Вирішити рівняння теплопровідності. Метод фур'є для рівняння теплопровідності. Постановка крайових завдань

Формули для розрахунку температурного поля та теплового потоку у приватних завданнях стаціонарної та нестаціонарної теплопровідності отримують виходячи з математичного опису ( математичної моделі) процесу. Основу моделі становить диференціальне рівняння теплопровідності, яке виводиться із залученням першого закону термодинаміки для тіл, що не виконують роботи, та закону теплопровідності Фур'є. Диференціальне рівняння фізичного процесу зазвичай виводиться за тих чи інших припущеннях, які спрощують процес. Тому одержуване рівняння визначає клас процесів лише межах прийнятих припущень. Кожне завдання описується відповідними умовами однозначності. Таким чином, математичний опис процесу теплопровідності включає диференціальне рівняння теплопровідності та умови однозначності.

Розглянемо висновок диференціального рівняння теплопровідності при наступних припущеннях:

• а) тіло однорідне та анізотропне;
• б) коефіцієнт теплопровідності залежить від температури;
• в) деформація об'єму, що розглядається, пов'язана зі зміною температури, дуже мала в порівнянні з самим об'ємом;
• г) усередині тіла є рівномірно розподілені внутрішні джерела теплоти q v = f(x, y, z,т) = const;
• д) переміщення макрочастинок тіла щодо один одного (конвекція) відсутнє.

У тілі з прийнятими характеристиками виділяємо елементарний об'єм у формі паралелепіпеда з ребрами dx, dy, dz,виразно орієнтований в ортогональній системі координат (рис. 14.1). Відповідно до першого закону термодинаміки для тіл, які не виконують роботи, зміна внутрішньої енергії dUречовини у виділеному обсязі за час dxдорівнює сумі теплоти, що надходить

Рис. 14.1.

в об'єм внаслідок теплопровідності dQ x , та теплоти, виділеної внутрішніми джерелами dQ 2”.

З термодинаміки відомо, що зміна внутрішньої енергії речовини обсягом dV за час dx одно

де dG = р dV - маса речовини; р – щільність; з - питома масова теплоємність (для стисливих рідин c = c v (ізохорної теплоємності)).

Кількість енергії, виділена внутрішніми джерелами,

де q v - Об'ємна щільність внутрішніх джерел теплоти, Вт/м 3 .

Тепловий потік, що надходить в об'єм теплопровідністю, розділимо на три складові відповідно до напрямку осей координат: Через протилежні грані теплота буде

відводиться в кількості відповідно Різниця між кількістю підведеної та відведеної теплоти еквівалентна зміні внутрішньої енергії внаслідок теплопровідності dQ v Представимо цю величину як суму складових по осях координат:

Тоді у напрямку осі х маємо

Оскільки -

щільності теплових потоків на протилежних гоанях.

Функція q x+dxє безперервною в розглянутому інтервалі dxі може бути розкладена в ряд Тейлора:

Обмежуючись двома першими членами ряду і підставляючи (14.6), отримуємо

Аналогічним чином отримуємо:

Після підстановки (14.8)-(14.10) у (14.4) маємо

Підставляючи (14.2), (14.3) та (14.11) до (14.1), отримуємо диференціальне рівняння перенесення теплоти теплопровідністю з урахуванням внутрішніх джерел:

Відповідно до закону теплопровідності Фур'є записуємо вирази для проекцій на осі координат щільності теплового потоку:

де Х х, Х у, X z- Коефіцієнти теплопровідності в напрямку координатних осей (тіло анізотропне).

Підставляючи ці вирази (14.12), отримуємо

Рівняння (14.13) називають диференціальним рівнянням теплопровідності для анізотропних тіл із незалежними від температури фізичними властивостями.

Якщо прийняти X = const, а тіло ізотропним, рівняння теплопровідності набуває вигляду

Тут а = Х/(СР),м 2 /с, - коефіцієнт температуропровідності,

який є фізичним параметром речовини, що характеризує швидкість зміни температури у процесах нагрівання або охолодження. Тіла, виконані з речовини з великим коефіцієнтом температуропровідності, за інших рівних умов нагріваються і швидше охолоджуються.

У циліндричній системі координат диференціальне рівняння теплопровідності для ізотропного тіла з постійними фізичними властивостями має вигляд

де г, z,Ф - відповідно радіальна, осьова та кутова координати.

Рівняння (14.13), (14.14) та (14.15) описують процес теплопровідності у найзагальнішому вигляді. Конкретні завдання відрізняються умовами однозначності, тобто. описом особливостей перебігу аналізованого процесу.

