Το πρόσημο της ισοδυναμίας του ολοκληρώματος. Πώς να ορίσετε ένα μη ταξινομημένο ολοκλήρωμα και z'yasuvati yogo zbіzhnist. Διορισμός και κύρια εξουσία

Nevlasni ολοκληρώματα πρώτου είδους.Στην πραγματικότητα, η ίδια ενσωμάτωση τραγουδιού, αλλά σε αντίθετες περιπτώσεις, αν έχουν ενσωματώσει μια ανεξάντλητη άνω ή μια κατώτερη διασύνδεση, ή μια προσβολή μεταξύ μιας άρρητης ολοκλήρωσης.

Ανώμαλα ολοκληρώματα διαφορετικού είδους.Στην πραγματικότητα, αυτό είναι το ίδιο ολοκλήρωμα, αλλά αντίστροφα, εάν το ολοκλήρωμα λαμβάνεται από μη ενσωματωμένες συναρτήσεις, η συνάρτηση ολοκλήρωσης βρίσκεται στον τελευταίο αριθμό, το σημείο της τελικής ακεραιότητας δεν μπορεί να ενσωματωθεί, αντί για ασυνέπεια.

Για povnyannya.Με την εισαγωγή της κατανόησης του ολοκληρώματος τραγουδούν, μεταφέρθηκε ότι η λειτουργία φά(Χ) χωρίς διακοπή στον άνεμο [ ένα, σι]. Deyakі zavdannya prizvodit σε nebhіdnostі vіdmovitysa vіd tsikh obmezhen. Έτσι ενοχοποιούνται τα μη ικανοποιητικά ολοκληρώματα.

Γεωμετρικό zmіst ενός μη συνεχόμενου ολοκληρώματος z'yasovuєtsya dosit εύκολα. Κατά καιρούς, εάν το χρονοδιάγραμμα της λειτουργίας y = φά(Χ) γνωρίζουν περισσότερα από Βόδι, το ολοκλήρωμα τραγουδιού στρέφει την περιοχή του καμπυλόγραμμου τραπεζίου, την περιγεγραμμένη καμπύλη y = φά(Χ) , τετμημένη και τεταγμένα Χ = ένα , Χ = σι. Στην άκρη του, το ακάλυπτο ακέραιο κάμπτεται πάνω από την περιοχή του απεριόριστου (χωρίς δέρμα) καμπυλόγραμμου τραπεζίου, που βρίσκεται ανάμεσα στις γραμμές y = φά(Χ) (λίγο πιο κάτω - κόκκινο χρώμα), Χ = ένα i vіsyu τετμημένη.

Μια ανάλογη κατάταξη εκχωρείται στα αταίριαστα ολοκληρώματα άλλων μη περιοριστικών διαστημάτων:

Η περιοχή ενός άπειρου καμπυλόγραμμου τραπεζίου μπορεί να είναι ο τελευταίος αριθμός και με ποιον τρόπο το ασυνεπές ολοκλήρωμα ονομάζεται παρόμοιο. Η περιοχή μπορεί να είναι και ασυνέπεια και κατά κάποιο τρόπο το ασυνεπές ολοκλήρωμα ονομάζεται rozbіzhny.

Vykoristanya mezhі іintegral zamіst іnevlіsnіshії іntegrаl.Για να υπολογιστεί το διφορούμενο ολοκλήρωμα, είναι απαραίτητο να γίνει η ισοπαλία μεταξύ τραγουδούν αναπόσπαστο. Σαν το όριο μεταξύ του αρχικού και του τέλους (όχι οι ίδιες ασυνέπειες), τότε το μη ταξινομημένο ολοκλήρωμα ονομάζεται παρόμοιο και με διαφορετικό τρόπο - razbіzhny. Πώς η pragne αλλάζει κάτω από το πρόσημο του ορίου, για να ευθυγραμμιστεί με αυτό που μπορεί να είναι σωστό με το άστατο ολοκλήρωμα του πρώτου γένους και ενός άλλου γένους. Το ξέρουμε αμέσως.

Ασυνεπή ολοκληρώματα πρώτου είδους - με δυσδιάκριτα όρια και ομοιότητα

Ανώμαλα ολοκληρώματα με μη ξεφλουδισμένο άνω όριο

Επίσης, η εγγραφή του μη συνεχόμενου ολοκληρώματος θεωρείται ότι είναι ίδια με το σημαντικό ολοκλήρωμα, αφού το άνω όριο της ολοκλήρωσης δεν είναι περιορισμένο.

