Матриця рядок рішення. Математика для чайників Матриці та основні дії над ними. Операція транспонування матриці

Даний методичний посібник допоможе Вам навчитися виконувати дії з матрицями: додавання (віднімання) матриць, транспонування матриці, множення матриць, знаходження зворотної матриці. Весь матеріал викладений у простій та доступній формі, наведено відповідні приклади, таким чином, навіть непідготовлена ​​людина зможе навчитися виконувати дії з матрицями. Для самоконтролю та самоперевірки Ви можете безкоштовно завантажити матричний калькулятор >>>.

Я намагатимуся мінімізувати теоретичні викладки, подекуди можливі пояснення «на пальцях» та використання ненаукових термінів. Любителі ґрунтовної теорії, будь ласка, не займайтеся критикою, наше завдання – навчитися виконувати дії з матрицями.

Для надшвидкої підготовки за темою (у кого «горить») є інтенсивний pdf-курс Матриця, визначник та залік!

Матриця – це прямокутна таблиця будь-яких елементів. В якості елементівми розглядатимемо числа, тобто числові матриці. ЕЛЕМЕНТ- Це термін. Термін бажано запам'ятати, він часто зустрічатиметься, не випадково я використав для його виділення жирний шрифт.

Позначення:матриці зазвичай позначають великими латинськими літерами

Приклад:розглянемо матрицю «два на три»:

Дана матриця складається з шести елементів:

Всі числа (елементи) всередині матриці існують самі по собі, тобто ні про яке віднімання не йдеться:

Це просто таблиця (набір) чисел!

Також домовимося не переставлятичисла, якщо іншого не сказано у поясненнях. У кожного числа своє місце розташування, і перетасовувати їх не можна!

Розглянута матриця має два рядки:

і три стовпці:

СТАНДАРТ: коли говорять про розміри матриці, то спочаткувказують кількість рядків, а потім – кількість стовпців. Ми тільки-но розібрали по кісточках матрицю «два на три».

Якщо кількість рядків та стовпців матриці збігається, то матрицю називають квадратний, наприклад: - матриця "три на три".

Якщо в матриці один стовпець або один рядок, такі матриці також називають векторами.

Насправді поняття матриці ми знаємо ще зі школи, розглянемо, наприклад, точку з координатами «ікс» і «ігрок»: . Фактично, координати точки записані в матрицю «один на два». До речі, ось Вам і приклад, чому порядок чисел має значення: і – це дві різні точки площини.

Тепер переходимо безпосередньо до вивчення дій із матрицями:

1) Дія перша. Винесення мінуса з матриці (внесення мінуса до матриці).

Повернемося до нашої матриці . Як ви напевно помітили, у цій матриці занадто багато негативних чисел. Це дуже незручно з погляду виконання різних дій з матрицею, незручно писати стільки мінусів, та й просто в оформленні виглядає некрасиво.

Винесемо мінус за межі матриці, змінивши у КОЖНОГО елемента матриці знак:

У нуля, як Ви знаєте, знак не змінюється, нуль – він і в Африці нуль.

Зворотній приклад: . Виглядає потворно.

Внесемо мінус у матрицю, змінивши у КОЖНОГО елемента матриці знак:

Ну ось, набагато симпатичніше вийшло. І, найголовніше, виконувати будь-які дії з матрицею буде ПРОЩЕ. Тому що є така математична Народна прикмета: чим більше мінусів – тим більше плутанини та помилок.

2) Дія друга. Розмноження матриці на число.

Приклад:

Все просто, щоб помножити матрицю на число, потрібно коженелемент матриці помножити на це число. У даному випадку- На трійку.

Ще один корисний приклад:

– множення матриці на дріб

Спочатку розглянемо те, що робити НЕ ТРЕБА:

Вносити дріб у матрицю НЕ ТРЕБА, по-перше, це тільки ускладнює подальші дії з матрицею, по-друге, ускладнює перевірку рішення викладачем (особливо, якщо - Остаточна відповідь завдання).

Тим паче, НЕ ТРЕБАділити кожен елемент матриці на мінус сім:

Зі статті Математика для чайників або з чого почати, ми пам'ятаємо, що десяткових дробівз комою у вищій математиці намагаються всіляко уникати.

Єдине що бажанозробити в цьому прикладі – це внести мінус у матрицю:

А от якби ВСІелементи матриці ділилися на 7 без залишку, Тоді можна (і треба!) було б поділити.

Приклад:

В цьому випадку можна і ПОТРІБНОпомножити всі елементи матриці на , тому що всі числа матриці поділяються на 2 без залишку.

Примітка: теоретично вищої математикишкільного поняття «поділ» немає. Замість фрази "це поділити на це" завжди можна сказати "це помножити на дріб". Тобто поділ – це окремий випадок множення.

3) Дія третя. Транспонування матриці.

Щоб транспонувати матрицю, потрібно її рядки записати в стовпці транспонованої матриці.

Приклад:

Транспонувати матрицю

Рядок тут лише один і, згідно з правилом, його потрібно записати в стовпець:

– транспонована матриця.