Умови однозначності. З фізичних поглядів на теплопровідності можна назвати чинники, які впливають процес: фізичні властивості речовини; розміри та форма тіла; початкове розподілення температури; умови теплообміну на поверхні (межі) тіла. Таким чином, умови однозначності поділяються на фізичні, геометричні, початкові та граничні (крайові).

Фізичними умовамизадаються фізичні параметри речовини X, с,р та розподіл внутрішніх джерел.

Геометричними умовамизадаються форма та лінійні розміри тіла, в якому протікає процес.

Початковими умовамивизначається розподіл температури в тілі в початковий момент часу t= /(х, у, z) при т = 0. Початкові умови мають значення під час розгляду нестаціонарних процесів.

Залежно від характеру теплообміну на межі тіла граничні (крайові) умови поділяються на чотири роди.

Граничні умови першого роду.Задається розподіл температури на поверхні t nпротягом процесу

В окремому випадку температура поверхні може залишатися постійною (/п = const).

Граничні умови першого роду мають місце, наприклад, при контактному нагріванні в процесах склеювання фанери, пресування деревинно-стружкових та деревноволокнистих плит і т.п.

Граничні умови другого роду.Задається розподіл значень густини теплового потоку на поверхні тіла протягом процесу

В окремому випадку тепловий потік на поверхні може залишатися постійним (

Граничні умови третього родувідповідають конвективному теплообміну на поверхні. За цих умов повинна задаватися температура рідини, в якій знаходиться тіло, Г ж = / (т), коефіцієнт тепловіддачі ос. У випадку коефіцієнт тепловіддачі - змінна величина, тому має задаватися закон його зміни а =/(т). Можливий окремий випадок: / ж = const; а = const.

Граничні умови четвертого родухарактеризують умови теплообміну тіл з різними коефіцієнтамитеплопровідності при їхньому ідеальному контакті, коли теплота передається теплопровідністю і теплові потоки по різні боки поверхні контакту рівні:

Прийняті фізичні припущення, рівняння, виведене за цих припущеннях, і умови однозначності становлять аналітичний опис (математичну модель) процесів теплопровідності. Успіх використання отриманої моделі для вирішення конкретного завдання залежатиме від того, наскільки прийняті припущення та умови однозначності адекватні реальним умовам.

Рівняння (14.14) та (14.15) вирішуються досить просто аналітично для одновимірного стаціонарного теплового режиму. Рішення розглянуті нижче. Для двовимірних та тривимірних стаціонарних процесів застосовуються наближені чисельні методи

Для вирішення рівнянь (14.13)-(14.15) в умовах нестаціонарного теплового режиму використовується низка методів, докладно розглянутих у спеціальній літературі. Відомі точні та наближені аналітичні методи, чисельні методи та ін.

Чисельне рішення рівняння теплопровідності здійснюється в основному методом кінцевих різниць. Вибір того чи іншого способу розв'язання залежить від умов задачі. В результаті рішення аналітичними методами одержують формули, які застосовуються для вирішення кола інженерних завдань у відповідних умовах. Чисельні методи дають змогу отримати температурне поле t=f(x, у, z,т) у вигляді набору дискретних значень температури у різних точках у фіксовані моменти часу для конкретної задачі. Тому використання аналітичних методів переважно, проте це не завжди можливе для багатовимірних завдань та складних граничних умов.

Вивчення будь-якого фізичного явища зводиться до встановлення залежності між величинами, що характеризують явище. Для складних фізичних процесів, у яких визначальні величини можуть суттєво змінюватися у просторі та часі, встановити залежність між цими величинами досить складно. У разі використовують методи математичної фізики, які у тому, що обмежується проміжок часу і з усього простору розглядається певний елементарний обсяг. Це дозволяє в межах обраного об'єму та даного проміжку часу знехтувати змінами величин, що характеризують процес, та суттєво спростити залежність.

Обрані таким чином елементарний об'єм dVта елементарний проміжок часу dτ, у яких розглядається процес, з математичної погляду є величинами нескінченно малими, і з фізичної погляду – величинами ще досить великими, щоб у межах можна було вважати середовище як суцільну, нехтуючи її дискретним будовою. Отримана в такий спосіб залежність є загальним диференціальним рівнянням процесу. Інтегруючи диференціальні рівняння, можна отримати аналітичну залежність між величинами для всієї області інтегрування і всього проміжку часу, що розглядається.

Для вирішення завдань, пов'язаних із знаходженням температурного поля, необхідно мати диференціальне рівняння теплопровідності.