Ραντεβού. Ένα ασαφές ολοκλήρωμα με ανεξάντλητο ανώτερο όριο ολοκλήρωσης σε αδιάλειπτη λειτουργία φά(Χ) για διάλειμμα ένα πριν ∞ ονομάζεται όριο του ολοκληρώματος της συνάρτησης και άνω όριο ολοκλήρωσης σι αυτή η ολοκλήρωση του κατώτερου ορίου ένα θυμηθείτε ότι το ανώτερο όριο της ολοκλήρωσης αυξάνεται απεριόριστα, έπειτα.

.

Εάν είναι μεταξύ του αληθινού και του πραγματικού αριθμού, και όχι ασυνέπεια, τότε Το απροσδιόριστο ολοκλήρωμα ονομάζεται παρόμοιοκαι ο αριθμός, που είναι πιο κοντά στο όριο, λαμβάνεται ως τιμή του. Σε διαφορετική κατεύθυνση Το μη ταξινομημένο ολοκλήρωμα ονομάζεται razbіzhnyκαι δεν αποδίδεται το ίδιο νόημα.

Παράδειγμα 1. Υπολογίστε το απροσδιόριστο ολοκλήρωμα(πώς συγκλίνουν τα κρασιά).

Λύση. Με βάση τον προσδιορισμό του μη διαδοχικού ολοκληρώματος, γνωρίζουμε

Έτσι, όπως μεταξύ του τρέχοντος και του παλιού 1, τότε οι Δανοί μη συνεχόμενο ολοκλήρωμα σύγκλιση i dorivnyu 1.

Στο επιθετικό άκρο, η ενιαία συνάρτηση μπορεί να είναι ίδια με αυτή του άκρου 1, μόνο τα βήματα του x δεν είναι δύο, αλλά το γράμμα άλφα, αλλά η εργασία του τελευταίου ολοκληρωτικού ολοκληρώματος είναι zbіzhnist. Για να εξαρτάται από την ισχύ: για ορισμένες τιμές του άλφα, το ασυνεπές ολοκλήρωμα συγκλίνει και για κάποιες αποκλίνει;

Παράδειγμα 2(Το κατώτερο όριο της ολοκλήρωσης είναι μεγαλύτερο από το μηδέν).

Λύση. Ας ξεκινήσουμε πίσω, σο, Τόντι

Ας προχωρήσουμε στο όριο προς την αντίθετη κατεύθυνση στο:

Δεν έχει σημασία ποιο είναι το όριο μεταξύ του δεξιού μέρους είναι αληθές και ίσο με μηδέν, αν, τότε, και αν όχι, αν, τότε.

Στην πρώτη διάθεση, αυτό μπορεί να είναι το μέρος. Yakscho κάτι δεν γνωρίζω.

Visnovok της επόμενης επίθεσης μας: Δανία μη συνεχόμενο ολοκλήρωμα σύγκλισηστο i διασκορπίζωστο .

Ο τύπος Newton-Leibniz , μπορείτε να εισάγετε τα βήματα και να πάτε στον τύπο της:

.

Ο τύπος του Newton-Leibniz είναι zagalnen.

Παράδειγμα 3. Υπολογίστε το απροσδιόριστο ολοκλήρωμα(πώς συγκλίνουν τα κρασιά).

Μεταξύ tsgogo іsnuє:

Ένα άλλο ολοκλήρωμα, που κάνει το άθροισμα, το οποίο μετατρέπει το εξωτερικό ολοκλήρωμα:

Το inter-integral χρησιμοποιείται επίσης:

.

Γνωρίζουμε το άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων, που είναι η τιμή του εξωτερικού μη συνεχούς ολοκληρώματος με δύο άπειρα όρια:

Ασυνεπή ολοκληρώματα διαφορετικού είδους - με τη μορφή ανύπαρκτων συναρτήσεων και της ομοιότητάς τους

Έλα λειτουργήστε φά(Χ) έχει ανατεθεί στο vіdіzku vіd ένα πριν σι και δεν περιβάλλεται από νέα. Είναι αποδεκτό ότι η συνάρτηση μετατρέπεται σε ασυνέπεια στο σημείο σι , εκείνη την ώρα, σε όλα τα άλλα σημεία, ο άνεμος είναι χωρίς διακοπή.

