Алгебрийн болон трансцендент тоо. трансцендент тоо трансцендент тоо

өөрөөр хэлбэл a = 1-ийн хувьд геометр прогрессийн нийлбэрийн зорилгод үйлчилсэн. Гауссын теорем батлагдсан гэж үзвэл a = a 1 нь тэнцүү язгуур (17) гэж үзнэ.

Вираз s f(x) ба нэр томъёог дахин бүлэглэхдээ бид ижил байдлыг харгалзан үзнэ

f(x) = f(x) − f(a1) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1).

(21) Одоо (20) томьёог шүүж үзэхэд бид арьсны гишүүнээс x − a 1 үржүүлэгчийг харж, нумны төлөө Ёгог буруутгаж, цаашлаад нуманд үлдсэн баян гишүүний хөл нэг болж байна. бага. Шинэ гишүүдийг дахин цуглуулснаар бид ижил төстэй байдлыг арилгадаг

f(x) = (x − a1 )g(x),

Энд g(x) нь n − 1 алхамын баялаг гишүүн юм:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 +. . . + b1x + b0.

(Б-ээр дамжуулан мэдэгдэж байгаа коэффициентүүдийн тооцоог бид энд дуудах гэж байна.) Энэ нь g (x) олон гишүүнээс маш ижил тооцоолол хийх шаардлагатай. Гауссын теоремын дагуу a2 квадрат язгуур нь g(x) = 0-тэй тэнцүү, тэгэхээр

g(x) = (x − a2 )h(x),

Энд h(x) нь n − 2 алхамын шинэ олон гишүүнт юм. n − 1 удаа давтана.

Ижил байдлаас (22) зөвхөн a1, a2 нийлмэл тоонууд биш,

Ан нь тэнцүү (17) язгуурын мөн чанар ба тэнцүү (17) язгуургүй язгуурын мөн чанар юм. Үнэн, якби тоо y нь тэнцүү (17), дараа нь s (22) slid bi-ийн үндэс байсан.

f(y) = (y - a1) (y - a2). . . (y - an) = 0.

Але ми бачили (х. 115) нийлмэл тоонуудыг тэг дээр нэмэх нь тэг рүү үржүүлэгчийн нэг гэж, тэгж бага. Мөн y−ar үржүүлэгчийн аль нэг нь 0-тэй тэнцүү тул y = ar, үүнийг тохируулах шаардлагатай.

§ 6.

1. Үүний зорилго нь хоол тэжээлийн шалтгаан юм. Аливаа x тоог алгебрийн тоо гэж нэрлэдэг;

130 МАТЕМАТИК ТООНЫ СИСТЕМ ch. II

de numbers ai тоо. Жишээлбэл, 2-ын тоо нь алгебрийн шинж чанартай бөгөөд энэ нь тэнцүү байх болно

x2 − 2 = 0.

Алгебрийн тооны ижил зэрэглэлд язгуур байгаа эсэх, тэнцүү эсэх, гурав, дөрөв, тав дахь бүхэл бүтэн коэффициентүүдтэй, энэ нь ертөнц байна уу, мөн бие даасан байдлаар илэрхийлэгдэж болно, эсвэл илэрхийлэгдэхгүй байна. радикалуудаар. Алгебрийн тооны тухай ойлголт нь рационал тооны тухай ойлголтын байгалийн ойлголт бөгөөд okremy уналт n = 1-ийг батлах арга юм.

Бодит тоо бүр алгебрийн шинж чанартай байдаггүй. Tse vipliva z offensive, Kantor-тай, теоремууд: rachunkiv-ийн алгебрийн бүх тооны хувийн бус байдал. Bo bezlich usikh өдрийн тооялгах боломжгүй, дараа нь obov'yazkovo нь алгебрийн биш тул бодит тоонуудыг ашиглахтай холбоотой юм.

Хувь хүний ​​бус алгебрийн тоог шийдвэрлэх аргуудын нэгийг онцолж үзье. Гадаад төрхтэй тэнцүү арьс (1) зорилтот тоотой тэнцүү

h = | нь | + | ан-1 | +. . . + | a1 | + | a0 | +n,

Загварын үүднээс бид үүнийг "өндөр" гэж нэрлэдэг. Арьсны тогтмол утга хүртэл n нь зөвхөн h өндөртэй (1) хэлбэртэй тэнцүү сүүлчийн тоо юм. Ийм тэнцүү хүмүүсийн арьс нь n-ээс илүү үндэстэй байж болно. Үүний тулд зөвхөн h өндөртэй тэнцүү тоогоор үүсгэгдсэн алгебрийн сүүлийн тоог ашиглах боломжтой; аав аа, бүх зүйл алгебрийн тооТа дарааллыг хараад розташувати болно, тэдний толгойг давж, тэд дараа нь 1-ийн өндөртэй тэнцэх өндөртэй - 2 өндөр гэх мэт төрдөг.

Хувь хүний ​​бус алгебрийн тоонуудын ижил төстэй байдлын энэхүү нотолгоо нь алгебрийн тоо биш тул бодит тоонуудын үндэс суурийг тавьдаг. Ийм тоонуудыг трансцендентал гэж нэрлэдэг (Латин transcendere - дээгүүр явах, эргүүлэх); Эйлер түүнд "алгебрийн аргуудын хатуу байдлыг арилгахын тулд" өмхий нэр өгсөн.

Трансцендент тоонуудын үндэс суурийг Канторын нотолгоо нь бүтээлч тоонуудын өмнө оршдоггүй. Онолын хувьд, нэмэлт диагональ процедурын хувьд трансцендентал тоог өдөөх боломжтой бөгөөд энэ нь алгебрийн бүх тооны хэдэн арван өргөтгөлийн тодорхой жагсаалтын дагуу хийгддэг; Гэхдээ ийм журам нь ямар ч практик ач холбогдолгүй байсан бөгөөд хэдэн арван (эсвэл өөр ямар ч) дриб дээр бичиж болох тоонд хүргэхгүй. Трансцендент тоотой холбоотой асуудлуудын ихэнх нь peevn, тодорхой тоонууд (энд р ба е тоонууд, 319-322-р хэсгийн тухай) трансцендентал гэдгийг батлахтай холбоотой байдаг.

**2. Лиувиллийн теорем ба трансцендент тоонуудын байгуулалт. Трансцендент тоонуудын үндэс суурийг нотлох баримтыг Канторын өмнө Ж.Лиувилл (1809–1862) өгсөн. Энэ нь бидэнд ийм тооны жишээг бодитоор бүтээх боломжийг олгодог. Lіouvil-ийн нотлох баримт нь Канторын нотолгоог бодвол илүү чухал бөгөөд энэ нь гайхах зүйл биш юм, хэлтэрхий нь өгзөг, үрэвссэн мэт санагдах, нугалж, суурийг авчрахын тулд доод тал нь. Доод тал нь Лиувиллийн нотолгоо юм, магадгүй энэ нь анхан шатны математикийн хангалттай мэдлэгтэй нотолгоог ойлгохыг хүсдэг бэлтгэгдсэн уншигч шиг харагддаггүй.

Лиувиллээс харахад иррационал алгебрийн тоонууд нь аль хэдийн маш өндөр нарийвчлалтай рационал тоонуудаар ойртох боломжгүй тийм хүчтэй байдаг, зүгээр л ойролцоолсон бутархайн хошууг авч болохгүй, гайхалтай гайхалтай.

z тоо нь бүхэл тооны коэффициент бүхий алгебрийн тэгшитгэлийг хангасан гэж үзье

гэхдээ та доод түвшнийг ийм тэгшитгэсэнд сэтгэл хангалуун бус байна. Тоди

x нь өөрөө n зэрэгтэй алгебрийн тоо юм шиг санагддаг. Тиймээс, жишээ нь,

z = 2 тоо нь алгебрийн 2-р түвшний тоо бөгөөд ингэснээр x2 − 2 = 0√ түвшин 2-р түвшинд хангагдсан боловч эхний түвшний түвшин хангагдаагүй байна; тоо z = 3 2 - 3-р алхам, энэ нь x3 - 2 = 0-д сэтгэл хангалуун байгаа боловч доод шаттай (бид III хэсэгт үзүүлсэн шиг) сэтгэл хангалуун бус байна. n > 1 алхамын алгебрийн тоо

рациональ байж болохгүй, учир нь рационал тоо z = p q

түвшинг хангана qx − p = 0 алхам 1. Арьс иррационал тоо z-ийг тодорхой хэмжээний нарийвчлалтайгаар нэмэлт оновчтой тоогоор ойртуулж болно; Энэ нь рационал тоонуудын дарааллыг үргэлж зааж өгч болно гэсэн үг биш юм

p1, p2,. . .

q 1 q 2

өсөн нэмэгдэж буй тугнуудаар хүрээлэгдээгүй, Володя Тим-

Юу юу

p r → z. qr

Лиувиллийн теорем гайхалтай: хэрвээ n > 1 алхамын z алгебрийн тоо байхгүй байсан бол энэ нь нэмэлт рациональтай ойр байж чадахгүй.