Транспонована матриця зазвичай позначається надрядковим індексом або штрих праворуч угорі.

Покроковий приклад:

Транспонувати матрицю

Спочатку переписуємо перший рядок у перший стовпець:

Потім переписуємо другий рядок у другий стовпець:

І, нарешті, переписуємо третій рядок у третій стовпець:

Готово. Грубо кажучи, транспонувати це означає повернути матрицю набік.

4) Дія четверта. Сума (різниця) матриць.

Сума матриць дія нескладна.
НЕ ВСІ МАТРИЦІ МОЖНА СКЛАДАТИ. Для виконання складання (віднімання) матриць, необхідно, щоб вони були ОДНАКОВИМИ ЗА РОЗМІРОМ.

Наприклад, якщо дана матриця «два на два», то її можна складати тільки з матрицею «два на два» і жодною іншою!

Приклад:

Скласти матриці і

Для того, щоб скласти матриці, необхідно скласти їх відповідні елементи:

Для різниці матриць правило аналогічне, необхідно знайти різницю відповідних елементів.

Приклад:

Знайти різницю матриць ,

А як вирішити цей приклад простіше, щоб не заплутатися? Доцільно позбутися зайвих мінусів, для цього внесемо мінус у матрицю:

Примітка: теоретично вищої математики шкільного поняття «віднімання» немає. Замість фрази "від цього відняти це" завжди можна сказати "до цього додати негативне число". Тобто віднімання – це окремий випадок складання.

5) Дія п'ята. Розмноження матриць.

Які матриці можна множити?

Щоб матрицю можна було помножити на матрицю потрібно, щоб число стовпців матриці дорівнювало числу рядків матриці.

Приклад:
Чи можна помножити матрицю на матрицю?

Отже, множити дані матриці можна.

А от якщо матриці переставити місцями, то в даному випадку множення вже неможливо!

Отже, виконати множення неможливо:

Не так вже й рідко зустрічаються завдання з каверзою, коли студенту пропонується помножити матриці, множення яких свідомо неможливе.

Слід зазначити, що у ряді випадків можна множити матриці і так, і так.
Наприклад, для матриць, і можливо як множення, так і множення

Прямокутною матрицею розміру mxn називається сукупність mxn чисел, розташованих у вигляді прямокутної таблиці, що містить рядків m і n стовпців. Ми будемо записувати її у вигляді

або скорочено у вигляді A = (a i j) (i = ; j = ), числа a i j називаються її елементами; перший індекс вказує на номер рядка, другий – на номер стовпця. A = (a i j) та B = (b i j) однакового розміру називаються рівними, якщо попарно рівні їх елементи, що стоять на однакових місцях, тобто A = B, якщо a i j = b i j .

Матриця, що складається з одного рядка або одного стовпця, називається відповідно рядком або вектор-стовпцем. Вектор-стовпці та вектор-рядки називають просто векторами.

Матриця, що з одного числа, ототожнюється з цим числом. A розміру mxn, всі елементи якої дорівнюють нулю, називаються нульовим і позначається через 0. Елементи з однаковими індексами називають елементами головної діагоналі. Якщо число рядків дорівнює числу шпальт, тобто m = n, то матрицю називають квадратною порядку n. Квадратні матриці, у яких відмінні від нуля лише елементи головної діагоналі, називаються діагональними та записуються так:

.

Якщо всі елементи a i i діагоналі дорівнюють 1, то вона називається одиничною і позначається буквою Е:

.

Квадратна матриця називається трикутною, якщо всі елементи, що стоять вище (або нижче) головної діагоналі, дорівнюють нулю. Транспонування називається таке перетворення, при якому рядки і стовпці змінюються місцями зі збереженням їх номерів. Позначається транспонування значком Т нагорі.

Якщо в (4.1) переставимо рядки зі стовпцями, то отримаємо

,

яка буде транспонованою стосовно А. Зокрема, при транспонуванні вектора-стовпця виходить вектор-рядок і навпаки.

Добутком А число b називається матриця, елементи якої виходять із відповідних елементів А множенням число b: b A = (b a i j).

Сумою А = (a i j) та B = (b i j) одного розміру називається C = (c i j) того ж розміру, елементи якої визначаються за формулою c i j = a i j + b i j .

Добуток АВ визначається у припущенні, що кількість стовпців А дорівнює числу рядків У.

Добутком AB, де А = (a i j) і B = (b j k), де i = , j = , k = , заданих у визначеному порядку АВ, називається С = (c i k), елементи якої визначаються за таким правилом:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Інакше кажучи, елемент твору AB визначаються таким чином: елемент i-го рядка і k-го стовпця дорівнює сумі творів елементів i-го рядка А на відповідні елементи k-го стовпця В.

приклад 2.1. Знайти добуток AB і .

Рішення. Маємо: А розміру 2x3, розміру 3x3, тоді добуток АВ = С існує і елементи С рівні

З 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, з 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, з 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

з 22 = 3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, з 13 = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, з 23 = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10 .

