Ang tanda ng equivalence ng integral. Paano magtalaga ng isang unclassified integral at z'yasuvati yogo zbіzhnist. Paghirang at pangunahing kapangyarihan

Nevlasni integrals ng unang uri. Sa katunayan, ang parehong pagsasama ng kanta, ngunit sa kabaligtaran ng mga kaso, kung isinama nila ang isang hindi mauubos na upper o lower interintegration, o isang insulto sa pagitan ng isang inextricable integration.

Hindi pantay na mga integral ng ibang uri. Sa katunayan, ito ay ang parehong singable integral, ngunit sa kabaligtaran, kung ang integral ay kinuha mula sa hindi pinagsama-samang mga function, ang integrand function ay nasa huling numero ang punto ng terminal integridad ay hindi maaaring isama, na hindi mauubos.

Para sa povnyannya. Sa pagpapakilala ng pag-unawa sa sing integral, naihatid na ang function f(x) nang walang pagkagambala sa hangin [ a, b]. Deyakі zavdannya prizvodit sa nebhіdnostі vіdmovitysa vіd tsikh obmezhen. Ganito sinisisi ang mga hindi kasiya-siyang integral.

Geometric zmіst ng isang hindi magkadikit na integral z'yasovuєtsya dosit madali. Minsan, kung ang iskedyul ng function y = f(x) alam ng higit sa baka, ang singing integral ay lumiliko sa lugar ng curvilinear trapezium, ang circumscribed curve y = f(x) , abscissa at ordinates x = a , x = b. Sa gilid nito, ang hindi nakatago na integral ay yumuko sa lugar ng hindi naka-circumscribed (unskinned) curvilinear trapezium, na inilatag sa pagitan ng mga linya. y = f(x) (medyo mas mababa - isang pulang kulay), x = a i vіsyu abscissa.

Ang isang kahalintulad na ranggo ay itinalaga sa mga walang kaparis na integral ng iba pang hindi naglilimita na mga agwat:

Ang lugar ng walang katapusang curvilinear trapezium ay maaaring ang huling numero at kung saan ang hindi pare-parehong integral ay tinatawag na magkatulad. Ang lugar ay maaaring maging at hindi pagkakapare-pareho at sa ilang paraan ang hindi pantay-pantay na integral ay tinatawag na rozbіzhny.

Vykoristanya mezhі і іntegrаl zamіst іnevlіsnіshії іntegrаl. Upang makalkula ang hindi maliwanag na integral, kinakailangan upang gumuhit sa pagitan kumanta ng integral. Tulad ng kung ang hangganan sa pagitan ng orihinal at dulo (hindi ang parehong hindi pagkakapare-pareho), pagkatapos ay ang hindi pantay-pantay na integral ay tinatawag na katulad, at sa ibang paraan - razbіzhny. Paano binago ang pragne sa ilalim ng tanda ng hangganan, upang mahulog sa linya sa kung ano ang maaaring tama sa hindi naayos na integral ng unang genus at isa pang genus. Alam namin ang tungkol dito nang sabay-sabay.

Hindi magkatugma na mga integral ng unang uri - na may hindi malinaw na mga hangganan at pagkakatulad

Mga hindi pantay na integral na may hindi nababalat na hangganan sa itaas

Gayundin, ang talaan ng hindi magkadikit na integral ay itinuturing na kapareho ng makabuluhang integral, dahil ang itaas na hangganan ng pagsasama ay hindi limitado.

appointment. Isang hindi malinaw na integral na may hindi mauubos na itaas na limitasyon ng pagsasama sa walang tigil na pag-andar f(x) para sa isang pahinga a dati ∞ ay tinatawag na hangganan ng integral ng function at ang itaas na hangganan ng integration b na pagsasama-sama ng mas mababang hangganan a tandaan na ang itaas na hangganan ng pagsasama ay lumalaki nang walang hangganan, pagkatapos.

.

Kung ito ay nasa pagitan ng totoo at tunay na bilang, at hindi hindi pagkakapare-pareho, kung gayon hindi natukoy na integral ay tinatawag na magkatulad at ang numero, na mas malapit sa hangganan, ay kinuha bilang halaga nito. Sa ibang direksyon unclassified integral ay tinatawag na razbіzhny at hindi ito binibigyan ng parehong kahulugan.

