Το Rivnyannia βρίσκεται ακριβώς δίπλα στον ανοιχτό χώρο. Ισοπέδωση του αεροπλάνου: απότομη, από τρία σημεία, κανονική.

Οι κανονικές ευθείες στον χώρο ονομάζονται ευθείες, οι οποίες δηλώνουν μια ευθεία γραμμή, η οποία διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο συγγραμμικά προς ένα άμεσο διάνυσμα.

Έστω ένα σημείο και ένα άμεσο διάνυσμα. Επαρκές σημείο για να βρεθείτε σε ευθεία γραμμή μεγάλομόνο με αυτόν τον τρόπο, ως διανύσματα και συλλογικά, ώστε να κερδίζει γι' αυτούς το μυαλό:

.

Κατευθυνόμενες περισσότερες ευθείες γραμμές και κανονικές ευθείες γραμμές.

Αριθμοί Μ , nі Πє προβολές του ευθύς διανύσματος του άξονα συντεταγμένων. Εφόσον το διάνυσμα είναι μη μηδενικό, τότε όλοι οι αριθμοί Μ , nі Πδεν μπορεί να φτάσει το μηδέν σε μια νύχτα. Αλλά ένα ή δύο από αυτά μπορεί να φαίνονται ίσα με μηδέν. Στην αναλυτική γεωμετρία, για παράδειγμα, επιτρέπεται ο ακόλουθος συμβολισμός:

,

που σημαίνει ότι οι διανυσματικές προβολές στον άξονα Ωχі Οζίσο με μηδέν. Επομένως, το i είναι ένα διάνυσμα, το i είναι μια ευθεία γραμμή, που δίνεται από κανονικές ευθείες, κάθετες στους άξονες. Ωχі Οζ, δηλαδή επίπεδη yOz .

παράδειγμα 1.Τοποθετήστε ευθείες γραμμές στο χώρο, κάθετες στο επίπεδο περνώ από το σημείο της εγκάρσιας ράβδου tsієї επίπεδα Οζ .

Λύση. Γνωρίζουμε το σημείο διασταύρωσης Οζ. Έτσι σαν ένα σημείο, τι να ξαπλώσει στον άξονα ΟζΣυντεταγμένες maє, λοιπόν, vvazhayuchi σε ένα δεδομένο ίσο επίπεδο x=y= 0, πάρτε 4 z- 8 = 0 ή z\u003d 2. Αργότερα, το σημείο διέλευσης δίνεται από το αεροπλάνο από τη γραμμή Οζμπορεί να συντεταγμένες (0; 0; 2). Η ευθεία Oskolki είναι κάθετη στο επίπεδο, είναι παράλληλη με το κανονικό διάνυσμα її. Επομένως, ένα άμεσο διάνυσμα μπορεί να είναι ένα κανονικό διάνυσμα δεδομένη επιφάνεια.

Τώρα ας γράψουμε τις ευθείες για να περάσουμε από το σημείο ΕΝΑ= (0; 0; 2) y ευθύ διάνυσμα:

Ευθυγράμμιση μιας ευθείας γραμμής για διέλευση από δύο δεδομένα σημεία

Μια ευθεία γραμμή μπορεί να δοθεί από δύο σημεία, τα οποία βρίσκονται πάνω της і Για αυτό το άμεσο διάνυσμα, ένα άμεσο διάνυσμα μπορεί να είναι ένα διάνυσμα. Todі canonіchnі rіvnyannya απευθείας nabudu vglyadu

.

Το να δείχνεις περισσότερες ευθείες προσδιορίζει μια ευθεία, η οποία θα διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.

πισινό 2.Τοποθετήστε ευθείες γραμμές στον ανοιχτό χώρο για να περάσετε από τα σημεία i.

Λύση. Ας γράψουμε τον ήχο της ευθείας γραμμής στο θέαμα, που βγήκε στην επιφάνεια στο θεωρητικό συμπέρασμα:

.

Oskіlki, τότε η γραμμή είναι κάθετη στον άξονα Ωχ .

