Завдання, чи юу гэж ойлгов underwire интеграл.

Элементүүдийн функцийг хуваарилах нь хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц юм мөн дүнг бичнэ үү

үүнийг интеграл гэж нэрлэдэг.

Асуулт: Синг интеграл (o.i.) нь функц болон сонголтоор

Зориулалт:

Тоонуудыг нэгтгэсэн гэж нэрлэдэг (Rіman-ийн дагуу).

T. іsnuvannya: Таны оюун санааны төлөө, sho.

o.i томилох хүртэл Vіdpovіdno. интеграл хэлбэрээр хадгалуулж болох нь чухал юм

Vіdpovіdno хүртэл cl.17.1.1 болон 17.1.2 болон о. Бид муруйн трапецын талбайн томъёог бичнэ. , роботын хүч

дээр:

Дэд интеграл, интеграл нийлбэрийн тухай ойлголт.

Интеграл хоорондын нийлбэр нь өгөгдсөн зүйлд тодорхой байхын тулд шугамын интегралын суурь нь цилиндр биеийн эзэлхүүнийг өгдөг. Гэсэн хэдий ч, tse mirkuvannya үгүй ​​биш є suvorim. Хатуужилтын дээд курсуудад субвертик интегралын үндсэн дээр теоремыг авчирч, дуудах шаардлагатай.

Теорем іsnuvannya. Учир нь энэ нь функц байх эсэх, би хэмжиж болох битүү талбайд тасалдалгүйгээр, дэд интеграл байдаг, ингэснээр оюун ухаанд зориулсан жижиг майданчуудын тоо хязгааргүй нэмэгддэг интеграл хоорондын нийлбэр, Тэдний арьс нь толбо руу татагддаг. Tsya хил хязгаарыг бүс нутгийг задлах замаар байршуулж болохгүй, гэхдээ цэгийн сонголтоор биш.

Nadalі mi vzglyaditimemo ямар ч функцгүй, интеграцийн хүрээнд тасалдалгүйгээр.

Суурийн теоремоос бид жишээ нь тухайн бүсийг координатын тэнхлэгүүдтэй параллель шулуун талуудтай жижиг тэгш өнцөгтүүдэд хувааж болно (Зураг 230). Циму үед. Вибираючи потим арьсны жижиг шулуун гэдэсний цэгүүдээр бид бичиж болно, zgіdno z subverical интегралын нэр томъёо

Оюун санааны нийлбэрийн хоорондох үндсэн интегралыг олж авах боломжтой гэдгийг батлахын тулд vicorist тэмдгийн нэр нь мөн тэмдэг юм.

Виразыг декарт координат дахь дөрвөлжингийн элемент ба координатын тэнхлэгүүдтэй зэрэгцээ талуудтай тэгш өнцөгтийн нэмэлт квадрат гэж нэрлэдэг.

Салшгүй уутыг нугалахад бүс хоорондын зайтай залгаадаг майданууд тэгш өнцөгт үүсгэхгүй байх нь чухал юм. Гэсэн хэдий ч ийм майданчуудыг талбайн хоорондох квадратаар сольсон өршөөлийг тэг болгож бууруулж болно.

Дэд интегралуудын хүч

Дэд интегралын давамгайлал (тэр його висновок) нь нэг удаагийн дуулах интегралын давамгайлалтай адил юм.

1°. Нэмэлт чанар. Функц нь юу вэ е(x, y) бүс нутагт нэгдсэн Дмөн газар нутаг болгон Дтусламжийн муруй Гтэг талбай нь хоёр холбоост хуваагддаг бөгөөд бүс нутгийн өндөр дотоод цэгүүдийг бүдгэрүүлдэггүй Д 1 т Д 2 , дараа нь функц е(x, y) арьсны хэсгүүдэд нэгтгэсэн Д 1 т Д 2, үүнээс гадна

2°. Шугаман хүч . Ямар функцүүд е(x, y) тэр g(x, y) нутаг дэвсгэрт нэгтгэх Д, a α і β - ярианы тоо байх, дараа нь функц [ α · е(x, y) + β · g(x, y)] нь мөн бүс нутагт нэгдсэн Д, үүнээс гадна

3°. Ямар функцүүд е(x, y) тэр g(x, y) нутаг дэвсгэрт нэгтгэх Д, дараа нь эдгээр функцүүдийн нэмэлт функцүүдийг нэгтгэсэн болно Д.

4°. Ямар функцүүд е(x, y) тэр g(x, y) бүс нутаг дахь довтолгооны интеграци Дмөн миний галерейд хаа сайгүй е(x, y) ≤ g(x, y), дараа нь

5°. Функц нь юу вэ е(x, y) бүс нутагт нэгдсэн Д, тэдгээр функц | е(x, y)| бүс нутагт нэгдсэн Д, үүнээс гадна

(Мэдээж интеграцид | е(x, y)| in Динтеграци харагдахгүй байна е(x, y) дотор Д.)

6°. Дундаж утгын теорем. Ямар доромжлолтой функц вэ е(x, y) тэр g(x, y) нутаг дэвсгэрт нэгтгэх Д, функц g(x, y) энэ галерейд хаа сайгүй үл үзэгдэх (эерэг биш), Мі м- функцийн яг дээд ба доод хязгаар е(x, y) бүс нутагт Д, дараа нь тоо байна μ энэ нь сандрах мэдрэмжийг хангадаг м ≤ μ ≤ Мтомьёо хүчинтэй байх болно

Зокрема нь функцээр е(x, y) тасалдалгүй байна Д, болон талбай Д звязкова, тэгвэл энэ галерейд ийм цэг байдаг ( ξ , η ), юу μ = е(ξ , η ), томъёо (11) нь иймэрхүү харагдаж байна

ХӨДӨЛГӨХ ИНТЕГРАЛД

лекц 1

Тогтвортой интеграл.Доод гүйдлийн интегралын зорилго нь хүч юм. Давтагдсан интеграци. Доод интегралуудын давтагдах холбоосууд. Интеграцийн хоорондох байршил. Декартын координатын системийн суурь интегралын тооцоо.

Дэд интеграл нь хоёр хувьсагчийн өөр өөр функцэд sing интегралын талаарх ойлголтыг гүнзгийрүүлэх явдал юм. Ийм байдлаар интеграци нь эсрэгээрээ хавтгай дүрс хэлбэрээр байх болно.

Аливээ Д- Дежака бол хаалттай, хилийн бүс нутаг бөгөөд е(x,y) - хангалттай функц, үүнийг энэ галерейгаар тэмдэглэсэн. Үүнийг бүс нутгийн хооронд гэж үзье Дхамгийн сүүлийн тооны муруйнуудаас нэмж, үе тэнгийнхний даалгавароюун ухаан y=е(x) эсвэл x=g( y), де е(x) тэр g(y) нь тасалдалгүй функцууд юм.

