Бодит тооны аксиомууд. Тоонуудын онолын аксиомуудын мөрөөр

Ярианы тоонуудыг (R ruban гэж нэрлэдэг), нэмэх үйлдлийг ("+") нэвтрүүлсэн бөгөөд ингэснээр арьсны хос элементүүд ( x,y) vіdpovіdnіst элемент дээр тавьсан хувийн бус ярианы дугаартай x + y z tsієї w үржүүлэгч, цол сумо xі y .

Олонхийн аксиомууд

Үржүүлэх үйлдлийг (“·”) нэвтрүүлсэн тул арьсны хос элемент ( x,y) хувийн бус ярианы тоонуудын хувьд элемент (өөрөөр бол товчилсон, xy) s tsієї w үржүүлэгч, бүтээлийн гарчиг xі y .

Звязок dodavannya тэр олон тоо

Захиалга өгөх аксиомууд

Захиалгын даалгавар дээр "" (нэгээс бага), дараа нь бооцоо тавих x, y vykonuєtsya оюун санааны нэг байхыг хүсч байна.

гэж нугалах дарааллаар Zv'yazok

Zvyazok vіdnoshennia гэж олон тооны дарааллаар

Тасралтгүй байдлын аксиом

Тайлбар

Энэ аксиом нь үүнийг илэрхийлдэг Xі Ю- аль ч элемент байхаар бодит тооны хоёр хоосон үржүүлэгч Xямар ч элементийг бүү хөмрүүл Ю, дараа нь та тэдгээрийн хооронд ярианы дугаар оруулж болно. Учир нь рационал тооэнэ аксиом нь ялалт биш юм; сонгодог өгзөг: танигдахуйц эерэг оновчтой тоонууд ба үл хамаарах байдал Xэдгээр тоо, квадрат нь 2-оос бага, нөгөө нь - хүртэл Ю. Тоди миж Xі Юрационал тоо оруулах боломжгүй (рационал тоо биш).

Энэ бол аюулгүй байдлыг хангах гол аксиом бөгөөд ингэснээр математик шинжилгээ хийх боломжийг олгодог. Үүний ач холбогдлыг харуулахын тулд би үүнээс хоёр үндсэн үр дагаврыг дурдъя.

Аксиомын өв

Зуучлагч аксиомгүй бол диконууд өнөөгийн тоонуудын хүчинд чухал ач холбогдолтой, жишээлбэл,

тэгийн нэгдэл,
пролифератив ба хоруу чанарын элементүүдийн нэгдэл.

Уран зохиол

Зорих В.А.Математик анализ. I. M .: Фазис, 1997, 2-р хэсэг.

Див. бас

Посилання

Викимедиа сан. 2010 он.

Бусад толь бичгүүдээс "Бодит тооны аксиоматик" хэсгийг үзнэ үү.

Бодит тоо болох яриа нь математикийн хийсвэрлэл бөгөөд энэ нь шаардлагатай гэрлийн геометрийн болон физик хэмжигдэхүүнийг ашиглахаас гадна үндсийг гаргаж авах, логарифм тооцоолох, шийдэл гаргах зэрэг үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай болдог.

Яриа, чи бодит тоо нь математикийн хийсвэрлэл, юу үйлчлэх, зокрема, физик хэмжигдэхүүний утгын ижил төстэй байдлын илрэл юм. Ийм тоо нь шулуун шугам дээрх цэгийн байрлалыг дүрсэлсэн байдлаар зөн совингоор илэрхийлж болно.

Wiktionary-д "аксиом" гэсэн өгүүлэл байдаг Аксиом (Грек хэлээр ... Википедиа

Аксиом нь янз бүрийн аксиоматик системд хэрэглэгддэг. Бодит тооны аксиоматик Гильбертийн Евклидийн геометрийн аксиоматик Колмогоровын имовирностын онолын аксиоматик ... Википедиа

Тооны систем

Объектуудыг шилжүүлэхийн тулд байгалийн цуврал гарч ирсэн гэж үзье. Гэхдээ бид объектуудтай ажиллахыг хүсвэл тоон дээр арифметик үйлдлүүд хэрэгтэй болно. Тобто, хэрэв бид алим нугалах эсвэл бялуу хуваахыг хүсвэл тооны тоог орчуулах хэрэгтэй.

Натурал тоонуудын хэлэнд + і * үйлдлүүдийг оруулсны дараа эдгээр үйлдлүүдийн хүчийг илтгэх аксиомуудыг нэмэх шаардлагатай болсон нь ичгүүртэй хүндэтгэл юм. Алетодууд ба хувийн бус натурал тоонууд tezh өргөжиж байна.

Хувь хүний бус натурал тоо хэрхэн өргөжиж байгааг бид гайхдаг. Хамгийн энгийн үйл ажиллагаа, учир нь энэ нь эхний нэг нь шаардлагатай байсан - ce dodavannya. Хэрэв бид нэмэлт үйл ажиллагаа томилохыг хүсч байвал түүнд буцаах шийдвэр гаргах шаардлагатай. Үнэн хэрэгтээ, бидний мэдэж байгаагаар үр дүнд нь юу нэмэгдэх вэ, жишээлбэл, 5 ба 2, дараа нь бид төрлийн дарааллыг нэмэхэд буруутай: 4-д юу нэмэх хэрэгтэй, 11. vimagatimut vminnya viroblyat авах. би zvorotnu diyu - vіdnіmannya. Ale, yakscho dodavannya байгалийн тоо дахин өгдөг натурал тоо, дараа нь натурал тоонуудыг харвал N-д тохирохгүй үр дүн гарна. Бидэнд илүү олон тоо хэрэгтэй. -ийн мэдрэмжтэй алсын хараатай зүйрлэснээр илүү их тообага boulo vidnіmannya z бага их дүрмийг нэвтрүүлсэн - тэгэхээр сөрөг тооны тоо гарч ирэв.

Байгалийн цувааг + і - mi үйлдлээр нөхөж, бид хувийн бус бүхэл тоонд хүрдэг.

Z=N+үйлдэл(+-)

Рационал тооны систем yak mov арифметик

Одоо үүнийг нугалах диу - олон тооны хувьд авч үзье. Үнэн хэрэгтээ энэ нь багатаразын нэмэлт юм. I нэмэлт бүхэл тоог бүхэл тоогоор дүүргэнэ.

Ale, олон руу урвуу үйл ажиллагаа - tse podіl. Гэхдээ энэ нь үргэлж сайн үр дүнг өгөхөөс хол байдаг. Дахин хэлэхэд бид хоёрдмол бэрхшээлтэй тулгараад байна - эс тэгвээс үр дүнг "ойлгох" боломжгүй юм шиг хүлээж авах эсвэл шинэ төрлийн тоог таах уу. Тиймээс тэд оновчтой тоог буруутгав.

Бүхэл тоонуудын системийг авч, үржүүлэх үйл ажиллагаа ба ёроолыг тодорхойлох аксиомоор нэмэгдүүлье. Бид рационал тооны системийг устгадаг.

Q=Z+үйлдэл(*/)

Аав аа, рационал тооны хэл нь танд ажиллах боломжийг олгодог бүх арифметик үйлдлүүдтооноос хэтэрсэн. Натурал тооны хэл нь хангалтгүй байсан.

Рационал тооны системийг аксиомат байдлаар танилцуулъя.

Уулзалт. Хувь хүний бус Q-г хувь хүний бус оновчтой тоо гэж нэрлэдэг, элементүүдийн нэгэн адил - рационал тоонууд, оюун ухааны дэвшилтэт цогцолбор, гарчиг нь оновчтой тооны аксиоматик гэж нэрлэгддэг:

Эвхэх үйлдлийн аксиомууд. Захиалгат бооцооны хувьд x,yэлементүүд Q deyaky элемент x+yÎQ, нийлбэрээр зэрэглэл Xі цагт. Та ялахдаа ингэж бодоорой.

1. (Иснування тэг) Iznuє элемент 0 (тэг) ямар ч XОК

X+0=0+X=X.

2. Аливаа элементийн хувьд X Q Q үндсэн элемент - XО Q (эсрэг X) ийм байна

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Коммутатив) Ямар ч байсан x,yО Q

4. (Холбоо) Дурын x, y, z Q-ийн хувьд

x + (y + z) = (x + y) + z

Үржүүлэх үйлдлийн аксиомууд.

Захиалгат бооцооны хувьд x, yБодит элементэд оноогдсон Q-ийн элементүүд хуÎ Q, бүтээлийн гарчиг Xі y.Та ялахдаа ингэж бодоорой.

5. (Isnuvannya нэг элемент) Iznuє элемент 1 Q ийм ямар ч байсан XО Q

X . 1 = 1. x = x

6. Аливаа элементийн хувьд X Q Q, ( X≠ 0) үндсэн элемент X-1 ≠0 ийм байна

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Холбоо) Байх зүйлсийн хувьд x, y, zО Q

X . (цагт . z) = (x . у) . z

8. (Коммутатив) Ямар ч байсан x, yО Q

Axiom zv'azku нугалж, үржүүлсэн.

9. (Түгээх) Ямар ч байсан x, y, zО Q

(x+y) . z=x . z+y . z

Аксиомууд эмх цэгцтэй байна.

Хоёр элемент шиг бай x, y, Q Q ≤ мөрийн төгсгөлөөс эхэлнэ. Та ялахдаа ингэж бодоорой.

10. (X≤цагт)L ( цагт≤x) ó x=y

11. (X≤у)Л ( y≤ z) => x≤z

12. Бе-якахын төлөө x, yО Q эсвэл x< у, либо у < x .

Тохиргоо< называется строгим неравенством,

Харьцаа = Q элементийн тэгш байдал гэж нэрлэдэг.

Axiom zv'yazku dodavannya тэр тушаал.

13. Дурын x, y, z нQ, (x £ y) z x+z £ y+z-ийн хувьд

Аксиом zv'yazku mnozhennya тэр тушаал.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) z (0 £ x´y)

Архимедийн мөнхийн аксиом.

15. a > b > 0 байхын тулд бид m N ба n Q байх тул m³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Тиймээс рационал тооны систем нь Земийн арифметик юм.

Prote, практик тоолох даалгаврын орой дээр, кино хангалттай биш юм.

Математик дахь аксиоматик арга.

Байгалийн цувааны аксиоматик онолын үндсэн ойлголт, ойлголт. Натурал тоог томилох.

Натурал тооны нэмэх.

Натурал тооны өсөлт.

Натурал тооны үржүүлэгчийн хүч

Vіdnіmannya raspodіl натурал тоо.

Математик дахь аксиоматик арга

Аксиоматик өдөөлтөөр зарим төрлийн математикийн онолыг нэмж өгдөг дүрмийг дуулах:

1. Deyakі шиг онолыг vibirayutsya ойлгох хошуучтүүнийг ямар ч зөвшөөрөлгүйгээр хүлээж авсан.

2. Томъёолсон аксиомууд, эдгээр онолууд нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн, голыг нь ойлгох чадалтай.

3. Арьс нь онолыг ойлгодог тул гол зүйлүүдийн жагсаалтад өшөө авахгүйн тулд үүнийг өгдөг. уулзалт, шинэ нэг нь, Энэ нь гол хүмүүсийн тусламж, энэ ойлголтын урд нь yogo zmist тайлбарласан байна.

4. Аксиомуудын жагсаалтад үл тоомсорлож болохгүй онолын арьсан саналыг ил гаргаж болно. Ийм саналуудыг нэрлэдэг теоремуудмөн тэдгээрийг дахин боловсруулах ёстой аксиом, теоремын үндсэн дээр авчрах.

Аксиомын систем нь дараахь байж болно.

а) хайхрамжгүй:бид buti vpevnenі буруутай, scho, roblyachi raznі vysnovki Z өгөгдсөн аксиомын систем, superechnosti ирж биш;

б) бие даасан: аксиомуудын аль нь ч системийн бусад аксиомуудыг дагаж мөрдөхгүй.

онд) дахин, энэ хүрээнд ч гэсэн його жагсаасан пүүсийн чи авчрах боломжтой.

Онолын аксиоматик сэдлийн анхны нотолгоог Евклидийн Його "Кобс" (3-р зууны д.) дахь геометрийн номонд авч үзэх ёстой. Геометр, алгебрийг өдөөсөн аксиоматик аргыг хөгжүүлэхэд ихээхэн хувь нэмэр оруулсан Н.И. Лобачевский, Э.Галуа нар. Жишээлбэл, 19 ст. Италийн математикч Пеано арифметикийн аксиомын системийг эвдсэн.

Натурал тооны аксиоматик онолын үндсэн ойлголт, ойлголт. Натурал тоог томилох.

Deakіy олон талт дахь үндсэн (чухал бус) ойлголтын хувьд Н сонгох хаалт , мөн navіt vikoristovuyutsya онолын-олон ойлголт, і логикийн дүрмийг navіt.

Элементийг тасалдалгүйгээр дагадаг элемент а,илэрхийлнэ а".

"Зуучлагчгүйгээр" удахгүй болох аксиомуудад сэтгэл хангалуун байгаа бололтой:

Пеано аксиомууд:

Аксиом 1. Нүүр царайгүй хүмүүс дээр Н іsnuє элемент, дундгүй доромжилсон бишямар ч элементийн үржүүлэгч байхгүй. Иог гэж нэрлэе ганцаардалбэлгэддэг 1 .

