Алдагдалтай интегралыг тооцоолох журам нь ажиллаж байгаа интегралын ерөнхий ажиллагаатай төстэй. її тайлбарын хувьд бид зөв өчүүхэн хэсгийн талаархи ойлголтыг танилцуулж байна.

Томилгоо 9.1. Битүү S гадаргуугаар хүрээлэгдсэн V бүсийг ердийн гэж нэрлэдэг, учир нь:

1. шулуун байх, тэнхлэгтэй зэрэгцээХоёр цэг дээр S-ийг гаталж, бүс нутгийн дотоод цэгээр татсан Оз;
2. V бүсийг бүхэлд нь ердийн хоёр ертөнцийн D бүс дэх Окси хавтгайд тусгав;
3. V талбайн нэг хэсэг нь хавтгайд харагдахуйц, координатын хавтгайд байгаа эсэхээс үл хамааран 1) ба 2).

Зөв V талбайг харцгаая, би доод ба дээд талыг z=χ(x,y) ба z=ψ(x,y) гадаргуугаар хүрээлж, Oxu y хавтгайд проекц, зөв ​​D талбай, дунд үүнээс x нь а-аас b хүртэлх хил хязгаарт өөрчлөгдөх ба y=φ1(x) ба y=φ2(x) муруйгаар хүрээлэгдсэн байна (Зураг 1). f(x, y, z) V мужид тасралтгүй функц байя.

Томилгоо 9.2. V муж дээрх f(x, y, z) функцийн гурван дахин интеграл гэж дараах хэлбэртэй байна.

Trirazovy іntegra maє tі zh vlastivostі, shcho і dvorazovy. Pererakhuyemo їх ямар ч батлах, өмхий хэлтэрхий хашааны ухаалаг интеграл уналт адил авчирсан.

Алдагдалтай интегралын тооцоо.

Теорем 9.1. Энгийн V домэйны f(x,y,z) функцийн гурвалсан интеграл нь ижил домэйн дээрх гурвалсан интегралтай ижил байна:

. (9.3)

авчирч байна.

Rozіb'ёmo талбай V онгоц, координатын хавтгайд параллель, n -ийг тогтмол талбайд. Todі z power 1 хашгирч байна

Энэ нь домэйн дэх f(x,y,z) функцийн гурван удаагийн интеграл юм.

Vikoristovuyuchi томьёо (9.2), урагшлах паритетыг нэг дор дахин бичиж болно:

Тэгшитгэлийн тэгшитгэлийн баруун талд байрлах интеграл нийлбэрийн хооронд байх, гурав дахь интегралтай тэнцүү байх f (x, y, z) функцийн тасралтгүй байдлыг ойлгох нь ойлгомжтой. Дараа нь бид хил хязгаарыг давахдаа дараахь зүйлийг авна.

юу авчрах шаардлагатай байсан.

Хүндэтгэл.

Доод гүйдлийн интеграл унасантай адил интегралын дарааллыг өөрчлөх нь гурван удаагийн интегралын утгыг өөрчлөхгүй гэдгийг харуулж болно.

өгзөг. Де V интегралыг тооцоолох нь (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) ба (0, 0, 1) цэгүүд дээр оройтой гурвалжин пирамид юм. Орой (0, 0), (1, 0) ба (0, 1) бүхий Окси хавтгайд є tricutnik проекц. Доод талаас нь талбай нь z = 0, дээрээс нь x + y + z = 1 талбайгаар хүрээлэгдсэн байна. Гурвалсан интеграл руу шилжье:

Хувьсах интегралд ороогүй үржүүлэгчийг давхар интегралын тэмдгээр буруутгаж болно.

Өчүүхэн орон зай дахь муруйн координатын системүүд.

1. Цилиндр координатын систем.

Р(ρ,φ,z) цэгийн цилиндр координат – Оху хавтгай дээрх цэгийн проекцын ρ, φ ба өгөгдсөн z цэгийн аппликаторын цеполяр координат (Зураг 2).

Цилиндр координатаас декарт координат руу шилжих томъёог дараах байдлаар тохируулж болно.

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Бөмбөрцөг координатын систем.

Бөмбөрцөг координатын хувьд орон зай дахь цэгийн байрлалыг шугаман координат ρ - цэгээс декартын координатын системийн коб хүртэлх зай (эсвэл бөмбөрцөг системийн туйлууд), φ - эерэг хоёрын хоорондох туйлын ирмэгээр заана. pіvvіssyu Үхэр болон Oxy хавтгай дээр цэгийн хэтийн болон θ - эерэг Oz болон давхар OP хооронд kutom (Зураг 3). Хэнтэй

Бөмбөрцөг координатаас декарт руу шилжих томъёог өгөв.

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

Якобиан ба його геометрийн змист.

Метроны интеграл дахь өөрчлөлтийг орлуулах зэрлэг чиг хандлагыг харцгаая. Оху тэгш талбай дахь Nehai D нь өгөгдсөн, L шугамаар хүрээлэгдсэн байна. х і у є нь нэг утгатай, шинэ өөрчлөгдөх u ба v-ийн тасралтгүй ялгах функцүүд гэж үзье.

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

Тэгш өнцөгт координатын Ouv системийг авч үзье, D мужаас P(x, y) цэгүүд болох P(u, v) цэг. Ийм бүх цэгүүд Ouv хавтгайн ойролцоох D мужийг үүсгэнэ. Би шугамаар хүрээлэгдсэн байнаЛ?. Томъёо (9.6) нь D ба D мужуудын цэгүүдийн хооронд нэг нэгээр нь харгалзах болно гэж хэлж болно. Аль шугамын хувьд u = const байна.

Ouv хавтгай дээрх v = const нь Ohu хавтгай дээрх шугамтай төстэй байх болно.

Бид Ouv хавтгайд u = const, u + Δu = const, v = const і v + Δv = const шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тэгш өнцөгт ΔS майданыг харж болно. Їy vіdpovidatimé муруй шугаман майданчик ΔS Оху хавтгайн ойролцоо (Зураг 4). Майданчикуудын шинжилгээний талбайг ΔS ба ΔS гэж тэмдэглэнэ. ciomu ΔS = Δu Δv-ийн хувьд. Бид ΔS бүсийг мэднэ. Чухал ач холбогдолтой, муруйн chotyrikutnik оройнууд P1, P2, P3, P4 de

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Жижиг zbіlshennya Δu і Δv vіdpovіdmi дифференциалуудыг солих. Тоди

Үүний тусламжтайгаар chotirikutnik P1 P2 P3 P4-ийг параллелограмм болгон авч, талбайг аналитик геометрийн томъёонд зааж өгч болно.

(9.7)

Томилгоо 9.3. Хувилбарыг функциональ хувилбар буюу φ(x, y) ба ψ(x, y) функцүүдийн Якобиан гэж нэрлэдэг.

Хил рүү тэгш эрхтэйгээр (9.7) өнгөрч, бид геометрийн Якобын шилжилтийг арилгана.

