Tingnan ang matrix ng yoga ng kapangyarihan. Mga matrice. Ilipat sa mga matrice. Pangingibabaw ng mga operasyon sa mga matrice. Tingnan ang matrix. Mga operasyon ng natitiklop at visualization ng mga matrice
Mga matrice. Ilipat sa mga matrice. Pangingibabaw ng mga operasyon sa mga matrice. Tingnan ang matrix.
Mga matrice ay maaaring isang mahalagang halaga sa inilapat na matematika, na pinapayagang isulat sa isang simpleng anyo ng isang makabuluhang bahagi mga modelo ng matematika mga bagay at proseso. Ang terminong "matrix" ay lumitaw noong 1850. Noong nakaraan, ang mga matrice ay nahulaan sa sinaunang Tsina, nang maglaon sa mga Arabic mathematician.
Matrix A=Amn order m * n ay tinatawag na rectilinear table ng mga numero.
Mga elemento ng matrix aij , kung saan ang i=j ay tinatawag na dayagonal i pangunahing dayagonal.
Para sa isang square matrix (m=n), ang head diagonal ay binubuo ng mga elemento a 11 , a 22 ,..., a nn .
Rivnist matrice.
A=B ang pagkakasunod-sunod lang ng matrices Aі B gayunpaman, iyon a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)
Ilipat sa mga matrice.
1. Pagdaragdag ng mga matrice - elemento-by-element na operasyon
2. Pagtingin sa mga matrice - pagpapatakbo ng elemento-by-element
3. Ang pagdaragdag ng matrix sa isang numero ay isang elemento-by-element na operasyon
4. Maramihan A*B matrix ayon sa panuntunan hilera sa itaas(ang bilang ng mga column sa matrix A ay maaaring katumbas ng bilang ng mga row sa matrix B)
Amk * Bkn = Cmn bakit ang elemento ng balat h ij matrice Cmn idagdag ang kabuuan ng mga elemento ng i-th row ng matrix A at ang iba pang elemento ng j-th column ng matrix B, tobto.
Ipakita natin ang operasyon ng multiplying matrices sa halimbawa
5. Mga link sa paanan
m>1 cell petsa. Ang A ay isang square matrix (m=n) tobto. may kaugnayan para sa mga square matrice
6. Matrix transposition A. Ang isang transposed matrix ay tinutukoy ng A T o A
Ang mga row at column ay ginunita ng mga misyon
puwit
Kapangyarihan ng mga operasyon sa mga matrice
(A+B)+C=A+(B+C)
λ(A+B)=λA+λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
(λA)"=λ(A)"
(A+B)"=A"+B"
(AB)"=B"A"
Vidi matrices
1. Parihaba: mі n- medyo positibong mga numero
2. Square: m=n
3. Matrix row: m=1. Halimbawa, (1 3 5 7) - para sa maraming praktikal na gawain, ang naturang matrix ay tinatawag na vector.
4. Matrix Stovpets: n=1. Halimbawa
5. Diagonal matrix: m=nі isang ij = 0, gusto i≠j. Halimbawa
6. Nag-iisang matrix: m=nі
7. Zero matrix: a ij =0, i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
8. Tricot matrix: lahat ng elemento sa ibaba ng headline diagonal ay nagdaragdag ng hanggang 0.
9. Symmetric matrix: m=nі a ij = isang ji(upang tumayo ng pantay na mga elemento sa simetriko na mga diagonal ng ulo), at gayundin A"=A
Halimbawa,
10. Skew matrix: m=nі a ij =-a ji(Iyon ang dahilan kung bakit sa simetriko pangunahing mga diagonal mayroong mga elemento ng protilene). Gayundin, sa head diagonal stand zeros (dahil sa i=j siguro a ii =-a ii)
Naintindihan ko A"=-A
11. Hermitian matrix: m=nі a ii =-ã ii (ã ji- kumplikado - natanggap hanggang sa isang ji, pagkatapos. yakscho A=3+2i, pagkatapos ay kumplikado - nakuha Ã=3-2i)
Pinuno ng Linear Algebra. Konsepto ng matrix. Tingnan ang matrix. Mga operasyon na may mga matrice. Razv'yazannya mga gawain para sa pagbabago ng matrices.
Sa kaso ng iba't ibang mga gawain ng matematika, ang ina ay madalas na dinadala sa kanan na may mga talahanayan ng mga numero, na tinatawag na matrices. Para sa karagdagang mga matrice, manu-manong rebisahin ang sistema ng mga linear alignment, rebisahin ang mga rich operations gamit ang mga vector, rebisahin ang iba't ibang gawain ng computer graphics at iba pang mga gawain sa engineering.
Matrix ang tawag rectilinear table ng mga numero, kung ano ang paghihiganti sa sprat m ryadkіv ta deyaka kіlkіst P stoptsiv. Numero tі P ay tinatawag na matrix order. Kasabay nito t = P, ang matrix ay tinatawag na parisukat, at ang numero m = n-її sa pagkakasunud-sunod.
Si Nadal para sa pagtatala ng mga matrice ay haharangin alinman sa pamamagitan ng mga dobleng tagaytay, o ng mga bilog na arko:
Abo 
Para sa isang maikling halaga ng matrix, madalas kang gumamit ng isang malaking Latin na letra (halimbawa, A), o ang simbolo || isang ij ||, at kung minsan ay may mga paliwanag ng mga rosas: PERO = || isang ij || = (aij), de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n).
Numero aij , na pumapasok sa bodega ng isang ibinigay na matrix, ay tinatawag na mga elemento ng її. Sa poste aij unang index і nangangahulugang ang numero ng hilera, at ang iba pang index j- Numero ng istasyon. Sa isang parisukat na matrix
(1.1)
ipakilala ang mga konsepto ng head at side diagonal. Ang head diagonal ng matrix (1.1) ay tinatawag na diagonal isang 11 at 12 … ann kung ano ang napupunta mula sa itaas na kaliwang sulok ng matrix hanggang sa kanang sulok sa ibaba ng matrix. Ang gilid na dayagonal ng parehong matrix ay tinatawag na dayagonal a n 1 a (n -1) 2… a 1 n , sho go from the left lower kut to the right upper kut.
Ang mga pangunahing operasyon sa mga matrice ay yaong ng kapangyarihan.
Lumipat tayo sa kahulugan ng mga pangunahing operasyon sa mga matrice.
Pagdaragdag ng mga matrice. Sumy dalawang matrice A = | isang ij || , de і B = | | b ij || , de (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n) isa at parehong pagkakasunud-sunod tі P tinatawag na matrix C = || h ij || (i = 1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n) tahimik na ayos tі P, mga elemento h ij na itinalaga sa formula
, de (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.2)
Upang maunawaan ang kabuuan ng dalawang matrice, isang talaan ang ginawa Z \u003d A + U. Ang operasyon ng pagtitiklop ng kabuuan ng mga matrice ay tinatawag na kanilang pagtitiklop. Otzhe, para sa hinirang:
+ 
= 
Mula sa pagtatalaga ng kabuuan ng mga matrice, o sa halip mula sa mga formula (1.2), ipinahiwatig na ang pagpapatakbo ng mga natitiklop na matrice ay maaaring magkaroon ng kapangyarihan, na ang pagpapatakbo ng natitiklop na mga tunay na numero, at mismo:
1) paglilipat ng awtoridad: A + B = B + A,
2) na may magandang kapangyarihan: ( A + B) + C = A + (B + C).
