Ομοιότητα με έναν αριθμό διαδικτυακών. Αριθμητικές σειρές: διορισμός, εξουσία, σημάδια πλούτου, αιτήσεις, αποφάσεις 1 3n n 3 2
Tsya stattya є δομημένες και αναφερόμενες πληροφορίες, καθώς είναι δυνατό σε κατάλληλο χρόνο για την ανάλυση των δικαιωμάτων και της εργασίας. Ας ρίξουμε μια ματιά στο θέμα των σειρών αριθμών.
Το άρθρο Tsya ξεκινά με τις κύριες λειτουργίες για κατανόηση. Δώσαμε τυπικές επιλογές και βασικές φόρμουλες vivimo. Για να κλείσει το υλικό, η κύρια εφαρμογή έχει τεθεί στο άρθρο.
Βασικές διατριβές
Μπορούμε να αναπαραστήσουμε το σύστημα: a 1 , a 2 . . . , α ν , . . . de a k ∈ R , k = 1 , 2 . . . .
Για παράδειγμα, πάρτε τους παρακάτω αριθμούς, όπως: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .
Ραντεβού 1
Η αριθμητική σειρά είναι το άθροισμα των όρων ∑ ak k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + . . . + a n +. . . .
Για να κατανοήσουμε καλύτερα το νόημα, μπορούμε να δούμε το vipadok, για το οποίο q \u003d - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .
Ραντεβού 2
ένα κ k-imχαμηλό μέλος.
Vіn που μοιάζει με αυτήν την κατάταξη - 16 · - 1 2 k.
Ραντεβού 3
Το άθροισμα του Τσάστκοφ στη σειράμοιάζει με αυτή τη σειρά Sn = a1+a2+. . . + a n , yakіy n-Να είναι αριθμός. S n απείρως μικρόςτο άθροισμα είναι χαμηλό.
Για παράδειγμα, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k є S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 .
S 1 , S 2 , . . . , S n , . . . utvoryuyuyut ακολουθία ασυνέπειας της αριθμητικής σειράς.
Για μια σειρά ν-ατο άθροισμα βρίσκεται πίσω από τον τύπο S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 8 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 1 - - 1 2 n. Νικηφόρα, θα έρθει η ακολουθία των ιδιωτικών ποσών: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 1 - - 1 2 n , . . . .
Ραντεβού 4
Σειρά ∑ k = 1 ∞ a k є παρόμοιοςτότε, αν η ακολουθία μπορεί να είναι το τέλος της ευθείας S = lim S n n → + ∞ . Εάν δεν υπάρχει όριο ή η ακολουθία δεν είναι περιορισμένη, τότε η σειρά ∑ k = 1 ∞ a k ονομάζεται rozbіzhnym.
Ραντεβού 5
Σούμι σειρά, τι να πάει∑ k = 1 ∞ a k
Για αυτήν την εφαρμογή lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ 1 - 1 2 n = 16 3 lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 , σειρά ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k συγκλίνουν. Το άθροισμα είναι ακριβό 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .
πισινό 1
Ως άκρη μιας σειράς rozbіzhny, μπορείτε να βάλετε το άθροισμα της γεωμετρικής προόδου με ένα μεγαλύτερο banner, χαμηλότερο: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2n - 1 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .
Το άθροισμα n-a μερών καθορίζεται από την ιάρα S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, και το άθροισμα μεταξύ των μερών δεν περιορίζεται: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .
Ένα άλλο παράδειγμα μιας σειράς τυχαίων αριθμών είναι το άθροισμα της μορφής ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . Για αυτόν τον λογαριασμό, n-ένα μέρος του αθροίσματος μπορεί να υπολογιστεί ως Sn = 5n. Τα διαμερικά αθροίσματα δεν είναι περιορισμένα lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞.
Ραντεβού 6
Το άθροισμα αυτής της μορφής είναι yak ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1n +. . . – κε αρμονικόςαριθμητική σειρά.
Ραντεβού 7
Άθροισμα ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1ns + . . . , ντε μικρό –αριθμός deisne, є zagalnenno αρμονική σειρά αριθμών.
Τα ραντεβού, που εξετάστηκαν περισσότερο, θα σας βοηθήσουν να συνθέσετε περισσότερες αιτήσεις και παραγγελίες.
Για την ολοκλήρωση του ραντεβού είναι απαραίτητο να ισοφαριστεί η γραμμή.
- ∑ k = 1 ∞ 1 k
Diemo με τη μέθοδο της αντιστροφής. Αν τα κρασιά συγκλίνουν, τότε το όριο είναι κοκαλιάρικο. Μπορείτε να γράψετε ίσο ως lim n → + ∞ S n = S και lim n → + ∞ S 2 n = S . Μετά τραγουδώντας diyέχουμε εμμονή με την ισότητα l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 .
Ναυπάκη,
S 2 n - S n \u003d 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1n + 1n + 1 + 1n + 2 +. . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1n = 1n + 1 + 1n + 2 +. . . + 1 2 n
Οι ακριβώς έτσι ασυνέπειες είναι 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Βγείτε έξω, S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n +. . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Viraz S 2 n - S n > 1 2 για να πούμε ότι το lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 είναι απρόσιτο. Ένας αριθμός rozbіzhny.
- b1+b1q+b1q2+. . . + b 1 q n +. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1
Είναι απαραίτητο να επιβεβαιωθεί ότι το άθροισμα της ακολουθίας των αριθμών σβήνει στο q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .
Zgіdno με τη βοήθεια των διορισμένων προσώπων, το άθροισμα nτα μέλη εξαρτώνται από τον τύπο S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .
Yakscho q< 1 верно
lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 q n - 1 q - 1 = b 1 lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1
Φέραμε ότι η σειρά αριθμών σύγκλινε.
Για q = 1 b 1 + b 1 + b 1 +. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Το Sumi μπορεί να γίνει γνωστό από τον πρόσθετο τύπο S n = b 1 · n , inter-infinite lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ . Σε αυτή την παραλλαγή, η σειρά αποκλίνει.
Yakscho q = - 1η σειρά μοιάζει με b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (-1) k + 1 . Συχνά τα αθροίσματα μοιάζουν με S n = b 1 για μη ζευγαρωμένα n, i S n = 0 για παιδιά n. Έχοντας εξετάσει αυτό το vipadok, επανεξεταζόμαστε ότι δεν υπάρχουν κενά και ορισμένες διαφορές.
Για q > 1, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 (q n - 1) q - 1 = b 1 lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞
Mi έφερε, scho σειρά αριθμών να αποκλίνουν.
- Οι σειρές ∑ k = 1 ∞ 1 k s συγκλίνουν έτσι ώστε s > 1και αποκλίνουν, έτσι ώστε s ≤ 1 .
Για s = 1παίρνουμε ∑ k = 1 ∞ 1 k , η σειρά αποκλίνει.
Για το s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для κ ,φυσικός αριθμός. Oskіlki σειρά є razbіzhnym ∑ k = 1 ∞ 1 k , τότε δεν υπάρχει διαφορά. Επιπλέον, η ακολουθία ∑ k = 1 ∞ 1 k s είναι απεριόριστη. Robimo wisnovok μικρό< 1 .
Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι η σειρά ∑ k = 1 ∞ 1 k s συγκλίνει όταν s > 1.
Φανταστείτε S 2 n - 1 - S n - 1:
S 2 n - 1 - S n - 1 \u003d 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s + 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s = 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1(2n - 1)s
Ας υποθέσουμε ότι 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1
Αναπαραστάσιμη ισότητα για αριθμούς που είναι φυσικοί και ίσοι n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .
Παίρνουμε:
∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s +. . . + 1 7 s + 1 8 s +. . . + 1 15 s +. . . \u003d \u003d 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .
Viraz 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 +. . . - Το άθροισμα της γεωμετρικής προόδου q = 1 2 s - 1 . Zgіdno με vihіdnimi dannym στο s > 1, μετά 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 zbіlshuєtsya και ανακατεύεται με το θηρίο 11-12s-1. Προφανώς, є μεταξύ και μιας σειράς є ∑ k = 1 ∞ 1 k s .
Ραντεβού 8
Σειρά ∑ k = 1 ∞ a k θετικό για αυτόν τον τύπο, έτσι ώστε ο όρος > 0 ak > 0 , k = 1 , 2 , . . . .
Σειρά ∑ k = 1 ∞ b k η πινακίδα είναι σχεδιασμένησαν τα σημάδια των αριθμών να είναι vіdrіznyayutsya. Δανική εφαρμογή των παραστάσεων yak ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (-1) k a k ή ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 a k , de a k > 0 , k = 1, 2,. . . .
Σειρά ∑ k = 1 ∞ b k οικείος, σε αυτό σε έναν νέο αριθμό αριθμών, αρνητικών και θετικών.
Η άλλη επιλογή είναι μια σειρά - η τελευταία γραμμή της τρίτης επιλογής.
Ας το βάλουμε για ανάσυρση δέρματος:
6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .
Για την τρίτη επιλογή, είναι επίσης δυνατό να οριστεί η απόλυτη ψυχική άνεση.
Ραντεβού 9
Το μαύρο πρόσημο της σειράς ∑ k = 1 ∞ b k είναι απολύτως σωστό στην περίπτωση αυτή, εάν ∑ k = 1 ∞ b k θεωρείται επίσης όμοιο.
Σύμφωνα με πληροφορίες, αναλύουμε τις χαρακτηριστικές επιλογές
πισινό 2
Yakscho σειρά 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . i 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . εμφανίζονται ως παρόμοια και, στη συνέχεια, εισαγάγετε σωστά το 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 +. . .
Ραντεβού 10
Η γνωστή σειρά ∑ k = 1 ∞ b k θεωρείται ότι είναι διανοητικά παρόμοια με αυτήν, αφού η ∑ k = 1 ∞ b k είναι διαφορετική και η σειρά ∑ k = 1 ∞ b k θεωρείται παρόμοια.
πισινό 3
Αναφέρουμε την επιλογή ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . Ως παραλλαγή επιλέγεται η σειρά ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k , η οποία αποτελείται από απόλυτες τιμές. Αυτή η επιλογή είναι σημαντική, επομένως είναι εύκολο να το καταλάβετε. Από το πρώτο παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι η σειρά ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . bude vvazhatisya διανοητικά παρόμοια.
Χαρακτηριστικά των σειρών που συγκλίνουν
Ας αναλύσουμε τη δύναμη των τραγουδιστικών διαθέσεων
- Αν ∑ k = 1 ∞ a k θα συγκλίνει, τότε η σειρά i ∑ k = m + 1 ∞ a k αναγνωρίζεται επίσης ως τέτοια ώστε να κατεβαίνει. Μπορείτε να καθορίσετε ποια σειρά χωρίς ΜΤα μέλη θεωρούνται επίσης παρόμοια. Αν προσθέσουμε, αν προσθέσουμε στο ∑ k = m + 1 ∞ a k μια δέσμη αριθμών, τότε το αποτέλεσμα θα είναι επίσης παρόμοιο.
- Πώς ∑ k = 1 ∞ a k συγκλίνουν i άθροισμα = μικρό, τότε σύγκλιση i σειράς ∑ k = 1 ∞ A a k , ∑ k = 1 ∞ A a k = A S , de ΕΝΑ- Μείνε.
- Πώς ∑ k = 1 ∞ a k και ∑ k = 1 ∞ b k є παρόμοια, sumi ΕΝΑі σι tezh, αυτές οι σειρές ∑ k = 1 ∞ a k + b k i ∑ k = 1 ∞ a k - b k επίσης συγκλίνουν. Sumi dorivnyuvatimut Α+Βі Α-Βπροφανώς.
Προσδιορίστε ποια σειρά θα σβήσει ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .
Ας αλλάξουμε ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . Η σειρά ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 θεωρείται παρόμοια, αλλά η σειρά ∑ k = 1 ∞ 1 k s φεύγει στο s > 1. Ανάλογα με την άλλη ισχύ, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .
πισινό 5
Έστω η σειρά ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 να συγκλίνει.
Αναστρέψιμη παραλλαγή cob ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞.
Αφαιρούμε το άθροισμα ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 και ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Η δερμάτινη σειρά αναγνωρίζεται ως τέτοια που είναι δυνατό να κατέβει στην αρχή. Τα θραύσματα της σειράς συγκλίνουν, τότε η επιλογή εξόδου είναι η ίδια.
πισινό 6
Υπολογίστε πώς συγκλίνουν οι σειρές 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . και υπολογίστε το ποσό.
Επιλογή εξόδου:
1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . == 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +. . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2
Οι δερμάτινες σειρές συγκλίνουν, τα θραύσματα είναι ένα από τα μέλη της αριθμητικής ακολουθίας. Vіdpovіdno στην τρίτη κυριαρχία, μπορούμε να μετρήσουμε, παραλλαγή scho vihіdny είναι επίσης παρόμοια. Το άθροισμα υπολογίζεται: Ο πρώτος όρος της σειράς είναι ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, και το πρότυπο = 0 . 5 , μετά ακολουθεί, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Ο πρώτος όρος ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , και το πρόσημο της φθίνουσας αριθμητικής ακολουθίας = 1 3 . Παίρνουμε: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .
Ο Vykoristuєmo virazi, είχε περισσότερη εμμονή, για να υπολογίσει το άθροισμα 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7
Απαραίτητη ευφυΐα για το ραντεβού, chi є μια σειρά από παρόμοια
Ραντεβού 11Αν η σειρά ∑ k = 1 ∞ ak є είναι παρόμοια, τότε κ-ουόρος = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .
Αν θέλουμε να το πιστέψουμε, είτε πρόκειται για παραλλαγή, είναι απαραίτητο να μην ξεχνάμε το μη αυθεντικό μυαλό. Εάν δεν κερδίσει, η σειρά θα διασκορπιστεί. Όπως το lim k → + ∞ a k ≠ 0 , η σειρά είναι διαφορετική.
Στη συνέχεια, προσδιορίστε τι είναι σημαντικό το μυαλό, αλλά δεν είναι αρκετό. Εφόσον η ισότητα lim k → + ∞ a k = 0 κερδίζει, δεν εγγυάται ότι η ∑ k = 1 ∞ a k είναι παρόμοια.
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Για την αρμονική σειρά ∑ k = 1 ∞ 1 k, η Umoff vikonuetsya lim k → + ∞ 1 k = 0, αλλά η σειρά εξακολουθεί να αποκλίνει.
πισινό 7
Υπολογίστε την απόδοση ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .
Ας επανεξετάσουμε το lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0
Mezha απείρως μικρόςτο μέλος δεν είναι καλό 0 . Mi έφερε, scho tsey σειρά να διαλυθεί.
Πώς να ορίσετε τη σειρά με θετικό πρόσημο zbіzhnіst.
Πώς να κατατάσσετε συνεχώς με τα ζώδια που σας έχουν ανατεθεί, για να μπορείτε να μετράτε συνεχώς τα όρια. Tsej razdіl προστέθηκε για να βοηθήσει να αποθηκευτούν διπλωμένα pіd ώρα vypіshennya priklіv ότι zavdan. Για να ορίσετε τη σειρά με θετικό πρόσημο zbіzhnіst, іsnuє pevna umova.