Розибёмо муж Дзохистой зэрэглэл nхэсэг. талбай би-ї delyanki нь D тэмдгээр утга учиртай с би. Арьс dilyantsi дээр нэлээд чичиргээ нь цэг юм Пи,мөн декарт системийн має координатыг ( x i , y i). Складемо интеграл нийлбэрфункцийн хувьд е(x,y) бүс нутгаар D,Функцийн аль утга нь бүх цэг дээр мэдэгдэж байна Пи, їх-ийг давхар талбайн талбайгаар үржүүлэх Ds биМөн бид бүх үр дүнг устгасан гэж бодож байна:

Назвемо диаметр(Г) талбайнууд Гбүс нутгийн хилийн цэгүүдийн хоорондох хамгийн том зай.

Интеграл функцууд f(x,y) D хэсэгт интеграл нийлбэрийн дарааллыг ямар хэмжээгээр зааг гэж нэрлэдэг (1.1) завсарлагааны тоог хязгааргүй нэмэгдүүлэх n (хэнд). Ингэж бичээрэй

Тухайн функц ба тухайн интеграцийн талбайн салшгүй нийлбэр нь тухайн бүсийг өргөжүүлэхэд саад болж байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Дцэг сонгох Пи. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse гэсэн үг, vіdpovіdny іntegrаlny нийлбэр хооронд томилогдсон chinnikіv хооронд худал боломжгүй юм. Дарааллаар нь(эсвэл энэ мэт санагдаж байна ерөнхий функц f(x,y) нь D домэйнд нэгтгэгдсэн), bool-ийн интеграл функц нь хангалттай тасалдалгүйажлын галлерейг нэгтгэх.

Алив функц е(x,y) бүс нутагт нэгдсэн Д. Ийм функцүүдийн хуримтлагдсан нийлбэрүүдийн хоорондох хэсгүүдийг нэгтгэх талбайг хуваах аргаар хуримтлуулах боломжгүй, хуваах ажлыг босоо болон хэвтээ шугамын тусламжтайгаар хийж болно. Todі бүс нутгийн бизнес эрхлэгчид илүү Д matime шулуун зүсэгдсэн, талбай ийм доривню Д с би=Д x iД y i. Тиймээс талбайн дифференциалыг ингэж бичиж болно ds=dxdy. Отже, интеграл дор декартын координатын системдхараад бичиж болно

Хүндэтгэл. Интеграл функц шиг f(x,y)º1, Интеграцийн бүсийн талбайн доод интеграл нь:

Доор зурсан интеграци нь дангаараа нэгдмэл байхаас гадна ижил хүч чадалтай байж болох нь чухал юм. Тэдний хийсэн үйлс их ач холбогдолтой.

Дэд интегралуудын хүч.

1 0 .Шугаман хүч. Интегралын бусад нийлбэрийн функцүүдийн нийлбэрийн интеграл:

мөн интегралын тэмдгээр тогтмол үржүүлэгчийг буруутгаж болно:

2 0 .Нэмэлт хүч. D интеграцийн талбар нь хоёр хэсэгт хуваагддаг тул дэд интеграл нь арьсны хэсэг дээрх интегралын нийлбэрээс илүү бүрэн гүйцэд болно.:

3 0 .Дундаж теорем. Функц нь юу вэ f( x,y)нь D мужид үргэлжилдэг бол галерейд ийм цэг байдаг(x, h) , юу:

Цаашдын хоол тэжээлийн дараах: дэд интегралуудыг хэрхэн тооцдог вэ? Його ойролцоогоор virahuvati байж болно, энэ аргаар энэ нь эвдэрсэн байна үр дүнтэй аргуудхуримтлагдсан нийлбэрүүдийн атираат нийлбэр, дараа нь нэмэлт ЭОМ-ээр тоогоор тооцно. Дэд интегралын аналитик тооцооллын тусламжтайгаар тэдгээрийг хоёр интеграл болгон бууруулна.

Цайны савны түдгэлзүүлсэн интеграл

Энэ хичээл нь олон интегралын агуу сэдвийг танилцуулж, оюутнууд үүнээс өөр хичээлийг сонсох болно. Үүнийг хөдөлгө гурвалсан интегралаарТа бүрээсийг өндөр биш, доогуур байрлуулж болно дифференциал тэнцүү байнатэр vіdrazu руу хоолоо харцгаая: за, энэ юу вэ? Zvichayno, deakim уялдаатай байх болно, үнэнийг хэлэхэд, би нэрлэсэн статистикийг бага зэрэг гүтгэсэн байна - хэрхэн virishuvati podvіynі іntegrali сурахын тулд, энэ нь зайлшгүй эх deyakі шинэхэн байна. Нэгдүгээрт, хэрэв та интеграцчлалын талаар явбал, мэдээжийн хэрэг та нэгтгэх хэрэгтэй болно. Логик. Otzhe, програм хөгжүүлэхийн тулд та мэдэх хэрэгтэй ач холбогдолгүй интегралуудтэр тоо шугаман интегралдунд түвшинд халуун би. Сайн шинэлэг зүйл бол хүчирхэг хүчнүүдийн тусламжтайгаар үүнийг хялбархан хийхийн тулд илүү их vipadkiv-д нэгдсэн явдал юм.

Хэн хүнд хэцүү байх вэ? Би баруун талд нь ойлгосон. Эхний семестрүүддээ маш их шар айраг уусан Тим. Гэсэн хэдий ч, жирийн оюутнууд хэт их ачаалалтай байж болно - сайт дээр цоорхой эсвэл ойлгомжгүй байдлаар бөглөх бүх материалууд байдаг. Та зүгээр л нэг цаг гаруй зарцуулдаг. Тэдгээр дээр Possilannya, yakі гулсаж vyvchiti эсвэл давтан, dodavatimutsya pіd цаг statti.

Танилцуулгын хичээл дээр алхам алхмаар дараах үндсэн мөчүүдийг авч үзэх болно.

– Доод гүйдлийн интегралыг ойлгох

- Интеграцийн бүс. Интеграцийн бүсийг тойрч гарах дараалал. Тойрох дарааллыг хэрхэн өөрчлөх вэ?

Үүний дараа та бүх Ази тивийг САЙН ойлгож байгаа тул нийтлэл рүүгээ орж болно Дутуу үнэлэгдсэн интегралыг хэрхэн тооцоолох вэ? Уусмалыг хэрэглэнэ. Үүнээс гадна илүү өргөн хүрээний даалгавар байдаг туйлын координат дахь гүйлтийн интегралын тооцоотухай ердийн нэмэлт Хавтгай хүрээлэгдсэн дүрсийн хүндийн төвд үзүүлэх ач холбогдол.

