Συστήματα γραμμικών γραμμών. Στοιχειώδης μετασχηματισμός διανυσματικών συστημάτων. Βήμα προς βήμα σύστημα διανυσματικών συστημάτων

Ραντεβού 5. Στοιχειώδεις μεταμορφώσειςΤα συστήματα γραμμικών ευθυγραμμίσεων ονομάζονται її μετασχηματισμοί προώθησης:

1) μετάθεση δύο ίσων θέσεων ή όχι.

2) πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη του ίδιου ίσου αριθμού.

3) προσθέτοντας και στα δύο μέρη του ενός ίσα μέρη του δεύτερου ίσου, πολλαπλασιαζόμενο με τον αριθμό κ;

(Ταυτόχρονα τα ποτάμια γίνονται μόνιμα).

Μηδέν ίσονονομάζεται ίσος με το επιθετικό μυαλό:

Θεώρημα 1. Να είναι όπως η τελευταία ακολουθία στοιχειωδών μετασχηματισμών και ο μετασχηματισμός της Κυριακής της μηδενικής ισοστάθμισης για να μεταφραστεί ένα σύστημα γραμμικών ισοτήτων εξίσου ισχυρό και ένα άλλο σύστημα γραμμικών ισοτήτων.

Φέρνοντας.Με μια ματιά στην αυθεντία της 4ης παραγράφου, να φέρουμε στο δέρμα το θεώρημα για τη μεταμόρφωση του okremo.

1. Σε περίπτωση μετάθεσης των βαθμίδων του συστήματος, οι ίδιες οι βαθμίδες δεν αλλάζουν, άρα το σύστημα είναι εξίσου ισχυρό για τους διορισμούς.

2. Δυνάμει του πρώτου μέρους της απόδειξης, αρκεί να φέρουμε τη σταθερότητα για το πρώτο ίσο. Πολλαπλασιάζοντας το σύστημα (1) με τον αριθμό , παίρνουμε το σύστημα

(2)

Ελα  σύστημα (1) . Οι ίδιοι αριθμοί ικανοποιούν τις ισότητες του συστήματος (1). Εφόσον το oskіlki όλα τα ίσα του συστήματος (2) του πρώτου zbіgayutsya με τα ίσα του συστήματος (1), τότε οι αριθμοί ικανοποιούν όλα τα ίσα. Τα θραύσματα του αριθμού ικανοποιούν την πρώτη ισότητα του συστήματος (1), μπορεί να είναι η πρώτη φορά που η αριθμητική ισότητα:

Πολλαπλασιάζοντας το yogo με έναν αριθμό κ, Παίρνουμε τη σωστή αριθμητική ισότητα:

Οτι. εγκατάσταση, τι  σύστημα (2).

Πίσω, yakscho λύση του συστήματος (2), τότε οι αριθμοί ικανοποιούν τα μουστάκια του συστήματος (2). Το oskіlki όλα τα ίσα του συστήματος (1) του πρώτου zbіgayutsya με τα ίσα του συστήματος (2), τότε οι αριθμοί ικανοποιούν όλα τα ίσα. Τα θραύσματα του αριθμού ικανοποιούν την πρώτη ισότητα του συστήματος (2), τότε ισχύει η αριθμητική ισότητα (4). Αφού διαιρέσουμε τις προσβολές στον αριθμό, αφαιρούμε την αριθμητική ισότητα (3) και συμπεραίνουμε ότι  αποσύνδεση του συστήματος (1).

Το Zvіdsi για τα ραντεβού 4 σύστημα (1) είναι ίσο με το σύστημα (2).

3. Δυνάμει του πρώτου μέρους της απόδειξης, αρκεί να επιφέρει σταθερότητα για το πρώτο και το άλλο ίσο σύστημα. Dodamo και στα δύο μέρη της πρώτης ευθυγράμμισης του συστήματος κ, πάρτε το σύστημα

(5)

Ελα λύση συστήματος (1) . Οι ίδιοι αριθμοί ικανοποιούν τις ισότητες του συστήματος (1). Εφόσον οι αριθμοί όλων των ίσων του συστήματος (5) του πρώτου συνδυάζονται με τους ίσους του συστήματος (1), τότε οι αριθμοί ικανοποιούν όλα τα ίσα. Τα θραύσματα του αριθμού ικανοποιούν την πρώτη ισοδυναμία του συστήματος (1)

Προσθήκη όρου προς όρο στην πρώτη ισότητα σε έναν φίλο, πολλαπλασιαζόμενο με τον αριθμό κπαίρνουμε τη σωστή αριθμητική ισότητα.

§7. Γραμμικά συστήματα

Ίσα συστήματα. Στοιχειώδης μετασχηματισμός του συστήματος των γραμμικών γραμμών.

Ελα W- χωράφι μιγαδικοί αριθμοί. Ίσα με το μυαλό

de
, ονομάζονται γραμμικά ίσα nνεβιδομίμι
. Σετ παραγγελιών
,
που ονομάζονται αποφάσεις ίσες (1), όπως .

Σύστημα Μγραμμικό rivnyan z nτο σύστημα ονομάζεται ίσο με το μυαλό:

- Συντελεστές του συστήματος γραμμικών ευθυγραμμίσεων, - Δωρεάν μέλη.

