Тэнхлэгүүдийг параллель шилжүүлэх үед инерцийн моментуудыг өөрчлөх. Тэнхлэгүүдийг зэрэгцээ хөдөлгөх үед зүсэлтийн инерцийн моментуудыг өөрчлөх

Цагийн зүсэлтийн инерцийн моментуудыг өөрчлөх зэрэгцээ шилжүүлэгтэнхлэгүүд.

Статик моментуудаас гадна бид гурван илүү дэвшилтэт интегралыг авч үздэг:

Өмнө нь x ба y-ээр дамжуулан dF элементийн талбайн одоогийн координатуудыг хангалттай авсан xOy координатын системд мэддэг байсан. Эхний 2 интегралыг дуудна тэнхлэгийн инерцийн моментууд x ба у тэнхлэгийн сонголт тодорхой байна. Гурав дахь интеграл гэж нэрлэдэг инерцийн төвийн момент хэт зүсэлтсайн x, y. Тэнхлэгийн мөчүүд үргэлж эерэг байдаг, учир нь dF талбайг эерэг гэж үзнэ. Инерцийн төв момент нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болно, х, у тэнхлэгийн дагуу зүсэлтээр тэлэх хэлбэрээр уринш.

Бид тэнхлэгүүдийг параллель шилжүүлснээр инерцийн моментийг хувиргах томъёог харуулах болно. (Div зураг). Хамгийн чухал нь бид x 1 ба y 1 тэнхлэгт инерцийн момент ба статик моментийг тохируулах хэрэгтэй. x2 ба y2 тэнхлэгийн моментуудыг тооцоолох шаардлагатай.

Энд орлуулах нь x 2 \u003d x 1 -a ба y 2 \u003d y 1 -b Мэдэгдэж байгаа

Тахир нум, магадгүй.

Хэрэв тэнхлэг x 1 ба y 1 нь төв байвал S x 1 \u003d S y 1 \u003d 0 ба отримани вирази нь:

Тэнхлэгүүдийг зэрэгцээ хөдөлгөх үед (жишээлбэл, тэнхлэгүүдийн аль нэг нь төв) тэнхлэгийн инерцийн моментууд нь тэнхлэгүүдийн хоорондох хөндлөн огтлолын талбайг квадратаар нэмэгдүүлэх хэмжээгээр өөрчлөгддөг.

2. Тэнхлэгүүдийн өргөн дэх талбайн статик моментууд Озі Өө(div 3, м 3):

4. Тэнхлэгүүдийн өргөн дээрх инерцийн төв момент Озі Өө(div 4, m 4):

Осцилки, тэгвэл

Тэнхлэг Жзі Жэйтэр туйл Ж p инерцийн момент нь үргэлж эерэг байдаг, интегралын тэмдгийн доорх хэсгүүд нь өөр ертөнцийн координатууд юм. Статик мөчүүд Сзі С, түүнчлэн инерцийн төв момент Жзиэерэг ба сөрөг аль аль нь байж болно.

Ороомог цувисан гангийн хүрээнд модулийн ард байрлах төвийн моментуудын утгыг зааж өгсөн болно. Тэмдгийг сайжруулахын тулд rozrahunkas нь тэдний утгыг олж авахын тулд дараах байдалтай байна.

Ороомгийн төв цэгийн тэмдгийн тэмдэглэгээний хувьд (Зураг 3.2) энэ нь зөвхөн захын хэсгүүдийн дөрөвний нэг хэсэгт тархсан гурван интегралын нийлбэр мэт харагдаж байна. координатын систем. 1, 3-р улиралд тархсан хэсгүүдийн хувьд бид интегралын эерэг утгатай байх нь ойлгомжтой. zydAэерэг байх ба II ба IV улиралд тархсан хэсгүүдэд тооцсон интегралууд сөрөг байх болно (tvir) zydAсөрөг байх). Otzhe, зураг дахь kutochka нь. 3.2, инерцийн төв моментийн утга сөрөг байна.

Rozmirkovuyuchi recutting ижил төстэй зэрэглэл, ингэснээр та нэг бүхэл бүтэн тэгш хэмийг хүсэж байгаа бол (Зураг. 3.2, б) та visnovka хийж болно, тийм болохоор. Инерцийн төв момент J zy тэгтэй тэнцүү байна, учир нь тэнхлэгүүдийн аль нэг нь (Oz эсвэл Oy) зүсэлттэй бүрэн тэгш хэмтэй байна.Мэдээжийн хэрэг, усны төвийн 1 ба 2-р хэсэгт байрлах трико, розташованны хэсгүүдийн хувьд инерцийн моментийг зөвхөн тэмдгээр авдаг. III, IV улиралд олдсон хэд хэдэн хэсэг байдаг гэж хэлж болно.

