Хувь хүний бус натурал тоог эрэмбэлэх. Натурал тоо ба тэгийн тухай ойлголт. Хувь хүний бус натурал тоон дээрх "тэнцүү", "бага", "илүү" гэсэн илэрхийлэл Математикийн шинжилгээнд шим тэжээлийн тухай ойлголт.
N натурал цувралын альтернатив хувилбар нь натурал а тоог өөрчилдөггүй хувийн бус натурал тоо тул N = (x | x N i x a).
Жишээлбэл, N ce хувийн бус натурал тоонууд, тиймээс 7-г бүү өөрчил, тиймээс. N = (1,2,3,4,5,6,7).
Байгалийн цувралын хамгийн чухал хоёр хүч:
1) Be-yaky vіdrіzok N өс хонзон ганцаардал. Tsya vlastivistvo viplivaє іz vyznachennya vіdrіzka байгалийн цуврал.
2) Хэрэв өрсөлдөгч N і x a-аас x тоо алга болвол x + 1 тоо тэдний араас ирж N болж алга болно.
Bezlich A нь N байгалийн цувралтай ижил төстэй юм шиг kіtsevim гэж нэрлэгддэг. Жишээлбэл, нүүр царайгүй Мөн trikutnik-ийн оройнууд, нүүр царайгүй өмхий нь N = (1,2,3) -тай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. A~B~N.
А тоо нь хоосон биш, N-тэй тэнцүү тул натурал а тоог А үржүүлэгчийн элементийн тоо гэж нэрлээд n(A) = a гэж бичнэ. Жишээлбэл, хэрэв А нь трикотын оройн үржвэр бол n(A) = 3 байна.
Хэрэв энэ нь хоосон биш байсан бол kіtsev bezlіch нь байгалийн цувралын нэг ба түүнээс дээш vіdrіzk, tobto-тэй тэнцүү байна. арьсны эндиан олон тоо Мөн үүнийг өвөрмөц тэнцүү a тоонд оруулж болох бөгөөд ингэснээр үл хамаарах А нь N тоонд хоёрдмол утгагүй болно.
харилцан болон нэг язгууртнуудын шийдвэрлэх нь тэвчихийн аргагүй multi-livo болон байгалийн эгнээнд идэх нь rakhunka анжис A. Zkilka ижил тооны мөргөлийн цаана нь unbearabels нь ёс зүй юм. Нэг ангид бүх нэг элементийн үржүүлэгчид багасна, нөгөө ангид хоёр элемент гэх мэт. Эхний тоог тэнцүү хүч чадалтай ноёдын ангийн эцсийн хүч гэж үзэж болно. Энэ дарааллаар онолын-олон талт үүднээс авч үзвэл натурал тоо нь терминалын үржүүлэгчийн ангийн гол хүч юм.
0 тоо нь үржүүлэгчийн онолын хувьд ч байж болно - үүнийг хоосон үржүүлэгч болгон тохируулах хэрэгтэй: n() = 0.
Мөн хэмжигдэхүүний шинж чанар болох натурал тоог хоёр байрлалаас харж болно.
1) рахунка хүртсэн А багц дахь элементүүдийн тоогоор;
2) kіtsevyh ижил хүчтэй олон түмэн ангийн хүч ямар хүчтэй вэ.
Эцсийн үржүүлэг ба натурал тоонуудын хоорондох холбоосыг бий болгох нь үржүүлэгчийн онолын хувьд "бага" гэсэн үүлсийг өгөх боломжийг олгодог.
Хэрэв a = n (A), b = n (B) бол үржүүлэгч А нь үржүүлэгчийн чадлын дэд үржүүлэгчтэй тэнцүү байсан ч a тоо b тооноос бага байна. A ~ B, de B, B, B (Зураг 1) . Abo бол байгалийн цувралд N є маш их хүч авцгаая vіdrіzka N, tobto. Н Н.
А і b тоонууд тэнцүү, яксчо өмхий нь тэнцүү үржвэртэй тэнцүү байна: a = k А~B de n(A) = a, n (B) = k. Жишээлбэл, 2 = 2, учир нь n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.
Натурал тоонуудын "бага" нэр томъёоны давамгайлал нь үржүүлэгч-онолын үүлэрхэгтэй төстэй: энэ нэр томьёоны шилжилт ба тэгш бус байдал нь үүнтэй холбоотой бөгөөд энэ нь "үржүүлэгч болдог" гэсэн нэр томьёоны шилжилт ба тэгш хэмийн эсрэг юм.
Натурал тоонуудын хувьд "бага" гэсэн олон онолын тайлбар нь 2 болохыг харуулж байна
2 элементийн өшөө авахын тулд А үржүүлэгчийг, 5 элементийн өшөөг авахын тулд B үржүүлэгчийг авъя, tobto. n(A) = 2, n(B) = 5. Жишээлбэл, A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). B үржүүлэгчээс та дэд үржүүлэгч, тэнцүү үржүүлэгч А-г харж болно: жишээ нь B = (c, d) і A ~ B.
Шударга байдал Н
Tsyu nerіvnіst та бяцхан 2-ыг харж болно. Нааш ир 2 нь нугалах тоо, 5 нь квадратуудын тоо юм. Хэрэв та дугуйг дөрвөлжин дээр байрлуулсан бол дөрвөлжингийн хэсэг нь дуусаагүй үлдсэн гэж хэлж болно.
Отзэ, нугалаануудые тоо дөрвөлжин, тобто бага. 2
Тэгш бус байдлын үржүүлэгч-онолын мэдрэмж 0
Математикийн курс дэх тоонуудын уялдаа холбоог янз бүрийн аргаар боловсруулдаг - энэ нь "бага" гэсэн хэллэгийг тайлбарлахаас өмнө бидний авч үзсэн бүх арга барил дээр суурилдаг.
"Хамгийн том" ба "бага" тооны тухай теоремууд
Теорем 4 ("хамгийн бага" тооны тухай). Хэрэв энэ нь хоосон биш байсан бол хувийн бус тоонуудын ёроолоор хүрээлэгдсэн бол хамгийн бага тооны өшөөг ав. (Энд натурал тоонуудын нэгэн адил "олон" гэдэг үгийг "олон" гэсэн үгээр сольсон.
авчирч байна. О А З и А доод талаасаа захтай байг, тобто. 36? Зва? А(б)< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Одоо ЛА.
Тоди Уа э Аф< а) и, значит, Уа А(а - Ь >О).
a - b, de probіgaє хувийн бус A, tobto хэлбэрийн бүх тооны үл тоон M болгоцгооё. M \u003d (s [c \u003d a - b, a E A)
Хувийн бус М хоосон биш, хэлтэрхийнүүд А 74 0 гэдэг нь ойлгомжтой
Сарлаг өндөр, M C N . Дараа нь o r a l n o m h i s l e (54, III бүлэг) теоремыг дагаж M үржүүлэгч нь хамгийн бага натурал тоо m-тэй болно. А, мөн М-ийн хамгийн багадаа хэлтэрхийнүүд, дараа нь Wah? А(т< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Теорем 5 ("хамгийн том" бүхэл тооны тухай). Хоосон биш байж, хамгийн их тооны өшөөг авахын тулд хувийн бус тооны араатныг хүрээлүүл.
авчирч байна. O 74 AC Z i A-г б тоотой араатнаар хүрээлүүлсэн байг, тэгэхээр. ? ZVa e A(a< Ь). Тогда -а >b бүх a тоонуудын хувьд? ГЭХДЭЭ.
Хожим нь үржүүлэгч M (z g \u003d -a, a? A) хоосон биш бөгөөд доор (-6) тоогоор хүрээлэгдсэн байна. Өмнөх теоремын дагуу үржүүлэгч M нь хамгийн бага тоотой, өөрөөр хэлбэл. хөзрийн тамга? ICC? М (з< с).