Тиймээс Якобын модуль нь хязгааргүй жижиг S ба S квадратуудын талбайн хоорондох хил юм.

Хүндэтгэл. Үүнтэй төстэй зэрэглэлээр Якобийн тухай ойлголт ба n-дэлхийн орон зайн геометрийн утгыг тодорхойлж болно: x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2, ..., un), тэгвэл

(9.8)

Үүний тусламжтайгаар Якобын модуль нь x1, x2, ..., xn болон u1, u2, ..., un орон зайн "obsyagiv" жижиг хэсгүүдийн хоорондох хил хязгаарыг өгдөг.

Олон интеграл дахь өөрчлөлтийг солих.

Dolіdzhuєmo zagalny vpadok zameni zmini z өгзөг podvіynogo іntegral.

Үргэлжилсэн z = f(x,y) функцийг D талбайд, z = F(u, v) функцийн ижил утгыг D, de талбайд өгье.

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)

Интеграл нийлбэрийг харцгаая

Баруун талд байгаа деинтеграл нийлбэр нь мужийг эзэлнэ D. Шүүрдэх интеграл дахь координатыг хувиргах томъёог авч хаях үед хил рүү шилжих.

Интегралуудыг туршиж үзээрэй. Биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох.
Цилиндр координат дахь туршилтын интеграл

Деканы өрөөнд гурван өдрийн турш тэнгэр Пифагорын дээлний өмд дээр хэвтэж байв.
Фихтэнголтын гарт цагаан гэрлийн иог амьд байгаа гэсэн тримавуудын эзэлхүүн бий.
Тэд гурав дахь интегралыг холбож, цогцсыг матрицад ороосон.
Мөн залбирлын орлогч нь Бернуллигийн теоремыг уншсаны дараа нахабник шиг юм.

Алдагдсан интеграци гэдэг нь цаашид айж эмээх боломжгүй зүйл юм =) Учир нь та текстийг бүхэлд нь уншвал буруу ойлгосон бүх зүйл дээр байх болно. "дээд" интегралын онол практик, түүнчлэн хамааралтай интегралууд. Тэгээд тэнд, де podvіyny, ойролцоо, алдагдсан:

Нээрээ юунаас айх юм бэ? Интеграл нь жижиг, интеграл нь том.

Бичлэгийг харцгаая:

- гурвалын интегралын дүрс;
- Интеграл гурвалсан өөрчлөлтийн функц;
- Добутокийн дифференциалууд.
- Интеграцийн бүс.

Ялангуяа анхаарал татахуйц галерей нэгтгэх. Якчо доогуур зурсан интегралхожсон хавтгай дүрс, тэгээд энд - өргөн бие , яка, чи мэднэ оргилд. Энэ зэрэглэлд дотоод сэтгэлээр таамагласан гэмт хэрэг нь өөрийгөө чиглүүлэх буруутай юм үндсэн гадаргуумөн хамгийн энгийн trivimir түшлэгтэй сандал ялахаа санаарай.

Дейакчууд ичсэн, ухаантай... Харамсалтай нь нийтлэлийг "даммигийн хувьд ашигтай интеграл" гэж нэрлэх боломжгүй бөгөөд та ямар нэг зүйлийг мэдэх / санах хэрэгтэй. Ale, аймшигтай зүйл биш - хамгийн хүртээмжтэй хэлбэрээр хэвлэгдсэн бүх материалыг хамгийн богино хугацаанд эзэмших болно!

Алдагдсан интегралыг тооцоолох нь юу гэсэн үг вэ, үүнд юу хэрэгтэй байсан бэ?

Алдагдсан интегралыг тооцоолох - tse гэсэн үг КИЛО мэднэ:

Хамгийн энгийнээр бол, хэрэв, Гурав дахь интеграл нь биетэй харьцуулахад тоон хувьд илүү ахисан байна. I deisno, vіdpovіdno to интеграци, нэг юм хязгааргүй жижигбиеийн анхан шатны "цеглинка" -ын эзэлхүүн. Гурав дахь интеграл нь нэгдсэн бүх хий хязгааргүй жижиг хэсгүүдбүс нутгаар, үүний дараа биеийн эзэлхүүний салшгүй (нийт) утга гарч ирнэ. .

Үүнээс гадна гурав дахь интеграл нь чухал юм физик програмууд. Ale тухай tse pіznіshe - хичээлийн 2-р хэсэгт, зориулалт интегралын нэмэлт алдагдлыг тооцоолох, үүний хувьд хувьсагчийн функц нь тогтмол бөгөөд бөмбөрцөгт тасалдалгүй байдаг. Миний субъектив үнэлгээ 6-7 дахин их ажиглагдаж байгаа тул энэ өгүүлэлд бид үүргийн утгыг нарийвчлан харж болно.

Алдагдсан интегралыг хэрхэн шийдэх вэ?

Vіdpovіd нь өмнөх цэгээс логикийн хувьд viplivaє юм. Энэ нь томилох шаардлагатай байна биеийг тойрон гарах захиалгаби очдог бид интегралуудыг давтана. Үүний дараа гурван дан интегралаар дараалан шийд.

Сарлаг бачит, бүхэл бүтэн гал тогооны өрөө нь илүү их, илүү nagaduє суурь интегралууд, Tієyu vіdminnіstyu эхлэн scho нэгэн зэрэг бидэнд dodatkova rozmіrnіst өгсөн байна (ойролцоогоор бололтой, өндөр). Би дангаар нь, та нарын олонхи нь интегралын алдагдал хэрхэн зөрчигдөж байгааг аль хэдийн таамаглаж байсан.

Бид юу алдсанаа дүгнэж хэлье:

өгзөг 1

Сайхан сэтгэлтэй байж, цаасан дээр тамга дарж бичээрэй.

Би дараагийн хоолны талаар зөвлөгөө өгнө. Чи чамайг мэднэ, хий ямар гадаргуутай тэнцүү вэ? Чи zrozumіly та албан бус zmіst tsikh rivnyan? Чи yavlyaєєєєєєєєєV, сарлагийн і гадаргын raztashovanі сансарт?

Та бүдүүлэг vіdpovіdі "илүү nі, nizh тийм" гэж shilyatsya даруй, дараа нь obov'yazkovo opratsyut хичээл, эс тэгвээс та хол авч чадахгүй!

Шийдэл: використ томъёо

schob z'yasuwati тулд биеийг тойрон гарах захиалгаби очдог бид интегралуудыг давтанаЭнэ нь юу байсныг ойлгоход зайлшгүй шаардлагатай (бүх зүйл маш энгийн). Ийм сарнайн дээр баялаг випадкатай сандал тавих нь үнэхээр сайхан юм.

