Доод интеграл нь sing интегралын хүчтэй адил хүчтэй байдаг. Үндсэн зүйлээс хамаагүй бага:

1. Ямар үүрэг гүйцэтгэдэг вэ
бүс нутаг дахь интеграцчлал
, дараа нь тэдгээрт нэгтгэх нь хэмжээ, ялгаа, үүнээс гадна

2. Тогтмол үржүүлэгчийг тэмдгийн хувьд буруутгаж болно underwire интеграл:

3. Якчо
бүс нутагт нэгдсэн
, мөн энэ талбай нь давхцдаггүй хоёр хэсэгт хуваагдана і
, дараа нь

.

4. Якчо
і
бүс нутаг дахь интеграцчлал
, yakіy-д

, дараа нь

.

5. Тухайн газар юу байна
функц
үл нийцэлд сэтгэл хангалуун байна


де
і
 үйлдэл Dіysnі тоонууд, дараа нь

,

де - бүс нутгийн нутаг дэвсгэр
.

Эдгээр хүчнүүдийн нотолгоо нь энгийн интегралын хоёр дахь теоремуудын баталгаатай адил юм.

Тэгш өнцөгт декарт координат дахь босоо интегралын тооцоо

Үндсэн интегралыг тооцоолох шаардлагатай байг
, de талбай - Тэгш өнцөгт, энэ нь жигд бус байдлаар тодорхойлогддог ,.

Ингэж бодъё
суурьтай биеийн эзэлхүүний интеграл хэдий ч шинэ үл мэдэгдэх утгад ижил тэгш өнцөгт болон набувайд тасалдалгүй , дээр нь араатантай хүрээтэй
, хажуу талаас - хавтгай
,
,
,
:

.

Нөгөө талаас, ийм тоог sing интегралын тусламжтайгаар тооцоолж болно.

,

де
- энэ биеийг нэг цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцоор гатлах талбай ба тэнхлэгт перпендикуляр
. Шинжилгээний хэлтэрхий муруйн трапецаар огтлолцсон
, функциональ график бүхий араатангаар хүрээлэгдсэн
, де тогтмол, ба , дараа нь

.

Z tsikh triokh тэгш байдал vyplivaє, scho

.

Үүнээс хойш суурь интегралын тооцоо нь хоёр син интегралын тооцоо байсан; "дотоод интеграл" -ыг тооцоолохдоо (нуман хаалганд бичсэн) хувиршгүй байх.

Хүндэтгэл.Үлдсэн томьёо хэзээ зөв болохыг тайлбарлаж чадах уу
, түүнчлэн нэг харцаар, хэрэв функц
заасан тэгш өнцөгтийн тэмдгийг өөрчлөх.

Томъёоны хэсгийн эрхийг давтагдсан интеграл гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах байдлаар томилогдсон.

.

Үүнтэй адилаар үүнийг харуулж болно

.

Хэлсэн үгийн дээр чи уйлна

.

Тэгш байдал хэвээр байна гэдэг нь интеграцийн үр дүн нь интеграцийн дарааллаар унах ёстой гэсэн үг юм.

Хамгийн гүн налууг харахын тулд стандарт талбайн тухай ойлголтыг танилцуулъя. Тэнхлэгт шууд өгөгдсөн стандарт (эсвэл зөв) талбайг ийм талбай гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь шулуун, тэнхлэгийн төвтэй параллель, талбайн хооронд огтлолцсон, хоёр цэгээс доогуур байх ёстой. Үгүй бол энэ бүс нутгийг хөмрүүлж, її кордон нь зөвхөн нэг сэвшээ салхи юм шиг санагддаг.

Бүс нутаг хүрээлэгдсэн байхыг хүлээн зөвшөөрч болно

Энэ нь функцын график бүхий араатангаар хүрээлэгдсэн байдаг
, доод талд - функцийн график
. Алив R ( ,) - бүсийг тавьсан хамгийн бага тэгш өнцөгт
.

Тухайн газар руу яв
тэр тасалдалгүй функц өгөгдсөн
. Шинэ функцийг танилцуулъя:

,

underwire интегралын чадалтай төстэй

.