а твір BA не існує.

приклад 2.2. У таблиці зазначено кількість одиниць продукції, що відвантажується щодня на молокозаводах 1 і 2 до магазинів М 1 , М 2 і М 3 , причому доставка одиниці продукції з кожного молокозаводу до магазину М 1 коштує 50 ден. од., до магазину М 2 - 70, а М 3 - 130 ден. од. Підрахувати щоденні транспортні витрати кожного заводу.

Молокозавод

Рішення. Позначимо через А матрицю, дану нам за умови, а через
В - матрицю, що характеризує вартість доставки одиниці виробленої продукції магазини, тобто,

,

Тоді матриця витрат на перевезення матиме вигляд:

Отже, перший завод щодня витрачає на перевезення 4750 грош. од., другий - 3680 ден.

приклад 2.3. Швейне підприємство виготовляє зимові пальта, демісезонні пальта та плащі. Плановий випуск декаду характеризується вектором X = (10, 15, 23). Використовуються тканини чотирьох типів Т1, Т2, Т3, Т4. У таблиці наведено норми витрати тканини (метрів) на кожен виріб. Вектор С = (40, 35, 24, 16) визначає вартість метра тканини кожного типу, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - вартість перевезення метра тканини кожного виду.

	Витрата тканини
Зимове пальто
Демісезонне пальто

Лінійна алгебра

Матриці

Матрицярозміру m х n – це прямокутна таблиця чисел, що містить m рядків та n стовпців. Числа, що становлять матрицю, називаються елементами матриці.

Матриці прийнято позначати великими латинськими літерами, а елементи - тими ж, але малими літерами з подвійною індексацією.

Наприклад, розглянемо матрицю А розмірності 2 х 3:

У цій матриці два рядки (m = 2) та три стовпці (n = 3), тобто. вона складається з шести елементів a ij де i - номер рядка, j - номер стовпця. При цьому набуває значення від 1 до 2, а від одного до трьох (записується). Зокрема, a 11 = 3; a 12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; a 23 = 5.

Матриці А та В одного розміру (m х n) називають рівними, якщо вони поэлементно збігаються, тобто. a ij = b ij для , тобто. для будь-яких i та j (можна записати "i, j).

Матриця-рядок- це матриця, що складається з одного рядка, а матриця-стовпець- Це матриця, що складається з одного стовпця.

Наприклад, - матриця-рядок, а .

Квадратна матриця n-го порядку - це матриця, до рядків дорівнює числу стовпців і дорівнює n.

Наприклад, квадратна матриця другого порядку.

Діагональніелементи матриці – це елементи, у яких номер рядка дорівнює номеру стовпця (a ij, i = j). Ці елементи утворюють головну діагональматриці. У попередньому прикладі головну діагональ утворюють елементи a 11 = 3 та a 22 = 5.

Діагональна матриця- Це квадратна матриця, в якій всі недіагональні елементи дорівнюють нулю. Наприклад, - Діагональна матриця третього порядку. Якщо при цьому всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, то матриця називається одиничною(Зазвичай позначаються буквою Е). Наприклад, - Поодинока матриця третього порядку.

Матриця називається нульовийякщо всі її елементи дорівнюють нулю.

Квадратна матриця називається трикутноїякщо всі її елементи нижче (або вище) головної діагоналі дорівнюють нулю. Наприклад, - Трикутна матриця третього порядку.

Операції над матрицями

Над матрицями можна виконувати такі операції:

1. Розмноження матриці на число. Добутком матриці на число l називається матриця В = lА, елементи якої b ij = la ij для будь-яких i і j.

Наприклад, якщо , то .

2. Додавання матриць. Сумою двох матриць А і однакового розміру m х n називається матриця С = А + В, елементи якої з ij = a ij + b ij для "i, j.

Наприклад, якщо то

.

Зазначимо, що через попередні операції можна визначити віднімання матрицьоднакового розміру: різниця А-В= А + (-1) * Ст.

3. Розмноження матриць. Добутком матриці А розміру m x n на матрицю розміру n x p називається така матриця С, кожен елемент якої з ij дорівнює сумі творів елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці, тобто. .

Наприклад, якщо

, то розмір матриці-твору буде 2 x 3, і вона матиме вигляд:

В цьому випадку матриця А називається узгодженою з матрицею.

На основі операції множення для квадратних матриць визначено операцію зведення у ступінь. Цілим позитивним ступенем А m (m > 1) квадратної матриці А називаються добуток m матриць, рівних А, тобто.

Підкреслимо, що додавання (віднімання) і множення матриць визначені не для будь-яких двох матриць, а тільки для певних вимог, що задовольняють, до своєї розмірності. Для знаходження суми чи різниці матриць їх розмір обов'язково має бути однаковим. Для знаходження твору матриць число стовпців першої з них має збігатися з числом рядків другої (такі матриці називають узгодженими).

Розглянемо деякі властивості розглянутих операцій, аналогічні властивостям операцій над числами.

