Matrix row solution. Matematika para sa mga teapot Matrices at ang mga pangunahing nasa itaas ng mga ito. Matrix transposition operation

Ang tulong sa pamamaraang Danish ay tutulong sa iyo na matutunan kung paano manalo dії na may mga matrice: karagdagan (pag-alis) ng mga matrice, transposisyon ng mga matrice, pagpaparami ng mga matrice, kahalagahan ng pivot matrix. Ang lahat ng materyal ng mga deposito ay nasa simple at naa-access na anyo, ito ay ginawa sa parehong paraan, sa ganoong ranggo, ang hindi handa na tao ay maaaring matuto kung paano magsulat gamit ang mga matrice. Para sa pagpipigil sa sarili at pagpapatunay sa sarili, maaari mong gamitin ang matrix calculator >>> nang walang gastos.

Sinusubukan kong bawasan ang mga teoretikal na subclause, kung maaari mong ipaliwanag "sa mga daliri" ang mga hindi pang-agham na termino. Mga mahilig sa ground theory, maging mabait, huwag makisali sa pagpuna, ang aming gawain ay alamin kung paano matutunan kung paano gamitin ang mga matrice.

Para sa mababaw na paghahanda para sa paksa (na "nasusunog") - isang masinsinang pdf-course Matrix, vyznachnik na hall!

Ang matrix ay isang hugis-parihaba na talahanayan, maging ito man mga elemento. Sa yakost mga elemento maaari nating tingnan ang mga numero, iyon ay ang mga matrice ng numero. ELEMENTO- Tse termin. Dapat tandaan ang termino, ang mga alak ay madalas na nakasulat, hindi ko vikoristav para sa pangitain na ito sa naka-bold na uri.

pagtatalaga: tunog ng mga matrice sa malalaking letrang latin

Puwit: Tingnan natin ang two-by-three matrix:

Ang matrix na ito ay binubuo ng anim mga elemento:

Ang lahat ng mga numero (mga elemento) sa gitna ng matrix ay makikita ng iyong sarili, kaya wala kang mahahanap tungkol dito:

Ito ay isang talahanayan (set) lamang ng mga numero!

Kaya umuwi na kami huwag muling ayusin numero, na hindi binanggit sa mga paliwanag. Ang numero ng balat ay may sariling lugar ng nabubulok, at imposibleng i-shuffle ang mga ito!

Ang matrix ay tiningnan, mayroon itong dalawang hilera:

at tatlong haligi:

STANDARD: kung pinag-uusapan natin ang pagpapalawak ng matrix, kung gayon on the cob ipahiwatig ang bilang ng mga hilera, at pagkatapos - ang bilang ng mga hanay. Unti-unti, inayos nila ang "dalawa sa tatlong" matrix sa pamamagitan ng mga brush.

Kung ang bilang ng mga hilera at haligi ng matrix ay zbіgaєtsya, kung gayon ang matrix ay tinatawag parisukat, Halimbawa: - tatlong-by-tatlong matris.

Tulad ng sa isang matrix isang hilera o isang hilera, ang mga naturang matrice ay tinatawag din mga vector.

Talagang alam natin ang mga matrice mula sa mga paaralan, tingnan natin, halimbawa, ang isang punto na may mga coordinate na "iks" at "iplayer": . Sa katunayan, ang mga coordinate ng punto ay nakasulat sa isa-by-dalawang matrix. Bago magsalita, ang axis sa iyo ay isang halimbawa, kung bakit ang pagkakasunud-sunod ng mga numero ay maaaring maging makabuluhan: i - tse dalawang magkaibang mga punto ng eroplano.

Ngayon ay magpatuloy tayo nang walang sagabal sa kasal DIY mula sa matrices:

1) Diya persha. Ang kasalanan ng minus mula sa matrix (pagpapakilala ng minus sa matrix).

Lumiko tayo sa ating matrix . Habang naaalala mo ang kanta, napakaraming negatibong numero ang aking matrix. Lalong hindi magaling sa hitsura ng scribbler ng mga maliliit na may matrix, ang walang hawak na pagsulat ng mga minus na tala, ang isang iyon ay mukhang pangit sa disenyo.

Sinisisi namin ang minus para sa mga inter-matrice, binabago ang tanda ng elemento ng SKIN ng matrix:

Sa zero, tulad ng alam mo, ang tanda ay hindi nagbabago, zero - alak at zero sa Africa.

Zvorotny butt: . Nagmumukha akong condescending.

Ipinakilala namin ang isang minus sa matrix, binabago ang tanda ng elemento ng SKIN ng matrix:

Well, axis, richly sympathetic veyshlo. Ako, naygolovnіshe, ito ay magiging mas madaling matalo ang matrix. Dahil ito ay napaka-matematika prikmeta ng mga tao: ang mas maraming minus - mas maraming manloloko at pagpapatawad.

2) Kaibigan niya. Pagpaparami ng matrix sa isang numero.

Puwit:

Ito ay simple, upang i-multiply ang matrix sa isang numero, kailangan mo balat i-multiply ang elemento ng matrix sa pamamagitan ng buong bilang. Sa sa partikular na uri na ito- Tatlong bagay.

Isa pang kayumangging puwit:

– pagpaparami ng matrix sa pamamagitan ng drib

Sa likod ng ulo, tinitingnan namin ang mga robiti HINDI KAILANGAN:

Ang pagdaragdag ng mas maraming pera sa matrix ay HINDI KINAKAILANGAN, una, mas madaling tiklop nang mas malayo sa matrix, sa ibang paraan, mas madaling muling i-verify ang solusyon ng vikladach (lalo na, yakscho - Natirang requisitioning).

Tim pa, HINDI KAILANGAN kasipagan ng elemento ng balat ng matrix sa pamamagitan ng minus sіm:

Tatlong istatistika Mathematics para sa mga dummies o bakit pa, naalala namin yan decimal fractions kung kanino sinusubukan ng lahat ng iba pang mathematician na maging kakaiba.

Isang bagay bagan robiti sa iyong aplikasyon - tse magdagdag ng minus sa matrix:

At mula sa yakby LAHAT Ang mga elemento ng matrix ay hinati sa 7 nang walang labis, Pagkatapos ay maaari mong (at kailangan mo!) Boulo b podіlit.

Puwit:

Saang direksyon ko kaya KAILANGAN i-multiply ang lahat ng elemento ng matrix sa , upang ang lahat ng mga numero ng matrix ay nahahati sa 2 nang walang labis.

Tandaan: ayon sa teorya advanced na matematika walang schoolboy na nakakaunawa ng "podіl". Sa halip na ang pariralang "huwag magdagdag dito" maaari mong palaging sabihin ang "multiply ng higit pa". Tobto podіl - tse okremia vpadok plural.

3) Diya pangatlo. Transposisyon ng matrix.

Upang i-transpose ang matrix, kinakailangang magsulat ng mga row sa mga column ng transposed matrix.

