Αλγεβρική επέκταση του πεδίου. Συγχωρήστε την επέκταση του ποτίσματος. Επέκταση αποθήκης πεδίων άλγεβρας

επέκταση αλγεβρικού πεδίου- — Θέμα για προστασία πληροφοριών πεδίο επέκτασης EN… Dovіdnik τεχνική μετάφραση

Πεδίο Ε, στο οποίο δίνεται το πεδίο Κ ως υποπεδίο. Επέκταση τύπου Επέκταση επέκτασης επέκτασης άλγεβρας, όλα τα στοιχεία μιας τέτοιας αλγεβρικής є πάνω από το K, δηλαδή, ένα τέτοιο στοιχείο ενός τέτοιου є είναι η ρίζα ενός πλούσιου όρου f (x) c ... Wikipedia

Αλγεβρική επέκταση του πεδίου EÉ K, η οποία είναι κανονική και διαχωρίσιμη. Για τα μυαλά των tsikh, το E θα δημιουργήσει τον μεγαλύτερο αριθμό αυτομορφισμών έναντι του K (καθώς το E είναι μοναδικό, τότε ο αριθμός των αυτομορφισμών είναι επίσης ένας σημαντικός και πιο προχωρημένος βαθμός επέκτασης).

Nap_vugroup A nap_vgroup S, scho revenge Av yak p_demigroup. Ακούγεται για την επέκταση των ονομάτων της ομάδας Α, που δένει με τον Atem με άλλα μυαλά. Η πιο προηγμένη θεωρία του ιδανικού R. nap_vgroup (nap_vgroup, τι να εκδικηθείς τον Av yak ......) Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Ίσο με το μυαλό του πλούτου όρου του nου σταδίου με τη μορφή μιας ή περισσότερων από την αλλαγή. Α. σε. με έναν άγνωστο ήχο. ίσος με το μυαλό: Δεν υπάρχει αριθμός, ήχος. οι συντελεστές είναι ίσοι και є danimi, hnaz. nevidomim και є… Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Πεδία k αλγεβρικά. επέκταση του πεδίου k, που είναι ένα κλειστό αλγεβρικό πεδίο. Μια τέτοια επέκταση για οποιοδήποτε πεδίο αποδίδεται μοναδικά στον ισομορφισμό. A. h. χωράφια αριθμούς ημερώνє πεδίο μιγαδικοί αριθμοί(Τμήμα …… Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Η κανονικά εκτεταμένη αλγεβρική επέκταση του πεδίου EÉ K για οποιονδήποτε μη αναγώγιμο πλούσιο όρο f(x) πάνω από το K, που μπορεί να έχει μία ρίζα E, μπορεί να επεκταθεί στο E σε γραμμικούς πολλαπλασιαστές. Ισοδύναμα διορισμένοι: Yakscho KÌ EÌ K *, de K * ... ... Wikipedia

Μια διαχωρίσιμη επέκταση μιας αλγεβρικής επέκτασης ενός πεδίου που αποτελείται από διαχωρίσιμα στοιχεία, έτσι ώστε τέτοια στοιχεία να είναι α, είναι ο ελάχιστος ακυρωτής f(x) πάνω από το K για τον οποίο δεν υπάρχουν πολλαπλές ρίζες. Pokhіdna f (x) μπορεί buti για vishchevkazanim ... ... Wikipedia

Επέκταση του πεδίου, έτσι ώστε το Ε, είναι υπέροχο, πάνω από το Κ γιακ διανυσματικός χώρος. Η επέκταση του διανυσματικού χώρου Ε πάνω από το Κ ονομάζεται βαθμός διαστολής και ορίζεται. Η δύναμη των τελευταίων επεκτάσεων Στη ... ... Wikipedia

Τα πεδία είναι μια αλγεβρική επέκταση του πεδίου L K, η οποία ικανοποιεί ένα από τα προοδευτικά ισοδύναμα μυαλά: 1) εάν το πεδίο L είναι ενσωματωμένο σε ένα αλγεβρικό πεδίο. κλείσιμο του πεδίου є από αυτομορφισμό του πεδίου L. 2) L πεδίο διάταξης μιας δεδομένης οικογένειας πολυωνύμων s ... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Αλγεβρική επέκταση πεδίων

Εισαγωγή.

Τα Παιδαγωγικά πανεπιστήμια έχουν ξεκινήσει ένα πρόγραμμα για ένα ενιαίο μάθημα στην άλγεβρα και τη θεωρία αριθμών. Ο επικεφαλής του μετα-μαθήματος είναι η ανάπτυξη των βασικών συστημάτων της άλγεβρας και η ανάπτυξη της αλγεβρικής κουλτούρας, η οποία είναι απαραίτητη για τον μελλοντικό δάσκαλο για μια βαθιά κατανόηση των στόχων και του έργου του κύριου σχολικού μαθήματος των μαθηματικών, καθώς και σχολικά μαθήματα επιλογής.

Κατά τη γνώμη μας, η πιο σημαντική εισαγωγή στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών είναι τα στοιχεία της σύγχρονης αφηρημένης άλγεβρας.

Η διαδικασία της αλγεβρικοποίησης των μαθηματικών, που ξεκίνησε τον εικοστό αιώνα, δεν είναι αποδεκτή, αλλά μάλλον αναγκάζεται να προσπαθήσει να κατανοήσει τα βασικά της άλγεβρας στη σχολική μαθηματική εκπαίδευση.

Το μαθηματικό βάθος και η εξαιρετικά μεγάλη πυκνότητα σφαίρας πεδίων θα συνδυαστούν με την απλότητα των βασικών διατάξεων - για την κατανόηση των πεδίων, ένας ολόκληρος αριθμός σημαντικών θεωρημάτων μπορεί να διατυπωθεί και να φανεί στο φως, που συχνά εμφανίζονται στο σύμπαν της θεωρίας της πολλαπλότητας. Επομένως, η θεωρία πεδίου είναι πιο κατάλληλη για να δείξει στους μαθητές μια διορατικότητα στα σύγχρονα μαθηματικά.

Επιπλέον, η ανάπτυξη στοιχείων στη θεωρία του πεδίου δεν απευθύνεται σε μαθητές, αλλά στην πνευματική τους ανάπτυξη, η οποία εκδηλώνεται στην ανάπτυξη των πλουσιότερων πλευρών των ιδεών, των ιδιοτήτων και των χαρακτηριστικών τους, καθώς και στην ανάπτυξη των επιστημόνων. , επιστήμη και μαθηματικά.

1. Μια απλή επέκταση της άλγεβρας πεδίου.

1.1. Απλώς επεκτείνετε το πεδίο.

Έστω P[x] ένας δακτύλιος πολυωνύμων όπως το x πάνω από το πεδίο P, όπου P είναι υποπεδία του πεδίου F. Ας μαντέψουμε ότι το στοιχείο a του πεδίου F ονομάζεται αλγεβρικό πάνω από το πεδίο P, επειδή το a είναι η ρίζα του ένα τέτοιο πολυώνυμο θετικού βήματος P[x].

Ραντεβού. Αφήστε τον Π< F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

Έστω a0F, P [x] - δακτύλιος πολυωνύμων στο x i

P[x]=(f(a)*f0P[x]),

άρα το P [a] είναι απρόσωπο όλων με τη μορφή a 0 + a 1 a + ... + a n a n de a 0 , a 1, ... a n 0P i n - είναι φυσικός αριθμός.

Είναι εύκολο να δούμε ότι η άλγεβρα +P[a], +, -, ., 1, είναι το υποπεδίο του πεδίου P(a) - το υποπεδίο. ολόκληρος ο δακτύλιος συμβολίζεται με το σύμβολο P[a].

Θεώρημα 1.1. Έστω P [x] - ένας δακτύλιος πολυωνύμων σε x πάνω από P και P (a) - μια απλή επέκταση του πεδίου P. Έστω y - επεκτείνουμε το P [x] στο P [a] έτσι ώστε y (f) = f ( α) για να -ο f іz P[x]. Todi:

(α) για οποιοδήποτε a z P y (a) = a;

(γ) το y είναι ομομορφισμός του δακτυλίου P[x] στον δακτύλιο P[a].

(δ) Ker y = (f0P[x] * f(a) = 0);

(ε) παράγοντας-κύκλος P[x]/Ker y ισόμορφος στον δακτύλιο P[a].

Φέρνοντας. Ο ισχυρισμός (α) και (β) τσιρίζουν χωρίς ενδιάμεσο από τον διορισμό του υ. Η εισαγωγή του y αποθηκεύει τις κύριες λειτουργίες του δακτυλίου P[x], άρα για κάθε f і g z P[x]

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

Η σταθερότητα (d) φλέγεται χωρίς ίχνος από το y.

Εάν ο δακτύλιος y είναι ομομορφισμός του δακτυλίου P[x] στο P[a], τότε ο παράγοντας δακτύλιος P[x]/Ker y είναι ισόμορφος με τον δακτύλιο P[a].

Τελευταία 1.2. Έστω a ένα υπερβατικό στοιχείο στο πεδίο P. Αν ο πολυωνυμικός δακτύλιος P[x] είναι ισόμορφος με τον δακτύλιο P[a].

Φέρνοντας. Κοιτάζοντας πίσω στην υπέρβαση ενός over P Kery=(0). Σε αυτό το P[x]/(0) - P[a]. Επιπλέον, ο παράγοντας δακτυλίου P[x] πίσω από το μηδενικό ιδανικό είναι ισόμορφος ως προς το P[x]. Επίσης, P[x] - P[a].

1.2.Ελάχιστο πολυώνυμο αλγεβρικού στοιχείου.

Έστω P [x] ένας δακτύλιος πολυωνύμων πάνω από το πεδίο P.

Ραντεβού. Έστω a ένα αλγεβρικό στοιχείο στο πεδίο P. Το ελάχιστο πολυώνυμο ενός στοιχείου a έναντι του P είναι το πολυώνυμο αποτίμησης του P [x] του μικρότερου βαθμού, η ρίζα του οποίου είναι є a. Το βήμα του ελάχιστου πολυωνύμου ονομάζεται βήμα του στοιχείου a πάνω από το P.

Είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι για οποιοδήποτε στοιχείο a, το οποίο είναι αλγεβρικό έναντι του P, υπάρχει ένα ελάχιστο πολυώνυμο.

Πρόταση 1.3. Αν το a είναι στοιχείο μιας άλγεβρας πάνω από ένα πεδίο P, και τα g και j είναι το ελάχιστο πολυώνυμο πάνω από το P, τότε g = j.

Φέρνοντας. Τα βήματα των ελάχιστων πολυωνύμων g και j παραλείπονται. Αν g 1 j, τότε το στοιχείο a (βήμα n πάνω από το P) θα είναι η ρίζα του πολυωνύμου g - j, το βήμα του οποίου είναι μικρότερο από το βήμα του πολυωνύμου j (μικρότερο από n), το οποίο είναι αδύνατο. Αργότερα, g = j.

Θεώρημα 1.4. Έστω a ένα στοιχείο άλγεβρας βαθμού n στο πεδίο P (aóP) και g είναι το ελάχιστο πολυώνυμο πάνω από το P. Τότε:

(α) το πολυώνυμο g δεν επάγεται στον κύκλο P [x].

(β) οπότε f (a) = 0, όπου f 0 P[x], g διαιρέστε f;

(γ) ο παράγοντας-κύκλος P[x]/(g) ισόμορφος στον κύκλο P[a].

(δ) Το P [x]/(g) είναι ένα πεδίο.

(ε) ο δακτύλιος P [a] ταιριάζει με το πεδίο P (a).

Φέρνοντας. Ας υποθέσουμε ότι το πολυώνυμο g επάγεται στον κύκλο P [x], τότε στο P [x] τέτοια πολυώνυμα j και h μπορούν να καθοριστούν ότι

g = jh, 1£ deg j, deg h

Τότε g(a) = j(a)h(a) = 0. Εφόσον το P(a) είναι πεδίο, τότε j(a) = Pro ή h(a) = 0, κάτι που είναι αδύνατο, θραύσματα, πίσω από το μυαλό , το στοιχείο βημάτων a πάνω από το P είναι περισσότερο p.

Ας υποθέσουμε ότι f 0 P[x] και f(a) = 0. Για το μυαλό, g(a) = 0. Τότε οι f και g δεν μπορούν να συγχωρηθούν αμοιβαία. Αν το πολυώνυμο g είναι μη αναγώγιμο, τότε το g διαιρέστε το f.

Έστω j ένας ομομορφισμός του δακτυλίου P[x] στον δακτύλιο P[a] (y(f)=f(a) για οποιαδήποτε f ⊂ P[x]), ενόψει του Θεωρήματος 2.1. 3(β) ο πυρήνας του ομομορφισμού y αποτελείται από πολλαπλάσια του πολυωνύμου g, άρα. Ker y = (g). Επίσης, ο παράγοντας δακτυλίου P = P[x]/(g) είναι ισόμορφος με τον δακτύλιο P[a].

Oskilki P[a]ÌP(a), τότε P[a] είναι η περιοχή της ακεραιότητας. Εφόσον P @ P [a], τότε το πηλίκο P είναι επίσης το πεδίο της ακεραιότητας. Πρέπει να δείξουμε ότι οποιοδήποτε μη μηδενικό στοιχείο f από το P μπορεί να αναχθεί σε P. Έστω f στοιχείο της κλάσης αθροίσματος f. Oskіlki f ¹ 0, μετά f(a)¹0; Επομένως, το πολυώνυμο g δεν μπορεί να διαιρεθεί με το πολυώνυμο f. Το πολυώνυμο g του Oskіlki είναι μη αναγώγιμο, τα αστέρια είναι καθαρά, αλλά τα πολυώνυμα f και g είναι αμοιβαία απλά. Επίσης, το Р[x] καθιερώνει τέτοια πολυώνυμα u και v που uf + vg=1. Η τιμή uf = 1 δείχνει ότι το στοιχείο f είναι θηριώδες στο δαχτυλίδι P.

З (с) і (δ) P [a] є πεδίο και όγκος P(a)ÌP[a]. Από την άλλη πλευρά, προφανώς, P[a]ÌP(a). Επίσης, P[a] = P(a). Επίσης, ο δακτύλιος P[a] ταιριάζει με το πεδίο P(a).

1.3. Η απλή επέκταση της άλγεβρας πεδίου του Budov.

Θεώρημα 1.5. Έστω a ένα αλγεβρικό στοιχείο θετικής κλάσης n στο πεδίο P. Οποιοδήποτε στοιχείο του πεδίου P(a) μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά από έναν γραμμικό συνδυασμό n στοιχείων 1, a, ..., a n-1 με συντελεστές Р.

Φέρνοντας. Έστω το στοιχείο b-be-yakie του πεδίου P (a). Από το Θεώρημα 1.4, P(a) = P[a]; επίσης, στο P[x] το πολυώνυμο f είναι τέτοιο ώστε

Έστω g το ελάχιστο πολυώνυμο για a over P; Δυνάμει του θεωρήματος, το πρώτο βήμα είναι πιο σημαντικό.

(2) f = gh + r, de r = 0 ή der r< der g = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c 0 + c 1 a + ... c n -1 a n-1

Δείχνεται ότι το στοιχείο μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά σε έναν γραμμικό συνδυασμό στοιχείων 1, a, ..., a n-1 . Ελα

(4) b = d 0 +d 1 a + ... d n -1 a n-1 (d i 0 P)

Be-yaké μια τέτοια εκδήλωση. Ας δούμε το πολυώνυμο j

j \u003d (s 0 - d 0) + (c 1 - d i .)x + . . . + (З n-1 -d n -1)x n -1

Vipadok, αν το βήμα j είναι μικρότερο από n, απίθανο, ζεματίζεται λόγω (3) і (4) j(a) = 0 і βήμα j είναι ο μικρότερος τύπος βήματος g. Είναι λιγότερο δυνατό να αλλάξετε, εάν j \u003d 0, τότε s 0 \u003d d 0. . . , Ζ η-1 = d ρ-1. Επίσης, το στοιχείο b μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως ένας γραμμικός συνδυασμός στοιχείων 1, a,…,a n-1 .

1.4 Παραλλαγή με τη μορφή αλγεβρικού παραλογισμού στο λάβαρο ενός κλάσματος.

Μια εργασία για το zvіlnennya με τη μορφή του παραλογισμού της άλγεβρας στο πανό ενός κλάσματος στο βήμα. Έστω a ένα στοιχείο άλγεβρας βαθμού n>1 στο πεδίο P; f і h - πολυώνυμα από τον κύκλο των πολυωνύμων P[x] και h(a) 10. Είναι απαραίτητο να παρέχεται το στοιχείο f(a)/h(a)0P(a) στην περίπτωση ενός γραμμικού συνδυασμού βημάτων του στοιχείου a, στη συνέχεια στην περίπτωση του j(a),

Tse vdannya virishuєtsya έτσι. Έστω g το ελάχιστο πολυώνυμο για a over P. Oskilki, σύμφωνα με το Θεώρημα 1.4, το πολυώνυμο δεν επάγεται πάνω από P і h(a) ¹ 0, τότε το g δεν διαιρεί το h і, επίσης, τα πολυώνυμα h і g είναι αμοιβαία απλός. Επομένως, το P[x] έχει τέτοια πολυώνυμα u και v που

Oskіlki g(a) = 0, іz (1)

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Επίσης, f(a)/h(a) = f(a)u(a), επιπλέον, f,u 0P[x] και f(a)u(a)0P[a]. Otzhe, we zvіlnilis vіd іrrationalnosti f(a)/h(a) .

Ακούγεται σαν παράλογος στο bannerman

Οι πλούσιοι όροι p(x) και g(x)=-x 2 +x+1 είναι αμοιβαία απλοί. Επομένως, υπάρχουν τόσο πλούσιοι όροι j και y που

Για vіdshukannya j і y zastosuemo Ευκλείδειος αλγόριθμος σε πολυώνυμα p і g:

X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1

x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x+1/4

x 2 -x-1 1/2x-1/4

με τέτοιο τρόπο,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Zvіdki ξέρω

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x2 +x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x2+1/5x+3/5)=1.

με τέτοιο τρόπο,

y(x)= (2/5x 2 +1/5x+3/5).

Otzhe

.

2. Αναδιπλούμενη προέκταση της άλγεβρας πεδίου.

2.1. Kіntseve επέκταση του πεδίου.

Έστω P τα υποπεδία του πεδίου F. Τότε μπορούμε να δούμε το F ως διανυσματικό χώρο πάνω από το P, έτσι μπορούμε να δούμε τον διανυσματικό χώρο +F, +, (w l ½l 0P),

de w l - η πράξη πολλαπλασιασμού των στοιχείων του F με το βαθμωτό l0P.

Ραντεβού. Η επέκταση του πεδίου F ονομάζεται τερματικό, όπως το F, ως διανυσματικός χώρος πάνω από το P, είναι δυνατό να τερματιστεί η επέκταση. Tsya rozmirnіst σήμαινε μέσω.

Πρόταση 2.1. Αν το a είναι αλγεβρικό στοιχείο βαθμού n έναντι του P, τότε = n.

Αυτή η πρόταση διαφαίνεται κατάφωρα μέσω του Θεωρήματος 1.5.

Ραντεβού. Μια επέκταση F ενός πεδίου P ονομάζεται αλγεβρική, αφού ένα στοιχείο δέρματος του F είναι αλγεβρικό έναντι του P.

Θεώρημα 2.2. Εάν μια πεπερασμένη επέκταση του πεδίου F είναι αλγεβρική έναντι του P.

Φέρνοντας. Έστω F είναι n-ομαλή έναντι του P. Το θεώρημα είναι προφανώς αληθές, αφού n = 0. Ας υποθέσουμε ότι n>0. Αν n+1 στοιχεία του F είναι γραμμικά σε αγρανάπαυση πάνω από το P. Sokrema, ένα γραμμικά υπό καθεστώς αγρανάπαυσης σύστημα των στοιχείων 1, a, ..., a n , τότε P τέτοια στοιχεία των 0 , 1, ..., c n δεν είναι όλα ίσα με μηδέν , s 0 ×1+ 1 a +…+c n a n = 0.