Аксиом 2. Арьсны элементийн хувьд а h Н үндсэн нэг элемент а" , төлөө цуцалтгүй урагшилж байна а .

Аксиом 3. Арьсны элементийн хувьд а h Ніsnuє нэгээс илүүгүй элемент бөгөөд үүний төлөө зуучлагчгүйгээр дагаж мөрддөг а .

Аксиом 4.Үржүүлэгч шиг бай М нүүр царайгүй Н spіvpadє z Н , yakscho maє хүч: 1) 1 өшөө авах М ; 2) юунаас а өшөө авах М , дараа нь, би юу а" өшөө авах М.

Цаг 1. Безлич Н , хаалт суурилуулсан элементүүдийн хувьд "Шууд дагаж яв 1-4-р аксиомуудыг хангасан "гэж нэрлэдэг bezlіchchu натурал тоо, болон йогийн элементүүд - натурал тоонууд.

Энэ томилогдсон хүн үржүүлэгчийн элементүүдийн мөн чанарын талаар юу ч хэлэхгүй Н . Тиймээс, та тэнд байж болно. Вибираючи царайгүй хүн шиг Н Өдөр бол 1-4-р аксиомуудыг хангасан "зуучлагчгүйгээр" тодорхой лавлагаа өгсөн тодорхой үржүүлэгч юм. энэ системийн загвар аксиомууд.

Пеаногийн аксиомын системийн стандарт загвар нь залгамжлалын түүхэн хөгжлийн үйл явцын үндэс болсон тооны цуваа: 1,2,3,4,... Байгалийн цуваа 1-ээс эхэлдэг (аксиом). 1); арьсны натурал тооны дараа шууд нэг натурал тоо гарч ирнэ (аксиом 2); арьсны натурал тоо нь нэгээс илүүгүй натурал тоог дагаж мөрддөг (аксиом 3); 1-ээс эхлэн натурал тоонууд ар араасаа урагшлахын тулд бид бүх тооны үржүүлэгчийг авдаг (аксиом 4).

Otzhe, бид үндсэн сонголттой натурал тооны аксиоматик побудовын системийг боловсруулсан vodnosiny "зуучлагчгүйгээр"Тэр аксиом, хүч чадлын йогийн зарим тайлбарт. Побудовын натурал тоонуудын хүч, тэдгээрээс үйлдлүүдийг шилжүүлэх тухай онолын талаар бага зэрэг ярина. өмхий үнэр нь томилогдсон болон теорем, tobto үед rozkritі байж болно. "дунд бодолгүйгээр"-ийн танилцуулгын өдөр тутмын логик зам, аксиом 1-4.

Натурал тоог тэмдэглэсний дараа бидний ойлгох ёстой хамгийн эхний зүйл бол хаалт "нэн даруй урагшлах" , сарлагийн саваг ихэвчлэн байгалийн цувралын хүчийг үзэхийн тулд нэг цагийн турш vikoristovuyut.

Уулзалт 2.Натурал тоо гэж юу вэ б зуучлагчгүйгээр дагаж мөрдөхнатурал тоо а, тэр тоо а дуудсан шууд урагшаа(өөрөөр бол урд) тоо b .

Vіdnoshennia "pereduє" maє эрх баригчдын дэргэд.

Теорем 1. Нэгдэлтэй натурал тоо байхгүй.

Теорем 2. Арьс бол натурал тоо юм а, Vіdmіnne vіd 1, maє нэг урагшлах дугаар б,Тэгээд юу гэж б"= а.

Натурал тооны онолын аксиоматик үндэслэл нь дунд болон дунд сургуульд байдаггүй. Prote dominion vіdnosinі "зуучлагч дагахгүйгээр", энэ нь Peano-ийн аксиомууд шиг, є математикийн cob курсын судлах сэдэв. Нэгдүгээр ангид аль хэдийн эхний арвын тоог харахад нэг цаг болж байна, та арьсны дугаар авах боломжтой нь тодорхой байна. Хэнд "гулссан" ба "өмнө" гэсэн үгсийг ойлгодог. Арьс нь байгалийн цуврал тоонуудын эрчилсэн эргэлтийн үргэлжлэл болох шинэ тоо юм. Циом дээр дахин бодож сур, арьсны дугаартай scho, энэ нь ижил бөгөөд нэгээс олон тооны байгалийн цуваа нь шавхагдашгүй юм.

Натурал тооны нэмэх

Натурал тоонуудын нэмэгдлийг тодорхойлох аксиоматик онолыг өдөөх дүрмийг хэрэгжүүлэхийн тулд, далд тоонуудыг хэрэгжүүлэх шаардлагатай. "нэн даруй дагах", Би ойлгож байна "натурал тоо"і "өмнөх дугаар".

Viperedimo vyznachennya mirkuvannyami урагшлах замаар атираат. Ямар ч натурал тоо руу яаж а 1-ийг нэмээд дараа нь тоог авна a",зогсолтгүй урагшилж байна а, дараа нь. а+ 1= a"Тэгээд бид дурын натурал тоонд 1-ийг нэмэх дүрмийг баримтална. Сарлаг сарлагийн саваг нэмнэ анатурал тоо б, vіdmіnne vіd 1? Бид ирж буй баримтыг хурдасгаж байна: хэрэв бид 2 + 3 = 5 гэж үзвэл нийлбэр нь зуучлагчгүйгээр 5-ын тоог дагаж 2 + 4 = 6 байна. Энэ дарааллаар 2 + 4 = 2 + 3 байна. " =(2+3)". Халуунд магадгүй юм шиг харагдаж байна, .

Энэ баримт нь аксиоматик онолд натурал тоог тодорхойлох үндэс суурь юм.

Цаг 3. Натурал тоог нэмэхалгебрийн үйлдэл гэж нэрлэгддэг бөгөөд энэ нь хүчирхэг байж болно:

Тоо a + b дуудсан тоонуудын нийлбэр аі б , мөн тоонууд өөрсдөө аі б - доданки.

ОМСК УЛСЫН БАГШИЙН ИХ СУРГУУЛЬ
Г.ТАРИЙН дэргэдэх ОМДН-ын САЛБАР
LBC нь редакцийн болон хэвлэлийн шийдвэрийн төлөө ажиллаж байна
Тари метроны ойролцоо ОМДПУ-ын 22 73-р салбар
Ch67

Багшийн их дээд сургуулийн оюутнуудад "Алгебр ба тооны онол" хичээл заадаг тул зөвлөмжийг хүлээн зөвшөөрдөг. Энэхүү хичээлийн хүрээнд 6-р семестрт "Системийн тоо" гэсэн хэсгийг боловсруулдаг. Эдгээр зөвлөмжүүдэд натурал тооны систем (Пеано аксиомын систем), бүхэл тоо, рационал тоонуудын системүүдийн аксиоматик үндэслэлийн талаархи материалыг багтаасан болно. Tsya аксиоматик нь сургуулийн математикийн хичээлийг ойлгох гол тоонуудын нэг болох ийм тоо гэж юу болохыг илүү сайн ойлгох боломжийг олгодог. Материалыг хамгийн богино хугацаанд шингээхийн тулд холбогдох сэдвүүдийг танилцуулахыг санал болгож байна. Тухайлбал, зөвлөмж, зөвлөмж, мэдэгдэл, даалгавар.

Шүүмжлэгч: Ph.D, проф. Далингер В.А.

Найздаа гарын үсэг зурсан - 22.10.98

Сонины цаас
100 хувь.
Бие биедээ үйл ажиллагааны арга
OmDPU, 644099, Омск, наб. Тухачевский, 14 настай
Филия, 644500, Тара, гудамж. Шкилна, 69 настай

1. БАЙГАЛИЙН ТООН.

Натурал тоон системийн аксиоматик үндэслэлээр үржүүлэгч, хөх, функцууд болон бусад олон онолын ойлголтуудын талаархи ойлголтыг харгалзан үзэх нь чухал юм.

1.1 Пеаногийн аксиомын систем ба хамгийн энгийн дүгнэлтүүд.

Пеаногийн аксиоматик онол дахь нийтлэг ойлголт бол бие хүн бус N (энэ нь натурал тооны үл тоомсорлолт гэж нэрлэгддэг), ялангуяа тэг тоо (0) нь N хүртэлх шинэ ба хоёртын хамаарлаас "дагадаг" бөгөөд үүнийг S-ээр тэмдэглэдэг. a) (эсвэл a ().
АКСИОМ:
1. ((a(N) a"(0 (Энэ нь натурал тоо 0 бөгөөд ямар ч тоог дагаж мөрддөггүй.))
2. a=b (a"=b"
3. a "=b" (a=b (Арьсны натурал тоо нь нэгээс олон тооны дараа ордог.)
4. (индукцийн аксиом) Үржүүлэгчийн хувьд M(N ба M хоёр оюун ухааныг хангадаг:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a)(M, тэгвэл M=N).
Функциональ нэр томъёонд ze гэдэг нь S:N®N идэвхгүй гэсэн үг. 1-р аксиомуудаас харахад S:N®N исгэх нь идэвхтэй биш юм. Аксиом 4 нь "математик индукцийн аргаар" шаргуу хөдөлмөрийг батлах үндэс суурь юм.
Зуучлагчгүйгээр аксиомын төлөө хашгирч буй натурал тоонуудын хүч ихээхэн нөлөөлдөг.
Хүч 1. Арьс нь натурал тоо a(0 нэг ба нэгээс олон тооны дараах.
авчирч байна. Анхааралтай нь, M үл тоомсорлон натурал тоонууд, тэг гэсэн утгатай бөгөөд ямар ч тоог дагаж байгаа бүх натурал тоонууд. M=N гэдгийг харуулахад хангалттай, нэгдэл 3-р аксиомуудаас тодорхой байна.4-ийн индукцийн аксиомыг баталъя:
A) 0(M - шуурхай үржүүлэгчээр M;
B) бүр a(M, тэдгээр a"(M, илүү a"-ыг дагадаг.
4 M=N аксиомуудын дундаж.
Хүч 2. a (b, дараа нь "(b") шиг.
Хүчийг "хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй зүйлээс" аргаар авчирдаг, використ аксиом 3. Үүний нэгэн адил ийм хүчийг 3, використ аксиом 2 авчирдаг.
Хүч 3. "(b", дараа нь a (b.)" шиг.
Хүч 4. ((a(N)a(a". (Үүнийг дагаж натурал тоо байхгүй).)
авчирч байна. Умовын ийм зэрэглэлд M=(x(x(N, x(x))). ) A) аксиоми 4 0(M - ялна. Хэрвээ x(M, тэгвэл x(x") бол 2 x" ((x")", ба tse нь ялна гэсэн үг ба Umov B) x ( M ® x"(М. Alethodically 4 аксиомыг дагадаг M=N."
(- натурал тоонуудын чадлын зөрүү. А тоо нь чадалтай гэдгийг ((а)) бичээрэй.
Даалгавар 1.1.1. Хувь хүний бус натурал тоонуудын тэмдэглэгээний 4-р аксиом нь ямар ч эрх мэдлийн хувьд (((0) i гэх мэт) довтолгооны хатуулагтай илүү ойр байгааг хэлье.
Даалгавар 1.1.2. Нэгдмэл үйлдлийг (: a(=c, b(=c, c(=a)) триэлементийн үржүүлэгч A=(a,b,c) дээр ингэж тодорхойлно.)
Даалгавар 1.1.3. A \u003d (a) - нэг элементийн үржүүлэгч, а (= a) А үржүүлэгч дээрх Пеаногийн үнэний аксиомуудтай Яки (?) үйлдэлтэй байг.
Даалгавар 1.1.4. N-ийн үржвэр дээр мэдэгдэхүйц нэгдмэл үйлдэл нь хэн ч хамаагүй чухал юм. Үйлдлээр томъёолсон Пеаногийн аксиомууд юу үнэн болохыг тайлбарла.
Даалгавар 1.1.5. Аливээ. (.) А үржүүлэгч дээрх Пианогийн аксиомуудын үнэнийг (.) үйлдлээр урвуулан A үйлдлийг ашиглан А хаалттай болохыг батал.
Даалгавар 1.1.6. Аливээ, . Гэсэн хэдий ч, А дээр нэгдмэл үйлдэл юм. Үйлдлийн үржүүлэгч А дээр Пеаногийн аксиомууд хэрхэн үнэн бэ?

1.2. Пеаногийн аксиомын системийн хэт сонгомол бус байдал, категориал байдал.

