Рівняння теплопровідності записується як. Теплопровідність рівняння. Виведення рівняння теплопровідності
Рівняння теплопровідності для нестаціонарного випадку
нестаціонарнимякщо температура тіла залежить як від положення точки, так і від часу.
Позначимо через і = і(М, t) температуру в точці Моднорідного тіла, обмеженого поверхнею S, у момент часу t. Відомо, що кількість теплоти dQ, що поглинається за час dt, виражається рівністю
де dS− елемент поверхні, k− коефіцієнт внутрішньої теплопровідності, − похідна функції іу напрямку зовнішньої нормалі до поверхні S. Оскільки поширюється у напрямі зниження температури, то dQ> 0, якщо > 0, та dQ < 0, если < 0.
З рівності (1) випливає
Тепер знайдемо Qіншим способом. Виділимо елемент dVобсягу V, обмеженого поверхнею S. Кількість теплоти dQ, одержуваної елементом dVза час dt, пропорційно підвищенню температури у цьому елементі та масі самого елемента, тобто.
де густина речовини, коефіцієнт пропорційності, званий теплоємністю речовини.
З рівності (2) випливає
Таким чином,
де. Враховуючи, що = , , отримаємо
Замінюючи праву частину рівності за допомогою формули Остроградського – Гріна, отримаємо
для будь-якого обсягу V. Звідси отримуємо диференціальне рівняння
яке називають рівнянням теплопровідності для нестаціонарного випадку.
Якщо тіло є стрижень, спрямований по осі Ох, то рівняння теплопровідності має вигляд
Розглянемо завдання Коші для наступних випадків.
1. Випадок необмеженого стрижня.Знайти рішення рівняння (3) ( t> 0, ), що задовольняє початкову умову. Використовуючи метод Фур'є, отримаємо рішення у вигляді
− інтеграл Пуассона.
2. Випадок стрижня, обмеженого з одного боку.Рішення рівняння (3), що задовольняє початкову умову і крайову умову, виражається формулою
3. Випадок стрижня, обмеженого із двох сторін.Завдання Коші полягає, щоб при х= 0 і х = lзнайти рішення рівняння (3), що задовольняє початковій умові та двом крайовим умовам, наприклад, або .
У цьому випадку приватне рішення шукається у вигляді ряду
для крайових умов
і у вигляді ряду
для крайових умов.
приклад.Знайти рішення рівняння
що задовольняє початковим умовам
та крайовим умовам.
□ Розв'язання задачі Коші шукатимемо у вигляді
Таким чином,
Рівняння теплопровідності для стаціонарного випадку
Розподіл тепла в тілі називають стаціонарнимякщо температура тіла ізалежить від положення точки М(х, у, z), але не залежить від часу t, тобто.
і = і(М) = і(х, у, z).
У цьому випадку 0 і рівняння теплопровідності для стаціонарного випадку звертається до рівняння Лапласа
яке часто записують у вигляді.
Щоб температура іу тілі визначалася однозначно з цього рівняння, потрібно знати температуру на поверхні Sтіла. Таким чином, для рівняння (1) крайове завданняформулюється в такий спосіб.
Знайти функцію і, що відповідає рівнянню (1) всередині обсягу Vі приймаючу в кожній точці Мповерхні Sзадані значення
Це завдання називається завданням Діріхліабо першим крайовим завданнямдля рівняння (1).
Якщо на поверхні тіла температура невідома, а відомий тепловий потік у кожній точці поверхні, який пропорційний, то на поверхні Sзамість крайової умови (2) матимемо умову
Завдання знаходження рішення рівняння (1), що задовольняє крайову умову (3), називається завданням Нейманаабо другим крайовим завданням.
Для плоских фігур рівняння Лапласа записується як
Такий самий вигляд має рівняння Лапласа і для простору, якщо іне залежить від координати z, тобто. і(М) зберігає постійне значення при переміщенні точки Мпо прямій, паралельної осі Oz.
Заміною , рівняння (4) можна перетворити до полярних координат
З рівнянням Лапласа пов'язане поняття гармонійної функції. Функція називається гармонійноюв області Dякщо в цій галузі вона безперервна разом зі своїми похідними до другого порядку включно і задовольняє рівняння Лапласа.
приклад.Знайти стаціонарне розподілення температури в тонкому стрижні з теплоізольованою бічною поверхнею, якщо на кінцях стрижня , .
