Онлайнаар баялаг нэр томъёоны бүх үндэслэлийг олж мэдээрэй. Бүх математикт тэгшитгэл.Баян нэр томьёоны рационал үндэс. Хорнерын схем. Chi є tse рационал тоо

Хувьсагч х хэлбэрийн баялаг нэр томъёог өөр аргаар дууддаг: anxn + an-1 xn-1 +. . . +a 1 x+a 0 de n натурал тоо; an, an-1, . . . , a 1, a 0 - тэдгээр нь тоо эсэхээс үл хамааран энэ олон гишүүнтийн коэффициент гэж нэрлэгддэг. Virazi anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0-г олон гишүүнт гишүүн, 0-ийг дурын гишүүн гэнэ. an - xn дээрх коэффициент, an-1 - xn-1 дээрх коэффициент гэх мэт. жишээ нь 0x2 + 0x + 0 баялаг нэр томъёо нь хоосон байна. Олон гишүүнтийн бүртгэлээс харахад вин гишүүний тооноос нэмэгддэг нь тодорхой байна. "Баян гишүүн" (баян гишүүд) гэсэн нэр томъёо шиг сонсогдож байна. Заримдаа баялаг нэр томъёог олон гишүүнт гэж нэрлэдэг. Энэ нэр томъёо нь πολι - баян, νομχ - гишүүн гэсэн грек үгтэй төстэй юм.

Нэг өөрчлөлт х хэлбэрийн баян гишүүнийг илэрхийлнэ: . f (x), g (x), h (x) гэх мэт, жишээлбэл, f (x)-ийн хувьд хамгийн баялаг нэр томъёог зааж өгвөл та дараахийг бичиж болно: f (x) = x 4+2 x 3+ (- 3) x 2 + 3/7 x + √ 2. 1. h (x) баян гишүүнийг f (x) ба g (x) баячуудын хамгийн том унтагч гэж нэрлэдэг тул боломжтой. f (x), g (x) болон арьсан dilnik нэмэх. 2. n алхамын P талбараас авсан коэффициент бүхий баялаг гишүүн f(x)-ийг P талбар дээр бууруулж болохуйц гэж нэрлэдэг бөгөөд ингэснээр n-ээс бага алхмын h(x), g(x) Î P[x] баялгийг тогтооно. f(x) = h( x)g(x).

Энэ бол f(x) = anxn+an-1 xn-1+ гэсэн баялаг нэр томъёо юм. . . + a 1 x + a 0 і an≠ 0, дараа нь n тоог баялаг нэр томъёоны үе шат гэж нэрлэдэг f (x) (эсвэл энэ нь: f (x) n-р шат юм) болон Урлаг гэж бичнэ. f(x) = n. Энд ан-ыг ахлах коэффициент гэж нэрлэдэг бөгөөд anxn нь энэ олон гишүүнтийн ахлах гишүүн юм. Жишээлбэл, хэрэв f (x) = 5 x 4 -2 x +3 бол Art. f(x) = 4, ахлах коэффициент - 5, ахлах хугацаа - 5 х4. Олон гишүүнт алхам нь түүний коэффициентүүдийн тоонуудын хамгийн том нь, тэгийн тэргүүлэх төрөл юм. Тэг алхамын баялаг нөхцөлүүд нь тэгтэй ижил бүхэл тоонууд юм. алхамын тэг баялаг гишүүн байж болохгүй; баялаг гишүүн f(x) = a, энд a нь тоо, тэгтэй тэнцүү биш, хамгийн их алхам нь 0; алхам нь бусад олон гишүүнт байж болох бөгөөд энэ нь х өөрчлөлтийн алхамын хамгийн их үзүүлэлтээс илүү үнэтэй байдаг бол дараагийнх нь коэффициент тэг байна.

Баян гишүүдийн Ривнист. Хоёр баялаг гишүүн f(x) ба g(x) хэдийгээр тэдгээрийн коэффициентүүд нь өөрчлөлтийн х ба чөлөөт гишүүний ижил алхмуудтай тэнцүү (итгэлцүүрийн хувьд їх) тэнцүү боловч тэнцүү гэж үздэг. f(x) = g(x). Жишээлбэл, f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 і g (x) \u003d 2 x 23 x + 1 гэсэн баялаг нэр томъёо нь тэнцүү биш бөгөөд тэдгээрийн эхнийх нь x3 дахь коэффициенттэй илүү тэнцүү байна. 1 хүртэл, нөгөө нь тэг байна ( Хүлээн зөвшөөрөгдсөн оюун ухаанаар бид бичиж болно: g (x) \u003d 0 x 3+2 x 2 -3 x + 1. Энэ тохиолдолд: f (x) ≠ g (x) x 2 -3 x + 5, s ( x) =2 x 2+3 x+5

Мөн баялаг нэр томъёоны тэнхлэг нь f 1 (x) \u003d 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 і g 1 (x) \u003d 2 x 5 + сүх 3 -2 x + 3 a = 3 байсан ч тэнцүү , гэхдээ b = -2. f(x) = anxn+an-1 xn-1+ гэсэн баялаг гишүүнийг өг. . . +a 1 x+a 0 нь c тоо юм. Тоо f(c) = ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0-ийг x = c үед f(x) олон гишүүнтийн утга гэнэ. Ийм байдлаар f (c) -ийг мэдэхийн тулд х-г нотолж, шаардлагатай тооцоог хийх шаардлагатай. Жишээлбэл, f(x) = 2x3+3x2-x+5 бол f(-2)=2(-2)3+(-2)2-(-2)+5=3. Өөрчлөлтийн x-ийн өөр өөр утгатай баян гишүүнийг авч болно өөр өөр үнэ цэнэ. Энэ тоог f (x) олон гишүүнтийн үндэс гэж нэрлэдэг тул f (c) =0.

"f(x) баян гишүүн нь тэгтэй тэнцүү (өөрөөр бол баялаг f(x) нь тэг)" ба "f(x) олон гишүүнтийн утга" гэсэн хоёр хэллэгийн ялгааг анхаарах нь чухал. x=z үед тэгтэй тэнцүү". Жишээлбэл, олон гишүүнт f (x) \u003d x 2 -1 нь тэгтэй тэнцүү биш, vіn нь тэгээс өөр коэффициент байж болно, жишээ нь x \u003d 1-ийн утга тэгтэй тэнцүү байна. f(x) ≠ 0 ба f(1) =0. Баялаг нэр томьёоны дүйцэхүй, баялаг нэр томьёоны утга хоёрын хооронд ижил нягт уялдаа холбоотой байдаг. Хэрэв f(x) ба g(x) хоёр тэнцүү олон гишүүнт өгөгдсөн бол їх нь тэнцүүгийн тэнцүү коэффициентүүд бөгөөд иймээс с арьсны тооны хувьд f(c) = g(c) болно.

Олон гишүүнт дээрх үйлдлүүд Баялаг нэр томъёог нумыг өргөтгөх, ижил төстэй нэр томъёог багасгах ердийн дүрмийн дагуу нэмж, харж, үржүүлж болно. Үүний үр дүнд би дахиад л баян гишүүнтэй боллоо. Зориулалтын үйлдлүүд нь хүч чадалтай байж болно: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h(x), f(x) g(x) = g(x) f(x), f(x)(g(x) h(x)) = (f(x) g( x)) h(x), f(x)(g(x) + h(x)) = f(x) g(x) + f(x) h(x).

Би танд f(x) = anxn+an-1 xn-1+ гэсэн хоёр баялаг нэр томъёо өгье. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, i g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Урлаг нь тодорхой байсан. f(x)=n, мөн урлаг. g(x) = м. Qi хоёр олон гишүүнтийг үржүүлбэл f(x) g(x)=anbmxm+n+ хэлбэрийн баялаг гишүүн гарч ирнэ. . . +a 0 b 0. Оскилки an≠ 0 ба bn≠ 0, дараа нь anbm≠ 0, мөн урлаг. (f(x)g(x))=m+n. Дуу нь чанга бөгөөд чухал юм.

Үржүүлэгчийн алхмуудын нийлбэр дээр тэгээс өөр хоёр баялаг гишүүнийг нэмэх алхамууд, урлаг. (f(x)g(x)) = st. f(x) +st. g(x). Үржүүлэгчдийн ахлах гишүүдийг (коэффициент) нэмэхийн тулд хоёр тэгээс өөр баялаг нэр томъёог бий болгох ахлах гишүүн (коэффициент). Хоёр баян гишүүнийг бий болгох чөлөөт гишүүн нь хамтарсан үржүүлэгчдийн чөлөөт гишүүдийг бий болгоход зохистой. Баялаг илэрхийлсэн f(x), g(x) болон f(x) ±g(x)-ийн алхамууд нь удахгүй болох spivvіdnoshennia-тай холбоотой: урлаг. (f (x) ± g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

f(x) ба g(x) олон гишүүний суперпозици гэж нэрлэдэг. x-ийн оронд f (x) олон гишүүнт орж болох f (g (x)) гэж тэмдэглэгдсэн баялаг нэр томъёог g (x) олон гишүүнт орлуулна. Жишээлбэл, f(x)=x 2+2 x-1 і g(x) =2 x+3 бол f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) болно. 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2x2+4x+1. Эндээс харахад f(g(x)) ≠g(f(x)) нь f(x), g(x) олон гишүүний суперпозиция ба g(x), f( олон гишүүний суперпозиция юм. x) өөр. Ийм байдлаар суперпозицийн ажиллагаа нь нүүлгэн шилжүүлэх хүчийг агуулдаггүй.

, Дутуу үнэлэх, халах алгоритм f(x), g(x) эсэх нь тодорхой q(x) (хувийн) болон r(x) (илүүдэл) байх тул f(x)=g(x)q(x) )+ r(x) ба r(x) алхамууд

Олон гишүүнт толь бичиг баялаг нэр томъёоны толь бичиг f(x) нь f(x)=g(x)q(x) гэсэн баялаг нэр томьёо g(x) юм. Хоёр баян сегментийн хамгийн том ор Баялаг сегментчилсэн f(x) ба g(x)-ийн хамгийн том ор нь d(x)-ийн ийм давхар ор бөгөөд тэдгээрийг өөр аль ч ор болгон хувааж болно.