Ραντεβού. Το ακατανόητο ολοκλήρωμα της συνάρτησης φά(Χ) στο vіdіzku vіd ένα πριν σι ονομάζεται όριο του ολοκληρώματος της συνάρτησης και άνω όριο ολοκλήρωσης ντο , όπως και με την άσκηση ντο πριν σι η συνάρτηση αυξάνεται εκθετικά, αλλά κουκκίδες Χ = σι λειτουργία δεν έχει εκχωρηθεί, έπειτα.

.

Για παράδειγμα, εάν υπάρχει ένα όριο, τότε ένα μη ταξινομημένο ολοκλήρωμα άλλου είδους ονομάζεται παρόμοιο, διαφορετικά - razbіzhny.

Φόρμουλα Vikoristovuyuchi Newton-Leibniz, προφανώς.

Καθώς μια συνάρτηση pіdintegral μπορεί να βρίσκεται στο (τερματικό) διάστημα της ολοκλήρωσης, έχοντας εξερευνήσει ένα άλλο γένος, μπορεί κανείς να μιλήσει για ένα απροσδιόριστο ολοκλήρωμα ενός άλλου γένους.

10.2.1 Διορισμός και βασική εξουσία

Σημαντικό διάστημα ολοκλήρωσης $ \ αριστερά [ a, \, b \ δεξιά ] $; Εάν υπάρχουν περισσότερες από 1 επέκταση, το vin μπορεί να βρίσκεται είτε στο σημείο $a$, είτε στο σημείο $b$, είτε στο μέσο του διαστήματος $(a,\,b)$. Ας ρίξουμε μια ματιά στο αντίστροφο, αν δούμε ένα άλλο είδος є στο σημείο $a$, και σε άλλα σημεία το ολοκλήρωμα είναι αδιάλειπτο. Otzhe, συζητάμε το ολοκλήρωμα

\αρχή(εξίσωση) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(εξίσωση)

Επιπλέον, $f(x) \rightarrow \infty $ if $x \rightarrow a+0$. Όπως και πριν, θα πρέπει στη συνέχεια να δώσουμε μια αίσθηση σε αυτό το viraz. Για ποιους μπορούμε να δούμε το ολοκλήρωμα

\[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

Ραντεβού. Nehay isnuє kіnceva όριο

\A = \lim _ ( \epsilon \rightarrow +0) I ( \epsilon ) = \lim _ ( \epsilon \rightarrow +0) \int _ (a + \epsilon) ^b f(x) \,dx. \]

Τότε λέμε ότι ένα απροσδιόριστο ολοκλήρωμα διαφορετικού είδους (22) συγκλίνει και σε αυτό αποδίδουμε την τιμή $ A $, η ίδια η συνάρτηση $ f (x) $ ονομάζεται ολοκληρωμένη στο διάστημα $ \ αριστερά [a, \, b \ δεξιά] $.

Ας δούμε μια παραλλαγή, αν δούμε ένα άλλο είδος συνάρτησης ολοκλήρωσης - το ανώτερο διάστημα ολοκλήρωσης. Αυτή η στροφή μπορεί να μεταφερθεί στο μπροστινό μέρος αντικαθιστώντας την αλλαγή $x=-t$ και, στη συνέχεια, αναδιατάσσοντας τη διασύνδεση.

Ας δούμε μια παραλλαγή αν δούμε ένα άλλο είδος συνάρτησης ολοκλήρωσης στο μέσο του διαστήματος ολοκλήρωσης, στο σημείο $ c \in (a, \, b) $. Του οποίου το μυαλό έχει ένα εξωτερικό ολοκλήρωμα

\αρχή(εξίσωση) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(εξίσωση)

σερβίρετε στη θέα του σούμι

\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]

Ραντεβού. Εάν τα δύο ολοκληρώματα $I_1, \, I_2$ συγκλίνουν, τότε το μη διαδοχικό ολοκλήρωμα (23) ονομάζεται όμοιο και του αποδίδεται η τιμή, η οποία είναι ίση με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων $I_1, \, I_2$, η συνάρτηση $f(x)$ ονομάζεται ολοκληρωμένη στο διάστημα $\ αριστερά[a,\,b\right]$. Αν θέλουμε ένα από τα ολοκληρώματα $I_1,\, I_2$ να είναι ασυνάρτητο, το απροσδιόριστο ολοκλήρωμα (23) ονομάζεται δυσανάλογο.