агуу хошуучид obov'yazkovo vykonuetsya nerіvnіst дуусгах

Бид теоремыг батлахаар сонгосон бөгөөд нэмэлт тусламж авахын тулд трансцендент тоонуудыг хэрхэн авч болохыг өмнө нь харуулах болно. Тоогоо харцгаая

z = a1 10-1! + a2 10-2! + a3 10-3! +. . . + цаг · 10−м! +. . . = = 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000. . . ,

de ai гэдэг нь 1-ээс 9 хүртэлх тодорхой тоонуудыг хэлнэ (бүх ai-ийг 1-тэй тэнцүү болгоход хялбар байх болно), n тэмдэг! . . n. Ийм тооны арав дахь хуваарилалтын онцлог шинж чанар нь бүлгүүд, тэдний dozhina-ийн ард хурдан өсдөг хүмүүс, тэгийг тэг шиг харагддаг okremi цифрүүдээр шинээр зурсан байдаг. zm дамжуулан мэдэгдэхүйц, бүх гишүүдийн ам хүртэл зохион байгуулалтад авсан бол арав дахь drіb, шийдвэрлэх нь төгсгөл, 10−м! багтаасан. Тоди сандарсан байдлыг арилгана

z нь n алхамын алгебрийн тоо гэж үзье. Тоди, Lіouville (3) -ийн мэдрэлийг хүндэтгэж pq = zm = 22:00! , бид буруутай ээжүүд

|z - zm | > 10(n+1)м!

м-ийн өндөр утгуудад. Үлдсэн тэгш бус байдлыг мэдрэлийн мэдрэмжтэй харьцуулах (4) тийм ээ

одод дагадаг (n + 1) м! > (м + 1)! − 1, гайхалтай м. Алес n-ээс их утгын хувьд буруу байна (уншигч энэ мэдэгдлийн дэлгэрэнгүй нотолгоог өгөхийг хичээгээрэй). Бид хэт хурц тод байдлыг хангадаг. Мөн z тоо нь трансцендент юм.

Лиувиллийн теоремыг дуусгахад л үлдлээ. z нь (1) тэгшитгэлийг хангадаг n > 1 зэрэгтэй алгебрийн тоо гэж үзье.

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n - zn).

zm − z дээр доромжилсон хэсгүүдтэй харьцаж, алгебрийн томьёогоор судална

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

бид хүлээн зөвшөөрч байна:

zm нь зөв z тул агуу m-д хүрэхэд zm-ийн тоог нэгээр бага z гэж тооцох нь оновчтой юм. Тиймээс, их хэмжээний тунг хэрэглэхийн тулд та ийм бүдүүлэг тооцоог гаргаж болно.

N|an|(|z|+1)n−1 = M, (7)

Түүнээс гадна баруун гартай байхын тулд M тоо тогтмол, z хэлтэрхий нь нотлох явцад өөрчлөгддөггүй. Vibero одоо m шал нь маш сайн, shob

бутархай z m = p m стандарт q м өндөр, доод M; баскв

ингэснээр f(x) олон гишүүнээс үржүүлэгчийг (x − zm ) бас харах боломжтой байсан, i, мөн z доод доод n-ийн түвшинд хангагдана. Otzhe, f(zm) 6= 0. Тэгш байдлын баруун талын але тоо (9) Ийм байдлаар zіzstavlennya sіvvіdnіshen (8) ба (9) vyplyaє nerіvnіst

одоо ч агуулах zmіst zaznachenї теорем.

Хэдэн арван жилийн дараа алгебрийн тоог оновчтой тоогоор ойртуулах боломж хол зайд гарч ирэв. Жишээлбэл, Норвегийн математикч А.Туе (1863–1922) Лиувиллийн тэгш бус байдал (3) нь n + 1 илтгэгчийг бага n 2 + 1 илтгэгчээр сольж болохыг олж мэдсэн.

Siegel та үүнээс ч бага (жижиг) авч болно гэдгийг харуулж байна

том n) үзүүлэлт 2 n.

Математикчдын хүндэтгэлийг өөртөө шингээсэн тул трансцендент тоо нь үргэлж сэдэв байсаар ирсэн. Але, хүчирхэг хүчээр tsіkavі шиг, өдрийн дунд сүүлийн цаг хүртэл, ийм олон биш байсан, ийм було трансцендент шинж чанар суулгасан. (III хэсэгт тохиолдсон р тоо давж гарсан тул захирагч болон луужингийн тусламжтайгаар гадасыг квадрат болгох боломжгүй юм.) Парисын олон улсын математикийн конгресс дээр хэлсэн үгэндээ 1900 r. Дэвид Хилберт гучин математикийн дуулж байна

энгийн томъёолол, deyakі боломжийг олгодог асуудлууд - navіt zovsіm анхан шатны болон илүү алдартай, зарим нэг шалтгааны улмаас зөвхөн vilіshena биш байсан, харин navіtі барилга өгсөн биш харин tієї эриний математикчид зөвшөөрсөн. Ци "Гильбертийн асуудлууд" нь ирэх үеийн математикийн хөгжилд хүчтэй сэрэмжлүүлэг өгсөн. Mayzhe бүх өмхий алхам алхмаар зөвшөөрөгдсөн, баян випадка нь тэдний virishennia илүү догшин, glib арга утгаар нь тодорхой илэрхийлсэн амжилт нь холбоотой юм. Найдваргүй хүний ​​шийдэж зүрхэлсэн асуудлуудын нэг

тоо гэдгийг нотолж байна

є трансцендентал (чи Ванта б иррациональ). Гурван арван жилийн турш ийм пидхид хэн нэгний талаас хооллохын тулд дарамт шахалт үзүүлэх боломжгүй байсан нь амжилтанд хүрэх итгэл найдварыг төрүүлсэн. Зрештою, Зигель, бие даан Оросын залуу математикч А.Гельфонд нар баялгийн хэтийн төлөвийг батлах шинэ аргуудыг нээсэн.

тоо, энэ нь математикийн утгыг илэрхийлж болно. Зокрема, Було оруулав

Хилбертийн тоо 2 2 шиг давсан байдал ба th бүхэл тоо нь ab хэлбэрийн тоонуудын агуу ангилалд шилжих бөгөөд энд a нь алгебрийн тоо, a нь алгебрийн тоо, a b нь иррационал алгебрийн тоо юм.

RAZDILU II-ийн НЭМЭЛТ

Үржвэрийн алгебр

1. Халуун онол. Анги, sukupnostі, чи хувийн бус объектуудын тухай ойлголт нь математикийн хамгийн суурь ойлголтуудын нэг юм. Хувь хүн бус нь дико хүчийг илэрхийлдэг ("шинж чанар") А, энэ нь эхийн аль нэгнийх нь буруу, эсвэл объектын арьсны шинжилгээг эхийнх нь биш; А-ын хүч шиг тэдгээр объектууд нь А-ийн хувийн бус байдлыг бүрдүүлдэг. Тиймээс, А-ийн хүч нь уучлахдаа байгаа тооны зорилгыг олж харснаар А-ын хувийн бус байдал нь ердийн анхны тооноос нэмэгддэг. тоо 2, 3, 5, 7, . . .