Цэ гэж юу гэсэн үг вэ? A(s< -а), откуда Уа? А(-с >а)
Z. Бүхэл тооны математик индукцийн аргын янз бүрийн хэлбэрүүд. podіl іz илүүдэл тухай теорем
Теорем 1 (математик индукцийн аргын эхний хэлбэр). P(s) - ганц предикат, Z бүхэл тооны үржвэрт хуваарилалт хийцгээе., 4 . Үүний нэгэн адил deyaky NUMBER ба Z-ийн хувьд санал P (o) і Хангалттай бүхэл тоо K > a z P (K) гулсуулна P (K -4- 1), тэгвэл P (g) санал зөв байна Бүх тооны хувьд z > a (тиймээс Z є үржүүлэгчийн хувьд предикатуудыг тооцоолох жинхэнэ томъёо нь:
P(a) cibulya > + 1)) Vus > aP(s)
аливаа тогтмол бүхэл тооны хувьд a
авчирч байна. P (c) саналууд бүх зүйлд үнэн байх болтугай, теоремын оюун ухаанд шилжихийн тулд tobto.
1) P(a) - үнэн;
2) KK SC-ээс + гэсэн нь бас үнэн.
Нэг ёсондоо хүлээн зөвшөөрөгдөөгүй. Ийм тоо байгаа гэж бодъё
b> a, sho RF) - сайн уу. a, oskіlki R (a) нь үнэн гэдэг нь ойлгомжтой. Сэтгэл ханамжтай хувийн бус M = (z?> a, P (z) - hibno).
Todi bezlich M0, oskіlki L? M ба M нь доор нь a тоогоор хүрээлэгдсэн байна. Дараа нь na i m e n n m e l e l o m h i sl (Теорем 4, 2) дээрх теоремын дараа M үржүүлэгч нь хамгийн бага c тоотой байна. Zvіdsi z\u003e a, шо, миний хар, татах s - 1\u003e a.
Р(с-1) үнэн гэж бодъё. Хэрэв c-1 = a бол P (c-1) нь сэтгэлийн буянаар үнэн юм.
c-1 > a гэж үзье. Todi pripuschennya, scho R (s-1) - hibno, түүний араас s 1-ийн эзэмшлийг татах уу? M байж болохгүй, гэхдээ s тоо нь M дахь хамгийн бага нь юм.
Энэ дарааллаар s - 1> a ба P (c - 1) - үнэн.
P((c- 1) + 1) саналын P((c- 1) + 1) саналыг бодоорой - энэ нь үнэн. R(s) - үнэн. Tse тоо c, oskіlki сонголт superechit? Теорем дууссан.
Хүндэтгэсэн, энэ теорем нь Пианогийн аксиомын 1-р үр дүн юм.
Теорем 2 (бүхэл тоон математик индукцийн аргын өөр нэг хэлбэр). P (s) - deaky one-m_sny predshsatp, vizna-day) Z бүхэл тоонуудын үржвэр дээр байг. Гэсэн хэдий ч P (c) санал нь аравтын бутархай бүхэл тоо K хувьд болон хангалттай бүхэл тоо s хувьд хүчинтэй байна Санал P (c) -ийг засахын тулд K-ийн тэгш бус байдлыг хангасан бүх бүхэл тоонуудын хувьд< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >Өмнө нь.
p align="justify"> Энэ теоремын баталгаа баялаг тул натурал тооны ижил төстэй теоремийн баталгааг давтан хэлье (Теорем 1, 55, Б.III).
Теорем 3 (математик индукцийн аргын гурав дахь хэлбэр). P(s) - нэг дан предикат, Z үржүүлэгч дээрх даалгаварууд cіlіs CHІСі байг. Хэрэв P(c) үнэн бол 0 натурал тооны аравтын үржүүлэгч M-ийн бүх тооны хувьд i Хангалттай бүхэл тооны хувьд C нь үнэн P(a) бол P(a - 1) нь үнэн бол P(c) санал болно. үнэн Бүх тоонуудын хувьд.
Баталгаа нь натурал тоонуудын давхар теоремын баталгаатай адил юм.
Proponuemo його шиг cicava эрх.
Практикт математикийн индукцийн гурав дахь хэлбэр нь илүү тод, доод, доогуур байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. її zastosuvannya-ийн хувьд натурал тооны үржүүлэгчийн хязгааргүй дэд үржүүлэгч М-ийг мэдэх шаардлагатай гэж тайлбарласан бөгөөд энэ нь теоремд тодорхой болно. Ийм үржүүлэгчийн талаархи мэдлэг нь хэцүү ажлуудад харагдаж болно.
Гурав дахь хэлбэрийн давуу тал нь P (c) нэмэлт саналыг бүх бүхэл тоонд авчирдаг явдал юм.
Доор бид гурав дахь хэлбэрийн zastosuvanya-ийн өгзөгийг чиглүүлдэг ". Але, ар араасаа, дамо нь бас нэг хүндэтгэлтэй ойлголт юм.
Уулзалт. Бүхэл тооны a үнэмлэхүй утга нь дүрмийн дагуу өгөгдсөн тоо юм
0, хэрэв a O a, хэрэв a > O
Якшо а< 0.
Отже, 0 шиг, тэгвэл? Н.
Тэрээр ийм хүчийг үнэмлэхүй хэмжээнд хүргэх эрхтэй гэдгийг уншигчдад санал болгож байна.
Теорем (халих тухай). Үүнээс өмнөх ямар ч тооны a i b, de b 0, iсnuє i тоонуудын хувьд a r: bq + T L D байх q U m гэсэн ганц хос тоо байна.
авчирч байна.
1. Бооцооны суурь (q, t).
a, b гэж үзье? Z i 0. q i хос тоо байгааг харуулсан
Нотолгоо нь тогтмол b тоотой a хэмжигдэхүүнийг гурав дахь хэлбэрээр индукцээр гүйцэтгэнэ.
M = (mlm = n lbl, n? N).
M lt нь f (n) = nlbl дүрмээр тодорхойлогддог f: N M илэрхийлэл болох нь тодорхой байна. N нь хоёр үг юм. Цэ гэдэг нь М Н, тэр гэсэн үг. М-тодорхойгүй.
Тодорхой a тооноос тэгж хэлье? q і t хос тооны суурийн тухай теоремын M (і L-тогтмол) баталгаа үнэн.
Үнэн, энэ нь (- М. Тоди a pf! нь жинхэнэ p байх болтугай?
Хэрэв b > 0 бол a \u003d n + O. Одоо q \u003d n ба m O-г авч үзвэл бид шаардлагатай q ба m тоог авна.< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Zrobimo одоо индукцийн тэтгэмж. Хангалттай бүхэл тоо s (болон хангалттай тогтмол b 0) -аас теоремын баталгаа үнэн гэж үзье. нь хос тоо (q, m) юм
(з 1) тоонд i илүү зөв болохыг харуулж болно. Z нь тэнцүү s \u003d bq -4 - viplivaє bq + (t - 1). (нэг)
Унах магадлалтай.
1) t\u003e 0. Todі 7 "- 1\u003e 0. Энэ үед - t - 1-ийг тавьсны дараа бид z - 1 - bq + Tl, de para (q, 7" 1,) -ийг авах нь ойлгомжтой. оюун ухаан
0. Тоди ч - 1 бк1 + 711 дэ q1
Дадлага хийхгүй бол 0 байх боломжтой< < Д.
Энэ дарааллаар бат бөх байдал нь үнэн бөгөөд тооны бооцооны хувьд
Теоремын эхний хэсэг дууссан.
P. Ганц мөрий q і гэх мэт.
a i b 0 тоонуудын хувьд хоёр хос тоо (q, m) i (q1, оюун санааг хангахын тулд (*) бий болгох боломжтой гэж үзье.
Өмхий үнэр гарч байгааг харцгаая. Өө, алив
i a bq1 L O< Д.
