Як множити матриці одна на одну. Множення матриць: приклади, алгоритм дій, властивості твору. Випадок прямокутних матриць

Додавання матриць:

Віднімання та складання матрицьзводиться до відповідних операцій над їх елементами. Операція складання матрицьвводиться тільки для матрицьоднакового розміру, тобто для матриць, у яких число рядків та стовпців відповідно дорівнює. Сумою матрицьА і В, називається матрицяС, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів. З = А + У c ij = a ij + b ij Аналогічно визначається різницю матриць.

Розмноження матриці на число:

Операція множення (поділу) матрицібудь-якого розміру на довільне число зводиться до множення (поділу) кожного елемента матриціцього числа. Добутком матриціА на число k називається матрицяВ, така що

b ij = k × a ij. В = k × A b ij = k × a ij. Матриця- А = (-1) × А називається протилежною матриціА.

Властивості складання матриць та множення матриці на число:

Операції складання матрицьі множення матриціна число мають такі властивості: 1. А + В = В + А; 2. А+(В+С) = (А+В)+С; 3. А + 0 = А; 4. А – А = 0; 5. 1 × А = А; 6. α × (А + В) = αА + αВ; 7. (α + β) × А = αА + βА; 8. α × (βА) = (αβ) × А; де А, В і С - матриці, α і β - числа.

Множення матриць (Виробництво матриць):

Операція множення двох матрицьвводиться лише для випадку, коли число стовпців першої матрицідорівнює числу рядків другий матриці. Добутком матриціА m×n на матрицюУ n×p називається матрицяЗ m×p така, що з ik = a i1 ? матриціА на відповідні елементи j - ого стовпця матриціВ. Якщо матриціА і В квадратні одного розміру, то твори АВ та ВА завжди існують. Легко показати, що А × Е = Е × А = А де А квадратна матриця, Е - одинична матрицятого ж розміру.

Властивості множення матриць:

Розмноження матрицьне комутативно, тобто. АВ ≠ ВА навіть якщо визначено обидва твори. Однак, якщо для яких-небудь матрицьспіввідношення АВ = ВА виконується, то такі матриціназиваються перестановочними. Найхарактернішим прикладом може бути одинична матриця, яка є перестановною з будь-якої іншої матрицеютого ж розміру. Перестановочними можуть бути лише квадратні матриціодного й того самого порядку. А × Е = Е × А = А

Розмноження матрицьмає такі властивості: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + З) = АВ + АС; 3. (А + В) С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0; 6. (АВ) Т = В Т А Т; 7. (АВС) Т = С Т В Т А Т; 8. (А + В) Т = А Т + В Т;

2. Визначники 2-го та 3-го порядків. Властивості визначників.

Визначником матрицідругого порядку, або визначникомдругого порядку називається число, яке обчислюється за формулою:

Визначником матрицітретього порядку, або визначникомтретього порядку називається число, яке обчислюється за формулою:

Це число представляє суму алгебри, що складається з шести доданків. У кожен доданок входить рівно по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця матриці. Кожен доданок складається з твору трьох співмножників.

Знаки, з якими члени визначника матрицівходять до формули знаходження визначника матриціТретого порядку можна визначити, користуючись наведеною схемою, яка називається правилом трикутників або правилом Сарруса. Перші три доданки беруться зі знаком плюс і визначаються з лівого малюнка, а наступні три доданки беруться зі знаком мінус і визначаються з правого малюнка.

Визначити кількість доданків для знаходження визначника матриці, в сумі алгебри, можна обчисливши факторіал: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Властивості визначників матриць

Властивості визначників матриць:

Властивість №1:

Визначник матриціне зміниться, якщо його рядки замінити стовпцями, причому кожен рядок стовпцем з тим самим номером, і навпаки (Транспонування). |А| = | А | Т

Наслідок:

Стовпці та рядки визначника матрицірівноправні, отже, властивості властиві рядкам виконуються й у стовпців.

Властивість №2:

При перестановці 2-х рядків або стовпців визначник матрицізмінить знак на протилежний, зберігаючи абсолютну величину, тобто:

Властивість №3:

Визначник матриці, Що має два однакові ряди, дорівнює нулю.

Властивість №4:

Загальний множник елементів якогось ряду визначника матриціможна винести за знак визначника.

