Pagsasama ng mga pinakasimpleng shot ng uri 1 at 2. Pagsasama-sama ng pinakasimpleng (elementarya) na mga praksyon. Ang paraan ng pagdaragdag ng sign ng differential para sa pinakasimpleng fraction

Hulaan mo shot-rational pangalanan ang mga function ng form na $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$ y ang double fold %%P_n(x)%% i %%Q_m(x)% %.

Kung %%m > n \geq 0%%, kung gayon ang rasyonal na pagkakaiba ay tinatawag tama, kung hindi - mali. Vikoristovuyuchi ang panuntunan ng subdivision ng polynomials, ang isang hindi tamang rational fraction ay makikita sa pamamagitan ng pagtingin sa kabuuan ng polynomial %%P_(n - m)%% ng degree %%n - m%% at ang tamang fraction, tobto. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ de hakbang %%l%% rich termino %%P_l(x)%% mas kaunting hakbang %%n%% ng rich term %%Q_n(x)%%.

Sa ganitong paraan, ang mga hindi halaga ng integral bilang isang rational function ay maipapakita ng kabuuan mga di-makabuluhang integral sa anyo ng isang polynomial at sa anyo ng isang regular na rational fraction.

Mga integral sa anyo ng pinakasimpleng rational fraction

Kabilang sa mga tamang rational fractions, nakikita nila ang chotiri tipi, yakі bring up ang pinakasimpleng rational fraction:

1. %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
2. %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
3. %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
4. %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

de %%k > 1%% — integer %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. parisukat na pagkakahanay huwag hugasan ang kanilang mga ugat.

Pagkalkula ng mga hindi mahalagang integral sa mga fraction ng unang dalawang uri

Ang pagkalkula ng mga hindi mahalagang integral sa mga fraction ng unang dalawang uri ay hindi malulutas ang mga problema: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \ frac(\mathrm (d) (x - a)) (x - a) = A \ ln | x - a | + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a ) ^(k-1)) + C. \end(array) $$

Pagkalkula ng mga hindi mahalagang integral sa mga fraction ng ikatlong uri

Ang isang fraction ng ikatlong uri ay nababaligtad, nang makita ang bagong parisukat malapit sa banner: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/ 2)^2 + q - p^2/4), $$ kaya yak %% p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, makabuluhan pa rin bilang %%a^2%%. Pinapalitan din ang %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, maaari nating muling ayusin ang pamantayan at isulat ang integral bilang isang bahagi ng ikatlong uri sa anyong $$ \ begin(array)(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2) ^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm( d)t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(array) $$

Ang natitirang integral, matagumpay na linearity ng non-insignificant integral, ay maaaring katawanin sa pamamagitan ng pagtingin sa kabuuan ng dalawang i sa una sa mga ito, ipinakilala namin ang %%t%% pіd differential sign: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(At + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^ 2 + a^2) + \kaliwa(B - \frac(pA)(2)\kanan)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \ frac(A)(2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\right))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)( 2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\kanan| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(array) $$

Ang pag-on sa tamang variable na %%x%%, ang resulta para sa fraction ng ikatlong uri ay tumatagal ng $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac (A)( 2) \ln \kaliwa| x^2 + px + q\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ de %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.

Ang pagkalkula ng 4th type integral ay foldable, kung saan ang kurso ay hindi ito isinasaalang-alang.

Ang halaga ng hindi natukoy na integral ng fractional-rational function ay binabawasan sa pagsasama ng pinakasimpleng fraction. Upang na ito ay inirerekomenda upang maging pamilyar sa dibisyon ng teorya ng paghahati ng fraction sa pinakasimpleng paraan.

puwit.

Alamin ang mga hindi halaga ng integral.

Solusyon.

Kaya, dahil ang hakbang ng numerator ng pinagsama-samang pag-andar ay mas advanced kaysa sa hakbang ng banner, kung gayon para sa cob makikita natin ang buong bahagi, na ipinapasa ang tuod ng rich term sa rich term:

Tom, .

Makikita ang layout ng kinuhang wastong rational fraction sa pinakasimpleng fraction . Otzhe,

Ang pagbabawas ng integral ay ang integral ng pinakasimpleng bahagi ng ikatlong uri. Tumalon nang kaunti sa unahan, mahalaga na maaari mong dalhin ito sa isang landas na humahantong sa tanda ng pagkakaiba.

kaya yak , pagkatapos . Tom

Otzhe,

Ngayon ay lumipat tayo sa isang paglalarawan ng mga paraan ng pagsasama ng pinakasimpleng mga shot ng balat mula sa ilang mga uri.

Pagsasama-sama ng mga pinakasimpleng fraction ng unang uri

Para sa pagpapatupad ng gawaing ito, ang paraan ng hindi intermediate na pagsasama ay perpekto:

puwit.

Alamin ang mga hindi kilalang pangunahing function

Solusyon.

Alam natin ang mga hindi halaga ng integral, ang matagumpay na kapangyarihan ng una, ang talahanayan ng una at ang panuntunan ng pagsasama.

Sa tuktok ng gilid

Pagsasama-sama ng mga pinakasimpleng fraction ng isa pang uri

Upang makumpleto ang gawaing ito, ang paraan ng hindi intermediate na pagsasama ay angkop din:

puwit.