Τα συγκλίνοντα μη ταξινομημένα ολοκληρώματα του 2ου είδους μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως τυπικά χαρακτηριστικά των παραδοσιακών ολοκληρωμάτων που μπορούν να ερμηνευτούν.

1. Επίσης τα $f(x)$, $g(x)$ ενσωματώνονται στο διάστημα $\left[ a, \,b \right ]$, και το άθροισμα $f(x)+g(x)$ είναι επίσης ενσωματώνεται σε διαστήματα και \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^(b )g ( x) dx. \] 2. Εφόσον η $f(x)$ είναι ενσωματωμένη στο διάστημα $\left[ a, \, b \right ]$, τότε για οποιαδήποτε σταθερά $C$ η συνάρτηση $C\cdot f(x)$ είναι επίσης ολοκληρωθεί σε ποιο διάστημα, και \[ \ int _a ^ (β) C \ cdot f (x) dx = C \ cdot \ int _a ^ (b) f (x) dx. \] 3. Εφόσον το $f(x)$ είναι ενσωματωμένο στο διάστημα $\left[ a, \, b \right ]$, και σε αυτό το διάστημα $f(x)>0$, τότε \[ \int _a^ (β ) f (x) dx \, > \, 0. \] 4. Εάν το $f(x)$ είναι ενσωματωμένο στο διάστημα $\left[ a, \, b \right ]$, τότε ό,τι κι αν είναι $c\in (a, \,b)$ ολοκληρώματα \[ \int _a ^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] μπορεί να συγκλίνει και \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a^( γ ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (προσθετικότητα του ολοκληρώματος στο διάστημα).

Ας δούμε το ολοκλήρωμα

\αρχή(εξίσωση) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(εξίσωση)

Όπως το $k>0$, η συνάρτηση ολοκλήρωσης είναι σωστή $\infty$ για $x \rightarrow +0$ και το ολοκλήρωμα είναι διαφορετικού είδους. Παρουσίαση της συνάρτησης

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \]

Αυτή τη στιγμή, η πρώτη θέα είναι στο σπίτι, έτσι

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \]

για $k \neq 1$,

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \]

για $k = 1$. Εξετάζοντας τη συμπεριφορά στο $\epsilon \rightarrow +0$, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το ολοκλήρωμα (20) συγκλίνει στο $k

10.2.2 Σημάδια νοσηρότητας ασαφών ολοκληρωμάτων 2ου είδους

Θεώρημα (το πρώτο σημάδι της διαφοράς). Έστω $f(x)$, $g(x)$ χωρίς διακοπή για $x\in (a,\,b)$, επιπλέον, $0 1. Αυτό είναι το αναπόσπαστο \[ \int _a^(b)g( x)dx \] συγκλίνουν, τότε το ολοκλήρωμα \[ \int _a^(b)f(x)dx. \] 2. Αν το ολοκλήρωμα \[ \int _a^(b)f(x)dx \] αποκλίνει, τότε το ι ολοκλήρωμα \[ \int _a^(b)g(x)dx αποκλίνει. \]

Θεώρημα (άλλο σημάδι διαφοράς). Έστω $f(x)$, $g(x)$ αδιάκοπα και θετικά για $x\in (a,\,b)$, επιπλέον, υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο

\[ \theta = \lim_(x \δεξιό βέλος a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

Συνολικά ολοκληρώματα

\[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \]

συγκλίνουν ή διασκορπίζονται ταυτόχρονα.

Εφαρμόστε τα ακόλουθα ασυνεπή ολοκληρώματα στην εργασία

πισινό 1
.

Με αυτόν τον τρόπο, το δεδομένο ολοκλήρωμα συγκλίνει για a>1 και αποκλίνει για το a1.

πισινό 2 Dosliditi στο zbіzhnist. Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα για τα ραντεβού:
.

Με αυτόν τον τρόπο, το δανικό ολοκλήρωμα συγκλίνει για α<1 и расходится при a³1.

πισινό 3 Ακολουθήστε την κερδοφορία .

<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два

.