Puwit:

Ilipat ang isang matrix

Mayroon lamang isang hilera dito at, ayon sa panuntunan, kinakailangang isulat ito sa hanay:

ay ang transposed matrix.

Ang transposed matrix ay ipinahiwatig ng isang superscript index o isang stroke ng isang right-handed eel.

takpan ang puwit:

Ilipat ang isang matrix

Sa likod, isinusulat namin muli ang unang hilera sa unang hakbang:

Isulat muli natin ang isa pang row sa isa pang row:

І, nareshti, muling isulat ang ikatlong hilera sa ikatlong stovpets:

handa na. Ang ibig sabihin ng transpose ay iikot ang matrix nang patagilid.

4) Diya pang-apat. Sum (tingi) matrix.

Awkward ang sum of matrices diya.
HINDI LAHAT NG MATRIXES PWEDENG tiklop. Para sa vykonannya natitiklop (vіdnіmannya) matrices, ito ay kinakailangan na ang baho ng boules ay ang parehong PARA ROZMIROM.

Halimbawa, kung ang isang "dalawa sa pamamagitan ng dalawa" na matrix ay ibinigay, pagkatapos ay maaari mo lamang itong idagdag sa "dalawa sa pamamagitan ng dalawa" na matrix at anumang iba pang paraan!

Puwit:

Tiklupin ang mga matrice і

Upang matiklop ang mga matrice, kinakailangan na tiklop ang kanilang mga kinakailangang elemento:

Para sa iba't ibang mga matrice, ang panuntunan ay magkatulad, kailangang malaman ang pagkakaiba ng iba't ibang elemento.

Puwit:

Alamin ang pagkakaiba ng matrices ,

At paano mo gagawing mas simple ang puwit na ito, upang hindi mawala? Huwag mag-atubiling idagdag ang mga minus, kung saan magdaragdag kami ng minus sa matrix:

Tandaan: ayon sa teorya, walang bagay na pang-unawa sa matematika sa mataas na paaralan. Sa halip na ang pariralang "anuman ang nakikita mo" maaari mong palaging sabihin ang "upang magdagdag ng negatibong numero." Tobto vіdnimannya - tse okremy vipadok nakatiklop.

5) Diya p'yata. Pagpaparami ng mga matrice.

Anong mga matrice ang maaaring i-multiply?

Upang ang matrix ay maaaring i-multiply sa matrix kung kinakailangan, upang ang bilang ng mga haligi sa matrix ay katumbas ng bilang ng mga hilera sa matrix.

Puwit:
Maaari mo bang i-multiply ang isang matrix sa isang matrix?

Muli, maaari mong i-multiply ang mga matrice na ito.

At mula sa parehong matrix, muling ayusin ang mga misyon, pagkatapos sa paraang ito, ang pagpaparami ay imposible na!

Otzhe, ang vikonati plural ay imposible:

Hindi gaanong madalas na ang mga gawain ay dinadaya ng panlilinlang, kung ang isang mag-aaral ay hinihikayat na magparami ng mga matrice, ang pagpaparami nito ay halatang imposible.

Ang slide ay nagpapahiwatig na ang isang bilang ng mga variable ay maaaring magparami ng mga matrice і kaya, і kaya.
Halimbawa, para sa mga matrice, maaaring i-multiply ako, kaya pinarami ko

Ang parihabang matrix ng pagpapalawak ng mxn ay ang kabuuan ng mga numero ng mxn, na nakaayos sa isang parihabang talahanayan, upang maipaghiganti ang mga hilera ng m at n column. Isusulat namin ang її sa paningin

kung hindi, kapag tumitingin sa A = (a i j) (i = ; j = ), ang mga numero a i j ay tinatawag na її elemento; ang unang index ay tumuturo sa numero ng hilera, ang isa pa - sa numero ng hilera. Ang A \u003d (a i j) at B \u003d (b i j) ng parehong laki ay tinatawag na pantay, dahil ang mga elemento ay pantay sa mga pares, kaya't sila ay nakatayo sa parehong mga lugar, pagkatapos ay A \u003d B, kaya a i j \u003d b i j.

Ang isang matrix na nakatiklop mula sa isang row o isang column ay tinatawag na alinman sa row o column vector. Ang Stow vectors at row vectors ay tinatawag na vectors.

Ang isang matrix na may isang numero ay nakamapa sa numerong iyon. Ang isang rozmіru mxn, lahat ng mga elemento na katumbas ng zero, ay tinatawag na zero at itinalaga sa pamamagitan ng 0. Ang mga elemento na may parehong mga indeks ay tinatawag na mga elemento ng head diagonal. Kung ang bilang ng mga hilera ay katumbas ng bilang ng mga natutulog, kung gayon m = n, kung gayon ang matrix ay tinatawag na square order n. Ang mga square matrice, na mayroong zero o higit pang mga elemento ng head diagonal, ay tinatawag na diagonal at nakasulat tulad ng sumusunod:

Kung ang lahat ng mga elemento a i i diagonal ay nagdaragdag ng hanggang 1, kung gayon ito ay tinatawag na solong at tinutukoy ng titik E:

Ang isang parisukat na matrix ay tinatawag na tricot, dahil ang lahat ng mga elemento na nakatayo mas mataas (o mas mababa) kaysa sa head diagonal, katumbas ng zero. Ang isang transposisyon ay tinatawag na ganoong pagbabago, kapag ang mga hilera at haligi ay binago ng mga lugar sa pagtitipid ng kanilang mga numero. Ito ay ipinahiwatig ng transposition icon T sa itaas.

Dahil sa (4.1) maaari naming muling ayusin ang mga hilera na may mga haligi, pagkatapos ay kukunin namin

na parang transposed ni A. Zokrem, kapag inilipat ang vector-stovptsya, lilitaw ang row-vector at navpacki.

Subcomponent At ang bilang b ay tinatawag na matrix, ang mga elemento nito ay nagmula sa pangalawang elemento ng A upang i-multiply ang bilang b: b A = (b a i j).

Ang kabuuan A = (a i j) at B = (b i j) ng isang dimensyon ay tinatawag na C = (c i j) ng parehong dimensyon, ang mga elemento nito ay itinalaga sa formula c i j = a i j + b i j .

Ang Dobutok AB ay nauugnay sa admission, kaya ang bilang ng mga column A ay katumbas ng bilang ng mga row U.

Dobutkom AB, de А = (a i j) і B = (b j k), de i = , j = , k = , itinalaga sa nakatalagang order AB, na tinatawag na C = (c i k), ang mga elemento ay itinalaga sa naturang panuntunan:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Kung hindi, tila ang elemento ng paglikha ng AB ay itinalaga sa sumusunod na pagkakasunud-sunod: ang elemento ng i-th row at ang k-th column ay ang pinakamagandang kabuuan ng mga creative na elemento ng i-th row A sa umaasa na mga elemento ng k-th column B.

puwit 2.1. Alamin ang doboot AB i .