Ορθογώνιο τραπέζι

,

που ονομάζεται μήτρα του κόσμου
. Ας εισάγουμε τη σημειογραφία: - Εγώ-Τη σειρά της μήτρας,
- κ-Ty stovpets matrix. Μήτρα ΑΛΛΑπερισσότερο σημαίνει
ή
.

Ο επερχόμενος μετασχηματισμός των σειρών στη μήτρα ΑΛΛΑονομάζονται στοιχειώδη:
) απενεργοποίηση της μηδενικής σειράς. ) πολλαπλασιασμός όλων των στοιχείων οποιασδήποτε σειράς με έναν αριθμό
; ) ένα πρόσθετο σε μια σειρά μιας σειράς μιας σειράς μιας σειράς, πολλαπλασιαζόμενο επί
. Παρόμοιοι μετασχηματισμοί των στηλών του πίνακα ΑΛΛΑονομάζονται στοιχειώδεις μετασχηματισμοί του πίνακα ΑΛΛΑ.

Το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο (το πιο σημαντικό στα δεξιά) οποιασδήποτε σειράς του πίνακα ΑΛΛΑονομάζεται αγώγιμο στοιχείο αυτής της σειράς.

Ραντεβού. μήτρα
λέγεται βήμα, σαν να αγιάστηκαν έτσι:

1) οι μηδενικές σειρές της μήτρας (σαν βρώμα) είναι χαμηλότερες από τις μη μηδενικές.

2) yakscho
στοιχεία διαγωγής μιας γραμμής ενός πίνακα, τότε

Να είναι σαν ένας μη μηδενικός πίνακας Και στην περίπτωση των συνηθισμένων στοιχειωδών μετασχηματισμών, μπορεί να αναχθεί σε έναν βαθμιδωτό πίνακα.

βαρέλι. Επαγώγιμη μήτρα
στον πίνακα βημάτων:
~
~
.

Μήτρα διπλωμένη με συντελεστές συστήματος Οι γραμμικές γραμμές (2) ονομάζονται κύριος πίνακας του συστήματος. Μήτρα
, Otriman, με την αποδοχή των ελεύθερων μελών, ονομάζεται διευρυμένος πίνακας του συστήματος.

Οι παραγγελίες του συνόλου ονομάζονται λύσεις του συστήματος γραμμικών ευθυγραμμίσεων (2), καθώς και οι αποφάσεις της γραμμικής ευθυγράμμισης του δέρματος.

Το σύστημα των γραμμικών ευθυγραμμίσεων ονομάζεται συνεκτικό, γιατί μπορεί να είναι μόνο μία λύση, και δεν είναι τρελό, γιατί δεν μπορεί να λυθεί.

Το σύστημα των γραμμικών ευθυγραμμίσεων λέγεται singing, επειδή υπάρχει μόνο μία λύση, αυτή δεν σημειώνεται, επειδή υπάρχουν περισσότερες από μία λύσεις.

Ο επερχόμενος μετασχηματισμός του συστήματος γραμμικών ευθυγραμμίσεων ονομάζεται στοιχειώδης:

) αποκλεισμός από το σύστημα ίσος με το μυαλό.

) πολλαπλάσια και των δύο μερών, είτε είναι ίσο με
,
;

) προσθέτοντας στο αν υπάρχει κάποιο άλλο ίσο, πολλαπλασιαζόμενο με ,.

Δύο συστήματα γραμμικών γραμμών nοι άγνωστοι ονομάζονται εξίσου δυνατοί, γιατί η δυσοσμία δεν είναι συνεκτική, αλλά πολλές από τις αποφάσεις τους λαμβάνονται.

Θεώρημα. Για παράδειγμα, ένα σύστημα γραμμικών ευθυγραμμίσεων αφαιρέθηκε από τους άλλους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς του τύπου ), ), ), είναι εξίσου ισχυρό με ένα οπτικό.

Αναθεώρηση του συστήματος γραμμικών ευθυγραμμίσεων με τη μέθοδο της παράβλεψης του αγνώστου (με τη μέθοδο Gauss).

Αφήστε το σύστημα να φύγει Μγραμμικό rivnyan z n unwidomimi:

Όπως ένα σύστημα (1) για να εκδικηθεί το μυαλό

τότε το σύστημα δεν είναι συνεκτικό.

Ας υποθέσουμε ότι το σύστημα (1) δεν είναι ίσο με τη μορφή (2). Αφήστε το σύστημα (1) να αλλάξει συντελεστή Χ 1 στην αρχή ίσο
(σαν να μην είναι έτσι, τότε με την αναδιάταξη ίσων θέσεων δεν είναι δυνατό να φτάσουμε σε τι, επομένως δεν είναι όλοι οι συντελεστές σε Χ 1 ισούται με μηδέν). Zastosuyemo στο σύστημα των γραμμικών γραμμών (1) που προωθούν νυχτερίδες στοιχειωδών μετασχηματισμών:

, Dodamo σε άλλο επίπεδο?

Πρώτο ίσο, πολλαπλασιασμένο επί
, Dodamo στο τρίτο επίπεδο και ούτω καθεξής?

Πρώτο ίσο, πολλαπλασιασμένο επί
dodamo στο υπόλοιπο σύστημα.