Μια ευθεία γραμμή σαν μια γραμμή φλατ

Μια ευθεία γραμμή στο χώρο μπορεί να χαρακτηριστεί ως γραμμή διέλευσης δύο μη παράλληλων επιπέδων, έτσι ως απρόσωπο σημείο που ικανοποιεί δύο συστήματα γραμμικά ποτάμια

Η ισοπέδωση του συστήματος ονομάζεται και άγρια ​​ισοπέδωση της ευθείας στον ανοιχτό χώρο.

παράδειγμα 3.Τοποθετήστε την κανονική ευθεία στον ανοιχτό χώρο, που ορίζεται από τις άγριες γραμμές

Λύση. Για να γράψουμε την κανονική στοίχιση των ευθειών ή ότι αυτές οι ίδιες ευθείες που διέρχονται από δύο δεδομένα σημεία, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του εάν υπάρχουν δύο σημεία της ευθείας. Μπορούν να είναι σημεία της εγκάρσιας γραμμής με κάποιο είδος δύο επιπέδων συντεταγμένων, για παράδειγμα yOzі xOz .

Το σημείο της εγκάρσιας γραμμής είναι ευθεία με το επίπεδο yOzτετμημένη Χ= 0. Σε αυτό, το vvazhayuchi στο σύστημά μου ισούται Χ= 0 παίρνουμε το σύστημα με δύο αλλαγές:

Її απόφαση y = 2 , z= 6 ταυτόχρονα Χ= 0 εκχωρεί ένα σημείο ΕΝΑ(0; 2; 6) ευθείες γραμμές shukano. Vvazhayuchi potim στο έργο του συστήματος rivnyan y= 0 πάρτε το σύστημα

Її απόφαση Χ = -2 , z= 0 μαζί y= 0 εκχωρεί ένα σημείο σι(-2; 0; 0) ευθεία γραμμή με επίπεδη xOz .

Τώρα ας γράψουμε την ευθυγράμμιση της ευθείας γραμμής, η οποία θα περάσει μέσα από τις κηλίδες ΕΝΑ(0; 2; 6) σι (-2; 0; 0) :

,

Διαφορετικά, έστειλα τους bannermen στο -2:

,

διάλεξη 6-7. Στοιχεία αναλυτικής γεωμετρίας.

Η επιφάνεια είναι λεία.

παράδειγμα 1.

Σφαίρα

πισινό 2.

F(x, y, z) = 0(*),

Τσε - λείες επιφάνειες

Ισχύουν:

x 2 + y 2 - z 2 = 0 (κώνος)

Διαμέρισμα.

Επιπεδότητα επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετα σε ένα δεδομένο διάνυσμα.

Ας ρίξουμε μια ματιά στην περιοχή κοντά στον χώρο. Έστω M 0 (x 0, y 0, z 0) - δίνεται ένα σημείο του επιπέδου P και - ένα διάνυσμα των καθέτων στο επίπεδο ( κανονικό διάνυσμα διαμερίσματα).

(1) – διανυσματική επιπεδότητα της περιοχής.

Για τη φόρμα συντεταγμένων:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 (2)

Αφαιρέσαμε την επιπεδότητα της περιοχής για να περάσουμε από ένα δεδομένο σημείο.

Zagalne επιπεδότητα της περιοχής.

Άνοιγμα των τόξων σε (2): Ax + By + Cz + (-Ax 0 - By 0 - Cz 0) = 0 ή

Ax + By + Cz + D = 0 (3)

Otrimane ισοπέδωση της περιοχής γραμμικά, έπειτα. ισοπέδωση 1 βήμα για συντεταγμένες x, y, z. Ως εκ τούτου, η περιοχή - επιφάνεια πρώτης τάξης .

Επιβεβαίωση: Είτε είναι ίσο, γραμμικά x, y, z ορίζει το επίπεδο.

Be-yak επίπεδη m. δίνεται στα ίσα (3), όπως λέγεται zagalnym διαμερίσματα της περιοχής.