Зориггүй хоолноос эхэлцгээе - энэ юу вэ?

Доод гүйдлийн интегралыг ойлгох

Мунхаг хүний ​​субвариант интегралыг дараах байдлаар бичнэ.

Нэр томьёо, тодорхойлолтыг харцгаая:
- Босоо интегралын дүрс;
- Интеграцийн талбай (хавтгай зураг);
- Хоёр хувьсагчийн интеграл функц, ихэвчлэн энгийн байдаг;
- Дифференциалын тэмдэг.

Дутуу үнэлэгдсэн интегралыг тооцоолох нь юу гэсэн үг вэ?

Үндсэн интегралыг тооцоолох - tse гэсэн үг КИЛО мэднэ. Хамгийн энгийн тоо:

I vkray bazhano йогоо зөв мэднэ =)

Үр дүн (тоо) сөрөг байж болно. Тэгээд тэгийг амархан оруулж болно. Тухайн агшинд тусгайлан zupinivsya, oskolki chimalo оюутнууд тайван бус байсан, хэрэв та гарч ирэх бол "өөр ямар нэг гайхалтай зүйл."

Тэр "гайхалтай" гэдгийг санаж байгаа Багато утгын интеграл- Тежийн дугаар. Энд яг л ийм байна. Underwire интеграл нь іsnuє би vіdminny байна геометрийн змист, Ale тухай tse pіznіshe, usumu svіy цаг.

Дутуу үнэлэгдсэн интегралыг хэрхэн тооцоолох вэ?

Үндсэн интегралыг тооцоолохын тулд үүнийг дараах байдлаар дуудах шаардлагатай бид интегралуудыг давтана. Зробитийн боломжтой хоёр арга. Довтолгооны аргын хамгийн том өргөтгөл:

Орлогч хүнсний хангамжийг нэгтгэх хооронд тохируулах шаардлагатай. Түүнээс гадна гаднах интегралын хоол тэжээлийн шинж тэмдгүүд нь дангаараа байдаг - tse тоо, мөн дотоод интегралын тэжээлийн шинж тэмдгүүдийн дэд утаснууд нь функцууд odnієї zminnoї , "iks" хэлбэрээр байршуулах scho.

Интеграцийн хооронд оддыг авах уу?Өмхий үнэр нь v_d tsgogo-д хэвтэх нь, тухайн газрын даргын оюуны хувьд. Энэ газар бол та хэд хэдэн удаа хамт наалдсан гайхалтай хавтгай дүрс юм, жишээлбэл, хэзээ хавтгай дүрсүүдийн дугаарлагдсан хэсгүүдэсвэл биеийн боодлын хэмжээг тооцоолох. Незабар та интеграцийн хил хязгаарыг хэрхэн зөв байрлуулахаа мэддэг.

Үүний дараа давтагдсан интеграл руу шилжихээр шийдсэний дараа дараахь тооцоог зуучлагчгүйгээр гүйцэтгэнэ: эхлээд дотоод интеграл, дараа нь гаднах хэсгийг авна. Нэг нэгээр нь. Zvіdsi нэр - давтагдах интеграл.

Ойролцоогоор даалгавар бол хоёр дуулах интегралыг тооцоолох хүртэл тоолох явдал юм. Яаж бүх зүйл тийм ч уялдаа холбоотой, аймшигтай биш байна вэ, та яаж "ганц" дууны интеграл руу оров, хоёр интегралаас салгахад юу хэрэгтэй вэ?

Давталттай интеграл руу шилжих өөр нэг арга бол илүү энгийн:

Юу өөрчлөгдсөн бэ? Интеграцийн дараалал өөрчлөгдсөн: одоо дотоод интегралыг "ix", гаднах нь "iplayer"-д зориулж авсан. Одоор тэмдэглэгдсэн интеграцийн хооронд - өөр бай!Гадаад интегралын одод нэг нэгээрээ - tse тоо, мөн дотоод интегралын суурь одод байна эргэх функцууд, scho "igrok" хэлбэрээр худал хэлэх.

Аль би ми давтан интеграцид шилжих замыг сонгоогүй, obov'yazkovo viide-ийн үлдэгдэл дууг өөрөө:

Гуйя, эрх мэдлийн ач холбогдлыг санаарай, уусмалыг дахин шалгахын тулд vikoristovuvati, zokrema боломжтой байдаг.

Дэд интегралыг шийдэх алгоритм:

Бид мэдээллийг системчилдэг: та даалгаврыг ямар дарааллаар харах ёстой вэ?

1) Сандлыг наалдамхай болгох шаардлагатай. Сандалгүй бол даалгавар бол эвдэхгүй байх явдал юм. Бүр тодруулбал, та хожихгүй, гэхдээ энэ нь чек дээрх тоглоомтой төстэй байх болно. Тууштай сандал дээр талбайг хавтгай дүрсээр дүрсэл. Ихэнх тохиолдолд зураг нь энгийн бөгөөд шугам, парабол, гипербол гэх мэтээр хүрээлэгдсэн байдаг. shvidku tekhnіku pobudovі koslene-г хичээл дээр эзэмшиж чаддаг чадвартай График ба энгийн функцүүдийн үндсэн эрхүүд, графикийн геометрийн хувиргалт. Отже, эхний шат нь түшлэгтэй сандлын виконати юм.

2) Интеграцчлалын хооронд тохируулж, давтан интеграцид очно.

3) Дотоод интегралыг ав

4) Одоогийн интегралыг аваад зөрүүг (тоо) хас.

Интеграцийн бүс. Интеграцийн бүсийг тойрч гарах дараалал.
Тойрох дарааллыг хэрхэн өөрчлөх вэ?

Энэ догол мөрөнд бид хамгийн чухал хоолыг харж болно - давтан интеграцид хэрхэн очиж, интеграцийн хооронд зөв байрлуулах вэ. Дээр дурдсанчлан та үүнийг дараах байдлаар хийж болно.

Би энэнд дуртай:

Практикт хамгийн эвгүй даалгавруудыг сурах нь хамгийн их бэрхшээлтэй тулгардаг бөгөөд оюутнууд нэгтгэх явцад ихэвчлэн төөрдөг. Тодорхой жишээг харцгаая:

өгзөг 1

Шийдэл:Сандал дээрх интеграцийн талбайг төсөөлж үзье.

Zvichayna хавтгай зураг, онцгой зүйл байхгүй.