Ως αποτέλεσμα, αφαιρούμε το σύστημα γραμμικών ευθυγραμμίσεων (δώσαμε το συντομότερο SLN για το σύστημα γραμμικών ευθυγραμμίσεων) ίσο με την ισχύ του συστήματος (1). Ίσως ανακαλύψετε ότι στο άλλο σύστημα είναι ίσο με τον αριθμό Εγώ, Εγώ 2, μην εκδικηθείς το άγνωστο Χ 2. Ελα κτόσο λιγότερο φυσικός αριθμός, τι είναι άγνωστο Χ κΘέλω να εκδικηθώ τον εαυτό μου ισάριθμα Εγώ, Εγώ 2. Todi otrimana system rivnyan maє vyglyad:

Το σύστημα (3) είναι ίσο με το σύστημα (1). Zastosuєmo τώρα στο υποσύστημα
συστήματα γραμμικών ευθυγραμμίσεων (3) μικροσκοπίας, τα οποία καταγράφηκαν σε SLN (1). Και ως εδώ. Ως αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας, έρχεται μέχρι ένα από τα δύο αποτελέσματα.

1. Αφαιρούμε το SLU, το οποίο είναι ίσο με το μυαλό (2). Και εδώ ο SLE (1) είναι ασυνεπής.

2. Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί, στάση σε SLN (1), δεν οδηγούν σε σύστημα που εκδικείται την εμφάνιση (2). Στο tsomu vipadku SLP (1) από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς
δείχνουν προς το σύστημα ίσο με το μυαλό:

(4)

δε, 1< κ < μεγάλο < . . .< μικρό,

Το σύστημα γραμμικών ευθυγραμμίσεων στη μορφή (4) ονομάζεται σταδιακά. Εδώ μπορείτε να έχετε δύο πτώσεις.

ένα) r= nτότε το σύστημα (4) μπορεί να φαίνεται

(5)

Το σύστημα (5) έχει μόνο μία λύση. Και πάλι, το σύστημα (1) μπορεί να λυθεί μόνο.

ΣΙ) r< n. Που το μυαλό δεν έχει σπίτι
στο σύστημα (4) ονομάζονται head non-dominants, διαφορετικά μη κυρίαρχα σε αυτό το σύστημα - free (έξι νούμερο ένα n- r). Το Nadamo αρκετές αριθμητικές τιμές δεν είναι απαραίτητες, ακόμη και το SLU (4) matime φαίνεται το ίδιο με το σύστημα (5). Από αυτό, οι τίτλοι είναι ξεκάθαροι. Σε αυτήν την κατάταξη, το σύστημα μπορεί να επιλυθεί, επομένως είναι συνεκτικό. Το Oskіlki vіlnim nevidomim έδωσε αρκετά αριθμητική τιμή W, τότε το σύστημα (4) είναι απροσδιόριστο. Και πάλι, το σύστημα (1) είναι απροσδιόριστο. Viraziv στο SLN (4) smut nevidomі μέσω vіlnі nevidomі, σύστημα otrimaemo, το οποίο ονομάζεται οι πιο άγριες λύσεις του συστήματος (1).

βαρέλι. Λύστε το σύστημα γραμμικών ευθυγραμμίσεων με τη μέθοδο σολ aussa

Γράφουμε τη διευρυμένη μήτρα του συστήματος γραμμικών ευθυγραμμίσεων και, μετά τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών σειρών, τον φέρνουμε σε έναν βαθμιδωτό πίνακα:

~

~
~
~

~ . Παραλείποντας τον πίνακα, μπορούμε να βρούμε ένα σύστημα γραμμικών ευθυγραμμίσεων:
Το σύστημα Tsya είναι ίσο με το εξωτερικό σύστημα. Σαν ένα κεφάλι του αγνώστου
vіlnі nevіdomі. Παρεμπιπτόντως, το κεφάλι του αγνώστου είναι μόνο μέσα από το άγριο άγνωστο:

Αφαιρέσαμε την πλήρη λύση του SLN. Ασε με να φύγω

(5, 0, -5, 0, 1) είναι μια ιδιωτική λύση για SLP.

Εργασία για ανεξάρτητο όραμα

1. Για να γνωρίσετε την καθολική λύση και μια ακόμη λύση του ίσου συστήματος με τη μέθοδο απενεργοποίησης του αγνώστου:

1)
2)

4)
6)

2. Μάθετε για διαφορετικές αξίεςπαράμετρος έναπαγκόσμια λύση του συστήματος των ποταμών:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§οκτώ. Διανυσματικοί χώροι

Διάνυσμα έννοια χώρου. Η πιο απλή δύναμη.

Ελα V ≠ Ø, ( φά, +,∙) – πεδίο. Τα στοιχεία του πεδίου ονομάζονται βαθμωτές.

Ζύμωση φ : φά× V –> Vονομάζεται η πράξη πολλαπλασιασμού στοιχείων του πολλαπλασιασμού Vσε σκαλοπάτια από το γήπεδο φά. Σημαντικά φ (λ,α) διά μέσου λαστοιχείο twir ένασε βαθμωτό λ .