Математикийн онолНэмэлт үйлдлүүдэд зориулж шинэ үржүүлэгчийг бий болгох боломжтой тул үржвэрүүд гарч ирдэг (үүнтэй адил үржүүлэгчийг нугалах нэмэлт үйлдлийн тооноос шинэ тоо гарч ирдэг). Vyvchennya үржүүлгийн үйлдлүүд нь "олон тооны алгебрийн" сэдэв болж хувирах тул энэ нь агуу тоон алгебртэй маш их уялдаатай байж болох тул яагаад, үүн дотор байгааг олж мэдэхийг хүсч байна. Алгебрийн аргуудыг тоон бус объектуудыг, тухайлбал, хувь хүний ​​бус, илу-

орчин үеийн математикийн санааг нэгтгэх урсгал. Үлдсэн цагт үржүүлгийн алгебр нь математикийн баялаг ид шид, тухайлбал, ертөнцийн онол, төсөөлөлтэй зүйлсийн онолд шинэ гэрэл цацаж байгаа нь тодорхой байв; vona korisna бас системчлэлийн pіd цаг юм математик ойлгодогтэр z'yasuvannі їх логик zv'yazkіv.

Надаль би postiynu хувийн бус объектуудын deak гэсэн үг, ийм baiduzh мөн чанар, бид үүнийг бүх нийтийн хувийн бус байдал (эсвэл mirkuvannya орчлон) гэж нэрлэж болно, мөн

A, B, C, . . . Хэрэв би бүх натурал тоонуудын олонхи юм бол А нь бүх хосолсон тоо байхгүй, В - бүх хосгүй тоо байхгүй, C - бүх анхны тоо байхгүй гэх мэтийг илэрхийлж болно. тэгвэл А нь энэ гадасны дундах утгагүй цэг, В нь өөр гадасны голд байх утгагүй цэг гэх мэт байж болно. Мета, ийм тэлэлтийг дагаж байгаа мэт, тэр албан тушаалыг аврахын тулд нудрах, арьсны эрх мэдэл А нь I-ээс олон элементийг харуулж байгаа нь эрх мэдлийн хүч рүү хөтлөх болно. Заримдаа, A є бүх нийтээр vykonuvan эрх мэдэл гэж, өгзөг нь та нар үйлчилж болно (та тоон тухай олж болно) эрх мэдэл нь өчүүхэн тэнцэл x = x хангадаг, дараа нь үржүүлэгч тохиолдолд би өөрөө байх болно, арьсны элемент ийм эрх мэдэлтэй байж болно; Нөгөө талаас, A є нь дотоод хүчирхэг хүч (kshtalt x 6 = x дээр) тул элементүүдээс өшөө авах боломжгүй, энэ нь "хоосон" бөгөөд тэмдэгтээр тэмдэглэгдсэн байдаг.

А үржүүлэгч нь B үржүүлэгчийн дэд үржүүлэгч юм шиг санагдаж байна, товчоор хэлбэл, "А В-д ордог", эсвэл "Б нь А-ийн өшөөг авдаг" юм шиг санагдаж байна, учир нь А үржүүлэгчид үржүүлэгчтэй ижил биш ийм элемент байдаггүй. Б.

A B эсвэл B A.

Жишээлбэл, 10-д хуваагддаг бүх бүхэл тоон хувийн бус А нь 5-д хуваагддаг бүх бүхэл тоон хувийн бус В-ийн дэд үржвэр тул 10-д хуваагдах арьсны тоо нь мөн адил хуваагдана. 5. A B-д B A. maє mіsce i te y іnshe, дараа нь ороогүй болно.

Tse гэдэг нь арьсны элемент A є нэгэн зэрэг B элемент, і буцаж байгаа тул ижил элементүүдийг орлуулахын тулд A, B-г үржүүлнэ гэсэн үг юм.

Spivvіdnoshennia A B mizhiny баян ямар таах spіvіdnoshennia нь 6 б mizh тоо. Зокрема, илт мөшгөсөн

Энэ spіvvіdnoshennia-ийн хүчийг үлээж байна:

1) А.

2) Хэрэв AB ба BA бол A = B.

3) A B, B C, дараа нь A C.

Spіvvіdnoshennia AB шалтгааны улмаас заримдаа "захиалга өгөх" гэж нэрлэдэг. Головна Vidmіnniy Шинжилгээ хийсэн SPIVVISHENYNYA VID SPIVVISHENYNYA А 6 б уурхайн тоонд Полега нэг, үеэл а і б тооны үнээ биш нөөц аналоги батлах буруу. Жишээлбэл, 1, 2, 3 тооноос бүрдэх А нь хувь хүн биш юм.

ба B нь үржүүлэгч бөгөөд үүнийг 2, 3, 4,

тэгвэл A B, эсвэл B A цаг байхгүй. A, B, C, гэж хэлэх шалтгаан байхгүй. . . үржүүлэгчид I є “хэсэгчилсэн эрэмбэлэгдсэн”, үр дүнтэй тоотой адил a, b, c, . . .

"бүрэн эмх цэгцтэй" дарааллыг бий болгох.

А, В хоёрын хооронд ямар ч ялгаа байхгүй, хэрэв А-ийн үржүүлэгч, I-ийн үржүүлэгч байхгүй байсан гэдгийг хүндэтгэж,

Хүчин чадал 4) зарим талаараа парадокс байж болох ч, хэрэв та энэ талаар бодож байвал энэ нь томилогдсон тэмдгийн яг өөрчлөлтөд логикийн хувьд захирагддаг. Үнэн, spіvvіdnoshnya A зөвхөн эвдэрсэн

in тэр випадка руу, хоосон юм шиг олон элемент элементийг буруу байрлуулсан нь b A өшөөг аваагүй; гэхдээ хоосон хувь хүн шиг, элементүүдээс өшөө авах хэрэггүй, тэгвэл чи А байгаагүй бол байж чадахгүй.

Бид одоо үржүүлгийн талаар чухал ач холбогдолтой хоёр үйл ажиллагаа болж байна, энэ нь албан ёсоор баян алгебрийн эрх баригчид өөрсдийн дотоод zmіsto zovsіm vіdminnі vіd tsikh арифметик diy нь хүсэж байгаа тоо нь олон тооны нэмэх боломжийг олгодог. А ба В хоёр үржүүлэгч байг. "Логик нийлбэр" гэсэн нэр томъёоны дагуу А ба В нь А эсвэл А хэсэгт байрлах чимээгүй элементүүдээс бүрдэх хувийн бусыг ойлгодог.

in B (үүнд A ба В хэсэгт олж болох элементүүд орно). Энэ үржүүлэгчийг A + B гэж тэмдэглэнэ. 1 "Перетина" буюу "логик бүтээл"-ийн дор А ба В-г хувийн бус байдлаар ойлгодог бөгөөд тэдгээр нь чимээгүй элементүүдээс бүрдэх ба тэдгээр нь А болон В-д байдаг. Энэ үржүүлэгчийг AB-ээр тэмдэглэв.2.

A + B ба AB үйлдлүүдийн алгебрийн чухал хүчнүүдийн дунд довтолгоо хэт их байдаг. Уншигч үйл ажиллагааны зорилгоос хамааран шударга байдлыг өөрчилж болно:

Эдгээр бүх хуулиудыг дахин шалгах нь баруун талд байгаа хамгийн энгийн логик юм. Жишээлбэл, дүрмийн 10) элементүүд нь хувийн шинж чанартай, A, эсвэл A, эсвэл хувийн бус А гэсэн; Дүрэм 12) хэрэв тэдгээр нь А-д байгаа бөгөөд нэгэн зэрэг B эсвэл C байвал хувь хүний ​​бус элементүүд, хэрэв тэдгээр нь А ба В-д ижил цаг, эсвэл цаг нь А-д нэг цаг байвал хувь хүний ​​бус элементүүд мөн. C vykoristovuyutsya дүрэм ижил төрлийн нотлох, гар зураг, бид хувь хүн бус A, B, C, төсөөлж чадсан юм шиг. . . Талбай дээрх ийм дүрсийг хараад бид хоёр багцын үндсэн элементүүд байгаа эсэх, эсвэл эсрэгээрээ байгаа эсэх талаар логик боломжуудыг алдахгүйн тулд энэ талаар илүү хүндэтгэлтэй хандах болно. нэг элементийн багц, хэрэв нөгөөд нь олдохгүй бол.