Η σύγκλιση του πρώτου ολοκληρώματος I1 μπορεί να ακολουθηθεί από μια πρόσθετη ισοδύναμη συνάρτηση: (γιατί n>0), και το ολοκλήρωμα συγκλίνει όταν m>-1 (παράρτημα 2). Ομοίως, για το ενσωματωμένο I2:

Και το ολοκλήρωμα συγκλίνει μετά το m+n<-1 (пример2). Следовательно, исходный интеграл сходится при выполнении одновременно двух условий m>-1 και m+n<-1, и будет расходится при нарушении хотя бы одного из них.

πισινό 4 Dosliditi στο zbіzhnist.

Η συνάρτηση ολοκλήρωσης μπορεί να είναι απείρως μεγάλη (όπως m<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два:

Oskіlki arctgx »x στο x®0, τότε το ολοκλήρωμα I1 είναι ισοδύναμο με το ολοκλήρωμα , το οποίο συγκλίνει στο m + 1> -1 και στη συνέχεια στο m> -2 (εφαρμόζεται 1).

Για τη συνάρτηση ολοκλήρωσης στο μη ενσύρματο ολοκλήρωμα του πρώτου γένους I2, είναι υποβέλτιστα ισοδύναμη με:

σπινθήρες arctgx » p/2 σε x® ¥. Αργότερα, μετά από ένα άλλο πρόσημο, η ολοκλήρωση του I2 συγκλίνει για m + n<-1, и расходится в противном случае.

Ένα προς ένα, υπολογίστε την απόδοση των ολοκληρωμάτων I1 και I2, αφαιρούμε την απόδοση του ολοκληρώματος εξόδου: m>-2 και m+n<-1 одновременно.

Σεβασμός.Στους κοντούς 2-4 νικητών, υπάρχουν 2 σημάδια διαφοράς, τα οποία είναι απαραίτητα για την ασφάλεια της απαραίτητης επαρκής νοημοσύνης, η οποία επιτρέπει, έχοντας ορίσει την αποτελεσματικότητα για την απόκλιση της νοητικής αξίας των παραμέτρων, να μην φέρει το ενσωμάτωση του ολοκληρώματος όταν βλάπτεται η αποτελεσματικότητα του μυαλού.

πισινό 5 Dosliditi στο zbіzhnist.

Το δανέζικο ολοκλήρωμα για να σημειώσει το ενικό σημείο 0, στο οποίο η πιολοκληρωμένη συνάρτηση μπορεί να μετατραπεί σε ασυνέπεια στο p<0, поэтому снова разобьем исходный интеграл на два:

.

Το ολοκλήρωμα I1 είναι ένα ακατανόητο ολοκλήρωμα διαφορετικού είδους, και η συνάρτηση pολοκληρώματος είναι ισοδύναμη στο x®0 με τη συνάρτηση xp (e-x®1 σε x®0), τότε το I1 συγκλίνει στο p>-1 (παράρτημα 1).

Το ολοκλήρωμα I2 είναι ένα ακατανόητο ολοκλήρωμα πρώτου είδους. Επιλέξτε μια συνάρτηση που είναι ισοδύναμη με τη συνάρτηση ολοκλήρωσης, έτσι ώστε να μην αφαιρεί τη λειτουργία εμφάνισης, μην μεταβείτε σε αυτήν. Για αυτό, δεν είναι δυνατό να κερδίσετε το 2, όπως στους μπροστινούς πισούς. Είναι απαραίτητο να πείσουμε το σημάδι της διαφοράς, είναι απαραίτητο να κερδίσουμε ένα τέτοιο γεγονός:

Για a>0, είναι σαν p. Επειδή η συνάρτηση xpe-ax είναι αδιάκοπη, κλαίει, επειδή η συνάρτηση είναι περιορισμένη, άρα υπάρχει μια τέτοια σταθερή M>0, άρα xpe-ax< M. Возьмем, например, a=1/2, и оценим интеграл I2 сверху:

Δηλαδή, το ολοκλήρωμα I2 συγκλίνει για οποιοδήποτε p.

Με αυτόν τον τρόπο, το τελικό ολοκλήρωμα συγκλίνει στο -1.

πισινό 6 Dosliditi στο zbіzhnist.

Ας αλλάξουμε την αλλαγή: t = lnx παίρνω

Το σπάσιμο του ολοκληρώματος στα δύο είναι ιογενές παρόμοια με το ακέραιο 5. Το ολοκλήρωμα I1 είναι εντελώς ισοδύναμο με το ολοκλήρωμα I1 από το άκρο 5 i, στη συνέχεια, συγκλίνουν στο q<1.