Ραντεβού.Μπέζλιχ Vαπό μια δεδομένη αλγεβρική πράξη προσθέτοντας στοιχεία σε έναν πολλαπλασιαστή Vότι πολλαπλά στοιχεία Vσε σκαλοπάτια από το γήπεδο φάονομάζεται διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο F, που σημαίνει τα ακόλουθα αξιώματα:

βαρέλι. Ελα φάπεδίο, φά n = {(ένα 1 , ένα 2 , … , ένα n) | ένα Εγώ φά (Εγώ=)). Δερμάτινο στοιχείο πολλαπλό φά nπου ονομάζεται n-απλή αριθμητική διάνυσμα. Ας εισαγάγουμε τη λειτουργία της προσθήκης n-διανύσματα ειρήνης και πολλαπλασιασμός n-world διάνυσμα ανά βαθμωτό πεδίο z φά. Ελα
. Ας το κάνουμε = ( ένα 1 + σι 1 , … , ένα n + σι n), = (λ ένα 1 , λ ένα 2 , … , λ ένα n). Μπέζλιχ φά n όπου η εισαγωγή των πράξεων είναι διανυσματικός χώρος, και ονομάζεται n- απλός αριθμητικός διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο φά.

Ελα V- διανυσματικός χώροςπάνω από το γήπεδο φά, ,
. Υπάρχουν τέτοια χαρακτηριστικά:

1)
;

3)
;

4)
;

Απόδειξη σκληρότητας 3.

Ζ της ζήλιας για τον νόμο της γρήγορης ομάδας ( V,+) ίσως
.

Γραμμική αγρανάπαυση, ανεξαρτησία διανυσματικών συστημάτων.

Ελα V- Διανυσματικός χώρος πάνω από το χωράφι φά,

. Ένα διάνυσμα ονομάζεται ένας γραμμικός συνδυασμός ενός συστήματος διανυσμάτων
. Η ανωνυμία όλων των γραμμικών συνδυασμών του διανυσματικού συστήματος ονομάζεται γραμμικό κέλυφος tsієyu σύστημα vektorіv i poznaєєєєєyu.

Ραντεβού.Το σύστημα των διανυσμάτων ονομάζεται γραμμική αγρανάπαυση, καθώς χρησιμοποιούνται τέτοιοι βαθμωτοί
δεν είναι όλα ίσα με μηδέν, άρα

Πώς η ισοδυναμία (1) είναι νικηφόρα είτε ή μικρότερη από αυτή, αν λ 1 = λ 2 = … = =λ Μ=0, το σύστημα των διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητο.

βαρέλι. Chi z'yasuvati chi є σύστημα διανυσμάτων = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) διάστημα R 3 γραμμική αγρανάπαυση ή ανεξάρτητη.

Λύση.Έστω λ 1 , λ 2 , λ 3
і

 |=> (0,0,0) – λύση συστήματος. Otzhe, το διανυσματικό σύστημα είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Η κυριαρχία της γραμμικής πλάνης και η ανεξαρτησία του διανυσματικού συστήματος.

1. Το σύστημα των διανυσμάτων, που θέλει να εκδικηθεί ένα μηδενικό διάνυσμα, είναι γραμμικά αγρανάπαυση.

2. Ένα σύστημα διανυσμάτων για την εκδίκηση ενός γραμμικού υποσυστήματος αγρανάπαυσης, μιας γραμμικής αγρανάπαυσης.

3. Σύστημα διανυσμάτων, de
є γραμμική αγρανάπαυση ακόμη και μόνο μία φορά, εάν θέλετε ένα διάνυσμα του συστήματος, ένα μεμονωμένο διάνυσμα, є έναν γραμμικό συνδυασμό εμπρός διανυσμάτων.

4. Καθώς ένα σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αλλά ένα σύστημα διανυσμάτων
γραμμικά αγρανάπαυση, μετά το διάνυσμα μπορείτε να δείτε έναν γραμμικό συνδυασμό διανυσμάτων και μέχρι την ίδια κατάταξη.

Φέρνοντας.Εάν το διανυσματικό σύστημα είναι γραμμικά υπό καθεστώς αγρανάπαυσης, τότε
δεν είναι όλα ίσα με μηδέν, άρα

Σε διανυσματική ισοδυναμία (2) λ Μ+1 ≠ 0 λ Μ+1 \u003d 0, μετά s (2) \u003d\u003e Βλέπουμε ότι το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά αγρανάπαυση, θραύσματα λ 1 , λ 2 , … , λ Μδεν είναι όλα ίσα με μηδέν. Ήρθαν να σκουπίσουν το μυαλό τους. Ζ (1) => δε
.

Αφήστε το διάνυσμα να φαίνεται με τον ίδιο τρόπο που το βλέπετε: Todo με ισότητα διανυσμάτων
μέσω της γραμμικής ανεξαρτησίας του διανυσματικού συστήματος, μπορούμε να το δούμε
1 = β 1 , …, Μ = β Μ .

5. Δώστε δεδομένα σε δύο συστήματα διανυσμάτων και
, Μ>κ. Εάν το διάνυσμα του διανυσματικού συστήματος μπορεί να συνδυαστεί ως γραμμικός συνδυασμός του διανυσματικού συστήματος, τότε το διανυσματικό σύστημα είναι γραμμικά αγρανάπαυση.

Βάση, κατάταξη του συστήματος των διανυσμάτων.

Kіntseva διανυσματικό σύστημα στο διάστημα Vπάνω από το γήπεδο φά με νόημα μέσω μικρό.

