Αλγεβρικοί και υπερβατικοί αριθμοί. υπερβατικοί αριθμοί υπερβατικοί αριθμοί

δηλαδή για a = 1 μας εξυπηρέτησε ο σκοπός του αθροίσματος της γεωμετρικής προόδου. Υποθέτοντας ότι το θεώρημα Gauss έχει αποδειχθεί, υποτίθεται ότι a = a 1 είναι ίση ρίζα (17),

Λαμβάνοντας υπόψη τους όρους virase s f(x) και την ανασυγκρότηση όρων, λαμβάνουμε υπόψη την ομοιότητα

f(x) = f(x) − f(a1) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1).

(21) Τώρα καθαρίζοντας τον τύπο (20), μπορούμε να δούμε τον πολλαπλασιαστή x − a 1 από το μέλος δέρματος και μετά να κατηγορήσουμε τον Yogo για το τόξο, επιπλέον, τα πόδια του πλούσιου μέλους, που έχει μείνει στα τόξα, γίνονται ένα πιο λιγο. Συγκεντρώνοντας νέα μέλη, αφαιρούμε την ομοιότητα

f(x) = (x − a1 )g(x),

όπου g(x) είναι ένας πλούσιος όρος του βήματος n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1x + b0.

(Ο υπολογισμός των συντελεστών, που είναι γνωστοί μέσω του b, είμαστε εδώ για να ονομαστεί.) Είναι απαραίτητο να αποστασιοποιήσουμε τον ίδιο ακριβώς υπολογισμό από το πολυώνυμο g (x). Σύμφωνα με το θεώρημα του Gauss, η τετραγωνική ρίζα a2 ισούται με g(x) = 0, έτσι ώστε

g(x) = (x − a2 )h(x),

όπου h(x) είναι ένα νέο πολυώνυμο του βήματος n − 2. Επανάληψη n − 1 φορές

Από την ομοιότητα (22) όχι μόνο αυτοί που είναι μιγαδικοί αριθμοί a1, a2,

Το An είναι η ουσία της ρίζας του ίσου (17), και εκείνων που δεν έχουν άλλες ρίζες του ίσου (17). Είναι αλήθεια ότι ο αριθμός yakbi y ήταν η ρίζα του ίσου (17), και στη συνέχεια το s (22) γλίστρησε bi

f(y) = (y - a1) (y - a2). . . (y - an) = 0.

Ale mi bachili (σελ. 115) ότι η πρόσθεση μιγαδικών αριθμών στο μηδέν με αυτόν και λιγότερο με αυτόν τον τρόπο, ως ένας από τους πολλαπλασιαστές στο μηδέν. Επίσης, ένας από τους πολλαπλασιαστές y−ar είναι ίσος με 0, άρα y = ar, που είναι απαραίτητο να τεθεί.

§ 6.

1. Ο σκοπός είναι αυτός ο διατροφικός λόγος. Οποιοσδήποτε αριθμός x ονομάζεται αλγεβρικός αριθμός.

130 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΡΙΘΜΩΝ κεφ. II

de αριθμοί αι αριθμοί. Έτσι, για παράδειγμα, ο αριθμός 2 είναι αλγεβρικός, σε αυτόν που είναι ευχαριστημένος με ίσο

x2 − 2 = 0.

Στην ίδια τάξη αλγεβρικού αριθμού, είτε υπάρχει ρίζα, είτε είναι ίση, με ολόκληρους συντελεστές του τρίτου, τέταρτου, πέμπτου, είτε είναι ο κόσμος, και ανεξάρτητα, επιπλέον, μπορεί να εκφραστεί ή όχι από τους ριζοσπάστες. Η έννοια του αλγεβρικού αριθμού είναι μια φυσική κατανόηση της έννοιας του ρητού αριθμού, με τρόπο που επιβεβαιώνει την πτώση του okremy n = 1.

Δεν είναι κάθε πραγματικός αριθμός αλγεβρικός. Tse vipliva z προσβλητικό, με τον Kantor, θεωρήματα: η απροσωπία όλων των αριθμών της άλγεβρας του rachunkiv. Μπο μπέζλιχ ουσίχ αριθμούς ημερώνείναι δυσδιάκριτο, τότε το obov'yazkovo πρέπει να χρησιμοποιήσει τους πραγματικούς αριθμούς, καθώς δεν είναι αλγεβρικοί.

Ας επισημάνουμε μια από τις μεθόδους επίλυσης απρόσωπων αλγεβρικών αριθμών. Δέρμα ίσο με την εμφάνιση (1) ίσο με τον αριθμό στόχο

h = | ένα | + | an-1 | +. . . + | a1 | + | a0 | +n,

για χάρη του στυλ, το λέμε «υψηλό» ίσο. Μέχρι το δέρμα σταθερή τιμή n είναι μόνο ο τελευταίος αριθμός ίσος με τη μορφή (1) με το ύψος h. Το δέρμα από τέτοιες ίσες μπορεί να είναι περισσότερες από n ρίζες. Για αυτό, είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί μόνο ο τελευταίος αριθμός αριθμών της άλγεβρας, οι οποίοι δημιουργούνται από ίσους με ύψος h. πατέρα, τα πάντα αλγεβρικοί αριθμοίμπορείτε να roztashuvati στη θέα της ακολουθίας, ξεπερνώντας το κεφάλι τους, καθώς γεννιούνται από τα ίσα του ύψους 1 τότε - ύψους 2 και ούτω καθεξής.

Αυτή η απόδειξη της ταυτότητας των απρόσωπων αλγεβρικών αριθμών θέτει τη βάση των πραγματικών αριθμών, καθώς δεν είναι αλγεβρικοί. Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται υπερβατικοί (από το λατινικό transcendere - μεταβείτε, αναποδογυρίστε). Ο Όιλερ του έδωσε ένα τέτοιο όνομα, που βρωμάει «για να ανατρέψει τη στεγανότητα των μεθόδων της άλγεβρας».

Η απόδειξη του Κάντορ για τη θεμελίωση των υπερβατικών αριθμών δεν βρίσκεται πριν από τους εποικοδομητικούς. Θεωρητικά, είναι δυνατό να προκληθεί ένας υπερβατικός αριθμός για μια πρόσθετη διαγώνια διαδικασία, η οποία εκτελείται σε μια ρητή λίστα δεκάδων επεκτάσεων όλων των αριθμών της άλγεβρας. Αλλά μια τέτοια διαδικασία δεν είχε καμία πρακτική σημασία και δεν θα οδηγούσε σε έναν αριθμό που θα μπορούσε να γραφτεί στις δεκάδες (ή σε οποιοδήποτε άλλο) ντριμπ. Τα περισσότερα από τα προβλήματα που σχετίζονται με τους υπερβατικούς αριθμούς σχετίζονται με την απόδειξη ότι οι peevn, συγκεκριμένοι αριθμοί (εδώ είναι οι αριθμοί p και e, σχετικά με τη διαιρ. 319-322) είναι υπερβατικοί.

**2. Το θεώρημα του Λιουβίλ και η κατασκευή των υπερβατικών αριθμών. Η απόδειξη της θεμελίωσης των υπερβατικών αριθμών δόθηκε ενώπιον του Cantor από τον J. Liouville (1809–1862). Μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε πραγματικά παραδείγματα τέτοιων αριθμών. Η απόδειξη του Lіouvil είναι πιο σημαντική, χαμηλότερη από την απόδειξη του Cantor, και δεν προκαλεί έκπληξη, θραύσματα να κατασκευάζουν έναν πισινό, φλεγμονώδη φαινομενικά, διπλωμένο, χαμηλότερα για να φέρουν το θεμέλιο. Πιο χαμηλά είναι η απόδειξη του Liouville, ίσως μοιάζει λιγότερο με εκπαιδευμένο αναγνώστη, που θέλει να κατανοήσει την απόδειξη με επαρκή γνώση των στοιχειωδών μαθηματικών.

Όπως έδειξε ο Lіouville, οι παράλογοι αλγεβρικοί αριθμοί έχουν αυτή την ισχύ που δεν μπορούν να προσεγγιστούν με ορθολογικούς αριθμούς με ήδη μεγάλο βαθμό ακρίβειας, απλά μην πάρετε τα λάβαρα των κλασμάτων που προσεγγίζουν, εξαιρετικά μεγάλα.

Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός z ικανοποιεί την εξίσωση της άλγεβρας με ακέραιους συντελεστές

αλλά δεν σε ικανοποιεί μια τέτοια ισοπέδωση του κάτω σκαλοπατιού. Todi

φαίνεται ότι το ίδιο το x είναι ο αριθμός της άλγεβρας του βαθμού n. Έτσι, για παράδειγμα,

ο αριθμός z = 2 είναι ο αριθμός του επιπέδου 2 της άλγεβρας, έτσι ώστε το επίπεδο x2 − 2 = 0√ να ικανοποιείται με το επίπεδο 2, αλλά όχι το επίπεδο του πρώτου επιπέδου να μην ικανοποιείται. ο αριθμός z = 3 2 - βήμα 3, που ικανοποιείται με x3 - 2 = 0, αλλά δεν ικανοποιείται (όπως δείχνουμε στην ενότητα III) με το κάτω βήμα. Αλγεβρικός αριθμός του βήματος n > 1

δεν μπορεί να είναι ορθολογικός, γιατί ο ρητός αριθμός z = p q

ικανοποιεί το επίπεδο qx − p = 0 βήμα 1. Δέρμα παράλογος αριθμόςΤο z μπορεί, με κάποιο βαθμό ακρίβειας, να προσεγγιστεί με έναν επιπλέον ρητό αριθμό. δεν σημαίνει ότι μπορείτε πάντα να υποδεικνύετε την ακολουθία ρητών αριθμών

p1, p2,. . .

q 1 q 2

δεν περιβάλλεται από αναπτυσσόμενα πανό, που ο Volodya Tim-

τι τι

p r → z. qr

Το θεώρημα του Liouville είναι συγκλονιστικό: αν δεν υπήρχε αριθμός άλγεβρας z του βήματος n > 1, δεν θα μπορούσε να είναι πιο κοντά σε έναν επιπλέον ορθολογικό

για να τελειώσει το μεγάλο bannermen obov'yazkovo vykonuetsya nerіvnіst

Επιλέγουμε να αποδείξουμε το θεώρημα και νωρίτερα θα φανεί πώς μπορούν να ληφθούν υπερβατικοί αριθμοί για πρόσθετη βοήθεια. Ας δούμε τον αριθμό

z = a1 10-1! + α2 10-2! + a3 10-3! +. . . + π.μ. · 10−μ! +. . . = = 0,a1 a2 000a3 000000000000000000a4 000. . . ,

de ai σημαίνει ορισμένους αριθμούς από το 1 έως το 9 (θα ήταν ευκολότερο να βάλουμε όλους τους ai ίσους με 1), και το σύμβολο n! . . n. Η χαρακτηριστική ισχύς της δέκατης κατανομής ενός τέτοιου αριθμού είναι αυτοί που είναι ομάδες, που γρήγορα μεγαλώνουν πίσω από την ντοζίνα τους, τα μηδενικά σύρονται στο νέο με ψηφία okremi, που μοιάζουν με μηδέν. Σημαντικά μέσω zm, το τέλος του δέκατου drіb, το οποίο διευθετείται, εάν όλα τα μέλη ληφθούν στη διάταξη μέχρι π.μ. · 10−m! περιεκτικός. Ο Τόντι διώξε τη νευρικότητα

Ας υποθέσουμε ότι z είναι ο αριθμός της άλγεβρας του βήματος n. Todi, σεβόμενος τη νευρικότητα του Lіouville (3) pq = zm = 10pm! , είμαστε ένοχες μητέρες

|z - zm | > 10(n+1)m!

σε υψηλές τιμές m. Σύγκριση της υπόλοιπης ανομοιομορφίας με τη νευρικότητα (4) ναι

ακολουθούν τα αστέρια (n + 1) m! > (m + 1)! − 1 για μεγάλο m. Η Alece κάνει λάθος για τιμές m μεγαλύτερες από n (ας προσπαθήσει ο αναγνώστης να δώσει μια λεπτομερή απόδειξη αυτού του ισχυρισμού). Δώσαμε σούπερ ευκρίνεια. Επίσης, ο αριθμός z είναι υπερβατικός.

Μένει να ολοκληρώσουμε το θεώρημα του Λιουβίλ. Ας υποθέσουμε ότι z είναι ο αριθμός της άλγεβρας βαθμού n > 1, που ικανοποιεί την εξίσωση (1), έτσι ώστε

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn).

Αντιμετώπιση υβριστικών μερών σε zm − z και πυρήνα με αλγεβρικό τύπο

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

δεχόμαστε:

Εφόσον το zm είναι το σωστό z, τότε όταν φτάσετε στο μεγάλο m, είναι λογικό ο αριθμός zm να λαμβάνεται υπόψη z μικρότερος κατά ένα. Επομένως, για δοσομέτρηση μεγάλου m, μπορείτε να κερδίσετε μια τέτοια χονδρική εκτίμηση:

N|an|(|z|+1)n−1 = M, (7)

Επιπλέον, για να είσαι δεξιόχειρας, ο αριθμός M είναι σταθερός, τα θραύσματα z δεν αλλάζουν κατά τη διαδικασία της απόδειξης. Το Vibero τώρα το δάπεδο είναι υπέροχο, άψογο

κλάσμα z m = p m τυπικό q m υψηλότερο, χαμηλότερο M; επίσης qm

έτσι ώστε ήταν επίσης δυνατό να δούμε τον πολλαπλασιαστή (x − zm ) από το πολυώνυμο f(x), i, επίσης, ο z ικανοποιήθηκε με το επίπεδο του κατώτερου n. Otzhe, f(zm) 6= 0. Αριθμός Ale στο δεξιό μέρος της ισότητας (9) Με τέτοιο τρόπο, zіzstavlennya sіvvіdnіshen (8) και (9) vyplyaє nerіvnіst

ακόμα αποθήκη zmіst zaznachenї θεώρημα.

Με ένα τμήμα μερικών δεκαετιών που απομένουν, η δυνατότητα προσέγγισης αλγεβρικών αριθμών από ορθολογικούς άνοιξε το δρόμο τους πολύ μακριά. Για παράδειγμα, ο Νορβηγός μαθηματικός A. Tue (1863–1922) βρήκε ότι η ανομοιομορφία του Λιουβίλ (3) θα μπορούσε να έχει έναν εκθέτη n + 1 να αντικατασταθεί από έναν μικρότερο εκθέτη n 2 + 1.

Siegel που δείχνει ότι μπορείτε να πάρετε ακόμα μικρότερα (μικρότερα

με μεγαλύτερο n) δείκτης 2 n.

Οι υπερβατικοί αριθμοί ήταν πάντα ένα θέμα, καθώς καθήλωσαν τον σεβασμό των μαθηματικών στον εαυτό τους. Άλε, μέχρι την πρόσφατη ώρα της μέσης της ημέρας, όπως tsіkavі από ισχυρές δυνάμεις, δεν υπήρχαν πολλά τέτοια, εγκαταστάθηκε η υπερβατική φύση ενός τέτοιου bulo. (Λόγω της υπέρβασης του αριθμού p, όπως συμβαίνει στην ενότητα III, υπάρχει η αδυναμία τετραγωνισμού του πάσσαλου με τη βοήθεια ενός χάρακα και μιας πυξίδας.) Στην ομιλία του στο Διεθνές Μαθηματικό Συνέδριο του Παρισιού 1900 r. Ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ ψάλλει τριάντα μαθηματικά

προβλήματα που επιτρέπουν την απλή τυποποίηση, deyakі - navіt zovsіm στοιχειώδες και πιο δημοφιλές, για κάποιο λόγο όχι μόνο δεν ήταν vilіshena, αλλά το navіtі δεν δόθηκε από το κτίριο αλλά το επέτρεψαν οι μαθηματικοί της εποχής tієї. Το Qi "Τα προβλήματα του Χίλμπερτ" έδωσαν ένα δυνατό σήμα αφύπνισης στην ανάπτυξη των μαθηματικών την επόμενη περίοδο. Mayzhe όλες οι βρωμιές επιτρέπονταν βήμα-βήμα, και στις πλούσιες βιπάντκας η βιρισέννια τους οφειλόταν σε ξεκάθαρα εκδηλωμένες επιτυχίες με την έννοια των πιο εξωφρενικών και απαίσιων μεθόδων. Ένα από τα προβλήματα που τόλμησε να αντιμετωπίσει ο απελπισμένος

απόδειξη ότι ο αριθμός

є υπερβατικό (chi wanta b παράλογο). Για τρεις δεκαετίες δεν ήταν δυνατό να ασκηθεί πίεση σε έναν τέτοιο πιντίν να τρέφεται από την πλευρά κάποιου άλλου, κάτι που τροφοδότησε την ελπίδα για επιτυχία. Ο Zreshtoyu, ο Zigel και, ανεξάρτητα, ο νεαρός Ρώσος μαθηματικός A. Gelfond ανακάλυψαν νέες μεθόδους για την απόδειξη της υπέρβασης του πλούτου

αριθμοί, που μπορεί να σημαίνει την έννοια των μαθηματικών. Ζόκρεμα, μπούλο παρεμβλήθηκε

υπέρβαση όπως ένας αριθμός Hilbert 2 2 , και ο ακέραιος σε μια μεγάλη κατηγορία αριθμών της μορφής ab , όπου a είναι ένας αλγεβρικός αριθμός, ένας κανόνας είναι 0 και 1 και b είναι ένας παράλογος αλγεβρικός αριθμός.

ΠΡΟΣΘΗΚΗ ΣΤΟ RAZDILU II

Άλγεβρα πολλαπλών

1. Καυτή θεωρία. Η έννοια της τάξης, sukupnostі, chi απρόσωπα αντικείμενα - ένα από τα πιο θεμελιώδη στα μαθηματικά. Το απρόσωπο δηλώνει μια δύναμη διακό («ιδιότητα») Α, για την οποία φταίει είτε η μητέρα είτε όχι η μητέρα του δέρματος που αναλύει το αντικείμενο. αυτά τα αντικείμενα, όπως η δύναμη του Α, συνθέτουν την απροσωπικότητα του Α. Έτσι, όπως βλέπουμε ο σκοπός του αριθμού ότι η δύναμη του Α είναι στο γεγονός ότι συγχωρούμε, τότε η απροσωπία του Α αθροίζεται από τον συνηθισμένο πρώτο αριθμοί 2, 3, 5, 7, . . .