Аксиомын системийг супер биш гэж нэрлэдэг, учир нь її аксиомын хувьд Т ба хөндлөн теоремыг авчрах боломжгүй (Т. Аксиомын хэт үр ашигтай систем нь математикт ижил утгатай байж чадахгүй гэдгийг ойлгосон. Онол нь бүх зүйлийг авчрах боломжтой Тиймээс аксиомын системийн гайхалтай дутагдал нь туйлын чухал юм.
Якшчо Аксіоматик онолд теоремыг урсгалгүй t і ї ї ї ї ї ї ї ї, aksi систем нь хэт их ачаалалтай биш гэсэн vг биш, харин илт давхцах онол S-д аксиомын системийг тайлбарлах явдал юм. аксиомын систем өөрөө тэгш бус байдаг.
Peano-ийн аксиомын системийн хувьд янз бүрийн баялаг тайлбарыг хийж болно. Ялангуяа олон талт байдлын онолын тайлбараар баялаг. Ийм тайлбаруудын нэг нь чухал юм. Натурал тоогоор бид үржвэрийг авч болно (, ((), ((())), (((())),..., бид тэгийг тоогоор ялгах болно (. (M), цорын ганц элемент). ийм болон ийм M. Энэ дарааллаар ("=((), (()"=((()) гэх мэт)) нь жижиг: энэ нь Пеаногийн аксиомын систем нь үржвэрийн онол ч байдгийг харуулж байна. нь давуу биш боловч үржвэрийн онолын аксиомын системийн хэт бус байдлын баталгаа нь бүр ч чухал юм.
Энэ системийн арьсан аксиомыг бусад аксиомын үндсэн дээр теорем болгон батлах боломжгүй тул давуу бус аксиомын системийг бие даасан гэж нэрлэдэг. Энэ аксиомыг тодруулахын тулд
(1, (2, ..., (n, ((1)))
аксиомын систем давшгүй гэдгийг батлахад хангалттай
(1, (2, ..., (n, (((2)))
Үнэн, Якби (энэ нь (1) системийн бусад аксиомуудаас ялгаатай байж болох байсан), дараа нь систем (2) нь маш ухаалаг байсан, түүний хэлтэрхий нь теоремын (мөн аксиом ((.)) үнэн байх болно).
Мөн аксиомуудын бие даасан байдлыг бий болгохын тулд (1) системийн бусад аксиомуудаас (2) аксиомуудын системийн тайлбарыг дэмжихэд хангалттай.
Аксиомын системийн бие даасан байдал нь агуу neobov'yazkova юм. Заримдаа бид "чухал" теоремуудыг батлахаас зайлсхийхийн тулд аксиомын ертөнцийн дээд (орд) системийг бий болгодог. Гэсэн хэдий ч "зайв" аксиомууд нь аксиомуудын онолын үүрэг, мөн онолын янз бүрийн хуваагдлын дотоод логик холбоосыг харахад хялбар болгодог. Нэмж дурдахад, аксиомын уринш системд зориулсан pobudova іnterpretatsіy нь ихээхэн нугалж, бие даасан хүмүүсийн хувьд бага байдаг; "zayvih" аксиомуудын үнэн зөвийг дахин авч үзэх шаардлагатай байсан ч гэсэн. Эрт дээр үеийн аксиомуудын дунд уриншны тэжээлийн шалтгаануудын дунд хамгийн түрүүнд ач холбогдол өгсөн. Евклидийн аксиоматикийн 5-р постулатыг "Шулуун шугамтай параллель А цэгээр дайран өнгөрдөг нэгээс илүүгүй шулуун" (", є теоремоор (бусад аксиомуудад хэвтэх)) гэдгийг цаг хугацаагаа ойртуулж үзээрэй. Лобачевскийн геометрийн дүгнэлтэд хүргэсэн).
Өгөгдсөн онолын А саналыг нэг бол авчирч, эсвэл тунхаглаж болно, дараа нь А, эсвэл (А нь өгөгдсөн онолын теорем юм. аксиомыг дедуктив povnota гэж нэрлэдэг) гэсэн үгийн бус системийг дедуктив шинэ гэж нэрлэдэг. tezh үгүй биш obov'yazkova vimoga, жишээ нь, бүлгүүдийн онолын аксиомын систем, нутаг дэвсгэрийн онол, усалгааны онол - үнэн биш, хэлтэрхий дээр үндэслэсэн ба kіntsevі болон neskіnchennі бүлгүүд, kіltsya, талбарууд, дараа нь эдгээр та асууж чадахгүй онолууд, та санал авчрах боломжгүй.: "Бүлэг (kіltse, талбар) kіltse kіlkіst элементүүдийг өшөө авах".
Баялаг аксиоматик онолуудад (өөрсдөө, албан ёсны бус онолуудад) хувийн бус саналуудыг яг таг авч үзэх боломжгүй бөгөөд ийм онолын аксиомын системийн дедуктив бүрэн байдлыг авчрах боломжгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хоёр дахь өөрчлөлтийг ихэвчлэн категори гэж нэрлэдэг. Аксиомын системийг категори гэж нэрлэдэг тул хоёр тайлбар нь изоморф байж болох тул олон коб объект болон бусад тайлбаруудын хооронд харилцан хоёрдмол утгагүй ялгаа байдаг. Categoricalness - tezh neobov'yazkova оюун ухаан. Жишээлбэл, бүлгийн онолын аксиом систем нь категори биш юм. Учир нь Кинцевийн бүлэг нь арьсгүй изоморф бүлэг байж болохгүй. Гэсэн хэдий ч тоон системийн онолын аксиоматжуулалтын хамт obov'yazkova-ийн категорийн шинж чанар; Жишээлбэл, натурал тоог илэрхийлдэг аксиомын системийн категорич шинж чанар нь изоморфизм хүртэл зөвхөн нэг натурал цуваа байдаг гэсэн үг юм.
Пианогийн аксиомын системийн ангилалыг авч үзье. (N1, s1, 01) ба (N2, s2, 02) нь Пеаногийн аксиомын системийн хоёр тайлбар гэж үзье. Ийм biektivne (харилцан хоёрдмол утгагүй) f: N1®N2 илэрхийллийг зааж өгөх шаардлагатай бөгөөд үүний тулд та дараахь зүйлийг бодож үзэх хэрэгтэй.
a) дурын х N1-ийн хувьд f(s1(x)=s2(f(x));
b) f(01) = 02
Хэрэв s1 ба s2 нэгдмэл үйлдлүүд ижил цохилтоор гэмтсэн бол umova a) дахин бичнэ үү.
a) f(x()=f(x)(.
N1(N2) үржүүлэгч дээр мэдэгдэхүйц
1) 01f02;
2) яаж xfy, x(fy(.
N1-ээс N2-ыг исгэх нь юу болохыг өөрчилье, дараа нь арьсны х s N1
(((y(N2)xfy(1)
Чухал ач холбогдол бүхий M1 хувийн бус элементүүдээр дамжуулан х N1, зарим оюун ухаанд (1) ялалт. Тоди
A) 01 (M1 z 1);
B) x(M1 ® x((2-ын хүчинд М1) ба 1 цэгийн хүч 1).
Иймд 4-р аксиомын дагуу M1=N1 байж болох ба tse i нь N1 N2-ийн f є исгэхийг нэвтрүүлсэн гэсэн үг юм. tsimu z 1) үед f (01) = 02 байх нь тодорхой байна. Umov 2) дараах байдлаар бичигдсэн байна: f(x)=y, дараа нь f(x()=y(. f(x()=f(x)( шиг сонсогдож байна. Мөн f-ийн тусгалын хувьд a гэж бод. )) ба b.
M2-ээр дамжуулан N2-ийн хувийн бус чимээгүй элементүүд, тэдгээрийн аль нэгнийх нь арьс нь N1-ийн зөвхөн нэг элемент хэлбэрээр f гарч ирэхэд.
Shards f(01)=02, дараа нь 02 є. Хэрэв тийм бол x(N2 і x(01), 1 хүчин чадлын хувьд 1 х нь одоогийн элементийг дагаж c z N1 і дараа нь f(x)=f(c()=f(c)((02. Дундаж, 02 f) болно. нэг элементийн зэрэглэл 01, дараа нь 02 (M2.
Үргэлжлүүлээрэй y(M2 і y=f(x), энд x нь y элементийн нэг урьдчилсан зураг. Дараа нь a) y(=f(x)(=f(x()), дараа нь y( є элементийн дүрс x ) (. c нь y(, тэгвэл f(c)=y() элементийн өмнөх зураг байг. Skіlki y((02, тэгвэл c(01 і c) нь урагш элемент, d-ээр дамжуулан утга учиртай.)) Дараа нь y( =f( c)=f(d()=f(d)(, аксиом 3-ын улмаас y=f(d)).M2 ® y.
Грекээс өмнөх бүх математик нь эмпирик шинж чанартай байдаггүй. Онолын бүх элементүүд практик даалгавруудыг боловсруулахад эмпирик хандлагын массад живж байв. Грекчүүд логик шинжилгээний энэхүү эмпирик материалыг өгч, өөр өөр эмпирик өгөгдлүүдийн хоорондын холбоог олохыг хичээсэн. Түүний хувьд геометрийн бүхэл бүтэн мэдрэмж нь Пифагор ба сургууль (МЭ 5-р зуун) асар их үүрэг гүйцэтгэдэг. Аксиоматик аргын санааг Аристотелийн (МЭ 4-р зуун) бүтээлүүдэд тодорхой дурдсан байдаг. Проте, эдгээр санааг практик боловсруулалтыг Евклид "Кобс" йогийн үеэр (МЭ 3 зуун) хийжээ.
Аксиоматик онолын гурван хэлбэрийг нэрлэж болно.
нэг). Змистовна аксиоматик, өнгөрсөн зууны дунд үе хүртэл нэг байсан юм шиг.
2). Napіvformal аксиоматик, өнгөрсөн зууны сүүлийн улиралд scho винил.
3). Хэрэв Д.Хилберт албан ёсны математикийн үндсэн зарчмуудын тухай алдартай хөтөлбөрөө нийтэлсэн бол албан ёсны (эсвэл албан ёсны) аксиоматик, түүний төрсөн он сар өдрийг 1904 он гэж үзэж болно.
Арьсны шинэ хэлбэр нь урд хэсэгт нь бөглөрдөггүй, харин хөгжүүлэлт, тодруулга хийснээр арьсны шинэ хэлбэр, урд талын доод хэсэгт ижил төстэй байдаг.
Змистовна аксиоматик нь аксиомыг томъёолохоос өмнө зөн совингоор тодорхой ойлгогдох боломжтой байдгаараа онцлог юм. Тиймээс, Евклидийн "Кобс"-д, ойлголтын цэгийн дор, эдгээр ойлголтуудын дор зөн совингоор өөрийгөө тодорхойлогч хүмүүс байдаг. Үүний зэрэгцээ, Аристотельтэй илүү төстэй агуу хэл, агуу зөн совингийн логик байдаг.
Албан ёсны аксиоматик онолууд нь хүчтэй хэллэг, зөн совингийн логиктой байдаг. Гэсэн хэдий ч анхны ойлгогчид ижил зөн совингийн мэдрэмжид тулгуурладаггүй, зөвхөн аксиомоор тодорхойлогддог. Тим өөрөө хатуу ширүүн байдлыг хөдөлгөж, дуулах ертөнцтэй зөн совингийн хэлтэрхий хатуу ширүүнийг ялан дийлдэг. Нэмж дурдахад нойрмог байдал нэмэгдэж байна, учир нь ийм онолыг авчирсан арьсны теорем нь аливаа тайлбарт шударга байх болно. Албан ёсны аксиоматик онол хэлбэрээр тодорхой харагдаж байна - "Геометрийг төсөөлөх" (1899) номонд орсон Гильбертийн онол. nap_vformalnyh онолуудын өгзөг нь мөн алгебрийн хичээлд танилцуулсан килетийн онол болон бусад онолууд юм.
Албан ёсны онолын гол зүйл бол математик логикийн явцад боловсруулсан үгсийн тоог тооцоолох явдал юм. vіdmіnu vіd zmіstovnoї болон napіvformalії аксиоматик дээр онолыг албан ёсны болгох ялалт ялангуяа бэлгэдлийн mova. Онолын цагаан толгойн үсгийг өөртөө хуваарилдаг бөгөөд энэ нь эх хэл дээрх үсэгтэй ижил үүрэг гүйцэтгэдэг хувийн бус тэмдэгтүүдийн нэгдэл юм. Энэ нь тэмдэгтүүдийн kіntseva дараалал нь viraz эсвэл үг гэж нэрлэдэг байх. Вирусын дунд томъёоны ангилал байдаг бөгөөд арьсны вирусыг таних боломжийг олгодог яг тодорхой шалгуурыг томъёогоор зааж өгдөг. Томъёо нь агуу хэлний яриатай ижил үүрэг гүйцэтгэдэг. Deyakі томъёонууд аксиомуудыг голошуйцууд. Үүнээс гадна, алсын хараатай логик дүрмийг тогтоодог; Ийм дүрэм нь нийт томъёоны явцад бүхэл бүтэн томъёо нь дундгүй байна гэсэн үг юм. Теоремын баталгаа нь өөрөө томьёоны ланцын төгсгөл, бусад томьёо нь теорем, арьсны томьёо нь аксиом, эсвэл теоремыг өмнө нь авчирсан, эс бөгөөс энэ нь урагшаа дундаас гарч дуулдаг. ажиглалтын дүрэм журмын аль нэг дээр ланцын томъёо. Энэ зэрэглэлд бид нотлох баримтын хүчинтэй байдлын талаархи нотлох баримтын төлөө зогсох ёсгүй: өөрөөр хэлбэл Данийн лансиугє нотолгоо, эсвэл є, эцсийн нотлох баримт алга. Цимтэй холбохдоо праймерын онцгой нарийн зарчимд дасахын тулд аксиоматикийг албан ёсны болгодог. математикийн онолууд, илэрхий зөн совингийн логик нь манай их хөдөлгөөний алдаа, тодорхой бус байдлаар дамжуулан гол зэрэглэл нь өршөөлийн хүргэж болох юм бол.
Тиймээс арьсны вирусын тухай онолыг албан ёсны болгохын нэгэн адил үүнийг томъёо гэж хэлж болно, тэгвэл албан ёсны онолын хувийн бус саналуудыг харгалзан үзэж болно. Үүнтэй холбогдуулан дедуктив шалтгааныг нотлох, түүнчлэн өнгөц бус байдлын нотлох баримтыг тайлбарлахгүйгээр зарчмын хувьд задлах боломжтой. Хэд хэдэн энгийн арга замаар та ялгааг харж болно. Жишээлбэл, тооцооллын өнгөц байдал байхгүй байгаа нь тайлбаргүйгээр хийгддэг.
Албан ёсны бус онолуудад хувь хүний бус саналууд тодорхой тодорхойлогдоогүй тул өнгөц бус байдлыг нотлох шалтгааныг тайлбарлахгүйгээр тэнэг байдлаар тавьдаг. Дедуктив povnoti нотлох баримтын тухай тэдгээр ижил үнэ цэнэ, хоол хүнс. Гэсэн хэдий ч албан бус онолын ийм санал сонсогдож байсан тул үүнийг авчрах эсвэл асуух боломжгүй тул онол нь дедуктив байдлаар алдаатай болох нь ойлгомжтой.
Аксиоматик арга нь зөвхөн математикт төдийгүй физикт эрт дээр үеэс бий болсон. Эхлээд шууд туршаад үзээрэй, Аристотель үүнийг хийх гэж оролдсон боловч Ньютоны роботуудыг механикаас хасаж физикийн өөрийн аксиоматик аргыг зассан.
Шинжлэх ухааныг математикжуулах үймээн самуунтай холбоотой аксиоматжуулалтын үйл явц бас байдаг. Аксиоматик аргуудын аль нь ч биологийн янз бүрийн салбаруудад, жишээлбэл, генетикт байдаггүй.
Аксиоматик аргын боломжууд хязгааргүй биш юм.
Зөн совингоо үл тоомсорлохгүйгээр онолыг албан ёсны болгох талаар мартаж болохгүй. Онол нь өөрөө хүссэн утгыг ямар ч тайлбаргүйгээр албан ёсны болгодог. Үүний буруутан нь албан ёсны онол ба тайлбарын хоорондын холбоонд бага байдаг. Нэмж дурдахад, онолыг албан ёсны болгохын нэгэн адил аксиомын тогтолцооны дээд бус байдал, бие даасан байдал, бүрэн байдлын тухай асуудал гарч ирдэг. Ийм бүх хоолны нийлбэр нь албан ёсны онолын мета онол гэж нэрлэгддэг өөр онолын мөн чанар болдог. Албан ёсны онолын үндсэн дээр хэлний мета онол нь өдөр тутмын хамгийн чухал хэл бөгөөд логик толин тусгал нь байгалийн зөн совингийн логик дүрмээр явагддаг. Ийм маягаар дахин албан ёсны онолоос авсан зөн совин нь мета онолд дахин гарч ирдэг.
Гэхдээ аксиоматик аргын гол сул тал нь tsoma-д биш юм. Албан ёсны аксиоматик аргын үндэс суурийг тавьсан учраас өмнө нь Д.Хилбертийн хөтөлбөрийн талаар аль хэдийн бодож байсан. Гилбертийн гол санаа бол сонгодог математикийг албан ёсны аксиоматик онол болгож, дээд зэргийн бус байдлыг бий болгох явдал юм. Гэсэн хэдий ч хөтөлбөр нь үндсэн зүйлээрээ утопи юм шиг харагдаж байв. 1931 онд Австрийн нэрт математикч К.Годель өөрийн алдартай теоремоо боловсруулсан нь Гильбертийн тавьсан гол даалгаврыг зөрчих нь хэвлэгдээгүй гэдгийг тодорхой харуулсан. Ёму өөрийн кодлох аргын тусламжтайгаар албан ёсны арифметикийн томьёог сурч, эдгээр томьёо нь арифметикийг албан ёсны болгоход харагдахгүй гэсэн мета онолын тусламжийг авчирсан. Ийм байдлаар албан ёсны арифметик нь дедуктив байдлаар алдаатай харагдаж байв. Годелийн үр дүнгээс харахад нотлогдох боломжгүй томьёог аксиомуудын тоонд оруулсан ч ижил зөв саналыг илэрхийлдэг өөр нэг нотлогдоогүй томьёо байдаг нь илт байв. Энэ бүхэн нь зөвхөн бүх математикийг төдийгүй арифметик сурахын тулд хамгийн энгийн хэсэг нь үүнийг албан ёсны болгох боломжгүй гэсэн үг юм. Зокрема, Годел "Албан ёсны арифметик бол супер биш" гэсэн санааг батлах томьёог санаачилж, томьёог бас харуулах боломжгүйг харуулсан. Энэ баримт нь албан ёсны арифметикийн төгс бус байдлыг арифметикийн дунд хүртэл авчрах боломжгүй гэсэн үг юм. Зrozumіlo, та албан ёсны арифметикийн давуу бус байдлыг авчрах замаар хүчтэй албан ёсны онол, їїг дэмжиж, үүний зэрэгцээ шинэ онолын давуу бус байдлыг буруутгаж чадна.
Годелийн үр дүн аксиоматик аргын үнэн зөвийг харуулж байна. Тэгээд, илүү чухал нь, үнэнийг мэдэхгүй хүн мэдлэг онолд гутранги visnovkіv төлөө podstav, - үгүй. Арифметикийг албан ёсны болгох боломжгүй арифметик үнэнүүд тогтоогдсон нь үнэнийг мэдэхгүйн илрэл гэсэн үг биш бөгөөд хүний сэтгэлгээний бүрхэг байдлыг илэрхийлдэггүй. Вин нь зөвхөн бидний оюун санааны боломжуудыг журам болгон бууруулж болохгүй, тэдгээр нь илүү албан ёсны байх болно, мөн хүмүүс нотлох шинэ зарчмуудыг туршиж, хайж олох хэрэгтэй гэсэн үг юм.