Halimbawa 1. Kalkulahin ang hindi natukoy na integral(kung paano nagtatagpo ang mga alak).

Solusyon. Sa batayan ng pagtatalaga ng hindi magkakasunod na integral, alam natin

Kaya, bilang sa pagitan ng kasalukuyang at ang lumang 1, pagkatapos ay ang Danes non-contiguous integral converge i dorivnyu 1.

Sa nakakasakit na butt, ang pidintegral function ay maaaring kapareho ng sa butt 1, tanging ang mga hakbang ng x ay hindi isang dalawa, ngunit ang titik alpha, ngunit ang gawain ng huling integral integral ay zbіzhnist. Upang umasa sa kapangyarihan: para sa ilang mga halaga ng alpha, ang hindi pantay na integral ay nagtatagpo, at para sa ilan ay nag-iiba ito?

Halimbawa 2(Ang mas mababang hangganan ng pagsasama ay mas malaki kaysa sa zero).

Solusyon. Magsimula tayo pabalik, sho, todi

Lumipat tayo sa hangganan sa kabilang direksyon sa:

Hindi mahalaga kung ano ang hangganan sa pagitan ng tamang bahagi ay totoo at katumbas ng zero, kung, pagkatapos, at kung hindi, kung, pagkatapos.

Sa unang kalagayan, maaaring iyon ang lugar. Yakscho isang bagay hindi ko alam.

Visnovok ng aming susunod na opensiba: Denmark non-contiguous integral converge sa i maghiwa-hiwalay sa .

Ang formula ng Newton-Leibniz , maaari kang pumasok sa mga yapak at pumunta sa kanyang formula:

.

Ang formula ng Newton-Leibniz ay zagalnen.

Halimbawa 3. Kalkulahin ang hindi natukoy na integral(kung paano nagtatagpo ang mga alak).

Sa pagitan ng tsgogo іsnuє:

Ang isa pang integral, na gumagawa ng kabuuan, na nagiging panlabas na integral:

Ginagamit din ang inter-integral:

.

Alam natin ang kabuuan ng dalawang integral, na siyang halaga ng panlabas na hindi tuluy-tuloy na integral na may dalawang walang katapusang hangganan:

Mga hindi pantay na integral ng ibang uri - sa anyo ng mga hindi umiiral na pag-andar at pagkakapareho ng mga ito

Halika sa function f(x) itinalaga sa vіdіzku vіd a dati b at hindi napapaligiran ng bago. Ito ay katanggap-tanggap na ang function ay transformed sa hindi pagkakapare-pareho sa punto b , sa oras na iyon, sa lahat ng iba pang mga punto, ang hangin ay walang pagkagambala.

appointment. Ang hindi maintindihang integral ng function f(x) sa vіdіzku vіd a dati b ay tinatawag na hangganan ng integral ng function at ang itaas na hangganan ng integration c , tulad ng sa ehersisyo c dati b ang pag-andar ay lumalaki nang malaki, ngunit mga tuldok x = b function na hindi itinalaga, pagkatapos.

.

Halimbawa, kung mayroong isang hangganan, kung gayon ang isang hindi natukoy na integral ng isa pang uri ay tinatawag na katulad, kung hindi man - razbіzhny.

Vikoristovuyuchi Newton-Leibniz formula, tila.

Bilang isang function na pidintegral ay maaaring nasa (terminal) na agwat ng pagsasama, sa paggalugad ng ibang genus, masasabi ng isa ang isang hindi natukoy na integral ng ibang genus.

