Цагираг ба вектор орон зайн матрицууд. Шугаман вектор орон зай: томилгоо, эрх мэдэл. Вектор шугамын зай

Лекц 6. Вектор орон зай.

Үндсэн хоол тэжээл.

1. Вектор шугаман орон зай.

2. Суурь нь орон зайг тэлэх явдал юм.

3. Сансар огторгуй руу чиглүүлэх.

4. Суурийн ард векторыг байрлуулах.

5. Вектор координат.

1. Вектор шугаман орон зай.

Шугаман үйлдлүүдийг харуулсан дурын шинж чанартай элементүүдээс бүрдэх нэргүй байдлыг: хоёр элемент нэмэх, элементийг тоогоор үржүүлэхийг нэрлэдэг. нээлттэй орон зай, Мөн їх элементүүд - векторууд th орон зай і геометрийн і, сарлаг і вектор хэмжигдэхүүнээр томилогдсон: . ВекторуудИйм хийсвэр орон зайг дүрмээр бол хамгийн том геометрийн вектороор төсөөлөх боломжгүй юм. Хийсвэр орон зайн элементүүд нь функц, тооны систем, матриц гэх мэт байж болно, харин okreme тохиолдолд хувьсах векторууд байж болно. Тийм учраас нэрлэх нь заншилтай вектор нээлттэй орон зай .

вектор орон зай, Жишээлбэл, заасан тоо томшгүй олон тооны бус векторууд В1 , харьцуулсан векторгүй В2 , хувь хүний ​​бус вектор том (бодит орон зай) В3 .

Энэ тодорхой випадкагийн хувьд векторын орон зайд гишгүүр өгөх боломжтой.

Цаг 1.Нэргүй вектор гэж нэрлэдэг вектор орон зай, Шугаман хослолын хувьд үржүүлэгчид вектор байгаа эсэхээс үл хамааран энэ нь мөн үржүүлэгчийн вектор юм. Векторуудыг өөрсдөө гэж нэрлэдэг элементүүдвектор орон зай.

Энэ нь онолын болон хэрэглээний хэтийн төлөв, вектор орон зайн илүү хийсвэр (хийсвэр) ойлголтод илүү чухал юм.

Уулзалт 2.Безлич Раль ч хоёр элемент болон нийлбэрийг оноож, аль ч элементийн хувьд width="68" гэж нэрлэдэг элементүүд. вектор(эсвэл шугаман) нээлттэй орон зай, элементүүд шиг - векторууд, векторуудыг нэмж, векторыг тоогоор үржүүлж ирэх оюун ухааныг хангах үйл ажиллагаа гэх мэт ( аксиомууд) :

1) нэмэлт нь солигддог тул gif өргөн = "184" өндөр = "25";

3) ямар ч https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45". 99" өндөр "27"> ийм элемент (тэг вектор) ашиглах;

5) дурын тооны векторын хувьд ийм тоо λ тэнцүү байж болно;

6) ямар ч вектор, ямар ч тоо λ і µ шударга байдал https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" λ і µ шударга ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" .

Вектор орон зайг илэрхийлдэг аксиомуудаас хамгийн энгийнийг нь хэл нотлох баримт :

1. Вектор орон зай нь нэгээс олон тэгтэй - элемент нь тэг вектор юм.

2. Вектор орон зайд нэг вектор байна.

3. арьс элемент vykonuetsya equanimity хүртэл.

4. Ямар ч өдрийн дугаар λ тэг векторын i.

5..gif" өргөн "145" өндөр "28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> тэгш байдлыг хангасан векторыг https://pandia.ru/ гэнэ. текст/ 80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Ө шугаман (вектор) орон зай дахь бүх геометрийн векторуудын Otzhe, fiyno, үл хувь хүн, тиймээс тэдгээрийн элементүүдийн хувьд үржүүлэгч нь аксиомын томъёололд нийцсэн тоогоор нэмэх, үржүүлэхэд хуваарилагдана.

2. Суурь нь орон зайг тэлэх явдал юм.

Суурь болон rozmіrnіst вектор орон зайн stotnimi ойлголт є ойлголт.

Уулзалт.Дууны дарааллаас авсан шугаман бие даасан векторуудын цуглуулга суурьямар орон зай. Вектор. Орон зайд зориулсан агуулахын суурь, гэж нэрлэдэг суурь .

Долны шулуун шугам дээр тархсан хувийн бус векторуудын үндэс нь та нэг коллинеар шулуун векторыг ашиглаж болно.

Онгоцонд үндэслэсэнЭнэ хавтгай дээрх ижил дарааллаар авсан хоёр коллинеар бус векторыг нэрлэе.