Solusyon. Mayo: Isang rozmіru 2x3, rozmіru 3x3, pagkatapos ay dobutok AB \u003d C іsnuє і elemento С pantay

Z 11 = 1x1 +2x2 + 1x3 = 8, Z 21 = 3x1 + 1x2 + 0x3 = 5, Z 12 = 1x2 + 2x0 + 1x5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

at hindi totoo ang tvir BA.

puwit 2.2. Ang talahanayan ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga solong produkto na kinukuha araw-araw sa mga pagawaan ng gatas 1 at 2 sa mga tindahan ng M 1, M 2 at M 3, bukod dito, ang paghahatid ng isang solong produkto mula sa pagawaan ng balat sa tindahan M 1 ay nagkakahalaga ng 50 den. isa, sa tindahan M 2 - 70, at M 3 - 130 den. isa. Pіdrakhuvat schodennі transport vitrati tannery plant.

pagawaan ng gatas

Solusyon. Makabuluhang sa pamamagitan ng A matrix, na ibinigay sa amin para sa pag-unawa, at sa pamamagitan ng
B - isang matrix na nagpapakilala sa pagkakaiba-iba ng paghahatid ng isang solong produkto ng tindahan, tobto,

Todo matrix vitrate sa transported matima ay tumingin:

Gayundin, ang unang planta ng stained glass ay kasalukuyang nakapresyo sa 4,750 grosz. isa, ang isa - 3680 den.

puwit 2.3. Ang negosyo ng pananahi ay naghahanda ng mga winter coat, demi-season coat at raincoat. Ang nakaplanong paglabas para sa isang dekada ay nailalarawan sa pamamagitan ng vector X = (10, 15, 23). Vykorivuyutsya tela chotirioh uri T1, T2, T3, T4. Sa talahanayan, ang mga pamantayan ng tissue vitrati (metro) para sa vibr ng balat. Ang vector C = (40, 35, 24, 16) ay nagpapahiwatig ng pagkakaiba-iba ng metro ng tissue ng uri ng balat, at ang vector P = (5, 3, 2, 2) - ang pagkakaiba-iba ng transported meter ng tissue ng ang dermal type.

	Mga tela ng Vitrata

amerikana ng taglamig
Demi-season coat

Linear algebra

Mga matrice

matris rozmіru m x n - tse rectilinear talahanayan ng mga numero, upang maghiganti m mga hilera at n stoptsіv. Ang mga numero na bumubuo sa isang matrix ay tinatawag na mga elemento ng matrix.

Ang mga matrice ay tinatanggap na tinutukoy ng mga malalaking titik ng Latin, at mga elemento - ng pareho, maliliit na titik na may underwire indexation.

Halimbawa, tingnan natin ang matrix A ng 2 x 3 na sukat:

Ang matrix na ito ay may dalawang row (m = 2) at tatlong row (n = 3), ibig sabihin. Ang won ay binubuo ng anim na elemento a ij de i - row number, j - row number. Sa pamamagitan nito, ang halaga ay 1 hanggang 2, at ang halaga ng isa ay hanggang tatlo (naitala). Zokrema, a 11 = 3; a12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1.5; a 23 = 5.

Tinatawag ang mga matrice A at B na magkapareho ang laki (m x n). pantay, upang ang baho ay element-by-element zbіgayutsya, tobto. a ij = b ij para sa , pagkatapos. para sa anumang i at j (maaari mong isulat ang "i, j").

row matrix- ang parehong matrix na nakatiklop mula sa isang hilera, at matrix-stamp- Tse matrix na nakatiklop mula sa isang stovptsya.

Halimbawa, ay isang row matrix, at .

parisukat na matris sa n-th order - ang matrix, hanggang sa isang hilera hanggang sa bilang ng mga column at hanggang n.

Halimbawa, isang parisukat na matrix ng ibang pagkakasunud-sunod.

dayagonal mga elemento ng matrix – mga target na elemento, kung saan ang numero ng hilera ay katumbas ng numero ng hanay (a ij, i = j). Ang mga elemento ng Qi ay nasiyahan pangunahing dayagonal matrice. Sa front butt, ang pangunahing dayagonal ay binubuo ng mga elementong a 11 = 3 at isang 22 = 5.

Diagonal matrix- Ito ay isang square matrix, kung saan ang lahat ng off-diagonal na elemento ay katumbas ng zero. Halimbawa, - Diagonal matrix ng ikatlong order. Kung gayon, ang lahat ng mga elemento ng dayagonal ay katumbas ng isa, kung gayon ang matrix ay tinatawag nag-iisa(Ang mga tunog ay itinalaga ng titik E). Halimbawa, - Nag-iisang matrix ng ikatlong order.

Ang matrix ay tinatawag sero upang ang lahat ng її elemento ay katumbas ng zero.

Ang square matrix ay tinatawag niniting kaya lahat ng elemento sa ibaba (o sa itaas) ang head diagonal ay katumbas ng zero. Halimbawa, - Tricut matrix ng ikatlong order.

Mga operasyon sa matrice

Ang mga sumusunod na operasyon ay maaaring isagawa sa mga matrice:

1. Pagpaparami ng matrix sa isang numero. Ang karagdagang matrix para sa numerong l ay ang matrix B = lА, ang mga elemento nito ay b ij = la ij para sa alinmang i i j.

Halimbawa, yakscho, kung gayon .

2. Pagdaragdag ng mga matrice. Ang kabuuan ng dalawang matrice A і ng parehong laki m x n ay tinatawag na matrix C \u003d A + B, ang mga elemento kung saan ay ij \u003d a ij + b ij para sa "i, j.

Halimbawa, tulad ng pagkatapos

Ito ay makabuluhan na sa pamamagitan ng frontal na operasyon posible na visual matrix parehong laki: pagkakaiba A-B\u003d A + (-1) * Art.

3. Pagpaparami ng mga matrice. Ang karagdagang matrix A na pinalawak na m x n sa pinalawak na matrix n x p ay tinatawag na tulad ng isang matrix C, ang elemento ng balat kung saan ang s ij ay umaakma sa kabuuan ng mga elemento ng i-th row ng matrix A sa mga nakikitang elemento ng j-th haligi ng matris, tobto. .

Halimbawa, tulad ng

, kung gayon ang pagpapalawak ng matrix-creation ay magiging 2 x 3, at abangan ang ina:

Sa ganitong paraan, ang matrix A ay tinatawag na narrowed matrix.

Sa batayan ng pagpaparami ng operasyon para sa mga square matrice, ang operasyon mga link sa paanan. Ang positibong rung A m (m > 1) ng square matrix A ay tinatawag na karagdagang m matrice na katumbas ng A, tobto.