Ραντεβού. Be-yaka γραμμικά ανεξάρτητο υποσύστημα του διανυσματικού συστήματος μικρόονομάζεται βάση του συστήματος των διανυσμάτων μικρόδιανυσματικό σύστημα yakscho be-yaky μικρόμπορείτε να δείτε τον γραμμικό συνδυασμό του διανυσματικού συστήματος.

βαρέλι.Βρείτε τη βάση του συστήματος των διανυσμάτων = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. Το σύστημα διανυσμάτων, γραμμικά ανεξάρτητο, oskіlki, vіdpovіdno to dominion 5 το σύστημα διανυσμάτων αφαιρέθηκε από το σύστημα διανυσμάτων πρόσθετη βοήθεια βασικάηλεκτρομηχανοτρονική: αρχικόςπρόσθετη βοήθεια θεμέλιοηλεκτρολόγος μηχανικός"; ...

Πριν από τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς μπορεί κανείς να δει:

1) Πρόσθεση και στα δύο μέρη του ενός ίσου μέρους του άλλου, πολλαπλασιαζόμενο με τον ίδιο αριθμό που δεν ισούται με μηδέν.

2) Μετάθεση των ίσων των αποστολών.

3).

ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ KRONECKER - CAPELLI

(Ακεραιότητα συστήματος Umova)

(Leopold Kronecker (1823–1891) Γερμανός μαθηματικός)

Θεώρημα: Το σύστημα χωρίζεται (μπορεί να θέλει μία λύση) είτε είτε μικρότερη εάν η κατάταξη του πίνακα του συστήματος είναι ίση με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα.

Προφανώς, το σύστημα (1) μπορεί να γραφτεί ως:

x 1 + x 2 + … + x n

Φέρνοντας.

1) Αν ληφθεί η απόφαση, τότε η στήλη των ελεύθερων μελών είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα Α, ο οποίος προστίθεται επίσης στον πίνακα, δηλαδή. η μετάβαση А®А* δεν αλλάζει την κατάταξη.

2) Yakshcho RgA = RgA * , tse σημαίνει ότι η δυσοσμία μπορεί να είναι στο ίδιο βασικό ελάσσονα. Stovpets vіlnyh termіnі - γραμμικός συνδυασμός stovptsіv βασικού ελάσσονος σημασίας, tі σωστή σημειογραφία, με αιχμή ψηλότερα.

βαρέλι.Υπολογίστε τη συνέπεια του συστήματος γραμμικών ευθυγραμμίσεων:

~ . Rga = 2.

Α* = Rga * = 3.

Το σύστημα είναι τρελό.

βαρέλι.Προσδιορίστε το άθροισμα του συστήματος των γραμμικών ευθυγραμμίσεων.

A =; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

Α* =

RgA* = 2.

Σύστημα ύπνου. Λύση: x1 = 1; x2 = 1/2.

2.6 ΜΕΘΟΔΟΣ GAUSS

(Karl Friedrich Gaus (1777-1855) Γερμανός μαθηματικός)

Με βάση τη μέθοδο matrix και τη μέθοδο Cramer, η μέθοδος Gauss μπορεί να μετατραπεί σε συστήματα γραμμικών ευθυγραμμίσεων από μεγάλο αριθμό ευθυγραμμίσεων και αγνώστων. Η ουσία της μεθόδου βασίζεται στη μετέπειτα συμπερίληψη μη οικιακών ασθενών.

Ας ρίξουμε μια ματιά στο σύστημα των γραμμικών ευθυγραμμίσεων:

Ας διαιρέσουμε τα προσβλητικά μέρη του 1ου ίσα με ένα 11 ¹ 0, τότε:

1) πολλαπλασιάστε με ένα 21 που βλέπω από ένα άλλο ίσο

2) πολλαπλασιάστε με το 31 που βλέπω από το τρίτο ίσο

, ντε d 1 j = a 1 j /a 11 j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij - a i1 d 1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.

βαρέλι.Αποκαλύψτε το σύστημα γραμμικών γραμμών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

, Τα αστέρια είναι αποδεκτά: x 3 \u003d 2; x 2 \u003d 5; x1=1.

βαρέλι.Ελέγξτε το σύστημα με τη μέθοδο Gauss.

Ας επεκτείνουμε τη μήτρα του συστήματος.

Σε αυτήν την κατάταξη, το εξωτερικό σύστημα μπορεί να παρουσιαστεί με τον ακόλουθο τρόπο:

, Τα αστέρια είναι αποδεκτά: z = 3; y=2; x = 1.

Otriman v_dpovіd zbіgaєtsya vіdpovіddu, otrimana για αυτό το σύστημα με τη μέθοδο Cramer και τη μέθοδο matrix.

Για ένα ανεξάρτητο όραμα:

Πρόταση: (1, 2, 3, 4).

ΘΕΜΑ 3. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΑΣ

ΒΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ

Ραντεβού.Διάνυσμαονομάζονται ευθείες γραμμές (διατάσσονται μερικά σημεία). Πριν από vector_v_vіdnosti επίσης μηδένδιάνυσμα, το στάχυ αυτού του είδους zbіgayutsya.

Ραντεβού. Dovzhina (ενότητα)το διάνυσμα καλείται μεταξύ του στάχυ και του άκρου του διανύσματος.

