεις: 1)) ((x(N) ((x,0)= x; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y))). 0) )=x; ).
Σημαντικά στον πολλαπλασιαστή N, δυαδική έκφραση fx από τα μυαλά:
α) 0fxx;
β) πώς yfxz, y(fxz(.
Ας αλλάξουμε, ποια είναι η χρήση του N σε N, τότε για το δέρμα y z N
(((z(N) yfxz (1)
Σημαντικά, μέσω του Μ, ο πολλαπλασιαστής των φυσικών αριθμών y, για τους οποίους οι νόες (1) είναι νικητές. Σκεφτείτε λοιπόν α) vyplyaє, scho 0 (M, a z um b) και δύναμη 1 p. και σημαίνει ότι το fx είναι η ζύμωση του N σε N. Για ποια ζύμωση, σκεφτείτε:
1() fx(0)=x - s a);
2() fx((y)=fx(y() - έως β).
Ο ίδιος ο Τιμ έφερε το σκεπτικό για το πάσο.
Φέρνουμε ενότητα. Έστω + i (- είναι σαν δύο δυαδικές πράξεις της άλγεβρας στα σύνολα N με δυνάμεις 1c και 2c. Είναι απαραίτητο να φέρουμε ότι
((x, y(N) x + y = x(y)
Είναι σταθερό αρκετά ο αριθμός x i είναι σημαντικός μέσω του S απρόσωπων φυσικών αριθμών y, για τους οποίους ισοδυναμία
x+y=x(y(2)
νίκη. Skіlki zgіdno 1с x+0=x і x(0=x, λοιπόν
Α) 0 (Σ
Έστω τώρα το y(S, ώστε να κερδίσει η ισότητα (2). Άρα x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y))(ι x+y=x(y, τότε) ) αξιώματα 2 x+y(=x(y(, για να κερδίσει το μυαλό)
Β) y(S ® y((S.)
Άρα, με το αξίωμα 4 S=N, που συμπληρώνει την απόδειξη του θεωρήματος.
Ας φέρουμε τις αρχές στο dodavannya.
1. Ο αριθμός 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, άρα a+0=0+a=a για το δέρμα φυσικό αριθμό α.
Φέρνοντας. Ισορροπία α+0=α ουρλιάζει από το μυαλό 1s. Φέρνουμε ισότητα 0+a=a.
Σημαντικά μέσω Μ απρόσωπων αριθμών, που δεν θα κερδίσουν. Προφανώς, 0+0=0 και 0(M. Έστω a(M, μετά 0+a=a.) Στη συνέχεια 0+a(=(0+a)(=a(i, aka, a((M) ) Otzhe, M=N, πώς και είναι απαραίτητο να φέρει.
Δώσε μας ένα λήμα.
Λήμμα. a(+b=(a+b)(.
Φέρνοντας. Έστω M ένας απρόσωπος αριθμός όλων των φυσικών αριθμών b, για τους οποίους η ισότητα είναι a(+b=(a+b)(αληθής για οποιαδήποτε τιμή του a.):
Α) 0(Μ, θραύσματα a(+0=(a+0)(;);
Γ) b(M ® b((M. Σίγουρα, αφού το b(M και 2c) είναι δυνατό)
a(+b(=(a(+b))(=((a+b)()(=(a+b()(,
άρα b ((Μ. Μέση, Μ = Ν, τι πρέπει να φέρω).
2. Η πρόσθεση φυσικών αριθμών είναι ανταλλάξιμη.
Φέρνοντας. Έστω M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a))) Πείτε μου ότι M=N. Ίσως:
Α) 0 (M - κόστος 1.
Γ) a(M ® a((M)
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.)).
Μέσος όρος a((M, i από το αξίωμα 4 M=N).
3. Προσθήκη συνειρμικά.
Φέρνοντας. Ελα
M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)+c=a+(b+c))
Είναι απαραίτητο να φέρετε ότι M=N. Άρα (a+b)+0=a+b και a+(b+0)=a+b, μετά 0(M. Έστω s(M, μετά (a+b)+c=a+(b+c) ) .
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c())).
Μέση τιμή c((M i κατά αξίωμα 4 Μ=Ν).
4. a+1=a(, de 1=0(.
Φέρνοντας. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Αν b(0), τότε ((a(N)a+b(a)).
Φέρνοντας. Έστω M=(a(a(N(a+b(a)) 0+b=b(0, μετά 0(M)). 2 p.1 (a+b)((a(διαφορετικά a( +b (α)) σημαίνει a((M і M=N)).
6. Αν b(0, τότε ((a(N)a+b(0))
Φέρνοντας. Αν a=0, τότε 0+b=b(0, αν a(0 і a=c(, τότε a+b=c(+b=(c+b))((0. Άρα, y είναι- που χρόνος α) + β (0.
7. (Ο νόμος της αναδίπλωσης τριχοτομίας). Για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς a και b, μόνο μία και μόνο μία από τις τρεις ομοιότητες είναι αληθής:
1) a = b;
2) b=a+u de u(0;
3) a=b+v de v(0.
Φέρνοντας. Καθορίζουμε έναν ορισμένο αριθμό a και είναι σημαντικός μέσω του M ο πολλαπλασιαστής όλων των φυσικών αριθμών b, για τον οποίο ένας από τους συνειρμούς 1), 2), 3) είναι νικητής. Είναι απαραίτητο να φέρετε ότι M=N. Έστω b = 0. Αν a=0, τότε 1), και αν a(0, μόλις 3), τότε a=0+a. Otzhe, 0 (Μ.
Είναι πλέον αποδεκτό ότι το b(M, έτσι ώστε το αντίστροφο του a να είναι ένα από τα αντίστροφα των 1), 2), 3). Αν a=b, τότε b(=a(=a+1, τότε για το b(μετράται η μετατόπιση 2).) Εάν b=a+u, τότε b(=a+u(, τότε για b(η μετατόπιση μετριέται) 2 ) Αν a=b+v, τότε είναι δυνατές δύο αποκλίσεις: v=1 και v(1. Αν v=1, τότε a=b+v=b», τότε για το b» η αναλογία αντίστροφης είναι 1 και v(1 , μετά v=c", de c(0 και μετά a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, de c(0, άρα για b "έχουμε αντίστροφο 3). Αργότερα, φέραμε ότι το b (M ® b "(M, i, επίσης M = N, οπότε για το εάν a και b, κάποιος θέλει να χρησιμοποιήσει ένα από τα σύμφωνα 1), 2), 3) δεν μπορούν να νικηθούν αμέσως. spіvvіdnoshennia 2) και 3), τότε μικρό b a = (a + u) + v = a + + (u + v), αλλά είναι αδύνατο μέσω της δύναμης του 5 και του 6. Η δύναμη του 7 φτάνει στο τέλος της.
Εργασία 1.3.1. Έστω 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))). Πες μου 3+5 = 8, 2+4=6.

1.4. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΖΟΝΤΑΣ ΦΥΣΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ.