Για θετικό πρόσημο ∑ k = 1 ∞ a k , ak > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το ποσό των ποσών.
Ο Yak porivnyuvati κατατάσσεται
Το Іsnuє kіlka είναι ένα σημάδι της ευθυγράμμισης των σειρών. Mi porіvnyuєmo σειρά, zbіzhnіst kakogo proponuetsya vznáchiti, іz tim κοντά, zbіzhnіst yak vіdoma.
Σημάδι Persha
∑ k = 1 ∞ a k και ∑ k = 1 ∞ b k - σειρά θετικού πρόσημου. Ανομοιομορφία a k ≤ b k ισχύει για k = 1, 2, 3, ...Μπορούμε να πάρουμε ∑ k = 1 ∞ a k στη σειρά ∑ k = 1 ∞ b k . Oskіlki ∑ k = 1 ∞ a k απόκλιση, η σειρά ∑ k = 1 ∞ b k μπορεί να ληφθεί ως απόκλιση.
Αυτός ο κανόνας δικαιώνεται συνεχώς για χάρη της τελειότητας και είναι ένα σοβαρό επιχείρημα, που θα σας βοηθήσει να υποδηλώσετε zbіzhnist. Το Skladnoshchi μπορεί να βρίσκεται στο γεγονός ότι πρέπει να πάρετε έναν πισινό για porivnyannya που μπορείτε να ξέρετε μακριά από την κατάθλιψη του δέρματος. Για να τελειώσετε συχνά ένας αριθμός επιλέγεται σύμφωνα με την αρχή κ-ουμέλος του dorіvnyuvatime στο αποτέλεσμα του vіdnіmannya pokaznіvіv staіnіv stаіv nіdnik і znamennik κ-ουτα μέλη είναι χαμηλά. Είναι αποδεκτό ένα k \u003d k 2 + 3 4 k 2 + 5 2 – 3 = - 1 . Στο στον συγκεκριμένο τύπομπορείτε να προσδιορίσετε ποια σειρά είναι απαραίτητη για την ευθυγράμμιση k-imμέλος b k = k - 1 = 1 k, που είναι αρμονικό.
Για να κλείσουμε το υλικό, ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικές τυπικές επιλογές λεπτομερώς.
πισινό 8
Σημαντικά, το yakim είναι η σειρά ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 .
Θραύσματα ορίου = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 mi viconals απαραίτητο μυαλό. Η ανομοιομορφία θα είναι δίκαιη 1 k< 1 k - 1 2 для κ , yakі є φυσικό. Από τις προηγούμενες παραγράφους, αναγνωρίσαμε ότι η αρμονική σειρά ∑ k = 1 ∞ 1 k είναι διαφορετική. Με το πρώτο σημάδι, μπορεί να φανεί ότι η τελική επιλογή είναι rozbіzhnym.
πισινό 9
Είναι σημαντικό, chi є μια σειρά παρόμοια ή διαφορετική ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .
Για ποιο πισινό χρειάζεται ευφυΐα, τα θραύσματα lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 . Σερβίρετε στη θέα της ανομοιομορφίας 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения κ. Η σειρά ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 είναι παρόμοια, αλλά η αρμονική σειρά ∑ k = 1 ∞ 1 k s συγκλίνουν όταν s > 1. Zgidno με το πρώτο πρόσημο, μπορούμε να δημιουργήσουμε visnovok, ότι η σειρά αριθμών είναι παρόμοια.
πισινό 10
Vznachiti, yakim є σειρά ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) . lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .
Για ποιον, όλες οι επιλογές μπορούν να ονομαστούν vikonannya απαραίτητο μυαλό. Σημαντικά ένας αριθμός διαφορών. Για παράδειγμα, ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Για να προσδιορίσουμε γιατί το πόδι είναι καλό, μπορούμε να δούμε την ακολουθία (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . Μέλη ακολουθίας ln (ln 3), ln (ln 4), ln (ln 5),. . . zbіshuєtsya στο άπειρο. Αφού αναλύσουμε την ισότητα, μπορούμε να πούμε ότι, παίρνοντας το ρόλο της τιμής N = 1619, τότε τα μέλη της ακολουθίας > 2. Για αυτήν την ακολουθία, θα ισχύει η ανισότητα 1 k ln (ln k).< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.
Άλλο ένα σήμα
Ας υποθέσουμε ότι ∑ k = 1 ∞ a k και ∑ k = 1 ∞ b k είναι αριθμητικές σειρές με θετικό πρόσημο.
Αν lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , τότε οι σειρές ∑ k = 1 ∞ b k συγκλίνουν, i ∑ k = 1 ∞ a k συγκλίνουν επίσης.
Αν lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , εάν η σειρά ∑ k = 1 ∞ b k αποκλίνει, τότε ∑ k = 1 ∞ ak επίσης αποκλίνουν.
Αν lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ i lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , τότε η επεκτασιμότητα της κλιμάκωσης της σειράς σημαίνει την κλιμάκωση της κλίμακας της άλλης.
Ας ρίξουμε μια ματιά στο ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 για άλλα ζώδια. Για την ευθυγράμμιση ∑ k = 1 ∞ b k πάρτε τη σειρά ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Σημαντικά μεταξύ: lim k → + ∞ k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1
Με ένα άλλο πρόσημο, μπορεί κανείς να υποδείξει ότι η σειρά ∑ k = 1 ∞ 1 k 3, που συγκλίνει, σημαίνει ότι συγκλίνει και η παραλλαγή cob.
πισινό 11
Σημαντικά, το yakim είναι η σειρά ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 .
Ας αναλύσουμε το απαραίτητο μυαλό lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 , καθώς σε αυτή την παραλλαγή είναι νικηφόρος. Παρόμοια με ένα άλλο σημάδι, πάρτε τη σειρά ∑ k = 1 ∞ 1 k . Shukaєmo μεταξύ: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k →
Zgіdno με καθοδηγητικές διατριβές, μια σειρά που αποκλίνει, αποσπάται σε μια σειρά εξόδων.
τρίτο σημάδι
Ας δούμε το τρίτο σημάδι ενός διαλείμματος.
Ας υποθέσουμε ότι οι ∑ k = 1 ∞ a k και _ ∑ k = 1 ∞ b k είναι αριθμητικές σειρές με θετικό πρόσημο. Αν είναι συνετό να υπολογίσουμε για τον επόμενο αριθμό a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k , τότε η απόδοση αυτής της σειράς ∑ k = 1 ∞ b k σημαίνει ότι η σειρά ∑ k = 1 ∞ ak είναι επίσης παρόμοια. Razbіzhny σειρά ∑ k = 1 ∞ a k σύρετε πίσω του razbіzhnіst ∑ k = 1 ∞ b k .
Σημάδι του d'Alembert
Ας υποθέσουμε ότι ∑ k = 1 ∞ a k είναι μια σειρά αριθμών με θετικό πρόσημο. Πώς lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1 τότε ας το αναλύσουμε.
Σεβασμός 1
Το σημάδι του d'Alembert είναι δίκαιο σε αυτή τη στάση, καθώς τα σύνορα δεν είναι στενά.
Αν lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , τότε η σειρά є είναι παρόμοια, αν lim k → ∞ ak + 1 ak = + ∞ , τότε διαιρούμε.
Εάν lim k → + ∞ ak + 1 ak = 1 , τότε το σύμβολο d'Alembert δεν είναι χρήσιμο και είναι απαραίτητο να διεξαχθεί περισσότερη έρευνα.
πισινό 12
Είναι σημαντικό, chi є μια σειρά παρόμοια ή διαφορετική ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k πίσω από το σύμβολο d'Alembert.