Το στοιχείο a είναι επίσης αλγεβρικό έναντι του P.

Είναι σημαντικό ότι υπάρχουν επεκτάσεις της άλγεβρας πεδίου που δεν είναι τερματικές επεκτάσεις.

2.2. Επέκταση αποθήκης πεδίου άλγεβρας.

Η επέκταση F του πεδίου P ονομάζεται πτυσσόμενη, όπως είναι

αναπτυσσόμενο υποπεδίο L i νυχτερίδας του πεδίου F έτσι ώστε

P = L 0 - L 1 - ... L k = F і k>1.

Θεώρημα 2.3. Έστω F - άκρο επέκταση του πεδίου L і L - άκρο επέκταση του πεδίου P. Στη συνέχεια F - άκρο επέκταση του πεδίου P i

=@[L:P].

Φέρνοντας. Ελα

(1) a 1 ,…,a m - βάση του πεδίου L πάνω από το P (όπως ένας διανυσματικός χώρος) και

(2) b 1 ..., b n - βάση του πεδίου F πάνω από το L . Οποιοδήποτε στοιχείο d από το F μπορεί να εκφραστεί γραμμικά μέσω της βάσης:

(3) d = l 1 b 1 +...+l n b n (l k 0L).

Ο συντελεστής 1 k μπορεί να εκφραστεί γραμμικά μέσω της βάσης (1):

(4) l k = p 1k a + ... + p mk a m ​​(p ik 0P).

Η αντικατάσταση της βαθμολογίας με τους συντελεστές l k (3), είναι αποδεκτή

d = p a a b k .

Με αυτόν τον τρόπο, το στοιχείο δέρματος του πεδίου F μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός στοιχείων του πολλαπλασιαστή B, de

B = (a i b k ½ (1, ..., m), k 0 (l, ..., n)).

Είναι σημαντικό ότι ο πολλαπλασιαστής Β προσθέτει έως και nm στοιχεία.

Δείχνουμε ότι το F είναι μια βάση έναντι του P. Πρέπει να δείξουμε ότι το σύστημα στοιχείων του πολλαπλασιαστή Β είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Ελα

(5) åc ik a i b k = 0,

de c ik 0 P. Εφόσον το σύστημα (2) είναι γραμμικά ανεξάρτητο έναντι του L , τότε το (5) ακολουθεί ισότητα

(6) s 1 k a 1 +...+s mk a m ​​= 0 (k = 1,..., n).

Εφόσον τα στοιχεία a 1 , ..., a m είναι γραμμικά ανεξάρτητα έναντι του P, τότε το (6) ακολουθεί ισότητα

c 1 k = 0, ..., c mk = 0 (k = 1, ..., n),

για να δείξετε ότι οι συντελεστές στο (5) είναι ίσοι με μηδέν. Έτσι, το σύστημα των στοιχείων Β είναι γραμμικά ανεξάρτητο και αποτελεί τη βάση του F έναντι του P.

Otzhe, εισάγεται, scho = nm = ×. Επίσης F є τελευταίες επεκτάσεις του πεδίου P і maє misce formula (I).

Ραντεβού. Η επέκταση F του πεδίου P ονομάζεται αναδιπλούμενη αλγεβρική, καθώς είναι η αυξανόμενη λόγχη των υποπεδίων του πεδίου P

P \u003d L 0 - L 1 - ... L k \u003d F і k> 1 (1)

έτσι ώστε για i = 1,..., k πεδία L i є ας επεκτείνουμε απλώς την άλγεβρα του πεδίου L i-1 . Ο αριθμός k ονομάζεται λόγχη dozhina (1).

Τελευταία 2.4. Οι επεκτάσεις αποθήκης της άλγεβρας F του πεδίου P είναι τερματικές επεκτάσεις του πεδίου P.

Η απόδειξη μπορεί εύκολα να πραγματοποιηθεί με επαγωγή πίσω από τη λόγχη (1) για την τεκμηρίωση του Θεωρήματος 2.3.

Θεώρημα 2.5. Έστω a 1 ,..., ak αλγεβρικό πάνω στο πεδίο P στοιχείων του πεδίου F . Το ίδιο πεδίο P(a 1 ,..., ak) είναι η τελευταία επέκταση του πεδίου P.

L 0 = P, L 1 = P, L 2 = P, ..., L k = P.

Τότε το L 1 = P είναι μια απλή επέκταση της άλγεβρας του πεδίου L 0 ; Το L 2 είναι μια απλή επέκταση της άλγεβρας του πεδίου L 1, αφού

L 2 = P = (P) = L 1 = L 1 (a 2) κ.λπ.

με τέτοιο τρόπο,

P = L 0 - L 1 - ... - L k = F

de L i = L i -1 (a i) για i = 1, ..., k, τότε ο όρος δέρματος του Lanziuk (2) είναι μια απλή επέκταση της άλγεβρας του μπροστινού όρου του Lanziuk. Αργότερα, το πεδίο F είναι μια αναδιπλούμενη επέκταση της άλγεβρας του πεδίου P. Και πάλι, σύμφωνα με το Συμπέρασμα 2.4, το πεδίο F είναι μια τερματική επέκταση του πεδίου P .

Τελευταία 2.6. Επέκταση αποθήκης του πεδίου άλγεβρα є επέκταση του αλγεβρικού πεδίου.

2.3. Απλότητα επέκτασης αποθήκης άλγεβρας πεδίου.

Θεώρημα 2.7. Έστω το αριθμητικό πεδίο F μια αναδιπλούμενη επέκταση του πεδίου άλγεβρας P . Στη συνέχεια F є θα απλοποιήσουμε τις επεκτάσεις της άλγεβρας του πεδίου P.

Φέρνοντας. Έστω P - L - F, επιπλέον, L = P (a), F = L (b) i, επίσης, F = P (a, b).

Έστω f και g ελάχιστα πολυώνυμα πάνω από το P, το οποίο ισχύει για τους αριθμούς a και b και deg f = m, deg g = n. Τα πολυώνυμα f і g δεν μπορούν να υπερτεθούν πάνω από το P і, επομένως, δεν μπορούν να βρίσκονται στο πεδίο E μιγαδικών αριθμών πολλαπλών ριζών. Ελα

a = a 1 ,..., a m - ρίζες του πολυωνύμου f C i

b = b 1 ,..., b n - ρίζα του πολυωνύμου g C.

Ας δούμε το kіtsev bezlіch M:

Μ = ((a i-a)/(b-b k)½i0(1,…,m), k0(2,…,n)).

Το Oskіlki P είναι ένας αριθμητικός πολλαπλασιαστής (i, επομένως, δεν είναι περιορισμένος), τότε το P είναι ο αριθμός c, vidminne στα στοιχεία του πολλαπλασιαστή M, c0P (M, cóM. Nehai

Todi vykonuyutsya spіvvіdnoshennia

(2) g 1 a i + cb k = (i0 (1, ..., m), k0 (2, ..., n)).

Αλήθεια, σε περιόδους ισότητας a + cb = a i + cb k bulo b

h \u003d (a i -a) / (b-b k) 0 M

scho superchilo χρησιμοποίησε την επιλογή του αριθμού γ.

Έστω F 1 = P(g) και F 1 - ένας δακτύλιος πολυωνύμων στο x. Έστω h = f(g - cx) πολυώνυμο από F 1 [x] (g, c0P(g) = F 1). Μπορεί να φανεί ότι το x-b είναι το μεγαλύτερο σύμφωνο των πολυωνύμων h και g στον δακτύλιο F 1 [x]. Κλίμακες g(b) = 0, μετά x-b διαιρεί το g E[x]. Daly, λόγω (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Σε αυτό το x-b διαιρέστε το πολυώνυμο h E[x]. Με αυτή τη σειρά, το x-b είναι ένα στρωτήρα h και g στον δακτύλιο E[x].

Αναφέρεται ότι g і h С δεν υπάρχουν ρίζες, vіdmіnkh vіd β. Ας πούμε απλώς ότι το b k , k0(2 ,..., n) είναι η άγρια ​​ρίζα του. Τότε h(b k) = f(g - сb k) = 0. Τότε, υπάρχει ένας τέτοιος δείκτης i0(1 ,..., m) ). Επομένως, είναι πιθανό το x-b να είναι ο μεγαλύτερος στρωτήρας των g και h στο E[x]. Oskіlki x - b - πολυώνυμο κανονικοποίησης, τότε το αστέρι είναι καθαρό, scho x - b є το μεγαλύτερο hot dilnik g και h y kіltsi F 1 [x]. Κάποιος

(x-b) 0 F 1 [x] και b 0 F 1 = P(g).

Επιπλέον, a = g - cb 0 F 1 . με τέτοιο τρόπο,

F = P(a, b) Ì F 1 , F 1 ÌF.

2.4. Πεδίο αλγεβρικοί αριθμοί.

Η κατηγορία των υποπεδίων του πεδίου των μιγαδικών αριθμών είναι ένα από τα πιο σημαντικά - το πεδίο των αλγεβρικών αριθμών.

Ραντεβού. Ένας αλγεβρικός αριθμός ονομάζεται μιγαδικός αριθμός, ο οποίος είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου θετικού βαθμού με ρητούς συντελεστές.

Είναι σημαντικό ο αριθμός μιας άλγεβρας, είτε πρόκειται για μιγαδικό αριθμό, να είναι αλγεβρικός στο πεδίο Q. Sokrema, είτε είναι ρητός αριθμός, είτε είναι αλγεβρικός.

Θεώρημα 2.8. Το απρόσωπο Α όλων των αλγεβρικών αριθμών είναι κλειστό στον δακτύλιο E = +C, +, -, 1, των μιγαδικών αριθμών. Η άλγεβρα A = +А, +, -, , 1 είναι ένα πεδίο, ένα υποπεδίο του πεδίου Ε.