1) Комутативний (переміщувальний) закон складання:

А + В = В + А

2) Асоціативний (сполучний) закон складання:

(А + В) + С = А + (В + С)

3) Дистрибутивний (розподільчий) закон множення щодо складання:

l(А + В) = lА + lВ

А(В+С) = АВ+АС

(А + В) С = АС + ВС

5) Асоціативний (сполучний) закон множення:

l(АВ) = (lА)В = А(lВ)

A(BС) = (АВ)С

Підкреслимо, що переміщувальний закон множення для матриць у випадку НЕ виконується, тобто. AB ¹ BA. Більше того, із існування AB не обов'язково випливає існування ВА (матриці можуть бути не узгодженими, і тоді їх добуток взагалі не визначено, як у наведеному прикладі множення матриць). Але навіть якщо обидва твори існують, вони зазвичай різні.

В окремому випадку комутативним законом має добуток будь-якої квадратної матриці А на одиничну матрицю того ж порядку, причому цей добуток дорівнює А (множення на одиничну матрицю тут аналогічно множенню на одиницю при множенні чисел):

АЕ = ЕА = А

Справді,

Підкреслимо ще одну відмінність множення матриць від множення чисел. Добуток чисел може дорівнювати нулю тоді і лише тоді, коли хоча б одне з них дорівнює нулю. Про матриці цього сказати не можна, тобто. добуток ненульових матриць може дорівнювати нульовій матриці. Наприклад,

Продовжимо розгляд операцій над матрицями.

4. Транспонування матриціє операцією переходу від матриці А розміру m x n до матриці А Т розміру n x m, в якій рядки і стовпці помінялися місцями:

%.

Властивості операції транспонування:

1) З визначення слід, якщо матрицю транспонувати двічі, ми повернемося до вихідної матриці: (AT) T = A.

2) Постійний множник можна винести за знак транспонування: (lА) T = lА T .

3) Транспонування дистрибутивно щодо множення та додавання матриць: (AB) T = B T A T і (A + B) T = B T + A T .

Визначники матриць

Для кожної квадратної матриці А вводиться число |А|, яке її називають визначником. Іноді його позначають буквою D.

Це є важливим на вирішення низки практичних завдань. Визначимо його через спосіб обчислення.

Для матриці першого порядку її визначником називають її єдиний елемент |А| = D1 = а11.

Для матриці другого порядку її визначником називають число, яке обчислюють за формулою |А| = D 2 = а 11 * а 22 - а 21 * а 12

Для матриці А третього порядку її визначником називають число, яке обчислюють за формулою

Воно представляє суму алгебри, що складається з 6 доданків, в кожне з яких входить рівно по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця матриці. Для запам'ятовування формули визначника прийнято скористатися так званим правилом трикутників або правилом Сарруса (рис. 6.1).

На малюнку 6.1 схема зліва показує, як вибирати елементи для доданків зі знаком «плюс», - вони перебувають у головній діагоналі й у вершинах рівнобедрених трикутників, підстави яких їй паралельні. Схема зліва використовується для доданків зі знаком «мінус»; на ній замість головної діагоналі береться так звана побічна.

Визначники вищих порядків обчислюють рекурентним способом, тобто. визначник четвертого порядку через визначник третього порядку, визначник п'ятого ладу через визначник четвертого порядку і т.д. Для опису цього способу необхідно ввести поняття мінору та алгебраїчного доповнення елемента матриці (відразу зазначимо, що сам спосіб, який буде розглянуто далі, підходить і для визначників третього та другого порядку).

МіноромМ ij елемента а ij матриці n-го порядку називають визначник матриці (n-1)-го порядку, отриманої з матриці А викреслюванням i рядка і j-го стовпця.

Кожна матриця n-го порядку має n2 мінорів (n-1)-го порядку.

Алгебраїчним доповненням A ij елемента ij матриці n-го порядку називають його мінор, взятий зі знаком (-1) (i+ j) :

A ij = (-1) (i+ j) * М ij

З визначення випливає, що A ij = М ij якщо сума номерів рядка і стовпця парна, і A ij = -М ij якщо вона непарна.

Наприклад, якщо , то ; і т.д.

Спосіб обчислення визначникаполягає в наступному: визначник квадратної матриці дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх додатки алгебри:

(розкладання по елементам i-йрядки; );

(Розкладання за елементами j-го стовпця; ).

Наприклад,

Зазначимо, що й у випадку визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів головної діагоналі.

Сформулюємо основні властивості визначників.

1. Якщо якийсь рядок або стовпець матриці складається з одних нулів, то визначник дорівнює 0 (випливає зі способу розрахунку).

2. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпця) матриці помножити на те саме число, то і її визначник помножиться на це число (також випливає зі способу розрахунку - на розрахунок алгебраїчних доповнень загальний множник не впливає, а всі інші доданки помножені саме на це число).

Примітка: за знак визначника можна виносити загальний множник саме рядка або стовпця (на відміну від матриці, за знак якої можна виносити загальний множник усіх елементів). Наприклад, , .