Хэрэв суурь векторууд нь хос перпендикуляр (ортогональ) байвал суурь гэж нэрлэдэг ортогональ, мөн хэрэв q векторууд нь нэгтэй тэнцүү давхар байж болох юм бол суурийг дуудна ортонормаль .

Хамгийн том тооШугаман бие даасан векторуудыг орон зайд гэж нэрлэдэг амар амгалантэр орон зай, өөрөөр хэлбэл орон зайн тэлэлт нь энэ орон зайн үндсэн векторуудын тоогоор нэмэгддэг.

Отже, дагиг магтсан нь ойлгомжтой:

1. Нэг ертөнцийн орон зай В1 шулуун шугам бөгөөд суурь нь -аас үүсдэг нэг шугаманвектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39".

3. Өчүүхэн өргөнтэй их уудам В3 , үндэс нь бүрдсэн гурван хосгүйвектор_v.

Шулуун шугам, хавтгай дээрх, бодит орон зайд суурь векторуудын тоо геометрийн хувьд шулуун шугам, хавтгай, орон зайн тоо гэж нэрлэдэг үүнээс хамаарч өөр өөр байдаг юм шиг надад санагдаж байна. Энэ нь илүү илт шийтгэл хүлээх нь зүйн хэрэг.

Уулзалт.Вектор орон зай Рдуудсан n- шинэ ертөнцөд байхаа больсон шиг тайван nшугаман бие даасан векторууд ба томилогдсон Р n. Тоо nдуудсан амар амгаланзай.

rozmіrnostі нээлттэй орон зай podіlyayutsya хүртэл Vіdpovіdno kіntsevіі хязгааргүй. Томилгооноос давсан тэгийн нээлттэй байдлыг тэгтэй тэнцүү гэж үзнэ.

Хүндэтгэл 1.Арьсны орон зайд та хэдэн суурь хэрэгтэйг зааж өгч болно, гэхдээ энэ зайны бүх суурь нь ижил тооны векторуудаас нэмэгддэг.

Тайлбар 2. At n- тайван вектор орон зайд, суурь нь захиалгат дараалал байгаа эсэхээс үл хамаарна nшугаман бие даасан векторууд.

3. Сансар огторгуй руу чиглүүлэх.

Учир нь орон зайг чиглүүлэхийн тулд тодорхой үндэс суурийг тавьж, эерэгээр илэрхийлэх шаардлагатай .

Орон зайн хувийн бус суурь нь хоёр ангид хуваагдаж, хоёр дэд үржвэрт хуваагдаж, давхцдаггүй болохыг харуулж болно.

a) нэг дэд олон (анги)-д хамаарах бүх суурь байж болно Гэсэн хэдий ччиг баримжаа (ижил цэсний үндэс);

б) орших дурын хоёр суурь амьдрал p_dmnozhin (ангиуд), мают protilezhnuчиг баримжаа, ( өөрсуурь).

Хэрэв суурийн хоёр ангиллын нэг нь эерэг, нөгөө нь сөрөг байвал өргөн хүрээтэй юм шиг санагддаг. чиглэсэн .

Ихэнхдээ сансарт чиглэхдээ нэг суурь гэж нэрлэдэг засаглах, мөн хоёрдугаар - ливими .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" өргөн "61" өндөр "24 src="> нэр дүрэм, Гэсэн хэдий ч, гурав дахь векторыг хамгаалах үед эхний векторын хамгийн богино эргэлт нь байна жилийн эсрэг сум(Зураг 1.8, а).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" өргөн "15" өндөр "23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Цагаан будаа. 1.8. Баруун суурь (а) зүүн суурь (б)

Эерэг үндэслэлээр дуугар

Баруун (ливи) суурийг орон зайд хуваарилж, нэмэлт дүрмийн хувьд "баруун" ("зүүн") шураг эсвэл мушгих боломжтой.

Cim-тэй зүйрлэснээр баруун, зүүн гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлсэн гурван ихэрЗахиалгатай холбоотой нийтийн бус векторууд (Зураг 1.8).

Ийм байдлаар, зэрлэг хандлагаар төлөвлөгдөөгүй векторуудын хоёр дараалсан гурвалсан орон зайд ижил чиглэлтэй (ижил) байж болно. В3 гомдлын өмхий үнэр нь зөв, эсвэл доромжилсон бол зүүн, эсрэг чиг баримжаа (өөр), хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь зөв, нөгөө нь үлддэг.

Тохиромжтой, зайтай төстэй В2 (дөрвөлжин).

4. Суурийн ард векторыг байрлуулах.

Энгийн байх үүднээс толин тусгалыг тривимир вектор орон зайн жишээн дээр харж болно Р3 .

