Тэнхлэгүүдийг зэрэгцээ шилжүүлэх үед хөндлөн огтлолын инерцийн моментийн тэмдэглэгээ. Координатын тэнхлэгүүдийг зэрэгцээ хөдөлгөх үед инерцийн моментийг өөрчлөх Тэнхлэгүүдийг хөдөлгөх томъёо

Алив З h, y z- переризивын төв тэнхлэг; – чодо тэнхлэг дээрх инерцийн моментууд. Шинэ тэнхлэгийн дагуух инерцийн чухал мөчүүд z1, 1, төв тэнхлэгүүдтэй параллель ба тэдгээрийн тавцан дээр байгаа газрууд аі г. Аливээ дА- цэгийн захад байрлах анхан шатны майдан Мкоординатуудтай yі zтөв координатын систем дээр. 3 зураг. 4.3-аас харахад шинэ координатын системийн Z цэгийн координатууд шинэчлэгдсэн, .

y тэнхлэг дээрх мэдэгдэхүйц инерцийн момент 1 :

Зураг.4.3

z c

y c

z1

y 1

г

а

C

Мэдээжийн хэрэг, эхний интеграл нь тийм, нөгөө нь , гадаад координатын системийн хэсгүүд төв, гурав дахь нь зүсэлтийн талбай юм. ГЭХДЭЭ.

ийм байдлаар,

Үүнтэй адил

Тэнхлэгийг эргүүлэх үед хэт зүсэлтийн инерцийн моментуудыг өөрчлөх

Бид инерцийн момент ба тэнхлэгүүдийн хоорондох уриншийг мэддэг y, zба тэнхлэгүүдийн инерцийн моментууд y 1, z1, зүсэлтийг асаасан а. Аливээ Жэй> Жзэерэг байна атэнхлэгт салхилах yжилийн эсрэг сум. Координатын цэгүүдийг илгээх Мэргэлтийн өмнө y, z, эргүүлсний дараа - y 1, z1(Зураг 4.4).

Бяцхан гиншихээс:

Одоо инерцийн моментууд нь тэнхлэгүүдийн хувьд чухал ач холбогдолтой юм y 1і z1:

Цагаан будаа. 4.4

М

z

z1

y 1

y

а

y

y 1

z1

z

. (4.13)

Үүнтэй адилаар:

Нэр томьёог (4.13) ба (4.14) тэнцүү гишүүнээр нэмснээр бид дараахь зүйлийг авна.

tobto. харилцан перпендикуляр тэнхлэгүүд байгаа бол инерцийн моментуудын нийлбэр нь байнгын тогтмол бөгөөд координатын системийг эргүүлэхэд өөрчлөгддөггүй.

Инерцийн толгойн тэнхлэг ба инерцийн толгойн моментууд

Zі zmіnoyu kuta эргэх тэнхлэгүүд аарьсны үнэ цэнэ өөрчлөгдөх боловч нийлбэр өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Otzhe, іsnuє ижил утгатай

a = a 0 , үүний хувьд инерцийн моментууд туйлын утгад хүрдэг, өөрөөр хэлбэл. тэдгээрийн нэг нь хамгийн их утгад хүрч, нөгөө нь хамгийн багадаа хүрдэг. Утгын хувьд а 0 үүнийг харцгаая (өөрөөр бол) тэгтэй тэнцүүлээрэй:

Тэнхлэгүүдийг салгахад инерцийн төв момент тэгтэй тэнцүү болохыг харуулж байна. Энэ баруун талд тэгшитгэлийн хэсэг (4.15) тэгтэй тэнцүү байна: , од, tobto. ижил томъёог авсан а 0 .

Төвийн инерцийн зарим момент тэгтэй ойролцоо, тэнхлэгийн инерцийн моментууд туйлын утгыг авдаг тэнхлэгийг толгойн тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Yakscho tsi osі є і төв, бүх өмхий үнэрийг толгойн төв тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Толгойн тэнхлэгүүд шиг тэнхлэгийн инерцийн моментуудыг толгойн инерцийн момент гэж нэрлэдэг.

Гарчгийн тэнхлэгийг мэдэгдэхүйцээр y 0і z0. Тоди

Торлог бүрхэвч нь бүх тэгш хэмтэй байж болох юм бол бүгд инерцийн перезугийн толгойн төв тэнхлэгүүдийн нэг юм.