3. При транспонуванні матриці її визначник не змінюється: | А Т | = | А | (Доказ проводити не будемо).

4. При перестановці місцями двох рядків (стовпців) матриці її визначник змінює знак протилежний.

Для підтвердження цієї якості спочатку припустимо, що переставлені два сусідні рядки матриці: i-я та (i+1)-я. Для розрахунку визначника вихідної матриці здійснимо розкладання по i-му рядку, а для визначника нової матриці (з переставленими рядками) – по (i+1)–й (яка в ній така сама, тобто поелементно збігається). Тоді при розрахунку другого визначника кожне доповнення алгебри матиме протилежний знак, так як (-1) буде зводитися не в ступінь (i + j), а в ступінь (i + 1+ j), а в іншому формули відрізнятися не будуть. Таким чином знак визначника зміниться на протилежний.

Тепер припустимо, що переставлені не сусідні, а два довільні рядки, наприклад, i-я та (i+t)-я. Таку перестановку можна як послідовне зміщення i-го рядка на t рядків вниз, а (i+t)-го рядка - на (t-1) рядків вгору. У цьому знак визначника зміниться (t + t – 1) = 2t – 1 число разів, тобто. непарне число разів. Отже, зрештою він зміниться протилежний.

Аналогічні міркування можна міняти для стовпців.

5. Якщо матриця містить два однакові рядки (стовпця), її визначник дорівнює 0.

Справді, якщо однакові рядки (стовпці) переставити місцями, то буде отримана та сама матриця з тим самим визначників. З іншого боку, за попередньою якістю він має змінити символ, тобто. D = -D D = 0.

6. Якщо елементи двох рядків (стовпців) матриці пропорційні, то визначник дорівнює 0.

Ця властивість заснована на попередній властивості та виносі за дужку загального множника (після виносу за дужку коефіцієнта пропорційності в матриці будуть однакові рядки або стовпці, і в результаті цей коефіцієнт множитиметься на нуль).

7. Сума творів елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпця) тієї ж матриці завжди дорівнює 0: при i ¹ j.

Щоб довести цю властивість, достатньо замінити в матриці А j-й рядок на i-ю. В отриманій матриці буде два однакові рядки, тому її визначник дорівнює 0. З іншого боку, його можна обчислити розкладанням по елементах j-го рядка: .

8. Визначник матриці не змінюється, якщо до елементів рядка або стовпця матриці додати елементи іншого рядка (стовпця), помножені на те саме число.

Справді, нехай до елементів i-го рядка додають елементи j-йрядки, помножені на l. Тоді елементи нового i-го рядка набудуть вигляду
(a ik + la jk , "k). Обчислимо визначник нової матриці розкладанням за елементами i-го рядка (зазначимо, що алгебраїчні доповнення її елементів при цьому не зміняться):

Ми отримали, що цей визначник не відрізняється від визначника вихідної матриці.

9. Визначник добутку матриць дорівнює добутку їх визначників: | АВ | = | А | * |У| (Доказ проводити не будемо).

Розглянуті вище властивості визначників використовують для спрощення їх обчислення. Зазвичай намагаються перетворити матрицю до такого виду, щоб будь-який стовпець або рядок містили якнайбільше нулів. Після цього визначник легко знайти розкладанням цього рядка або стовпця.

зворотна матриця

Матрицю А-1 називають зворотнійпо відношенню до квадратної матриці А, якщо при множенні цієї матриці на матрицю А як праворуч, так і зліва виходить одинична матриця: А -1 * А = А * А -1 = Е.

З визначення слідує, що зворотна матриця є квадратною матрицею того ж порядку, що і матриця А.

Можна відзначити, що поняття зворотної матриці аналогічне поняттю зворотного числа (це число, яке при множенні на дане число дає одиницю: а*а -1 = а*(1/а) = 1).

Усі числа, крім нуля, мають обернені числа.

Щоб вирішити питання, чи має квадратна матриця зворотну, необхідно знайти її визначник. Якщо визначник матриці дорівнює нулю, то така матриця називається виродженою, або особливою.

Необхідне та достатня умоваІснування зворотної матриці: зворотна матриця існує і єдина тоді і тільки тоді, коли вихідна матриця невироджена.

Доведемо потребу. Нехай матриця має зворотну матрицю А -1 , тобто. А -1 * А = Е. Тоді | А -1 * А | = | А -1 | * |А| = | Е | = 1. Отже,
|А| ¹ 0.

Доведемо достатність. Щоб його довести, необхідно просто описати спосіб обчислення зворотної матриці, який завжди зможемо застосувати для невиродженої матриці.

Отже, нехай | А | ¹ 0. Транспонуємо матрицю А. Для кожного елемента А Т знайдемо додаток алгебри і складемо з них матрицю , яку називають приєднаної(Взаємної, союзної): .

Знайдемо твір приєднаної матриці та вихідної. Отримаємо . Таким чином матриця – діагональна. На її головній діагоналі стоять визначники вихідної матриці, а решта елементів – нулі:

Аналогічно можна показати, що .

Якщо розділити всі елементи матриці на |А|, буде отримана одинична матриця Е.

Таким чином , тобто. .

Доведемо єдиність зворотної матриці. Припустимо, існує інша зворотна матриця для А, відмінна від А -1 . Позначимо її X. Тоді А * Х = Е. Помножимо зліва обидві частини рівності на А -1.

А -1 * А * Х = А -1 * Е

Єдиність доведена.

Отже, алгоритм обчислення зворотної матриці складається з наступних кроків:

1. Знайти визначник матриці | А | . Якщо |А| = 0, то матриця А – вироджена, і зворотну матрицю знайти не можна. Якщо |А| ¹ 0, то переходять до наступного кроку.

2. Побудувати транспоновану матрицю АТ.

3. Знайти алгебраїчні доповнення елементів транспонованої матриці та побудувати приєднану матрицю.

4. Обчислити обернену матрицю, розділивши приєднану матрицю на |А|.

5. Можна перевірити правильність обчислення зворотної матриці відповідно до визначення: А -1 * А = А * А -1 = Е.

1. Знайдемо визначник цієї матриці за правилом трикутників:

Перевірку опустимо.

Можна довести такі властивості обігу матриць:

1) | А-1 | = 1 / | А |

2) (А -1) -1 = А

3) (А m) -1 = (А -1) m

4) (АB) -1 = B -1 * А -1

5) (А -1) T = (АТ) -1

Ранг матриці

Мінором k-го порядкуматриці розміру m х n називають визначник квадратної матриці k-го порядку, яка отримана з матриці А викреслюванням будь-яких рядків і стовпців.

З визначення випливає, що порядок мінору не перевищує меншого її розмірів, тобто. k £ min (m; n). Наприклад, з матриці А 5х3 можна отримати квадратні підматриці першого, другого та третього порядків (відповідно розрахувати мінори цих порядків).

Рангомматриці називають найвищий порядоквідмінних від нуля мінорів цієї матриці (позначають rang А, або r(А)).

З визначення випливає, що

1) ранг матриці вбирається у меншого з її розмірів, тобто.
r(А) £ min (m; n);

2) r(А) = 0 і тоді, коли матриця нульова (всі елементи матриці дорівнюють нулю), тобто. r(А) = 0 А = 0;

3) для квадратної матриці n-го порядку r(А) = n і тоді, коли ця матриця А невироджена, тобто. r(А) = n | | ¹ 0.

Насправді, для цього достатньо обчислити лише один такий мінор (той, який отримано викресленням третього стовпця (бо в решті буде присутній нульовий третій стовпець, і тому вони дорівнюють нулю).

За правилом трикутника = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Оскільки всі мінори третього порядку нульові, r(А) £ 2. Оскільки існує ненульовий мінор другого порядку, наприклад,

Очевидно, що використані нами прийоми (розгляд різноманітних мінорів) не підходять для визначення рангу у складніших випадках через велику трудомісткість. Зазвичай знаходження рангу матриці використовують деякі перетворення, які називають елементарними:

1). Відкидання нульових рядків (стовпців).

2). Розмноження всіх елементів рядка або стовпця матриці на число, відмінне від нуля.

3). Зміна порядку рядків (стовпців) матриці.

4). Додаток до кожного елемента одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на будь-яке число.

5). Транспонування.

Якщо матриця А отримана з матриці B елементарними перетвореннями, ці матриці називають еквівалентнимиі позначають А~В.

Теорема. Елементарні перетворення матриці не змінюють її ранг.

Доказ теореми випливає із властивостей визначника матриці. Насправді, при цих перетвореннях визначники квадратних матриць або зберігаються, або множаться на число, що не дорівнює нулю. Через війну найвищий порядок відмінних від нуля мінорів вихідної матриці залишається тим самим, тобто. її ранг не змінюються.

За допомогою елементарних перетворень матрицю призводять до так званого ступінчастого вигляду (перетворюють на ступінчасту матрицю), тобто. домагаються, щоб у еквівалентній матриці під головною діагоналлю стояли лише нульові елементи, а на головній діагоналі – ненульові:

Ранг ступінчастої матриці дорівнює r, оскільки викреслюванням з неї стовпців, починаючи з (r + 1)-го і далі можна отримати трикутну матрицю r-го порядку, визначник якої буде відмінний від нуля, оскільки буде твір ненульових елементів (отже , є мінор r-го порядку, не рівний нулю):

приклад. Знайти ранг матриці

1). Якщо а 11 = 0 (як у нашому випадку), то перестановкою рядків або стовпців досягнемо того, щоб а 11 ¹ 0. Тут поміняємо місцями 1-й і 2-й рядки матриці:

2). Тепер а 11? 0. Елементарними перетвореннямидоб'ємося, щоб решта елементів у першому стовпці дорівнювали нулю. У другому рядку a 21 = 0. У третьому рядку a 31 = -4. Щоб замість (-4) стояв 0, додамо до третього рядка перший рядок, помножений на 2 (тобто на (-а 31/а 11) = -(-4)/2 =
= 2). Аналогічно до четвертого рядка додамо перший рядок (помножений на одиницю, тобто на (-а 41/а 11) = -(-2)/2 = 1).

3). В отриманій матриці а 22 ? 0 (якби було а 22 = 0, то можна було б знову переставити рядки). Доб'ємося, щоб нижче діагоналі у другому стовпці теж стояли нулі. Для цього до 3-го та 4-го рядків додамо другий рядок, помножений на -3 ((-а 32 /а 22) = (-а 42 /а 22) = -(-3)/(-1) = - 3):

4). В отриманій матриці два останні рядки – нульові, і їх можна відкинути:

Отримано ступінчасту матрицю, що складається з двох рядків. Отже, r(A) = 2.

Це поняття, що узагальнює всі можливі операції, які виробляються з матрицями. Математична матриця – таблиця елементів. Про таку таблицю, де mрядків та nстовпців, кажуть, що це матриця має розмірність mна n.

Загальний вигляд матриці:

Для рішення матрицьнеобхідно розуміти, що таке матриця та знати основні її параметри. Основні елементи матриці:

• Головна діагональ, що складається з елементів а 11, а 22 …..а mn.
• Побічна діагональ, що складається з елементів а 1n, а 2n-1 …..а m1.

Основні види матриць:

• Квадратна - така матриця, де число рядків = числу стовпців ( m=n).
• Нульова – де всі елементи матриці = 0.
• Транспонована матриця - матриця У, яка була отримана з вихідної матриці Aшляхом заміни рядків на стовпці.
• Поодинока - всі елементи головної діагоналі = 1, решта = 0.
• Зворотна матриця - матриця, при множенні на яку вихідна матриця дає в результаті поодиноку матрицю.

Матриця може бути симетричною щодо головної та побічної діагоналі. Тобто, якщо а 12 = а 21, а 13 = а 31, .... а 23 = а 32 …. а m-1n = а mn-1то матриця симетрична щодо головної діагоналі. Симетричними можуть лише квадратні матриці.

Методи розв'язання матриць.

Майже все методи вирішення матриціполягають у знаходженні її визначника n-го порядку і більшість їх досить громіздкі. Щоб знайти визначник 2-го та 3-го порядку є інші, більш раціональні способи.

Знаходження визначників 2-го порядку.

Для обчислення визначника матриці А 2го порядку, необхідно від твору елементів головної діагоналі відняти добуток елементів побічної діагоналі:

Методи знаходження визначників 3-го порядку.

Нижче наведено правила знаходження визначника 3го порядку.

Спрощено правило трикутника, як одного з методів вирішення матриць, можна зобразити таким чином:

Іншими словами, добуток елементів у першому визначнику, які з'єднані прямими, береться зі знаком "+"; так само, для 2-го визначника - відповідні твори беруться зі знаком "-", тобто за такою схемою:

При рішенні матриць правилом Саррюса, праворуч від визначника дописують перші 2 стовпці та твори відповідних елементів на головній діагоналі та на діагоналях, які їй паралельні, беруть зі знаком "+"; а твори відповідних елементів побічної діагоналі та діагоналей, які їй паралельні, зі знаком "-":

Розкладання визначника по рядку чи стовпцю під час вирішення матриць.

Визначник дорівнює сумі творів елементів рядка визначника на їх додатки алгебри. Зазвичай вибирають той рядок / стовпець, в якому є нулі. Рядок або стовпець, по якому ведеться розкладання, будуть позначати стрілкою.

Приведення визначника до трикутного вигляду під час вирішення матриць.

При рішенні матрицьЗ допомогою приведення визначника до трикутному виду, працюють так: з допомогою найпростіших перетворень над рядками чи стовпцями, визначник стає трикутного вигляду і тоді його значення, відповідно до властивостями визначника, дорівнюватиме добутку елементів, які стоять на головній діагоналі.

Теорема Лапласа під час вирішення матриць.

Вирішуючи матриці за теоремою Лапласа, необхідно знати безпосередньо саму теорему. Теорема Лапласа: Нехай Δ - це визначник n-го порядку. Вибираємо в ньому будь-які kрядків (або стовпців), за умови k≤ n - 1. У такому разі сума творів усіх мінорів k-го порядку, що містяться у вибраних kрядках (стовпцях), на їх алгебраїчні доповнення дорівнюватиме визначнику.

Вирішення зворотної матриці.

Послідовність дій для рішення зворотної матриці:

1. Зрозуміти, чи квадратна дана матриця. У разі негативної відповіді стає ясно, що зворотної матриці не може бути.
2. Обчислюємо додатки алгебри.
3. Складаємо союзну (взаємну, приєднану) матрицю C.
4. Складаємо зворотну матрицю з додатків алгебри: всі елементи приєднаної матриці Cділимо на визначник початкової матриці. Підсумкова матриця буде шуканою зворотною матрицею щодо заданої.
5. Перевіряємо виконану роботу: множимо матрицю початкову та отриману матриці, результатом має стати одинична матриця.

Вирішення систем матриць.

Для рішення систем матрицьнайчастіше використовують метод Гаусса.

Метод Гауса — це стандартний спосіб розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ) і він полягає в тому, що послідовно виключаються змінні, тобто, за допомогою елементарних змін систему рівнянь доводять до еквівалентної системи трикутного вигляду і з неї, послідовно, починаючи з останніх (за номером) знаходять кожен елемент системи.

Метод Гаусає найуніверсальнішим і найкращим інструментом для знаходження рішення матриць. Якщо у системи безліч рішень або система є несумісною, то її не можна вирішувати за правилом Крамера і матричним методом.

Метод Гауса передбачає також прямий (приведення розширеної матриці до ступінчастого вигляду, тобто отримання нулів під головною діагоналлю) і зворотний (отримання нулів над головною діагоналлю розширеної матриці) ходи. Прямий хід є метод Гаусса, зворотний - метод Гаусса-Жордана. Метод Гауса-Жордана відрізняється від методу Гауса лише послідовністю виключення змінних.

Визначення 1. Матрицею А розміруm nназивається прямокутна таблиця з m рядків і n стовпців, що складається з чисел або інших математичних виразів (званих елементами матриці), i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n.

, або

Визначення 2. Дві матриці
і
одного розміру називаються рівними, якщо збігаються поэлементно, тобто. =, i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n.

За допомогою матриць легко записувати деякі економічні залежності, наприклад, таблиці розподілу ресурсів по деяких галузях економіки.

Визначення 3. Якщо число рядків матриці збігається з її стовпців, тобто. m = n, то матриця називається квадратного порядкуn, а в іншому випадку прямокутної.

Визначення 4. Перехід від матриці А до матриці А т, у якій рядки та стовпці помінялися місцями із збереженням порядку, називається транспонуваннямматриці.

Види матриць: квадратна (розміру 33) -
,

прямокутна (розміру 25) -
,

діагональна -
, одинична -
, нульова -
,

матриця-рядок -
, матриця-стовпець -.

Визначення 5. Елементи квадратної матриці порядку n з однаковими індексами називають елементами головної діагоналі, тобто. це елементи:
.

Визначення 6. Елементи квадратної матриці порядку n називаються елементами побічної діагоналі, якщо їх індексів дорівнює n + 1, тобто. це елементи: .

1.2. Операції над матрицями.

1 0 . Сумою двох матриць
і
однакового розміру називається матриця С = (з ij), елементи якої визначаються рівністю з ij = a ij + b ij (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Властивості операції складання матриць.

Для будь-яких матриць А,В,Содного розміру виконуються рівності:

1) А + В = В + А (комутативність),

2) (А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С (асоціативність).

2 0 . Твором матриці
на число  називається матриця
того ж розміру, що і матриця А, причому b ij =  (i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n).

Властивості операції множення матриці на число.

(А) = ()А (асоціативність множення);

(А+В) = А+В (дистрибутивність множення щодо складання матриць);

(+)А = А+А (дистрибутивність множення щодо складання чисел).

Визначення 7. Лінійною комбінацією матриць
і
однакового розміру називається вираз виду А+В, де  і  - довільні числа.

3 0 . Добутком А  У матриць А і відповідно розмірів mn і nk називається матриця З розміру mk, така, що елемент з ij дорівнює сумі творів елементів i-того рядка матриці А і j-того стовпця матриці В, тобто. з ij = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ... + a ik b kj .

Добуток АВ існує, лише в тому випадку, якщо число стовпців матриці А збігається з числом рядків матриці.

Властивості операції множення матриць:

(АВ)С = А(ВС) (асоціативність);

(А+В)С = АС+ВС (дистрибутивність щодо складання матриць);

А(В+С) = АВ+АС (дистрибутивність щодо складання матриць);

АВВА (не комутативність).

Визначення 8. Матриці А і В, для яких АВ = ВА, називаються комутуючими або перестановочними.

Розмноження квадратної матриці будь-якого порядку на відповідну одиничну матрицю не змінює матрицю.

Визначення 9. Елементарними перетвореннямиматриць називаються такі операції:

Зміна місцями двох рядків (стовпців).

Розмноження кожного елемента рядка (стовпця) на число, відмінне від нуля.

Додавання до елементів одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця).

Визначення 10. Матриця, отримана з матриці А за допомогою елементарних перетворень називається еквівалентної(позначається ВА).

приклад 1.1.Знайти лінійну комбінацію матриць 2А-3В, якщо

,
.

,
,

.

приклад 1.2. Знайти добуток матриць
, якщо

.

Рішення: оскільки кількість стовпців першої матриці збігається з кількістю рядків другої матриці, то добуток матриць існує. В результаті отримуємо нову матрицю
, де

В результаті отримаємо
.

Лекція 2. Визначники. Обчислення визначників другого, третього порядку. Властивості визначниківn-го порядку.