□ Маємо одновимірний випадок. Потрібно знайти функцію і, що задовольняє рівняння та крайових умов . Загальне рівняннязазначеного рівняння має вигляд. Враховуючи крайові умови, отримаємо
Таким чином, розподіл температури у тонкому стрижні з теплоізольованою бічною поверхнею лінійно. ■
Завдання Диріхлі для кола
Нехай дано коло радіусу Rз центром у полюсі Прополярної системи координат. Треба знайти функцію , гармонійну в колі та умову , що задовольняє на його колі , де − задана функція, безперервна на колі. Шукана функція має задовольняти у колі рівняння Лапласа
Використовуючи метод Фур'є, можна отримати
− інтеграл Пуассона.
приклад.Знайти стаціонарний розподіл температури на однорідній тонкій круглій пластинці радіусу R, верхня половина підтримується за нормальної температури , а нижня – за нормальної температури .
□ Якщо, то, а якщо, то. Розподіл температури виражається інтегралом
Нехай точка розташування у верхньому півкрузі, тобто. ; тоді змінюється від до, і цей інтервал довжини не містить точок. Тому введемо підстановку, звідки, . Тоді отримаємо
Так права частина негативна, то іпри задовольняє нерівності. Для цього випадку отримуємо рішення
Якщо точка розташована в нижньому півкрузі, тобто. , то інтервал зміни містить точку , але не містить 0, і можна зробити підстановку , звідки , , Тоді для цих значень маємо
Провівши аналогічні перетворення, знайдемо
Оскільки права частина тепер позитивна, то. ■
Метод кінцевих різниць для вирішення рівняння теплопровідності
Нехай потрібно знайти рішення рівняння
задовольняюче:
початковій умові
та крайових умов
Отже, потрібно знайти рішення рівняння (1), яке б задовольняло умовам (2), (3), (4), тобто. потрібно знайти рішення в прямокутнику, обмеженому прямими , , , якщо задані значення шуканої функції на трьох його сторонах , , .
Побудуємо прямокутну сітку, утворену прямими
− крок уздовж осі Ох;
− крок уздовж осі Від.
Введемо позначення:
З поняття кінцевих різниць можна записати
аналогічно
Враховуючи формули (6), (7) та введені позначення, запишемо рівняння (1) у вигляді
Звідси отримаємо розрахункову формулу
З (8) випливає, що якщо відомі три значення до k-ом шарі сітки: , , , то можна визначити значення ( k+ 1)-му шарі.
Початкова умова (2) дозволяє знайти всі значення на прямій; крайові умови (3), (4) дозволяють знайти значення на прямих та . За формулою (8) знаходимо значення переважають у всіх внутрішніх точках наступного шару, тобто. для k= 1. Значення шуканої функції крайніх точках відомі з граничних умов (3), (4). Переходячи від одного шару сітки до іншого, визначаємо значення шуканого рішення у всіх вузлах сітки. ;
АНАЛІТИЧНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ РІВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ
Нині аналітичним шляхом вирішено дуже багато одномірних завдань теплопровідності.
А.В.Ликов, наприклад, розглядає чотири методи розв'язання рівняння теплопровідності в умовах одновимірної задачі: метод поділу змінних, метод джерел, операційний метод, метод кінцевих інтегральних перетворень.
Надалі зупинимося тільки першому методі, який отримав найбільшого поширення.
Метод поділу змінних при вирішенні рівняння теплопровідності
Диференціальне рівняння теплопровідності в умовах одновимірного завдання та без джерел теплоти має вигляд
T/?ф = a? 2 t/?x 2 .(3.1)
Це рівняння є окремим випадком однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами для деякої функції t від двох змінних x і ф:
Легко перевірити, що окремим рішенням цього рівняння буде вираз
t = C exp (бx + вф). (3.3)
Дійсно:
- ?t/?x = бС ехр (бx + вф); ?t/?ф = вС ехр (бx + вф);
- ? 2 t/?x 2 = б 2 С ехр (бx + вф);
- ? 2 t/?ф 2 = 2 С ехр (бx + вф);? 2 t/(? x ? ф) = бвС ехр (б x + вф). (3.4)
Спільне рішення останніх семи рівнянь дає
a 1 б 2 + b 1 бв + c 1 в 2 + d 1 б + l 1 в + f 1 = 0. (3.5)
Останнє рівняння називається рівнянням коефіцієнтів.
Переходячи до рівняння (3.1), зіставляючи його з рівнянням (3.2), укладаємо, що
b 1 = c 1 = d 1 = f 1 = 0; a 1 = - a; l 1 = 1. (3.6)
Рівняння коефіцієнтів (3.5) для окремого випадку рівняння (3.1) набуває вигляду
Б 2 a + = 0(3.7)
в = б 2 a. (3.8)
Таким чином, приватне рішення (3.3) є інтегралом диференціального рівняння (3.1) і з урахуванням (3.8) набуде вигляду
t = C exp (б 2 aф + бx). (3.9)
У цьому рівнянні можна задавати будь-які значення чисел C, б, a.