$(Z_1)$ ба $(Y_1)$ тэнхлэгүүдийн хувьд хавтгай дүрсийн инерцийн моментийг (Зураг) $X$ ба $Y$ тэнхлэгүүдийн өгөгдсөн инерцийн моментуудыг авч үзье.

$(I_((x_1))) = \int\limits_A (y_1^2dA) = \int\limits_A (((\left((y + a) \баруун))^2)dA) = \int\limits_A ( \left(((y^2) + 2ay + (a^2)) \right)dA) = \int\limits_A ((y^2)dA) + 2a\int\limits_A (ydA) + (a^2) )\int\limits_A (dA) = $

$ = (I_x) + 2a(S_x) + (a^2)A$,

$(S_x)$ - зургийн статик момент нь $X$ тэнхлэгтэй ойролцоо байна.

$(Y_1)$ тэнхлэгтэй төстэй

$(I_((y_1))) = (I_y) + 2a(S_y) + (b^2)A$.

$(X_1)$ ба $(Y_1)$ тэнхлэгүүдийн инерцийн төв момент

$(I_((x_1)(y_1))) = \int\limits_A ((x_1)(y_1)dA) = \int\limits_A (\left((x + b) \баруун)\left((y + a) ) \right)dA) = \int\limits_A (\left((xy + xa + by + ba) \right)dA) = \int\limits_A (xydA) + a\int\limits_A (xdA) + b\int \limits_A(ydA) + ab\int\limits_A(dA) = (I_(xy)) + a(S_x) + b(S_y) + abA$

Ихэнхдээ төв тэнхлэгүүдээс (хавтгай дүрсний дээд тэнхлэгүүд) бүрэн, зэрэгцээ тэнхлэгүүд рүү шилждэг. Дараа нь $(S_x) = 0$, $(S_y) = 0$, $X$ ба $Y$ тэнхлэгийн хэсгүүд төв байрлана. Үлдсэн майо

де, - инерцийн чадлын моментууд, өөрөөр хэлбэл төв тэнхлэгүүдийн чадлын дагуу инерцийн моментууд;

$a$, $b$ - vіdstanі vіd төв тэнхлэгүүдийг analіzovanih;

$A$ - зургийн талбай.

Инерцийн төв моментийг $a$ ба $b$ хэмжигдэхүүнүүдэд оноох үед тэмдэг нь буруутай байдаг тул өмхий үнэр нь үнэн хэрэгтээ дүрсийн хүндийн төвийн координат болдог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. харж байгаа тэнхлэгүүд. Инерцийн тэнхлэгийн моментууд ба утгуудыг хуваарилах үед утгуудыг модулийн ард (стандарт шиг) зааж өгдөг боловч өмхий үнэрийн хэсгүүд квадрат хүртэл нэмэгддэг.

Тусламжийн томъёоны хувьд зэрэгцээ шилжүүлэгтөв тэнхлэгүүдээс дээд тэнхлэгүүд рүү шилжих шилжилтийг өөрчлөх боломжтой, эсвэл navpak- prevіlnyh төв тэнхлэгт Эхний шилжилтийг "+" тэмдгээр тэмдэглэв. Өөр нэг гарцыг тэмдэгээр тэмдэглэсэн байдаг- ".

Зэрэгцээ тэнхлэг хоорондын шилжилтийн хувьд өөр өөр томьёо хэрэглэнэ

Тэгш өнцөгт торлог

Тэгш өнцөгтийн инерцийн төв момент нь $Z$ ба $Y$ тэнхлэгүүдийн эргэн тойрон дахь инерцийн үндсэн моментуудтай пропорциональ байна.

$(I_x) = \frac((b(h^3)(3)$; $(I_y) = \frac((h(b^3)(3)$).

.

Үүнтэй адил $(I_y) = \frac((h(b^3)))((12))$.

Трикутный Перериз

Суурийн инерцийн өгөгдсөн момент дээрх трикуттерийн төв инерцийн момент $(I_x) = \frac((b(h^3)))((12))$ байна.

.

Хэрэв төв тэнхлэг $(Y_c)$ өөр тохиргоотой бол бид үүнийг бас харж болно. $(Y_c)$ тэнхлэгийн дагуух бүх дүрсийн инерцийн момент нь $ABD$ трикийн $(Y_c)$ тэнхлэгийн дагуух инерцийн момент ба $CBD$ тэнхлэгийн инерцийн моментийн нийлбэрээс их байна. $(Y_c)$ тэнхлэгийн дагуу, tobto

.