Ραντεβού. Τα διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικήσαν δυσωδία απλωμένη σε μια ή στις παράλληλες γραμμές. Το μηδενικό διάνυσμα είναι συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα.

Ραντεβού. Τα διανύσματα ονομάζονται ομοεπίπεδησαν ένα πραγματικό διαμέρισμα, σαν μια παράλληλη βρώμα.

Τα συγγραμμικά διανύσματα είναι πάντα ομοεπίπεδα, αλλά δεν είναι όλα τα συνεπίπεδα διανύσματα συγγραμμικά.

Ραντεβού. Τα διανύσματα ονομάζονται ίσοςσαν να είναι συγγραμμικά, ωστόσο, είναι ευθυγραμμισμένα και μπορεί να είναι τα ίδια modules.

Be-yaki φορείς και μπορεί να φέρει στο χορταστικό cob, tobto. να προκαλέσουν διανύσματα και vidpovidno ίσα δεδομένα και να κάνουν ένα καυτό στάχυ. Από τον προσδιορισμό της ισότητας του διανύσματος, είναι προφανές ότι αν ένα διάνυσμα μπορεί να είναι ένα απρόσωπο διάνυσμα, ίσο με εσάς.

Ραντεβού.Λειτουργίες γραμμήςπάνω από διανύσματα ονομάζεται πρόσθεση και πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό.

Sumoyu vector_v є διάνυσμα -

Tvir - , στο οποίο kolіnearen .

Διάνυσμα κατεύθυνσης іz διάνυσμα ( ), οπότε a > 0.

Το διάνυσμα των οδηγιών protivolezhnoy με το διάνυσμα (?), έτσι ώστε α< 0.

POWER OF VECTORIV

1) + = + - ανταλλαγή.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – συνειρμικότητα

6) (a + b) = a + b - κατανομή

7) a(+) = a + a

Ραντεβού.

1) Βάσηο χώρος ονομάζεται σαν 3 μη ομοεπίπεδα διανύσματα, που λαμβάνονται με την ίδια σειρά.

2) Βάσηστο επίπεδο ονομάζονται 2 μη συγγραμμικά διανύσματα, που λαμβάνονται με την ίδια σειρά.

3)Βάσησε ευθεία γραμμή ονομάζεται διάνυσμα μη μηδενικό.

Δύο συστήματα γραμμικών ευθυγραμμίσεων σε ένα σύνολο x 1 ..., x n

Ονομάζονται ισοδύναμα, γιατί αποφεύγονται οι απρόσωπες αποφάσεις τους (άρα αποφεύγονται οι πολλαπλασιασμοί και το K n,). Tse σημαίνει, sho: ή δυσωδία αμέσως є άδεια υποπολλαπλάσια (έτσι τα επιθετικά συστήματα (I) και (II) δεν έχουν καταλυθεί), ή δυσωδία αμέσως δεν είναι άδεια, i (έτσι λύση δέρματος του συστήματος I є διαλύματα του συστήματος II і διάλυμα δέρματος του Συστήματος ΙΙ є λύσεις του συστήματος Ι ).

Απόθεμα 3.2.1.

Μέθοδος Gaus

Το σχέδιο για τον αλγόριθμο που προτείνεται από τον Gaus είναι μάλλον απλό:

1. zastosovuvat στο σύστημα των γραμμικών ευθυγραμμίσεων διαδοχικά, για να μην αλλάξουμε την απρόσωπη λύση (με αυτόν τον τρόπο, παίρνουμε την απρόσωπη λύση του οπτικού συστήματος) και πηγαίνουμε στο ισοδύναμο σύστημα, το οποίο μπορεί να είναι "απλό" (αυτό είναι το όνομα της φόρμας βήματος)·
2. για το «απλό μυαλό» του συστήματος (με βαθμιαία μήτρα) περιγράψτε την απρόσωπη λύση που χρησιμοποιείται για την απρόσωπη λύση του οπτικού συστήματος.

Είναι σημαντικό ότι η στενή μέθοδος "fan-chen" χρησιμοποιήθηκε ήδη στα αρχαία κινέζικα μαθηματικά.

Στοιχειώδης μετασχηματισμός συστημάτων γραμμικών ευθυγραμμίσεων (σειρά πινάκων)

Ονομασία 3.4.1 (στοιχειώδης μετασχηματισμός 1ου τύπου). Όταν μέχρι το i-ο επίπεδο του συστήματος, προστίθεται το k-ο επίπεδο, πολλαπλασιαζόμενο με τον αριθμό (με πρόσημο: (i) "=(i) + c(k), τότε μόνο ένα i-ο επίπεδο (i ) αντικαθίσταται από ένα νέο επίπεδο (i) "=(i)+c(k)). Μπορεί να φαίνεται νέο i-e equal (a i1 + ca k1) x 1 + ... + (a in + ca kn) x n = b i + cb k, ή, εν συντομία,

Δηλαδή στο νέο i-ο διαμέρισμα a ij " = a ij + ca kj , b i " = bi + cb k.

Ονομασία 3.4.2 (στοιχειώδης τύπος μετατροπής 2). Για i -е ι k -е τα ίσα αλλάζουν από τις τάξεις, τα άλλα ίσα δεν αλλάζουν (σημάδια: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; .,n

Σεβασμός 3.4.3. Για λόγους σαφήνειας, για συγκεκριμένους υπολογισμούς, μπορείτε να προσθέσετε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς του 3ου τύπου: ο i-ος υπολογισμός πολλαπλασιάζεται με έναν μη μηδενικό αριθμό , (i)" = c (i) .

