Μάθετε όλες τις ορθολογικές ρίζες ενός πλούσιου όρου στο διαδίκτυο. Εξίσωση σε όλα τα μαθηματικά Ορθολογική ρίζα πλούσιων όρων. Το σχήμα του Χόρνερ. Ορθολογικός αριθμός Chi є tse

Ένας πλούσιος όρος με τη μορφή μεταβλητής x ονομάζεται με διαφορετικό τρόπο: anxn + an-1 xn-1 +. . . +a 1 x+a 0 de n είναι φυσικός αριθμός. an, an-1, . . . , a 1, a 0 - είτε είναι αριθμοί, ονομάζονται συντελεστές αυτού του πολυωνύμου. Virazi anxn, an-1 xn-1, . . . , ένα 1 x, ένα 0 λέγονται μέλη του πολυωνύμου και το 0 ονομάζεται αυθαίρετο μέλος. an - συντελεστής σε xn, an-1 - συντελεστής σε xn-1 και ούτω καθεξής. για παράδειγμα, ο πλούσιος όρος 0x2 + 0x + 0 είναι μηδενικός. Από την εγγραφή του πολυωνύμου, είναι σαφές ότι το vin αθροίζεται από τον αριθμό των μελών. Ακούγεται σαν τον όρο «πλούσιο μέλος» (rich Member). Μερικές φορές ένας πλούσιος όρος ονομάζεται πολυώνυμο. Αυτός ο όρος μοιάζει με τις ελληνικές λέξεις πολύ - πλούσιος και νομχ - μέλος.

Ένα πλούσιο μέλος με τη μορφή μιας αλλαγής x σημαίνει: . f (x), g (x), h (x) και ούτω καθεξής, για παράδειγμα, ως οι πρώτοι όροι που δείχνουν πιο πλούσια σε όρους f (x), τότε μπορείτε να γράψετε: f (x) = x 4+2 x 3+ (- 3) x 2 + 3/7 x + √ 2. 1. Ο πλούσιος όρος h (x) ονομάζεται ο μεγαλύτερος ύπνος από τους πλούσιους όρους f (x) και g (x), άρα είναι δυνατό για να προσθέσετε f (x), g (x) και δερμάτινο ντίλνικ. 2. Ο πλούσιος όρος f(x) με συντελεστές από το πεδίο P του βήματος n ονομάζεται αναγώσιμος στο πεδίο P, καθιερώνοντας έτσι πλούσιους όρους h(x), g(x) Î P[x] του βήματος μείον n έτσι ώστε f(x) = h( x)g(x).

Αυτός είναι ο πλούσιος όρος f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . + a 1 x + a 0 і an≠ 0, τότε ο αριθμός n ονομάζεται στάδιο του πλούσιου όρου f (x) (ή φαίνεται: f (x) είναι το ν-ο στάδιο) και γράψτε Τέχνη. f(x) = n. Και εδώ το an ονομάζεται ανώτερος συντελεστής, και το anxn είναι το ανώτερο μέλος αυτού του πολυωνύμου. Για παράδειγμα, εάν f (x) = 5 x 4 -2 x +3, τότε το Art. f(x) = 4, ανώτερος συντελεστής - 5, ανώτερος όρος - 5 x4. Το πολυωνυμικό βήμα είναι ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς των συντελεστών του, οι κύριοι τύποι του μηδενός. Οι πλούσιοι όροι του μηδενικού βήματος είναι οι ακέραιοι αριθμοί, οι οποίοι είναι ίδιοι με το μηδέν. ο μηδενικός πλούσιος όρος του βήματος δεν μπορεί να είναι. πλούσιος όρος f(x) = a, όπου a είναι ένας αριθμός, όχι ίσος με μηδέν, το μέγιστο βήμα είναι 0. βήμα είναι λοιπόν κάποιο άλλο πολυώνυμο, το οποίο είναι πιο ακριβό για τον μεγαλύτερο δείκτη του βήματος της αλλαγής x, ο συντελεστής στο επόμενο είναι μηδέν.

Rivnist των πλουσιομελών. Δύο πλούσιοι όροι f(x) και g(x) θεωρούνται ίσοι, παρόλο που οι συντελεστές τους είναι ίσοι με τα ίδια βήματα της αλλαγής x και ελεύθεροι όροι (ίσοι їх ως προς τους συντελεστές). f(x) = g(x). Για παράδειγμα, οι πλούσιοι όροι f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 і g (x) \u003d 2 x 23 x + 1 δεν είναι ίσοι, ο πρώτος από αυτούς έχει συντελεστή x3 πιο ίσος στο 1, και το άλλο έχει μηδέν ( Με τις αποδεκτές νοημοσύνη, μπορούμε να γράψουμε: g (x) \u003d 0 x 3+2 x 2 -3 x + 1. Σε αυτή την περίπτωση: f (x) ≠ g (x) x 2 -3 x + 5, s ( x) =2 x 2+3 x+5

Και ο άξονας του πλούσιου όρου f 1 (x) \u003d 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 і g 1 (x) \u003d 2 x 5 + ax 3 -2 x + 3 εξίσου ακόμα και αν a = 3 , αλλά b = -2. Δώστε τον πλούσιο όρο f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 είναι ένας αριθμός c. Αριθμός f(c) = ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 ονομάζεται η τιμή του πολυωνύμου f(x) στο x = c. Με τέτοιο τρόπο, για να γνωρίζουμε τη f (c), είναι απαραίτητο να τεκμηριωθεί το x και να γίνουν οι απαραίτητοι υπολογισμοί. Για παράδειγμα, αν f(x) = 2x3+3x2-x+5, τότε f(-2)=2(-2)3+(-2)2-(-2)+5=3. Ένα πλούσιο μέλος με διαφορετικές τιμές της αλλαγής x μπορεί να ληφθεί διαφορετικές αξίες. Ο αριθμός ονομάζεται ρίζα του πολυωνύμου f (x), άρα f (c) =0.

Είναι σημαντικό να δοθεί προσοχή στη διαφορά μεταξύ δύο δηλώσεων: "ο πλούσιος όρος f(x) ισούται με μηδέν (διαφορετικά, ο πλούσιος όρος f(x) είναι μηδέν)" και "η τιμή του πολυωνύμου f(x) στο x=z ισούται με μηδέν». Για παράδειγμα, το πολυώνυμο f (x) \u003d x 2 -1 δεν είναι ίσο με μηδέν, το vіn μπορεί να είναι μη μηδενικοί συντελεστές, όπως η τιμή στο x \u003d 1 είναι ίση με μηδέν. f(x) ≠ 0 και f(1) =0. Μεταξύ των αντιλήψεων της ισοδυναμίας των πλούσιων όρων και της έννοιας του πλούσιου όρου υπάρχει η ίδια στενή σχέση. Αν δίνονται δύο ίσα πολυώνυμα f(x) και g(x), τότε їх είναι ίσοι συντελεστές ίσων και, επομένως, f(c) = g(c) για τον αριθμό δέρματος с.

Πράξεις σε πολυώνυμα Οι πλούσιοι όροι μπορούν να προστεθούν, να δουν και να πολλαπλασιαστούν σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες για την επέκταση του τόξου και τη μείωση παρόμοιων όρων. Με αυτό, ως αποτέλεσμα, ξαναμπαίνω σε πλούσιο μέλος. Οι καθορισμένες λειτουργίες μπορεί να έχουν ισχύ: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h(x), f(x) g(x) = g(x) f(x), f(x)(g(x) h(x)) = (f(x) g( x)) h(x), f(x)(g(x) + h(x)) = f(x) g(x) + f(x) h(x).

Επιτρέψτε μου να σας δώσω δύο πλούσιους όρους f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, i g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Ήταν σαφές ότι το άρθ. f(x)=n, και άρθ. g(x) = m. Εάν πολλαπλασιάσετε το qi δύο πολυώνυμα, θα καταλήξετε με έναν πλούσιο όρο της μορφής f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Oskilki an≠ 0 και bn≠ 0, στη συνέχεια anbm≠ 0, επίσης, άρθ. (f(x)g(x))=m+n. Οι ήχοι είναι δυνατοί και σημαντικοί.

Βήματα για την προσθήκη δύο μη μηδενικών πλούσιων όρων στο άθροισμα των βημάτων των πολλαπλασιαστών, άρθ. (f(x)g(x)) = st. f(x) +st. g(x). Το ανώτερο μέλος (συντελεστής) της δημιουργίας δύο μη μηδενικών πλούσιων όρων προκειμένου να προστεθούν τα ανώτερα μέλη (συντελεστές) των πολλαπλασιαστών. Ένα ελεύθερο μέλος της δημιουργίας δύο πλουσίων μελών είναι άξιο της δημιουργίας ελεύθερων μελών των κοινών πολλαπλασιαστών. Τα βήματα της πλούσιας άρθρωσης f(x), g(x) και f(x) ±g(x) σχετίζονται με την επερχόμενη spivvіdnoshennia: τέχνη. (f (x) ± g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Η υπέρθεση πολλαπλών όρων f(x) και g(x) ονομάζεται. πλούσιος όρος, ο οποίος συμβολίζεται με f (g (x)), ο οποίος μπορεί επίσης να μπει στο πολυώνυμο f (x) αντί για x, να αντικαταστήσει το πολυώνυμο g (x). Για παράδειγμα, αν f(x)=x 2+2 x-1 і g(x) =2 x+3, τότε f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2x2+4x+1. Μπορεί να φανεί ότι f(g(x)) ≠g(f(x)), δηλαδή υπέρθεση πολλαπλών όρων f(x), g(x) και υπέρθεση πολλαπλών όρων g(x), f( x) διαφορετικό. Με αυτόν τον τρόπο, η λειτουργία της υπέρθεσης δεν έχει τη δύναμη μετατόπισης.

, Αλγόριθμος για υποεκτίμηση και υπερχείλιση Για το αν f(x), g(x) είναι σαφές q(x) (ιδιωτικά) και r(x) (πλεόνασμα), έτσι ώστε f(x)=g(x)q(x )+ r(x) και τα βήματα r(x)

Λεξικά πολυωνύμου Λεξικό πλούσιου όρου f(x) είναι ένας πλούσιος όρος g(x) τέτοιος ώστε f(x)=g(x)q(x). Το μεγαλύτερο κρεβάτι των δύο πλούσιες τμηματικές κλίνες Το μεγαλύτερο κρεβάτι με πλούσια τεμάχια f(x) και g(x) είναι ένα τέτοιο διπλό κρεβάτι d(x), το οποίο μπορεί να χωριστεί σε οποιοδήποτε άλλο κρεβάτι τους.

Ο αλγόριθμος του Ευκλείδειου (αλγόριθμος της τελευταίας υποδιαίρεσης) για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού ημερολογίου πλούσιων όρων f(x) και g(x) Ο Todi είναι το μεγαλύτερο dilnik των f(x) και g(x).

Αλλαγή άλλων Λύση: Γνωρίζουμε το GCD αυτών των πλούσιων όρων, καθορίζοντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο 1) х3 + 6 х2 + 11 х + 6 х3 + 7 х2 + 14 х + 8 1 - х2 - 3 х - 2 8 x3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x - 2 - x - 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Otzhe, πλούσιος όρος (- x2 - 3 x - 2) Το αποτέλεσμα βρίσκεται κάτω από τη σημαία του πολυωνύμου του vіdomy.