Zvіdsi vyplivaє, scho b(q1 -q) t-7 1
Одоо q ql, дараа нь q - q1 0, од lq - q1l 1 гэж үзье. - q11 D. (3)
Vodnocha іz nerіvnosti 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
У р а ф н и н ня:
1. 5 1-ийн 2 ба 3-р теоремуудын баталгааг гүйцээнэ үү.
2. Теорем 3, 1-ийн үр дүн 2-ыг гүйцээнэ үү.
3. NS Z-ийн нийлбэр хэд вэ, маягт дахь өгөгдсөн тоонуудаас хэд нь нэмэгдсэн бэ?< п + 1, 1 >(n? N), тэр үржүүлгийг нугалах хаалттай арга.
4. N гэдэг нь таны авах эрхтэй ижил хувийн бус зүйлсийг хэлье 3. Харсан зүйлээ авчир ј: М сэтгэлийг баясгана:
1) ј - bієktsіya;
2) j(n + m) = j(n) + j(m) ба j(nm) = j(n) j(m) n, m , i (H, +,) тоонуудын хувьд.
5. 2-ын 1-р теоремын баталгааг гүйцээнэ үү.
6. Дурын тооны a, b тоонуудын хувьд дараах үр дагавар хүчинтэй болохыг батлахын тулд:
7. З-ээс авсан теоремын гуравны нэгийг найздаа хэл.
8. Z бүхэл тоо нь тэгийн тоонуудын өшөөг авахгүй гэдгийг батлах.
Уран зохиол
1. Бурбаки Н. Үржвэрийн онол. М .: Свит, 1965.
2. Виноградив I. M. Тооны онолын үндэс. М.: Наука, 1972. З.Демидов И. T. Арифметик гарга. М: Учпэдгиз, 1963 он.
4. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Бүлгийн онолын үндэс.
М: Наука, 1972.
5. Кострикин А.И. Алгебрийн танилцуулга. М: Наука, 1994 он.
б. Куликов Л.Я.Алгебр ба тооны онол. М: Вишча. сургууль, 1979 он.
7. Курош А.Г. Хамгийн дэвшилтэт алгебрийн хичээл. М: Наука, 1971.
8. Любетский V. A. Сургуулийн математикийн үндсэн ойлголтууд. М: Просвитницво, 1987.
9. Ляпин ES. тэр дотор. Бүлгийн онолоос шууд. М: Наука, 1967.
10. Мальцев А.И. Алгебрийн системүүд. М: Наука, 1970.
11. MenDelson Ege. Математик логикийн танилцуулга. М: Наука, 1971.
12. Нечаев В.И. Тоон систем. М: Просвитницво, 1975.
13. Новиков П.С. Математик логикийн элементүүд. М.. Наука, 1973 он.
14. Петрова V. T. Алгебр ба геометрийн лекцүүд.: U 2 жил.
CHL. М: Владос, 1999 он.
15. Sochasni отолт сургуулийн математикийн курс Avt. кредит: Виленкин Н.Я., Дуничев К.И., Каллтжнин ЛА Столяр А.А. М: Просвитницство, 1980 он.
16. Л.А.Кушнир, Алгебрийн элементүүд. М: Наука, 1980 он.
17. Стом Р.Р. Хувийн бус байдал, логик, аксиоматик онолууд. М.; Освита, 1968 он.
18. Столяр A. A. Математикийн логик танилцуулга. Минск: VISCHII. сургууль, 1971 он.
19. V. P. Филиппов, Алгебр ба тооны онол. Волгоград: VGPІ, 1975 он.
20. Frenkel A., Bar-Hilel I. Үржвэрийн онолыг өг. М: Свит, 1966.
21. Fuchs L. Chastkovo захиалгын систем. М .: Свит, 1965.
Анх харсан
Володимир Костянтинович Карташов
МАТЕМАТИКИЙН ТАНИЛЦУУЛГА ХИЧЭЭЛ
Дарга туслах
Редакцийн бэлтгэл O.I. Молоканова О.П.Бощенкогийн зохион бүтээсэн анхны загвар
“20.12.96-ны өдрийн PR 020048
99.08.28-нд бие биедээ гарын үсэг зурсан. Формат 60x84/16. Друкийн оффис. өсөлт. төрөл. М 2. Үэл. пич. л. 8.2. Уч.-үзэх. л. 8.3. Гаралт 500 хувь. Ид шид 2
Видавницство "Змина"
Натурал тоо нь бүхэл тоо юм, объектын rahunka төлөө ялах мэт. Vono viniklo z хүмүүсийн практик хэрэгцээ. Натурал тоог ойлгох хөгжлийг хэд хэдэн үе шатанд хувааж болно: 1. хөгшин хүмүүс ач холбогдолгүй байдлыг даван туулахын тулд зайлшгүй шаардлагатай зүйлсийг бий болгосон: жишээлбэл, улавч, гарны хуруу. Nedolik - por_vnyuvani mnozhini vinni buli гэхдээ нэг цаг шалгах боломжтой. 2. Безлич - зуучлагч, жишээлбэл, чулуу, яст мэлхий, саваа. Kіlkіst гэсэн ойлголт илүү нугалж байна. Тодорхой сэдвүүдтэй холбоотой I тоо. 3. Тооны харагдах байдал (үзэгдэх цифрээр тоог тодорхойлох). Математикийн төрөлт. Арифметик нь шинжлэх ухаан болохын хувьд эртний удам угсааны орнууд болох Хятад, Энэтхэг, Египет, алс холын хөгжилГрек улсад. "Байгалийн тоо" гэсэн нэр томъёог Боетиусын Ромын сургаал анх ашигласан. Рахунок маш их мөнгө томилох шаардлагатай байна. Rozіb'єmo бүх kіlkіsnі үржүүлэгчид тэнцэх анги дээр, жишээ нь, нэг ангид тэнцэх. трикутникуудын нүүргүй орой, талбайн хажуу тал, гэрэл гэдэг үгийн нүүргүй үсгийг харах. Хэрэв та энэ үйл явцыг үргэлжлүүлбэл, тэнцэх чадвартай хүмүүсээр дамжуулан бүх зүйл адилхан хүчтэй болно. Kіntsevі ангиудын хувьд vyyavlyatsya үржүүлсэн. Тэр. онолын хувьд - kіlkіsnogo натурал тооны олон тоо - є zagalna vlastіvіst анги kіncevih адил хүчтэй олон тоо. Арьсны ангилал нь өөрийн гэсэн дугаартай байдаг. Тэгийг хоосон үржүүлэгч гэж тохируулсан.
А ба В тоонуудыг тэнцүү гэж нэрлэдэг, учир нь тэдгээр нь тооны хувьд тэнцүү байдаг.
Ийм арга нь кобын ангиудад зогсонги байдалд ордог.
Арифметикийн тодорхой утгыг илчлэх даалгавар дээр ажиллах техник.
Математикийн хичээлд арифметикийн даалгавар чухал байр суурь эзэлдэг. Математикийн хичээлээс нэг цагийн өмнө хагас цагийн өмнө даалгаврын гүйцэтгэлтэй танилцана. Бүх агуу сүнслэг, гэрэлтүүлэгч өнхрөх, өмхий үнэр нь хүүхдийн боловсролын цагийн дор тоглодог. Виришеннягийн арифметик даалгаврууд нь арифметик үйлдлүүдийн үндсэн математикийг илчлэх, тэдгээрийг тодорхой болгох, дуулах амьдралын нөхцөл байдалтай холбоход тусалдаг. Завдання хүлээж авна математик ойлгодог, Vіdnosin, хууль тогтоомж. Даалгавраа биелүүлэхэд хүүхдүүд хүндэтгэлтэй, болгоомжтой, илүү логик сэтгэлгээ, Mova, kmіtlivist. Зорилго нь дүн шинжилгээ хийх, нэгтгэх, уялдуулах, сайжруулах зэрэг танин мэдэхүйн үйл явцыг хөгжүүлэх явдал юм.