Hindi pinapayagan ng mga awtoridad ng Tsі ang dbati tungkol sa pagkakasunud-sunod ng pagpasa ng mga karagdagang matrice kapag natitiklop ang dalawa o mas malaking bilang matrice.
Pagpaparami ng matrix sa isang numero. Karagdagang matrix A = || isang ij || , De (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) sa pagsasalita ang bilang l ay tinatawag na matrix Z = | | h ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n) mga elemento na itinalaga sa formula:
, de (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.3)
Para sa pagkilala sa paglikha ng matrix para sa numero, isang talaan ang ginawa Z \u003d l A o Z \u003d A l. Ang operasyon ng pagdaragdag ng paglikha ng isang matrix sa isang numero ay tinatawag na pagpaparami ng numero ng matrix.
Malinaw mula sa formula (1.3) na ang pagpaparami ng isang matrix sa isang numero ay maaaring magkaroon ng parehong kapangyarihan:
1) na may mahusay na kapangyarihan tulad ng isang numerical multiplier: (l m) A = l (m A);
2) rozpodіlnoyu power shkodo sum matrices: l (A + B) = l A + l B;
3) rozpodіlnoyu kapangyarihan shkodo sumi numero: (l + m) A = l A + m A
Paggalang. Magtitingi ng dalawang matrice PEROі Sa ang parehong pagkakasunud-sunod tі P natural na tawag sa gayong matris W tahimik na ayos tі P, yak u sumі z matrix B nagbibigay ng matrix A. Upang matukoy ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang matrice, isang natural na tala ang ginagamit: W = A - Art.
Madaling malito sa kung ano ang naiiba W dalawang matrice PEROі Sa siguro buti otrimana for the rule C \u003d A + (-1) B.
TV matrix o pagpaparami ng matrix.
Dobootcom Matrix A = | isang ij || de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) maє order, vіdpovіdno katumbas tі n, sa matrix B = | | b ij || , de (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., p), maє order, vіdpovіdno katumbas nі R, tinatawag na matrix Z = | | h ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), scho maє order, vіdpovіdno katumbas tі R mga elemento na itinalaga sa formula:
de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)
Para sa kaalaman sa paglikha ng matrix PERO sa matrix Sa vicorist record C = A × B. Matrix na natitiklop na operasyon PERO sa matrix Sa ay tinatawag na multiplication of matrices.
Mula sa formulated vishche vznachennya viplivaє na matrix A ay maaaring i-multiply hindi sa isang matrix, ito ay kinakailangan, schob bilang ng mga haligi ng matrix PERO higit sa bilang ng mga hilera sa matrix Art.
Ang formula (1.4) ay ang panuntunan ng pagtitiklop ng mga elemento ng matrix C, na siyang paglikha ng matrix PERO sa matrix Art. Ang panuntunang ito ay maaaring mabalangkas sa salita: elemento c i j, na nakatayo sa intersection ng ith row at j-th column ng matrix C = AB, ay nagdaragdag ng kabuuan ng pairwise creations ng parehong elemento sa ith row ng matrix A at ang j-th column ng matris B.
Bilang halimbawa ng pagtatakda ng itinalagang panuntunan, ipinakilala namin ang formula para sa pagpaparami ng mga square matrice ng ibang pagkakasunud-sunod.
× = 
Ang mga formula (1.4) ay nagpapalabas ng gayong kapangyarihan sa paglikha ng matrix PERO sa matrix SA:
1) magandang kapangyarihan: (AB) C = A (BC);
2) rozpodіlna schodo sumi matrice ng kapangyarihan:
(A + B) C = AC + BC o A (B + C) = AC + AC.
Nutrisyon tungkol sa permutation (relokasyon) ng kapangyarihan sa paglikha ng matrix A sa matrix Sa magtakda ng higit na kahulugan para sa mga square matrice A at B parehong order.
Magdala tayo ng mahahalagang okremі vpadki matrice, na kung saan ay patas at permutasyon ng kapangyarihan. Dalawang matrice para sa paglikha ng mga taong rightly permutation ng kapangyarihan, ito ay kaugalian na tumawag sa commuting.
Ang gitna ng square matrices ay makikita bilang isang klase ng diagonal matrice, sa balat ng mga elementong ito, ang stitching ng posisyon ng head diagonal ay katumbas ng zero. Balat diagonal matrix sa pagkakasunud-sunod P maaaring tumingin
D= 
(1.5)
de d1, d2,… ,dn-yakі zavgodno numero. Ito ay madaling bachiti, na ang mga numero ay pantay-pantay sa kanilang mga sarili, iyon ay. d1=d2=… = d n pagkatapos ay para sa anumang square matrix PERO utos P patas ang hustisya A D = D A.
Ang gitna ng mga dayagonal na matrice (1.5) ay binubuo ng mga elemento d1=d2=… = d n = = d Ang dalawang matrice ay gumaganap ng isang partikular na mahalagang papel. Ang una sa mga matrice na ito ay lumalabas sa d=1 tinatawag na identity matrix n e. Isa pang matrix na papasukin d=0 tinatawag na zero matrix n ika-utos, ito ay tinutukoy ng simbolo Oh sa ganoong paraan,
E= 
O= 
Sa bisa ng nabanggit A E = E Aі AO = PRO A. Bukod dito, madaling ipakita iyon
A E \u003d E A \u003d A, A O \u003d O A \u003d 0. (1.6)
Ang una sa mga formula (1.6) ay nagpapakilala sa espesyal na papel ng solong matrix E, katulad ng iyong tungkulin, na parang naglalaro ng numero 1 kapag nagpaparami ng tunay na mga numero. Ano ang espesyal na papel ng zero matrix O, pagkatapos ito ay hindi lamang nagpapakita ng isang kaibigan ng mga formula (1.7), ngunit pati na rin ang pagkakapantay-pantay, na kung saan ay elementarily baligtad
A+0=0+A=A.
Sa konklusyon, magalang na ang pag-unawa sa zero matrix ay maaaring ipakilala para sa mga non-square matrice (zero ay tinatawag na be-yaku matrix, lahat ng mga elemento na katumbas ng zero).
block matrices
Sabihin natin na ang Deak matrix A = | isang ij || para sa tulong ng pahalang at patayong tuwid na mga linya, ito ay nasira sa mga okremі na straight-cut na mga selula, ang balat na may isang matrix ng mas maliit na sukat at tinatawag na isang bloke ng panlabas na matrix. Sa ganoong oras, ang dahilan ay ang kakayahang tumingin sa panlabas na matris. PERO tulad ng isang bagong (tinatawag na block) matrix PERO = || A a b ||, ang mga elemento kung saan ang mga bloke ay itinalaga. Ang mga pagtatalaga ng mga elemento ay sinasagisag ng mahusay na Latin na letra, sob subscript, kung ano ang mabaho, vzagali na tila, matrice, at hindi mga numero і (bilang pangunahing numerical na elemento) ay ibinibigay ng dalawang indeks, ang una ay nagpapahiwatig ng bilang ng block row, at ang isa pa - ang bilang ng block.
Halimbawa, matrix
maaari kang magmukhang isang block matrix
mga elemento tulad ng mga bloke na ito:
Ang kakaiba ay ang katotohanan na ang mga pangunahing operasyon na may mga block matrice ay sumusunod sa parehong mga patakaran, sa likod kung saan ang baho ay sumusunod sa pinakamahalagang mga numerical matrice, ang mga bloke ay gumaganap ng papel ng mga elemento.
Pangitain na konsepto.