Статик мөчүүд Ач холбогдолын төвд хуваарилагдсан

Өргөн хүрээний тэнхлэгт зориулсан статик моментуудыг тооцоолох боломжтой Озі ӨөЗурагт үзүүлсэн тэгш өнцөгт. 3.3.

Цагаан будаа. 3.3. Статик моментийг тооцоолох хүртэл

Энд: ГЭХДЭЭ- Гарцын талбай, y Cі z C- Хүндийн төвийн координатууд. Тэгш өнцөгтийн хүндийн төв диагональ дээр өөрчлөгдөнө.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв статик моментийг тооцдог тэнхлэг нь зургийн хүндийн төвөөр дамжин өнгөрвөл координат нь тэг болно ( z C = 0, y C= 0), i, томъёо (3.6) -тай төстэй, статик моментууд, тэгтэй тэнцүү байна. ийм байдлаар, кроссоверын хүндийн төв нь ийм хүчтэй байж болох цэг юм: статик момент, ямар ч тэнхлэг, түүгээр дамжин өнгөрөх.,тэг.

Томъёо (3.6) нь хүндийн төвийн координатыг мэдэх боломжтой болгодог z Cі y Cдахин тайрах нугалах хэлбэр. Yakshcho перетиныг нүдээр нь өгч болно nхүндийн төвийн бүсэд байгаа хэсгүүдийг бүхэлд нь хөндлөн огтлолын хүндийн төвийн координатыг тооцоолохдоо дараах байдлаар бичиж болно.

.

(3.7)

Тэнхлэгүүдийг параллель шилжүүлэх үед инерцийн моментуудыг өөрчлөх

Инерцийн мөчүүдийг харцгаая Жз, Жэйі Жзишодо тэнхлэгүүд Ойз. Инерцийн моментийг тооцоолох шаардлагатай Ж З, Ж Yі JZYшодо тэнхлэгүүд О 1 YZ, тэнхлэгүүдтэй зэрэгцээ Ойз(зураг 3.4) а(хэвтээ) ба б(босоо)

Цагаан будаа. 3.4. Тэнхлэгүүдийг параллель шилжүүлэх үед инерцийн моментуудыг өөрчлөх

Анхан шатны майданчикийн координатууд дАӨөрийгөө ийм тэгшитгэлтэй холбоно уу: З = z + а; Ю = y + б.

Инерцийн моментуудыг тооцоолъё Ж З, Ж Yі JZY.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Яасан юм бэ Отэнхлэгүүд Ойзцэгээр гүйх В- перезисын хүндийн төв (Зураг 3.5); статик мөчүүд Сзі Стэгтэй тэнцүү болж, томъёонууд нь Y i гэж хэлдэг З иТэмдгийг сайжруулахын хамт авах шаардлагатай байна. Инерцийн моментийн тэнхлэгт координатын тэмдгүүд тохирохгүй (координатууд өөр алхам руу шилждэг), тэнхлэг нь инерцийн төв момент дээр, шугам дахь координатын тэмдэг (үүсгэх) Z i Y i A iсөрөг байж болно).

Бид Окси декартын тэгш өнцөгт координатын системийг танилцуулж байна. Бид координатын хавтгайг харж болно, А хавтгайгаас бага зэрэг хэт зүсэлт (хаалттай хэсэг) байна (Зураг 1).

Статик мөчүүд

Координаттай C цэг (x C, y C)

дуудсан таталцлын төв.

Хэрэв координатын тэнхлэгүүд ирмэгийн хүндийн төвөөр дамжин өнгөрвөл ирмэгийн статик момент тэг болно.

Инерцийн тэнхлэгийн моментууд x ба y тэнхлэгүүдийг хөндлөн гарахыг дараах хэлбэрийн интеграл гэнэ.

Туйлын инерцийн моментКоординатын координатын огтлолцлыг дараах хэлбэрийн интеграл гэнэ.

Инерцийн төв моментхэсгийг оюун ухааны салшгүй хэсэг гэж нэрлэдэг.

Инерцийн толгойн тэнхлэгүүд таслагданатэнхлэгт харилцан перпендикуляр хоёр гэж нэрлэгддэг ба I xy =0. Харилцан перпендикуляр тэнхлэгүүдийн хувьд бүх зүсэлтийн тэгш хэмийн хувьд би xy \u003d 0 i, мөн qi тэнхлэг - smut. Зүсэлтийн хүндийн төвөөр дамжин өнгөрдөг толгойн тэнхлэгүүд гэж нэрлэгддэг толгойн инерцийн төв тэнхлэгүүд

2. Тэнхлэгүүдийн зэрэгцээ шилжих тухай Штайнер-Гюйгенсийн теорем

Штайнер-Гюйгенсийн теорем (Штайнер теорем).
I хөндлөн огтлолын тэнхлэгийн инерцийн момент нь нэлээд тогтвортой тэнхлэгийн орчим байна x нь массын төвийг дайран өнгөрөх харааны параллель тэнхлэгээс х * I хэсгийн хөндлөн огтлолын тэнхлэгийн инерцийн моментийн нийлбэрээс их байна. хөндлөн огтлол, А хөндлөн огтлолын нэмэлт талбай нь хоёр тэнхлэгийн квадрат д байна.