Πρόταση 3.4.4. Ακριβώς όπως ο τύπος του συστήματος που πέρασα στο σύστημα II για τη βοήθεια του τελικού αριθμού στοιχειωδών μετασχηματισμών του 1ου και 2ου τύπου, τότε με τη μορφή του συστήματος II μπορείτε να στραφείτε στο σύστημα I καθώς και στους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς του 1ου και του 2ου τύπου. 2ος τύπος.

Φέρνοντας.

Σεβασμός 3.4.5. Η σταθερότητα είναι αληθής και περιλαμβάνεται στους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς του στοιχειώδους μετασχηματισμού του 3ου τύπου. Yakscho i (i)"=c(i) , τότε ta (i)=c -1 (i)" .

Θεώρημα 3.4.6.Μετά την τελευταία στάση του τελευταίου αριθμού στοιχειωδών μετασχηματισμών 1ου ή 2ου τύπου, το σύστημα γραμμικών ευθυγραμμίσεων, ισοδύναμο με το cob, έρχεται στο σύστημα γραμμικών ευθυγραμμίσεων.

Φέρνοντας. Είναι σημαντικό να ρίξουμε μια ματιά στη μετάβαση από το σύστημα I στο σύστημα II για την προσθήκη ενός στοιχειώδους μετασχηματισμού και να φέρουμε τη λύση της συμπερίληψης στα πλούτη (τα θραύσματα μέσω της εισαγόμενης πρότασης του συστήματος II μπορούν να μετατραπούν στο σύστημα I και σε αυτό , συμπερίληψη, να φέρεται ισότητα).

Ραντεβού 1.Το σύστημα γραμμικών ευθυγραμμίσεων μυαλό (1) , de , πεδίο, ονομάζεται ένα σύστημα m γραμμικών γραμμών από n nevidomimi πάνω από το πεδίο, - Συντελεστές για μη οικιακά, , , - ελεύθερα μέλη του συστήματος (1).

Ραντεβού 2.Διέταξε n-κα (), ντε, κάλεσε στην κορυφή του συστήματος των γραμμικών γραμμών(1), ακόμη και κατά την αντικατάσταση της αλλαγής στο δέρμα, το σύστημα (1) αλλάζει στη σωστή αριθμητική ευθυγράμμιση.

Ραντεβού 3. νυσταγμένοςΤο yakscho μπορεί να θέλει να πάρει μια απόφαση. Διαφορετικά, καλείται το σύστημα (1). τρελός.

Ραντεβού 4.Το σύστημα των γραμμικών ευθυγραμμίσεων (1) ονομάζεται τραγούδιμπορεί να υπάρξει μόνο μία λύση. Διαφορετικά, καλείται το σύστημα (1). αδιόριστος.

Σύστημα γραμμικών γραμμών

(є απόφαση) (καμία απόφαση)

νυσταγμένος τρελός

(μία απόφαση) (όχι μία απόφαση)

το pevna είναι άγνωστο

Ραντεβού 5.Το σύστημα των γραμμικών γραμμών πάνω από το πεδίο Rπου ονομάζεται ομοιογενής yakscho όλοι οι όροι її vіlnі ίσοι με μηδέν. Διαφορετικά καλείται το σύστημα ετερογενής.

Ας δούμε το σύστημα των γραμμικών γραμμών (1). Αυτό το ίδιο ομοιογενές σύστημα στο μυαλό ονομάζεται ομοιογενές σύστημα, που σχετίζονταιαπό το σύστημα (1). Ομογενής SLN για πρώτη φορά, oskolki μπορεί να αποφασιστεί.

Για το δερματικό SLN, δύο μήτρες μπορούν να εισαχθούν με μια ματιά - η κύρια επεκτείνεται.

Ραντεβού 6. Ο κύριος πίνακας του συστήματος γραμμικών ευθυγραμμίσεων(1) ο πίνακας ονομάζεται, αποτελείται από συντελεστές χωρίς επιθετικό τύπο: .

Ραντεβού 7. Διευρυμένη μήτρα του συστήματος γραμμικών ευθυγραμμίσεων(1) ο πίνακας καλείται, περικόπτεται από τον πίνακα από μια διαδρομή που γειτνιάζει με ένα σύνολο ελεύθερων μελών: .

Ραντεβού 8.Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί του συστήματος γραμμικών ευθυγραμμίσεωνονομάζονται ως εξής: 1) πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη του ίδιου ίσου συστήματος με ένα βαθμωτό. 2) προσθήκη και στα δύο μέρη του ενός επιπέδου του συστήματος των δεύτερων τμημάτων του άλλου επιπέδου, πολλαπλασιαζόμενα με ένα στοιχείο. 3) συμπληρώνοντας ή αποδεικνύοντας ίσο με το νου.

Ραντεβού 9.Δύο συστήματα γραμμικών γραμμών πάνω από το πεδίο Rπώς λέγεται η αλλαγή εξίσου ισχυρή, καθώς αποφεύγονται οι απρόσωπες αποφάσεις τους.