Арифметикийн даалгавруудыг шийдвэрлэх явцад суралцагчид үйл ажиллагаагаа төлөвлөх, хянах, хүлээн зөвшөөрөх, өөрийгөө хянах чадвар (даалгаврыг дахин шалгах, дараа нь даалгаврыг үнэлэх) ихэмсэг зангаараа ганхаж, хүсэл эрмэлзэл, хүсэл эрмэлзэлээ цэгт хүртэл хөгжүүлэхэд суралцдаг. даалгавруудыг шийдвэрлэхэд. Хүүхдийг амьдрал, ирээдүйд бэлтгэхэд виришення завдангийн үүрэг агуу юм хөдөлмөрийн үйл ажиллагаа. Даалгавруудыг шийдвэрлэхдээ суралцагчид объект, үнэт зүйлсийн хооронд "математикийн хэл" рүү шилжиж эхэлдэг. Арифметик даалгаврууд дээр тоон материалууд ялагчаар тодордог, энэ нь улс орны ард түмний төр, соёл, шинжлэх ухааны янз бүрийн галлерейд амжилтанд хүрэхэд түлхэц өгдөг. Tse spryaє оюутнуудын алсын харааг өргөжүүлж, сэдэвчилсэн үйл ажиллагааны талаархи шинэ мэдлэгээр баяжуулсан. Uminnyam vyrishuvati арифметик zavdannya uchnі opanovuyut маш их бэрхшээлтэй.
Хүүхдүүдийн өршөөлийн даалгаврын шалтгаан нь тэдний оюун санааны өвөрмөц байдлын өмнө бидний төлөө хашгирч байна. Navchannya rozvyazannyu явцад даалгавруудыг эхний оюун ухааны даалгаврын дээд хэсэгт өвөрмөц байдлаар сунгах ёстой бөгөөд энэ нь даалгаврын розвязаннягийн хандлагыг харгалзан үзэх, энгийн амьдралын нөхцөл байдалд чиглүүлэх, даалгаврын тодорхойлолтыг харгалзан үзэх шаардлагатай. , даалгаврыг авч үзэх, өгөгдсөн алсын харааг авч үзэх. Аливаа арифметик бодлого дээр ажиллах явцад та дараах алхмуудыг харж болно.
1. Ажлын менежер дээр ажиллах.
2. Пошук асуудлыг шийдвэрлэх.
3. Асуудлыг шийдвэрлэх.
4. Үзэл бодлоо илэрхийлэх.
5. Асуудлыг шийдвэрлэх арга замыг эргэн харах.
6. Дээд зэргийн даалгавар дээр роботоос хол.
Үйлдвэрийн zmist дээр роботуудыг залгах дараагийнх нь хүндэтгэлийг хэлэх гэсэн юм, tobto. даалгаврууд дахь нөхцөл байдлыг ойлгох, даним ба шуканим хоорондын зайг бий болгох. Даалгаврыг даван туулах ажлын дараалал;
а) үл мэдэгч үг, виразивуудын шинжилгээ;
б) багшийн өгсөн бичвэрийг уншиж, суралцах;
в) даалгаврыг биелүүлсэн тухай тэмдэглэл;
г) хоолны даалгаврыг давтах.
Vyraznym дараагийн судалгааны дарга текстийг уншиж байна. Хүүхдүүд ялангуяа сурталчилгааны уншлагыг унших хэрэгтэй, даалгаврыг бие даан зөв уншиж чадахгүй, логик дуу хоолойг зохион байгуулж чадахгүй гэх мэтийг санах нь зүйтэй.
Өргөн хүрээний сургуулиудад роботын дадлага хийх нэмэлт хичээл, стенк, бяцхан хүүхдүүдэд зориулсан даалгаврыг тодорхой болгох дарааллыг дараахь хэлбэрээр гаргаж, даалгаврын даалгаврыг бичжээ.
1. Даалгаврын логик утгыг ойлгоход шаардлагатай тоон мэдээлэл, цөөн хэдэн үг, үг бичих үед тэмдэглэлийн хэлбэрийг богиносгосон.
2. Даалгаврын арьсны логик хэсгийг шинэ эгнээнээс бичсэн бол богино бүтэцтэй бичих хэлбэр.
3. Бүртгэлийн бүдүүвч хэлбэр.
4. Бичгийн график хэлбэр.
Хүүхдийн хяналтын үйл ажиллагаа суларсан тул, дараа нь rozvyazannya zavdannya дахин шалгалт гэрэлтэж болно, th wihovne ач холбогдол. Бага ангиудад дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.
1. Объектуудын дээгүүр тэнүүчилж, даалгавраа амаар томъёол.
2. Нөхцөл байдлын бодит байдлыг эргэн харах.
3. Оюун санааны хүрэлцээ, ургамлын хоолыг дахин авч үзэх. Даалгаврын шийдлийг өөр аргаар дахин шалгах нь 4-р ангиас эхлэн боломжтой.
Даалгаврыг зөв боловсруулахад хяналт тавихын тулд програмчлагдсан сургалтын элементүүдийг сонгож, ажиллах шаардлагатай. Энэ элемент нь бүр ч илүү corny tim юм, Би дахин нэг удаа анхааралдаа чи зөв, өөрийн үйлдлийн өршөөл авч үзэх болно. Дарсны шийдвэрийн өршөөлийн хувьд интоорын шинэ арга бий.
Сургуулийн багш розвязання авдання сургаалаар гэгээрсэн гэж дуулах магадлал өндөр байдаг. Түүнд энэ ажлыг дуусгах ажлыг гүйцэтгэх нь дээр. Тогтмол даалгаврын ажлыг янз бүрийн аргаар хийж болно.
1. Өдөр хэмнэхийн тулд их сургуулийн хоолыг тохируул.
2. Proponuetsya rozpovіsti бүх rozvyazannya zadovі z obґruntuvannyam vyboru dіy.
3. Хоолоо okremih diy chi хоол хүртэл тавь. Оюутнуудын хувьд ижил төстэй даалгаврын хэлбэлзлийн тоо чухал бөгөөд тэдгээрийн хооронд хичээлийн нөхцөл байдлыг ойлгох нь чухал юм. Энэ төрлийн даалгаврын эхлэлийг бүрдүүлэх нь хичнээн чухал болохыг та харж байгаа тул даалгаврын даалгаврыг гүйцэтгэхийн тулд роботын үүрэг гүйцэтгэхийг Tsіy metі і. Сэдвийн талаар илүү сайн ойлгохын тулд даалгавар, өгөгдөл ба шукани хоорондын зай, тоогоор биш, харин үгээр бичсэн өдөр тутмын тоон өгөгдлөөс даалгаврыг төгс төгөлдөр болгох. Шилдэг багш нар өргөнөөр ялдаг гэдгийг багш нар өөрсдөө даалгаврыг зохион байгуулах даалгаврыг заах аргуудын нэг болгон харуулахаас болгоомжил.
Даалгаврын дараалал нь хүүхдүүдэд даалгаврын амьдрал-практик ач холбогдлыг илүү сайн ойлгох, түүний бүтцийг илүү сайн ойлгох, янз бүрийн зүйлийн даалгаврыг ялгаж сурах, шийдвэрийг ойлгоход тусалдаг. Даалгаврын дарааллыг бэлтгэсэн даалгаврын шийдвэртэй зэрэгцүүлэн гүйцэтгэдэг. Dosvid гэж болгоомжтой байх нь uchnіv chastkovo атираат даалгавар нь илүү хялбар гэдгийг харуулах болно. Янз бүрийн талбайн дарга нарын сургаал үүсэхийг идэвхжүүлэхийн тулд слайд. Tse spryaє razvitku їhnyoї vyavlyaet өршөөл, іnіtsiativi. Сургуулийн даргын хадгалалтад зориулж нэг цагийн аялалд зориулж "олж авсан" материалыг dovіdnikіv, сонин, сэтгүүл гэх мэтээс авдаг бол илүү ичмээр юм. Ахлах ангийн сурагчид эдгээр болон бусад rosrahunka-тай холбоотой бизнесийн баримт бичгүүдийг хэрхэн бичиж, бичиж сурах хэрэгтэй. Жишээлбэл, зөвшөөрлийн захидал бичиж, пенни захиалах маягтыг бөглөнө үү. Бүх дээд томилгоог бүх төрлийн ажил үүргийн баярт өргөнөөр ашиглаж болно.