Эвхэгдсэн төмөр замын инерцийн моментийг томилох

Тэдний аль нэгнийх нь геометрийн шинж чанар бүхий okremih элементүүдээс бүрдэх ператиныг хамтад нь авч үзье. Агуулахын дүрсийн талбай, статик момент, инерцийн момент нь агуулахын холбогдох шинж чанаруудын нийлбэрийг нэгтгэдэг. Периметрийн атираа шиг та үүнийг гаднаас нь дүрсүүдийн аль нэгтэй адил болгож болно, зургийн геометрийн шинж чанарууд харагдаж байна. Жишээлбэл, агуулахын дүрсийн инерцийн моментийг зурагт үзүүлэв. иймэрхүү харагдах болно

$I_z^() = \frac((120 \cdot ((22)^3)))((12)) - 2 \cdot \frac((50 \cdot ((16)^3))((12) )) = 72 \, 300 $ см 4 .

$I_y^() = \frac((22 \cdot ((120)^3)))((12)) - 2 \cdot \left((\frac((16 \cdot ((50)^3)) )((12)) + 50 \cdot 16 \cdot ((29)^2)) \баруун) = 1\.490\.000$см 4

Икс, Ий, Икси та хоёртой уулзъя. xy тэнхлэгүүдтэй зэрэгцэн бид x1, y1 шинэ шугамыг зурна.

I шинэ тэнхлэгүүдийг огтлох инерцийн чухал мөч.

X 1 \u003d x-a; y 1 = y-b

I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3) dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=

Ix - 2b Sx + b 2A.

Хэрэв бүх зүйл зүсэлтийн хүндийн төвөөр дамжин өнгөрвөл статик момент Sx =0 байна.

I x 1 = Ix + b 2 A

Шинэ тэнхлэг y 1-тэй адил бид I y 1 = Iy + a 2 A томъёог тооцоолж болно.

Шинэ тэнхлэгүүдийн инерцийн төв момент

Ix 1 y 1 \u003d Ixy - b Sx -a Sy + abA.

Хэрэв xy тэнхлэг нь зүсэлтийн хүндийн төвөөр дамжин өнгөрвөл Ix 1 y 1 = Ixy + abA болно.

Хэрэв цацраг нь тэгш хэмтэй бол төв тэнхлэгүүдийн аль нэг нь бүхэл бүтэн тэгш хэмийг тойрон хөдөлдөг бол Ixy \u003d 0, мөн Ix 1 y 1 \u003d abA болно.

Тэнхлэгийг эргүүлэх цагийн дор инерцийн моментийг өөрчлөх.

xy тэнхлэгийг тойрсон тэнхлэгийн инерцийн моментуудыг бидэнд мэдэгдье.

Хуучин системийг kut (a> 0) дээр эргүүлснээр шинэ координатын систем xy-г авч хаяна, өөрөөр хэлбэл жилийн эсрэг сумыг эргүүлнэ.

Майданчикийн хуучин болон шинэ солбицлын хооронд уринш суулгая

y 1 \u003d ab \u003d ac - bc \u003d ab-de

trico acd-аас:

ac/ad \u003d cos α ac \u003d ad * cos α

trico oed-аас:

de/od=sinα dc=od*sinα

Виразын утгыг y-д илэрхийлье

y 1 \u003d ad cos α - od sin α \u003d y cos α - x sin α.

Үүнтэй адил

x 1 \u003d x cos α + y sin α.

Бид шинэ тэнхлэгийн x 1-ийн тэнхлэгийн инерцийн моментийг тооцоолно

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA = ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α) dA = = cos 2 α ∫ y 2 dA - sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .

Үүнтэй адил Iy 1 \u003d Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.

Бид орхигдуулсан вирусын зүүн ба баруун хэсгийг нэгтгэв:

Ix 1 + Iy 1 \u003d Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

Эргэхэд тэнхлэгийн инерцийн моментуудын нийлбэр өөрчлөгддөггүй.

Шинэ тэнхлэгүүдийн инерцийн төв момент нь чухал юм. x 1 ,y 1 утга харагдана.

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .

Инерцийн үндсэн момент ба гол тэнхлэгүүд.

Толгойн инерцийн моментуудтэдний хэт үнэлэмжийг нэрлэ.

Зарим хэт их утгатай тэнхлэгүүдийг инерцийн толгойн тэнхлэгүүд гэж нэрлэдэг. Өмхий үнэр үргэлж харилцан перпендикуляр байдаг.

Vіdtsentrovy мөч іnertsії schodo дарга тэнхлэгүүд zavzhdі dorivnyuє 0. Oskіlki vіdomo, scho shcho є vіs тэгш хэмтэй, дараа нь vіdtsentrovy мөч іvіvnyuє 0, бас бүх тэгш хэмтэй є дарга vіssyu байна. Хэрэв бид viraz I x 1-ийн эхний мөрийг аваад дараа нь її-г "0"-тэй тэнцүүлбэл кута = инерцийн толгойн тэнхлэгүүдийн харгалзах байрлалыг авна.

tg2 α 0 = -

Хэрэв α 0 >0 бол толгойн тэнхлэгийн хуучин станцыг жилийн сумны чиглэлд эргүүлэх ёстой. Гол тэнхлэгүүдийн нэг нь є max, іnsha - min. Хамгийн их жингийн тусламжтайгаар салхи нь жижиг kut tієї vypadkovoї, vyssyu schodo kakoї тэнхлэгийн инерцийн моментийг ихэсгэж болно. Инерцийн тэнхлэгийн моментийн хэт утгыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Бүлэг 2. Материалыг дэмжих үндсэн ойлголт. Тэр аргын даалгавар.

Янз бүрийн спорыг зохион бүтээх цагийн дагуу янз бүрийн тэжээллэг чанар, zhorstkost, тэсвэр тэвчээрийг virishuvate хийх шаардлагатай.

Мицнист- Энэ байгууллагын барилга нь хий дэмий хоосон чанарын ялгааг харуулах болно.

Хатуу байдал- их хэмжээний хэв гажилт (шилжилт)гүйгээр давуу талыг ашиглах байгууламжийг барих. Деформацийн урагшлах зөвшөөрөгдөх утга нь ирээдүйн норм, дүрмийг (SNIP) зохицуулдаг.

тэсвэр тэвчээр

Бид гнучка хайчны атгах хэсгийг харж болно

Хэрэв та алхам алхмаар нэмэгдүүлэхийг хүсч байвал ар талдаа хурдан үс засах болно. F хүч эгзэгтэй утгад хүрэхэд зүсэлт нь товойх болно. -Үнэхээр богинохон.

Үүний тусламжтайгаар хяргах нь нурж унахгүй, харин хэлбэрээ огцом өөрчилдөг. Ийм үзэгдлийг vtratoy тэсвэр тэвчээр гэж нэрлэдэг бөгөөд сүйрэлд хүргэдэг.

Сопромат- Инженерийн байгууламжийн mіtsnіst, zhorstkіst, stіykіst тухай шинжлэх ухааны Tse үндэс. Spivpromatі vikoristovuyutsya аргууд онолын механик, физикч, математикч vіdmіnu vіd teoreticії mekhanіki spromat vrakhovuє zminі rozmirіv дээр би tіl pіd ієyu navantazhennya тэр температурыг бүрдүүлэх.

Хоёр зэрэгцээ тэнхлэгт (Зураг 6.7), уриншаар холбогдсон инерцийн янз бүрийн моментуудын хооронд мэдэгдэхүйц уриншилтай.

1. Инерцийн статик моментуудын хувьд

За,

2. Инерцийн тэнхлэгийн моментуудын хувьд

otzhe,

Якшчо бүх зүйл zзүсэлтийн хүндийн төвөөр дамжин өнгөрөх, дараа нь

Тэнхлэгүүдтэй параллель байх үед шаардлагатай инерцийн моментуудаас тэнхлэгийн инерцийн момент нь хөндлөн огтлолын хүндийн төвөөр дамжин өнгөрөх тэнхлэгт хамгийн бага ач холбогдолтой байж болно.