Одоо би танд зориулж арьс арчилгааны хэрэгслийг харах болно - ухах саваа, лазер заагч. Даалгавар бол сүүдэртэй хэсгийн арьсны цэгийг сканнердах явдал юм.

Лазерыг нэгтгэх талбарыг нэвтрүүлэх хатуу уруудах, дараа нь та захиалгаа дуусгах ёстой доогуурхавтгай дүрсүүд. Тэнцүү хүмүүсийн асууж байгаагаар бүсийг бүхэлд нь абсциссоор дамжуулж, параболаар (улаан сумаар) бүсээс гарна уу. Бүс нутгийг бүхэлд нь гэрэлтүүлэхийн тулд танд хэрэгтэй баруун тийшээ огцом ууртай vkazіvka vzdovzh osі vіd 0-ээс 1 (ногоон сум) зур.

Отже, юу болсон бэ:
"Іgrek" нь 0-ээс өөрчлөгддөг;
"ix" нь 0-ээс 1 болж өөрчлөгддөг.

Даалгаврын хувьд зөрчилтэй тохиолдолд дээр дурдсан зүйлийг бичсэн болно.

Тохиромжгүй өгөгдлийг нэрлэ интеграцийн галерейг тойрч гарахэсвэл зүгээр л нэгтгэх дараалал

Бид тойрч гарах дарааллыг эрэмбэлсний дараа доод гүйдлийн интегралаас давтагдсан интеграл руу шилжиж болно.

Даалгаврын тал хувь нь дууссан. Одоо давтагдсан интеграл руу өөр аргаар шилжих шаардлагатай байна. Та хэний хувьд үндсэн функцуудыг мэдэх ёстой. Хичээлийн өөр догол мөрийг хэн мэддэг вэ Эзлэхүүн биеийн боолтэнэ нь илүү хялбар байх болно. Талбайг тодорхойлох функцуудыг авч үзэх . Энэ нь бүр ч хялбар, дараа нь буцах функцууд руу очно уу, энэ нь "igreeks" -ээр дамжуулан "iksi" гэж хэлэх гэсэн үг юм. Нэг функц, de є би "iks" болон "iplayer", є.

Якчо, тэгээд ч:
урвуу функц нь параболын баруун талыг тогтоодог;
Урвуу функц нь параболын зүүн буланг тогтооно.

Сумнив, тэнхлэг, жишээлбэл, параболын зүүн эсвэл баруун талд гарын үсэг зурах функцийг буруутгах нь ердийн зүйл биш юм? Ялгааг нэгтгэн дүгнэх нь илүү хялбар байдаг: параболик цэгийг, жишээлбэл, (баруун зүүгээс) аваад координатыг шулуун шугамаар, жишээлбэл, ижил шугамаар тогтооно.

Зөв тэгш байдлыг хассан тул функцийг параболын баруун гарт хуваарилсан боловч зүүн талд биш юм.

Үүнээс илүү tsyu reverb(хараар бодсон) үдшийг өнгөрөөҮүний дараа та буцах функцууд руу шилжсэн. Би нэг цагийн турш юу ч зээлэхгүй, гэхдээ эрэг дээр өршөөлийн дуу дуулна!

Интеграцийн бүсийг өөр аргаар тойрч гардаг.

Одоо бид лазер заагчийг тайрч болно леворучгалерей нэгтгэлийг үзэх. Promin лазер нэвтрүүлэх хэсэг баруун тийшээ огцом ууртай. At энэ тодорхой төрөлд vіn параболик зүүгээр бүс рүү орж, тэнцүү (улаан сум) -аар тогтоосон шулуун шугамаар бүсээс гарна. Бүх талбайг лазераар сканнердахын тулд vzdovzh тэнхлэгийг хийх шаардлагатай хатуу уруудах 0-ээс 1-ийг оруулна уу (ногоон сум).

Ийм байдлаар:
"iks" нь 1 хүртэл өөрчлөгддөг;
"Іgrek" нь 0-ээс 1 болж өөрчлөгддөг.

Зөрчил гэж тэмдэглэсэн хажуугийн талбайг тойрч гарах журам:

Дараа нь давтан интеграцид шилжих нь дараах байдалтай байна.

Видповидингэж бичиж болно:

Бүс нутгуудыг тойрч гарсан дарааллаас хамааран үлдэгдэл үр дүнг тооцох боломжгүй гэдгийг би дахин таамаглах болно (үүнд тавигдах шаардлагыг хангасан). Гэсэн хэдий ч энэ нь эцсийн үр дүнгээс хол хэвээр байгаа тул одоо бидний үүрэг бол харилцан уялдаа холбоог зөв байрлуулахаа больсон.

өгзөг 2

Интеграцийн бүс нутагтай Дани улсын дэд салшгүй хэсэг. Давтагдсан интеграцид очиж, интеграцийн хооронд хоёр аргаар өргөжүүлнэ үү.

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ юм. Сандал дээр чадварлаг сэрээ тойруу замаар шулуун шугам авах(од, хаана лазер заагчаар гэрэлтэх). Zrazok нарийн дизайн хичээл шиг.

Ихэнх ердийн даалгавар trochs нь өөр томьёогоор хатсан байна:

өгзөг 3

Интеграцийн талбарыг өдөөх

Шийдэл:Оюун санааны хувьд бүс нутгийг тойрч гарах анхны арга замыг өгсөн. Шийдвэрүүд дахин сандал дээрээс эхэлдэг. Энд бүс нутаг нь blaky oblyamіvkoy нь мөнгөн таваг дээр хэвтэж биш, харин онцгой хүндрэл бий болгох нь таныг дэмжихийн тулд. Гарны ар тал дээр "knіmaєmo" функцууд нь харилцан уялдаа холбоотой байдаг: , . Функц нь дур зоргоороо шулуун шугам тавьдаг, гэхдээ функц нь юуг тохируулах вэ? Өөрчлөлт хийцгээе:
- радиусын координатын коб дээрх төвийн ойролцоо 2. w функц нь дээд шугамыг тогтоодог (хэрэв та үүнийг нэгтгэн дүгнэвэл дээд эсвэл доод шугам дээр байрлах цэгийг хэзээ ч тавьж болно гэдгийг бүү мартаарай).

Бид гаднах интегралын хооронд гайхдаг: "ix" нь -2-оос 0 болж өөрчлөгддөг.

Виконаэмо сандал:

Нарийвчлахын тулд би сумаар тухайн бүс нутгийг тойрч гарах эхний арга замыг зааж өгсөн бөгөөд энэ нь эргээд оюун санааны давтагдах интегралуудыг хэлдэг. .