Ραντεβού 1. Ο πολλαπλασιασμός των φυσικών αριθμών ονομάζεται μια τέτοια δυαδική πράξη (στον πολλαπλασιαστή Ν, για τον οποίο μετράται ο νους:
1u. ((x(N)x(0=0);
2 ε. ((x, y(N)x(y)=x(y+x).
Δικαιώνω ξανά τη διατροφή - γιατί είναι μια τέτοια επέμβαση και πώς είναι, τότε ποιο είναι το μόνο πράγμα;
Θεώρημα. Η πράξη του πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών είναι μόνο μία.
Η απόδειξη μπορεί να γίνει με τον ίδιο τρόπο όπως και για την πρόσθετη απόδειξη. Είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε μια τέτοια έκφραση (:N(N®N), όπως
1) ((x(N)) ((x,0)=0;
2) ((x, y (N) ((x, y")) = ((x, y) + x).
Διορθώνουμε έναν αρκετά αριθμό x. Είναι επίσης δυνατό για το δέρμα x(N іsnuvannya vіrazhennya fx: αρχή του N®N
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
τότε η συνάρτηση ((x,y), που ισούται με ((x,y)=fx(y) και ικανοποιεί τα μυαλά 1) και 2).
Αργότερα, η απόδειξη του θεωρήματος φτάνει μέχρι την απόδειξη της βάσης αυτής της ενότητας για το δέρμα x της συνάρτησης fx(y) με δυνάμεις 1") και 2"). Ας ορίσουμε τον αριθμό των τιμών N σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:
α) ο αριθμός μηδέν ορίζεται στον αριθμό 0,
β) αφού στον αριθμό y δίνεται ο αριθμός c, τότε ο αριθμός y (ο αριθμός c + x είναι ίσος).
Ας επανεξετάσουμε ότι σε μια τέτοια ρύθμιση ο αριθμός δέρματος y μπορεί να είναι μια ενιαία εικόνα: και είναι σημαντικό ότι είναι δυνατή η μετατροπή του N σε N. Σημαντικά, μέσω του M της απροσωπικότητας όλων των φυσικών αριθμών y, μπορεί να σχηματιστεί μια ενιαία εικόνα. Σκεφτείτε α) ότι το αξίωμα 1 είναι σαφές, άρα 0(Μ. Έστω y(Μ. Σκεφτείτε β) και το αξίωμα 2 είναι σαφές, ότι y((Μ. Άρα, M=N, άρα ο λόγος μας είναι N) στο N , είναι σημαντικά ως προς το fx, μετά fx(0)=0 λόγω του a) και fx(y()=fx(y)+x - λόγω του b).
Αργότερα, επιβεβαιώθηκε ο λόγος της λειτουργίας πολλαπλασιασμού. Επιτρέψτε μου τώρα (i (- είναι δύο δυαδικές πράξεις στον πολλαπλασιαστή N με δυνάμεις 1y και 2y. Μένει να πούμε ότι ((x,y(N) x(y=x(y) Διορθώνουμε έναν αρκετά αριθμό x και μην))
S=(y?y(N(x(y=x(y))
Μετάβαση στο 1y x(0=0 і x(0=0, μετά 0(S. Έστω y(S), μετά x(y=x(y))
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
i, τότε, y((S. Άρα, S=N, χαμηλότερο i, τελειώνει η απόδειξη του θεωρήματος).
Σημαντικά πολλοί διάκονοι της εξουσίας.
1. Το ουδέτερο στοιχείο είναι συνήθως ο αριθμός 1=0(, άρα ((a(N) a(1=1(a=a))).
Φέρνοντας. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a)) Με αυτόν τον τρόπο έχει συμπληρωθεί η ισότητα του a(1=a. N) (1(a=a). Άρα 1 (0=0, μετά 0(M. Έστω a(M, μετά 1(a=a)). Τότε 1(a(=1(a+1=a +1=) a(, i, otzhe, a( (Μ. Άρα, από τα αξιώματα 4 Μ=Ν, που ήταν απαραίτητο να φέρουμε).
2. Για ένα σύνολο εμποροπανηγύρεων, σωστός διανεμητικός νόμος, λοιπόν
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc).
Φέρνοντας. Έστω M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)c=ac+bc))). , μετά 0(M. Άρα c(M, μετά (a+b) c=ac+bc), τότε (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a+b=(ac+a)+(bc+b)= ac(+bc(.) Άρα, c((M і M=N).
3. Ο πολλαπλασιασμός των φυσικών αριθμών είναι ανταλλάξιμος, δηλαδή ((a,b(N) ab=ba).
Φέρνοντας. Ας το κάνουμε σωστά για το b (N ίσο με 0 (b = b (0 = 0. Το ίσο b (0 = 0) είναι καθαρό 1y. Έστω M = (b (b (N (0 (b = 0))) ) 0 =0, μετά 0(M. Άρα b(M, μετά 0(b=0, μετά 0(b(=0(b+0=0)) i, επίσης, b((M. Άρα, M= N, τότε η ισότητα 0(b=b(0 φέρεται σε όλα b(N. Ας πάμε παρακάτω) S=(a (a(N(ab=ba))). a) (S, μετά ab = ba. Στη συνέχεια a (b = (a + 1) b = ab + b = ba + b = ba (, τότε a ((S. Άρα S = N), που είναι απαραίτητο να φέρει) .
4. Πολλαπλή διανεμητική αναδίπλωση. Tsya dominion viplivaє z dominion 3 και 4.
5. Ο πληθυντικός είναι συνειρμικός, δηλαδή ((a, b, c (N) (ab) c = a (bc)).
Η απόδειξη πραγματοποιείται, όπως στην αποθήκη, επαγωγή στο s.
6. Αν a(b=0, τότε a=0 και b=0, τότε το N δεν έχει μηδενικούς διαιρέτες.
Φέρνοντας. Έστω b(0 і b=c(. Αν ab=0, τότε ac(=ac+a=0, τα πρόσημα ακολουθούν τη δύναμη του 6 στοιχείου 3, άρα a=0).
Εργασία 1.4.1. Έστω 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))). Πες μου τι 2(4 =8, 3(3=9.
Έστω n, a1, a2, ..., an φυσικοί αριθμοί. Το άθροισμα των αριθμών a1, a2,...,an ονομάζεται αριθμός, όπως συμβολίζεται μέσω αυτού από τα μυαλά. για κάθε φυσικό αριθμό k
Ένα υποσύνολο των αριθμών a1, a2,...,an είναι ένας φυσικός αριθμός, καθώς συμβολίζεται με i και συμβολίζεται με μυαλά: ; για κάθε φυσικό αριθμό k
Πώς δηλώνεται αυτός ο αριθμός μέσω ενός.
Εργασία 1.4.2. Φέρε τι
ένα);
σι);
σε);
ΣΟΛ);
μι);
μι);
και);
η);
і) .

1.5. ΣΕΙΡΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ.

Η δήλωση "ακολουθεί" είναι αντιαντανακλαστική και αντισυμμετρική, αλλά όχι μεταβατική και δεν ακολουθεί αυτή τη σειρά. Αλλάζουμε σημαντικά τη σειρά, βασιζόμενοι στην πρόσθεση φυσικών αριθμών.
Ραντεβού 1. α
Προορισμός 2. a(b (((x(N) b=a+x)).
Perekonaєmosya, scho vіdnoshennia Vіdznachimo deyaki vlastnostі φυσικοί αριθμοί, povyazanih іz vіdnosinami іnоnostі і nerіvnostі.
1.
1,1 a=b (a+c=b+c).
1,2 a = b (ac = bc).
1.3α
1.4α
1,5 a+c=b+c (a=b).
1,6ac=bc(c(0(a=b).
1,7a+c
1,8 ac
1,9α
1.10 π
Φέρνοντας. Η κυριαρχία 1.1 και 1.2 αποπνέουν από τη μοναδικότητα των πράξεων αναδίπλωσης και πολλαπλασιασμού. Yakscho α
2. ((α(Ν) α
Φέρνοντας. Oskils a(=a+1, μετά a
3. Το ελάχιστο στοιχείο N είναι 0 και το ελάχιστο στοιχείο N\(0) είναι ο αριθμός 1.
Φέρνοντας. Άρα ((a(N) a=0+a, τότε 0(a, i, επομένως, 0 είναι το μικρότερο στοιχείο του N.) Τότε, όπως x(N\(0), τότε x=y(, y( N ) , διαφορετικά x = y + 1. Η απάντηση είναι ότι ((x (N \ (0)) 1 (x, άρα 1 είναι το μικρότερο στοιχείο στο N \ (0)).
4. Πρόταση ((a, b (N) ((n (N)) b (0 (nb> a)).
Φέρνοντας. Προφανώς, για κάθε φυσικό α, υπάρχει και φυσικός αριθμός n, ο οποίος
a Ένας τέτοιος αριθμός є, για παράδειγμα, n = a (. Dahl, εάν b (N \ (0), τότε για την ισχύ 3
1(b(2)
Τα Ζ (1) και (2) με βάση τις δυνάμεις 1.10 και 1.4 λαμβάνουν αα.

1.6. Η ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΤΑΞΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ.