Μαθηματική θεωρίαοι πολλαπλασιαστές προκύπτουν από το γεγονός ότι είναι δυνατό να δημιουργηθούν νέοι πολλαπλασιαστές για πρόσθετες πράξεις (παρόμοια με το γεγονός ότι εμφανίζονται νέοι αριθμοί από αριθμούς για μια πρόσθετη λειτουργία αναδίπλωσης αυτού του πολλαπλασιαστή). Οι πράξεις Vyvchennya στους πολλαπλασιαστές για να γίνουν το θέμα της "πολλαπλής άλγεβρας", καθώς μπορεί να είναι πλούσια συνεπής με μια μεγάλη αριθμητική άλγεβρα, θέλοντας να δούμε γιατί και σε αυτήν. Το γεγονός ότι οι μέθοδοι της άλγεβρας μπορούν να κλιμακωθούν σε σημείο που να συμπεριλαμβάνουν μη αριθμητικά αντικείμενα, όπως απρόσωπα, εικονικά

ένα ρεύμα μεγάλης σύγκλισης ιδεών των σύγχρονων μαθηματικών. Την υπόλοιπη ώρα, ήταν σαφές ότι η άλγεβρα των πολλαπλασιαστών έριχνε νέο φως στην πλούσια μαγεία των μαθηματικών, για παράδειγμα, τη θεωρία του κόσμου και τη θεωρία των φανταστικών πραγμάτων. Η vona korisna είναι επίσης μια ώρα συστηματοποίησης μαθηματικά καταλαβαίνωότι z'yasuvannі їх λογικό zv'yazkіv.

Nadal Εννοώ το deak των postiynu απρόσωπων αντικειμένων, τη φύση ενός τέτοιου baiduzh, και όπως μπορούμε να το ονομάσουμε καθολική απροσωπία (ή το σύμπαν του mirkuvannya) και

Α, Β, Γ, . . . Εάν το I είναι η πληθώρα όλων των φυσικών αριθμών, τότε το Α, ας πούμε, μπορεί να σημαίνει την απουσία όλων των ζευγαρωμένων αριθμών, το Β - την απουσία όλων των μη ζευγαρωμένων αριθμών, το C - την απουσία όλων των πρώτων αριθμών και ούτω καθεξής. , τότε το Α μπορεί να είναι ένα άσκοπο σημείο στη μέση αυτού του στοιχήματος, το Β - ένα άσκοπο σημείο στη μέση ενός άλλου πονταρίσματος και ούτω καθεξής. Ο Μέτα, σαν να ακολουθεί ένα τέτοιο κομμάτι επέκτασης, να σπρώχνει τη σωτηρία αυτής της θέσης, που η αυθεντία του δέρματος Α δείχνει πολλά στοιχεία από το Ι, που θα οδηγήσουν στη δύναμη της εξουσίας. Κατά καιρούς, ως Α є καθολικά vykonuvan αρχή, το άκρο της οποίας μπορείτε να υπηρετήσετε (όπως μπορείτε να βρείτε σχετικά με τους αριθμούς) η εξουσία ικανοποιεί την ασήμαντη ισοδυναμία x = x, τότε στην περίπτωση ενός πολλαπλασιαστή θα είμαι ο εαυτός I, το στοιχείο δέρματος μπορεί να έχει τέτοια εξουσία· από την άλλη πλευρά, ως A є ως εσωτερικά υπερ-ισχυρή δύναμη (στο kshtalt x 6 = x), τότε δεν είναι δυνατό να εκδικηθεί κανείς τα στοιχεία, είναι "άδειο" και συμβολίζεται με ένα σύμβολο.

Φαίνεται ότι ο πολλαπλασιαστής Α είναι ο υποπολλαπλασιαστής του πολλαπλασιαστή Β, εν συντομία, «Το Α μπαίνει στο Β» ή «Β εκδικείται τον Α», επειδή ο πολλαπλασιαστής Α δεν έχει τέτοιο στοιχείο, που δεν είναι ίδιο με τον πολλαπλασιαστή. ΣΙ.

Α Β ή Β Α.

Για παράδειγμα, το απρόσωπο Α όλων των ακέραιων αριθμών, που διαιρείται με το 10, είναι το υποπολλαπλάσιο του απρόσωπου Β όλων των ακέραιων αριθμών, το οποίο διαιρείται με το 5, επομένως ο αριθμός δέρματος, ο οποίος διαιρείται με το 10, διαιρείται επίσης με 5. Το A B δεν περιλαμβάνει το B A. maє mіsce i te y іnshe, τότε

Tse σημαίνει ότι το στοιχείο δέρματος A є ταυτόχρονα το στοιχείο B, і πίσω, οπότε πολλαπλασιάστε τα A και B για να αντικαταστήσετε τα ίδια στοιχεία.

Spivvіdnoshennia A B mizhiny πλούσιο σε τι μαντέψτε spіvіdnoshennia a 6 b mizh αριθμούς. Ζόκρεμα, προφανώς ιχνογραφημένο

φυσώντας τη δύναμη αυτής της spіvvіdnoshennia:

1) Α Α.

2) Αν ΑΒ και ΒΑ, τότε Α = Β.

3) Όπως το Α Β και το Β Γ, μετά το Α Γ.

Για λόγους spіvvіdnoshennia AB μερικές φορές ονομάζονται "κατά παραγγελία". Golovna Vidmіnniy Analized SPIVVISHENYNYA VID SPIVVISHENYNYA A 6 b MIZH στους αριθμούς Polega στο ένα, pijami οι τελετές (diSny) οι αριθμοί a і b δεν είναι με τον ίδιο τρόπο ο ανάλογος ισχυρισμός είναι λάθος. Για παράδειγμα, ότι το Α είναι απρόσωπο, το οποίο αποτελείται από τους αριθμούς 1, 2, 3,

και το Β είναι ένας πολλαπλασιαστής, ο οποίος αθροίζεται από τους αριθμούς 2, 3, 4,

τότε δεν υπάρχει χρόνος για το Α Β, ή το Β Α. Δεν υπάρχουν λόγοι να πούμε ότι οι Α, Β, Γ, . . . πολλαπλασιαστές I є «μερικώς διατεταγμένοι», ίδιοι με τους ενεργούς αριθμούς a, b, c, . . .

καθιερώστε μια «πλήρως διατεταγμένη» παραγγελία.

Με σεβασμό, μεταξύ άλλων, ότι δεν υπήρχε διαφορά μεταξύ του Α και του Β, ότι, αν δεν υπήρχε πολλαπλασιαστής του Α, πολλαπλασιαστής του Ι,

Η ισχύς 4) μπορεί να είναι κάπως παράδοξη, αλλά, αν το καλοσκεφτείς, λογικά υποτάσσεται στην ακριβή αλλαγή του καθορισμένου ζωδίου. Είναι αλήθεια ότι το spіvvіdnoshnya A έσπασε μόνο

σε σε εκείνο το vipadka, σαν άδειο, πολλά στοιχεία άστοχα τοποθέτησαν το στοιχείο, το οποίο δεν εκδικήθηκε β Α. αλλά έτσι, σαν ένα κενό απρόσωπο, μην εκδικηθείς τα στοιχεία, τότε δεν μπορείς να είσαι, αν δεν ήταν ο Α.

Τώρα έχουμε δύο σημαντικές πράξεις σε πολλαπλασιαστές, οι οποίες επιτρέπουν τυπικά σε πλούσιες αλγεβρικές αρχές να προσθέσουν αυτή την πολλαπλότητα αριθμών, θέλοντας για την εσωτερική τους zmіsto zovsіm vіdminnі vіd tsikh αριθμητική diy. Έστω Α και Β δύο πολλαπλασιαστές. Κάτω από τους όρους, ή "λογικό άθροισμα", οι Α και Β κατανοούν το απρόσωπο, το οποίο αποτελείται από ήσυχα στοιχεία, τα οποία βρίσκονται στο Α ή

σε Β (συμπεριλαμβανομένων και εκείνων των στοιχείων που μπορούν να βρεθούν στα Α και Β). Αυτός ο πολλαπλασιαστής συμβολίζεται με A + B. 1 Κάτω από την «περετίνα», ή «λογική δημιουργία», το Α και το Β νοούνται απρόσωπα, τα οποία αποτελούνται από ήσυχα στοιχεία, τα οποία βρίσκονται στο Α και στο Β. Αυτός ο πολλαπλασιαστής υποδεικνύεται από το ΑΒ.2

Μεταξύ των σημαντικών δυνάμεων της άλγεβρας των πράξεων Α + Β και ΑΒ, η επίθεση κατακλύζεται. Ο αναγνώστης μπορεί να αντιστρέψει τη δικαιοσύνη, ανάλογα με τον σκοπό των ίδιων των πράξεων:

Η εκ νέου επαλήθευση όλων αυτών των νόμων είναι η πιο απλή λογική στα δεξιά. Για παράδειγμα, ο κανόνας 10) δηλώνει ότι τα στοιχεία είναι απρόσωπα, ότι είτε το Α, είτε το Α, είτε το απρόσωπο Α. κανόνας 12) που δηλώνει ότι τα απρόσωπα στοιχεία, εάν είναι στο Α και ταυτόχρονα είναι είτε Β είτε Γ, είναι απρόσωπα στοιχεία, αν είναι είτε η ίδια ώρα στο Α και Β είτε ο χρόνος είναι μία ώρα στο Α και C vykoristovuyutsya στην απόδειξη ενός παρόμοιου είδους κανόνων, εικονογραφημένο με το χέρι, σαν να μπορούσαμε να φανταστούμε το απρόσωπο A, B, C, . . . στη θέα τέτοιων μορφών στην πλατεία, θα είμαστε πιο σεβαστοί από αυτή την άποψη, ώστε να μην χάσουμε τις λογικές δυνατότητες, εάν πρόκειται για την παρουσία των κύριων στοιχείων δύο συνόλων ή, αντίθετα, την παρουσία ενός συνόλου στοιχείων, αν δεν βρίσκεται στο άλλο.