Sabihin natin, na ang karagdagan (pagpapalit) at ang pagpaparami ng mga matrice ay hindi inilaan para sa dalawang matrice, ngunit para lamang sa pag-awit ng karamihan, na nakalulugod, sa sarili nitong lawak. Para sa znakhodzhennya sumi chi rіznitі matrices їх rozmіr obov'yazkovo ay maaaring maging pareho. Para sa paglikha ng mga matrice, ang bilang ng mga haligi sa una ay maaaring tumaas ng bilang ng mga hilera sa isa pa (ang mga nasabing matrice ay tinatawag na pleasezhenimi).

Tingnan natin ang mga kapangyarihan ng tumingin sa mga operasyon, na kahalintulad sa mga kapangyarihan ng mga operasyon sa mga numero.

1) Commutative (shifting) na batas ng pagtitiklop:

A + B = B + A

2) Associative (masaya) na natitiklop na batas:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Distributive (spread) na batas ng multiplikasyon kung paano magtiklop:

l(A + B) = lA + lB

A(B+C) = AB+AC

(A + B) C = AC + BC

5) Kaugnay (masaya) batas ng pagpaparami:

l (AB) \u003d (lA) B \u003d A (lB)

A(BC) = (AB)C

Sinusuportahan na ang paglilipat ng batas ng multiplikasyon para sa mga matrice ay hindi nagbabago sa kabaligtaran na direksyon, iyon ay. AB ¹ BA. Bukod dito, mula sa base AB, ang batayang BA ay hindi obligado (ang mga matrice ay maaaring hindi katanggap-tanggap, at kahit na ang parehong mga karagdagan ay hindi itinalaga, tulad ng sa kaso ng sapilitan na butt, ang plurality ng mga matrice). Ale navіt yakscho gawin pagkakasala, gawin ito, mabaho dagundong raznі.

Sa mabuting paraan, ang commutative law ay maaaring magdagdag ng isang parisukat na matrix A sa isang solong matrix ng parehong pagkakasunud-sunod, bukod pa rito, ito ay nagdaragdag ng hanggang sa A (ang pag-multiply ng isang solong matrix dito ay katulad ng pag-multiply ng isa kapag nagpaparami ng mga numero):

AE = EA = A

totoo,

Nagdaragdag kami ng isa pang multiplicity ng matrices sa multiplications ng mga numero. Higit pang mga numero ay maaaring idagdag sa zero alinman, o mas mababa kaysa doon, kung gusto mong ang isa sa mga ito ay katumbas ng zero. Imposibleng sabihin ang tungkol sa matrices, tobto. ang mga karagdagang non-zero matrice ay maaaring idagdag sa zero matrice. Halimbawa,

Tingnan natin ang mga operasyon sa matrices.

4. Transposisyon ng matrixє pagpapatakbo ng paglipat mula sa matrix A hanggang sa expansion m x n sa matrix A T sa expansion n x m, sa parehong mga hilera at column ay ginunita ng mga puwang:

Ang kapangyarihan ng pagpapatakbo ng transposisyon:

1) Pinili namin ang mga sumusunod, upang ang matrix ay mailipat sa dalawa, babalik kami sa output matrix: (AT) T = A.

2) Ang patuloy na multiplier ay maaaring sisihin para sa transposition sign: (lА) T = lА T .

3) Transposisyon ng distributively multiplied na karagdagang matrice: (AB) T = B T A T i (A + B) T = B T + A T .

Mga matrice

Para sa skin square matrix A, ilagay ang numero |A| vyznachnik. Ang Innodi yoga ay tinutukoy ng titik D.

Tse є mahalaga sa tuktok ng mababang praktikal na gawain. Makabuluhang yoga sa pamamagitan ng paraan ng pagkalkula.

Para sa isang matrix ng unang order її ang nag-iisang elemento |А| = D1 = a11.

Para sa isang matrix ng ibang pagkakasunud-sunod її, ang isang numero ay tinatawag na signifier, dahil ito ay kinakalkula pagkatapos ng formula |A| \u003d D 2 \u003d a 11 * a 22 - a 21 * a 12

Para sa isang matrix A ng ikatlong order її ang numero ay tinatawag na signifier, dahil ito ay kinakalkula pagkatapos ng formula

Kinakatawan nito ang kabuuan ng algebra, na binubuo ng 6 na mga karagdagan, sa balat kung saan pumapasok ang eksaktong isang elemento mula sa skin row at ang skin matrix matrix. Para sa pagsasaulo ng formula ng arbiter, kaugalian na pabilisin ang tinatawag na panuntunan ng mga trick o ang panuntunan ng Sarrus (Fig. 6.1).

Sa maliit na 6.1, ang scheme ng kasamaan ay ipinapakita, kung paano pumili ng mga elemento para sa mga karagdagan na may plus sign, - ang baho ay perebuvayut sa ulo dayagonal at sa tuktok ng equal-femoral trikutniks, at ilagay ang mga ito sa parallel. Ang scheme ng zlіva vikoristovuєtsya para sa dodankіv zі sign "minus"; dito, ang kinatawan ng ulo dayagonal ay kinuha kaya tinatawag na gilid.

Ang mga pinuno ng mas mataas na mga order ay kinakalkula sa isang recursive na paraan, tobto. fourth-order successor sa pamamagitan ng third-order successor, fifth-order successor sa pamamagitan ng fourth-order successor, atbp. Upang ilarawan ang pamamaraan, kinakailangang ipakilala ang konsepto ng minor ng algebraic na komplementaryong elemento ng matrix (pinaka makabuluhan na ang pamamaraan mismo, na titingnan pa, ay angkop para sa ikatlo at iba pang pagkakasunud-sunod).

menor de edad M ij element a ij matrix ng n-th order ay tinatawag na primordial matrix ng (n-1)-th order, kinuha mula sa matrix A at ang pagtutugma ng i row at j-th column.

Ang skin matrix ng n-th order ay n2 minor sa (n-1)-th order.

Algebraic na mga karagdagan Ang isang ij element ij matrix ng ika-1 na order ay tinatawag na yogo minor, na kumukuha ng zі sign (-1) (i + j):

A ij \u003d (-1) (i + j) * M ij

Z vznachennya viplivaє, scho A ij \u003d M ij, na siyang kabuuan ng mga numero sa hilera at haligi ng pares, і A ij \u003d -M ij, na hindi ipinares.

Halimbawa, tulad ng , pagkatapos ; at iba pa.

Paraan ng pagkalkula ng punong-guro polegaє sa nakakasakit: ang signifier ng square matrix ay mas advanced ang kabuuan ng mga nilikha ng mga elemento sa anumang pagkakasunud-sunod (stovptsya) sa kanilang mga appendage ng algebra:

(layout ayon sa i-ika elemento mga hilera; );

(Ang layout para sa mga elemento ng j-th column;).

Halimbawa,

Kapansin-pansin, na sa simula ang primordial pattern ng tricot matrix ay mas advanced kaysa sa mga elemento ng head diagonal.

Buuin natin ang pangunahing kapangyarihan ng mga mahistrado.