1.3.Натурал тоог хадгалах

Пианогийн тэнхлэгийн системээр натурал тоог нугалах, үржүүлэх үйлдлүүд нь үйлдлүүдийн оронд тавигдаагүй болно.
Уулзалт. Натурал тоонуудыг нэмэхийг үржүүлэгч N дээр хоёртын алгебрийн үйлдэл + гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь хүчирхэг байж болно:
1сек. ((a(N)a+0=a);
2c. ((a, b (N) a + b (= (a + b)).
Хоол тэжээлийг буруутгах - ийм мэс засал гэж юу вэ, гэхдээ хэрэв тийм бол энэ нь юу вэ?
Теорем. Натурал тоог нэмэх шаардлагатай бөгөөд зөвхөн нэг юм.
авчирч байна. N үржвэр дээр алгебрийн хоёртын үйлдэл нь исгэх (:N(N®N. Зөвхөн нэг исгэхийг авчрах шаардлагатай (:N(N®N хүч: 1)) ((x(N)) ((x,0)= x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y))). 0) )=x; ).
N үржүүлэгч дээр чухал ач холбогдолтой, хоёртын илэрхийлэл fx оюун ухаанаар:
a) 0fxx;
б) яаж yfxz, y(fxz(.
Өөрчлөе, N-ээс N-д ямар хэрэгтэй вэ, дараа нь арьсанд y z N
(((z(N) yfxz (1)
М-ээр дамжуулан оюун ухаан (1) ялах натурал тоо y-ийн үржүүлэгч нь чухал юм. Тиймээс a) vyplyaє, scho 0 (M, a z um b) болон эрчим хүч 1 p., fx нь N-ээс N-ийн исгэх гэсэн үг юм. Аль исгэхийн тулд гэж бодоорой:
1() fx(0)=x - s a);
2() fx((y)=fx(y() - b-ээр).
Тим өөрөө нугалах үндэслэлийг авчирсан.
Бид эв нэгдлийг авчирдаг. + i (- 1c ба 2c зэрэгтэй N олонлог дээр алгебрийн хоёртын хоёр үйлдэлтэй адил байя. Үүнийг авчрах шаардлагатай.
((x, y(N) x + y = x(y))
Энэ нь хангалттай тогтсон байна x i тоо S-ээр дамжуулан чухал ач холбогдолтой y хувь хүний бус натурал тоо y, түүний хувьд тэнцвэрт байдал
x+y=x(y (2)
ялна. Skіlki zgіdno 1с x+0=x і x(0=x, тэгвэл
A) 0(S
Одоо y(S, тэгвэл (2) тэгш байдал ялна. Тэгэхээр x+y(=(x+y))(, x(y(=(x(y)))(і x+y=x(y, тэгвэл)) ) аксиом 2 x+y(=x(y(, ингэснээр оюун ухаан ялна)
B) y(S ® y((S.))
Тэгэхлээр теоремын баталгааг гүйцээнэ S=N 4 аксиомоор.
Эрх баригчдыг dodavannya-д аваачъя.
1. 0 тоо нь нэмэхийн саармаг элемент тул арьсны натурал тоо a хувьд a+0=0+a=a байна.
авчирч байна. Тэнцвэртэй байдал a+0=a оюун ухаанаас орилох 1s. Бид 0+a=a тэгш байдлыг авчирдаг.
М үл тоомсорлох тоогоор дамжуулан, энэ нь ялахгүй. Мэдээжийн хэрэг, 0+0=0 ба 0(M. a(M, дараа нь 0+a=a.) Дараа нь 0+a(=(0+a)(=a(i, aka, a((M) ) ) Otzhe, M=N, яаж, авчрах шаардлагатай байна.
Бидэнд лема өгөөч.
Лемма. a(+b=(a+b)(.
авчирч байна. M нь тэгш байдал нь a(+b=(a+b)(а.-ийн дурын утгын хувьд үнэн) байх бүх натурал b тоонуудын хувийн бус тоо байг:
A) 0(M, хэлтэрхий a(+0=(a+0)(;);
C) b(M ® b((М. Мэдээж b(M ба 2c) боломжтой тул)
a(+b(=(a(+b))(=((a+b)()(=(a+b()(,
тийм б ((М. Mean, M = N, би юу авчрах хэрэгтэй).
2. Натурал тоог нэмэх нь солигддог.
авчирч байна. M=(a(a(N((b(N)a+b=b+a))) M=N гэж хэлээрэй. Магадгүй:
A) 0(M - зардал 1.
C) a(M ® a((M)
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.)).
Дундаж a((4 аксиомоос M, i M=N).
3. Ассоциацаар нэмэх.
авчирч байна. Аливээ
M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)+c=a+(b+c))
M=N гэдгийг авчрах хэрэгтэй. Тэгэхээр (a+b)+0=a+b ба a+(b+0)=a+b, дараа нь 0(М. s(M, дараа нь (a+b)+c=a+(b+c) ) .
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c())).
Дундаж c((4 аксиомоор M i M=N).
4. a+1=a(, de 1=0(.
авчирч байна. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Хэрэв b(0) бол ((a(N)a+b(a)).
авчирч байна. M=(a(a(N(a+b(a)) 0+b=b(0, дараа нь 0(M)). 2 х.1 (a+b)((a(өөрөөр бол a( +b)) (a)) нь a((M і M=N)) гэсэн утгатай.
6. Хэрэв b(0) бол ((a(N)a+b(0))
авчирч байна. Хэрэв a=0 бол 0+b=b(0, хэрэв a(0 і a=c(, тэгвэл a+b=c(+b=(c+b))((0. Тэгэхээр y байх- аль нь) цаг a) + b (0.
7. (Трихотоми нугалах хууль). Аливаа натурал тоонуудын хувьд a ба b гурван зүйрлэлийн зөвхөн нэг нь үнэн байна.
1) a = b;
2) b=a+u de u(0;
3) a=b+v de v(0.
авчирч байна. Бид тодорхой a тоог засдаг бөгөөд энэ нь 1), 2), 3) гэсэн утгын аль нэг нь ялсан бүх натурал тоо b-ийн үржүүлэгч нь M-ээр чухал ач холбогдолтой юм. M=N гэдгийг авчрах хэрэгтэй. b = 0 гэж үзье. Хэрэв a=0 бол 1), хэрэв a(0, ердөө 3) бол a=0+a. Отже, 0(М.
Одоо b(M, тэгэхээр a-ийн урвуу нь 1), 2), 3)-ын эсрэг заалтуудын нэг гэдгийг хүлээн зөвшөөрч байна. Хэрэв a=b бол b(=a(=a+1, тэгвэл b-ийн хувьд (2-ын зөрүүг тооцно).) Хэрэв b=a+u бол b(=a+u(, дараа нь b-ийн хувьд (офсет)) тоологддог) 2 ) Хэрэв a=b+v бол хоёр хазайлт боломжтой: v=1 ба v(1. v=1 бол a=b+v=b" бол b"-ийн хувьд эсрэг харьцаа 1 байна. авсан. ба v(1 , дараа нь v=c", de c(0 ба дараа нь a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, de c(0, тэгэхээр b-ийн хувьд) " Бидэнд эсрэг заалт байна 3). Дараа нь бид b-г авчирсан (M ® b "(M, i, мөн M = N, тиймээс a, b-ийн аль нэгийг нь 1), 2 гийгүүлэгчийн аль нэгийг ашиглахыг хүсч байна), 3). тэдгээрийг нэг дор ялах боломжгүй. spіvvіdnoshennia 2) ба 3), дараа нь жижиг b a = (a + u) + v = a + + (u + v), гэхдээ энэ нь 5 ба 6-ийн хүчээр боломжгүй юм. 7-ын хүчийг ойртуулж байна.
Даалгавар 1.3.1. 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5)(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)) гэж бичье. Надад хэлээрэй 3+5 = 8, 2+4=6.