Би, дараа нь,

.

Oskіlki vіdrіzok
талбайг хамрах
дараа нь, дараа нь,
цагт


, гэхдээ vіdrіzkom байрлалд хэвтэж, дараа нь
.

Тогтмолтой бид бичиж болно:

.

Баруун талын эхний ба гурав дахь интегралууд тэг болж нийлбэр болно

.

Отже,

.

Яагаад стандарт тэнхлэгийн талбайн гүйлтийн интегралыг тооцоолох томъёог ашиглах шаардлагатай байна вэ?
давтагдсан интеграл руу холбох замаар:

.

Якчо муж
є стандарт y шулуун тэнхлэг
Тэр үл нийцэл мэт харагдана ,

Үүний нэгэн адил үүнийг баталж чадна

.

Хүндэтгэл.Бүс нутгийн хувьд
, стандарт y шулуун тэнхлэгүүд
і
, виконууд байх болно

Энэ томьёоны хувьд интегралчлалын дараалал, дэд шугаман интегралыг тооцоолох цаг өөрчлөгдөнө.

Хүндэтгэл.Интеграцийн талбар нь хоёр координатын тэнхлэгт стандарт (зөв) байхаа болмогц її нь стандарт талбайн нийлбэрт хуваагдаж, интегралыг эдгээр талбайн интеграцийн нийлбэр болгон илэрхийлнэ.

өгзөг. Ажиллаж байгаа интегралыг тооцоол
бүс нутгаар
, шугамаар хүрээлэгдсэн:
,
,
.

Шийдэл.

Tsya талбай є стандарт сарлагийн schodo тэнхлэг
, Тэгэхээр би
.

Стандарт тэнхлэгийн талбайг харгалзан бид интегралыг тооцоолно
.

.

Хүндэтгэл.Стандарт тэнхлэгийн талбайг харгалзан интегралыг хэрхэн тооцоолох вэ
, бид ижил үр дүнг авдаг:

.

өгзөг. Ажиллаж байгаа интегралыг тооцоол
бүс нутгаар
, шугамаар хүрээлэгдсэн:
,
,
.

Шийдэл.Төлөөлөгчдийн хувьд интеграцийн бүсийг багад нь өгдөг.

Tsya талбай є стандарт schodo тэнхлэг
.

.

өгзөг. Давтан интеграцийн хувьд нэгтгэх дарааллыг өөрчил:

Шийдэл.Интеграцийн бүсийг төсөөлье.

Интеграцийн шугамуудаас бид интеграцийн бүсийг хамарсан шугамуудыг мэддэг. ,
,
,
. Интеграцийн дарааллыг өөрчлөхийн тулд бид чадна функцууд болгон мөн бид огтлолцох цэгүүдийг мэддэг:

,
,
.

Тэгэхээр, нэг интервал дээр, функц хоёр аналитик вирусээр илэрхийлэгддэг бол интеграцийн талбайг хоёр хэсэгт хуваах ёстой бөгөөд татварын давтагдсан интеграл нь хоёр интегралын нийлбэр юм.

.

1.1 Босоо интегралыг тодорхойлох

1.2 Дэд интегралын давамгайлал

Дэд интегралын давамгайлал (тэр його висновок) нь нэг удаагийн дуулах интегралын давамгайлалтай адил юм.

1°. Нэмэлт чанар. Хэрэв f(x, y) функц нь D мужид нэгтгэгдсэн ба хэрэв нэмэлт муруй Г-аас давсан D муж нь тэг талбай нь хоёр холбоост хуваагдаж, D 1 ба D 2 домэйны хамтарсан дотоод цэгүүд байх боломжгүй бол f(x, y) функц нь D 1 ба D 2 хэсгүүдийн арьсанд нэгтгэгддэг

2°. Шугаман хүч. f(x, y) ба g(x, y) функцууд яаж D орон зайд интегралдах вэ? би? - ярианы тоо байх, дараа нь функц [? f (x, y) + ? g (x, y)] нь мөн D домэйнд нэгтгэгддэг

3°. f(x, y) ба g(x, y) функцууд нь D мужид интегралдах боломжтой байдаг тул эдгээр функцүүдийн нэмэлт функцүүд нь D-д интегралч болно.