1. Kung mayroong isang hilera o kung ang matrix ay binubuo lamang ng mga zero, kung gayon ang arbitrator ay katumbas ng 0 (ito ay sumusunod sa pamamaraan ng rozrahunka).

2. Kung i-multiply mo ang lahat ng mga elemento ng ilang uri ng hilera (stowptsya) ng matrix sa parehong numero, pagkatapos ay ang parehong numero ay pinarami ng numero ng buong numero).

Tandaan: para sa sign ng signifier, maaari mong sisihin ang mainit na multiplier ng row mismo (para sa sign ng matrix, para sa sign kung saan maaari mong sisihin ang mainit na multiplier ng mga elemento). Halimbawa, , .

3. Kapag ang matrix її ay inilipat, ang signifier ay hindi nagbabago: | A T | = | Isang | (Ang patunay ay hindi isasagawa).

4. Kapag muling inaayos ang mga puwang ng dalawang hanay (stowptsiv) ng matrix, binabago ng arbitrator ang tanda ng prolege.

Upang kumpirmahin ang halaga ng cob, katanggap-tanggap na ang dalawang magkasunod na row ng matrix ay muling inayos: i-th at (i + 1)-th. Para rozrahunka vyznachnika vyhіdnoj matrix tinapon ko, at para sa bagong matrix (na may rearranged row) - by (i + 1) - th (tulad ng sa niy ito ay pareho, kaya ito gumagalaw elemento sa pamamagitan ng elemento). Pagkatapos, kapag ang isa pang sign ay pinalawak, ang balat ay umaakma sa algebraic matima na may prolege sign, kaya ang (-1) ay mababawasan hindi sa mga hakbang (i + j), ngunit sa mga hakbang (i + 1 + j), at sa ibang formula, hindi idadagdag ang mga formula. Sa ganitong paraan, ang tanda ng primate ay binago sa protile.

Ngayon ay katanggap-tanggap na hindi ang mga korte ang muling inayos, ngunit dalawa pang hanay, halimbawa, i-th at (i + t)-th. Ang ganitong permutation ay posible bilang isang kasunod na paglilipat ng i-th row sa pamamagitan ng t row pababa, at ang (i + t)-th row - by (t-1) rows up. Para kanino nagbabago ang tanda ng primate (t + t - 1) = 2t - 1 ang bilang ng beses, iyon ay. hindi naipares na bilang ng beses. Otzhe, hayaan ang mga baging na baguhin ang natitira.

Maaaring baguhin ang katulad na pag-mirror para sa stovptsiv.

5. Kung ang matrix ay palitan ang dalawang magkatulad na hanay (stowptsya), ang susunod ay katumbas ng 0.

Totoo, kung ang parehong mga hilera (stovptsі) ay muling inayos ng mga misyon, kung gayon ang matris na iyon mismo ay aalisin ng parehong mga hinirang. Sa kabilang panig, sa likod ng mga ugat ng yakistyu sa harap, maaari mong baguhin ang simbolo, tobto. D = -D D = 0.

6. Dahil proporsyonal ang mga elemento ng dalawang row (stowptsіv) ng matrix, kung gayon ang numero uno ay katumbas ng 0.

Ang kapangyarihang ito ay batay sa pasulong na kapangyarihan ng alak na iyon para sa shackle ng head multiplier (pagkatapos ng alak para sa shackle ng coefficient of proportion sa matrix, magkakaroon ng parehong mga hilera ng abosts, at bilang isang resulta, ang coefficient ay i-multiply sa zero).

7. Ang kabuuan ng mga malikhaing elemento ng anumang hilera (stowptsya) ng matrix sa algebraic na pagdaragdag ng mga elemento ng susunod na hilera (stowptsya) ng parehong matrix ay palaging higit 0: para sa i ¹ j.

Upang magdala ng kapangyarihan, sapat na upang palitan ang j-th row sa matrix A ng i-th row. Magkakaroon ng dalawang pantay na row sa pinaikling matrix, kaya ang susunod ay katumbas ng 0. Sa kabilang panig, maaari itong kalkulahin ng mga elemento ng j-th row: .

8. Ang index ng matrix ay hindi nagbabago, sa mga elemento lamang ng hilera o sa matrix, idagdag ang mga elemento ng susunod na hilera (stow), na pinarami ng parehong numero.

Tama, hayaan mo akong magdagdag sa mga elemento ng i-th row j-ika elemento mga hilera na pinarami ng l. Makikita ang mga elemento ng Todi ng bagong i-th row
(a ik + la jk , "k). K

Inalis namin na ang primate na ito ay hindi kamukha ng primate ng external matrix.

9. Makabuluhang dobutku matrices mas mahal dobutku їх vyznachnіv: | AB | = | Isang | * |U| (Ang patunay ay hindi isasagawa).

Sila ay tumingin sa higit pang mga awtoridad ng vyznachniks at vicorists para sa kapakanan ng kapatawaran ng kanilang pagkalkula. Zzvichay namagayutsya perevorit matrix sa naturang form, shchob be-yaky stovpets o isang hilera ng paghihiganti yaknabіlshe zero. Madaling malaman ang susunod na arbiter para sa pagtula sa unang hanay o sa iba pa.

baligtad na matrix

Ang Matrix A-1 ay tinatawag nababaligtad ayon sa ratio sa square matrix A, kahit na ang matrix ay pinarami ng matrix A, ito ay kanang kamay, kaya ang solong matrix ay lumabas: A -1 * A = A * A -1 = E.

Kasunod nito na ang reverse matrix ay isang square matrix ng parehong pagkakasunud-sunod ng matrix A.

Makikita na ang pag-unawa sa pivot matrix ay katulad ng pag-unawa sa pivot number (ang buong numero, kapag pinarami ng isang naibigay na numero ay nagbibigay ng isa: a*a -1 = a*(1/a) = 1).

Mga numero ng bigote, crim zero, maaaring balutin ang mga numero.

Upang malaman ang kapangyarihan, kung ano ang parisukat na matrix ng pagbabalik, kinakailangang malaman ang arbiter. Kung ang matrix ay katumbas ng zero, kung gayon ang naturang matrix ay tinatawag virogenous, o lalo na.

Kailangan sapat na isip Ang batayan ng serum matrix: ang serum matrix ay pareho at kung hindi ginagamit ang non-virogene matrix.

Dadalhin namin ang pangangailangan. Hayaang ang matrix ay ang reverse matrix A -1, kung gayon. A -1 * A \u003d E. Todi | A -1 * A | = | A -1 | * |A| = | E | = 1. Mamaya,
|A| ¹0.

Nagdadala kami ng sapat. Upang maitaas ito, kinakailangan na ilarawan lamang ang paraan ng pagkalkula ng serum matrix, na maaaring palaging gawin para sa hindi birhen na matris.

Otzhe, halika | Isang | ¹ 0. I-transpose ang matrix A. Para sa elemento ng balat А Т halika(Mutually, allied):.

