Талбайн алгебрийн тэлэлт. Усалгааны өргөтгөлийг уучлаарай. Алгебрийн талбайн агуулахын өргөтгөл

алгебрийн талбайн өргөтгөл- — Мэдээллийг хамгаалах сэдэв EN өргөтгөлийн талбар … Dovіdnik техникийн орчуулга

K талбарыг дэд талбар болгон өгсөн E талбар. Төрөл өргөтгөл Алгебрийн өргөтгөлийн өргөтгөл, ийм є алгебрийн бүх элементүүд K дээр, өөрөөр хэлбэл, ийм є-ийн ийм элемент нь f (x) c баялаг нэр томьёоны үндэс юм ... Wikipedia

Хэвийн ба салгах боломжтой EÉ K талбайн алгебрийн өргөтгөл. Цикийн оюун санааны хувьд Е нь К-ээс илүү олон тооны автоморфизмыг эх болгоно (Е нь өвөрмөц тул автоморфизмын тоо нь бас мэдэгдэхүйц бөгөөд илүү дэвшилтэт тэлэлт юм).

Nap_vugroup A nap_vgroup S, scho өшөө Ав сарлаг p_demigroup. А бүлгийн нэрсийг өргөжүүлэх, Атемтай бусад оюун ухаантай холбох тухай дуугарна. Идеал Р-ийн хамгийн дэвшилтэт онол. nap_vgroup (nap_vgroup, Ав сарлагаас юу өшөө авах вэ ......) Математик нэвтэрхий толь бичиг

Нэг буюу хэд хэдэн өөрчлөлтийн хэлбэрээр n-р үе шатны де rich нэр томъёоны оюун ухаантай тэнцүү. A. in. нэг үл мэдэгдэх дуу чимээтэй. оюун ухаантай тэнцүү: Тоо байхгүй, дуу чимээ. коэффициентүүд тэнцүү ба є danimi, hnaz. nevidomim болон є… Математик нэвтэрхий толь бичиг

Талбарууд k алгебр. битүү алгебрийн талбар болох k талбайн өргөтгөл. Аливаа талбарт зориулсан ийм өргөтгөл нь изоморфизм хүртэл өвөрмөц байдлаар хуваарилагддаг. A. h. талбайнууд өдрийн тооє талбар нийлмэл тоо(Див. …… Математик нэвтэрхий толь бичиг

Нэг язгуур E байж болох K-ээс дээш f(x)-ийн бууруулж боломгүй баялаг гишүүний EÉ K талбайн ердийн өргөтгөсөн алгебрийн өргөтгөлийг Е-д шугаман үржүүлэгч болгон задалж болно. Үүнтэй адил томилогдсон: Yakscho KÌ EÌ K *, de K * ... ... Википедиа

Салгаж болох элементүүдээс бүрдэх талбайн алгебрийн өргөтгөлийн салгаж болох өргөтгөл, ийм элементүүд нь α байх нь олон үндэсгүй K-ийн хамгийн бага ануллятор f(x) юм. Pokhіdna f (x) болно buti for vishchevkazanim ... ... Википедиа

Талбайгаа тэлэх нь, ийм E, агуу юм, K сарлаг гаруй вектор орон зай. Е векторын орон зайг K-ээс дээш тэлэхийг тэлэлтийн зэрэг гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тэмдэглэнэ. Сүүлийн өргөтгөлүүдийн хүч ...... Wikipedia-д

Талбарууд нь L талбайн K-ийн алгебрийн өргөтгөл бөгөөд энэ нь урагшилж буй ижил төстэй оюун ухааныг хангадаг: 1) L талбар нь алгебрийн талбарт суулгагдсан эсэх. L талбайн автоморфизмоор є талбайг хаах; 2) Өгөгдсөн олон гишүүнт бүлгийн зохион байгуулалтын L талбар s ... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Талбайн алгебрийн тэлэлт

Танилцуулга.

Багшийн их, дээд сургуулиуд алгебр, тооны онолын нэгдсэн хичээлийн хөтөлбөр хэрэгжүүлж эхэлсэн. Мета курсын эрхлэгч нь алгебрийн үндсэн тогтолцоог хөгжүүлэх, алгебрийн соёлыг хөгжүүлэх явдал бөгөөд энэ нь ирээдүйн багшид сургуулийн математикийн үндсэн хичээлийн зорилго, даалгаврыг гүнзгий ойлгоход зайлшгүй шаардлагатай. сургуулийн сонгон суралцах хичээлүүд.

Бидний бодлоор сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийн хамгийн чухал оршил бол орчин үеийн хийсвэр алгебрийн элементүүд юм.

20-р зуунд үүссэн математикийн алгебржих үйл явцыг хүлээн зөвшөөрдөггүй, харин сургуулийн математикийн боловсролд алгебрийн үндсийг ойлгохыг оролдохыг албаддаг.

Математикийн гүн ба гайхалтай өргөн хүрээний талбайн нягтралыг үндсэн заалтуудын энгийн байдалтай хослуулах болно - талбаруудыг ойлгохын тулд олон тооны онолын ертөнцөд ихэвчлэн гарч ирдэг олон тооны чухал теоремуудыг томъёолж, гэрэлд гаргаж болно. Тиймээс хээрийн онол нь сургуулийн хүүхдүүдэд орчин үеийн математикийн талаархи ойлголтыг харуулахад илүү тохиромжтой.

Нэмж дурдахад, энэ салбарын онолын элементүүдийн хөгжил нь сургуулийн сурагчдад танил болсон бөгөөд тэдний оюуны хөгжилд түлхэц өгдөг бөгөөд энэ нь тэдний оюун ухаан, чанар, шинж чанарыг баяжуулсан янз бүрийн талуудыг хөгжүүлэх, түүнчлэн эрдэмтдийн хөгжилд илэрдэг. , шинжлэх ухаан, математик.

1. Талбайн алгебрын энгийн өргөтгөл.

1.1.Халбарыг зүгээр л өргөжүүл.

P[x] нь P талбар дээрх х шиг олон гишүүнтүүдийн цагираг байх ба энд P нь F талбайн дэд талбарууд юм. a нь язгуур учраас F талбарын a элементийг P талбар дээр алгебр гэж нэрлэдэг гэж таамаглаж үзье. эерэг алхам P[x] ийм олон гишүүнт.

Уулзалт. П< F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

a0F, P [x] - х i дэх олон гишүүнтийн цагираг

P[x]=(f(a)*f0P[x]),

тиймээс P [a] нь a 0 + a 1 a + ... + a n a n de a 0 , a 1, ... a n 0P i n - натурал тоо хэлбэрээр бүх хүний ​​хувийн бус байна.

Алгебр +P[a], +, -, ., 1, P(a) талбайн дэд талбар - дэд талбар гэдгийг харахад хялбар байдаг; Бөгжийг бүхэлд нь P[a] тэмдгээр тэмдэглэнэ.

Теорем 1.1. P [x] - P ба P (a) дээр x-ийн олон гишүүнтийн цагираг - P талбайн энгийн өргөтгөл. y - P [a] дээр P [x] -ийг y (f) = f ( a) for be -th f іz P[x]. Тоди:

(а) дурын a z P y (a) = a хувьд;

(в) y нь P[a] цагираг дээрх P[x] цагирагийн гомоморфизм;

(г) Кер у = (f0P[x] * f(a) = 0);

(e) хүчин зүйлийн тойрог P[x]/Ker y P[a] цагирагт изоморф.

авчирч байна. (а) ба (б) зуучлагчгүйгээр шуугиан тарьсан мэдэгдэл у-г томилсоноос хойш. y-г оруулснаар P[x] цагирагийн үндсэн үйлдлүүд хадгалагдах тул дурын f і g з P[x]

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

Бат бөх (г) нь y-ээс ул мөргүй асдаг.

Хэрэв y цагираг нь P[x] цагирагийн P[a] дээрх гомоморфизм бол P[x]/Ker y хүчин зүйлийн цагираг P[a] цагирагтай изоморф байна.

Сүүлийн 1.2. a нь P талбар дээрх трансцендентал элемент байг. Хэрэв олон гишүүнт P[x] цагираг P[a] цагирагтай изоморф байвал.

авчирч байна. P-ээс давсан байдлыг эргэн харахад Кери=(0). Үүний тулд P[x]/(0) - P[a]. Нэмж дурдахад, тэг идеалын ард P[x] цагираган хүчин зүйл нь P[x]-д изоморф байна. Мөн P[x] - P[a].

1.2.Алгебрийн элементийн хамгийн бага олон гишүүнт.

P талбар дээрх олон гишүүнтийн цагираг P [x] байг.

Уулзалт. a нь P талбар дээрх алгебрийн элемент байг. a элементийн P дээрх хамгийн бага олон гишүүнт P [x] язгуур нь є a гэсэн хамгийн бага зэрэгтэй P [x]-ийн үнэлгээний олон гишүүнт юм. Хамгийн бага олон гишүүнтийн алхамыг a элементийн P-ээс дээш алхам гэж нэрлэдэг.