1.4. БАЙГАЛИЙН ТООНЫ ҮРЖҮҮЛЭХ.

Томилгоо 1. Натурал тоог үржүүлэх нь ийм хоёртын үйлдэл гэж нэрлэгддэг (N үржүүлэгч дээр, үүний төлөө оюун ухаан тооцдог:
1у. ((x(N) x(0=0);
2 жил. ((x, y(N)x(y)=x(y+x).
Би хоол тэжээлийн талаар дахин баталж байна - яагаад ийм мэс засал хийдэг вэ, энэ нь юу вэ, тэгвэл цорын ганц зүйл юу вэ?
Теорем. Натурал тоог үржүүлэх үйлдэл нь зөвхөн нэг юм.
Нотлох баримтыг нэмэлт нотлох баримтын нэгэн адил хийж болно. Ийм илэрхийллийг мэдэх шаардлагатай (:N(N®N), гэх мэт
1) ((x(N)) ((x,0)=0;
2) ((x, y (N) ((x, y")) = ((x, y) + x).
Бид нэлээд x тоог засдаг. Энэ нь арьсны хувьд бас боломжтой x(N іsnuvannya vіrazhennya fx: N®N s эрх мэдэл
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
дараа нь ((x,y)) функц ((x,y)=fx(y)-тэй тэнцүү ба сэтгэлийг хангадаг 1) ба 2).
Дараа нь теоремын баталгаа нь 1") ба 2") зэрэгтэй fx(y) функцийн арьсны x-ийн нэгдмэл байдлын суурийн нотолгоо хүртэл нэмэгддэг. Дараах дүрмийн дагуу N утгын тоог тохируулъя.
a) тэг тоог 0 тоонд тохируулсан;
б) y тоонд c тоо өгөгдсөн тул у тоо (c + x тоо тэнцүү).
Ийм нөхцөлд y арьсны тоо нь нэг зураг байж болохыг дахин бодож үзье: N-ийг N болгон хувиргах боломжтой нь чухал юм. М-ээр дамжуулан бүх натурал тоон y-ийн хувийн бус байдлыг нэг дүрс үүсгэж болох нь чухал юм. Бодоорой a) 1 аксиом зөв, тэгэхээр 0(М. y(М. Б бод) ба аксиом 2 нь N-д байгаа y(((М. Тэгэхээр, M=N, тэгэхээр бидний баталгаа N) нь тодорхой байх нь тодорхой байна. - fx-ийн хувьд, дараа нь a) шалтгаанаар fx(0)=0 ба fx(y()=fx(y)+x - b-ийн шалтгаанаар).
Дараа нь үржүүлэх үйл ажиллагааны шалтгаан нь батлагдсан. Одоо надад (i (- 1y ба 2y зэрэгтэй N үржүүлэгч дээр хоёртын 2 үйлдэл болно. ((x,y(N) x(y=x(y)) гэж хэлэх л үлдлээ. хэрэггүй))
S=(y?y(N(x(y=x(y)))
1y-г алгасах x(0=0 і x(0=0, дараа нь 0(S. y(S), дараа нь x(y=x(y)))
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y)
i, тэгвэл, y((S. Тэгэхээр, S=N, доод i, теоремын баталгаа дуусна).
Эрх мэдлийн олон диконууд.
1. Төвийг сахисан элемент нь ихэвчлэн 1=0( гэсэн тоо байдаг тул ((a(N) a(1=1(a=a))).
авчирч байна. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a)) Ийм байдлаар a(1=a)-ийн тэгшитгэл дууссан. N) (1(a=a). Тэгэхээр 1 (0=0, дараа нь 0(М. a(M, дараа нь 1(a=a)). Дараа нь 1(a(=1(a+1=a +1=) a(, i, otzhe, a() (М. Тиймээс авчрах шаардлагатай байсан 4 M=N аксиомуудаас).
2. Яармагийн багцын хувьд зөв хуваарилах хууль, тэгвэл
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc).
авчирч байна. M=(c(c(N((a,b(N))(a+b)c=ac+bc))). , дараа нь 0(M. Тэгэхээр c(M, дараа нь (a+b)) c=ac+bc), дараа нь (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a+b=(ac+a)+(bc+b)= ac(+bc(.) Тэгэхээр, c((M і M=N).
3. Натурал тоонуудын үржвэр нь солигддог, өөрөөр хэлбэл ((a,b(N) ab=ba).
авчирч байна. b (N тэнцүү 0 (b = b (0 = 0. Тэнцүү b (0 = 0)) нь тодорхой 1y. M = (b (b (N (0 (b = 0))) ) 0) гэж үзье. b) =0, дараа нь 0(M. Тэгэхээр b(M, дараа нь 0(b=0, дараа нь 0(b(=0(b+0=0)) i, мөн, b((M. Тэгэхээр, M= N,) тэгвэл 0(b=b(0) бүгдэд нь авчирсан b(N. Цаашаа явцгаая) S=(a (a(N(ab=ba))). a) (S, дараа нь ab = ba. Дараа нь a (b) = (a + 1) b = ab + b = ba + b = ba (, дараа нь а ((S. Тиймээс S = N), авчрах шаардлагатай) .
4. Олон тархалттай нугалах. Tsya dominion viplivaє z dominion 3 ба 4.
5. Олон тоо нь ассоциатив, өөрөөр хэлбэл ((a, b, c (N) (ab) c = a (bc)).
нотлох баримт нь агуулах дахь th шиг, с дээр индукц явуулж байна.
6. Хэрэв a(b=0, дараа нь a=0 ба b=0 бол N нь тэг хуваагчгүй болно.
авчирч байна. b(0 і b=c(. ab=0 бол ac(=ac+a=0) тэмдэг нь 6 зүйлийн 3-ын хүчийг дагаж байгаа тул a=0) гэж үзье.
Даалгавар 1.4.1. 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5)(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)) гэе. 2(4) гэж юу болохыг хэлээч =8, 3(3=9.
n, a1, a2, ..., an натурал тоонууд байг. a1, a2,...,an тоонуудын нийлбэрийг оюун ухаанаар дамжуулан тэмдэглэдэг тул тоо гэж нэрлэдэг; дурын натурал тоо k
a1, a2,...,an тоонуудын дэд олонлог нь натурал тоо бөгөөд үүнийг i гэж тэмдэглэж, оюун ухаанаар тэмдэглэдэг: ; дурын натурал тоо k
Энэ дугаарыг хэрхэн зааж өгөх вэ?
Даалгавар 1.4.2. Юу авчир
a);
б);
in);
G);
e);
e);
ба);
h);
і) .

1.5. БАЙГАЛИЙН ТООНЫ ТОГТОЛЦООНЫ ЗЭРЭГЛЭЛ.

"Дагадаг" гэсэн үг нь рефлексийн эсрэг ба тэгш хэмийн эсрэг боловч шилжилт хөдөлгөөнгүй бөгөөд энэ дарааллыг дагаж мөрддөггүй. Бид натурал тоог нэмэхэд тулгуурлан дарааллыг эрс өөрчилж байна.
Томилгоо 1. a
Очих газар 2. a(b (((x(N) b=a+x)).
Perekonaєmosya, scho vіdnoshennia Vіdznachimo deyaki vlastnostі байгалийн тоо, povyazanih іz vіdnosinami іnоnostі і nerіvnostі.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c).
1.2 a = b (ac = bc).
1.3а
1.4а
1.5 a+c=b+c (a=b).
1.6ac=bc(c(0(a=b).
1.7a+c
1.8ac
1.9а
1.10а
авчирч байна. 1.1 ба 1.2 давамгайлал нь нугалах, үржүүлэх үйлдлүүдийн өвөрмөц байдлаас ялгардаг. Якчо а
2. ((a(N) a
авчирч байна. Оскилс a(=a+1, дараа нь a
3. Хамгийн бага элемент N нь 0, хамгийн бага элемент N\(0) нь 1 байна.
авчирч байна. Тэгэхээр ((a(N) a=0+a, тэгвэл 0(a, i, тэгэхээр 0 нь N-ийн хамгийн жижиг элемент юм.) Дараа нь x(N\(0)) шиг x=y(, y() N ) , үгүй бол x = y + 1. Хариулт нь ((x (N \ (0)) 1 (х, тиймээс 1 нь N \ (0) дахь хамгийн жижиг элемент юм).
4. Санал ((a, b (N) ((n (N)) b (0 (nb> a)).
авчирч байна. Аливаа натурал а-ын хувьд n натурал тоо байдаг нь ойлгомжтой
a Ийм тоо є, жишээлбэл, n = a (. Dahl, хэрэв b (N \ (0), дараа нь 3-р чадлын хувьд).
1(б(2)
Z (1) ба (2) 1.10 ба 1.4-ийн бүрэн эрхийг үндэслэн aa.

1.6. БАЙГАЛИЙН ТООНЫ ТОГТОЛЦООНЫ БОДИТ ЗЭРЭГЛЭЛ.

Томилгоо 1. эрэмбэлэгдсэн үржүүлэгчийн арьсны хоосон бус дэд үржүүлэгчийн хувьд (М; Шинэ эрэмбэ шугаман гэдгийг дахин бод. a ба b нь бүхэл эрэмбэлэгдсэн үржүүлэгчийн хоёр элемент байг (М; Лема) . 1) а
авчирч байна.
1) a((b (b=a(+k, k(N))(b=a+k(, k((N\(0))
2) a(b(b=a+k, k(N))(b(=a+k(, k((N\(0))
Теорем 1. Натурал тоонуудын олонлог дээрх натурал дараалал нь илүү өндөр дараалал юм.
авчирч байна. M нь хувийн бус натурал тоонуудын хоосон байх ба S нь N дахь доод интернуудын материаллаг бус байдал, тиймээс S = (x (x (N (((m (M))) x (m)). Дараа нь, 0 (S) .Якби ялсан ба Умовын бусад аксиомууд 4 n(S(n((S, дараа нь жижиг b S=N)).
Теорем 2. Хувь хүн бус натурал тоон араатны хувьд хоосон бус хил байгаа бол хамгийн том элемент байж болно.
авчирч байна. M нь хувийн бус натурал тоонуудын араатан хоорондын хоосон бус хил, S нь дээд кордонуудын хувийн бус байдал, тиймээс S=(x(x(N((m(M)) m(x)))) x0-ээр дамжуулан мэдэгдэхүйц, y-ийн хамгийн бага элемент S. Хэрэв m
Даалгавар 1.6.1. Юу авчир
a);
б);
онд).
Даалгавар 1.6.2. Алив (- натурал тооны деак хүч ба k - натурал тооноос их. Юу авчир
a) натурал тоо нь хүч байж болно (зөвхөн 0 нь ямар ч n (0) хүчин чадал байж болно
б) энэ нь натурал тоо, k-ээс их эсвэл тэнцүү эсэх, maє хүч (, хэрэв зөвхөн k maє tsyu чадал i ямар ч n (k (n) s-ийг орхигдуулсан бол scho n maє хүч (, дараагийн, scho тоо n +) 1 бас Володя tsієyu хүч). ;
в) энэ нь k-ээс их эсвэл тэнцүү натурал тоо байх эсэх нь хүчтэй байж болно (зөвхөн k нь чадалтай байж болох ба n (n>k) ямар ч тохиолдолд тэтгэмж байх тул бүх t тоонууд нь оюун ухааны k (t)-ээр томилогдсон.

1.7. ИНДУКЦИЙН ЗАРЧИМ.

Натурал тоон системийн Vikoristovuyuchi povryadkovannost, та ийм теоремыг авчирч чадна, нэг үндэс нь нотлох арга, гарчиг математикийн индукцийн аргаар.
Теорем (индукцийн зарчим). Usі vyslovlyuvannya z дараалсан A1, A2, ..., An, ... є іstnymi, yakshcho vykonuyutsya оюун ухаан:
1) A1 үнэн;
2) Ak-г k-тэй хэрхэн ашиглах талаар
авчирч байна. Хүлээн зөвшөөрөхгүй байхыг зөвшөөрнө: 1) ба 2) ялна гэж бодож байна, гэхдээ хэрэв теорем үнэн биш бол бид є хувийн бус M = (m (N (N \ (0), Am - hibno)) байхыг зөвшөөрөхгүй. n-ийн хувьд утга учиртай элемент. оюун санааны хувьд 1) A1 үнэн, Ан нь муу, дараа нь 1(n, i, aka, 1)
Индукцийн аргаар баталгаажуулахын тулд хоёр үе шатыг харж болно. Индукцийн үндэс гэж нэрлэгддэг эхний үе шатанд оюун санааны сэтгэхүй 1). Индукцийн тогоо гэж нэрлэгддэг тайзны нөгөө талаас оюун ухаан санаанд орж ирдэг 2). Ихэнх тохиолдолд випадуудыг дайран өнгөрдөг бол Ангийн үнэнийг батлахын тулд Акын үнэний ялалтыг ашиглах боломжгүй юм.
өгзөг. Тэгш бус байдлыг авчрахын тулд Төлбөр = Ск. Ak=(Sk) одны үнэнийг авчрах шаардлагатай. Теорем 1-д тайлбарласны дагуу хэрэглээний дараалал нь N олонлог эсвэл Nk=(x() дэд олонлогт өгөгдсөн A(n) предикатаас ирж болно. x(N, x(k)), энд k нь тогтмол натурал тоо.
Sokrema, хэрэв k=1 бол N1=N(0), мөн A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A(n) зэрэг нэмэлт тэгшитгэлийн хувьд дугаарлалт хийж болно. .. Хэрэв k(1) бол тохиолдлын дарааллыг A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n-1), , нэмэлт тэгш байдлаас авч болно. .Ийм утгуудын хувьд 1-р теоремыг өөр хэлбэрээр томъёолж болно.
Теорем 2. A(m) предикат нь Nk үржүүлэгч дээр мөн үнэн тул та дараах зүйлийг мэдэж байгаа.
1) A(k) нь үнэн;
2) m-д A(m)-г хэрхэн ашиглах вэ
Даалгавар 1.7.1. Энэ төрлийн тэгш байдал нь натурал тооны галерейд шийдвэр гаргадаггүй гэдгийг хэлье.
a) x + y = 1;
б) 3х = 2;
в) x2 = 2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2y.
Даалгавар 1.7.2. Математик индукцийн ялалтын зарчмыг авчрах:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
б);
in);
G);
e);
e).

1.8. ВИДЧИТАННЯ I ДЭЛЭННЯ БАЙГАЛИЙН ТООН.

Тэмдэглэл 1. a ба b натурал тоонуудын ялгаа нь b+x=a натурал х тоо юм. a, b натурал тоонуудын зөрүүг a-b-ээр тэмдэглэж, ялгаварын зөрүүний үйлдлийг ялгавар гэнэ. Vіdnimannya бол алгебрийн үйлдэл биш юм. Tse vyplyvaє IZ nastupnoї теорем.
Теорем 1. Жижиглэн худалдаа a-b нь цорын ганц ялгаа бөгөөд зөвхөн нэг юм, хэрэв b(a. Хэрэв ялгаа байгаа бол зөвхөн нэг).
авчирч байна. Хэрэв b(a бол лавлагааны тэмдэглэгээний хувьд (х натурал тоо бол b+x=a. Ale ce i нь x=a-b гэсэн үг. b + x = a. Alece нь b (a) гэсэн үг. .
Бид эв нэгдлийг авчирдаг жижиглэн худалдаа a-b. a-b=x, a-b=y гэж үзье. 1 b+x=a, b+y=a уулзалтын хувьд ч мөн адил. Zvіdsi b+x=b+y і, мөн x=y.
Зорилтот газар 2. a ба b(0) хоёр натурал тооны бутархайг а = bc байхаар натурал c тоо гэнэ.
Теорем 2. Энэ нь нэгээс илүү хувийн шинж чанартай.
авчирч байна. Алив = x тэр = у. 2 a=bx ба a=by уулзалтын хувьд ч мөн адил. Zvіdsi bx=by і, мөн x=y.
Тухайн үед хийсэн үйлдлүүдийг сургуулийн туслах ажилчдынхтай адил тоолж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Цэ гэдэг нь 1-7-р зүйлд Пеаногийн аксиомын үндсэн дээр натурал тооны арифметикийн онолын үндэс суурийг тавьж, ахлах сургуулийн математикийн курс, их сургуулийн "Алгебр ба тоо" хичээлд цаашдын хөгжлийг бий болгосон гэсэн үг юм. Онол".
Даалгавар 1.8.1. Томьёонд дурдсан бүх ялгаанууд тодорхой байгааг хүлээн зөвшөөрч, ийм мэдэгдлийн шударга байдлыг авчир.
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
б) (a-b) (c = a (c-b (c);
в) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
д) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
д) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
to) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Даалгавар 1.8.2. Ирж буй зовлон зүдгүүрийн шударга ёсыг тогтоохын тулд бүх зүйл хувийн гэдгийг хүлээн зөвшөөрч, тэдгээр нь өгөгдсөн томьёогоор тодорхойлогддог.
a); б); in); G); e); e); ба); h); би); тулд); л); м); n); тухай); P); R).
Даалгавар 1.8.3. Хоёр өөр байгалийн шийдлийн эхүүд ийм тэнцүү байж чадахгүй гэдгийг батлахын тулд: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x= ax2 + b(a,b(N).
Даалгавар 1.8.4. Тэнцүү натурал тоог тайл:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; б) x + y = x (y; c); d) x2+2y2=12; e) x2-y2 = 3; e) x + y + z = x (y (z.
Даалгавар 1.8.5. Натурал тооны бөмбөрцөгт ийм тэнцүү шийдэл байхгүй гэдгийг батлахын тулд: a) x2-y2=14; б) x-y = xy; in); G); e) x2=2x+1; f) x2 = 2y2.
Даалгавар 1.8.6. Тэгш бус байдлын натурал тоог задлах: a) ; б); in); d) x+y2 Даалгавар 1.8.7. Натурал тоонуудын хүрээнд спивингийн эхлэл нь шударга гэдгийг надад хэлээч: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2) +c2 1.9.КИЛКИСНИЙ ҮХЭЛ натурал тоо.
Үнэн хэрэгтээ натурал тоог элементүүдийн рахункагийн тэргүүн зэрэгт байрлуулах ёстой бөгөөд аль нь натурал тоонуудын тооцоонд онолын хувьд Пеаногоор орох ёстой.
Зорилтот газар 1. Нэргүй (x(x(N, 1(x(n))) нь байгалийн цуваанаас ялгаатай гэж нэрлэгддэг) ба (1; n ()) -ээр тэмдэглэгдсэн байдаг.
Томилгоо 2. Kіntsevoj үржүүлэгч нь үржүүлэгч, байгалийн цувралын аль ч тоолууртай тэнцүү, мөн хоосон үржүүлэгч гэж нэрлэдэг. Безличийг є kіtsevim биш шиг арьсгүй гэж нэрлэдэг.
Теорем 1 нойтон хүртэл(Тобто podmnozhini, vіdmіny vіd A).
авчирч байна. Хэрхэн A=(, теорем үнэн, хоосон дэд үржвэрийн хоосон хэлтэрхий байхгүй. Бидэнд A((і A адил хатуу (1,n((A(((1,n))))) гэж үзье. n дээр индукцийн теорем.Яксчо n= 1 , дараа нь A((1,1(, тэгвэл бид А үржүүлэгчийн дан дэд үржүүлэгчийг хоосон үржүүлэгчийг ашигладаг) A(i, мөн n=1-ийн хувьд тодорхой байсан. , теорем үнэн.Теоремыг n=m-ийн хувьд үнэн гэж үзье, тэгвэл бүх терминалын үржвэр, салхинд тэнцүү хүч чадал (1,m(, салхинд тэнцүү хүчийг бодохгүй байна). урвуу)) (1, m+1(А-д. Хэрэв ((k) нь ak, k=1,2,...,m+1-ээр мэдэгдэж байгаа бол хувийн бус А-г A=(a1, a2, ...) гэж бичиж болно. ) , am, am+1) Бидний зорилго бол А-д тэнцүү хүчтэй чадлын дэд үржвэр байхгүй гэдгийг батлах явдал юм.
A1 = A (am + 1) ба B1 = B (am + 1) үржүүлэгчийг харцгаая. f(am+1)=am+1 тул f zdіysnyuvatime функц нь биоидэвхтэй A1 үржүүлэгчийг B1 үржүүлэгчээр харуулна. Энэ зэрэглэлд хувийн бус A1 нь түүний хүчирхэг дэд олон тооны B1-тэй тэнцүү байх болно. Ale oskіlki A1((1,м(, индукцийн тэтгэмжийг орлуулж болохгүй).
Дүгнэлт 1. Натурал тоо байхгүй нь хязгаарлагдахгүй.
авчирч байна. Пеаногийн аксиомуудаас харахад S:N®N\(0), S(x)=x(объектив) нь исгэсэн нь тодорхой байна.
Дүгнэлт 2. Хэрэв kіntsev-ийн үржүүлэгч А хоосон биш бол энэ нь байгалийн цувааны нэг бөгөөд зөвхөн нэгтэй тэнцүү байна.
авчирч байна. A((1,m(і A((1,n(. Todі)) (1,m(((1,n(, теорем 1-ийн улмаас ойлгомжтой), тэгэхээр m=n.)) байг.
Сүүлийн 2 нь тэмдэглэгээг оруулах боломжийг танд олгоно.
Тэмдэглэгээ 3. A((1,n(, тэгвэл натурал n тоог А үржүүлэгчийн элементийн тоо) гэж нэрлэдэг ба A ба (1,n) үржүүлэгчдийн хооронд харилцан ойлгомжгүй ижил төстэй байдлыг тогтоох үйл явц (тоо гэж нэрлэдэг) үржүүлэгч дэх элементүүдийн A. Хоосон оруулгын үржвэрийн натурал элементийн тоо) тэг тоо.
Практик амьдралд рахункагийн ач холбогдлын агуу байдлын талаар zayve ярь.
Хүндэтгэсэн, натурал тооны тооцоог мэдэж байгаа тул үржүүлэх үйлдлийг өөрөө нэмэх замаар тооцоолох боломжтой болно.
.
Тооцооллын утгаар арифметик өөрөө шаардлагагүй гэдгийг харуулахын тулд бид одоохондоо ингэж илгээгээгүй: натурал тооны тооцоолол нь зөвхөн арифметикийн нэмэлтүүдэд л хэрэгтэй.

1.10. БАЙГАЛИЙН ТООНЫ ТООНЫ ТОГТОЛЦООНЫ СИСТЕМ БОЛ ЭРГЭЛТТЭЙ БАГАТО.

Хувь хүний бус натурал тоо нь натурал дараалал, бүхэл бүтэн дараалалтай нийцэж байгааг бид харуулсан. Хэрэв тийм бол ((a(N) a
1. дурын тооны хувьд a(N іsnuє sudіdnє түүний араас ирэх 2. дурын тооны хувьд a(N \ (0) іsnuє suіdnє ёма чиний өмнө) 1 ба 2-р зэрэгтэй хувийн бус (A;()) бүхэл дараалал санах ойн салангид мөчлөг гэж нэрлэдэг Эндээс харахад 1 ба 2-р зэрэгтэй дараалал нь натурал тооны системийн шинж чанар юм.i элемент, мөн аксиом 1 Пеано ялна).
Тэгэхээр энэ нь шугаман дараалалтай адил бөгөөд ямар ч a элементийн хувьд түүнийг дагасан ганц элемент байх ба нэгээс илүү урагшлах гэнэтийн элемент байна гэж бодоорой.
1) a0(M, энд a0 нь А-ийн хамгийн жижиг элемент юм;
2) а(М (а((М))
M=N гэж хэлье. Зөвшөөрөгдөхийг зөвшөөрөхгүй, дараа нь A\M((. Б-ээр дамжуулан A\M-ийн хамгийн жижиг элемент.
Бид мөн натурал тоон системийн өөр тэмдэглэгээ хийх боломжийг авчирсан.
Уулзалт. Натурал тоонуудын системийг оюун ухаанд тооцдог үржвэрийг бүхэлд нь эрэмбэлсэн эсэх гэж нэрлэдэг.
1. аливаа элементийн хувьд түүний ард дараагийн урагшлах элемент байдаг;
2. аливаа элементийн хувьд хамгийн бага харагдахуйц элемент, шүүхийн үндсэн элемент.
Іsnuyut іnshі pіdhodi натурал тооны системийн очих газар, дээр бид энд zupinaєmosya байхгүй.

2. ЦИЛИЙН БА РАЦИОНАЛ ТООН.

2.1. ТООНЫ ТОГТОЛЦООНЫ АЧ ХҮЧ, ХҮЧ.
Зөн совингийн оюун ухаанд бүхэл тоо байдаггүй бололтой, бөгж нь үржүүлэгчийг нугалж чаддаг, үүнээс гадна цагираг нь натурал тоонуудын өшөөг авах явдал юм. Бүх натурал тоонуудын өшөөг авах юм шиг kіltsі tsіlih тоонд хараал байхгүй гэж ойлгосон. Хүч чадлын хий нь тоон системийг хатуу тодорхойлох үндэс суурь болж болох юм шиг санагддаг. 2.2 ба 2.3-т ийм тэмдэглэгээний зөвийг авчирна.
Томилгоо 1. Тооны системийг алгебрийн систем гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний хувьд оюун ухаан нь:
1. Алгебрийн систем є kіltse;
2. Натурал тооны үл мэдэгдэх байдлыг анхаарч үзэх хэрэгтэй, үүнээс гадна тухайн үржүүлгийн kіltsі-д дэд үржвэрт нэмэх нь натурал тооны тэр үржүүлэгчийн нэмэгдлээс авна, tobto
3. (umova minimality). Z нь 1 ба 2 зэрэгтэй үржүүлэгчийг оруулах хамгийн бага утга юм. Өөрөөр хэлбэл натурал тоонуудын өшөөг авахын тулд Z0=Z гэсэн үг.
1-р томилгоог аксиоматик шинж чанараар өгч болно. Энэхүү аксиоматик онолын анхны ойлголтууд нь:
1) Элементүүдийг бүхэл тоо гэж нэрлэдэг нэргүй Z.
2) Тусгай бүхэл тоо, үүнийг тэг гэж нэрлэдэг бөгөөд 0-ээр тэмдэглэдэг.
3) Гурвалсан vіdnosini + ta (.
N-ээр дамжуулан ердийн байдлаар, хувийн бус натурал тоог нугалах (болон үржүүлэх (. Үнэн хэрэгтээ 1-р тэмдэглэгээ хүртэл бүхэл тоон системийг алгебрийн ийм систем гэж нэрлэдэг Z; +, (, N) ), үүний төлөө дараах аксиомууд ялна):
1. (Килтсийн аксиомууд.)
1.1.
Энэ аксиом нь + є нь Z олонлог дээрх алгебрийн хоёртын үйлдэл гэсэн үг.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c)).
1.3. ((a, b (Z) a + b = b + a).
1.4. ((a(Z) a+0=a, тэгэхээр 0 тоог саармаг элемент болгон нэмж болно).
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0), тиймээс арьсны бүхэл тооны хувьд эсрэг талын тоо a() байна).
1.6. ((a,b(Z))((! d(Z) a(b=d)).
Энэ аксиом нь үржүүлэх нь Z үржүүлэгч дээр алгебрийн хоёртын үйлдэл гэсэн үг юм.
1.7. ((a, b, c(Z)) (a(b)(c = a((b(c))).
1.8. ((a, b, c (Z) (a + b) (c = a (c + b (c, c ((a + b))) = c (a + c (b)))
2. (Z ба натурал тооны системийн хоорондох холбоосын аксиомууд).
2.1. Н(З.
2.2. ((a, b (N) a + b = a (b).)
2.3. ((a, b(N)) a(b = a(b)).
3. (Хамгийн бага байдлын аксиом.)
Хэрэв Z0 нь Z ба N(Z0) цагирагийн төгсгөл бол Z0=Z.
Тооны системийн хүчний үйлдлүүд.
1. Арьсны тоог хоёр натурал тооны ялгааг хараад илэрхийлж болно. Гадаад төрх нь хоёрдмол утгатай, үүнээс гадна z=a-b ба z=c-d, de a, b, c, d (N, хоёулаа, зөвхөн a+d=b+c тохиолдолд).
авчирч байна. З0-оор дамжуулан бүх бүхэл тоо байхгүй, тэдгээрийн аль нэгнийх нь арьс нь хоёр натурал тоо шиг харагддаг. Мэдээжийн хэрэг, ((a(N) a=a-0, i, aka, N(Z0).
Явцгаая x,y(Z0, тэгвэл x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N. Дараа нь x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--(b + c) )=(a(d)-(b(c)), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d))- ( a(d(b(c)). Эндээс харвал x-y, x(y(Z0 i, цаашид Z0 нь Z цагирагийн дэд олонлог юм. Хувийн бус N-ийн өшөөг авахын тулд.)).
2. Бүхэл тоонуудын цагираг нь нэгдэлтэй солигддог цагираг бөгөөд цагирагийн тэг нь натурал тоо 0, цагирагийн нэгдэл нь натурал тоо 1 байна.
авчирч байна. x,y(Z. Хүчинтэй 1 x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N.) Дараа нь x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)- (ad) +bc)=(a(c(b(d))-(a(d(b(c)), y(x=(c-d))(a-b)=(ca+db)-(da+ cb )=(c( a(d(b)-(d(a(c(b)))). Иймд натурал тоонуудын үржвэрийн хувирах чадвараас шалтгаалан xy=yx гэж тохирно. Z бөгжийг авчирсан.0 ба 1-ээр дамжуулан тэг ба нэг натурал тоонууд мэдэгдэж байгаа илэрхий тэгшитгэлээс 2 vyplyvayut: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+ 0=(a+0)+(-b) =(a(0)+ (-b) = a-b = x x (1 = (a-b) (1 = a (1-b (1 = a (1-b)) 1 = a-b = x)))

2.2. ІSNUVANNYA СИСТЕМИЙН ЦИЛИК ДУГААР.

Тооны системийг цагираг оруулахын тулд хамгийн багадаа 2.1 гэж оноодог бөгөөд энэ нь натурал тоонуудын өшөөг авдаг. Викає pitanya - ижил kіltse гэж юу вэ? Өөрөөр хэлбэл s 2.1 аксиомын систем нь маш энгийн. Аксиомын системийн дээд бус байдлыг бий болгохын тулд тодорхой үл хамаарах онолын тайлбарыг бий болгох шаардлагатай. Ийм онолыг натурал тооны арифметик тооцоонд авч үздэг.
Дахин хэлэхэд 2.1 аксиомын системийн тайлбарыг тайлбарлах шаардлагатай байна. Хувь хүнгүй зүйл рүү явцгаая. Хувь хүний хувьд үл хамаарах зүйл нь хоёртын үйлдэл, хоёртын тохиргоо юм. Хэрэв тэр хосын үржүүлгийн нэмэгдлийг натурал тооны үржвэрийн нэмэгдэл болгон бууруулсан бол натурал тооны хувьд тэр хосын үржүүлгийн нэмэх нь солигдох, ассоциатив, үржүүлэх нь нэмэхтэй тархалтын хувьд төстэй байна. Жишээлбэл, хос нэмэхийн солих чадварыг дахин авч үзье: +===+.
Vіdnoshennia ~ хүчийг харцгаая. Oskіlki a + b = b + a, дараа нь ~, дараа нь тохируулах ~ рефлексээр. Хэрэв ~ байвал a+b1=b+a1, дараа нь a1+b=b1+a, тэгвэл ~. Otzhe, тохируулах ~ тэгш хэмтэй. Явцгаая ~ би ~. a+b1=b+a1 ба a1+b2=b1+a2 тэгшитгэлүүд мөн хүчинтэй. Тэнцүү байдлын тоог нэмбэл a + b2 = b + a2, дараа нь ~ хасна. Otzhe, тохиргоо ~ мөн шилжилтийн байдлаар і, otzhe, є эквивалент. Хосуудын өшөөг авдаг тэгш байдлын ангилал тодорхойлогдоно. Энэ зэрэглэлд тэнцэх ангиллыг өөрийн хос болон түүнтэй хамт хуваарилж болно
(1)
Бүх ангиллын эквивалентийн нэргүй байх нь чухал ач холбогдолтой. Бидний даалгавар бол нугалах, үржүүлэх тодорхой үйлдэл хийсэн тохиолдолд үржүүлэгч нь 2.1-ээс аксиомын системийн тайлбар байх болно гэдгийг харуулах явдал юм. Нүүр царайгүй хүмүүс дээрх үйлдлүүд нь тэгш байдлын хувьд чухал ач холбогдолтой:
(2)
(3)
Хэрэв i бол N үржүүлэгч дээр a+b(=b+a(, c+d(=a+c(,)) тэгшитгэл хүчинтэй, тэгш байдал (a+c)+(b(+d() байна. )=(b ) +d)+(a(+c() нь (1)-ийн хүчинд зөвшөөрөгдөхүйц бөгөөд энэ нь. Tse нь эквивалент (2) нь үржүүлэгч дээр нэмэх өвөрмөц үйлдлийг илэрхийлнэ гэсэн үг. хосыг сонгохдоо худал хэлэхгүй байх, энэ нь нэмэлт гэсэн үг) ба ангиудын үржүүлгийн өвөрмөц байдал Ийм байдлаар алгебрийн хоёртын үйлдлүүдийн олон тоонд (2) ба (3) тэгшитгэлийг оноодог.
Oskіlki нэмэх, үржүүлэх ангиудыг эвхэх, үржүүлэх хос хүртэл барьж болно, эдгээр үйлдлүүд нь солигддог, ассоциатив, үржүүлэгч ангиуд нь тархалтад хялбар нугалах боломжтой. Тэнцүү байдлаас харахад анги нь нугалах аргын саармаг элемент, арьсны анги нь үржих нэг анги юм. Тиймээс үржүүлэгч нь тойрог тул 2.1-ээс 1-р бүлгийн аксиомуудыг тоолно.
Kіl'tsі podmnozhina-г харцгаая. Хэрэв a(b) бол (1) -ээр, хэрэв a
Хувийн бус дээр хоёртын тоо чухал (дараа нь (; өөрөө, анги дагаж, ангийн дараа, de x (є натурал тоо, х-ийн дараа ирдэг. Анги, байгалийн байдлаар дамжуулан тэмдэглэгдсэн дараа ирдэг). Анги нь түүний өмнөх i ангиллыг дагадаг. зөвхөн нэг юм.
Зургийг харцгаая. Исгэлтийн зорилго нь биактив бөгөөд оюун ухаан f(0)= , f(x()==(=f(x)(.)) ;, () Өөрөөр хэлбэл алгебр (;, () нь Пеаногийн аксиомын системийн тайлбар юм. Изоморф алгебраас үүсэлтэй тул хувийн бус N нь өөрөө хоёр дахин үрждэг гэж үзэж болно. ) \u003d a + c, a (c \u003d ac, энэ нь үүнийг нэмэх гэсэн үг юм. N дэд үржвэр дээр kіltsi-д үржүүлэх zbіgayutsya zі атираат болон натурал тооны үржвэрүүд Тиймээс 2-р бүлгийн аксиомуудыг нэмж суулгасан.
Z0 нааш ир - хувийн бус N би өшөө авах нь kіltse pіdkіltse, scho шиг байх. Хүндэтгэсэн, scho th, otzhe,. Ale oskіlki Z0 - a kіlce, дараа нь эдгээр ангиудын хоорондын ялгаа нь мөн kіltsu Z0 нь худал байж болно. З тэнцүү -= (= тохирох, шо (Z0 і, ака, Z0=. 2.1-р зүйлийн аксиомын системийн дээд бус байдлыг авчирсан).

2.3. ТООНЫ СИСТЕМИЙН НЭГДЭЛ.

Надад зөн совингийн хувьд зөвхөн нэг тооны систем бий. Цэ гэдэг нь тоонуудын тоог илэрхийлдэг аксиомын систем нь категори байж болох тул аксиомын системийн тайлбар нь изоморф байна гэсэн үг. Ангилал гэдэг нь изоморфизм хүртэл зөвхөн нэг тооны систем байдаг гэсэн үг юм. Perekonayemosya, scho tse үнэн тийм.
(Z1;+,(,N) ба (Z2;(,(,N)) 2.1-р зүйлийн аксиомын системийн хоёр тайлбар байг.) Z1 цагирагнаас x, y ямар ч элементийг сахилгагүй ба цөцгий дүүргэсэн байна. шударга байдал
(1)
. (2)
Хүндэтгэсэн, хэлтэрхий N(Z1 ба N(Z2, дараа нь
, a(b=a(b. (3))
x(Z1 і x=a-b, de a,b(N. x=a-b элементийг u=a(b, de) элемент болгож, stars z (3) a(d=b(c і, otzhe) a(b=c(d)) tse гэдэг нь хоёр натурал тоо ба cim хоёрын хоорондох x элементийн төлөөлөгчөөр унах бидний чадавхийг f: Z1® Z2, f(a-b)=a(b)-д харуулна гэсэн үг. v(Z2 і v=c(d), дараа нь v=f(c-d).) f илэрхийлэл нь сур'jective гэдгийг ойлгох.
Хэрэв x = a-b, y = c-d, de a, b, c, d (N і f (x) = f (y) бол a (b = c (d). Alethodі a (d = b (d, c)) ) хүч (3) a+d=b+c, тэгэхээр a-b=c-d Бид f(x)=f(y)-ийн тэгшитгэлээс x=y-ийн тэгш байдал тодорхой болохыг авчирсан, тэгвэл илэрхийлэл. f идэвхгүй байна.
Хэрэв a(N бол a=a-0 і f(a)=f(a-0)=a(0=a.) Тэгэхээр f-ийг хэтрүүлсэн үед натурал тоонууд хүчирхийлэлгүй байна.Х=a-b шиг хол. , y=c-d , de a, b, c, d (N, тэгвэл x + y = (a + c) - i f (x + y) = (a + c) ((b + d) = (a (c)) ) (( b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y)). Тэгш тэгш байдлын (1) шударга байдал нотлогдсон. Эргэгдэх тэгш байдал (2). Хуваарь f( xy)=(ac+ bd) )((ad+bc)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))), нөгөө талд f(x)(f( y))=(a (b)((c (d)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))). Тэгэхээр f(xy)=f(x) (f(y)) , энэ нь n-ийн аксиомын системийн категоричлолын баталгааг гүйцээнэ.) 2.1.

2.4. РАЦИОНАЛ ТООНЫ ТОГТОЛЦООНЫ ҮНЭ БА ХҮЧ.

Өгөгдсөн зөн совингийн rozumіnnі талбарт нэргүй Q оновчтой тоонууд, зарим хувийн бус Z бүхэл тоо є pіdkіltsem. Хэрэв тийм бол Q0 нь тоонуудын өшөөг авахын тулд Q талбарын дэд талбар болох нь ойлгомжтой, Q0 = Q.
Томилгоо 1. Рационал тооны систем нь ийм алгебрийн систем (Q; +, (; Z) бөгөөд үүнд оюун ухааныг ашигладаг:
1. алгебрийн систем (Q; +, () є талбар;
2. бөгж Z бүхэл тоо є pіdkіltsem талбар Q;
3. (хамгийн бага) хэрэв Q талбарын Q0 дэд талбар нь Z дэд талбараас өшөө авдаг бол Q0=Q.
Товчоор хэлбэл, рационал тооны систем нь тоонуудын өшөөг авахын тулд оруулсан талбарт хамгийн бага хэмжээ юм. Та оновчтой тооны системийн аксиоматик тодорхойлолтын талаар илүү их тайлан гаргаж болно.
Теорем. Арьсны рационал тоо x-г хувийн хоёр бүхэл тоогоор илэрхийлж болно
, de a, b (Z, b (0. (1))
Гадаад төрх нь хоёрдмол утгатай, үүнээс гадна de a, b, c, d (Z, b (0, d (0)).
авчирч байна. Q0-ийн хувьд чухал ач холбогдолтой нь (1) -ээс харахад хувийн бус оновчтой тоонууд байдаг. Эвлэрлийг дуусгахын тулд Q0 = Q. Алив, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0)). Дараа нь талбайн хүч чадлын хувьд энэ нь боломжтой: , ба в хувьд. (0) Дундаж Q0 нь тэгээс бусад тоон дээр хаалттай байна, i, тэгвэл, Q талбарын є дэд талбар. Тэгэхээр хэрэв а тоо нүдэнд харагдахуйц байвал Z (Q0. Энэ нь хамгийн бага бөгөөд ойлгомжтой учраас). , Q0 = Q. Илэрхий теоремын нөгөө хэсгийн баталгаа.

2.5. РАЦИОНАЛ ТООНЫ СИСТЕМИЙН ҮНДЭС.

Рационал тооны системийг тоонуудын өшөө авах хамгийн бага талбар гэж тодорхойлсон. Zvichayno vinikaє pitanya - хи іsnuє ийм талбар, тэр чи є є nesuperechlivuyu аксиомын систем, scho vyznaє оновчтой тоо. Давуу бус байдлыг батлахын тулд аксиомын системийн тайлбарыг өдөөх шаардлагатай. Бүхэл тооны системийн үндэс суурийг хэнээр эргүүлэх боломжтой вэ. Z(Z\(0)-г хувиршгүй тоо гэж тайлбарлахад жаахан зав гарцгаая.Алгебрийн хоёртын хоёр үйлдэл нь үржүүлэгч дээр чухал ач холбогдолтой.
, (1)
(2)
тэр хоёртын
(3)
Dotsіlnіst Сама ийм тэмдэглэгээ үйл ажиллагаа болон vіdnosinі ~ vyplyaє z гэж іy іyіnpretatsії-д, би байх гэж байна, хоёр үг илүү хувийн байна.
(1) ба (2) үйлдлүүд нь солигддог, ассоциацтай, тархалтаар үрждэг гэж бодоход амархан. Тэрхүү тооны үржүүлгийг нэмэх дээд хүчний үндсэн дээр эрх мэдлийн бүх хүчийг хүндэтгэдэг. Pereverimo, жишээлбэл, олон хосын ассоциатив байдал: .
Үүний нэгэн адил, ялгаа нь ~ є эквивалент гэж дахин авч үзсэн бөгөөд хувийн бус Z(Z \ (0)) нь эквивалентийн ангилалд хуваагдана. i хосоор оюун ухаанаар (3) бид дараахь зүйлийг авна.
. (4)
Бидний даалгавар бол үржүүлэгчийг үржүүлэгч болгон нугалах үйлдлийг тодорхойлох явдал бөгөөд ингэснээр энэ нь талбар болно. Үйлдлийн тоо тэнцүү хэмжээгээр чухал:
, (5)
(6)
Тэгэхээр, дараа нь ab1=ba1, дараа нь cd1=dc1, дараа нь тэгш байдлын утгуудыг үржүүлээд бид (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1)-ийг авах ба tse нь Tse нь биднийг байгаа зүйлээс өөрчилнө гэсэн үг юм. тэнцүү (6) ) нь арьсны ангийн төлөөлөгчдийн сонголтод худал хэлэх гэх мэт хувийн бус анги дээр хоёрдмол утгагүй үйлдлийг үр дүнтэй илэрхийлдэг. Үүний нэгэн адил үйл ажиллагааны өвөрмөц байдлыг (5) зассан.
Нэмэх, үржүүлэх ангиудыг нугалах, үржүүлэх хос болгон бууруулж болох тул (5) ба (6) үйлдлүүд нь солигддог, ассоциатив, хуваарилалтаар нэмж болно.
Тэнцүү байдлын хувьд энэ анги нь нэмэлтээр төвийг сахисан элемент бөгөөд арьсны ангиллын хувьд протелла йома элементийг ашигладаг. Үүний нэгэн адил анги нь олон нийтийн төвийг сахисан элемент бөгөөд арьсны ангиллын хувьд засч залруулах анги гэдэг нь ойлгомжтой. Түүнчлэн, є үйл ажиллагааны талбар (5) ба (6); Эхний Умов товлосон цэг дээр 2.4 ялалт байгуулав.
Хувь хүний бус зайг харцгаая. Мэдээжийн хэрэг, . Тэр олон тоо, хожим нь талбарын пидкилийг хараад хувийн бус байдал хаагдана. Зөв, . Алсын харааг харцгаая, . Энэ илрэлийн сюрьектив байдал нь тодорхой юм. Хэрэв f(x)=f(y) бол x(1=y(1 эсвэл x=y. Утга нь f ба injectively. Үүнээс гадна изоморф kіltsya, Z kіlce нь талбайн дэд kіlcem гэдгийг ойлгох боломжтой. оюун ухаан зодуулсан байна 2 томилогдсон заалт 2.4. талбарууд би,Аливээ. Бо, аа, тэгвэл. Ale oskіlki - талбар, дараа нь хувийн tsikh элементүүд tezh талбай дээр хэвтэж байна. Тим өөрөө үүнийг авчирсан, энэ юу вэ, тэгвэл, tobto. Рационал тооны системийн үндэс суурь нь дууссан.

2.6. РАЦИОНАЛ ТООНЫ ТОГТОЛЦООНЫ НЭГДЭЛ.

Хэрэв орчин үеийн зөн совингийн утгаараа рационал тоонуудын зөвхөн нэг систем байгаа бол эндээс харагдаж байгаа оновчтой тооны аксиоматик онол нь категори байж болно. Категорийн бөгөөд энэ нь изоморфизм хүртэл рационал тоонуудын зөвхөн нэг систем байдаг гэсэн үг юм. Үнэн гэдгийг нь харуулъя.
(Q1;+, (; Z) ба (Q2; (, (; Z)) - рационал тооны хоёр системтэй адил байг.
(1)
(2)
Q1 талбараас ямар ч x ба у элементийн хувьд.
Q1 талбар дахь a ба b хувийн элементүүдийг, Q2 талбарт - a:b гэж тэмдэглэнэ. Z є pіdkіltse kozhny s polіv Q1 і Q2 тул дурын тооны тооны хувьд a і b тэнцүү байна.
, . (3)
Алив, дэ, . Өгөгдсөн х элементэд Q2 талбараас y=a:b элементийг онооно. Хэдийгээр Q1, de талбарт тэгш байдал үнэн боловч Z цагираг дахь 2.4-р зүйлийн теорем нь ab1=ba1 тэгшитгэл нь ялсан, өөрөөр хэлбэл (3) тэгш байдлын улмаас, мөн ижил теоремын хувьд ижил тэгш байдал a:b байна. =a1:b1 Q2 талбарт хүчинтэй байна. Tse гэдэг нь Q1 талбарын элементэд Q2 талбараас y=a:b элементийг оноож өгснөөр бид үүнийг харуулах болно, .
Q2 талбарын аль ч элементийг a:b, de, otzhe, є Q1 талбарын элементийн зэрэглэлээр илэрхийлж болно. Otzhe, vodobrazhennya f є sur'єktivnym.
Тийм ээ, дараа нь Q1 талбарт мөн адил. Ийм байдлаар исгэх f є bієktivnym болон бүх tsіlі тоо сахилгагүй болдог. Шударга ёсыг (1) ба (2) тэгш байдалд хүргэх шаардлагатай. a,b,c,d(Z, b(0, d(0)) гэж хэлье. Дараа нь i, (3) f(x+y)=f(x)(f(y)-аас үүдэлтэй тэмдэг. Үүнтэй адил, ба одод.
(Q1; +, (; Z) ба (Q2; (, (; Z))-ийн тайлбарын изоморфизм урагшлах.

ВІДПОВИДИ, ВКАЗИВКИ, РИШЕННЯ.

1.1.1. Шийдэл. Нехай Умовын 4-р аксиоми үнэн (((0) i. Үүнийг хийцгээе. Тиймээс М нь 4-р аксиомын хүчийг ((0) ((0) (0(М и. Отже), M=N) хангаж байна. тиймээс натурал байх) ).тоо хүчирхэг (. Буцах. Хүч байгаа эсэх нь хүлээн зөвшөөрөгдөх юм (((0) i, дараагийн. M нь N-ийн дэд үржүүлэгч байг, тэр 0(M i.). ) Энэ нь M = N гэдгийг харуулах болно. Хүчийг танилцуулъя (, хүндэтгэн. Тоди ((0), oskіlki, i.) Otzhe, M=N.
1.1.2. Шийдвэр: Пианогийн 1 ба 4-р аксиомын үнэн баталгаа. Хибнегийн 2-р аксиомын баталгаа.
1.1.3. Шийдвэр: Пианогийн 2,3,4 аксиомын үнэн зөв нотолгоо. Хибнегийн 1-р аксиомын баталгаа.
1.1.4. Үнэн баталгаа 1, 2, 3 Пеаногийн аксиомууд. Хибнегийн 4-р аксиомын мэдэгдэл. Vkazіvka: авчрах, scho боломжуудыг сэтгэл хангалуун аксиом 4, үйл ажиллагааны хувьд томъёолсон, ale.
1.1.5. Vkazіvka: 4-р аксиомын үнэнийг батлахын тулд оюун ухааныг хангадаг M z A дэд үржүүлэгчийг харна уу: a) 1 ((M, b), хувийн бус.
1.1.6. Пианогийн 1,2,3 аксиомуудын үнэн баталгаа. Пеано Хибнегийн 4-р аксиомын мэдэгдэл.
1.6.1. a) Шийдвэр: Шөнийн 1 цаг болсныг мэдэгдэнэ үү. Буцах. Нааш ир
1.6.2. a) Шийдвэр: Зөвшөөрөгдөх боломжтой. М-ээр дамжуулан бид хүчирхэг байхын тулд бүх тоонуудын хувьд мэдэгдэхүйц үл тоомсорлодог (. Таамаглалаар, M((. Теорем 1-ийн дагуу M нь хамгийн бага n(0) элементтэй байна. Х тоо эсэхээс үл хамааран)
1.8.1. f) p. e) ба p. c: (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, мөн (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Эрх мэдэлд хүрэх.
l) Б-г тэмдэглэнэ үү.
l) p. b) ба p. h) дээр тэмдэглэнэ үү.
1.8.2. в) Maєmo, otzhe,. Аав,.
г) Маэмо. Аав,.
болон).
1.8.3. a) (i (өөр шийдэл нь ax2+bx=c тэнцүү), дараа нь a(2+b(=a(2+b(.))) Яг ((. Гэсэн хэдий ч (2=a(+b>a(,,)) бас, (>а.))).
в) Нехай (i (- тэнцүү i-ийн өөр өөр үндэс (>(. Тоді 2((-()=(a(2+b))-(a(2+b))=a((-())( ( (+( ) Дараа нь a((+()=2), гэхдээ (+(>2), дараа нь a((+()>2), боломжгүй).
1.8.4. a) x = 3; b) x = y = 2 в) x=y(y+2), y нь натурал тоо; d) x = y = 2; e) x = 2, y = 1; f) Яг х=1, y=2, z=3 сэлгэлт хүртэл. Шийдэл: Жишээ нь, x(y(z. Дараа нь xyz=x+y+z(3z, тэгэхээр xy(3.) Тэгэхээр xy=1, тэгвэл x=y=1 і z=2+z, тэгвэл) гэж үзье. Боломжгүй : хэрэв xy = 2 бол x = 1, y = 2. Энэ тохиолдолд 2z = 3 + z бол z = 3. Хэрэв xy = 3 бол x = 1, y = 3. Дараа нь 3z = 4+z болно. , тэгэхээр z=2, нэмэлт y(z.
1.8.5. b) Хэрэв x=a, y=b нь хуваагдал бол ab+b=a, тэгвэл. a>ab, энэ нь боломжгүй юм. d) Хэрэв x=a, y=b нь хуваагдал бол b
1.8.6. a) x=ky, de k,y - хангалттай натурал тоо ба y(1. b) x - хангалттай натурал тоо, у=1. в) х нь нэлээд натурал тоо y=1. г) Ямар ч шийдэл байхгүй. e) x1 = 1; x2=2; x3=3. f) x>5.
1.8.7. a) Хэрэв a = b бол 2ab = a2 + b2 болно. Жишээлбэл, а

Уран зохиол

1. Редков М.И. Тоон систем. /“Тооны систем” хичээлийн арга зүйн зөвлөмж. 1-р хэсэг. - Омск: OmDPІ, 1984. - 46 он.
2. Эршова Т.И. Тоон систем. / Арга зүйн хөгжилпрактикт зориулж. - Свердловск: SDPI, 1981. - 68 он.