Ραντεβού 1. Ως μη-κενός υποπολλαπλασιαστής ενός διατεταγμένου πολλαπλασιαστή (M; Επανεξετάστε ότι η νέα σειρά είναι γραμμική. Έστω a και b δύο στοιχεία από έναν ολόκληρο διατεταγμένο πολλαπλασιαστή (M; Lema) . 1) α
Φέρνοντας.
1) a((b (b=a(+k, k(N)(b=a+k(, k((N\(0)))
2) a(b(b=a+k, k(N)(b(=a+k(, k((N\(0)))
Θεώρημα 1. Η φυσική σειρά στο σύνολο των φυσικών αριθμών είναι υψηλότερη τάξη.
Φέρνοντας. Έστω ότι το M είναι κενό από τους απρόσωπους φυσικούς αριθμούς και S είναι η άυλη ύλη των κατώτερων ενδιάμεσων στο N, άρα S = (x (x (N (((m (M)) x (m)). επόμενο, 0(S Ο Yakby ήταν νικητής και τα άλλα αξιώματα του Umov 4 n(S(n((S, στη συνέχεια μικρό b S=N)).
Θεώρημα 2. Εάν υπάρχει ένα μη κενό όριο για το θηρίο των απρόσωπων φυσικών αριθμών, μπορεί να υπάρχει το μεγαλύτερο στοιχείο.
Φέρνοντας. Έστω M ένα μη κενό όριο μεταξύ του θηρίου των απρόσωπων φυσικών αριθμών, και S είναι η απροσωπία των άνω κορδονιών, άρα S=(x(x(N((m(M)) m(x)).) Σημαντικά μέσω του x0, το μικρότερο στοιχείο του y S. Αν m
Εργασία 1.6.1. Φέρε τι
ένα);
σι);
σε).
Εργασία 1.6.2. Έλα (- deak δύναμη των φυσικών αριθμών και k - περισσότερο από έναν φυσικό αριθμό. Φέρε τι
α) να είναι σαν ένας φυσικός αριθμός μπορεί να είναι δύναμη (όπως μόνο το 0 μπορεί να είναι δύναμη για οποιοδήποτε n (0
β) εάν είναι φυσικός αριθμός, μεγαλύτερος ή ίσος του k, maє ισχύς (, αν μόνο k maє tsyu ισχύς i για οποιαδήποτε παράλειψη n (k (n) s, scho n maє δύναμη (, επόμενος, αριθμός scho n + 1 επίσης Volodya tsієyu power). ;
γ) είναι φυσικός αριθμός, μεγαλύτερος ή ίσος του k, μπορεί να έχει δύναμη (όπως μόνο το k μπορεί να έχει δύναμη και για ό,τι το n (n>k) είναι ένα επίδομα, ότι όλοι οι αριθμοί t, που εκχωρούνται από νοητικό k (t

1.7. ΑΡΧΗ ΕΠΑΓΩΓΗΣ.

Vikoristovuyuchi povryadkovannost του συστήματος των φυσικών αριθμών, μπορείτε να φέρετε ένα τέτοιο θεώρημα, την αποθεμελίωση μιας από τις μεθόδους απόδειξης, τίτλους με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.
Θεώρημα (αρχή επαγωγής). Usі vyslovlyuvannya z ακολουθία A1, A2, ..., An, ... є іstnymi, yakshcho vykonuyutsya μυαλό:
1) Το Α1 είναι αληθές.
2) πώς να χρησιμοποιήσετε το Ak με το k
Φέρνοντας. Είναι αποδεκτό να μην αποδεχτείτε: σκεφτείτε 1) και 2) να κερδίσετε, αλλά εάν το θεώρημα δεν είναι αληθές, τότε δεν θα επιτρέψουμε το є απρόσωπο M = (m (N (N \ (0), Am - hibno)). στοιχείο, το οποίο έχει νόημα από την άποψη του ν. διανοητικά 1) Το A1 είναι αληθές και το An είναι κακό, τότε 1(n, i, aka, 1)
Για επιβεβαίωση με τη μέθοδο της επαγωγής, διακρίνονται δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο, που ονομάζεται βάση της επαγωγής, η νοοτροπία του νου ανατρέπεται 1). Από την άλλη πλευρά της σκηνής, που ονομάζεται induction crock, ο νους φέρεται στο μυαλό 2). Τις περισσότερες φορές, οι βιπάδες διασχίζονται, εάν για να αποδειχθεί η αλήθεια του An, δεν είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί η νικηφόρα της αλήθειας του Ak στο k
βαρέλι. Να φέρει ανομοιομορφία Πληρώσιμο = Σκ. Είναι απαραίτητο να φέρουμε την αλήθεια της παραγώγου Ak=(Sk Η ακολουθία της έκπτωσης, όπως περιγράφεται στο Θεώρημα 1, μπορεί να προέρχεται από το κατηγόρημα A(n) που έχει εκχωρηθεί στο σύνολο N ή στο υποσύνολο Nk=(x( x(N, x(k)), όπου k είναι ένας σταθερός φυσικός αριθμός.
Sokrema, αν k=1, τότε N1=N(0), και η αρίθμηση μπορεί να πραγματοποιηθεί για πρόσθετες ισότητες A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A(n), .. Αν k(1, τότε η ακολουθία των εμφανίσεων μπορεί να ληφθεί από πρόσθετες ομοιότητες A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n-1), . Για τέτοιες τιμές, το Θεώρημα 1 μπορεί να διατυπωθεί με διαφορετική μορφή.
Θεώρημα 2. Το κατηγόρημα A(m) είναι επίσης αληθές στον πολλαπλασιαστή Nk, ώστε να γνωρίζετε:
1) Το A(k) είναι αληθές.
2) πώς να χρησιμοποιήσετε το A(m) για το m
Εργασία 1.7.1. Επιτρέψτε μου να σας πω ότι αυτού του είδους η ισότητα δεν αποφασίζει στη συλλογή των φυσικών αριθμών:
α) x + y = 1;
β) 3x = 2;
γ) x2 = 2;
δ) 3x+2=4;
ε) x2+y2=6;
στ) 2x+1=2y.
Εργασία 1.7.2. Φέρτε τη νικηφόρα αρχή της μαθηματικής επαγωγής:
α) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
σι);
σε);
ΣΟΛ);
μι);
μι).