10.2.1 Paghirang at pangunahing awtoridad

Makabuluhang agwat ng pagsasama $ \ kaliwa [ a, \, b \ kanan ] $; Kung mayroong higit sa 1 pagpapalawak, ang vin ay maaaring nasa puntong $a$, o sa puntong $b$, o sa gitna ng pagitan ng $(a,\,b)$. Tingnan natin ang kabaligtaran, kung titingnan natin ang isa pang uri ng є sa puntong $a$, at sa ibang mga punto ang integrand ay walang tigil. Otzhe, tinatalakay namin ang integral

\begin(equation) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(equation)

saka, $f(x) \rightarrow \infty $ kung $x \rightarrow a+0$. Tulad ng dati, dapat nating bigyan ng kahulugan ang viraz na iyon. Para kanino natin titingnan ang integral

\[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

appointment. Nehay isnuє kіnceva hangganan

\A = \lim _ ( \epsilon \rightarrow +0) I ( \epsilon ) = \lim _ ( \epsilon \rightarrow +0) \int _ (a + \epsilon) ^b f(x) \,dx. \]

Pagkatapos ay sinasabi namin na ang isang hindi natukoy na integral ng isa pang uri (22) ay nagtatagpo, at dito namin itinalaga ang halaga $ A $, ang function na $ f (x) $ mismo ay tinatawag na pinagsama sa pagitan ng $ \ kaliwa [a, \, b \ kanan] $.

Tingnan natin ang isang variant, kung titingnan natin ang isa pang uri ng integrand function - ang itaas na agwat ng pagsasama. Ang pagliko na ito ay maaaring dalhin sa harap sa pamamagitan ng pagpapalit ng pagbabago $x=-t$ at pagkatapos ay muling ayusin ang interintegration.

Tingnan natin ang isang variant kung titingnan natin ang isa pang uri ng integrand function sa gitna ng integration interval, sa puntong $ c \in (a, \, b) $. Kaninong isip ang may panlabas na integral

\begin(equation) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(equation)

maglingkod sa paningin ni sumi

\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]

appointment. Kung ang dalawang integral na $I_1, \, I_2$ ay nagtagpo, kung gayon ang hindi magkakasunod na integral (23) ay tinatawag na magkatulad at ang halaga na itinalaga dito ay katumbas ng kabuuan ng mga integral na $I_1, \, I_2$, at ang function $f(x)$ ay tinatawag na integrated sa pagitan ng $\ left[a,\,b\right]$. Kung gusto nating magkahiwalay ang isa sa mga integral na $I_1,\, I_2$, ang undefined integral (23) ay tinatawag na disproportionate.

Maaaring gamitin ang mga converging unclassified integral ng ika-2 uri bilang mga standard na feature ng tradisyonal na singable integral.

1. Gayundin ang $f(x)$, $g(x)$ ay isinama sa pagitan ng $\left[ a, \,b \right ]$, at ang sum $f(x)+g(x)$ ay isinama din sa mga pagitan, at \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^(b )g ( x) dx. \] 2. Dahil ang $f(x)$ ay isinama sa pagitan ng $\left[ a, \, b \right ]$, kung gayon para sa anumang constant $C$ ang function na $C\cdot f(x)$ ay din pinagsama sa kung aling pagitan, at \[ \ int _a ^ (b) C \ cdot f (x) dx = C \ cdot \ int _a ^ (b) f (x) dx. \] 3. Dahil ang $f(x)$ ay isinama sa interval $\left[ a, \, b \right ]$, at sa interval na iyon $f(x)>0$, pagkatapos ay \[ \int _a^ (b ) f (x) dx \, > \, 0. \] 4. Kung ang $f(x)$ ay isinama sa pagitan ng $\left[ a, \, b \right ]$, kung gayon anuman ang $c\in (a, \,b)$ integrals \[ \int _a ^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] ay maaaring magtagpo, at \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a^( c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (additiveness ng integral sa pagitan).

Tingnan natin ang integral

\begin(equation) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(equation)

Tulad ng $k>0$, ang integrand function ay tama $\infty$ para sa $x \rightarrow +0$, at ang integral ay ibang uri. Ipinapakilala ang function

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \]

Sa sandaling ito, ang unang view ay nasa bahay, kaya

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \]

para sa $k \neq 1$,

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \]

para sa $k = 1$. Sa pagtingin sa pag-uugali sa $\epsilon \rightarrow +0$, nakarating kami sa konklusyon na ang integral (20) ay nagtatagpo sa $k