Тэнхлэгийн хувьд ч мөн адил

Би унаж yхүндийн төвөөр дамжин өнгөрөх

3. Усны төвийн инерцийн моментуудын хувьд үүнийг авах шаардлагатай

Үлдсэнийг нь бичиж болно

Заримдаа координатын системийн коб бол yzзүсэлтийн таталцлын төвд байх, түүнийг ав

Хэрэв нэг эсвэл нөгөө нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй тэнхлэгийг гэмтээж байвал випадкутай байх,

6.7. Тэнхлэгийг эргүүлэх үед инерцийн моментыг өөрчлөх

Координатын тэнхлэгийн дагуу инерцийн моментийн даалгаварыг таслав zy.

Координатын системтэй холбоотой аравтын бутархайгаар эргүүлсэн тэнхлэгүүдийн ижил хөндлөн огтлолын инерцийн моментийг тодорхойлох шаардлагатай. zy(Зураг 6.8).

Kut vvazhaetsya эерэг, шинэ рүү шилжих хуучин координатын системтэй адил эсрэг жилийн сумыг эргүүлэх шаардлагатай (баруун тэгш өнцөгт декартын координатын системийн хувьд). Шинэ, хуучин zyкоординатын системүүд po'yazanі уринш, yakі vyplyvayut іz зураг. 6.8:

1. Шинэ координатын системийн тэнхлэгийн дагуух инерцийн тэнхлэгийн моментуудын хувьд чухал ач холбогдолтой:

OS-тэй төстэй

Хэрэв бид i тэнхлэгийн дагуу инерцийн моментийн хэмжээг нэмбэл бид авна

өөрөөр хэлбэл, тэнхлэгүүдийг эргүүлэх үед тэнхлэгийн инерцийн моментуудын нийлбэр нь тогтмол утга юм.

2. Инерцийн төвийн моментийн томъёог харцгаая.

.

6.8. Инерцийн гол моментууд. Инерцийн үндсэн тэнхлэгүүд

Зүсэлтийн тэнхлэгийн инерцийн моментуудын хэт утгыг толгойн инерцийн момент гэж нэрлэдэг.

Инерцийн моментын ийм тэнхлэгүүд нь туйлын утгатай байж болох хоёр перпендикуляр тэнхлэгийг инерцийн толгойн тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

Инерцийн үндсэн моментууд ба инерцийн толгойн тэнхлэгүүдийн байрлалын ач холбогдлын хувьд энэ нь (6.27) томъёонд заасан инерцийн моментийн сүүлний дагуу хамгийн түрүүнд чухал юм.

Энэ үр дүнг тэгтэй тэнцүүл:

де - Кут, алинд нь координатын тэнхлэгүүдийг эргүүлэх хэрэгтэй yі z schob өмхий үнэр zbіglisya z толгой тэнхлэгүүд.

Porіvnyuyuchi vrazi (6.30) ба (6.31), та суулгаж болно, scho

,

Otzhe, тэг инерцийн vydtsentrovy момент инерцийн үндсэн тэнхлэгүүдийг shdo.

Нэг буюу нөгөө нь периметрийн тэгш хэмийн тэнхлэг, инерцийн толгойн тэнхлэгийг зөрчих тэнхлэгүүдтэй харилцан перпендикуляр.

Розвяжемо ривняння (6.31) шодо кута:

.

Хэрэв >0 бол баруун (зүүн) декартын тэгш өнцөгт координатын системд инерцийн толгойн тэнхлэгүүдийн аль нэгний байрлалыг өгөх шаардлагатай. zжилийн сумны боох (боодлын дагуу) курсын эсрэг кут асаах. Якчо<0, то для оп­ре­деления по­ло­же­ния одной из главных осей инерции для пра­вой (левой) де­кар­то­вой пря­мо­у­го­ль­ной системы координат необ­хо­димо осьzжилийн сумны боодлын дагуу (боох чиглэлийн эсрэг) кут руу эргэх.

Тэнхлэг хамгийн их zavzhdi skladє жижиг kut z tієї osі ( yэсвэл z), ингэснээр тэнхлэгийн инерцийн момент нь утгаас их байж болно (Зураг 6.9).

Бүх дээд тал нь тэнхлэг (), yaksho () хүртэл зүссэн доор шулуун болж, тэнхлэгүүдийн хосолсон (хослогдоогүй) дөрөвний нэг, yaksho ().

Инерцийн гол моментууд нь чухал ач холбогдолтой. Функцийг функцтэй холбосон тригонометрийн використ томъёог (6.27) авсан болно.

,