Энгийн арифметик даалгаврыг даалгавар гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь нэг арифметик даалгаврыг шийдвэрлэх гэж байгаа юм шиг. Математик заах цагийн супер гол дүрд тоглох завданняг уучлаарай. Хамгийн энгийн даалгаврууд нь үндсэн мэдлэгийг өргөжүүлэх, арифметик функцийг тодорхой болгох, эдгээр болон бусад математикийн ойлголтуудыг томъёолох боломжийг олгодог. Агуулахын дарааллыг нугалах дарааллыг уучлаарай, дараа нь, vminnya virishuvati їx хэлбэржүүлж, багш сурагчдыг нугалах дарааллыг нээхэд бэлтгэдэг.
Арьсны праймерын үндсэн дээр хамгийн энгийн ажлуудын шинэ төрлүүдийн талаар суралц. Тэдгээрийг алхам алхмаар танилцуулах нь математикийн ойлголтын асуудлын янз бүрийн үе шатууд, чимээгүй арифметик процессыг хөгжүүлэх үйл явц, ийм өмхий үнэрийн тодорхой шийдлийг илчлэх замаар тайлбарладаг. Удирдагчийг сонгохдоо багшийг хүндлэхээс дутахгүй хүндлэл, тэр гавьяаг нь тодорхой болгох. Нарешти, уншигч zmіst zavdannya, rozkrivayuchi zalezhnistі mіzh dannymi нь богино бичлэг нэмэлт хэлбэр нь shukanimi нь бетончлох.
Шилдэг уншигчдын ажлыг дуусгах нь арифметикийн даалгавруудыг гүйцэтгэх бэлтгэлийг сургалтын практик мэдлэгийг хөгжүүлэх, шаардлагатай үр дүнд чиглүүлэхээс эхлэх ёстойг харуулж байна. Сурч мэдсэнийхээ дараа та сайжруулах, арифметикийн даалгавраа засах, өөрчлөхийн тулд ажиллах боломжтой амьдралын нөхцөл байдлыг удирдах шаардлагатай байна. Түүгээр ч барахгүй эдгээр нөхцөл байдал нь хэсэг хэсгээр нь бий болгох дараагийн зүйл биш бөгөөд тэд эргэж, оюутнуудын хүндэтгэлийг хүлээх магадлал багатай байдаг. Багш нь савны оронд олон тооны хичээлийн элементүүдийн тоо өөрчлөгдөхөөс хамгаалах ажлыг зохион байгуулдаг. нахиалах., sho priyaє razvitku yavlen uchnіv pro kіlkіst тулд znajomstvo їх іz дуулж termіnologiєyu, сарлагийн zstrіnetsya амаар томьёолол даалгаврыг: энэ нь болсон, бүх зүйл алдагдсан, тэд үүнийг авсан, энэ нь нэмэгдсэн, өөрчлөгдсөн гэх мэт. Оюутнуудын ийм тоглоом, практик үйл ажиллагааг зохион байгуулах шаардлагатай бөгөөд ингэснээр энэ үйл ажиллагаанд тасралтгүй оролцогчид, мөн посттеригаючи оюутнууд өөрсдөө арьсны өтгөн дусал дээр висновка хийх боломжтой болно; үржүүлэгчийн элементүүдийн тоо нэмэгдсэн эсвэл үржүүлэгчийн элементүүдийн тоо өөрчлөгдсөн, аман вираз нь өсөлт, өөрчлөлтийг харуулдаг зарим үйлдлүүд. Бүтээлийг бэлтгэх энэ үе шат нь эхний аравтын тоон дээр ажиллах, арифметик үйлдлүүдтэй танилцах, олон тооны үйлдлүүдийн шийдэл, эвхэх үйлдлүүдтэй танилцахаас эхэлдэг.
Юуны өмнө, арифметикийн даалгавруудыг сурч эхлэхэд багш өөрийгөө мэдлэгтэй адил илчлэх буруутай тул тэр чадварыг оюутнуудад өгөх шаардлагатай. Даалгаврыг шийдвэрлэхийн тулд арифметик арифметикийн даалгаврыг сурч, сонсож, дараа нь даалгаврыг уншиж, даалгаврыг хоол хүнс, богино тэмдэглэл, санах ойноос давтаж, бодлого дахь агуулахын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг харж, даалгаврыг шалгаж, зөвийг нь буцаана уу. эвдрэлийн тухай. 1-р ангид суралцагчид уут, илүүдлийг зэмлэх даалгаврыг шалгаж эхэлдэг. Даалгаврын хий нь эхний аравын тоо эхлэх цаг эхлэхээс өмнө ордог. Розвязаннягийн эхэнд даалгавар нь ижил доданкивуудын нийлбэрийг өөрчлөх, доод талд нь хи-ийн тэнцүү хэсэгт мөнгө, дараа нь үржүүлэх болон өдөр тутмын арифметик үйл явцын талаархи ойлголтыг эргүүлэх явдал байв. Доод. Сургаалуудын ялгааны дарааллыг нээхээс өмнө объектуудын нэг цогц, хоёр объектив нийлбэр, хэмжээ, тоо, тэдгээрийн ижил төстэй байдлыг ижил мөрөнд байрлуулах тухай ойлголтыг өгөх шаардлагатай. тэнцэх байдал ба мэдрэл. Хоёулаа эвлүүлье, эсвэл эвлүүлье, арифметикийн даалгаврыг хоёр хүн хийж чадахгүй юм шиг даалгавар гэдэг. илүүарифметик процессууд. Арифметик агуулахын даалгаврын онцлогийг хөгжүүлэх сэтгэлзүйн судалгаагаар хүүхдүүд агуулахын шинэ даалгаврын хүрээнд энгийн даалгавруудыг хүлээн зөвшөөрдөггүйг харуулж байна. Агуулахын даалгаврыг дуусгах хүртэл ажил бэлтгэх нь агуулахын даалгаврын шийдвэрийг биелүүлэх хүртэл боловсролын байгууллагуудын эрх, элсэлт, зохих журмын тогтолцоог буруутгах ёстой. Агуулахын менежерийн ажил дуусахаас өмнө эрдэмтэд энгийн даалгавруудыг заль мэхийн тусламжтайгаар зохион байгуулж чадсан гэсэн бодлоо өөрчилвөл, хэрэв та агуулахын дарга дээр очвол өөрөө тавьж болно. хамтдаа дуулах оюун ухааны энгийн даалгавар. Хэзээ rozv'yazannі агуулах zavdan uchnі povinnі эсвэл danih тулд zapitanya тавих эсвэл pitanya мэдээлэл авах. Мөн бэлтгэлийн үе шатанд, тобто. Эхний хувь тавилангийн сүүлчийнх нь, нөгөө хувь заяаны хөгц дээр байгаа, суралцаж, даалгаврын сургаалыг дагаж:
1. Хоолоо бэлэн болохоос нь өмнө угаа.
2. Хоолноос өдөр тутмын тоон мэдээллийг цуглуулж даалгавраа нэмнэ.