Хэрэв бид x ба y тэнхлэгүүдийн хувьд I x і I y инерцийн моментуудыг харгалзан үзвэл kut α-аар эргүүлсэн ν ба u тэнхлэгүүдийн хувьд тэнхлэгийн инерцийн момент ба хүндийн төвийн моментуудыг тооцоолно. томъёо:

Томьёог зааж өгснөөр энэ нь тодорхой байна

Тобто. харилцан перпендикуляр тэнхлэгүүдийг эргүүлэх үед инерцийн тэнхлэгийн моментуудын нийлбэр өөрчлөгдөхгүй тул. . Зүсэлтийн хүндийн төвөөр дамжин өнгөрдөг толгойн тэнхлэгүүд гэж нэрлэгддэг толгой төв тэнхлэгүүд pererazu. Тэнхлэгийн тэгш хэмтэй хөндлөн огтлолын хувьд ба толгойн төв тэнхлэгтэй тэгш хэмийн хувьд. Бусад тэнхлэгүүдийн хөндлөн огтлолын толгойн тэнхлэгүүдийн байрлалыг өөр өөр тэнхлэгүүдээр тодорхойлно.

де? Толгойн тэнхлэгүүдтэй адил инерцийн моментийн тэнхлэгүүдийг нэрлэдэг толгойн инерцийн моментууд:

өөр нэмэлтийн өмнөх нэмэх тэмдэг нь инерцийн хамгийн их момент хүртэл, хасах тэмдэг нь хамгийн бага хүртэл нэмэгддэг.

Ихэнхдээ практик даалгаврын хувьд нэг хавтгайд өөр өөр чиглэлтэй тэнхлэг дээрх инерцийн моментуудыг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Хэрэв та бүхэл бүтэн кроссоверын инерцийн моментийн утгыг гараар тохируулах шаардлагатай бол (бүх агуулахын хэсгүүдээс дээгүүр) техникийн ном зохиол, тусгай үзүүлэлт, хүснэгтээс олж болох бусад тэнхлэгүүд байдаг, мөн томъёог анхаарч үзээрэй. Тиймээс өөр өөр тэнхлэгүүдийн нэг ба ижил кроссоверын инерцийн моментуудын хооронд уринш тогтоох нь чухал юм.

Зэрлэг өөрчлөлтийн үед хуучин координатын системээс шинэ координатын системд шилжих шилжилтийг хуучин координатын системийн дараалсан хоёр хувиргалт гэж үзэж болно.

1) шинэ байрлал дахь координатын тэнхлэгүүдийн зэрэгцээ хөрвүүлэх зам

2) координатын шинэ кобыг їх shodo эргүүлэх арга. Эдгээр хувиргалтын эхнийх нь, өөрөөр хэлбэл координатын тэнхлэгүүдийн зэрэгцээ шилжүүлэлтийг авч үзье.

Хуучин тэнхлэгүүдийн thogo хөндлөн огтлолын инерцийн моментууд (Зураг 18.5) байшинд байгааг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой.

Өөртэйгөө параллель тэнхлэгүүдийн шинэ координатын системийг авъя. Хуучин координатын систем дэх цэгийн координат (шинэ координатын координат) нь мэдэгдэхүйц юм.

Хуучин координатын системийн координат її y нь y i-тэй тэнцэх энгийн талбайг авч үзье. Шинэ систем нь адилхан үнэртэж байна

Бид тэнхлэгийн эргэн тойронд тэнхлэгийн инерцийн моментийн координатын утгыг илэрхийлж болно

Өөр аргаар - инерцийн момент нь кроссоверын F замын талбайн тэнхлэгийн дагуух кроссоверын статик момент юм.

Отже,

Хэрэв бүх зүйл z зүсэлтийн хүндийн төвөөр дамжин өнгөрвөл статик момент i

Томъёо (25.5)-аас харахад инерцийн момент нь хүндийн төвөөр дамжин өнгөрөх тэнхлэгийн инерцийн моментоос их, хүндийн төвөөр дамжин өнгөрөхгүйн тулд тэнхлэг шиг байх ёстой. буулганы хэмжээ эерэг байна. Зэрэгцээ тэнхлэгийн хувьд ижил инерцийн моментоос тэнхлэгийн инерцийн момент байж болно хамгийн бага үнэ цэнэзүсэлтийн хүндийн төвийг хэрхэн яаж нэвтрүүлэх.

