Нескінченний параболоїд. Еліпсоїд. Гіперболоїди. Параболоїди. Розташування вільної поверхні в посудині

Існує два види параболоїдів: еліптичні та гіперболічні.

Еліптичним параболоїдомназивається поверхня, яка в деякій системі декартових прямокутних координат визначається рівнянням

Еліптичний параболоїд має вигляд нескінченної опуклої чаші. Він має дві взаємно перпендикулярні площини симетрії. Крапка, з якою поєднано початок координат, називається вершиною еліптичного параболоїда; числа р та q називаються його параметрами.

Гіперболічним параболоїдом називається поверхня, яка визначається рівнянням

Гіперболічний параболоїдмає форму сідла. Він має дві взаємно перпендикулярні площини симетрії. Крапка, з якою поєднано початок координат, називається вершиною гіперболічного параболоїда; числа рі qназиваються його параметрами.

Вправа 8.4.Розглянемо побудову гіперболічного параболоїда виду

Нехай необхідно побудувати частину параболоїда, що лежить у діапазонах: xÎ[–3; 3], уÎ[–2; 2] з кроком D=0,5 для обох змінних.

Виконання. Спочатку необхідно вирішити рівняння щодо змінної z.У прикладі

Введемо значення змінної ху стовпець А. Для цього в осередок А1вводимо символ х.У осередок А2вводиться перше значення аргументу - ліва межа діапазону (–3). У осередок A3- друге значення аргументу - ліва межа діапазону плюс крок побудови (–2,5). Потім, виділивши блок осередків А2:АЗ, автозаповнення отримуємо всі значення аргументу (за правий нижній кут блоку простягаємо до осередку А14).

Значення змінної увводимо в рядок 1 . Для цього в осередок В 1вводиться перше значення змінної – ліва межа діапазону (–2). У осередок З 1- друге значення змінної - ліва межа діапазону плюс крок побудови (- 1,5). Потім, виділивши блок осередків В1:С1,автозаповнення отримуємо всі значення аргументу (за правий нижній кут блоку простягаємо до комірки J1).

Далі вводимо значення змінної z.Для цього табличний курсор необхідно помістити в комірку В 2і ввести формулу - = $А2^2/18 -В$1^2/8,після чого натиснути клавішу Enter. У осередку В 2з'являється 0. Тепер необхідно скопіювати функцію з комірки В 2. Для цього автозаповненням (протягуванням вправо) копіюємо цю формулу спочатку в діапазон B2:J2, після чого (протягуванням вниз) - у діапазон В2:J14.

В результаті в діапазоні В2:J14з'явиться таблиця точок гіперболічного параболоїда.

Для побудови діаграми на панелі інструментів Стандартнанеобхідно натиснути кнопку Майстер діаграм. У діалоговому вікні, що з'явилося. Майстер діаграм (крок 1 із 4): тип діаграмивказуємо тип діаграми - Поверхня, і вигляд - Дротова (прозора) поверхня(Праву верхню діаграму у правому вікні). Після чого натискаємо кнопку Даліу діалоговому вікні.

У діалоговому вікні, що з'явилося. Майстер діаграм (крок 2 із 4): джерело данихдіаграми необхідно вибрати вкладку Діапазонданих та у полі Діапазонмишею вказати інтервал даних В2:J14.

Далі необхідно вказати у рядках чи стовпцях розташовані ряди даних. Це визначить орієнтацію осей хі у.У прикладі перемикач Ряди вза допомогою покажчика миші встановимо в положення стовпчиків.

Вибираємо вкладку Ряд і в полі Підписи осі Xвказуємо діапазон підписів. Для цього слід активізувати це поле, клацнувши в ньому покажчиком миші, та ввести діапазон підписів осі х -А2: А14.

Вводимо значення підписів осі у.Для цього у робочому полі Рядобираємо перший запис Ряд 1та, активізувавши робоче поле Ім'явказівником миші, вводимо перше значення змінної у: -2.Потім у полі Рядобираємо другий запис Ряд 2і в робоче поле Ім'явводимо друге значення змінної у: -1,5.Повторюємо таким чином до останнього запису - Ряд 9.

Після появи потрібних записів слід натиснути кнопку Далі.