Энгийн болон агуулахын даалгавруудыг нугалах, агуулахын даалгавраас суралцахын тулд алхам алхмаар суралцах нь энгийн бөгөөд та тэдгээрийг илүү зөв гүйцэтгэсэн ч нугалах ажлыг нугалах эрхтэй. Цэ энгийн даалгавруудын үзэл бодлыг хамгийн богино хугацаанд эзэмшиж, агуулахын даалгавраас ялгахын тулд ухаалаг болгож, суралцагчдад даалгаварт дүн шинжилгээ хийхэд тусалдаг. vyrіshennі агуулах zavdan uchnіv чарга nauchit zagalnyh priyom_v ажил z zavdannyam үед; vminnyu zmist даалгавар дүн шинжилгээ хийх, өгөгдсөн өгөгдөлд харж, shukane (даалгавар хүлээн зөвшөөрөх шаардлагатай юу тогтоох), ямар өгөгдөл нь даалгаврын хоол тэжээлийн толгой дээр хянуулах ашиглаж болохгүй вэ хамааран. Практикт сургуулийн ажил нь карттай ажиллах, даалгаврын ажлын дарааллыг тодорхойлсон даалгавруудыг ашиглах замаар үнэн зөв байдаг. Захиалга дууссаны дараа шийдвэрийг хоол тэжээлээр тэмдэглэж, эсвэл арьсны нөхцөл байдлыг тэмдэглэж, тайлбарладаг. Тухайн төрлийн даалгавруудыг зохион байгуулах аргын өөрчлөлт нь өөр өөр төрлийн даалгавар, схем, оюутнууд өөрсдөө бэлтгэж, нугалах шийдэл, өмнө нь шийдэж байсан асуудлын төрлүүдтэй өгөгдсөн төрлийн даалгавар, гэх мэт.
1. Vipadkіv 40 + 20, 50-30, 34 + 20, 34 + 2, 48-30, 48-3-ыг зуун концентрацитай тоолох аргачлалыг тайлбарла.
1) 40+20= 4d+2d=6d=60
2) 50-30 = 5d-3d = 2d = 20
3) 34+20= 3d+4od+2d=5d 4ed=54
4) 34+2 \u003d 3d + 4od + 2od \u003d 3d 6od \u003d 36
5) 48-30 \u003d 4d + 8od-3d \u003d 1d 8ed \u003d 18
6) 48-3= 4d+8od-3d=4d 5d=45
Usі priyomi болон нугалах болон vіdnіmannya зэрэглэлд үндэслэн usnі болон vykonuyutsya тоолох.
Үүнээс харахад тоо томшгүй натурал тоонуудыг нэмэлт "бага" илэрхийлэл болгон дарааллаар нь байрлуулж болно. Гэхдээ аксиоматик онолын дүрмийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд ингэснээр зорилго нь зөвхөн тодорхойлоод зогсохгүй, энэ онолд аль хэдийн томилогдсон зүйл дээр үндэслэн илүү боловсронгуй болсон. Нэмэлтээр төлбөрөө "бага" болгосноор та илүү ихийг хийж чадна.
Уулзалт. a тоо нь b тооноос бага (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = б.
Цикхийн оюун ухаанд ч мөн адил гэж хэлэхэд scho дугаар билүү атэр бичдэг b > a.
Теорем 12.Аливаа натурал тоонуудын хувьд аі бгурван боломжийн нэг бөгөөд зөвхөн нэг байж болно: a = b, a > b, а < б.
Энэ теоремын баталгааг орхигдуулсан. Теоремын Z ієї ойлгомжтой, энэ юу вэ
a ¹ b,тэ чи а< b, эсвэл a > b tobto. vіdnoshennia "бага" pov'yazanostі хүч байж болох юм.
Теорем 13.Якчо а< b і б< с. тэгээд а< с.
авчирч байна. Энэ теорем нь "бага" гэсэн санаагаар дамжин өнгөрөх чадварыг илэрхийлдэг.
тийм сарлаг а< b і б< с. тэгвэл "бага" гэж нэрлэх зорилгоор ийм натурал тоонууд байдаг өмнөТэгээд юу гэж b \u003d a + i c \u003d b + I.Але тоди h = (a + k)+ / і -ийг эвхдэг байдлын үндсэн дээр авна. h \u003d a + (+ хүртэл/). Оскилки + Би -тэгвэл натурал тоо а< с.
Теорем 14. Якчо а< b, энэ нь үнэн биш б< а. авчирч байна. Ця теорем нь хүчийг илэрхийлдэг тэгш хэмийн эсрэг vodnosini "бага".
Аль ч натурал тоо юу болохыг эхнээс нь эхэлцгээе абитгий wi-!>! ■ ) її огцрох а< а.Үүнийг хүлээн зөвшөөрөхгүй байя, тобто. юу а< а мананхай. Тоди, цэнхэр "бага" зорилгоор ийм натурал тоо байдаг -тай,юу а+ h= а,мөн теорем 6-г орлохгүй байх.
Одоо якчо гэж хэлье а< б, тэгвэл энэ нь үнэн биш юм б < а.Үүнийг хүлээн зөвшөөрөхгүй байя, тобто. ямар якчо а< b , дараа нь б< а ялна. Теорем 12 дахь тэгш байдлын жагсаалт а< а, энэ нь боломжгүй юм.
Тиймээс, бидний хэлснээр "бага" нь тэгш хэмийн эсрэг ба шилжилт хөдөлгөөн бөгөөд шугаман дараалалтай холбоотой хүчтэй байж болох ч натурал тоонуудын хувийн бус байдал юм. нүүргүй шугаман дараалсан.
"Бага" гэсэн тэмдэглэгээнээс эхлэн эрчим хүчний йогийг натурал тооны үржүүлэгчийн хүч чадлын байшинд нэвтрүүлж болно.
Теорем 15.Бүх натурал тоонуудын нэг нь хамгийн бага тоо болох тобто юм. I< а для любого натурального числа a¹1.
авчирч байна. Аливээ а -натурал тоо байх. Дараа нь хоёр боломж байна: a = 1 т a ¹ 1. Якчо a = 1 бол натурал тоо болно б,үүний төлөө нэг нь дагадаг a: a \u003d b " \u003d b + I = 1+ б, tobto, vodnosini "бага" зорилгоор, 1< а. Otzhe, байгалиасаа илүү 1 чи илүү 1. Або, ганцаардал бол хамгийн бага натурал тоо юм.
"Бага" гэсэн ойлголт нь нэг хэвийн байдлын хүчээр тоог нугалах, үржүүлэхтэй холбоотой юм.
Теорем 16.
a \u003d b => a + c \u003d b + c гэж a c \u003d b c;
а< b =>a + в< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + c ба ac > bc.
авчирч байна. 1) Энэ бат бөх байдлын шударга байдал нь нугалах, үржүүлэхийн нэгдлээс тодорхой харагдаж байна.
2) Якчо а< b,
тэгвэл натурал тоо болно к,юу а
+ k = b.
Тоди б+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ руу)= (a + c) + k.Өмч хөрөнгө б+ c = (a + c) + toгэсэн үг a + в< b
+ -тай.
Тиймээс үүнийг хэлэх шаардлагагүй а< b =>хөзрийн тамга< bс.
3) Үүнтэй ижил аргаар авчирна.
Теорем 17(Урвуу теорем 16).
1) а+ c = b + cэсвэл ac ~ bc-Þ a = b
2) a + в< Ь + с эсвэл хөзрийн тамга< МЭӨÞ а< Ь:
3) a + c > b+ w o ac > BCÞ a > b.
авчирч байна. Бид жишээ нь юу авчирдаг хөзрийн тамга< bс дараачийн а< b Үүнийг хүлээн зөвшөөрөхгүй байя, тобто. Энэ теорем нь ялаагүй. Тоди чадахгүй байна, scho a = b.тэр үед ч атаархал ялах болно гэдгийг ac = BC(Теорем 16); би байж болохгүй а> б,аль нь ч байсан ac > BC(Теорем!6). Тиймээс теорем 12-ын хувьд, а< b.