Okremi vipadki zagalnogo rivnyannya.

α) D = 0: Ax + By + Cz = 0. Αφού Εφόσον οι συντεταγμένες του σημείου O(0, 0, 0) ικανοποιούν το ίδιο επίπεδο, τότε δίνεται στο επίπεδο να περάσει από το στάχυ των συντεταγμένων.

β) C \u003d 0: Ax + By + D \u003d 0. Με αυτόν τον τρόπο, το κανονικό διάνυσμα της περιοχής εκείνη η πλατεία, ανατίθεται σε ίσουςπαράλληλα με τον άξονα ΟΖ.

γ) C \u003d D \u003d 0: Ax + By \u003d 0. Το επίπεδο είναι παράλληλο με τον άξονα OZ (επειδή C \u003d 0) και διέρχεται από το cob των συντεταγμένων (επειδή D \u003d 0). Βγες έξω, βγες σε όλη την ΟΖ.

δ) B \u003d C \u003d 0: Ax + D \u003d 0 ή . διάνυσμα, tobto. ότι . Επίσης, το αεροπλάνο είναι παράλληλο με τους άξονες OY και OZ, tobto. παράλληλα με το επίπεδο YOZ και περνούν από το σημείο.

Κοιτάξτε μόνοι σας τις πτώσεις: B = 0, B = D = 0, A = 0, A = D = 0, A = C = 0, A = B = 0/

Ευθυγράμμιση του επιπέδου μέσω τριών δεδομένων σημείων.

Επειδή Αν δύο ή περισσότερα σημεία βρίσκονται στο επίπεδο, τότε τα q διανύσματα είναι ομοεπίπεδα, άρα. Χ zmіshany tvіrένα μηδέν:

Πήρα ένα επίπεδο αεροπλάνο για να περάσει από τρία σημεία διανυσματική εμφάνιση.

Για τη φόρμα συντεταγμένων:

(7)

Μόλις ανοίξει το vyznachnik, αφαιρούμε την επιπεδότητα της περιοχής στο θέαμα:

Ax+By+Cz+D=0.

βαρέλι. Γράψτε το επίπεδο του επιπέδου που θα διέλθει από τα σημεία Μ1 (1, -1,0).

Μ2 (-2,3,1) και Μ 3 (0,0,1).

, (x - 1) 3 - (y + 1) (-2) + z 1 = 0;

3x + 2y + z - 1 = 0.

Ισοπέδωση της περιοχής κοντά στα παράθυρα

Ας δώσουμε ένα υψηλότερο επίπεδο της περιοχής Ax + By + Cz + D = 0 και D ≠ 0, λοιπόν. το αεροπλάνο δεν διέρχεται από το στάχυ των συντεταγμένων. Ας χωρίσουμε τα προσβλητικά μέρη σε -Δ: αυτό είναι σημαντικό: ; ; . Todi

πήρε ισοπέδωση του αεροπλάνου στα παράθυρα .

όπου a, b, c είναι οι τιμές του vіrіzkіv, οι οποίες φαίνονται από το επίπεδο των αξόνων συντεταγμένων.

παράδειγμα 1.Γράψτε το επίπεδο του επιπέδου έτσι ώστε να διέρχεται από τα σημεία A(3, 0, 0);

Β(0, 2, 0) και C(0, 0, -3).

a=3; b = 2; c = -3, ή 2x + 3y - 2z - 6 = 0.

πισινό 2.Γνωρίστε το μέγεθος του vіdrіzkіv, yakі vіdtinaє επίπεδη

4x - y - 3z - 12 = 0 στους άξονες συντεταγμένων.

4x - y - 3z = 12 a=3, b=-12, c=-4.

Κανονική επιπεδότητα.

Έστω στο deyak το επίπεδο Q. Από το στάχυ των συντεταγμένων σχεδιάζουμε την κάθετη OP στο επίπεδο. Έστω η εργασία |OP|=р αυτό το διάνυσμα: . Ας πάρουμε ένα τρέχον σημείο M(x, y, z) του εμβαδού και μια υπολογίσιμα κλιμακωτή αύξηση διανύσματος που : .

