Αριθμός πολυωνύμων από τον αριθμό των συντελεστών. Τα πεδία Kіntsev, που ιδρύθηκαν σε kіltsy πλούσια τμηματικά. Πλούσια τμήματα σε ένα zminnoy πάνω από το πεδίο

Ο δακτύλιος των πλούσιων όρων πάνω από το πεδίο (με βάση τους πλούσιους όρους πάνω από τον δακτύλιο) μπορεί να έχει έναν αριθμό ειδικών δυνάμεων κοντά στις δυνάμεις του δακτυλίου των ακεραίων Z . Podіlnіst richom. Dobre vіdomy για πολυώνυμα πάνω από το πεδίο R με τρόπο παρόμοιο με το "cut" απλά αριθμητικά πάνω από τους συντελεστές και γι' αυτό ονομάζεται πολύ πλούσια σε οποιοδήποτε πεδίο k. Το Vin δίνει τη δυνατότητα σε δύο μη μηδενικούς πλούσιους όρους p,sk [x] να προκαλέσουν τόσο πλούσιους όρους q (όχι πιο ιδιωτικούς) και r (πλεόνασμα), έτσι ώστε p = q * s + r, επιπλέον, είτε r = 0 , ή μοίρες (r)< deg(s). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным (или приведенным), если его старший коэффициент равен 1. Определение. Общим наибольшим делителем ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД(p, s), что 1. ОНД(p, s) | p; ОНД(p, s) | s. 2. q | p, q | s q | ОНД(p, s). По определению, для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0. Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов. Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения. Основная теорема теории делимости (для многочленов). Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q. Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги. Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень(но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим: r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0, то deg(r) Замечание. Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов ОНД для подходящих многочленов. Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.

Συνέπεια. Το Be-yaky іdeal іѕ kіltї διατυπώνεται πλούσια στο πεδίο є osnovnym. Αλήθεια, ας πούμε p - OND όλων των πολυωνύμων, που περιλαμβάνονται στο ιδανικό I. Todi, de Για το σκοπό του ιδανικού, τα αστέρια δονούνται, τα οποία, επίσης, I = (p). Πολλαπλασιασμός. Φέρτε το πεδίο σε δέυκα, π, q, s αρθρώνονται πλούσια πάνω από το k. Αν p=q*s, επιπλέον, τα πολυώνυμα q και s μπορεί να είναι μικρότερα, χαμηλότερα p, τότε το πολυώνυμο p ονομάζεται πολυώνυμο κίνησης (πάνω από το πεδίο k). Στην άλλη περίπτωση, το p είναι μη αναγώγιμο. Ο μη αναγόμενος πλούσιος όρος στον δακτύλιο k[x] είναι ανάλογος του πρώτου αριθμού στον δακτύλιο Z . Όπως είναι κατανοητό, ένα μη μηδενικό πολυώνυμο p= μπορεί να επεκταθεί στην τηλεόραση: p= *, όπου όλα τα πολυώνυμα δεν μειώνονται πάνω από το k και μπορεί να έχουν υψηλότερο συντελεστή ίσο με 1. Μπορεί να ανέλθει στην ίδια ακριβώς σειρά πολλαπλασιαστών. Zrozumilo, μεταξύ των πολλαπλασίων μπορεί να είναι το ίδιο? τέτοιοι πολλαπλασιαστές ονομάζονται πολλαπλοί. Συνδυάζοντας πολλούς παράγοντες, μπορείτε να γράψετε την ίδια διάταξη ως εξής: p = 0. Εφαρμογή. ένας. . Αξίζει να σεβαστούμε ότι οι πλούσιοι όροι του πρώτου βήματος δεν μειώνονται πάνω από κανένα πεδίο. Πολλαπλασιαστής x є πολλαπλός, інші - απλός. 2. Ο πλούσιος όρος δεν πρέπει να τοποθετείται πάνω από το πεδίο Q των ρητών αριθμών. Είναι αλήθεια, εάν ()=(x-a)*q, τότε τεκμηριώνοντας την ισοτιμία του x=a, είναι απαραίτητο: , το οποίο είναι αδύνατο για οποιαδήποτε ρητός αριθμόςένα. Το ίδιο πολυώνυμο στο πεδίο R των αριθμών ομιλίας επάγεται: , επιπλέον, ο άλλος πολλαπλασιαστής έχει αρνητική διάκριση και απέχει πολύ από το να αποσυντεθεί έναντι του R . Zreshtoyu, πάνω από το πεδίο Γ μιγαδικοί αριθμοί maєmo: , de = - κυβική ρίζα του 1. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι δυνατόν να κατανοήσουμε τη δυνατότητα αναγωγής της πηγής, έτσι ώστε να μπορεί να φανεί ένα πολυώνυμο πάνω από ένα τέτοιο πεδίο. Η δύναμη των πλουσίων μελών, για να μην προκληθεί. 1. Δεδομένου ότι είναι ένας p-μη αναγώγιμος πλούσιος όρος i d = OND (p, q) 1, τότε p | q. Σωστό, p = d*s і άρα deg(s)>0, για να υπερυπολογιστεί η αναγωγιμότητα του p, і άρα deg(s)=0, τότε d | QP | q. 2. Πώς σ | i p δεν είναι επαγώγιμος, αλλά p | τσι π | . Σωστό, διαφορετικά gcd(p,) = gcd(p,) =1 και επομένως τα κύρια θεωρήματα της θεωρίας του ψευδούς, αστέρια: επίσης, τότε gcd(p,)=1 i, επίσης, deg(p)=0 .

3. Ένας κύκλος πολυωνύμων πάνω από το πεδίο της ολότητας.

Επιπλέον, θα εξετάσουμε μόνο πλούσιους όρους με συντελεστές στη διάσταση της ποσότητας K (ένας κύκλος χωρίς μηδενική επέκταση ονομάζεται περιοχή ποσότητας), δηλαδή. από το kіltsya K, για το οποίο η προσθήκη δύο στοιχείων μπορεί να φτάσει στο μηδέν, για παράδειγμα, ένας από τους πολλαπλασιαστές μπορεί να φτάσει στο μηδέν. Ο Tse zavzhdi θα βρίζει το uvazi, το navit yakscho δεν θα συζητηθεί ειδικά.

Όταν προσθέτουμε ένα πλούσιο στάδιο n, αυτό το στάδιο m είναι το ανώτερο μέλος, όπως είναι στον τύπο (2), πιο σημαντικό (ο συντελεστής στο ). Δεδομένου ότι δεν υπάρχουν μηδενικά στο kіltsі, τότε, otzhe, . Από το mirkuvannya μας που κλαίει έτσι

Ο τύπος Tsya є διευκρίνισε το nerіvnostі (5) για το vipadku, αν το kіltsі K δεν έχει μηδενικά. Ο τύπος (6) ισχύει επίσης και ακόμη και αν ένας από τους πλούσιους όρους f(x), g(x) ή αλλιώς είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, η προσθήκη δύο μη μηδενικών πλούσιων όρων είναι ένας μη μηδενικός πλούσιος όρος, ισχύει το ακόλουθο θεώρημα για αυτό:

Θεώρημα 1

Δώσαμε έναν αλγεβρικό ορισμό ενός πολυωνύμου για να μην εκδικηθούμε τους ίδιους γρίφους σχετικά με τις συναρτήσεις. Prote, με το πολυώνυμο δέρματος στην περιοχή της τιμής K, μπορεί κανείς να συσχετίσει μια φυσική τάξη με μια συνάρτηση που εκχωρείται στο K και παίρνει μια τιμή στο K.

Έλα - πλούσιο μέλος των συντελεστών του Κ. Για ό,τι κι αν είναι, γίνεται

Το de viraz στο δεξιό μέρος νοείται ως το αποτέλεσμα πράξεων στο τέλος του K. Oberzhuvannya στο οποίο στοιχείο ονομάζεται τιμή του πολυωνύμου f (x) στο σημείο x0. (Η λέξη "speck" χρησιμοποιείται ως αναλογία με μια πτώση, εάν το x0 μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα σημείο στον δυναμικό άξονα.) Με αυτόν τον τρόπο, στο στοιχείο δέρματος x0 του δακτυλίου K εκχωρείται το στοιχείο f (x0) του τον ίδιο δακτύλιο και η ίδια η συνάρτηση εκχωρείται στο K με τις τιμές του K .

Θα φανεί ότι η προσθήκη αυτού του πλήθους πλούσιων όρων πραγματοποιείται από τις πιο σημαντικές πράξεις, οι οποίες εκτελούνται σε συναρτήσεις, εάν προστεθούν ή, προφανώς, οι τιμές των συναρτήσεων πολλαπλασιαστούν στο σημείο δέρματος .

Ας δούμε δύο πολυώνυμα: , . Έστω h(x) = f(x) + g(x) – їх άθροισμα. Ας πούμε ότι h(x0)= =f(x0) + g(x0) για δέρμα. Κατάλληλο για τον τύπο (1) = , de , Τι και είναι απαραίτητο να φέρει.

Ελα τώρα - πρόσθετοι πλούσιοι όροι f(x) και g(x). Ας το πούμε αυτό για το δέρμα. Πολλαπλασιάζουμε την ισοδυναμία , . Koristuyuchis δύναμη των πράξεων σε kіltsі K (ζόκρεμα, ανταλλακτική και συνειρμική πολλαπλότητα), παίρνουμε: , de . Η εξίσωση του ληφθέντος αποτελέσματος με τον τύπο (2) επιτρέπει την ανάπτυξη των μουστάκια, τα οποία .

Με αυτή τη σειρά, η συνάρτηση, η οποία αντιπροσωπεύεται από το άθροισμα (ακριβώς συμπληρωματική) δύο πλουσίων μελών, είναι το άθροισμα (ακριβώς συμπληρωματική) των συναρτήσεων, που αντιπροσωπεύονται από αυτά τα πλούσια μέλη.

Φαινομενικά, η ομοιότητα μεταξύ των πολυωνύμων και των συναρτήσεών τους δεν είναι αμοιβαία μονοσήμαντη. Prote, αφού ο δακτύλιος K είναι ανεξάντλητος, τότε διαφορετικά πολυώνυμα από τον δακτύλιο K[x] πρέπει πάντα να έχουν διαφορετικές συναρτήσεις.

Περί υπολειμμάτων (XTO). Θεώρημα. Έλα - κατά ζεύγη εκ πρώτης όψεως τους αριθμούς, = , ..., πάρτε το ίδιο 1, = , . Todi λύση του συστήματος θα φαίνεται: . Θεώρημα Tsya є η βάση της μεθόδου των ορθογώνιων βάσεων για την ώρα που θα μεταφέρω από το σύστημα των περιττών κλάσεων στο σύστημα θέσεων. Αφήστε τα θεμέλια του συστήματος των περιττών τάξεων. = = - Ορίστε το εύρος του συστήματος. Η επιλογή του συστήματος καθορίζεται από ...

4. Binary blues. Τα μαθηματικά ως επιστήμη δημιουργούν τον κόσμο των αμοιβαία απλών και πτυσσόμενων αντικειμένων (ομιλία, φαινόμενα, διαδικασίες). Αφαιρώντας από την πραγματικότητα, τα μαθηματικά εξετάζουν το μονομερές, το δυαδικό και άλλα μπλε. Στη διατροφή, είναι απαραίτητο να δούμε τα δυαδικά μπλουζ, η εξουσία τους σέβεται ιδιαίτερα την ισοδύναμη ισοδυναμία, που ορίζεται σε έναν πολλαπλασιαστή. Ας ΡΙΞΟΥΜΕ μια ΜΑΤΙΑ...

X*y. Ένα πεδίο ονομάζεται ένας τέτοιος συνειρμικός ανταλλάξιμος δακτύλιος με μονάδα k, για τον οποίο μπορεί να υπάρχει κάποιο μη μηδενικό ζώο: . Σε μια τέτοια κατάταξη, για το ραντεβού του γηπέδου, οι ημέρες της ημέρας είναι μηδέν. Ένας δακτύλιος ονομάζεται άπειρο με δύο πράξεις της άλγεβρας R (+, *), οι οποίες είναι: 0. Αυτά τα στοιχεία ενός δακτυλίου R ονομάζονται αντίστροφα, καθώς μπορούν να περιστρέφονται σαν μια πράξη πολλαπλασιασμού, ένα αόριστο R σε ένα δεδομένο υπόθεση ...

Ο Quiet, ο οποίος, έχοντας εργαστεί στη γκαλερί ηλεκτρολόγων μηχανικών, άρχισε να σκέφτεται τη δυνατότητα δημιουργίας τεχνολογιών για την εξοικονόμηση δεδομένων, που θα εξασφάλιζε πιο οικονομικά παράθυρα χώρου. Ένας από αυτούς ήταν ο Claude Elwood Shannon, ο ιδρυτής σύγχρονη θεωρίαπληροφορίες. Από εκείνη την εποχή και μετά, ήταν πιο πρακτικό να μαθαίνουμε για τους αλγόριθμους της ανάγλυφης εκτύπωσης Huffman και Shannon-Fano. Και το 1977. Οι μαθηματικοί Jacob Ziv και Abraham Lempel...

Τα πεδία Kіntsі μπορούν να καλούνται από μια δέσμη πλούσια διαιρεμένων αριθμών με τον ίδιο τρόπο, σαν να κλήθηκαν πεδία από μια δέσμη ακέραιων αριθμών. Επιτρέψτε μου να έχω ένα δαχτυλίδι με πλούσια άρθρωση F[x]πάνω από το γήπεδο ΦΑ.Ακριβώς έτσι, τους ζητήθηκε ένα δαχτυλίδι Ζ,δαχτυλίδι vodnosin, μπορείτε να ενθαρρύνετε και vodnosin δαχτυλίδι F[x]. Vibelyuchi s F [x]αρκετά πλούσιο μέλος p(x),μπορείτε να ονομάσετε ένα δαχτυλίδι από vіdnosin, vicorist p(x)ως ενότητα για το έργο της αριθμητικής ολόκληρου του κύκλου. Μας έχει εμμονή το θέαμα των λιγότερο από υποβλητικών πλουσίων, τα θραύσματα του obmezhennya γνωρίζουν την ακατάλληλη ασημαντότητα του μυαλού.

Ραντεβού 2.4.1.Για ένα αρκετά προκλητικό πλούσιο μέλος p(x)μη μηδενικό βήμα πάνω από το γήπεδο φάονομάζεται απροσωπία όλων των πολυωνύμων πάνω ΦΑ,τα βήματα του οποίου επιλέγονται από το βήμα του πολυωνύμου p(x), sλειτουργίες αναδίπλωσης και πολλαπλασιασμού πλούσιων όρων ανά ενότητα p(x).Το δαχτυλίδι Tse είναι αποδεκτό να σημαίνει μέσω F(x)/(p(x)).

Πρόσθετο στοιχείο r(x) kіltsya F[x]μπορείτε να απεικονίσετε το στοιχείο του δακτυλίου PF[x]/(p(x))για βοήθεια r(x)-Ρ Ρ(Χ).Δύο στοιχεία τσεκούρι)і b(x)η F[x],αντιστοιχίζονται σε ένα και το αυτό στοιχείο F[x]/(p(x)),ονομάζονται ίσοι:

a(x) = b(x)(τροπ p(x)).

Todi b(x)= Ω)+Q (x) p (x)για deyaky πλούσιο μέλος Q(x).

Θεώρημα 2.4.2.Ανώνυμος F1х]/(р(х)) є kіltsem.

ΦέρνονταςΕλπίζω να έχει δίκιο ο αναγνώστης.

Vibero σε kіltsі πλούσια αρθρωμένη GF(2), για παράδειγμα, πλούσιος όρος p(x)= x 3+1. Ίδιο δαχτυλίδι εμπλουτισμένων όρων ανά ενότητα p(x)ένας GF(2) [x] / (x 3 +ένας). Αποτελείται από στοιχεία

{0, 1, x, x + 1, x 2, x 2 + 1, x 2 + x, x 2 + x + 1).Σε αυτό το δαχτυλίδι, ο πληθυντικός είναι νικηφόρος, για παράδειγμα, με αυτήν τη σειρά:

(x 2 +1) (x 2) = R x 3 + 1 ((x 2 +1) (x 2)) = R x 3 + 1 ((x 3 +1) x + x 2 + x) \u003d x 2 + x,

de vikoristano αναγωγή σύμφωνα με τον κανόνα x 4 = x (x 3+ 1) + Χ.

Θεώρημα 2.4.3.Ο δακτύλιος των πολυωνύμων modulo του επαγόμενου πλούσιου όρου p(x) είναι το ίδιο πεδίο και μόνο αν ο πλούσιος όρος p(x) είναι απλόςΑς υποθέσουμε ότι ένας απλός πλούσιος όρος είναι ταυτόχρονα μη επαγώγιμος και επαγώγιμος. Προκειμένου να προκαλέσουμε το πεδίο να αποδείξει την μη αναγώγιμη του p(x), καταφέραμε επίσης να εξετάσουμε τα πολυώνυμα, τα οποία βρίσκονται πιο μακριά και τα αποτελέσματα είναι λιγότερο σοβαρά).

Φέρνοντας.Δώσε μου ένα πλούσιο πούτσο p(x)απλός. Προκειμένου να φέρει, τι είναι το δαχτυλίδι, αυτό που εξετάζεται, κάνοντας το πεδίο, αρκετό για να δείξει ότι το δέρμα ενός μη μηδενικού στοιχείου μπορεί να είναι μια πολλαπλασιαστική επιστροφή. Έλα s (Χ)-κάποιο μη μηδενικό στοιχείο του δαχτυλιδιού. Todi deg s (Χ)< deg p(x). Oskіlki πλούσιο μέλος p(x)απλό, τότε gcd = 1. Ακολουθεί η 2.3.7

NID = 1 =a(x)p(x) + b(x) s(x)

για ορισμένα πλούσια μέλη Ω)і β(χ). Otzhe,

1 = R p(x)[ 1] = R p(x)= R p(x){ R p(x)

Είναι εύκολο να bachiti, scho χωρίς κανένα άλλο πλούσιο μέλος με συντελεστές μέσα κΦτιάχνω ένα ανταλλάξιμο δαχτυλίδι, το οποίο νοηματοδοτείται κ[Χ] και κατάταξη δαχτυλίδι από πλούσια αρθρωμένο πάνω κ . Σύμβολο Χαρχίστε να το αποκαλείτε "φίδι", η ορολογία του βινυλίου είναι ξεκάθαρη πολυωνυμικές συναρτήσειςπάνω από Rή πάνω ντο. Ωστόσο, το zagalnomu έχει μια πλούσια αρθρωμένη πολυωνυμική λειτουργία - ολόκληρη η ομιλία. για παράδειγμα, πάνω από το τελικό πεδίο $\backslash mathbb\; F\_p$από έναν απλό αριθμό στοιχείων σε πλούσια τμήματα ${\rm X}$і $x^p$ορίστε μία και την ίδια συνάρτηση, αλλά υπάρχουν διαφορετικοί πλούσιοι όροι (οι πλούσιοι όροι θεωρούνται ίσοι ή μικρότεροι από τους ίδιους, εάν έχουν όλους τους συντελεστές). Otzhe, άλλαξε Χδεν μπορεί να εισέλθει στο πεδίο οροφής κ; για το δαχτυλίδι κ[Χ] μπορείτε να σκεφτείτε ως εξής: προσθέτουμε στα πολλαπλά στοιχεία του πεδίου νέο στοιχείο ΧΚαι μόνο για αυτό, τα αξιώματα της Κίνας ήταν νικηφόρα και Χεναλλαγή από στοιχεία πεδίου.

Οι βαθμωτές βαθμίδες των στοιχείων και ο αριθμός των πλούσιων όρων μπορούν να πολλαπλασιαστούν με βαθμίδες από το πεδίο κ, είναι στην πραγματικότητα μια συνειρμική άλγεβρα στο πεδίο κ. Πώς να κοιτάξετε κ[Χ] γιακ διανυσματικός χώρος(άρα ξεχάστε τον πολλαπλασιασμό), μπορεί να υπάρχει μια ανεξάντλητη βάση με τα στοιχεία 1, Χ, Χ 2 κλπ.