Solusyon.

Sa tuktok ng gilid

Pagsasama-sama ng mga pinakasimpleng fraction ng ikatlong uri

Para sa cob, ang mga hindi kabuluhan ng integral kamukha ni sumi:

Ang unang integral ay kinuha sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag ng isang tanda sa kaugalian:

Tom,

Ang pamantayan ng kinuhang integral ay nababaligtad:

Otzhe,

Ang formula para sa pagsasama ng pinakasimpleng mga fraction ng ikatlong uri ay ganito ang hitsura:

puwit.

Hanapin ang insignificance ng integral .

Solusyon.

Vikoristovuemo otrimana formula:

Walang formula sa amin si Yakby, pagkatapos ay kinasuhan si yakbi ng:

Sa tuktok ng gilid

Pagsasama-sama ng pinakasimpleng mga praksyon ng ikaapat na uri

Ang unang croc ay ang nangungunang tanda ng kaugalian:

Ang isa pang gantsilyo ay ang kaalaman sa integral ng isip . Ang mga integral ng ganitong uri ay kilala mula sa iba't ibang recursive formula. (Paumanhin tungkol sa pagsasama ng iba't ibang mga recursive formula). Para sa aming diskarte, ang sumusunod na paulit-ulit na formula ay angkop:

puwit.

Hanapin ang insignificance ng integral

Solusyon.

Para sa kung anong uri ng integral function ang paraan ng pagpapalit ay matagumpay. Ipinakilala namin ang isang bagong pagbabago (upang mamangha sa pagsasama ng mga hindi makatwiran na pag-andar):

Pagkatapos ng pagpapalit ay maaaring:

Nalaman namin ang pang-apat na uri ng fraction integral. Maaaring magkaroon ng coefficient ang ating isip M=0, p=0, q=1, N=1і n=3. Zastosovuєmo umuulit na formula:

Pagkatapos ng pagpapalit ng pagbabalik, kinukuha namin ang resulta:

Pagsasama ng trigonometriko function

1. Integral na isip ang conversion ng karagdagang trigonometriko function ay kinakalkula sa kabuuan para sa mga formula: Halimbawa, 2.Integrals ng isip , de m o n– isang hindi naipares na positibong numero, na binibilang sa ilalim ng tanda ng pagkakaiba. Halimbawa, 3.Integras ng isip , de mі n-mga lalaki mga positibong numero, ay kinakalkula para sa mga karagdagang formula ng mas mababang antas: Halimbawa, 4. Integrals de binibilang sa pamamagitan ng pagpapalit ng pagbabago: abo Halimbawa, 5. Ang mga integral ng isip ay maaaring gawing integral ng mga rational fraction para sa karagdagang unibersal na trigonometric substitution todi (dahil = [kasunod ng pagpapangalan ng numeral at banner sa] = ; Halimbawa, Dapat pansinin na ang pagpili ng unibersal na pagpapalit ay madalas na nabawasan sa napakalaking pagpapalit.

§5. Pagsasama-sama ng pinakasimpleng irrationalities

Tingnan natin ang mga paraan ng pagsasama-sama ng mga pinakasimpleng uri ng mga hindi makatwiran. isa. Ang mga function ng ganitong uri ay isinama sa parehong paraan, tulad ng pinakasimpleng rational fraction ng ika-3 uri: ang square trinomial ay may bagong parisukat at isang bagong pagbabago ang ipinakilala. puwit. 2. (Sa ilalim ng tanda ng integral-rational function ng mga argumento). Ang mga integral ng ganitong uri ay kinakalkula para sa karagdagang kapalit. Zokrema, sa integrals ibig sabihin . Bilang isang pіdіntegrаlnaya funkіtії upang ipaghiganti ang ugat ng iba't ibang hakbang: , tapos ibig sabihin , de n– ang pinakamaliit na masigasig na multiple ng mga numero m,k. halimbawa 1. puwit 2. - Maling rational drib, nakikita ng buong bahagi: – – – 3.Integras ng isip kinakalkula para sa karagdagang mga pamalit na trigonometriko:

44

45 Pevny integral

Integral na halaga- Additive monotonous norming ng functional, mga gawain sa maramihang mga pares, ang unang bahagi kung saan ay isang pinagsama-samang function o functional, at ang isa pa ay ang lugar ng maramihang gawain ng function (functional).

appointment

Hayaan itong italaga sa . Rozіb'єmo sa bahagi na may maraming mga tuldok. Tapos parang nabasag yung paghahati ng hangin.Tapos pinili namin yung tamang punto , ,

Ang penny integral sa anyo ng isang function sa hangganan ay tinatawag na interintegral sums na may tamang ranggo ng split sa zero, dahil ito ay independiyente sa split at ang pagpili ng mga puntos, tobto

Kung ang isang hangganan ay tinukoy, kung gayon ang function ay tinatawag na pinagsama pagkatapos ng Riemann.

appointment

- mababang hangganan.

- itaas na hangganan.

· - Integral function.

· - Dovzhina pribadong vіdrіzka.