16 ба 17-р теоремуудаас нэр томъёог гишүүнээр нэмэх, тэгш бус байдлыг үржүүлэх дүрмийг танилцуулж болно. Бид үүнийг орхигдуулдаг.
Теорем 18. Аливаа натурал тоонуудын хувьд аі б; нь мөн n натурал тоо бөгөөд энэ нь х а.
авчирч байна. Хэний төлөө аийм тоог олоорой П, юу n > a.Хэнд авах нь хангалттай юм n = a + 1. Нэр томьёог тэгш бус байдалаар үржүүлэх П> аі б> 1, зөвшөөрөгдөх боломжтой pb > а.
Эрх баригчдыг харахад бидний нотлох баримтгүйгээр өдөөдөг натурал тооны үржүүлэгчийн чухал онцгой шинж чанаруудыг дуулахын тулд цэнхэр "бага" байгааг харж болно.
1. Нэг натурал тооны хувьд Ні атийм натурал тоо байхгүй П,юу а< п < а +
1. Tsya хүчийг гэж нэрлэдэг эрх мэдэлд
салангид байдалхувийн бус натурал тоо, тоо аі a + 1 нэр шүүх.
2.
Өшөө авах натурал тооны хоосон дэд үржүүлэгч биш
хамгийн бага тоо.
3. Якчо М- Хувь хүний бус натурал тооны хоосон тоо
мөн ижил тоо б,бүх тооны x s-ийн хувьд юу вэ Мялахгүй
тэнцвэрт байдал x< б,дараа нь нүүр царайгүйд Мє хамгийн их.
Өгзөг дээрх 2 ба 3-ын хүчийг харуулсан. Аливээ М- нэргүй хоёр оронтой тоо. тийм сарлаг Мє бүх тооны натурал тооны дэд үржүүлэгч і< 100, то в множестве Мє хамгийн том тоо нь 99. М, - 10 дугаар.
Ийм байдлаар "бага" гэсэн үгийн оруулга нь натурал тооны үржүүлэгчийн чадлын тооны ач холбогдлыг харах боломжийг олгосон (мөн дараалсан випадкив). Зокрема, энэ нь шугаман зохион байгуулалттай, салангид, дор хаяж 1.
Натурал тоонуудын хувьд "бага" ("илүү") тохиргоог хийснээр бага насны сургуулийн сурагчид сурах эхэн үеийг мэддэг. Мөн ихэнхдээ його үржүүлэгч-онолын тайлбарын дарааллаар аксиоматик онолын хүрээнд бидний өгсөн тодорхойлолтыг далдаар нотолсон байдаг. Жишээлбэл, оюутнууд 9 > 7, хэлтэрхий 9 - 7 + 2 биш гэдгийг тайлбарлаж болно. Ихэнхдээ болон далд ялалтын хүч монотон эвхэх, үржүүлэх. Тухайлбал, хүүхдүүд “6+2< 6 + 3, так как 2 < 3».
зөв
1, "дунд дараалалгүйгээр" цэнхэр өнгийн тусламжийн дараа хувь хүний бус натурал тоог яагаад эрэмбэлж болохгүй гэж?
Алсын харааг бий болгох a > bмөн энэ нь шилжилтийн болон тэгш хэмийн эсрэг аль аль нь болохыг батлах.
3. Энэ юу болохыг надад хэлээч a, b, c- натурал тоо, тэгвэл:
а) а< b Þ ас < bс;
б) а+ h< б + су> а< Ь.
4. Нэмэх ба үржүүлэхийн монотон байдлын тухай зарим теоремууд болно
vykoristovuvaty бага сургуулийн сурагчид, vykonuyuchi zavdannya "Porіvnya, vykonuyuchi тооцох хэрэггүй":
a) 27+8...27+18;
б) 27-8...27-18.
5. Натурал тооны үржүүлэгчийн хүч шиг бага насны сургуулийн сурагчид далд хэлбэрээр ялж, ижил даалгавар ялна:
A) Том, бага 65, бага, бага 75 гэх мэт тоонуудыг бич.
B) 300 (800,609,999)-ын өмнөх огнооны дагуу дараагийн тоог нэрлэнэ үү.
C) Хамгийн бага ба хамгийн том гурван оронтой тоог нэрлэ.
Виднимання
At аксиоматик сэдэлНатурал тоонуудын онол нь нөөц рүү буцаж ирдэг үйл ажиллагаа мэт сонсогддог.
Уулзалт. a ба b натурал тоонуудыг авч үзвэл сэтгэлийг баясгадаг үйлдлийг дууддаг: a - b = s зөвхөн ба цөөхөн, хэрэв b + c = a бол.
Тоо а - бтоонуудын зөрүүг a i гэж нэрлэдэг б,тоо а- өөрчлөлт, тоо б-харсан.
Теорем 19.Натурал тоонуудын өөрчлөлт а- біsnuє tоdі і tоdі-ээс бага, хэрэв б< а.
авчирч байна. Жижиглэн худалдаалах а- бИшнує. Тоди, томилогдсон жижиглэнгийн хувьд ийм натурал тоо байдаг -тай,юу b + c = a, tse гэдэг нь үүнийг илэрхийлдэг б< а.
Якшчо б< а, тэгвэл "бага" гэж нэрлэх зорилгоор энэ нь бас натурал тоо юм b + c = a.Тоди, томилогдсон жижиглэнгийн худалдааны хувьд, c \u003d a - b, tobto. жижиглэн худалдаа а - бИшнує.
Теорем 20. Натурал тоонуудын ялгаа юу вэ? аі бГанц л байгаа гэдэгт би итгэлтэй байна.
авчирч байна. Хоёр байгаа нь хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц юм өөр өөр үнэ цэнэтоонуудын зөрүү аі б;: а - б= c₁і а - б= c₂, үүнээс гадна c₁ ¹ c₂.Томилогдсон жижиглэн худалдаалагчдад зориулсан Тоди, магадгүй: a = b + c₁,і a = b + c₂ : .Дараа нь юу болохыг хараарай б+ s ₁ \u003d b + c ₂: 17-р теоремын үндсэн дээр тохирох боломжтой c₁ = c₂.Тэд орхигдсон цэгт хүрсэн, тэгвэл энэ нь буруу, гэхдээ теорем зөв.
Vyhodyachi z vznachennya raznitsі байгалийн тоо нь оюун ухаан її іsnuvannya, та сумаас vіdomі vіdnіmannya тоо, тооноос сумигийн дүрмийг дагаж болно.
Теорем 21. Аливээ а. бі h- натурал тоо.
гэхдээ якчо a > c, дараа нь (a + b) - c \u003d (a - c) + b.
б) Якчо b > в. дараа нь (a + b) - h - a + (b - c).
в) Якчо a > c ба b > c.дараа нь та эдгээр томъёоноос vikoristovuvati эсэх-яку болно.
авчирч байна. Цаг хугацааны хувьд a) тооны зөрүү аі віsnuє, oskelki a > в.Чухал ач холбогдол бүхий її дамжуулан x: a - c \u003d x.одод a = c + x. Якчо (а+ б) - c \u003d y.дараа нь тогтоосон үнээр, а+ б = h+ цагт. Бид qiu equanimity zamіst-д төлөөлдөг авирус h + x:(h + x) + b = c + y.Бид дараахь зүйлийг нэмэхийн тулд нэгдлийн хүчийг хурдасгаж байна. c + (x + b) = c+ цагт. Энэхүү тэнцвэрт байдлыг монотон байдлын хүчинд үндэслэн өөрчилье, нэмж хэлэхэд бид дараахь зүйлийг авна.
x + b = y.. Дани хэлээр x эквивалентыг viraz-ээр сольсон а - в,ээж болъё (а - G) + b = y.Энэ зэрэглэлд биднийг авчирсан, scho yakscho a > c, дараа нь (a + b) - c = (a - c) + b
Үүний нэгэн адил нотлох баримтыг b) тохиолдолд гүйцэтгэдэг.