Είναι απαραίτητο να αναθεωρήσουμε, τι χρειάζεται για να κερδίσουμε το μυαλό. Ας υπολογίσουμε την απόσταση, χρησιμοποιώντας τον κανόνα Lopital: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 "2 k" = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ log 2 = 0
Μπορούμε να μιλήσουμε για το τι κερδίζουν τα μυαλά. Χρησιμοποιώντας το σύμβολο d'Alembert: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1
Σειρά є παρόμοια.
πισινό 13
Είναι σημαντικό, chi є μια σειρά αυθαίρετα ∑ k = 1 ∞ k k k ! .
Χρησιμοποιούμε το σύμβολο d'Alembert για να δείξουμε τη διαφορά στη σειρά: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! κ κ κ ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k! k k · (k + 1)! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1
Otzhe, μια σειρά από є razbіzhnim.
Ριζοσπαστικό σημάδι του Kosh
Είναι πιθανό ότι ∑ k = 1 ∞ a k είναι μια μη θετική σειρά. Πώς lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1 τότε ας το αναλύσουμε.
Σεβασμός 2
Εάν lim k → + ∞ ak k k = 1 , τότε αυτό το σύμβολο δεν δίνει τις επιθυμητές πληροφορίες - είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί πρόσθετη ανάλυση.
Tsya σημάδι μπορεί να είναι buti vikoristan σε πισινό, yakі εύκολα vyznachiti. Το Vipadok θα είναι χαρακτηριστικό μόνο εάν ένα μέλος της αριθμητικής σειράς - tse δείχνει εντυπωσιακό viraz.
Για να κλείσουμε τις πληροφορίες του otriman, ας δούμε ένα δείγμα χαρακτηριστικών παραδειγμάτων.
πισινό 14
Σημαντικά, το chi είναι μια θετική σειρά ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k σε παρόμοια.
Χρειάζεται μυαλό για να σεβαστεί το vikonan, θραύσματα lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .
Κοιτάζοντας το σημάδι, κοιτάζοντας μέσα από το μάτι, μπορούμε να υποθέσουμε lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Σειρά Tseyє παρόμοια.
πισινό 15
Chi παρόμοια σειρά αριθμών ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 .
Σημείο Vikorist, που περιγράφεται στην προηγούμενη παράγραφο lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.
Αναπόσπαστο σημάδι του Koshi
Ας υποθέσουμε ότι το ∑ k = 1 ∞ ak є είναι μια σειρά θετικού πρόσημου. Είναι απαραίτητο να ορίσουμε τη συνάρτηση ενός μη μόνιμου ορίσματος y = f(x), Τι τρέχει a n = f (n) . Yakscho y = f(x)μεγαλύτερο από μηδέν, μην σπάσει και αλλάξει σε [a; + ∞), όπου a ≥ 1
Στη συνέχεια, στην κορυφή, το yakscho μη ταξινομημένο ολοκλήρωμα∫ a + ∞ f (x) d x є παρόμοια, τότε η σειρά που μπορείτε να δείτε συγκλίνει επίσης. Εάν τα κρασιά είναι χωρισμένα, τότε στον πισινό διαχωρίζονται και ορισμένα από αυτά.
Όταν αντιστρέφετε την αλλαγμένη λειτουργία, μπορείτε να δείτε το υλικό που εξετάστηκε στα προηγούμενα μαθήματα.
πισινό 16
Ρίξτε μια ματιά στο απόθεμα ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k για σκοπιμότητα.
Η ενσυνειδητότητα στη σειρά γίνεται σεβαστή από το vikonan, κλιμακώνοντας lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Ας δούμε το y = 1 x ln x. Το Won είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, δεν διακόπτεται και αλλάζει σε [2; +∞). Οι δύο πρώτες παράγραφοι είναι προκαθορισμένες και στην τρίτη επόμενη, υπάρχει μια αναφορά. Γνωρίζουμε καλύτερα: y "= 1 x ln x" = x ln x "x ln x 2 = ln x + x 1 x x ln x 2 = - ln x + 1 x ln x 2. Κέρδισε λιγότερα για μηδέν στο [ 2 ; + ∞) Δεν είναι απαραίτητο να φέρουμε τη διατριβή για εκείνα που η συνάρτηση αποσυντίθεται.
Λοιπόν, η συνάρτηση y = 1 x · ln x δείχνει σημάδια της αρχής που έχουμε δει περισσότερο. Επιτάχυνση: ∫ 2 + ∞ d x x ln x = lm A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+∞)) - ln (ln 2) = + ∞
Vіdpovіdno μέχρι τα αποτελέσματα otrimanih, vyhіdny πισινό αποκλίνουν, θραύσματα ακατάλληλης ενσωμάτωσης є razbіzhnym.
πισινό 17
Επεκτείνετε τη σειρά ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .
Oskіlki lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, τότε το Umov τηρείται από το vikonana.
Ξεκινώντας από k = 4 , virniy viraz 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .
Εάν η σειρά ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 θα θεωρηθεί παρόμοια, τότε, σύμφωνα με μία από τις αρχές της ευθυγράμμισης, η σειρά ∑ k = 4 ∞ 1 ( 10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 μπορεί επίσης να είναι παρόμοια. Σε αυτήν την κατάταξη, μπορούμε να δηλώσουμε ότι το τρέχον viraz είναι επίσης παρόμοιο.
Προχωρήστε στην απόδειξη ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .
Κλίμακα συνάρτηση y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 μεγαλύτερη από το μηδέν, μην σπάσει και αλλάξτε σε [ 4 ; +∞). Σημάδι Vikoristovuemo, που περιγράφεται στην μπροστινή παράγραφο:
∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 |4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 ln 28 2
Στη συντομότερη σειρά που συγκλίνει, ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 , μπορούμε να βρούμε ότι ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8) )) 3 επίσης συγκλίνουν.
Oznaka Raabe
Είναι πιθανό ότι ∑ k = 1 ∞ a k είναι μια θετική σειρά αριθμών.
Yakscho lim k → + ∞ k ak a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, μετά σύγκλιση.
Η δανική μέθοδος χαρακτηρισμού μπορεί να είναι νικηφόρα σε αυτήν την περίπτωση, καθώς η περιγραφόμενη τεχνική δεν δίνει ορατά αποτελέσματα.
Doslіdzhennya στο απόλυτο zbіzhnіst
Για τα υπόλοιπα, παίρνουμε ∑ k = 1 ∞ b k. Θετικό Vikorist ∑ k = 1 ∞ b k . Μπορούμε να vikoristovuvat be-yak z vіdpovіdnyh σημάδι, yakі περιγράψαμε περισσότερα. Εάν η σειρά ∑ k = 1 ∞ b k συγκλίνουν, τότε η αρχική σειρά είναι απολύτως παρόμοια.
πισινό 18
Συνεχίστε τη σειρά ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 προς τα αριστερά ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2k-1.
Umov lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Vikoristovo ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 i επιταχύνει με ένα άλλο πρόσημο: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .
Η σειρά ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 συγκλίνουν. Η εξωτερική σειρά είναι επίσης απολύτως παρόμοια.
Razbіzhnіst znazmіnіh ryadі
Ακριβώς όπως η σειρά ∑ k = 1 ∞ b k είναι ανόμοια, τότε η ίδια γνωστή σειρά πρόσημων ∑ k = 1 ∞ b k είναι είτε ανόμοια είτε διανοητικά παρόμοια.
Αντί για το πρόσημο του d'Alembert και το πρόσημο του ριζικού Cauchy, είναι δυνατό να συμπληρωθεί το vysnovki περίπου ∑ k = 1 ∞ b k για την επέκταση των μονάδων ∑ k = 1 ∞ b k . Οι σειρές ∑ k = 1 ∞ b k επίσης αποκλίνουν, έτσι ώστε να μην κερδίζει η απαραίτητη νοητική σκοπιμότητα, ώστε να lim k → ∞ + b k ≠ 0 .