· - Integral na kabuuan ng mga function sa average na pamamahagi.

· - maximum na madalas na dozhina.

kapangyarihan

Habang ang function ay Riemann-integrated sa , ito ay laslas dito.

Geometric zmist

Pag-awit integral bilang isang post area

Ang sing integral ay mas parisukat sa bilang ng figure, na napapalibutan ng abscissa, mga tuwid na linya at mga function graph.

Newton-Leibniz theorem

[ed.]

(na-redirect mula sa Newton-Leibniz Formula)

Newton - Leibniz formula o pangunahing teorama ng pagsusuri binibigyan namin ang spіvvіdnoshnya mіzh ng dalawang operasyon: pagkuha ng unang integral at pagbibilang ng pangunahin.

Nagdadala

Hayaang maibigay sa iyo ang pinagsamang function. Magsimula tayo sa kung ano ang makabuluhan, ano

kaya walang kahulugan, tulad ng isang titik (abo) ay nakatayo sa ilalim ng tanda ng sing integral sa ibabaw ng hangin.

Nabigyan ng mas makabuluhang halaga at makabuluhang bagong function . Ang won ay itinalaga sa lahat ng mga halaga, para sa mga nakakaalam na kung mayroong integral sa , mayroon ding integral ng , de . Hulaan natin kung ano ang mahalaga sa atin

(1)

Iginagalang namin iyon

Ito ay ipinapakita na ito ay walang tigil sa isang vіdrіzka. Tama, sabihin mo sa akin; din

at yakso , pagkatapos

Sa ganoong ranggo, nang walang pagkaantala, hindi alintana kung kaya mo, o hindi mo mapalawak; mahalaga na ito ay isinama sa .

Ang graph ay ipinapakita sa maliit. Ang lugar ng pagbabago ng figure ay malusog. Її zbіlshennya dorіvnyuє ploschі figuri , na parang mula sa obmezhennosti, malinaw naman, ang karapatan sa zero kapag ito ay hindi independyente, upang ito ay maging isang punto ng pagpapatuloy, halimbawa, isang punto.

Ngayon hayaan ang function na maisama sa , ngunit walang pagkaantala sa punto. Sabihin na nating ngayong araw na ito ay mawawalan ako ng punto, kahit na

(2)

Tama, para sa tinukoy na punto

(1) , (3)

Inilapag nila ito, at mabuti, . Dali, with safety in point for the skin, you can say what for.

ano ang dadalhin, ano ang kaliwang bahagi ng kaba tungkol sa (1) sa .

Ang paglipat sa hangganan sa (3) ay nagpapakita ng dahilan para sa katulad na pagtingin sa punto at ang bisa ng pagkakapantay-pantay (2). Kung kanino, kailangang malaman ang tungkol sa batas at leon, mamamatay ako.

Kung ang function ay walang patid sa , pagkatapos ay sa batayan ng dinala higit pa, ang function ay

(4)

Pupunta ako, gagawin ko. Muli, ang function ay pangunahin para sa .

Ang visnovok na ito ay minsan tinatawag na theorem tungkol sa integral sa ibabaw ng pagbabago sa itaas na hangganan, o ang Barrow theorem.

Dinala namin, na ang function ay sapat na walang pagkaantala para sa hinaharap, para sa kanino ang pangunahing, itinalaga panibugho (4). Dinala ng CIM ang pangunahing dahilan kung ito ay isang non-stop function.

Ngayon magkaroon tayo ng sapat na pangunahing function sa . Alam naman natin na mabilis si de - deyka. Ang Vvazhayuchi ay may tsіy rіvnosti і vrakhovuuchi, scho, otrimaemo.

Sa ganoong paraan, ale

Neutral integral

[ed.]

Materyal mula sa Wikipedia - libreng encyclopedia

Integral na halaga tinawag kasuklam-suklam, upang ang isa sa mga sumusulong na kaisipan ay tanggapin:

· Hangganan a o b (kung hindi man ay mapang-insultong hangganan) є walang balat;

· Ang function na f(x) ay maaaring magkaroon ng isa o higit pang mga punto sa gitna ng cut.

[ed.] Neural integral ng unang uri

. Todi:

1. Yakscho ang integral na iyon ay tinatawag . Sa anong direksyon tinatawag na katulad.

, o i-break na lang natin.

Hayaan itong italaga at walang pagkaantala sa isang hindi kilalang view . Todi:

1. Yakscho , pagkatapos ay ang kahulugan ang integral na iyon ay tinatawag hindi kasiya-siya Riemann integral ng unang uri. Sa anong direksyon tinatawag na katulad.

2. Walang katapusan ( o ), kung gayon ang integral ay tinatawag na pagpapalawak hanggang sa , o i-break na lang natin.

Kung ang function ay itinalaga at walang pagkaantala sa buong linya ng numero, posible na gamitin ang hindi pantay na integral ng function na may dalawang walang katapusang hangganan ng pagsasama, na tinukoy ng formula:

, de s - medyo isang numero.

[ed.] Geometrical pattern ng isang hindi magkadikit na integral ng unang uri

Ang di-umiiral na integral ay nakabitin sa lugar ng walang katapusan na mahabang curvilinear trapezium.