P дээр алгебрийн аль ч элементийн хувьд хамгийн бага олон гишүүнт байдаг гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг.

Санал 1.3. Хэрэв a нь P талбар дээрх алгебрийн элемент бөгөөд g ба j нь P дээрх хамгийн бага олон гишүүнт бол g = j.

авчирч байна. Хамгийн бага олон гишүүнт g ба j-ийн алхамуудыг орхигдуулсан. Хэрэв g ¹ j бол a элемент (P дээр n алхам) нь g - j олон гишүүнтийн үндэс байх бөгөөд түүний алхам нь j олон гишүүний алхамаас бага (n-ээс бага) байх боломжгүй юм. Дараа нь g = j.

Теорем 1.4. a нь P талбар дээрх n зэрэгтэй алгебрийн элемент (aóP) ба g нь P дээрх хамгийн бага олон гишүүнт байна. Дараа нь:

(a) g олон гишүүнт P [x] тойрогт индукцгүй;

(б) тэгэхээр f (a) = 0, энд f 0 P[x], g f хуваах;

(в) хүчин зүйлийн тойрог P[x]/(g) P[a] тойрогт изоморф;

(г) P [x]/(g) талбар;

(e) цагираг P [a] нь P (a) талбартай таарч байна.

авчирч байна. P [x] тойрогт g олон гишүүнт индукцлагдсан гэж үзье, тэгвэл P [x] -д j ба h олон гишүүнтүүдийг тогтоож болно.

g = jh, 1£deg j, deg h

Дараа нь g(a) = j(a)h(a) = 0. P(a) нь талбар учраас j(a) = Pro буюу h(a) = 0, боломжгүй зүйл, хэлтэрхий, оюун санааны цаана , алхмууд a элемент P-ээс илүү p байна.

f 0 P[x] ба f(a) = 0 гэж бодъё. Оюун санааны хувьд g(a) = 0. Тэгвэл f ба g хоёрыг харилцан уучилж болохгүй. Хэрэв олон гишүүнт g нь буурах боломжгүй бол g нь f хуваагдана.

Теорем 2.1-ийн дагуу j нь P[a] цагираг дээрх P[x] цагирагийн гомоморфизм (ямар ч f ⊂ P[x]-ийн хувьд y(f)=f(a)) байя. 3(б) y гомоморфизмын цөм g олон гишүүнтийн үржвэрээс тогтсон тул. Кер у = (г). Мөн цагирагны хүчин зүйл P = P[x]/(g) нь P[a] цагирагтай изоморф байна.

Оскилки P[a]ÌP(a), дараа нь P[a] нь хүчинтэй байх талбар юм. P @ P [a] тул P хэсэг нь мөн бүрэн бүтэн байдлын муж болно. Бид P-ээс ямар ч тэг биш f элементийг P болгон бууруулж болохыг харуулах хэрэгтэй. f нь нийлбэрийн f ангийн элемент байцгаая. Oskіlki f ¹ 0, дараа нь f(a)¹0; Иймд g олон гишүүнийг f олон гишүүнт хувааж болохгүй. Oskіlki олон гишүүнт g нь буурах боломжгүй, одууд нь тодорхой боловч f ба g олон гишүүнтүүд харилцан энгийн байдаг. Мөн Р[x] нь uf + vg=1 гэсэн u ба v олон гишүүнтүүдийг тогтооно. Uf = 1 утга нь f элемент нь P цагирагт араатанлаг болохыг харуулж байна.

З (с) і (г) P [a] є талбар ба хэмжээ P(a)ÌP[a]. Нөгөө талаас P[a]ÌP(a) нь ойлгомжтой. Мөн P[a] = P(a). Мөн P[a] цагираг нь P(a) талбартай таарч байна.

1.3. Будовын хээрийн алгебрийн энгийн өргөтгөл.

Теорем 1.5. P талбар дээрх эерэг n ангиллын алгебрийн элементийг a гэж үзье. P(a) талбайн аль ч элементийг Р коэффициент бүхий 1, a, ..., a n-1 элементийн n элементийн шугаман хослолоор өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно.

авчирч байна. P (a) талбайн b-be-yakie элементийг үзье. 1.4 теоремоор P(a) = P[a]; мөн P[x]-д f олон гишүүнт ийм байна

a-аас дээш P хувьд хамгийн бага олон гишүүнтийг g гэж үзье; теоремийн ачаар эхний алхам нь илүү дэвшилтэт байна.

(2) f = gh + r, de r = 0 эсвэл der r< der g = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c 0 + c 1 a + ... c n -1 a n-1

Элементийг 1, a, ..., a n-1 элементүүдийн шугаман хослолоор өвөрмөц байдлаар төлөөлдөг болохыг харуулсан. Аливээ

(4) b = d 0 +d 1 a + ... d n -1 a n-1 (d i 0 P)

Ийм илрэл бай-яке. J олон гишүүнтийг авч үзье

j \u003d (s 0 - d 0) + (c 1 - d i .)x + . . . + (З n-1 -d n -1)x n -1

Випадок, хэрэв j алхам нь n-ээс бага бол (3) і (4) j(a) = 0 -аас шалтгаалж түлэх боломжгүй. j алхам нь g алхамын хамгийн бага төрөл юм. Үүнийг өөрчлөх боломжгүй, хэрэв j \u003d 0 бол s 0 \u003d d 0. . . , Z n-1 = d p-1. Мөн b элементийг 1, a,...,a n-1 элементүүдийн шугаман хослолоор өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно.

1.4.Бутархайн хошуу дахь алгебрийн иррационалийн хэлбэрийн өөрчлөлт.

Алхам дахь бутархайн туг дахь алгебрын irrationality хэлбэрээр zvіlnennya-ийн тухай даалгавар. P талбар дээрх n>1 зэрэгтэй алгебрийн элементийг a гэж үзье; f і h - P[x] ба h(a) ¹0 олон гишүүнтүүдийн тойргийн олон гишүүнтүүд. a элементийн алхамуудын шугаман хослолын хувьд f(a)/h(a)0P(a) элементийг нийлүүлэх шаардлагатай, дараа нь j(a) тохиолдолд,

Цэ vdannya virishuєtsya тийм. a-аас дээш P. Оскилкигийн хамгийн бага олон гишүүнтийг g гэж үзье, теорем 1.4-ийн дагуу олон гишүүнт P і h(a) ¹ 0-д индукцгүй, тэгвэл g нь h і-г хуваахгүй, мөн h і g олон гишүүнтүүд харилцан байна. энгийн. Тиймээс P[x] нь u ба v олон гишүүнттэй байна

Oskіlki g(a) = 0, іz (1)

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Мөн f(a)/h(a) = f(a)u(a), үүнээс гадна f,u 0P[x] ба f(a)u(a)0P[a]. Otzhe, бид zvіlnilis vіd іrrationalnosti f(a)/h(a) .

Баннерман дээр ухаангүй юм шиг сонсогдож байна

p(x) ба g(x)=-x 2 +x+1 баялаг нэр томъёо нь харилцан энгийн. Иймд j, y гэсэн баялаг нэр томьёо байдаг

Учир нь vіdshukannya j і y zastosuemo Евклидийн алгоритм p і g олон гишүүнт:

X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1

x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x+1/4

x 2 -x-1 1/2x-1/4

ийм байдлаар,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Мэдэж байна

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

p1/5(2х-1)+г(4/5+1/5(2х 2 +х-1))=1,

p1/5(2х-1)+г(2/5х2+1/5х+3/5)=1.

ийм байдлаар,

y(x)= (2/5х 2 +1/5х+3/5).

Отже

.

2. Талбайн алгебрийн эвхэгддэг өргөтгөл.

2.1. Kіntseve талбайн өргөтгөл.

P-г F талбарын дэд талбарууд гэж үзье. Дараа нь бид F-г Р-ийн вектор орон зай гэж үзэж болох тул +F, +, (w l ½l 0P) вектор орон зайг харж болно.

de w l - F-ийн элементүүдийг l0P скаляраар үржүүлэх үйлдэл.

Уулзалт. F талбайн өргөтгөлийг терминал гэж нэрлэдэг, F гэх мэт, P дээр вектор орон зай гэж, энэ нь өргөтгөл дуусгах боломжтой. Tsya rozmirnіst дамжуулан илэрхийлсэн.

Санал 2.1. Хэрэв a нь n-ээс P зэрэгтэй алгебрийн элемент бол = n.

Энэхүү санал нь теорем 1.5-ыг илт харуулж байна.

Уулзалт. P талбарын F өргөтгөлийг алгебр гэж нэрлэдэг, учир нь F-ийн арьсны элемент нь P дээр алгебр байдаг.

Теорем 2.2. F талбайн хязгаарлагдмал өргөтгөл нь P дээр алгебр байх эсэх.