Нааш ир - dovіlny вектор tsgo зай.

ВЕКТОР ЗАЙ (шугаман орон зай) нь алгебрийн үндсэн ойлголтуудын нэг бөгөөд (чөлөөт) векторуудын нийлбэрийг ойлгоход хялбар болгодог. Вектор орон зайд векторууд нь объект мөн эсэх, хэрэв тэдгээрийг тоогоор нэмж, үржүүлэх боломжтой бол тооцно; шаардлагатай бол алгебрийн үйлдлүүдийн үндсэн хүч нь анхан шатны геометрийн векторуудтай адил байна. Яг тодорхой заасан тоогоор тэдгээр нь K талбайн элементүүдээр солигдоно. K талбар дээрх вектор орон зайг V-ээс элементүүдийг нэмэх үйлдэлтэй, V-ээс элементүүдийг K талбарын элементүүдээр үржүүлэх үйлдлээр хувь хүний ​​бус V гэж нэрлэдэг. , энэ нь эрх мэдлийг бий болгоход хүргэж болзошгүй:

x + y \u003d y + x нь x, y z V эсэхээс үл хамааран V-г Абелийн бүлэг болгон нугалж болно;

Аливаа λ z K і x, y z V-ийн хувьд λ(x + y) = λ χ + λy;

(λ + μ)х = λх + μх ямар ч λ, μ z K і x z V;

(λ μ)х = λ(μх) дурын λ, μ z K i x z V;

1x \u003d x нь V-ээс ямар ч x-ийн хувьд, энд 1 нь K талбайн нэгдлийг илэрхийлнэ.

В векторын орон зай є: үржүүлэгч L 1 L 2 і L 3 энгийн геометрийн бүх векторууд, шулуун шугам дээр байгаа бололтой, векторуудыг нугалах, тоогоор үржүүлэх гайхалтай үйлдлүүд бүхий орон зай дахь хавтгай і; координатын вектор орон зай K n , түүний элементүүд нь є бүх мөрүүд (векторууд) нь K талбарын элементүүдтэй n бөгөөд үйлдлүүдийг томъёогоор өгөгдсөн.

Тогтмол үржүүлэгч M-д хуваарилагдсан бүх функцүүдийн хувийн бус F(M, K) ба To талбарт утгыг авна, функц дээр хамгийн чухал үйлдлүүд:

λ 1 e 1 + ... n = 0 Є K. Эсрэг чиглэлд e 1 , e 2 , ·· элементүүдийг e 1 ..., e n векторын орон зайн элементүүдийг шугаман бие даасан гэж нэрлэдэг. ·> e n -ийг шугаман уринш гэж нэрлэдэг. Хэрэв V вектор орон зайд n + 1 элемент e 1 ,..., e n+1 шугаман тодорхойгүй, n шугаман бие даасан элемент байвал V-г n-дэлхийн вектор орон зай, n-ийг V вектор орон зайн хэмжээс гэнэ. Байгаа n шугаман бие даасан векторуудын хувьд V векторын орон зай V байх шиг V-ийг хязгааргүй вектор орон зай гэнэ. Жишээ нь, вектор орон зай L 1 , L 2 , L 3 і K n ижил аргаар 1-, 2-, 3- болон n-mіrnі; хэрэв M хувийн бус бол вектор орон зай F(M, K) хязгаарлагдахгүй.

K талбар дээрх V ба U векторын орон зайг изоморф гэж нэрлэдэг бөгөөд ингэснээр φ : V -> U нь харилцан өвөрмөц бөгөөд x, y z V аль алинд нь φ(x+y) = φ(x) + φ(y) болно. ба дурын λ z K i x z V-ийн хувьд φ (λx) = λ φ(x) байна. Изоморф вектор орон зай нь алгебрийн хувьд ялгагдахгүй. Изоморфизм хүртэлх хязгаарлагдмал вектор орон зайн ангиллыг тэдгээрийн олон талт байдлаар нь өгсөн: Do талбар дээр n хэмжээст вектор орон зай байгаа эсэх нь Do n координатын вектор орон зайд изоморф байна. Хилберт, Шугаман алгебрийн ижил өргөн цар хүрээг гайхшруулаарай.

R - талбарыг үзье. Элементүүд a, b, ... н Рбид нэрлэх болно скаляр.