1.8. VIDCHITANNYA I DELENNYA ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.

Ονομασία 1. Η διαφορά μεταξύ των φυσικών αριθμών a και b είναι τόσο φυσικός αριθμός x που b+x=a. Η διαφορά των φυσικών αριθμών a και b συμβολίζεται με a-b, και η πράξη της διαφοράς της διαφοράς ονομάζεται διαφορά. Το Vіdnimannya δεν είναι μια λειτουργία της άλγεβρας. Θεώρημα Tse vyplyvaє iz nastupnoї.
Θεώρημα 1. Λιανικό α-β είναι η μόνη διαφορά και μόνο μία, αν β(α. Αν υπάρχει διαφορά, τότε μόνο μία).
Φέρνοντας. Αν b(a, τότε για τον προσδιορισμό της αναφοράς (αν είναι φυσικός αριθμός x, τότε b+x=a. Ale ce i σημαίνει ότι x=a-b. ότι b + x = a. Alece σημαίνει ότι b (a .
Φέρνουμε ενότητα λιανικό α-β. Έστω a-b=x και a-b=y. Το ίδιο ισχύει και για τα ραντεβού 1 b+x=a, b+y=a. Zvіdsi b+x=b+y і, επίσης, x=y.
Προορισμός 2. Το κλάσμα δύο φυσικών αριθμών a και b(0) ονομάζεται φυσικός αριθμός c έτσι ώστε a = bc.
Θεώρημα 2. Είναι περισσότερο ιδιωτικό από ένα.
Φέρνοντας. Έλα = x ότι = y. Το ίδιο ισχύει και για τα ραντεβού 2 a=bx και a=by. Zvіdsi bx=by і, επίσης, x=y.
Αξίζει να σημειωθεί ότι οι επεμβάσεις που πραγματοποιήθηκαν με την ευκαιρία αυτή μπορούν να μετρηθούν κυριολεκτικά με τον ίδιο τρόπο, όπως στην περίπτωση των σχολικών βοηθών. Tse σημαίνει ότι στις παραγράφους 1-7, με βάση τα αξιώματα του Peano, τέθηκε η θεωρητική βάση της αριθμητικής των φυσικών αριθμών και στη συνέχεια καθιερώθηκαν περαιτέρω εξελίξεις στο μάθημα του γυμνασίου στα μαθηματικά και στο πανεπιστημιακό μάθημα «Άλγεβρα και αριθμός Θεωρία".
Εργασία 1.8.1. Αποδώστε δικαιοσύνη τέτοιων ισχυρισμών, παραδεχόμενοι ότι όλες οι διαφορές που αναφέρονται στους τύπους τους είναι σαφείς:
α) (α-β)+γ=(α+γ)-β;
β) (α-β) (γ = α (γ-β (γ);
γ) (α+β)-(γ+β)=α-γ;
δ) α-(β+γ)=(α-β)-γ;
ε) (α-β)+(γ-δ)=(α+γ)-(β+δ);
ε) (α-β)-(γ-δ)=α-γ;
ζ) (α+β)-(β-γ)=α+γ;
η) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
έως) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
ια) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
ιβ) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
ο) a2-b2=(a-b)(a+b).
Εργασία 1.8.2. Για να αποδώσουμε τη δικαιοσύνη των επερχόμενων κακουχιών, παραδεχόμενοι ότι όλα είναι ιδιωτικά, ότι δηλώνονται στη δεδομένη φόρμουλα, είναι ξεκάθαρο.
ένα); σι); σε); ΣΟΛ); μι); μι); και); η); Εγώ); προς την); μεγάλο); Μ); n); σχετικά με); Π); R).
Εργασία 1.8.3. Για να αποδείξετε ότι οι μητέρες δύο διαφορετικών φυσικών λύσεων δεν μπορούν να είναι τόσο ίσες: α) ax2+bx=c (a,b,c(N)· β) x2=ax+b (a,b(N)· γ) 2x= ax2 + b(a,b(N).
Εργασία 1.8.4. Λύστε φυσικούς αριθμούς ίσους:
α) x2+(x+1)2=(x+2)2; β) x + y = x (y; c); δ) x2+2y2=12; ε) x2-y2 = 3; ε) x + y + z = x (y (z.
Εργασία 1.8.5. Για να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τέτοια ίση λύση στη σφαίρα των φυσικών αριθμών: α) x2-y2=14; β) x-y = xy; σε); ΣΟΛ); ε) x2=2x+1; στ) x2 = 2y2.
Εργασία 1.8.6. Διαλύοντας τους φυσικούς αριθμούς της ανομοιομορφίας: α) ; σι); σε); δ) x+y2 Εργασία 1.8.7. Πείτε μου ότι στο βασίλειο των φυσικών αριθμών, η έναρξη του spiving είναι δίκαιη: α) 2ab(a2+b2; β) ab+bc+ac(a2+b2+c2; γ) c2=a2+b2 (a2+b2 +c2 1.9 ΚΙΛΚΙΣΝΙ ΘΑΝΑΤΟΣ φυσικοί αριθμοί.
Πραγματικά, οι φυσικοί αριθμοί θα πρέπει να τοποθετηθούν ως η κύρια κατάταξη του rahunka των στοιχείων, και ποιοι πρέπει να τοποθετηθούν στον λογισμό των φυσικών αριθμών θεωρητικά από τον Peano.
Προορισμός 1. Ανώνυμος (x(x(N, 1(x(n)) ονομάζεται σε αντίθεση με τη φυσική σειρά) και συμβολίζεται μέσω (1; n ()).
Ραντεβού 2. Ένας πολλαπλασιαστής kіntsevoj ονομάζεται αν είναι πολλαπλασιαστής, ίσος με οποιονδήποτε μετρητή της φυσικής σειράς, και επίσης κενός πολλαπλασιαστής. Ο Bezlich, όπως και όχι є kіtsevim, λέγεται χωρίς δέρμα.
Θεώρημα 1 στο βρεγμένο(Tobto podmnozhini, vіdmіny vіd A).
Φέρνοντας. Πώς A=(, το θεώρημα είναι αληθές, δεν υπάρχουν κενά θραύσματα κενών υποπολλαπλάσιων. Ας A((ι A εξίσου σκληρό (1,n((A((1,n()).)) Μπορούμε να αποδείξουμε το θεώρημα επαγωγής στο n. Yakscho n= 1 , τότε A((1,1(, τότε χρησιμοποιούμε τον απλό υποπολλαπλασιαστή του πολλαπλασιαστή A είναι ένας κενός πολλαπλασιαστής. Ήταν σαφές ότι A(i, επίσης, για n=1 , το θεώρημα είναι αληθές. Υποθέστε ότι το θεώρημα είναι αληθές για n=m, τότε όλοι οι τερματικοί πολλαπλασιαστές, ίσες δυνάμεις στον άνεμο (1,m(, μην σκεφτείτε ίσες δυνάμεις στον άνεμο). αντίστροφα)) (1, m+1(στο Α. Αν το ((k) είναι γνωστό με ak, k=1,2,...,m+1, τότε το απρόσωπο Α μπορεί να γραφτεί ως A=(a1, a2, ...) ) , am, am+1) Στόχος μας είναι να αποδείξουμε ότι το Α δεν έχει εξίσου ισχυρά υποπολλαπλάσια δύναμης.
Ας δούμε τους πολλαπλασιαστές A1 = A (am + 1) και B1 = B (am + 1). Εφόσον f(am+1)=am+1, τότε η συνάρτηση f zdіysnyuvatime εμφανίζει βιοενεργά τον πολλαπλασιαστή A1, από τον πολλαπλασιαστή B1. Σε αυτή την κατάταξη, το απρόσωπο Α1 θα είναι ίσο με το ισχυρό υποπολλαπλάσιό του Β1. Ale oskіlki A1((1,m(, δεν αντικαθιστούν το επίδομα επαγωγής).
Συμπέρασμα 1. Η απουσία φυσικών αριθμών δεν είναι περιορισμένη.
Φέρνοντας. Από τα αξιώματα του Peano, είναι σαφές ότι τα S:N®N\(0), S(x)=x(αντικειμενικά) ζυμώνονται.
Συμπέρασμα 2. Εάν ο πολλαπλασιαστής A του kіntsev δεν είναι κενός, ισούται με ένα και μόνο αντίστοιχο της φυσικής σειράς.
Φέρνοντας. Έστω A((1,m(ι A((1,n(. Todі)) (1,m(((1,n(, λόγω του Θεωρήματος 1 είναι ξεκάθαρο), άρα m=n.)).
Το τελευταίο 2 σάς επιτρέπει να εισάγετε έναν προσδιορισμό.
Ονομασία 3. Ως A((1,n(, τότε ο φυσικός αριθμός n ονομάζεται ο αριθμός των στοιχείων στον πολλαπλασιαστή A), και η διαδικασία δημιουργίας αμοιβαίας σαφούς ομοιότητας μεταξύ των πολλαπλασιαστών A και (1,n (ονομάζεται αριθμός στοιχείων στον πολλαπλασιαστή Α. Ο αριθμός των φυσικών στοιχείων του πολλαπλάσιου του κενού εισάγετε) τον αριθμό μηδέν.
Για το μεγαλείο της σημασίας του rahunka για μια πρακτική ζωή, μιλήστε zayve.
Αντιστοίχως, γνωρίζοντας τον λογισμό ενός φυσικού αριθμού, θα ήταν δυνατό να υπολογιστεί η πράξη πολλαπλασιασμού μέσω της ίδιας της πρόσθεσης:
.
Δεν στείλαμε προς το παρόν αυτό τον τρόπο, για να δείξουμε ότι η ίδια η αριθμητική δεν απαιτείται με την έννοια του λογισμού: η λογιστική αίσθηση του φυσικού αριθμού χρειάζεται μόνο σε προσθήκες στην αριθμητική.

1.10. ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΩΣ ΔΙΑΚΡΙΤΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΕΙΝΑΙ ΤΑΤΤΙΚΑ BAGATO.