Одоо бүс нутгийг тойрч гарах дарааллыг өөрчлөх шаардлагатай бөгөөд үүний тулд бид эргэх функцууд руу шилжих болно (жишээлбэл "икси" "іgreki" -ээр дамжуулан):

Тун удалгүй бид функцийг гадасны түвшинд дахин тохируулсан, "iks" гэж хэлье:
Үүний үр дүнд хоёр үндсэн функц шаардлагатай:
- Зөв пивколод гарын үсэг зурах;
- Их хэмжээний лева pіvkolo.
Сумнивийг буруутгаж байгаа юм шиг, гадасны цэгийг аваад, зүүн, баруун гэж хэлээрэй.

Талбайг тойрч гарах дарааллыг өөрчлөх:

Zgidno өөр замаар, лазер промин оруулахбүс нутаг руу леворучарслан pivkolo i дамжуулан баруун гараараа явшулуун шугамаар (улаан сум). Яг тэр цагт лазер оруулахордны тэнхлэг дээр гүйцэтгэнэ өгсүүр 0-ээс 2-г оруулна уу (ногоон сум).

Энэ дарааллаар тухайн талбайг тойрч гарах дараалал:

Загал гэж бичиж болно сануулга:

өгзөг 4

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ юм. Өгзөг нь эвхэгдэхээ больсон ч цөөн хэдэн ажлыг өөр аргаар давах журмыг хүндэтгэ! Яагаад ийм випадкад ажилладаг юм бэ? Нэгдүгээрт, сандлын хүндрэлийг буруутгаж, сандалны хэлтэрхий нь цус алдалтын үйл ажиллагааны хуваарийг гэнэт намайг өөртөө татдаг. Би дараагийн дарааллыг санал болгож байна: юуны түрүүнд бид "анхдагч" функцийг авдаг (бид "iks" -ээр дамжуулан "gravets" гэж хэлдэг). Бид танд "хэт" функцийн хуваарийг өгөх болно (хэрэв та крапково хийхийг хүсч байвал үргэлж өөгшүүлж болно). Үүний нэгэн адил бид илүү том энгийн шугаман функцийг ашиглаж болно: бид "булш" хийж, шулуун шугамыг явуулж болно.

Бид хоорондын интеграцийн цоорхойд дүн шинжилгээ хийдэг: бид дунд бүсэд i-ээр дамжин орж, -ээр дамжин гардаг. Хэрэв та бүх зүйлийг зөв хийвэл "Грек" гөлгөр байдал руу -1-ээс 0 хүртэл очиж болно. Та сандал дээр нэгтгэх бүсийг зааж өгсөн тул тусгай хүндрэлийн агуулахыг тойрон гарах дарааллыг өөрчил. Zrazok хичээлд зориулсан шийдлийг боловсруулсан.

Үүнтэй төстэй өгзөгийг би дараа нь арай илүү цэгцлэх болно.

Navіt yakscho та бүгдийг сайн ойлгосон, эелдэг бай, Яарах хэрэггүй, гүйлтийн интегралыг тооцоолох хүртэл шууд яв. Тойрог замын дараалал нь баялаг бөгөөд зарим толгой дээр гараа авах нь чухал, үүнээс ч илүү, би бүгдийг хараахан хараахан хараагүй байна!

Урд талын хонгилд интеграцийн талбайг 1, 2, 3, 4-р координатын хэсгүүдэд бүхэлд нь харав. Яагаад ингэж хүлээж байгаа юм бэ? Үгүй, ойлгомжтой.

өгзөг 5

Интеграцийн дарааллыг өөрчлөх

Шийдэл:Энэ нь функцын график нь куб парабол болох сандалтай адил бөгөөд зүгээр л "хажуу талд хэвтэхгүй":

Давтагдсан интегралуудыг заадаг мужийг тойрч гарах дараалал , сумаар тэмдэглэгдсэн. Сандлын виконнанны үеэр өөр нэг дүрслэгдсэн дүрсийг (ординатуудын тэнхлэгт леворуч) зурсан гэдгийг хүндэтгэх хэрэгтэй. Тиймээс бид бүс нутгийн интеграцид хүндэтгэлтэй хандах ёстой - бүс нутгийн хувьд та буруу тоог уучилж болно.

Буцах функцууд руу шилжье:
- бидэнд параболын баруун толгой хэрэгтэй;

Бүс нутгийг тойрч гарах дарааллыг өөрчилье. Таны санаж байгаагаар тухайн газрыг тойрч гарах өөр арга замаар баруун тийш лазер шилжүүлэгчээр тухайн хэсгийг сканнердах шаардлагатай. Ale энд posterіgaєtsya cіkava rіch:

Үүнтэй төстэй нөхцөлд хэрхэн засах вэ? Ийм тохиолдолд интеграцийн хэсгийг хоёр хэсэгт хувааж, арьсны хэсгийн хувьд давтан интеграцчилгааг нэмнэ.

1) Хэрэв "таталцал" -1-ээс 0 (ногоон сум) болж өөрчлөгдвөл куб параболоор тухайн мужийг оруулаад шулуун шугамаар (улаан сум) гарна уу. Тиймээс тухайн газрыг тойрч гарах дараалал дараах байдалтай байна.

2) Хэрэв "таталцал" 0-ээс 1 (хүрэн сум) болж өөрчлөгдвөл параболик зүүгээр тэр хэсгийг нэн даруй оруулаад, тэр шулуун шугамаар (час улаан сум) гарна. Дараа нь талбайг тойрч гарах дараалал дараах байдалтай байна.

Би давтагдсан интегралуудыг давтан хэлэв:

Дуу болон олон интеграл нь тодорхой хүч чадалтай байдаг нэмэлт чанарингэснээр тэдгээрийг нугалж болох бөгөөд энэ нь өгөгдсөн арга замаар болон дараагийн ургах болно:
- Мөн тэнхлэг болон бидний бүс нутгийг тойрон алхаж байгаа нь хоёр интегралын нийлбэрийг харахад өөр арга замаар.

Видповидингэж бичнэ үү:

Ямар дараалалыг тойрч гарах нь хамгийн ойлгомжтой вэ? Zvichayno нэг, ямар үсэг даалгавар оюун ухаанд өгсөн - Та хоёр дахин бага тоолох болно!

өгзөг 6

Интеграцийн дарааллыг өөрчлөх

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ юм. Шинэ нэг нь пивкол байгаа бөгөөд дүн шинжилгээг Хавсралт 3-т хянасан гэж мэдээлсэн. Шийдлийг сургамж шиг боловсруулсан.