[ed.] Mag-apply

[ed.] Neural integral ng pangalawang uri

Hayaan itong italaga sa, magtiis ng walang katapusang pagpapalawak sa puntong x = a . Todi:

1. Yakscho , pagkatapos ay ang kahulugan ang integral na iyon ay tinatawag

tinatawag rozbіzhnym sa , o i-break na lang natin.

Hayaan itong italaga sa, magtiis ng hindi mabilang na paglaki sa x=b . Todi:

1. Yakscho , pagkatapos ay ang kahulugan ang integral na iyon ay tinatawag hindi pare-pareho ang Riemann integral ng ibang uri. Sa ganitong paraan, ang integral ay tinatawag na magkatulad.

2. Tulad ng abo, pagkatapos ay ang tanda ay nai-save, at tinatawag rozbіzhnym sa , o i-break na lang natin.

Dahil alam ng function ang pagkakaiba sa pagitan ng mga panloob na punto ng butas, kung gayon ang hindi halatang integral ng isa pang uri ay tinukoy ng formula:

[ed.] Geometric zmist hindi pantay na pagsasama II uri

Hindi malapot na integral na nakabitin sa lugar ng walang katapusang mataas na curvilinear trapezium

[ed.] puwit

[ed.] Okremy vipadok

Hayaang italaga ang function kasama ang buong numerical axis at maaaring lumawak sa mga punto.

Pagkatapos ay maaari mong malaman ang hindi kilalang integral

[ed.] Cauchy Criterion

1. Hayaang mapirmahan ito sa isang hindi kilalang tanawin .

Todi magtagpo

2. Hayaang italaga sa i .

Todi magtagpo

[ed.] Ganap na kaginhawahan

integral tinawag ganap na katulad, gusto magtagpo.
Kung ang integral ay ganap na nagtatagpo, kung gayon ang vin ay nagtatagpo.

[ed.] Umovna zbіzhnist

Ang integral ay tinatawag katulad ng pag-iisip, gustong magtagpo, ngunit maghiwa-hiwalay.

48 12. Unexplained integrals.

Kapag tinitingnan ang sing integrals, ipinapalagay namin na ang rehiyon ng integration ay napapalibutan (mas partikular, sa kaso ng [ a ,b ]); para sa batayan ng sing integral, ang pagpapalit ng integrand function sa [ a ,b ]. Pangalan natin mga linear integral, Para sa mga dumaranas ng mga insulto at pag-iisip (palitan at mga lugar ng integrasyon, at pinagsamang mga function) hawakan mo; mga integral, kung saan nilalabag ang mga halaga (kaya ang alinman sa pintegral function ay hindi pinaghihiwalay, o ang lugar ng pagsasama, o pareho sa parehong oras) malabo. Kanino nila hinati mi vivchimo hindi kasiya-siyang pagsasama.

• 12.1. Mga hindi pare-parehong pagsasama sa hindi lumalabas na interspace (hindi pare-parehong pagsasama ng unang uri).
• 12.1.1. Pagpapasiya ng isang hindi magkakasunod na integral sa isang hindi mauubos na pagitan. mag-apply.
• 12.1.2. Ang Newton-Leibniz formula para sa isang hindi magkadikit na integral.
• 12.1.3. Mga palatandaan ng pagkakahanay para sa hindi kilalang mga pag-andar.
• 12.1.3.1. Porіvnyannia sign.
• 12.1.3.2. Porіvnyannia sign sa boundary form.
• 12.1.4. Ganap na zbіzhnіst nevyshnіh іtegraіv sa bezkіnechnomu promyzhku.
• 12.1.5. Mga palatandaan ng buhay ni Abel at Dirichle.
• 12.2. Hindi pare-parehong pagsasama ng mga hindi umiiral na function (hindi maipaliwanag na mga integral ng ibang uri).
• 12.2.1. Ang pagtatalaga ng isang non-wired integral bilang isang non-circumstantial function.
• 12.2.1.1. Partikularidad sa kaliwang direksyon ng pagsasama.
• 12.2.1.2. Mga formula ng Zastosuvannya Newton-Leibniz.
• 12.2.1.3. Mga tampok ng kanang dulo ng pagsasama.
• 12.2.1.4. Mga espesyal na tampok ng panloob na punto ng pagsasama.
• 12.2.1.5. Mga tampok ng Dekіlka para sa pansamantalang pagsasama.
• 12.2.2. Mga palatandaan ng pagkakahanay para sa hindi kilalang mga pag-andar.
• 12.2.2.1. Porіvnyannia sign.
• 12.2.2.2. Porіvnyannia sign sa boundary form.
• 12.2.3. Ang ganap ay ang intelektwal na gawa ng mga hindi kapansin-pansing pagsasama sa anyo ng iba't ibang mga pag-andar.
• 12.2.4. Mga palatandaan ng buhay ni Abel at Dirichle.

12.1. Nevlasn_integrated sa non-bridged space

(napapabayaang mga integral ng unang uri).