Оюун санааны цаана бие нь килком гадаргуугаар хүрээлэгдсэн байдаг. Яагаад дэгжин эхлэх вэ? Би дараагийн захиалгыг хэлж байна:

Хөндлөнгийн тухай төсөөлж болно зэрэгцээ ортогональбиеийн координатын хавтгай дээрх проекц. Проекцын нэр нь юу вэ гэж анх хэлж байсан хэхэ =)

Хэрэв дизайныг өргөн цар хүрээтэй хийх гэж байгаа бол Перш хотод гадаргуу, yakі tsієї тэнхлэгтэй зэрэгцээ. Ямар төрлийн гадаргуутай болохыг би таамаглаж байна "ze" үсгээр бүү өс. Шалгалтанд хамрагдсан менежер гурван зүйлтэй:

- Ривняння координатын талбайг хэрхэн бүхэлд нь дамжин өнгөрөхийг тогтоодог;
- Ривняння координатын талбайг хэрхэн бүхэлд нь дамжин өнгөрөхийг тогтоодог;
- тэнцүү даалгавар хавтгай "хавтгай" шулуунтэнхлэгтэй зэрэгцээ.

Бүх зүйлд Швидше, шукана проекц є ирж trikutnik:

Магадгүй, хүн бүр хаашаа явах талаар үлдэгдэл ойлголттой байгаагүй байх. Бүх зүйл мониторын дэлгэцээс гарч, таны дамжуулалтад наалддаг гэдгийг харуул ( tobto. гараад ир, та араатны 3-р ертөнцийн сандал дээр гайхаж байна). Биеийн өргөн цар хүрээ нь арьсгүй гурвалсан "корридор" ба түүний проекц нь сүүдэртэй трикутникийн талбайн хэсэгт байрладаг.

Бид хамтдаа өнгөрүүлсэн зүйлд би онцгой хүндэтгэлтэй ханддаг проекцын талаар илүү их шалтагмөн "неишвидше", "найимовирнишэ" гэсэн сэрэмжлүүлэг нь випадковы байв. Баруун талд, бүх гадаргууг хараахан шинжилж амжаагүй байгаа тул трикутникийн нэг хэсгийг тэднээс "нээж" болно. Праймер өгзөг шиг та асууж байна бөмбөрцөгнэгээс бага радиустай координатын координат дээр төвлөрсөн, жишээлбэл, бөмбөрцөг – її хавтгай дээрх проекц (багана ) Би "накри" сүүдэртэй хэсгийг давтахгүй бөгөөд биеийн проекцийг трико биш гэж нэрлэх болно. (коло "zrіzhe" youmu gostrі kuti).

Тайзны нөгөө талаас харахад энэ нь z'yasovuєmo бөгөөд бие нь араатангаар хүрээлэгдсэн, доод талаас доош, түшлэгтэй сандлын өргөнийг виконуемо юм. Бид оюун ухаан руугаа эргэж, гадаргуу нь алга болсон мэт гадаргууг гайхшруулдаг. Тэгшлэх нь координатын хавтгайг өөрөө тогтоодог бөгөөд тэгшлэх нь - параболик цилиндр, дахин амтлах дээрххавтгай ба бүхэлд нь дамжин өнгөрнө. Энэ зэрэглэлд биеийн төсөөлөл нь diisno є trikutnik юм.

Үг хэлэхээс өмнө энд гарч ирэв ер бусынбодож үзээрэй - шинэ чийдэнгийн хувьд энэ нь бүр хавтгай, гадаргуугийн хэлтэрхий, абсцисса тэнхлэгийг гадагшлуулж, бие нь хаагддаг. Энэ нь яг энэ мөчид бид тэгшитгэлийн дүн шинжилгээ хийсний дараа л "зурсан" проекц буюу трикутникийг тэмдэглэх боломжгүй байсан гэсэн үг юм.

Параболик цилиндрийн хэсгийг яг нарийн дүрсэлсэн болно.

vikonannya түшлэгтэй сандал z дараа биеийг тойрч гарахасуудалгүй!

Толгойн ар тал дээр проекцийг хэрхэн яаж туулах нь чухал юм (хамгийн сайн гарын тусламжтайгаар хоёр дэлхийн түшлэгтэй сандалаар удирдуулах).Цэ ичимхий ТИЙМ БАЙНА, i in доод интегралууд! Тааварлаж байна лазер заагчхавтгай талбайг сканнердах. "Уламжлалт" 1-р тойрч гарах аргыг сонгоно уу:

Дали дур булаам асаагуурыг гартаа атгаж, түшлэгтэй сандлын тривимирийг гайхшруулж, хатуу уруудахөвчтөнийг гэгээрүүлэх. Гадаргуугаар дамжин биед нэвтэрч, гадаргуугаар дамжин гарах өөрчлөлтүүд. Энэ дарааллаар биеийг тойрч гарах дараалал:

Давтан интеграци руу шилжье:

1) "Z" интегралаас дараах зүйлийг эхлүүл. Використовуэмо Ньютон-Лейбницийн томъёо:

"Тоглоом" интегралын үр дүнг төсөөлөөд үз дээ:

Юу болсон бэ? Чухамдаа шийдэл нь дэд интеграл болж, өөрөө томьёо болгон бууруулсан. цилиндр цацрагийн эзэлхүүн! Илүү сайн мэддэг:

2)

3-р интегралыг шийдвэрлэх оновчтой техникийг хүндэтгэ.

Видповид:

Тооцооллыг "нэг мөрөнд" бичиж болно.


Гэхдээ ийм байдлаар болгоомжтой байгаарай - хэрэв та swidkost дээр ялвал өөр зүйлээр заналхийлэх болно, хэрэв та чухал өгзөгтэй бол өршөөл үзүүлэх магадлал илүү их байдаг.

Чухал хоол тэжээлийн талаархи тэмдэглэл:

Оюун санааны толгой нь тэдний виконанни шаарддаггүйн тулд яагаад түшлэгтэй сандал дээр ажиллах шаардлагатай байна вэ?

Та замтай чотирма ууж болно:

1) Ижил биеийн проекцийг зур. Хамгийн сайн сонголт бол хоёр зохистой сандал дээр сууж, гашуудах хэрэггүй, гомдсон сандал дээрэмдэх боломжтой юм. Би биднийг урагшлуулахыг зөвлөж байна.

2) Илүү их биеийг зур. Тохиромжтой, хэрэв бие нь болхи бол энэ нь тодорхой төсөөлөл юм. Жишээлбэл, сонгосон өгзөг дээр гурвалсан цээжтэй сандал наалдсан байв. Гэсэн хэдий ч энд хасах зүйл байна - 3D зургийн дагуу проекцийг тойрч гарах дарааллыг тодорхойлох нь тийм ч хялбар биш бөгөөд ингэснээр би зөвхөн сайн түвшний сургалттай хүмүүст баяртай байна.

3) Илүү их төсөөлөл үзүүлэх. Tezh муу биш, харин obov'yazkovі dodatkovі pisletovі komentari, raznih storіn-аас Nizh zamezhena бүс нутгийн тухай. Харамсалтай нь гурав дахь сонголт нь ихэвчлэн төөрөлддөг - хэрэв хэтэрхий оройтсон бол бусад бэрхшээлийг даван туулахад хэтэрхий том байна. I takі түрхэнэ mi тийм razglyademom.