авчирч байна. F нь P дээр n-гөлгөр байг. n = 0 тул теорем үнэн байх нь тодорхой. n>0 гэж үзье. Хэрэв F-ийн n+1 элементүүд нь 1, a, ..., a n элементүүдийн шугаман уринш систем болох П.Сокрема дээр шугаман уриншилтай байвал P ийм 0, 1, ..., c n элементүүд бүгд тэнцүү биш юм. тэг , s 0 ×1+ 1 a +…+c n a n = 0.

a элемент нь мөн P дээр алгебрийн шинж чанартай байдаг.

Талбайн алгебрын төгсгөлийн өргөтгөл биш өргөтгөлүүд байгаа нь чухал юм.

2.2. Алгебрийн салбарын агуулахын өргөтгөл.

P талбарын F өргөтгөлийг байгаагаар нь эвхэгддэг гэж нэрлэдэг

ургах lancet дэд талбар L i талбайн F ийм

P = L 0 - L 1 - ... L k = F і k>1.

Теорем 2.3. F - талбайн төгсгөлийн өргөтгөл L і L - талбайн төгсгөлийн өргөтгөл P. Дараа нь F - P i талбайн төгсгөлийн өргөтгөл гэж үзье.

=@[L:P].

авчирч байна. Аливээ

(1) a 1 ,…,a m - талбайн суурь L гаруй P (вектор орон зай гэх мэт) ба

(2) b 1 ..., b n - талбайн суурь F гаруй L . F-ээс ямар ч d элементийг шугаман хэлбэрээр илэрхийлж болно:

(3) d = l 1 b 1 +...+l n b n (l k 0L).

1 k коэффициентийг үндсэн (1) шугамаар илэрхийлж болно:

(4) l k = p 1k a + ... + p mk a m ​​(p ik 0P).

l k (3) коэффициентүүдийн оноог орлуулах нь зөвшөөрөгдөх болно

d = p a a b k .

Ийм байдлаар F талбайн арьсны элементийг B, de үржүүлэгчийн элементүүдийн шугаман хослолоор дүрсэлж болно.

B = (a i b k ½ (1, ..., m), k 0 (l, ..., n)).

Үржүүлэгч B нь nm хүртэлх элементүүдийг нэмдэг нь чухал юм.

Бид F нь P-ээс илүү суурь гэдгийг харуулж байна. B үржүүлэгчийн элементүүдийн систем нь шугаман хамааралгүй гэдгийг харуулах хэрэгтэй. Аливээ

(5) åc ik a i b k = 0,

de c ik 0 P. (2) систем нь L -ээс шугаман хамааралгүй тул (5) тэгш байдлыг дагадаг.

(6) s 1 k a 1 +...+s mk a m  = 0 (k = 1,..., n).

a 1, ..., a m элементүүд нь P-ээс шугаман хамааралгүй тул (6) тэгш байдлыг дагадаг.

c 1 k = 0, ..., c mk = 0 (k = 1, ..., n),

(5) дахь коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү болохыг харуулах. Тиймээс В элементүүдийн систем нь шугаман хамааралгүй бөгөөд F-ээс P-ийн үндэс болно.

Otzhe, оруулсан, scho = нм = ×. Мөн F є талбайн сүүлийн өргөтгөлүүд P і maє misce томъёо (I).

Уулзалт. P талбайн өргөтгөл F нь P талбайн дэд талбаруудын өсөн нэмэгдэж буй ланц учраас эвхэгддэг алгебр гэж нэрлэгддэг.

P \u003d L 0 - L 1 - ... L k \u003d F і k> 1 (1)

i = 1,..., k талбаруудын хувьд L i є-ийн хувьд L i-1 талбайн алгебрийг зүгээр л өргөжүүлье. k тоог dozhina lance (1) гэж нэрлэдэг.

Сүүлийн 2.4. P талбарын F алгебрийн агуулахын өргөтгөлүүд нь P талбайн терминал өргөтгөлүүд юм.

Теорем 2.3-ын үндэслэл дээр ланц (1)-ийн ард индукц хийх замаар нотолгоог хялбархан хийж болно.

Теорем 2.5. F талбайн элементүүдийн P талбар дээр a 1 ,..., ak алгебрийн байна. Ижил талбар P(a 1 ,..., ak) нь P талбарын сүүлчийн өргөтгөл юм.

L 0 = P, L 1 = P, L 2 = P, ..., L k = P.

Тэгвэл L 1 = P нь L 0 талбайн алгебрийн энгийн өргөтгөл юм; L 2 нь L 1 талбайн алгебрийн энгийн өргөтгөл юм

L 2 = P = (P) = L 1 = L 1 (a 2) гэх мэт.

ийм байдлаар,

P = L 0 - L 1 - ... - L k = F

de L i = L i -1 (a i) i = 1, ..., k-ийн хувьд, дараа нь Lanziuk-ийн арьсны гишүүн (2) нь Lanziuk-ийн урагшлах хугацааны алгебрийн энгийн өргөтгөл юм. Хожим нь F талбар нь P талбарын алгебрийн эвхэгддэг өргөтгөл юм. Дахин хэлэхэд, 2.4-ийн үр дүнд F талбар нь P талбарын төгсгөлийн өргөтгөл юм.

Сүүлийн 2.6. Талбайн алгебрийн агуулахын өргөтгөл є алгебрийн талбайн өргөтгөл.

2.3. Талбайн алгебрийн агуулахын өргөтгөлийн энгийн байдал.

Теорем 2.7. F тооны талбарыг P талбарын алгебрийн эвхэгддэг өргөтгөл гэж үзье. Дараа нь F є бид P талбарын алгебрийн өргөтгөлүүдийг хялбарчлах болно.

авчирч байна. P - L - F, цаашлаад L = P (a), F = L (b) i, мөн F = P (a, b) байг.

f ба g нь a ба b тоонуудын хувьд хүчинтэй P дээр хамгийн бага олон гишүүнт байг, deg f = m, deg g = n. f і g олон гишүүнтүүдийг P і дээр давхарлаж болохгүй тул олон үндэст нийлмэл тооны Е талбарт байх боломжгүй. Аливээ

a = a 1 ,..., a m - олон гишүүнтийн үндэс f C i

b = b 1 ,..., b n - олон гишүүнтийн үндэс g C.

Kіtsev bezlіch M-ийг харцгаая:

M = ((a i-a)/(b-b k)½i0(1,…,m), k0(2,…,n)).

Oskіlki P нь тоон үржүүлэгч (би, тиймээс, хязгаарлагдмал биш), дараа нь P нь үржүүлэгч M, c0P (M, cóM. Nehai) -ийн элементүүдэд c тоо, vidminne байна.

Тоди vykonuyutsya spіvvіdnoshennia

(2) g 1 a i + cb k = (i0 (1, ..., m), k0 (2, ..., n)).

Үнэн, тэгш байдлын үед a + cb = a i + cb k bulo b

h \u003d (a i -a) / (b-b k) 0 М

scho superchilo c тооны сонголтыг ашигласан.

F 1 = P(g) ба F 1 - х дахь олон гишүүнтийн цагираг гэж үзье. H = f(g - cx) нь F 1 [x] (g, c0P(g) = F 1) -ээс олон гишүүнт байг. F 1 [x] цагираг дахь h ба g олон гишүүнтүүдийн хамгийн том гийгүүлэгч нь x-b гэдгийг харуулж болно. Хуваарь g(b) = 0, дараа нь x-b хуваана g E[x]. Дэйли, учир нь (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Үүнд x-b олон гишүүнт h E[x] хуваагдана. Энэ дарааллаар x-b нь E[x] цагираг дахь унтагч h ба g байна.

Энэ нь g і h С үндэс байхгүй гэж мэдээлсэн, vіdmіnkh vіd b. b k , k0(2 ,..., n) нь түүний зэрлэг язгуур гэж бодъё. Дараа нь h(b k) = f(g - сb k) = 0. Тэгвэл ийм индекс i0(1 ,..., m) ). Иймээс x-b нь E[x] дэх g ба h-ийн хамгийн том унтагч байх боломжтой. Oskіlki x - b - хэвийн олон гишүүнт, дараа нь од нь тодорхой, scho x - b є хамгийн том халуун dilnik g ба h y kіltsi F 1 [x]. Том

(x-b) 0 F 1 [x] ба b 0 F 1 = P(g).

Түүнчлэн, a = g - cb 0 F 1. ийм байдлаар,

F = P(a, b) Ì F 1 , F 1 ÌF.

2.4. Талбай алгебрийн тоо.

Комплекс тоонуудын талбайн дэд талбаруудын ангилал нь хамгийн чухал зүйлийн нэг - алгебрийн тоонуудын талбар юм.

Уулзалт. Алгебрийн тоог комплекс тоо гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь рационал коэффициенттэй эерэг зэрэгтэй олон гишүүнтийн үндэс юм.

Алгебрийн тоо, нийлмэл тоо ч бай Q. Sokrema талбар дээр алгебрийн тоо, рационал тоо ч бай, алгебрийн шинжтэй байх нь чухал юм.