Tingnan natin ang isang magandang square matrix, kahit na anong pagkakasunod-sunod P:
A= (1.7)
Sa gayong skin matrix, nag-uugnay kami ng isang solong numerical na katangian, tinatawag ko itong signifier, isang kilalang numero ng matrix.
Paano mag-order n Ang mga matrix (1.7) ay katumbas ng 1, kung gayon ang matrix na ito ay binubuo ng isang elemento a i j ay ang first-order signifier na tumutugma sa naturang matrix, tinatawag namin ang halaga ng elemento.
pagkatapos ang tanda ng ibang pagkakasunud-sunod, na nagpapakita ng gayong matris, ay tinatawag na isang numero na higit pa isang 11 a 22 - isang 12 a 21 at ipinahiwatig ng isa sa mga simbolo:
Ama, para sa hinirang
(1.9)
Ang Formula (1.9) ay ang panuntunan ng pagtitiklop ng variable sa ibang pagkakasunod-sunod pagkatapos ng mga elemento ng isang katulad na matrix. Ang verbal formulation ng panuntunang ito ay ang mga sumusunod: ang signifier ng ibang order, ang pangalawang matrix (1.8), ang mas mahal na retail na pagdaragdag ng mga elemento, na dapat tumayo sa head diagonal ng matrix, at ang pagdaragdag ng mga elemento, na kung saan dapat tumayo sa pangalawang dayagonal. Ang mga pinuno ng iba at mas mataas na pagkakasunud-sunod ay alam ang isang malawak na zastosuvannya sa oras ng pagiging perpekto ng mga sistema ng mga linear na linya.
Tingnan natin, kung paano kumindat mga operasyon na may mga matrice sa MathCad system . Ang pinakasimpleng operasyon ng matrix algebra ay ipinatupad ng MathCad bilang mga operator. Ang pagsulat ng mga operator sa likod ng mga eksena ay mas malapit hangga't maaari sa orihinal na mathematical function. Ang skin operator ay ipinahayag sa parehong karakter. Tingnan natin ang matrix at vector operations ng MathCad 2001. n x 1, Samakatuwid, ang lahat ng mga operasyon ay may bisa para sa kanila, tulad ng para sa mga matrice, na hindi partikular na puspos (halimbawa, ang mga naturang operasyon ay limitado lamang sa mga square matrice) n x n). Ang Yakіs dії ay tinatanggap lamang para sa mga vectors (halimbawa, scalar twir), at yakіs, anuman ang parehong pagsulat, sa ibang paraan sa mga vector at matrice.
Para sa dialog, tukuyin ang bilang ng mga row at column ng matrix.
q Kapag ang OK na buton ay pinindot, isang field para sa pagpasok ng mga elemento ng matrix ay ipapakita. Upang magpasok ng elemento ng matrix, ilagay ang cursor sa pagtatalaga ng posisyon at ilagay ang numero o bilang ng beses mula sa keyboard.
Upang ma-vikonate bilang isang operasyon para sa isang karagdagang toolbar, kailangan mo:
q tingnan ang matrix at mag-click sa panel sa pindutan ng operasyon,
q o mag-click sa pindutan sa panel at ilagay ang pangalan ng matrix sa posisyon ng halaga.
Ang menu na "Mga Simbolo" ay may tatlong operasyon - transposisyon, pagbabaligtad, osileytor.
Ang ibig sabihin ng Tse, halimbawa, na maaari mong kalkulahin ang index ng matrix sa pamamagitan ng pag-type ng command Mga Simbolo/Matrice/Lagda.
Ang bilang ng unang hilera (i ng unang hanay) ng MathCAD matrix ay kinuha mula sa pagbabago ORIGIN. Para sa mga promosyon, ang bill ay isinasagawa mula sa zero. Sa mathematical notation, kadalasang kaugalian na panatilihin ang halaga ng entry na 1. Sa MathCAD, ang bilang ng mga row at column ng entry ay 1, kinakailangang itakda ang halaga ng pagbabago ORIGIN:=1.
Ang mga function na itinalaga sa mga robot mula sa Linear Algebra routines ay pinili sa seksyong "Vectors and Matrices" ng dialog na "Insert Function" (siguro, na-click ito ng button sa panel na "Standards"). Ang mga pangunahing tungkulin ng mga ito ay ilalarawan sa ibaba.
Transposisyon
|
Ang MathCAD ay maaaring magdagdag ng mga matrice, upang makita mo ang mga ito nang paisa-isa. Para sa mga operator na ito, iginuhit ang mga simbolo <+> o <-> malinaw naman. Matrices dahil sa ina ng parehong kapayapaan, kung hindi, makikita mo ang isang paalala tungkol sa pagpapatawad. Ang elemento ng balat ay ang kabuuan ng dalawang matrice at ang kabuuan ng iba pang mga elemento ng matrice-additions (butt sa Fig. 3).
Matrix folding, sinusuportahan ng MathCAD ang operasyon ng pagdaragdag ng matrix na may scalar value, tobto. numero (butt fig. 4). Ang elemento ng balat ng nagresultang matrix ay katumbas ng kabuuan ng elemento ng output matrix at ang halaga ng scalar.
Upang ipasok ang simbolo ng pagpaparami, kinakailangang pindutin ang susi gamit ang zirochka<*>o pabilisin ang toolbar Matrix (Matrix), pagpindot sa pindutan Dot Product (Multiplikasyon)(Larawan 1). Ang matrix multiplication ay tinutukoy ng abbreviation point, tulad ng ipinapakita sa appendix sa Figure 6. Ang simbolo ng matrix multiplication ay maaaring piliin sa parehong paraan tulad ng i sa mga scalar expression.
Ang isa pang halimbawa, na maaaring i-multiply sa isang vector sa isang matrix-row i, ngayon, mga row sa isang vector, ay ipinapakita sa fig. 7. Sa isa pang row, aling halimbawa ang nagpapakita kung ano ang hitsura ng formula kapag pinili mo ang multiplication operator Walang Space (Magkasama). Gayunpaman, ang parehong multiplication operator ay nahahati sa dalawang vector at sa ibang paraan .
Katulad na impormasyon.
Mga matrice. Tingnan ang matrix. Mga operasyon sa matrice at yoga ng kapangyarihan.
Makabuluhang matrix ng n-th order. N, Z, Q, R, C,
Ang isang matrix ng order na m * n ay tinatawag na isang hugis-parihaba na talahanayan ng mga s na numero, na maaaring mapalitan ng isang m-row at n - mga haligi.
Rivnist matrice:
Ang dalawang matrice ay tinatawag na pantay, dahil ang bilang ng mga hilera at haligi ng isa sa mga ito ay katumbas ng bilang ng mga hilera at haligi ng isa at ang isa pa. el-ti tsikh matrices equal.
Tandaan: El-ty, yakі ay maaaring magkaroon ng parehong mga index, є vіdpovіdnimi.
Tingnan ang matrix:
Square matrix: ang matrix ay tinatawag na parisukat, dahil ang bilang ng mga hilera ay katumbas ng bilang ng mga haligi.
Parihabang: ang matrix ay tinatawag na hugis-parihaba, dahil ang bilang ng mga hilera ay hindi katumbas ng bilang ng mga haligi.
Row matrix: Ang isang 1 * n (m = 1) na matrix ay maaaring magmukhang a11, a12, a13 at tinatawag itong row matrix.
Matrix stovpets:………….