Тэгээд нэг удаа, obіtsyane zavdannya, хэрэв даалгаврын жагсаалт нь бүс нутгийг тойрч гарах өөр нэг арга юм:

өгзөг 7

Интеграцийн дарааллыг өөрчлөх

Шийдэл:Хэрэв даалгавруудыг өөр аргаар давах журам бол сэрээх сандал дээр очихоос өмнө "дээд" функцууд руу орох шаардлагатай. Хэнд өгзөг, хувиргах хоёр өвчтөн байдаг: i.
Шугаман функцтэй бол бүх зүйл энгийн:

Функцийн график нь каноник шинжтэй парабол юм.

Virazimo "iplayer" -ээр дамжуулан "ix":

Бид параболын хоёр зүүг авдаг: i. Яку тэднээс чичиргээ вэ? Хамгийн энгийн зүйл бол түшлэгтэй сандалыг харах явдал юм. Хэрэв та параболын талаархи аналитик геометрийн материалыг мартсан бол крапковог бүгдийг нь доромжилж болно.

Энэ түшлэгтэй сандал дээр хавтгай дүрс цацагдаж байсныг би дахин нэг удаа хүндэтгэж байна, мөн дүрсийг сонгох нь чухал юм! Тоглож буй тоонуудын сонголтод тэд бусад интегралуудыг нэгтгэхэд туслах болно.
, энэ үед буцаах функц юу болохыг мартаж болохгүй бүгдпарабол.

Зургийн тойрог замыг зааж буй сумнууд нь интеграцчлалын хил хязгаарыг яг зааж өгдөг. .

Досит Швидко та ийм дүн шинжилгээг оюун ухаандаа хийж сурч, интеграцийн талбар хэрэгтэйг мэддэг.

Хэрэв зураг олдвол шийдлийн эцсийн хэсэг нь бүр ч энгийн, бид талбайг тойрч гарах дарааллыг өөрчилнө.

Буцах функцууд нь аль хэдийн мэдэгдэж байгаа бөгөөд талбайг тойрч гарахад шаардлагатай журам:

Зөвлөмж:

Бие даасан хөгжлийн догол мөрний эцсийн жишээ:

өгзөг 8

Интеграцийн дарааллыг өөрчлөх

Гаднаас нь харахад энэ нь хичээлтэй төстэй шийдэл юм.

Дэд вариант интегралыг тооцоолох үйл явцыг харж, геометрийн ээдрээтэй танилцаж эхэлцгээе.

Дэд интеграл нь хавтгай дүрсийн талбайгаас (интегралын бүс) тоон хувьд илүү байдаг. Хоёр хувьсах функц нь бол доод интегралын хамгийн энгийн хэлбэр нь: .

Бид гутамшигтай дүр төрхийг толгойны ар тал руу харж болно. Үүний зэрэгцээ та хөдөлж байна, бүх зүйл үнэхээр энгийн! Хавтгай дүрсүүдийн талбайг тооцоолох, шугамаар хүрээлэгдсэн. Дуулахын тулд танд vіdrіzku байх нь чухал. Зургийн талбарууд тоон хувьд илүү дэвшилтэт байна:

Бид сандал дээрх талбайг дүрсэлсэн:

Тухайн газрыг тойрч гарах эхний аргыг сонгоно уу:

Ийм байдлаар:

Би нэг удаа чухал техникийн трик: давтагдсан интегралд оруулж болно. Юуны өмнө дотоод интеграл, дараа нь гаднах интеграл. Би тэр цайны аяганд Данийн арга барилыг зөвлөж байна.

1) "Газар" өөрчлөлтийн хувьд интеграци хийгдсэн дотоод интегралыг тооцоол.

Ач холбогдолгүй интегралЭнд Ньютон-Лейбницийн хамгийн энгийн бөгөөд илүү ялсан томъёолол нь ижил зөрүүтэй байна. Интеграцчлалын хоорондох тоо нь тоо биш, харин функц юм. Толгойн ар тал нь "игрок" (анхны функц) дээд хил дээр, дараа нь доод хил дээр тавигдсан.

2) Эхний цэгээс хассан үр дүнг одоогийн интеграл дээр нэмэх ёстой.

Бүхэл бүтэн шийдлийн илүү том хэмжээтэй бичлэг дараах байдалтай байна.

Отриманы томъёо - энэ бол "хэт" дуулах интегралын тусламжтайгаар хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолох яг ажлын томъёо юм! Хичээлийг гайхшруулаарай Синг интегралын тусламжтайгаар талбайн тооцоо, Тэнд энэ нь арьсны croci дээр байна!

Тобто, доогуур шугамын интегралын тусламжтайгаар талбайг тооцоолох даалгавар цөөхөн хүн санаа тавьдагдуулах интегралын тусламжийн төлөө!Үнэндээ бол адилхан!

Энэ нь ямар ч бэрхшээлийг буруутгахгүй нь ойлгомжтой! Би та нарын жижиг өгзөг, хэлтэрхийнүүд, үнэндээ нэг бус удаа эдгээр ажлуудыг хамтад нь авч үзэх болно.

өгзөг 9

Утасны интегралын тусламжтайгаар шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг тооцоол.

Шийдэл:Бид сандал дээрх талбайг дүрсэлсэн:

Зургийн талбайг дараах томьёоны дэд интегралын тусламжтайгаар тооцоолно.

Талбайг тойрч гарах дараагийн дарааллыг сонгоно уу:

Энд, цаашлаад би бүс нутгийг хэрхэн тоймлох талаар ярихгүй, эхний догол мөр дэх хэлтэрхийнүүд нь тодруулгын тайлангаас ч илүү гарч ирсэн.

Ийм байдлаар:

Миний өмнө дурдсанчлан давтагдсан интегралуудыг илүү хурдан тооцоолох нь иргэдэд илүү хялбар бөгөөд үүнийг би аргад нэмж оруулах болно.

1) Ньютон-Лейбницийн томьёоны арын ард байгаа мөрийг дотоод интегралаар шинжилнэ.

2) Эхний croc-ыг хассан үр дүн нь одоо байгаа интегралаар солигдоно.

2-р цэг - үнэн хэрэгтээ sing интегралын тусламжтайгаар хавтгай байрлалын талбайг няцаах явдал юм.

Зөвлөмж:

тэнхлэг нь маш муу, naїvne zavdannya байна.

Бие даасан интоорын хувьд Cicavi өгзөг:

өгзөг 10

Утасны интегралын тусламжтайгаар шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг тооцоол.

Хичээлийн дизайны эцсийн шийдлийн товч тойм.