Φέρνοντας. Έστω a και b στοιχεία του A. Για το τελευταίο 2.6, το πεδίο Q(a, b) είναι αλγεβρικό έναντι του Q. Επομένως, οι αριθμοί a + b, -a, ab, 1 είναι αλγεβρικοί, έτσι ώστε τα πολλαπλάσια του A βρίσκονται , το απρόσωπο Α είναι κλειστό σύμφωνα με τις πράξεις κεφαλής του κύκλου Ε. Επομένως, η άλγεβρα Α είναι υποκύκλος του κύκλου Ε - είναι κύκλος.

Επιπλέον, δεδομένου ότι το a είναι ένα μη μηδενικό στοιχείο στο A, το -1 0 Q (a, b) και ότι το -1 βρίσκεται στο A. Και πάλι, η άλγεβρα A είναι ένα πεδίο, υποπεδία του πεδίου E.

Ραντεβού. Το πεδίο A = +A, +, -, , 1 ονομάζεται πεδίο αλγεβρικών αριθμών.

Δείξτε ότι ο αριθμός α = αλγεβρικός.

Λύση. Z a \u003d ουρλιάζοντας a-.

Προσβλητικά μέρη της υπόλοιπης ισοδυναμίας στο τρίτο βήμα:

a 3 -3a 2 9a-3=2

a 3 +9a-2 = 3 (a 2 +1).

Τώρα τα προσβλητικά μέρη της ζήλιας φέρονται σε άλλο επίπεδο:

a 6 +18a 4 +81a 2 -4a 3 -36a+4=27a 4 +54a 2 +27

a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23 = 0.

Σε αυτή την κατάταξη a є η ρίζα ενός πλούσιου όρου

f(x)= a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23=0

από ορθολογικούς συντελεστές. Ce σημαίνει ότι το a είναι αλγεβρικός αριθμός.

2.5. Αλγεβρικό κλείσιμο του πεδίου των αριθμών της άλγεβρας.

Θεώρημα 2.9. Το αριθμητικό πεδίο μιας άλγεβρας είναι αλγεβρικά κλειστό.

Φέρνοντας. Έστω A [x] ένας δακτύλιος πολυωνύμων στο x πάνω από το πεδίο Α των αλγεβρικών αριθμών. Ελα

f = a 0 + a 1 x+... + a n x n (a 0 ..., a n 0 A)

Να είναι κάποιο πολυώνυμο του θετικού βήματος A[x]. Πρέπει να αποδείξουμε ότι η f μπορεί να έχει ρίζα στο A. Εάν η f0C[x] και το πεδίο E είναι αλγεβρικά κλειστό, τότε η f μπορεί να έχει ρίζα στο E έτσι ώστε να έχει τόσο μιγαδικό αριθμό s, ώστε f (c) = 0. Έστω L = Q (a 0 , ..., και n) και το L(c) είναι μια απλή επέκταση της άλγεβρας του πεδίου L πέρα ​​από τη βοήθεια του c. Τότε το Q - L - L (c) είναι μια τερματική επέκταση της άλγεβρας του πεδίου L. Από το Θεώρημα 2.2, το L είναι μια τερματική επέκταση του πεδίου Q. Δυνάμει του Θεωρήματος 2.3, το L (c) είναι μια τερματική επέκταση του το πεδίο Q. το πεδίο L (c) είναι επέκταση της άλγεβρας του πεδίου Q i, επομένως, c0A. Έτσι, εάν υπάρχει οποιοδήποτε πολυώνυμο στο A[x] του θετικού βήματος Α μπορεί να έχει ρίζα, τότε το πεδίο Α είναι αλγεβρικά κλειστό.

3. Διαχωρίσιμες και αχώριστες προεκτάσεις.

Έλα στο Δ - πεδίο.

Σίγουρα, πώς μπορεί ένα μη αποσυνθέσιμο πολυώνυμο D[x] να είναι μητέρα πολλαπλών ριζών;

Προκειμένου η f(x) να είναι πολλαπλές ρίζες, οι πλούσιοι όροι f(x) και fN(x) οφείλονται στον κοινό διπλό σταθερό πολλαπλασιαστή της μητέρας, ο οποίος μπορεί ήδη να μετρηθεί σε D[x]. Παρόλο που το πολυώνυμο f(x) δεν διαιρείται, τότε κανένα πλούσιο πολυώνυμο κατώτερου βαθμού f(x) δεν μπορεί να είναι μητέρα ασυνεπών καθολικών πολλαπλασιαστών και, επομένως, η ισότητα f "(x) = 0.

f(x) =3a n x n fN(x) =3na n x n -1

Άρα fN(x) = O, ο συντελεστής δέρματος είναι ένοχος μηδέν:

n = 0 (n = l, 2, ..., n).

Αυτό που είναι σημαντικό είναι το χαρακτηριστικό μηδέν του αστεριού, ότι ένα n \u003d 0 όλα n ¹ 0. Επίσης, ένα ασυνεπές πολυώνυμο μπορεί να είναι η μητέρα πολλαπλών ριζών. Τη στιγμή των χαρακτηριστικών p_ομοιομορφία na n \u003d 0 είναι δυνατό να έχουμε n ¹ 0, αλλά μπορεί επίσης να είναι ίσο

f(x) = a 0 + a p x p + a 2p x 2p +…

Πίσω: αν η f(x) μπορεί να μοιάζει με αυτό, τότε fN(x)=0.

Με αυτό το vipadka μπορούμε να γράψουμε:

Ο ίδιος ο Tim έφερε τον ισχυρισμό: Στην περίπτωση του χαρακτηριστικού μηδέν, ο πλούσιος όρος f (x) δεν διαιρείται στο D [x], μπορεί να είναι μόνο μια απλή ρίζα, στην περίπτωση του χαρακτηριστικού p, το πολυώνυμο f ( x) (που είναι επίσης το ίδιο με τη σταθερά) μπορεί να είναι πολλαπλάσιο της ρίζας, αν είναι δυνατόν να εμφανιστεί ως πολυώνυμο j vіd x p.

Κατά καιρούς, είναι πιθανό το j(x) να είναι ένα πολυώνυμο με τον δικό του τρόπο x p . Τότε το f(x) είναι ένα πολυώνυμο όπως το x p 2 . Έστω f(x) - πλούσιος όρος όπως xpe

ale є πολυώνυμο vіd x pe +1 . Όπως είναι κατανοητό, το πολυώνυμο y(y) είναι αδιάσπαστο. Dali, y¢(y) 1 0, γιατί διαφορετικά το y(y) θα έμοιαζε με c(y p) i, τότε το f(x) θα έμοιαζε με c(x pe + 1), το οποίο θα αντικαθιστούσε την παράλειψη. Το Otzhe, y (y) μπορεί να είναι μόνο μια απλή ρίζα.

Ας επεκτείνουμε το πολυώνυμο y για να επεκτείνουμε το κύριο πεδίο σε γραμμικούς παράγοντες: m

y(y) = J(y-b i).

f(x) = J(x pe -b i)

Έστω a i η ρίζα του πολυωνύμου x pe - bi. Τότε x i pe \u003d b i,

x pe - bi = x pe - a i pe = (x-a i) pe .

Επίσης, a i є r e -πολλαπλή ρίζα του πολυωνύμου x pe - b i

f(x) = J(x -a i) p e.

Το μουστάκι της ρίζας του πολυωνύμου f(x) μπορεί, με αυτόν τον τρόπο, να έχει την ίδια πολλαπλότητα p e.

Το βήμα m του πολυωνύμου y ονομάζεται βήμα αναγωγής του πολυωνύμου f(x) (ή της ρίζας a i). ο αριθμός e ονομάζεται εκθέτης του πολυωνύμου f (x) (ή της ρίζας a i) στο πεδίο D.

de m ακριβότερος αριθμός διαφορετικών ριζών του πολυωνύμου f(x).

Αν q είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου που δεν είναι αποσυνθέσιμο στον δακτύλιο D[x], ο οποίος μπορεί να είναι μόνο απλές ρίζες, τότε το q ονομάζεται διαχωρίσιμο στοιχείο πάνω από το D ή στοιχείο πρώτου είδους πάνω από το D 1). Με αυτό, ένας αξεδιάσπαστος πλούσιος όρος, του οποίου όλες οι ρίζες είναι χωριστές, λέγεται διαχωριστικός. Διαφορετικά, ένα αλγεβρικό στοιχείο q και ένας μη αποσυνθέσιμος πλούσιος όρος f(x) ονομάζονται αχώριστοι ή ένα στοιχείο (όπως ένας πλούσιος όρος) διαφορετικού είδους. Τώρα, μια προέκταση της άλγεβρας S, της οποίας όλα τα στοιχεία διαχωρίζονται πάνω από το D, λέγεται διαχωρίσιμη πάνω από το D, και οποιαδήποτε άλλη επέκταση της άλγεβρας ονομάζεται αχώριστη.

Σε εποχές χαρακτηριστικού μηδέν, λέγεται ότι το δέρμα δεν είναι ένας αδιάσπαστος πλούσιος όρος (και επομένως η επιδερμική προέκταση της άλγεβρας) είναι διαχωρίσιμη. Θα θέλαμε να γνωρίζουμε ότι οι περισσότερες από τις πιο σημαντικές και πιο σημαντικές επεκτάσεις πεδίων είναι διαχωρίσιμες και ότι γνωρίζουμε την ποιότητα της κατηγορίας των πεδίων, έτσι ώστε να μην είναι δυνατές οι αχώριστες επεκτάσεις (το λεγόμενο «ολοκληρώθηκε το πεδίο»). Z tsієї causa all pov'yazane ειδικά με αχώριστες επεκτάσεις πληκτρολογημένες με διαφορετική γραμματοσειρά.