Теорем 2.8. Бүх алгебрийн тоонуудын хувийн бус А нь комплекс тоонуудын E = +C, +, -, 1 цагирагт хаалттай байна. A = +А, +, -, , 1 алгебр нь талбар, Е талбайн дэд талбар юм.

авчирч байна. a ба b нь A-ийн элементүүд байг. Сүүлийн 2.6-д Q(a, b) талбар нь Q дээр алгебрийн шинжтэй байна. Иймд a + b, -a, ab, 1 тоонууд нь алгебрийн шинж чанартай тул А-ийн үржвэрүүд худал байна. ., хувийн бус А нь мөчлөгийн Е-ийн толгойн үйлдлүүдийн дагуу хаалттай байна. Иймээс А алгебр нь Е мөчлөгийн дэд цикл юм - мөчлөг юм.

Нэмж дурдахад, a нь A-д тэгээс ялгаатай элемент, a -1 0 Q (a, b) бөгөөд a -1 нь A-д байдаг. Дахин хэлэхэд, алгебр А нь талбар, Е талбарын дэд талбарууд юм.

Уулзалт. A = +A, +, -, , 1 талбарыг алгебрийн тооны талбар гэнэ.

a = алгебрийн тоо гэдгийг харуул.

Шийдэл. Z a \u003d хашгирч a-.

Гурав дахь алхамд үлдсэн тэнцлийн хэсгүүдийг доромжилж байна:

a 3 -3a 2 9a-3=2

a 3 +9a-2 = 3 (a 2 +1).

Одоо атаархлын гомдлыг өөр түвшинд авчирсан:

a 6 +18a 4 +81a 2 -4a 3 -36a+4=27a 4 +54a 2 +27

a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23 = 0.

Энэ зэрэглэлд a є баялаг нэр томъёоны үндэс

f(x)= a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23=0

оновчтой коэффициентуудаас. Ce гэдэг нь а нь алгебрийн тоо гэсэн үг.

2.5. Алгебрийн тооны талбайн алгебрийн хаалт.

Теорем 2.9. Алгебрийн тооны талбар нь алгебрийн хувьд хаалттай байдаг.

авчирч байна. Алгебрийн тоонуудын А талбар дээрх х дахь олон гишүүнтийн цагираг A [x] байг. Аливээ

f = a 0 + a 1 x+... + a n x n (a 0 ..., a n 0 A)

А[x] эерэг алхамын олон гишүүнт байх. f-г A-д үндэслэж болохыг бид нотлох хэрэгтэй. Хэрэв f0C[x] ба E талбар алгебрийн хувьд хаалттай бол f-г E-д үндэслэж болох бөгөөд ингэснээр f (c) = 0 гэсэн нийлмэл s тоотой болно. L = Q (a 0 , ..., and n) ба L(c) нь L талбайн алгебрын c-ийн тусламжаас илүү энгийн өргөтгөл юм. Дараа нь Q - L - L (c) нь L талбарын алгебрийн төгсгөлийн өргөтгөл юм. 2.2 теоремоор, L нь Q талбайн төгсгөлийн өргөтгөл юм. 2.3 теоремын дагуу L (c) -ийн төгсгөлийн өргөтгөл юм. талбар Q. талбар L (c) нь Q i талбайн алгебрийн өргөтгөл, иймээс c0A. Тиймээс, эерэг алхамын A[x]-д ямар нэгэн олон гишүүнт үндэстэй байж болох юм бол А талбар алгебрийн хувьд хаалттай байна.

3. Салгаж болох ба салгах боломжгүй өргөтгөлүүд.

Алив D - талбар.

Яаж задрахгүй D[x] олон гишүүнт олон язгуурын эх байж чадах вэ?

f(x) нь олон язгуур байхын тулд f(x) болон fN(x) баялаг нөхцөлүүд нь эхийн нийтлэг давхар тогтмол үржүүлэгчээс шалтгаалсан бөгөөд үүнийг аль хэдийн D[x]-д тооцоолж болно. Хэдийгээр f(x) олон гишүүнт задрах боломжгүй ч f(x) доод зэрэглэлийн аль ч баялаг гишүүнтэй энэ нь ойлгомжгүй глобал үржүүлэгчийн эх байж болохгүй, мөн f "(x) = 0 тэгш байдал байж болно.

f(x) =3a n x n fN(x) =3na n x n -1

Тиймээс fN(x) = O, арьсны коэффициент нь тэг байна:

n = 0 (n = l, 2, ..., n).

Хамгийн чухал зүйл бол одны шинж чанарын тэг, a n \u003d 0 бүгд n ¹ 0 байх явдал юм. Мөн үл нийцэх олон гишүүнт олон үндэсийн эх байж болно. p_evenness na n \u003d 0 шинж чанарын үед n ¹ 0 байх боломжтой, гэхдээ энэ нь бас тэнцүү байж болно.

f(x) = a 0 + a p x p + a 2p x 2p +...

Буцах: хэрэв f(x) ингэж харагдаж байвал fN(x)=0.

Энэ випадкагаар бид дараах зүйлийг бичиж болно.

Тим өөрөө нотолгоог авчирсан: Тэг шинж чанарын хувьд f (x) баялаг нэр томъёо нь D [x] -д хуваагддаггүй, энэ нь зөвхөн энгийн үндэс байж болно, p шинж чанарын хувьд олон гишүүнт f ( x) (энэ нь мөн тогтмолтой ижил) олон гишүүнт j vіd x p хэлбэрээр харуулах боломжтой бол язгуурын үржвэр байж болно.

Заримдаа j(x) нь өөрийн гэсэн олон гишүүнт байж болно x p . Тэгвэл f(x) нь x p 2 шиг олон гишүүнт болно. f(x) - xpe шиг баялаг нэр томъёо байг

ale є олон гишүүнт vіd x pe +1 . y(y) олон гишүүнт задрах боломжгүй нь ойлгомжтой. Дали, y¢(y) ¹ 0, учир нь өөрөөр бол y(y) нь c(y p) i шиг харагдах байсан бол f(x) нь c(x pe + 1) шиг харагдах бөгөөд энэ нь орхигдсоныг орлох болно. Otzhe, y (y) нь зөвхөн энгийн үндэс байж болно.

Шугаман хүчин зүйлсийн үндсэн талбарыг өргөжүүлэхийн тулд олон гишүүнт y-г өргөжүүлье: m

y(y) = J(y-b i).

f(x) = J(x pe -b i)

a i нь x pe - bi олон гишүүнтийн үндэс байг. Дараа нь x i pe \u003d b i,

x pe - bi = x pe - a i pe = (x-a i) pe .

Мөн x pe - b i олон гишүүнтийн a i є r e -олон үндэс

f(x) = J(x -a i) p e.

Олон гишүүнт f(x)-ийн язгуур сахал нь ийм байдлаар p e-ийн үржвэртэй байж болно.

y олон гишүүнтийн m алхмыг f(x) олон гишүүнт (эсвэл a i язгуур) бууруулах алхам гэнэ; e тоог D талбар дээрх олон гишүүнт f (x) (эсвэл a i язгуур) илтгэгч гэнэ.

de m илүү үнэтэй олон гишүүнт f(x) өөр өөр язгуурын тоо.

Хэрэв q нь зөвхөн энгийн язгуур байж болох D[x] цагирагт задрахгүй олон гишүүнтийн үндэс бол q-г D дээр салдаг элемент эсвэл D 1) дээрх эхний төрлийн элемент гэнэ. Үүгээр бүх үндэс нь салж болдог салшгүй баялаг нэр томьёог салгах боломжтой гэдэг. Үгүй бол q алгебрийн элемент ба салшгүй баялаг f(x) хоёрыг салшгүй буюу өөр төрлийн элемент (баян гишүүн гэх мэт) гэж нэрлэдэг. Одоо бүх элементүүд нь D дээр хуваагдах боломжтой S алгебрийн өргөтгөлийг D дээр салгах боломжтой, бусад алгебрийн өргөтгөлийг салшгүй гэж нэрлэдэг.

Шинж чанар 0 үед энэ нь арьс задрахгүй баялаг нэр томъёо (мөн тиймийн тул алгебрийн арьсны өргөтгөл) салж болно гэж хэлсэн. Талбайн хамгийн чухал, хамгийн чухал өргөтгөлүүдийн ихэнх нь салангид байдаг бөгөөд бид талбайн ангийн чанарыг мэддэг тул салшгүй өргөтгөлүүдийг ("дууссан талбай" гэж нэрлэдэг) боломжгүй гэдгийг бид мэдэхийг хүсч байна. Z tsієї causa бүх pov'yazane тусгайлан салшгүй өргөтгөлүүдийг өөр фонтоор бичсэн.