Εάν προβάλλετε το σημείο Μ σε ευθεία γραμμή, τότε μπορούμε να πάμε στο σημείο P. Έτσι, παίρνουμε ίσο

(9).

Εγκατεστημένες γραμμές στο διάστημα.

Η γραμμή L στο διάστημα μπορεί να οριστεί ως περετίνα δύο επιφανειών. Έστω το σημείο M(x, y, z) να βρίσκεται στην ευθεία L, να βρίσκεται στην επιφάνεια του P1 και στην επιφάνεια του P2. Άρα οι συντεταγμένες των σημείων του ρήγματος πρέπει να είναι ίσες και στις δύο επιφάνειες. Σε εκείνο το pid ίσο με την ευθεία L στο διάστημα για να κατανοήσουμε το πάντρεμα δύο ίσων, το δέρμα αυτών ισούται με τις ίσες επιφάνειες:

Οι ευθείες L βρίσκονται μεταξύ του ου και του ου σημείου, οι συντεταγμένες των οποίων ικανοποιούν και τα δύο επίπεδα στο (*). Ας δούμε άλλους τρόπους δημιουργίας γραμμών στο διάστημα.

Ένα σωρό διαμερίσματα.

Δοκός διαμερισμάτων- Πολλά από όλα τα επίπεδα που διέρχονται από μια δεδομένη ευθεία - ολόκληρη η δέσμη.

Για να ορίσετε μια δέσμη αεροπλάνων, αρκεί να τα εγκαταστήσετε όλα. Αφήστε τη γραμμή των ευθειών γραμμών να δοθεί στον διαβόητο αναζητητή:

.

Διπλώστε τη δέσμη- σημαίνει να διπλώνεις το επίπεδο, από το οποίο μπορείς να αφαιρέσεις για το συμπληρωματικό μυαλό το επίπεδο της δοκού, κρέμα β.μ. μόνος. Ας πολλαπλασιάσουμε το II ίσο με το l και ας το αποθηκεύσουμε με το I ίσο:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + l(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) ή

(A 1 + lA 2)x + (B 1 + lB 2)y + (C 1 + lC 2)z + (D 1 + lD 2) = 0 (2).

l - παράμετρος - ένας αριθμός, ώστε να μπορείτε να λάβετε πραγματικές τιμές. Για ό,τι η αντίθετη σημασία είναι (1) και (2) γραμμική, δηλαδή. τσε - ισοπέδωση της περιοχής των δεύκων.

1. επιδεικτικός, έτσι ώστε το επίπεδο να διέρχεται από ολόκληρη τη δέσμη L. Πάρτε ένα επαρκές σημείο M 0 (x 0, y 0, z 0) L. Αργότερα, M 0 R 1 και M 0 R 2 . Να σημαίνει:

Otzhe, το επίπεδο, το οποίο περιγράφεται από το ίσο (1) ή (2), να ξαπλώσει στη δοκό.

2. Μπορείτε να φέρετε και protilezhne: αν το επίπεδο που διέρχεται από την ευθεία L περιγράφεται ή όχι με το ίσο (1) για διαφορετική επιλογή της παραμέτρου l.

πισινό 1. Τοποθετήστε επίπεδα επίπεδα για να περάσουν από τη γραμμή των επιπέδων x + y + 5z - 1 = 0 και 2x + 3y - z + 2 = 0 και από το σημείο M (3, 2, 1).

Η ευθυγράμμιση δέσμης καταγράφεται: x + y + 5z - 1 + l (2x + 3y - z + 2) = 0. Για την τιμή του l, είναι σωστό ότι M R:

Είτε είναι στην επιφάνεια στο διάστημα, μπορείτε να το δείτε ως ένα γεωμετρικά απέχον σημείο, το οποίο μπορεί να έχει δύναμη, ένα σημάδι για όλα τα σημεία.