4) Сандалгүй тойрох. Хүн бүр бодлын үндсэн хэсгийг танилцуулж, маягт / форматын талаар бичгээр тайлбар өгөх шаардлагатай. Чи завдан хамгийн энгийнийг сонгох нь сайн хэрэг, учир нь түшлэгтэй сандал хоёулаа чухал юм. Гэсэн хэдий ч хэрэв та бүдүүлэг бяцхан хүүхдүүдийг ашиглахыг хүсч байвал "зорилго" шийдлийн хэлтэрхийнүүд татгалзаж болно.

Бие даасан тусламж авахын тулд бие махбодид ирээрэй:

өгзөг 2

Алдагдлын интегралын тусламжтайгаар гадаргуугаар хүрээлэгдсэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолно

At энэ тодорхой төрөлдИнтеграцийн талбар нь зөрчлөөр илүү чухал бөгөөд үнэ нь илүү богино байдаг - ямар ч зөрчилгүй. координатын хавтгай ба тэгш бус байдлыг оруулаад 1-р октантыг тогтооно - napіvspіr, координатын координатын өшөөг хэрхэн авах вэ (урвуу)+ талбай өөрөө. "Босоо" хавтгай нь параболоид параболоор тархсан бөгөөд түшлэгтэй сандал дээр данделионыг өдөөх шаардлагатай. Хэний хувьд нэмэлт лавлах цэгийг, энгийнээр хэлбэл, параболын дээд хэсгийг мэдэх шаардлагатай. (Бид утгыг нь харж болно болон rozrakhovuyemo vіdpovіdne "z").

Үргэлжлүүлэн ойлгоцгооё:

өгзөг 3

Зориулалтын гадаргуугаар хүрээлэгдсэн биеийн эзэлхүүний интегралын алдагдлыг тооцоолох. Виконати сандал.

Шийдэл: томъёо "виконати нь түшлэгтэй сандал" бидэнд deak эрх чөлөө, ale өгдөг, бүх зүйл илүү сайн, өргөн түшлэгтэй сандал нь vikonanny шилжүүлэх. Гэсэн хэдий ч төсөөллийг дуусгах боломжгүй, энэ нь энд хийх хамгийн хялбар зүйл биш юм.

Dotrimuёmosya vіdpratsovanoї өмнөх тактик гадаргуу, хэрэглээний тэнхлэгтэй параллель байгаа мэт. Ийм гадаргууг тэгшитгэхийн тулд "Z" үсгийг тодорхой өөрчлөх замаар өшөө авах ёсгүй.

- Ривняння координатын хавтгайг бүхэлд нь дайран өнгөрнө ( хавтгай дээр сарлаг "ижил нэртэй" тэнцүү байна);
- тэнцүү даалгавар хавтгай, "ижил шугам"-аар дамжин өнгөрөх "хавтгай" шулуунтэнхлэгтэй зэрэгцээ.

Тоглож буй бие нь хавтгай ёроолоор хүрээлэгдсэн ба параболик цилиндрараатан:

"iksovі" ба "igrokovі" нэгдлийн хооронд биеийг тойрч гарах журмыг хамтдаа хийцгээе, миний бодлоор хоёр дэлхийн түшлэгтэй сандлын ард дуулах нь дээр.

Ийм байдлаар:

1)

"iplayer"-ийн ард интеграци хийх үед - "ix" нь тогтмол гэж тооцогддог, дараа нь тогтмол нь интегралын тэмдэгтийг буруутгах ёстой.

3)

Видповид:

Тиймээс, бага зэрэг мартахгүйгээр, бага зэрэг (болон navit shkіdlivo) zvіryati z trivimirnym түшлэгтэй сандал, oskolki z агуу ymovіrnіstyu vinikne үр дүнд zdebіlshogo otmany хуурмаг үүрэг, Якугийн тухай би хичээл дээр rozpov_shche Эзлэхүүн биеийн боолт. Тиймээс харагдсан удирдагчийн биеийг тооцоолж үзэхэд шинэхэнд 4-өөс дээш "шоо" байгаа нь надад онцгой тохиолдсон юм.

Бие даасан алсын хараанд зориулсан доромжилсон өгзөг:

өгзөг 4

Зориулалтын гадаргуугаар хүрээлэгдсэн биеийн эзэлхүүний интегралын алдагдлыг тооцоолох. Энэ биеийн түшлэгтэй сандлын ажил, түүний онгоцон дээрх төсөөлөл.

Zrazok нь хичээлийн даалгавар болгон боловсруулсан.

Хэрэв тривимир сандал дээр виконнанни илүү хэцүү бол энэ нь ховор биш юм:

өгзөг 5

Алдагдалтай интегралын тусламжийн хувьд түүнийг хүрээлж буй гадаргуугаас өгсөн биеийн эзэлхүүнийг мэдэхийн тулд.

Шийдэл: энд байгаа төсөөлөл бол болхи, гэхдээ тойрч гарах дарааллаар та 1-р аргыг хэрхэн сонгох талаар бодох хэрэгтэй, дараа нь зургийг 2 хэсэгт хуваах шаардлагатай бөгөөд энэ нь сумигийн тооцоонд зайлшгүй аюул учруулах болно. хоёрГурвалын интегралууд. Илүү баялаг хэтийн төлөвтэй хүний ​​хувьд өөр зам бий. Үүнийг сандал дээрх энэ биеийн төсөөллөөс харж, дүрсэлж болно.

Би ийм зургуудын үнэн зөвийг дахин асуух болно, би тэдгээрийг өөрийн гар бичмэлээс шууд оруулав.

Бид зургийг тойрч гарах илүү боломжийн захиалгыг сонгодог.

Одоо биеийн баруун талд. Доод талаас нь тэгш талбайгаар хүрээлэгдсэн, араатнаас - хавтгай талбайгаар хүрээлэгдсэн бөгөөд ингэснээр ординатыг бүхэлд нь дайран өнгөрнө. Тэгээд бүх зүйл юу ч биш байх болно, гэхдээ байрны бусад хэсэг нь хэтэрхий эгц бөгөөд энэ газрыг тойрон гарах нь тийм ч хялбар биш юм. Энд сонголт хийх нь эргэлзээгүй: үнэт эдлэлийн робот нь жижиг хэмжээтэй (нимгэн болгохын тулд нимгэн байсан учраас), эсвэл түшлэгтэй сандал нь 20 см өндөртэй (үүнд тохирох боломжтой).

Але, гурав дахь, тайван оросын асуудлыг шийдэх арга нь оноо авах явдал юм =) мөн хажуу талдаа хавтгай, доод талдаа хавтгай, араатан руу хавтгай.

"Босоо" хоорондын интеграци нь дараах байдалтай байна.

Биеийн эзэлхүүнийг тооцоолж, хэтийн төлөвийг жижиг өргөтгөсөн аргаар тойрч гарсныг мартаж болохгүй.