Одоо S = D (q) алгебрийн өргөтгөлийг харцгаая. Хэрэв n алхамууд нь илүү том, илүү дэвшилтэт алхамыг (S: D) илэрхийлдэг f(x) = 0 тэнцүү бол m алхамуудын бууралт нь урагшлах утгаараа S талбайн изоморфизмын тоотой тэнцүү байна: бид зөвхөн эдгээр изоморфизмуудыг харж болно [имэйлээр хамгаалагдсан]", D дэд талбарын аль ч элементийн хувьд хүчирхийллийн бус i-ээр дүүргэгдсэн бол S нь ижил төстэй S талбарт" (D талбар дээрх S талбарын изоморфизм) болон аль ч талбар-зургийн хувьд S "хамтдаа хэвтэхэд шилждэг. Талбайн дунд байгаа S талбайтай W. tsikh umovah maє mistse теорем:

W талбарыг зохих ёсоор сонгосон тохиолдолд S=D(q) өргөтгөл нь D-ээс яг m изоморфизмтай байж болох ба W талбарын аль ч сонголтын хувьд S талбар нь m-ээс илүү изоморфизмтай байж болохгүй.

авчирч байна. D дээрх арьсны изоморфизм нь q элементийг W-ийн q" элементтэй холбох үүрэгтэй. W-г сонгосноор f(x) нь W-ээс дээш шугаман үржүүлэгч болж өргөснө; тэгвэл q элемент яг m тохиолдох боломжтой болж байна. элементүүд q,qХэрэв тийм бол bi-ийн хувьд W талбарыг сонгоогүй бол m-ээс илүү тохиолдолд q элемент нь matima биш юм. D-ээс дээш арьсны изоморфизм D(q)@D(q") нь q® q"-ийн өгөгдсөн таних тэмдэгээс бүрэн хамааралтай байгаа нь одоо нэр хүндтэй юм. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв q нь q "-д шилжиж, D-ийн бүх элементүүд газар дээр нь үлдэх юм бол элемент

3a k q k (сарлаг 0D)

буруутай явах

ба cym нь изоморфизмыг илэрхийлдэг.

Сокрема, q нь салгаж болох элемент тул m = n і, иймээс үндсэн талбар дээрх изоморфизмын тоо илүү жигд нэмэгддэг.

Хэрэв тийм бол, тухайн талбар нь тогтсон бол, харагдсан бүх талбарыг хамарч болох, арьсны тэгшитгэлийн бүх үндэс нь f (x) = 0 байрлаж болно (жишээлбэл, нийлмэл тооны талбар гэх мэт) , дараа нь W-ийн багтаамжаар та i талбарыг нэг удаа авч болно. Үүний тулд изоморфизмын талаархи бүх өгүүлбэрт "deaky W-ийн дунд" гэсэн нэмэлтийг нэмнэ үү. Тиймээс онолын хувьд тоон талбаруудыг засаж эхэл. Хийсвэр талбаруудын хувьд та W талбарыг бас ашиглаж болно гэдгийг сануулмаар байна.

Иш татсан теорем нь дараах мэдэгдэл юм.

D цэгээс дараагийн ирэх m хүртэл гарахын тулд S-г хэрхэн өргөжүүлэх вэ

алгебрийн элементүүд a 1 , ..., a m , үүнээс гадна a i , є үндэсийн ард арьс

D(a 1 , ..., a i-1) дээр тэлэх боломжгүй n" i , дараа нь багасгасан үе шаттай тэнцүү байна.

S-ийн тэлэлт нь яг адилхан ?n i ¢ D i дээр изоморфизм байж болно.

өргөтгөл байхгүй илүү их тооталбайн ийм изоморфизмууд S.

авчирч байна. m = 1-ийн хувьд теоремыг улам боловсронгуй болгосон. S 1 = D(a 1 , ..., a m-1) өргөтгөлийн хувьд її хүчинтэй гэж үзье:

W 1 є яг n i ¢ талбайн изоморфизм S гаруй D.

S 1 ®S 1 нь Õ n i ¢ изоморфизмын нэг байг. Энэ нь урвуу талбар нь урвуу дарааллаар W дарс isomorphism үргэлжлүүлж болно гэж маргаж байна S = S 1 (ам) @ S = S (ам) ямар ч илүү n_zh н м арга замууд.

a m элемент нь n¢ m өөр үндэстэй f 1 (x) = 0 S 1-ийн тэгшитгэлийг хангана. Нэмэлт изоморфизм S 1 ® S 1-ийн дараа f 1 (x) хэмээх баялаг нэр томъёог f 1 (x) гэсэн өөр баялаг нэр томъёо руу орчуулж болно. Ale todі f 1 (x) өргөн хүрээтэй байдлаар, гэхдээ n m өөр үндэстэй ба түүнээс дээш. Эдгээр язгууруудын нэг нь m байг. a m элементийн сонголтыг авч үзвэл, S 1 @S 1 изоморфизм нь m ®a m-ийн S (a m) @ S (am) изоморфизмын гурвыг нэг бөгөөд зөвхөн нэг аргаар илэрхийлнэ: үр дүнтэй, үргэлжлэлийг томъёогоор өгсөн болно.

åc k a m ​​k ®å c k a m ​​k

a m элементийн сонголтын дээжийг урвуу изоморфизмын хувьд ийм төрлийн үргэлжлэлийг ашиглан n "m" аргаар тодорхойлж болно å 1 ®å 1

Oskіlki өөрийн гэсэн шугамтай бөгөөд энэ изоморфизмыг хувиргах боломжтой

Х n" i арга замууд,

тэгвэл бүх зүйл үнэн (бүх тэнцүү бүх язгуурууд байрладаг W талбар)

Õ n" i ×n" m = Õ n" i

авчрах шаардлагатай байсан D талбар дээр S өргөтгөлийн изоморфизм.

Хэрэв n i нь a i элементийн D-ээс дээш (a 1 ,...,a i-1) бодит (багасгагдаагүй) алхам бол талбайн D (a 1 , ... , a i) өргөтгөлийн n i илүү алхамууд байна. D(a 1, .. ., a i-1);

otzhe, алхам (S: D) илүү

Тоо нь изоморфизмын тоотой хэрхэн таарах вэ

Өргөтгөлийн изоморфизмын тоо S = D(a 1 , ... , a m) D дээр (ямар ч өгөгдсөн W өргөтгөлийн хувьд) нь зөвхөн a i арьсны элементийг салгах боломжтой байсан ч нэмэлт алхам (S: D) болно. талбар D(a 1 , .. , a i-1). Хэрэв та нэг элемент a i тусдаа талбарт салшгүй байхыг хүсч байвал изоморфизмын тоо нь тэлэлтийн зэргээс бага байна.

Теоремын үүднээс авч үзвэл хэд хэдэн чухал тайлбар нэн даруй гарч ирнэ. Бидний хувьд энэ теорем нь арьсны элементийн хүч a i урд талбараас салж болох ба S өргөтгөлийн хүч нь өөрөө a i үүсгэгч элементүүдийн сонголтоос хамааралгүй болохыг харуулж байна. Талбайн нэмэлт элементийг эхний үе болгон авч болох тул b элемент нь салгах боломжтой мэт харагдаж байна, учир нь бүх a i ийм байна. Аав:

a i , ... ,a n i элементүүдийг D талбарт дараалан нэмж, a i арьсны элементийг талбайн дээгүүр салгаж болохуйц харагдах ба зэргэлдээх урд талын a 1, a 2 ,..., i-1 өргөтгөлүүдийг авч хаяна.

S = D(a 1 , ... ,a n)

D дээр салгах боломжтой.

Zokrema, suma, retail, tvir, тэр хувийн салгаж болох элементүүд нь салгаж болно.

Цаашилбал, b нь S дээр, харин S талбар нь D дээр тусгаарлагддаг тул b элемент нь D дээр хуваагдана. Үүнийг b нь a 1 , ... , a m з коэффициентүүдийн эцсийн тоог хангаж байгаатай холбон тайлбарлаж байна. S i, дахин, D дээр салгах боломжтой (a 1, ..., a m). Тим өөрөө салгаж болох өргөтгөл

D (a 1, ..., a m, b).

Нарешти, ижил газар байж болно: D талбар дээрх терминалын салгаж болох өргөтгөлийн S изоморфизмын тоо нь өргөтгөлийн алхам юм (S: D).

4. Усалгааг хязгааргүй өргөжүүлэх.

Арьсны талбар нь шавхагдашгүй тэлэлтийн эцсийн хи-ийн тусламжийн хувьд энгийн дэд талбараас гарч ирдэг. Энэ хэсэгт эхлээд алгебрийн, дараа нь трансцендентал талбаруудын тоо томшгүй олон тэлэлт харагдана.

4.1. Алгебрийн хувьд хаалттай талбарууд

Өгөгдсөн талбайн алгебрийг өргөжүүлэхийн дотор алгебрыг цаашид өргөжүүлэхгүйн тулд алгебрыг хамгийн их хэмжээгээр өргөжүүлэх нь чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Ийм сунгах болсон шалтгааныг энэ догол мөрөнд авчирна.