Наслідки з властивостей №3 та №4:

Якщо всі елементи деякого ряду (рядки або стовпця) пропорційні відповідним елементам паралельного ряду, то такий визначник матрицідорівнює нулю.

Властивість № 5:

визначника матрицірівні нулю, то сам визначник матрицідорівнює нулю.

Властивість №6:

Якщо всі елементи якогось рядка або стовпця визначникапредставлені у вигляді суми 2-х доданків, то визначник матриціможна подати у вигляді суми 2-х визначниківза формулою:

Властивість № 7:

Якщо до якогось рядка (або стовпця) визначникадодати відповідні елементи іншого рядка (або стовпця), помножені на те саме число, то визначник матриціне змінить своєї величини.

Приклад застосування властивостей для обчислення визначника матриці:

Визначення 1

Добуток матриць (С = АВ) - операція тільки для узгоджених матриць А і В, у яких число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці:

C ∟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

Приклад 1

Дані матриці:

• A = a (i j) розмірів m × n;
• B = b (i j) розмірів p × n

Матрицю C , елементи c i j якої обчислюються за такою формулою:

c i j = a i 1 x b 1 j + a i 2 x b 2 j +. . . + a i p × b p j, i = 1,. . . m, j = 1,. . . m

Приклад 2

Обчислимо твори АВ = ВА:

А = 1 2 1 0 1 2 , В = 1 0 0 1 1 1

Рішення, використовуючи правило множення матриць:

А ⏟ 2 × 3 × В ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

В ⏟ 3 × 2 × А ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3 × 3

Твір АВ і ВА знайдені, але є матрицями різних розмірів: АВ не дорівнює ВА.

Властивості множення матриць

Властивості множення матриць:

• (А В) С = А (В С) – асоціативність множення матриць;
• А (В + С) = А В + АС - дистрибутивність множення;
• (А + В) С = АС + В С - дистрибутивність множення;
• λ (АВ) = (λ А) В

Приклад 1

Перевіряємо властивість №1: (АВ) С = А (ВС) :

(А × В) × А = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100 ,

А (В × С) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .

Приклад 2

Перевіряємо властивість №2: А (В+С) = АВ+АС:

А × (В + С) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58 ,

АВ + АС = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58 .

Твір трьох матриць

Добуток трьох матриць А В обчислюють двома способами:

• знайти АВ і помножити на С: (АВ) С;
• або знайти спочатку ВС, а потім помножити А (ВС) .

Приклад 3

Перемножити матриці двома способами:

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Алгоритм дій:

• знайти добуток 2-х матриць;
• потім знову знайти добуток 2-х матриць.

1). А В = 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 = 4 (-28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126 ) = 2 - 6 - 6 21

2). А В С = (А В) С = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Використовуємо формулу АВС = (АВ) С:

1). В С = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12

2). А В С = (А В) С = 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 = 4 (-10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (-12) = 2 0 0 3

Відповідь: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Розмноження матриці на число

Визначення 2

Добуток матриці А на число k - це матриця В = А k того ж розміру, яка отримана з вихідною множенням на задане число всіх її елементів:

b i , j = k × a i , j

Властивості множення матриці на число:

• 1 × А = А
• 0 × А = нульова матриця
• k (A + B) = k A + k B
• (k + n) A = k A + n A
• (k × n) × A = k (n × A)

Приклад 4

Знайдемо добуток матриці А = 4 2 9 0 на 5.

5 А = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Розмноження матриці на вектор

Визначення 3

Щоб знайти добуток матриці та вектора, необхідно множити за правилом «рядок на стовпець»:

• якщо помножити матрицю на вектор-стовпець число стовпців у матриці має збігатися з числом рядків у векторі-стовпці;
• результатом множення вектора-стовпця є лише вектор-стовпець:

А В = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а m 1 а m 2 ⋯ а m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 2 + ⋯ + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b 1 c 2 ⋯ c 1 m

• якщо помножити матрицю на вектор-рядок, то матриця повинна бути виключно вектором-стовпцем, причому кількість стовпців повинна збігатися з кількістю стовпців у векторі-рядку:

А В = а ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Приклад 5

Знайдемо добуток матриці А і вектора-стовпця В:

А В = 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (-1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (-1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

Приклад 6

Знайдемо добуток матриці А та вектора-рядок В:

А = 3 2 0 - 1, В = - 1 1 0 2

А В = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (-1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Відповідь: А В = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

1-й курс, вища математика, вивчаємо матриціта основні дії над ними. Тут ми систематизуємо основні операції, які можна проводити із матрицями. З чого почати знайомство із матрицями? Звичайно, з найпростішого – визначень, основних понять та найпростіших операцій. Запевняємо, матриці зрозуміють усі, хто приділить їм хоч трохи часу!