Alam namin ang katotohanan ng natanggap na matrix at ang output. Alisin . Sa ganitong pagkakasunud-sunod, ang matrix ay dayagonal. Sa її head diagonal mayroong mga palatandaan ng output matrix, at ang mga linya ng mga elemento ay mga zero:

Katulad nito, maaari mong ipakita iyon.

Kung hahatiin mo ang lahat ng elemento ng matrix sa |A|, pagkatapos ay aalisin mo ang solong matrix E.

Ang ganyang ranggo , pagkatapos. .

Dinadala namin ang pagkakaisa ng pivot matrix. Sabihin natin, ang pangunahing reverse matrix para sa A, ang default ay A -1 . Makabuluhang її X. Todi А * Х = Е.

A -1 * A * X \u003d A -1 * E

Pagkakaisa ang dinala.

Gayundin, ang algorithm para sa pagkalkula ng pivot matrix ay binubuo ng mga susunod na hakbang:

2. Hikayatin ang transposisyon ng AT matrix.

3. Alamin ang algebraic complementary elements ng transposed matrix at i-induce ang ibinigay na matrix.

4. Kalkulahin ang nakabalot na matrix sa pamamagitan ng paghahati sa natanggap na matrix sa |A|.

5. Maaari mong baligtarin ang kawastuhan ng pagkalkula ng pivot matrix sa tamang paraan hanggang sa puntong: A -1 * A = A * A -1 = E.

1. Alamin natin ang numero uno sa matrix sa likod ng panuntunan ng mga trick:

Laktawan natin ang muling pagsulat.

Maaari mong dalhin ang mga sumusunod na matrice sa kapangyarihan:

1) | A-1 | = 1 / | Isang |

2) (A -1) -1 = A

3) (A m) -1 = (A -1) m

4) (AB) -1 = B -1 * A -1

5) (A -1) T \u003d (AT) -1

Ranggo ng matrix

Minor k-th order sa isang matrix ng m x n dimensyon, upang pangalanan ang signifier ng isang parisukat na matrix ng k-th order, dahil kinuha ito sa matrix A upang tumugma kung mayroong mga row at column.

Mahalagang tandaan na ang pagkakasunud-sunod ng menor de edad ay hindi hihigit sa mas maliit, tobto. k £ min (m; n). Halimbawa, mula sa mga matrice A 5x3 posible na alisin ang mga parisukat na submatrice ng una, iba at pangatlong mga order (posibleng palawakin ang mga menor de edad na order).

ranggo pangalan ng matrices paghahanap ng kaayusan sa anyo ng mga zero sa mga menor de edad ng matrix (ipahiwatig ang rang A, o r(A)).

Wow

1) ang ranggo ng matrix ay napili mula sa pinakamaliit na s її razmiriv, tobto.
r(A) £ min (m; n);

2) r(A) = 0 at pagkatapos, kung ang matrix ay zero (lahat ng mga elemento ng matrix ay katumbas ng zero), kung gayon. r(A) = 0 A = 0;

3) para sa isang parisukat na matrix ng nth order, r(A) = n at pagkatapos, kung ang matrix A ay non-virogeneous, kung gayon. r(A) = n | | ¹0.

Sa katunayan, para kanino sapat na ang pagkalkula ng higit sa isang ganoong menor de edad (ang inalis mula sa muling pagkabuhay ng ikatlong hanay (dahil magkakaroon ng zero third column sa resht, at doon ay idadagdag ang baho. sa zero).

Sa likod ng tricot rule = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Ang mga shards ng lahat ng mga menor de edad ng ikatlong pagkakasunud-sunod ay zero, r(А) £ 2. Ang mga shards ay may isang non-zero minor ng ibang pagkakasunud-sunod, halimbawa,

Malinaw na ang vikoristani sa amin ay tumatanggap (isang pagtingin sa iba't ibang mga menor de edad) ay hindi angkop para sa mas mataas na ranggo sa mas kumplikadong mga tendensya sa pamamagitan ng mahusay na paggawa. Tunog ang tanda ng ranggo ng matrix na matagumpay na mga gawa ng pagbabagong-anyo, ayon sa tawag nila elementarya:

isa). V_dkidannya zero rows (stovpts_v).

2). Pagpaparami ng lahat ng elemento ng isang row o isang matrix sa pamamagitan ng isang numero, hindi binibilang ang zero.

3). Pagbabago ng pagkakasunud-sunod ng mga hilera (stovptsiv) ng matrix.

apat). Isang karagdagan sa elemento ng balat ng isang hilera (stovptsya) ng mga elemento ng pangalawang hilera (stovptsya), na pinarami ng isang numero.

5). Transpose.

Dahil ang matrix A ay kinuha mula sa mga matrice B sa pamamagitan ng elementarya na pagbabago, ang mga matrice na ito ay tinatawag katumbas tinutukoy ko ang A~B.

Teorama. Ang mga pagbabago sa elementarya ng matrix ay hindi nagbabago sa ranggo.

Ang patunay ng teorama ay maliwanag mula sa pangingibabaw ng matris. Sa katunayan, sa kaso ng mga pagbabagong ito, ang mga square matrice ay maaaring i-save o i-multiply sa isang numero na hindi katumbas ng zero. Sa pamamagitan ng digmaan, ang pinakadakilang pagkakasunud-sunod ng mga nangungunang mga zero ng mga menor de edad ng panlabas na matris ay naiwan nang mag-isa, iyon ay. її ranggo ay hindi nagbabago.

Para sa tulong ng mga pagbabagong elementarya, ang matrix ay dinadala sa tinatawag na stepwise look (reworked on step matrix), pagkatapos. Ipinapalagay na ang katumbas na matrix sa ilalim ng head diagonal ay may mga zero na elemento lamang, at ang head diagonal ay may mga non-zero na elemento:

Ang ranggo ng step-frequency matrix ay katumbas ng r, ang mga oscillator ng mga cross-reference na halaga mula dito, simula sa (r + 1)th at malayo, posible na kunin ang r-th order tricurrency matrix, ang arbitrator, na nasa anyo ng zero, ang mga oscillator ay magiging non-zero th order, hindi katumbas ng zero):

puwit. Hanapin ang ranggo ng isang matrix

isa). Kung ang isang 11 \u003d 0 (tulad ng sa aming kaso), pagkatapos ay sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga hilera at stovptsіv ito ay maaabot na isang 11 ¹ 0. Dito naaalala natin ang 1st at 2nd row ng matrix:

2). 11 na ba ngayon? 0. Mga pagbabago sa elementarya Dob'єmosja, shchob shta elementіv sa unang stovptsi doіvnyuvali zero. Ang kabilang hilera ay may 21 = 0. Ang ikatlong hanay ay may 31 = -4. Sob (-4) nakatayo 0, pagdaragdag sa ikatlong hilera sa unang hilera, pagpaparami ng 2 (tobto sa pamamagitan ng (-a 31 / a 11) \u003d - (-4) / 2 \u003d
= 2). Katulad nito, sa ikaapat na hilera, idagdag ang unang hilera (multiplications by one, then by (-a 41 / a 11) = - (-2) / 2 = 1).