πισινό 19
Αντίστροφη μεταβλητότητα 1 7 , 2 7 2 , - 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 - 720 7 6 , . . . .
Μονάδα μέτρησης κ-ουμέλος παραστάσεων ak b k = k! 7 κ.
Συνεχίστε τη σειρά ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k! 7 k στην άκρη πέρα από το σύμβολο d'Alembert: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7k + 1k! 7 k = 1 7 limk → + ∞ (k + 1) = + ∞.
∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k disperse like i, like i exit option.
πισινό 20
Chi є ∑ k = 1 ∞ (-1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) παρόμοια.
Ας ρίξουμε μια ματιά στην απαραίτητη θεωρία του Umov lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 "(ln (k + 1))" = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Το Umov δεν είναι Vikonan, επομένως ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) είναι μια σειρά από επεκτάσεις. Το όριο του bula υπολογίστηκε σύμφωνα με τον κανόνα Lopital.
Σημάδια ψυχικής υγείας
Σημάδι του Leibnitz
Ραντεβού 12Ως το μέγεθος των μελών της σειράς, που σχεδιάζονται, αλλάξτε b 1 > b 2 > b 3 >. . . >. . . і inter module = 0 ως k → + ∞ , τότε εκτελείται η σειρά ∑ k = 1 ∞ b k.
πισινό 17
Ρίξτε μια ματιά στο ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) για την ευκαιρία.
Μια σειρά παραστάσεων yak ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . Η ανάγκη για umova lim k + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Ας δούμε το ∑ k = 1 ∞ 1 k πίσω από ένα άλλο σύμβολο εξισορρόπησης lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5
Είναι πιθανό να αποκλίνουν ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1). Σειρές ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) συγκλίνουν μετά το πρόσημο Leibniz: ακολουθία 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10 , 2 2 + 1 5 2 ( 2 + 1) = 5 30 , 2 3 + 1 5 3 3 + 1, . . . αλλαγές i lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .
Ένας αριθμός διανοητικά συγκλίνουν.
Σημάδι του Abel-Dirichlet
Ραντεβού 13∑ k = 1 + ∞ u k · v k σβήνουν σε εκείνο το σημείο, επειδή το ( u k ) δεν μεγαλώνει, και η ακολουθία ∑ k = 1 + ∞ v k είναι περιορισμένη.
πισινό 17
Συνεχίστε 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . για ευκολία.
ορατός
1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k
de(u k) = 1, 1 2, 1 3,. . . - Ασταθής, και ακολουθία (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2,. . . κρόσσια (S k ) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. . . . Ένας αριθμός συγκλίνουν.
Πώς θυμηθήκατε τη συγγνώμη στο κείμενο, να είστε ευγενικοί, δείτε το και πατήστε Ctrl + Enter
Σειρά Harmony- ένα άθροισμα, συσσωρευμένο από άπειρο αριθμό μελών, τυλιγμένο στους τελευταίους αριθμούς της φυσικής σειράς:
∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 k + ⋯ )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1) (3))+(\frac (1)(4))+cdots +(\frac (1) (k))+cdots ).Εγκυκλοπαιδικό YouTube
1 / 5
✪ Αριθμητικές σειρές. Βασική κατανόηση - bezbotvy
✪ Απόδειξη της ποικιλομορφίας της αρμονικής σειράς
✪ Αριθμός σειρών-9. Skhіdnіst i razbіzhnіst μια σειρά από Dirichle
✪ Διαβούλευση Νο. 1. Χαλάκι. ανάλυση. Σειρές Four σύμφωνα με το τριγωνομετρικό σύστημα. Η πιο απλή δύναμη
✪ ΣΕΙΡΑ. κοιτάω τριγύρω
Υπότιτλοι
Το άθροισμα των πρώτων n όρων στη σειρά
Okremі μέλη της σειράς για να σπάσει το μηδέν, αλλά yogo σενάριο για να διασκορπιστεί. Το άθροισμα του ν-ου μέρους της s n αρμονικής σειράς ονομάζεται ν-ος αρμονικός αριθμός:
s n = ∑ k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1 )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+cdots +(\frac (1) ( ιδ)))Πραγματικές αξίες ιδιωτικών ποσών
| s 1 = 1 s 2 = 3 2 = 1 , 5 s 3 = 11 6 ≈ 1,833 s 4 = 25 12 ≈ 2,083 s 5 = 137 60 ≈ 2,283 (\displaystyle (\x)(\x)(αρχή) \\s_(2)&=&(\frac (3)(2))&=&1(,)5\\\\s_(3)&=&(\frac (11)(6))& \περίπου &1(,)833\\\\s_(4)&=&(\frac (25)(12))&\περίπου &2(,)083\\\s_(5)&=&(\frac (137) (60))&\περίπου &2(,)283\end(μήτρα))) | s 6 = 49 20 = 2,45 s 7 = 363 140 ≈ 2,593 s 8 = 761 280 ≈ 2,718 s 10 3 ≈ 7,484 s 10 6 ≈ 2,&c) (2, fra=14,3) )45\\\\s_(7)&=&(\frac (363)(140))&\περίπου &2(,)593\\\s_ (8)&=&(\frac (761)( 280) )&\περίπου &2(,)718\\\\s_(10^(3))&\περίπου &7(,)484\\\\s_( 10^(6))&\περίπου &14(,) 393\ τέλος (μήτρα))) |
Φόρμουλα Euler
Στην τιμή ε n → 0 (\displaystyle \varepsilon _(n)\δεξιό βέλος 0)πατέρα, για τους μεγάλους n (\displaystyle n):
s n ≈ ln (n) + γ (\displaystyle s_(n)\ approx \ln(n)+\gamma )- Πρώτα ο τύπος του Euler για το sumi n (\displaystyle n)μέλη της αρμονικής σειράς.| n (\displaystyle n) | s n = ∑ k = 1 n 1 k (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1)(k))) | ln (n) + γ (\displaystyle \ln(n)+\gamma ) | ε n (\displaystyle \varepsilon _(n)), (%) |
| 10 | 2,93 | 2,88 | 1,7 |
| 25 | 3,82 | 3,80 | 0,5 |
Ο πιο ακριβής ασυμπτωτικός τύπος για το μερικό άθροισμα της αρμονικής σειράς είναι:
s n ≍ ln (n) + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + 1 120 n 4 − 1 252 n 6 ⋯ = ln (n) + γ + 1 2 n − ∑ k = 2 k = 1 k (στυλ εμφάνισης s_(n)\asymp \ln(n)+\γάμα +(\frac (1)(2n))-(\frac (1)(12n^(2)))+(\frac (1) (120n^(4)))-(\frac (1)(252n^(6))\dots =\ln(n)+\γάμα +(\frac (1)(2n))- \sum _( k=1)^(\infty )(\frac (B_(2k))(2k\,n^(2k)))), ντε B 2 k (\displaystyle B_(2k))- Numbers Bernoulli.Των οποίων η σειρά να διαλυθεί, υπέρ της συγγνώμης για τον υπολογισμό της νέας σε καμία περίπτωση δεν υπερβαίνει το μισό του πρώτου προεξέχοντος μέλους.
Αριθμός-θεωρητική ισχύς ιδιωτικών ποσών
∀ n > 1 s n ∉ N (\displaystyle \forall n>1\;\;\;\;s_(n)\notin \mathbb (N) )
Σειρά Razbіzhnіst
S n → ∞ (\displaystyle s_(n)\δεξιό βέλος \infty )στο n → ∞ (\displaystyle n\δεξιό βέλος \infty)
Αρμονικές σειρές να αποκλίνουνακόμα καλύτερα (για να ξεπεράσει το ιδιωτικό άθροισμα τα 100, είναι απαραίτητο να υπάρχουν κοντά στα 1043 στοιχεία στη σειρά).