Вираз (3.9) може бути представлений у вигляді твору
t = C exp (б 2 af) exp (бx), (3.10)
де співмножник exp (б 2 aф) є функцією лише часу ф, а змножувач exp (бx) - тільки відстані x:
exp (б 2 aф) = f (ф); exp (бx) = ц (x). (3.11)
Зі збільшенням часу ф температура у всіх точках безперервно зростає і може стати вище наперед заданою, що в практичних завданнях не зустрічається. Тому зазвичай беруть тільки такі значення б, при яких б 2 негативно, що можливо при чисто уявної величині. Приймемо
б = ± iq, (3.12)
де q - довільне дійсне число(раніше позначкою q позначали питомий тепловий потік),
У цьому випадку рівняння (3.10) набуде наступного вигляду:
t = C exp (-q 2 af) exp (± iqx). (3.13)
Звертаючись до відомої формули Ейлера
exp (± ix) = cos x ± i sin x (3.14)
і, користуючись нею, перетворюємо рівняння (3.13). Отримаємо два рішення у комплексному вигляді:
Підсумовуємо ліві та праві частини рівнянь (3.15), потім відокремимо дійсні від уявних частин у лівій та правій частинах суми та прирівняємо їх відповідно. Тоді отримаємо два рішення:
Введемо позначення:
(C 1 + C 2) / 2 = D; (C 1 - C 2) / 2 = C (3.17)
тоді отримаємо два рішення, що задовольняють диференціальне рівняння теплопровідності (3.1):
t 1 = D exp (-q 2 af) cos (qx); t 2 = C exp (- q 2 af) sin (qx). (3.18)
Відомо, що якщо функція має два приватні рішення, то і сума цих приватних рішень задовольнятиме вихідному диференціальному рівнянню (3.1), тобто рішенням цього рівняння буде
t = C exp (-q 2 af) sin (qx) + D exp (-q 2 af) cos (qx), (3.19)
а загальне рішення, що задовольняє цього рівняння, можна записати в такому вигляді:
Будь-які значення q m , q n , C i , D i у рівнянні (3.20) задовольнятимуть рівняння (3.1). Конкретизація у виборі цих значень визначатиметься початковими і граничними умовами кожної приватної практичної задачі, причому значення q m і q n визначаються з граничних умов, а C i і D i -- з початкових.
Крім загального рішення рівняння теплопровідності (3.20) у якому має місце добуток двох функцій, одна з яких залежить від x, а інша - від ф, існують ще рішення, в яких такий поділ неможливий, наприклад:
Обидва рішення задовольняють рівнянню теплопровідності, у чому легко переконатися, продиференціювавши їх спочатку ф, а потім 2 рази x і підставивши результат в диференціальне рівняння (3.1).
Приватний приклад нестаціонарного температурного поля у стінці
Розглянемо приклад застосування одержаного вище рішення.
Початкові дані.
- 1. Дана бетонна стінка завтовшки 2X = 0,80 м.
- 2. Температура навколишньої стінки середовища і = 0°С.
- 3. У початковий час температура стінки в усіх точках F(x)=1°C.
- 4. Коефіцієнт тепловіддачі стінки б=12,6Вт/(м 2 ·°С); коефіцієнт теплопровідності стінки л=0,7Вт/(м·°С); щільність матеріалу стінки = 2000кг/м 3 ; питома теплоємність c=1,13·10 3 Дж/(кг·°С); коефіцієнт температуропровідності a = 1,1 · 10 -3 м 2 /год; відносний коефіцієнт тепловіддачі б/л = h=18,01/м. Потрібно визначити розподіл температури у стінці через 5 годин після початкового моменту часу.
Рішення. Звертаючись до загального рішення (3.20) і маючи на увазі, що початковий і наступні розподіли температури симетричні щодо осі стінки, укладаємо, що ряд синусів у цьому загальному рішенні відпадає, і при x = Х воно матиме вигляд
Значення визначені з граничних умов (без додаткових пояснень) і наведені в табл.3.1.
Маючи значення з табл.3.1, знаходимо шуканий ряд значень за формулою
Таблиця 3.1 Значення функцій, що входять до формули (3.24)
|
|
|
|
|
тобто Д1 = 1,250; Д2 = - 0,373; Д3 = 0,188; Д4 = - 0,109; Д5 = 0,072.
Початковий розподіл температури в стінці, що розглядається, набуде наступного вигляду:
Щоб отримати розрахунковий розподіл температури через 5 год після початкового моменту, необхідно визначити ряд значень на якийсь час через 5 год. Ці розрахунки виконані в табл.3.2.