У третьому вікні потрібно ввести заголовок діаграми та назви осей. Для цього потрібно вибрати вкладку Заголовки, клацнувши на ній вказівником миші. Після чого у робоче поле Назва діаграмиввести з клавіатури назву: Гіперболічний параболоїд.Потім аналогічно ввести в робочі поля Вісь X (категорій),Вісь Y (рядів даних)і Вісь Z (значень)відповідні назви: х, уі z.

Доведена властивість дотичної до параболи має дуже важливе значення, тому що з неї випливає, що промені, що виходять з фокусу увігнутого параболічного дзеркала, тобто такого дзеркала, поверхня якого виходить від обертання параболи навколо її осі, відображаються паралельним пучком, а саме паралельно осі дзеркала.

Ця властивість параболічних дзеркал застосовується при влаштуванні прожекторів, у фарах будь-якого автомобіля, а також у дзеркальних телескопах. При цьому в останньому випадку, назад, промені, що йдуть від небесного світила; майже паралельно, зосереджуються біля фокусу дзеркала телескопа, і так як промені, що йдуть від різних точок світила, набагато непаралельні, то вони зосереджуються біля фокусу в різних точках, так що у фокусу виходить зображення світила, тим більша, чим більша фокусна відстань параболи. Це зображення вже у мікроскоп (окуляр телескопа). Строго кажучи, тільки промені, строго паралельні осі дзеркала, збираються в одну точку (у фокус), паралельні промені, що йдуть, під кутом до осі дзеркала, збираються лише майже в одну точку, причому, чим далі ця точка від фокусу, тим зображення більш розмите. Його обставина обмежує «поле зору телескопа».

Нехай внутрішня поверхня його - дзеркальна поверхня-це параболічне дзеркало висвітлюється пучком променів світла паралельно осі ОУ. Усі промені, паралельні осі ОУ, після відбиття перетнуться в одній точці осі ОУ (фокус F). На цій властивості засновано влаштування параболічних телескопів. Промені від далеких зірок приходять до нас у вигляді паралельного пучка. Виготовивши параболічний телескоп і помістивши у його фокус фотопластинку, ми маємо можливість посилити світловий сигнал, що йде від зірки.

Цей принцип лежить в основі створення параболічної антени, що дозволяє посилити радіосигнали. Якщо ж помістити у фокусі параболічного дзеркала джерело світла, то після відбиття від поверхні дзеркала промені, що йдуть від цього джерела, не розсіюватимуться, а зберуться у вузький пучок паралельно осі дзеркала. Цей факт знаходить застосування при виготовленні прожекторів та ліхтарів, різних проекторів, дзеркала яких виготовляють у формі параболоїдів.

Зазначеною вище оптичною властивістю параболічного дзеркала користуються під час створення дзеркальних телескопів, різних сонячних нагрівальних установок, і навіть прожекторів. Помістивши у фокусі параболічного дзеркала потужне точкове джерело світла, ми отримаємо щільний потік відбитих променів, паралельних осі дзеркала.

При обертанні параболи навколо осі виходить фігура, яку називають параболоїдом. Якщо внутрішню поверхню параболоїда зробити дзеркальною і направити на неї пучок променів, паралельних осі симетрії параболи, то відбиті промені зберуться в одній точці, яку називають фокусом. У той же час, якщо джерело світла помістити у фокусі, то відбиті від дзеркальної поверхні параболоїда промені виявляться паралельними і не розсіюються.

Перше властивість дозволяє отримати у фокусі параболоїда високу температуру. Згідно з легендою, цю властивість використовував давньогрецький вчений Архімед (287-212 рр. до н. е.). При захисті Сіракуз у війні проти римлян він побудував систему параболічних дзеркал, яка дозволила сфокусувати відбиті сонячні промені на кораблях римлян. Внаслідок цього температура у фокусах параболічних дзеркал виявилася настільки високою, що на кораблях спалахнула пожежа і вони згоріли.

Друга властивість використовується, наприклад, при виготовленні прожекторів та автомобільних фар.

Гіперболу

4. Визначення гіперболи дає нам простий спосіб побудови її безперервним рухом: візьмемо дві нитки, різниця довжин яких дорівнює 2а, і прикріпимо по одному кінці цих ниток до точок F" і F. Якщо тримати рукою два інші кінці з'єднаними разом і водити вздовж ниток вістрям олівця, дбаючи про те, щоб нитки були притиснуті до паперу, натягнуті і стикалися, починаючи від вістрі, що креслить, до місця з'єднання кінців, то вістря накреслить частину однієї з гілок гіперболи (тим більшу, ніж довше взяті нитки) (Мал.).

Змінивши ролями точки F" і F, отримаємо частину іншої гілки.

Наприклад,на тему «Криві 2-го порядку» можна розглянути таке завдання:

Завдання.Дві залізничні станції А та В знаходяться на відстані s км одна від одної. У будь-яку точку М вантаж можна доставити зі станції А або прямою автотранспортом (перший шлях), або по залізницідо станції, а звідти автомобілями (другий шлях). Залізничний тариф (ціна перевезення 1 т на 1 км) становить m рублів, тариф автотранспорту - n рублів, n> m, тариф навантаження-розвантаження - k рублів. Визначити область впливу залізничної станції, тобто, ту область, у яку дешевше доставити вантаж зі станції А змішаним шляхом - залізницею, та був автотранспортом, тобто. визначити геометричне місце точок, для яких другий шлях вигідніший за перший.

Рішення.Позначимо AM = r, BM = г, тоді вартість доставки (перевезення та навантаження-розвантаження) по дорозі AM дорівнює nr + k, а вартість доставки по дорозі АВМ дорівнює ms + 2k + nг. Тоді точки М, котрим обидві вартості рівні, задовольняють рівнянню nr + k = ms+2k+nг , чи

ms + k = nr - nг

r - г = = const > О,

отже, лінія, що обмежує область - одна з гілок гіперболи | r - г | = Const. Для всіх точок площини, що лежать по один бік з точкою А від цієї гіперболи, вигідніший перший шлях, а для точок, що лежать по інший бік, - другий, тому гілка гіперболи окреслює область впливу станції.

Варіант цієї задачі.

Дві залізничні станції А та В знаходяться на відстані l км одна від одної. У точку М вантаж можна доставити зі станції А або прямою автотранспортом, або залізницею до станції, а звідти автомобілями (рис. 49). При цьому залізничний тариф (ціна перевезення 1 т на 1 км) становить m рублів, навантаження – розвантаження обходиться в k рублів (за 1 т) та тариф автотранспорту – n рублів (n > m). Визначимо так звану зону впливу залізничної станції В, тобто ту зону, в яку дешевше доставляти вантаж з А змішаним шляхом: залізницею і потім автотранспортом.

Рішення.Вартість доставки 1 т вантажу по дорозі AM становить r n, де r = AM, а по дорозі AОМ вона дорівнюватиме 1m + k + r n. Нам треба вирішити подвійну нерівність r n 1m+ k+ r n і визначити, як розподіляться точки на площині (х, у), до яких дешевше доставляти вантаж або першим, або другим шляхом.

Знайдемо рівняння лінії, що утворює кордон між цими двома зонами, тобто геометричне місце точок, для яких обидва шляхи «рівно вигідні»:

r n = 1m+ k+ r n

З цієї умови отримуємо r – r = = const.

Отже лінія розділу гіпербола. Для всіх зовнішніх точок цієї гіперболи вигідніший перший шлях, а для внутрішніх - другий. Тому гіпербола окреслить зону впливу станції В. Друга гілка гіперболи окреслить зону впливу станції А (вантаж доставляється зі станції В). Знайдемо параметри нашої гіперболи. Її велика вісь 2а = , а відстань між фокусами (якими є станції А і В) у разі 2с = l.

Таким чином, умова можливості цього завдання, що визначається співвідношенням a< с, будет

Це завдання пов'язує абстрактне геометричне поняття гіперболи з транспортно-економічним завданням.

Шукане геометричне місце точок є безліч точок, що лежать усередині правої гілки гіперболи, що містить точку.

6. В курсі " Сільгоспмашинважливими експлуатаційними характеристиками працюючого на схилі трактора, що показують його стійкість, є кут поздовжнього нахилу та кут поперечного крену.

Розглянемо для простоти колісний трактор. Поверхню, де працює трактор (принаймні, її досить малу частина), вважатимуться площиною (площина руху). Поздовжньою віссю трактора називається проекція прямої, що з'єднує середини передньої та задньої осі, на площину руху. Кутом поперечного крену називається кут, утворений з горизонтальною площиною прямої, перпендикулярної до поздовжньої осі і лежачої в площині руху.

При вивченні в курсі математики теми «Прямі та площини у просторі» розглядаємо завдання:

а) Знайти кут поздовжнього нахилу трактора, що рухається схилом, якщо відомий кут підйому схилу і кут відхилення траєкторії трактора від поздовжнього напрямку.

б) Граничним кутом поперечного крену трактора називається найбільший допустимий кут нахилу схилу, поперек якого може стояти трактор, не перекидаючись. Які параметри трактора достатньо знати для визначення граничного кута поперечного нахилу; як знайти цей
кут?

7. Наявність прямолінійних утворюючих використовується у будівельній техніці. Основоположником практичного застосування цього є відомий російський інженер Володимир Григорович Шухов (1853-1939). В. Г. Шухов здійснив конструкції щогл, веж і опор, складених з металевих балок, що розташовуються по прямолінійних утворюючих однопорожнинного гіперболоїду обертання.Висока міцність таких конструкцій у поєднанні з легкістю, невисокою вартістю виготовлення та витонченістю забезпечує широке поширення їх у сучасному будівництві.

8. ЗАКОНИ РУХУ ВІЛЬНОГО ТВЕРДОГО ТІЛА

Для вільного тіла одно можливі всі види руху, але це ще не означає, що рух вільного тіла є безладним, не підпорядковується ніяким законам; навпаки, поступальний рух твердого тіла незалежно від його зовнішньої форми соромиться законом про центр маси і зводиться до руху однієї точки, а обертальний-так званими головними осями інерції або еліпсоїдом інерції. Так, палиця, кинута у вільний простір, або зерно, що вилітає із сортування і т. д., рухається поступально, як одна точка (центр мас), а водночас обертається біля центру маси. Загалом при поступальному русі будь-яке тверде тіло незалежно від його форми або складну машину можна замінити однією точкою (центром маси), а при обертальному – еліпсоїдом інерції. , радіуси-вектори якого рівні - де / - момент інерції цього тіла щодо осей, що проходять через центр еліпсоїда.

Якщо момент інерції тіла під час обертання чомусь змінюється, відповідно змінюватиметься і швидкість обертання. Наприклад, під час стрибка через голову акробати стискаються в грудку, через що момент інерції тіла зменшується, а швидкість обертання збільшується, що й потрібно для успіху стрибка. Так само, послизнувшись, люди витягують руки в сторони, через що момент інерції збільшується, а швидкість обертання зменшується. Так само змінним є момент інерції граблі жнеї біля вертикальної осі під час її повороту біля горизонтальної осі.

Еліпсоїд- Поверхня в тривимірному просторі, отримана деформацією сфери вздовж трьох взаємно перпендикулярних осей. Канонічне рівняння еліпсоїда в декартових координатах, що збігаються з осями деформації еліпсоїда: .

Величини a, b, c називають півосями еліпсоїда. Також еліпсоїдом називають тіло, обмежене поверхнею еліпсоїда. Еліпсоїд є однією з можливих форм поверхонь другого порядку.

Якщо пара півосей має однакову довжину, еліпсоїд може бути отриманий обертанням еліпса навколо однієї з його осей. Такий еліпсоїд називають еліпсоїдом обертання або сфероїдом.

Еліпсоід точніше, ніж сфера, відображає ідеалізовану поверхню Землі.

Об'єм еліпсоїда:.

Площа поверхні еліпсоїда обертання:

Гіперболоїд- це вид поверхні другого порядку в тривимірному просторі, що задається в декартових координатах рівнянням - (однопорожнинний гіперболоїд), де a і b - дійсні півосі, а c - уявна піввісь; або - (двопорожнинний гіперболоїд), де a і b - уявні півосі, а c - дійсна піввісь.

Якщо a = b, то така поверхня називається гіперболоїдом обертання. Однопорожнинний гіперболоїд обертання може бути отриманий обертанням гіперболи навколо її уявної осі, двопорожнинний - навколо дійсної. Двопорожнинний гіперболоїд обертання є геометричним місцем точок P, модуль різниці відстаней від яких до двох заданих точок A і B постійний: | AP − BP | = Const. У цьому випадку A та B називаються фокусами гіперболоїда.

Однопорожнинний гіперболоїд є двічі лінійною поверхнею; якщо він є гіперболоїдом обертання, то він може бути отриманий обертанням прямої навколо іншої прямої, що схрещується з нею.

Параболоїд― тип поверхні другого порядку. Параболоїд може бути охарактеризований як незамкнута нецентральна поверхня другого порядку (тобто не має центру симетрії).

Канонічні рівнянняпараболоїда в декартових координатах:

· якщо a та b одного знака, то параболоїд називається еліптичним.

· якщо a та b різного знаку, Параболоїд називається гіперболічним.

· якщо один із коефіцієнтів дорівнює нулю, то параболоїд називається параболічним циліндром.

ü - еліптичний параболоїд, де a та b одного знака. Поверхня описується сімейством паралельних парабол з гілками, спрямованими нагору, вершини яких описують параболу, з гілками, також спрямованими нагору. Якщо a = b то еліптичний параболоїд є поверхнею обертання, утворену обертанням параболи навколо вертикальної осі, що проходить через вершину даної параболи.

ü – гіперболічний параболоїд.

До поверхонь 2-го порядку відноситься також гіперболічний параболоїд. Ця поверхня може бути отримана застосуванням алгоритму використовує обертання деякої лінії щодо нерухомої осі.

Для побудови гіперболічного параболоїда використовують спеціальну модель. Ця модель включає дві параболи, що розташовуються в двох взаємно перпендикулярних площинах.

Нехай парабола I розташовується у площині та нерухома. Парабола II здійснює складний рух:

▫ її початкове положення збігається з площиною
, причому вершина параболи збігається з початком координат: =(0,0,0);

▫ далі ця парабола здійснює рух паралельне перенесення, причому її вершина
здійснює траєкторію, що збігається з параболою I;

▫ розглядаються два різні початкові положення параболи II: один – гілки параболи вгору, другий – гілки вниз.

Запишемо рівняння: для першої параболи I:
- Постійно; для другої параболи II:
- Початкове положення, рівняння руху:
Неважко бачити, що точка
має координати:
. Оскільки необхідно відобразити закон руху точки
: ця точка належить параболі I, то повинні постійно виконуватись співвідношення: =
і
.

З геометричних особливостей моделі легко бачити, що рухома парабола замітає деяку поверхню. У такому разі рівняння поверхні, що описується параболою II, має вигляд:

або→
. (1)

Форма одержуваної поверхні залежить від розподілу знаків параметрів
. Можливі два випадки:

1). Знаки величин pі qзбігаються: параболи I і II розташовуються по одну сторону від площини OXY. Приймемо: p = a 2 і q = b 2 . Тоді отримуємо рівняння відомої поверхні:

→ еліптичний параболоїд . (2)

2). Знаки величин pі qрізні: параболи I та II розташовуються по різні боки від площини OXY. Нехай p = a 2 і q = - b 2 . Тепер отримуємо рівняння поверхні:

→гіперболічний параболоїд . (3)

Уявити геометричну форму поверхні, яка визначається рівнянням (3) неважко, якщо згадати кінематичну модель взаємодії двох парабол, що беруть участь у русі.

На малюнку червоним кольором умовно показана парабола I. Показано лише околицю поверхні на початку координат. Через те, що форма поверхні виразно натякає на кавалерійське сідло, околицю цю часто називають. сідло .

У фізиці, при дослідженнях стійкості процесів, вводять типи рівноваги: ​​стійке - лунка, опуклістю вниз, нестійке - опукла поверхня вгору і проміжне - сідло. Рівновага третього типу також відносять до типу нестійкої рівноваги, причому тільки на червоній лінії (парабола I) можлива рівновага.

§ 4. Циліндричні поверхні.

При розгляді поверхонь обертання ми визначили найпростішу циліндричну поверхню – циліндр обертання, тобто круговий циліндр.

В елементарній геометрії циліндр визначений за аналогією із загальним визначенням призми. Воно досить складне:

▫ нехай маємо у просторі плоский багатокутник
- Позначимо як , і з ним збігається багатокутник
- Позначимо як
;

▫ застосовуємо до багатокутника
рух паралельне перенесення: точки
переміщаються траєкторіями, паралельним заданому напрямку ;

▫ якщо зупинити перенесення багатокутника
, то його площина
паралельна площині ;

▫ поверхнею призми називають: сукупність багатокутників ,
– підстави призми, а також паралелограмів
,
,... – бічна поверхня призми.

У скористаємося елементарним визначенням призми для побудови більш загального визначення призми та її поверхні, а саме, розрізнятимемо:

▫ необмежена призма – це багатогранне тіло, обмежене ребрами ,,... та площинами між цими ребрами;

▫ обмежена призма – це багатогранне тіло, обмежене ребрами ,,... і паралелограмами
,
,...; бічна поверхня цієї призми – сукупність паралелограмів
,
,...; основи призми – сукупність багатокутників ,
.

Нехай маємо необмежену призму: ,,... Перетнемо цю призму довільною площиною . Перетнемо цю ж призму іншою площиною
. У перетині отримаємо багатокутник
. У загальному випадку вважаємо, що площина
не паралельна площині . Це означає, що призма побудована не паралельним перенесенням багатокутника .

Запропонована побудова призми включає не лише прямі та похилі призми, а й будь-які усічені.

В аналітичній геометрії циліндричні поверхні розумітимемо настільки узагальнено, що необмежений циліндр включає необмежену призму як окремий випадок: варто лише припустити, що багатокутник можна замінювати довільною лінією, не обов'язково замкненою – напрямна циліндра. Напрям називають утворює циліндра.

З усього сказаного випливає: для визначення циліндричної поверхні необхідно задати лінію-напрямну та напрям утворюючої.

Циліндричні поверхні одержують на основі плоских кривих 2-го порядку, службовців напрямними для утворюють .

На початковому етапі вивчення циліндричних поверхонь приймемо спрощують припущення:

▫ нехай напрямна циліндричної поверхні завжди розташовується в одній з координатних площин;

▫ напрям утворюючої збігається з однією з осей координат, тобто перпендикулярна площині, в якій визначено напрямну.

Прийняті обмеження не призводять до втрати спільності, оскільки залишається можливість рахунок вибору перерізів площинами і
будувати довільні геометричні фігури: прямі, похилі, усічені циліндри.

Еліптичний циліндр .

Нехай як напрямна циліндр взяли еліпс :
, розташований у координатній площині

: еліптичний циліндр.

Гіперболічний циліндр .

:

, а напрям утворюючої визначає вісь
. У цьому випадку рівняння циліндра – це сама лінія : гіперболічний циліндр.

Параболічний циліндр .

Нехай як спрямовуюча циліндра взяли гіперболу :
, розташовану в координатній площині
, а напрям утворюючої визначає вісь
. У цьому випадку рівняння циліндра – це сама лінія : параболічний циліндр.

Зауваження: враховуючи загальні правилапобудови рівнянь циліндричних поверхонь, а також представлені приватні приклади еліптичного, гіперболічного та параболічного циліндрів, відзначимо: побудова циліндра для будь-якої іншої утворюючої, для прийнятих спрощують умов, не повинна викликати жодних труднощів!

Розглянемо тепер загальні умови побудови рівнянь циліндричних поверхонь:

▫ напрямна циліндричної поверхні розташовується у довільній площині простору
;

▫ напрям утворюючої у прийнятій системі координат довільно.

Прийняті умови зобразимо малюнку.

▫ напрямна циліндричної поверхні розташовується у довільній площині простору
;

▫ система координат
отримана із системи координат
паралельним перенесенням;

▫ розташування напрямної у площині найкраще: для кривої 2-го порядку вважатимемо, що початок координат співпадає з центром симетрії кривої, що розглядається;

▫ напрям утворюючої довільне (може бути задано будь-яким із способів: вектором, прямий та ін).

Надалі вважатимемо, що системи координат
і
збігаються. Це означає, що перший крок загального алгоритму побудови циліндричних поверхонь, що відображає паралельне перенесення:
→
, Попередньо виконаний.

Нагадаємо, як враховується паралельне перенесення у загальному випадку, розглянувши простий приклад.

Приклад 6–13 : У системі координат
у вигляді:
=0. Записати рівняння цієї напрямної у системі
.

Рішення:

1). Позначимо довільну точку
: в системі
як
, і в системі
як
.

2). Запишемо векторну рівність:
=
+
. У координатній формі це можна записати у вигляді:
=
+
. Або у вигляді:
=
–
, або:
=.

3). Запишемо рівняння напрямної циліндра у системі координат
:

Відповідь: перетворене рівняння напрямної: =0.

Отже, вважатимемо, що центр кривої, що представляє напрямну циліндра, завжди розташовується на початку координат системи
у площині .

Рис. У . Базовий рисунок при побудові циліндра.

Зробимо ще одне припущення, що спрощує останні кроки побудови циліндричної поверхні. Оскільки застосуванням обертання системи координат неважко поєднати напрямок осі
системи координат
з нормаллю площини , а напрями осей
і
з осями симетрії напрямної , то будемо вважати, що як вихідне положення напрямної маємо криву, розташовану у площині
, причому одна її вісь симетрії збігається з віссю
, а друга з віссю
.

Зауваження: так як виконання операцій паралельне перенесення і обертання навколо нерухомої осі операції досить прості, то прийняті припущення не звужують застосування алгоритму побудови циліндричної поверхні в самому загальному випадку!

Ми бачили, що при побудові циліндричної поверхні у випадку, коли напрямна розташовується у площині
, а твірна паралельна осі
, достатньо визначити тільки напрямну .

Так як циліндрична поверхня може бути однозначно визначена завданням будь-якої лінії, що отримується в перерізі цієї поверхні довільною площиною, то приймемо такий загальний алгоритм розв'язання задачі:

1 ▫ . Нехай напрям утворює циліндричної поверхні задано вектором . Спроектуємо напрямну , задану рівнянням:
=0, на площину, перпендикулярну до напряму, що утворює , тобто на площину
. В результаті циліндрична поверхня буде задана в системі координат
рівнянням:
=0.

2 ▫
навколо осі
на кут
: зміст кута
поєднається з системою
, а рівняння конічної поверхні перетворюється на рівняння:
=0.

3 ▫ . Застосуємо обертання системи координат
навколо осі
на кут
: зміст кута цілком зрозумілий із малюнка. Внаслідок обертання система координат
поєднається з системою
, А рівняння конічної поверхні перетворюється на
=0. Це і є рівняння циліндричної поверхні, у якої були задані напрямні. і твірна у системі координат
.

Поданий нижче приклад ілюструє реалізацію записаного алгоритму та обчислювальні труднощі подібних завдань.

Приклад 6–14 : У системі координат
задано рівняння напрямної циліндра у вигляді:
=9. Скласти рівняння циліндра, що утворюють якого паралельні вектору =(2,–3,4).

Р
єшення:

1). Спроектуємо напрямну циліндра на площину перпендикулярну . Відомо, що таке перетворення задане коло перетворює на еліпс, осями якого будуть: велика =9, а мала =
.

Цей малюнок ілюструє проектування кола, заданого в площині
на координатну площину
.

2). Результатом проектування кола є еліпс:
=1, або
. У нашому випадку це:
, де
==.

3
). Отже, рівняння циліндричної поверхні у системі координат
отримано. Оскільки за умовою завдання ми повинні мати рівняння цього циліндра у системі координат
, то залишається застосувати перетворення координат, що переводить систему координат
у систему координат
, заразом і рівняння циліндра:
рівняння, виражене через змінні
.

4). Скористаємося базовим малюнком і запишемо всі необхідні для вирішення задачі тригонометричні значення:

==,
==,
==.

5). Запишемо формули перетворення координат під час переходу від системи
до системи
:
(В)

6). Запишемо формули перетворення координат під час переходу від системи
до системи
:
(С)

7). Підставляючи змінні
із системи (В) до системи (С), а також враховуючи значення тригонометричних функцій, що використовуються, запишемо:

=
=
.

=
=
.

8). Залишається підставити знайдені значення і у рівняння напрямної циліндра :
у системі координат
. Виконавши акуратно всі перетворення алгебри, отримуємо рівняння конічної поверхні в системі координат
: =0.

Відповідь: рівняння конуса: =0.

Приклад 6–15 : У системі координат
задано рівняння напрямної циліндра у вигляді:
=9, =1. Скласти рівняння циліндра, що утворюють якого паралельні вектору =(2,–3,4).

Рішення:

1). Неважко помітити, що цей приклад відрізняється від попереднього тільки тим, що напрямну паралельно перенесли на 1 вгору.

2). Це означає, що у співвідношеннях (В) слід прийняти: =-1. Враховуючи вирази системи (С), скоригуємо запис для змінної :

=
.

3). Зміна легко враховується корекцією кінцевого запису рівняння для циліндра з попереднього прикладу:

Відповідь: рівняння конуса: =0.

Зауваження: неважко помітити, що основна труднощі при багаторазових перетвореннях систем координат у задачах із циліндричними поверхнями – це акуратність і витривалість в маргафонах алгебри: нехай живе система освіти, прийнята в нашій багатостраждальній країні!

Еліптичний параболоїд

Еліптичний параболоїд при a=b=1

Еліптичний параболоїд- Поверхня, що описується функцією виду

де aі bодин знак. Поверхня описується сімейством паралельних парабол з гілками, спрямованими нагору, вершини яких описують параболу, з гілками, також спрямованими нагору.

Якщо a = bто еліптичний параболоїд є поверхнею обертання , утворену обертанням параболи навколо вертикальної осі, що проходить через вершину даної параболи.

Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїд при a=b=1

Гіперболічний параболоїд(називається в будівництві «гіпар») - сідлоподібна поверхня, що описується в прямокутній системі координат рівнянням виду

З другого уявлення видно, що гіперболічний параболоїд є лінійною поверхнею.

Поверхня може бути утворена рухом параболи, гілки якої спрямовані вниз, параболою, гілки якої спрямовані вгору, за умови, що перша парабола стикається з другою своєю вершиною.

Параболоїди у світі

У техніці

У мистецтві

У літературі

Пристрій, описаний у Гіперболоїд інженера Гаріна мав бути параболоїдом.

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Елон Менахем
• Елтанг

Дивитись що таке "Еліптичний параболоїд" в інших словниках:

ЕЛЛІПТИЧНИЙ ПАРАБОЛОЇД Великий Енциклопедичний словник

еліптичний параболоїд- один із двох типів параболоїдів. * * * ЕЛІПТИЧНИЙ ПАРАБОЛОЇД ЕЛЛІПТИЧНИЙ ПАРАБОЛОЇД, один із двох типів параболоїдів (див. ПАРАБОЛОЇДИ) … Енциклопедичний словник

Еліптичний параболоїд- один з двох видів параболоїдів. Велика Радянська Енциклопедія

ЕЛЛІПТИЧНИЙ ПАРАБОЛОЇД- Незамкнута поверхня другого порядку. Канонич. рівняння Е. п. має вигляд Е. п. розташований по одну сторону від площини Оху (див. рис.). Перерізи Е. п. площинами, паралельними площиніОху, є еліпсами з рівним ексцентриситетом (якщо р... Математична енциклопедія

ЕЛЛІПТИЧНИЙ ПАРАБОЛОЇД- один із двох типів параболоїдів. Природознавство. Енциклопедичний словник

ПАРАБОЛОЇД- (грец., від parabole парабола, і eidos подібність). Тіло, що утворюється параболою, що обертається. Словник іншомовних слів, що увійшли до складу російської мови. Чудінов А.Н., 1910. ПАРАБОЛОЇД геометричне тіло, що утворилося від обертання параболи, так… Словник іноземних слів російської мови

ПАРАБОЛОЇД- ПАРАБОЛОЇД, параболоїда, чоловік. (Див. парабола) (мат.). Поверхня другого порядку не має центру. Параболоїд обертання (утворюється обертанням параболи навколо її осі). Еліптичний параболоїд. Гіперболічний параболоїд. Тлумачний словник Ушакова. Тлумачний словник Ушакова

ПАРАБОЛОЇД- ПАРАБОЛОЇД, поверхня, що отримується при русі параболи, вершина якої ковзає по іншій, нерухомій параболі (з віссю симетрії, паралельної осіпараболи, що рухається), тоді як її площина, зміщуючись паралельно самій собі, залишається ... Сучасна енциклопедія

Параболоїд- ― тип поверхні другого порядку. Параболоїд може бути охарактеризований як незамкнута нецентральна поверхня другого порядку (тобто не має центру симетрії). Канонічні рівняння параболоїда в декартових координатах: якщо і одного… … Вікіпедія

ПАРАБОЛОЇД- Незамкнена нецентральна поверхня другого порядку. Канонич. рівняння П.: еліптичний параболоїд (при р = q називається П. обертання) та гіперболічний параболоїд. А. Б. Іванов … Математична енциклопедія