10.2.2 Mga palatandaan ng morbidity ng hindi kilalang integral ng ika-2 uri

Theorem (ang unang tanda ng pagkakaiba). Hayaang ang $f(x)$, $g(x)$ ay walang patid para sa $x\in (a,\,b)$, bukod pa rito, $0 1. Ito ang integral na \[ \int _a^(b)g( x)dx \] converge, pagkatapos ay ang th integral \[ \int _a^(b)f(x)dx. \] 2. Kung ang integral na \[ \int _a^(b)f(x)dx \] ay naghihiwalay, pagkatapos ay ang і integral \[ \int _a^(b)g(x)dx ay diverge. \]

Theorem (isa pang tanda ng pagkakaiba). Hayaan ang $f(x)$, $g(x)$ na maging tuluy-tuloy at positibo para sa $x\in (a,\,b)$, bukod dito, may hangganan ang hangganan

\[ \theta = \lim_(x \rightarrow a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

Kabuuang integral

\[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \]

magkasabay o magkahiwa-hiwalay.

Ilapat ang mga sumusunod na hindi tugmang integral sa trabaho

puwit 1
.

Sa ganitong paraan, ang ibinigay na integral ay nagtatagpo para sa a>1 at diverges para sa a1.

puwit 2 Dosliditi sa zbіzhnist. Kinakalkula namin ang integral para sa mga appointment:
.

Sa ganitong paraan, ang danish integral ay nagtatagpo para sa a<1 и расходится при a³1.

puwit 3 Sundin ang kakayahang kumita .

<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два

.

Ang convergence ng unang integral I1 ay maaaring sundan ng isang karagdagang katumbas na function: (dahil n>0), at ang integral ay nagtatagpo kapag m>-1 (appendix 2). Katulad nito, para sa integral I2:

At ang integral ay nagtatagpo pagkatapos ng m+n<-1 (пример2). Следовательно, исходный интеграл сходится при выполнении одновременно двух условий m>-1 at m+n<-1, и будет расходится при нарушении хотя бы одного из них.

puwit 4 Dosliditi sa zbіzhnist.

Ang integrand function ay maaaring maging napakahusay (tulad ng m<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два:

Oskіlki arctgx »x sa x®0, pagkatapos ay ang integral I1 ay katumbas ng integral , na nagtatagpo sa m + 1> -1 pagkatapos ay sa m> -2 (inilapat 1).

Para sa integrand function sa non-wired integral ng unang genus I2, ito ay sub-optimal na katumbas ng:

sparks arctgx » p/2 at x® ¥. Nang maglaon, pagkatapos ng isa pang tanda, ang pagsasama ng I2 ay nagtatagpo para sa m + n<-1, и расходится в противном случае.

Isa-isa, kalkulahin ang kahusayan ng mga integral na I1 at I2, inaalis namin ang kahusayan ng output integral: m>-2 at m+n<-1 одновременно.

Paggalang. Sa butts ng 2-4 vicorists, mayroong 2 mga palatandaan ng pagkakaiba, na kinakailangan para sa kaligtasan ng kinakailangang sapat na katalinuhan, na nagpapahintulot, na itakda ang kahusayan para sa deuce ng mental na halaga ng mga parameter, hindi upang dalhin ang integrasyon ng integral kapag nasira ang kahusayan ng isip.

puwit 5 Dosliditi sa zbіzhnist.

Ang danish integral upang markahan ang singular point 0, kung saan ang piintegral function ay maaaring ma-convert sa inconsistency sa p<0, поэтому снова разобьем исходный интеграл на два:

.

Ang integral I1 ay isang hindi maintindihang integral ng ibang uri, at ang pintegral na function ay katumbas sa x®0 sa function na xp (e-x ®1 at x®0), pagkatapos ay ang I1 ay nagtatagpo sa p>-1 (appendix 1).