Δείξαμε ότι οι απρόσωποι φυσικοί αριθμοί είναι συμβατοί με τη φυσική τάξη και την ολική σειρά. Εάν ναι, ((a(N) a
1. για οποιονδήποτε αριθμό a(N іsnuє sudіdnє που έρχεται μετά από αυτόν 2. για οποιονδήποτε αριθμό a(N \ (0) іsnuє suіdnє yoma μπροστά σου) Ολόκληρη η τάξη του απρόσωπου (A;()) με δυνάμεις 1 και 2 ονομάζεται υπόμνημα διακριτός κύκλος Φαίνεται ότι η σειρά με τις δυνάμεις 1 και 2 είναι η χαρακτηριστική ισχύς του συστήματος των φυσικών αριθμών. Το στοιχείο i, επίσης, αξίωμα 1 κερδίζει ο Peano).
Έτσι, είναι σαν μια γραμμική σειρά, τότε για οποιοδήποτε στοιχείο a υπάρχει ένα μεμονωμένο στοιχείο που το ακολουθεί και όχι περισσότερα από ένα προς τα εμπρός sudidny στοιχεία. σκεφτείτε:
1) a0(M, όπου a0 είναι το μικρότερο στοιχείο του A.
2) α(Μ (α((Μ.))
Ας πούμε ότι Μ=Ν. Το παραδεκτό δεν γίνεται αποδεκτό, τότε το A\M((. Σημαντικά, μέσω του b, το μικρότερο στοιχείο στο A\M.
Φέραμε επίσης τη δυνατότητα ενός άλλου προσδιορισμού του συστήματος των φυσικών αριθμών.
Ραντεβού. Το σύστημα των φυσικών αριθμών ονομάζεται εάν ένα πλήθος είναι διατεταγμένο ως σύνολο, στο οποίο υπολογίζονται τα μυαλά:
1. Για οποιοδήποτε στοιχείο, υπάρχει ένα επόμενο στοιχείο προώθησης πίσω από αυτό.
2. για οποιοδήποτε στοιχείο, το λιγότερο ορατό στοιχείο, το κύριο δικαστικό στοιχείο.
Іsnuyut іnshі pіdhodi προορισμός του συστήματος των φυσικών αριθμών, στο οποίο δεν κάνουμε εδώ zupinaєmosya.

2. ΤΣΙΛΗ ΚΑΙ ΟΡΘΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.

2.1. ΣΗΜΑΣΙΑ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ.
Φαίνεται ότι δεν υπάρχει αριθμός ακεραίων στο μυαλό ενός διαισθητικού μυαλού, και ο δακτύλιος είναι σε θέση να διπλώσει αυτόν τον πολλαπλασιαστή, επιπλέον, ο δακτύλιος είναι να εκδικηθεί τους φυσικούς αριθμούς. Έγινε κατανοητό ότι δεν υπάρχει ορκωμοσία στους αριθμούς kіltsі tsіlih, όπως θα εκδικηθεί όλους τους φυσικούς αριθμούς. Το τσι της δύναμης, φαίνεται, μπορεί να τεθεί ως βάση για έναν αυστηρό προσδιορισμό ενός συστήματος αριθμών. Στις παραγράφους 2.2 και 2.3, θα αναφέρεται η ορθότητα ενός τέτοιου χαρακτηρισμού.
Ραντεβού 1. Το σύστημα των αριθμών ονομάζεται αλγεβρικό σύστημα, για το οποίο ο νους είναι:
1. Αλγεβρικό σύστημα є kіltse;
2. Η ανωνυμία των φυσικών αριθμών θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη, επιπλέον, η πρόσθεση αυτού του πολλαπλασιασμού στο kіltsі στο υποπολλαπλάσιο λαμβάνεται από την πρόσθεση αυτού του πολλαπλασιαστή των φυσικών αριθμών, tobto
3. (umova minimality). Το Z είναι το ελάχιστο για τη συμπερίληψη του πολλαπλασιαστή με δύναμη 1 και 2. Με άλλα λόγια, για να εκδικηθούν οι φυσικοί αριθμοί, τότε Z0=Z.
Στο ραντεβού 1 μπορεί να δοθεί αξιωματικός χαρακτήρας. Οι πρώτες έννοιες σε αυτή την αξιωματική θεωρία θα είναι:
1) Ανώνυμος Ζ, τα στοιχεία του οποίου ονομάζονται ακέραιοι αριθμοί.
2) Ένας ειδικός ακέραιος αριθμός, όπως ονομάζεται μηδέν και υποδεικνύεται μέσω του 0.
3) Τριαδικό vіdnosini + ta (.
Μέσω N, ως συνήθως, οι απρόσωποι φυσικοί αριθμοί συμβολίζονται με αναδίπλωση (και πολλαπλασιασμούς (. Στην πραγματικότητα, μέχρι τον προσδιορισμό 1, το σύστημα ακεραίων ονομάζεται ένα τέτοιο σύστημα άλγεβρας (Z; +, (, N ), για τα οποία παρατίθενται τα ακόλουθα αξιώματα):
1. (Αξιώματα του kіltsya.)
1.1.
Αυτό το αξίωμα σημαίνει ότι το + є είναι μια δυαδική πράξη της άλγεβρας στο σύνολο Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c)).
1.3. ((a, b (Z) a + b = b + a).
1.4. ((a(Z) a+0=a, άρα ο αριθμός 0 μπορεί να προστεθεί ως ουδέτερο στοιχείο).
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0), άρα για τον ακέραιο δέρμα υπάρχει ο αντίθετος αριθμός a()).
1.6. ((a,b(Z))((! d(Z) a(b=d)).
Αυτό το αξίωμα σημαίνει ότι ο πολλαπλασιασμός είναι μια δυαδική πράξη της άλγεβρας στον πολλαπλασιαστή Z.
1.7. ((a, b, c(Z)) (a(b)(c = a((b(c))).
1.8. ((a, b, c (Z) (a + b) (c = a (c + b (c, c ((a + b)) = c (a + c (b))
2. (Αξιώματα της σύνδεσης μεταξύ του Z και του συστήματος των φυσικών αριθμών.)
2.1. Ν(Ζ.
2.2. ((a, b (N) a + b = a (b).
2.3. ((a, b(N)) a(b = a(b).
3. (Αξίωμα μινιμαλισμού.)
Αν Z0 είναι το άκρο του δακτυλίου Z και N(Z0, τότε Z0=Z.
Σημαντικά πράξεις ισχύος του συστήματος αριθμών.
1. Ο αριθμός των δερμάτων μπορεί να αναπαρασταθεί κοιτάζοντας τη διαφορά μεταξύ δύο φυσικών αριθμών. Η εμφάνιση είναι διφορούμενη, εξάλλου, z=a-b και z=c-d, de a, b, c, d (N, και τα δύο και μόνο αν a+d=b+c).
Φέρνοντας. Είναι σημαντικό ότι μέσω του Z0, η απουσία όλων των ακεραίων, το δέρμα οποιουδήποτε από αυτούς, μοιάζει με δύο φυσικούς αριθμούς. Προφανώς, ((a(N) a=a-0, i, aka, N(Z0).
Ας πάμε x,y(Z0, μετά x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N. Τότε x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--(b + c )=(a(d)-(b(c)), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d))- ( a(d(b(c). Μπορεί να φανεί ότι x-y, x(y(Z0 i, εφεξής, το Z0 είναι ένα υποσύνολο του δακτυλίου Z, για να εκδικηθεί το απρόσωπο N.)).
2. Ο δακτύλιος των ακεραίων είναι ένας ανταλλάξιμος δακτύλιος με ενότητα, και το μηδέν του δακτυλίου είναι ο φυσικός αριθμός 0 και η ενότητα του δακτυλίου είναι ο φυσικός αριθμός 1.
Φέρνοντας. Έστω x,y(Z. Ισχύει για την ισχύ 1 x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N.) Τότε x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)- (ad) +bc)=(a(c(b(d))-(a(d(b(c)), y(x=(c-d))(a-b)=(ca+db)-(da+ cb )=(c( a(d(b)-(d(a(c(b))). Επομένως, λόγω της ανταλλαξιμότητας του πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών, ταιριάζει σε εκείνο xy=yx. Η μετατρεψιμότητα του πολλαπλασιασμού σε έχει φέρει το δαχτυλίδι Z. 2 vyplyvayut από τις επιθετικές εμφανείς ισότητες, στις οποίες, μέσω του 0 και του 1, είναι γνωστοί οι φυσικοί αριθμοί μηδέν και ένα: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+ 0=(a+0)+(-b) =(a(0)+ (-b) = a-b = x x (1 = (a-b) (1 = a (1-b (1 = a (1-b ( 1 = a-b = x)))

2.2. ΣΥΣΤΗΜΑ ІSNUVANNYA ΚΥΛΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ.