4°. f(x, y) ба g(x, y) функцуудыг D мужид хэрхэн нэгтгэж, f(x, y)-ийг хөндлөн огтолж болох вэ? g(x, y), тэгвэл

5°. f(x, y) функцийг D мужид нэгтгэсэн тул th функц |f(x, y)| Үүнээс гадна D бүсэд нэгдсэн

(Мэдээжийн хэрэг, | f (x, y) | D-ийн интеграл нь D-д f (x, y) -ийн интегралыг харуулахгүй.)

6°. Дундаж утгын теорем. Хэдийгээр f(x, y) болон g(x, y) довтолгооны функцүүд нь D домэйнд нэгдсэн боловч g(x, y) функц нь энэ бүсийн хаа сайгүй үл үзэгдэх (эерэг биш) боловч M ба m нь яг D мужид f( x, y) функцийн дээд ба доод хязгаар байвал m-ийн тэгш бус байдлыг хангах тоо байна уу? ? ? M i томьёо хүчинтэй байхын тулд

Sokrema, f(x, y) функц нь тасралтгүй D бөгөөд D домэйн холбогдсон тул энэ домэйнд ийм цэг (?, ?), Юу вэ? = f(?, ?), томъёо нь иймэрхүү харагдаж байна

7°. Чухал геометрийн хүч. амьдрах талбай D

T биеийг (Зураг 2.1) орон зайд, D талбайн доор, араатан руу өгье - тасалдалгүй, үл үзэгдэх функцийн график) z \u003d f (x, y,) орон зайд хуваарилагдсан тул D, хажуу талаас - цилиндр гадаргуу, D талбайн хооронд шууд є, ба Оз тэнхлэгтэй параллель байна. Энэ төрлийн биеийг цилиндр бие гэж нэрлэдэг.

1.3 Босоо интегралын геометрийн тайлбар

1.4 Тэгш өнцөгтийн босоо интегралын тухай ойлголт

R = тэгш өнцөгтийн хаа сайгүй хангалттай f(x, y) функцийг өгье? (хуваа. Зураг 1).

Розмари сегмент a? х? a = x 0 туслах цэгээс цааш b n хэсэгчилсэн сегмент< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Ox і Oy тэнхлэгүүдтэй параллель шулуун шугамын тусламжтайгаар хуваах нь яагаад R тэгш өнцөгтийг n · p хэсэгчилсэн тэгш өнцөгт R kl = болгон хувааж байгаа юм бэ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Тэгш өнцөгт R-ийн хуваалтаар тодорхойлогддог, энэ нь T тэмдэгтээр чухал ач холбогдолтой юм. Бид координатын тэнхлэгүүдтэй параллель талуудтай тэгш өнцөгтийг ойлгохын тулд "тэгш өнцөгт" гэсэн нэр томъёоны дагуу хуваалт өгсөн.

Арьс chastkovy тэгш өнцөгт Rkl дээр бид бүрэн цэгийг (?k,?l) сонгоно. ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1-ийг тавиад R kl тэгш өнцөгтийн талбайн ?R kl-ээр дамжуулан ач холбогдолтой болно. Мэдээжийн хэрэг, ?R kl = ?x k ?y l .

R тэгш өнцөгтийн өгөгдсөн T тархалт ба T тархалтын хэсэгчилсэн тэгш өнцөгтүүдийн завсрын цэгүүдийн (? k, l) өгөгдсөн сонголтыг өгдөг f(x, y) функцийн интеграл нийлбэр гэж нэрлэдэг.

Диагональ нь тэгш өнцөгтийн диаметр гэж нэрлэгддэг R kl . Билэг тэмдэг үү? Бүх нийтлэг rectoccuts-ийн диаметрүүдийн хамгийн том нь R kl .