Уншигч та 6), 7), 8), 9) ба 12) хуулиудыг хүндэтгэхээ больсон нь дууны алгебрийн алдартай коммутатив, ассоциатив, түгээлтийн хуулиудтай адилхан гэж нэрлэгддэг нь эргэлзээгүй. Zvіdsi viplivaє, scho tse дүрэм zvichaynoї алгебр, yakі z tsikh хууль, олонлогийн алгебр үр дүнтэй. Навпаки, 10), 11) ба 13) хуулиудад анхны алгебрийн аналог байхгүй бөгөөд тэдгээр нь алгебрт олон энгийн бүтцийг өгдөг. Жишээлбэл, үржүүлгийн алгебр дахь бином томъёог хамгийн энгийн тэгшитгэл болгон бууруулж болно

(A + B) n = (A + B) · (A + B). . . (A + B) = A + B,

хуулийн дагуу 11). Хуулийн 14), 15), 17) олон тооны I-ийн хүч нь тухайн тоог нэмэх үйлдлээс өмнөх тооны хувьд 0 ба 1-ийн хүчин чадалтай өмнөх нэр томьёоны хувьд ижил төстэй байгаа тухай ярих. тоон тоонуудын үйлдэл ба олон тооны тоог нэмэх. Ale хууль 16) тоон алгебрийн аналоги байхгүй.

Олонлогуудын алгебрийн өөр нэг үйлдлийг хийх шаардлагатай байна. А-г бүх нийтийн I үржүүлэгчийн дэд үржүүлэгч гэж үзье. Тиймээс I-ийн нэмэлтийн дагуу I-ийн бүх элементийн хувийн бусыг А-д биш юмаа гэхэд ойлгож болно. Үржүүлэгчийн хувьд бид A0 утгыг оруулна. Тэгэхээр, хэрэв би бүх натурал тоонуудын хувийн бус, А нь бүх анхны тоонуудын хувийн бус бол А0 нь хувийн бус бөгөөд энэ нь бүх агуулахын тоо болон 1-ийн тооноос нийлдэг. эрх мэдэл:

23) A00 = A.

24) Spivvіdnenja A B 0A0.

25) (A + B) 0 = A0 B0. 26) (AB)0 = A0 + B0.

Эдгээр эрх мэдлийг дахин шалгах би дахин nadaemo chitachev.

1)-26) хуулиудад олонлогийн алгебрийн суурь оршдог. Довтолгооны мэдрэмж дэх "хоёр тал" хэмээх гайхамшигт хүчний үнэр:

Хуулийн 1)-26)-ын нэгэн адил нэгийг нэгээр солино

(арьсны орцын хувьд), үр дүнд нь эдгээр хуулиудын аль нэг нь дахин гарч ирдэг. Жишээ нь, хууль 6) хууль болгон өөрчилдөг 7), 12) - 13), 17) - 16) зүгээр л. нахиа. , "Dvіyna" ї-р теорем нь тэмдэгтийн орлуулалтын нэмэлт утгын хувьд эхнийхээс гарч ирдэг. Үнэн, нотлох баримтууд

Зорилго. II АЛГЕБР МНОЖИН 139

Эхний теорем нь 1-26-р хуулиудын дараалсан зогсонги байдлаас (хэрэгжүүлэх өөр өөр үе шатанд) бүрддэг), дараа нь агуулах дахь "хоёр" хуулийн эцсийн үе шатанд зогсонги байдал нь "нотолгоо юм. давхар” теорем. (Бүлгийн геометрийн ийм "давхар байдал"-аас үүдэлтэй. IV хэсэг.)

2. Zastosuvannya математикийн логик. Үржүүлгийн алгебрийн хуулиудыг дахин шалгах нь A B болон A + B, AB, A0 үйлдлүүдийн логик мэдрэмжийн шинжилгээнд үндэслэсэн болно. Одоо бид энэ үйл явцыг эргүүлж, 1)–26) хуулиудыг "логикийн алгебр"-ын үндэс болгон авч үзэж болно. Илүү нарийвчлалтай хэлэхэд: логикийн энэ хэсэг нь маш олон, эсвэл үнэндээ ижил төстэй объектуудын хүчийг хуулинд үндэслэн албан ёсны алгебрийн систем болгон бууруулж болно 1) –26). Логик "ухаалаг бүхнийг мэдэх" нь хувийн бус Би-г илэрхийлдэг; арьсны хүч А нь хүч байж болох мэт чимээгүй I объектуудаас бүрдэх хувийн бус А-г илэрхийлдэг. Хамгийн логик нэр томъёог хэл рүү хөрвүүлэх дүрэм

Алгебрийн хувьд "Барбара" гэсэн силлогизм байдаг бөгөөд энэ нь "хэрэв A є B ба B є C болгон бол A є C болгон" гэсэн утгатай, энгийн харагддаг:

3) Хэрэв AB ба ВС бол AC.

Үүний нэгэн адил, "объект нэгэн зэрэг удирдаж чадахгүй ба ийм хүчийг удирдаж чадахгүй" гэдгийг баталсан "эсэргүүцлийн хууль" -ийг үзэгч тэмдэглэв.

20) AA 0 =,

а “Гуравдугаарт багтсан хууль” буюу “Объект нь эхэд буруутай, харин эрх мэдлийн дико нь эх нь буруу биш” гэж бичсэн байдаг.

19) A+A0=I.

Ийм маягаар, +, · і 0 гэсэн тэмдэгтүүдийн хувьд логикийн тэр хэсгийг 1)–26) хуулийн дагуу алгебрийн албан ёсны систем гэж тайлбарлаж болно. Математикийн логик шинжилгээний үндсэн дээр ба математик шинжилгээЛогикийн хувьд шинэ шинжлэх ухаан бий болсон - математик логик нь тэдний хэн нь ч үймээн самуунтай хөгжлийн үйл явцыг зэмлэдэггүй.

Аксиоматик үүднээс авч үзвэл, 1)-26)-аар батлагдсан гайхамшигт баримтыг хүндэтгэсний улмаас олонлогийн алгебрийн бусад теоремуудын хамт ирэх гурван тэгшитгэлээс логикоор харж болно.

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0) 0 + (A0 + B) 0 = A.

Аксиом гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн эдгээр гурван байрлалын үндсэн дээр Евклидийн геометрийн үндсэн дээр үржүүлгийн алгебрийг дедуктив онол болгон өдөөж болох нь тодорхой байна. Аксиоматаар хүлээн зөвшөөрөгдсөнөөр AB үйлдэл ба А В санал нь A + B ба A0 гэсэн томъёогоор тодорхойлогддог.

Үржүүлэгчийн алгебрийн бүх албан ёсны хуулиудыг кодчилдог математикийн системийн өөр нэг жишээг бид 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 гэсэн найман тооны системээр өгөгдсөн гэж нэрлэдэг: энд a + b гэсэн үг,

a і b-ийн хамгийн дээд, хамгийн бага үржвэр, ab - хамгийн өндөр dіlnik a і b, a b - хатуулаг "b a-д хуваагдана" ба a0 - тоо 30 a. Су-

Ийм хэрэглээний үндэс нь хууль тогтоомжид нийцсэн алгебрийн системийг бий болгоход хүргэсэн 27). Ийм системийг "Боолийн алгебрууд" гэж нэрлэдэг бөгөөд 1854 онд "Бодлын хуулиудыг судлах" ном хэвлэгдсэн Английн математикч, логикч Жорж Буллийн (1815-1864) хүндэтгэлд зориулжээ.

3. Үл хөдлөхийн онолын өмнөх зогсоолуудын нэг. Алгебр нь үл хөдлөхийн онолд илүү ойр байж, шинэ ертөнцөд үүнийг харах боломжийг олгодог. Хамгийн энгийн жишээг авч үзье: боломжит nasledkiv-ийн сүүлчийн тооноос өөрсдийн туршилтыг хийцгээе, yakі бүгд "тэнцүү чадвартай" гэж боддог. Туршилт нь жишээлбэл, бид сайн холилдсон шинэ тавцангаас карт зурж болно гэсэн үг юм. Туршилтын бүх үр дүнгийн үржүүлэгч нь I-ээр дамжуулан ач холбогдолтой бөгөөд А нь I-ийн дэд үржүүлэгч гэсэн үг бол туршилтын үр дүн A-ийн дэд үржүүлэгч хүртэл байх боломжийг өргөтгөл гэж илэрхийлнэ.

p(A) = A дахь элементийн тоо. I дахь элементийн тоо

Хэрэв бид ямар ч А үржүүлэгчийн элементүүдийн тоог n(A) гэж үзвэл тэгшитгэлийн үлдсэн хэсгийг дараах байдлаар өгч болно.