Θεώρημα 1 . Ακριβώς όπως ένα σύστημα γραμμικών ισοτήτων αφαιρέθηκε από ένα άλλο για τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών, τέτοια συστήματα είναι εξίσου ισχυρά.

Οι χειροκίνητοι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί δεν μεταφέρονται σε ένα σύστημα γραμμικών ευθυγραμμίσεων, αλλά σε έναν διευρυμένο πίνακα.

Ραντεβού 10.Ας δώσουμε έναν πίνακα με στοιχεία από το πεδίο R. Στοιχειώδεις μεταμορφώσειςΟι πίνακες ονομάζονται ως εξής:

1) πολλαπλασιασμός όλων των στοιχείων οποιασδήποτε σειράς στον πίνακα με aО Р # ;

2) πολλαπλασιάζοντας όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς στον πίνακα με aО Р # και προσθέτοντας τα άλλα στοιχεία της επόμενης σειράς.

3) μετάθεση των θέσεων από δύο σειρές του πίνακα.

4) προσθήκη ή απελευθέρωση της μηδενικής σειράς.

8. Λύση SLU:Μ μέθοδος μετέπειτα αποκλεισμού αγνώστων (μέθοδος Gauss).

Ας ρίξουμε μια ματιά σε μια από τις κύριες μεθόδους αποσύνδεσης συστημάτων γραμμικών ευθυγραμμίσεων, η οποία ονομάζεται με τη μέθοδο της μετέπειτα συμπερίληψης αγνώστων, τι άλλο, Μέθοδος Gauss. Ρίξτε μια ματιά στο σύστημα (1) Μγραμμικό rivnyan z nνεβιδομίμι πάνω από το γήπεδο Ε:(1) .

Το σύστημα (1) θέλει έναν από τους συντελεστές αν όχι καλό 0 . Іnakshe (1) - το σύστημα των ίσων από () nevіdomimi - tse superechit μυαλά. Θυμόμαστε τις ισοτιμίες ανά μήνες ώστε ο συντελεστής στην πρώτη ισοφάριση να μην είναι καλός 0 . Σε αυτή την κατάταξη, μπορείτε να vvazhati, sho. Πολλαπλασιάστε τα προσβλητικά μέρη του πρώτου ίσα και προσθέστε στα δεύτερα μέρη του άλλου, τρίτου, ..., Μου ίσον. Παίρνουμε το μυαλό του συστήματος: , de μικρό- ο μικρότερος αριθμός, οπότε θέλω έναν από τους συντελεστές αν όχι υγιής 0 . Θυμόμαστε τις ισότητες ανά μήνες ώστε η άλλη σειρά να έχει συντελεστή κατά την αλλαγή του κόστους 0 , έπειτα. μπορούμε να μαντέψουμε τι. Ας πολλαπλασιάσουμε ίσα τα προσβλητικά μέρη του άλλου και ας προσθέσουμε στα ίσα μέρη του τρίτου, ..., Μου ίσον. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, λαμβάνουμε υπόψη το σύστημα:

Το σύστημα γραμμικών ισοτήτων, γιακ, σύμφωνα με το Θεώρημα 1, είναι ίσο με το σύστημα (1) . Το σύστημα ονομάζεται κλιμακωτό σύστημα γραμμικών ευθυγραμμίσεων. Υπάρχουν δύο πιθανότητες: 1) Το να θέλεις ένα από τα στοιχεία δεν είναι καλό 0 . Έλα, για παράδειγμα. Το ίδιο με το σύστημα των γραμμικών ευθυγραμμίσεων, είναι παρόμοιο με το μυαλό ότι είναι αδύνατο. Το Tse σημαίνει ότι το σύστημα δεν έχει λύση και επομένως το σύστημα (1) δεν μπορεί να έχει λύση (κατά καιρούς το (1) είναι ένα ασυνεπές σύστημα).

2) Έλα, ...,. Todi για τη βοήθεια του στοιχειώδους μετασχηματισμού Ζ) αφαιρούμε το σύστημα - το σύστημα rγραμμικό rivnyan z nάγνωστος. Σε κάθε αλλαγή, για τους συντελεστές καλούνται αλλαγή κεφαλιού(tse), їх σύνολο r. Ινσι ( n-r) αλλαγή ονομάτων Ελεύθερος.

Υπάρχουν δύο δυνατότητες: 1) Yakshcho r=n, τότε - το σύστημα της εμφάνισης tricot. Για αυτό, από το τελευταίο ίσο, ξέρουμε αλλαγή, από το τελευταίο - αλλαγή, από το πρώτο ίσο - αλλαγή. Επίσης, υπάρχει μόνο μία λύση για το σύστημα γραμμικών ευθυγραμμίσεων, καθώς και για το σύστημα γραμμικών ευθυγραμμίσεων (1) (κατά καιρούς εκχωρείται το σύστημα (1).

2) Έλα r . Και εδώ οι κύριες αλλαγές στρέφονται μέσα από τα ποντίκια και κερδίζουν την αποφασιστική λύση του συστήματος των γραμμικών γραμμών (1). Nadayuyuschie vіlnym zmіnnym sovіlnі znachenya, nabuvayut διαφορετικές ιδιωτικές λύσεις του συστήματος γραμμικών γραμμών (1) (το σύστημα (1) δεν είναι ορατό σε αυτήν την περίπτωση).