I тоог интеграл нийлбэрийн (1) зааг гэж нэрлэдэг вэ? > 0, яаж эерэг тоо байж болох вэ? тэгж хэлж чадах уу огноо?, юунд?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - Би |< ?.

f(x, y) функцийг R тэгш өнцөгт дээр интеграл (Риманы дагуу) гэж нэрлэдэг, учир нь функцийн I интеграл нийлбэрүүдийн хооронд хязгаарлагдмал хил байдаг? >0.

Заасан I заагийг R тэгш өнцөгтөөр f(x, y) функцийн дэд интеграл гэж нэрлэх ба дараах тэмдгүүдийн аль нэгээр тэмдэглэнэ.

Хүндэтгэл. Тэгэхээр нэг удаагийн интегралын нэгэн адил f(x, y) функц нь R тэгш өнцөгт дээр интегралдсан бөгөөд энэ тэгш өнцөгт дээр хүрээлэгдсэн байдаг нь тогтоогдсон.

Энэ нь f(x, y) функцүүдийн хил хязгаараас илүү хол харагдах боломжийг олгоно.

Дэд интегралуудын хүч.

Дундгүй дэд интегралуудын чадлын нэг хэсэг нь интеграл нийлбэрийн хүчийг ойлгох утгаас гарч ирдэг, гэхдээ өөрөө:

1. Ямар үүрэг гүйцэтгэдэг вэ f(x, y)-д нэгдсэн Д, дараа нь kf(x, y) tezh энэ galusi-д нэгдсэн байна, үүнээс гадна (24.4)

2. Тухайн газар юу байна Днэгтгэх функцууд f(x, y)і g(x, y), дараа нь эдгээр функцуудыг энэ галерейд нэгтгэсэн болно f(x, y) ± g(x, y), би цагт

3. Бүс нутагт хэрхэн нэгтгэх вэ Дфункцууд f(x, y)і g(x, y) nerіvnіst f(x, y)≤g(x, y), дараа нь

(24.6)

Доод интеграл дээр илүү хүчийг нэмье:

4. Якчо бүс Дхоёр бүсэд хуваагдана Д 1 т Д 2 гялалзсан дотоод цэг, функцгүй f(x, y)бүс нутагт тасалдалгүй Д, дараа нь

(24.7) авчирч байна . Бүс нутгийн интеграл нийлбэр Дта нэг дороос харж болно:

бүс нутгийн хуваагдал Дхооронд ийм байдлаар явуулсан Д 1 т Д 2 нь тулалдааны хэсгүүдийн хооронд баригдсан. Хил рүү хөлсөө урсгаж, тэгш байдлыг үгүй ​​хийж байна (24.7).

5. Интеграцийн үед дээр Дфункцууд f(x, y)Энэ функц нь миний галус дотор нэгдсэн | f(x, y) |, мөн maє mistse nerіvnіst

(24.8)

авчирч байна.

сандарсан тохиолдолд хилийн боомт дээр тусламж хүсэх одууд (24.8)

6. де С Д- бүс нутгийн нутаг дэвсгэр Д.Интеграл нийлбэрийг орлуулж аль нотлох баримтыг хассан болохыг нотлох баримт f(x, y)≡ 0.

7. Бүс нутагт нэгдсэн хэвээр байна Дфункц f(x, y)мэдрэлийн мэдрэмжийг хангадаг

m ≤ f(x, y) ≤ M,

тэгээд (24.9)

авчирч байна.

Нотолгоо нь тодорхой тэгш бус байдлаас хилийн шилжилтээр хийгддэг

Үр дагавар.

Мэдрэлийн бүх хэсгийг хэрхэн дарах вэ (24.9) дээр Д, та дундаж утгын теоремыг авч болно:

Зокрема, тасалдалгүй үйл ажиллагааны оюун ухаанд зориулсан е in Дбүс нутагт ийм цэг байдаг ( x 0, y 0), yakіy-д е(x 0, y 0) = μ , дараа нь

-

Дундаж утгын теоремын өөр нэг томъёолол.

Геометрийн змистдоод интеграл.