Diagonal: ang dayagonal ng square matrix, na napupunta mula sa itaas na kaliwang kut hanggang sa kanang ibabang kuta, na nabuo ng mga elementong a11, a22 ... - ay tinatawag na head diagonal. (kahulugan: isang parisukat na matrix na may lahat ng mga elemento na nagdaragdag ng hanggang sa zero, ang cream ay tahimik, na kung saan ay kumalat sa ulo dayagonal, ay tinatawag na isang diagonal matrix.
Nag-iisa: Ang diagonal matrix ay tinatawag na solong, dahil ang lahat ng mga elemento ay inilalagay sa head diagonal at magdagdag ng 1.
Itaas na tricut: A = | | aij | | ay tinatawag na upper tricot matrix, kaya aij=0. Isipin i>j.
Lower tricut: aij=0. i Zero: ce matrix El-ty as good 0. Mga operasyon sa matrice. 1. Transposisyon. 2. Pagpaparami ng isang matrix sa isang numero. 3. Folding matrice. 4. Pagpaparami ng mga matrice. Ang pangunahing sv-va podії sa mga matrice. 1.A+B=B+A (commutativity) 2.A+(B+C)=(A+B)+C (associativity) 3.a(A+B)=aA+aB (distributivity) 4.(a+b)A=aA+bA (distributor) 5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoots.) 6.AB≠BA (araw para kanino.) 7.A(BC)=(AB)C (assoc.) Ang mga virobiv matrice ay nanalo. 8.A(B+C)=AB+AC (distributor) (B+C)A=BA+CA (distributor) 9.a(AB)=(aA)B=(aB)A Ang signifier ng square matrix ay ang signification ng yoga ng kapangyarihan. Ang layout ng vyznachnik sa mga hilera at hilera. Mga paraan upang makalkula ang mga nominado. Kung ang isang matrix ay may order m>1, kung gayon ang signifier ng matrix na ito ay isang numero. Algebraic na mga karagdagan Aij el-ta aij matrix A ay tinatawag na minor Mij, multiplications sa pamamagitan ng numero THEOREM 1: Ang makabuluhang matrix A ay isang magandang kabuuan ng mga nilikha ng lahat ng elemento ng isang sapat na hilera (stovptsya) kasama ang kanilang mga algebraic na karagdagan. Ang mga pangunahing kapangyarihan ng mga hinirang. 1. Ang matrix designator ay hindi nagbabago sa oras ng transposisyon. 2. Kapag muling inaayos ang dalawang row (stovptsiv), binabago ng signifier ang sign, ngunit hindi nagbabago ang absolute value ng yogo. 3. Makabuluhang matrix na maaaring magkaroon ng dalawang magkaparehong row (stowpts) na katumbas ng 0. 4. Kapag nagpaparami ng isang hilera (stovptsya) ng isang matrix sa isang numero її, ang signifier ay pinarami ng buong numero. 5. Kung ang isa sa mga hilera (stowpts) ng matrix ay idinagdag sa 0, kung gayon ang index ng hilera ng matrix ay katumbas ng 0. 6. Kahit na ang lahat ng mga elemento ng i-th row (stowptsya) ng matrix ay kinakatawan sa pamamagitan ng pagtingin sa kabuuan ng dalawang karagdagang matrice, kung gayon ang parehong sign ay maaaring isampa sa pagtingin sa kabuuan ng kabuuan ng dalawang matrice. 7. Ang hinirang ay hindi nagbabago, upang sa mga elemento ng isang hanay (hilera) magdagdag ng karagdagang elemento ng kabilang hanay (hilera) sa harap ng isang mayorya. para sa parehong numero. 8. Ang kabuuan ng pinakamahalagang elemento ng susunod na column (row) ng pinuno sa tuktok ng algebra ng mga elemento ng susunod na column (row) ay katumbas ng 0. https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27"> Mga pamamaraan para sa pagkalkula ng punong-guro: 1. Para sa kahulugan ng chi sa pamamagitan ng Theorem 1. 2. Dinala sa isang trikot na hitsura. Kahalagahan ng kapangyarihang iyon ng turning matrix. Pagkalkula ng turnover matrix. Pag-align ng matrix. Pagtatalaga: Ang isang parisukat na matrix ng order n ay tinatawag na isang pivot sa isang matrix At sa parehong pagkakasunud-sunod i ay itinalaga Upang ang matrix A ay maging batay sa reverse matrix, ito ay kinakailangan at sapat na ang pinagmulan ng matrix A ay 0. Ang pangingibabaw ng pivotal matrix: 1. Unity: para sa matrix A її reversible - pagkakaisa. 2. matrix designator 3. Ang operasyon ng pagkuha ng transposisyon at pagkuha ng matrix ng pag-ikot. Pag-align ng matrix: Hayaang ang A at B ay dalawang square matrice ng parehong pagkakasunud-sunod. https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src="> Pag-unawa sa linearity at kalayaan ng mga column ng matrix. Ang pangingibabaw ng linear fallacy at ang linear na kalayaan ng sistema ng mga kasosyo. Stovptsі A1, A2 ... Ang isang ay tinatawag na linearly fallow, dahil hindi ito isang maliit na linear na kumbinasyon, na mas malapit sa ika-0 na hanay. Ang mga column na A1, A2 ... An ay tinatawag na linearly independent, dahil hindi sila isang trivial linear na kumbinasyon, na katumbas ng 0th column. Ang isang linear na kumbinasyon ay tinatawag na trivial, dahil ang lahat ng mga coefficient С(l) ay katumbas ng 0 at hindi mahalaga sa ibang paraan. https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24"> 2. upang ang mga haligi ay maging linearly fallow, ito ay kinakailangan at sapat, upang ang mga ito ay dapat na isang linear na kumbinasyon ng iba pang mga haligi. Dalhin ang 1 sa mga column na may linear na kumbinasyon ng iba pang column. https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" linearly fallow, pagkatapos ang lahat ng column ay linearly fallow. 4. Kung paanong ang sistema ng mga sleepers ay linearly independent, at kung ang subsystem ay linearly independent mismo. (Lahat ng sinabi tungkol sa stovptsiv ay totoo rin para sa mga hilera). Minori matrice. Pangunahing menor de edad. Ranggo ng matrix. Ang pamamaraan ay naka-frame ng mga menor de edad sa pagkalkula ng ranggo ng matrix. Ang minor ng order sa matrix A ay ang signifier ng elemento ng ilang pag-uuri sa lane patungo sa mga row at sa mga column ng matrix A. Kung ang lahat ng mga menor de edad sa ika-usunod na pagkakasunud-sunod ng matrix A = 0, kung mayroong isang menor sa pagkakasunud-sunod hanggang sa +1 o kahit na 0. Pangunahing menor de edad. Ang ranggo ng matrix A ay ang pagkakasunud-sunod ng batayang menor. Paraan sa pag-frame ng mga menor de edad: - Pumili kami ng hindi zero na elemento ng matrix A (Kung walang ganoong elemento, ang ranggo ng A = 0) Ito ay naka-frame sa pamamagitan ng menor de edad ng front 1st order ng minor ng 2nd order. (Kung ang menor de edad na ito ay hindi katumbas ng 0, kung gayon ang ranggo ay >=2) Kung ang ranggo ng unang menor de edad ay 0, kung gayon ang mga vibrations ng 1st order minor ay naka-frame ng ibang mga menor de edad ng 2nd order. (Kung ang lahat ng menor de edad ng ika-2 order = 0, kung gayon ang ranggo ng matrix = 1). Ranggo ng matrix. Mga pamamaraan para sa pagtukoy ng ranggo ng isang matrix. Ang ranggo ng matrix A ay ang pagkakasunud-sunod ng ika-pangunahing menor. Mga paraan ng pagkalkula: 1) Ang paraan ng pag-border ng mga menor de edad: - Pumili ng hindi zero na elemento ng matrix A (kung walang ganoong elemento, pagkatapos ay i-rank = 0) - I-frame ang minor ng 1st order forward kasama ang minor ng 2nd order.. gif" width="40" >r+1 Mr +1=0. 