Η ποικιλομορφία της αρμονικής σειράς μπορεί να αποδειχθεί ευθυγραμμίζοντάς την με την τηλεσκοπική σειρά:
v n = ln (n + 1) − ln n = ln (1 + 1 n) ~ + ∞ 1 n (\displaystyle v_(n)=\ln(n+1)-\ln n=\ln \ αριστερά(1+(\frac (1)(n))\right)(\underset (+\infty )(\sim ))(\frac (1)(n))),το άθροισμα του chastkov του οποίου, προφανώς, είναι πιο ακριβό:
∑ i = 1 n − 1 v i = ln n ~ s n (\displaystyle \sum _(i=1)^(n-1)v_(i)=\ln n\sim s_(n)).Η απόδειξη του Orem
Η απόδειξη της διαφορετικότητας μπορεί να ενθαρρυνθεί, ομαδοποιώντας το dodanki με αυτή τη σειρά:
∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + [ 1 2 ] + [ 1 3 + 1 4 ] + [ 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ] + [ 1 9 + ⋯ ] + ⋯ > 1 + [ 1 2 ] + [ 1 4 + 1 4 ] + [ 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ] + [ 1 16 + ⋯ ] + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ . (\displaystyle (\begin(στοίχιση)\sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k))&()=1+\αριστερά[(\frac (1)(2) )\δεξιά]+\αριστερά[(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))\right]+\αριστερά[(\frac (1)(5))+(\frac (1)(6))+(\frac (1)(7))+(\frac (1)(8))\δεξιά]+\αριστερά[(\frac (1)(9))+\cdots \ δεξιά]+\cdots \\&()>1+\αριστερά[(\frac (1)(2))\δεξιά]+\αριστερά[(\frac (1)(4))+(\frac (1) (4))\δεξιά]+\αριστερά[(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1) (8))\δεξιά]+\αριστερά[(\frac (1)(16))+cdots \right]+cdots \&()=1+\ (\frac (1)(2))\ \ \ + \quad (\frac (1) (2)) \ \quad + \qquad \quad (\frac (1) (2)) \quad \ \quad \ + \quad \ (\frac (1)(2)) \quad +\cdots .end(ευθυγραμμισμένο)))Η υπόλοιπη σειρά, προφανώς, να διαλυθεί. Αυτή η απόδειξη ανήκει στον μεσοαστικό κληρικό Mykola Orem (bl. 1350).
Εναλλακτική απόδειξη ανομοιότητας
proponuєmo chitachevi perekonatisya με τη συγγνώμη αυτής της απόδειξης
Λιανεμποριο n (\displaystyle n)-ος αρμονικός αριθμός και φυσικός λογάριθμος n (\displaystyle n)συγκλίνουν στη μετά-Euler-Mascheroni.
Η διαφορά μεταξύ διαφορετικών αρμονικών αριθμών δεν είναι σε καμία περίπτωση ίση με τον ακέραιο αριθμό και τον ίδιο αρμονικό αριθμό, crim H 1 = 1 (\displaystyle H_(1)=1)όχι є qіlim.
Δεμένες σειρές
Σειρά Dirichle
Ας ονομάσουμε τη σειρά
∑ k = 1 ∞ 1 k α = 1 + 1 2 α + 1 3 α + 1 4 α + ⋯ + 1 k α + ⋯ (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty )(\frac ( 1)(k^(\alpha )))=1+(\frac (1)(2^(\alpha )))+(\frac (1)(3^(\alpha )))+(\frac ( 1)(4^(\alpha )))+\cdots +(\frac (1)(k^(\alpha )))+\cdots ).Οι σειρές εναρμόνισης αποκλίνουν όταν α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1)συγκλίνω για α > 1 (\displaystyle \alpha >1) .
Το άθροισμα της αρμονικής σειράς με κόμπους κατά σειρά α (\displaystyle \alpha)πιο σημαντική τιμή της συνάρτησης ζήτα Riemann:
∑ k = 1; ))Για τα παιδιά, η τιμή εκφράζεται ξεκάθαρα μέσω του αριθμού pi, για παράδειγμα, ζ (2) = π 2 6 (\displaystyle \zeta (2)=(\frac (\pi ^(2))(6))), Και για α=3 η τιμή του είναι αναλυτικά άγνωστη.
Μια άλλη απεικόνιση της ποικιλομορφίας της αρμονικής σειράς μπορεί να είναι ζ (1 + 1 n) ~ n (\displaystyle \zeta (1+(\frac (1)(n)))\sim n) . Σε αυτό φαίνεται ότι μια τέτοια σειρά μπορεί να είναι imovirnist 1, και στο άθροισμα της σειράς είναι μια αξία vipadkovy με ισχυρές δυνάμεις. Για παράδειγμα, η συνάρτηση, η ισχύς και η κινητικότητα, που υπολογίζονται στα σημεία +2 ή −2 μπορεί να είναι η τιμή:
0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,αερίζεται σε ⅛ λιγότερο χαμηλότερα 10 −42 .
Σειρά αρμονίας "Vitonic".
Σειρά Kempner (Αγγλικά)Αν κοιτάξετε τη σειρά αρμονίας, στην οποία λείπουν μόνο ντοντάνκι, τα πανό της οποίας δεν εκδικούνται τον αριθμό 9, τότε θα εμφανιστεί, ποιο το σενάριο, τι χάνεται, συγκλίνουν στον αριθμό<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе n (\displaystyle n), όλο και λιγότερο το dodankiv λαμβάνεται για το σούμι της σειράς «πληγή». Έτσι ώστε στην τελική rahunka φαίνεται ότι ο μεγαλύτερος αριθμός μελών είναι πιο σημαντικός, έτσι ώστε να καθιερωθεί το άθροισμα της αρμονικής σειράς, ώστε να μην ανατραπεί η γεωμετρική πρόοδος που περιβάλλει το θηρίο.
Pereviriti zbіzhnist με διάφορους τρόπους μπορεί να kіlkom. Πρώτον, μπορείτε απλά να ξέρετε άθροισμα στη σειρά. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τον τελικό αριθμό, τότε τέτοιο οι σειρές συγκλίνουν. Για παράδειγμα, θραύσματα
τότε η σειρά θα συγκλίνει. Παρόλο που δεν μπορέσαμε να μάθουμε το άθροισμα της σειράς, θα πρέπει να προσπαθήσουμε να κερδίσουμε άλλες μεθόδους για τον επανέλεγχο της κερδοφορίας της σειράς.
Μία από αυτές τις μεθόδους είναι σημάδι d'Alembert
εδώ πρέπει να αντιστοιχίσω τα n-ο και (n+1)-ο μέλη της σειράς και η τιμή εξαρτάται από τις τιμές του D: Όπως D< 1 - ряд сходится, если D >
Όπως ένας πισινός, το doslіdzhuєmo zbіzhnіst είναι χαμηλό με πρόσθετα σημάδια του d'Alembert. Θα γράψουμε τον στίχο για το i. Τώρα ξέρουμε vіdpovіdny Όριο :
Θραύσματα, ορατά στα ζώδια του d'Alembert, οι σειρές συγκλίνουν.