W талбар нь алгебрийн хамгийн их өргөтгөл байхын тулд оюун ухааныг урагшлуулах шаардлагатай: W[x] тойргийн арьсны олон гишүүнтийг шугаман үржүүлэгч болгон задалж болно. Ця ухаан хангалттай. Үнэн хэрэгтээ, W[x] дахь арьсны олон гишүүнт нь шугаман үржүүлэгчид задардаг тул W[x] дахь бүх энгийн олон гишүүнтүүд шугаман бөгөөд W талбарын W" алгебрийн аливаа өргөтгөлийн арьсны элементүүд нь дурын язгуур юм. W[x] дахь шугаман баялаг нэр томъёо x - a, өөрөөр хэлбэл энэ нь W талбарын бодит a элементтэй ажилладаг.

Тэр дамо нь адилхан хувь тавилан юм:

W талбарыг алгебрийн хаалт гэж нэрлэдэг, учир нь W [x] дахь олон гишүүнтийг шугаман хүчин зүйл болгон задалж болно.

Үүнтэй адил чухал зүйл бол дараахь зүйл юм: W талбар нь алгебрийн хувьд хаалттай тул W[x] дахь олон гишүүнт нь W[x] дахь нэг үндэстэй, өөрөөр хэлбэл W[x] дахь нэг шугаман үржүүлэгчтэй W[x]-д ялгаатай олон гишүүнт байж болно. .

Үнэн хэрэгтээ, ийм ухаалаг виконан, маш олон тооны авсны хувьд олон гишүүнт f (x) нь задрахгүй хүчин зүйлүүдэд задардаг тул бүх өмхий үнэр нь буруутай боловч шугаман байдаг.

"Алгебрын үндсэн теорем"-д комплекс тоонуудын талбар нь алгебрийн хувьд хаалттай гэж заасан байдаг. Алгебрийн хувьд хаалттай талбайн ойртож буй өгзөг нь бүх цогц алгебрийн тоонуудын талбар байж болох тул хувийн бус комплекс тоо нь рационал коэффициент бүхий аливаа төрлийн тэгш байдлыг хангадаг. Нарийн төвөгтэй язгуур нь алгебрийн є коэффициенттэй тэнцүү бөгөөд зөвхөн алгебрийн тоон талбарт төдийгүй талбайн дээгүүр алгебрийн шинж чанартай байдаг. рационал тоо, өөрөөр хэлбэл, өөрсдөө алгебрийн тоонууд юм.

Энд бид хангалттай өгөгдсөн P талбарын битүү алгебрийн өргөтгөлийг хэрхэн өдөөх, цэвэр алгебрийн аргаар харуулах болно. Стейницийг ингэж хэвтэх хэрэгтэй

Үндсэн теорем. Арьс талбайн хувьд P, алгебрийн хаалттай алгебрийн өргөтгөл W. Яг тэнцэх хүртэл өргөтгөл нь өвөрмөц тодорхойлогддог: P талбарын W, W "алгебрийн хувьд хаалттай хоёр алгебрийн өргөтгөл байгаа эсэх нь тэнцүү байна.

Эдгээр теоремуудын баталгаа нь лемийн илүүдэлтэй холбоотой юм.

Лемма 1. W нь P талбарын алгебрийн өргөтгөл байг. Хангалттай оюун ухаан W нь алгебрийн хаалт байхын тулд є W[x] цагираг дахь P[x] дахь дурын олон гишүүнтийн шугаман хүчин зүйл болгон тэлэх.

авчирч байна. W[x]-аас f(x) нэмэлт олон гишүүнт байг. Хэрэв vin нь шугаман үржүүлэгчид задлагдаагүй бол W дээд супер талбарт хүрэхийн тулд a i язгуурыг авч болно. a элемент нь W дээр алгебрийн шинжтэй, W нь P талбарын алгебрийн өргөтгөл юм; P[x] дахь дараагийн олон гишүүнт g(x)

Лемма 2. Хэрэв P талбар бүхэлдээ эрэмблэгдсэн бол P[x] олон гишүүнтүүдийн цагиргийг бүхэлд нь эрэмбэлж, энэ эрэмбэлэгдсэн P талбар гурав дахин их байх хэмжээнд хүртэл эрэмблэгдэнэ.

авчирч байна. P[x] дахь f(x) олон гишүүнтүүдийн хоорондох дарааллыг дараах байдлаар мэдэгдэхүйц өөрчил: f(x) гэж үзье.

1) f(x) алхам нь g(x) алхамын жижиг төрөл;

2) алхам f(x) илүү алхам g(x) ба түүнээс дээш n, дараа нь.

f(x) = a 0 x n + ...+ a n , g (x) = b 0 x n + ... + b n

i дараагийн k индексийн хувьд:

ба i-ийн хувьд i = b i

a k

Хэрэв тийм бол олон гишүүнт 0-ийн хувьд буруутгах болно: түүнд 0 алхам оноогдсон. Ийм дарааллаар гарах арга нь P [x] нь бүрэн эрэмбэлэгдсэн байх нь ойлгомжтой. Үүнийг дараах байдлаар харуулах болно: арьсны хоосон бус олон тооны баян сегментийн дотор хамгийн бага зэрэгтэй баян сегментүүдийн хоосон бус дэд олон тооны хэсэг байдаг; Битгий ийм сайн тоо.. Дэд олон тоо болгонд баялаг нэр томьёоны хоосон бус дэд олонхи байгаа бөгөөд коэффициент нь 0 бөгөөд энэ нь том хэсгийн дундах гол эрэмбийн утгаараа эхнийх юм. баялаг нэр томъёо, аль нь харж байна; томилогдсон дэд олон тооны є нь эхний a 1 гэх мэт баялаг нэр томъёоны өөрийн гэсэн шугам дэд үржүүлэгчтэй байна. minimnosti, дараалсан ялалт, сонголтоор); энэ олон гишүүнт нь өгөгдсөн үржүүлэгчийн эхний элемент юм.

Лемма 3. Хэрэв P талбарыг бүхэлд нь эрэмбэлсэн бол n і n шатлалын баялаг гишүүн f(x) нь a 1 ..., a n, дараа нь P талбар (a 1 ,..., a n), онд аль f(x) нь шугаман үржүүлэгч дээр тэлэх болно

Õ(x-a i), нэг зэрэглэл, бүхэл байх болно

захиалга. sensi tsiy є vіdrіzkom дахь P талбар.

авчирч байна. Бид a 1 ..., a n үндэсийг дараалан нэмж, дараа нь P = P 0 нь Р 1 , ..., Р n талбаруудыг дараалан ялна. R i-1 = P(a 1 ..., a i-1) - талбар аль хэдийн өдөөгдсөн бөгөөд P нь R i-1-тэй гэрээ хийсэн гэж үзье; тэгвэл R i тийм байх болно.

2-р бодлогын өмнө Р i-1 [x] олон гишүүнтийн цагиргийг бүхэлд нь эрэмбэлсэн байна. Олон гишүүнт f нь салшгүй хүчин зүйл болгон kіltsi бүрт задардаг, дунд нь эхний байр юм x - a 1 ,..., x - a i-1 ; бусад олон тоонуудын дунд тодорхой эрэмбийн утгаараа f i (x) эхнийх нь байг. f i (x) баялаг нэр томьёоны язгуурыг илэрхийлдэг a i тэмдэгтэй хамт бид P i = P i -1 талбарыг нийлбэрийн нийлбэр гэж тэмдэглэнэ.

de h нь f i (x) баялаг нэр томъёоны алхам юм. Хэрэв f i (x) нь шугаман бол мэдээжийн хэрэг, бид P i = P i -1-ийг хүндэтгэдэг; a i дүр хэрэггүй. Талбайг бүхэлд нь нэмэлт довтолгооны тагнуулын захиалга өгөхийг урамшуулаарай: талбайн арьсны элемент

магадгүй баян гишүүн байх

Мөн талбайн элементүүд нь тэдний баялаг нэр томъёоны эрэмбийн дагуу эрэмблэгдсэн байдаг.

Р i-тэй ижил Р i-1 нь Р i-тэй, үүнтэй і P - Р i-тэй холбоотой нь ойлгомжтой.

P 1 ,..., P n талбарууд өөрсдөө бүхэл бүтэн захиалгаар өдөөгддөг. Р n талбарыг эхний P(a 1 ,..., a n) талбараар хайлт хийх боломжтой.

Лемма4

авчирч байна. Аливаа a, b элементийн хувьд S a, S b гэсэн хоёр талбарыг нэгтгэж, a, b болон аль нэгийг нь нөгөөгийнхөө өмнө орлуулах болно. Сөөх талбарт a + b ба a × b элементүүдийг арьсны талбайн элементүүдэд хуваарилдаг бөгөөд ингэснээр a ба b нь өшөө авах боломжтой, учир нь ийм хоёр талбар нь нөгөөгөөсөө түрүүлж, його дэд талбар юм. Тухайлбал, нэгдлийн хуулийг авчрах

ab g = a bg,

бусад хоёр талбарыг (хамгийн том нь) хамардаг S a , Sb, S g дунд талбаруудыг бид мэднэ; аль талбарт a, b, g i байгаа нь шинэ эвслийн хуулинд виконано. Үүнтэй адилаар холбооны элементүүдийг тооцоолох решта дүрмийг шинэчилсэн болно.