παράδειγμα 1.

Σφαίρα - ένα απρόσωπο σημείο, το οποίο βρίσκεται ακριβώς στην απόσταση από το δεδομένο σημείο C (προς το κέντρο). Z (x 0, y 0, z 0). Για ραντεβού |CM|=R ή . Tse ίσα vikonuєtsya όλα τα σημεία της σφαίρας και μόνο їm. Αν x 0 = 0, y 0 = 0, z 0 = 0, τότε .

Με παρόμοια κατάταξη, μπορείτε να διπλώσετε την ευθυγράμμιση, είτε αυτή είναι στην επιφάνεια, σαν να έχει επιλεγεί το σύστημα συντεταγμένων.

πισινό 2. x=0 – ευθυγράμμιση της περιοχής YOZ.

Virazivshi γεωμετρικό σχέδιοεπιφάνεια μέσα από τις συντεταγμένες του σημείου ροής και επιλέγοντας όλες τις αποθήκες σε ένα μέρος, λαμβάνουμε υπόψη την ισότητα του μυαλού

F(x, y, z) = 0(*),

Τσε - λείες επιφάνειες , άρα οι συντεταγμένες όλων των σημείων στην επιφάνεια ικανοποιούνται με αυτήν την ομοιόμορφη, και οι συντεταγμένες των σημείων που δεν βρίσκονται στην επιφάνεια δεν ικανοποιούνται.

Συμπεριλαμβανομένου, η επιφάνεια του δέρματος του επιλεγμένου συστήματος συντεταγμένων δείχνει τη δική της ευθυγράμμιση. Ωστόσο, η εμφάνιση που δεν μοιάζει με το δέρμα (*) δείχνει την επιφάνεια με σημαντικό τρόπο.

Ισχύουν:

2x - y + z - 3 = 0 (επίπεδη)

x 2 + y 2 - z 2 = 0 (κώνος)

x 2 + y 2 +3 = 0 - οι συντεταγμένες του ίδιου σημείου δεν ικανοποιούνται.

x 2 + y 2 + z 2 = 0 - ένας βαθμός (0,0,0).

x 2 \u003d 3y 2 \u003d 0 - Ευθεία (όλα OZ).

Όλη η ισοπέδωση της περιοχής, όπως και τα τμήματα στα επιθετικά σημεία, μπορεί να αφαιρεθεί από το βαθύ επίπεδο της περιοχής, αλλά και να φέρει στο βαθύ επίπεδο της περιοχής. Σε αυτή την κατάταξη, αν μιλάμε για την επιπεδότητα του διαμερίσματος, τότε μπορούμε να πούμε ότι το διαμέρισμα είναι επίπεδο στο έδαφος, καθώς δεν ορίζεται διαφορετικά.

Ισοπέδωση του διαμερίσματος στα παράθυρα.

Μυαλό Rivnyannia , de a, b і c – vіdminnі vіd μηδέν αριθμοί dіysnі, που ονομάζεται ίση με την επιφάνεια στους ανεμοφράκτες.

Ένα τέτοιο όνομα δεν είναι vipadkova. Οι απόλυτες τιμές των αριθμών a, b και c είναι ίσες με τα ύψη του vіdrіzkіv, yakі vіdsіkaє η περιοχή στους άξονες συντεταγμένων Ox, Oy και Oz είναι ξεκάθαρα, κυμαινόμενη στο cob των συντεταγμένων. Το πρόσημο των αριθμών a, b και c δείχνει, για ποια κατεύθυνση (θετική ή αρνητική) υπάρχει ίχνος σταυρού στους άξονες συντεταγμένων.

Για τον πισινό, θα χρειαστεί το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz να έχει ένα επίπεδο, το οποίο αντιστοιχεί στα ίσα επίπεδα των οπών . Για το σημείο που υποδεικνύεται, απέχει 5 μονάδες από το στάχυ των συντεταγμένων κοντά στην αρνητική κατεύθυνση του άξονα της τετμημένης, 4 μονάδες κατά μήκος της αρνητικής κατεύθυνσης του άξονα τεταγμένων και 4 μονάδες μακριά από τη θετική διεύθυνση του εφαρμοστικού άξονα. Έχασε μερικά σημεία τσι με ευθείες γραμμές. Η περιοχή του στολισμένου τρικο και є flat, που δείχνει την επιπεδότητα του διαμερίσματος στο θέαμα .