Ας δούμε το αναπόσπαστο I2. Πλύνετε το μυαλό σας 1-σελ<0 этот интеграл полностью эквивалентен интегралу I2 в примере 5 (доказательство сходимости аналогично, а условие 1-p<0 нужно для выполнения i a = (1-p) / 2.).

Επίσης, το I2 συγκλίνει για p>1. Prote, στον οποίο η μελέτη της αποτελεσματικότητας αυτού του ολοκληρώματος δεν έχει ολοκληρωθεί, τα θραύσματα των νικών του ζωδίου της αποτελεσματικότητας δίνουν περισσότερο από επαρκή ευφυΐα. Επομένως, είναι απαραίτητο να αυξηθεί η απόδοση σε 1-p£0.

Ας ρίξουμε μια ματιά στο p=1. Τότε το ολοκλήρωμα I2 είναι ισοδύναμο, το οποίο συγκλίνει για q>1 (ανάλογα με τον τρόπο που αποκλίνει το ολοκλήρωμα I1) και αποκλίνει σε διαφορετική κατεύθυνση.

Για σελ<1 оценим интеграл I2 и покажем его расходимость. Для этого вспомним, что Με 1-p>0, i, τότε, pochinayuchi z deyakogo A>1 vikonano Τ- Qμι(1- Π) Τ³M=const>0. Στη συνέχεια, για το ολοκλήρωμα I2, η εκτίμηση

,

Το αποολοκλήρωμα στο δεξιό μέρος αποκλίνει, έτσι ώστε να φέρει την απόκλιση του ολοκληρώματος I2.

Υποθέτοντας τα αποτελέσματα, υποθέτουμε ότι το ολοκλήρωμα που προκύπτει συγκλίνει στο q<1 и p>1, διαφορετικά το ολοκλήρωμα αποκλίνει.

πισινό 6 Ακολουθήστε την απόλυτη ενσυνειδητότητα.

Rozіb'єmo vihіdny Іntegrl για δύο:

.

ΖΩΗ.Ολοκληρωμένο I1 ισοδύναμο , δηλ. συγκλίνουν για σ<2 (пример 1) , причем абсолютно, так как подынтегральная функция положительна на отрезке интегрирования.

Το ολοκλήρωμα I2 συγκλίνει μετά το πρόσημο Dirichlet-Abel στο p>0, έτσι ώστε το πρωτεύον sin(x) οριοθετείται και η συνάρτηση 1/xp μειώνεται μονοτονικά στο μηδέν όταν το x ανάγεται σε ασυνέπεια.

Ας δείξουμε ότι το ολοκλήρωμα αποκλίνει για p£0. Επιταχύνουμε για ποια κριτήρια του Kosh, ή μάλλον, για τις παρακάτω λίστες

.

Ας πάρουμε το R1і R2 ως τις τρέχουσες τιμές: R1=2pk і R2=2pk+p/2, τότε

για p>0.

Με αυτόν τον τρόπο, το ολοκλήρωμα συγκλίνει στο 0

Απόλυτη άνεσηΗ απόλυτη απόδοση του ενσωματωμένου I1 είναι ήδη εγκατεστημένη, ας δούμε την απόλυτη απόδοση του I2. Ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα του θηρίου:

, δηλ. το ολοκλήρωμα συγκλίνει για p>1.

Για να αποδείξουμε την ευελιξία για p £ 1, υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα από κάτω

.

Rozіb'єmo υπόλοιπο іntegrіl vіd vіd іnіtіnі λειτουργίες іn іnіtіvаі іntegrаіv

.

Εάν τα δύο ολοκληρώματα συγκλίνουν, αυτά τα ολοκληρώματα θα διαφέρουν, εάν ένα από τα ολοκληρώματα αποκλίνει και το άλλο συγκλίνει, τότε το ολοκλήρωμα λιανικής θα αποκλίνει. Σε διαφορετικά razbіzhnosti τόσο іntegrіlіv zbіzhnіst іntegrіl vіd rіznitі pіdlаgaє podslіdzhennyu. Μας καλεί μια άλλη από τις περιγραφές του vipadkiv.

Ξεχωρίστε (πισινό 1) στη σελ<1. сходится по признаку Дирихле-Абеля при 1>p>0 (διαιρ. σύγκλιση), άρα το ολοκλήρωμα αξιολογείται από κάτω από το ολοκλήρωμα επέκτασης, έτσι ώστε να αποκλίνει.