Το σύστημα αριθμών εκχωρείται στο 2,1 ως το ελάχιστο για τη συμπερίληψη του δακτυλίου, το οποίο εκδικείται τους φυσικούς αριθμούς. Vikaє pitanya - τι είναι το ίδιο kіltse; Με άλλα λόγια, το σύστημα των αξιωμάτων s 2.1 είναι υπεραπλουστευτικό. Για να φέρουμε τη μη υπεροχή του συστήματος των αξιωμάτων, είναι απαραίτητο να προκαλέσουμε μια ερμηνεία σε μια σαφώς μη εποπτεύσιμη θεωρία. Μια τέτοια θεωρία λαμβάνεται υπόψη από την αριθμητική των φυσικών αριθμών.
Και πάλι, είναι απαραίτητο να εξηγήσουμε την ερμηνεία του συστήματος των αξιωμάτων 2.1. Ας φύγουμε για τα απρόσωπα. Για τους οποίους τα απρόσωπα είναι σημαντικά δύο δυαδικές πράξεις και μια δυαδική ρύθμιση. Εάν προσθέσετε αυτόν τον πολλαπλασιασμό των ζευγών για να προσθέσετε σε αυτόν τον πολλαπλασιασμό των φυσικών αριθμών, τότε όπως για τους φυσικούς αριθμούς, προσθέτοντας ότι ο πολλαπλασιασμός των ζευγών είναι μεταθετικός, συνειρμικός και κατανεμητικός με την πρόσθεση. Ας επανεξετάσουμε, για παράδειγμα, την ανταλλαξιμότητα της πρόσθεσης ζευγών: +===+.
Ας ρίξουμε μια ματιά στη δύναμη της vіdnoshennia ~. Oskіlki a + b = b + a, μετά ~, μετά ρυθμίζοντας το ~ αντανακλαστικά. Αν ~, τότε a+b1=b+a1, τότε a1+b=b1+a, τότε ~. Otzhe, ρύθμιση ~ συμμετρικά. Προχώρα ~ i ~. Ισχύουν και οι ισότητες a+b1=b+a1 και a1+b2=b1+a2. Προσθέτοντας τους αριθμούς των ισοτήτων, αφαιρούμε το a + b2 = b + a2 και μετά το ~. Otzhe, ρύθμιση ~ επίσης μεταβατικά і, otzhe, є ισοδύναμο. Η κατηγορία ισοδυναμίας που εκδικείται ένα ζευγάρι θα καθοριστεί μέσω. Σε αυτήν την κατάταξη, η κλάση ισοδυναμίας μπορεί να εκχωρηθεί ως το δικό σας ζευγάρι και μαζί της
(1)
Η ανωνυμία όλων των κατηγοριών ισοδυναμίας είναι σημαντική μέσω. Το καθήκον μας είναι να δείξουμε ότι ο πολλαπλασιαστής σε περίπτωση καθορισμένης λειτουργίας αναδίπλωσης και πολλαπλασιασμού θα είναι η ερμηνεία του συστήματος των αξιωμάτων από το 2.1. Οι πράξεις στο απρόσωπο είναι σημαντικές από ισότητες:
(2)
(3)
Αν i είναι, τότε στον πολλαπλασιαστή N ισχύει η ισότητα a+b(=b+a(, c+d(=a+c(,)), η ισότητα (a+c)+(b(+d( )=(b ) +d)+(a(+c(), το οποίο, δυνάμει του (1), είναι αποδεκτό, το οποίο. Tse σημαίνει ότι η ισοδυναμία (2) σημαίνει μια μοναδική πράξη πρόσθεσης σε έναν πολλαπλασιαστή, έτσι όπως να μην ψέματα στην επιλογή των ζευγών, που σημαίνει προσθήκες) και μοναδικότητα του πολλαπλασιασμού των κλάσεων Με αυτόν τον τρόπο, οι ισότητες (2) και (3) αποδίδονται στην πολλαπλότητα των δυαδικών πράξεων της άλγεβρας.
Η προσθήκη και ο πολλαπλασιασμός των κλάσεων Oskіlki μπορεί να δημιουργηθεί μέχρι αναδίπλωσης και πολλαπλασιασμού ζευγών, αυτές οι λειτουργίες είναι αντικαταστατικές, οι συνειρμικές και οι κλάσεις πολλαπλασιασμού αναδιπλώνονται εύκολα με κατανομή. Από τις ισότητες, ορίζεται ότι η κλάση είναι ουδέτερο στοιχείο του τρόπου αναδίπλωσης και η κατηγορία δέρματος είναι η πολλαπλασιαστική μία κατηγορία. Άρα, ο πολλαπλασιαστής είναι κύκλος, άρα μετρώνται τα αξιώματα της ομάδας 1 από το 2,1.
Ας ρίξουμε μια ματιά στην kіl'tsі podmnozhina. Αν a(b, τότε μέσω (1) , και αν a
Στο απρόσωπο, το δυαδικό είναι σημαντικό (ακολουθεί (; το ίδιο, μετά την κλάση, μετά την κλάση, de x (є φυσικός αριθμός, που έρχεται μετά το x. Κατηγορία, που έρχεται μετά από φυσικά σημαινόμενο μέσω). η τάξη ακολουθεί την τάξη i πριν από αυτήν είναι μόνο ένα.
Ας δούμε την εικόνα. Είναι προφανές ότι ο σκοπός της ζύμωσης είναι διενεργός και ο νους f(0)= , f(x()==(=f(x)(.)). ;, () Με άλλα λόγια, άλγεβρα (;, () είναι μια ερμηνεία του συστήματος αξιωμάτων του Peano. Προέρχεται από ισομορφικές άλγεβρες, επομένως μπορείτε να θεωρήσετε με σεβασμό ότι το ίδιο το απρόσωπο N υποπολλαπλασιάζεται. ) \u003d a + c, a (c \u003d ac, που σημαίνει ότι η προσθήκη αυτού Στις προσθέσεις και τους πολλαπλασιασμούς των φυσικών αριθμών προστίθεται πολλαπλασιασμός στο kіltsi στο υποπολλαπλάσιο N. Έτσι εγκαθίσταται η πρόσθεση των αξιωμάτων της ομάδας 2.
Έλα Z0 - γίνε σαν kіltse pіdkіltse, scho να εκδικηθείς τον απρόσωπο N i. Με εκτίμηση, scho th, otzhe,. Ale oskіlki Z0 - ένα kіlce, τότε η διαφορά μεταξύ αυτών των κατηγοριών μπορεί επίσης να βρίσκεται με ένα kіltsu Z0. З ισότητες -= (= fit, sho (Z0 і, aka, Z0=. Μη υπεροχή του συστήματος αξιωμάτων του στοιχείου 2.1 φέρεται).

2.3. ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ.

Έχω μόνο ένα σύστημα αριθμών για το διαισθητικό μυαλό μου. Tse σημαίνει ότι το σύστημα των αξιωμάτων, που δηλώνει τους αριθμούς των αριθμών, μπορεί να είναι κατηγορηματικό, επομένως να είναι η ερμηνεία του συστήματος των αξιωμάτων ισομορφική. Κατηγορικό και σημαίνει ότι, μέχρι τον ισομορφισμό, υπάρχει μόνο ένα σύστημα αριθμών. Perekonayemosya, scho tse αλήθεια έτσι.
Έστω (Z1;+,(,N) και (Z2;(,(,N)) δύο ερμηνείες του συστήματος των αξιωμάτων του στοιχείου 2.1.) είναι γεμάτα με απείθαρχο και κρέμα για οποιαδήποτε στοιχεία x και y από τον δακτύλιο Z1 δικαιοσύνη
(1)
. (2)
Με εκτίμηση, τα σκάγια Ν(Ζ1 και Ν(Ζ2, λοιπόν
, a(b=a(b. (3)
Έστω x(Z1 і x=a-b, de a,b(N. Ορίστε το στοιχείο x=a-b στο στοιχείο u=a(b, de) , αστέρια z (3) a(d=b(c і, otzhe, a(b=c(d)) tse σημαίνει ότι η ικανότητά μας να πέφτουμε ως αντιπροσωπευτικός του στοιχείου x ως διαφορά μεταξύ δύο φυσικών αριθμών και cim φαίνεται στο f: Z1® Z2, f(a-b)=a(b. Κατανοώντας ότι v(Z2 і v=c(d), τότε v=f(c-d).) η έκφραση f είναι επιφανειακή.
Αν x = a-b, y = c-d, de a, b, c, d (N і f (x) = f (y), τότε a (b = c (d). Alethodі a (d = b (d, c ) δύναμη (3) a+d=b+c, άρα a-b=c-d Έχουμε φέρει, ότι η ισότητα του x=y είναι εμφανής από την ισότητα του f(x)=f(y), τότε η έκφραση του Το f είναι ανενεργό.
Αν a(N, τότε a=a-0 і f(a)=f(a-0)=a(0=a.) Άρα, οι φυσικοί αριθμοί είναι μη βίαιοι όταν η f είναι υπερβολική. Μακριά, όπως x=a-b , y=c-d , de a, b, c, d (N, τότε x + y = (a + c) - i f (x + y) = (a + c) ((b + d) = (a (c ) (( b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y)). Η δικαιοσύνη της ισότητας (1) έχει αποδειχθεί. Αναστρέψιμη ισότητα (2). Κλίμακες f( xy)=(ac+ bd) )((ad+bc)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))), και στην άλλη πλευρά f(x)(f( y))=(a (b)((c (d)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))). Άρα, f(xy)=f(x) (f(y)) , που συμπληρώνει την απόδειξη της κατηγοριικότητας του συστήματος των αξιωμάτων ν.) 2.1.