Визначення матриці

Матриця- Це прямокутна таблиця елементів. Ну а якщо простою мовою- Таблиця чисел.

Зазвичай матриці позначаються великими латинськими літерами. Наприклад, матриця A , матриця B і так далі. Матриці можуть бути різного розміру: прямокутні, квадратні, також є матриці-рядки та матриці-стовпці, які називають векторами. Розмір матриці визначається кількістю рядків та стовпців. Наприклад, запишемо прямокутну матрицю розміру m на n , де m – кількість рядків, а n - Кількість стовпців.

Елементи, для яких i=j (a11, a22, .. ) утворюють головну діагональ матриці, і називаються діагональними.

Що можна робити із матрицями? Складати/віднімати, множити на число, множити між собою, транспонувати. Тепер про всі ці основні операції над матрицями по порядку.

Операції складання та віднімання матриць

Відразу попередимо, що можна складати лише матриці однакового розміру. В результаті вийде матриця того самого розміру. Складати (або віднімати) матриці просто – достатньо лише скласти їх відповідні елементи . Наведемо приклад. Виконаємо складання двох матриць A і розміром два на два.

Віднімання виконується за аналогією, тільки з протилежним знаком.

На довільне число можна помножити будь-яку матрицю. Щоб зробити це, потрібно помножити на це число кожен її елемент. Наприклад, помножимо матрицю A з першого прикладу на число 5:

Операція множення матриць

Перемножити між собою вдасться в повному обсязі матриці. Наприклад, у нас є дві матриці - A і B. Їх можна помножити одна на одну тільки в тому випадку, якщо число стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В. При цьому кожен елемент матриці, що стоїть в i-му рядку і j-му стовпці, буде дорівнює сумі творів відповідних елементів в i-му рядку першого множника і j-му стовпці другого. Щоб зрозуміти цей алгоритм, запишемо, як множаться дві квадратні матриці:

І приклад із реальними числами. Помножимо матриці:

Операція транспонування матриці

Транспонування матриці – це операція, коли відповідні рядки та стовпці змінюються місцями. Наприклад, транспонуємо матрицю A з першого прикладу:

Визначник матриці

Визначник, про детермінант – одне з основних понять лінійної алгебри. Колись люди вигадали лінійні рівняння, а за ними довелося вигадати і визначник. У результаті, розбиратися з усім цим доведеться вам, так що останній ривок!

Визначник – це чисельна характеристика квадратної матриці, яка потрібна на вирішення багатьох завдань.
Щоб порахувати визначник найпростішої квадратної матриці, потрібно обчислити різницю творів елементів головної та побічної діагоналей.

Визначник матриці першого порядку, тобто що складається з одного елемента, дорівнює цьому елементу.

А якщо матриця три на три? Тут уже складніше, але можна впоратися.

Для такої матриці значення визначника дорівнює сумі творів елементів головної діагоналі і творів елементів, що лежать на трикутниках з гранню паралельної головної діагоналі, від якої віднімається добуток елементів побічної діагоналі і добуток елементів, що лежать на трикутниках з гранню паралельної побічної діагоналі.

На щастя, обчислювати визначники матриць великих розмірів практично доводиться рідко.

Тут ми розглянули основні операції з матрицями. Звичайно, в реальному житті можна жодного разу так і не зустріти навіть натяку на матричну систему рівнянь або навпаки - зіткнутися з набагато складнішими випадками, коли доведеться дійсно поламати голову. Саме для таких випадків і існує професійний студентський сервіс. Звертайтеся за допомогою, отримуйте якісне та докладне рішення, насолоджуйтесь успіхами у навчанні та вільним часом.

Отже, у попередньому уроці ми розібрали правила складання та віднімання матриць. Це настільки прості операції, що більшість студентів розуміють їх буквально відразу.

Однак ви рано радієте. Халява закінчилася - переходимо до множення. Відразу попереджу: помножити дві матриці - це зовсім не перемножити числа, що стоять у клітинах з однаковими координатами, як би ви могли подумати. Тут все набагато веселіше. І почати доведеться з попередніх визначень.