Биеийг нь харцгаая В, хэсэгчилсэн гадаргуугаар хүрээлэгдсэн, тэнцүү гэж юу асуудаг z = f(x, y),проекц Днэг хавтгайд tsієї гадаргуу хубосоо хэсгүүдээс таслагдсан хүснэгт хэлбэрийн цилиндр гадаргуу нь гадаргуугийн хоорондох цэгүүдийг тэдгээрийн төсөөлөлтэй холбодог.

z = f(x, y)

В

y P i DЗураг 2.

Шукатимо нь биеийн эзэлхүүнийг цилиндрийн эзэлхүүний нийлбэрийн хоорондох суурь нь Δ хэсгүүд юм. Сибүс нутаг Д, мөн өндрөөр - vіdrіzki zavdovka е(Пи), оноо Пихудлаа Δ Си. Хилийн боомтоор дамжин өнгөрөх нь, отримаэмо, scho

(24.11)

Энэ нь гадаргуу дээр араатангаар хүрээлэгдсэн цилиндр гэж нэрлэгддэг салшгүй хэсэг юм. z = f(x, y), мөн доор нь - талбай Д.

Иогийн замаар доогуур зурсан интегралыг хоёр дахь руу холбох холбоос.

Алсын хараатай талбай Д, шугамаар хиллэдэг x=a, x=b(а< b ), de φ 1 ( X) ба φ 2 ( X) завсарлагагүйгээр [ а, б]. Дараа нь координатын тэнхлэгтэй параллель шулуун байна цагтмөн талбайн дотоод цэгээр дамжин өнгөрнө Д, бүс нутгийн кордоныг хоёр цэгээр гаталж: Н 1 т Н 2 (Зураг 1). Энэ бүсийг нэрлэе зөвдээр нь-

цагтзөв тэнхлэг O цагт. Үүний нэгэн адил ийм байна

y=φ 2 (x) шулуун шугамд байгаа хэсэг байдаг

Н 2 тэнхлэг О X. Бүс нутаг, шууд зөв-

Nії хоёр координат тэнхлэг, бид болно

Дзүгээр л зөв гэж нэрлэ. Жишээлбэл,

Зөв талбайг 1-р зурагт үзүүлэв.

y=φ 1 (x) Н 1

O a b x

Алив функц f(x, y)бүс нутагт тасалдалгүй Д. Виразыг хар

, (24.12)

зэрэглэл dvorazovym интегралфункцийн төрөл f(x, y)бүс нутгаар Д. Дотоод интегралыг (гар дээр зогсох) өөрчилснөөр тооцоолъё цагт, үл харгалзан X postiynim. Үүний үр дүнд бид харж байна тасалдалгүй функцхарах X:

Отриману функцийг нэгтгэх боломжтой Xхооронд аөмнө б. Үүний үр дүнд бид дугаарыг авдаг

Бид талбайн интегралын чухал хүчийг авчирдаг.

Теорем 1. Якчо муж Д, урагшаа засаарай цагт, хоёр хэсэгт хуваагдана Д 1 т Д 2 шулуун, зэрэгцээ тэнхлэг Pro цагт abo тэнхлэг О X, дараа нь бүс нутаг дээгүүр dvorazovy интеграл Дижил интегралуудын илүү олон нийлбэрийг бүсээр нь Д 1 т Д 2:

авчирч байна.

a) шууд урагш яв x = cзавсарлага Ддээр Д 1 т Д 2, шууд урагшаа цагт. Тоди

+

+

б) урагшаа яв y=hзавсарлага Дбаруун талд шулуун урагшаа цагтбүс нутаг Д 1 т Д 2 (Зураг 2). Чухал ач холбогдолтой М 1 (а 1 , h) тэр М 2 (б 1 , h) шулуун шугамын хөндлөн шугамын цэгүүд y=hкордоноос Лбүс нутаг Д.

yБүс нутаг Д 1 тасалдалгүй шугамаар хүрээлэгдсэн

y=φ 2 (x) 1) y=φ 1 (x);

Д 2 2) муруй ГЭХДЭЭ 1 М 1 М 2 At, бидний бичсэнтэй тэнцүү байна

h М 1 М 2 y=φ 1 *(x), де φ 1 *(X) = φ 2 (X) цагт a ≤ x ≤ a 1 т

А 1 Д 1 Bb 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(X) = hцагт а 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) шулуун x = a, x = b.

Бүс нутаг Д 2 шугамаар хүрээлэгдсэн y=φ 1 *(x),

А y= φ 2 (X),а 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (x) Бид дотоод интегралын тухай теоремыг баталж чадна

интеграцийг эвдэх нь:

О а а 1 б 1 б

+

Өөр нэг otrimanih іntegraіv v vyglyadі sumi өгье:

+ + .

Оскилки φ 1 *(X) = φ 2 (X) цагт a ≤ x ≤ a 1 т б 1 ≤ x ≤ b, Эхний болон гурав дахь нь интегралуудыг авч, тэгтэй тэнцүүлдэг. Отже,

I D = , дараа нь.

Дэд интегралын гол хүч

Дэд интегралын давамгайлал (тэр його висновок) нь нэг удаагийн дуулах интегралын давамгайлалтай адил юм.

1°. Нэмэлт чанар. Функц нь юу вэ е(x, y) бүс нутагт нэгдсэн Дмөн газар нутаг болгон Дтусламжийн муруй Гтэг талбай нь хоёр холбоост хуваагддаг бөгөөд бүс нутгийн өндөр дотоод цэгүүдийг бүдгэрүүлдэггүй Д 1 т Д 2 , дараа нь функц е(x, y) арьсны хэсгүүдэд нэгтгэсэн Д 1 т Д 2, үүнээс гадна

2°. Шугаман хүч. Ямар функцүүд е(x, y) тэр g(x, y) нутаг дэвсгэрт нэгтгэх Д, a α і β - ярианы тоо байх, дараа нь функц [ α · е(x, y) + β · g(x, y)] нь мөн бүс нутагт нэгдсэн Д, үүнээс гадна

3°. Ямар функцүүд е(x, y) тэр g(x, y) нутаг дэвсгэрт нэгтгэх Д, дараа нь эдгээр функцүүдийн нэмэлт функцүүдийг нэгтгэсэн болно Д.

4°. Ямар функцүүд е(x, y) тэр g(x, y) бүс нутаг дахь довтолгооны интеграци Дмөн миний галерейд хаа сайгүй е(x, y) ≤ g(x, y), дараа нь

5°. Функц нь юу вэ е(x, y) бүс нутагт нэгдсэн Д, тэдгээр функц | е(x, y)| бүс нутагт нэгдсэн Д, үүнээс гадна

(Мэдээж интеграцид | е(x, y)| in Динтеграци харагдахгүй байна е(x, y) дотор Д.)

6°. Дундаж утгын теорем. Ямар доромжлолтой функц вэ е(x, y) тэр g(x, y) нутаг дэвсгэрт нэгтгэх Д, функц g(x, y) энэ галерейд хаа сайгүй үл үзэгдэх (эерэг биш), Мі м- функцийн яг дээд ба доод хязгаар е(x, y) бүс нутагт Д, дараа нь тоо байна μ энэ нь сандрах мэдрэмжийг хангадаг м ≤ μ ≤ Мтомьёо хүчинтэй байх болно

ХӨДӨЛГӨХ ИНТЕГРАЛД

лекц 1

Тогтвортой интеграл.Доод гүйдлийн интегралын зорилго нь хүч юм. Давтагдсан интеграци. Доод интегралуудын давтагдах холбоосууд. Интеграцийн хоорондох байршил. Декартын координатын системийн суурь интегралын тооцоо.

Дэд интеграл нь хоёр хувьсагчийн өөр өөр функцэд sing интегралын талаарх ойлголтыг гүнзгийрүүлэх явдал юм. Ийм байдлаар интеграци нь эсрэгээрээ хавтгай дүрс хэлбэрээр байх болно.

Аливээ Д- Дежака бол хаалттай, хилийн бүс нутаг бөгөөд е(x,y) - хангалттай функц, үүнийг энэ галерейгаар тэмдэглэсэн. Үүнийг бүс нутгийн хооронд гэж үзье Доюун санааны тэнцүүгээр өгөгдсөн муруйн эцсийн тооноос нэгтгэн дүгнэсэн болно y=е(x) эсвэл x=g( y), де е(x) тэр g(y) нь тасалдалгүй функцууд юм.

Розибёмо муж Дзохистой зэрэглэл nхэсэг. талбай би-ї delyanki нь D тэмдгээр утга учиртай с би. Арьс dilyantsi дээр нэлээд чичиргээ нь цэг юм Пи,мөн декарт системийн має координатыг ( x i , y i). Складемо интеграл нийлбэрфункцийн хувьд е(x,y) бүс нутгаар D,Функцийн аль утга нь бүх цэг дээр мэдэгдэж байна Пи, їх-ийг давхар талбайн талбайгаар үржүүлэх Ds биМөн бид бүх үр дүнг устгасан гэж бодож байна:

Назвемо диаметр(Г) талбайнууд Гбүс нутгийн хилийн цэгүүдийн хоорондох хамгийн том зай.

Интеграл функцууд f(x,y) D хэсэгт интеграл нийлбэрийн дарааллыг ямар хэмжээгээр зааг гэж нэрлэдэг (1.1) завсарлагааны тоог хязгааргүй нэмэгдүүлэх n (хэнд). Ингэж бичээрэй

Эрхэм хүндэт, scho, vzagali бололтой, салшгүй нийлбэр функцуудыг тохируулахболон өгөгдсөн интеграцийн талбар Дцэг сонгох Пи. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse гэсэн үг, vіdpovіdny іntegrаlny нийлбэр хооронд томилогдсон chinnikіv хооронд худал боломжгүй юм. Дарааллаар нь(эсвэл энэ мэт санагдаж байна ерөнхий функц f(x,y) нь D домэйнд нэгтгэгдсэн), bool-ийн интеграл функц нь хангалттай тасалдалгүйажлын галлерейг нэгтгэх.

Алив функц е(x,y) бүс нутагт нэгдсэн Д. Ийм функцүүдийн хуримтлагдсан нийлбэрүүдийн хоорондох хэсгүүдийг нэгтгэх талбайг хуваах аргаар хуримтлуулах боломжгүй, хуваах ажлыг босоо болон хэвтээ шугамын тусламжтайгаар хийж болно. Todі бүс нутгийн бизнес эрхлэгчид илүү Д matime шулуун зүсэгдсэн, талбай ийм доривню Д с би=Д x iД y i. Тиймээс талбайн дифференциалыг ингэж бичиж болно ds=dxdy. Отже, интеграл дор декартын координатын системдхараад бичиж болно

Хүндэтгэл. Интеграл функц шиг f(x,y)º1, Интеграцийн бүсийн талбайн доод интеграл нь:

Доор зурсан интеграци нь дангаараа нэгдмэл байхаас гадна ижил хүч чадалтай байж болох нь чухал юм. Тэдний хийсэн үйлс их ач холбогдолтой.

Дэд интегралуудын хүч.

1 0 .Шугаман хүч. Интегралын бусад нийлбэрийн функцүүдийн нийлбэрийн интеграл:

мөн интегралын тэмдгээр тогтмол үржүүлэгчийг буруутгаж болно:

2 0 .Нэмэлт хүч. D интеграцийн талбар нь хоёр хэсэгт хуваагддаг тул дэд интеграл нь арьсны хэсэг дээрх интегралын нийлбэрээс илүү бүрэн гүйцэд болно.:

3 0 .Дундаж теорем. Функц нь юу вэ f( x,y)нь D мужид үргэлжилдэг бол галерейд ийм цэг байдаг(x, h) , юу:

Цаашдын хоол тэжээлийн дараах: дэд интегралуудыг хэрхэн тооцдог вэ? Його ойролцоогоор virahuvati байж болно, энэ аргаар энэ нь эвдэрсэн байна үр дүнтэй аргуудхуримтлагдсан нийлбэрүүдийн атираат нийлбэр, дараа нь нэмэлт ЭОМ-ээр тоогоор тооцно. Дэд интегралын аналитик тооцооллын тусламжтайгаар тэдгээрийг хоёр интеграл болгон бууруулна.