Цаг 1.анги Вхангалттай шинж чанартай объект (элементүүд) , , , ... гэж нэрлэдэг Талбай дээрх вектор орон зай Р, мөн V ангийн элементүүдийг дуудна векторууд V хаалттай байсан ч “+” үйлдэл нь P-ээс скаляраар үржүүлэх үйлдэл юм (өөрөөр хэлбэл ямар ч , нV + н хувьд) В; "aÎ R aÎV), мөн vykonuyutsya тийм оюун ухаан:

А 1: Алгебр - Абелийн бүлэг;

A 2: a, bÎР, ÎV эсэх, a(b)=(ab)-холбогдох ассоциатив хууль;

A 3: ямар ч a, bÎP, ямар ч ÎV, vikonuetsya (a+b)= a+ b;

A 4: дурын a z P, дурын s V хувьд бид ялна a(+)=a+a(өсгөх тархалтын хуулиуд);

А 5: V ялсан эсэх 1 = , де 1 - талбайн нэгдэл P - нэгдмэл байдлын хүч.

P талбарын элементүүдийг скаляр, V үржүүлэгчийн элементүүдийг вектор гэж нэрлэдэг.

Хүндэтгэл.Векторыг скаляраар үржүүлэх нь үржүүлэгч V дээрх хоёртын үйлдэл биш, харин масштаб нь PV®V байна.

Вектор орон зайг авч үзье.

жишээ 1.Тэг (тэг ертөнц) векторын өргөн - өргөн V 0 =() - энэ нь нэг тэг вектороос бүрддэг.

Ямар ч хамаагүй aОР a=. Вектор орон зайн аксиомуудын үнэн зөвийг дахин авч үзье.

Хүндэтгэсэн, талбай дээрх тэг хэмжээст орон зай R. Тиймээс талбай дээрх тэг хэмжээст орон зай рационал тооби талбайн дээгүүр өдрийн тоо vvazhayutsya raznimi, hoch нэг тэг вектороос нэмнэ.

өгзөг 2. P талбар нь P талбар дээрх вектор орон зай юм. V=P гэж үзье. Вектор орон зайн аксиомуудын үнэн зөвийг дахин авч үзье. P нь талбар учраас P нь нэмэлт бүлэг бөгөөд A1 ялна. R asociativnostі mnozhennja vykonuєtsya A 2-д zdіysnennostі эргэж харахад. A 3 ба A 4 аксиомууд нь R нь тархалттай, чөлөөтэй үрждэг тул ялна. R талбайн хэлтэрхий нь нэг элемент 1, нэгдмэл байдлын хүч А 5 . Энэ дарааллаар P талбар нь P талбар дээрх вектор орон зай юм.

жишээ 3.Арифметик n хэмжээст вектор орон зай.

R - талбарыг үзье. Нэлээд хувийн бус V = P n = ((a 1, a 2, …, a n) ½ a i P, i = 1, ..., n). Дараах дүрмийн дагуу вектор нэмэх, векторыг скаляраар үржүүлэх үйлдлийг V үржүүлэгч дээр танилцуулъя.

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + bn) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

V элемент ба үржвэрийг дуудна n-дэлхийн векторууд. Хоёр хэмжээст бүрэлдэхүүн хэсгүүд (координатууд) тэнцүү тул хоёр n-дэлхийн векторыг тэнцүү гэж нэрлэдэг. V нь P талбар дээрх вектор орон зай гэдгийг харуулж болно. Векторыг скаляр руу нугалах, векторыг скаляраар үржүүлэх үйлдлийг мэддэг тул V нь эдгээр үйлдлүүдийн хаалттай сонголт юм. V-ээс элемент нэмэх нь P талбарын элементүүдийг нэмэхэд багасч, P нь нэмэлт Абелийн бүлэг тул і V нь нэмэлт Абелийн бүлэг болно. Мөн = , de 0 нь Р, -= (-a 1, -a 2, ..., -a n) талбайн тэг юм. Энэ зэрэглэлд A1 ялна. V элементийг P элементээр үржүүлэх масштабыг P талбарын элементүүдийн үржвэр болгон бууруулж, дараа нь:

P дээр үржүүлэгчийн ассоциацийн улмаас A 2 ялалт;

A 3 ба A 4 нь P дээр хэрхэн нугалахыг хуваарилах үржвэрээр холбодог;

Мөн 5 ялалт, учир нь 1 P нь R-ээр үржүүлж болох төвийг сахисан элемент юм.

Уулзалт 2.(1) ба (2) томъёогоор тодорхойлогддог үйлдлүүдтэй үл хамаарах V = P n-ийг Р талбар дээрх арифметик n хэмжээст вектор орон зай гэж нэрлэдэг.

Үйлдлийн элементүүдээс үүссэн дарааллыг авч үзье энгийн талбар GF(q) (a^, a......a p).Ийм дарааллыг нэрлэдэг l-by

тууштай байдалталбай дээгүүр GF)