2.4. ΑΞΙΑ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΟΡΘΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ.

Ανώνυμοι ορθολογικοί αριθμοί Q στο δεδομένο διαισθητικό πεδίο rozumіnnі, για ορισμένους απρόσωπους ακέραιους αριθμούς Z є pіdkіltsem. Αν ναι, είναι προφανές ότι το Q0 είναι ένα υποπεδίο του πεδίου Q, για να εκδικηθούν οι αριθμοί, τότε Q0 = Q.
Ραντεβού 1. Ένα σύστημα ρητών αριθμών είναι ένα τέτοιο σύστημα άλγεβρας (Q; +, (; Z), για το οποίο χρησιμοποιείται ο νους:
1. αλγεβρικό σύστημα (Q; +, () є πεδίο;
2. δακτύλιο Z ακέραιοι αριθμοί є pіdkіltsem πεδίο Q;
3. (ελάχιστο) εάν το υποπεδίο Q0 του πεδίου Q εκδικηθεί το υποπεδίο Z, τότε Q0=Q.
Εν ολίγοις, το σύστημα των ρητών αριθμών είναι το ελάχιστο για το συμπεριλαμβανόμενο πεδίο για να εκδικηθεί τον αριθμό των αριθμών. Μπορείτε να δώσετε περισσότερες αναφορές σχετικά με τον αξιωματικό ορισμό του συστήματος των ρητών αριθμών.
Θεώρημα. Ένας λογικός αριθμός x μπορεί να αναπαρασταθεί ως ιδιωτικοί δύο ακέραιοι αριθμοί, έτσι
, de a, b (Z, b (0. (1)
Η εμφάνιση είναι διφορούμενη, επιπλέον, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0)).
Φέρνοντας. Σημαντικά όσον αφορά το Q0, υπάρχουν απρόσωποι ρητοί αριθμοί, όπως φαίνεται στο (1). Για να τελειώσει η συμφιλίωση, άρα Q0 = Q. Έλα, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0). Τότε, για τη δύναμη του πεδίου, είναι δυνατό: , και για c (0) Ο μέσος όρος Q0 είναι κλειστός σε έναν μη μηδενικό αριθμό, i, τότε, є υποπεδίο του πεδίου Q. Έτσι, εάν ο αριθμός a είναι εμφανής, τότε το Z (Q0. Λόγω του γεγονότος ότι είναι ελάχιστος και προφανής , Q0 = Q. Η απόδειξη του άλλου μέρους του προφανούς θεωρήματος.

2.5. ΘΕΜΕΛΙΟ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΟΡΘΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ.

Το σύστημα των ρητών αριθμών ορίζεται ως το ελάχιστο πεδίο για την εκδίκηση του αριθμού των αριθμών. Zvichayno vinikaє pitanya - chi іsnuє τέτοιο πεδίο, που chi є є nesuperechlivuyu σύστημα αξιωμάτων, scho vyznaє ρητικούς αριθμούς. Για να επιβεβαιωθεί η μη υπεροχή, είναι απαραίτητο να προκληθεί μια ερμηνεία του συστήματος των αξιωμάτων. Σε ποιους είναι δυνατόν να σπειροειδοποιηθεί η βάση του συστήματος των ακέραιων αριθμών. Ας αφιερώσουμε λίγο χρόνο για να ερμηνεύσουμε το Z(Z\(0) ως αμετάβλητο αριθμό. Δύο δυαδικές πράξεις της άλγεβρας είναι σημαντικές στον πολλαπλασιαστή
, (1)
(2)
αυτό το δυαδικό
(3)
Dotsіlnіst sama μια τέτοια ονομασία των λειτουργιών και vіdnosinі ~ vyplyaє z ότι σε іy іyіnpretatsії, όπως θα είμαι, μερικές λέξεις είναι πιο ιδιωτικές.
Είναι εύκολο να φανταστεί κανείς υπερβολικά ότι οι πράξεις (1) και (2) είναι ανταλλάξιμες, συνειρμικές και πολλαπλασιάζονται κατανεμητικά. Όλες οι δυνάμεις της δύναμης τιμούνται με βάση τις ανώτερες δυνάμεις της πρόσθεσης αυτού του πολλαπλασιασμού των αριθμών. Pereverimo, για παράδειγμα, η συσχέτιση πολλαπλών ζευγών: .
Ομοίως, επανεξετάζεται ότι η διαφορά είναι ~ є ισοδύναμη και, ως εκ τούτου, το απρόσωπο Z(Z \ (0)) χωρίζεται σε κατηγορίες ισοδυναμίας. στα ζεύγη i λόγω του μυαλού (3) παίρνουμε:
. (4)
Το καθήκον μας είναι να ορίσουμε τη λειτουργία αναδίπλωσης αυτού του πολλαπλασιαστή σε πολλαπλασιαστή, έτσι ώστε να είναι ένα πεδίο. Ο αριθμός των πράξεων είναι σημαντικός από ισότητες:
, (5)
(6)
Άρα, μετά ab1=ba1 και μετά cd1=dc1, στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντας τις τιμές της ισότητας, παίρνουμε (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1) και tse σημαίνει ότι το Tse θα μας αλλάξει από αυτό που είναι Το ίσο (6) ) σημαίνει ουσιαστικά μια ξεκάθαρη επέμβαση σε μια απρόσωπη τάξη, όπως η επιλογή των εκπροσώπων της κατηγορίας δέρματος. Ομοίως, αναθεωρείται η μοναδικότητα της λειτουργίας (5).
Εφόσον η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των κλάσεων μπορεί να αναχθεί σε αναδιπλούμενα και πολλαπλασιαστικά ζεύγη, τότε οι πράξεις (5) και (6) είναι μεταθετικές, συνειρμικές και διανεμητικές και μπορούν να προστεθούν.
Για τις ισότητες, ορίζεται ότι η κατηγορία είναι ουδέτερο στοιχείο όταν συμπληρώνεται και για την κατηγορία δέρματος χρησιμοποιείται το στοιχείο protella yoma. Ομοίως, είναι προφανές ότι η κλάση είναι ένα ουδέτερο στοιχείο του πλήθους και για την κατηγορία δέρματος είναι η διορθωτική κατηγορία. Επίσης, є το πεδίο επιχειρήσεων (5) και (6). πρώτος ο Umov στο καθορισμένο σημείο 2.4 κερδίζει.
Ας δούμε την απρόσωπη απόσταση. Προφανώς, . Η απροσωπία κλείνεται βλέποντας αυτόν τον πληθυντικό και, αργότερα, με τα pidkil του πεδίου. Σωστός, . Ας ρίξουμε μια ματιά στο όραμα, . Η υποκειμενικότητα αυτής της εκδήλωσης είναι προφανής. Αν f(x)=f(y), τότε x(1=y(1 ή x=y. Σημαίνει f και ενετικά. Επιπλέον, ισομορφική kіltsya, είναι δυνατόν να καταλάβουμε ότι το Z kіlce είναι το subkіlcem του πεδίου, έτσι ώστε το μυαλό χτυπιέται 2 στην καθορισμένη ρήτρα 2.4. πεδία i,ελα. Μπο, αχ, τότε. Ale oskіlki - το πεδίο, τότε τα ιδιωτικά στοιχεία tsikh tezh βρίσκονται στο γήπεδο. Ο ίδιος ο Τιμ το ανέβασε, τι είναι, λοιπόν, tobto. Η βάση του συστήματος των ρητών αριθμών έχει ολοκληρωθεί.