Ένας αναγνώστης, αναμφίβολα, έχοντας χάσει το σεβασμό για εκείνους που οι νόμοι 6), 7), 8), 9) και 12) αποκαλούνται το ίδιο με τους γνωστούς μεταθετικούς, συνειρμικούς και διανεμητικούς νόμους της ηχητικής άλγεβρας. Zvіdsi viplivaє, scho tse κανόνες zvichaynoї άλγεβρα, yakі z tsikh νόμοι, αποτελεσματικοί στην άλγεβρα των συνόλων. Navpaki, νόμοι 10), 11) και 13) δεν υπάρχουν ανάλογα της αρχικής άλγεβρας και δίνουν στην άλγεβρα πολλές απλές δομές. Για παράδειγμα, ο διωνυμικός τύπος στην άλγεβρα των πολλαπλασιαστών μπορεί να αναχθεί στην απλούστερη ισότητα

(Α + Β) n = (Α + Β) · (Α + Β). . . (Α + Β) = Α + Β,

κατά νόμο 11). Νόμοι 14), 15) και 17) για να μιλήσουμε για εκείνους που η ισχύς των πληθυντικών I ως προς τον αριθμό πριν από την πράξη πρόσθεσης αυτού του αριθμού είναι παρόμοια με τη δύναμη των αριθμών 0 και 1 ως προς τον όρο πριν από τον λειτουργία αριθμητικών αριθμών και η πρόσθεση αυτού του πληθυντικού. Ο νόμος Ale 16) δεν έχει ανάλογο στην αριθμητική άλγεβρα.

Μία ακόμη πράξη στην άλγεβρα των συνόλων μένει να δοθεί. Έστω Α ο υποπολλαπλασιαστής του καθολικού πολλαπλασιαστή I. Έτσι, κάτω από το πρόσθετο Α στο Ι, μπορεί να γίνει κατανοητό το απρόσωπο όλων των στοιχείων του Ι, αν όχι στο Α. Για τον πολλαπλασιαστή εισάγουμε την τιμή Α0. Έτσι, εάν ο I είναι απρόσωπος όλων των φυσικών αριθμών και ο Α είναι απρόσωπος όλων των πρώτων αριθμών, τότε το A0 είναι απρόσωπο, το οποίο αθροίζεται από όλους τους αριθμούς αποθήκης και τον αριθμό 1. αρχή:

23) A00 = A.

24) Spivvіdnenja A B 0A0.

25) (Α + Β) 0 = Α0 Β0. 26) (ΑΒ)0 = Α0 + Β0.

Η εκ νέου επαλήθευση αυτών των δυνάμεων, επαναλαμβάνω τον Nadaemo Chitachev.

Οι νόμοι 1)-26) αποτελούν τη βάση της άλγεβρας των συνόλων. Η δυσωδία της θαυματουργής δύναμης της «δυαδικότητας» στην επιθετική αίσθηση:

Όπως σε έναν από τους νόμους 1)–26) αντικαταστήστε ένα με ένα

(για τη δερματική είσοδο), τότε ως αποτέλεσμα, ένας από αυτούς τους νόμους επανεμφανίζεται. Για παράδειγμα, ο νόμος 6) μετατρέπεται σε νόμο 7), 12) - στο 13), 17) - στο 16) ακριβώς. μπουμπούκι. , "Dvіyna" їο θεώρημα, το οποίο βγαίνει από το πρώτο για πρόσθετες έννοιες των μεταθέσεων συμβόλων. Αλήθεια, κομμάτια απόδειξης

Στόχος. II ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΝΟΖΙΝ 139

το πρώτο θεώρημα αποτελείται από τη διαδοχική στασιμότητα (σε διαφορετικά στάδια της συμφιλίωσης που πρέπει να πραγματοποιηθεί) των νόμων 1–26), στη συνέχεια η στασιμότητα στα τελικά στάδια των «δύο» νόμων στην αποθήκη είναι η απόδειξη του « διπλό θεώρημα. (Εξαιτίας της ώθησης μιας τέτοιας «διπλασιασμού» στη γεωμετρία του τμήματος IV.)

2. Zastosuvannya μαθηματική λογική. Η εκ νέου επαλήθευση των νόμων της άλγεβρας των πολλαπλασιαστών βασίστηκε στην ανάλυση της λογικής αίσθησης του spiving A B και των πράξεων A + B, AB και A0. Μπορούμε τώρα να αντιστρέψουμε αυτή τη διαδικασία και να θεωρήσουμε τους νόμους 1)–26) ως βάση για την «άλγεβρα της λογικής». Για να το θέσω πιο συγκεκριμένα: αυτό το μέρος της λογικής, όπως υπάρχουν πολλές, ή, στην πραγματικότητα, οι ίδιες, οι δυνάμεις των αντικειμένων που εξετάζονται, μπορεί να αναχθεί σε ένα επίσημο αλγεβρικό σύστημα που βασίζεται στους νόμους 1) –26). Η λογική «έξυπνη παντογνωσία» σημαίνει το απρόσωπο Εγώ. Δερματική δύναμη Α σημαίνει απρόσωπο Α, το οποίο αποτελείται από ήσυχα αντικείμενα I, όπως μπορεί να είναι δύναμη. Κανόνες για τη μετάφραση της πιο λογικής ορολογίας στη γλώσσα

Όσον αφορά την άλγεβρα, υπάρχει ένας συλλογισμός "Barbara", που σημαίνει "για κάθε A є B και για κάθε B є C, μετά για κάθε A є C", φαίνεται απλό:

3) Αν AB και BC, τότε AC.

Ομοίως, ο «νόμος της αντίστασης», που βεβαιώνει ότι «ένα αντικείμενο δεν μπορεί να οδηγήσει ταυτόχρονα και δεν μπορεί να οδηγήσει τέτοια δύναμη», καταγράφεται από τον θεατή:

20) AA 0 = ,

ένα «ο νόμος του περιλαμβανόμενου τρίτου», που σημαίνει ότι «το αντικείμενο φταίει η μητέρα, αλλά όχι η μητέρα για τον διάκονο της εξουσίας», γράφεται:

19) Α+Α0=Ι.

Με αυτόν τον τρόπο, αυτό το μέρος της λογικής, όπως φαίνεται από την άποψη των συμβόλων, +, · και 0, μπορεί να ερμηνευτεί ως επίσημο σύστημα άλγεβρας, σύμφωνα με τους νόμους του 1)–26). Με βάση μια λογική ανάλυση των μαθηματικών και μαθηματική ανάλυσητης λογικής, μια νέα πειθαρχία έχει δημιουργηθεί - η μαθηματική λογική, όπως κανένας από αυτούς δεν επιπλήττει τη διαδικασία της ταραχώδους ανάπτυξης.

Από αξιωματική άποψη, λόγω του σεβασμού αυτού του θαυματουργού γεγονότος, το οποίο επιβεβαιώνεται από το 1)-26), μαζί με άλλα θεωρήματα της άλγεβρας των συνόλων, μπορεί να φανεί λογικά από τις επόμενες τρεις ισότητες:

27) Α + Β = Β + Α,

(Α + Β) + Γ = Α + (Β + Γ),

(A0 + B0) 0 + (A0 + B) 0 = A.

Είναι προφανές ότι η άλγεβρα των πολλαπλασιαστών μπορεί να παρακινηθεί ως απαγωγική θεωρία, με βάση την Ευκλείδεια γεωμετρία, με βάση αυτές τις τρεις θέσεις, οι οποίες γίνονται δεκτές ως αξιώματα. Όπως είναι αξιωματικά αποδεκτό, τότε η πράξη ΑΒ και η πρόταση Α Β ορίζονται ως προς τα Α + Β και Α0:

Ονομάζουμε ένα άλλο παράδειγμα μαθηματικού συστήματος, στο οποίο κωδικοποιούνται όλοι οι τυπικοί νόμοι της άλγεβρας των πολλαπλασιαστών, δίνεται από ένα σύστημα οκτώ αριθμών 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: εδώ ένα + β σημαίνει,

το υψηλότερο, χαμηλότερο πολλαπλάσιο του a і b, ab - το υψηλότερο dіlnik a і b, a b - η σκληρότητα "b υποδιαιρείται με a" και a0 - ο αριθμός 30 a. Σου-

Η βάση τέτοιων εφαρμογών έχει προκαλέσει την ανάπτυξη εξωφρενικών αλγεβρικών συστημάτων, που ικανοποιεί τους νόμους 27). Τέτοια συστήματα ονομάζονται "Boolean Algebras" - προς τιμήν του George Boole (1815-1864), ενός Άγγλου μαθηματικού και λογικού, του οποίου το βιβλίο "An Investigation of the laws of thought" εμφανίστηκε το 1854.