1)

Видповид:

Таны санаж байгаагаар, биеийн zavdannya-д proponing нь ихэвчлэн доор хавтгай хүрээлэгдсэн зуун доллар үнэтэй биш юм. Гэхдээ энэ нь дүрэм биш тул та бэлэн байх хэрэгтэй - та өдрийг өнгөрөөж болно, de tilo roztashovani пидхавтгай. Тиймээс, жишээ нь, хэрэв та сонгосон zamіst дахь хавтгайг харвал бие нь доод орон зайд тэгш хэмтэй дүрслэгдсэн байх бөгөөд доороос нь хавтгай, араатан руу хавтгайгаар хүрээлэгдсэн байх болно!

Ижил үр дүнг харахын тулд шилжихэд хялбар:

(Энэ нь тойрон гарах шаардлагатай гэдгийг санаарай хатуу уруудах!)

Нэмж дурдахад, "дурласан" орон сууц нь баруун талд биш, хамгийн энгийн өгзөгний урд талд гарч ирж болно: шуудай, хавтгайгаас илүү нуугдсан - йогийн үүргийн тооцоогоор та урдаас харах шаардлагагүй.

Бид эдгээр бүх үзэл бодлыг харж болно, гэхдээ одоохондоо бие даасан харааны даалгавар нь ижил төстэй байна.

өгзөг 6

Гадаргуугаар хүрээлэгдсэн биеийн талаар мэдэхийн тулд алдагдалтай интегралын тусламжтайгаар

Товчхондоо, шийдэл нь хичээлийг дүрслэн харуулах явдал юм.

Илүү алдартай материалтай өөр догол мөр рүү шилжье:

Цилиндр координат дахь туршилтын интеграл

Цилиндр координатууд - ce, үнэндээ, туйлын координатсансарт.
Цилиндр координатын системд орон зай дахь цэгийн байрлалыг тухайн цэгийн туйлын координатууд буюу тухайн цэгийн хавтгай дээрх проекц ба цэгийн өөрийнх нь хэрэглүүрээр тодорхойлно.

Тривимер декартын системээс цилиндр координатын системд шилжих үйл явцыг дараах томъёогоор гүйцэтгэнэ.

Бидний зуун тавин өөрчлөлт дараах байдалтай байна.

Би энэ нийтлэлээс амархан харж болох энгийн байдлаар:

Головне, нэмэлт үржүүлэгч "er"-ийн талаар мартаж, зөв ​​зохион байгуулж болохгүй интеграцийн хоорондох туйлшралпроекцийг тойрч гарахдаа:

өгзөг 7

Шийдэл: ижил дарааллын dotrimuєmosya diy: бид тэнцүү урагшаа харж байна, зарим өдрүүдэд "Z" өөрчлөгддөг Энд зөвхөн нэг л байна. проекц цилиндр гадаргуує "ижил нэртэй" талбай дээр коло .

Квадратууд шукан биеийг доод талаас нь хүрээлж, араатан (цилиндрээс иог өлгөх) ба өнгөт загвараар хийгдсэн:

Хар тривимир түшлэгтэй сандал дээр. Гол бэрхшээл нь цилиндрийг "налуу" бүрээсний доор мушгисан мэт гадаргуугийн талбайд оршдог бөгөөд үүний дараа явах хэрэгтэй. эллипс. Үүнийг аналитик байдлаар дахин бичье: үүний тулд бид функциональ үзлийн хавтгайг дахин бичнэ. мөн бидний асуусан цэгүүд дээрх функцын утгыг ("өндөр") тооцоолж, хөндлөнгийн төсөөлөл дээр хэвтэж байгаа мэт:

Та түшлэгтэй сандал дээрх цэгүүдийг сайтар мэдэж байх шиг байна (мөн тийм биш, над шиг =)) zadnuєmo їх мөр:

Биеийн хавтгай дээрх проекц нь цилиндр координатын системд шилжих хурдны аргументийн урт ба урт юм.

Цилиндр координат дээрх гадаргуугийн тэгшлэлтийг бид мэднэ.

Одоо биеийг тойрч гарах журмыг дагаж мөрдөөрэй.

Төсөлөөс толгойн ар талыг харцгаая. Тойрох дарааллыг хэрхэн тодорхойлох вэ? Яг тийм туйлын координат дахь дэд интегралын тооцоо. Энд дарс нь энгийн зүйл юм:

"Босоо" интертеграл нь бас тодорхой юм - энэ нь онгоцоор дамжин биед нэвтэрч, онгоцоор дамжин гардаг.

Давтан интеграци руу шилжье:

Аль үржүүлэгчийн хувьд "er" -ийг "өөрийн" интегралд шууд оруулна.

Виник сарлагийн zavzhd нь мөчрийг эвдэх нь илүү хялбар байдаг.

1)

Бид довтолгооны интегралын үр дүнг авдаг:

Мөн энд fi нь тогтмолын хувьд чухал гэдгийг мартаж болохгүй. Дуулах цаг хүртэл Але цэ:

Видповид:

Бие даасан алсын хараатай ижил төстэй даалгавар:

өгзөг 8

Гадаргуугаар хүрээлэгдсэн биеийн эзэлхүүний интегралын алдагдлыг тооцоолох. Энэ биеийн Виконати түшлэгтэй сандал ба талбай дээрх түүний төсөөлөл.

Zrazok нарийн дизайн хичээл шиг.

Мэдээжийн хэрэг, ижил үгтэй асуудлын оюун ухаанд цилиндр координатын системд шилжих тухай ярьдаггүй бөгөөд тухайн хүн декартын координат дахь чухал интегралуудтай тэмцэж чадахгүй байх болно. ... Эсвэл энэ нь Оросын гурав дахь, тайван замаар асуудлыг шийдэх арга байсан ч тийм биш байж магадгүй юм.

Бүгд л эхэл! ...сайн утгаараа : =)

өгзөг 9

Гадаргуугаар хүрээлэгдсэн биеийн талаар мэдэхийн тулд алдагдалтай интегралын тусламжтайгаар

Даруухан, амттай.

Шийдэл: бүхэлд нь хязгаарлагдмал гадаргууі эллипс параболоид. Нийтлэлийн материалуудтай хүндэтгэлтэй танилцсан уншигчид Орон зайн үндсэн гадаргуу, аль хэдийн биеийг харж байгаа мэт танилцуулсан боловч практикт атираат випадууд ихэвчлэн урхинд ордог тул би аналитик ертөнцийн талаар илтгэл тавих болно.

Бид арын гадаргуу дээр будсан зураасыг мэддэг. Бид дараах системийг барьж байгуулж байна.

1-р тэгшитгэлээс бид бие биенээ дараах нөхцлөөр харж болно.

Үүний үр дүнд хоёр үндэс арилдаг:

Систем нь тэнцүү эсэхийн утгыг мэдэж байна гэж төсөөлөөд үз дээ:
одод хашгирч байна
Otzhe, үндэс vіdpovіdaє нэг цэг - координатын коб. Мэдээжийн хэрэг - оройн оройн орой хүртэл гүйдэг.