Ας μάθουμε το αποτέλεσμα της υποδιαίρεσης του αριθμού. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x - 2 x3 + 3 x2 + 2 x - x - 3 3 x2 + 9 x + 6 0

Το σχήμα του Horner για τη διαίρεση από έναν υπερβολικά πλούσιο όρο f(x) σε έναν μη μηδενικό πλούσιο όρο g(x) - ne σημαίνει ότι αποκαλύπτεται η f(x) στην προβολή f(x)=g(x) s(x)+ r(x), de s(x) ) i r(x) -πλούσιοι όροι i ή r(x) = 0, ή st. r(x)

Πλούσια τμήματα, τα οποία βρίσκονται στο αριστερό και το δεξί τμήμα της spіvvіdnoshennia του, ίσα, και επίσης, ίσα їhnі vіdpovіdni koefіtsіentsi. Είναι ίσο με αυτούς, αφού έχουν ανοίξει τα τόξα μπροστά και έχουν ενσταλάξει παρόμοια άκρα στο δεξί μέρος της γραμμής της ηρεμίας. Μείον: a = bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1, a 0 = r - cb 0 Virazimo їх іz otrimanih ισότητες: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 \u003d cb 1 + a 1, r \u003d cb 0 + a 0. Γνωρίζαμε τους τύπους που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των συντελεστών ενός περιττού ιδιωτικού s (x) και της περίσσειας r. Με αυτό, οι χρεώσεις συντάσσονται στο μπροστινό μέρος του τραπεζιού. ονομάζεται σχήμα του Χόρνερ.

Πίνακας 1. Συντελεστές f(x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Οι συντελεστές s(x) είναι πάρα πολλοί. Σε μια άλλη σειρά, κοντά στο πρώτο κελί, γράψτε τον αριθμό c. Το Reshta clitin της σειράς συμπληρώνεται, μετρώντας, έναν προς έναν, τους συντελεστές του μη γραμμικού ιδιωτικού s (x) και του υπερβάλλοντος r. Σε άλλο πελάτη, σημειώστε τον συντελεστή bn-1, ο οποίος, όπως έχουμε εγκαταστήσει, είναι πιο ακριβός.

Ο συντελεστής για να σταθεί στον επιθετικό τοίχο του δέρματος υπολογίζεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα: ο αριθμός c πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό που πρέπει να σταθεί στον μπροστινό τοίχο και ο αριθμός προστίθεται στο αποτέλεσμα, για να σταθεί πάνω από τον τοίχο, να θυμάται . Για να θυμηθούμε, ας πούμε, πέντε κλίτη, για να ξέρουμε να στέκεστε στον συντελεστή της, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε το c με τον αριθμό που βρίσκεται στην τέταρτη κλίνη και να προσθέσετε στο αποτέλεσμα τον αριθμό που βρίσκεται πάνω από την πέμπτη κλίνη. Ας διαιρέσουμε, για παράδειγμα, τον πλούσιο όρο f (x) \u003d 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 σε x-2 іz πάρα πολύ, το σχήμα του Horner. Κατά τη συμπλήρωση της πρώτης σειράς, οι αριθμοί του σχήματος δεν μπορούν να ξεχαστούν για τους μηδενικούς συντελεστές του πολυωνύμου. Έτσι, οι συντελεστές f(x) είναι οι τιμές των αριθμών 3, 0, - 5, 3, - 1. Ένα άλλο πράγμα που πρέπει να έχετε κατά νου είναι ότι το βήμα ενός ημιτελούς ιδιωτικού είναι ένα μικρότερο από το βήμα του ο πλούσιος όρος f(x).

Επίσης, φαίνεται να έχει υποδιαιρεθεί σύμφωνα με το σχήμα του Horner: Πίνακας 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι ιδιωτικό s(x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 και πλεόνασμα r=33. Αντιστοίχως, έχουμε υπολογίσει την τιμή του πολυωνύμου f (2) =33. Τώρα ας διαιρέσουμε τον πολύ πλούσιο όρο f(x) σε x + 2 іz πάρα πολύ. Έχω ένα vipadku με = -2. προαιρετικό: Πίνακας 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Ως αποτέλεσμα, f(x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x-11) + 21 .

Ρίζα πολυωνύμων Nehai с1, с2, …, сm - Διαφορετική ρίζα του πολυωνύμου f(x). Τότε η f(x) διαιρείται με το x-c1, τότε η f(x) = (x-c1) s1(x). Ας πληρώσουμε για αυτήν την ισοτιμία x=c2. Αφαιρούμε f(c2) = (c2-c1) s1(c2) i, άρα f(c2) =0, μετά (c2-c1) s1(c2) =0. Ale c2≠c1, μετά c2 -c1≠ 0, που σημαίνει ότι s 1 (c 2) = 0. Επίσης, c2 είναι η ρίζα του πολυωνύμου s 1 (x). Δείχνει ότι το s1(x) διαιρείται με το x-c2, άρα s1(x) = (x-c2) s2(x). Φανταστείτε να αφαιρέσετε το virase για το s 1 (x) y ίσο με f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Μάιος f(x) = (x-c1) (x-c2) s2(x). Έχοντας βάλει την υπόλοιπη ισότητα x \u003d c3, για να καθορίσουμε ότι f (c 3) \u003d 0, c3 c1, c3 c2, υποθέτουμε ότι c3 είναι η ρίζα του πολυωνύμου s 2 (x). Άρα, s 2 (x) \u003d (x-c 3) s 3 (x), και μετά f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) και ούτω καθεξής. για τις ρίζες που έχουν χαθεί, c4, c5, ..., cm, mi, nareshti, f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x) αφαιρείται, αυτό είναι φέρεται σε χαμηλότερη φόρμουλα.

Εφόσον τα c1, c2, ..., cm είναι η διαφορετική ρίζα του πολυωνύμου f (x), τότε η f (x) μπορεί να δοθεί κοιτάζοντας το f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x). Ακούγεται σαν σημαντική συνέπεια. Εφόσον c1, c2, ..., cm είναι η ρίζα του πολυωνύμου f (x), τότε η f (x) διαιρείται με το πολυώνυμο (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Ο αριθμός των διαφορετικών ριζών του μη μηδενικού πολυωνύμου f(x) δεν είναι μεγαλύτερος από το κατώτερο βήμα. Αλήθεια, αφού η f(x) δεν έχει ρίζα, είναι σαφές ότι το θεώρημα είναι σωστό, περισσότερο Art. f (x) ≥ 0. Έστω ότι η f (x) έχει τώρα m ρίζες c1, c2, ..., cm, επιπλέον, όλες οι βρωμές είναι διαφορετικές. Όπως η f (x) διαιρείται με (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Κατά καιρούς Τέχνη. f(x)≥st. ((X-C1) (X-C2) ... (X-Cm)) = st. (χ-γ1) + άρθ. (X-C2) + ... + Άρθ. (x-cm) \u003d m, μετά st. f(x)≥m και m είναι ο αριθμός των ριζών του πλούσιου όρου που μπορεί να ληφθεί υπόψη. Και ο άξονας του μηδενικού πλούτου όρου είναι απείρως πλούσιος σε ρίζες, κι ας έχει νόημα για ό,τι x είναι πιο όμορφο 0. Ζόκρεμα, για χάρη του να το προκαλέσετε, και μην τιμωρήσετε το ίδιο τραγουδιστικό βήμα. Από καλά αποδεδειγμένα θεωρήματα, ο ίδιος ισχυρισμός είναι προφανής.

Αν το πολυώνυμο f(x) δεν είναι πολυώνυμο βήματος, μεγαλύτερο, χαμηλότερο n, και μπορεί να είναι μεγαλύτερο, μικρότερο n ρίζες, τότε το f(x) είναι μηδενικό πολυώνυμο. Πράγματι, από το μυαλό του νου της επιχείρησης, είναι σαφές ότι το f (x) είναι ένα μηδενικό πολυώνυμο ή τέχνη. f(x) ≤n. Αν υποθέσουμε ότι το πολυώνυμο f(x) δεν είναι μηδέν, τότε το άρθ. f(x) ≤n, και μετά η f(x) δεν μπορεί να είναι περισσότερο, κάτω από n ρίζες. Φτάνουμε στο σημείο της υπεροχής. Ως εκ τούτου, η f(x) είναι ένας μη μηδενικός πλούσιος όρος. Έστω f(x) και g(x) μη μηδενικοί πλούσιοι όροι του βήματος, όχι μεγαλύτεροι, χαμηλότεροι n. Εάν τα πολυώνυμα q αποκτήσουν την ίδια τιμή για n + 1 τιμές της αλλαγής x, τότε f (x) = g (x).

Για την απόδειξη, ας δούμε τον πλούσιο όρο h(x) = f(x) – g(x). Μου ξημέρωσε ότι - είτε h (x) = 0, είτε st. h (x) ≤n, τότε το h (x) δεν είναι πλούσιος όρος του βήματος, μεγαλύτερος από, χαμηλότερος από n. Ας πάρω τώρα τον αριθμό έτσι ώστε f (c) = g (c). Τότε h(c) = f(c) - g(c) = 0, τότε h είναι η ρίζα του πολυωνύμου h(x). Επίσης, ο πλούσιος όρος h(x) έχει n+1 ρίζες και αν, όπως έγινε, h(x) = 0, τότε f(x) = g(x). Εάν τα f(x) και g(x) έχουν τις ίδιες τιμές για όλες τις τιμές της μεταβλητής x, τότε

Πολλαπλές ρίζες του πολυωνύμου Καθώς ο αριθμός є είναι η ρίζα του πολυωνύμου f (x), αυτό το πολυώνυμο, προφανώς, διαιρείται με το x-s. Ίσως το f(x) να μπορεί να επεκταθεί στο επόμενο βήμα bugato-μέλος x-s, δηλ. στο (x-c) k, k>1. Αυτό το vipadka ονομάζεται πολλαπλή ρίζα. Ας διατυπώσουμε το ραντεβού πιο ξεκάθαρα. Ο αριθμός ονομάζεται ρίζα της πολλαπλότητας k (k-πτυχή ρίζα) του πολυωνύμου f (x), άρα το πολυώνυμο διαιρείται με (x-c) k, k>1 (k είναι φυσικός αριθμός), αλλά δεν διαιρείται με ( x-γ) k + 1. Αν k=1, τότε λέγεται απλή ρίζα, και αν k>1, λέγεται πολλαπλή ρίζα του πολυωνύμου f (x).

Άρα το πολυώνυμο f(x) μπορεί να παρασταθεί ως f(x)=(x-c)mg(x), το m είναι φυσικός αριθμός, το vin διαιρείται με (x-c) m+1 και, στη συνέχεια, αν το g(x) διαιρείται με x-c . Πράγματι, αν το g(x) διαιρείται με το x-c, τότε g(x)=(x-c)s(x), τότε f(x)=(x-c) m+1 s(x), και επίσης, f(x) υποδιαιρείται με (x-c) m+1. Πίσω, αφού η f(x) διαιρείται με (x-c) m+1, τότε f(x)=(x-c) m+1 s(x). Στη συνέχεια (x-c) mg (x) \u003d (x-c) m + 1 s (x) και μετά το σύντομο χρονικό διάστημα για το (x-c) m, λαμβάνεται g (x) = (x-c) s (x). Ακούγεται σαν το g(x) να υποδιαιρείται σε x-s.