Ας δούμε τώρα την επέκταση της άλγεβρας S = D (q). Εάν τα βήματα n είναι ίσα με f(x) = 0, που σημαίνει μεγαλύτερο, πιο προχωρημένο βήμα (S: ​​D), η μείωση των βημάτων m είναι ίση με τον αριθμό των ισομορφισμών του πεδίου S με την προοδευτική έννοια: μπορεί μόνο να δει αυτούς τους ισομορφισμούς [email προστατευμένο]", για οποιαδήποτε στοιχεία του υποπεδίου D είναι γεμάτα με μη βίαιο i, τότε το S μεταφέρεται στο ισοδύναμο πεδίο S" (ισομορφισμός του πεδίου S πάνω από το πεδίο D) και για οποιοδήποτε πεδίο-εικόνα S "να βρίσκονται μαζί με το πεδίο S στη μέση του πεδίου W. tsikh umovah maє mistse θεώρημα:

Με την κατάλληλη επιλογή του πεδίου W, η επέκταση S=D(q) μπορεί να έχει ακριβώς m ισομορφισμούς έναντι του D, και για οποιαδήποτε επιλογή του πεδίου W, το πεδίο S δεν μπορεί να έχει περισσότερους από m τέτοιους ισομορφισμούς.

Φέρνοντας. Ο ισομορφισμός του δέρματος πάνω από το D είναι υπεύθυνος για τη μετάφραση του στοιχείου q στις συσχετίσεις του με το στοιχείο q" από το W. Επιλέξτε το W έτσι ώστε η f(x) να επεκτείνεται πάνω από το W σε γραμμικούς πολλαπλασιαστές· τότε φαίνεται ότι το στοιχείο q μπορεί να έχει ακριβώς m εμφανίσεις στοιχεία q,qΕάν ναι, ως bi, το πεδίο W δεν επιλέχθηκε, το στοιχείο q δεν είναι matima σε περισσότερες από m περιπτώσεις. Είναι σεβαστό τώρα που ο ισομορφισμός του δέρματος D(q)@D(q") έναντι του D εξαρτάται πλήρως από τη δεδομένη ταυτότητα του q® q". Προφανώς, αν το q πάει στο q "και όλα τα στοιχεία από το D μείνουν επιτόπου, τότε το στοιχείο

3a k q k (yak 0D)

ένοχος πάει στο

και cym σημαίνει ισομορφισμός.

Sokrema, αφού το q είναι ένα διαχωρίσιμο στοιχείο, τότε m = n і, επομένως, ο αριθμός των ισομορφισμών στο κύριο πεδίο επεκτείνεται πιο ομοιόμορφα.

Εάν ναι, εάν το πεδίο είναι σταθερό, το οποίο μπορεί να καλύψει όλα τα πεδία που εξετάζονται, στα οποία μπορούν να βρίσκονται όλες οι ρίζες της εξισορρόπησης δέρματος f (x) = 0 (όπως, για παράδειγμα, στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών) , τότε με την ιδιότητα του W μπορείτε να πάρετε το πεδίο i μια για πάντα Σε αυτό, προσθέστε την προσθήκη του "in the middle of the deaky W" σε όλες τις δηλώσεις σχετικά με τον ισομορφισμό. Ξεκινήστε λοιπόν να επισκευάζετε θεωρητικά αριθμητικά πεδία. Θα θέλαμε να σας υπενθυμίσουμε ότι για τα αφηρημένα πεδία μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε το πεδίο W.

Το αναφερόμενο θεώρημα είναι η ακόλουθη δήλωση:

Πώς να επεκτείνετε το S για να βγείτε από το D στις επόμενες αφίξεις m

αλγεβρικά στοιχεία a 1 , ..., a m , επιπλέον, δέρμα πίσω από ένα i , є ρίζα

μη επεκτάσιμο σε D(a 1 , ..., a i-1) ισούται με το μειωμένο στάδιο n" i , τότε

η επέκταση του S μπορεί να είναι ακριβώς ?n i ¢ ισομορφισμοί έναντι του D i με τον ίδιο τρόπο

χωρίς επεκτάσεις μεγαλύτερο αριθμότέτοιοι ισομορφισμοί του πεδίου S.

Φέρνοντας. Για m = 1, το θεώρημα έχει αναπτυχθεί περαιτέρω. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει її για την επέκταση S 1 = D(a 1 , ..., a m-1):

W 1 є ακριβώς n i ¢ ισομορφισμοί του πεδίου S έναντι του D.

Έστω S 1 ®S 1 ένας από τους ισομορφισμούς Õ n i ¢. Υποστηρίζεται ότι με την αντίστροφη σειρά του αντίστροφου πεδίου το κρασί W μπορεί να συνεχιστεί στον ισομορφισμό S = S 1 (am) @ S = S (am) όχι περισσότερο από n_zh n m τρόπους.

Το στοιχείο a m ικανοποιεί την εξίσωση f 1 (x) = 0 έναντι του S 1 με n¢ m διαφορετικές ρίζες. Μετά τον πρόσθετο ισομορφισμό S 1 ® S 1, ο πλούσιος όρος f 1 (x) μπορεί να μεταφραστεί σε έναν άλλο πλούσιο όρο f 1 (x). Ale todі f 1 (x) με ευρέως διευρυμένο τρόπο, αλλά n m διαφορετικές ρίζες και όχι περισσότερες. Αφήστε ένα m - μία από αυτές τις ρίζες. Εξετάζοντας την επιλογή του στοιχείου a m, ο ισομορφισμός S 1 @S 1 είναι τρεις στον ισομορφισμό S (a m) @ S (am) για ένα m ®a m με έναν και μοναδικό τρόπο: ουσιαστικά, η συνέχεια δίνεται από τον τύπο

åc k a m ​​· k ®å c k a m ​​· k

Τα δείγματα της επιλογής του στοιχείου a m μπορούν να οριστούν με n "m τρόπους, χρησιμοποιώντας n" m συνέχεια αυτού του είδους για τον αντίστροφο ισομορφισμό å 1 ® å 1

Οι Oskіlki έχουν τη δική τους γραμμή και αυτός ο ισομορφισμός μπορεί να μετατραπεί

Χ n" i τρόποι,

τότε όλα είναι αληθινά (αυτό το πεδίο W, στο οποίο βρίσκονται όλες οι ρίζες όλων των ίσων, που εξετάζονται)

Õ n" i ×n" m = Õ n" i

ισομορφισμούς της επέκτασης του S πάνω στο πεδίο Δ, που ήταν απαραίτητο να φέρει.

Αν n i είναι ένα πραγματικό (μη ανηγμένο) βήμα του στοιχείου a i πάνω από το D (a 1 ,...,a i-1), τότε n i περισσότερα βήματα της επέκτασης D (a 1 , ... , a i) του πεδίου D(a 1, .. ., a i-1);

otzhe, βήματα (S: ​​D) περισσότερα

Πώς να αντιστοιχίσετε τον αριθμό με τον αριθμό των ισομορφισμών

Ο αριθμός των ισομορφισμών της επέκτασης S = D(a 1 , ... , a m) πάνω από το D (για οποιαδήποτε δεδομένη επέκταση W) είναι ένα πρόσθετο βήμα (S: ​​D) ακόμη και αν μόνο το στοιχείο δέρματος a i μπορεί να διαχωριστεί πάνω από το πεδίο D(a 1 , .. , a i-1). Εάν θέλετε ένα στοιχείο a i να είναι αδιαχώριστο σε ένα ξεχωριστό πεδίο, τότε ο αριθμός των ισομορφισμών είναι μικρότερος από τον βαθμό επέκτασης.

Από την άποψη του θεωρήματος, θα εμφανιστούν αμέσως μερικές σημαντικές παρατηρήσεις. Για εμάς, το θεώρημα δηλώνει ότι η ισχύς του στοιχείου δέρματος a i μπορεί να διαχωριστεί στο μπροστινό πεδίο και η ισχύς της ίδιας της επέκτασης S είναι ανεξάρτητη από την επιλογή των στοιχείων που δημιουργούν a i. Εφόσον ένα πρόσθετο στοιχείο του πεδίου μπορεί να ληφθεί ως πρώτη γενιά, το στοιχείο b φαίνεται να μπορεί να διαχωριστεί, καθώς όλα τα a i είναι έτσι. Πατέρας:

Τα στοιχεία a i , ... ,a n i προστίθενται διαδοχικά στο πεδίο D, το στοιχείο δέρματος a i φαίνεται να διαχωρίζεται πάνω από το πεδίο, αφαιρούμε τα παρακείμενα μπροστινά στοιχεία a 1, a 2 ,...,a i-1 expansion

S = D(a 1 , ... ,a n)

διαχωρίσιμο επί Δ.

Ζόκρεμα, σούμα, λιανικό εμπόριο, τβίρ ότι τα ιδιωτικά διαχωρισμένα στοιχεία είναι διαχωρίσιμα.

Περαιτέρω, δεδομένου ότι το b είναι διαχωρίσιμο στο S και το πεδίο S είναι διαχωρίσιμο πάνω στο D, τότε το στοιχείο b είναι διαχωρίσιμο από το D. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι το b ικανοποιεί τον τελικό αριθμό των συντελεστών a 1 , ... , a m z Το S i, πάλι, διαχωρίζεται πάνω από το D (a 1, ..., a m). Ο ίδιος ο Tim διαχωρίσιμη επέκταση

D (a 1, ..., a m, b).

Nareshti, μπορεί να δοθεί η ίδια θέση: ο αριθμός των ισομορφισμών μιας τερματικής διαχωρίσιμης επέκτασης S πάνω από ένα πεδίο D σε υψηλότερο βαθμό επέκτασης (S: D).

4. Απεριόριστη επέκταση της άρδευσης.

Το δερματικό πεδίο αναδύεται από το απλό υποπεδίο του για τη βοήθεια του τελικού chi της ανεξάντλητης διαστολής. Σε αυτή τη διαίρεση, φαίνονται αναρίθμητες επεκτάσεις πεδίων, πρώτα από όλα αλγεβρικές και μετά υπερβατικές.

4.1. Αλγεβρικά κλειστά πεδία

Ανάμεσα στην επέκταση της άλγεβρας ενός δεδομένου πεδίου, σημαντικό ρόλο παίζει, ιδιαίτερα, η μέγιστη επέκταση της άλγεβρας, ώστε να μην επιτραπεί περαιτέρω επέκταση της άλγεβρας. Ο λόγος για τέτοιες επεκτάσεις θα αναφερθεί στην παρούσα παράγραφο.