Үндсэн теоремын баталгаа нь W дэд талбар ба нэгдмэл байдлын баталгаа гэсэн хэсгүүдэд хуваагдана.

Побудовын талбарууд W. Лемма 1 P талбайн алгебрийн хувьд хаалттай мэт санагдах W өргөтгөлийн хувьд P талбайн алгебрийн ийм өргөтгөлийг өдөөхөд хангалттай бөгөөд P[x] дахь олон гишүүнтийг эдгээр өргөтгөлүүд дээр өргөжүүлж болно гэдгийг баталж байна. шугаман үржүүлэгчид.

1. Талбар P f є ob'ednannyam талбар P і бүх талбарууд S g for g

2. P f талбар нь P ба бүх S g талбарууд g-тэй байхаар эрэмблэгдсэн байна

3. S f талбар нь a 1 ,..., a n нэмэлт тэмдэгтүүдийн дараа R f-аас баялаг гишүүний өгөгдсөн язгуурууд хүртэл ирдэг, a n нь lemi 3 хүртэл хүчинтэй.

Ийм байдлаар Р f , S f талбаруудын дарааллыг бүхэлд нь захиалгын талбараар тодорхой зааж өгч болохоос гадна бүх урагшлах Р g , S g аль хэдийн илүү олон удаа хуваарилагдсан гэдгийг хэлэх шаардлагатай.

Yakshcho vikonano 3, дараа нь nasampered P f - vіdrіzok S f. Z ого и вимоги 2 бид P i арьсны талбай S g (g

Р - vіdrіzok S h at h

S g - g үед давхар S h

P i талбарууд S h (h б, сарлагыг Pf-д хадгалж болно. Бүх талбарт ижил дараалал нь нэг бөгөөд ижил P abo S g сарлаг сарлаг a, so ib, to that all ts field є v_drіzkami нэг нь нэг. Otzhe, захиалгаар тохируулах нь томилогдсон. Бүрэн хувь хүнгүй захиалсан хүмүүс, мэдээжийн хэрэг, арьс нь хоосон биш учраас Р f-д хувь хүн бус х-д өшөө авахын тулд deyakogo талбарын ажлын ядаж нэг элемент нь S g бөгөөд тэр нь x x Ç ажлын эхний элемент юм. g. Энэ элемент нь нэг цаг є i эхний х элемент.

Таны оюун ухаан 3-ыг харахад f(x) олон гишүүнт S f талбарт дахин шугаман хүчин зүйл болж задардаг. Цаашилбал, трансфинит индукцийн тусламжтайгаар S f нь P-ээс алгебрийн шинж чанартай болохыг харуулсан. Үнэн хэрэгтээ, бүх талбарууд S g (g) гэж үздэг.

Одоо бид бүх талбаруудын W цөөрмийг хадгалдаг Sf; zgіdno z lemoy 4 вон є талбар. Талбар бүхэлдээ алгебрийн хувьд P дээр байгаа бөгөөд бүх баялаг нэр томъёо f түүн дээр өргөжсөн (жижиг арьсны олон гишүүнт f аль хэдийн S f дээр өргөжсөн). Мөн W талбар нь алгебрийн хувьд хаалттай байна (Лема 1).

Талбайн нэгдэл W. W ба W" гэж хоёр талбар нь P талбарын алгебрийн болон хаалттай алгебрийн өргөтгөлүүд байх болно. Эдгээр талбаруудын эквивалентыг авчирцгаая. Мөн эдгээр аргументуудын аль нэгээр нь авч үздэг) дэд олон тооны ¢ W " ба зарим изоморфизм

P(Â) @ P(¢).

Тавдугаар сарын үлдсэн хэсэг нь удахгүй болох давтагдах spiving нь сэтгэл хангалуун байх болно.

1. P(Â) @ P(¢) изоморфизм нь талбай дээрх P талбайн арьсны элемент багассантай холбоотой.

2. ÁÌ Â-тай P(Â) @ P(¢) изоморфизм нь P(Â) @ P(Á") изоморфизмын өргөтгөл байж болно.

3. Хэрэв Â нь үлдсэн a элемент бол Â = ÁÈ(a), a нь P (Á)-д задрах боломжгүй f(x) баялаг гишүүний үндэс бол a" элемент нь P(Á) @ P(I") овгийн анхны язгуурыг, W"-ийн сайн эрэмблэгдсэн талбарт f¢(x) олон гишүүнт буруутай.

P(Â) @ P(¢) изоморфизм нь ÁÌ Â-ийн бүх урд ирмэгийн хувьд дарс аль хэдийн хуваарилагдсан байсан ч гэсэн ижил аргаар үр дүнтэй хуваарилагдсан болохыг харуулах шаардлагатай. Энд хоёр цэгийг ялгах шаардлагатай байна.

Эхний уналт. Хувийн бус  нь бусад элементтэй байж болохгүй. Ижил арьсан элемент нь дуулах урд талын breech дээр хэвтэж байх ёстой Á; тэр  є-д Á-ийн хосолсон усалгаа руу, тэр P(Â)-д - ÁÌ Â-ийн P(Á) хуримтлагдсан талбайнуудад. Хэрэв P(Á) @P(Á") изоморфизмын арьсны элементүүд өмнөхөөсөө үүссэн бол эдгээр бүх изоморфизм бүхий арьсны a элементэд зөвхөн нэг элемент a" өгөгдсөн болно. Иймд P(Â) → P(¢) нэг ба нэгээс олон нугалалт байдаг бөгөөд энэ нь P(Á) → P(Á") бүх урагшлах изоморфизмуудыг үргэлжлүүлж, а®a" нугалалтыг өөрөө үргэлжлүүлдэг. Энэ нь изоморфизм бөгөөд 1 ба 2-ын хослол болох нь ойлгомжтой.

Өөр нэг дусал. Үл мэдэгдэх элемент a; мөн,  = ÁÈ(a). Эцэст нь, a элементтэй холбоотой a" элемент нь өвөрмөц байдлаар хуваарилагдана. P(I") талбар дээрх a" нь (шинжилсэн изоморфизмын утгаараа) "ижил"-ийг хангадаг тул i a гаруй P(I), тэгвэл P(I) → P(I") изоморфизм (хэрэв би хоосон бол ижил изоморфизм P®P) P(I, a) ®P(I), a¢ изоморфизм хүртэл нэмэгдэнэ. ), a"-д өнгөрөх үед. Арьсны изоморфизмыг арьсны саналаар хоёрдмол утгагүй тодорхойлсон тул ерөнхий хэлний коэффициент бүхий арьсны оновчтой функц j(a) нь Á"-ийн эквивалент коэффициент бүхий j "(a") функцэд шилждэг. ) ® P(¢) нь 1 ба 2-той таарч байгаа нь ойлгомжтой.

Ийм байдлаар P(Â)→P(¢) изоморфизмын орлуулалт дуусна. W"-ээр дамжуулан P(В¢) бүх талбайн ерөнхий ойлголт; дараа нь P(W)®W" эсвэл W®W" изоморфизм байдаг бөгөөд энэ нь арьсны орон зайд P талбарын элемент агуулаагүй болно. W талбар нь алгебрийн хувьд хаалттай тул buti і W ", мөн үүний тулд W" нь шаардлагатай W¢ талбартай таарч байна.

Өгөгдсөн талбайн алгебрийн хаалттай өргөтгөлийн утга нь тэнцүү байх хүртэл алгебрийн талбайн боломжит өргөтгөлүүдийг даван туулах боломжтой юм. Илүү нарийн:

Хэрэв W нь P талбайн алгебрийн алгебрийн хаалттай өргөтгөл ба S нь P талбайн нэлээд алгебрийн өргөтгөл юм бол W-ийн дунд хэсэгт S 0-ийн ерөнхий өргөтгөл байгаа бөгөөд энэ нь S-ийн өргөтгөлтэй тэнцэнэ.

авчирч байна. Бид S-ийг тодорхой хаалттай алгебрийн өргөтгөл W" болгон сунгаж болно. Энэ нь алгебрийн болон P-ээс дээш байх ба тиймээс W өргөтгөлтэй тэнцэх болно. Ямар ч изоморфизмын дагуу W"-ийг W руу хөрвүүлэхийн тулд P-ийн хугарашгүй арьсны элементийг авч, S талбар нь yoma дэд талбар S 0W-тай дүйцэхүйц deak руу шилждэг.

4.2. Трансцендент тэлэлтийг уучлаарай.