2.6. ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΟΡΘΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ.

Εάν υπάρχει μόνο ένα σύστημα ρητών αριθμών με τη σύγχρονη διαισθητική έννοια, τότε η αξιωματική θεωρία των ρητών αριθμών, όπως φαίνεται εδώ, μπορεί να είναι κατηγορηματική. Κατηγορικό και σημαίνει ότι, μέχρι τον ισομορφισμό, υπάρχει μόνο ένα σύστημα ρητών αριθμών. Ας δείξουμε ότι είναι αλήθεια.
Έστω (Q1;+, (; Z) και (Q2; (, (; Z)) - είναι σαν δύο συστήματα ρητών αριθμών.
(1)
(2)
για οποιαδήποτε στοιχεία x και y από το πεδίο Q1.
Τα ιδιωτικά στοιχεία a και b στο πεδίο Q1 θα συμβολίζονται με και στο πεδίο Q2 - με a:b. Εφόσον το Z є pіdkіltse kozhny s polіv Q1 і Q2, τότε για οποιονδήποτε αριθμό αριθμών μια ι b ισοδυναμία
, . (3)
Έλα και ντε, . Εκχωρούμε στο δεδομένο στοιχείο x το στοιχείο y=a:b από το πεδίο Q2. Εάν η ισότητα είναι αληθής στο πεδίο Q1, τότε, τότε, το θεώρημα του στοιχείου 2.4 στον δακτύλιο Z κερδίζει την ισότητα ab1=ba1, διαφορετικά, λόγω (3), ισότητας, και ομοίως για το ίδιο θεώρημα, η ισότητα a: b=a1:b1 ισχύει στο πεδίο Q2. Tse σημαίνει ότι εκχωρώντας στο στοιχείο του πεδίου Q1 το στοιχείο y=a:b από το πεδίο Q2, θα το εμφανίσουμε, .
Οποιοδήποτε στοιχείο από το πεδίο Q2 μπορεί να αναπαρασταθεί ως a:b, de, otzhe, є η κατάταξη του στοιχείου από το πεδίο Q1. Otzhe, vodobrazhennya f є sur'єktivnym.
Ναι, τότε στο πεδίο Q1 και τα ίδια. Με αυτόν τον τρόπο, η ζύμωση f є bієktivnym και όλοι οι αριθμοί tsіlі γίνονται απείθαρχοι. Είναι απαραίτητο να αποδοθεί δικαιοσύνη στις ισότητες (1) και (2). Ας πούμε a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Τότε i, πρόσημα λόγω (3) f(x+y)=f(x)(f(y). Ομοίως, και αστέρια.
Ισομορφισμός των ερμηνειών των (Q1; +, (; Z) και (Q2; (, (; Z)) προχωρώντας.

VІDPOVIDI, VKAZIVKI, RISHENNYA.

1.1.1. Λύση. Ας είναι αληθή τα αξιώματα 4 του νου (τέτοια δύναμη φυσικών αριθμών που ((0) i. Ας το κάνουμε. Εάν το M ικανοποιεί τις δυνάμεις των αξιωμάτων 4, θραύσματα ((0) (0(M i. Otzhe), M=N , τότε είναι σαν φυσικό ).ο αριθμός είναι ισχυρός (. Πίσω. Είναι αποδεκτό ότι για το αν υπάρχει ισχύς ή όχι (από αυτό το ((0) i, επόμενο. Έστω M υποπολλαπλασιαστής του N, ότι 0(M i.) Θα φανεί ότι M = N. Ας εισάγουμε την ισχύ (, με σεβασμό. Todi ((0), oskіlki, i.) Otzhe, M=N.
1.1.2. Ετυμηγορία: Αληθής ισχυρισμός του 1ου και 4ου αξιώματος του Peano. Επιβεβαίωση των 2ων αξιωμάτων του Hibne.
1.1.3. Ετυμηγορία: αληθής ισχυρισμός των 2,3,4 αξιωμάτων του Peano. Επιβεβαίωση των 1ων αξιωμάτων του Hibne.
1.1.4. Αληθινοί ισχυρισμοί 1, 2, 3 Αξιώματα του Peano. Δήλωση των 4ων αξιωμάτων του Hibne. Vkazіvka: να φέρει, scho ικανοποιημένος με τις δυνατότητες του αξιώματος 4, διατυπωμένος ως προς τη λειτουργία, ale.
1.1.5. Vkazіvka: για να αποδείξετε την αλήθεια του αξιώματος 4, ρίξτε μια ματιά στον υποπολλαπλασιαστή M z A, καθώς ικανοποιεί τα μυαλά: α) 1 ((Μ, β) και απρόσωπο.
1.1.6. Αληθινός ισχυρισμός των αξιωμάτων 1,2,3 του Peano. Δήλωση των 4ων αξιωμάτων του Peano Hibne.
1.6.1. α) Απόφαση: Παρακαλώ ενημερώστε με αν είναι 1 π.μ. Πίσω. Έλα π.μ
1.6.2. α) Απόφαση: Αποδεκτή. Μέσω του M, είμαστε σημαντικά απρόσωποι από όλους τους αριθμούς, έτσι ώστε να μην είμαστε ισχυροί (. Με την υπόθεση, M((. Δυνάμει του Θεωρήματος 1, το M έχει το μικρότερο στοιχείο n(0). Αν ο αριθμός x
1.8.1. στ) Σημειώστε σελ. ε) και σελ. γ): (α-γ)+(γ-β)=(α+γ)-(γ+β)=α-β, επίσης, (α-β)-(γ-β)=α-γ.
η) Κερδίστε την εξουσία.
ιβ) Σημειώστε σελ. β).
ιβ) Σημειώστε το σελ. β) και το σελ. η).
1.8.2. γ) Maєmo, otzhe,. Πατέρας,.
δ) Maemo. Πατέρας,.
και).
1.8.3. α) Όπως (i (διαφορετική λύση ίση με ax2+bx=c), μετά a(2+b(=a(2+b(.)) . Ακριβώς ((. Ωστόσο (2=a(+b>a(, επίσης, (>α.))).
γ) Νεχάι (i (- διαφορετικές ρίζες ίσου i (>(. Todі 2((-()=(a(2+b))-(a(2+b))=a((-())( ( (+( ) Αργότερα, a((+()=2), αλλά (+(>2), αργότερα, a((+()>2), το οποίο είναι αδύνατο).
1.8.4. α) x = 3; β) x = y = 2 γ) x=y(y+2), y είναι φυσικός αριθμός. δ) x = y = 2; ε) x = 2, y = 1; στ) Ακριβώς μέχρι τις μεταθέσεις x=1, y=2, z=3. Λύση: Για παράδειγμα, ας πούμε x(y(z. Τότε xyz=x+y+z(3z, άρα xy(3.) Άρα xy=1, μετά x=y=1 і z=2+z, έτσι) Αδύνατο : αν xy = 2, τότε x = 1, y = 2. Σε αυτή την περίπτωση 2z = 3 + z, τότε z = 3. Αν xy = 3, τότε x = 1, y = 3. Τότε 3z = 4+z , άρα z=2, για να υπερτεθεί το επίδομα y(z.
1.8.5. β) Αν x=a, y=b είναι διαίρεση, τότε ab+b=a, τότε. a>ab, το οποίο είναι αδύνατο. δ) Αν x=a, y=b είναι διαίρεση, τότε β
1.8.6. α) x=ky, de k,y - αρκετοί φυσικοί αριθμοί και y(1. β) x - αρκετός φυσικός αριθμός, y=1. γ) ο x είναι ένας αρκετά φυσικός αριθμός y=1. δ) Δεν υπάρχει λύση. ε) x1 = 1; x2=2; x3=3. στ) x>5.
1.8.7. α) Αν a = b, τότε 2ab = a2 + b2. Έλα, για παράδειγμα, α

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Redkov M.I. Αριθμητικά συστήματα. /Μεθοδολογικές συστάσεις στο μάθημα «Αριθμητικά συστήματα». Μέρος 1. - Omsk: OmDPІ, 1984. - 46s.
2. Ershova T.I. Αριθμητικά συστήματα. / Μεθοδική ανάπτυξηγια πρακτική λήψη. - Sverdlovsk: SDPI, 1981. - 68s.