12.1.1. Pagpapasiya ng isang hindi magkadikit na integral sa isang hindi mauubos na puwang. Halika sa function f (x ) ay itinalaga sa unang linya at isinama ayon sa anumang iba pang paraan [ vіd, mayuchi sa uvazi at dermal z tsikh vipadkіv іsnuvannya і kіncіvku іdpovіdnih inter. Ngayon ang solusyon ng mga application ay mukhang mas simple: .

12.1.3. Ipares ang mga marka para sa mga hindi kilalang function. Hinati namin ang allowance na ang lahat ng pіdintegrаlnі funktsії nevіd'єmnі sa lahat ng mga lugar ng appointment. Dosi mi vychaliali zbіzhnіst іntegrаl, іnоkshlyuyuchi yоgo: іs іsnuє іnє іnє іnє іnє іnє pervіsnoї іn vіdpovіdny pragnennіnte, іgver conge pragnennі (аrbo) Sa kaso ng paglabag sa mga praktikal na gawain, prote, mahalagang ilagay ang mismong katotohanan ng kakayahang kumita sa harap natin, at pagkatapos ay kakalkulahin lamang natin ang integral (bago iyon, ang pangunahin ay madalas na hindi ipinahayag sa pamamagitan ng mga pag-andar ng elementarya). Kami ay bumalangkas at nagdadala ng isang bilang ng mga theorems, na nagbibigay-daan sa amin upang maitaguyod ang flexibility at versatility ng mga di-umiiral na integral sa anyo ng mga invisible function, hindi binibilang ang mga ito.
12.1.3.1. Tanda ng pagkakahanay. Hayaan ang mga function f (x ) na g (x ) pagsasama-sama

Tulad ng makikita natin sa ibaba, hindi lahat ng elementarya ay maaaring isama, na ipinapakita sa elementarya na mga pag-andar. Samakatuwid, mahalagang makita ang gayong mga klase ng mga pag-andar, ang mga integral na maaaring ipahayag ng mga elementarya na pag-andar. Ang pinakasimple sa mga klase na ito ay ang klase ng mga rational function.

Kung posible ang isang rational function sa pagtingin sa isang rational fraction, ibig sabihin, tulad ng pagtingin sa dalawang polynomial:

Hindi paghahalo ang antok ng mirkuvannya, ipagpalagay natin na ang masaganang articulated ay hindi maaaring magkaroon ng isang inaantok na ugat.

Kung ang hakbang ng numeral ay mas mababa kaysa sa hakbang ng banner, kung gayon ang drіb ay tinatawag na tama, sa kabilang kaso, ang drіb ay tinatawag na hindi tama.

Kung mali ang drib, kung gayon, hinahati ang numero sa banner (bilang panuntunan, bibigyan kita ng mga rich terms), maaari mong ibigay ang drib sa paningin ng kabuuan ng rich term at ang tamang fraction:

narito ang isang polynomial, ang a ay isang regular na drib.

puwit t. Hayaang maibigay ang maling rational drib

Ang paghahati ng numeral sa isang banner (bilang panuntunan, pag-subdivide sa mga rich terms), kinukuha namin

Dahil ang pagsasama ng mga polynomial ay hindi nagiging mahirap, kung gayon ang pangunahing natitiklop sa pagsasama ng mga rational fraction ay nasa pagsasama ng wastong rational fractions.

appointment. Wastong rational fractions isip

ay tinatawag na pinakasimpleng mga praksyon ng mga uri ng I, II, III at IV.

Ang pagsasama-sama ng pinakasimpleng mga praksyon ng uri I, II at III ay hindi nagiging napakahirap, kaya't isasagawa namin ang kanilang pagsasama nang walang anumang karagdagang paliwanag:

Higit pang mga natitiklop na kalkulasyon ay mangangailangan ng pagsasama ng mga pinakasimpleng shot ng uri IV. Bigyan tayo ng integral ng ganitong uri:

Remake natin:

Ang unang integral ay kinukuha ng subset

Ang isa pang integral ay makabuluhang nakasulat sa mga tuntunin ng

para sa pagpasok ng ugat ng banner ng complex, at pagkatapos, inayos ni Dali sa darating na ranggo:

Isulat muli natin ang integral:

Pagsasama ayon sa mga bahagi, matimemo

Ang pagsusumite ng virase na ito sa paninibugho (1), kinukuha namin

Sa kanang bahagi mayroong isang integral ng parehong uri, na kung saan ay din ang tagapagpahiwatig ng hakbang ng pamantayan ng pintegral function na isang mas mababa; sa ganoong ranggo, nag-hang kami. Sa patuloy na paglalakad sa mismong landas na ito, pumunta tayo sa nangungunang integral.

Tulad ng nasabi ko na, walang madaling mga formula para sa pagsasama ng isang fraction sa integral na pagkalkula. At ito ay sinusundan ng isang hindi malinaw na kalakaran: kung ano ang "fancy" drіb, ito ay mas mahalagang malaman ang uri ng integral. Sa link na may cym, kinakailangan na pumunta sa iba't ibang mga trick, tungkol sa kung saan sasabihin ko sa iyo nang sabay-sabay. Ang mga handa na mambabasa ay maaaring mapabilis kaagad zmistom:

• Ang paraan ng pagdaragdag ng sign ng differential para sa pinakasimpleng fraction

Ang paraan ng conversion ng piraso ng numeral

puwit 1

Bago ang talumpati, ang pagsusuri ng integral ay maaaring masira at mapalitan ng isang pagbabago, na nagpapahiwatig, ngunit ang rekord ng desisyon ay makabuluhang natapos.

puwit 2

Alamin ang mga hindi halaga ng integral. Rebisyon ng Vikonati.