Για περισσότερες πληροφορίες, μεταβείτε στο άρθρο ισοπέδωση του αεροπλάνου στα παράθυρα, εμφανίζεται μια δεδομένη ισοπέδωση του αεροπλάνου στο vіdrіzkakh στη βαθιά ισοπέδωση του αεροπλάνου, εκεί θα γνωρίζετε επίσης τις αναφορές των χαρακτηριστικών εφαρμογών και της εργασίας.

Κανονική επιπεδότητα.

Καλέστε την πιο επίπεδη περιοχή του μυαλού κανονικά αεροπλάνα, σαν dovnyuє μοναξιά, tobto, , τα .

Συχνά μπορείτε να πείτε ότι είναι φυσιολογικό το αεροπλάνο να καταγράφεται ως . Εδώ είναι τα άμεσα συνημίτονα του κανονικού διανύσματος μιας δεδομένης περιοχής ενός απλού επιπέδου, tobto και το p είναι ένας άγνωστος αριθμός που ισούται με το cob των συντεταγμένων στο επίπεδο.

Η κανονική ευθυγράμμιση του επιπέδου στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Το Oxyz ορίζει το επίπεδο, εφόσον το στάχυ των συντεταγμένων βρίσκεται στην απόσταση p της θετικής κατεύθυνσης του κανονικού διανύσματος του επιπέδου . Αν p=0 τότε το επίπεδο διέρχεται από το στάχυ των συντεταγμένων.

Ας κατευθύνουμε τον πισινό της κανονικής επιπεδότητας της περιοχής.

Αφήστε το εμβαδόν να δοθεί στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz στα ανώτερα επίπεδα του επιπέδου με τη μορφή . Tse galnee στοίχιση της περιοχής є κανονική ευθυγράμμιση της περιοχής. Σωστό, i κανονικό διάνυσμα του επιπέδου μπορεί να dozhina ίσον μοναξιά, θραύσματα .

Η επιπεδότητα του αεροπλάνου στην κανονική όραση σας επιτρέπει να γνωρίζετε μετακινηθείτε από σημείο σε επίπεδο.

Συνιστάται να μελετήσετε λεπτομερέστερα αυτόν τον τύπο ισοπέδωσης του αεροπλάνου, να δείτε τις αναφορές για τις λύσεις τυπικών εφαρμογών εκείνης της ημέρας και επίσης να μάθετε πώς να φέρετε την ισοπέδωση της περιοχής σε κανονική εμφάνιση. Tse μπορεί να είναι robiti, έχοντας στραφεί στο κράτος.

Κατάλογος λογοτεχνίας.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiselova L.S., Poznyak E.G. Γεωμετρία. Βοηθός για τις τάξεις 10-11 γυμνασίου.
• Bugrov Ya.S., Mikilsky S.M. Υπέροχα μαθηματικά. Τόμος Πρώτος: Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας και Αναλυτικής Γεωμετρίας.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Αναλυτική γεωμετρία.

Be-yak ίσο με το πρώτο βήμα των συντεταγμένων x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0 (3.1)

ορίζει την περιοχή και πάλι: αν η περιοχή μπορεί να αναπαρασταθεί με ίσους (3.1), όπως ονομάζεται ίσο με το εμβαδόν.

Διάνυσμα n(Α, Β, Γ), ορθογώνια προς το επίπεδο, καλείται κανονικό διάνυσμαδιαμερίσματα. Η εξίσωση (3.1) έχει συντελεστές A, B, C που δεν ισούνται ταυτόχρονα με 0.

Ειδικοί τύποι ισοδυναμίας (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 – το εμβαδόν που πρέπει να περάσει από το στάχυ των συντεταγμένων.