Олон тооны алгебрийн санаанууд нь боломжуудыг тоолох үед гарч ирдэг, хэрэв боломжтой бол зарим олон тооны имовир чанарыг мэдэж, бусдын имовир чанарыг тоолох боломжтой. Жишээлбэл, p (A), p (B) ба p (AB) динамикийг мэдэж байгаа тул бид p (A + B) динамикийг тооцоолж болно:

Үүнийг авчрах нь хамаагүй. Май маємо

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

А ба В хэсэгт нэгэн зэрэг байрлаж болох элементүүдийн хэлтэрхийнүүд, дараа нь n(A) + n(B) нийлбэрийг тоолохдоо AB-ийн элементүүдийг харгалзан үздэг тул n(AB) -ийг харах шаардлагатай. нийлбэрүүдийн нийлбэрээс n(A + B) хуваах үсэг зөв байна. Гэмт этгээдүүдийг n(I) дээр эквивалентын нэг хэсэг болгон гомдоож байцгаая, бид аяндаа (2) арилгах болно.

Cіkavіsha томъёо гарч явах, тиймээс гурван үржүүлэгч A, B, C z I орчим байдаг.

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Өмнөх догол мөрийн хууль (12) нь бидэнд (A + B) C = AC + BC өгдөг. Дуу чимээ гарч байна:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) - p(ABC).

Өмнөх дарааллаар (2)-аас авсан p[(A + B)C] ба p(A + B) утгыг орлуулснаар бид шаардлагатай томъёонд хүрнэ.

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Өгзөг шиг бид доромжилсон туршилтыг харж болно. 1, 2, 3 гэсэн гурван тоог дурын дарааллаар бичнэ. Цифрүүдийн аль нэгийг дээд талын (sensi дугаарлалт дахь) орон зайд тулгуурласан байхаар хүлээн зөвшөөрсөн нь юу гэсэн үг вэ? А нь 1-ийн тоо нэгдүгээрт орох ёстой хувь хүний ​​бус солилт, 2-ын тоо өөр газар, С - 3-ын тоо гуравдугаар байранд орох ёстой хувь хүний ​​бус солилт байг. . Бид p(A+B+C) тооцоолох хэрэгтэй. Би үүнийг ойлгосон

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

үр дүнтэй, зураг зөв газар зогсож байгаа юм шиг, дараа нь үндсэн тоо 3 2 1 = 6 боломжит гурван оронтой солих хоёр оронтой шийдлийг дахин зохион байгуулах хоёр боломж байна. Дали,

Зөв. p(A + B + C + D) хүчинтэй томьёо оруулаад 4 оронтой туршилтыг хүлээнэ үү. Vidpovidna umovirnіst dorіvnyuє 58 = 0.6250.

n үржвэрийг нэгтгэх нийтлэг томъёо харагдаж болно

өшөө авах хослолууд нэг, хоёр, гурав, . . . , (n − 1) A1 , A2 , тооноос авсан үсэг. . .

а. Энэ томьёог нэмэлт математик индукцийн дараа оруулж болно - яг л томьёо (2)-аас (3) томъёолсон шиг.

Томъёо (4)-аас 1, 2, 3, n оронтой байхаар нүсэр нэмэх боломжтой. . . n-ийг дурын дарааллаар бичсэн бол аль нэг цифрийг хүлээн зөвшөөрч, зохих газар дээр тулгуурлах чадвар илүү байна.

Түүгээр ч барахгүй үлдсэн гишүүний өмнө хосолсон болон хосгүй гишүүдийг дууддаг + эсвэл - гэсэн тэмдэг байдаг. Зокрема, n = 5-ын хувьд

p5 = 1 - 2! + 3! − 4! +5! = 30 = 0.6333. . .

VIII тасагт таарахгүй бол вираз гэдгийг мэдмээр байна

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! +4! − . . . ±n!

1 e хооронд прагне, утга нь Комигийн дараа таван тэмдэгтэй,

нэг 0.36788. (5) томъёоноос pn = 1 − Sn, тэгвэл од тодорхой, n → ∞ хувьд тодорхой байна.

pn → 1 - e ≈ 0.63212.

"Трансцендентал" гэдэг үг нь трансцендентал бясалгал, янз бүрийн эзотерикизмтэй холбоотой байдаг. Гэхдээ йогоор зөв амьдрахын тулд хамгийн багадаа йогийг "трансцендент" гэсэн нэр томъёоны үүднээс өөрчлөх шаардлагатай бөгөөд дээд тал нь Кантын роботууд болон бусад гүн ухаантнууд дахь йогийн үүргийг таах хэрэгтэй.

Латин трансценденстэй төстэй байх нь ойлгомжтой - "гатлах", "гатлах", "цаашид гарах". Ерөнхийдөө дарс гэдэг нь эмпирик мэдлэгт хүрэх боломжгүй, эсвэл нотолгоонд тулгуурласан дарс гэсэн үг юм. Мэдрэмтгий оюун санааны тусламжгүйгээр бодлуудыг оюун ухааны тусламжтайгаар таних боломжгүй тул үүсгэн байгуулагч Плотин Нэгэн - бүх сайн першопочкагийн талаар шууд vchennya хийсэн неоплатонизмын винклистийн философи гэсэн нэр томъёог дахин бодож үзээрэй. "Нэг байхгүй, харин эцэг Ёго" гэж философич тайлбарлав.

Хамгийн сүүлийн үеийн "трансцендентал" гэсэн нэр томъёог Иммануэль Кантын гүн ухаанд хөгжүүлсэн бөгөөд бидний бие махбодь мэдрэмтгий, практик болон онолын хувьд зарчмын хувьд үл танигдах чадвар, мэдлэгт зайлшгүй шаардлагатай гэдгийг тодорхойлох зорилгоор бүтээжээ. Трансцендентийн тархалт - : энэ нь үл үзэгдэх байдал, дотоод холбоос, объект нь тухайн объекттой адил байх эсвэл объектыг таних гэсэн үг юм. тусгай гэрчилгээ. Жишээ нь, бүх ертөнц, агуу санааны цаана, бидний хувьд өөрийгөө давсан гэж бодсон гэж бодъё - бид зөвхөн шинэ зүйлийн талаар таамаглал дэвшүүлж чадна. Гэсэн хэдий ч, миний бодож байсанчлан энэ нь үнэн бөгөөд бидний хэрэглэж болох физик хууль, нөхцөл байдалд нөлөөлж, бидний үр дагавар нь зайлшгүй юм. Тиймээс зарим теологийн үзэл баримтлалд Бурхан бол түүний өгзөгөөр бүтээсэн трансцендент бөгөөд perebuvaet маяг юм.

Бодит яриа нь априори мэдлэгт хүртээмжтэй хэвээр байна: жишээлбэл, орон зай ба цаг хугацаа, Бурханы санаа, сайн сайхан ба гоо үзэсгэлэн, логик ангилал. Тобто трансцендент объектууд - бидний оюун санаанд "хүрээний ард" дүрслэгдсэн мэт санагддаг.

Математик дахь трансцендентал мөн чанарын тухай мэдэгдэл: трансцендентал тоо нь нэмэлт алгебр ашиглан эсвэл алгебрийн аргаар тооцоолох боломжгүй тоо юм (өөрөөр хэлбэл энэ нь тэгтэй ижил биш олон коэффициент бүхий баялаг нэр томъёоны үндэс байж болохгүй). Тэднийг оруулахын өмнө жишээлбэл, π і e тоонууд орно.