2) Dinadala ang matrix sa isang sunud-sunod na hitsura: ang pamamaraang ito ay batay sa elementarya na pagbabago. Sa elementarya na pagbabago, nagbabago ang ranggo ng matrix. Ang mga sumusunod na pagbabago ay tinatawag na elementarya na pagbabago: Permutation ng dalawang hilera (stovptsiv). Ang multiplikasyon ng lahat ng mga elemento ng deyago stovptsya (mga hilera) na numero ay hindi =0. Supplement sa lahat ng elemento ng susunod na row (row) ng mga elemento ng susunod na row (row), forward multiplied sa parehong numero. Ang teorama tungkol sa pangunahing menor de edad. Ang sapat na katalinuhan ay kinakailangan para sa pagkakapantay-pantay ng zero ng signifier. Ang batayang menor ng matrix A ay ang menor ng pinakamalaking pre-th order ng dominanteng view 0. Batayan ng menor de edad: Ang mga pangunahing hilera (stovpts) ay linearly independent. Kung ang isang row (stovpets) ng matrix A ay isang linear na kumbinasyon ng mga pangunahing row (stovptsiv). Ang mga row at column sa retina kung saan nakatayo ang basic minor ay tinatawag na basic na row at columns. a11 a12... a1r a1j a21 a22….a2r a2j a31 a32….a3r a3j ar1 ar2 ….arr arj ak1 ak2…..akr akj Kinakailangan at sapat na isip upang maging katumbas ng zero ng signifier: Para sa layuning ito, ang pinuno ng n-th order = 0, ito ay kinakailangan at sapat, upang ang mga hilera (stowpts) ay linearly fallow. Mga sistema ng mga linear na linya, ang kanilang pag-uuri at anyo ng talaan. Ang panuntunan ni Cramer. Tingnan natin ang sistema ng 3-linear na linya mula sa trio ng nevidomimi: https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image048)" width="64" height="38 id=">!}!} tinatawag na arbiter ng sistema. Nagdagdag kami ng tatlo pang pinuno sa paparating na ranggo: pinapalitan namin ang sunud-sunod na D sa pagkakasunud-sunod 1, 2 at 3 ng mga haligi ng haligi ng mga libreng miyembro https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image052)" width="93" height="22 id=">!}!} Nagdadala. Sa ibang pagkakataon, tingnan natin ang sistema ng 3 katumbas mula sa isang trio ng nevіdomimi. Pina-multiply namin ang 1st alignment ng system sa pamamagitan ng pagdaragdag ng algebra A11 ng element a11, ang 2nd alignment ng A21 at ang 3rd ng A31: https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image056)" width="247" height="31 id=">!}!} Tingnan natin ang balat ng kadena at ang kanang bahagi ng tsy pantay. Ayon sa theorem tungkol sa pag-aayos ng arbitrator para sa mga elemento ng 1st column https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image060)" width="324" height="42 id=">!}!} Katulad nito, maipapakita na i . Walang pakialam si Nareshti na maalala iyon Otzhe, otrimuemo selos:. Ama, . Katulad nito, ang equivalence at ang mga bituin at ang solidification ng theorem ay ipinapakita. Mga sistema ng linear na linya. Umov's summation ng linear rivnyan. Ang Kronecker-Capelli theorem. Ang solusyon ng sistema ng algebraic equalizations ay tinatawag na tulad ng isang plurality ng n numero C1,C2,C3……Cn, tulad ng kapag nagpapatunay ng y, ang sistema ay matatagpuan sa space x1,x2,x3…..xn Ang sistema ng mga linear alignment ng algebra ay tinatawag na magkasanib na sistema, na parang hindi ito magkakaroon ng isang solusyon. Ang split system ay tinatawag na pag-awit, dahil iisa lamang ang solusyon, at ito ay hindi nakikita, dahil mayroong isang impersonal na solusyon. Hugasan ang kabuuan ng mga sistema ng mga linear algebraic na linya. a11 a12 ……a1n x1 b1 a21 a22 ……a2n x2 b2 ……………….. .. = .. am1 am2…..amn xn bn THEOREM: Upang ang sistema ng m linear alignment na may n ay palaging magkakaugnay, ito ay kinakailangan at sapat, upang ang ranggo ng pinalawak na matrix ay tumaas sa ranggo ng matrix A. Tandaan: Ang theorem na ito ay nagbibigay ng higit sa isang criterion para sa batayan ng isang solusyon, ngunit hindi nagpapahiwatig ng paraan ng paghahanap ng solusyon. 10 pagkain. Mga sistema ng linear na linya. Ang pamamaraan ng pangunahing menor de edad ay isang ligaw na paraan ng pagsusuri sa lahat ng mga solusyon ng mga linear alignment system. A=a21 a22…..a2n Basic minor na pamamaraan: Hayaan ang sistema ay spillna na RgA=RgA'=r. Ibigay ang pangunahing minor ng mga inskripsiyon sa kaliwang sulok sa itaas ng matrix A. https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">......gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n) … = ………….. Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n) https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src="> Kung ang ranggo ng pangunahing matrix at ang nasuri ay r=n, kung gayon sa kasong ito dj=bj і ang sistema ay may isang solusyon lamang. Mga pare-parehong sistema ng mga linear na linya. Ang sistema ng linear equalities ng algebra ay tinatawag na homogenous, dahil ang lahat ng mga libreng termino nito ay katumbas ng zero. AX=0 – homogenous na sistema. Ang AX \u003d B ay isang heterogenous na sistema. Mga homogenous na sistema para sa bawat silid-tulugan. X1 = x2 = .. = xn = 0 Teorama 1. Ang mga homogenous system ay maaaring magkaroon ng mga heterogenous na solusyon, kung ang ranggo ng matrix ng system ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi homogenous. Teorama 2. Homogeneous system ng n-linear equalities na may n-incomplete maє zero solutions, kung ang sign ng matrix A ay katumbas ng zero. (detA=0) Ang kapangyarihan ng rozvyazkіv odnorodnyh system. Kung ito man ay isang linear na kumbinasyon ng isang solusyon ng isang homogenous na sistema at mga solusyon ng isang sistema. α1C1 +α2C2; Ang α1 at α2 ay mga tunay na numero. A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(AC1) + α2(AC2) = 0, ibig sabihin. k. (A C1) = 0; (AC2) = 0 Walang lugar para sa kapangyarihan para sa isang heterogenous na sistema. Pangunahing sistema ng solusyon. Teorama 3. Dahil ang ranggo ng sistema ng matrix ay katumbas ng n-independiyenteng dorivnyu r, ang sistemang ito ay maaaring magkaroon ng n-r linearly independiyenteng mga solusyon. Hayaan ang pangunahing menor de edad sa kaliwang sulok sa itaas. Yakscho r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0) C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы. …………………….. Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1) Ang sistema ng n-r linearly independent solutions ng isang homogenous system ng linear equalities na may n-independent ranks r ay tinatawag na pangunahing sistema ng mga solusyon. Teorama 4. Kung ang isang solusyon sa isang sistema ng mga linear na pagkakahanay ay isang linear na kumbinasyon ng isang solusyon sa isang pangunahing sistema. С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r Yakscho r 12 pagkain. Zagalne rozvyazannya heterogenous system. Matulog (zag. hindi uniporme.) \u003d Coo + Mid (pribado) AX = B (heterogeneous system); AX = 0 (ASoo) + ASch = ASch = B, kaya (ACoo) = 0 Sleep = α1C1 + α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Sch Pamamaraan ng Gaus. Ang pamamaraan ng mga huling vinification ng hindi kilalang (pagbabago) - sa mga taong, sa tulong ng mga elementarya na pagbabago, ang pantay na sistema ay dinadala sa pantay na sistema ng stepped na hitsura, kung saan, simula sa iba pang mga pagbabago, alam ang mga pagbabago. Hayaan ang isang ≠ 0 (kung hindi, pagkatapos ay sa pamamagitan ng permutation ng mga katumbas ay hulaan nila kung alin). 1) kasama ang pagpapalit ng x1 mula sa isa, pangatlo ... n-th rank, pagpaparami ng unang ranggo sa pangalawang numero at pagdaragdag ng mga resulta sa ika-2, ika-3 ... n-th na ranggo, pagkatapos ay kunin namin: Kinukuha namin ang sistema nang pantay na malakas. 2) patayin ang pagbabago x2 3) patayin ang x3 na pagbabago, atbp. Ipagpatuloy ang proseso ng kasunod na pag-switch off ng mga kapalit na x4; x5 ... xr-1 ay kinuha para sa (r-1) crop. Ang bilang ng zero na natitirang n-r sa mga katumbas ay nangangahulugan kung ano ang hitsura ng kaliwang bahagi nito: 0x1 +0x2+..+0xn Kung ang isa sa mga numerong vr+1, vr+2… ay hindi gustong maging katumbas ng zero, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay superequal at ang sistema (1) ay hindi magkakaugnay. Sa ganitong pagkakasunud-sunod, para sa isang magkakatulad na sistema, ang vr+1 … vm ay katumbas ng zero. Ang natitirang n-r ay katumbas sa sistema (1; r-1) є na may pagkakapareho at hindi maaaring igalang. Mayroong dalawang mga posibilidad: a) ang bilang ng mga katumbas ng system (1; r-1) ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, kaya r = n (mukhang nakakalito ang system sa kasong ito). b) r Ang paglipat mula sa sistema (1) patungo sa pantay na sistema (1; r-1) ay tinatawag na direktang paglipat sa pamamaraang Gauss. Tungkol sa pagbabago ng pagbabago mula sa system (1; r-1) - isang punto ng pagbabago sa pamamaraang Gauss. Ang pagbabagong-anyo ng Gaus ay isinasagawa nang manu-mano, ang pagbuo ng mga ito hindi na may katumbas, ngunit may pinalawak na matrix ng kanilang mga coefficient. 13 pagkain. Mga katulad na matrice. Tingnan natin ang mga square matrice lamang ng order n/ Ang Matrix A ay tinatawag na isang katulad na matrix (A~B), dahil mayroong isang di-singular na matrix na S na A=S-1BS. Kapangyarihan ng gayong mga matrice. 1) Ang Matrix A ay katulad ng sarili nito. (A~A) Tulad ng S=E, gayundin ang EAE=E-1AE=A 2) Kung A ~ B, kung gayon B ~ A Yakscho A = S-1BS => SAS-1 = (SS-1) B (SS-1) = B 3) Kung A~B at isang oras B~C, pagkatapos ay A~C Given na A=S1-1BS1 at B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, de S3 = S2S1 4) Ang mga designator ng magkatulad na matrice ay pantay. Ito ay ibinigay na A ~ B, ito ay kinakailangan upang dalhin na detA=detB. A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (soon) = detB. 5) Ang mga ranggo ng magkatulad na matrice ay binago. Vlasnі vektori at vlasnі halaga ng mga matrice. Ang numerong λ ay tinatawag na ibinigay na halaga ng matrix A, dahil ito ay isang non-zero vector X (matrix column) kung kaya't ang AX = λ X, ang vector X ay tinatawag na ibinigay na vector ng matrix A, at ang kumbinasyon ng ang lahat ng mga halaga ay tinatawag na spectrum ng matrix A. Ang lakas ng malalakas na vectors. 1) Kapag nagpaparami ng power vector, ang numero ay ibinabawas mula sa power vector mula sa parehong mga halaga ng kapangyarihan. AX = λ X; Х≠0 α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) \u003d \u003d λ (α X) 2) Ang mga wet vector na may pairwise-different wet values ay linearly independent λ1, λ2,.. λk. Hayaang binubuo ng isang vector ang system, gawin natin itong inductive: C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - i-multiply sa A. C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn = 0 С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. + Сn λn Хn = 0 I-multiply sa λn+1 at tingnan C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn + Cn +1 Xn +1 = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0 Kinakailangang schob С1 = С2 = ... = Сn = 0 Cn+1 Xn+1 λn+1 =0 Katangiang pantay. Ang A-λE ay tinatawag na characteristic matrix para sa matrix A. Upang ang isang non-zero vector X ay maging isang libreng vector ng matrix A, ito ay kinakailangan upang tumugma sa libreng halaga, upang ang isang non-zero vector X ay isang solusyon ng isang homogenous na sistema ng linear-algebraic equation (A - λE)X = 0 Ang isang di-maliit na solusyon sa system ay maaaring, kung det (A - XE) = 0 - ito ay katangiang pantay. Katatagan! Iba-iba ang mga katangian ng naturang matrice. det(S-1AS - λЕ) = det(S-1AS - λ S-1ЕS) = det(S-1 (A - λЕ)S) = det S-1 det(A - λЕ) detS= det(A - λЕ) Katangiang mayamang miyembro. det(A – λЕ) - function ng parameter λ det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA Ang polynomial na ito ay tinatawag na katangian na polynomial ng matrix A. Huling: 1) Bilang mga matrice A~B, kung gayon ang kabuuan ng kanilang mga elemento sa dayagonal ay tataas. a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn 2) Mayroong maraming makapangyarihang mga halaga ng mga katulad na matrice. Yakscho katangiang pagkakapantay-pantay matrices zbіgayutsya, pagkatapos ay ang baho neobov'yazkovo podіbnі. Para sa matrix A Para sa matrix B https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38"> Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0 Upang ang matrix A ay ma-diagonal sa pagkakasunud-sunod ng n, kinakailangan na ang mga linearly independent wave vector ng matrix A ay ginamit. Bunga. Kahit na ang lahat ng mga halaga ng matrix A ay naiiba, ito ay naka-diagonal. Algorithm para sa kaalaman sa mga vector ng kapangyarihan at mga halaga ng kapangyarihan. 1) foldable characteristically pantay 2) alam natin ang ugat rіvnyan 3) nagdaragdag kami ng isang sistema ng equalization ng pagtatalaga ng iyong vector. λi (A-λi E)X = 0 4) alam natin ang pangunahing sistema ng solusyon x1,x2..xn-r, de r - ranggo ng katangiang matrix. r = Rg(A - λi E) 5) ang power vector, ang mga halaga ng kapangyarihan λi ay naitala sa view: X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, sa C12 + C22 + ... C2n ≠ 0 6) suriin kung ang matrix ay maaaring bawasan sa isang dayagonal na hitsura. 7) kilala natin si Ag Ag=S-1AS S= 15 pagkain. Ang batayan ng isang tuwid na linya, isang parisukat, isang puwang. http://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" Ang modulus ng vector ay katumbas ng zero, kahit na ang vector ay zero. 4.Orth vector. Ang orth ng vector na ito ay tinatawag na vector, na nagdidirekta gayunpaman gamit ang vector na ito at maaaring may module, na siyang pinakakaraniwang unit. Rivnі vectori mayut rіvnі orti. 5. Gupitin sa pagitan ng dalawang vectors. Ang mas maliit na bahagi ng lugar ay napapalibutan ng dalawang interchange na nagmumula sa parehong punto at itinutuwid ng parehong mga vector. Imbakan ng vector. Pagpaparami ng vector sa isang numero. 