Μια άλλη μέθοδος που σας επιτρέπει να αντιστρέψετε τον αριθμό των ριζοσπαστικό σημάδι Kosha, η οποία καταγράφεται από την επόμενη κατάταξη:
εδώ είναι το ν-ο μέλος της σειράς και το zbіzhnist, όπως στην περίπτωση των σημείων του d'Alembert, εκχωρείται στις τιμές του D: Όπως D< 1 - ряд сходится, если D >1 - διασπορά. Όταν D = 1 - αυτό το σημάδι δεν παρέχει πρόσθετα στοιχεία και είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί πρόσθετη παρακολούθηση.
Για παράδειγμα, doslіdzhuєmo zbіzhnіst μια σειρά από πρόσθετα ριζοσπαστικά σημάδια του Koshі. Ας γράψουμε ένα viraz για . Τώρα γνωρίζουμε τη διαφορά μεταξύ:
Oskіlki vydpovіdno σε ριζοσπαστικά σημάδια του Koshі, μια σειρά από διασπορά.
Ο Varto ορίζει ότι η σειρά έχει αναδιαταχθεί, για να χρησιμοποιηθούν άλλα σημάδια της διαδοχής των σειρών, όπως το αναπόσπαστο σύμβολο του Kosh, το σύμβολο του Raabe και το іn.
Μας ηλεκτρονική αριθμομηχανή, Τα κίνητρα βάσει του συστήματος Wolfram Alpha σάς επιτρέπουν να διαμαρτυρηθείτε στη σειρά. Όταν το tsiomu, όπως μια αριθμομηχανή για μια σειρά, μοιάζει με έναν συγκεκριμένο αριθμό, η σειρά συγκλίνει. Διαφορετικά, είναι απαραίτητο να δώσετε προσοχή στην παράγραφο "Δοκιμή της απόδοσης στη σειρά". Εάν υπάρχει μια φράση "η σειρά συγκλίνει", τότε η σειρά συγκλίνει. Εάν υπάρχει μια φράση "η σειρά αποκλίνει", τότε η σειρά θα αποκλίνει.
Ακολουθεί μια μετάφραση των πιθανών τιμών για το στοιχείο "Δοκιμή απόδοσης σειράς":
| Κείμενο ενεργό αγγλική γλώσσα | Ρωσικό κείμενο |
|---|---|
| Με τη δοκιμή αρμονικής σειράς, οι αποκλίσεις της σειράς. | Όταν por_vnyannі doslіdzhuvannogo σειρά με harmonіymi σειρά vihіdny σειρά διασκορπίζονται. |
| Η δοκιμή αναλογίας είναι ασαφής. | Το ζώδιο του d'Alembert είναι αδύνατο να χρονολογηθεί στη σειρά. |
| Το τεστ ρίζας είναι ασαφές. | Το ριζοσπαστικό ζώδιο του Kosh δεν μπορεί να δώσει καμία ένδειξη για την επιτυχία της σειράς. |
| Με συγκριτικό τεστ, η σειρά συγκλίνει. | Πίσω από το σημάδι της ευθυγράμμισης, οι σειρές συγκλίνουν |
| Με τη δοκιμή αναλογίας, η σειρά συγκλίνει. | Πίσω από το σήμα d'Alembert, οι σειρές συγκλίνουν |
| Με την οριακή δοκιμή, οι αποκλίσεις σειρών. | Με βάση το γεγονός ότι title="(!LANG:(!LANG:Ανάμεσα στο nο μέλος της σειράς όταν το n->oo δεν είναι ίσο με μηδέν ή όχι"> , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится. !}!} |
Vidpovid: σειρά για να αποκλίνουν.
Πισινό #3
Βρείτε το άθροισμα της σειράς $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.
Το oskіlki κάτω intera pіdsumovuvannya dorіvnyuє 1, στη συνέχεια το κύριο μέλος της σειράς καταχωρήσεων κάτω από το σύμβολο sumi: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Η αποθήκευση του nου ιδιωτικού ποσού είναι χαμηλή, πολύ. υποθετικά τα πρώτα $n$ μέλη της δεδομένης αριθμητικής σειράς:
$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9cdot 11)+ldots+frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$
Το γιατί γράφω $\frac(2)(3\cdot 5)$ εγώ, και όχι $\frac(2)(15)$, θα είναι ξεκάθαρο από μακριά. Ωστόσο, το ρεκόρ του ιδιωτικού ποσού δεν μας έφερε ούτε ένα γιώτα πιο κοντά. Ακόμα κι αν χρειάζεται να γνωρίζουμε $\lim_(n\to\infty)S_n$, διαφορετικά μπορούμε απλά να γράψουμε:
$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$
τότε αυτός ο δίσκος, απόλυτα αληθινός στη φόρμα, δεν θα μας δώσει τίποτα στην ουσία. Schob για να μάθετε τα όρια, viraz το ιδιωτικό sumi, είναι απαραίτητο να ρωτήσετε εκ των προτέρων.
Για ποιον είναι ο τυπικός μετασχηματισμός, ο οποίος χρησιμοποιείται στο κλάσμα $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, καθώς αντιπροσωπεύει το κύριο μέλος της σειράς, στοιχειώδη κλάσματα. Η κατανομή τροφής των ορθολογικών κλασμάτων στο δημοτικό είναι αφιερωμένη στο θέμα (διαίρεση, για παράδειγμα, πισινό Νο. 3 στην άλλη πλευρά). Επέκταση $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ σε στοιχειώδη κλάσματα, μαθηματικά:
$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n ) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$
Ας συγκρίνουμε τους αριθμούς των κλασμάτων στο αριστερό και το δεξί μέρος της ισότητας που λαμβάνεται:
$$ 2=Acdot(2n+3)+Bcdot(2n+1). $$
Για να μάθετε την τιμή των $A$ και $B$, є δύο τρόποι. Μπορείτε να ανοίξετε τα χέρια και να ανασυγκροτήσετε το dodanki ή μπορείτε απλώς να βάλετε την αντικατάσταση των $n$ acts έγκυρες τιμές. Για παράδειγμα, για ποικιλομορφία στο πρώτο πισινό, δίνεται ο πρώτος τρόπος και για τον επόμενο - δίνεται η ιδιωτική αξία $n$. Ανοίγοντας τις καμάρες και ανασυγκροτώντας το dodanki, είναι απαραίτητο:
$$ 2=2An+3A+2Bn+B; 2=(2A+2B)n+3A+B. $$
Το αριστερό μέρος της ισότητας έχει μηδέν πριν από $n$. Όπως πάντα, το τελευταίο μέρος της ισορροπίας για ακρίβεια είναι δυνατό ως $0\cdot n+ 2$. Εφόσον το αριστερό μέρος της ισότητας έχει μηδέν μπροστά από $n$ και το δεξιό μέρος της ισότητας έχει $2A+2B$ μπροστά από $n$, τότε ίσως το πρώτο ίσο: $2A+2B=0$. Για άλλη μια φορά, διαιρούμε το προσβλητικό μέρος αυτού ίσο με το 2, αφαιρώντας το τελευταίο $A+B=0$.
Τα κομμάτια του αριστερού τμήματος της ισότητας του ίσου όρου είναι ίσα με 2 και το δεξί μέρος της ισότητας του ίσου μέλους ίσου μήκους είναι $3A+B$, μετά $3A+B=2$. Otzhe, maєmo σύστημα:
$$ \αριστερά\(\αρχή(στοίχιση) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(στοίχιση)\δεξιά. $$
Η απόδειξη πραγματοποιείται με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Στο πρώτο βήμα, είναι απαραίτητο να επανεξεταστεί, τι σημαίνει ισότητα, ότι $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ για $n=1$. Γνωρίζουμε ότι $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, αλλά θα θέλαμε να δώσουμε στο $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ την τιμή του $\ frac(2 ) (15) $, πώς να βάλω νέα $ n = 1 $; Αναθεωρημένη:
$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-frac(1)(5)=frac(5-3)(15)=frac(2)(15). $$
Επίσης, για $n=1$, το $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ είναι ίσο. Για ποιους έχει ολοκληρωθεί το πρώτο βήμα στη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.