Тэнхлэгийг тойрсон инерцийн момент [томъёо (24.5)-ын аналогиар]

Хэрэв бүх зүйл зүсэлтийн хүндийн төвөөр дамжин өнгөрдөг бол okremy уналт

(25.5) ба (27.5) томъёог нугалах (агуулах) давах инерцийн тэнхлэгийн моментуудыг тооцоолоход өргөн хэрэглэгддэг.

Одоо бид тэнхлэгүүдийн өргөний хувьд инерцийн төв моментийн утгыг төсөөлж болно

Хэрэв тэнхлэг нь төв бол тухайн мөчийн тэнхлэг нь дараах байдалтай байх ёстой.

15.Үр тариа тэнхлэгийг эргүүлэх үед инерцийн моментууд:

J x 1 \u003d J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 = J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y) sin2a + J xy cos2a;

Кут a>0, энэ нь хуучин координатын системээс шинэ системд шилжихэд нэг жил шаардлагатай гэсэн үг юм. J y 1 + J x 1 = J y + J x

Инерцийн моментийн туйлын (хамгийн их ба хамгийн бага) утгууд гэж нэрлэдэг толгойн инерцийн моментууд. Ийм тэнхлэгийн инерцийн моментууд нь туйлын утгатай байж болох тэнхлэгүүдийг нэрлэдэг толгойн инерцийн тэнхлэгүүд. Инерцийн үндсэн тэнхлэгүүд нь харилцан перпендикуляр байдаг. Vіdtsentrovі момент инерцийн shоdo үндсэн тэнхлэгүүд = 0, дараа нь. Инерцийн үндсэн тэнхлэгүүд нь тэнхлэгүүд бөгөөд ямар ч усны төвийн инерцийн момент = 0. Нэг тэнхлэгийн хувьд зөрчил нь тэгш хэмийн тэнхлэгээс зугтаж, бүх өмхий үнэртэй байдаг. Үндсэн тэнхлэгүүдийн байрлалыг тодорхойлдог Кут: a 0 >0 Þ тэнхлэгүүд эсрэг чиглэлд эргэлддэг. Бүх дээд хэмжээг жижиг kut z tієї osі болгож тохируулах хэрэгтэй, ингэснээр инерцийн момент илүү чухал байх болно. Вагагийн төвөөр дамжин өнгөрдөг толгойн тэнхлэгүүд гэж нэрлэгддэг толгойн инерцийн төв тэнхлэгүүд. Эдгээр тэнхлэгүүдийн инерцийн моментууд:

Jmax + Jmin = Jx + Jy. Инерцийн төв момент нь инерцийн толгойн төв тэнхлэгүүдтэй тэнцүү байна 0. Үүний үр дүнд инерцийн толгойн момент, эргүүлсэн тэнхлэгт шилжих томъёо:

J x 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min) sin2a;

Инерцийн гол төв моментууд ба инерцийн гол төв тэнхлэгүүдийн байрлалыг тайрч авах, тэмдэглэхэд геометрийн заалтыг тооцоолох Kіntsevoi арга. Инерцийн радиус - ; J x = F x i x 2, J y = F x i y 2.

Хэрэв J x ta J y толгойн инерцийн моментууд байвал i x ta i y - толгойн инерцийн радиус. Пивос дээрх шиг инерцийн толгойн радиус дээрх өдөөлтийг эллипс гэж нэрлэдэг. инерцийн эллипс. Инерцийн эллипсийн тусламжтайгаар та дурын тэнхлэгийн x 1-ийн инерцийн радиус i x 1-ийг графикаар мэдэж болно. Үүний тулд та x тэнхлэг 1-тэй параллель, зууван хүртэлх цэгийг зурж, тэнхлэгийн төвөөс цэг хүртэлх зайг багасгах хэрэгтэй. Инерцийн радиусыг мэдсэнээр х 1 тэнхлэгийн дагуу зүсэлтийн инерцийн моментийг тооцоолох боломжтой: . Perepіzіv хувьд scho нь хоёроос дээш тэгш хэмийн тэнхлэгтэй байж болно (жишээлбэл: коло, дөрвөлжин, цагираг ба іn) бүх төв тэнхлэгийн дагуух тэнхлэгийн инерцийн момент нь хоорондоо тэнцүү, J xy \u003d 0, elіps іnertsiy хүртэл эргэлддэг. инерцийн гадас.