Ойлголт, "трансцендентал" -д ойрхон, тэр ч байтугай утгаас нь давсан - "трансцендент". Ар талд нь энэ нь зүгээр л хийсвэр rozum ангиллын талбайг илэрхийлж байсан бөгөөд жилийн эцэс гэхэд Кантыг өсгөж, vlasnu-аас гоймон ууж байсан: философийн системийг зөвхөн эмпирик өгөгдөл дээр өдөөх боломжгүй байсан ч энэ нь тийм байсан. Дарсыг мэдэхгүй бол бусдын хуучин, эмпирик гэмт хэргийг таних боломжгүй юм. Эргүүлэхийн тулд философичид зарим илтгэл нь априори мэдлэгт хүртээмжтэй хэвээр байгааг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой байсан: жишээлбэл, орон зай ба цаг хугацаа, Бурханы санаа, сайн сайхан ба гоо үзэсгэлэн, логик категориуд. Трансценденталь объектууд нь бидний оюун санаанд "оюун санааны ард тавихаас өмнө" дүрслэгдсэн мэт харагддаг бөгөөд тэдгээрийн талаарх мэдээлэл нь бидний мэдлэгээс үл хамаарах зүйл юм.

Өөр нэг маргаантай ойлголт байдаг - трансцендент. Өргөн утгаараа "воно" гэдэг үг нь хоёр өөр бүс нутгийн хоорондох кордонд шилжих, ялангуяа энэ ертөнцийн хүрээнээс ирээдүйн хүрээ рүү шилжих шилжилт, трансцендент гэсэн утгатай. Энгийн байхын тулд шинжлэх ухааны зөгнөлт зохиолоос жишээ авъя: зэрэгцээ ертөнц агуу хүмүүс- трансцендент илрэл. Харин баатар түүний зэрэгцээ гэрэлд уусан бол, энэ нь зэрэглэл барилгын йогийн spriymati, tse transcendence илэрдэг юм шиг санагддаг. Экзистенциал философийн илүү эвхэгддэг жишээ: Жан-Пол Сартр, хүн трансцендент гэдгийг ойлгосноор хэлтэрхий нь ямар ч боломжит нойтон үнэний хязгаараас цааш гарахгүй: бид чадна. навколишний свитЯнз бүрийн талаас, гэхдээ ямар ч тохиолдолд бид өөрсдийгөө бүрэн хүлээн зөвшөөрөхөд ойртож чадахгүй. Але, хүн тэр дороо трансцендентийг бий болгож чадна: тэр гол ч бай түүнийг даван туулж, түүнд утга учрыг өгдөг. Трансценденци нь шашны чухал элемент юм: энэ нь хүмүүст материаллаг шинж чанараараа өсөж, харийн зүйлд хүрэхэд тусалдаг.

Философоос трансцендентал байдлын тухай ойлголт сэтгэл зүйд шилжсэн: Швейцарийн сэтгэл судлаач Карл Юнг "трансцендент функц" гэсэн ойлголтыг боловсруулсан бөгөөд энэ нь үл ойлгогдох үйл ажиллагаатай ижил үүрэг юм. Зокрема, трансцендент функцийг психоаналист даван туулж чадна - өвчтөнд үл үзэгдэх (жишээлбэл, зүүдлэх) дүр төрхийг шинжлэхэд нь тусалж, өөрийн сэтгэцийн үйл явцаас нэг дор харуулах.

Сарлагийн яриа

Буруу "Би трансцендент бясалгалын ангид бүртгүүлсэн." Энэ нь зөв - "трансцендент".

Энэ нь "Би сүмд очихдоо ямар нэгэн трансцендентийг хардаг."

Зөв, "Трансцендентийн урлаг нь бидэнд материаллаг ертөнцийн объектуудыг мэддэг бөгөөд тэдгээрийг хамгийн их гэрэлтэйгээр санагдуулдаг."

Илья Щуров

Математикч Илья Щуров Пи тооны хэдэн арван бутархай, трансцендент ба иррационалийн тухай.

Анхны газар болон тэр агуу эзэнт гүрнийг урамшуулахад "ганцаардал" хэрхэн тусалсан бэ? Яаж хүмүүсийн сэтгэлийг хөдөлгөв? Тэр пенни харагдахад ямар үүрэг гүйцэтгэсэн бэ? Сарлаг "нэг" тэгтэй нэгдсэн, захирах орчин үеийн ертөнц? Ганц бие амьдралын түүх нь Европын соёл иргэншлийн түүхтэй салшгүй холбоотой. Терри Жонс бол бидний хамгийн энгийн тооны гайхамшигт түүхийг нэгтгэх аргачлалаар хошин хэлбэрээр илүү үнэтэй вирусхай юм. Энэ програмд ​​​​компьютер графикийн тусламжтайгаар нэг нь өөр өөр хэлбэрээр амьд ирдэг. Ганцаардлын түүхээс харахад энэ нь тодорхой болсон, одод өнөөдөр гарч ирэн, тэгийн алдаа шиг, Ромын тоогоор ялах хэрэгцээ шаардлагад vryatuvav.

Жак Чесиано

Бид Диофантусын талаар бага зүйл мэддэг. За, Вин Александриягийнд амьд байна. Грекийн математикч нарын хэн нь ч 4-р зууныг хүртэл үүнийг тооцоогүй, учир нь ymovirno 3-р зууны дунд үед амьд байна. Диофантын роботын толгойг "Арифметик" (Ἀριθμητικά) 13 "ном" (βιβλία) дээр хуваахаар авчээ. Өнөөдөр бид эдгээрийн 10-тай байж магадгүй бөгөөд дангаараа: Грек хэл дээрх 6, дунд араб орчуулгад 4, Грекийн дунд цөөн хэдэн ном байдаг: Грек хэлээр I-III, Араб хэлээр IV-VII, VIII. - Грек хэл дээр X. "Арифметик" Diophantus нь хуваарийн өмнө, зөвхөн ойр 260. Онолууд, үнэн мэт санагдах, юу ч биш; Номын эхэнд илүү ерөнхий заавар байдаггүй бөгөөд шаардлагатай бол бусад захирлуудыг илүү хувийн хүндэтгэдэг. "Арифметик" аль хэдийн алгебрийн зохиол шиг харагдаж байна. Диопантус дээр байгаа өөр өөр шинж тэмдэг, Schob vyslovlyuvati nevidome гэж yogo алхам, мөн deakі тооцоо; Дунд хэсгийн бүх алгебрийн тэмдгүүдийн нэгэн адил түүний бэлгэдэл нь математик үгстэй төстэй. Дараа нь Диофант алгебрийн аргыг ашиглан асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар тайлбарлав. Гэхдээ Диофантийн даалгавар нь анхдагч утгаараа алгебрийн шинж чанартай биш тул бүх зүйлийг тодорхойгүй тэнцүү буюу ийм тэнцүү тогтолцооны өндөрт буулгаж болно.

Жорж Шабат

Хичээлийн хөтөлбөр: Түүх. Эхний үнэлгээ. її диаметртэй гадасны тууштай байдлын асуудал. Neskіchennі эгнээ, π-д зориулж тэр іnshі vrazi-г үүсгэ. Zbіzhnist болон її yakіst. Вирази, юу өшөө авах вэ π. π хүртэл хурдан нийлдэг дараалал. Орчин үеийн аргуудπ-ийн тооцоо, компьютерийн тоо. π болон бусад тоонуудын иррационал ба хэтийн байдлын тухай. Хичээлийн хувьд урагшлах мэдлэг шаардлагагүй.

Оксфордын их сургуулийн албаны хүмүүс дараалсан өдрийн тоог (101-ийн тоо шиг) илэрхийлэхийн тулд 0 тоог эрт оруулахдаа Бахшалигийн Энэтхэгийн гар бичмэлийн бичвэрийг харгалзан үзэх ёстой гэж мэдэгдэв.

Васил Писпанен

"Хамгийн их тоог нэрлэх" бүлгийн хүүхдүүд хэнийг сийлдэггүй вэ? Милони, триллиони болон бусад "-тэд"-ийг бодол санаанаас аль хэдийн жигд харж болно, гэхдээ бид математикийн "мастодон" - Грахамын тоог шийдэхийг хичээх болно.