1) Pagdaragdag ng dalawang vectors https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │ 2) Pagpaparami ng isang vector sa isang scalar. Ang bagong vector, na maaaring tawaging sub-vector ng scalar na iyon, ay: a) = pagdaragdag ng modulus ng vector multiplication ng absolute value ng scalar. b) direktang kasabay ng isang pinarami na vector, na parang ang scalar ay positibo, i bilang ang kabaligtaran, na parang ang scalar ay negatibo. λ a(vector)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │ Kapangyarihan ng mga linear na operasyon sa mga vector. 1. Batas ng pagiging komunikatibo. 2. Ang batas ng pakikisama. 3. Pagdaragdag ng zero. a(vector)+ō= a(vector) 4.Storage na may bedding. 5. (αβ) = α(β) = β(α) 6; 7. Batas ng distributivity. Viraz vector sa pamamagitan ng yogo module i ort. Ang maximum na bilang ng mga linearly independent vectors ay tinatawag na batayan. Ang batayan sa linya ay anumang vector. Ang batayan sa eroplano ay dalawang di-kalendaryong vectors. Ang batayan ng espasyo ay isang sistema ng tatlong non-coplanar vectors. Ang koepisyent ng layout ng vector ayon sa aktwal na batayan ay tinatawag na mga bahagi o mga coordinate ng vector sa ibinigay na batayan. Vikonati dahil sa pagtiklop at pagpaparami sa isang scalar, kung gayon bilang isang resulta, mayroong isang bilang ng mga naturang diy na kinuha: λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> ay tinatawag na linear fallow, dahil mayroong isang non-trivial linear na kumbinasyon, alin ang mabuti?. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 Ang src="> ay tinatawag na line-independent, dahil walang di-trivial na kumbinasyon ng linya. Pangingibabaw ng linear fallow at independent vectors: 1) ang sistema ng mga vector na palitan ang zero vector ay linearly fallow. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 Ang src="> ay magiging linearly fallow, kinakailangan na ang vector ay isang linear na kumbinasyon ng iba pang mga vector. 3) bilang bahagi ng vector sa sistemang a1(vector), a2(vector) ... ak(vector) ay linear-deposit, pagkatapos lahat ng vectors ay linear-deposit. 4) bilang lahat ng mga vectors. https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">) Mga linear na operasyon sa mga coordinate. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src="> Kapangyarihan ng paglikha ng scalar: 1. Commutativity 3. (a;b)=0, kahit na at isang beses lamang, kung ang mga vector ay orthogonal, o kung sila ay mula sa mga vector, ang mga ito ay higit pa o mas mababa sa 0. 4. Distributivity (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c) 5. Viraz ang scalar na paglikha a at b sa pamamagitan ng їх coordinate https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src="> Kapag vykonannі hugasan (), h, l = 1,2,3 https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> at ang ikatlong vector ay tinatawag na nalulugod sa darating na katumbas: 3. - karapatan Ang kapangyarihan ng pagkamalikhain ng vector: 4. Vector vitvir coordinate orts Orthonormal na batayan. https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src="> Kadalasan 3 simbolo ang ginagamit upang matukoy ang orthonormal na batayan https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src="> Ang Yakscho ay isang orthonormal na batayan, kung gayon https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- straight line alignment parallel axis OH 2) - pagkakahanay ng tuwid na linya parallel sa axis ng OS 2. Mutual expansion ng 2 straight lines. Teorama 1 A) Ang Todi ay kailangan ng sapat na pag-iisip kung ang baho ay tinted sa isang sulyap: B) Iyan ay kailangan at sapat sa pag-iisip na direktang kahanay ng isip: B) Anuman ang kailangan sapat na mental ang direktang galit sa isang isip: 3. Ilipat mula sa punto patungo sa tuwid na linya. Teorama. Lumipat mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya gamit ang isang Cartesian coordinate system: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src="> 4. Gupitin sa pagitan ng dalawang tuwid na linya. Hugasan ang perpendicularity. Hayaan ang 2 direktang pagtatalaga sa isang Cartesian coordinate system na may malalaking antas. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src="> Yakscho, pagkatapos ay ang mga tuwid na linya ay patayo. 24 na pagkain. Ang lugar na malapit sa espasyo. Ang vector at plane ng Umov complonarity. V_dstan v_d tumuturo sa eroplano. Umov parallelism at perpendicularity ng dalawang eroplano. 1. Ang pagkakatulad ni Umov ng isang vector at isang eroplano. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Walang'яний4.jpg" width="111" height="39">!}!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Walang'яний5.jpg" width="88" height="57">!} !} https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src="> 3. Kut mizh 2 flats. Hugasan ang perpendicularity. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src="> Yakshcho, pagkatapos ay ang mga eroplano ay patayo. 25 pagkain. Tuwid na linya sa kalawakan. Iba't ibang tingnan ang pagkakahanay ng mga tuwid na linya sa open space. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19"> 2. Vector ng direktang pagkakahanay sa espasyo. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src="> 4. Pagkakapantay-pantay ng kanonikal tuwid. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Walang'яний3.jpg" width="56" height="51">!}!} Sa paggalang, ang mga elemento ng isang matrix ay maaaring hindi hihigit sa isang numero. Ipaalam sa akin na inilalarawan mo ang mga aklat, kung paano manindigan sa iyong police police. Hayaang panatilihin ng pulisya ang kaayusan at ang lahat ng mga libro ay tumayo sa mga lugar ng pag-awit. Ang talahanayan, bilang isang wastong paglalarawan ng iyong aklatan (sa pamamagitan ng pulisya at pagsunod sa mga libro sa pulisya), ay magiging isang matrix din. Ale, hindi magiging numerical ang ganyang matrix. Pangalawang halimbawa. Sa halip na mga numero ay nakatayo sa iba't ibang mga pag-andar, kinakain sa kanilang mga sarili ng isang uri ng fallow. Ang talahanayan ni Otriman ay tinatawag ding matrix. Sa madaling salita, ang Matrix, kumbaga, ay isang hugis-parihaba na mesa, nakatiklop katulad mga elemento. Dito at higit pa ay pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga matrice, na nakatiklop mula sa mga numero. Palitan ang mga bilog na braso para sa pagtatala ng mga matrice sa pamamagitan ng paglalagay ng mga parisukat na braso o tuwid na patayong mga linya. Paghirang 