Таблиця 3.2 Значення функцій, що входять до формули (3.23)
|
A=(q ni X) 2 (аф/X 2) |
|||||
Остаточний вираз для розподілу температури в товщі стінки через 5 годин після початкового моменту
На рис.3.1 показано розподіл температури в товщі стінки на початковий момент часу і через 5 год. Поряд із загальним рішенням тут же зображені і приватні, причому римськими цифрами вказані приватні криві, що відповідають послідовним рядів (3.25) і (3.26).
Рис.3.1.
При вирішенні практичних завдань зазвичай не потрібно визначати температуру у всіх точках стінки. Можна обмежитися розрахунком температури лише для однієї точки, наприклад для точки в середині стінки. І тут обсяг обчислювальних робіт за формулою (3.23) значно скоротиться.
Якщо початкова температура в розглянутому вище випадку дорівнює не 1 ° С, а Т с, то рівняння (3.20) набуде вигляду
Рішення рівняння теплопровідності за різних граничних умов
Не будемо наводити послідовний хід вирішення рівняння теплопровідності за інших граничних умов, які мають практичне значення у вирішенні деяких завдань. Нижче обмежимося лише формулюванням їх умов із показом наявних готових рішень.
Початкові дані. Стінка має товщину 2Х. У початковий момент у всіх її точках, крім поверхні, температура Т Температура на поверхні 0°С утримується протягом усього розрахункового періоду.
Потрібно знайти t = f(x, ф).
Нерухоме водосховище покрилося льодом за температури найбільшої щільності води (Т с = 4°С). Глибина водоймища 5м (Х = 5 м). Розрахувати температуру води у водосховищі через 3 місяці після льодоставу. Температуропровідність нерухомої води a = 4,8 10 -4 м 2 /год. Тепловий потік біля дна, тобто при x = 0 відсутній.
Протягом розрахункового періоду (ф = 3 · 30 · 24 = 2160 год) температура на поверхні утримується постійною і рівною нулю, тобто при x = Х Т п = 0 ° С. Весь розрахунок зводимо до табл. 3 і 4. Ці таблиці дозволяють обчислити значення температури через 3 місяці після початкового моменту для глибин дна, а потім вище через 1 м, тобто t 0 (дно) = 4 ° С; t 1 = 4 ° С; t 2 = 3,85 ° С; t 3 = 3,30 ° С; t 4 = 2,96 ° С; t 5(пов) = 0°С.
Таблиця 3.3
Таблиця 3.4
Як бачимо, у абсолютно нерухомій воді температурні обурення дуже повільно проникають углиб. У природних умовах у водоймах під крижаним покривом завжди спостерігаються течії або гравітаційні (проточні), або конвективні (різнощільні), або, нарешті, викликані надходженням ґрунтових вод. Все різноманіття вказаних природних особливостейслід враховувати при практичних розрахунках, а рекомендації до цих розрахунків можна знайти у посібниках та роботах К.И.Россинского .
Тіло обмежене з одного боку (напівплощина). У час ф = 0 в усіх точках температура тіла дорівнює Т с. Для всіх моментів часу ф > 0 поверхні тіла підтримується температура Т п = 0°С.
Потрібно знайти розподіл температури в товщі тіла та втрату теплоти через вільну поверхнюяк функцію часу: t = f (x, ф),
Рішення. Температура у будь-якій точці тіла та у будь-який момент часу
де є інтеграл Гауса. Його значення залежно від функції наведено в табл.3.5.
Таблиця 3.5
Практично рішення починається з визначення відношення, в якому х і ф задані за умови завдання.
Кількість теплоти, що втрачається одиницею поверхні тіла в навколишнє середовище, визначається згідно із законом Фур'є. За весь розрахунковий період із початкового моменту до розрахункового
У початковий момент часу температура ґрунту від поверхні до значної глибини була постійною та рівною 6°С. У цей момент температура на поверхні ґрунту впала до 0°С.
Потрібно визначити температуру ґрунту на глибині 0,5 м через 48 год при значенні коефіцієнта температуропровідності ґрунту a = 0,001 м 2 /год, а також оцінити кількість теплоти, що втрачається поверхнею за цей час.
За формулою (3.29) температура ґрунту на глибині 0,5 м через 48 год t=6·0,87=5,2°С.
Загальна кількість теплоти, втраченої одиницею поверхні грунту, при коефіцієнті теплопровідності л = 0,35 Вт/(м·°С), питомої теплоємності c = 0,83·10 3 Дж/(кг·°С) і щільності с = 1500 кг/м 3 визначимо за формулою (3.30) Q=l,86·10 6 Дж/м 2 .