Арьс нь ердөө л D талбайн трансценденталь өргөтгөл бөгөөд D[x] олон гишүүнт цагирагийн хувийн D(x) талбайтай дүйцэх бололтой. Тэр ми вивчимо цэ хувийн талбай руу

W талбарын элементүүд нь оновчтой функцууд юм

Теорем. n алхамын трансцендент h элемент нь D дээр трансцендент і D(x) талбар нь n алхамын D(h) талбайн алгебрийн өргөтгөл юм.

авчирч байна. Оруулсан h = f(x)/g(x) нь богино настай биш. Ижил элемент x хангагдсан

g(x)×h - f(x)=0

D(h) коэффициенттэй. Коэффициентуудын тоо тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв бүх өмхий нь тэгтэй тэнцүү байсан бол нэг ертөнц дэх ak үсэг би x олон гишүүнт g (x) -ийн тэгээс бус коэффициент, b k - олон гишүүнт f (x) -ийн тэгээс ялгаатай коэффициент байх болно. эх тэгш байх нь хангалтгүй байх болно

од h = b k / ak = const нь мухар сүсэг юм. Дахин хэлэхэд x элемент нь D(h) дээр алгебрийн шинжтэй байна.

Хэрэв h элемент нь D дээр алгебрийн шинжтэй байсан бол x нь D дээр хоёр алгебрийн шинжтэй боловч энэ нь тийм биш юм. Дахин хэлэхэд h элемент нь D дээр трансцендент юм.

X элемент нь n алхамын баялаг гишүүний үндэс юм

D(h)(z) цагирагт. Энэ олон гишүүнт нь D(h)[z]-д задрах боломжгүй, хэлтэрхийнүүд нь мөн vin bouv bi-д задрах боломжтой n kіlci D, і, vin-ийн хэлтэрхийнүүд h-д шугаман байна, maw bi-ийн үржвэрийн аль нэг нь боломжгүй. хадгалуулах h, эсвэл түүнээс бага z. Гэхдээ ийм үржүүлэгч байж болохгүй, учир нь g(z) ба f(z) нь харилцан энгийн.

Мөн x элемент нь D(h) талбар дээрх n алгебрийн алхам юм. Одууд цул тул (D(x) : D(h)) = n

Муухай хүний ​​хувьд баян гишүүн байх нь чухал

Зөвхөн z-ийн ойролцоо (D[z]-ийн ойролцоо хэвтэх) үржвэр байхгүй. Цэ хатуужилтыг хүчингүй болгож, хэрэв h-ийг f (x) / g (x) утгуудаар сольж, g (x) гэсэн тугаар үржүүлбэл бид өөрсдөө олон гишүүнт юм.

g(z)f(x) - f(z)g(x)

kіltsya D үржүүлэгч байхгүй, зөвхөн vіd z-д унана.

Дээр дурдсан теоремуудаас харахад гурван тайлбар байна.

1. Функцийн алхам h - f(х)/g(х) нь зөвхөн D(h) ба D(x) талбарт хадгалагдах ёстой ба x-г үүсгэгч өөр элементийн сонголтод биш.

2. Rivnist D(h) = D(x) ижил хэмжээнээс бага, хэрэв h нь 1-ээс бага бол шидэлт шугаман функц болно. Tse гэдэг нь: талбарын эх элемент, х элементийн крим нь х шиг бутархай шугаман функц байж болох бөгөөд зөвхөн ийм функц байж болно.

3. D талбайн элементийг зотон дээр үлдээх D(x) талбайн аливаа автоморфизм нь х элементийг талбайн аль ч элемент болгон хөрвүүлэх гэмтэй. Буцахдаа, хэрэв x-г үндсэн элемент x = (ax + b) / (cx + d) болон арьсны функц j (x) - y функц j (x) болгон хөрвүүлбэл, бүх D элементүүд үлдэх үед автоморфизм гарч ирнэ. зорилтот дээр. Отже,

D талбар дээрх D(x) талбайн бүх автоморфизмууд нь буудсан шугаман орлуулалт юм

x = (ax+b)/(cx+d), ad – bc ¹ 0.

Зарим геометрийн ололт амжилтад чухал ач холбогдолтой

Луротын теорем. DÌSID(x) нь энгийн трансцендент өргөтгөлүүд болох арьс-завсрын талбар S: S = D(q).

авчирч байна. X элемент нь S дээр алгебрийн шинжтэй байх учиртай, учир нь хэрэв h - хэрвээ S-ийн аль нэг элемент D талбарт хамаарахгүй бол харуулсанчлан x элемент нь D (h) дээр алгебр, S дээр илүү алгебрийн шинжтэй байна. S [z] ахлах коэффициент 1 ба язгуур x бүхий баялаг нэр томьёо харагдаж болно

f 0 (z) \u003d z n + a 1 z n -1 + ... + a n. (нэг)

З'ясуёмо Будовын баян гишүүн.

Элементүүд a i є рационал функцууд x. їх-ийн унтдаг хошуугаар үржүүлэхийн тулд та үүнийг олон оновчтой функцээр ашиглах боломжтой бөгөөд үүнээс гадна 1-ийн оронд x іz гэх мэт баялаг нэр томъёог авч болно.

f(x, z) = b 0 (x) z n + b 1 (x) z n-1 + ... + b n (x).

Олон гишүүнтийн алхамууд нь m-ийн хувьд, z-ийн хувьд n-ийн хувьд чухал юм.

a i \u003d b i / b 0 z (1) коэффициентүүд нь x-д бие даасан байж болохгүй, тэгвэл x нь D дээр алгебрийн элемент болж харагдах болно; Тиймээс тэдний нэг нь хэлэхдээ,

q = a i = b i (x) / b 0 (x),

vіd x хадгалалтад үнэхээр буруутай; Иогийн талаар товчхон бичье.

g(x) ба h(x) олон гишүүнтийн алхамууд m-ээс ихгүй олон гишүүнт

g(z) - qh(z) = g(z) – (g(x)/h(x))h(z)

(энэ нь ижил тэг биш) язгуур z = x бол vin нь S[z] цагирагт f 0 (z) -д хуваагдана. Хэрэв та zmist 1-тэй thir рациональ x rich нөхцлөөс tsilih x rich нөхцөл рүү zmist 1-ээр шилжихийг хүсвэл хуваагдах чадвараа хадгалах хэрэгтэй, бид үүнийг авна.

h(x)g(z)-g(x)h(z) = q(x, z)f(x, z).

Энэ тэнцвэрт байдлын зүүн хэсэг нь x-ийн дагуух алхмуудтай боловч t хөдөлдөггүй.Баруун талд байгаа Ale аль хэдийн f stupіn t-ийн баян гишүүн болсон; otzhe, зүүн хэсгийн алхмууд яг яг хуучин бөгөөд q(x, z) нь x-д ороогүй байна. Гэсэн хэдий ч, зүүн хэсгийг (div. more) хуваахын тулд z үржүүлэгчээс бага хадгаламж хийх боломжгүй; q(x, z) нь тогтмол байна:

h(x)g(z)-g(x)h(z) = qf(x, z).

Тогтмол q байгаа нь үүрэг гүйцэтгэдэггүй тул Будовын олон гишүүнт f(x, z)-ийг бүрэн дүрсэлсэн болно. х-ийн олон гишүүнтийн f(x, z)-ийн алхамууд илүү ахисан (тэгш хэмийн тэгш хэмтэй), z-ийн алхмууд илүү ахисан тул m = n. m, хожим нь i функц q нь эхээс үүдэлтэй. алхамуудын m x.

Өөрсдөө, нэг талын хэлтэрхийнүүд тэнцүү байна

(D(x):D(q)) = м,

үлдсэн хэсэг нь атаархал

өшөө авахын тулд тэдгээр хэлтэрхийнүүд D(q),

Висновок.

Роботууд иймэрхүү харагдаж байсан, P тоон талбайн өргөтгөлийг харна уу:

Талбайн алгебрийн энгийн өргөтгөл.

Алгебрийн салбарын агуулахын өргөтгөл.

Салгаж, салгах боломжгүй өргөтгөлүүд.

Усалгааны хязгааргүй өргөтгөл.

Ажилд дүн шинжилгээ хийснээр та deaky visnovki үүсгэж болно.

Z өргөтгөлийн эхний хоёр хэсгийг харав, тухайлбал:

алгебрийн энгийн өргөтгөл;

төгсгөлийн өргөтгөл;

алгебрийн агуулахын өргөтгөл.

Дараа нь, хэрэв та өргөтгөлүүдийг харвал zbіgayutsya і, zokrema, P талбарын энгийн алгебрийн өргөтгөлөөр зурсан болно.

Лавлах жагсаалт

1. Л.Я. Куликив. Алгебр ба тооны онол. - М .: Вищ. Сургууль, 1979.-528-538.

2. Б.Л. Ван дер Ваерден. Алгебр.- М., 1976 - 138-151, 158-167, 244-253.

3. Э.Ф. Шмигирев, С.В. Игнатович. Баялаг нэр томъёоны онол. - Мосир 2002.

Энэ ажлыг бэлтгэхийн тулд бид сайтаас материал цуглуулсан