Виктор Клепцин

Зөв тоог оновчтой тоогоор яг ойртуулж болно. Хэрэв бид үүнийг эелдэгээр хийвэл бие биедээ ойртож чадах уу - энэ нь йогийн нугалахтай нийцэж байна уу? Жишээлбэл, эвдэх арав дахь оруулга x тоонууд дээр k-р оронҮүний дараа бид x≈a/10^k-ийн ойртлыг 1/10^к-ийн өршөөлөөр арилгана. Би vzagali, ойртож буй фракц дахь q тугийг зассаны дараа бид 1/q тушаалын өршөөлөөр хандах нь гарцаагүй. Мөн та юуг илүү сайн хийж чадах вэ? Хүн бүрийг мэддэг тул π≈22/7-ийн ойролцоо байдал нь 1/1000-ийн дарааллын өршөөлийг өгдөг - энэ нь илүү сайн, доод талыг засах боломжтой. Яагаад? Биднийг хэлтрүүлсэн, яагаад π нь є-тэй ойрхон байгаа юм бэ? Ямар ч иррационал тооны є хувийн бус бутархай p / q, үүнтэй ойрхон байгаа нь 1 / q ^ 2-оос бага байх нь харагдаж байна. Tseverzhuє Дирихлетийн теорем - ба ми pochnemo курс іz її troha стандарт бус нотлох баримт.

1980 онд Гиннесийн амжилтын ном Гарднерын хэлсэн үгийг давтаж, энэ тоо хүртэл олон нийтийн сонирхлыг улам нэмэгдүүлсэн. Грахамын тоо нэрээр нь хэд дахин их, бага өөрөөр гэрт нь сайн гайхалтай тоо, тиймээс googol, googolplex болон navit гэх мэт илүү Skewes тоо, Мозерын тоог багасга. Үнэнийг хэлэхэд, хэн нэгэн Грахамын дугаарын арав дахь бичлэгийг авч чадахгүй бол дэлхий бүхэлдээ дэндүү жижиг юм.

Дмитрий Аносов

Аносов Дмитро Викторович, физик-математикийн шинжлэх ухааны доктор, профессор, Оросын ШУА-ийн академич лекц уншина. Зуны сургууль "Орчин үеийн математик", Дубна. 2002 оны дөрөвдүгээр сарын 16-18

Хүнсний сүлжээ, хэлтэрхийд зөв хариу өгөх боломжгүй юм тооны цувралдээд хил хязгаарыг бүү хий. Тиймээс тодорхой тоо гарах хүртэл тоог илүү авахын тулд нэгийг нэмэхэд хангалттай. Хэдийгээр тоо нь өөрөө хязгаарлагдмал биш ч нэр нь тийм ч баян, баян биш учраас ихэнх нь цөөн тооноос нийлсэн нэрэнд сэтгэл хангалуун байдаг. Хүмүүс хүчирхэг нэрээр нь цуглуулсан эцсийн багцад тэд хамгийн их байж чадна гэдгийг би ойлгосон. Гэхдээ үүнийг хэрхэн нэрлэдэг, яагаад тэнцүү вэ? Алив, үүнийг ямар нэгэн байдлаар олж, халдварыг танихыг хичээцгээе, математикчид гайхалтай тоонуудыг гаргаж ирэв.

дугаарыг дуудаж байна алгебрийн yakscho энэ нь олон тооны коэффициент бүхий бүдүүлэг баялаг нэр томъёоны үндэс юм

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(жишээ нь тэнцүүгийн үндэс a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, де a n, a n-1, ..., a 1, a 0--- тоо, n 1, a 0).

Хувь хүний ​​бус алгебрийн тоо нь утга учиртай үсэг юм .

Рационал тоо нь алгебрийн тоо мөн эсэхийг ойлгоход хялбар байдаг. Үнэн, - голын үндэс qx-p=0олон коэффициенттэй a 1 =qі a 0 =-p. Отже, .

Гэсэн хэдий ч бүх алгебрийн тоо оновчтой байдаггүй: жишээлбэл, тоо нь тэгш байдлын үндэс юм x 2 -2 = 0, otzhe, --- алгебрийнтоо.

Математикийн хоол тэжээлд чухал ач холбогдолтой хуучин цагийг хөндөөгүй: ? 1844-аас бага, хувь заяа Lіouville анхны navіv трансцендентал (tobto. Алгебрийн бус) тооны жишээ.

Сарын эхний өдөр түүний давж гарсан нотолгоо нь бүр ч эвхэгддэг. Тоон үржүүлгийн тэнцүү ба эквивалент бус байдлыг зааж өгснөөр трансцендент тоон дээр тулгуурласан теоремыг илүү хялбар аргаар гаргаж ирэх боломжтой.

Хувь хүн бус алгебрийн тоо бол Рахунков гэдгийг бид өөрөө авчрах болно. Гэсэн хэдий ч бүх бодит тоонуудын хэлтэрхий нь тэнцүү биш, бид алгебрийн бус тоонуудын суурийг тавьж болно.

Хоорондоо хоёрдмол утгагүйгээр ялгаж үзье мөн хэдэн арван хамт . Цэ бол утга учиртай шүү, шо - Сайхан чи рахунково. Але оскилки , дараа нь neskіchenno, otzhe, rakhunkovo.

Нааш ир - алгебрийн deyake тоо. Үндэс нь є гэсэн коэффициентийн тоотой бүх баялаг нэр томъёог авч үзээд баян гишүүний дундыг сонгоцгооё. Пхамгийн бага алхам (энэ нь бага алхамын бүхэл бүтэн коэффициентүүдтэй ижил баялаг нэр томъёоны үндэс болохгүй).

Жишээлбэл, оновчтой тооны хувьд ийм олон гишүүнт нь 1-р алхам, тоо нь 2-р алхамтай байж болно.

Баян гишүүний бүх коэффициентийг хуваая Птэдний хамгийн том унтдаг хүн рүү. Бид олон гишүүнтийг авч хаядаг бөгөөд түүний коэффициент нь нэг дор харилцан энгийн байдаг (тэдний хамгийн том унтагч нь 1). Зрештоюу ахлах коэффициентээр a n vіd'єmniy, бид олон гишүүнтийн бүх коэффициентийг үржүүлдэг -1 .

Баялаг нэр томъёог (өөрөөр хэлбэл том коэффициент бүхий баялаг нэр томьёо, түүний үндэс нь хамгийн бага алхам байж болох тоо, харилцан энгийн коэффициент ба эерэг ахлах коэффициент) хасахыг хамгийн бага баялаг гишүүн гэж нэрлэдэг. тоо.

Ийм олон гишүүнт өвөрмөц байдлаар хуваарилагдсан болохыг баталж болно: алгебрийн арьсны дугаар нь яг нэг хамгийн бага олон гишүүн байж болно.

Олон гишүүнтийн жинхэнэ язгуурын тоо нь доод шатнаас ихгүй байна. Мөн та ийм баялаг нэр томъёоны үндсийг (жишээлбэл, өсөлтийн хувьд) дугаарлаж болно.

Одоо, энэ нь алгебрийн тоо байхаас үл хамааран түүний хамгийн бага баялаг нэр томъёо (өөрөөр хэлбэл түүний коэффициентүүдийн багц) болон олон гишүүнтийн бусад язгууруудаас ялгаатай тоогоор танигдах болно. (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Дараа нь арьсны алгебрийн тооны хувьд бид бүхэл тоонуудын эцсийн багцын ялгааг тогтоодог бөгөөд үүнээс гадна энэ олонлогийг өвөрмөц дагаж мөрддөг (тиймээс өөр олонлогуудыг өөр өөр тоонд өгдөг).

Бүх анхны тоог өсөлтийн дарааллаар дугаарласан (хэт баян гэдгийг харуулах нь хамаагүй). Бид уучлах аргагүй дарааллыг арилгадаг (pk): p1=2,p2=3, p3=5, p4=7, ... Одоо бүхэл тоонуудын багц (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k)та у vіdpovidnіst tvіr тавьж болно

(Энэ тоо нь илүү эерэг бөгөөд оновчтой боловч тоонуудын дунд ч гэсэн байгалийн байж болохгүй a 0, a 1, ..., a n-1, сөрөг байж болно). Хүндэтгэсэн, тоо богино настай биш гэдгийг, хэлтэрхий энгийн үржүүлэгч, тоо дэвтэр болон хошуу гарч тавих өмнө оруулах, өөр өөр. Эерэг тоо, бадаг хоёр богино бус бутархай тэнцүү, тоонууд нь тэнцүү байсан ч тэдгээр їх нь тэнцүү бадаг гэдгийг хүндэтгэх нь зүйтэй.