Приймемо такі припущення:

тіло однорідне та ізотропне;

фізичні параметри постійні;

деформація об'єму, що розглядається, пов'язана зі зміною температури, дуже мала в порівнянні з самим об'ємом;

внутрішні джерела теплоти в тілі, рівномірно розподілені.

В основу виведення диференціального рівняння теплопровідності покладемо закон збереження енергії, який сформулюємо так:

Кількість теплотиdQ, введений в елементарний обсягdVззовні за часdτвнаслідок теплопровідності, а також від внутрішніх джерел, дорівнює зміні внутрішньої енергії або ентальпії речовини, що міститься в елементарному обсязі.

де dQ 1 – кількість теплоти, введена в елементарний об'єм dVшляхом теплопровідності за час dτ;

dQ 2 – кількість теплоти, яка за час dτвиділилося в елементарному обсязі dVза рахунок внутрішніх джерел;

dQ- Зміна внутрішньої енергії (ізохорний процес) або ентальпії речовини (ізобарний процес), що міститься в елементарному обсязі dVза час dτ.

Для отримання рівняння розглянемо елементарний об'єм у вигляді кубика зі сторонами dx, dy, dz (Див. рис.1.2.). Кубик розташований так, щоб його грані були паралельні відповідним координатним площинам. Кількість теплоти, що підводиться до граней елементарного об'єму за час dτу напрямку осей x, y, z позначимо відповідно dQ x , dQ y , dQ z .

Кількість теплоти, яка відводитиметься через протилежні грані в тих же напрямках, позначимо відповідно dQ x + dx , dQ y + dy , dQ z + dz .

Кількість теплоти, підведена до грані dxdyу напрямку осі xза час dτ, складає:

де q x– проекція густини теплового потоку на напрямок нормалі до зазначеної грані. Відповідно кількість теплоти, відведена через протилежну грань буде:

Різниця між кількістю теплоти, підведеною до елементарного об'єму, і кількістю теплоти, відведеного від нього, є теплотою:

Функція qє безперервною в розглянутому інтервалі dx і може бути розкладена в ряд Тейлора:

Якщо обмежитися двома першими доданками ряду, то рівняння запишеться як:

Аналогічним чином можна знайти кількість теплоти, що підводиться до об'єму у напрямку двох інших координатних осей y і z.

Кількість теплоти dQ, підведене в результаті теплопровідності до об'єму, що розглядається, дорівнюватиме:

Другий доданок визначимо, позначивши кількість теплоти, що виділяється внутрішніми джерелами в одиниці обсягу середовища в одиницю часу q vі назвемо його потужністю внутрішніх джерел теплоти[Вт/м 3 ], тоді:

Третя складова нашому рівнянні знайдеться залежно від характеру ТД процесу зміни системи.

Під час розгляду ізохорного процесу вся теплота, підведена до елементарного обсягу, піде зміна внутрішньої енергії речовини, укладеного цьому обсязі, тобто. dQ= dU.

Якщо розглядати внутрішню енергію одиниці об'єму u= f(t, v) , то можна записати:

, Дж/м3

, Дж/кг

де c v – ізохорна теплоємність чи одиниці об'єму чи одиниці маси, [Дж/м 3 ];

ρ - Щільність, [кг/м 3 ].

Зберемо отримані вирази:

Отриманий вираз є диференціальним рівнянням енергії для ізохорного процесу перенесення теплоти.

Аналогічно виводиться рівняння для ізобарного процесу. Вся теплота, підведена до обсягу, піде на зміну ентальпії речовини, укладеної в обсязі.

Отримане співвідношення є диференціальним рівнянням енергії для ізобарного процесу.

У твердих тілах перенесення теплоти здійснюється за законом Фур'є
, значення теплоємності можна прийняти
. Нагадаємо, що проекція вектора густини теплового потоку на координатні осі визначаються виразами:

Останній вираз називають диференціальним рівнянням теплопровідності. Воно встановлює зв'язок між тимчасовим та просторовим змінами температури у будь-якій точці тіла, в якому відбувається процес теплопровідності.

Найбільш загальне диференціальне рівняння теплопровідності у приватних похідних має таку саму форму, але у ньому величини ρ ,  , зє функціями часу та простору. Це рівняння описує велику кількість завдань теплопровідності, що становлять практичний інтерес. Якщо прийняти постійними теплофізичні параметри, то рівняння буде простіше:

Позначимо
тоді:

Коефіцієнт пропорційності а[м 2 /с] називається коефіцієнтом температуропровідності та є фізичним параметром речовини. Він суттєвий для нестаціонарних теплових процесів, що характеризує швидкість зміни температури. Якщо коефіцієнт теплопровідності характеризує здатність тіл проводити теплоту, то коефіцієнт температуропровідності є мірою теплоінерційних властивостей тіла. Наприклад, рідини і гази мають більшу теплову інерційність і, отже, малий коефіцієнт температуропровідності, а метали навпаки мають малу теплову інерційність.