Προκειμένου το πεδίο W να είναι η μέγιστη προέκταση της άλγεβρας, είναι απαραίτητο να προωθηθεί το μυαλό: το πολυώνυμο δέρματος του κύκλου W[x] μπορεί να αποσυντεθεί σε γραμμικούς πολλαπλασιαστές. Tsya μυαλό είναι αρκετό. Πράγματι, εφόσον ένα πολυώνυμο δέρματος σε W[x] αποσυντίθεται σε γραμμικούς πολλαπλασιαστές, τότε όλα τα απλά πολυώνυμα στο W[x] είναι γραμμικά και τα στοιχεία δέρματος οποιασδήποτε επέκτασης της άλγεβρας W του πεδίου W φαίνεται να είναι η ρίζα οποιουδήποτε γραμμικός πλούσιος όρος x - a σε W[x] , δηλαδή λειτουργεί με το πραγματικό στοιχείο a του πεδίου W.

Για αυτό το damo είναι η ίδια μοίρα:

Το πεδίο W ονομάζεται κλείσιμο της άλγεβρας, επειδή οποιοδήποτε πολυώνυμο στο W [x] μπορεί να αποσυντεθεί σε γραμμικούς παράγοντες.

Εξίσου σημαντικό είναι το εξής: το πεδίο W είναι αλγεβρικά κλειστό, έτσι ώστε το πολυώνυμο σε W[x] να μπορεί να είναι ένα διακριτό πολυώνυμο σε W[x] με μία μόνο ρίζα, δηλαδή με έναν μόνο γραμμικό πολλαπλασιαστή σε W[x] .

Πράγματι, ως τόσο έξυπνο vikonan και αρκετά πολλές λήψεις, το πολυώνυμο f (x) αποσυντίθεται σε παράγοντες που δεν αποσυντίθενται, τότε φταίει όλη η δυσοσμία αλλά γραμμική.

Το «Βασικό Θεώρημα της Άλγεβρας» δηλώνει ότι το πεδίο των μιγαδικών αριθμών είναι αλγεβρικά κλειστό. Μια πλησιέστερη άκρη ενός αλγεβρικά κλειστού πεδίου μπορεί να είναι το πεδίο όλων των μιγαδικών αλγεβρικών αριθμών, έτσι ώστε οι απρόσωποι μιγαδικοί αριθμοί, όπως να ικανοποιούνται με κάθε είδους ισότητα με ορθολογικούς συντελεστές. Η μιγαδική ρίζα είναι ίση με τους συντελεστές της άλγεβρας є και πραγματικά αλγεβρική όχι μόνο στο πεδίο των αλγεβρικών αριθμών, αλλά και στο πεδίο ρητοί αριθμοί, δηλαδή οι ίδιοι είναι αλγεβρικοί αριθμοί.

Εδώ θα δείξουμε πώς να επάγουμε μια κλειστή αλγεβρική επέκταση ενός επαρκώς δεδομένου πεδίου P και με καθαρά αλγεβρικό τρόπο. Ο Στάινιτς να ξαπλώσει έτσι

Κύριο θεώρημα. Για το πεδίο δέρματος P, μια κλειστή αλγεβρική επέκταση της άλγεβρας W. Ακριβώς μέχρι την ισοδυναμία, η επέκταση ορίζεται μοναδικά: εάν υπάρχουν δύο αλγεβρικά κλειστές αλγεβρικές προεκτάσεις W, W "του πεδίου P είναι ισοδύναμες.

Η απόδειξη αυτών των θεωρημάτων οφείλεται στο πλεόνασμα του lem:

Λήμμα 1. Έστω W, επέκταση του πεδίου άλγεβρας P. Αρκετό μυαλόΠροκειμένου το W να είναι ένα κλείσιμο της άλγεβρας, є επέκταση σε γραμμικούς συντελεστές οποιουδήποτε πολυωνύμου σε P[x] στον δακτύλιο W[x].

Φέρνοντας. Έστω f(x) ένα επιπλέον πολυώνυμο από το W[x]. Εάν το vin δεν αποσυντεθεί σε γραμμικούς πολλαπλασιαστές, τότε μπορεί κανείς να πάρει μια ρίζα a i για να φτάσει στο ανώτερο υπερπεδίο W. Το στοιχείο a είναι αλγεβρικό έναντι του W και το W είναι μια επέκταση της άλγεβρας του πεδίου P, η ρίζα του επόμενο πολυώνυμο g(x) σε P[x]

Λήμμα 2. Εάν το πεδίο P είναι ολιστικά διατεταγμένο, τότε ο δακτύλιος των πολυωνύμων P[x] μπορεί να ταξινομηθεί ολιστικά και στο βαθμό που αυτό το διατεταγμένο πεδίο P θα είναι τριπλάσιο.

Φέρνοντας. Αλλάξτε σημαντικά τη σειρά μεταξύ των πολυωνύμων f(x) στο P[x] ως εξής: έστω f(x)

1) το βήμα f(x) είναι ένας μικρότερος τύπος βήματος g(x).

2) βήμα f(x) περισσότερο βήμα g(x) και περισσότερο n, τότε.

f(x) = a 0 x n + ...+ a n , g (x) = b 0 x n + ... + b n

i για τον επόμενο δείκτη k:

και i = b i για i

ένα κ

Αν ναι, για το πολυώνυμο 0, αποδίδεται η κατηγορία: του αποδίδεται ένα βήμα 0. Είναι προφανές ότι ένας τέτοιος τρόπος να βγει στη σειρά είναι, για την έννοια του οποίου το P [x] είναι πλήρως διατεταγμένο. Θα εμφανιστεί ως εξής: στον πληθυντικό του δέρματος μη-κενό πληθυντικών τμημάτων, υπάρχει ένα μη κενό υποπολλαπλάσιο πλούσιων τμημάτων του μικρότερου βαθμού. Σε κάθε υποπολλαπλάσιο, υπάρχει ένα μη κενό υποπολλαπλάσιο πλούσιων όρων, ο συντελεστής είναι 0, ο οποίος είναι ο πρώτος με την έννοια της κύριας τάξης του μέσου των μεγάλων τμημάτων του πλούσιοι όροι, που εξετάζονται· στο καθορισμένο υποπολλαπλάσιο є έχει τη δική του γραμμή υποπολλαπλασιαστή πλούσιων όρων με πρώτο το 1 και ούτω καθεξής. αυτό το πολυώνυμο είναι το πρώτο στοιχείο του δεδομένου πολλαπλασιαστή.

Λήμμα 3. Εάν το πεδίο P είναι ταξινομημένο ως σύνολο, ο πλούσιος όρος f(x) του σταδίου n і n σύμβολα a 1 ..., a n τότε το πεδίο P (a 1 ,..., a n), στο το οποίο f(x) θα επεκταθεί σε γραμμικούς πολλαπλασιαστές

Õ(x-a i), θα είναι μια ενιαία τάξη και ένα σύνολο

Σειρά. Πεδίο P σε sensi tsiy є vіdrіzkom.

Φέρνοντας. Προσθέτουμε τη ρίζα a 1 ..., a n διαδοχικά, μετά την οποία P = P 0 κερδίζουμε διαδοχικά τα πεδία Р 1 , ..., Р n . Ας υποθέσουμε ότι R i-1 = P(a 1 ..., a i-1) - το πεδίο έχει ήδη προκληθεί και ότι το P είναι συμβόλαιο με το R i-1. τότε το R i θα είναι έτσι.

Πριν από το πρόβλημα 2, ο δακτύλιος των πολυωνύμων Р i-1 [x] ταξινομείται σε ένα σύνολο. Το πολυώνυμο f αποσυντίθεται σε κάθε kіltsi σε αξεδιάσπαστους παράγοντες, το μέσο των οποίων είναι η πρώτη θέση x - a 1 ,..., x - a i-1 ; μεταξύ των άλλων πληθυντικών, έστω f i (x) πρώτο με την έννοια της καθαρής σειράς. Μαζί με το σύμβολο a i, που δηλώνει τη ρίζα του πλούσιου όρου f i (x), δηλώνουμε το πεδίο P i = P i -1 ως το σύνολο των αθροισμάτων

de h είναι το βήμα του πλούσιου όρου f i (x). Εάν η f i (x) είναι γραμμική, τότε, φυσικά, σεβόμαστε το P i = P i -1; ο χαρακτήρας a i δεν χρειάζεται. Ενθαρρύνετε το πεδίο στο σύνολό του να διαταχθεί για πρόσθετη επιθετική νοημοσύνη: το στοιχείο δέρματος του γηπέδου

ίσως ένα πλούσιο μέλος

Και τα στοιχεία του πεδίου διατάσσονται με τον ίδιο τρόπο, όπως και η διάταξη των πλούσιων όρων τους.

Προφανώς, το ίδιο Р i-1 είναι σε σχέση με το Р i, και με αυτό το ι P - σε σχέση με το Р i.

Tim τα ίδια τα πεδία P 1 ,..., P n παρακινούνται από μια ολόκληρη σειρά. Το πεδίο Р n μπορεί να αναζητηθεί μοναδικά από το πρώτο πεδίο P(a 1 ,..., a n).

Λήμμα 4

Φέρνοντας. Για οποιαδήποτε δύο στοιχεία a, b, συνδυάστε δύο πεδία S a , S b , έτσι ώστε να αντικαταστήσετε τα a, b και από οποιοδήποτε ένα πριν από το άλλο. Στο βραχνό πεδίο, τα στοιχεία a + b και a × b αντιστοιχίζονται στα στοιχεία του πεδίου δέρματος, έτσι ώστε τα α και β να μπορούν να εκδικηθούν, αφού δύο τέτοια πεδία είναι το ένα μπροστά από το άλλο και το υποπεδίο yogo. Για παράδειγμα, να φέρει το νόμο της συνειρμικότητας

ab g = a bg,

γνωρίζουμε τα μεσαία πεδία S a , Sb, S g εκείνα που καλύπτουν δύο άλλα πεδία (το μεγαλύτερο). σε ποιο πεδίο υπάρχει a, b και g i στο νέο νόμο της συνειρμότητας vikonano. Με τον ίδιο τρόπο, αναθεωρούνται οι κανόνες reshta για τον υπολογισμό των στοιχείων της ένωσης.