Prikladakh 9-10-д энэ нь бүс нутгийг тойрч гарах эхний арга замыг ялах нь илүү чухал юм, илүү их уншиж, үг хэлэхээсээ өмнө та тойрч гарах дарааллыг өөрчилж, талбайг өөр аргаар тооцоолж болно. Хэрэв та өршөөхгүй бол мэдээжийн хэрэг та өөрийн чухал бүсийг харах болно.

1.1 Босоо интегралыг тодорхойлох

1.2 Дэд интегралын давамгайлал

Дэд интегралын давамгайлал (тэр його висновок) нь нэг удаагийн дуулах интегралын давамгайлалтай адил юм.

1°. Нэмэлт чанар. Хэрэв f(x, y) функц нь D мужид нэгтгэгдсэн ба хэрэв нэмэлт муруй Г-аас давсан D муж нь тэг талбай нь хоёр холбоост хуваагдаж, D 1 ба D 2 домэйны хамтарсан дотоод цэгүүд байх боломжгүй бол f(x, y) функц нь D 1 ба D 2 хэсгүүдийн арьсанд нэгтгэгддэг

2°. Шугаман хүч. f(x, y) ба g(x, y) функцууд яаж D орон зайд интегралдах вэ? би? - ярианы тоо байх, дараа нь функц [? f (x, y) + ? g (x, y)] нь мөн D домэйнд нэгтгэгддэг

3°. f(x, y) ба g(x, y) функцууд нь D мужид интегралдах боломжтой байдаг тул эдгээр функцүүдийн нэмэлт функцүүд нь D-д интегралч болно.

4°. f(x, y) ба g(x, y) функцуудыг D мужид хэрхэн нэгтгэж, f(x, y)-ийг хөндлөн огтолж болох вэ? g(x, y), тэгвэл

5°. f(x, y) функцийг D мужид нэгтгэсэн тул th функц |f(x, y)| Үүнээс гадна D бүсэд нэгдсэн

(Мэдээжийн хэрэг, | f (x, y) | D-ийн интеграл нь D-д f (x, y) -ийн интегралыг харуулахгүй.)

6°. Дундаж утгын теорем. Хэдийгээр f(x, y) болон g(x, y) довтолгооны функцүүд нь D домэйнд нэгдсэн боловч g(x, y) функц нь энэ бүсийн хаа сайгүй үл үзэгдэх (эерэг биш) боловч M ба m нь яг D мужид f( x, y) функцийн дээд ба доод хязгаар байвал m-ийн тэгш бус байдлыг хангах тоо байна уу? ? ? M i томьёо хүчинтэй байхын тулд

Sokrema, f(x, y) функц нь тасралтгүй D бөгөөд D домэйн холбогдсон тул энэ домэйнд ийм цэг (?, ?), Юу вэ? = f(?, ?), томъёо нь иймэрхүү харагдаж байна

7°. Чухал геометрийн хүч. амьдрах талбай D

T биеийг (Зураг 2.1) орон зайд, D талбайн доор, араатан руу өгье - тасалдалгүй, үл үзэгдэх функцийн график) z \u003d f (x, y,) орон зайд хуваарилагдсан тул D, хажуу талаас - цилиндр гадаргуу, D талбайн хооронд шууд є, ба Оз тэнхлэгтэй параллель байна. Энэ төрлийн биеийг цилиндр бие гэж нэрлэдэг.

1.3 Босоо интегралын геометрийн тайлбар

1.4 Тэгш өнцөгтийн босоо интегралын тухай ойлголт

R = тэгш өнцөгтийн хаа сайгүй хангалттай f(x, y) функцийг өгье? (хуваа. Зураг 1).

Розмари сегмент a? х? a = x 0 туслах цэгээс цааш b n хэсэгчилсэн сегмент< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Шулуун шугамын тусламжтайгаар Tsomu razbittya, зэрэгцээ тэнхлэгүүд Ox і Oy R тэгш өнцөгтийг n · p хэсэгчилсэн тэгш өнцөгт болгон хуваана R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Тэгш өнцөгт R-ийн хуваалтаар тодорхойлогддог, энэ нь T тэмдэгтээр чухал ач холбогдолтой юм. Бид координатын тэнхлэгүүдтэй параллель талуудтай тэгш өнцөгтийг ойлгохын тулд "тэгш өнцөгт" гэсэн нэр томъёоны дагуу хуваалт өгсөн.

Арьс chastkovy тэгш өнцөгт Rkl дээр бид бүрэн цэгийг (?k,?l) сонгоно. ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1-ийг тавиад R kl тэгш өнцөгтийн талбайн ?R kl-ээр дамжуулан ач холбогдолтой болно. Мэдээжийн хэрэг, ?R kl = ?x k ?y l .

R тэгш өнцөгтийн өгөгдсөн T тархалт ба T тархалтын хэсэгчилсэн тэгш өнцөгтүүдийн завсрын цэгүүдийн (? k, l) өгөгдсөн сонголтыг өгдөг f(x, y) функцийн интеграл нийлбэр гэж нэрлэдэг.

Диагональ нь тэгш өнцөгтийн диаметр гэж нэрлэгддэг R kl . Билэг тэмдэг үү? Бүх нийтлэг rectoccuts-ийн диаметрүүдийн хамгийн том нь R kl .

I тоог интеграл нийлбэрийн (1) зааг гэж нэрлэдэг вэ? > 0, яаж эерэг тоо байж болох вэ? тэгж хэлж чадах уу огноо?, юунд?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - Би |< ?.

f(x, y) функцийг R тэгш өнцөгт дээр интеграл (Риманы дагуу) гэж нэрлэдэг, учир нь функцийн I интеграл нийлбэрүүдийн хооронд хязгаарлагдмал хил байдаг? >0.

Заасан I заагийг R тэгш өнцөгтөөр f(x, y) функцийн дэд интеграл гэж нэрлэх ба дараах тэмдгүүдийн аль нэгээр тэмдэглэнэ.

Хүндэтгэл. Тэгэхээр нэг удаагийн интегралын нэгэн адил f(x, y) функц нь R тэгш өнцөгт дээр интегралдсан бөгөөд энэ тэгш өнцөгт дээр хүрээлэгдсэн байдаг нь тогтоогдсон.

Энэ нь f(x, y) функцүүдийн хил хязгаараас илүү хол харагдах боломжийг олгоно.

Доод интеграл нь sing интегралын хүчтэй адил хүчтэй байдаг. Үндсэн зүйлээс хамаагүй бага:

1. Ямар үүрэг гүйцэтгэдэг вэ
бүс нутаг дахь интеграцчлал
, дараа нь тэдгээрт нэгтгэх нь хэмжээ, ялгаа, үүнээс гадна

2. Хөдөлгөөнт интегралын тэмдгээр тогтмол үржүүлэгчийг буруутгаж болно.