3. Ένας από τους σταθμούς πριν από τη θεωρία της ακινησίας. Η Άλγεβρα είναι πολύ πιο κοντά στη θεωρία των φανταστικών πραγμάτων και σας επιτρέπει να την δείτε με νέο πρίσμα. Ας ρίξουμε μια ματιά στο απλούστερο παράδειγμα: ας κάνουμε το δικό μας πείραμα από τον τελευταίο αριθμό πιθανών nasledkiv, yakі όλοι σκέφτονται σαν "εξίσου ικανοί". Ένα πείραμα μπορεί, για παράδειγμα, να βρίσκεται στο γεγονός ότι μπορούμε να τραβήξουμε ένα φύλλο από μια νέα τράπουλα, η οποία είναι καλά ανακατεμένη. Εάν ο πολλαπλασιαστής όλων των αποτελεσμάτων του πειράματος είναι σημαντικός μέσω του Ι, και το Α σημαίνει ότι είναι υποπολλαπλασιαστής του Ι, τότε η πιθανότητα το αποτέλεσμα του πειράματος να βρίσκεται στον υποπολλαπλασιαστή του Α σημαίνει επέκταση

p(A) = αριθμός στοιχείων στο Α. αριθμός στοιχείων στο I

Αν σκεφτούμε τον αριθμό των στοιχείων σε οποιονδήποτε πολλαπλασιαστή Α ως n(A), τότε η υπόλοιπη ισότητα μπορεί να δοθεί κοιτάζοντας

Οι ιδέες της άλγεβρας των πληθυντικών εμφανίζονται όταν μετράμε τις δυνατότητες, αν είναι δυνατόν, γνωρίζοντας την ειρωνεία κάποιων πληθυντικών, να μετρήσουμε την ειρωνεία άλλων. Για παράδειγμα, γνωρίζοντας τη δυναμική των p(A), p(B) και p(AB), μπορούμε να υπολογίσουμε τη δυναμική του p(A + B):

Δεν πειράζει να το φέρεις. φίλε μου

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

θραύσματα στοιχείων που μπορούν να καταληφθούν ταυτόχρονα στο Α και στο Β, τότε τα στοιχεία του ΑΒ λαμβάνονται υπόψη κατά την μέτρηση των ποσών n(A) + n(B) και, ως εκ τούτου, είναι απαραίτητο να δούμε n(AB) από το άθροισμα των αθροισμάτων, άρα n(A + B) το γράμμα διαίρεσης είναι σωστό. Ας κρατήσουμε τους παραβάτες προσβεβλημένους από μέρος της ισοδυναμίας στο n(I), θα αφαιρέσουμε το spivv_dnosnja (2).

Βγαίνει ο τύπος Cіkavіsha, επομένως υπάρχουν περίπου τρεις πολλαπλασιαστές A, B, C z I.

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Ο νόμος (12) της προηγούμενης παραγράφου μας δίνει (A + B) C = AC + BC. Οι ήχοι ουρλιάζουν:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Αντικαθιστώντας με την προηγούμενη σειρά την τιμή του p[(A + B)C] και την τιμή του p(A + B), που λαμβάνεται από το (2), καταλήγουμε στον απαραίτητο τύπο:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Σαν πισινό, μπορούμε να δούμε ένα επιθετικό πείραμα. Τρεις αριθμοί 1, 2, 3 γράφονται με οποιαδήποτε σειρά. Ποιο είναι το νόημα του γεγονότος ότι ένα από τα ψηφία γίνεται αποδεκτό να βασίζεται στον γενικό χώρο (στην αρίθμηση sensi); Έστω Α μια απρόσωπη μετάθεση, για την οποία ο αριθμός 1 θα πρέπει να κοστίζει την πρώτη θέση, Β - μια απρόσωπη μετάθεση, για την οποία ο αριθμός 2 θα πρέπει να κοστίζει μια άλλη θέση, C - μια απρόσωπη μετάθεση, για την οποία ο αριθμός 3 θα πρέπει να κοστίζει την τρίτη θέση . Πρέπει να υπολογίσουμε το p(A+B+C). Συνειδητοποίησα ότι

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

ουσιαστικά, σαν το σχήμα να στέκεται στη σωστή θέση, τότε υπάρχουν δύο δυνατότητες να αναδιατάξετε τη λύση των δύο ψηφίων από τον κύριο αριθμό 3 2 1 = 6 πιθανές μεταθέσεις τριών ψηφίων. Νταλί,

Σωστά. Εισαγάγετε έναν έγκυρο τύπο για το p(A + B + C + D) και περιμένετε μέχρι το πείραμα, το οποίο περιλαμβάνει 4 ψηφία. Vidpovidna umovirnіst dorіvnyuє 58 = 0,6250.

Ένας κοινός τύπος για το συνδυασμό n πολλαπλασιαστών μπορεί να φαίνεται

συνδυασμοί για εκδίκηση ένα, δύο, τρία, . . . , (n − 1) γράμμα από τον αριθμό A1 , A2 , . . .

ένα. Αυτός ο τύπος μπορεί να εισαχθεί μετά από πρόσθετη μαθηματική επαγωγή - ακριβώς όπως ο τύπος (3) εισήχθη από τον τύπο (2).

Από τον τύπο (4) είναι δυνατό να προσθέσετε wisps, έτσι ώστε να υπάρχουν n ψηφία 1, 2, 3, . . . n γραμμένο με οποιαδήποτε σειρά, τότε η δυνατότητα αποδοχής ενός από τα ψηφία για να στηρίξετε σε μια σωστή θέση είναι μεγαλύτερη

Επιπλέον, πριν από το υπόλοιπο μέλος, υπάρχει ένα σύμβολο + ή −, που καλεί αυτά που είναι ζευγαρωμένα και μη. Zocrema, για n = 5

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! +5! = 30 = 0,6333. . .

Στην VIII διαίρεση, θα θέλαμε να ξέρουμε ότι αν δεν υπάρχει ασυμβατότητα, το viraz

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! +4! − . . . ± n!

pragne μεταξύ 1 e, η έννοια του οποίου, με πέντε σημεία μετά την Κώμη,

ένα 0,36788. Από τον τύπο (5) είναι σαφές ότι pn = 1 − Sn, τότε το αστέρι είναι καθαρό, ότι για n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Η λέξη «υπερβατικό» συνδέεται με τον υπερβατικό διαλογισμό και με διάφορους εσωτερισμούς. Αλλά για να ζήσουμε σωστά τη γιόγκα, είναι απαραίτητο τουλάχιστον να αναθεωρήσουμε τη γιόγκα ως προς τον όρο «υπερβατικό» και ως μέγιστο - να μαντέψουμε τον ρόλο της γιόγκα στα ρομπότ του Καντ και σε άλλους φιλοσόφους.

Tse κατανοητό να μοιάζει με το λατινικό transcendens - "to cross", "to cross", "to go above". Γενικά, ως κρασιά νοούνται εκείνα που είναι σημαντικά απρόσιτα στην εμπειρική γνώση ή βασισμένα σε στοιχεία. Ξανασκεφτείτε τον όρο viniklische φιλοσοφία του νεοπλατωνισμού - ο ιδρυτής απευθείας ο Πλωτίν έχοντας κάνει μια vchennya για το Ένα - το παντοκαλό pershopochka, καθώς είναι αδύνατο να αναγνωρίσουμε τις σκέψεις με τη βοήθεια του νου, χωρίς τη βοήθεια ενός ευαίσθητου νου. «Δεν υπάρχει κανείς, αλλά ο πατέρας Γιόγκο» - εξηγεί ο φιλόσοφος.

Ο πιο πρόσφατος όρος «υπερβατικό» αναπτύχθηκε στη φιλοσοφία του Immanuel Kant, de vin vikoristovuvsya για να χαρακτηρίσει, σαφώς απαραίτητο για τη γνώση και το πώς να νιώθουμε το σώμα μας να είναι ευαίσθητο, να μένει κατ' αρχήν αγνώριστο, όπως στην πράξη και στη θεωρία. Πολλαπλασιασμός της υπέρβασης - : σημαίνει είτε αόρατο, εσωτερικό δεσμό, είτε όπως είναι το αντικείμενο με το ίδιο το αντικείμενο είτε την αναγνώριση του αντικειμένου στο ειδικό πιστοποιητικό. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι ο Όλος ο κόσμος των δημιουργιών, πίσω από μια μεγάλη ιδέα, θεωρούσε τον εαυτό του υπερβατικό για εμάς - μπορούμε μόνο να κάνουμε υποθέσεις για κάτι νέο. Και όμως, όπως το συνέλαβα, είναι αλήθεια, και οι συνέπειες για εμάς είναι έμφυτες, επηρεάζοντας τους φυσικούς νόμους και συνθήκες που μπορούμε να καταναλώσουμε. Ως εκ τούτου, σε ορισμένες θεολογικές έννοιες, ο Θεός είναι υπερβατικό και perebuvaet στάση που δημιουργήθηκε από τον πισινό.

Οι πραγματικές ομιλίες εξακολουθούν να είναι προσβάσιμες σε εκ των προτέρων γνώση: για παράδειγμα, ο χώρος και ο χρόνος, οι ιδέες του Θεού, η καλοσύνη και η ομορφιά, οι λογικές κατηγορίες. Tobto υπερβατικά αντικείμενα - tse, μεταφορικά φαίνεται, "πίσω από τη γραμμή που τίθεται" στο μυαλό μας

Η δήλωση για την υπερβατική φύση στα μαθηματικά: ένας υπερβατικός αριθμός είναι ένας αριθμός που δεν μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας πρόσθετη άλγεβρα ή αλγεβρικά (δηλαδή, δεν μπορεί να είναι η ρίζα ενός πλούσιου όρου με πολλαπλούς συντελεστές που δεν είναι ίδιος με το μηδέν). Πριν από αυτούς εισάγετε, για παράδειγμα, τους αριθμούς π і e.

Κατανόηση, κοντά στο «υπερβατικό», και μάλιστα πέρα ​​από τις έννοιες - «υπερβατικό». Στο πίσω μέρος σήμαινε απλώς την περιοχή των αφηρημένων κατηγοριών rozum, και μέχρι το τέλος του έτους, έχοντας μεγαλώσει τον Kant, έχοντας πιει ζυμαρικά από το vlasnu: ήταν αδύνατο να προκληθεί το φιλοσοφικό σύστημα μόνο σε εμπειρικά δεδομένα, αλλά ήταν αδύνατο να αναγνωρίσεις τα παλιά των άλλων, το έγκλημα των εμπειρικών, χωρίς να γνωρίζεις το κρασί. Προκειμένου να ανατραπούν, οι φιλόσοφοι είχαν την ευκαιρία να παραδεχτούν ότι ορισμένες ομιλίες εξακολουθούν να είναι προσβάσιμες σε εκ των προτέρων γνώση: για παράδειγμα, ο χώρος και ο χρόνος, οι ιδέες του Θεού, η καλοσύνη και η ομορφιά, οι λογικές κατηγορίες. Ότι τα υπερβατικά αντικείμενα - tse, μεταφορικά φαινομενικά, «πριν τοποθετηθούν πίσω από τους εγκεφάλους» στο μυαλό μας - με τα οποία οι πληροφορίες για αυτά είναι αυτονόητες και δεν απορρέουν από τη γνώση μας.

Υπάρχει μια ακόμη αμφιλεγόμενη κατανόηση - η υπέρβαση. Με μια ευρεία έννοια, η λέξη «vono» σημαίνει τη μετάβαση στον κλοιό μεταξύ δύο διαφορετικών περιοχών, ειδικά τη μετάβαση από τη σφαίρα αυτού του κόσμου στη σφαίρα του μέλλοντος, την υπερβατική. Για απλότητα, ας πάρουμε ένα παράδειγμα από την επιστημονική φαντασία: ένας παράλληλος κόσμος για φοβεροί άνθρωποι- υπερβατική εκδήλωση. Αλλά αν ο ήρωας έπινε στο παράλληλο φως του, φαίνεται ότι ο βαθμός εκδηλώνεται από το κτήριο γιόγκα spriymati, τσε υπέρβαση. Αλλά ένα αναδιπλούμενο παράδειγμα υπαρξιακής φιλοσοφίας: ο Ζαν-Πωλ Σαρτρ, έχοντας συνειδητοποιήσει ότι ένα άτομο είναι υπερβατικό, τα θραύσματα δεν θα ξεπεράσουν τα όρια κάθε είδους πιθανής υγρής αλήθειας: μπορούμε navkolishniy svitαπό διαφορετικές πλευρές, αλλά σε κάθε περίπτωση δεν μπορούμε να πλησιάσουμε στην πλήρη αναγνώριση του εαυτού μας. Άλε, αμέσως, ένα άτομο μπορεί να χτιστεί στην υπέρβαση: ξεπερνά είτε είναι ποτάμι, δίνοντάς του νόημα. Η υπέρβαση είναι ένα σημαντικό στοιχείο στη θρησκεία: βοηθά τους ανθρώπους να αναπτυχθούν στην υλική τους φύση και να φτάσουν σε κάτι ξένο.

Από τη φιλοσοφία, η έννοια της υπερβατικότητας έχει μεταναστεύσει στην ψυχολογία: ο Ελβετός ψυχολόγος Carl Jung ανέπτυξε την έννοια της «υπερβατικής λειτουργίας» - την ίδια λειτουργία που συνδυάζεται με αυτήν την ακατανόητη. Το Zocrema, η υπερβατική λειτουργία μπορεί να ξεπεραστεί από έναν ψυχαναλυτή - βοηθήστε τον ασθενή να αναλύσει τις εικόνες του αόρατου (για παράδειγμα, να ονειρεύεται) και να τους δείξει αμέσως από τις δικές του ψυχικές διαδικασίες.

Γιακ κουβέντα

Λάθος "Εγγραφήκα σε ένα μάθημα υπερβατικού διαλογισμού." Αυτό είναι σωστό - "υπερβατικό".

Σωστά, «Όταν πηγαίνω στο ναό, βλέπω κάτι υπερβατικό».

Σωστά, «Η τέχνη της υπέρβασης μας γνωρίζει αντικείμενα από τον υλικό κόσμο, που τα θυμίζει με το μεγαλύτερο φως».

Illya Shchurov

Ο μαθηματικός Illya Shchurov για δεκάδες κλάσματα, υπέρβαση και παραλογισμό του αριθμού Pi.

Πώς βοήθησε η «μοναξιά» να εμπνεύσει την πρώτη θέση και αυτή τη μεγάλη αυτοκρατορία; Πώς πέταξες τα μυαλά του κόσμου; Τι ρόλο έπαιξε στην εμφάνιση των πένας; Γιακ «ένα» ενωμένο με το μηδέν, για να κυβερνήσει σύγχρονος κόσμος? Η ιστορία της αγαμίας είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την ιστορία του ευρωπαϊκού πολιτισμού. Ο Terry Jones είναι virushaya με χιουμοριστικό τρόπο για να συγκεντρώσει την εκπληκτική ιστορία του απλούστερου αριθμού μας. Για τη βοήθεια των γραφικών υπολογιστή σε αυτό το πρόγραμμα, κάποιος ζωντανεύει με διαφορετικές μορφές. Από την ιστορία της μοναξιάς, έγινε σαφές, τα αστέρια εμφανίστηκαν σήμερα, και σαν τα ελαττώματα του μηδέν, vryatuvav υπό το πρίσμα της ανάγκης να νικήσουμε τους ρωμαϊκούς αριθμούς.

Ζακ Σεσιάνο

Γνωρίζουμε ελάχιστα για τον Διόφαντο. Λοιπόν, ο Vin είναι ζωντανός στην Oleksandriya's. Κανείς από τους Έλληνες μαθηματικούς δεν το κατάλαβε μέχρι τον 4ο αιώνα, γιατί το υμοβίρνο ζει στα μέσα του 3ου αιώνα. Το κεφάλι του ρομπότ του Διόφαντου, «Αριθμητικά» (Ἀριθμητικά), το πήραν στο στάχυ των 13 «βιβλίων» (βιβλία), για να χωριστεί. Σήμερα μπορεί να έχουμε 10 από αυτά και από μόνο του: 6 για το ελληνικό κείμενο και άλλα 4 για τη μέση αραβική μετάφραση, και λίγα για τα μέσα των ελληνικών βιβλίων: βιβλία I-III στα ελληνικά, IV-VII στα αραβικά, VIII-X στα ελληνικά . Η «Αριθμητική» του Διόφαντου είναι μπροστά από το χρονοδιάγραμμα, μόνο κοντά 260. Θεωρίες, φαινομενικά αληθινές, τίποτα? Δεν υπάρχουν πιο γενικές οδηγίες στην αρχή του βιβλίου και περισσότερος ιδιωτικός σεβασμός για τους άλλους σκηνοθέτες, αν χρειαστεί. Η «Αριθμητική» μοιάζει ήδη με αλγεβρική πραγματεία. Ο Διόφαντος στο στάχυ διαφορετικά σημάδια, schob vyslovlyuvati nevidome ότι yogo βήμα, επίσης deakі λογισμός? όπως όλα τα αλγεβρικά σύμβολα της μέσης, ο συμβολισμός του μοιάζει με μαθηματικές λέξεις. Στη συνέχεια, ο Διόφαντος εξηγεί πώς να λύσετε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της άλγεβρας. Αλλά το έργο του Διόφαντου δεν είναι αλγεβρικό για την πρωταρχική σημασία, έτσι ώστε τα πάντα να μπορούν να αναχθούν στο ύψος της απροσδιόριστης ισότητας, ή συστημάτων τέτοιων ισοτήτων.

Τζορτζ Σαμπάτ

Πρόγραμμα μαθήματος: Ιστορία. Πρώτες βαθμολογίες. Το πρόβλημα της συνοχής ενός πασσάλου με διάμετρο її. Σειρές Neskіchennі, δημιουργήστε αυτό το іnshі vrazi για π. Zbіzhnist και її yakіst. Βιράζι, τι να εκδικηθεί π. Ακολουθίες που συγκλίνουν γρήγορα μέχρι το π. Σύγχρονες μέθοδοιυπολογισμός π, αριθμός υπολογιστών. Περί του παραλογισμού και της υπέρβασης του π και άλλων αριθμών. Η προοδευτική γνώση δεν είναι απαραίτητη για το μάθημα.

Αξιωματούχοι από το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης είπαν ότι οι πρώτες εισαγωγές του αριθμού 0 για να υποδείξουν τον αριθμό των ημερών στη σειρά (όπως στον αριθμό 101) θα πρέπει να λάβουν υπόψη το κείμενο του ινδικού χειρογράφου του Bakhshali.

Βασίλ Πισπανέν

Ποιος δεν είναι χαραγμένος από τα παιδιά στην ομάδα "ονομάστε τον μεγαλύτερο αριθμό"; Εκατομμύρια, τρισεκατομμύρια και άλλα «-αυτά» μπορούν να φανούν στις σκέψεις ήδη ομαλά, αλλά θα προσπαθήσουμε να καταλάβουμε το «μαστόδον» στα μαθηματικά - τον αριθμό του Γκράχαμ.

Βίκτορ Κλέπτσιν

Ο σωστός αριθμός μπορεί να προσεγγιστεί ακριβώς με ορθολογικούς. Και αν το κάνουμε ευγενικά, μπορούμε να πλησιάσουμε ο ένας τον άλλον - είναι ευθυγραμμισμένο με το δίπλωμα της γιόγκα; Για παράδειγμα, σπάσιμο δέκατη καταχώρησηαριθμοί x επί k-ο ψηφίοΜετά από αυτό, αφαιρούμε την εγγύτητα x≈a/10^k με συγγνώμη της τάξης του 1/10^k. I vzagali, έχοντας φτιάξει το banner q στο κλάσμα που πλησιάζει, μπορούμε σίγουρα να κάνουμε την προσέγγιση με συγγνώμη της τάξης 1/q. Και τι μπορείτε να κάνετε καλύτερα; Γνωρίζοντας σε όλους, η εγγύτητα π≈22/7 δίνει συγγνώμη της τάξης του 1/1000 - δηλαδή σαφώς καλύτερα, χαμηλότερη θα μπορούσε να διορθωθεί. Γιατί; Γλιτώσαμε, γιατί το π είναι τόσο κοντά στο є; Φαίνεται ότι για οποιονδήποτε παράλογο αριθμό є απρόσωπα κλάσματα p / q, που είναι πιο κοντά σε αυτόν, χαμηλότερο 1 / q ^ 2. Tseverzhuє Θεώρημα Dirichlet - και mi pochnemo μάθημα іz її troha μη τυπική απόδειξη.

Το 1980, το Βιβλίο των Ρεκόρ Γκίνες επανέλαβε τους ισχυρισμούς του Γκάρντνερ, ενισχύοντας περαιτέρω το δημόσιο ενδιαφέρον μέχρι αυτόν τον αριθμό. Ο αριθμός του Γκράχαμ στο όνομα του αριθμού των περισσότερων, χαμηλότερος κατά τα άλλα καλός στο σπίτι μεγάλα νούμερα, έτσι, όπως το googol, το googolplex και το navit more, χαμηλώστε τον αριθμό Skewes και τον αριθμό Moser. Στην πραγματικότητα, ολόκληρος ο κόσμος είναι πολύ μικρός για να μπορέσει κάποιος να λάβει το δικό του δέκατο ρεκόρ του αριθμού του Γκράχαμ.

Ντμίτρο Ανόσοφ

Στις διαλέξεις διαβάστηκε ο Anosov Dmitro Viktorovich, Διδάκτωρ Φυσικών και Μαθηματικών Επιστημών, Καθηγητής, Ακαδημαϊκός της Ρωσικής Ακαδημίας Επιστημών. Θερινό Σχολείο «Σύγχρονα Μαθηματικά», Dubna. 16-18 Απριλίου 2002

Δεν είναι δυνατό να απαντήσετε σωστά στην τροφική αλυσίδα, θραύσματα σειρά αριθμώνμην υπερβείτε το ανώτερο όριο. Έτσι, μέχρι έναν συγκεκριμένο αριθμό, αρκεί να προσθέσετε έναν ακόμη, για να πάρετε τον αριθμό ακόμη περισσότερο. Αν και οι ίδιοι οι αριθμοί δεν είναι περιορισμένοι, τα ονόματά τους δεν είναι τόσο πλούσια και πλούσια, ώστε οι περισσότεροι να αρκούνται σε ονόματα που αθροίζονται από μικρότερους αριθμούς. Συνειδητοποίησα ότι στο τελευταίο σύνολο αριθμών, που οι άνθρωποι έχουν συγκεντρώσει για τα δυνατά τους ονόματα, μπορούν να είναι οι περισσότεροι. Πώς λέγεται όμως και γιατί είναι ίσο; Έλα, ας προσπαθήσουμε να το καταλάβουμε με κάποιο τρόπο και να αναγνωρίσουμε τη μόλυνση, οι μαθηματικοί έχουν καταλήξει σε μερικούς υπέροχους αριθμούς.

Ο αριθμός καλείται αλγεβρικόςτο yakscho είναι η ρίζα ενός αδύναμου πλούσιου όρου με πολλούς συντελεστές

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(δηλαδή η ρίζα του ίσου a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, ντε a n, ένα n-1, ..., Α'1, ένα 0--- αριθμοί, ν 1, ένα 0).

Ένας απρόσωπος αλγεβρικός αριθμός είναι ουσιαστικά ένα γράμμα .

Είναι εύκολο να δούμε ότι αν ένας ρητός αριθμός είναι αλγεβρικός. Αλήθεια, - η ρίζα του ποταμού qx-p=0με πολλούς συντελεστές a 1 =qі a 0 =-p. Otzhe, .

Ωστόσο, δεν είναι όλοι οι αλγεβρικοί αριθμοί ορθολογικοί: για παράδειγμα, ο αριθμός είναι η ρίζα της ισότητας x 2 -2 = 0, otzhe, --- αλγεβρικόαριθμός.

Η παλιά ώρα έμεινε ανέγγιχτη, σημαντική για τη διατροφή των μαθηματικών: ? Λιγότερο από το 1844, η μοίρα του Lіouville για πρώτη φορά συμπεριέλαβε ένα παράδειγμα υπερβατικού (tobto. μη αλγεβρικού) αριθμού.

Την πρώτη μέρα του μήνα, η απόδειξη της υπέρβασής του είναι ακόμα πιο αναδιπλούμενη. Είναι δυνατόν να φέρουμε το θεώρημα με βάση τους υπερβατικούς αριθμούς με έναν σημαντικά απλούστερο τρόπο, επισημαίνοντας την ισοδυναμία και τη μη ισοδυναμία των αριθμητικών πολλαπλασιαστών.

Και η ίδια, μπορούμε να φέρουμε, ότι οι απρόσωποι αλγεβρικοί αριθμοί είναι ο Rakhunkov. Ωστόσο, τα θραύσματα όλων των πραγματικών αριθμών δεν είναι ίσα, μπορούμε να ορίσουμε τη βάση των μη αλγεβρικών αριθμών.

Ας διακρίνουμε μεταξύ τους αναμφίβολα και με μια ντουζίνα . Το Tse έχει νόημα, σο - Είναι καλό chi rakhunkovo. Άλε οσκίλκι , έπειτα neskіchenno, otzhe, rakhunkovo.

Έλα - deyake αριθμός της άλγεβρας. Ας δούμε όλους τους πλούσιους όρους με τον αριθμό των συντελεστών, η ρίζα των οποίων είναι є, και ας επιλέξουμε το μέσο των πλούσιων όρων Πτο ελάχιστο βήμα (έτσι ώστε να μην είναι η ρίζα του ίδιου πλούσιου όρου με τους ακέραιους συντελεστές του μικρότερου βήματος).

Για παράδειγμα, για έναν ρητό αριθμό, ένα τέτοιο πολυώνυμο μπορεί να έχει βήμα 1 και αριθμούς - βήμα 2.

Ας διαιρέσουμε όλους τους συντελεστές ενός πλούσιου μέλους Πστον μεγαλύτερο ύπνο τους. Αφαιρούμε το πολυώνυμο, ο συντελεστής του οποίου είναι αμοιβαία απλός ταυτόχρονα (ο μεγαλύτερος στρωτήρας τους είναι 1). Zreshtoyu, ως ανώτερος συντελεστής a n vіd'єmniy, πολλαπλασιάζουμε όλους τους συντελεστές του πολυωνύμου επί -1 .

Η αφαίρεση του πλούσιου όρου (δηλαδή του πλούσιου όρου με μεγάλους συντελεστές, του οποίου η ρίζα είναι ο αριθμός, που μπορεί να είναι το λιγότερο δυνατό βήμα, αμοιβαία απλός συντελεστής και ο θετικός ανώτερος συντελεστής) ονομάζεται ο ελάχιστος πλούσιος όρος του αριθμός.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι ένα τέτοιο πολυώνυμο εκχωρείται μοναδικά: ο αριθμός δέρματος μιας άλγεβρας μπορεί να είναι ακριβώς ένα ελάχιστο πολυώνυμο.

Ο αριθμός των πραγματικών ριζών ενός πολυωνύμου δεν είναι μεγαλύτερος από το κατώτερο βήμα. Επίσης, μπορείτε να αριθμήσετε (για παράδειγμα, για ανάπτυξη) τις ρίζες ενός τόσο πλούσιου όρου.

Τώρα, είτε είναι ο αριθμός της άλγεβρας, αναγνωρίζεται πλέον από τον ελάχιστο πλούσιο όρο του (δηλαδή από το σύνολο των συντελεστών του) και τον αριθμό που είναι διαφορετικός από τις άλλες ρίζες του πολυωνύμου: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Αργότερα, για τον αλγεβρικό αριθμό δέρματος, ορίσαμε τη διάκριση του τελικού συνόλου των ακέραιων αριθμών, επιπλέον, ακολουθείται μοναδικά από αυτό το σύνολο (άρα δίνονται διαφορετικά σύνολα σε διαφορετικούς αριθμούς).

Όλοι οι πρώτοι αριθμοί αριθμούνται με σειρά ανάπτυξης (δεν έχει σημασία να δείξουμε ότι είναι πολύ πλούσιοι). Αφαιρούμε την ασυγχώρητη ακολουθία (σ.σ.): p1=2,p2=3, p3=5, p4=7, ... Τώρα ένα σύνολο ακεραίων (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k)μπορείτε να βάλετε u vіdpovidnіst tvіr

(Αυτός ο αριθμός είναι πιο θετικός και ορθολογικός, αλλά μην είστε φυσικός, ακόμη και το μέσο των αριθμών ένα 0, Α'1, ..., ένα n-1, μπορεί να είναι αρνητικό). Με σεβασμό, ότι ο αριθμός δεν είναι βραχύβιος, τα θραύσματα είναι απλοί πολλαπλασιαστές, για να εισαγάγετε πριν από το lay out του αριθμητικού βιβλίου και πανό, διαφορά. Αξίζει επίσης να σεβαστούμε ότι δύο μη βραχέα κλάσματα με θετικούς αριθμούς και στροφές είναι ίσα, ακόμα κι αν είναι ίσοι αριθμοί, αυτά τα їх είναι ίσες στροφές.

Τώρα ας το δούμε με λίγο αλάτι:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Oskіlki διαφορετικοί αριθμοί άλγεβρας έχουν ορίσει διαφορετικά σύνολα ακεραίων αριθμών και διαφορετικά σύνολα --- διαφορετικόορθολογικοί αριθμοί, τότε, με αυτή τη σειρά, καθιερώσαμε αμοιβαία αναμφισβήτητη εγκυρότητα μεταξύ μιας πολλαπλότητας και με μια ντουζίνα . Επομένως, οι απρόσωποι αλγεβρικοί αριθμοί είναι σημαντικοί.

Τα θραύσματα απρόσωπων πραγματικών αριθμών δεν διακρίνονται, έχουμε φέρει τη βάση των μη αλγεβρικών αριθμών.

Ωστόσο, το συλλογιστικό θεώρημα δεν δείχνει πώς να προσδιορίσετε τι ολόκληρος ο αριθμόςαλγεβρικός. Και η διατροφή είναι μερικές φορές σημαντική για τα μαθηματικά.

υπερβατικός αριθμός

ένας αριθμός (dіysne abo yavne), που δεν ικανοποιείται με καμία εξίσωση της άλγεβρας (Διαιρ. Αλγεβρική εξίσωση) με πολλούς συντελεστές. Σε αυτή την κατάταξη, οι Τ. η. αποδίδονται σε αλγεβρικούς αριθμούς. Ο Іsnuvannya T. H. ίδρυσε για πρώτη φορά τον J. Liouville (1844). Το σωστό σημείο για τον Λιουβίλ ήταν το ου θεώρημα, το οποίο δηλώνει ότι οποιαδήποτε τάξη προσέγγισης ενός ορθολογικού κλάσματος με ένα δεδομένο πρότυπο στον ου παράλογο αλγεβρικό αριθμό δεν μπορεί να είναι αρκετά υψηλή. Ο πιο αλγεβρικός αριθμός έναικανοποιεί το μη αναγόμενο ίσο της άλγεβρας nμε πολλούς συντελεστές, τότε για οποιονδήποτε λογικό αριθμό για κατάθεση μόνο α ). Επομένως, για έναν δεδομένο παράλογο αριθμό α, είναι δυνατό να εμφανιστούν απρόσωπες ορθολογικές προσεγγίσεις που δεν ικανοποιούν την επαγωγή ανομοιομορφίας για οποιαδήποτε ηі n(κάποια και ήσυχα για όλους κοντά), λοιπόν α є T. h. Η άκρη ενός τέτοιου αριθμού είναι ναι:

Ο R. Kantor (1874), έχοντας αναφέρει ότι η απροσωπία όλων των αλγεβρικών αριθμών είναι διακριτή (έτσι ώστε όλοι οι αλγεβρικοί αριθμοί να μπορούν να αναριθμηθούν· διαιρ. θεωρία πολλαπλότητας), τότε η απροσωπία όλων των πραγματικών αριθμών είναι αμετάβλητη. Ακουγόταν σαν τον απρόσωπο Τ. χ.

Το πιο σημαντικό καθήκον της θεωρίας του Τ. Χ. είναι ο σκοπός της εξήγησης της αξίας των αναλυτικών συναρτήσεων, που μπορεί να έχουν εκείνες τις άλλες αριθμητικές αριθμητικές δυνάμεις με τις αλγεβρικές τιμές του επιχειρήματος. Το καθήκον της οικογένειας βρίσκεται πριν από το πιο σημαντικό έργο των σύγχρονων μαθηματικών. U 1873 Sh.

Το 1882, ο Γερμανός μαθηματικός F. Lindemann πήρε ένα πιο σημαντικό αποτέλεσμα: αφού α είναι ο αριθμός της άλγεβρας, τότε μιΤο αποτέλεσμα του α - T. h. Lipdeman επιδεινώθηκε σημαντικά από τον Γερμανό μαθηματικό K. Siegel (1930), ο οποίος απέδειξε, για παράδειγμα, την υπέρβαση της τιμής μιας ευρείας κατηγορίας κυλινδρικών συναρτήσεων με τις τιμές του επιχειρήματος της άλγεβρας. Το 1900, στο Μαθηματικό Συνέδριο στο Παρίσι, ο D. Hilbert, ανάμεσα σε 23 απαραβίαστα προβλήματα των μαθηματικών, επισημαίνει το προσβλητικό: chi є υπερβατικός αριθμός α β , ντε α і β - εξάλλου αλγεβρικοί αριθμοί β - παράλογος αριθμός, i, zokrema, chi є υπερβατικός αριθμός e π α β Το bula για πρώτη φορά σε ιδιωτική μορφή τοποθετήθηκε από τον L. Euler, 1744). Η εξωτερική εκδοχή του προβλήματος (με συμπαγή έννοια) λήφθηκε λίγο πολύ υπόψη το 1934 από τον A. O. Gelfond. Από τη δήλωση του Gelfond, zokrema, είναι ξεκάθαρο ότι και οι δεκάδες λογάριθμοι των φυσικών αριθμών (δηλαδή οι «πίνακες λογάριθμοι») είναι T. h. Μέθοδοι θεωρίας T. h.

Λιτ.: Gelfond A. O., Υπερβατικοί και αλγεβρικοί αριθμοί, Μ., 1952.

Μεγάλη Εγκυκλοπαίδεια Radianska. - M: Εγκυκλοπαίδεια Radianska. 1969-1978 .

Θαυμάστε έναν τέτοιο «Υπερβατικό αριθμό» σε άλλα λεξικά:

Ένας αριθμός που δεν ικανοποιείται με κανένα ίσο της άλγεβρας με οποιοδήποτε αριθμό συντελεστών. Υπερβατικοί αριθμοί є: αριθμός; 3,14159...; ο δέκατος λογάριθμος οποιουδήποτε ακέραιου αριθμού, ο οποίος δεν παριστάνεται με ένα με μηδενικά. αριθμός e = 2,71828 ... ta σε ... Μεγάλος Εγκυκλοπαιδικό λεξικό

- (Λατινικά transcendere πηγαίνω πάνω, αναποδογυρίζω) tse recheve abo μιγαδικός αριθμός, που δεν είναι αλγεβρικός με άλλα λόγια, αριθμός που δεν μπορεί να είναι ρίζα πλούσιου όρου με πολλούς συντελεστές. Zmist 1 Power 2 ... ... Wikipedia

Ένας αριθμός που δεν ικανοποιείται με κανένα ίσο της άλγεβρας με οποιοδήποτε αριθμό συντελεστών. Υπερβατικοί αριθμοί є αριθμός π = 3,14159...; ο δέκατος λογάριθμος οποιουδήποτε ακέραιου αριθμού, ο οποίος δεν παριστάνεται με ένα με μηδενικά. αριθμός e = 2,71828... τα ιν. Εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Ένας αριθμός που δεν ικανοποιεί την ίδια άλγεβρα. ur nіu με συντελεστές qіlimi. Τ. έτος. є: αριθμός ПІ = 3,14159...; ο δέκατος λογάριθμος οποιουδήποτε ακέραιου αριθμού, ο οποίος δεν παριστάνεται με ένα με μηδενικά. αριθμός e = 2,71828... τα ιν. Φυσικές Επιστήμες. Εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Ο αριθμός, που δεν είναι η ρίζα του ίδιου πλούσιου όρου με τους ίδιους συντελεστές. Το εύρος τέτοιων αριθμών είναι το μηδέν των πραγματικών, μιγαδικών και ακτινικών αριθμών. Іnuvannya που προφανώς προκάλεσε τη δράση του T. h. obguruntuvav J. Liouville ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Ίσο, σαν όχι є αλγεβρικό. Καλέστε την τιμή ίση, η οποία μπορεί να εμφανιστεί, λογαριθμικές, τριγωνομετρικές, αναστρέψιμες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, για παράδειγμα: Suvorishe του χαρακτηρισμού όπως: Υπερβατική ίση τιμή ... Wikipedia

Ο αριθμός, περίπου 2.718, χρησιμοποιείται συχνά στα μαθηματικά και τις φυσικές επιστήμες. Για παράδειγμα, όταν η ραδιενεργή ομιλία διασπάται μετά το τέλος της ώρας t, στο τέλος της περιόδου ομιλίας, χάνεται ένα τμήμα που είναι πιο ακριβό e kt, de k αριθμός, ... Εγκυκλοπαίδεια Collier

Το Ε είναι μια μαθηματική σταθερά, η βάση του φυσικού λογάριθμου, ένας παράλογος και υπερβατικός αριθμός. Με άλλα λόγια, ο αριθμός e ονομάζεται αριθμός Euler (μην συγχέεται με τους λεγόμενους αριθμούς Euler του πρώτου είδους) ή αριθμός Napier. Σημαίνει το μικρό λατινικό γράμμα «e».

Το Ε είναι μια μαθηματική σταθερά, η βάση του φυσικού λογάριθμου, ένας παράλογος και υπερβατικός αριθμός. Με άλλα λόγια, ο αριθμός e ονομάζεται αριθμός Euler (μην συγχέεται με τους λεγόμενους αριθμούς Euler του πρώτου είδους) ή αριθμός Napier. Σημαίνει το μικρό λατινικό γράμμα «e».