інтегральний теплопровідність теплота тіло
Рис.3.2
Внаслідок деякого зовнішнього впливу температура поверхні тіла, обмеженого з одного боку (напівплощина), зазнає періодичних коливань близько нуля. Вважатимемо, що ці коливання гармонійні, тобто температура поверхні змінюється по косинусоїді:
де - тривалість коливання (період), T 0 - температура поверхні,
T 0 макс - її максимальне відхилення.
Потрібно визначити температурне поле як час.
Амплітуда коливань температури змінюється з x за наступним законом (рис.3.2):
Приклад до задачі № 3. Зміна температури на поверхні сухого піщаного ґрунту протягом року характеризується косинусоїдальним ходом. Середня річна температура при цьому дорівнює 6°С при максимальних відхиленнях від середньої літа та взимку, що досягають 24°С.
Потрібно визначити температуру ґрунту на глибині 1 м у момент, коли температура на поверхні дорівнює 30°С (умовно 1/VII).
Вираз косинусоїди (3.31) стосовно даному випадку(температурі поверхні) при T 0 макс = 24 0 С набуде вигляду
Т 0 = 24 cos (2рф/8760) + 6.
Зважаючи на те, що поверхня ґрунту має середню річну температуру 6°С, а не нуль, як у рівнянні (3.32), розрахункове рівняння набуде наступного вигляду:
Взявши для ґрунту коефіцієнт температуропровідності a = 0,001 м 2 /год і маючи на увазі, що за умовою завдання необхідно визначити температуру на кінець розрахункового періоду (через 8760 год від початкового моменту), знайдемо
Розрахунковий вираз (3.34) набуде наступного вигляду: t = 24e -0,6 · 0,825 + 6 = 16,9 °С.
На тій же глибині 1м максимальна амплітуда річного коливання температури, згідно з виразом (3.33), становитиме
T 1 макс = 24e -0,6 = 13,2 ° С,
а максимальна температура на глибині 1 м
t 1 макс = T x макс + 6 = 13,2 + 6 = 19,2 °С.
На закінчення відзначимо, що розглянуті завдання та підходи можуть бути використані при вирішенні питань, пов'язаних з випуском теплої води у водойму, а також за хімічного методу визначення витрати води та в інших випадках.
Формули для розрахунку температурного поля та теплового потоку у приватних завданнях стаціонарної та нестаціонарної теплопровідності отримують виходячи з математичного опису (математичної моделі) процесу. Основу моделі становить диференціальне рівняння теплопровідності, яке виводиться із залученням першого закону термодинаміки для тіл, що не виконують роботи, та закону теплопровідності Фур'є. Диференціальне рівняння фізичного процесу зазвичай виводиться за тих чи інших припущеннях, які спрощують процес. Тому одержуване рівняння визначає клас процесів лише межах прийнятих припущень. Кожне завдання описується відповідними умовами однозначності. Таким чином, математичний опис процесу теплопровідності включає диференціальне рівняння теплопровідності та умови однозначності.
Розглянемо висновок диференціального рівняння теплопровідності при наступних припущеннях:
- а) тіло однорідне та анізотропне;
- б) коефіцієнт теплопровідності залежить від температури;
- в) деформація об'єму, що розглядається, пов'язана зі зміною температури, дуже мала в порівнянні з самим об'ємом;
- г) усередині тіла є рівномірно розподілені внутрішні джерела теплоти q v = f(x, y, z,т) = const;
- д) переміщення макрочастинок тіла щодо один одного (конвекція) відсутнє.
У тілі з прийнятими характеристиками виділяємо елементарний об'єм у формі паралелепіпеда з ребрами dx, dy, dz,виразно орієнтований в ортогональній системі координат (рис. 14.1). Відповідно до першого закону термодинаміки для тіл, які не виконують роботи, зміна внутрішньої енергії dUречовини у виділеному обсязі за час dxдорівнює сумі теплоти, що надходить
Рис. 14.1.
в об'єм внаслідок теплопровідності dQ x , та теплоти, виділеної внутрішніми джерелами dQ 2”.
З термодинаміки відомо, що зміна внутрішньої енергії речовини обсягом dV за час dx одно
де dG = р dV - маса речовини; р – щільність; з - питома масова теплоємність (для стисливих рідин c = c v (ізохорної теплоємності)).
Кількість енергії, виділена внутрішніми джерелами,
де q v - Об'ємна щільність внутрішніх джерел теплоти, Вт/м 3 .
Тепловий потік, що надходить в об'єм теплопровідністю, розділимо на три складові відповідно до напряму осей координат: 
Через протилежні грані теплота буде
відводиться в кількості відповідно Різниця між кількістю підведеної та відведеної теплоти еквівалентна зміні внутрішньої енергії внаслідок теплопровідності dQ v Представимо цю величину як суму складових по осях координат:
Тоді у напрямку осі х маємо
Оскільки -
щільності теплових потоків на протилежних гоанях.