3. Якчо
бүс нутагт нэгдсэн
, мөн энэ талбай нь давхцдаггүй хоёр хэсэгт хуваагдана і
, дараа нь

.

4. Якчо
і
бүс нутаг дахь интеграцчлал
, yakіy-д

, дараа нь

.

5. Тухайн газар юу байна
функц
үл нийцэлд сэтгэл хангалуун байна


де
і
 үйлдэл Dіysnі тоонууд, дараа нь

,

де - бүс нутгийн нутаг дэвсгэр
.

Эдгээр хүчнүүдийн нотолгоо нь энгийн интегралын хоёр дахь теоремуудын баталгаатай адил юм.

Тэгш өнцөгт декарт координат дахь босоо интегралын тооцоо

Үндсэн интегралыг тооцоолох шаардлагатай байг
, de талбай - Тэгш өнцөгт, энэ нь жигд бус байдлаар тодорхойлогддог ,.

Ингэж бодъё
суурьтай биеийн эзэлхүүний интеграл хэдий ч шинэ үл мэдэгдэх утгад ижил тэгш өнцөгт болон набувайд тасалдалгүй , дээр нь араатантай хүрээтэй
, хажуу талаас - хавтгай
,
,
,
:

.

Нөгөө талаас, ийм тоог sing интегралын тусламжтайгаар тооцоолж болно.

,

де
- энэ биеийг нэг цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцоор гатлах талбай ба тэнхлэгт перпендикуляр
. Шинжилгээний хэлтэрхий муруйн трапецаар огтлолцсон
, функциональ график бүхий араатангаар хүрээлэгдсэн
, де тогтмол, ба , дараа нь

.

Z tsikh triokh тэгш байдал vyplivaє, scho

.

Үүнээс хойш суурь интегралын тооцоо нь хоёр син интегралын тооцоо байсан; "дотоод интеграл" -ыг тооцоолохдоо (нуман хаалганд бичсэн) хувиршгүй байх.

Хүндэтгэл.Үлдсэн томьёо хэзээ зөв болохыг тайлбарлаж чадах уу
, түүнчлэн нэг харцаар, хэрэв функц
заасан тэгш өнцөгтийн тэмдгийг өөрчлөх.

Томъёоны хэсгийн эрхийг давтагдсан интеграл гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах байдлаар томилогдсон.

.

Үүнтэй адилаар үүнийг харуулж болно

.

Хэлсэн үгийн дээр чи уйлна

.

Тэгш байдал хэвээр байна гэдэг нь интеграцийн үр дүн нь интеграцийн дарааллаар унах ёстой гэсэн үг юм.

Хамгийн гүн налууг харахын тулд стандарт талбайн тухай ойлголтыг танилцуулъя. Тэнхлэгт шууд өгөгдсөн стандарт (эсвэл зөв) талбайг ийм талбай гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь шулуун, тэнхлэгийн төвтэй параллель, талбайн хооронд огтлолцсон, хоёр цэгээс доогуур байх ёстой. Үгүй бол энэ бүс нутгийг хөмрүүлж, її кордон нь зөвхөн нэг сэвшээ салхи юм шиг санагддаг.

Бүс нутаг хүрээлэгдсэн байхыг хүлээн зөвшөөрч болно

Энэ нь функцын график бүхий араатангаар хүрээлэгдсэн байдаг
, доод талд - функцийн график
. Алив R ( ,) - бүсийг тавьсан хамгийн бага тэгш өнцөгт
.

Тухайн газар руу яв
тэр тасалдалгүй функц өгөгдсөн
. Шинэ функцийг танилцуулъя:

,

underwire интегралын чадалтай төстэй

.

Би, дараа нь,

.

Oskіlki vіdrіzok
талбайг хамрах
дараа нь, дараа нь,
цагт


, гэхдээ vіdrіzkom байрлалд хэвтэж, дараа нь
.

Тогтмолтой бид бичиж болно:

.

Баруун талын эхний ба гурав дахь интегралууд тэг болж нийлбэр болно

.

Отже,

.

Яагаад стандарт тэнхлэгийн талбайн гүйлтийн интегралыг тооцоолох томъёог ашиглах шаардлагатай байна вэ?
давтагдсан интеграл руу холбох замаар:

.

Якчо муж
є стандарт y шулуун тэнхлэг
Тэр үл нийцэл мэт харагдана ,

Үүний нэгэн адил үүнийг баталж чадна

.

Хүндэтгэл.Бүс нутгийн хувьд
, стандарт y шулуун тэнхлэгүүд
і
, виконууд байх болно

Энэ томьёоны хувьд интегралчлалын дараалал, дэд шугаман интегралыг тооцоолох цаг өөрчлөгдөнө.

Хүндэтгэл.Интеграцийн талбар нь хоёр координатын тэнхлэгт стандарт (зөв) байхаа болмогц її нь стандарт талбайн нийлбэрт хуваагдаж, интегралыг эдгээр талбайн интеграцийн нийлбэр болгон илэрхийлнэ.

өгзөг. Ажиллаж байгаа интегралыг тооцоол
бүс нутгаар
, шугамаар хүрээлэгдсэн:
,
,
.

Шийдэл.

Tsya талбай є стандарт сарлагийн schodo тэнхлэг
, Тэгэхээр би
.

Стандарт тэнхлэгийн талбайг харгалзан бид интегралыг тооцоолно
.

.

Хүндэтгэл.Стандарт тэнхлэгийн талбайг харгалзан интегралыг хэрхэн тооцоолох вэ
, бид ижил үр дүнг авдаг:

.

өгзөг. Ажиллаж байгаа интегралыг тооцоол
бүс нутгаар
, шугамаар хүрээлэгдсэн:
,
,
.

Шийдэл.Төлөөлөгчдийн хувьд интеграцийн бүсийг багад нь өгдөг.

Tsya талбай є стандарт schodo тэнхлэг
.

.

өгзөг. Давтан интеграцийн хувьд нэгтгэх дарааллыг өөрчил:

Шийдэл.Интеграцийн бүсийг төсөөлье.

Интеграцийн шугамуудаас бид интеграцийн бүсийг хамарсан шугамуудыг мэддэг. ,
,
,
. Интеграцийн дарааллыг өөрчлөхийн тулд бид чадна функцууд болгон мөн бид огтлолцох цэгүүдийг мэддэг:

,
,
.

Тэгэхээр, нэг интервал дээр, функц хоёр аналитик вирусээр илэрхийлэгддэг бол интеграцийн талбайг хоёр хэсэгт хуваах ёстой бөгөөд татварын давтагдсан интеграл нь хоёр интегралын нийлбэр юм.

.