Η απόδειξη του κύριου θεωρήματος χωρίζεται σε μέρη: το υποπεδίο W και η απόδειξη της ενότητας.

Τα πεδία Pobudov W. Λήμμα 1 αποδεικνύουν ότι για μια φαινομενικά αλγεβρικά κλειστή επέκταση W του πεδίου P αρκεί να προκληθεί μια τέτοια επέκταση της άλγεβρας του πεδίου P, έτσι ώστε το πολυώνυμο στο P[x] να μπορεί να επεκταθεί σε αυτές τις επεκτάσεις σε γραμμικούς πολλαπλασιαστές.

1. Το πεδίο P f є ob'ednannyam πεδίο P і όλα τα πεδία S g για το g

2. Το πεδίο P f είναι διατεταγμένο με τέτοιο τρόπο ώστε το P και όλα τα πεδία S g με g

3. Το πεδίο S f προέρχεται από το R f στις δεδομένες ρίζες του πλούσιου όρου f μετά τα πρόσθετα σύμβολα a 1 ,..., a n ισχύει μέχρι το lemi 3.

Είναι απαραίτητο να δηλωθεί ότι με αυτόν τον τρόπο ολόκληρη η σειρά των πεδίων Р f , S f μπορεί να εκχωρηθεί ρητά από ολόκληρο το πεδίο παραγγελίας, καθώς και όλα τα προς τα εμπρός Р g , S g έχουν ήδη εκχωρηθεί συχνότερα.

Yakshcho vikonano 3, και στη συνέχεια έγινε nasampered P f - vіdrіzok S f . Z ogo i vimogi 2 βλέπουμε ότι το πεδίο P i δέρμα πεδίο S g (g

Р - vіdrіzok S h στις h

S g - διπλό S h στο g

Ακούγεται σαν πεδία P i S h (h β, το yak μπορεί να αποθηκευτεί στο Pf. Η ίδια σειρά είναι μία και η ίδια σε όλα τα πεδία P abo S g yak yak yak a, so ib, σε εκείνο το πεδίο όλων ts є v_drіzkami ένα από ένα. Otzhe, έχει οριστεί η ρύθμιση κατά παραγγελία. Όσοι είναι τελείως διαταγμένοι απρόσωποι, προφανώς, έτσι ώστε το δέρμα να μην είναι άδειο απρόσωπο x σε Р f για να εκδικηθεί τουλάχιστον ένα στοιχείο του έργου του πεδίου deyakogo S g, και αυτό είναι το πρώτο στοιχείο του x x Ç Εργασία x Ç S σολ. Αυτό το στοιχείο είναι μία ώρα є i το πρώτο στοιχείο x.

Κοιτάζοντας το μυαλό σας 3, το πολυώνυμο f(x) αποσυντίθεται και πάλι σε γραμμικούς παράγοντες στο πεδίο S f . Περαιτέρω, μετά τη βοήθεια της διαπερατής επαγωγής, φαίνεται ότι το S f είναι αλγεβρικό έναντι του P. Πράγματι, υποτίθεται ότι όλα τα πεδία S g (g

Τώρα αποθηκεύουμε την πισίνα W όλων των πεδίων Sf; zgіdno z lemoy 4 κέρδισε є πεδίο. Ολόκληρο το πεδίο είναι αλγεβρικά πάνω από το P και όλοι οι πλούσιοι όροι f επεκτείνονται πάνω του (τα μικρού μεγέθους πολυώνυμα f έχουν ήδη επεκταθεί πάνω από το S f). Επίσης, το πεδίο W είναι αλγεβρικά κλειστό (Λήμα 1).

Η ενότητα του πεδίου W. Έστω W και W" δύο πεδία που είναι αλγεβρικές και κλειστές αλγεβρικές προεκτάσεις του πεδίου P. Ας φέρουμε την ισοδυναμία αυτών των πεδίων. θεωρείται επίσης από ένα από αυτά τα ορίσματα) υποπολλαπλάσια ¢ στο W " και κάποιο ισομορφισμό

P(Â) @ P(¢).

Το υπόλοιπο Μάιο θα είναι ικανοποιημένο με το επερχόμενο επαναλαμβανόμενο spiving.

1. Ο ισομορφισμός P(Â) @ P(¢) οφείλεται στην εξάντληση του στοιχείου δέρματος του πεδίου P στο πεδίο.

2. Ο ισομορφισμός P(Â) @ P(¢) με ÁÌ Â μπορεί να είναι προέκταση του ισομορφισμού P(Â) @ P(Á").

3. Αν Â είναι το υπόλοιπο στοιχείο a, έτσι ώστε Â = ÁÈ(a), και αν a είναι η ρίζα του πλούσιου όρου f(x) που δεν μπορεί να αποσυντεθεί σε P (Á), τότε το στοιχείο a" είναι κατηγορώ για την πρώτη ρίζα του γένους P(Á) @ P(I"), ένα πολυώνυμο f¢(x) σε ένα καλά διατεταγμένο πεδίο W".

Είναι απαραίτητο να δείξουμε ότι ο ισομορφισμός P(Â) @ P(¢) αποδίδεται αποτελεσματικά με τον ίδιο τρόπο, παρόλο που τα κρασιά είναι ήδη αντιστοιχίσεις για όλα τα εμπρός άκρα του ÁÌ Â. Εδώ είναι απαραίτητο να διακρίνουμε δύο σημεία.

Πρώτη πτώση. Το απρόσωπο  δεν μπορεί να έχει το υπόλοιπο στοιχείο. Το ίδιο δερμάτινο στοιχείο θα πρέπει να βρίσκεται στην τραγουδιστική μπροστινή βράκα Á. σε εκείνο το  є στα συνδυασμένα ποτίσματα του Á, σε αυτό το P(Â) - στα αθροιστικά χωράφια P(Á) για το ÁÌ Â. Αν τα στοιχεία δέρματος από τους ισομορφισμούς P(Á) @P(Á") προχωρούν από τα προηγούμενα, τότε στο στοιχείο δέρματος a με όλους αυτούς τους ισομορφισμούς δίνεται μόνο ένα στοιχείο α». Επομένως, υπάρχει μία και περισσότερες από μία κλίση P(Â) → P(¢), η οποία συνεχίζει όλους τους μπροστινούς ισομορφισμούς P(Á) → P(Á"), και η ίδια η κλίση a®a". Είναι προφανές ότι είναι ισομορφισμός και συνδυασμός 1 και 2.

Άλλη μια σταγόνα. Ανώνυμο maє υπόλοιπο στοιχείο a; επίσης,  = ÁÈ(a). Τέλος, το στοιχείο a" που σχετίζεται με το στοιχείο a εκχωρείται μοναδικά. Εφόσον το a" στο πεδίο P(I") (με την έννοια του αναλυόμενου ισομορφισμού) ικανοποιεί το "το ίδιο" ασυνεπώς ίσο με το i a έναντι του P(I), τότε ο ισομορφισμός P(I) → P(I") (στην περίπτωση, εάν το I είναι κενό, τότε ο ίδιος ισομορφισμός P®P) ανεβαίνει στον ισομορφισμό P(I, a) ®P(I", a¢ ), όταν το α περνάει στο α». Ο δερματικός ισομορφισμός αναγνωρίστηκε ξεκάθαρα από την υπόδειξη του δέρματος, έτσι η ορθολογική δερματική συνάρτηση j(a) με τους συντελεστές της γενικής γλώσσας περνά στη συνάρτηση j "(a") με τους ισοδύναμους συντελεστές του Α". ) ® Το P(¢) ταιριάζει προφανώς με το 1 και το 2.

Έτσι, ολοκληρώνεται η αντικατάσταση του ισομορφισμού P(Â)→P(¢). Σημαντικά μέσω του W" η γενίκευση όλων των πεδίων P(Β¢), τότε υπάρχει ένας ισομορφισμός P(W)®W" ή W®W", ο οποίος προσθέτει ένα στοιχείο του πεδίου P στο χώρο του δέρματος. Το πεδίο W είναι αλγεβρικά κλειστό, το ίδιο μπορεί και το Buti і W ", και σε αυτό το W" αντιστοιχίζεται με το απαιτούμενο πεδίο W¢.

Η έννοια μιας αλγεβρικά κλειστής επέκτασης ενός δεδομένου πεδίου είναι η ίδια καθώς, μέχρι το σημείο της ισοδυναμίας, είναι δυνατό να ξεπεραστούν οι πιθανές επεκτάσεις του αλγεβρικού πεδίου. Ακριβέστερα:

Εάν το W είναι μια αλγεβρικά κλειστή προέκταση της άλγεβρας του πεδίου P και το S είναι μια αρκετά αλγεβρική επέκταση του πεδίου P, τότε στη μέση του W υπάρχει μια γενική επέκταση του S 0, που ισοδυναμεί με μια επέκταση του S.

Φέρνοντας. Μπορούμε να επεκτείνουμε το S σε μια ορισμένη κλειστή αλγεβρική επέκταση W". Θα είναι αλγεβρικό και πάνω από το P, και επομένως ισοδύναμο με μια επέκταση W. Κάτω από οποιονδήποτε ισομορφισμό, προκειμένου να μεταφραστεί το W" σε W, λαμβάνοντας το απαράβατο στοιχείο δέρματος του P, το πεδίο S περνά σε ένα deak ισοδύναμο με το υποπεδίο yoma S 0W.

4.2. Συγχωρήστε την υπερβατική επέκταση.

Το δέρμα είναι απλώς μια υπερβατική επέκταση του πεδίου D, προφανώς ισοδύναμο με το πεδίο του ιδιωτικού D(x) του δακτυλίου των πολυωνύμων D[x]. Σε εκείνο το μι βίβτσιμο τσε ιδιωτικό πεδίο

Τα στοιχεία του πεδίου W είναι ορθολογικές συναρτήσεις

Θεώρημα. Το υπερβατικό στοιχείο h του βήματος n είναι υπερβατικό έναντι του D і το πεδίο D(x) είναι μια επέκταση της άλγεβρας του πεδίου D(h) του βήματος n.

Φέρνοντας. Η υποβολή h = f(x)/g(x) δεν είναι βραχύβια. Το ίδιο στοιχείο x ικανοποιημένο

g(x)×h - f(x)=0

με συντελεστές D(h). Οι αριθμοί των συντελεστών δεν μπορούν να είναι ίσοι με μηδέν. Πράγματι, αν όλες οι βρωμές ήταν ίσες με μηδέν και το ak γράμμα bi στον ίδιο κόσμο x είναι ένας μη μηδενικός συντελεστής του πολυωνύμου g (x) και b k - ένας μη μηδενικός συντελεστής του πολυωνύμου f (x), τότε δεν θα ήταν αρκετό για να είναι ισότιμη η μητέρα

αστέρια h = b k / ak = const, που είναι δεισιδαιμονία. Και πάλι, το στοιχείο x είναι αλγεβρικό πάνω από το D(h).

Εάν το στοιχείο h είναι αν και αλγεβρικό έναντι του D, τότε το x είναι έστω διαλγεβρικό έναντι του D, κάτι που, ωστόσο, δεν είναι έτσι. Και πάλι, το στοιχείο h είναι υπερβατικό έναντι του D.

Το στοιχείο x είναι η ρίζα του πλούσιου όρου του βήματος n

στο δαχτυλίδι D(h)(z). Αυτό το πολυώνυμο είναι αδιάσπαστο σε D(h)[z], τα θραύσματα είναι επίσης vin bouv bi μπορούν να αποσυντεθούν n στο kіlci D, і, τα θραύσματα του vin είναι γραμμικά σε h, ένα από τα πολλαπλάσια του maw bi δεν είναι δυνατό για κατάθεση h, ή λιγότερο z. Αλλά ένας τέτοιος πολλαπλασιαστής δεν μπορεί να είναι, γιατί τα g(z) και f(z) είναι αμοιβαία απλά.

Επίσης, το στοιχείο x είναι ένα βήμα της άλγεβρας n πάνω από το πεδίο D(h). Τα αστέρια είναι συμπαγή, άρα (D(x) : D(h)) = n

Για έναν πιο κακότροπο, είναι σημαντικό ότι ένα πλούσιο μέλος

Δεν υπάρχουν πολλαπλάσια που να μπορούν να βρίσκονται μόνο κοντά στο z (να βρίσκονται κοντά στο D[z]). Η στερεοποίηση Tse παρακάμπτεται, εάν το h αντικατασταθεί από τις τιμές του f (x) / g (x) και πολλαπλασιαστεί με το banner g (x), εμείς οι ίδιοι είμαστε ένα πολυώνυμο.

g(z)f(x) - f(z)g(x)

kіltsya D δεν υπάρχουν πολλαπλασιαστές, πέφτουν μόνο σε vіd z.

Από τα θεωρήματα που αναφέρθηκαν παραπάνω, υπάρχουν τρεις παρατηρήσεις.

1. Το βήμα συνάρτησης h - f(х)/g(х) θα πρέπει να κατατεθεί μόνο στα πεδία D(h) και D(x), και όχι στην επιλογή άλλου στοιχείου που δημιουργεί το x.

2. Rivnist D(h) = D(x) είναι μικρότερο από το ίδιο, αν το h είναι μικρότερο από 1, τότε είναι μια γραμμική συνάρτηση βολής. Tse σημαίνει: το γονικό στοιχείο του πεδίου, το crim του στοιχείου x, μπορεί να είναι μια κλασματική-γραμμική συνάρτηση όπως το x και μόνο μια τέτοια συνάρτηση.

3. Οποιοσδήποτε αυτομορφισμός του πεδίου D(x), που αφήνει ένα στοιχείο του πεδίου D στον καμβά, είναι ένοχος για τη μετάφραση του στοιχείου x σε οποιοδήποτε στοιχείο του πεδίου. Πίσω, αν το x μεταφραστεί σε γονικό στοιχείο x = (ax + b) / (cx + d) και συνάρτηση δέρματος j (x) - y συνάρτηση j (x), τότε εμφανίζεται ένας αυτομορφισμός, όταν όλα τα στοιχεία D έχουν μείνει στο στόχο. Otzhe,

Όλοι οι αυτομορφισμοί του πεδίου D(x) πάνω από το πεδίο D είναι γραμμικές αντικαταστάσεις

x = (ax+b)/(cx+d), ad – bc ¹ 0.

Σημαντικό για ορισμένα γεωμετρικά επιτεύγματα

Το θεώρημα του Lurot. Το δέρμα-ενδιάμεσο πεδίο S, για το οποίο το DÌSID(x) είναι απλές υπερβατικές επεκτάσεις: S = D(q).

Φέρνοντας. Το στοιχείο x είναι ένοχο ότι είναι αλγεβρικό έναντι του S, γιατί αν h - αν κάποιο στοιχείο του S δεν ανήκει στο πεδίο D, τότε, όπως φάνηκε, το στοιχείο x είναι αλγεβρικό έναντι του D (h) και ακόμη περισσότερο αλγεβρικό στο S S [z] πλούσιος όρος με ανώτερο συντελεστή 1 και ρίζα x μπορεί να φαίνεται

f 0 (z) \u003d z n + a 1 z n -1 + ... + a n. (ένας)

Το πλούσιο μέλος του Z'yasuєmo Budov.

Στοιχεία a i є ορθολογικές συναρτήσεις x. Για τη βοήθεια του πολλαπλασιασμού με ένα πανό ύπνου του їх, μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε με πολλές ορθολογικές συναρτήσεις και, επιπλέον, να πάρετε έναν πλούσιο όρο όπως x іz αντί για 1:

f(x, z) = b 0 (x) z n + b 1 (x) z n-1 + ... + b n (x).

Τα βήματα του πολυωνύμου είναι σημαντικά ως προς το m και στο z - ως προς το n.

Οι συντελεστές a i \u003d b i / b 0 z (1) δεν μπορούν να είναι ανεξάρτητοι στο x, έτσι ώστε το x να εμφανίζεται διαφορετικά ως αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το D. ένας από αυτούς, ας πούμε,

q = a i = b i (x) / b 0 (x),

είναι πραγματικά ένοχος για κατάθεση vіd x? Ας γράψουμε τη γιόγκα με μια σύντομη ματιά:

Τα βήματα των πολυωνύμων g(x) και h(x) δεν υπερβαίνουν το m. Πολυώνυμο

g(z) - qh(z) = g(z) – (g(x)/h(x))h(z)

(που δεν είναι το ίδιο μηδέν) αν ρίζα z = x, τότε το vin διαιρείται με το f 0 (z) στον δακτύλιο S[z]. Εάν θέλετε να μεταβείτε από το thir rational ως προς τους όρους x πλούσιους στο tsilih με τους x πλούσιους όρους με το zmist 1, τότε θα πρέπει να αποθηκεύσετε τη διαιρετότητά σας και θα το πάρουμε

h(x)g(z)-g(x)h(z) = q(x, z)f(x, z).

Το αριστερό μέρος αυτής της ισοτιμίας έχει βήματα κατά μήκος του x, αλλά δεν μετακινείται t. Ο Ale στα δεξιά είναι ήδη ένα πλούσιο μέλος του f stupіn t; otzhe, τα βήματα του αριστερού τμήματος είναι ακριβώς παλιά και το q(x, z) δεν βρίσκεται στο x. Ωστόσο, είναι αδύνατο να καταθέσετε λιγότερο από έναν πολλαπλασιαστή z για να διαιρέσετε το αριστερό μέρος (διαιρ. περισσότερα). στο ότι το q(x, z) είναι σταθερά:

h(x)g(z)-g(x)h(z) = qf(x, z).

Δεδομένου ότι η παρουσία της σταθεράς q δεν παίζει ρόλο, το πολυώνυμο του Budov f(x, z) περιγράφεται πλήρως. Τα βήματα του πολυωνύμου f(x, z) στο x είναι πιο προχωρημένα (με τη συμμετρία της συμμετρίας) και τα βήματα του z είναι πιο προχωρημένα, άρα m = n. m, αργότερα, η συνάρτηση i q οφείλεται στη μητέρα βημάτων m x.

Tim εαυτό μας, τα θραύσματα από τη μία πλευρά είναι ίσα

(D(x):D(q)) = m,

και για τα υπόλοιπα - ζήλια

αυτά τα θραύσματα για να εκδικηθούν τον D(q),

Visnovok.

Τα ρομπότ έμοιαζαν έτσι, δείτε την επέκταση του αριθμητικού πεδίου P:

Μια απλή επέκταση της άλγεβρας πεδίου.

Επέκταση αποθήκης πεδίου άλγεβρας.

Διαχωρίσιμες και αχώριστες προεκτάσεις.

Απεριόριστη επέκταση ποτίσματος.

Αναλύοντας το έργο, μπορείτε να δημιουργήσετε αδύναμα visnovki.

Ο Z εξέτασε τα δύο πρώτα μέρη της επέκτασης, όπως:

απλή επέκταση της άλγεβρας.

τέλος επέκταση?

επέκταση της αποθήκης της άλγεβρας.

Στη συνέχεια, αν δείτε τις επεκτάσεις zbіgayutsya і, zokrema, σχεδιάζονται με απλές αλγεβρικές επεκτάσεις του πεδίου P.

Κατάλογος αναφορών

1. L.Ya. Kulikiv. Άλγεβρα και θεωρία αριθμών. - Μ.: Βισς. Σχολείο, 1979.-528-538s.

2. Β.Λ. Van der Waerden. Άλγεβρα.- Μ., 1976 - 138-151δ., 158-167σ., 244-253σ.

3. Ε.Φ. Shmigiryov, S.V. Ιγνάτοβιτς. Θεωρία πλούσιων όρων. - Mosir 2002.

Για την προετοιμασία αυτής της εργασίας, συγκεντρώσαμε υλικά από τον χώρο