Ito ay isang halimbawa ng isang independiyenteng solusyon. Pakisaad na ang paraan ng pagpapalit ng pagbabago ay hindi gumagana dito.

Wow, ito ay mahalaga! Ilapat ang No. 1,2 - kadalasang ginagamit ang mga tipikal. Bilang karagdagan, ang mga katulad na integral ay madalas na sinisisi para sa pagbuo ng iba pang mga integral, pati na rin para sa pagsasama ng mga hindi makatwiran na pag-andar (mga ugat).

Sulyap sa pagtanggap ng pagsasanay at sa isang sulyap, bilang senior step ng numeral, mas malaki para sa senior step ng banner.

puwit 3

Alamin ang mga hindi halaga ng integral. Rebisyon ng Vikonati.

Simulan natin ang pagpili ng numero.

Ang algorithm para sa pagpili ng isang numero ay humigit-kumulang sa sumusunod:

1) Kailangan kong mag-organisa para sa number clerk, ngunit naroon. Anong trabaho? Inilagay ko ang mga busog at i-multiply sa:.

2) Ngayon sinusubukan kong buksan ang mga templong ito, ano ang nakikita natin? . Hmm ... mas maganda na, pero walang doubles sa likod sa number book. Anong trabaho? Ito ay kinakailangan upang i-multiply sa pamamagitan ng:

3) Muli kong binubuksan ang mga braso: . At ang axis at ang unang tagumpay! Kailangan ng viyshov! Ale, ang problema ay nagpakita ang zayviy dodanok. Anong trabaho? Ang Sob viraz ay hindi nagbago, kailangan kong idagdag sa aking sariling disenyo ang pareho:
. Naging mas madali ang buhay. Bakit hindi mo ito muling ayusin sa number book?

4) Kaya mo. Subukan Natin: . Pagbubukas ng mga arko ng isa pang dodanku:
. Vibatchte, ale, sa akin, ang malaking bato ay nasa harap na gantsilyo, at hindi. Anong trabaho? Kinakailangang i-multiply ang isa pang karagdagan sa pamamagitan ng:

5) Nagsisimula akong buksan ang mga busog ng isa pang dodan para sa muling pag-verify:
. Normal na ngayon ang axis: inalis mula sa natitirang construction point 3! Ale muli, sa maliit na "ale", lumitaw ang zave ng dodanok, ngayon, nagkasala ako sa pagdaragdag sa aking viraz:

Kung ang lahat ay nabaybay nang tama, pagkatapos ay kapag ang lahat ng mga arko ay binuksan, makikita natin ang output number ng integrand function. I-verify:
Mabuti.

Sa ganitong paraan:

handa na. Sa natitirang bahagi ng addendum, ako zastosuvav paraan ng pagpapasok ng function ng kaugalian.

Kung alam natin kung paano pangunahan ang isang viraz sa isang sleeping banner, tiyak na makikita natin ang isang pidintegral function sa atin. Ang isang pagtingin sa paraan ng paglalagay para sa isang bag ay walang iba, tulad ng isang pagbabalik upang dalhin ito sa isang natutulog na banner.

Ang algorithm para sa pagpili ng isang dial ng numero sa magkatulad na butts ay mas mahusay na gamitin sa itim. Para sa mga nagsisimula sa deyakyh, iniisip at iniisip namin. Hulaan ko ang isang record-breaking na hakbang, kung nakagawa ako ng pidbir para sa ika-11 na hakbang, at ang layout ng number book ay tumagal ng dalawang row ng Verd.

puwit 4

Alamin ang mga hindi halaga ng integral. Rebisyon ng Vikonati.

Ito ay isang halimbawa ng isang independiyenteng solusyon.

Ang paraan ng pagdaragdag ng sign ng differential para sa pinakasimpleng fraction

Lumipat tayo sa ganitong uri ng mga kuha.
, , , (mga coefficient at hindi katumbas ng zero).

Sa katunayan, ang ilang mga paglihis na may arcsine at arctangent ay nakalusot na sa aralin Ang paraan ng pagpapalit ng pagbabago sa isang hindi natukoy na integral. Virishuyutsya kaya ilapat ang paraan ng pagpapasok ng function sa ilalim ng pag-sign ng kaugalian at karagdagang pagsasama para sa karagdagang talahanayan. Aksis tipikal na mga stock na may mahaba at mataas na logarithm:

puwit 5

puwit 6

Dito, kunin ang talahanayan ng mga pagsasama at prostheses, para sa ilang mga formula yak zdіysnyuєtsya muling gawain. Ipakita ang paggalang, i-like at bisitahin maaari kang makakita ng mga parisukat sa mga puwit na ito. Zokrema, sa butt 6, sa likod, kinakailangang magbigay ng banner sa paningin Magpadala tayo ng liham sa sign ng differential. At lahat ng ito ay kinakailangan upang ayusin ito upang mapabilis ang karaniwang formula ng tabular .