F(x) ба g(x) баялаг нэр томъёоны хамгийн том нийтлэг өдрийн тэмдэглэлийг олох Евклидийн алгоритм (сүүлийн дэд хэсгийн алгоритм) Тоди нь f(x) ба g(x)-ийн хамгийн том дилник юм.

Бусдыг өөрчлөх Шийдэл: Бид Евклидийн алгоритмыг зассан эдгээр баялаг нөхцлийн GCD-г мэднэ 1) х3 + 6 х2 + 11 х + 6 х3 + 7 х2 + 14 х + 8 1 - х2 - 3 х - 2 8 x3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x - 2 - x - 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Otzhe, баян нэр томъёо (- x2 - 3 x - 2) Үр дүн нь vіdomy-ийн олон гишүүнтийн далбаан дор байна.

Тооны хуваагдлын үр дүнг мэдэцгээе. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x - 2 x3 + 3 x2 + 2 x - x - 3 3 x2 + 9 x + 6 0

Хэт баян f(x) гишүүнээс тэгээс өөр баялаг гишүүн g(x) - ne гэж хуваах Хорнерын схем нь f(x)=g(x) s(x)+ гэсэн үзлээр f(x)-ыг илчлэх гэсэн үг юм. r(x), de s(x) ) ) i r(x) -баян гишүүн i эсвэл r(x) = 0, эсвэл st. r(x)

Баян сегментүүд, түүний spіvvіdnoshennia зүүн болон баруун хэсэгт зогсож, тэнцүү, мөн түүнчлэн, тэнцүү їhnі vіdpovіdni koefіtsіentsi. Энэ нь тэдэнтэй тэнцүү бөгөөд урд талын нумуудыг нээж, тэгш байдлын шугамын баруун хэсэгт ижил төстэй мөчрүүдийг суулгасан. Хасах: a = bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1, a 0 = r - cb 0 Виразимо їх іz otrimanih тэгшитгэл: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 \u003d cb 1 + a 1, r \u003d cb 0 + a 0. Бид сондгой хувийн s (x) ба илүүдэл r-ийн коэффициентийг тооцоолоход ашиглаж болох томъёог мэддэг байсан. Үүний тусламжтайгаар хураамжийг ширээний урд талд зурдаг; Үүнийг Хорнерийн схем гэж нэрлэдэг.

Хүснэгт 1. Коэффициент f(x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 s(x) коэффициентүүд хэт их байна. Өөр нэг мөрөнд эхний нүдний ойролцоо c тоог бичнэ үү. Решта клитин эгнээний шугаман бус хувийн s (x) ба илүүдэл r-ийн коэффициентүүдийг нэг нэгээр нь тоолж, бөглөнө. Өөр үйлчлүүлэгчид bn-1 коэффициентийг бичээрэй, бидний суулгасан шиг илүү үнэтэй a.

Арьсны довтолгооны ханан дээр зогсох коэффициентийг дараахь дүрмийн дагуу тооцоолно: c тоог урд талын хананд зогсох тоогоор үржүүлж, үр дүнд нь тоог нэмж, хананы дээгүүр зогсох, санах болно. . Таван клитиныг санахын тулд түүний коэффициент дээр зогсохыг мэдэхийн тулд c-ийг дөрөв дэх клитин дэх тоогоор үржүүлж, үр дүнд нь тав дахь клитинээс дээш байгаа тоог нэмэх шаардлагатай. Жишээлбэл, f (x) \u003d 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 гэсэн баялаг нэр томьёог х-2 іz хэт их, Хорнерийн схемд хуваая. Эхний эгнээ бөглөхдөө схемийн тоог олон гишүүнтийн тэг коэффициентийн талаар мартаж болохгүй. Тиймээс, f(x) коэффициентүүд нь 3, 0, - 5, 3, - 1 тоонуудын утгууд юм. Өөр нэг анхаарах зүйл бол бүрэн бус хувийн нэг алхам нь 1-ийн алхамаас нэгээр бага байна. баялаг нэр томъёо f(x).

Мөн Хорнерын схемийн дагуу хуваасан бололтой: Хүснэгт 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Хувийн s(x) =3 x 3+6 x 2+7 гэдгийг анхаарах нь чухал. x+17 ба илүүдэл r=33. Хүндэтгэсэн, бид олон гишүүнт f (2) =33 утгыг тооцоолсон. Одоо маш баян f(x) гишүүнийг x + 2 іz гэж хэт их хуваая. Надад = -2 гэсэн vipadku байна. нэмэлт: Хүснэгт 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Үүний үр дүнд f(x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x-11) + 21 .

Олон гишүүнтийн язгуур Nehai с1, с2, …, см - f(x) олон гишүүнтийн өөр үндэс. Дараа нь f(x) нь x-c1-д хуваагдана, тэгвэл f(x) = (x-c1) s1(x). Энэ тэнцвэрт байдлыг x=c2 төлье. Бид f(c2) = (c2-c1) s1(c2) i-г хасвал f(c2) =0, дараа нь (c2-c1) s1(c2) =0. Ale c2≠c1, дараа нь c2 -c1≠ 0, энэ нь s 1 (c 2) = 0 гэсэн үг юм. Мөн c2 нь s 1 (x) олон гишүүнтийн үндэс юм. Энэ нь s1(x) нь x-c2-д хуваагддаг тул s1(x) = (x-c2) s2(x) болохыг харуулж байна. s 1 (x) y тэнцүү f (x) = (x-c 1) s 1 (x) гэж виразыг хасаад төсөөлөөд үз дээ. Тавдугаар сарын f(x) = (x-c1) (x-c2) s2(x). f (c 3) \u003d 0, c3 c1, c3 c2 гэдгийг засахын тулд x \u003d c3 тэгшитгэлийн үлдсэн хэсгийг оруулсны дараа бид c3 нь s 2 (x) олон гишүүнтийн үндэс гэж таамаглаж байна. Тиймээс s 2 (x) \u003d (x-c 3) s 3 (x), дараа нь f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) гэх мэт. үндэс. алдагдсан, c4, c5, ..., см, ми, нарешти, f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x) -ийг авав, энэ нь доод томъёонд хүргэсэн.

c1, c2, ..., cm нь f (x) олон гишүүнтийн өөр үндэс учир f (x) -ийг f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) ... -ыг хараад өгч болно. (х-см) см (х). Чухал үр дагавар мэт санагдаж байна. c1, c2, ..., cm нь f (x) олон гишүүнтийн үндэс учир f (x) олон гишүүнт (x-c1) (x-c2) ... (x-cm) хуваагдана. Тэг биш олон гишүүнт f(x)-ын өөр язгуурын тоо нь доод шатаас ихгүй байна. Үнэн, f(x) үндэсгүй тул теорем зөв болох нь тодорхой, илүү Урлаг. f (x) ≥ 0. Одоо f (x) нь c1, c2, ..., cm m үндэстэй байг, үүнээс гадна бүх өмхий ялгаатай байна. Яг л f (x) (x-c1) (x-c2) ... (x-cm) -д хуваагддаг. Заримдаа Урлаг. f(x)≥st. ((X-C1) (X-C2) ... (X-Cm)) = st. (x-c1) + урлаг. (X-C2) + ... + Урлаг. (x-см) \u003d м, дараа нь st. f(x)≥m, m нь баялаг гишүүний авч үзэж болох язгуурын тоо юм. Мөн тэг баян нэр томъёоны тэнхлэг нь язгуураар хязгааргүй баялаг юм, тэр ч байтугай энэ нь х илүү сайхан 0. Зокрема, учир шалтгааны төлөө, мөн адил дуулах алхам шийтгэх хэрэггүй. Сайн нотлогдсон теоремуудаас харахад ижил нотолгоо илт харагдаж байна.

Хэрэв олон гишүүнт f(x) нь алхамын олон гишүүнт биш, их, бага n, мөн их, бага n үндэс байж болох юм бол f(x) нь тэг олон гишүүнт байна. Үнэн хэрэгтээ пүүсийн оюун ухаанаас харахад f (x) нь тэг олон гишүүнт буюу урлаг гэдэг нь тодорхой байна. f(x) ≤n. Олон гишүүнт f(x) нь тэг биш гэж үзвэл урлаг. f(x) ≤n, дараа нь f(x) нь n үндэсээс илүү байж болохгүй. Бид гайхалтай байдлын түвшинд хүрч байна. Иймээс f(x) нь тэгээс өөр баялаг нэр томъёо юм. f(x) ба g(x) нь алхамын тэгээс өөр баялаг гишүүн, их биш, бага n байг. Хэрэв q олон гишүүнт өөрчлөлтийн n + 1 утгын хувьд ижил утгыг олж авбал f (x) = g (x) болно.

Баталгаажуулахын тулд h(x) = f(x) – g(x) хэмээх баялаг нэр томъёог авч үзье. Нэг бол h (x) = 0, эсвэл st. h (x) ≤n, тэгвэл h (x) нь алхамын баялаг гишүүн биш, n-ээс их, бага. Одоо f (c) = g (c) байх тоог авч үзье. Дараа нь h(c) = f(c) - g(c) = 0, тэгвэл h нь h(x) олон гишүүнтийн үндэс болно. Мөн h(x) баялаг нэр томъёо нь n+1 язгууртай бөгөөд хэрэв үүнийг хийснээр h(x) = 0 бол f(x) = g(x) болно. Хэрэв f(x) ба g(x) нь x хувьсагчийн бүх утгын хувьд ижил утгатай бол

Олон гишүүнтийн олон үндэс Ө тоо нь олон гишүүнт f (x)-ын үндэс учир энэ олон гишүүнт нь x-s-д хуваагддаг бололтой. f(x)-г дараагийн алхам руу сунгах боломжтой бугато гишүүн x-s, өөрөөр хэлбэл, (x-c) k, k>1 дээр. Энэ випадкаг олон үндэс гэж нэрлэдэг. Томилгоогоо илүү тодорхой болгоё. Уг тоог f (x) олон гишүүнт k (к нугалах үндэс) гэж нэрлэдэг тул олон гишүүнт нь (x-c) k, k>1 (k нь натурал тоо) -д хуваагддаг боловч (-д хуваагддаггүй) x-c) k + 1. k=1 бол энгийн язгуур, k>1 бол f (x) олон гишүүнтийн олон язгуур гэнэ.

Тиймээс f(x) олон гишүүнтийг f(x)=(x-c)mg(x), m нь натурал тоо, vin нь (x-c) m+1 хуваагдах ба хэрэв g(x) нь хуваагдах бол х-в. Үнэхээр хэрэв g(x) нь x-c-д хуваагддаг бол g(x)=(x-c)s(x), f(x)=(x-c) m+1 s(x), мөн f(x ) болно. (x-c) m+1-д хуваагдана. Буцаад f(x) нь (x-c) m+1-д хуваагддаг тул f(x)=(x-c) m+1 s(x) болно. Дараа нь (x-c) mg (x) \u003d (x-c) m + 1 s (x) ба (x-c) m-ийн богино хугацааны дараа g (x) = (x-c) s (x) авна. Энэ нь g(x) нь x-s-д хуваагдсан мэт сонсогдож байна.

Жишээлбэл, f(x) = x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24 гэсэн баялаг нэр томъёоны үндэс болох чи нь 2-ын тоо байх нь тодорхой бөгөөд хэрэв тийм бол Бид түүний олон талт байдлыг мэддэг. Эхний тэжээлийн хангамжийг шалгахын тулд бид f(x)-ийг x-2-т хуваах нэмэлт Horner схемийг шалгаж болно. байж болно: Хүснэгт 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Бачимогийн нэгэн адил f(x)-ийг x-2-т хуваахад илүүдэл нь 0-ээс их байх тул үүнийг хуваах хэрэгтэй. х-2. Тиймээс олон гишүүнтийн 2-язгуур. Үүнээс гадна бид f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12) гэдгийг хассан. Одоо энэ нь тодорхой байна, chi є f (x) дээр (x-2) 2. Tse хадгалуулах, хэрхэн ми schoyno авчирсан, олон гишүүнт хуваагдах харгалзан g (x) \u003d x 4 -3 x 3 -3 x x-2 дээр 2 + 16 x-12.

Хорнерын схемээр дахин хурдасгах: Хүснэгт 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 -х2 -5х +6). Дараа нь f (x) \u003d (x-2) 2 (x 3 -x 2 -5 x + 6). Мөн f(x) нь (x-2) 2-т хуваагддаг, одоо f(x) нь (x-2)3-т хуваагддаг гэж хэлэх хэрэгтэй. Үүний тулд h(x) \u003d x 3 -x 2 -5 x + 6-г x-2-т хуваана гэдэг нь буцаах боломжтой: Хүснэгт 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 x-2, мөн, f(x) нь (x-2) 3-т хуваагдана, i f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Үүний нэгэн адил f(x) нь (x-2)4-т хуваагдсан эсэхийг шалгах боломжтой бөгөөд ингэснээр s(x)=x 2+x-3 нь x-2-т хуваагдана: Хүснэгт 7. 2 1 1. 1 3 -3 3 s(x)-ийг х-2-т хуваахад илүүдэл нь 3-тай тэнцүү бол s(x)-ийг х-2-т хуваахгүй нь мэдэгдэж байна. Мөн f(x) нь (x-2) 4-т нэгтгэгдэхгүй. Ийм байдлаар f(x) нь (x-2)3-д нэгтгэгдэх боловч (x-2)4-т оруулахгүй. Мөн 2-ын тоо нь 3 f(x) баян гишүүний олон тооны язгуур юм.

Ширээн дээр бага тоолохын олон тооны язгуурын авиаг сонсоорой. Энэ хэрэглээний хувьд хүснэгт дараах байдалтай байж болно: Хүснэгт 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Хорнер хассан олон гишүүнт f (x) -ийг x-2, өөр мөрөнд бид олон гишүүнт g (x) -ийн коэффициентүүдийг хасдаг. Дараа нь энэ өөр мөрийг шинэ Хорнер системийн эхний эгнээнд оруулаад g (x) -ийг x-2 гэх мэтээр хасъя. Ийм байдлаар үндэс нь олон талт нь otrimanih тэг илүүдэлтэй тэнцүү байна. Үлдсэн тэг бус илүүдэлтэй өшөө авахын тулд f (x) -ийг (x-2) 3-т хуваах үед тухайн хэсгийн коэффициентүүд байдаг.

Одоо, vikoristovuyuchi schoyno proponovan схем нь олон талт нь үндэс дахин баталгаажуулах, энэ даалгавар ирж байгаа юм шиг байна. Аливаа a ба b-ийн хувьд f(x) \u003d x 4 + 2 x 3 + ax 2 + (a + b) x + 2 баялаг нэр томъёо нь - 2 нь 2-ын үржвэрийн үндэс байж чадах уу? Тиймээс язгуурын үржвэр - 2 нь 2-ыг нэмсэнтэй холбоотой бөгөөд үүнийг санал болгож буй схемийн хувьд x + 2-т хуваахад бид давхардсан тоогоор 0-ийн илүүдлийг, гурав дахь нь - илүүдлийг авах ёстой. тэгтэй тэнцүү. 5: Хүснэгт 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 аа а+4 а+12 а+б -3 а+б-8 2 2 а-2 б+2

Энэ зэрэглэлд тоо - 2 є язгуур нь 2-ын үржвэрийн баяжих хугацаа, дараа нь зөвхөн дараа нь, хэрэв

Олон гишүүнтийн рационал язгуур Богино бус гишүүн l/m (l, m нь тооны бүхэл тоо) нь олон тооны коэффициент бүхий баялаг гишүүн f(x)-ын үндэс бол олон гишүүнтийн хамгийн өндөр коэффициент нь хуваагдах боломжтой болно. m-д, урт хугацаа нь 1-д хуваагдана. Үнэн, f (x )=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, de an, an-1, . . . , a 1, a 0 нь бүхэл тоо, дараа нь f(l/m) = 0, дараа нь an(l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 л/м+a 0=0. дүйцүүлэх үнийн зөрчилтэй хэсгийг mn-ээр үржүүлнэ. anln+an-1 ln-1 m+ авна. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Anln=m (-an-1 ln-1 -...- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1) дуугарна.

Бачимо, anln бүхэл тоо нь m-д хуваагдана. Ale l/m нь богино бус дриб тул l ба m тоо нь харилцан энгийн боловч бүхэл тоонуудын хүчинтэй байдлын онолын дагуу ln ба m тоонууд мөн харилцан энгийн байдаг. Отжэ, m-д хуваагдах anln, m нь ln-ээс харилцан энгийн, мөн ан-ыг м-д хуваах. f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8 гэсэн баялаг нэр томъёоны оновчтой үндэсийг бид мэднэ. Теоремын дагуу олон гишүүнтийн оновчтой үндэс нь l / m хэлбэртэй богино бус бутархайн дунд олддог, de l нь a 0 \u003d 8 чөлөөт нэр томъёоны дилник, m нь a хамгийн өндөр коэффициентийн дилник юм. 4 \u003d 6. Хэрэв тийм бол l / m нь сөрөг байвал "-" тэмдэг нь дугаарын залгалт дээр гарч ирнэ. Жишээлбэл, - (1/3) = (-1)/3. Мөн l нь 8 тооны хүчин зүйл, m нь 6 тооны эерэг хүчин зүйл гэж хэлж болно.

8-ын тооны осциллятор - tse ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, 6-ын тооны эерэг өргөсгөгч нь 1, 2, 3, 6 байх ба дараа нь харагдсан баян нэр томьёоны оновчтой үндэс нь дараах тоонд багтана. тоонууд ± 1, ± 1/2, ± 1 /3, ±1/6, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8/3. Бид богино бутархайгаас илүү ихийг бичсэн гэж бодож байна. Энэ дарааллаар бид хорин тоотой байж болно - "нэр дэвшигчид" үндэс. Үндэсэндээ үнэнч байгаа мэт тэдний арьсыг эргэн харж, сонгох л үлдлээ. Роботыг хөнгөвчлөх теорем ирж байна. l/m нь олон коэффициенттэй f(x) олон гишүүний язгуур мөн л бол оюун ухааны хувьд ямар ч бүхэл тоонд f(k) l-km-д хуваагдана, l-km≠0.

Теоремыг батлахын тулд бид f(x)-ийг x-k іz-д хэт их хуваадаг. Бид f(x)=(x-k)s(x)+f(k) хасна. Oskіlki f(x) нь qlimi коэффициент бүхий баялаг нэр томьёо, тэгвэл ийм баялаг нэр томъёо нь s(x), f(k) нь бүхэл тоо юм. s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Дараа нь f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ ... +b1x+b0). Энэ тэнцвэрт байдлыг 1 x=l/m төлье. Хэрэв f(l/m)=0 бол f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+ …+b 1(л/м)+б 0). Үлдсэн өмчийн зөрчилтэй хэсгийг mn-ээр үржүүлнэ: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . mnf (k) тоо l-км-т хуваагдах нь тодорхой байна. Ale oskіlki l і m нь харилцан энгийн, тэгвэл mn і l-km нь мөн харилцан энгийн, мөн f (k) нь l-km-д хуваагдана. Теорем дууссан.

Өгзөг рүүгээ эргэж, теоремыг баталсны дараа рационал язгуурын авианы тухай бүр ч их сонсогддог. k=1 і k=-1 хувьд теоремыг оноох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл, богино бус drіb l/m нь f(x) нэр томъёоны үндэс учир f(1)/(l-m), ба f(-1)/(l + m) . f(1)=-5, f(-1)=-15 үед гэдгийг мэдэхэд амархан. Хүндэтгэсэн, нэгэн зэрэг, бид үүнийг нэг харцаар унтраасан ± 1. Цаашид бидний баялаг нэр томъёоны оновчтой үндэс нь дараах тооны дунд тооны ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2 юм. , ± 2/3, ± 4/3, ± 8 /3. l/m=1/2 гэж үзье. Дараа нь l-m=-1 ба f(1)=-5 бүхэл тоонд хуваагдана. Dalі, l+m=3 і f(1) =-15 тул өөрөө 3-т хуваагдана. Тэгэхээр drіb 1/2 нь "нэр дэвшигчдийн" дунд язгуурт үлдэнэ.

Одоо lm=-(1/2)=(-1)/2 гэж үзье. Энэ тохиолдолд l-m=-3 і f(1) =-5 нь - 3-т хуваагдахгүй. Тэгэхээр drіb -1/2 нь энэ баялаг нэр томьёоны үндэс болж чадахгүй бөгөөд бид үүнийг алсаас хааж болно. Энэ нь буудлага арьс хэрэглэх нь дахин авч үзэх шаардлагатай байна, бид үндэс нь тоо 1/2, ± 2/3, 2, - 4 дунд олддог гэдгийг харгалзан энэ зэрэглэлд, ижил энгийн трик дуусгах, гэж үзсэн олон гишүүнтийн оновчтой язгуурын муж нь утга учиртай сонсогдов. За, орхигдсон тоонуудыг дахин шалгахын тулд бид Horner схемийг ашиглаж болно: Хүснэгт 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Бачимо, scho 1/2 нь f(x) ба f(x) = (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) гэсэн баялаг нэр томъёоны үндэс юм. ) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). f(x) олон гишүүнтийн бусад язгуурыг g(x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8 олон гишүүнтийн язгуураас авсан нь тодорхой байсан бөгөөд дараа нь "нэр дэвшигчдийг" дахин шалгана. үндсийг аль хэдийн ижил олон гишүүнтээс хийж болно. Бид мэднэ: Хүснэгт 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Бид g(x)-ийг x-2/3-т хуваахад илүүдлийг нь хассан - 80/9 , дараа нь. 2/3 нь g(x) олон гишүүнт үндэс биш, мөн i f(x). Цаашилбал, - 2/3 нь g (x) ба g (x) \u003d (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4) олон гишүүнтийн үндэс гэдгийг бид мэднэ.

Дараа нь f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Нэмэлт баталгаажуулалтыг x 2+2 x-4 олон гишүүнт хийх боломжтой бөгөөд энэ нь илүү энгийн, g (x)-ийн хувьд бага эсвэл f (x)-ийн хувьд том байна. Үүний үр дүнд 2 i - 4 тоонууд үндэслэгдээгүй гэдгийг харгалзан үздэг. Мөн баян гишүүн f(x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 нь 1/2 i - 2/3 гэсэн хоёр рационал язгууртай. Энэ арга нь олон тооны коэффициент бүхий баялаг нэр томъёоны зөвхөн оновчтой үндэсийг мэдэх боломжийг олгодог. Тим заримдаа эхийн баян гишүүн, үндэслэлгүй үндэс болдог. Жишээлбэл, баян нэр томъёоны өгзөгийг харахад зөвхөн хоёр үндэс байдаг: - 1±√5 (баян нэр томьёоны эдгээр үндэс нь x2 + 2 x-4). олон гишүүнтийг материаллаг бус рационал үндэс гэж нэрлэж болно.

Бусад теоремуудыг боловсруулсны дараа f(x) баялаг нэр томьёоны язгуурт "нэр дэвшигчдийг" шалгахдаа нэр дэвшигчдийн зүүнийг k=± 1 гэж нэрлэнэ. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв l/m нь "нэр дэвшигч" бол цагт. үндэс, тэгвэл та l-m ба l+m дээрх f( 1 ) ба f(-1) зөв гэж хэт их бодох болно. Гэхдээ энэ нь жишээлбэл, f(1) =0 байж болно, өөрөөр хэлбэл 1 нь язгуур, дараа нь f(1)-ийг тоо болгон сунгаж болох бөгөөд дахин баталгаажуулалт нь утга учиртай болно. Энэ тохиолдолд f(x) -ийг x-1-д хуваах тул f(x)=(x-1)s(x) гэж аваад s(x) олон гишүүнтийг шалгана. Хэрэв та олон гишүүнт f(x)-x 1=1 гэдгийг мартсан бол бид аль хэдийн мэдэж байсан. Хэрэв "нэр дэвшигчид" нь рационал язгуурын тухай өөр теоремын дараа алдагдсан язгуур дээр урвуу байгаа бол Хорнерын схемийн дараа жишээлбэл, l / m нь язгуур байх боломжтой бол та түүний үржвэрийг мэдэх хэрэгтэй. Хэрэв энэ нь илүү үнэтэй бол k, f(x)=(x-l/m) ks(x) гэж хэлвэл s(x)-д дахин дахин баталгаажуулалт хийх боломжтой бөгөөд энэ нь тооцоог богиносгох болно.

Шийдэл. y=2 x өөрчлөлтийг өөрчилсний дараа хамгийн өндөр алхамд нэгтэй тэнцүү коэффициенттэй олон гишүүнт рүү шилжье. Энэ мөрний хувьд бид виразыг 4-өөр үржүүлбэл язгуурын үйл ажиллагааг авбал өмхий үнэр нь чөлөөт гишүүний дундаас олддог. Бичих боломжтой ix: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15±, ±20, ±30, ±60

Бид эдгээр цэгүүдэд g(y) функцийн утгыг тэг хүртэл дараалан тооцоолно. Тобто, y=-5 є язгуур, otzhe, є гадаад функцийн язгуур. Бином дээр баялаг нэр томъёоны stovpchik (ороомог) дор явуулсан

Алдагдсан дилниковын дахин шалгалтыг бүрэн гүйцэд хийхгүй байх ёстой, тиймээс дөрвөлжин гурвалсан Отжег хасах үржүүлэгч болгон байрлуулах нь илүү хялбар болно.

Vykoristannya хурдан үржүүлгийн томьёо ба Ньютоны бином нь баялаг нэр томьёог хүчин зүйл болгон өргөжүүлэх Иноди. хуучин төрхүржүүлэгч дээр йог түгээх аргын талаар санал болгох олон гишүүнт. Жишээлбэл, үл нийцэх өөрчлөлтүүдийн дараа Ньютоны биномийн коэффициентүүдийн хувьд Паскалийн трикотоос дараалан vishikovyvayutsya коэффициентүүд. өгзөг. Үржүүлэгчийн нэр томъёог гарга.

Шийдэл. Бид үүнийг цэг рүү эргүүлж байна: Зэвсэгт байгаа нийлбэр дэх коэффициентүүдийн дараалал нь энэ нь юу болохыг тодорхой харуулж байна. Үүнтэй адилаар, Одоо бид квадратуудын зөрүүний томъёог томъёолох болно: Вираз нь нөгөө нум нь үйлдлийн язгуургүй, харин эхний нуман дахь баялаг нэр томъёоны хувьд бид квадратуудын зөрүүний томъёог дахин томъёолж байна.

Виетийн томьёо нь олон гишүүнтийн коэффициентийг язгуураар илэрхийлдэг. Эдгээр томьёоны тусламжтайгаар та баялаг нэр томъёоны язгуурын утгын зөвийг гараар засч залруулж, мөн өгөгдсөн үндэсийн баялаг нэр томъёог нугалж болно. Томъёо Олон гишүүнтийн язгуурын хувьд коэффициентүүд нь язгууруудын тэгш хэмт баялаг гишүүнээр илэрдэг ба

Өөрөөр хэлбэл, k язгуураас боломжтой бүх бүтээлийн нийлбэр. Олон гишүүнтийн ахлах коэффициентийн хувьд бүх коэффициентийг Виетийн томъёоноос өмнө 0 болгон хуваах шаардлагатай. Үлдсэн томъёоноос Vієta хүчтэй, баян гишүүний язгуур нь бүхэл тоо юм шиг, дараа нь өмхий үнэр нь його чөлөөт гишүүний дилникс бөгөөд энэ нь мөн бүхэл тоо юм. нотлох баримт үндэс дагуу баялаг нэр томъёоны зохион байгуулалт хол авч тэнцэх үзэл дээр тулгуурласан, vrakhovuchi, a 0 = 1 Х ижил түвшинд коэффициентүүдийг тэнцүүлэх Vієta томъёонд хэт автсан байна.

Зэрэгцүүлэлтийг тайлна x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Тайлна. y 2 - 5 y + 4 \u003d 0-ийг харахтай тэнцүү ч гэсэн y \u003d x 3, өөрөөр хэлбэл Y 1 \u003d 1; Y 2 \u003d 4. Otzhe, vyhіdne r_vnyannya нь rіvnyan-ийн гэрлэлттэй тэнцүү байна: x 3 \u003d 1 chi x 3 \u003d 4, өөрөөр хэлбэл X 1 \u003d 1 чи X 2 \u003d Vidp;

Bezout Destination теорем 1. Элементийг баян гишүүний язгуур гэж нэрлэдэг тул f(c)=0. Безутын теорем. Pn(x) олон гишүүнтийн хоёр гишүүнд (х-а) хуваагдахад илүүдэл нь x = a үед олон гишүүнтийн утгыг нэмэгдүүлнэ. авчирч байна. Алгоритмын дагуу f(x)=(xc)q(x)+r(x), de эсвэл r(x)=0, өөрөөр хэлбэл. Дараа нь f(x)=(x-c)q(x)+r, дараа нь f(c)=(c-c)q(c)+r=r, f(x)=(xc)q(x) + f(c).

Сүүлийн 1: Pn (x) олон гишүүнт хоёр гишүүний ax+b-д хуваагдах илүүдэл нь x = -b/a, R = Pn (-b/a) үед олон гишүүнт илүү үнэ цэнэтэй байна. Сүүлийн 2: a тоо нь олон гишүүнт (x-a)-д илүүдэлгүйгээр хуваагддаг P (x) олон гишүүнтийн үндэс учир. Хичээл 3: P(x) олон гишүүнт нь a 1 , a 2 , … , an, vin гэсэн хос язгууруудыг tvir (x-a 1) … (x-an)-д илүүдэлгүйгээр хуваах боломжтой. Хичээл 4: n алхамын баян гишүүн нь n өөр үндэстэй гурваас илүү байж болно. Хичээл 5: Аливаа олон гишүүнт P(x)-ын хувьд а тоо нь өөр (P(x)-P(a)) хоёр гишүүнд (х-а) илүүгүй хуваагддаг. Хичээл 6: P(x)-ыг (х-а) илүүгүй хуваасан тохиолдолд л P(x) зэрэгтэй олон гишүүнтийн үндэс нь эхнийхээс багагүй байна.

Рационал бутархайг хамгийн энгийн бутархай дээр байрлуулах нь зөв рационал бутархайг хамгийн энгийн бутархайн нийлбэр дээр тарааж болох эсэхийг харуулъя. Үүнд зөв оновчтой аргумент өгье (1).

Теорем 1. k загварын хошууны язгуурыг x=а є, тэгвэл , de f(a)≠ 0, дарааллаар нь бусад хоёр энгийн бутархайн нийлбэрээр ижил зөв бутархайг өгч болно: ( 2) , ба F 1 (x) нь баялаг нэр томъёо бөгөөд алхам нь стандартын алхамаас доогуур байна.

de richomember, стандартын зарим төрлийн доод шатны алхам. I урагшлах томьёоны нэгэн адил авч болно: (5)

Бидний өмнө дурьдсанчлан, баялаг тодорхойлогдсон нэр томъёоны онолын хамгийн чухал ажлуудын нэг бол тэдгээрийн үндсийг ойлгох явдал юм. Энэ даалгаврыг биелүүлэхийн тулд та сонгон шалгаруулах арга болох tobto-г ялах боломжтой. энэ олон гишүүнтийн үндэс болох бодит тоог аваад өөрчил.

Үүний тусламжтайгаар та үндэс дээр shvidko ууж болно, эсвэл та үүнийг огт мэдэхгүй. Ажэ бүхэл тоонуудые гажуудуулжа ябаха аргагүй, һайн баяһаа.

Инша гол, yakby бид хошигнолын хувьд бүс нутгийг дуугарч чадсан, жишээ нь, язгуур нь юу болохыг мэдэхийн тулд, жишээ нь, гучин заасан тооны дунд. Мөн гучин тооны хувьд та реверб дээр ажиллах боломжтой. Сахалтай холбоос дээр бид илүү чухал гэж хэлдэг бөгөөд бид ийм хатуу байдлыг хардаг.

l/m (l,m - тооны бүхэл тоонууд) нь бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт f(x)-ын язгуур мөн л бол олон гишүүнтийн дээд коэффициент нь m-д хуваагдаж, том гишүүн нь хуваагдана. 1-ээр.

Үнэхээр f(x) = anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, de an, an-1,...,a1, a0 нь тооны бүхэл тоо бол f (l /m) = 0, дараа нь (л/м) n+an-1 (л/м) n-1+...+a1l/m+a0=0.

дүйцүүлэх үнийн зөрчилтэй хэсгийг mn-ээр үржүүлнэ. anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0 гэж авна.

Дуу чимээ гарч байна:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Бачимо, anln бүхэл тоо нь m-д хуваагдана. Ale л / м - богино drіb биш, tobto. l ба m тоонууд нь харилцан энгийн бөгөөд бүхэл тоонд хуваагдах онолын дагуу ln ба m тоонууд нь харилцан энгийн байдаг. Отжэ, m-д хуваагдах anln, m нь ln-ээс харилцан энгийн, мөн ан-ыг м-д хуваах.

Олон тооны коэффициент бүхий баялаг нэр томьёоны оновчтой язгуурыг хайх замаар тухайн газар нутгийг утга учиртай болгохын тулд сэдвийг хөндсөн. Бид үүнийг тодорхой програм дээр харуулах болно. f(x) = 6x4+13x2-24x2-8x+8 гэсэн баялаг нэр томъёоны оновчтой язгуурыг бид мэднэ. Теоремийн дагуу олон гишүүнтийн рационал язгуур нь l / m хэлбэртэй богино бус бутархайн дунд байдаг, de l нь урт хугацааны a0 = 8, m нь хамгийн өндөр коэффициентийн дилник юм. a4 = 6. Хэрэв тийм бол yakscho drіb l/m сөрөг байвал "-" тэмдэг vodnosimeme тоонд. Жишээлбэл, - (1/3) = (-1)/3. Мөн l нь 8 тооны хүчин зүйл, m нь 6 тооны эерэг хүчин зүйл гэж хэлж болно.

8-ийн тооны осциллятор - tse ±1, ±2, ±4, ±8, 6-ын тооны эерэг өргөсгөгч нь 1, 2, 3, 6 байх ба шалгасан баялаг нэр томъёоны оновчтой үндэс нь дунд байна. тоонуудын ±1, ±1/2, ± 1 /3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Бид богино бутархайгаас илүү ихийг бичсэн гэж бодож байна.

Энэ дарааллаар бид хорин тоотой байж болно - "нэр дэвшигчид" үндэс. Үндэсэндээ үнэнч байгаа мэт тэдний арьсыг эргэн харж, сонгох л үлдлээ. Гэхдээ дахин хэлэхэд би маш их засвар хийх хэрэгтэй болно. Мөн тэнхлэг ирж байна, теорем нь роботын ажлыг хөнгөвчлөх болно.

l/m нь олон тооны коэффициенттэй f(x) олон гишүүний язгуур мөн л бол f(k) нь k бүхэл тоо, жишээ нь l-km?0 байхаас үл хамааран l-km-д хуваагдана.

Теоремыг батлахын тулд бид f(x)-ийг x-k іz-д хэт их хуваадаг. f ав (x) = (х-к) с (x) +f (k). f(x) нь олон тооны коэффициент бүхий баялаг гишүүн тул ийм олон гишүүнт нь s(x), f(k) нь бүхэл тоо юм. s(x) = bn-1+bn-2+…+b1x+b0 гэж үзье. Дараа нь f(x) - f(k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0). Энэ тэнцвэрт байдлыг x=l/m төлье. Враховоючи, scho f (l / m) = 0, энэ нь боломжтой

f (k) = ((л/м) - к) (бн-1 (л/м) n-1+бн-2 (л/м) n-2+…+b1 (л/м) +b0) .

Үлдсэн атаархлын гомдсон хэсгийг mn-ээр үржүүлнэ:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

mnf (k) тоо l-км-т хуваагдах нь тодорхой байна. Ale oskіlki l і m нь харилцан энгийн, тэгвэл mn і l-km нь мөн харилцан энгийн, мөн f (k) нь l-km-д хуваагдана. Теорем дууссан.

Одоо өгзөг рүүгээ эргэж орцгооё, теоремыг баталсны дараа рационал язгуурын авиа гарахад илүү чанга сонсогдоно. k=1 і k=-1 хувьд теоремыг оноох шаардлагатай тул. богино бус drіb гэж l/m нь f(x), дараа нь f(1)/(l-m) ба f(-1)/(l+m)-ийн үндэс юм. f(1) =-5, f(-1) =-15 гэдгийг мэдэхэд амархан. Хүндэтгэсэн, бид нэг харцаар ±1 халдварыг унтраасан.

Мөн манай баялаг нэр томьёоны оновчтой үндэс нь ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3.

l/m=1/2 гэж үзье. Дараа нь l-m=-1 ба f(1)=-5 бүхэл тоонд хуваагдана. Dalі, l+m=3 і f(1) =-15 тул өөрөө 3-т хуваагдана. Тэгэхээр drіb 1/2 нь "нэр дэвшигчдийн" дунд язгуурт үлдэнэ.

Одоо lm = - (1/2) = (-1) / 2 гэж үзье. Энэ тохиолдолд l-m=-3 і f(1) =-5 нь - 3-т хуваагдахгүй. Тэгэхээр drіb - 1/2 нь энэ баялаг нэр томьёоны үндэс болж чадахгүй бөгөөд бид үүнийг алсаас хааж болно. Арьсны жороор олгох тариаг дахин авч үзэх шаардлагатай бөгөөд үндэс нь 1/2, ±2/3, 2, - 4 тоонуудын дунд байгааг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Энэ зэрэглэлд ижил энгийн заль мэхийг дуусгахын тулд тэд дүн шинжилгээ хийсэн олон гишүүнтийн оновчтой язгуурыг хайж олохын тулд бүс нутгийг утга учиртай сонсов. За, тоонуудыг дахин шалгахын тулд бид Хорнерын схемийг ашигладаг.

Хүснэгт 10

Тэд g (x)-ийг x-2/3-т хуваахад илүүдлийг нь 80/9-тэй тэнцүү гэж авч үзсэн тул 2/3 нь g (x) хэмээх баялаг нэр томьёоны үндэс биш, харин i f (x) гэсэн утгатай. .

Цаашилбал, - 2/3 нь g(x) ба g(x) = (3x+2) (x2+2x-4) олон нэр томъёоны үндэс гэдгийг мэдэхэд хялбар байдаг. Дараа нь f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Нэмэлт баталгаажуулалтыг x2+2x-4 олон гишүүнтэд хийж болох бөгөөд энэ нь илүү энгийн, бага g(x) эсвэл том f(x) байх нь ойлгомжтой. Үүний үр дүнд 2 i - 4 тоонууд үндэслэгдээгүй гэдгийг харгалзан үздэг.

Мөн f(x) = 6x4+13x3-24x2-8x+8 гэсэн баялаг томьёо нь 1/2 i - 2/3 гэсэн хоёр оновчтой язгууртай.

Аргын илүү олон тайлбар нь олон коэффициент бүхий баялаг нэр томъёоны оновчтой үндсийг мэдэх боломжийг олгодог. Тим заримдаа эхийн баян гишүүн, үндэслэлгүй үндэс болдог. Тэгэхээр жишээ нь баян гишүүний өгзөгийг харахад - 1±v5 (баян гишүүний эдгээр язгуур нь x2 + 2x-4) гэсэн хоёр л үндэс байдаг. Тэгээд ч баян гишүүн бол ухаалаг язгуурын эх биш байж магадгүй.

Одоо хатагтай аз жаргалтай байна.

f(x) баялаг нэр томъёоны язгуурт "нэр дэвшигчдийг" туршиж үзэхдээ илүү олон теоремыг боловсруулсны дараа vipadkіv k=±1 гэж зүүн талд дуугарна. Өөрөөр хэлбэл, l/m нь язгуур "нэр дэвшигч" тул f (1) ба f (-1) -ийг l-m, l+m гэж хувааж болох эсэх нь эсрэгээрээ байна. Гэхдээ жишээлбэл, f (1) = 0, дараа нь 1 нь язгуур, дараа нь f (1) нь тоонд хуваагдаж болох бөгөөд бидний дахин баталгаажуулалт нь утга учиртай болно. I энд дараагийн алхам бол f (x) -ийг x-1-д хуваах явдал юм. f(x) = (x-1) s(x) гэж аваад s(x) олон гишүүнтийг шалгана. Хэрэв та f(x) – x1=1 гэсэн баялаг нэр томъёоны нэг үндэс гэдгийг мартаагүй бол бид аль хэдийн мэдэж байсан. Рационал язгуурын тухай өөр теоремын дараа алдагдсан "нэр дэвшигчдийг" үндсээр нь буцаах тохиолдолд Хорнерын схемийн дараа жишээлбэл, l / m нь язгуур байж магадгүй тул та түүний үржвэрийг мэдэх хэрэгтэй. Хэрэв энэ нь илүү үнэтэй бол k, дараа нь f(x) = (x-l/m) ks(x) гэж бодъё, мөн s(x)-д дахин баталгаажуулалт хийж болно, энэ нь тооцоог богиносгох болно.

Энэ зэрэглэлд бид том коэффициент бүхий баялаг нэр томъёоны оновчтой язгуурыг мэдэж сурсан. Рациональ коэффициент бүхий баялаг нэр томъёоны иррационал язгуурыг бид өөрсдөө мэдэж сурсан бололтой. Үнэн хэрэгтээ би чадах чинээгээрээ, жишээлбэл, f (x) \u003d x4 + 2 / 3x3 + 5 / 6x2 + 3 / 8x + 2 гэсэн баялаг нэр томъёо, дараа нь унтаж буй хошуунд коэффициентүүдийг нэмж, йог нэмсэн. гараараа бид f (x) \u003d 1 /24 (24x4+16x3-20x2+9x+48) авна. Олон гишүүнт f(x) үндэс нь зэвсэг дээр зогсож байгаа баялаг нэр томьёоны үндэс, шинэ коэффициент - тоонуудаас үүссэн нь тодорхой байв. Жишээлбэл, sin100 бол иррационал тоо гэж бодъё. sin3?=3sin?-4sin3? гэрийн томъёогоор хурдасгах. Одод sin300 = 3sin100-4sin3100. Sin300=0.5 болж, эвгүй хувиргалт хийж байгаа хүмүүсийг эргэн харахад бид 8sin3100-6sin100+1=0 гэж үзэж болно. Мөн sin100 нь f(x) = 8x3-6x+1 нэр томъёоны үндэс юм. Бид тэр баян гишүүний язгуур үндэсийг үндэслэлтэй гэж үздэг шиг, бидэнд тэд байхгүй. Отже, син100-ын үндэс нь рационал тоо, тобто. sin100 бол иррационал тоо юм.

Аливээ

- алхамын баялаг гишүүн n ≥ 1 z цогцолбор хувьсагчийн үр дүнтэй утгад комплекс коэффициентуудын үр дүнтэй утга бүхий a i . Дараах теоремыг баталъя.

Теорем 1

Тэгшлэх P n (z) = 0Би нэг үндэс хүсч болох уу.

Лема ирцгээе.

Лемма 1

P n гэж үзье (z)- n, z алхамын баялаг гишүүн 1 - голын үндэс:
П н (z1) = 0.
Тоди П н (z)харах замаар нэг талаар тодруулж болно:
П н (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
de P n- 1(z)- баялаг нэр томъёо алхам n - 1 .

авчирч байна

Үүнийг батлахын тулд теорем гаргая (хуваа. Олон гишүүнийг олон гишүүнт нугалах ба хожуулд хуваах), ямар ч хоёр баялаг гишүүн P n боломжтой. (z)би Qk (z), n ба k алхамууд, үүнээс гадна n ≥ k
П н (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
de P n-k (z)- n-k алхамын баялаг нэр томъёо, U k- 1(z)- алхамын баялаг хугацаа нь k-ээс ихгүй байна 1 .

k = гэж тавья 1 , Qk (z) = z - z 1бас
П н (z) = (z - z 1) P n-1 (z) + в,
de c - хурдан. Энд z = z гэж төсөөлөөд үз дээ 1 тэр vrahuєmo, scho P n (z1) = 0:
П н (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + в;
0 = 0 + c.
Zvіdsi c = 0 . Тоди
P n,
юу авчрах шаардлагатай байсан.

баялаг нэр томъёог үржүүлэгч болгон өргөжүүлэх

Мөн 1-р теоремын үндсэн дээр баялаг нэр томъёо P n (z)Би нэг үндэс хүсч болох уу. Чухал ач холбогдол бүхий yogo yak z 1 , P n (z1) = 0. Леми 1-ийн стенд дээр мөн адил:
П н (z) = (z - z 1) P n-1 (z).
Дали, н > шиг 1 , дараа нь олон гишүүнт P n- 1(z)тэгэхээр би нэг язгуурыг хүсч болох уу, энэ нь z шиг утга учиртай 2 , Pn- 1(z2) = 0. Тоди
Pn- 1 (z) = (z - z 2) P n-2 (z);
П н (z) = (z - z 1) (z - z 2) P n-2 (z).

Энэ үйл явцыг үргэлжлүүлснээр бид n тоо z байна гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ 1, z 2, ..., z nтиймэрхүү
П н (z) = (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n) P 0 (z).
Але П 0 (z)- tse postiyna. Коэффициентийг z n дээр тэнцүүлэх нь илүү үнэтэй гэдгийг мэддэг a n . Үүний үр дүнд бид баялаг нэр томъёог үржүүлэгчид хуваах томъёонд автдаг.
(1) П н (z) = a n (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n).

z i є тоонуудыг P n гэсэн баялаг нэр томъёоны язгуурт (z).

zagalny vpadku үед бүх з и биш, scho өмнө нь оруулах (1) , Ризні. Тэдний дунд ижил үнэ цэнэ байж болно. Хэрхэн баялаг нэр томъёог үржүүлэгч болгон өргөжүүлэх вэ (1) Та нүдээрээ бичиж болно:
(2) П н (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Энд i ≠ j-ийн хувьд z i ≠ z j байна. Якшо н би = 1 , дараа нь үндэс z i уучлахыг уриалав. Vіn харагдах үед үржүүлэгч нь зохион байгуулалт дээр оруулна уу (z-z i). Якчо н и > 1 , дараа нь үндэс z i олон талын олон үндэс гэж нэрлэдэгн би. n i анхны үржүүлэгчийн олборлолтыг харахдаа үржүүлэгчийн байршлыг оруулна уу: (z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i.

Үр дүнтэй коэффициент бүхий баялаг нэр томъёо

Лемма 2

Энэ нь үр дүнтэй коэффициент бүхий олон гишүүнтийн нийлмэл язгуур тул тоо нь олон гишүүнтийн язгууртай нийлмэл хамааралтай, .

авчирч байна

Дейсно, яксчо, олон гишүүнт коэффициентүүд - Dіysnі тоонууд, дараа нь.

Энэ дарааллаар нийлмэл үндсийг үржүүлэгчийн зохион байгуулалтад цогц утгаараа хосоор нь оруулсан болно.
,
de, - Бодит тоо.
Ижил зохион байгуулалт (2) Үржүүлэгчийн үр дүнтэй коэффициент бүхий баялаг нэр томъёог зөвхөн үр дүнтэй хурдан байгаа тохиолдолд л гаргаж болно.
(3) ;
.

Баялаг үгийг үржүүлэгчид хуваах аргууд

Дээр дурдсан зүйлийг сайжруулснаар олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгон задлахын тулд P n (z) = тэгшитгэлийн бүх язгуурыг мэдэх шаардлагатай. 0 мөн тэдгээрийн олон талт байдлыг тодорхойлох. Нарийн төвөгтэй үндэстэй үржүүлэгчийг цогц байдлаар бүлэглэх шаардлагатай. Ижил зохион байгуулалт нь томъёоноос хамаарна (3) .

Энэ зэрэглэлд баялаг нэр томъёог үржүүлэгч болгон түгээх аргыг довтолгоонд ашигладаг.
1. Бид z үндэсийг мэднэ 1 тэнцүүлэх P n (z1) = 0.
2.1. Якшчо үндэс з 1 үр дүнтэй, дараа нь байршилд бид үржүүлэгчийг нэмнэ (z-z1) (z-z1) 1 :
.
1(z), цэгээс эхлэн (1) , Бид бүх үндсийг мэдэх хүртэл.
2.2. Нарийн язгуурын хувьд є тоо нь баялаг нэр томьёоны язгуур болгон цогц байдлаар олддог. Todі тавихаасаа өмнө үржүүлэгчийг оруулна уу

,
де б 1 = - 2 x 1, в 1 = x 1 2 + y 1 2.
Миний бодлоор, зохион байгуулалтанд бид үржүүлэгчийг нэмдэг (z 2 + b 1 z + c 1) i баялаг нэр томъёог P n (z) -аар шингэлнэ (z 2 + b 1 z + c 1). Үүний үр дүнд бид n алхамын баялаг нэр томъёог авдаг. 2 :
.
P n- олон гишүүнт үйл явцыг давтъя. 2(z), цэгээс эхлэн (1) , Бид бүх үндсийг мэдэх хүртэл.

Баян гишүүний язгуурын мэдлэг

төв оффис, олон гишүүнт хүчин зүйл болгон тэлэхийн хамт його язгуурын ач холбогдол. Харамсалтай нь та үргэлж аналитик байдлаар ажиллах боломжгүй. Хэрэв та баялаг нэр томъёоны үндсийг аналитик байдлаар мэдэж чадвал бид энд vipadkiv-ийн sprat-д дүн шинжилгээ хийх болно.

Эхний шатны баян гишүүний язгуур

Эхний алхамын баян гишүүн нь салшгүй функц юм. Ганц л үндэс бий. z-ийн өөрчлөлтийн өшөөг авахын тулд байршил нь зөвхөн нэг үржүүлэгч байж болно:
.

Өөр түвшний баян гишүүний үндэс

Өөр түвшний баялаг нэр томъёоны үндсийг мэдэхийн тулд квадратыг тэнцүүлэх шаардлагатай.
П 2(z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Ялгаварлагчийн хувьд хоёр жинхэнэ үндэс байдаг:
, .
Үржүүлэгчийг хар л даа:
.
D = дискриминант гэж юу вэ 0 , дараа нь тэнцүү байж болно нэг dvorazovy үндэс:
;
.
Ялгаварлан гадуурхагч Д< 0 , тэгвэл үндэс нь илүү төвөгтэй,
.

Баялаг илэрхийлсэн алхам нь өөр

3, 4-р алхмуудын баялаг сегментүүдийн үндэс утгын хувьд Іsnuyu томъёо. Тэдэнтэй хамт уйтгарлах нь ховор, өмхий үнэр нь том хэмжээтэй байдаг. 4-ээс дээш баян хэллэгтэй зэрэглэлийн язгуур мэдлэгийн томъёо байхгүй. Газар дээр нь үл тоомсорлон, deyakih vipadkas-д хүн баялаг нэр томъёог үржүүлэгч болгон тарааж эхэлдэг.

Бүх үндэсийн ач холбогдол

Боломжит бүх утгыг эрэмбэлж мэдэх боломжтой тооны тоо, язгуурын тоо гэсэн зарим коэффициентуудын хувьд энэ нь баялаг нэр томъёо юм шиг санагддаг.

Лемма 3

Надад баян хүүхэн өгөөч
,
коэффициентүүд a i үүнээс - z-ийн үндэс байж болох тооны тоо 1 . А тоотой дилниктэй ижил үндэс 0 .

авчирч байна

Тэнцүү P n-ийг дахин бичье (z1) = 0хараад:
.
Тоди - циле,
Мз 1 = - a0.
z-д хуваагдана 1 :
.
Oskіlki M - qile, дараа нь i - qile. Юу авчрах болов.

Тиймээс олон гишүүнтийн коэффициентүүдийн хувьд тоонуудын тоогоор та язгуурын тоог мэдэхийг оролдож болно. Хэнд зориулж чөлөөт гишүүний бүх хэлникийг мэдэх шаардлагатай 0 і, тэнцүүлэх орлуулалт P n (z) = 0, perverti, chi є тэр тэнцүү үндсийг нь өмхий.
Анхаарна уу. Олон гишүүнтийн коэффициентүүд нь рационал тоонууд тул P n-тэй тэнцүү үржүүлнэ (z) = 0 a i тоонуудын өндөр стандарт дээр бид бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт тэгшитгэлийг авдаг.

Рационал язгуурын утга

Олон гишүүнтийн коэффициентүүд - тооны тоо ба язгуурын тоо нь тийм биш тул n ≠ хувьд 1 , та оновчтой үндсийг мэдэхийг оролдож болно. Хэнд зориулж сэлгээ хийх шаардлагатай вэ
z = y/a n
ба n n-ээр тэнцүү үржүүлэх 1 . Үүний үр дүнд бид өөрчлөлтийн хэлбэрээр болон коэффициентийн тоогоор баялаг нэр томъёоны тэгш байдлыг харгалзан үздэг. Дали шукаймо нь баян гишүүний язгуур, дунд гишүүний чөлөөт гишүүн. Бид ийм язгуур y i-г мэддэг байсан тул x өөрчлөлт рүү шилжвэл бид оновчтой язгуурыг авна.
z i = y i / a n.

Өнгөт томъёо

Бид томъёог танилцуулж, тэдгээрийн тусламжтайгаар олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгон өргөжүүлэх боломжтой.

Баян гишүүнийг тавихын тулд илүү харгис зантай байх
П н (z) = z n - a 0,
де а 0 - энэ нь илүү төвөгтэй тул йогийн бүх үндсийг мэдэх шаардлагатай бөгөөд ингэснээр та ижил зүйлийг тайлж чадна.
z n = a 0 .
Tsіvnyannya нь батлах мэт андуурахад хялбар байдаг 0 модулиар дамжуулан r i аргумент?
.
Оскилки а 0 аргумент нэмэхийн тулд өөрчлөх хэрэггүй 2 π, дараа нь төсөөлөөд үз дээ 0 хараад:
,
de k – qile. Тоди
;
.
k k = утгыг оноож байна 0, 1, 2, ... n-1, Бид олон гишүүнтийн n үндэсийг авна. Үржүүлэгчид зориулсан Тоди йогогийн загвар нь дараах байдалтай байж болно.
.

Хоёр квадрат багатоник нэр томъёо

Биквадрат нэр томъёог харцгаая:
.
Биквадратаар баялаг нэр томъёог үндэсгүй, үржүүлэгчид хувааж болно.

Хэзээ, магадгүй:

,
де.

Квадрат болгон багасгаж болох хоёр куб ба баян сегментүүд

Баян гишүүнийг харцгаая:
.
Його үндэс нь тэнцүү гэсэн утгатай:
.
хүртэл удирдуулсан болно квадрат тэгшитгэхорлуулалт t = z n :
а 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Виришивши цэ эвэ, бидэ ёһо үндые мэдэдэг, т 1 , т 2 . Хэрэв бид зохион байгуулалтыг хараад:
.
Дали аргын дагуу үүнийг харцгаая, үүнийг z n - t үржүүлэгч болгон өргөжүүлье 1 би з н - т 2 . Висновка нь үржүүлэгчдийн бүлэгтэй бөгөөд үндсийг цогц байдлаар өшөө авдаг.

Эргэдэг иш

Баян гишүүнийг дуудаж байна буцахяксчо йогогийн коэффициентүүд тэгш хэмтэй байна:

Хадгалах боломжтой багато гишүүний өгзөг:
.

Урвуу олон гишүүнт n-ийн алхамууд хосгүй тул ийм олон гишүүнт үндэс z = байж болно. -1 . Ийм баян нэр томьёог z-д хуваах нь + 1 , бид алхамын өгөөжийн баялаг нэр томъёог авдаг

Тэнцүү, тэгш бус байдлыг хуваах тохиолдолд олон гишүүнтийг гурав ба түүнээс дээш тооны үржүүлэгчид хуваах шаардлагатай гэж буруутгадаг. Үүнийг хэрхэн хялбар болгох талаар бид эдгээр статистикийг харж болно.

нь zavzhd шиг, онолын тусламжийн төлөө араатан.

Безутын теорем stverzhuє, олон гишүүнтийг хоёр гишүүнт dorivnyuє болгон хуваахад scho илүүдэл.

Гэхдээ бидний хувьд чухал зүйл бол теорем өөрөө биш, харин Үүний үр дагавар:

Тоо нь олон гишүүнтийн үндэс учир олон гишүүнтийг хэт олон хоёр гишүүнгүйгээр хувааж болно.

Бидний өмнө баялаг нэр томьёоны нэг язгуурыг хэрхэн мэдэхийг мэдэх даалгавар байна, дараа нь бид баялаг нэр томъёог де - баялаг нэр томъёоны үндэс гэж хуваана. Үүний үр дүнд бид баян гишүүнийг авдаг, нэгнийх нь хөл нь нэгээр бага, доод нь гаднах хавирга юм. Дараа нь хэрэглээний хувьд та үйл явцыг давтаж болно.

Цэ завдання хоёр хуваагдав: баян нэр томъёоны язгуурыг хэрхэн мэдэх, баян нэр томьёог хоёр гишүүнд хэрхэн хуваах.

Эдгээр цэгүүдийг сурвалжилцгаая.

1. Баян гишүүний язгуурыг яаж мэдэх вэ.

Гарын ар талыг хүндэтгэдэг, чи нь баян гишүүний язгуурын 1 ба -1 тоо юм.

Энд бидэнд туслах зарим баримтууд байна:

Олон гишүүнтийн бүх коэффициентүүдийн нийлбэр тэгтэй тэнцүү тул уг тоо нь олон гишүүнтийн үндэс болно.

Жишээлбэл, коэффициентүүдийн нийлбэрийн олон гишүүнт нь тэгтэй тэнцүү байна: . Баян гишүүний үндэс нь юу вэ гэдгийг буруугаар тайлбарлахад амархан.

Хосолсон алхмууд дахь олон гишүүнтийн коэффициентүүдийн нийлбэр нь хосгүй үе дэх коэффициентүүдийн нийлбэртэй ижил байх тул тоо нь олон гишүүнтийн үндэс болно. Vilniy гишүүн давхар түвшинд vvazhaetsya коэффициент, oskolki, мөн - залуу тоо.

Жишээлбэл, хосолсон алхмуудын коэффициентүүдийн нийлбэрийн олон гишүүнтэд : , хосгүй үе дэх коэффициентүүдийн нийлбэр : . Баян гишүүний үндэс нь юу вэ гэдгийг буруугаар тайлбарлахад амархан.

Хэрэв олон гишүүнтийн үндэс рүү nі 1, nі -1 є байвал зай нурна.

Алхамын өдөөгдсөн баялаг хугацааны хувьд (ахлах коэффициент нь at - тэргүүлэгч коэффициент болох баялаг нэр томъёо хүртэл) дараах томъёо хүчинтэй байна.

Де - баян гишүүний үндэс.

Олон гишүүнтийн бусад коэффициентүүд байдаг гэсэн Vієta-ийн илүү том томъёо байдаг, гэхдээ бид өөрсдөө энэ тухай ярьж болно.

Z tsієї томъёо Vієta viplivaє, scho бүхэл тооны баян гишүүний язгуур гэж, дараа нь його чөлөөт гишүүний дилникүүдийн өмхий үнэр нь мөн л бүхэл тоо юм.

Виходячи з цого, бид баялаг нэр томьёоны хувьсах гишүүнийг үржвэр болгон, хамгийн багаас том руу нь урвуу дарааллаар нь олон тооны үгийн аль нь баялаг нэр томьёоны язгуур байх ёстой.

Үүнийг хар л даа, жишээ нь баян гишүүн

Чөлөөт гишүүний өдрийн тэмдэглэл: ; ; ;

Олон гишүүнтийн бүх коэффициентүүдийн нийлбэр илүү үнэтэй тул 1-ийн тоо олон гишүүнтийн үндэс байхаа больсон.

Ихэр алхамуудын коэффициентүүдийн нийлбэр:

Хослогдоогүй алхамуудын коэффициентүүдийн нийлбэр:

Мөн -1 тоо нь олон гишүүнтийн үндэс мөн.

Чи нь баялаг нэр томьёоны үндэс болох 2-ын тоо байх нь буцаах боломжтой: мөн 2-ын тоо нь баялаг нэр томьёоны үндэс юм. Хожим нь Безоутын теоремыг дагаж баялаг нэр томъёог илүүдэлгүйгээр хоёр гишүүнд хувааж болно.

2. Баялаг гишүүнийг хоёр гишүүнд хэрхэн хасах вэ.

Баян нэр томьёо нь хожуултай хоёр нэр томъёонд хуваагдаж болно.

Бид баялаг нэр томьёог stompchik бүхий бином болгон хуваадаг.

Олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваах хоёр дахь арга бол Хорнерийн схем юм.

Ойлгохын тулд видеог үзээрэй Нэмэлт Хорнерийн схемд зориулж i алхам бүхий баялаг нэр томъёог хоёртын гишүүнд хэрхэн хуваах.

Rozpodіlі stovpchik нь vyhіdny олон гишүүнт vіdsutnya-д танил бус алхмууд шиг үед її mіstsі Хорнерын схемийн атираат хүснэгтээс і шиг 0 гэж бичихийг би хүндэтгэх болно.

Тиймээс бид баялаг нэр томъёог хоёртын гишүүн болгон хувааж, үр дүнд нь баялаг гишүүнийг авах шаардлагатай тул Хорнерын схемийн цаадах коэффициентийг мэдэж болно.

Бид бас ялалт байгуулж чадна Хорнерын схемурвуу болгохын тулд тоо нь баян гишүүний язгуураар өгөгдсөн бол: хэрэв тоо нь баян гишүүний язгуур бол баян гишүүний дэд талбар дахь илүүдэл нь тэгтэй тэнцүү байх тул үлдсэн баганад Хорнер схемийн нөгөө эгнээнд бид 0-ийг авна.

Vikoristovuyuchi Horner-ийн схемийн дагуу бид "хоёр шувууг нэг чулуугаар тогшдог": нэг цагт бид тоо нь баялаг нэр томьёоны үндэс гэдгийг шалгаж, баян нэр томъёог хоёр нэр томъёонд хуваадаг.

өгзөг.Виришити Ривнянниа:

1. Чөлөөт гишүүний дилникийг бичиж, чөлөөт гишүүний дунд хэлникийн баян гишүүний язгуурыг шукатимо.

24-ийн тооны харилцан яриа:

2. Урвуу байдлаар, чи нь баялаг нэр томъёоны 1-р язгуур юм.

Олон гишүүнтийн коэффициентүүдийн нийлбэр, мөн 1-ийн тоо нь олон гишүүнтийн үндэс юм.

3. Хорнерийн схемийг ашиглан гадагш чиглэсэн баялаг нэр томъёог хоёртын гишүүнд хуваа.

A) Гаралтын олон гишүүнтийн коэффициентүүдийн хүснэгтийн эхний мөрийг бичнэ үү.

Oskіlki гишүүн, scho өшөө vіdsutnya, тэр хүснэгтийн ширээн дээр, бид 0 бичих үед коэффициент байж болох юм. Бид мэдлэгийн муу үндэс бичдэг: тоо 1.

B) Хүснэгтийн эхний мөрийг хадгал.

Үлдсэн баганад, энэ нь тодорхой юм шиг бид тэгийг хасч, дэлхий сүүлийн баян гишүүнийг илүүдэлгүйгээр хоёр нэр томъёонд хуваасан. Хүснэгтийн өөр эгнээнд цэнхэр өнгийн зургийн доор байгаа олон гишүүнтийн коэффициентүүд:

1 ба -1 гэсэн тоонууд нь баялаг нэр томъёоны үндэс биш гэдгийг буруугаар ойлгоход хялбар байдаг

C) Бид ширээгээ үргэлжлүүлнэ. Урвуу байдлаар, чи нь баялаг нэр томъёоны үндэс болох 2 тоо юм:

Тэгэхээр дэд гишүүний үр дүнд гарч ирэх олон гишүүнтийн алхам нь гаралтын баялаг гишүүний алхамаас нэгээр бага, мөн коэффициентийн тоо, баганын тоо нэгээр бага байна.

Үлдсэн баганад бид -40-ыг хассан - тэг дээр нэмдэггүй тоо, тиймээс баялаг нэр томъёог илүүдэлээс хоёртын гишүүнээр хуваадаг бөгөөд 2-ын тоо нь баялаг нэр томъёоны үндэс биш юм.

C) Урвуу байдлаар, чи нь баялаг нэр томъёоны үндэс болох -2 тоо юм. Тиймээс, өмнөх шигээ шалгалт тийм ч хол биш байсан тул коэффициент бүхий луйвар гараагүй тул би шалгалтаа баталгаажуулж байна.

Гайхамшигтай! Илүүдлээс тэгийг салгаж аваад, баян гишүүнийг илүүдэлгүй хоёр гишүүнд хуваасан ба -2 тоо нь баян гишүүний язгуур юм. Зургийн хүснэгтэд ногоон өнгөөр ​​олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваадаг олон гишүүнтийн коэффициентүүд.

Үүний үр дүнд бид гурвалсан квадратыг хассан , үүний үндэс нь Вьетнам теоремын цаанаас мэдэхэд хялбар байдаг:

Отже, гадаад сэргэлтийн үндэс:

{}

Зөвлөмж: ( }

Якчо баян гишүүн

авчирч байна

Бүхэл тоотой олон гишүүнт коэффициентүүд, 3-р баялаг гишүүний язгууртай а тоог байг. Дуу чимээ нь хором бүрт гэрэлтдэг нэгэнд коэффициентийг a-д хуваана.

Хүндэтгэл. Энэ теорем нь эдгээр баялаг нэр томъёоны коэффициент нь тоо, үндэс нь бол хамгийн баян нэр томъёоны үндсийг мэдэх боломжийг танд олгоно. оновчтой тоо. Теоремыг дараах байдлаар дахин томъёолж болно: олон гишүүнтийн коэффициентүүд нь тооны тоо, йогийн үндэс нь рационал гэдгийг мэддэгтэй адил рационал язгуур нь зөвхөн тооны дилник шиг de p-тэй адил байж болно. (чөлөөт нэр томьёо), мөн q тоо нь тооны өргөсгөгч юм (ахлах coy) .

Бүх язгуурын тухай теорем,өөрөөсөө юу өшөө авах вэ

Хэрэв α бүхэл тоо нь коэффициентийн тоо бүхий баялаг гишүүний язгуур бол α нь йогийн чөлөөт гишүүний дилник болно.

авчирч байна. Аливээ:

P(x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

qlimi коэффициент ба qile тоо α - його үндэс бүхий баялаг нэр томъёо.

Дараа нь язгуурын утга тэнцэнэ P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Нумын хувьд Виносячи загалный үржүүлэгч α, тэнцлийг хас:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , одод

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

a 0 , a 1 ,…a n-1 , an i α −tsіlі тооны хэлтэрхийнүүд, дараа нь нумууд нь бүхэл тоо байх ёстой, дараа нь, a n-ийг α-д хуваана, учир нь i-г дуусгах боломжтой байсан.

Теоремыг авчирсан боловч үүнийг ийм байдлаар томъёолж болно: коэффициентийн тоо бүхий олон гишүүнтийн язгуурын тоо нь эхний чөлөөт гишүүний өргөсгөгч юм.
Суурийн теорем дээр бүхэл тооны коэффициент бүхий баялаг гишүүний бүхэл язгуурыг хайх алгоритм:

2. Үндэс утгын тухай Додаткова теорем

Хэрэв бүхэл тооны коэффициент бүхий баялаг P(x) гишүүний хэд хэдэн α-язгуур байвал P(1) тооны α-1 хуваагч, P(-1) тооны α+1 хуваагч байна.

авчирч байна. 3 ижил байдал

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

b і c тооны тооноос bⁿ-cⁿ тоо b∙c-д хуваагддаг болохыг харж болно. Ямар ч баян гишүүн P жижиглэнгийн хувьд Ale

P (b)-P(c)= (a 0 b+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

і, мөн zіlimi коэффициент бүхий P олон гишүүнтийн хувьд і zіlih тоо b і c ялгаа P(b)-P(c) нь b-c-д хуваагдана.

Санаж үзье: b = α, z = 1, P (α)-P (1) = -P (1)-ийн хувьд P (1) нь α-1-д хуваагдана гэсэн үг юм. Үүнтэй адил өөр нэг үзэл бодол бий.

Хорнерын схем

Теорем:Богино хугацааны drіb p / q є үндэс тэнцүү байг a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 олон коэффициенттэй, ижил тоо q є ахлах коэффициент a0-ийн дилник, мөн тоо Р є dilnik чөлөөт гишүүн an.

Хүндэтгэл 1. Ёогийн чөлөөт гишүүний коэффициент, дилникийн тоогоор харилцааны үндэс байх.

Хүндэтгэл 2.Ахлах коэффициент нь замын 1 коэффициентийн тоотой тэнцүү байгаа тул бүх оновчтой үндэс, өмхий нь мэдэгдэж байгаа тул - тоо.

Баян гишүүний үндэс.Баян гишүүний үндэс f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n є x = c , Тэгээд юу гэж е (в)=0 .

Тайлбар 3.Якчо x = c баян гишүүний үндэс , тэгвэл баялаг нэр томъёог дараах байдлаар бичиж болно. f(x)=(x−c)q(x) , де tse хувийн үзэл дор баян гишүүн f(x) мономиал руу х-в

Та Horner-ийн схемийг ашиглан баялаг нэр томъёог мономиал болгон хувааж болно.

Якчо f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a0 ≠0 , g(x)=x−c , дараа нь rozpodіlі үед е (x) дээр g (x) хувийн q(x) харж болно q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , де b 0 = a 0 ,

b k = c b k − 1 + a k , k=1, 2, ,n−1.илүүдэл r томъёог мэддэг r=c b n − 1 +a n

Шийдэл:Ахлах түвшний коэффициент 1-тэй тэнцүү; 2; 3; дөрөв; 6; 12. Vikoristovuyuchi Horner-ийн схем, бид тэнцүү үндэс тоог мэднэ:

Хорнерын схемийг сонгох нэг үндэс бий. тэгвэл та ингэж болно x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3