2. C \u003d 0, Ax + By + D \u003d 0 - το επίπεδο είναι παράλληλο με τον άξονα Oz.

3. C \u003d D \u003d 0, Ax + By \u003d 0 - η περιοχή που θα περάσει από όλο το Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - το επίπεδο είναι παράλληλο στο επίπεδο Oyz.

Ευθυγράμμιση επιπέδων συντεταγμένων: x=0, y=0, z=0.

Η ευθεία γραμμή στο χώρο μπορεί να δοθεί:

1) σαν γραμμή για να διασχίσει δύο επίπεδα, tobto. σύστημα rivnyan:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) δύο από τα σημεία του M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2), έστω και ευθεία, για να τα περάσεις από αυτά, δίνονται με ίσα:

= ; (3.3)

3) σημείο M 1 (x 1, y 1, z 1), το οποίο ї το ψέμα, і διάνυσμα ένα(m, n, р), το їй είναι συγγραμμικό. Ο Todi αποδίδεται άμεσα σε ίσους:

. (3.4)

Rivnyannia (3.4) λέγονται κανονικός ίσον ευθεία.

Διάνυσμα έναπου ονομάζεται άμεσο διάνυσμα άμεσος.

Η παράμετρος αφαιρείται εξισώνοντας το δέρμα από τη φθορά (3.4) με την παράμετρο t:

x=x1+mt, y=y1+nt, z=z1+rt. (3.5)

Σύστημα Virishuyuchi (3.2) ως σύστημα γραμμικών ισοτήτων Χі yερχόμαστε κατευθείαν στο ποτάμι προβολέςή μέχρι ας κάνουμε ευθείες γραμμές:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Vіd rivnyan (3.6) μπορείτε να πάτε στο κανονικό rivnyan, γνωρίζοντας zαπό το επίπεδο του δέρματος και τη διαφορά μεταξύ των τιμών:

.

Θέα άγρια ​​ποτάμια(3.2) είναι δυνατό να περάσουμε στην κανονική και σε άλλες μεθόδους, προκειμένου να γνωρίζουμε αν το ευθύγραμμο σημείο της ευθείας και η ευθεία n= [n 1 , n 2], de n 1 (A 1 , B 1 , C 1) και n 2 (A 2 B 2 C 2) - κανονικά διανύσματα δεδομένων επιπέδων. Σαν ένα από τα διάσημα m,nή Rίσο με (3.4) φαίνεται να είναι ίσο με μηδέν, τότε το βιβλίο αριθμών ενός παρόμοιου κλάσματος πρέπει να τεθεί ίσο με το μηδέν, τότε. Σύστημα

ίσο σύστημα ; μια τέτοια ευθεία είναι κάθετη στον άξονα Ox.

Σύστημα εξίσου ισχυρό σύστημα x = x 1, y = y 1; ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα Oz.

Απόθεμα 1.15. Διπλώστε την ευθυγράμμιση του επιπέδου, γνωρίζοντας ότι το σημείο Α (1, -1,3) είναι η κάθετη υποστάβα που σύρεται από το στάχυ των συντεταγμένων προς το κέντρο του επιπέδου.

Λύση.Πίσω από το διάνυσμα του εγκεφάλου ΟΑ(1,-1,3)
x-y+3z+D=0. Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου A(1,-1,3), που βρίσκονται επίπεδα, γνωρίζουμε το D: 1-(-1)+3×3+D = 0, D = -11. Επίσης, x-y+3z-11=0.

Απόθεμα 1.16. Τοποθετήστε την επιπεδότητα της περιοχής για να περάσει από ολόκληρο το Oz και συμπληρώστε το εμβαδόν 2x+y-z-7=0 kut 60 o.

Λύση.Το εμβαδόν που διέρχεται από όλο το Oz δίνεται από το Ax + By = 0, ενώ το A και δεν μηδενίζονται αμέσως. Έλα, μην το κάνεις
ένα 0, A/Bx+y=0. Σύμφωνα με τον τύπο συνημιτόνου kuta μεταξύ δύο επιπέδων

.