Είναι σαφές, για παράδειγμα, ότι το chi είναι ο αριθμός 2 ως ρίζα του πλούσιου όρου f(x) = x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24, και αν ναι, τότε γνωρίζουμε την πολλαπλότητά του. Για να επαληθεύσουμε το πρώτο τροφοδοτικό, μπορούμε να ελέγξουμε για το πρόσθετο σχήμα Horner, το οποίο διαιρεί το f(x) με το x-2. μπορεί να είναι: Πίνακας 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Όπως ο Bachimo, η υπέρβαση κατά τον διαχωρισμό της f(x) με το x-2 είναι μεγαλύτερη από 0, επομένως θα πρέπει να διαιρεθεί με x-2. Ως εκ τούτου, η 2-ρίζα του πολυωνύμου. Επιπλέον, αφαιρέσαμε ότι f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Τώρα είναι προφανές, chi є f (x) on (x-2) 2. Tse να καταθέσω, πώς έφερε το mi schoyno, εν όψει της διαιρετότητας του πολυωνύμου g (x) \u003d x 4 -3 x 3 -3 x 2 + 16 x-12 στο x-2.

Και πάλι επιτάχυνση με το σχήμα του Horner: Πίνακας 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 -x2 -5x +6). Στη συνέχεια, f (x) \u003d (x-2) 2 (x 3 -x 2 -5 x + 6). Επίσης, η f(x) διαιρείται με (x-2) 2, τώρα είναι απαραίτητο να πούμε ότι η f(x) διαιρείται με (x-2)3. Για τις οποίες είναι αναστρέψιμο ότι το h(x) \u003d x 3 -x 2 -5 x + 6 διαιρείται με το x-2: Πίνακας 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 x-2, επίσης, Η f(x) διαιρείται με (x-2) 3, i f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Στη συνέχεια, παρομοίως, είναι δυνατό να ελεγχθεί εάν η f(x) διαιρείται με το (x-2)4, έτσι ώστε το s(x)=x 2+x-3 να διαιρείται με το x-2: Πίνακας 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Είναι γνωστό ότι η υπέρβαση όταν το s(x) υποδιαιρείται με το x-2 είναι ίσο με 3, τότε το s(x) δεν υποδιαιρείται με το x-2. Επίσης, η f(x) δεν υπάγεται στο (x-2) 4. Με αυτόν τον τρόπο, το f(x) υποαθροίζεται στο (x-2)3, αλλά δεν υποτίθεται στο (x-2)4. Επίσης, ο αριθμός 2 είναι η ρίζα της πολλαπλότητας του πλούσιου όρου 3 f(x).

Ακούστε την αντήχηση της ρίζας για την πολλαπλότητα του να μετράτε λιγότερα στο τραπέζι. Για αυτήν την εφαρμογή, ο πίνακας μπορεί να μοιάζει με αυτό: Πίνακας 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Ο Χόρνερ αφαίρεσε το πολυωνύμου f (x) επί x-2, σε άλλη σειρά αφαιρούμε τους συντελεστές του πολυωνύμου g (x). Στη συνέχεια, ας πάρουμε αυτή την άλλη σειρά στην πρώτη σειρά του νέου συστήματος Horner και αφαιρέσουμε το g (x) με το x-2 και ούτω καθεξής. Με αυτόν τον τρόπο, η πολλαπλότητα της ρίζας είναι ίση με τον αριθμό των μηδενικών πλεονασμάτων otrimanih. Στη σειρά, για να εκδικηθεί το υπόλοιπο μη μηδενικό πλεόνασμα, υπάρχουν επίσης συντελεστές του μέρους όταν η f (x) υποδιαιρείται με (x-2) 3.

Τώρα, το σχήμα vikoristovuyuchi schoyno proponovan επανεπιβεβαίωσης της ρίζας για την πολλαπλότητα, φαίνεται ότι το έργο έρχεται. Για κάθε a και b, ο πλούσιος όρος f(x) \u003d x 4 + 2 x 3 + ax 2 + (a + b) x + 2 μπορεί ο αριθμός - 2 να είναι η ρίζα του πολλαπλασιασμού του 2; Έτσι, η πολλαπλότητα της ρίζας - 2 οφείλεται στο να προσθέσουμε 2, στη συνέχεια, αφού την υποδιαιρέσουμε με x + 2 για το προτεινόμενο σχήμα, οφείλουμε στα διπλάσια να πάρουμε την υπέρβαση του 0, και στην τρίτη - την περίσσεια, που είναι ίσο με μηδέν. Μάιος: Πίνακας 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 aa a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

Σε αυτήν την κατάταξη, ο αριθμός - 2 є ρίζα του πολλαπλασιασμού των 2 του εκπνεόμενου πλούσιου όρου, τότε και μόνο τότε, αν

Η ορθολογική ρίζα του πολυωνύμου Αν ο μη βραχύς όρος l/m (l, m είναι οι ακέραιοι του αριθμού) είναι η ρίζα του πλούσιου όρου f(x) με πολλαπλούς συντελεστές, τότε ο υψηλότερος συντελεστής του πολυωνύμου διαιρείται με m, και ο μακροπρόθεσμος διαιρείται με το 1. Σωστό, όπως f (x )=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, de an, an-1, . . . , a 1, a 0 είναι ακέραιοι, μετά f(l/m) = 0, μετά an(l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Πολλαπλασιάστε τα προσβλητικά μέρη της τιμής ισοδυναμίας επί εκατ. Πάρτε anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Anln=m (-an-1 ln-1 -...- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1) ακούγονται.

Bachimo, ο ακέραιος αριθμός anln διαιρείται με το m. Το Ale l/m είναι ένα μη σύντομο drib, επομένως οι αριθμοί l και m είναι αμοιβαία απλοί, αλλά επίσης, σύμφωνα με τη θεωρία της εγκυρότητας των ακεραίων αριθμών, οι αριθμοί ln και m είναι επίσης αμοιβαίως απλοί. Otzhe, anln να διαιρεθεί σε m και m είναι αμοιβαία απλό από το ln, επίσης, το an να διαιρεθεί σε m. Γνωρίζουμε τη λογική ρίζα του πλούσιου όρου f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8. Σύμφωνα με το θεώρημα, η λογική ρίζα του πολυωνύμου βρίσκεται μεταξύ των μη βραχέων κλασμάτων με τη μορφή l / m, de l είναι το dilnik του ελεύθερου όρου a 0 \u003d 8 και m είναι το dilnik του υψηλότερου συντελεστή a 4 \u003d 6. Εάν ναι, τότε το l / m είναι αρνητικό, τότε το σύμβολο "-" έρχεται στην κλήση αριθμών. Για παράδειγμα, - (1/3) = (-1)/3. Επίσης, μπορούμε να πούμε ότι l είναι ο παράγοντας του αριθμού 8 και m είναι ο θετικός παράγοντας του αριθμού 6.

Οι ταλαντωτές του αριθμού 8 - tse ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, και οι θετικοί διαστολείς του αριθμού 6 θα είναι 1, 2, 3, 6, τότε η ορθολογική ρίζα του φαινομενικά πλούσιου όρου είναι μεταξύ των αριθμοί ± 1, ± 1/2, ± 1 /3, ±1/6, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8/3. Υποθέστε ότι σημειώσαμε περισσότερα από μικρά κλάσματα. Με αυτή τη σειρά, μπορεί να έχουμε είκοσι αριθμούς - «υποψήφιους» για ρίζες. Έμεινε μόνο να επανεξετάσει το δέρμα τους και να επιλέξει αυτά, σαν να είναι πιστή στις ρίζες. Έρχεται ένα θεώρημα που θα διευκολύνει το ρομπότ. Εφόσον το l/m είναι η ρίζα του πολλαπλού όρου f(x) με πολλαπλούς συντελεστές, τότε η f(k) διαιρείται με το l-km για οποιονδήποτε ακέραιο k για το μυαλό, δηλαδή l-km≠0.

Για να αποδείξουμε το θεώρημα, διαιρούμε το f(x) σε x-k іz πάρα πολύ. Αφαιρούμε f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Το Oskіlki f(x) είναι ένας πλούσιος όρος με συντελεστές qlimi, τότε ένας τέτοιος πλούσιος όρος είναι s(x) και ο f(k) είναι ένας ακέραιος αριθμός. Έστω s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Τότε f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b1x+b0). Ας πληρώσουμε για αυτήν την ισοτιμία 1 x=l/m. Αν f(l/m)=0, τότε f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+ …+b 1(l/m)+b 0). Πολλαπλασιάστε το παραβατικό μέρος του υπόλοιπου μετοχικού κεφαλαίου με mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Είναι σαφές ότι ο αριθμός mnf (k) διαιρείται με l-km. Το Ale oskіlki l і m είναι αμοιβαία απλά, τότε mn і l-km είναι επίσης αμοιβαία απλά, επίσης, το f (k) διαιρείται με το l-km. Το θεώρημα έχει ολοκληρωθεί.

Ας στραφούμε στον πισινό μας και, αφού αποδείξουμε το θεώρημα, είναι ακόμη πιο ηχηρό για τον ήχο της ορθολογικής ρίζας. Είναι απαραίτητο να εκχωρήσουμε το θεώρημα για k=1 і k=-1, δηλαδή επειδή το μη βραχύ drіb l/m είναι η ρίζα του όρου f(x), τότε f(1)/(l-m), και f(-1)/(l + m) . Είναι εύκολο να γνωρίζουμε ότι σε χρόνους f(1)=-5, και f(-1)=-15. Με σεβασμό, ταυτόχρονα, το απενεργοποιήσαμε με μια ματιά ± 1. Στο εξής, η λογική ρίζα του πλούσιου όρου μας είναι ο ακόλουθος αριθμός μεσαίων αριθμών ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2 , ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Ας δούμε l/m=1/2. Τότε τα l-m=-1 και f(1)=-5 διαιρούνται με τον ακέραιο αριθμό. Dalі, l+m=3 і f(1) =-15 οπότε η ίδια διαιρείται με το 3. Άρα, drіb 1/2 αφήνεται στη μέση των "υποψήφιων" στη ρίζα.

Επιτρέψτε μου τώρα lm=-(1/2)=(-1)/2. Σε αυτήν την περίπτωση, το l-m=-3 і f(1) =-5 δεν διαιρείται με το - 3. Επομένως, το drіb -1/2 δεν μπορεί να είναι η ρίζα αυτού του πλούσιου όρου και μπορούμε να τον απενεργοποιήσουμε από μια μακρινή προβολή. Είναι απαραίτητο να επανεξεταστεί για την εφαρμογή στο δέρμα των βολών, λαμβάνουμε υπόψη ότι η ρίζα βρίσκεται ανάμεσα στους αριθμούς 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Σε αυτήν την κατάταξη, για να ολοκληρώσουμε το ίδιο απλό κόλπο, η περιοχή των ορθολογικών ριζών του θεωρούμενου πολυωνύμου ακουγόταν με νόημα. Λοιπόν, για να ελέγξουμε ξανά τους αριθμούς που έχουν μείνει έξω, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το σχήμα Horner: Πίνακας 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Bachimo, scho 1/2 είναι η ρίζα του πλούσιου όρου f(x) και f(x) = (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1 ) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Ήταν σαφές ότι οι άλλες ρίζες του πολυωνύμου f(x) λαμβάνονται από τις ρίζες του πολυωνύμου g(x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, στη συνέχεια, περαιτέρω έλεγχος των «υποψήφιων» στο η ρίζα μπορεί να πραγματοποιηθεί ήδη από το ίδιο πολυώνυμο. Γνωρίζουμε: Πίνακας 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Αφαιρέσαμε ότι η περίσσεια όταν το g(x) υποδιαιρέθηκε με το x-2/3 είναι περισσότερο - 80/9 , έπειτα. Τα 2/3 δεν είναι ρίζα του πολυωνύμου g(x), επίσης, i f(x). Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι - 2/3 είναι η ρίζα του πολυωνύμου g (x) και g (x) \u003d (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4).

Τότε f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Περαιτέρω επαλήθευση μπορεί να πραγματοποιηθεί για το πολυώνυμο x 2+2 x-4, το οποίο είναι αξιοσημείωτα απλούστερο, χαμηλότερο για g (x) ή μεγαλύτερο για f (x). Ως αποτέλεσμα, λαμβάνεται υπόψη ότι οι αριθμοί 2 i - 4 δεν είναι ριζωμένοι. Επίσης, ο πλούσιος όρος f(x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 έχει δύο ορθολογικές ρίζες: 1/2 i - 2/3. Αυτή η μέθοδος καθιστά δυνατή τη γνώση μόνο μιας ορθολογικής ρίζας ενός πλούσιου όρου με μεγάλο αριθμό συντελεστών. Ο Τιμ είναι μερικές φορές πλούσιο μέλος της μητέρας και παράλογη ρίζα. Έτσι, για παράδειγμα, όταν κοιτάμε την άκρη ενός πλούσιου όρου, υπάρχουν μόνο δύο ρίζες: - 1±√5 (αυτή η ρίζα ενός πλούσιου όρου είναι x2 + 2 x-4). ένα πολυώνυμο μπορεί να ονομαστεί μη υλική λογική ρίζα.

Όταν ελέγχετε "υποψήφιους" στη ρίζα του πλούσιου όρου f(x) μετά από περαιτέρω επεξεργασία άλλων θεωρημάτων, θα πρέπει να καλέσετε το αριστερό για τους υποψηφίους k=± 1. Με άλλα λόγια, εάν το l/m είναι "υποψήφιος" στο τη ρίζα, τότε θα υπερσκεφτείτε ότι τα f( 1 ) και f(-1) στα l-m και l+m είναι σωστά. Αλλά θα μπορούσε να είναι, για παράδειγμα, f(1) =0, δηλαδή 1 είναι η ρίζα, τότε η f(1) μπορεί να επεκταθεί ως αριθμός και η εκ νέου επαλήθευση έχει νόημα. Σε αυτήν την περίπτωση, διαιρέστε το f(x) με το x-1, οπότε πάρτε f(x)=(x-1)s(x) και ελέγξτε για το πολυώνυμο s(x). Αν ξεχάσετε ότι μια ρίζα του πολυωνύμου f(x)-x 1=1 - το γνωρίζαμε ήδη. Εάν οι "υποψήφιοι" αντιστραφούν στη ρίζα, οι οποίοι έχουν χαθεί μετά από ένα άλλο θεώρημα για την ορθολογική ρίζα, μετά το σχήμα του Horner είναι πιθανό, για παράδειγμα, το l / m να είναι η ρίζα, τότε θα πρέπει να γνωρίζετε την πολλαπλότητά του. Εάν είναι πιο ακριβό, ας πούμε, k, τότε f(x)=(x-l/m) ks(x) και μπορεί να γίνει περαιτέρω επαλήθευση για το s(x), που θα συντομεύσει τον υπολογισμό.

Λύση. Αφού αλλάξουμε τη μεταβολή y=2 x, ας προχωρήσουμε σε ένα πολυώνυμο με συντελεστή ίσο με ένα για το υψηλότερο βήμα. Για αυτόν τον ώμο πολλαπλασιάζουμε το viraz επί 4. Αν αφαιρεθεί η λειτουργία της ρίζας, τότε η δυσοσμία βρίσκεται στη μέση του ελεύθερου μέλους. Εγγράψιμο ix: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15±, ±20, ±30, ±60

Υπολογίζουμε διαδοχικά την τιμή της συνάρτησης g(y) σε αυτά τα σημεία μέχρι το μηδέν. Tobto, y=-5 є ρίζα, otzhe, є ρίζα εξωτερικής συνάρτησης. Διεξάγεται κάτω από το stovpchik (πηνίο) του πλούσιου όρου στο διώνυμο

Η εκ νέου επαλήθευση του dilnikov, το οποίο έχει χαθεί, θα πρέπει να πραγματοποιηθεί ελλιπώς, επομένως είναι ευκολότερο να τοποθετήσετε το τετράγωνο τριώνυμο Otzhe σε πολλαπλασιαστές αφαιρέσεων,

Τύποι Vykoristannya γρήγορου πολλαπλασιασμού και διωνύμου του Νεύτωνα για την επέκταση ενός πλούσιου όρου σε παράγοντες Inodi παλιό βλέμμαπολυωνυμικό να προτείνουμε για τη μέθοδο εξάπλωσης της γιόγκα σε πολλαπλασιαστές. Για παράδειγμα, μετά από ασυνεπείς μετασχηματισμούς, οι συντελεστές vishikovyvayutsya στη σειρά από το tricot του Pascal για τους συντελεστές του διωνύμου του Newton. βαρέλι. Δώστε τον όρο του πολλαπλασιαστή.

Λύση. Το γυρίζουμε μέχρι το σημείο: Η ακολουθία των συντελεστών σε άθροισμα στους βραχίονες δείχνει καθαρά τι είναι. Από το ίδιο, Τώρα, θα διατυπώσουμε τον τύπο για τη διαφορά των τετραγώνων: Viraz το άλλο τόξο δεν έχει ρίζες δράσης, αλλά για τον πλούσιο όρο από το πρώτο τόξο, διατυπώνουμε για άλλη μια φορά τον τύπο για τη διαφορά των τετραγώνων

Οι τύποι του Vieta εκφράζουν τους συντελεστές ενός πολυωνύμου μέσω της ης ρίζας. Με αυτούς τους τύπους, μπορείτε να διορθώσετε με μη αυτόματο τρόπο την ορθότητα της σημασίας της ρίζας του εμπλουτισμένου όρου, καθώς και για την αναδίπλωση του εμπλουτισμένου όρου για δεδομένες ρίζες. Ο τύπος Ως ρίζα ενός πολυωνύμου, τότε οι συντελεστές εκδηλώνονται με τους συμμετρικούς πλούσιους όρους των ριζών, και

Με άλλα λόγια, ak αγαπητό άθροισμα όλων των πιθανών δημιουργιών από k ρίζες. Ως ανώτερος συντελεστής του πολυωνύμου, τότε είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε όλους τους συντελεστές σε 0 πριν από τον τύπο Vieta. Από την υπόλοιπη φόρμουλα το Vієta είναι ισχυρό, λες και η ρίζα του πλούσιου μέλους είναι ακέραιος, τότε η δυσοσμία είναι τα dilniks του yogo free μέλους, που είναι επίσης ακέραιος. Η απόδειξη βασίζεται στην άποψη της ισοδυναμίας, αφαιρώντας τη διάταξη του πλούσιου όρου σύμφωνα με τις ρίζες, vrakhovuchi, ότι ένα 0 = 1 Η εξίσωση των συντελεστών στα ίδια επίπεδα του x έχει εμμονή με τον τύπο Vієta.

Λύστε τη στοίχιση x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Λύστε. Σημαντικά y \u003d x 3, παρόλο που είναι ίσο να κοιτάξετε y 2 - 5 y + 4 \u003d 0, διαφορετικά Y 1 \u003d 1; Y 2 \u003d 4. Otzhe, vyhіdne r_vnyannya ισοδυναμεί με το γάμο του rіvnyan: x 3 \u003d 1 chi x 3 \u003d 4, δηλαδή X 1 \u003d 1 chi X 2 \u003d Vid:

Θεώρημα προορισμού Bezout 1. Ένα στοιχείο ονομάζεται ρίζα ενός πλούσιου όρου, οπότε f(c)=0. Το θεώρημα του Bezout. Η υπέρβαση στην υποδιαίρεση του πολυωνύμου Pn(x) με το διώνυμο (x-a) αυξάνει την τιμή του πολυωνύμου στο x = a. Φέρνοντας. Δυνάμει του αλγορίθμου, f(x)=(xc)q(x)+r(x), de ή r(x)=0, διαφορετικά. Αργότερα, f(x)=(x-c)q(x)+r, αργότερα, f(c)=(c-c)q(c)+r=r, και f(x)=(xc)q(x) + στ(γ).

Τελευταίο 1: Η υπέρβαση στην υποδιαίρεση του πολυωνύμου Pn (x) με το διώνυμο ax+b έχει μεγαλύτερη αξία για το πολυώνυμο στο x = -b/a, τότε R = Pn (-b/a). Τελευταίο 2: Καθώς ο αριθμός α είναι η ρίζα του πολυωνύμου P (x), του οποίου το πολυώνυμο διαιρείται με το (x-a) χωρίς υπέρβαση. Μάθημα 3: Πώς το πολυώνυμο P(x) μπορεί να είναι ανά ζεύγη διαφορετικές ρίζες a 1 , a 2 , … , an, vin διαιρώντας με tvir (x-a 1) … (x-an) χωρίς περίσσεια. Μάθημα 4: Ένα πλούσιο μέλος του βήματος n μπορεί να έχει τρεις ή περισσότερες από n διαφορετικές ρίζες. Μάθημα 5: Για κάθε πολυώνυμο P(x) αυτός ο αριθμός a είναι διαφορετικός (P(x)-P(a)) διαιρούμενος χωρίς υπέρβαση με το διώνυμο (x-a). Μάθημα 6: Ο αριθμός a είναι η ρίζα του πολυωνύμου P(x) βαθμού όχι μικρότερου από τον πρώτο και μόνο αν το P(x) διαιρείται με το (x-a) χωρίς υπέρβαση.

Διάταξη ρητού κλάσματος στο απλούστερο Ας δείξουμε ότι αν ένα σωστό ορθολογικό κλάσμα μπορεί να κατανεμηθεί στο άθροισμα των απλούστερων κλασμάτων. Ας δοθεί το σωστό ορθολογικό επιχείρημα (1).

Θεώρημα 1. Έστω x=а є η ρίζα του banner του στυλ k, τότε , de f(a)≠ 0, τότε το ίδιο σωστό κλάσμα μπορεί να δοθεί στο άθροισμα δύο άλλων κανονικών κλασμάτων με την επόμενη σειρά: ( 2) και το F 1 (x) είναι ένας πλούσιος όρος, το βήμα του οποίου είναι χαμηλότερο από το βήμα του προτύπου

de richomember, το βήμα κάποιου είδους κατώτερου σκαλοπατιού του προτύπου. Παρόμοια με τον τύπο προς τα εμπρός μπορεί να ληφθεί: (5)

Όπως έχουμε ήδη προσδιορίσει, ένα από τα πιο σημαντικά καθήκοντα της θεωρίας των όρων με πλούσιο ορισμό είναι η κατανόηση των ριζών τους. Για την ολοκλήρωση αυτής της εργασίας, μπορείτε να κερδίσετε τη μέθοδο επιλογής, tobto. πάρτε έναν πραγματικό αριθμό και αλλάξτε τον, που είναι οι ρίζες αυτού του πολυωνύμου.

Με αυτό, μπορείτε να πιείτε shvidko στη ρίζα ή δεν μπορείτε να το γνωρίζετε καθόλου. Είναι αδύνατο για τον aje να διαστρεβλώσει όλους τους αριθμούς, για όσους είναι πολύ πλούσιοι.

Insha river, yakby καταφέραμε να ακούγεται η περιοχή για ένα αστείο, για παράδειγμα, για να μάθουμε ποια είναι η ρίζα, ας πούμε, στη μέση τριάντα καθορισμένων αριθμών. Και για τριάντα αριθμούς, μπορείτε επίσης να δουλέψετε σε μια αντήχηση. Στον σύνδεσμο με το μουστάκι, λέμε το πιο σημαντικό, και βλέπουμε τέτοια σταθερότητα.

Εφόσον l/m (l,m - ακέραιοι αριθμοί) είναι η ρίζα του πολλαπλού όρου f(x) με τους ακέραιους συντελεστές, τότε ο μεγαλύτερος συντελεστής του πολυωνύμου διαιρείται με το m και ο μεγαλύτερος όρος διαιρείται κατά 1.

Πράγματι, αν f(x) = anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, de an, an-1,...,a1, a0 είναι ακέραιοι αριθμοί, τότε η f (l/m) = 0, μετά an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+...+a1l/m+a0=0.

Πολλαπλασιάστε τα προσβλητικά μέρη της τιμής ισοδυναμίας επί εκατ. Πάρτε anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Οι ήχοι ουρλιάζουν:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Bachimo, ο ακέραιος αριθμός anln διαιρείται με το m. Ale l / m - όχι ένα σύντομο drіb, tobto. οι αριθμοί l και m είναι αμοιβαία απλοί, επίσης, σύμφωνα με τη θεωρία της διαιρετότητας των ακεραίων, οι αριθμοί ln και m είναι επίσης αμοιβαίως απλοί. Otzhe, anln να διαιρεθεί σε m και m είναι αμοιβαία απλό από το ln, επίσης, το an να διαιρεθεί σε m.

Το θέμα αναπτύχθηκε για να επιτρέψει στην περιοχή να ηχήσει με νόημα από την αναζήτηση μιας λογικής ρίζας ενός πλούσιου όρου με πολλαπλούς συντελεστές. Θα το δείξουμε σε μια συγκεκριμένη εφαρμογή. Γνωρίζουμε τη λογική ρίζα του πλούσιου όρου f(x) = 6x4+13x2-24x2-8x+8. Σύμφωνα με το θεώρημα, η λογική ρίζα του πολυωνύμου βρίσκεται στη μέση των μη βραχέων κλασμάτων με τη μορφή l / m, de l είναι το dilnik του μακροπρόθεσμου a0 = 8 και m είναι το dilnik του υψηλότερου συντελεστή a4 = 6. αν ναι, το yakscho drіb l/m είναι αρνητικό, τότε το σύμβολο "-" vodnosimeme στον αριθμό. Για παράδειγμα, - (1/3) = (-1)/3. Επίσης, μπορούμε να πούμε ότι l είναι ο παράγοντας του αριθμού 8 και m είναι ο θετικός παράγοντας του αριθμού 6.

Οι ταλαντωτές του αριθμού 8 - tse ±1, ±2, ±4, ±8, και οι θετικοί διαστολείς του αριθμού 6 θα είναι 1, 2, 3, 6, τότε η ορθολογική ρίζα του εξεταζόμενου πλούσιου όρου είναι η μέση των αριθμών ±1, ±1/2, ± 1 /3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Υποθέστε ότι σημειώσαμε περισσότερα από μικρά κλάσματα.

Με αυτή τη σειρά, μπορεί να έχουμε είκοσι αριθμούς - «υποψήφιους» για ρίζες. Έμεινε μόνο να επανεξετάσει το δέρμα τους και να επιλέξει αυτά, σαν να είναι πιστή στις ρίζες. Αλλά και πάλι, θα πρέπει να κάνω πολλή επανεπεξεργασία. Και ο άξονας έρχεται, το θεώρημα θα διευκολύνει το ρομπότ.

Εφόσον το l/m είναι η ρίζα του πολλαπλού όρου f(x) με πολλαπλούς συντελεστές, τότε η f(k) διαιρείται με το l-km για όποιον ακέραιο k είναι, για παράδειγμα, l-km?0.

Για να αποδείξουμε το θεώρημα, διαιρούμε το f(x) σε x-k іz πάρα πολύ. Πάρτε f (Χ) = (x-k) μικρό (Χ) +στ (κ).Εφόσον η f(x) είναι ένας πλούσιος όρος με πολλαπλούς συντελεστές, τότε ένα τέτοιο πολυώνυμο είναι το s(x) και το f(k) είναι ένας ακέραιος αριθμός. Έστω s(x) = bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Τότε f(x) - f(k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0). Ας πληρώσουμε για αυτήν την ισοτιμία x=l/m. Vrahovoyuchi, scho f (l / m) = 0, είναι δυνατό

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Πολλαπλασιάστε το προσβλητικό μέρος της ζήλιας που απομένει με mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Είναι σαφές ότι ο αριθμός mnf (k) διαιρείται με l-km. Το Ale oskіlki l і m είναι αμοιβαία απλά, τότε mn і l-km είναι επίσης αμοιβαία απλά, επίσης, το f (k) διαιρείται με το l-km. Το θεώρημα έχει ολοκληρωθεί.

Ας στραφούμε τώρα στον πισινό μας και, αφού αποδείξουμε το θεώρημα, ακούγεται ακόμα πιο δυνατά όταν πρόκειται για τον ήχο της ορθολογικής ρίζας. Είναι απαραίτητο να εκχωρηθεί το θεώρημα για k=1 і k=-1, άρα. ως μη βραχύ drіb l/m είναι η ρίζα του f(x), μετά f(1)/(l-m) και f(-1)/(l+m). Είναι εύκολο να γνωρίζουμε ότι f(1) =-5, και f(-1) =-15. Με σεβασμό, απενεργοποιήσαμε τη μετάδοση με μια ματιά ±1.

Επίσης, η ορθολογική ρίζα του πλούσιου όρου μας είναι η ακόλουθη των μεσαίων αριθμών ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3.

Ας δούμε l/m=1/2. Τότε τα l-m=-1 και f(1)=-5 διαιρούνται με τον ακέραιο αριθμό. Dalі, l+m=3 і f(1) =-15 οπότε η ίδια διαιρείται με το 3. Άρα, drіb 1/2 αφήνεται στη μέση των "υποψήφιων" στη ρίζα.

Επιτρέψτε μου τώρα lm = - (1/2) = (-1) / 2. Σε αυτήν την περίπτωση, το l-m=-3 і f(1) =-5 δεν διαιρείται με - 3. Επομένως, το drіb - 1/2 δεν μπορεί να είναι η ρίζα αυτού του πλούσιου όρου και μπορούμε να τον απενεργοποιήσουμε από μια μακρινή προβολή. Είναι απαραίτητο να επανεξετάσουμε τις δερματικές συνταγογραφούμενες βολές, λαμβάνουμε υπόψη ότι η ρίζα βρίσκεται μεταξύ των αριθμών 1/2, ±2/3, 2, - 4.

Σε αυτήν την κατάταξη, για να ολοκληρώσουν το ίδιο απλό κόλπο, ηχούσαν με νόημα την περιοχή αναζητώντας μια ορθολογική ρίζα του πολυωνύμου που αναλύθηκε. Λοιπόν, για να ελέγξουμε ξανά τους αριθμούς, χρησιμοποιούμε το σχήμα του Horner:

Πίνακας 10

Αφαίρεσαν ότι το πλεόνασμα όταν το g (x) υποδιαιρέθηκε με το x-2/3 είναι ίσο με 80/9, επομένως τα 2/3 δεν είναι η ρίζα του πλούσιου όρου g (x), αλλά σημαίνει, i f (x) .

Επιπλέον, είναι εύκολο να γνωρίζουμε ότι - 2/3 είναι η ρίζα του πολλαπλού όρου g(x) και g(x) = (3x+2) (x2+2x-4). Τότε f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Περαιτέρω επαλήθευση μπορεί να πραγματοποιηθεί για το πολυώνυμο x2+2x-4, το οποίο είναι προφανώς απλούστερο, χαμηλότερο g(x) ή μεγαλύτερο f(x). Ως αποτέλεσμα, λαμβάνεται υπόψη ότι οι αριθμοί 2 i - 4 δεν είναι ριζωμένοι.

Επίσης, ο πλούσιος όρος f(x) = 6x4+13x3-24x2-8x+8 έχει δύο ορθολογικές ρίζες: 1/2 i - 2/3.

Μαντεύοντας, περισσότερες περιγραφές της μεθόδου δίνει τη δυνατότητα να γνωρίζουμε την ορθολογική ρίζα του πλούσιου όρου με πολλούς συντελεστές. Ο Τιμ είναι μερικές φορές πλούσιο μέλος της μητέρας και παράλογη ρίζα. Έτσι, για παράδειγμα, όταν κοιτάμε τον πισινό ενός πλούσιου μέλους, υπάρχουν μόνο δύο ρίζες: - 1±v5 (αυτή η ρίζα ενός πλούσιου μέλους είναι x2 + 2x-4). Και, προφανώς, ένα πλούσιο μέλος μπορεί να μην είναι μητέρα μιας λογικής ρίζας.

Τώρα η κυρία είναι χαρούμενη.

Όταν δοκιμάζετε "υποψήφιους" στη ρίζα του πλούσιου όρου f(x), μετά από περαιτέρω επεξεργασία περισσότερων θεωρημάτων, ακούγεται αριστερά για vipadkіv k=±1. Με άλλα λόγια, εφόσον το l/m είναι «υποψήφιος» στη ρίζα, αντιστρέφεται αν η f (1) και η f (-1) μπορούν να διαιρεθούν σε l-m και l+m προφανώς. Αλλά θα μπορούσε, για παράδειγμα, f (1) = 0, τότε το 1 είναι η ρίζα και, στη συνέχεια, η f (1) μπορεί να διαιρεθεί με έναν αριθμό, και η επαλήθευση μας έχει νόημα. І εδώ το επόμενο βήμα είναι να διαιρέσουμε την f (x) με x-1, άρα. Πάρτε f(x) = (x-1) s(x) και ελέγξτε για το πολυώνυμο s(x). Αν δεν ξεχνάτε ότι μια ρίζα του πλούσιου όρου f(x) – x1=1 – γνωρίζαμε ήδη. Όπως στην περίπτωση της αντιστροφής των "υποψήφιων" στη ρίζα, η οποία χάθηκε μετά από ένα άλλο θεώρημα για την ορθολογική ρίζα, μετά το σχήμα του Horner είναι πιθανό, για παράδειγμα, το l / m να είναι η ρίζα, τότε θα πρέπει να γνωρίζετε την πολλαπλότητά του. Εάν είναι πιο ακριβό, ας πούμε, k, τότε f(x) = (x-l/m) ks(x) και μπορεί να γίνει περαιτέρω επαλήθευση για το s(x), που θα συντομεύσει τον υπολογισμό.

Σε αυτήν την κατάταξη, μάθαμε να γνωρίζουμε τη λογική ρίζα του πλούσιου όρου με μεγάλους συντελεστές. Φαίνεται ότι εμείς οι ίδιοι μάθαμε να γνωρίζουμε την παράλογη ρίζα του πλούσιου όρου με ορθολογικούς συντελεστές. Στην πραγματικότητα, όσο μπορώ, για παράδειγμα, ένας πλούσιος όρος f (x) \u003d x4 + 2 / 3x3 + 5 / 6x2 + 3 / 8x + 2, στη συνέχεια, έχοντας προσθέσει τους συντελεστές στο banner ύπνου και προσθέτοντας γιόγκα από τους βραχίονες, παίρνουμε f (x) \u003d 1 /24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Ήταν σαφές ότι οι ρίζες του πολυωνύμου f(x) σχηματίζονται από τις ρίζες του πλούσιου όρου, που βρίσκονται στους βραχίονες, και στον νέο συντελεστή - τους αριθμούς. Ας πούμε, για παράδειγμα, ότι το sin100 είναι ένας παράλογος αριθμός. Επιτάχυνση με την οικιακή φόρμουλα sin3?=3sin?-4sin3?. Αστέρια sin300 = 3sin100-4sin3100. Κοιτάζοντας πίσω σε αυτούς που sin300=0,5 και διεξάγουν άβολους μετασχηματισμούς, μπορούμε να υποθέσουμε 8sin3100-6sin100+1=0. Επίσης, sin100 είναι η ρίζα του όρου f(x) = 8x3-6x+1. Ακριβώς όπως shukatimemo ορθολογικά τη ρίζα αυτού του πλούσιου μέλους, τότε perekaєmosya, δεν τους έχουμε. Otzhe, η ρίζα του sin100 είναι ένας λογικός αριθμός, tobto. Το sin100 είναι ένας παράλογος αριθμός.

Ελα

- πλούσιος όρος του βήματος n ≥ 1 στην πραγματική τιμή της μιγαδικής μεταβλητής z με την πραγματική τιμή των μιγαδικών συντελεστών a i . Ας αποδείξουμε το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα 1

Ισοπέδωση P n (z) = 0Να θέλω μια ρίζα.

Ας έρθουμε Λέμα.

Λήμμα 1

Έστω P n (z)- πλούσιος όρος του βήματος n, z 1 - η ρίζα του ποταμού:
P n (z1) = 0.
Todi P n (z)μπορεί να αποκαλυφθεί με έναν τρόπο κοιτάζοντας:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
de P n- 1(z)- πλούσιος όρος βήμα n - 1 .

Φέρνοντας

Για να το αποδείξουμε, ας κάνουμε ένα θεώρημα (διαιρ. Η διαίρεση ενός πολλαπλού όρου με έναν πολλαπλό όρο με μια πτυχή και ένα κούτσουρο), είναι δυνατό για οποιουσδήποτε δύο πλούσιους όρους P n (z) i Qk (z), βήματα n και k, επιπλέον, n ≥ k
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
de P n-k (z)- πλούσιος όρος του βήματος n-k, U k- 1(z)- ο πλούσιος όρος του βήματος δεν είναι υψηλότερος από k- 1 .

Ας βάλουμε k = 1 , Qk (z) = z - z 1επίσης
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z) + c,
de c - γρήγορα. Φανταστείτε εδώ z = z 1 ότι vrahuєmo, scho P n (z1) = 0:
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + γ.
Zvіdsi c = 0 . Todi
P n ,
αυτό που ήταν απαραίτητο να φέρει.

Η διεύρυνση του πλούσιου όρου σε πολλαπλασιαστές

Επίσης, με βάση το Θεώρημα 1, ο πλούσιος όρος P n (z)Να θέλω μια ρίζα. Σημαντικά yogo yak z 1 , P n (z1) = 0. Το ίδιο και στο stand lemy 1:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z).
Νταλί, όπως ν > 1 , τότε το πολυώνυμο P n- 1(z)οπότε μπορώ να θέλω μια ρίζα, η οποία έχει νόημα όπως το z 2 , Pn- 1(z2) = 0. Todi
Pn- 1 (z) = (z - z 2) P n-2 (z);
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) P n-2 (z).

Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι έχουμε n αριθμούς z 1, z 2, ..., z nτέτοια που
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n) P 0 (z).
Άλε Π 0 (z)- tse postiyna. Εξισώνοντας τους συντελεστές σε z n , είναι γνωστό ότι είναι πιο ακριβό το a n . Ως αποτέλεσμα, έχουμε εμμονή με τον τύπο για τη διαίρεση ενός πλούσιου όρου σε πολλαπλασιαστές:
(1) P n (z) = a n (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n).

Αριθμοί z i є στις ρίζες του πλούσιου όρου P n (z).

Στο zagalny vpadku όχι όλα z i, scho να μπείτε πριν (1) , Riznі. Ανάμεσά τους μπορεί να υπάρχουν οι ίδιες τιμές. Πώς να επεκτείνετε έναν πλούσιο όρο σε πολλαπλασιαστές (1) μπορείτε να γράψετε στο θέαμα:
(2) P n (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Εδώ z i ≠ z j για i ≠ j. Yakscho n i = 1 , έπειτα ρίζα z i κάλεσε συγχώρεση. Vіn εισάγετε στη διάταξη για πολλαπλασιαστές στο θέαμα (z-z i ). Yakscho n i > 1 , έπειτα ρίζα z i ονομάζεται πολλαπλή ρίζα της πολλαπλότητας n i . Vіn εισάγετε στη διάταξη των πολλαπλασιαστών όταν εξετάζετε την εξαγωγή των πρώτων πολλαπλασιαστών n i: (z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i.

Πλούσιοι όροι με αποτελεσματικούς συντελεστές

Λήμμα 2

Δεδομένου ότι είναι μια σύνθετη ρίζα ενός πολυωνύμου με αποτελεσματικούς συντελεστές, τότε ο αριθμός σχετίζεται επίσης μιγαδικά με τη ρίζα του πολυωνύμου, .

Φέρνοντας

Deisno, yakscho και πολυωνυμικοί συντελεστές - αριθμοί dіysnі, έπειτα.

Με αυτή τη σειρά, η σύνθετη ρίζα περιλαμβάνεται στη διάταξη στους πολλαπλασιαστές σε ζεύγη με τις σύνθετες έννοιές τους:
,
de, - Πραγματικοί αριθμοί.
Ίδια διάταξη (2) ένας πλούσιος όρος με αποτελεσματικούς συντελεστές για πολλαπλασιαστές μπορεί να κατατεθεί στη θέα, με την παρουσία μόνο αποτελεσματικής γρήγορης:
(3) ;
.

Μέθοδοι για τον διαχωρισμό ενός πλούσιου όρου σε πολλαπλασιαστές

Με τη βελτίωση των όσων ειπώθηκαν παραπάνω, για την αποσύνθεση ενός πολυωνύμου σε παράγοντες, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε όλες τις ρίζες της εξίσωσης P n (z) = 0 και προσδιορίστε την πολλαπλότητά τους. Οι πολλαπλασιαστές με σύνθετες ρίζες πρέπει να ομαδοποιούνται με πολύπλοκο τρόπο. Η ίδια διάταξη εξαρτάται από τον τύπο (3) .

Σε αυτήν την κατάταξη, η μέθοδος διάδοσης του πλούσιου όρου σε πολλαπλασιαστές χρησιμοποιείται στην επίθεση:
1. Γνωρίζουμε τη ρίζα z 1 εξισορρόπηση P n (z1) = 0.
2.1. Yakshcho ρίζα z 1 αποτελεσματικό, τότε στη διάταξη προσθέτουμε έναν πολλαπλασιαστή (z-z1) (z-z1) 1 :
.
1(z), ξεκινώντας από το σημείο (1) , Μέχρι να μάθουμε όλες τις ρίζες.
2.2. Ως σύνθετη ρίζα, ο αριθμός є λαμβάνεται σύνθετα ως ρίζα ενός πλούσιου όρου. Todі πριν από τη διάταξη εισάγετε τον πολλαπλασιαστή

,
de β 1 = - 2 x 1, γ 1 = x 1 2 + y 1 2.
Στο μυαλό μου, στη διάταξη προσθέτουμε έναν πολλαπλασιαστή (z 2 + b 1 z + c 1)αραιώνω τον πλούσιο όρο P n (z) κατά (z 2 + b 1 z + c 1). Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε έναν πλούσιο όρο του βήματος n - 2 :
.
Ας επαναλάβουμε τη διαδικασία για το πολυώνυμο P n- 2(z), ξεκινώντας από το σημείο (1) , Μέχρι να μάθουμε όλες τις ρίζες.

Γνώση της ρίζας του πλούσιου μέλους

κεντρικά γραφεία, με την επέκταση του πολυωνύμου σε παράγοντες, η σημασία της ρίζας γιόγκο. Δυστυχώς, δεν μπορείτε πάντα να εργαστείτε αναλυτικά. Εδώ θα αναλύσουμε τη σαρδελόρεγγα του vipadkiv, αν μπορείτε να μάθετε αναλυτικά τη ρίζα του πλούσιου όρου.

Ρίζα του πλούσιου μέλους του πρώτου σταδίου

Το πλούσιο μέλος του πρώτου βήματος είναι μια αναπόσπαστη συνάρτηση. Υπάρχει μόνο μία ρίζα. Η διάταξη μπορεί να είναι μόνο ένας πολλαπλασιαστής για να εκδικηθεί την αλλαγή του z:
.

Ρίζα πλούσιου μέλους άλλου επιπέδου

Για να γνωρίζουμε τη ρίζα του πλούσιου όρου ενός άλλου επιπέδου, είναι απαραίτητο να λύσουμε το τετράγωνο ίσο:
Π 2(z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Ως διάκριση, τότε υπάρχουν δύο πραγματικές ρίζες:
, .
Απλά κοιτάξτε τους πολλαπλασιαστές:
.
Τι είναι η διάκριση D = 0 , τότε ισούται με μία ρίζα dvorazovy:
;
.
Ως διακριτικός Δ< 0 , τότε η ρίζα είναι πιο περίπλοκη,
.

Πλούσια αρθρωμένο βήμα ψηλότερα για άλλον

Τύποι Іsnuyu για την έννοια των ριζών των πλούσιων τμημάτων του 3ου και 4ου βήματος. Σπάνια τσακίζονται μαζί τους, τα θραύσματα της δυσοσμίας είναι ογκώδη. Δεν υπάρχουν τύποι για τη γνώση των ριζών του πλούσια αρθρωμένου βαθμού υψηλότερου από τον 4ο. Με άγνοια επιτόπου, στα deyakih vipadkas, πηγαίνει κανείς στη διάδοση του πλούσιου όρου σε πολλαπλασιαστές.

Σημασία ολόκληρης της ρίζας

Φαίνεται ότι είναι ένας πλούσιος όρος, για ορισμένους συντελεστές - τον αριθμό των αριθμών, τον αριθμό των ριζών, που μπορεί να γίνει γνωστός ταξινομώντας όλες τις πιθανές τιμές.

Λήμμα 3

Δώσε μου ένα πλούσιο πούτσο
,
συντελεστές a i εκ των οποίων - ο αριθμός του αριθμού που μπορεί να είναι η ρίζα του z 1 . Ίδια ρίζα με το dilnik του αριθμού α 0 .

Φέρνοντας

Ας ξαναγράψουμε ίσο P n (z1) = 0στο θέαμα:
.
Τόντι - τσιλέ,
Mz 1 = - a0.
Διαιρείται με z 1 :
.
Oskіlki M - qile, μετά i - qile. Τι χρειάστηκε για να φέρει.

Επομένως, όπως οι συντελεστές ενός πολυωνύμου - οι αριθμοί των αριθμών, μπορείτε να προσπαθήσετε να μάθετε τους αριθμούς της ρίζας. Για τους οποίους είναι απαραίτητο να γνωρίζουν όλα τα dilniks ενός ελεύθερου μέλους 0 ι, αντικατάσταση εξισορρόπησης P n (z) = 0, perverti, chi є βρώμα στις ρίζες του ίσου.
Σημείωση. Δεδομένου ότι οι συντελεστές ενός πολυωνύμου είναι ορθολογικοί αριθμοί, τότε πολλαπλασιάζονται ίσοι με P n (z) = 0στο υψηλό επίπεδο των αριθμών a i παίρνουμε την εξίσωση για το πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές.

Η έννοια της λογικής ρίζας

Δεδομένου ότι οι συντελεστές ενός πολυωνύμου - οι αριθμοί του αριθμού και ο αριθμός των ριζών δεν είναι, τότε για ένα n ≠ 1 , μπορείτε να προσπαθήσετε να μάθετε τη λογική ρίζα. Για ποιον είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί αντικατάσταση
z = y/a n
και πολλαπλασιάζουμε ίσο με ένα n n- 1 . Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε υπόψη την ισότητα για τον πλούσιο όρο με τη μορφή μεταβολής και με τον αριθμό των συντελεστών. Dali shukaimo η ρίζα του πλούσιου μέλους του μεσαίου μέλους του ελεύθερου μέλους. Αφού γνωρίζαμε μια τέτοια ρίζα y i , τότε περνώντας στην αλλαγή x , θα υποθέσουμε μια λογική ρίζα
z i = y i / a n.

Έγχρωμες φόρμουλες

Εισάγουμε τύπους, με τη βοήθεια των οποίων είναι δυνατή η επέκταση του πολυωνύμου σε παράγοντες.

Έχετε μια πιο άγρια ​​ιδιοσυγκρασία, για να απλώσετε ένα πλούσιο μέλος
P n (z) = z n - a 0,
de a 0 - είναι πιο περίπλοκο, είναι απαραίτητο να γνωρίζετε όλες τις ρίζες του γιόγκο, ώστε να μπορείτε να ξετυλίξετε ίσα:
z n = α 0 .
Το Tsіvnyannya είναι εύκολο να γίνει λάθος, σαν να αποδεικνύεται α 0 μέσω της ενότητας r i όρισμα;
.
Oskilki α 0 μην αλλάζετε, για να προσθέσετε στο επιχείρημα 2 π, τότε φανταστείτε α 0 στο θέαμα:
,
de k – qile. Todi
;
.
Εκχώρηση τιμών k k = 0, 1, 2, ... n-1, Παίρνουμε n ρίζες του πολυωνύμου. Η διάταξη Todi yogo για πολλαπλασιαστές μπορεί να φαίνεται:
.

Διστετράγωνος μπαγατονικός όρος

Ας ρίξουμε μια ματιά στον διτετραγωνικό όρο:
.
Ένας διτετραγωνικός πλούσιος όρος μπορεί να χωριστεί σε πολλαπλασιαστές, χωρίς ρίζα.

Πότε, ίσως:

,
de.

Δικυβικά και πλούσια τμήματα που μπορούν να μειωθούν σε τετράγωνο

Ας δούμε το πλούσιο μέλος:
.
Yogo root σημαίνει ίσο:
.
Κέρδισε να καθοδηγηθεί μέχρι τετράγωνη ευθυγράμμισηαντικατάσταση t = z n :
ένα 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Virishivshi tse eve, ξέρουμε τη ρίζα yogo, t 1 , t 2 . Αν γνωρίζουμε τη διάταξη στο θέαμα:
.
Dali με τη μέθοδο, ας το δούμε, επεκτείνουμε σε πολλαπλασιαστές z n - t 1 i z n - t 2 . Η visnovka έχει μια ομάδα πολλαπλασιαστών, που εκδικούνται τη ρίζα με πολύπλοκο τρόπο.

Περιστροφικοί μίσχοι

Το πλούσιο μέλος λέγεται ΕΠΙΣΤΡΟΦΗΟι συντελεστές yakscho yogo είναι συμμετρικοί:

Πισινό του αποθηκευτικού μέλους bagato:
.

Εφόσον τα βήματα του αντίστροφου πολυωνύμου n δεν είναι ζευγαρωμένα, ένα τέτοιο πολυώνυμο μπορεί να έχει ρίζα z = -1 . Διαιρώντας έναν τόσο πλούσιο όρο σε z + 1 , παίρνουμε την επιστροφή πλούσιο όρο του βήματος

Σε περίπτωση διαχωρισμού ισοτήτων και ανομοιομορφιών, συχνά κατηγορεί κανείς την ανάγκη διαίρεσης ενός πολυωνύμου σε πολλαπλασιαστές, τα βήματα των οποίων είναι τρία ή περισσότερα. Μπορούμε να δούμε αυτά τα στατιστικά στοιχεία, πώς να το κάνουμε πιο απλό.

Σαν zavzhd, θηριώδης για βοήθεια στη θεωρία.

Το θεώρημα του Bezout stverzhuє, scho πλεόνασμα στη διαίρεση ενός πολυωνύμου σε ένα διώνυμο dorivnyuє.

Αλλά αυτό που είναι σημαντικό για εμάς δεν είναι το ίδιο το θεώρημα, αλλά συνέπεια από αυτό:

Δεδομένου ότι ο αριθμός είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου, τότε το πολυώνυμο μπορεί να διαιρεθεί χωρίς πολύ διώνυμο.

Μπροστά μας είναι το καθήκον να γνωρίζουμε πώς να γνωρίζουμε μια ρίζα ενός πλούσιου όρου, μετά χωρίζουμε τον πλούσιο όρο σε, de - τη ρίζα ενός πλούσιου όρου. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα πλούσιο μέλος, το πόδι του ενός είναι ένα μικρότερο, το κάτω είναι το πλευρό του εξωτερικού. Και μετά για κατανάλωση, μπορείτε να επαναλάβετε τη διαδικασία.

Το Tse zavdannya χωρίζεται στα δύο: πώς να γνωρίζετε τη ρίζα ενός πλούσιου όρου και πώς να διαιρέσετε έναν πλούσιο όρο σε ένα διώνυμο.

Ας αναφέρουμε αυτά τα σημεία.

1. Πώς να μάθετε τη ρίζα ενός πλούσιου μέλους.

Το πίσω μέρος του χεριού είναι σεβαστό, το chi είναι ο αριθμός 1 και -1 των ριζών του πλούσιου μέλους.

Ακολουθούν ορισμένα στοιχεία που θα μας βοηθήσουν:

Καθώς το άθροισμα όλων των συντελεστών του πολυωνύμου είναι ίσο με μηδέν, ο αριθμός είναι η ρίζα του πολυωνύμου.

Για παράδειγμα, το πολυώνυμο του αθροίσματος των συντελεστών είναι ίσο με μηδέν: . Είναι εύκολο να παρερμηνευθεί ποια είναι η ρίζα ενός πλούσιου μέλους.

Καθώς το άθροισμα των συντελεστών του πολυωνύμου στα ζευγαρωμένα βήματα είναι το ίδιο με το άθροισμα των συντελεστών στα μη ζευγαρωμένα βήματα, ο αριθμός είναι η ρίζα του πολυωνύμου. Vilniy μέλος vvazhaetsya συντελεστής στο διπλό επίπεδο, oskolki, και - τύπος αριθμός.

Για παράδειγμα, στο πολυώνυμο του αθροίσματος των συντελεστών σε ζευγαρωμένα βήματα : και του αθροίσματος των συντελεστών σε μη ζευγαρωμένα βήματα : . Είναι εύκολο να παρερμηνευθεί ποια είναι η ρίζα ενός πλούσιου μέλους.

Αν nі 1, nі -1 є στις ρίζες του πολυωνύμου, τότε η απόσταση καταρρέει.

Για τον επαγόμενο πλούσιο όρο του βήματος (στον τον πλούσιο όρο, στον οποίο ο ανώτερος συντελεστής είναι ο συντελεστής στο - ο κορυφαίος), ισχύει ο ακόλουθος τύπος:

De - η ρίζα του πλούσιου μέλους.

Υπάρχουν περισσότεροι τύποι του Vієta, ότι υπάρχουν άλλοι συντελεστές του πολυωνύμου, αλλά μπορούμε να μιλήσουμε για αυτό μόνοι μας.

Z tsієї τύπος Vієta viplivaє, scho ως η ρίζα ενός πλούσιου μέλους του ακέραιου, τότε η δυσοσμία των ντίλνικ του yogo free μέλους, που είναι επίσης ένας ακέραιος αριθμός.

Vihodyachi z tsogo, Πρέπει να διαμορφώσουμε τη μεταβλητή όρο του πλούσιου όρου σε πολλαπλάσια, και διαδοχικά, από τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη, να αντιστρέψουμε ποιος από τους πληθυντικούς είναι η ρίζα του πλούτου όρου.

Δες το, για παράδειγμα, πλούσιο μέλος

Δωρεάν ημερολόγια μέλους: ; ; ;

Το άθροισμα όλων των συντελεστών ενός πολυωνύμου είναι πιο ακριβό, οπότε ο αριθμός 1 έχει πάψει να είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου.

Το άθροισμα των συντελεστών για τα δίδυμα βήματα:

Άθροισμα συντελεστών για μη ζευγαρωμένα βήματα:

Επίσης, ο αριθμός -1 είναι και η ρίζα ενός πολυωνύμου.

Είναι αναστρέψιμο ότι το chi είναι ο αριθμός 2 ως ρίζα ενός πλούσιου όρου: επίσης, ο αριθμός 2 είναι η ρίζα ενός πλούσιου όρου. Αργότερα, ακολουθώντας το θεώρημα του Bezout, ένας πλούσιος όρος μπορεί να χωριστεί χωρίς περίσσεια σε ένα διώνυμο.

2. Πώς να αφαιρέσετε έναν πλούσιο όρο σε ένα διώνυμο.

Ο πλούσιος όρος μπορεί να χωριστεί σε διώνυμο με κούτσουρο.

Χωρίζουμε τον πλούσιο όρο σε ένα διώνυμο με ένα stompchik:

Ο δεύτερος τρόπος για να υποδιαιρέσουμε ένα πολυώνυμο σε ένα διώνυμο είναι το σχήμα του Horner.

Δείτε το βίντεο για να καταλάβετε πώς να διαιρέσετε έναν πλούσιο όρο σε έναν δυαδικό όρο με ένα βήμα i για το πρόσθετο σχήμα του Horner.

Θα το σέβομαι όταν rozpodіlі stovpchik σαν βήματα που δεν είναι εξοικειωμένα με το vyhіdny πολυώνυμο vіdsutnya, її mіstsі γράφουν 0 - όπως і, όπως από το διπλωμένο τραπέζι για το σχήμα του Horner.

Επομένως, καθώς πρέπει να διαιρέσουμε τον πλούσιο όρο σε έναν δυαδικό όρο και ως αποτέλεσμα να πάρουμε τον πλούσιο όρο, τότε μπορούμε να γνωρίζουμε τους συντελεστές πίσω από το σχήμα του Horner:

Μπορούμε και βικορίστ Το σχήμα του Χόρνεργια να αντιστραφεί, εάν ο αριθμός δίνεται ως ρίζα του πλούσιου όρου: εάν ο αριθμός είναι η ρίζα του πλούσιου όρου, τότε η υπέρβαση στο υποπεδίο του πλούσιου όρου είναι ίση με μηδέν, οπότε στην υπόλοιπη στήλη του την άλλη σειρά του σχήματος Horner παίρνουμε 0.

Σύμφωνα με το σχήμα του Vikoristovuyuchi Horner, "χτυπάμε δύο πουλιά με μια πέτρα": μία ώρα ελέγχουμε ότι ο αριθμός είναι η ρίζα ενός πλούσιου όρου και χωρίζουμε τον πλούσιο όρο σε ένα διώνυμο.

βαρέλι. Virishiti Rivnyannia:

1. Γράψτε τα dilniks του ελεύθερου μέλους και shukatimemo τη ρίζα του πλούσιου μέλους των μεσαίων dilniks του ελεύθερου μέλους.

Διάλογοι του αριθμού 24:

2. Αναστρέψιμα, το chi είναι η νούμερο 1 ρίζα ενός πλούσιου όρου.

Το άθροισμα των συντελεστών του πολυωνύμου, επίσης, ο αριθμός 1 είναι η ρίζα του πολυωνύμου.

3. Διαιρέστε τον εξωτερικό πλούσιο όρο σε έναν δυαδικό όρο χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner.

Α) Να γράψετε την πρώτη σειρά του πίνακα των συντελεστών του πολυωνύμου εξόδου.

Μέλος Oskіlki, scho vengeance vіdsutnya, σε εκείνο το τραπέζι του τραπεζιού, που μπορεί να έχει συντελεστή όταν γράφουμε 0. Γράφουμε κακή ρίζα της γνώσης: αριθμός 1.

Β) Αποθηκεύστε την πρώτη σειρά του πίνακα.

Στην υπόλοιπη στήλη, σαν να ήταν ξεκάθαρο, αφαιρέσαμε το μηδέν, ο κόσμος χώρισε τον τελευταίο πλούσιο όρο σε ένα διώνυμο χωρίς περίσσεια. Οι συντελεστές του πολυωνύμου, που έχει το αποτέλεσμα κάτω από την εικόνα με μπλε χρώμα σε άλλη σειρά του πίνακα:

Είναι εύκολο να παρεξηγηθεί ότι οι αριθμοί 1 και -1 δεν είναι οι ρίζες ενός πλούσιου όρου

Γ) Συνεχίζουμε το τραπέζι. Αναστρέψιμα, το chi είναι ο αριθμός 2 ως η ρίζα ενός πλούσιου όρου:

Άρα το βήμα του πολυωνύμου, που εμφανίζεται στο αποτέλεσμα του υπο-όρου είναι ένα μικρότερο από το βήμα του πλούτου όρου εξόδου, επίσης ο αριθμός των συντελεστών και ο αριθμός των στηλών είναι μία λιγότερος.

Στην υπόλοιπη στήλη, αφαιρέσαμε το -40 - έναν αριθμό που δεν προστίθεται στο μηδέν, επομένως, ο πλούσιος όρος διαιρείται με έναν δυαδικό όρο από την περίσσεια και ο αριθμός 2 δεν είναι η ρίζα του πλούσιου όρου.

Γ) Αναστρέψιμα, το chi είναι ο αριθμός -2 ως ρίζα ενός πλούσιου όρου. Έτσι, όπως πριν, το τεστ δεν ήταν μακριά, έτσι ώστε να μην υπήρχε απάτη με συντελεστές, είμαι στη σειρά, που επιβεβαιώνω τη δοκιμή μου:

Θαυματουργός! Το μηδέν αφαιρέθηκε από την περίσσεια, στη συνέχεια, ο πλούσιος όρος χωρίστηκε σε ένα διώνυμο χωρίς περίσσεια και ο αριθμός -2 είναι η ρίζα του πλούσιου όρου. Οι συντελεστές του πολυωνύμου, που στο αποτέλεσμα υποδιαιρεί το πολυώνυμο σε διώνυμο στον πίνακα της εικόνας με πράσινο χρώμα.

Ως αποτέλεσμα, αφαιρέσαμε το τετράγωνο τριώνυμο , η ρίζα του οποίου είναι εύκολο να γνωρίζουμε πίσω από το θεώρημα του Βιέτ:

Otzhe, η ρίζα της εξωτερικής αναγέννησης:

{}

Πρόταση: ( }

Yakscho πλούσιο μέλος

Φέρνοντας

Ας έχουμε τους συντελεστές του πολυωνύμου με ακέραιους αριθμούς και έστω τον αριθμό a με τη ρίζα του ου πλούσιου όρου. Σε εκείνο στο οποίο ο ήχος λάμπει σε κάθε στιγμή, ο συντελεστής διαιρείται με α.

Σεβασμός. Αυτό το θεώρημα σας επιτρέπει στην πραγματικότητα να γνωρίζετε τις ρίζες των πλουσιότερων όρων σε αυτήν την περίπτωση, εάν οι συντελεστές αυτών των πλούσιων όρων είναι αριθμοί και η ρίζα είναι ρητός αριθμός. Το θεώρημα μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής: όπως γνωρίζουμε ότι οι συντελεστές ενός πολυωνύμου είναι οι αριθμοί του αριθμού και η ρίζα του yogo είναι ορθολογική, τότε η ορθολογική ρίζα μπορεί να είναι μόνο σαν το de p ως dilnik ενός αριθμού (ένας ελεύθερος όρος), και ο αριθμός q είναι ένας διαστολέας ενός αριθμού (ένας ανώτερος συναγερμός) .

Το θεώρημα για ολόκληρη τη ρίζα,τι να εκδικηθείς τον εαυτό σου

Εάν ο ακέραιος αριθμός α είναι η ρίζα του πλούσιου όρου με τον αριθμό των συντελεστών, τότε το α είναι το dilnik του γιογκ ελεύθερου όρου.

Φέρνοντας. Ελα:

P(x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

πλούσιος όρος με συντελεστές qlimi και αριθμό qile α - ρίζα yogo.

Τότε η τιμή της ρίζας εξισώνεται P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Vinosyachi zagalny πολλαπλασιαστής α για τα τόξα, αφαιρέστε την ισοδυναμία:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , αστέρια

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

Θραύσματα του αριθμού a 0 , a 1 ,…a n-1 , an i α −tsіlі, τότε τα τόξα θα πρέπει να είναι ο ακέραιος αριθμός και, στη συνέχεια, το a n να διαιρεθεί με το α, καθώς θα μπορούσα να είχα συμπληρωθεί.

Το θεώρημα έχει τεθεί, αλλά μπορεί να διατυπωθεί με τέτοιο τρόπο: ο αριθμός των ριζών του πολυωνύμου με τον αριθμό των συντελεστών είναι ο διαστολέας του πρώτου ελεύθερου όρου.
Στο θεώρημα των θεμελίων, ο αλγόριθμος για την αναζήτηση της ακέραιας ρίζας ενός πλούσιου όρου με τον ακέραιο αριθμό των συντελεστών:

2. Θεώρημα Dodatkova για την τιμή της ρίζας

Εάν υπάρχει ένας αριθμός α-ριζών του πλούσιου όρου P(x) με ακέραιους συντελεστές, τότε α-1-διαιρέτης του αριθμού P(1), α+1-διαιρέτης του αριθμού P(-1)

Φέρνοντας. 3 η ομοιότητα

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

μπορείτε να δείτε ότι από τον αριθμό των αριθμών b і c ο αριθμός bⁿ-cⁿ διαιρείται με το b∙c. Μπύρα για κάθε πλούσιο μέλος P λιανικής

P (b)-P(c)= (a 0 b+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

і, επίσης, για ένα πολυώνυμο P με συντελεστές zіlimi і zіlih αριθμούς b і c η διαφορά P(b)-P(c) υποδιαιρείται σε b-c.

Ας θυμηθούμε: για b = α, z = 1, P (α)-P (1) = -P (1), που σημαίνει ότι το P (1) διαιρείται με το α-1. Ομοίως, υπάρχει και μια άλλη άποψη.

Το σχήμα του Χόρνερ

Θεώρημα:Αφήστε μια βραχυπρόθεσμη drіb p / q є ρίζα ίση a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 με πολλαπλούς συντελεστές, ο ίδιος αριθμός q є dilnik του ανώτερου συντελεστή a0, και ο αριθμός R є dilnik ελεύθερο μέλος αν.

Σεβασμός 1. Να είναι η ρίζα της σχέσης με τον αριθμό των συντελεστών και το dilnik του yogo free μέλους.

Σεβασμός 2.Καθώς ο ανώτερος συντελεστής είναι ίσος με τον αριθμό των συντελεστών του δρόμου 1, όλες οι ορθολογικές ρίζες, όπως είναι γνωστό η βρώμα - ο αριθμός.

Η ρίζα του πλούσιου μέλους.Η ρίζα ενός πλούσιου μέλους f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n є x = γ , και λοιπόν φά (γ)=0 .

Σημείωση 3. Yakscho x = γ ρίζα ενός πλούσιου μέλους , τότε ο πλούσιος όρος μπορεί να γραφτεί ως: f(x)=(x−c)q(x) , ντε τσε ιδιωτική θέα κάτω από το πλούσιο μέλος f(x) σε μονώνυμο x-c

Μπορείτε να υποδιαιρέσετε έναν πλούσιο όρο σε ένα μονώνυμο χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner:

Yakscho f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a0 ≠0 , g(x)=x−c , τότε όταν rozpodіlі φά (Χ) στο σολ (Χ) ιδιαιτερώς q(x) μπορεί να φαίνεται q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , ντε b 0 = a 0 ,

b k = c b k − 1 + a k , k=1, 2, ,n−1.πλεόνασμα r γνωρίζουν τη φόρμουλα r=c b n − 1 +a n

Λύση:Ο συντελεστής σε ανώτερο επίπεδο είναι ίσος με 1. 2; 3; τέσσερα? 6; 12. Σύμφωνα με το σχήμα του Vikoristovuyuchi Horner, γνωρίζουμε ότι ο αριθμός των ριζών είναι ίσος:

Υπάρχει μία ρίζα επιλογής για το σχήμα του Horner. τότε μπορείς να το κάνεις έτσι x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3