Одоо өөр язгуурыг төсөөлье - систем тэнцүү эсэхтэй адил:

Үр дүнгийн геометрийн орлуулалт юу вэ? "Өндөр дээр" (онгоцны ойролцоо) параболоид ба конусыг дагуулан будсан байна кола- цэг дээр төвлөрсөн нэг радиус.

Параболоидын "аяга" нь конусын "юүлүүр" -ийг агуулж байвал, тайвшруулахэцсийн гадаргууг тасархай шугамаар гаталж байх ёстой (усан үзмийн модны цаана энэ өнцгөөс харахад бидний алслагдсан дүр зураг харагдаж байна):

Онгоц дээрх биеийн проекц коло 1-р радиустай координатын координат дээрх төвийг би энэ баримтын илэрхий байдлаар дүрсэлж зүрхлээгүй. (робимо хамгаалах захидлын тайлбар!). Үг хэлэхээс өмнө сандал дээрх хоёр урд талын сандал дээр төсөөлөл нь цохигдож болох юм, Якби санаа зовохгүй байна.

Цилиндр координат руу шилжихдээ өдөр тутмын асуудлын төсөөллийг тойрч гарахын тулд стандарт томъёог хамгийн энгийн байдлаар бичиж болно.

Цилиндр координатын системийн гадаргуугийн тэгшитгэлийг бид мэднэ.

Асуудал нь конусын дээд хэсгийг хардаг тул дараахь зүйлийг харж болно.

Доод талаас дээш өгсөх "Scanuemo бие". Шинэ замаар орохын өмнө гэрлийг солино уу эллипс параболоидба төгсгөлийн гадаргуугаар гарах. Энэ дарааллаар биеийг тойрч гарах "босоо" дарааллаар:

Хоёр дахь зөв техник:

Видповид:

Хэрэв биеийг гадаргуугаар хүрээлэхгүй байхыг хүсэх нь ховор биш, гэхдээ ямар ч жигд бус байдал:

өгзөг 10

Геометрийн змистзөрчлийн өргөн цар хүрээтэй гэдгийг би ижил нотлох нийтлэлээс тайлбарласан гэж мэдээлсэн. Орон зайн үндсэн гадаргуу.

Tse zavdannya хүсэж, параметрийг stash, харин биеийн чухал дүр төрхийг өдөөдөг яг түшлэгтэй сандал нь зөвшөөрөх. Виконати побудова шиг бод. Товчхондоо, шийдэл нь үүнийг батлах явдал юм - сургамж шиг.

... за яахав, энэ шпрот мөн үү? Хичээлээ дуусгах талаар бодож байна, гэхдээ дараа нь та юу хүсч байгаагаа бодож байна =)

өгзөг 11

Алдагдалтай интегралын тусламжтайгаар өгөгдсөн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.
, Де - Илүү эерэг тоо.

Шийдэл: тэгш бус байдал координатын координатын төвтэй баганыг радиус, тэгш бус байдлыг тохируулна - Радиусын бүх тэгш хэмтэй дугуй цилиндрийн "дотоод байдал". Энэ дарааллаар бие нь шивнэж байгаа мэт хажуу талдаа дугуй цилиндр, дээд ба доод хэсэгт гадаргуутай тэгш хэмтэй бөмбөрцөг сегментүүдээр хүрээлэгдсэн байдаг.

Дэлхийн үндсэн нэгжийг авч үзвэл бид сандал дээр сууна.

Бүр тодруулбал, йогийг бяцхан хүүхэд гэж нэрлэх нь зүйтэй бөгөөд тэнхлэгийн дагуух пропорцын хэлтэрхийнүүд нь би илүү дээр байх болно. Проте, шударга ёсны төлөө, оюун санааны хувьд юу ч өргөх шаардлагагүй байсан бөгөөд ийм дүрслэл хангалттай юм шиг санагдсан.

Энд "малгай" -ын ар талд өлгөөтэй цилиндр дээр өндөр биш гэдгийг хүндэтгэхийн тулд гартаа луужин авч, координатын координат дээр төвтэй баганыг тэмдэглээрэй. радиус нь 2 см, дараа нь цилиндртэй хөндлөвчний цэгүүд өөрөө гарч ирнэ.

1. Цилиндр координатууд нь xy хавтгай дээрх туйлын координатын багц ба чухал ач холбогдолтой декарт z-ээс (Зураг 3).

M(x, y, z) нь xyz орон зайд хангалттай цэг байг, P нь M цэгийн xy хавтгай дээрх проекц. М цэг нь гурвалсан тоогоор өвөрмөц байдлаар томилогдсон - P цэгийн туйлын координат, z - М цэгийн хэрэглүүр. Тэдгээрийг декарт гэж нэрлэх томъёонууд харагдах болно.

Якобиан исгэх (8)

өгзөг 2.

Интегралыг тооцоол

de T - гадаргуугаар хүрээлэгдсэн талбай

Шийдэл. Бид (9) томъёог ашиглан бөмбөрцөг координатуудын интегралыг дамжуулдаг. Интеграцийн ижил талбарыг жигд бус байдлаар тогтоож болно

Энэ нь гэсэн үг

өгзөг 3Хүрээтэй биеийн эзэлхүүнийг мэдэх:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Maemo: x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8 - O цэг дээр төвтэй R \u003d v8 радиустай бөмбөрцөг (000),

Конусын дээд хэсэг z2 = x2 + y2 Oz-ийн бүх тэгш хэмтэй ба орой нь О цэгт байна (Зураг 2.20).

Бид конусын бөмбөрцгийн хөндлөвчний шугамыг мэддэг.

I shards for the mind z? 0, тэгвэл

z=2 хавтгайн ойролцоо орших R=2 тойрог.

Энэ зөв (2.28)

араатантай хиллэдэг газар нутаг

(бөмбөрцгийн хэсэг),

(конусын хэсэг);

U талбайг Оху талбайн D - радиус 2 дээр төсөөлж байна.

Мөн интегралыг цилиндр координат руу аажмаар шилжүүлэхийн тулд ялалтын томъёог (2.36):

Өөрчлөлтүүдийн хооронд r нь баганын гаднах D v зайд R=2 төв нь О цэг дээр байгаатай адил ач холбогдолтой: 0?c?2p, 0?r?2. Ийм байдлаар цилиндр хэлбэртэй координат дахь U бүсийг жигд бус байдлаар тэмдэглэв.

Бид үүнийг хүндэтгэдэг

Depositfiles-аас Zavantage

Потенциал интеграл.

Хоолыг хянах.

Тогтвортой салшгүй хэсэг, хүч чадлын йог.

Гурав дахь интеграл дахь өөрчлөлтийг солих. Цилиндр координат дахь алдагдалтай интегралын тооцоо.

Бөмбөрцөг координат дахь алдагдалтай интегралын тооцоо.