Узгоджені матриці

Одна з найважливіших показників матриці - це її розмір. Ми вже сто разів говорили про це: запис $A = \ left [m \ times n \ right] $ означає, що в матриці рівно $ m $ рядків і $ n $ стовпців. Як не плутати рядки зі стовпцями, ми також вже обговорювали. Зараз важливе інше.

Визначення. Матриці виду $A = \ left [m \ times n \ right] $ і $ B = \ left [n \ times k \ right] $, в яких кількість стовпців у першій матриці збігається з кількістю рядків у другій, називаються узгодженими.

Ще раз: кількість стовпців у першій матриці дорівнює кількості рядків у другій! Звідси отримуємо одразу два висновки:

1. Нам важливий порядок матриць. Наприклад, матриці $A=\left[ 3\times 2 \right]$ і $B=\left[ 2\times 5 \right]$ є узгодженими (2 стовпці в першій матриці і 2 рядки в другій), а ось навпаки - матриці $ B = \ left [2 \ times 5 \ right] $ і $ A = \ left [3 \ times 2 \ right] $ - вже не узгоджені (5 стовпців в першій матриці - це як би не 3 рядки в другій ).
2. Узгодженість легко перевірити, якщо виписати всі розміри один за одним. На прикладі попереднього пункту: «3 2 2 5» — посередині однакові числа, тому матриці узгоджені. А ось «2 5 3 2» — не узгоджені, оскільки всередині різні числа.

Крім того, капітан очевидність натякає, що квадратні матриці однакового розміру $ \ left [n \ times n \ right] $ узгоджені завжди.

У математиці, коли важливим є порядок перерахування об'єктів (наприклад, у розглянутому вище визначенні важливий порядок матриць), часто говорять про впорядковані пари. Ми зустрічалися з ними ще в школі: думаю, і їжу зрозуміло, що координати $ \ left (1; 0 \ right) $ і $ \ left (0; 1 \ right) $ задають різні точки на площині.

Так ось: координати - це теж упорядковані пари, які складаються з чисел. Але ніщо не заважає скласти таку пару із матриць. Тоді можна буде сказати: «Упорядкована пара матриць $\left(A;B \right)$ є узгодженою, якщо кількість стовпців у першій матриці збігається з кількістю рядків у другій».

Ну, і що з того?

Визначення множення

Розглянемо дві узгоджені матриці: $ A = \ left [m \ times n \ right] $ і $ B = \ left [n \ times k \ right] $. І визначимо їм операцію множення.

Визначення. Твір двох узгоджених матриць $A=\left[m\times n\right]$ і $B=\left[n\times k \right]$ - це нова матриця $C=\left[m\times k \right] $, елементи якої вважаються за формулою:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Позначається такий твір стандартно: $ C = A \ cdot B $.

У тих, хто вперше бачить це визначення, одразу виникає два питання:

1. Що це за люта дичина?
2. А чому так складно?

Що ж, про все по порядку. Почнемо з першого питання. Що означають усі ці індекси? І як не помилитися під час роботи з реальними матрицями?

Насамперед зауважимо, що довгий рядок для розрахунку $((c)_(i;j))$ (спеціально поставив крапку з комою між індексами, щоб не заплутатися, але взагалі їх ставити не треба — я сам задовбався набирати формулу у визначенні) насправді зводиться до простого правила:

1. Беремо $i$-й рядок у першій матриці;
2. Беремо $j$-й стовпець у другій матриці;
3. Отримуємо дві послідовності чисел. Перемножуємо елементи цих послідовностей з однаковими номерами, потім складаємо отримані твори.

Цей процес легко зрозуміти по картинці:

Схема перемноження двох матриць

Ще раз: фіксуємо рядок $i$ у першій матриці, стовпець $j$ у другій матриці, перемножуємо елементи з однаковими номерами, а потім отримані твори складаємо – отримуємо $((c)_(ij))$. І так для всіх $1\le i\le m$ і $1\le j\le k$. Тобто. всього $m\times k$ таких «збочень».

Насправді ми вже зустрічалися з перемноженням матриць у шкільній програмі, лише у сильно урізаному вигляді. Нехай дані вектора:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \end(align)\]

Тоді їх скалярним твором буде саме сума попарних творів:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

По суті, в ті далекі роки, коли дерева були зеленішими, а небо яскравішими, ми просто множили вектор-рядок $\overrightarrow(a)$ на вектор-стовпець $\overrightarrow(b)$.

Сьогодні нічого не змінилося. Просто тепер цих векторів-рядків та стовпців побільшало.

Але вистачить теорії! Погляньмо на реальні приклади. І почнемо з найпростішого випадку – квадратних матриць.

Розмноження квадратних матриць

Завдання 1. Виконайте множення:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\]

Рішення. Отже, у нас дві матриці: $ A = \ left [2 \ times 2 \ right] $ і $ B = \ left [2 \ times 2 \ right] $. Зрозуміло, що вони узгоджені (квадратні матриці однакового розміру завжди узгоджені). Тому виконуємо множення:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \-3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ end(array) \right]. \end(align)\]

От і все!

Відповідь: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

Завдання 2. Виконайте множення:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\end(array) \right]\]

Рішення. Знову узгоджені матриці, тому виконуємо дії: [[]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ left(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6\ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right] . \end(align)\]

Як бачимо, вийшла матриця, заповнена нулями

Відповідь: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

З наведених прикладів очевидно, що множення матриць — не така вже й складна операція. Принаймні квадратних матриць розміру 2 на 2.

У процесі обчислень ми склали проміжну матрицю, де прямо розписали, які числа входять у той чи інший осередок. Саме так і слід робити під час вирішення справжніх завдань.

Основні властивості матричного твору

У двох словах. Розмноження матриць:

1. Некоммутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$ у загальному випадку. Бувають, звичайно, особливі матриці, для яких рівність $A cdot B = B cdot A $ (наприклад, якщо $ B = E $ - одиничної матриці), але в більшості випадків це не працює;
2. Асоціативно: $ \ left (A \ cdot B \ right) \ cdot C = A \ cdot \ left (B \ cdot C \ right) $. Тут без варіантів: матриці, що стоять поруч, можна перемножувати, не переживаючи за те, що стоїть лівіше і правіше цих двох матриць.
3. Дистрибутивно: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ і $\left(A+B \right)\cdot C=Acdot C+Bcdot C $ (через некомутативність твору доводиться окремо прописувати дистрибутивність праворуч і ліворуч.

А тепер все те ж саме, але більш докладно.

Множення матриць багато в чому нагадує класичне множення чисел. Але є відмінності, найважливіша з яких полягає в тому, що множення матриць, взагалі кажучи, некомутативно.

Розглянемо ще раз матриці із завдання 1. Прямий їхній твір ми вже знаємо:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]\]

Але якщо змінити матриці місцями, то отримаємо зовсім інший результат:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\end(array) \right]=\left[ \begin(matrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\end(matrix ) \right]\]

Виходить, що $A\cdot B\ne B\cdot A$. Крім того, операція множення визначена тільки для узгоджених матриць $A=\left[ m\times n \right]$ і $B=\left[ n\times k \right]$, але ніхто не гарантував, що вони залишаться узгодженими, якщо їх поміняти місцями. Наприклад, матриці $\left[ 2\times 3 \right]$ і $\left[ 3\times 5 \right]$ цілком узгоджені у вказаному порядку, але ті ж матриці $\left[ 3\times 5 \right] $ і $\left[ 2\times 3 \right]$, записані в зворотному порядку, вже не узгоджені. Печаль.:(

Серед квадратних матриць заданого розміру $n$ завжди знайдуться такі, які дають однаковий результат як за перемноженні у прямому, і у зворотному порядку. Як описати всі подібні матриці (і скільки їх взагалі) – тема для окремого уроку. Сьогодні не будемо про це.

Тим не менш, множення матриць асоціативно:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Отже, коли вам треба перемножити відразу кілька матриць поспіль, зовсім необов'язково робити це напролом: цілком можливо, що деякі матриці, що поряд стоять, при перемноженні дають цікавий результат. Наприклад, нульову матрицю, як у Задачі 2, розглянутої вище.

У реальних завданнях найчастіше доводиться перемножувати квадратні матриці розміру $ \ left [n \ times n \right] $. Безліч всіх таких матриць позначається $((M)^(n))$ (тобто записи $A=\left[ n\times n \right]$ і \ означають те саме), і в ньому обов'язково знайдеться матриця $E$, яку називають одиничною.

Визначення. Одинична матриця розміру $ n $ - це така матриця $ E $, що для будь-якої квадратної матриці $ A = \ left [n \ times n \ right] $ виконується рівність:

Така матриця завжди виглядає однаково: на головній діагоналі її стоять одиниці, а в решті всіх клітин — нулі.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

Іншими словами, якщо потрібно помножити одну матрицю на суму двох інших, то можна помножити її на кожну з цих двох інших, а потім результати скласти. На практиці зазвичай доводиться виконувати зворотну операцію: помічаємо однакову матрицю, виносимо її за дужку, виконуємо додавання і тим самим спрощуємо собі життя.

Зауважте: для опису дистрибутивності нам довелося прописати дві формули: де сума коштує у другому множнику та де сума коштує у першому. Це відбувається саме через те, що множення матриць некоммутативно (і взагалі, в некомутативній алгебрі купа всяких приколів, які при роботі зі звичайними числами навіть не спадають на думку). І якщо, припустимо, вам на іспиті потрібно буде розписати цю властивість, то обов'язково пишіть обидві формули, інакше препод може трохи роздратуватися.

Гаразд, все це були казки про квадратні матриці. А що щодо прямокутних?

Випадок прямокутних матриць

А нічого — те саме, що й з квадратними.

Завдання 3. Виконайте множення:

\[\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\end(matrix) \ \\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]\]

Рішення. Маємо дві матриці: $ A = \ left [3 \ times 2 \ right] $ і $ B = \ left [2 \ times 2 \ right] $. Випишемо числа, що позначають розміри, до ряду:

Як бачимо, центральні два числа збігаються. Значить, матриці узгоджені і їх можна перемножити. Причому на виході ми отримаємо матрицю $C=\left[3\times 2\right]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrix) \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(array) \right]. \end(align)\]

Все чітко: у підсумковій матриці 3 рядки та 2 стовпці. Цілком собі $ = \ left [3 \ times 2 \ right] $.

Відповідь: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matrix) 41 \\ 30 \\ 19 \\end(matrix) \\end(array) \right]$.

Зараз розглянемо одне з найкращих тренувальних завдань для тих, хто тільки-но починає працювати з матрицями. У ньому потрібно не просто перемножити якісь дві таблички, а спочатку визначити: чи допустиме таке множення?

Завдання 4. Знайдіть усі можливі попарні твори матриць:

\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matrix) \\\end(matrix) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Рішення. Для початку запишемо розміри матриць:

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

Отримуємо, що матрицю $A$ можна узгодити лише з матрицею $B$, оскільки кількість стовпців $A$ дорівнює 4, а така кількість рядків тільки $B$. Отже, можемо знайти твір:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\end(array) \right]=\ left[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]

Проміжні кроки пропоную виконати читачеві самостійно. Зауважу лише, що розмір результуючої матриці краще визначати заздалегідь, ще до якихось обчислень:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Іншими словами, ми просто прибираємо "транзитні" коефіцієнти, які забезпечували узгодженість матриць.

Які можливі варіанти? Безумовно, можна знайти $B\cdot A$, оскільки $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, тому впорядкована пара $\left(B ;A \right)$ є узгодженою, а розмірність твору буде:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

Коротше кажучи, на виході буде матриця $\left[4\times4\right]$, коефіцієнти якої легко вважаються:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\end(array) \right]\]

Очевидно, можна узгодити ще $ Ccdot A $ і $ B cdot C $ - і все. Тому просто запишемо отримані твори:

Це було легко.:)

Відповідь: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\end(array) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

Взагалі дуже рекомендую виконати це завдання самостійно. І ще одне аналогічне завдання, яке є у домашній роботі. Ці прості, на перший погляд, роздуми допоможуть вам відпрацювати всі ключові етапи множення матриць.

Але на цьому історія не закінчується. Переходимо до окремих випадків множення.:)

Векторні рядки та векторні стовпці

Однією з найпоширеніших матричних операцій є множення на матрицю, в якій один рядок або один стовпець.

Визначення. Вектор-стовпець - це матриця розміру $ \ left [m \ times 1 \ right] $, тобто. що складається з кількох рядків і лише одного стовпця.

Вектор-рядок - це матриця розміру $ \ left [1 \ times n \ right] $, тобто. що складається з одного рядка та кількох стовпців.

Насправді ми вже зустрічалися із цими об'єктами. Наприклад, звичайний тривимірний вектор із стереометрії $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ - це не що інше як вектор-рядок. З погляду теорії різниці між рядками та стовпцями майже немає. Уважними треба бути хіба що при узгодженні з навколишніми матрицями-множниками.

Завдання 5. Виконайте множення:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

Рішення. Перед нами твір узгоджених матриць: $ \ left [3 \ times 3 \ right] \ cdot \ left [3 \ times 1 \ right] = \ left [3 \ times 1 \ right] $. Знайдемо цей твір:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \-1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\end(array) \right]\]

Відповідь: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Завдання 6. Виконайте множення:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]\]

Рішення. Знову все узгоджено: $\left[1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Вважаємо твір:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( r))5 & -19 & 5 \\\end(array) \right]\]

Відповідь: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

Як бачите, при множенні вектор-рядки та вектор-стовпчика на квадратну матрицю на виході ми завжди отримуємо рядок або стовпець того ж розміру. Цей факт має безліч додатків – від рішення лінійних рівняньдо різноманітних перетворень координат (які в результаті теж зводяться до систем рівнянь, але не будемо про сумне).

Думаю, тут було очевидно. Переходимо до завершальної частини сьогоднішнього уроку.

Зведення матриці до ступеня

Серед усіх операцій множення окремої уваги заслуговує зведення у ступінь — це коли ми кілька разів множимо один і той самий об'єкт на самого себе. Матриці - не виняток, їх теж можна зводити в різні ступені.

Такі твори завжди узгоджені:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

І позначаються так само, як і звичайні ступені:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \& A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(align)\]

На перший погляд все просто. Подивимося, як це виглядає на практиці:

Завдання 7. Зведіть матрицю у вказаний ступінь:

$((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

Рішення. Ну, ОК, давайте зводити. Спочатку зведемо у квадрат:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\end(matrix) \right]= \\ & = \ left [ \ begin (array) (* (35) (r)) 1 \ cdot 1 + 1 \ cdot 0 & 1 \ cdot 1 + 1 \ cdot 1 \ 0 \ cdot 1 +1 \ cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(array) \right] \end(align)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right] \end(align)\]

От і все.:)

Відповідь: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Завдання 8. Зведіть матрицю у вказаний ступінь:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))\]

Рішення. Ось тільки не треба зараз плакати з приводу того, що «ступінь занадто великий», «світ не справедливий» і «виклади берега зовсім втратили». Насправді все легко:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\end(matrix) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\end(matrix) \right] \end(align)\ ]

Зауважте: у другому рядку ми використовували асоціативність множення. Власне, ми використовували її й у попередньому завданні, але це було неявно.

Відповідь: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Як бачите, нічого складного у зведенні матриці немає. Останній приклад можна узагальнити:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Це легко довести через математичну індукцію чи прямим перемноженням. Однак далеко не завжди при зведенні в ступінь можна виловити такі закономірності. Тому будьте уважні: часто перемножити кілька матриць «напролом» виявляється простіше і швидше, ніж шукати якісь там закономірності.

Загалом, не шукайте найвищого сенсу там, де його немає. На закінчення розглянемо зведення у ступінь матриці більшого розміру- аж $ \ left [3 \ times 3 \ right] $.

Завдання 9. Зведіть матрицю у вказаний ступінь:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

Рішення. Не шукатимемо закономірності. Працюємо «напролом»:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matrix)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\]

Для початку зведемо цю матрицю у квадрат:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Тепер зведемо в куб:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin( array)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

От і все. Завдання вирішено.

Відповідь: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

Як бачите, обсяг обчислень став більшим, але сенс від цього анітрохи не змінився.

На цьому урок можна закінчувати. Наступного разу ми розглянемо зворотну операцію: за твором будемо шукати вихідні множники.

Як ви вже, напевно, здогадалися, мова піде про зворотну матрицю та методи її знаходження.

Визначення.Добутком двох матриць Аі Уназивається матриця З, елемент якої перебуває на перетині i-й рядки та j-го стовпця, дорівнює сумі творів елементів i-й рядка матриці Ана відповідні (по порядку) елементи j-го стовпця матриці У.

З цього визначення випливає формула елемента матриці C:

Твір матриці Ана матрицю Упозначається АВ.

приклад 1.Знайти твір двох матриць Аі B, якщо

,

.

Рішення. Зручне знаходження твору двох матриць Аі Узаписувати так, як на рис.2:

На схемі сірі стрілки показують, елементи якого рядка матриці Ана елементи якого стовпця матриці Употрібно перемножити для отримання елементів матриці З, а лініями кольору елемента матриці Cз'єднані відповідні елементи матриць Aі B, твори яких складаються для отримання елемента матриці C.

В результаті отримуємо елементи добутку матриць:

Тепер у нас є все, щоб записати твір двох матриць:

.

Добуток двох матриць АВмає сенс лише у тому випадку, коли число стовпців матриці Азбігається з числом рядків матриці У.

Цю важливу особливість буде легше запам'ятати, якщо частіше скористатися такими пам'ятками:

Має місце ще одна важлива особливість добутку матриць щодо числа рядків та стовпців:

У творі матриць АВчисло рядків дорівнює числу рядків матриці А, а число стовпців дорівнює числу стовпців матриці У .

приклад 2.Знайти число рядків та стовпців матриці Cяка є твором двох матриць Aі Bнаступних розмірностей:

а) 2 Х 10 та 10 Х 5;

б) 10 Х 2 та 2 Х 5;

приклад 3.Знайти добуток матриць Aі B, якщо:

.

A B- 2. Отже, розмірність матриці C = AB- 2 X 2.

Обчислюємо елементи матриці C = AB.

Знайдене твір матриць: .

Перевірити вирішення цієї та інших подібних завдань можна на калькуляторі твори матриць онлайн .

Приклад 5.Знайти добуток матриць Aі B, якщо:

.

Рішення. Число рядків у матриці A- 2, число стовпців у матриці B C = AB- 2 X 1.

Обчислюємо елементи матриці C = AB.

Добуток матриць запишеться у вигляді матриці-стовпця: .

Перевірити вирішення цієї та інших подібних завдань можна на калькуляторі твори матриць онлайн .

Приклад 6.Знайти добуток матриць Aі B, якщо:

.

Рішення. Число рядків у матриці A- 3, число стовпців у матриці B- 3. Отже, розмірність матриці C = AB- 3 X3.

Обчислюємо елементи матриці C = AB.

Знайдений твір матриць: .

Перевірити вирішення цієї та інших подібних завдань можна на калькуляторі твори матриць онлайн .

Приклад 7.Знайти добуток матриць Aі B, якщо:

.

Рішення. Число рядків у матриці A- 1, число стовпців у матриці B- 1. Отже, розмірність матриці C = AB- 1 X 1.

Обчислюємо елемент матриці C = AB.

Добуток матриць є матрицею з одного елемента: .

Перевірити вирішення цієї та інших подібних завдань можна на калькуляторі твори матриць онлайн .

Програмна реалізація твору двох матриць на З++ розібрано у відповідній статті у блоці "Комп'ютери та програмування".

Зведення матриці до ступеня

Зведення матриці в ступінь визначається як множення матриці на ту саму матрицю. Так як добуток матриць існує тільки тоді, коли число стовпців першої матриці збігається з числом рядків другої матриці, зводити в ступінь можна тільки квадратні матриці. n-а ступінь матриці шляхом множення матриці на саму себе nразів:

Приклад 8.Дано матрицю. Знайти A² та A³ .

Знайти добуток матриць самостійно, а потім переглянути рішення

Приклад 9.Дано матрицю

Знайти добуток даної матриці та транспонованої матриці , добуток транспонованої матриці та даної матриці.

Властивості добутку двох матриць

Властивість 1. Твір будь-якої матриці на одиничну матрицю Е відповідного порядку як справа, і зліва, збігається з матрицею А, тобто. АЕ = ЕА = А.

Іншими словами, роль одиничної матриці при множенні матриць така сама, як і одиниці при множенні чисел.

приклад 10.Переконатися у справедливості якості 1, знайшовши твори матриці

на одиничну матрицю праворуч та ліворуч.

Рішення. Оскільки матриця Амістить три стовпці, то потрібно знайти твір АЕ, де

-
поодинока матриця третього порядку. Знайдемо елементи твору З = АЕ :

Виходить що АЕ = А .

Тепер знайдемо твір ЕА, де Е- Поодинока матриця другого порядку, так як матриця А містить два рядки. Знайдемо елементи твору З = ЕА :