3). Sa subtractive matrix a 22 ? 0 (yakbi bulo a 22 = 0, pagkatapos ay maaari mong muling ayusin ang mga hilera). Siguraduhin natin na ang mga diagonal sa ibaba ng kabilang panig ay zero. Para sa ika-3 at ika-4 na hilera, magdagdag ng isa pang hilera, pagpaparami ng -3 ((-a 32 / a 22) \u003d (-a 42 / a 22) \u003d - (-3) / (-1) \u003d - 3):

apat). Sa pinaikling matrix, ang dalawang natitirang mga hilera ay zero, at ang їх ay maaaring i-drop:

Inalis ang step matrix, na nakatiklop sa dalawang hanay. Gayundin, r(A) = 2.

Tse pag-unawa, scho zagalnyu є lahat ng posibleng mga operasyon, yakі viroblyayutsya na may matrices. Mathematical matrix - talahanayan ng mga elemento. Tungkol sa ganoong mesa, de m rowkіv ta n stoptsіv, tila ang matrix ay maaaring maging rozmirnіst m sa n.

Ang maliwanag na hitsura ng matrix:

Para sa solusyon matrix ito ay kinakailangan upang maunawaan kung ano ang matrix at malaman ang pangunahing mga parameter. Ang mga pangunahing elemento ng matrix:

Head diagonal, na binubuo ng mga elemento isang 11, isang 22 ..... isang mn.
Side diagonal, na binubuo ng mga elemento isang 1n, isang 2n-1 …..isang m1.

Mga pangunahing uri ng matrix:

Square - tulad ng isang matrix, de bilang ng mga hilera = bilang ng mga haligi ( m=n).
Zero - lahat ng elemento ng matrix = 0.
Transposed matrix - matrix Sa, yak bula otrimana mula sa panlabas na matris A na may landas, palitan ang mga hilera sa mga haligi.
Nag-iisa - lahat ng elemento ng head diagonal = 1, linya = 0.
Ang isang reverse matrix ay isang matrix, kapag pinarami ng isang reverse matrix, ito ay nagbibigay ng isang solong matrix bilang isang resulta.

Ang matrix ay maaaring simetriko sa parehong mga diagonal ng ulo at gilid. Tobto, yakscho a 12 = a 21, a 13 = a 31, .... a 23 = a 32 .... isang m-1n = isang mn-1 pagkatapos ang matrix ay simetriko kasama ang pangunahing dayagonal. Higit sa square matrice ay maaaring simetriko.

Paraan ng rozvyazannya matrices.

Mayzhe lahat paraan ng pagbabagong-anyo ng matrix magsinungaling sa sikat na її vyznachnik n ika-utos at higit pa sa kanila na gawin mahirap. Upang malaman ang primate ng 2nd at 3rd order, may iba pang mas makatwirang paraan.

Znakhodzhennya vyznachnikі sa ika-2 order.

Para sa pagkalkula ng matrix PERO 2nd order, kinakailangan para sa paglikha ng mga elemento sa head diagonal upang magdagdag ng mga karagdagang elemento sa side diagonal:

Mga pamamaraan ng kaalaman sa ika-3 order.

Nasa ibaba ang mga patakaran para sa kaalaman ng ika-3 order.

Ang patakaran ng trikutnik ay pinasimple, tulad ng isa mga pamamaraan ng cherry matrix, ay maaaring katawanin tulad ng sumusunod:

Sa madaling salita, ang pagtanggap ng mga elemento mula sa unang arbiter, na parang sila ay tuwid, ay kinukuha na may sign na "+"; tulad nito, para sa ika-2 klerk - ang pinakamahalagang mga likha ay kinuha gamit ang sign na "-", kaya para sa gayong pamamaraan:

Sa paglutas ng mga matrice sa pamamagitan ng panuntunang Sarrus, kanang kamay, sa direksyon ng lumagda, idagdag ang unang 2 column at lumikha ng pinakamahalagang elemento sa head diagonal at sa mga diagonal, tulad ng ith parallel, kunin ang 3 na may "+" sign; ngunit lumikha ng dalawang elemento ng mga side diagonal at diagonal, tulad ng mga parallel, na may sign na "-":

Razkladannya vyznachnik sa pagkakasunud-sunod ng bilang ng mga stovptsyu pіd oras vіrіshennya matrices.

Ang vyznachnik ay isang mas mahusay na kabuuan ng mga nilikha ng mga elemento ng isang hilera ng vyznachnik sa kanilang mga addendum ng algebra. Tumawag upang piliin ang row / stovpets na iyon, sa paraang zero. Ang isang hilera o isang hilera, ayon sa kung saan isinasagawa ang layout, ay itatalaga bilang isang arrow.

Dinadala ang primate sa isang trikot na pagtingin sa oras ng cherry matrices.

Sa solusyon matrix Sa tulong ng pagdadala ng primate sa isang trikot na hitsura, magsanay tulad nito: sa tulong ng pinakasimpleng mga pagbabago sa mga hanay ng mga chants, ang primate ay nagiging isang tricot look at ang parehong kahulugan, tila sa kapangyarihan ng primate, dobutku elemento , tulad ng nakatayo sa ulo dayagonal.

Ang theorem ni Laplace para sa pagiging perpekto ng mga matrice.

Nakikita ang mga matrice sa likod ng teorem ni Laplace, kailangang malaman ang mismong teorama nang walang gitnang lupa. Teorama ni Laplace: Halika Δ - tse vyznachnik n ika-utos. Vibiraemo sa bagong be-yakі k rowkiv (abo stovptsiv), para sa isip k≤ n - 1. Ang ganitong oras ay may kabuuan ng mga gawa k ika-utos, kung ano ang ipaghihiganti ang pinili k mga hilera (stowptsyah), sa kanilang algebraic na mga karagdagan sa vyznachnik.

Virishennya matrix.

Pagkakasunod-sunod para sa solusyon ng serum matrix:

Unawain na ang isang parisukat na matrix ay ibinigay. Sa panahon ng negatibong opinyon, nagiging malinaw na ang salivary matrix ay hindi maaaring.
Pagkalkula ng mga karagdagan sa algebra.
Lumilikha kami ng isang allied (reciprocally, come) matrix C.
Pagdaragdag ng reverse matrix na may mga karagdagan sa algebra: lahat ng elemento ng ibinigay na matrix C dilimo on the cob matrix. Ang sub-sum matrix ay magiging random na tinukoy na pivot matrix.
Sinusuri namin ang vikonan robot: pinarami namin ang matrix ng postal code at ang matrix ng matrix, ang resulta ay maaaring isang solong matrix.

Virishennya system matrices.