Алив функц у= е(x,y,z) хаалттай талбайд хуваарилагдсан Взай Р 3 . Розибёмо муж Взохистой зэрэглэл nанхан шатны хаалттай газар В 1 , … ,В n, scho В 1 , …,  В nойлгомжтой. Чухал ач холбогдолтой г- бүс нутгийн диаметрүүдийн хамгийн том нь В 1 , … ,В n. Арьсны хэсэгт В ксайн цэг сонгох П к (x к ,y к ,z к) болон агуулах интеграл нийлбэрфункцууд е(x, y,z)

С =

Уулзалт.Туршилтын интегралфункцийн төрөл е(x, y,z) бүс нутгаар Винтеграл хоорондын нийлбэр гэж нэрлэдэг
якчо вин иснує.

ийм байдлаар,

(1)

Хүндэтгэл.Интеграл нийлбэр Сбүс нутгийг задлах замаар орд В цэг сонгох П к (к=1, …, n). Гэсэн хэдий ч хэрэв хил хязгаар байгаа бол энэ нь бүс нутгийг задлахад саад болохгүй Вцэг сонгох П к. Хэрэв та дэд хувилбарын тэмдэглэгээ ба нэмэгдэл интегралыг харьцуулж үзвэл тэдгээрт ижил төстэй зүйрлэлийг ашиглахад хялбар болно.

Алдагдалтай интегралын хангалттай үндэслэл.Туршилтын интеграл (13)-ийг функц болгон ашигладаг е(x, y,z) хүрээтэй байна Вби тасалдалгүй байна В, титэм ард нь эцсийн тоо бөөгнөрсөн гөлгөр гадаргуу, ялзрах үед В.

Шаазан ваарны интегралын хүчний үйлдлүүд.

1) Якчо З- Тэгвэл тоон тогтмол

3) Бүс нутгаар нэмэлт. Якчо муж В бүс нутагт хуваагдана В 1 і В 2, тэгвэл

4) Тохиромжтой бие Вдоривнює

(2 )

Декарт координат дахь алдагдалтай интегралын тооцоо.

Аливээ Д биеийн проекц Вхавтгай дээр xOy, гадаргуу z=φ 1 (x,y),z=φ 2 (x, y) биеийг хүрээлдэг Втэр араатан доор тодорхой байна. Цэ гэдэг нь юу гэсэн үг

В = {(x, y, z): (x, y)Д , φ 1 (x,y)≤ z ≤ φ 2 (x,y)}.

Ийм биеийг нэрлэдэг z- Цилиндр хэлбэртэй. Туршилтын интеграл (1) z-цилиндр хэлбэртэй бие ВИнтегралын нугастай төрлөөс нэмсэн давтагдсан интеграл руу шилжих замаар тооцоолно.

(3 )

Нурууны энэ давтагдах интегралд өөрчлөлтийн дотоод интегралыг тооцдог. z, аль үед x, y vvazhayutsya ойрын үед. Тоолж үзье доод интегралсонгосон функцийг бүсээр харах Д.

Якчо В х-цилиндр эсвэл у-цилиндр хэлбэртэй биетэй, дараа нь томъёонд тохируулна

Эхний томъёоны хувьд Д  биеийн проекц Вкоординатын хавтгайд yOz, нөгөө талд - онгоцонд xOz

өргөдөл гаргах. 1) Биеийн нийт хэмжээг тооцоол В, гадаргуугаар хүрээлэгдсэн z = 0, x 2 + y 2 = 4, z = x 2 + y 2 .

Шийдэл. Томъёоны цаана байгаа алдагдлын интегралын тусламжийг тоолъё (2)

(3) томъёоны дараа давтагдсан интеграл руу шилжье.

Аливээ Д- өнгө x 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (x , y ) = 0, φ 2 (x , y )= x 2 +y 2. Томъёоны дагуу (3) Тоди авна

Энэ интегралыг тооцоолохын тулд бид туйлын координат руу шилждэг. Циму коло үед Днүүр царайгүй болж хувирах

Д r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Тило В гадаргуугаар хүрээлэгдсэн z=y , z=-y , x= 0 , x= 2, у= 1. Тооцоолох

Квадратууд z=y , z=-yбиеийг доороос нь хүрээлж, араатан, хавтгай x= 0 , x= 2 биеийг арын болон урд талаас нь бүсэлж, хавтгай у= 1 баруун гар V-z-цилиндр хэлбэртэй бие, йогийн төсөөлөл Дхавтгай дээр хөөеє тэгш өнцөгт OABC. Үүнийг тавиад үзье φ 1 (x , y ) = -y

Тэгш өнцөгт координат хэлбэрээр босоо интегралыг дахин боловсруулах туйлын координат руу
, зөв ​​өнцгийн координатуудтай холбогдсон
,
, томъёог дагаж мөрдөөрэй

Интеграцийн талбар гэж юу вэ
хоёр солилцоогоор хүрээлэгдсэн
,
(
), шонгоос гарч байгаа тэр хоёр муруй байна
і
, дараа нь үндсэн интегралыг томъёогоор тооцоолно

.

өгзөг 1.3.Эдгээр зураасаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.
,
,
,
.

Шийдэл.Бүс нутгийн талбайг тооцоолоход зориулагдсан
томъёогоор хурдасгасан:
.

Төсөөлж болох талбай (Зураг 1.5). Бид хэний хувьд муруйг хөрвүүлдэг вэ: , , , . Туйлын координат руу шилжье: , . . Туйлын координатын системд талбай тэнцүүгээр тайлбарлана:

.

1.2. Потенциал интегралууд

Гурав дахь интегралын гол эрхүүд нь доод интегралуудын зэрэгтэй адил байна.

Декарт координатуудад гурав дахь интегралыг дараах байдлаар бичнэ.

.

Якчо
, дараа нь бүс нутаг дээрх гурав дахь интеграл биеийн тоон хувьд илүү их хэмжээ :

.

Алдагдалтай интегралын тооцоо

Интеграцийн талбарыг зөвшөөр энэ нь доороос болон араатан руу тодорхой хоёрдмол утгагүй тасралтгүй гадаргуугаар хүрээлэгдсэн байдаг
,
, үүнээс гадна талбайн проекц координатын хавтгайд
є хавтгай талбай
(Зураг 1.6).

Тогтмол утгуудтай адилхан хүчинтэй програмууд бүсийн цэг хил дээр өөрчлөх. Тоди отримуемо: . Түүнээс гадна ямар төсөөлөл зөрчлийг илэрхийлнэ , , де - хоёрдмол утгагүй тасалдалгүй функцууддээр , дараа нь

.