Virishyuchi τετράγωνη ευθυγράμμιση 3m 2 + 8m - 3 \u003d 0, γνωρίζουμε τη ρίζα yogo
m 1 \u003d 1/3, m 2 \u003d -3, τα αστέρια λαμβάνονται από δύο περιοχές 1/3x + y \u003d 0 και -3x + y \u003d 0.

πισινό 1.17.Διπλώστε τις κανονικές ευθείες:
5x + y + z = 0, 2x + 3y – 2z + 5 = 0.

Λύση.Κανονική ισότηταευθεία ματιά:

de m, n, p- συντεταγμένες του άμεσου διανύσματος της ευθείας, x1, y1, z1- συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου, που βρίσκονται σε ευθεία. Η ευθεία δίνεται ως γραμμή μεταξύ δύο επιπέδων. Για να μάθω το σημείο, να βάλω ευθείες γραμμές, να διορθώσω μια από τις συντεταγμένες (το πιο απλό είναι να βάλω, για παράδειγμα, x = 0) και θα αποσυνθέσω το σύστημα ως σύστημα γραμμικών ευθυγραμμίσεων με δύο αγνώστους. Στη συνέχεια, υψηλό x \u003d 0, μετά y + z \u003d 0, 3y - 2z + 5 \u003d 0, αστέρια y \u003d -1, z \u003d 1. Οι συντεταγμένες του σημείου M (x 1, y 1, z 1), που βρίσκονται σε αυτή τη γραμμή, δείξαμε: M (0,-1,1). Το άμεσο διάνυσμα είναι εύκολο να το γνωρίζετε εάν γνωρίζετε τα κανονικά διανύσματα και τα εξωτερικά επίπεδα. n 1 (5,1,1) ότι n 2 (2,3,-2). Todi

Η κανονική στοίχιση της ευθείας μπορεί να φανεί: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z – 1)/13.

Απόθεμα 1.18. Για μια δοκό που ορίζεται από επίπεδα 2x-y+5z-3=0 і x+y+2z+1=0, να βρείτε δύο κάθετα επίπεδα, το ένα από τα οποία διέρχεται από το σημείο M(1,0,1).

Λύση.Η ευθυγράμμιση της δέσμης, η οποία ορίζεται από αυτά τα επίπεδα, μπορεί να μοιάζει με u (2x-y + 5z-3) + v (x + y + 2z + 1) \u003d 0, de u και v δεν μετατρέπονται στο μηδέν διανυκτέρευση. Ας ξαναγράψουμε την ευθυγράμμιση της δοκού με μια επιθετική κατάταξη:

(2u + v) x + (-u + v) y + (5u + 2v) z - 3u + v = 0.

Για να δούμε ένα επίπεδο από τη δέσμη που διέρχεται από το σημείο Μ, αντιπροσωπεύουμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ της ευθυγράμμισης της δοκού. Παίρνουμε:

(2u+v)×1 + (-u + v) ×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v = 0, ή v = - u.

Γνωρίζουμε ότι γνωρίζουμε την εξίσωση του επιπέδου, που οδηγεί στο M, αντικαθιστώντας v = - u την εξίσωση της δέσμης:

u(2x-y+5z - 3) - u(x+y+2z+1) = 0.

Επειδή u ¹0 (τώρα v=0, διαφορετικά υπερυπολογίστε την κατεύθυνση της δέσμης), ίσως ακόμη και το επίπεδο x-2y+3z-4=0. Ένα άλλο επίπεδο, που βρίσκεται στη δοκό, μπορεί να είναι κάθετο. Ας γράψουμε τη νοητική ορθογωνικότητα των επιπέδων:

(2u + v) ×1 + (v - u) ×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, ή v = - 19/5u.

Otzhe, ίσο με μια άλλη περιοχή μπορεί να φαίνεται:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 ή 9x +24y + 13z + 34 = 0.