Είναι αποδεκτό ότι η ισότητα $n=k$ είναι vikonano, δηλαδή. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Ας πούμε ότι αυτή η ισοτιμία θα κερδηθεί για $n=k+1$. Για το οποίο μπορεί να θεωρηθεί το $S_(k+1)$:
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$
$u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, μετά $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 ) -frac(1)(2(k+1)+3)=frac(1)(2k+3)-frac(1)(2(k+1)+3)$. Είναι προφανές ότι $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$ έχει τεντωθεί μέχρι το σημείο σύνθλιψης, οπότε ο τύπος $S_(k+1)=S_k+u_ (k+1)$ θα εμφανιστεί:
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=frac(1)(3)-frac(1)(2(k+1)+3). $$
Visnovok: ο τύπος $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ισχύει για $n=k+1$. Επίσης, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής, ο τύπος $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ισχύει για κάθε $n\σε N$. Τα ίδια κεφάλαια έχουν εισαχθεί.
Στο τυπικό μάθημα ανώτερα μαθηματικάακούγονται ικανοποιημένοι με την «αγαλλίαση» των ντοντάνκιβ, που σύντομα, δεν εξαρτώνται από τις καθημερινές αποδείξεις. Αργότερα, αφαιρέσαμε το viraz για n-ї ιδιωτικό sumi: $ S_n = frac (1) (3) - frac (1) (2n + 3) $. Γνωρίζουμε την τιμή του $\lim_(n\to\infty)S_n$:
Visnovok: ο αριθμός των εργασιών συγκλίνει με το άθροισμα $S=\frac(1)(3)$.
Ένας άλλος τρόπος για να απλοποιήσετε τον τύπο για ένα ιδιωτικό ποσό.
Για να είμαι ειλικρινής, προφανώς, ο ίδιος βλέπω τη διαφορά με τον ίδιο τρόπο :) Ας γράψουμε το ιδιωτικό άθροισμα σε μια γρήγορη έκδοση:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$
Πήραμε νωρίτερα ότι $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$ σε:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\αριστερά (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\δεξιά). $$
Άθροισμα $S_n$ για να εκδικηθούμε τον kіlkіst kіlkіst του dodankіv, ώστε να μπορούμε να τα αναδιατάξουμε με τέτοιο τρόπο, καθώς μπαίνουμε στον πειρασμό. Θέλω να διπλώσω όλες τις αποθήκες με τη μορφή $\frac(1)(2k+1)$ και μετά να προχωρήσω στο κάτω μέρος με τη μορφή $\frac(1)(2k+3)$. Tse σημαίνει ότι δίνουμε ένα ιδιωτικό ποσό σε ένα τέτοιο άτομο:
$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+frac(1)(9)-frac(1)(11)+ldots+frac(1)(2n+1)-frac(1)(2n+3)= \\ =\ frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\αριστερά (\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\δεξιά). $$
Προφανώς, η ανοιχτή εγγραφή δεν είναι βολική, επομένως η παρουσιαζόμενη ισότητα μπορεί να γίνει πιο συμπαγής:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$
Τώρα μπορούμε να μετατρέψουμε $\frac(1)(2k+1)$ και $\frac(1)(2k+3)$ σε μία φόρμα. I vvazhim zruchny φέρνω στη θέα ενός μεγαλύτερου κλάσματος (αν μπορείτε και σε ένα μικρότερο, tse απολαύστε στα δεξιά). Έτσι, όπως $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (όσο μεγαλύτερο είναι το banner, τόσο μικρότερο το drіb), τότε επάγουμε drіb $\frac(1)(2k +3) Το $ μοιάζει με $\frac(1)(2k+1)$.
Viraz στο banner του κλάσματος $\frac(1)(2k+3)$ Θα το παρουσιάσω με αυτόν τον τρόπο:
$$ \frac(1)(2k+3)=frac(1)(2k+2+1)=frac(1)(2(k+1)+1). $$
Το άθροισμα $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ μπορεί τώρα να γραφτεί ως εξής:
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1 ) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$
Πόσο ίσο με $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1 ) $ μην καλέσετε το φαγητό και μετά στείλτε ένα demo. Αν υπάρχει φαγητό, τότε σας ζητώ να διαδώσετε τη νότα.
Πώς αφαιρέσαμε τη μετασκευασμένη τσάντα; εμφάνιση απόκρυψη
Έχουμε μια σειρά $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Ας αλλάξουμε το $k+1$ και ας εισάγουμε μια νέα αλλαγή, για παράδειγμα $t$. Επίσης, $ t = k + 1 $.
Πώς άλλαξε η παλιά αλλαγή $k$; Και άλλαξε από 1 σε $ n $. Ας μάθουμε πώς θα αλλάξει το νέο $t$. Αν $k=1$, τότε $t=1+1=2$. Αν $k=n$, τότε $t=n+1$. Αργότερα, το viraz $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ γίνεται τώρα $\sum\limits_(t=2)^(n +1 )\frac(1)(2t+1)$.
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$
Έχουμε є άθροισμα $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Διατροφή: αλλά τι δεν είναι το ίδιο, πώς μπορώ να κερδίσω το γράμμα στο άθροισμά μου; :) Γράφοντας τυπικά το γράμμα $k$ αντί για $t$, κάντε το βήμα προς τα εμπρός:
$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$
Επιστροφή $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) \ frac(1 )(2k+1)$.
Σε αυτήν την κατάταξη, μπορεί να πληρωθεί ένα ιδιωτικό ποσό από μια τέτοια εμφάνιση:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$
Σεβαστείτε το sumi $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ i $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1) (2k+1)$ Zrobimo qi μεταξύ του ίδιου. "Λήψη" του πρώτου στοιχείου από το άθροισμα $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ θα είναι:
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$
"Λαμβάνοντας" το υπόλοιπο στοιχείο από το άθροισμα $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, μπορούμε να πάρουμε:
$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$
Todi viraz για το ιδιωτικό σούμι στο μέλλον κοιτάζω:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$
Εάν παραλείψετε όλες τις επεξηγήσεις, τότε η διαδικασία υπολογισμού του σύντομου τύπου για το ιδιωτικό άθροισμα n-ї θα πρέπει να μοιάζει με αυτό:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 ) )+frac(1)(2n+3)right)=frac(1)(3)-frac(1)(2n+3). $$
Μαντέψτε τι κάναμε για να κάνουμε το $frac(1)(2k+3)$ να μοιάζει με το $frac(1)(2k+1)$. Ζροζουμίλο, μπορείς και ναυπάκι, τομπτο. αποκαλύψτε το drіb $\frac(1)(2k+1)$ όπως το $\frac(1)(2k+3)$. Το Kіntsevy viraz για ιδιωτικό σούμι δεν αλλάζει. Η διαδικασία του znakhodzhennya chastkovoї sumi στο tsomu vipadku I prihovayu pіd primіtku.
Πώς να μάθετε $S_n$, πώς να μειώσετε ένα κλάσμα για να φαίνεται διαφορετικό; εμφάνιση απόκρυψη
$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$
Επίσης, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Γνωρίζουμε μεταξύ $\lim_(n\to\infty)S_n$:
$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$
Ο αριθμός των εργασιών συγκλίνει με το άθροισμα $S=\frac(1)(3)$.
Vidpovid: $S=\frac(1)(3)$.
Prodovzhennya αυτές οι σειρές znakhodzhennya sumi θα εξεταστούν σε άλλα και τρίτα μέρη.
Ενθουσιασμός...