Одоо үүнийг давсны үр тариагаар харцгаая:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Oskіlki алгебрийн өөр өөр тоонууд нь бүхэл тоонуудын өөр өөр багц, өөр өөр олонлогуудыг тогтоосон байдаг. --- өөроновчтой тоо, дараа нь бид энэ дарааллаар үржвэрийн хооронд харилцан хоёрдмол утгагүй хүчин төгөлдөр байдлыг тогтоосон. мөн хэдэн арван хамт . Тиймээс хувийн бус алгебрийн тоонууд чухал ач холбогдолтой.

Хувийн бус бодит тоонуудын хэлтэрхий нь ялгагдахгүй, бид алгебрийн бус тооны үндсийг авчирсан.

Гэсэн хэдий ч үндэслэлийн теорем нь юуг хэрхэн тодорхойлохыг харуулдаггүй бүхэл тооалгебрийн. Мөн хоол тэжээл нь заримдаа математикийн хувьд чухал байдаг.

трансцендент тоо

олон коэффициент бүхий алгебрийн (Div. Алгебрийн тэгшитгэл) ямар ч тэгшитгэлд сэтгэл хангалуун бус тоо (dіysne abo yavne). Энэ зэрэглэлд T. h.-г алгебрийн тоонд хуваарилдаг. Снування Т.Х. анх Ж.Лиувиллийг (1844) байгуулжээ. Лиувиллийн зөв цэг нь өгөгдсөн стандарттай рационал бутархайг 3-р иррационал алгебрийн тоонд ойртуулах ямар ч дараалал хангалттай өндөр байж болохгүй гэсэн теорем байв. Хамгийн алгебрийн тоо аалгебрийн бууруулаагүй тэнцүүг хангана nолон коэффициенттэй, дараа нь ямар ч оновчтой тооны хувьд зөвхөн хадгалуулах α ). Тиймээс өгөгдсөн иррационал тооны хувьд α-ийн хувьд тэгш бус байдлын индукцийг хангахгүй хувийн бус оновчтой ойролцооллыг харуулах боломжтой. hі n(зарим, бүх ойрын чимээгүй), дараа нь α є T. h. Ийм тооны өгзөг нь тийм:

Р.Кантор (1874) бүх алгебрийн тоонуудын хувийн бус байдал нь ялгагдах боломжтой (ингэснээр бүх алгебрийн тоог дахин дугаарлах боломжтой; хуваах олон тооны онол) гэж дурьдсаны дараа бүх бодит тоонуудын хувийн бус байдал өөрчлөгддөггүй. Энэ нь хувийн бус T. h шиг сонсогдов.

T.h.-ийн онолын хамгийн чухал ажил бол аргументийн алгебрийн утгатай бусад арифметик арифметик чадвартай байж болох аналитик функцүүдийн утга юм. Орчин үеийн математикийн хамгийн чухал зорилтын өмнө аль гэр бүлийн даалгавар байна. У 1873 Ш.

1882 онд Германы математикч Ф.Линдеманн илүү чухал үр дүнд хүрсэн: α нь алгебрийн тоо тул дα - T. h. Lipdeman-ийн үр дүнг Германы математикч К. Сигель (1930) эрс дордуулсан бөгөөд жишээлбэл, цилиндр функцүүдийн өргөн ангиллын утгыг алгебрийн аргументуудын утгуудаас давж гарахыг нотолсон. 1900 онд Парист болсон Математикийн конгресс дээр Д.Гильберт математикийн халдашгүй 23 асуудлын дотроос ши бол трансцендент тоо юм. α β , де α і β - алгебрийн тоо, үүнээс гадна β - иррационал тоо, i, zokrema, chi є трансцендент тоо e π α β була анхны хувийн хэлбэрээр тавьсан Л. Эйлер, 1744). Асуудлын гаднах хувилбарыг (хатуу утгаараа) 1934 онд А.О.Гельфонд их бага хэмжээгээр анхаарч үзсэн. Гельфонд зокремагийн мэдэгдлээс харахад натурал тооны бүх арван логарифм (өөрөөр хэлбэл "хүснэгтийн логарифм") нь T. h Онолын арга T. h.

Лит.:Гелфонд А.О., Трансцендентал ба алгебрийн тоо, М., 1952 он.

Агуу Радианскийн нэвтэрхий толь бичиг. - М: Радианскийн нэвтэрхий толь бичиг. 1969-1978 .

Бусад толь бичгүүдэд ийм "Трансцендент тоо"-ыг гайхшруулаарай:

Аль ч тооны коэффициент бүхий алгебрийн аль ч тэнцүү тоонд үл нийцэх тоо. Трансцендент тоо є: тоо? 3.14159...; тэгтэй нэгээр илэрхийлэгдээгүй аливаа бүхэл тооны арав дахь логарифм; тоо e = 2.71828 ... ta in ... Агуу их Нэвтэрхий толь бичиг

- (Латин transcendere дээгүүр явах, эргүүлэх) tse recheve abo нийлмэл тоо, энэ нь алгебрийн бус өөрөөр хэлбэл олон коэффициент бүхий баялаг гишүүний үндэс болж чадахгүй тоо. Zmist 1 Power 2 ...... Википедиа

Аль ч тооны коэффициент бүхий алгебрийн аль ч тэнцүү тоонд үл нийцэх тоо. Трансцендент тоо є тоо π = 3.14159...; тэгтэй нэгээр илэрхийлэгдээгүй аливаа бүхэл тооны арав дахь логарифм; тоо e = 2.71828... ta in. Нэвтэрхий толь бичиг

Ижил алгебрыг хангахгүй тоо. ur nіu нь qіlimi коэффициентүүдтэй. Т. жил. є: тоо ПІ = 3.14159...; тэгтэй нэгээр илэрхийлэгдээгүй аливаа бүхэл тооны арав дахь логарифм; тоо e = 2.71828... ta in. Байгалийн шинжлэх ухаан. Нэвтэрхий толь бичиг

Ижил илтгэлцүүртэй ижил баялаг нэр томъёоны үндэс биш тоо. Ийм тоонуудын хамрах хүрээ нь бодит, комплекс, радиаль тоонуудын тэг юм. Т.Х.Обгурунтував Ж.Лиувиллийн үйлдлийг илт өдөөсөн нь илт ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Ө алгебрийн биш шиг тэнцүү. Үзүүлж болно үнийн уялдаа холбоог дуудах, логарифм, тригонометрийн, урвуу тригонометрийн функцууд, жишээ нь: Ийм тэмдэглэгээний Suvorish: Зорилгын трансцендентал тэгшитгэх ... Wikipedia

Ойролцоогоор 2.718 гэсэн тоог математик, байгалийн шинжлэх ухаанд ихэвчлэн ашигладаг. Тухайлбал, цацраг идэвхт яриа задрахад t цаг дууссаны дараа ярианы хугацаа дуусахад нэг хэсэг алдагдаж, илүү үнэтэй e кт, дэ к тоо, ... Collier нэвтэрхий толь бичиг

E нь математикийн тогтмол, натурал логарифмын үндэс, иррационал ба трансцендентал тоо юм. Өөрөөр хэлбэл, e тоог Эйлерийн тоо (эхний төрлийн Эйлерийн тоо гэж нэрлэгддэг тоонуудтай андуурч болохгүй) эсвэл Напиерийн тоо гэж нэрлэдэг. Энэ нь Латин жижиг "e" үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг.

E нь математикийн тогтмол, натурал логарифмын үндэс, иррационал ба трансцендентал тоо юм. Өөрөөр хэлбэл, e тоог Эйлерийн тоо (эхний төрлийн Эйлерийн тоо гэж нэрлэгддэг тоонуудтай андуурч болохгүй) эсвэл Напиерийн тоо гэж нэрлэдэг. Энэ нь Латин жижиг "e" үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг.