Δακτύλιοι και διανυσματικοί πίνακες χώρου. Γραμμικός διανυσματικός χώρος: ραντεβού, εξουσία. Διάνυσμα γραμμή χώρο

Διάλεξη 6. Διανυσματικός χώρος.

Βασική διατροφή.

1. Διανυσματικός γραμμικός χώρος.

2. Η βάση είναι η επέκταση του χώρου.

3. Προσανατολισμός στο χώρο.

4. Ανάπτυξη ενός φορέα πίσω από μια βάση.

5. Διανυσματικές συντεταγμένες.

1. Διανυσματικός γραμμικός χώρος.

Ανωνυμία, η οποία αποτελείται από στοιχεία οποιασδήποτε φύσης, στα οποία υποδεικνύονται γραμμικές πράξεις: προσθέτοντας δύο στοιχεία, που πολλαπλασιάζοντας ένα στοιχείο με έναν αριθμό καλούνται ανοιχτοί χώροι, Και їх στοιχεία - φορείςο χώρος і εκχωρούνται ως і, yak і διανυσματικές ποσότητες στη γεωμετρία: . Διανύσματατέτοιες αφηρημένες εκτάσεις, κατά κανόνα, δεν μπορούν να συλληφθούν με τα μεγαλύτερα γεωμετρικά διανύσματα. Στοιχεία των αφηρημένων χώρων μπορεί να είναι συναρτήσεις, ένα σύστημα αριθμών, πίνακες κ.λπ., και σε μια περίπτωση okreme, μεταβλητά διανύσματα. Γι' αυτό συνηθίζεται να ονομάζουμε διανυσματικοί ανοιχτοί χώροι .

διανυσματικός χώρος, για παράδειγμα, αναρίθμητος αριθμός μη-διανυσμάτων που υποδεικνύονται V1 , χωρίς συνεπίπεδα διανύσματα V2 , απρόσωπο διάνυσμα ευμεγέθης (πραγματικός χώρος) V3 .

Για τη συγκεκριμένη vipadka, είναι δυνατό να δοθεί ένα σκαλοπάτι στη διανυσματική έκταση.

Ραντεβού 1.Το ανώνυμο διάνυσμα ονομάζεται διανυσματικός χώρος, Ως γραμμικός συνδυασμός, είτε υπάρχουν διανύσματα σε έναν πολλαπλασιαστή, είναι επίσης διάνυσμα αυτού του πολλαπλασιαστή. Τα ίδια τα διανύσματα ονομάζονται στοιχείαδιανυσματικός χώρος.

Είναι πιο σημαντικό τόσο στη θεωρητική και στην εφαρμοσμένη προοπτική όσο και στην πιο αφηρημένη (αφηρημένη) κατανόηση του διανυσματικού χώρου.

Ραντεβού 2.Μπέζλιχ Rστοιχεία, στα οποία για οποιαδήποτε δύο στοιχεία και το άθροισμα εκχωρείται και για οποιοδήποτε στοιχείο καλείται width="68". διάνυσμα(ή γραμμικό) ανοιχτό χώρο, όπως στοιχεία - διανύσματα, όπως η λειτουργία της πρόσθεσης διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό για να ικανοποιηθούν τα επερχόμενα μυαλά ( αξιώματα) :

1) η προσθήκη είναι αντικαταστατική, οπότε πλάτος gif = "184" ύψος = "25";

3) χρησιμοποιήστε ένα τέτοιο στοιχείο (μηδενικό διάνυσμα), το οποίο για οτιδήποτε https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45". 99" height="27">;

5) για οποιονδήποτε αριθμό διανυσμάτων, ένας τέτοιος αριθμός λ μπορεί να είναι ίσος.

6) για οποιαδήποτε διανύσματα και όποιους αριθμούς λ і µ δικαιοσύνη https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" λ і µ έκθεση ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" .

Από τα αξιώματα που δηλώνουν τον διανυσματικό χώρο, αναφωνήστε το πιο απλό απόδειξη :

1. Ο διανυσματικός χώρος έχει περισσότερα από ένα μηδενικά - το στοιχείο είναι μηδενικό διάνυσμα.

2. Ένας διανυσματικός χώρος έχει ένα μόνο διάνυσμα.

3. Μέχρι το δέρμα στοιχείο vykonuetsya ηρεμία.

4. Για οποιονδήποτε αριθμό ημέρας λ i του μηδενικού διανύσματος.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> ονομάζεται ένα διάνυσμα που ικανοποιεί την ισότητα https://pandia.ru/ text/ 80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Otzhe, fiyno, και απρόσωπα όλων των γεωμετρικών διανυσμάτων στον γραμμικό (διανυσματικό) χώρο є, έτσι για τα στοιχεία των οποίων ο πολλαπλασιαστής εκχωρείται στην πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό με τον αριθμό, που ικανοποιεί τη διατύπωση των αξιωμάτων.

2. Η βάση είναι η επέκταση του χώρου.

Іstotnimi έννοιες του διανυσματικού χώρου є κατανόηση της βάσης και rozmіrnіst.

Ραντεβού.Η συλλογή γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων που λαμβάνονται από τη σειρά sing βάσητι χώρο. Διάνυσμα. Αποθήκη βάση για χώρο, που ονομάζεται βάση .

Η βάση των απρόσωπων διανυσμάτων, που απλώνονται στην ευθεία γραμμή dolnіy, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ένα συγγραμμικό ευθύ διάνυσμα .

Βάση στο αεροπλάνοΑς ονομάσουμε δύο μη γραμμικά διανύσματα σε αυτό το επίπεδο, που λαμβάνονται με την ίδια σειρά.

Αν τα διανύσματα βάσης είναι κατά ζεύγη κάθετα (ορθογώνια), τότε καλείται η βάση ορθογώνιο, και αν τα q διανύσματα μπορεί να είναι διπλά, ίσα με ένα, τότε καλείται η βάση ορθοκανονική .

Ο μεγαλύτερος αριθμόςΤα γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα ονομάζονται στο χώρο ειρήνηαυτός ο χώρος, δηλ., η επέκταση του χώρου αυξάνεται με τον αριθμό των βασικών διανυσμάτων σε αυτόν τον χώρο.

Ο Otzhe, προφανώς επαίνεσε τον ντάγκι:

1. Μονόκοσμος χώρος V1 είναι μια ευθεία γραμμή, και η βάση σχηματίζεται από ένα συγγραμμικόδιάνυσμα https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39".

3. Μεγάλη έκταση με ασήμαντη έκταση V3 , η βάση του οποίου σχηματίζεται από τρεις μη ομοεπίπεδες vector_v.

Μου φαίνεται ότι ο αριθμός των διανυσμάτων βάσης σε μια ευθεία γραμμή, σε ένα επίπεδο, στον πραγματικό χώρο ποικίλλει με αυτό, που στη γεωμετρία συνήθως ονομάζεται αριθμός ευθείας γραμμής, επιπέδου, κενού. Είναι φυσικό αυτό να οδηγήσει σε πιο κραυγαλέα τιμωρία.

Ραντεβού.Διάνυσμα χώρο Rπου ονομάζεται n- ειρηνικά, όπως στον νέο κόσμο όχι πια nγραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα και αποδίδονται R n. Αριθμός nπου ονομάζεται ειρήνηχώρος.

Vіdpovіdno έως rozmіrnostі ανοιχτού χώρου podіlyayutsya kіntsevіі απεριόριστος. Το άνοιγμα της μηδενικής έκτασης πέρα ​​από τα ραντεβού θεωρείται ίσο με μηδέν.

Σεβασμός 1.Στο χώρο του δέρματος, μπορείτε να καθορίσετε πόσες βάσεις χρειάζονται, αλλά όλες οι βάσεις αυτού του χώρου αθροίζονται από τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων.

Σημείωση 2.Στο n- σε έναν ειρηνικό διανυσματικό χώρο, η βάση ονομάζεται αν η διατεταγμένη σειρά είναι ή όχι nγραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα.

3. Προσανατολισμός στο χώρο.

Για Προκειμένου να προσανατολιστεί ο χώρος, είναι απαραίτητο να τεθεί μια συγκεκριμένη βάση και να εκφραστεί θετικά .

Μπορεί να φανεί ότι τα απρόσωπα βασικά του χώρου χωρίζονται σε δύο τάξεις, ότι χωρίζονται σε δύο υποπολλαπλάσια, ότι δεν επικαλύπτονται.

α) όλες οι βάσεις που ανήκουν σε ένα υποπολλαπλάσιο (κλάση) μπορούν ωστόσοπροσανατολισμός (βάση του ίδιου μενού).

β) οποιεσδήποτε δύο βάσεις που βρίσκονται ΖΩΗ p_dmnozhin (τάξεις), mayut protilezhnuπροσανατολισμός, ( διαφορετικόςβάση).

Εάν η μία από τις δύο κατηγορίες βάσεων είναι θετική και η άλλη είναι αρνητική, τότε φαίνεται ότι η έκταση προσανατολισμένη .

Συχνά, κατά τον προσανατολισμό στο διάστημα, ονομάζεται μία βάση κυβερνώ, και ενδεικτικά - λιβίμι .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> όνομα κανόνας, Ωστόσο, όταν το τρίτο διάνυσμα είναι προστατευμένο, η συντομότερη στροφή του πρώτου διανύσματος είναι βέλος κατά του έτους(Εικ. 1.8, α).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Ρύζι. 1.8. Δεξιά βάση (α) εκείνη η αριστερή βάση (β)

Ηχήστε με θετική βάση

Η δεξιά (livy) βάση μπορεί να αντιστοιχιστεί στο χώρο και για τον πρόσθετο κανόνα του "δεξιού" ("αριστερά") βιδώστε ή στρίψτε.

Κατ' αναλογία με το cim, εισάγεται η έννοια του δεξιού και του αριστερού τρίδυμαμη κοινοτικοί φορείς, που οφείλονται σε διάταξη (Εικ. 1.8).

Με αυτόν τον τρόπο, σε μια άγρια ​​τάση, δύο διατεταγμένες τριάδες μη προγραμματισμένων διανυσμάτων μπορεί να έχουν τον ίδιο προσανατολισμό (τον ίδιο) στο χώρο V3 αν η δυσοσμία της προσβολής είναι σωστή, ή αν είναι προσβλητική, είναι αριστερά, και ο αντίθετος προσανατολισμός (διαφορετικό), αν ο ένας είναι σωστός και ο άλλος είναι αριστερός.

Παρόμοιο να ταιριάζει και να έχει χώρο V2 (Τετράγωνα).

4. Ανάπτυξη ενός φορέα πίσω από μια βάση.

Για λόγους απλότητας, ο κατοπτρισμός μπορεί να φανεί στο παράδειγμα ενός διανυσματικού χώρου trivimir R3 .

Έλα - dovіlny διάνυσμα tsgo χώρο.

VECTOR SPACE (γραμμικός χώρος), μια από τις θεμελιώδεις κατανοήσεις της άλγεβρας, που διευκολύνει την κατανόηση του συνόλου των (ελεύθερων) διανυσμάτων. Στον διανυσματικό χώρο, τα διανύσματα εξετάζονται αν είναι αντικείμενα, αν μπορούν να προστεθούν και να πολλαπλασιαστούν με αριθμούς. εάν είναι απαραίτητο, έτσι ώστε οι κύριες δυνάμεις των αλγεβρικών πράξεων να είναι οι ίδιες με αυτές των διανυσμάτων στη στοιχειώδη γεωμετρία. Στον ακριβή καθορισμένο αριθμό, αντικαθίστανται από στοιχεία του πεδίου K. Ο διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο K ονομάζεται απρόσωπος V με τη λειτουργία της προσθήκης στοιχείων από το V και τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού στοιχείων από το V με στοιχεία από το πεδίο K. , που μπορεί να οδηγήσει στην έλευση της εξουσίας:

x + y \u003d y + x για το αν x, y z V, έτσι ώστε το V να μπορεί να διπλωθεί σε μια ομάδα Abelian.

λ(x + y) = λ χ + λy για οποιοδήποτε λ z K і x, y z V;

(λ + μ)х = λх + μχ για οποιοδήποτε λ, μ z K і x z V;

(λ μ)х = λ(μχ) για οποιοδήποτε λ, μ z K i x z V;

1x \u003d x για οποιοδήποτε x από το V, εδώ το 1 σημαίνει την ενότητα του πεδίου K.

Πλήκτρα του διανυσματικού χώρου є: πολλαπλασιαστές L 1 L 2 і L 3 όλων των διανυσμάτων στη στοιχειώδη γεωμετρία, προφανώς σε ευθεία γραμμή, επίπεδα і στο διάστημα με τις εξαιρετικές πράξεις αναδίπλωσης διανυσμάτων και πολλαπλασιασμού με έναν αριθμό. διανυσματικός χώρος συντεταγμένων K n , τα στοιχεία του οποίου є όλες οι σειρές (διανύσματα) είναι n με στοιχεία από το πεδίο K και οι πράξεις δίνονται με τύπους

απρόσωπο F(M, K) όλων των συναρτήσεων που έχουν εκχωρηθεί σε έναν σταθερό πολλαπλασιαστή M και λαμβάνει τιμές στο πεδίο To, με τις πιο σημαντικές πράξεις σε συναρτήσεις:

Τα στοιχεία του διανυσματικού χώρου e 1 ..., e n ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητα, λόγω της ισότητας λ 1 e 1 + ... n = 0 Є K. Στην αντίθετη κατεύθυνση, τα στοιχεία e 1 , e 2 , ·· ·> e n λέγονται γραμμικά αγρανάπαυση. Εάν ο διανυσματικός χώρος V έχει n + 1 στοιχεία e 1 ,..., e n+1 γραμμικά απροσδιόριστα και n γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία, τότε V ονομάζεται διανυσματικός χώρος n-κόσμου και n είναι η διάσταση του διανυσματικού χώρου V Ακριβώς όπως ένας διανυσματικός χώρος V για οποιοδήποτε φυσικό n υπάρχοντα n γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, τότε το V ονομάζεται άπειρος διανυσματικός χώρος. Για παράδειγμα, ο διανυσματικός χώρος L 1 , L 2 , L 3 і K n με τον ίδιο τρόπο 1-, 2-, 3- και n-mіrnі; αν το M είναι απρόσωπο, τότε ο διανυσματικός χώρος F(M, K) δεν είναι περιορισμένος.

Ο διανυσματικός χώρος V και U πάνω από το πεδίο K λέγονται ισόμορφοι, έτσι ώστε φ : V -> U να είναι αμοιβαία μοναδικά, έτσι ώστε φ(x+y) = φ(x) + φ(y) είτε για x, y z V και φ (λx) = λ φ(x) για οποιοδήποτε λ z K i x z V. Οι ισομορφικοί διανυσματικοί χώροι είναι αλγεβρικά δυσδιάκριτοι. Η ταξινόμηση των πεπερασμένων διανυσματικών χώρων μέχρι τον ισομορφισμό δίνεται στην ποικιλομορφία τους: εάν υπάρχει ένας ν-διάστατος διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο Do είναι ισόμορφος με τον διανυσματικό χώρο συντεταγμένων Do n . Θαυμάστε την ίδια έκταση του Χίλμπερτ, Γραμμική Άλγεβρα.

Έστω R - πεδίο. Στοιχεία α, β, ... н Rθα ονομάσουμε σκαλοπάτια.

Ραντεβού 1.τάξη Vαντικείμενα (στοιχεία) , , , ... επαρκούς φύσης ονομάζονται διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο Р, και καλούνται τα στοιχεία της κλάσης V φορείςπαρόλο που το V είναι κλειστό, αλλά η πράξη "+" είναι η πράξη πολλαπλασιασμού με βαθμωτές από το P (δηλαδή, για οποιαδήποτε , нV + н V; "aÎ R aÎV), και vykonuyutsya έτσι νου:

Α 1: Άλγεβρα - Ομάδα Abelian

A 2: για το αν a, bÎР, για το αν ή όχι ÎV, a(b)=(ab)-σχετικός συνειρμικός νόμος.

A 3: για οτιδήποτε a, bÎP, για οτιδήποτε ÎV, vikonuetsya (a+b)= a+ b;

A 4: για οποιοδήποτε a z P, για οποιοδήποτε s V, κερδίζουμε a(+)=a+a(αυξημένοι νόμοι διανομής);

A 5: αν το V είναι νικηφόρο ή όχι 1 = , de 1 - η ενότητα του πεδίου P - η δύναμη της ενότητας.

Τα στοιχεία του πεδίου P ονομάζονται βαθμωτές και τα στοιχεία του πολλαπλασιαστή V ονομάζονται διανύσματα.

Σεβασμός.Ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με ένα βαθμωτό δεν είναι μια δυαδική πράξη στον πολλαπλασιαστή V, αλλά η κλίμακα είναι PV®V.

Ας ρίξουμε μια ματιά στους διανυσματικούς χώρους.

παράδειγμα 1.Μηδενική (μηδενικός κόσμος) διανυσματική έκταση - έκταση V 0 =() - η οποία αποτελείται από ένα μηδενικό διάνυσμα.

Για οτιδήποτε aОР a=. Ας επανεξετάσουμε την εγκυρότητα των αξιωμάτων του διανυσματικού χώρου.

Με σεβασμό, ο μηδενικός χώρος πάνω από το πεδίο R. Έτσι, ο μηδενικός χώρος πάνω από το πεδίο ρητοί αριθμοίεγώ πάνω από το γήπεδο αριθμούς ημερών vvazhayutsya raznimi, hoch άθροισμα από ένα μόνο μηδενικό διάνυσμα.

πισινό 2.Το πεδίο P είναι από μόνο του ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο P. Έστω V=P. Ας επανεξετάσουμε την εγκυρότητα των αξιωμάτων του διανυσματικού χώρου. Εφόσον το P είναι ένα πεδίο, τότε το P είναι μια προσθετική ομάδα και το Α1 κερδίζει. Κοιτάζοντας πίσω στο zdіysnennostі στο R asociativnostі mnozhennja vykonuєtsya A 2 . Τα αξιώματα A 3 και A 4 κερδίζουν λόγω του γεγονότος ότι το R είναι διανεμητικό και πολλαπλασιάζεται ελεύθερα. Τα θραύσματα στο πεδίο R είναι ένα μεμονωμένο στοιχείο 1, η ισχύς της μονάδας A 5 . Με αυτή τη σειρά, το πεδίο P είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο P.

παράδειγμα 3.Αριθμητικός ν-διάστατος διανυσματικός χώρος.

Έστω R - πεδίο. Σημαντικά απρόσωπο V = P n = ((a 1, a 2, …, a n) ½ a i P, i = 1, ..., n). Ας εισαγάγουμε στον πολλαπλασιαστή V τη λειτουργία της πρόσθεσης διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με ένα βαθμωτό σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + bn) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Τα στοιχεία και οι πολλαπλασιασμοί V λέγονται διανύσματα n-world. Δύο διανύσματα n-κόσμων ονομάζονται ίσα, αφού τα δισδιάστατα συστατικά τους (συντεταγμένες) είναι ίσα. Μπορεί να φανεί ότι το V είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο P. Δεδομένου ότι είναι γνωστή η λειτουργία αναδίπλωσης ενός διανύσματος και πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με ένα βαθμωτό, το V είναι μια κλειστή επιλογή αυτών των πράξεων. Εφόσον η προσθήκη στοιχείων από το V ανάγεται στην προσθήκη στοιχείων του πεδίου P, και το P είναι μια προσθετική ομάδα Abelian, τότε η і V είναι μια προσθετική Abelian ομάδα. Επιπλέον, = , de 0 είναι το μηδέν του πεδίου Р, -= (-a 1, -a 2, ..., -a n). Σε αυτή την κατάταξη κερδίζει η Α1. Οι κλιμακώσεις του πολλαπλασιασμού του στοιχείου V με το στοιχείο P μειώνονται στον πολλαπλασιασμό των στοιχείων του πεδίου P, τότε:

Το A 2 κερδίζει λόγω της συσχέτισης του πολλαπλασιαστή στο P.

Τα A 3 και A 4 συνδέονται με τον κατανεμητικό πολλαπλασιασμό του τρόπου αναδίπλωσης στο P;

Και 5 νίκες, γιατί το 1 P είναι ένα ουδέτερο στοιχείο που μπορεί να πολλαπλασιαστεί με το R.

Ραντεβού 2.Το απρόσωπο V = P n με πράξεις που ορίζονται από τους τύπους (1) και (2) ονομάζεται αριθμητικός ν-διάστατος διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο Р.

Ας ρίξουμε μια ματιά στην ακολουθία που σχηματίζεται από τα στοιχεία της δράσης απλό πεδίο GF(q) (a^, a......α π).Μια τέτοια ακολουθία ονομάζεται l-by

συνοχήπάνω από το γήπεδο GF)