Функція q x+dxє безперервною в розглянутому інтервалі dxі може бути розкладена в ряд Тейлора:
Обмежуючись двома першими членами ряду і підставляючи (14.6), отримуємо
Аналогічним чином отримуємо:
Після підстановки (14.8)-(14.10) у (14.4) маємо
Підставляючи (14.2), (14.3) та (14.11) до (14.1), отримуємо диференціальне рівняння перенесення теплоти теплопровідністю з урахуванням внутрішніх джерел:
Відповідно до закону теплопровідності Фур'є записуємо вирази для проекцій на осі координат щільності теплового потоку:
де Х х, Х у, X z- Коефіцієнти теплопровідності в напрямку координатних осей (тіло анізотропне).
Підставляючи ці вирази (14.12), отримуємо
Рівняння (14.13) називають диференціальним рівнянням теплопровідності для анізотропних тіл із незалежними від температури фізичними властивостями.
Якщо прийняти X = const, а тіло ізотропним, рівняння теплопровідності набуває вигляду
Тут а = Х/(СР),м 2 /с, - коефіцієнт температуропровідності,
який є фізичним параметром речовини, що характеризує швидкість зміни температури у процесах нагрівання або охолодження. Тіла, виконані з речовини з великим коефіцієнтом температуропровідності, за інших рівних умов нагріваються і швидше охолоджуються.
У циліндричній системі координат диференціальне рівняння теплопровідності для ізотропного тіла з постійними фізичними властивостями має вигляд
де г, z,Ф - відповідно радіальна, осьова та кутова координати.
Рівняння (14.13), (14.14) та (14.15) описують процес теплопровідності у найзагальнішому вигляді. Конкретні завдання відрізняються умовами однозначності, тобто. описом особливостей перебігу аналізованого процесу.
Умови однозначності. З фізичних поглядів на теплопровідності можна назвати чинники, які впливають процес: фізичні властивості речовини; розміри та форма тіла; початкове розподілення температури; умови теплообміну на поверхні (межі) тіла. Таким чином, умови однозначності поділяються на фізичні, геометричні, початкові та граничні (крайові).
Фізичними умовамизадаються фізичні параметри речовини X, с,р та розподіл внутрішніх джерел.
Геометричними умовамизадаються форма та лінійні розміри тіла, в якому протікає процес.
Початковими умовамивизначається розподіл температури в тілі в початковий момент часу t= /(х, у, z) при т = 0. Початкові умови мають значення під час розгляду нестаціонарних процесів.
Залежно від характеру теплообміну на межі тіла граничні (крайові) умови поділяються на чотири роди.
Граничні умови першого роду.Задається розподіл температури на поверхні t nпротягом процесу
В окремому випадку температура поверхні може залишатися постійною (/п = const).
Граничні умови першого роду мають місце, наприклад, при контактному нагріванні в процесах склеювання фанери, пресування деревинно-стружкових та деревноволокнистих плит і т.п.
Граничні умови другого роду.Задається розподіл значень густини теплового потоку на поверхні тіла протягом процесу
В окремому випадку тепловий потік на поверхні може залишатися постійним (
Граничні умови третього родувідповідають конвективному теплообміну на поверхні. За цих умов повинна задаватися температура рідини, в якій знаходиться тіло, Г ж = / (т), коефіцієнт тепловіддачі ос. У випадку коефіцієнт тепловіддачі - змінна величина, тому має задаватися закон його зміни а =/(т). Можливий окремий випадок: / ж = const; а = const.
Граничні умови четвертого родухарактеризують умови теплообміну тіл з різними коефіцієнтамитеплопровідності при їхньому ідеальному контакті, коли теплота передається теплопровідністю і теплові потоки по різні боки поверхні контакту рівні:
Прийняті фізичні припущення, рівняння, виведене при цих припущеннях, та умови однозначності становлять аналітичний опис ( математичну модель) процесів теплопровідності. Успіх використання отриманої моделі для вирішення конкретного завдання залежатиме від того, наскільки прийняті припущення та умови однозначності адекватні реальним умовам.
Рівняння (14.14) та (14.15) вирішуються досить просто аналітично для одновимірного стаціонарного теплового режиму. Рішення розглянуті нижче. Для двовимірних та тривимірних стаціонарних процесів застосовуються наближені чисельні методи
Для вирішення рівнянь (14.13)-(14.15) в умовах нестаціонарного теплового режиму використовується низка методів, докладно розглянутих у спеціальній літературі. Відомі точні та наближені аналітичні методи, чисельні методи та ін.
Чисельне рішення рівняння теплопровідності здійснюється в основному методом кінцевих різниць. Вибір того чи іншого способу розв'язання залежить від умов задачі. В результаті рішення аналітичними методами одержують формули, які застосовуються для вирішення кола інженерних завдань у відповідних умовах. Чисельні методи дають змогу отримати температурне поле t=f(x, у, z,т) у вигляді набору дискретних значень температури у різних точках у фіксовані моменти часу для конкретної задачі. Тому використання аналітичних методів переважно, проте це не завжди можливе для багатовимірних завдань та складних граничних умов.
з початковими умовами
та граничними умовами
Розв'язання цього завдання шукатимемо у вигляді ряду Фур'є за системою власних функцій (94)
тобто. у формі розкладання
вважаючи при цьому tпараметром.
Нехай функції f(x, t) є безперервною і має кусково-безперервну похідну 1-го порядку хі за всіх t>0 виконуються умови
Припустимо тепер, що функції f(x,
t)
і 
можна розкласти в ряд Фур'є за синусами
, (117)
(118)
, (119)
. (120)
Підставимо (116) до рівняння (113) та з урахуванням (117), отримаємо
.
Ця рівність виконується тоді, коли
, (121)
або, якщо 
, то це рівняння (121) можна записати у вигляді
. (122)
Користуючись початковою умовою (114) з урахуванням (116), (117) та (119) отримуємо, що
. (123)
Таким чином, для знаходження шуканої функції 
приходимо до завдання Коші (122), (123) для звичайного неоднорідного диференціального рівняння першого порядку. Користуючись формулою Ейлера, можна записати загальне рішення рівняння (122)
,
а з урахуванням (123) рішення задачі Коші
.
Отже, коли ми підставимо значення цієї функції у вираз (116), у результаті отримаємо рішення вихідної задачі
(124)
де функції f(x,
t)
і 
визначені формулами (118) та (120).
приклад 14. Знайти рішення неоднорідного рівняння параболічного типу
за початкової умови
(14.2)
та граничних умовах
. (14.3)
▲ Підберемо спочатку таку функцію , щоб задовольняла граничним умовам (14.3). Нехай, наприклад, = xt 2 . Тоді
Отже, функція визначається як
задовольняє рівняння
(14.5)
однорідним граничним умовам
та нульовим початковим умовам
. (14.7)
Застосовуючи метод Фур'є на вирішення однорідного рівняння
за умов (14.6), (14.7), покладемо
.
Приходимо до наступного завдання Штурма-Ліувіля:
,
.
Вирішуючи це завдання, знаходимо власні значення
та відповідні їм власні функції
. (14.8)
Розв'язання задачі (14.5)-(14.7) шукаємо у вигляді ряду
, (14.9)
(14.10)
Підставивши 
з (14.9) до (14.5) отримаємо
. (14.11)
Для знаходження функції T n (t) розкладемо функцію (1- х) у ряд Фур'є за системою функцій (14.8) на інтервалі (0,1):
. (14.12)
,
і з (14.11) та (14.12) отримуємо рівняння
, (14.13)
яке є звичайним неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням першого порядку. Його загальне рішення знайдемо за формулою Ейлера
а з урахуванням умови (14.10), знайдемо розв'язання задачі Коші
. (14.14)
З (14.4), (14.9) та (14.14) знаходимо рішення вихідного завдання (14.1)- (14.3)
Завдання для самостійної роботи
Розв'язати початково-крайові завдання
3.4. Завдання Коші для рівняння теплопровідності
Насамперед розглянемо завдання Коші для однорідного рівняння теплопровідності.
задовольняюче
Почнемо з того, що замінимо змінні x
і tна 
та введемо на розгляд функцію 
. Тоді функції 
будуть задовольняти рівнянням
де 
- функція Гріна, яка визначається формулою
, (127)
і володіє властивостями
; (130)
. (131)
Помноживши перше рівняння на G* , а друге на іі потім склавши отримані результати, отримаємо рівність
. (132)
Після інтегрування частинами рівності (132) по 
у межах від -∞ до +∞ і по 
в межах від 0 до t, отримаємо
Якщо припустити, що функція 
та її похідна 
обмежені при 
, то з властивостей (131) інтеграл у правій частині (133) дорівнює нулю. Отже, можна записати
Замінивши в цій рівності на 
, а 
на 
, отримаємо співвідношення
.
Звідси, використовуючи формулу (127), остаточно отримаємо
. (135)
Формула (135) називається формулою Пуассона та визначає розв'язання задачі Коші (125), (126) для однорідного рівняння теплопровідності з неоднорідною початковою умовою.
Рішення ж завдання Коші для неоднорідного рівняння теплопровідності
задовольняюче неоднорідній початковій умові
є сумою рішень:
де є рішенням завдання Коші для однорідного рівняння теплопровідності . , що задовольняє неоднорідної початкової умови, а є рішенням, що задовольняє однорідну початкову умову. Таким чином, розв'язання задачі Коші (136), (137) визначається формулою
приклад 15. Знайти рішення рівняння
(15.1)
для наступного розподілу температури стрижня:
▲ Стрижень є нескінченним, тому рішення можна записати, використовуючи формулу (135)
.
Так як 
в інтервалі 
дорівнює постійній температурі 
, а поза цим інтервалом температура дорівнює нулю, то рішення набуває вигляду
. (15.3)
Вважаючи в (15.3) 
, отримаємо
.
Оскільки
є інтеграл ймовірностей, то остаточне рішення вихідної задачі (13.1), (13.2) можна виразити формулою
.▲
Рішення диференціального рівняння теплопровідності при дії миттєвого зосередженого джерела у необмеженому середовищі називається фундаментальним рішенням.
Миттєве точкове джерело
Для нескінченного тіла, на початку координат якого діє миттєве точкове джерело, розв'язання диференціального рівняння теплопровідності таке:
де T - температура точки з координатами x,y,z; Q - кількість тепла, що виділилося в момент t = 0 на початку координат; t – час, що минув з моменту введення тепла; R - відстань від початку координат, де діє джерело, до точки, що розглядається (радіус - вектор). Рівняння (4) є фундаментальним рішенням рівняння теплопровідності при дії миттєвого точкового джерела в нескінченному тілі.
У будь-який момент t? 0 температура самого джерела (R = 0) відмінна від нуля і з часом зменшується за законом t -3/2, залишаючись вищою за температури інших точок тіла. Разом із видаленням від джерела температура знижується згідно із законом нормального розподілу exp(-R 2 /4at). Ізотермічними поверхнями є сфери з центром у джерелі, і температурне поле в даний час залежить лише від радіусу. У початковий момент часу (t = 0) температура не визначена (T = ?), що пов'язано зі схемою зосередженого джерела, в якому в нескінченно малому об'ємі початковий момент часу міститься кінцева кількість тепла Q.
На основі рішення для нескінченного тіла (4) можна вивести рівняння температурного поля для схеми напівнескінченного тіла, яка застосовується для опису теплових процесів масивних виробах. Нехай у напівнескінченному тілі, обмеженому поверхню S - S діє миттєве точкове джерело Д (рис. 4). Для масивних тіл теплові потоки всередині значно більші від потоку тепловіддачі з поверхні. Тому поверхню напівнескінченного тіла можна вважати адіабатичною межею, для якої (див. п. 1.4)
Доповнимо напів нескінченну область z > 0 до нескінченної, додавши область z< 0. В образовавшемся объеме введем дополнительный (фиктивный) источник нагрева Ф(-z), идентичный действительному источнику Д(z), но расположенный симметрично по другую сторону границы S. На рис. 4 приведено распределение температур в бесконечном теле отдельно для действительного (T Д) и фиктивного (T ф) источников. Суммарная температура от обоих источников T = T Д + T ф. При этом на границе, что соответствует определению адиабатической границы (5). Если действительный источник находится на поверхности полубесконечного тела, то фиктивный с ним совпадает, и T=2T Д. Тогда температурное поле мгновенного точечного источника на поверхности полубесконечного тела
За такою самою схемою моделюється і ізотермічна межа (гранична умова 1-го роду) T S =0, але в цьому випадку T = T Д - T Ф. Слід підкреслити, що джерело нагріву не може діяти на ізотермічній поверхні.
Графічне зображення температурного поля (6) вимагає чіткого розуміння просторового положення поверхні, де будується розподіл температури. У декартовій системі координат (x, y, z) контрольними перерізами напівнескінченного тіла при дії точкового джерела є площини xy, xz та yz (рис. 5, а). Для напівнескінченного тіла ізотермічні поверхні є напівсферами (температура залежить від радіусу – вектора R). У площині xy ізотерми, як переріз поверхні площиною
z = const, є колами, а в інших площинах - півкола (рис. 5, б). Температурне поле миттєвого точкового джерела різні моменти часу представлено на рис. (6) (див. П 1.1). На малюнку температура графічно обмежена значенням T = 1000K.
Температура в будь-якій точці поза джерелом спочатку зростає, а потім зменшується (рис.1.3). Момент досягнення максимального значення температури в даній точці знайдеться із умови
Диференціюючи вираз (6) за часом, отримуємо формулу для визначення часу, коли максимальна температура
Максимальні темпери точок напівнескінченного тіла при дії точкового джерела зменшуються з відстанню як R 3 .
Завантаження...