өгзөг 1.4.Тооцоол
, де - хатуу, орон сууцаар хүрээлэгдсэн:

	, , , ( , , ). Шийдэл.Интеграцийн талбар нь пирамид юм (Зураг 1.7). Талбайн проекц є trikutnik , шулуун шугамаар , , (Зураг 1.8). At Applique цэг мэдрэлийн мэдрэмжийг хангах тэр рүү .
	Трикутникт зориулсан харилцан уялдаа холбоог зохион байгуулах , авсан

Цилиндр координат дахь туршилтын интеграл

Декарт координат руу шилжих үед
цилиндр координат руу
(Зураг 1.9), pov'yazanih z
spіvvіdneshennya
,
,
, үүнээс гадна

	, ,, Гурав дахь интегралыг дараах байдлаар хөрвүүлнэ. өгзөг 1.5.Гадаргуугаар хүрээлэгдсэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол. , , . Шийдэл.Биеийн эзэлхүүн, юу гэж хошигнох вэ доривнює .
	Интеграцийн хэсгүүд нь хавтгай ёроолоор хүрээлэгдсэн цилиндрийн нэг хэсэг юм. , гэхдээ араатан хавтгай байна (Зураг 1.10). Талбайн проекц є коло координатын коб дээр төвлөрч, нэг радиустай. Цилиндр координат руу шилжье. , , . At Applique цэг , мэдрэлийн мэдрэмжийг хангадаг эсвэл цилиндр координатаар:

Бүс нутаг
, муруйгаар хүрээлэгдсэн
, харахыг тэсэн ядан хүлээж байна, үгүй ​​бол
at tsimu polar kut
. Үр дүн нь гарах болтугай

.

2. Талбайн онолын элементүүд

Муруй ба гадаргуугийн интегралыг хэрхэн тооцоолох талаар урьдчилан таамаглаж үзье.

Муруйд өгөгдсөн функцүүдийн координат дээрх муруйн интегралыг тооцоолох , хэлбэрээр эхний интегралын тооцоонд бууруулна

ямар муруй юм бэ параметрийн дагуу өгөгдсөн
муруйг харуулж байна , a
- Її төгсгөлийн цэг.

Гадаргуугийн интегралыг функцээр тооцоолох
, хоёр талт гадаргуу дээр тэмдэглэгдсэн , дутуу үнэлэгдсэн интегралын тооцоонд нэмэх, жишээлбэл, оюун ухаан

,

гадаргуу шиг , тэнцүү гэж оноогдсон
, Онгоцонд өвөрмөц байдлаар тусгагдсан
бүс нутаг руу
. Энд - нэг хэвийн векторын хооронд таслав гадаргуу руу болон бүгд
:

.

Гадаргуугийн толгойн талын оюун ухаанд хэрэглэдэг (2.3) томъёоны тэмдгийн сонголтоор тодорхойлогдоно.

Томилгоо 2.1. вектор талбар
цэгийн вектор функц гэж нэрлэдэг
томилогдсон газраас нэг дор:

вектор талбар
скаляр утгаар тодорхойлогддог - зөрүү:

Томилгоо 2.2. урсгал вектор талбар
гадаргуугаар дамжин гадаргуугийн интеграл гэж нэрлэдэг:

,

де - гадаргуугийн сонгосон тал руу нэг хэвийн вектор , a
- скаляр doboot vector_v і .

Томилгоо 2.3. эргэлт вектор талбар

дээр хаалттай муруй муруйн интеграл гэж нэрлэдэг

,

де
.

Остроградский-Гаусын томъёо векторын талбайн урсгалын хоорондох холбоосыг тохируулах хаалттай гадаргуугаар дамжин ба талбайн ялгаа:

де - Дээрээс нь хаалттай гогцоонд хүрээлэгдсэн , a - Гадаргуугийн нэг хэвийн вектор. Шууд хэвийн, контурыг шууд тойрч гарах нь ашиг тустай байж болно .

өгзөг 2.1.Гадаргуугийн интегралыг тооцоол

,

де - Конусын Zovnishnya хэсэг
(
), онгоцонд харагддаг
(Зураг 2.1).

Шийдэл.оргилд талбайд өвөрмөц дизайнтай
орон сууц
, ба интегралыг (2.2) томъёоны дараа тооцно.

Гадаргуугийн нэг хэвийн вектор (2.3) томъёоноос бид мэднэ: . Энд ердийн хувьд нэмэх тэмдэг сонгогдож, хэлтэрхийнүүд нь таслагдана агаарт энэ хэвийн - тэнэг би, otzhe, сөрөг байж болно. Враховучи шо , гадарга дээр хүлээн зөвшөөрөх боломжтой

Бүс нутаг
є коло
. Тиймээс үлдсэн интегралд бид туйлын координат руу шилждэг
,
:

өгзөг 2.2.Вектор талбарын зөрүү ба буржгарыг ол
.

Шийдэл.Томъёоны хувьд (2.4) бид авна

Вектор талбайн роторыг томъёо (2.5)-аас мэддэг.

өгзөг 2.3.Вектор талбарын утгыг мэдэх
талбайн нэг хэсэгээр дамжин :
, эхний oktantі үед roztashovanu
).

	Шийдэл.Томъёоны хүч (2.6) . Бид нутгийн нэг хэсгийг төлөөлдөг : , эхний октантын үед raztashovanu. Салхины хамгаалалт дээр өгөгдсөн талбайн тэгшитгэл харагдаж болно (Зураг 2.3). Хавтгай руу чиглэсэн хэвийн вектор нь дараахь зүйлийг зохицуулж чадна. , нэг хэвийн вектор
	. . , , одод , otzhe,

де
- талбайн проекц дээр
(Зураг 2.4).

Жишээ 2.4.Хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх вектор орны урсгалыг тооцоол , байранд суурьшсан
конусын тэр хэсэг
(
) (Зураг 2.2).

Шийдэл.Остроградский-Гаусын томъёогоор хурдасгасан (2.8)

.

Вектор талбарын ялгааг бид мэднэ томъёо (2.4):

де
- obsyag конус, yakim іtegruvannya явуулсан. Конусын эзэлхүүнийг тооцоолох гэрийн томъёогоор хурдасгах
(- конусын суурийн радиус, - Його өндөр). Бидний оюун санааны хувьд бид авч болно
. Үлдэгдэл

.

өгзөг 2.5.Вектор талбайн эргэлтийг тооцоол
контурын дагуу , дээрээс нь ператины хучаастай
і
(
). Стоксын томъёог ашиглан үр дүнг шалгана уу.

Шийдэл. Peretina zaznachenih гадаргуу є colo
,
(Зураг 2.1). Чичиргээг шууд тойрч, эргэн тойронд нь шуугиан дэгдээж, тэр газар муугаар үлджээ. Контурын параметрийн тэгшитгэлийг бичье :

одод

үүнээс гадна параметр өөрчлөх өмнө
. (2.1) ба (2.10) тэгшитгэлээс (2.7) томъёоны ард бид авна.

.

Одоо Стоксын томъёог (2.9) хэлье. Сарлагийн гадаргуу , контур дээр сунгасан , та талбайн нэг хэсгийг авч болно
. Шууд хэвийн
тулд tsієї surfy zgodzhuєtsya z шууд хэлхээг тойрч гарах . 2.2-р хэрэглээний тооцооны векторын талбайн ротор:
. Тиймээс шукана эргэлт

де
- бүс нутгийн нутаг дэвсгэр
.
- радиусын ойролцоо
, одод