Η πτώση του p³1 δεν μας συνθλίβει, γιατί για αυτές τις τιμές της παραμέτρου το ολοκλήρωμα αποκλίνει.

Με αυτόν τον τρόπο, το τελικό ολοκλήρωμα συγκλίνει απολύτως στο 0

Όπως μπορείτε να δείτε, η τιμή του ολοκληρώματος μπορεί να επιτευχθεί με αναδίπλωση εργασιών. Θα ήταν υπέροχο rozcharuvannya να αναλάβουμε τον υπολογισμό του μη βίαιου ολοκληρώματος και να δείξουμε για παράδειγμα τον τρόπο με τον οποίο αποκλίνουν τα αμπέλια. Για αυτόν τον λόγο, μέθοδοι που επιτρέπουν, χωρίς σοβαρούς υπολογισμούς, έναν τύπο συνάρτησης για την ανάπτυξη visnovoks σχετικά με τη σκοπιμότητα ή rozbіzhnist ενός μη γραμμικού ολοκληρώματος. Το πρώτο και άλλα θεωρήματα της εξισορρόπησης, όπως θα εξεταστούν παρακάτω, βοηθούν ουσιαστικά στην προσθήκη άστατων ενοποιήσεων στην οικονομία.

Έστω f(x)?0. Ίδιες λειτουργίες

є μονοτονικά αυξανόμενη με τη μορφή αλλαγής t abo-d (κλιμακώσεις λαμβάνονται d> 0, -d pragne zero zliva). Εάν τα ορίσματα των συναρτήσεων F 1 (t) και F 2 (-d) ξεχειλίζουν με διαφορετικούς τρόπους, σημαίνει ότι τα ασυνεπή ολοκληρώματα συγκλίνουν. Σε ποια βάση βασίζεται το πρώτο θεώρημα συνέπειας για ολοκληρώματα με τη μορφή αόρατων συναρτήσεων.

Έστω για τη συνάρτηση f(x) και g(x) με x;

• 1) 0;f(x);g(x);
• 2) Οι συναρτήσεις f(x) και g(x) είναι αδιάλειπτες.

Το ίδιο zbіzhnosti іntegrаl vplє zbіzhnіst іntegrа, εκείνο το yakshchoz zіzbіzhnosti іntegrаl

Skіlki 0?f(x)?g(x) και λειτουργεί χωρίς διακοπή, λοιπόν

Για να συγκλίνει το αναπόσπαστο μυαλό, tobto. maє kіntsev αξία. Επίσης, το ολοκλήρωμα συγκλίνει με τον ίδιο τρόπο.

Τώρα αφήστε το ολοκλήρωμα να αποκλίνει. Είναι αποδεκτό το ολοκλήρωμα να συγκλίνει, αλλά αν το ολοκλήρωμα συγκλίνει, τότε ο νους μπορεί να αντικαταστήσει. Το επίδομά μας είναι λάθος, το αναπόσπαστο αποκλίνει.

Θεώρημα Porіvnyannya για διφορούμενα ολοκληρώματα 2ου είδους.

Έστω οι συναρτήσεις f(x) και g(x) να αυξάνονται αόριστα για x>+0. Για αυτό, για x>+0, η ανισότητα<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также.

Θεώρημα Porіvnyannya για διφορούμενα ολοκληρώματα του 1ου είδους.

Έστω η συνάρτηση f(x) και g(x) να αποκλίνουν από το ολοκλήρωμα.

Otzhe, σε dilyantsі іintegral επίσης αποκλίνουν.

Με αυτή τη σειρά, το ολοκλήρωμα της Δανίας αποκλίνει κατά μήκος ολόκληρης της γραμμής [-1, 1]. Είναι σημαντικό ότι αν αρχίζαμε να υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα, χωρίς υπερβολικό σεβασμό για την ανάλυση της ολοκληρωτικής συνάρτησης στο σημείο x = 0, τότε θα αφαιρούσαμε το λάθος αποτέλεσμα. Αληθής,

, κάτι που είναι αδύνατο.

Επίσης, κατά την ολοκλήρωση ενός μη διαδοχικού ολοκληρώματος ως ετερόκλητης συνάρτησης, είναι απαραίτητο να «διαχωρίσουμε» το πρώτο μάτισμα των ολοκληρωμάτων και να τα προσθέσουμε.