Ang kahanga-hangang iyan, subukan nang mag-isa ang virishity butt No. 7,8, mas baho kung ikli:

puwit 7

puwit 8

Alamin ang inconsistency integral:

Upang mabigyan ka ng pagkakataong i-vikonate at muling i-verify ang mga application na ito, malaking paggalang - ang iyong mga kasanayan sa pagkakaiba-iba ay nasa mataas.

Ang paraan ng makita ang perpektong parisukat

Mga integral ng isip (Mga coefficient at hindi katumbas ng zero) sa pamamagitan ng paraan ng pagkakita ng isang perpektong parisukat, na naisip na sa aralin Geometric na pagbabago ng mga graphics.

Sa katunayan, ang mga integral na ito ay binuo hanggang sa isa sa apat na tabular integral, habang tinitingnan namin ang isa't isa. At abutin ang tulong ng mga kilalang formula ng mabilis na pagpaparami:

Ang mga formula na zastosovitsya mismo sa isang direktang paraan, upang ang ideya ng paraan ay batay sa katotohanan na ang bannerman ay dapat pagsama-samahin ang virazi abo, at pagkatapos ay gawing abo.

puwit 9

Alamin ang inconsistency integral

Ang pinakasimpleng puwit, para kay Yaku na may dodanku - isang solong koepisyent(at hindi ang numerong chi minus).

Nakatitig sa banner, dito malinaw na nakatitig ang lahat sa kanan. Sinimulan namin ang pagbabago ng banner:

Ito ay malinaw na ito ay kinakailangan upang magdagdag ng 4. Ako, kung ang viraz ay hindi nagbago - tsy apat at makita:

Ngayon ay maaari mong punan ang formula:

Dahil tapos na ang pagbabago MAGSIMULA Bazhano vikonati zvorotny hіd: maayos ang lahat, walang patawad.

Ang isang pinong dinisenyo na puwit, na makikita, ay maaaring magmukhang ganito:

handa na. Nag-aalok ng "mga freebies" natitiklop na function sa ilalim ng tanda ng kaugalian: , sa prinsipyo, maaari kang ma-bully

puwit 10

Alamin ang inconsistency integral:

Tse butt para sa malayang solusyon, bilang gabay sa aralin

puwit 11

Alamin ang inconsistency integral:

Anong trabaho, kung may minus noon? Sa iyong opinyon, kinakailangang sisihin ang minus para sa mga armas at ilagay ang mga karagdagan sa pagkakasunud-sunod na kailangan namin: . pare-pareho("dalawa" sa sa partikular na uri na ito) huwag humigop!

Ngayon sa mga templo dodaemo mag-isa. Pag-aaral ng viraz, dumating kami sa visnovka, kung ano ang kailangan para sa busog - idagdag:

Narito mayroon kaming isang formula, zastosovuemo:

MAGSIMULA vikonuemo sa itim na pagsasalin:
, Ano at kailangang suriin.

Ang tapos na puwit ay mukhang ganito:

Pasimplehin ang gawain

puwit 12

Alamin ang inconsistency integral:

Dito, kasama ang dodanka, hindi ito isang solong koepisyent, ngunit isang "lima".

(1) Kung may pare-pareho, її agad itong may kasalanan para sa mga braso.

(2) Una sa lahat, mas mabuting sisihin ang pare-pareho para sa interintegral, upang hindi mo ito igalang sa ilalim ng iyong mga paa.

(3) Ito ay malinaw na ang lahat ay maaaring bawasan sa isang formula. Kailangan mong pumunta sa dodanka, at ang iyong sarili, kunin ang "dalawa"

(4) Oo, . Kaya, ito ay nasa virazu, at ang parehong drib ay nakikita.

(5) Ngayon ay makikita mo na ang susunod na parisukat. Ang isang ganid na uri ay kailangan ding maging virahuvati, ngunit narito mayroon tayong pormula para sa lumang logarithm. , at hindi ko makita ang kahulugan, bakit - ikaw ay magiging malinaw sa isang troch na mas mababa.

(6) Vlasne, maaari mong punan ang formula , Palitan lamang ang "iks" sa amin, na hindi sumasalamin sa bisa ng integral na tabular. Mahigpit na tila, isang maikli ang nawawala - bago isama ang function, sundin ang differential sign: Ale, bilang ako na paulit-ulit na kalbo, tsim madalas nehtuyut.

(7) Sa ugat ng bagan, buksan ang lahat ng mga arko pabalik:

Mahalaga? Ito ay mas maginhawa sa integral na pagkalkula. Kung gusto mong mag-apply, kung ano ang iyong tinitingnan, hindi masyadong foldable, skilki kailangan ng isang mahusay na pamamaraan upang makalkula.

puwit 13

Alamin ang inconsistency integral:

Ito ay isang halimbawa ng isang independiyenteng solusyon. Vidpovіd naprikintsi aralin.

Іsnuyu іntegrаli z znamennikam znamennik, yakі zapomogoyu zameni zvoditsya іntegrіlі v zglyadnogo type, tungkol sa kanila maaari mong basahin ang statі Mga integral na natitiklop Nanalo si Ale sa razrakhovana sa arko ng mga sinanay na estudyante.