Para sa mga solusyon para sa matrix system Ang pinakakaraniwang paraan ay ang Gauss method.

Ang pamamaraang Gauss ay ang karaniwang paraan ng pagkuha ng mga sistema ng linear alignment ng algebra (SLAE) at vin polygaє na, sa pagkakasunud-sunod, ang mga pagbabago ay nakabukas, kaya, para sa mga karagdagang pagbabago sa elementarya, ang sistema ng mga pagkakahanay ay dinadala sa katumbas (sa likod ang numero) alam ang elemento ng balat ng system.

Pamamaraan ng Gausє ang pinaka-unibersal at pinakamahusay na tool para sa paglutas ng mga matrice. Kung paanong ang sistema ay may isang impersonal na solusyon, o ang sistema ay hindi buod, kung gayon imposibleng labagin ang panuntunan ng Cramer at ang pamamaraan ng matrix.

Direkta din ang paraan ng paglipat ng Gauss (pagbabawas ng pinalawak na matrix sa isang stepped look, upang ang mga zero ay maalis sa ilalim ng head diagonal) at baligtarin (ang mga zero ay inalis sa itaas ng head diagonal ng pinalawak na matrix) paglalakad. Ang direktang heading ay ang Gauss method, reverse - ang Gauss-Jordan method. Ang pamamaraang Gauss-Jordan ay katulad ng pamamaraang Gauss, maliban sa pagkakasunud-sunod ng mga pagbabago.

Paghirang 1. Matrix A sa mundom n ang isang hugis-parihaba na talahanayan ay tinatawag na may m row at n column, na idinaragdag sa mga numero o iba pang mathematical variable (ranggo ng mga elemento ng matrix), i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3 , ..., n.

, o

Paghirang 2. Dalawang matrice
і
ay tinatawag na parehong laki pantay, na pinagsunod-sunod na elemento ayon sa elemento, iyon ay. =, i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n.

Para sa mga karagdagang matrice, madaling isulat ang mga gawa ng mga deposito sa ekonomiya, halimbawa, mga talahanayan ng pamamahagi ng mga mapagkukunan ayon sa mga gawa ng ekonomiya.

Paghirang 3. Kaya, ang bilang ng mga hilera sa matrix ay zbіgaєtsya mula sa її stovptsіv, kaya. m = n, pagkatapos ay tinawag ang matrix parisukat na pagkakasunod-sunodn, at sa ibang liwanag rectilinear.

Paghirang 4. Ang paglipat mula sa matrix A hanggang sa matrix A t, kung saan ang mga hilera at haligi ay ginugunita ng mga lugar mula sa pagkakasunud-sunod ng pag-save, ang mga ito ay tinatawag transposisyon matrice.

Tingnan ang matrix: parisukat (laki 33) -
,

rectilinear (laki 25) -
,

dayagonal -
, walang asawa -
, zero -
,

matrix-row -
, matrix-stowpets -.

Paghirang 5. Ang mga elemento ng isang square matrix ng order n na may parehong mga indeks ay tinatawag na mga elemento ng head diagonal, iyon ay. mga elemento:
.

Paghirang 6. Ang mga elemento ng isang square matrix ng order n ay tinatawag na mga elemento ng isang side diagonal, dahil ang kanilang mga indeks ay n + 1, iyon ay. Mga elemento: .

1.2. Mga operasyon sa matrice.

1 0 . sumoyu dalawang matrice
і
ang parehong laki ay tinatawag na matrix С = (з ij), ang mga elemento nito ay katumbas ng ij = a ij + b ij (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,… ,n).

Ang kapangyarihan ng pagpapatakbo ng mga natitiklop na matrice.

Para sa be-yakah matrice A,B,C isang rozіru vykonuyutsya rivnostі:

1) A + B = B + A (commutativity),

2) (A + B) + C \u003d A + (B + C) \u003d A + B + C (associativity).

2 0 . Tvorom matrice
bawat numero  tinatawag na matrix
ng parehong dimensyon bilang i ay matrix A, bukod pa rito b ij =  (i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n).

Ang kapangyarihan ng pagpapatakbo ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero.

(А) = ()А (multiplier associativity);

(А+В) = А+В (distributivity ng multiplicity ng random na natitiklop na matrice);

(+)А = А+А (distributiveness ng multiply randomly folding numbers).

Paghirang 7. Linear na kumbinasyon ng mga matrice
і
ang parehong laki ay tinatawag sa anyong A + B, de  at  - sapat na mga numero.

3 0 . Dobutcom A  Mga matrice Ang isang і vіdpovіdno razmіrіv mn і nk ay tinatawag na matrix 3 expіrum mk, kung kaya't ang elementong z ij ay ang kabuuan ng mga creative na elemento sa i-th row ng matrix A і ang j-th column ng matrix B, tobto. h ij = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ... + a ik b kj .

Ginagamit ang Dobutok AB, sa kasong iyon lamang, dahil nag-iiba ang bilang ng mga column ng matrix A sa bilang ng mga row ng matrix.

Ang kapangyarihan ng pagpapatakbo ng multiplying matrices:

(АВ)С = А(ВС) (associativity);

(А+В)С = АС+ВС (distributivity ng randomly folding matrices);

А(В+С) = АВ+АС (distributivity ng random na natitiklop na matrice);

АВВА (hindi commutative).

Paghirang 8. Ang mga matrice A at B, kung saan ang AB = BA, ay tinatawag na commuting o commuting.

Ang pagpaparami ng isang parisukat na matrix, kahit na anong pagkakasunud-sunod sa ibang solong matrix, ay hindi nagbabago sa matrix.

Paghirang 9. Mga pagbabago sa elementarya Ang mga matrice ay tinatawag na mga naturang operasyon:

Pagpapalit ng dalawang hanay (stovptsiv) ng mga misyon.

Ang pagpaparami ng elemento ng balat ng isang hilera (stovptsya) sa pamamagitan ng isang numero, hindi katumbas ng zero.

Pagdaragdag sa mga elemento ng isang hilera (stowptsya) ng pangalawang hilera ng mga elemento ng susunod na hilera (stowptsya).

Paghirang 10. Matrix, otrimana mula sa matrices At para sa tulong ng elementarya pagbabago ay tinatawag katumbas(nalagdaan BA).

puwit 1.1. Alamin ang linear na kumbinasyon ng mga matrice 2A-3B, tulad ng

,
.

,
,

puwit 1.2. Alamin ang doboot matrix
, gusto

Solusyon: ang bilang ng mga haligi sa unang matrix ay binago mula sa bilang ng mga hilera sa isa pang matrix, pagkatapos ay ang karagdagang matrix ay ginagamit. Bilang resulta, kumuha kami ng bagong matrix
, de

Bilang resulta, kinukuha namin
.

Lecture 2. Appointees. Pagkalkula ng vyznachniki sa isa pa, ikatlong order. Ang kapangyarihan ng mga hinirangnika-utos.