2. Parang Virazi(1) m = n, tapos pag-usapan parisukat na matris, pero yakscho , pagkatapos ay tungkol sa hugis-parihaba. Ang fallow value ng m at n ay nahahati sa mga espesyal na uri ng matrice: Ang pinakamahalagang katangian parisukat matrices є її vyznachnik o determinant, Ano ang nabuo mula sa mga elemento ng matrix at ipinahiwatig Malinaw na D E = 1; . Paghirang 3. Yakscho , pagkatapos ay ang matrix A tinawag hindi birhen o hindi lalo. Paghirang 4. Yakscho detA = 0, pagkatapos ay ang matrix A tinawag virogenous o lalo na. Paghirang 5. Dalawang matrice A і B tinawag pantay sumusulat siya A=B na parang ang baho ay maaaring pareho, ang mga pagkakaiba at ang їх mabubuhay na mga elemento ay pantay,. Halimbawa, matrices at equals, dahil ang baho ay mas malapit sa mundo at ang elemento ng balat ng isang matrix ay mas malapit sa katulad na elemento ng isa pang matrix. At ang axis ng matrix i ay hindi matatawag na pantay, kahit na ang mga determinant ng parehong mga matrice ay pantay, at ang mga matrice ay pareho, ngunit hindi lahat ng mga elemento na nakatayo sa parehong mga punto ng pantay. Magkaiba ang mga matrix, kaya posible ang ibang mundo. Ang unang matrix ay 2x3, at ang iba pang 3x2. Kahit na ang bilang ng mga elemento ay pareho - 6 at ang mga elemento mismo ay pareho 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale mabaho upang tumayo sa iba't ibang mga lugar malapit sa balat matrix. At ang axis ng matrix ay advance, zgіdno z vznachennyam 5. Paghirang 6. Paano ayusin ang sprat ng matrix A at ganoon ang bilang ng mga hilera nito, ang parehong mga elemento na nakatayo sa peretina ng mga pagtatalaga ng mga hanay at mga hilera upang magtatag ng isang parisukat na matrix n- ika-utos, pangunahan niyan tinawag menor de edad k- pagkakasunud-sunod ng matrix A. puwit. Sumulat ng tatlong menor de edad sa ibang pagkakasunud-sunod ng matrix appointment. Matrix rozmіru m'n, de m-bilang ng mga hilera, n-bilang ng mga hanay, ang talahanayan ng mga numero ay tinatawag, inaayos ang mga ito sa parehong pagkakasunud-sunod. Ang mga numero ng Qi ay tinatawag na mga elemento ng matrix. Ang lugar ng elemento ng balat ay hindi malabo na kinilala sa pamamagitan ng bilang ng hilera at spatula, sa retina kung saan matatagpuan ang mga ugat. Ang mga elemento ng matrix ay itinalaga ng isang ij , kung saan ang i ay ang row number, at j ang row number. Mga pangunahing subdibisyon sa mga matrice.
Ang matrix ay maaaring nakatiklop sa isang hilera, at sa isang haligi. Tandaan, ang matrix ay maaaring itiklop mula sa isang elemento. appointment.
Kung ang bilang ng mga haligi ng matrix ay katumbas ng bilang ng mga hilera (m=n), kung gayon ang matrix ay tinatawag na parisukat. appointment.
Yakscho =
, pagkatapos ay tinawag ang matrix simetriko.
puwit.- simetriko matrix appointment.
Ang square matrix ay tinatawag dayagonal matris. appointment.
Diagonal matrix, na may mas mababa sa isa sa head diagonal: = E, tinawag iisang matris. appointment.
Ang matrix, na may mas mababa sa zero na elemento sa ilalim ng head diagonal, ay tinatawag itaas na tricot matrix. Kung ang matrix sa itaas ng diagonal ng ulo ay may mas mababa sa zero na elemento, kung gayon ito ay tinatawag mas mababang tricot matrix. appointment.
Ang dalawang matrice ay tinatawag pantay tulad ng baho ng isang roamingness at vykonuєtsya equanimity: · Karagdagang impormasyon matrice ay binuo hanggang sa susunod na mga operasyon sa kanilang mga elemento. Ang pinakamataas na awtoridad ng mga operasyong ito ay yaong mga mabaho nakalaan lamang para sa mga matrice na may parehong laki. Sa ganitong pagkakasunud-sunod, posibleng italaga ang pagpapatakbo ng pagtitiklop ng visual matrix na iyon: appointment. bag (tingi) matrix є matrix, ang mga elemento nito ay ang kabuuan (tingi) ng mga elemento ng mga output matrice. Z \u003d A + B \u003d B + A. Operasyon maramihan (podіlu) ang matrix, mapalawak man ito ng isang tiyak na numero, ay nababawasan sa maramihang (hinati) ng elemento ng balat ng matrix ng buong numero. a (A + B) \u003d aA ± aB А(a±b) = aА ± bА puwit. Given matrix A = ; B = alam ang 2A + B. 2A = , 2A + B = . · appointment: Tvorom Ang isang matrix ay tinatawag na isang matrix, ang mga elemento nito ay maaaring kalkulahin gamit ang mga sumusunod na formula: Mula sa sapilitan na pagtatalaga, makikita na ang operasyon ng multiplying matrices ay itinalaga lamang sa mga matrice, ang bilang ng mga column ng una ay katumbas ng bilang ng mga row ng isa pa. puwit. · appointment.
Matrix B ang tawag inilipat matrix A, at paglipat mula A hanggang B transposisyon Halimbawa, ang mga elemento ng skin row ng matrix A ay nakasulat sa parehong pagkakasunud-sunod sa mga column ng matrix B. A =; B = A T =; Sa madaling salita, = . baligtad na matrix.
appointment.
Ito ang mga square matrice X at A ng parehong pagkakasunud-sunod, na nakalulugod sa isip: de E ay isang solong matrix ng parehong pagkakasunud-sunod ng matrix A, pagkatapos ay ang matrix X ay tinatawag nababaligtad sa matrix A i ay nakatalaga sa A-1. Ang isang skin square matrix na may pivot na hindi katumbas ng zero ay maaaring may reverse matrix at higit sa isa. baligtad na matrix Maaari kang ma-prompt para sa gayong pamamaraan: Kaya, pagkatapos ay tinawag ang matrix hindi birhen, at sa ibang paraan - virogen. Ang reverse matrix ay maaari lamang i-induce para sa mga non-virgin matrice. Makapangyarihang matrice.
1) (A -1) -1 = A; 2) (AB) -1 = B -1 A -1 3) (AT) -1 = (AT -1) T . Ranggo ng matrix tinawag paghahanap ng kaayusan sa anyo ng mga zero sa mga menor de edad ng matrix. Para sa isang matrix ng order m´n, minor, order r ay tinatawag batayan Ang yakscho vin ay hindi katumbas ng zero, ngunit lahat ng mga menor de edad ay nasa ayos r+1 at katumbas ng zero, kung hindi ay kinakailangan upang patunayan iyon. r zbіgaєtsya na may mas maliit sa mga numero m o n. Ang mga haligi at hilera ng matrix, kung saan nakatayo ang batayang menor, ay tinatawag din basic. Ang matrix ay maaaring may maliit na bilang ng iba't ibang pangunahing menor de edad, na maaaring may parehong pagkakasunud-sunod. Ang mas mahalagang mga awtoridad ng elementarya na pagbabago ng matrix ay ang mga hindi nagbabago sa ranggo ng matrix. appointment.
Ang mga matrice, otrimani pagkatapos ng elementarya na pagbabago, ay tinatawag katumbas. Susunod, ipahiwatig kung ano pantay matrice at katumbas matrices - maunawaan ang ganap na naiiba. Teorama.
Pinakamalaking numero ang mga linearly independent row sa matrix ay katumbas ng bilang ng linearly independent row. kasi elementarya na pagbabago Kung hindi mo babaguhin ang ranggo ng matrix, maaari mong pasimplehin ang proseso ng pagtatalaga ng ranggo ng matrix. puwit. Hanapin ang ranggo ng matrix.
(2.1*)
Sigasig...