Anunsyo ng numeral ng tanda ng kaugalian

Ito ang huling bahagi ng aralin, ang mga pagsasama-sama ng ganitong uri ay madalas na nakumpleto nang madalas! Magkano ang naipon sa volume, siguro, mas maganda basahin bukas? ;)

Ang mga integral, sa nakikita natin, ay katulad ng mga integral ng front paragraph, makikita mo ang baho: kung hindi. (Coefficients, hindi ako katumbas ng zero).

Iyon ang dahilan kung bakit mayroon kaming linear function para sa numerator. Paano virishuvati kaya pinagsama?

Ipakilala ang mga formula ng visnovok para sa pagkalkula ng mga integral sa pinakasimpleng, elementarya, mga fraction ng ilang uri. Higit pang mga natitiklop na pagsasama sa mga fraction ng ikaapat na uri ay kinakalkula para sa karagdagang formula ng pagbawas. Ang butt ng integrating shot ng ikaapat na uri ay sinusuri.

Zmist

Div. din: Talaan ng mga hindi mahalagang integral
Mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga hindi gaanong mahalagang integral

Sa lumalabas, kung ang isang makatwirang function tulad ng isang tunay na pagbabago x ay maaaring mabulok sa isang rich term at ang pinakasimpleng, elementary fractions. Є chotiri mga uri ng pinakasimpleng fraction:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Dito a, A, B, b, c - diysnі numero. Rivnyanya x 2+bx+c=0 Wala akong tunay na ugat.

Pagsasama-sama ng mga fraction ng unang dalawang uri

Ang pagsasama ng unang dalawang praksyon ay sinusundan ng mga karagdagang formula mula sa mga talahanayan ng mga pagsasama:
,
, n ≠ - 1 .

1. Pagsasama-sama ng isang fraction ng unang uri

Ang bahagi ng unang uri ng pagpapalit t \u003d x - a ay nabawasan sa isang tabular integral:
.

2. Pagsasama ng isang fraction ng isa pang uri

Ang isang fraction ng isa pang uri ay binabawasan sa isang tabular integral tієyu w substitution t \u003d x - a:

.

3. Pagsasama ng isang bahagi ng ikatlong uri

Tingnan natin ang integral ng fraction ng ikatlong uri:
.
Nagbibilang ng yoga sa dalawang priyomi.

3.1. Krok 1

Makikita natin sa number book ang shot na parang banner. Makabuluhang: u = x 2+bx+c. Differentially: u′ = 2 x + b. Todi
;
.
ale
.
Inalis namin ang sign ng module, oskilki.

Todi:
,
de
.

3.2. Krok 2. Kinakalkula ang integral z A \u003d 0, B \u003d 1

Ngayon ay maaari nating kalkulahin ang integral na nawawala:
.

Itinuturo namin ang banner ng fraction sa kabuuan ng mga parisukat:
,
de.
Pinapahalagahan namin na ikaw ay pantay na x 2+bx+c=0 walang ugat. Tom.

Zrobimo substitution
,
.
.

Otzhe,
.

Alam mismo ni Tim ang integral ng bahagi ng ikatlong uri:

,
de.

4. Pagsasama-sama ng isang bahagi ng ikaapat na uri

At ngayon, tingnan natin ang integral ng bahagi ng ikaapat na uri:
.
Kalkulahin ang yoga sa tatlong priyomi.

4.1) Makikita natin sa numeral book ang banner ng banner:
.

4.2) Pagkalkula ng integral
.

4.3) Mga nakalkulang integral
,
vicorist formula na ibinigay:
.

4.1. Krok 1

Nakita natin sa numeral book na wala na ang bannerman, dahil ninakawan tayo. Makabuluhang u = x 2+bx+c. Differentially: u′ = 2 x + b. Todi
.

.
ale
.

Ang natitirang maєmo:
.

4.2. Krok 2. Pagkalkula ng integral na may n = 1

Kinakalkula integral
.
Ang pagkalkula ng Yogo ay nai-post sa .

4.3. Hakbang 3. Visnovok guidance formula

Ngayon tingnan natin ang integral
.

Pag-induce ng square trinomial sa kabuuan ng mga parisukat:
.
Dito.
Nagtatrabaho kami sa isang pagpapalit.
.
.

Vikonuєmo pagbabago at integruєmo vrozdrib.




.

Multiply sa 2(n - 1):
.
I-rotate sa x at I n .
,
;
;
.

Gayundin, para sa In inalis namin ang formula ng pagbabawas:
.
Patuloy na pagharang sa formula 1 .

puwit

Kalkulahin ang integral

1. May nakita kaming bannerman sa numeral book.
;
;


.
Dito
.

2. Pagkalkula ng integral sa anyo ng pinakasimpleng fraction.

.

3. Zastosovuєmo formula na ibinigay:

para sa integral.
Ang aming vipadka b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Isinulat namin ang formula para sa n = 2 at n = 3 :
;
.
Zvіdsi

.

Ang natitirang maєmo:

.
Alam natin ang coefficient sa .
.

Div. din: