Коэффициентийн тооноос олон гишүүнтийн тоо. Kіntsev талбайнууд, баялаг сегментчилсэн kіltsy дээр үндэслэсэн. Талбай дээрх нэг zminnoy дахь баян сегментүүд

Талбай дээрх баялаг нэр томъёоны цагираг (цагираг дээрх баялаг нэр томъёоны үндсэн дээр) бүхэл тоон Z цагирагийн чадалтай ойролцоо хэд хэдэн тодорхой эрх мэдэлтэй байж болно. Podіlnіst richom. Dobre vіdomy талбар R гаруй олон гишүүнт нь "kutom" төстэй арга замаар зөвхөн коэффициент дээр арифметик dії ба ямар ч талбар k дээр маш баялаг нэрлэсэн яагаад байгаа юм. Вин тэгээс бусад хоёр баялаг нөхцөлийг p,sk [x]-д q (илүү хувийн биш) ба r (илүүдэл) гэсэн баялаг нөхцлүүдийг өдөөх боломжийг олгож байгаа бөгөөд энэ нь p = q * s + r, үүнээс гадна r = 0 юм. , эсвэл градус (r)< deg(s). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным (или приведенным), если его старший коэффициент равен 1. Определение. Общим наибольшим делителем ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД(p, s), что 1. ОНД(p, s) | p; ОНД(p, s) | s. 2. q | p, q | s q | ОНД(p, s). По определению, для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0. Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов. Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения. Основная теорема теории делимости (для многочленов). Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q. Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги. Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень(но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим: r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0, то deg(r) Замечание. Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов ОНД для подходящих многочленов. Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.

Үр дагавар. Be-yaky іdeal іѕ kіltї баян талбай є osnovnym гаруй articulated. Үнэн, гэж үзье p - OND бүх олон гишүүнт багтсан, идеал I. Todi, de Идеал зорилгын хувьд, одод тодорхой, ямар, дараа нь, I = (p). Үржүүлэх. Талбайг deyka-д авчрах, p, q, s нь к дээр баялаг хэллэгтэй байдаг. Хэрэв p=q*s, үүнээс гадна q ба s олон гишүүнт нь бага, бага p байж болох юм бол p олон гишүүнтийг хөтчийн олон гишүүнт (k талбар дээрх) гэж нэрлэдэг. Нөгөө тохиолдолд p нь буурах боломжгүй юм. k[x] цагираг дахь бууруулж боломгүй баялаг нэр томъёо нь Z цагираг дахь анхны тооны аналог юм. Тэг биш олон гишүүнт p=-ийг зурагтаар томруулж болох нь ойлгомжтой: p= *, бүх олон гишүүнтүүд k-ээс багасдаггүй бөгөөд 1-тэй тэнцүү илүү өндөр коэффициенттэй байж болно. Үүнийг үржүүлэгчийн яг дараалалд хүргэж болно. Zrozumilo, олон тооны хооронд ижил байж болно; ийм үржүүлэгчийг үржвэр гэж нэрлэдэг. Олон хүчин зүйлийг нэгтгэж, та ижил схемийг дараах байдлаар бичиж болно: p = 0. Хэрэглэх. нэг.. Эхний алхамын баялаг нэр томъёо нь аль ч талбараас доогуур биш гэдгийг хүндэтгэх нь зүйтэй. Үржүүлэгч x є олон, хоёрдугаарт - энгийн. 2. Рационал тоонуудын Q талбар дээр баялаг гишүүнийг тавьж болохгүй. Үнэн, хэрэв ()=(x-a)*q бол x=a-ийн тэнцвэрийг батлах шаардлагатай: , энэ нь ямар ч боломжгүй юм. оновчтой тооа. Ярианы тоонуудын R талбар дээрх ижил олон гишүүнт өдөөгддөг: , үүнээс гадна, бусад үржүүлэгч нь сөрөг ялгавартай бөгөөд R дээр өргөжүүлэх боломжгүй. Зрештою, талбайн дээгүүр С нийлмэл тоо maєmo: , de = - 1-ийн шоо язгуур. Энэ тохиолдолд эх үүсвэрийн бууралтыг ойлгох боломжтой бөгөөд ийм талбар дээр олон гишүүнт харагдах болно. Өдөөхгүйн тулд баян гишүүдийн эрх мэдэл. 1. Энэ нь p-багасахгүй баялаг гишүүний хувьд i d = OND (p, q) 1, тэгвэл p | q. Үнэн, p = d*s і so deg(s)>0, p-ийн буурахгүй байдлыг хэт тооцоолохын тулд і so deg(s)=0, тэгвэл d | QP | q. 2. Хэрхэн х | i p нь индукц биш, харин p | чи п | . Үнэн, тэгэхгүй бол gcd(p,) = gcd(p,) =1 тул худал байдлын онолын үндсэн теоремууд, од: мөн, тэгвэл gcd(p,)=1 i, мөн, deg(p)=0 .

3. Бүхэл бүтэн байдлын муж дээрх олон гишүүнтүүдийн тойрог.

Цаашилбал, бид зөвхөн K хэмжигдэхүүн дэх коэффициент бүхий баялаг нэр томъёог авч үзэх болно (тэг өргөтгөлгүй тойргийг тоо хэмжээний бүс гэж нэрлэдэг), өөрөөр хэлбэл. kіltsya K-аас, хоёр элементийн нэмэлт нь тэг хүрч болно, жишээлбэл, үржүүлэгчдийн нэг нь тэг хүрч болно. Цэ завжди увазид хараал иддэг, навит яксчо тусгайлан хэлэлцэхгүй.

Нарийвчилсан тодорхойлогдсон n үе шатыг нэмэхэд m үе шат нь томьёо (2)-д байгаа тул ахлах гишүүн бөгөөд илүү чухал (коэффицент нь ). Kіltsі-д тэг байхгүй тул, otzhe, . Манай миркуваннягаас ингэж уйлж байна

Kіltsі K тэг байхгүй бол Tsya томъёо є nerіvnostі (5) vipadku-д зориулж тодруулсан. Формула (6) нь бас хүчинтэй бөгөөд f(x), g(x) эсвэл өөр баялаг нөхцлүүдийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байсан ч гэсэн. Иймд тэгээс өөр хоёр баялаг гишүүнийг нэмэх нь тэгээс өөр баялаг гишүүн байх тул үүнд дараах теорем хүчинтэй байна.

Теорем 1

Функцийн талаарх ижил оньсого өшөө авахгүйн тулд бид олон гишүүнтийн алгебрийн тодорхойлолтыг өгсөн. Prote, K утгын талбай дээрх арьсны олон гишүүнттэй, байгалийн дарааллыг K-д өгсөн функцтэй холбож, K-д утгыг авч болно.

Нааш ир - K.-ийн коэффициентүүдийн баян гишүүн Энэ нь ямар ч байсан боломжтой юм

баруун хэсэгт de viraz нь K. Oberzhuvannya-ийн төгсгөлд үйлдлүүдийн үр дүн гэж ойлгогддог бөгөөд аль элементийг x0 цэг дэх олон гишүүнт f (x) утга гэж нэрлэдэг. (Х0-г динамик тэнхлэгийн цэг хэлбэрээр илэрхийлж болох юм бол "толбо" гэдэг үгийг дусалтай адилтгаж хэрэглэнэ.) Ийм байдлаар K цагирагийн x0 арьсны элементэд f (x0) элементийг оноож өгдөг. ижил цагираг бөгөөд функц нь өөрөө K-ийн утгуудтай K-д оноогдсон байдаг.

Энэ олон тооны баялаг нэр томъёог нэмэх нь функцууд дээр хийгддэг хамгийн чухал үйлдлүүдээр хийгддэгийг харуулах болно, хэрэв тэдгээрийг нэмбэл эсвэл функцүүдийн утгыг арьсны цэг дээр үржүүлбэл тодорхой болно. .

Хоёр олон гишүүнтийг авч үзье: , . h(x) = f(x) + g(x) – їх нийлбэр гэж үзье. Арьсны хувьд h(x0)= =f(x0) + g(x0) гэж бодъё. Томъёонд тохирсон (1) = , де , Юу болон үүнийг авчрах шаардлагатай.

Одоо ирээрэй - нэмэлт баялаг нэр томъёо f(x) ба g(x). Үүнийг арьсны хувьд гэж хэлье. Бид эквивалентыг үржүүлдэг , . Kіltsі K үйл ажиллагааны Koristuyuchis хүч (zokrema, commutativeness болон ассоциатив олон), бид авч: , де . (2) томъёогоор авсан үр дүнг тэнцүүлэх нь сахал ургах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь .

Энэ дарааллаар хоёр баян гишүүний нийлбэрээр (яг нэмэлтээр) дүрслэгдсэн функц нь эдгээр баян гишүүдээр илэрхийлэгдсэн функцүүдийн нийлбэр (яг нэмэлт) байна.

Олон гишүүнт ба тэдгээрийн функцүүдийн ижил төстэй байдал нь хоёрдмол утгагүй юм шиг санагдаж байна. Prote, K цагираг нь шавхагдашгүй тул K[x] цагирагаас өөр олон гишүүнтүүд үргэлж өөр өөр функцтэй байх ёстой.

Үлдэгдэл бүтээгдэхүүний тухай (XTO). Теорем. Алив - тоонуудыг хосоор нь тоолж, = , ..., ижил 1, =, -ийг сонго. Системийн Тоди шийдэл харагдах болно: . Ця теорем є нэг цагийн хувьд ортогональ суурийн аргын үндэс нь би илүүдэл ангиудын системээс байрлалын тооллын системд шилжих болно. Илүүдэл ангиудын тогтолцооны үндэс суурийг тавь; = = - Системийн мужийг тохируулна уу. Системийн сонголтыг дараахь байдлаар тодорхойлно.

4. Хоёртын блюз. Математик нь шинжлэх ухааны хувьд харилцан энгийн бөгөөд эвхэгддэг объектуудын ертөнцийг (яриа, үзэгдэл, үйл явц) бий болгодог. Бодит байдлаас хийсвэрлэхдээ математик нь нэгдмэл, хоёртын болон бусад цэнхэр өнгийг хардаг. Хоол тэжээлийн хувьд хоёртын блюзийг харах шаардлагатай бөгөөд тэдний эрх мэдэл нь нэг үржүүлэгч дээр тогтсон эквивалент тэнцлийг хүндэтгэдэг. Ингээд харцгаая...

X*y. Талбарыг k нэгдэлтэй ийм ассоциатив солигдох цагираг гэж нэрлэдэг бөгөөд үүний төлөө тэгээс өөр элемент байж болно: . Ийм зэрэглэлд талбайн томилгооны хувьд өдрийн өдрүүд тэг болно. Бөгжийг R (+, *) алгебрийн хоёр үйлдэлтэй хязгааргүй гэж нэрлэдэг бөгөөд эдгээр нь: 0. R цагирагны тэдгээр элементүүдийг урвуу гэж нэрлэдэг, учир нь тэдгээр нь үржүүлэх үйлдэл, өгөгдсөн үед хязгаарлагдмал R юм. хэрэг...

Цахилгааны инженерийн галерейд ажиллаж байсан Чимээгүй сансрын цонхыг илүү хэмнэлттэй байлгах өгөгдлийг хэмнэх технологийг бий болгох боломжийн талаар бодож эхлэв. Тэдний нэг нь үүсгэн байгуулагч Клод Элвуд Шеннон байв орчин үеийн онолмэдээлэл. Тэр цагаас хойш Хаффман, Шеннон-Фано товойлгох алгоритмуудын талаар суралцах нь илүү практик болсон. Тэгээд 1977 онд. математикч Жакоб Зив, Абрахам Лемпел нар...

Kіntsі талбаруудыг олон тооны бүхэл тооноос дуудсантай адилаар баялаг хуваагдсан тооноос дуудаж болно. Надад баялаг хэллэгтэй бөгж өгье F[x]талбай дээгүүр Ф.Яг үүнтэй адил тэднийг бөгж авахыг уриалав З, vodnosin бөгж, та урамшуулж, vodnosin бөгж болно F[x].Вибелючи s F [x]нэлээд баян гишүүн p(x),та vіdnosin, vicorist-ийн бөгжийг нэрлэж болно p(x)бүх тойргийн арифметикийн даалгаварт зориулсан модуль болгон. Бид санал болгох баян гишүүнээс бага хараанд автсан байна, obmezhennya нь хэлтэрхий оюун ухаан нь зохисгүй ач холбогдолгүй мэддэг.

Томилгоо 2.4.1.Нэлээд өдөөгдсөн баян гишүүний хувьд p(x)талбай дээгүүр тэг биш алхам Фбүх олон гишүүнтийн хувийн бус байдал гэж нэрлэдэг F,олон гишүүнтийн алхамаас алхмуудыг нь сонгоно p(x), sмодуль бүрт баялаг нэр томъёог нугалах, үржүүлэх үйлдлүүд p(x).Цэ бөгж нь дамжин гэсэн үгээр хүлээн зөвшөөрөгддөг F(x)/(p(x)).

Нэмэлт элемент r(x) kіltsya F[x]та бөгжний элементийг дүрсэлж болно PF[x]/(p(x))тусламжийн төлөө r(x)-Р P(X).Хоёр элемент a(x)і б(х) h F[x],нэг бөгөөд ижил элемент болгон дүрсэлсэн байна F[x]/(p(x)),тэнцүү гэж нэрлэдэг:

a(x) = b(x)(mod p(x)).

Тоди б(х)= Өө)+Q (x) p (x) deyaky баян гишүүний хувьд Q(x).

Теорем 2.4.2.Нэргүй F1х]/(р(х)) є kіltsem.

авчирч байнаУншигчийн зөв байх гэж найдаж байна.

Vibero in kіltsі баялаг хэлэмжтэй Г.Ф(2), жишээлбэл, баялаг нэр томъёо p(x)= x 3+1. Модуль бүрт баялаг нэр томъёоны ижил цагираг p(x)нэг Г.Ф(2) [x] / (x 3 +нэг). Энэ нь элементүүдээс бүрддэг

{0, 1, x, x + 1, x 2, x 2 + 1, x 2 + x, x 2 + x + 1).Энэ цагирагт олон тоо ялалт байгуулна, жишээлбэл, дараах дарааллаар:

(x 2 +1) (x 2) = R x 3 + 1 ((x 2 +1) (x 2)) = R x 3 + 1 ((x 3 +1) x + x 2 + x) \u003d x 2 + x,

de vikoristano бууруулах дүрмийн дагуу x 4 = x (x 3+ 1) + X.

Теорем 2.4.3.Олон гишүүнтийн цагираг нь өдөөгдсөн баялаг гишүүн p(x)-ийг модуль болгох нь ижил талбар бөгөөд зөвхөн баялаг гишүүн p(x) энгийн тохиолдолд л болно.Энгийн баялаг нэр томьёо нь нэгэн зэрэг индукцгүй, индукцтэй байдаг гэж таамаглаж үзье. p(x)-ийн бууралтгүй байдлыг нотлох талбарыг өдөөх зорилгоор бид бас хол байгаа олон гишүүнтүүдийг харж чадсан бөгөөд үр дүн нь бага ноцтой шинж чанартай байдаг).

авчирч байна.Надад баян хүүхэн өгөөч p(x)энгийн. авчрахын тулд, бөгж гэж юу вэ, юу харж байна, талбарыг гаргах, хангалттай тэг биш элементийн арьс үржвэрийн өгөөж байж болно гэдгийг харуулах. Нааш ир (X)-цагирагны зарим тэг бус элемент. Тоди дэг с (X)< градус p(x). Oskіlki баян гишүүн p(x)энгийн, дараа нь gcd = 1. Дараа нь 2.3.7

NID = 1 =a(x)p(x) + b(x) s(x)

тодорхой баян гишүүдийн хувьд Өө)і b(x).Отже,

1 = Р p(x)[ 1] = Р p(x)=Р p(x){ Р p(x)

Коэффициенттэй бусад баян гишүүдгүйгээр бачити хийхэд хялбар байдаг КБи солигддог цагираг хийдэг бөгөөд энэ нь илэрхийлэгддэг к[x] ба зэрэглэл баялаг үе мөчний гаруй бөгж к . Тэмдэг xҮүнийг "могой" гэж нэрлээд эхэлвэл винил гэсэн нэр томъёо нь тодорхой байна олон гишүүнт функцууддээрх Рэсвэл дууссан C. Гэсэн хэдий ч zagalnomu нь баялаг хэллэг бүхий олон гишүүнт функцтэй байдаг - бүхэл бүтэн яриа; жишээлбэл, төгсгөлийн талбар дээр $\backslash mathbb\; F\_p$баялаг сегмент дэх энгийн тооны элементүүдээс $x$і $x^p$нэг ба ижил функцийг тохируулах, гэхдээ өөр өөр баялаг нэр томъёо байдаг (баян нэр томъёог бүх коэффициентүүдтэй тэнцүү эсвэл ижилээс бага гэж үзнэ). Отже, өөрчил xдээд талбарт орох боломжгүй к; бөгжний тухай к[x] та ингэж бодож болно: бид талбарын олон элементэд шинэ элемент нэмнэ xҮүний тулд Хятадын аксиомууд ялалт байгуулсан xталбайн элементүүдээс шилжих.

Элементүүдийн скаляр болон баялаг гишүүний тоог талбараас скаляраар үржүүлж болно. к, энэ нь үнэндээ талбар дээрх ассоциатив алгебр юм к. Яаж харах вэ к[x] сарлаг вектор орон зай(тиймээс үржүүлгийн талаар март), 1-р элементтэй шавхагдашгүй үндэслэл байж болно, x, x 2 гэх мэт.