Ang Integral I2 ay isang hindi maintindihang integral ng unang uri. Pumili ng isang function na katumbas ng integrand function, upang hindi nito maalis ang display function, huwag pumunta dito. Upang iyon, hindi posible na manalo ng marka ng katumbas na 2, tulad ng sa mga butts sa harap. Kinakailangan na ituloy ang tanda ng pagkakaiba, kinakailangan upang manalo ng gayong katotohanan:

Para sa a>0, ito ay parang p. Dahil ang xpe-ax function ay walang tigil, umiiyak, dahil ang function ay limitado, kaya mayroong isang pare-parehong M>0, kaya xpe-ax< M. Возьмем, например, a=1/2, и оценим интеграл I2 сверху:

Iyon ay, ang integral I2 ay nagtatagpo para sa anumang p.

Sa ganitong paraan, ang panghuling integral ay nagtatagpo sa -1.

puwit 6 Dosliditi sa zbіzhnist.

Baguhin natin ang pagbabago: t = lnx i take

Ang paghahati sa integral sa dalawa ay viroblen katulad ng butt 5. Ang integral I1 ay ganap na katumbas ng integral I1 mula sa butt 5 i, pagkatapos, converge sa q<1.

Tingnan natin ang integral I2. Hugasan ang iyong isip 1-p<0 этот интеграл полностью эквивалентен интегралу I2 в примере 5 (доказательство сходимости аналогично, а условие 1-p<0 нужно для выполнения i a = (1-p) / 2.).

Gayundin, ang I2 ay nagtatagpo para sa p>1. Prote, kung kanino ang pag-aaral ng kahusayan ng integral na ito ay hindi nakumpleto, ang mga shards ng mga tagumpay ng tanda ng kahusayan ay nagbibigay ng higit sa sapat na katalinuhan. Samakatuwid, ito ay kinakailangan upang taasan ang kahusayan sa 1-p£0.

Tingnan natin ang p=1. Pagkatapos ang integral I2 ay katumbas, na nagtatagpo para sa q>1 (depende sa kung aling paraan ang integral I1 ay nag-iiba) at nag-iiba sa ibang direksyon.

Para sa p<1 оценим интеграл I2 и покажем его расходимость. Для этого вспомним, что Sa 1-p>0, i, pagkatapos, pochinayuchi z deyakogo A>1 vikonano T- QE(1- P) T³M=const>0. Pagkatapos, para sa integral I2, ang pagtatantya

,

Ang deintegral sa kanang bahagi ay naghihiwalay, upang dalhin ang divergence ng integral I2.

Kung isasaalang-alang ang mga resulta, ipinapalagay namin na ang nagresultang integral ay nagtatagpo sa q<1 и p>1, kung hindi, ang integral ay diverges.

puwit 6 Sundin ang ganap na pag-iisip.

Rozіb'єmo vihіdny Іntegrl para sa dalawa:

.

Buhay. Integral na katumbas ng I1 , ibig sabihin, converge para sa p<2 (пример 1) , причем абсолютно, так как подынтегральная функция положительна на отрезке интегрирования.

Ang integral I2 ay nagtatagpo pagkatapos ng Dirichlet-Abel sign sa p>0, upang ang pangunahing sin(x) ay ma-delimited, at ang function na 1/xp ay monotonically binabawasan sa zero kapag ang x ay nabawasan sa hindi pagkakapare-pareho.

Ipakita natin na ang integral ay diverges para sa p£0. Kami ay nagpapabilis para sa kung aling pamantayan ng Kosh, o sa halip, para sa mga sumusunod na listahan

.

Kunin natin ang R1і R2 bilang kasalukuyang mga halaga: R1=2pk і R2=2pk+p/2, pagkatapos

para sa p>0.

Sa ganitong paraan, ang integral ay nagtatagpo sa 0

Ganap na kaginhawaan Ang ganap na kahusayan ng integral I1 ay naka-install na, tingnan natin ang ganap na kahusayan ng I2. Tantyahin natin ang integral sa hayop:

, ibig sabihin, ang integral ay nagtatagpo para sa p>1.

Upang patunayan ang versatility para sa p £ 1, tinatantya namin ang integral mula sa ibaba

.

Rozіb'єmo remaining іntegrіl vіd vіd vіd іnіtіnі functions іn іnііtіvаі іntegаіv

.

Kung ang dalawang integral ay magtatagpo, ang mga integral na iyon ay mag-iiba, kung ang isa sa mga integral ay maghihiwalay, at ang isa pa ay magtatagpo, kung gayon ang retail integral ay magkakaiba. Sa iba't ibang razbіzhnosti parehong іntegrіlіv zbіzhnіst іntegrіl vіd rіznitі pіdlаgaє podslіdzhennyu. Tinatawag kami ng isa pang paglalarawan ng vipadkiv.

Paghiwalayin (butt 1) ​​​​sa p<1. сходится по признаку Дирихле-Абеля при 1>p>0 (div. convergence), kaya ang integral ay sinusuri mula sa ibaba ng expansion integral, upang ito ay mag-iba.

Ang pagbagsak ng p³1 ay hindi pinipiga sa amin, dahil para sa mga halagang ito ng parameter ang integral ay diverges.

Sa ganitong paraan, ang panghuling integral ay ganap na nagtatagpo sa 0

Tulad ng nakikita mo, ang halaga ng integral ay maaaring makamit sa pamamagitan ng natitiklop na mga gawain. Ito ay magiging mahusay na rozcharuvannya upang kunin ang pagkalkula ng hindi marahas na integral at upang ipakita halimbawa ang paraan na ang mga baging ay magkakaiba. Para sa kadahilanang ito, ang mga pamamaraan na nagpapahintulot, nang walang seryosong pagkalkula, isang uri ng pag-andar na lumago ang mga visnovok tungkol sa pagiging posible o rozbіzhnist ng isang non-linear integral. Ang una at iba pang theorems ng equalization, gaya ng titingnan sa ibaba, ay makabuluhang nakakatulong upang magdagdag ng hindi maayos na mga integrasyon sa ekonomiya.

Hayaan ang f(x)?0. Parehong function

є monotonically pagtaas sa anyo ng pagbabago t abo-d (scalings kinuha d> 0, -d pragne zero zliva). Kung ang mga argumento ng mga function na F 1 (t) at F 2 (-d) ay umaapaw sa iba't ibang paraan, nangangahulugan ito na ang mga hindi pantay na integral ay nagtatagpo. Sa aling batayan ang unang teorema ng pagkakapare-pareho para sa mga integral sa anyo ng mga hindi nakikitang pag-andar ay nakabatay.

Hayaan para sa function na f(x) at g(x) na may x?

• 1) 0?f(x)?g(x);
• 2) Ang mga function na f(x) at g(x) ay walang harang.

Ang parehong zbіzhnosti іntegrаl vplє zbіzhnіst іntegra, na yakshchoz zіzbіzhnosti іntegrаl

Skіlki 0?f(x)?g(x) at gumagana nang walang pagkaantala, kung gayon

Para sa isip integral na magtagpo, tobto. maє kіntsev halaga. Gayundin, ang integral ay nagtatagpo sa parehong paraan.

Ngayon hayaan ang integral diverge. Ito ay katanggap-tanggap na ang integral ay nagtatagpo, ngunit kung ang integral ay nagtatagpo, kung gayon ang isip ay maaaring pumalit. Mali ang allowance natin, the integral diverges.

Porіvnyannya theorem para sa mga hindi maliwanag na integral ng ika-2 uri.

Hayaang lumaki ang mga function na f(x) at g(x) nang walang katiyakan para sa x>+0. Para dito, para sa x>+0, ang hindi pagkakapantay-pantay<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также.

Porіvnyannya theorem para sa hindi maliwanag na integral ng 1st kind.

Hayaan para sa function na f(x) at g(x) na mag-diverge ang integral.

Otzhe, sa dilyantsі іntegral din diverge.

Sa ganitong pagkakasunud-sunod, ang Danish integral ay nag-iiba sa buong linya [-1, 1]. Kapansin-pansin, kung sinimulan nating bilangin ang integral, nang hindi pinalalaki ang paggalang sa pagsusuri ng integrand function sa puntong x = 0, pagkatapos ay aalisin natin ang maling resulta. totoo,

, na imposible.

Gayundin, sa pagkumpleto ng isang hindi magkakasunod na integral bilang isang disparate function, kinakailangan na "hatiin" ang unang splice ng mga integral at idagdag ang mga ito.