Якщо є внутрішні джерела теплоти, а температурне поле є стаціонарним, ми отримуємо рівняння Пуассона:

Зрештою, при стаціонарній теплопровідності та відсутності внутрішніх джерел теплоти ми отримуємо рівняння Лапласа:

Умови однозначності теплопровідності.

Оскільки диференціальне рівняння теплопровідності виведено з загальних законівфізики, воно описує цілий клас явищ. Для його вирішення необхідно встановити граничні умови або умови однозначності.

Умови однозначності включають:

геометричні умови – характеризують форму та розміри тіла;

фізичні умови – характеризують фізичні властивості середовища проживання і тіла;

початкові (тимчасові) умови – характеризують розподіл температур у тілі початковий час, задаються щодо нестаціонарних процесів;

граничні умови – характеризують взаємодію розглянутого тіла з довкіллям.

Граничні умови можуть бути задані кількома способами.

Граничні умови першого роду. Задається розподіл температури на поверхні тіла для кожного моменту часу:

t c = f(x, y, z, τ )

де t c- Температура на поверхні тіла;

x, y, z- Координати поверхні тіла.

В окремому випадку, коли температура на поверхні є постійною протягом усього часу перебігу процесів теплообміну, рівняння спрощується:

t c = const

Граничні умови другого роду. Встановлюються значення теплового потоку для кожної точки поверхні тіла та будь-якого моменту часу. Аналітично виглядає так:

q c = f(x, y, z, τ )

У найпростішому випадку щільність теплового потоку поверхнею тіла залишається постійною. Такий випадок має місце при нагріванні металевих виробів у високотемпературних печах.

Граничні умови третього роду. При цьому задаються температура навколишнього середовища t срта закон теплообміну між поверхнею тіла та середовищем. Для опису процесу теплообміну використовується закон Ньютона Ріхмана. Відповідно до цього закону кількість теплоти, що віддається або приймається одиницею поверхні тіла в одиницю часу, пропорційна різниці температур поверхні тіла та середовища:

де α коефіцієнт пропорційності, називається коефіцієнтом тепловіддачі [Вт/(м 2 · До)], характеризує інтенсивність теплообміну. Чисельно він дорівнює кількості теплоти, що віддається одиницею поверхні тіла в одиницю часу при різниці температур, що дорівнює одному градусу. Відповідно до закону збереження енергії кількість теплоти, що відводиться довкіллю, повинна дорівнювати теплу, що підводиться внаслідок теплопровідності з внутрішніх частин тіла, тобто:

Останнє рівняння є граничною умовою третього роду.

Зустрічаються складніші технічні завдання, коли жодну з перелічених умов поставити неможливо, і тоді доводиться вирішувати завдання шляхом поєднання. При вирішенні такого завдання повинні виконуватись умови рівності температур та теплових потоків по обидва боки від межі розділу. У випадку умови сполученості можна записати:

Розв'язання пов'язаної задачі пов'язане зі знаходженням температурних полів по обидва боки межі розділу.

Розв'язання рівнянь алгебри методом Ньютона

Досить популярним методом розв'язування рівнянь є метод дотичних, або метод Ньютона. У цьому випадку рівняння виду f(x) = 0 вирішується так. Спочатку вибирається нульове наближення (точка x 0). У цій точці будується дотична до графіка y = f(x). Точка перетину цієї дотичної з віссю абсцис є наступним наближенням для кореня (точка x 1). У цій точці знову будується дотична і т.д. Послідовність точок x 0 , x 1 , x 2 … має призвести до справжнього значення кореня. Умовою збіжності є.

Так як рівняння прямої, що проходить через точку x 0 , f(x 0) (а це і є дотична), записується у вигляді

а як наступне наближення x 1 для кореня вихідного рівняння приймається точка перетину цієї прямої з віссю абсцис, слід покласти в цій точці y = 0:

звідки негайно слідує рівняння для знаходження наступного наближення через попереднє:

Рис. 3 показано реалізацію методу Ньютона засобами Excel. У комірку B3 вводиться початкове наближення ( x 0 = -3), а потім інших осередках стовпця обчислюються всі проміжні величини аж до обчислення x 1 . Для виконання другого кроку в комірку C3 вводиться значення комірки B10 і процес обчислень повторюється в стовпці C. Потім, виділивши комірки C2:C10 можна, потягнувши за маркер в правому нижньому куті виділеної області, поширити його на стовпці D:F. У результаті осередку F6 отримано значення 0, тобто. значення в комірці F3 є коренем рівняння.

Цей результат можна отримати, використовуючи циклічні обчислення. Тоді після заповнення першого стовпця та отримання першого значення x 1 слід ввести в комірку H3 формулу = H10. При цьому обчислювальний процес буде зациклений і для того, щоб він виконувався в меню Сервіс | Параметрина вкладці Обчисленнянеобхідно встановити прапорець Ітераціїі вказати граничну кількість кроків ітераційного процесу та відносну похибку (встановлене за умовчанням число 0,001 явно недостатньо у багатьох випадках), після досягнення якої обчислювальний процес зупиниться.

Як відомо, такі фізичні процеси, як перенесення тепла, перенесення маси в процесі дифузії, підпорядковуються закону.

де l- Коефіцієнт теплопровідності (дифузії), а T- Температура (концентрація), а - потік відповідної величини. З математики відомо, що дивергенція потоку дорівнює об'ємній щільності джерела Qцієї величини, тобто.

або для двовимірного випадку, коли досліджується розподіл температури в одній площині, це рівняння може бути записане у вигляді:

Вирішення цього рівняння аналітично можливе тільки для областей простої форми: прямокутник, коло, кільце. У інших ситуаціях точне розв'язання цього рівняння неможливе, тобто. неможливо і визначити розподіл температури (або концентрації речовини) у складних випадках. Тоді доводиться використовувати наближені методи розв'язання таких рівнянь.

Наближене рішення рівняння (4) в області складної формискладається з кількох етапів: 1) побудова сітки; 2) побудова різницевої схеми; 3) розв'язання системи рівнянь алгебри. Розглянемо послідовно кожен із етапів та його реалізацію з допомогою пакета Excel.

Побудова сітки.Нехай область має форму, показану на рис. 4. При такій формі точне аналітичне рішення рівняння (4), наприклад, методом поділу змінних неможливо. Тому шукатимемо наближене рішення цього рівняння в окремих точках. Нанесемо на область рівномірну сітку, що складається із квадратів зі стороною h. Тепер, замість шукати безперервне рішення рівняння (4), визначене у кожній точці області, шукатимемо наближене рішення, визначене лише у вузлових точках сітки, нанесеної область, тобто. у кутах квадратів.

Побудова різницевої схеми.Для побудови схеми різниці розглянемо довільний внутрішній вузол сітки Ц (центральний) (рис.5). З ним сусідять чотири вузли: В (верхній), Н (нижній), Л (лівий) та П (правий). Нагадаємо, відстань між вузлами в сітці дорівнює h. Тоді, використовуючи вираз (2) для наближеного запису других похідних у рівнянні (4), можна наближено записати:

звідки легко отримати вираз, що зв'язує значення температури у центральній точці з її значеннями у сусідніх точках:

Вираз (5) дозволяє нам, знаючи значення температури у сусідніх точках, обчислити її значення у центральній точці. Така схема, у якій похідні замінюються кінцевими різницями, а пошуку значень у точці сітки використовуються лише значення у найближчих сусідніх точках, називається цетрально-разностной схемою, а сам метод – методом кінцевих різниць.

Потрібно розуміти, що рівняння, аналогічне (5), ми отримуємо ДЛЯ КОЖНОЇ точки сітки, які таким чином виявляються пов'язаними один з одним. Тобто ми маємо систему рівнянь алгебри, в якій число рівнянь дорівнює числу вузлів сітки. Вирішувати таку систему рівнянь можна різними методами.

Розв'язання системи рівнянь алгебри. Метод ітерацій.Нехай у граничних вузлах температура задана і дорівнює 20, а потужність теплового джерела дорівнює 100. h= 1. Тоді вираз (5) для обчислення температури у внутрішніх точках набуває вигляду

Поставимо у відповідність кожному УЗЛ осередок на аркуші Excel. У осередках, що відповідають граничним точкам, введемо число 20 (на рис. 6 вони виділені сірим кольором). У решті осередків запишемо формулу (6). Наприклад, у клітинці F2 вона виглядатиме так: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. Записавши цю формулу в комірку F2, можна її скопіювати і вставити в інші комірки області, що відповідають внутрішнім вузлам. При цьому Excel повідомлятиме про неможливість проведення обчислень через зациклювання результатів:

Натисніть «Скасувати» та перейдіть у вікно Сервіс|Параметри|Обчислення, де встановіть прапорець у розділі «Ітерації», вказавши при цьому як відносну похибку величину 0,00001, а як граничну кількість ітерацій 10000:

Такі значення забезпечать нам малу лічильну похибку та гарантують, що ітераційний процес дійде до заданої похибки.

Однак ці значення не забезпечують малу похибку самого методу, оскільки остання залежить від похибки при заміні других похідних кінцевими різницями. Вочевидь, що це похибка тим менше, що менше крок сітки, тобто. розмір квадрата, на якому будується наша різницева схема. Це означає, що точно ВИЧИСЛЕНЕ значення температури у вузлах сітки, представлене на рис. 6, насправді може виявитися зовсім не відповідним дійсності. Існує єдиний метод перевірити знайдене рішення: знайти його на більш дрібній сітці та порівняти з попереднім. Якщо ці рішення відрізняються мало, можна вважати, що знайдений розподіл температури відповідає дійсності.

Зменшимо крок удвічі. Замість 1 він стане рівним? Число вузлів у нас відповідно зміниться. По вертикалі замість 7 вузлів (було 6 кроків, тобто 7 вузлів) стане 13 (12 квадратів, тобто 13 вузлів), а по горизонталі замість 9 стане 17. При цьому не слід забувати, що величина кроку зменшилася вдвічі і тепер у формулі (6) замість 1 2 потрібно у правій частині підставляти (1/2) 2 . Як контрольна точка, в якій будемо порівнювати знайдені рішення, візьмемо точку з максимальною температурою, зазначену на рис. 6 жовтим кольором. Результат обчислень показано на рис. 9:

Видно, що зменшення кроку призвело до істотної зміни значення температури контрольної точки: на 4%. Для підвищення точності знайденого рішення слід зменшити крок сітки. Для h= отримаємо в контрольній точці 199,9, а для h = 1/8 відповідне значення дорівнює 200,6. Можна побудувати графік залежності знайденої величини від величини кроку:

З малюнка можна дійти невтішного висновку, що подальше зменшення кроку призведе до істотного зміни температури в контрольній точці і точність знайденого рішення вважатимуться задовільною.

Використовуючи можливості пакета Excel, можна побудувати поверхню температури, що наочно представляє її розподіл у області, що досліджується.

При побудові математичної моделі поширення тепла у стрижні зробимо такі припущення:

1) стрижень зроблений з однорідного провідного матеріалу із щільністю ρ ;

2) бічна поверхня стрижня теплоізольована, тобто тепло може поширюватися лише вздовж осі ОХ;

3) стрижень тонкий - це означає, що температура у всіх точках будь-якого поперечного перерізу стрижня та сама.

Розглянемо частину стрижня на відрізку [ х, х + ∆х] (див. рис. 6) і скористаємося законом збереження кількості тепла:

Загальна кількістьтепла на відрізку [ х, х + ∆х] = повній кількості тепла, що пройшов через межі + повна кількість тепла, утвореного внутрішніми джерелами.

Загальна кількість тепла, яку необхідно повідомити ділянці стрижня, щоб підвищити його температуру ∆U, обчислюється за такою формулою: ∆Q=CρS∆x∆U, де З-питома теплоємність матеріалу (=кількості тепла, яке потрібно повідомити 1 кг речовини, щоб підняти його температуру на 1°), S- площа поперечного перерізу.

Кількість тепла, що пройшла через лівий кінець ділянки стрижня за час ∆t(Тепловий потік) обчислюється за формулою: Q 1 = -kSU x (x, t)∆t, де k- Коефіцієнт теплопровідності матеріалу (= кількості тепла, що протікає в секунду через стрижень одиничної довжини і одиничної площі поперечного перерізу при різниці температур на протилежних кінцях, що дорівнює 1 °). У цій формулі особливого пояснення вимагає мінус. Справа в тому, що потік вважається позитивним, якщо він спрямований у бік збільшення х, А це, у свою чергу, означає, що зліва від точки хтемпература більша, ніж праворуч, тобто U x< 0 . Отже, щоб Q 1був позитивний, у формулі стоїть знак мінус.

Аналогічно, тепловий потік через правий кінець ділянки стрижня обчислюється за такою формулою: Q 2 = -kSU x (x + ∆x, t)∆t.

Якщо припустити, що внутрішніх джерел тепла в стрижні немає, і скористатися законом збереження тепла, то отримаємо:

∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆х, t) ∆t - kSU x (x, t)∆t.

Якщо це рівність поділити на S∆x∆tі спрямувати ∆хі ∆tдо нуля, то матимемо:

Звідси рівняння теплопровідності має вигляд

U t =a 2 U xx,

де - Коефіцієнт температуропровідності.

У разі коли всередині стрижня є джерела тепла, безперервно розподілені з щільністю q(x,t), вийде неоднорідне рівняння теплопровідності

U t = a 2 U xx + f(x,t),
де .

Початкові умови та граничні умови.

Для рівняння теплопровідності задається тільки одна початкова умова U | t=0 = φ(х)(або в іншому записі U(x,0) = φ(х)) і фізично воно означає, що початковий розподіл температури стрижня має вигляд φ(х). Для рівнянь теплопровідності на площині або в просторі початкова умова має такий самий вигляд, тільки функція φ залежатиме, відповідно, від двох або трьох змінних.

Граничні умови у разі рівняння теплопровідності мають такий самий вигляд, як і для хвильового рівняння, але фізичний зміст їх уже інший. Умови першого роду (5)означають, що у кінцях стрижня задана температура. Якщо вона не змінюється з часом, то g 1 (t) ≡ Т 1і g 2 (t) ≡ Т 2, де Т 1і Т 2- Постійні. Якщо кінці підтримуються весь час за нульової температури, то Т 1 = Т 2 = 0та умови будуть однорідними. Граничні умови другого роду (6)визначають тепловий потік кінцях стрижня. Зокрема, якщо g 1 (t) = g 2 (t) = 0, то умови стають однорідними. Фізично вони означають, що через кінці не відбувається теплообмін із зовнішнім середовищем (ці умови ще називають умовами теплоізоляції кінців). Зрештою, граничні умови третього роду (7)відповідають нагоди, коли через кінці стрижня відбувається теплообмін із навколишнім середовищем за законом Ньютона (нагадаємо, що при виведенні рівняння теплопровідності ми вважали бічну поверхню теплоізольованою). Щоправда, у разі рівняння теплопровідності умови (7) записуються трохи інакше:

Фізичний закон теплообміну з середовищем (закон Ньютона) полягає в тому, що потік тепла через одиницю поверхні в одиницю часу пропорційний різниці температур тіла довкілля. Таким чином, для лівого кінця стрижня він дорівнює Тут h 1 > 0- Коефіцієнт теплообміну з навколишнім середовищем, g 1 (t)- Температура навколишнього середовища на лівому кінці. Знак мінус поставлений у формулі з тієї ж причини, що при виведенні рівняння теплопровідності. З іншого боку, через теплопровідність матеріалу потік тепла через цей же кінець дорівнює Застосувавши закон збереження кількості тепла, отримаємо:

Аналогічно виходить умова (14) на правому кінці стрижня, лише постійна λ 2може бути інший, оскільки, взагалі кажучи, середовища, що оточують лівий і правий кінець, бувають різні.

Граничні умови (14) є більш загальними порівняно з умовами першого та другого роду. Якщо припустити, що через якийсь кінець не відбувається теплообміну із середовищем (тобто коефіцієнт теплообміну дорівнює нулю), то вийде умова другого роду. В іншому випадку припустимо, що коефіцієнт теплообміну, наприклад h 1, дуже великий.

Перепишемо умову (14) при х = 0у вигляді і спрямуємо. У результаті матимемо умову першого роду:

Аналогічно формулюються граничні умови для більшої кількості змінних. Для завдання про поширення тепла в плоскій пластині умова означає, що температура її краях підтримується нульової. Так само, умови і зовні дуже схожі, але в першому випадку воно означає, що розглядається плоска пластина і краї її теплоізольовані, а в другому воно означає, що розглядається завдання про поширення тепла в тілі і поверхня його теплоізольована.

Вирішення першої початково-крайової задачі для рівняння теплопровідності.

Розглянемо однорідне перше початково-крайове завдання для рівняння теплопровідності:

Знайти рішення рівняння

U t = U xx , 0 0,

що задовольняє граничним умовам

U(0,t) = U(l,t)=0, t>0,

та початковій умові

Вирішимо це завдання методом Фур'є.

Крок 1. Шукатимемо рішення рівняння (15) у вигляді U(x,t) = X(x)T(t).

Знайдемо приватні похідні:

Підставимо ці похідні до рівняння і розділимо змінні:

По основній лемі отримаємо

звідси випливає

Тепер можна вирішити кожне із цих звичайних диференціальних рівнянь. Звернемо увагу на те, що використовуючи граничні умови (16) можна шукати не загальне рішення рівняння б), а приватні рішення, що задовольняють відповідним граничним умовам:

Крок 2Розв'яжемо задачу Штурма-Ліувіля

Це завдання збігається із завданням Штурма-Ліувіля, розглянутим у лекції 3.Нагадаємо, що власні значення та власні функції цього завдання існують тільки при λ>0.

Власні значення рівні

Власні функції рівні (Див. розв'язання задачі)

Крок 3Підставимо власні значення рівняння а) і розв'яжемо його:

Крок 4.Випишемо окремі рішення рівняння (15):

У силу лінійності та однорідності рівняння (15) їхня лінійна комбінація

також буде вирішенням цього рівняння, причому функція U(x,t)задовольняє і граничним умовам (16).

Крок 5.Визначимо коефіцієнти A nв (19), використовуючи початкову умову (17):

Приходимо до того, що початкова функція φ(x)розкладається в ряд Фур'є за своїми функціями завдання Штурма-Ліувіля. За теоремою Стеклова таке розкладання можливе для функцій, що задовольняють граничним умовам і мають безперервні похідні другого порядку. Коефіцієнти Фур'є перебувають за формулами

Подібна інформація.

Рішення диференціального рівняння теплопровідності при дії миттєвого зосередженого джерела у необмеженому середовищі називається фундаментальним рішенням.

Миттєве точкове джерело

Для нескінченного тіла, на початку координат якого діє миттєве точкове джерело, розв'язання диференціального рівняння теплопровідності таке:

де T - температура точки з координатами x,y,z; Q - кількість тепла, що виділилося в момент t = 0 на початку координат; t – час, що минув з моменту введення тепла; R - відстань від початку координат, де діє джерело, до точки, що розглядається (радіус - вектор). Рівняння (4) є фундаментальним рішенням рівняння теплопровідності при дії миттєвого точкового джерела в нескінченному тілі.

У будь-який момент t? 0 температура самого джерела (R = 0) відмінна від нуля і з часом зменшується за законом t -3/2, залишаючись вищою за температуру інших точок тіла. Разом із видаленням від джерела температура знижується згідно із законом нормального розподілу exp(-R 2 /4at). Ізотермічними поверхнями є сфери з центром у джерелі, і температурне поле в даний час залежить лише від радіусу. У початковий момент часу (t = 0) температура не визначена (T = ?), що пов'язано зі схемою зосередженого джерела, в якому в нескінченно малому об'ємі початковий момент часу міститься кінцева кількість тепла Q.

На основі рішення для нескінченного тіла (4) можна вивести рівняння температурного поля для схеми напівнескінченного тіла, яка застосовується для опису теплових процесів масивних виробах. Нехай у напівнескінченному тілі, обмеженому поверхню S - S діє миттєве точкове джерело Д (рис. 4). Для масивних тіл теплові потоки всередині значно більші від потоку тепловіддачі з поверхні. Тому поверхню напівнескінченного тіла можна вважати адіабатичною межею, для якої (див. п. 1.4)

Доповнимо напів нескінченну область z > 0 до нескінченної, додавши область z< 0. В образовавшемся объеме введем дополнительный (фиктивный) источник нагрева Ф(-z), идентичный действительному источнику Д(z), но расположенный симметрично по другую сторону границы S. На рис. 4 приведено распределение температур в бесконечном теле отдельно для действительного (T Д) и фиктивного (T ф) источников. Суммарная температура от обоих источников T = T Д + T ф. При этом на границе, что соответствует определению адиабатической границы (5). Если действительный источник находится на поверхности полубесконечного тела, то фиктивный с ним совпадает, и T=2T Д. Тогда температурное поле мгновенного точечного источника на поверхности полубесконечного тела

За такою самою схемою моделюється і ізотермічна межа (гранична умова 1-го роду) T S =0, але в цьому випадку T = T Д - T Ф. Слід підкреслити, що джерело нагріву не може діяти на ізотермічній поверхні.

Графічне зображення температурного поля (6) вимагає чіткого розуміння просторового положення поверхні, де будується розподіл температури. У декартовій системі координат (x, y, z) контрольними перерізами напівнескінченного тіла при дії точкового джерела є площини xy, xz та yz (рис. 5, а). Для напівнескінченного тіла ізотермічні поверхні є напівсферами (температура залежить від радіусу – вектора R). У площині xy ізотерми, як переріз поверхні площиною

z = const, є колами, а в інших площинах - півкола (рис. 5, б). Температурне поле миттєвого точкового джерела різні моменти часу представлено на рис. (6) (див. П 1.1). На малюнку температура графічно обмежена значенням T = 1000K.

Температура в будь-якій точці поза джерелом спочатку зростає, а потім зменшується (рис.1.3). Момент досягнення максимального значення температури в даній точці знайдеться із умови

Диференціюючи вираз (6) за часом, отримуємо формулу для визначення часу, коли максимальна температура

Максимальні темпери точок напівнескінченного тіла при дії точкового джерела зменшуються з відстанню як R 3 .