Теоремын үр дүнг санахад хялбар дүрмээр томъёолж болно: нийлбэрээс тоог авахын тулд нэг агуулахын нийлбэрээс тоог авч, илүү олон нэмэлт нэмэхэд хангалттай.
Теорем 22.Аливээ a, b i c -натурал тоонууд. Якчо a > b+ в, тэгвэл а- (б + в) = (а - б) - вэсвэл a - (b + c) \u003d (a - c) - б.
Энэ онолын баталгаа нь теорем 21-ийн баталгаатай төстэй юм.
Теорем 22-ыг харааны дүрэм болгон томъёолж болох бөгөөд тооноос авсан тооны нийлбэрийг авч үзэхийн тулд дараалсан арьсны нэмэлтүүдийн тоог нэг нэгээр нь авч үзэх нь хангалттай юм.
At cobматематикчид vyznachennya vіdnіmannya сарлагийн dії, zvorotnogo dodavannya, харах, дуу чимээ, өгөхгүй, харин тэд байнга koristuyutsya, pochinayuchi z vykonannya нэг оронтой тоо гаруй dіy байна. Атирааны талаар юу хэлэхээ сайн ойлгож сурах, тооцоолохдоо харилцан хамаарлыг даван туулах хэрэгтэй. Жишээлбэл, 40-ийн тооноос 16-ын тоог харж, дараах байдлаар тэмдэглэж сур: "40-өөс 16-г хараарай - энэ нь ийм тоог мэдэх гэсэн үг бөгөөд үүнийг 16-аар нугалахдаа 40-ийг оруулна уу; энэ тоо 24 байх тул 24 + 16 = 40. Дундаж. 40 - 16 = 24".
Математикийн коб курст нийлбэрээс тоог, тооноос нийлбэрийг тайлбарлах дүрэм є онолын үндэслэлБусад орлогыг тооцоолох. Жишээ нь, virase үнэ цэнэ (40 + 16) - 10 мэдэж болно, зөвхөн нум дахь нийлбэр тоолох замаар, гэхдээ дараа нь түүнээс тоо 10 тоолох замаар, гэхдээ бас ийм зэрэглэлд;
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
б) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46.
зөв
1. Чи зөв, тасралтгүй урагшилж буй ганцаардлаас гарах арьсны байгалийн тоо хэд вэ?
2. Теорем 19-ийн логик бүтэц яагаад онцгой вэ? Та "шаардлагатай, хангалттай" гэсэн үгсийг ялалтаар томъёолж чадах уу?
3. Юу авчрах вэ:
гэхдээ якчо b > c,тэгээд (a + b) - c \u003d a + (b - c);
б) якчо a > b + c, дараа нь а - (б+ в) = (а – б) – х.
4. Чи чадна, тоолохгүйгээр ийм virazіv dorivnyuvatimut-ийн утгыг хэлэх болно:
a) (50 + 16) - 14; d) 50+ (16-14 ),
б) (50 - 14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
в) (50 - 14) - 16, е) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;
б) (50 - 16) + 14; д) (50 - 14) - 16;
в) (50 - 16) - 14; e) 50 - 16-14.
5. Yakі хүч vіdnіmannya є математикийн cob курс дээр priyomіv тооцоо, scho vychayutsya урагшлах онолын үндэслэл:
12 - 2-3 12 -5 = 7
б) 16-7 \u003d 16-6 - P;
в) 48 - 30 \u003d (40 + 8) - 30 \u003d 40 + 8 \u003d 18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Үзэмжээр үнэ цэнийг тооцоолох боломжит аргуудыг тайлбарла. а - б- hмөн тэдгээрийг тодорхой өгзөг дээр дүрслэн үзүүлээрэй.
7. Надад хэлээч б< а мөн ямар ч байгалийн c virna equanimity байх (a - b) c \u003d ac - bc.
Вказовка. Нотолгоо нь аксиом 4 дээр үндэслэсэн болно.
8. Үсгийг тоолохгүйгээр виразугийн утгыг тооцоол. Vidpovidi боолт.
a) 7865 × 6 - 7865 × 5; b) 957 × 11 - 957; в) 12×36 - 7×36.
Подил
Натурал тоонуудын аксиоматик онолын дагуу розподил нь үйл ажиллагаа мэт сонсогдож, үржүүлэхэд хувирдаг.
Уулзалт. Натурал тоо a, b хуваагдах нь оюун ухааныг хангадаг үйлдэл юм: a: b \u003d s todi ба зөвхөн тоди,өмнө хэрэв b× h = a.
Тоо а:бдуудсан хувийнтоо аі б,тоо адилим, тоо б- дилник.
Хувийн бус натурал тоон дээр натурал тоог ялгах шаардлагагүй юм шиг санагдаж байгаа бөгөөд жижиглэн худалдаанд зайлшгүй шаардлагатай тул хувийн үндэслэлийн ийм тод шинж тэмдэг байдаггүй. Є tilki шаардлагатай оюун ухаанхувийн хэвшлийн үндэс.
Теорем 23.Хувийн хоёр натурал тоог үүсгэхийн тулд аі бшаардлагатай б< а.
авчирч байна. Хувийн натурал тоог хадгал аі бБи энийг мэднэ. ийм натурал тоо c байна bc = a.Ямар ч натурал тоо 1 нь Oskіlki хүчинтэй nerіvnіst 1 £ байна -тай,дараа нь зөрчилтэй хэсгийг натурал тоогоор үржүүлнэ б, авсан б£ МЭӨ.але bc \u003d a, otzhe, б£ а.
Теорем 24.Хувийн натурал тоонууд ямар байдаг аі біsnuє, ганц л байна.
Теоремын баталгаа нь натурал тоонуудын ялгаварын нэгдлийн тухай теоремын баталгаатай төстэй.
Yogo іsnuvannya оюун ухаан байгалийн тоо Vyhodyachi z vyznachennya эд анги, та тоон дээр subіlu суми (жижиглэн худалдаа, бий болгох) дүрэм эргэн тойронд эргэж болно.
Теорем 25.Ямар тоо байна аі бтоогоор хуваах -тай,тэгээд тэр хэмжээгээр a + bбусадтай хуваалцах, мөн илүү хувийн байдлаар а+ бтоо бүрт -тай,хувийн нэг нийлбэр адээр hі бдээр h, дараа нь. (a + b):c = a: c + b:-тай.
авчирч байна. Оскилки дугаар агэж хуваагдана -тай,тэгвэл энэ нь натурал тоо х = байна a; h, sho a = cx.Одоо байгаа натурал тоотой төстэй y = b:-тай,юу
б= су.Але тоди a + b = cx+ su \u003d - s (x + y).Цэ гэдэг нь юу гэсэн үг a + bв-д хуваасан, цаашилбал, сүмийг дэлгэрүүлэхэд булааж авдаг хувийн шинж чанартай а+ б c тоо руу, илүү үнэтэй x + у, tobto. сүх + б: в.
Теоремын үр дүнг нийлбэрийг тоонд хуваах дүрмийг ашиглан томъёолж болно: нийлбэрийг тоонд хуваахын тулд нийлбэрийг арьсны нэмэлтүүдийн тоонд хувааж, үр дүнг хасахад хангалттай.
Теорем 26.Натурал тоонууд шиг аі бтоогоор хуваах hі a > bдараа нь жижиглэн худалдаа а - бв-д хуваагдах, цаашлаад хувийн, зөрүүг в тоонд хуваахад хожсон, илүү хувийн, зөрүүг хуваахад хожсон. адээр hі б c, tobto. (a - b): c \u003d a: c - b: c.
Энэ теоремын нотолгоог өмнөх теоремын нотолгоотой адил гүйцэтгэнэ.
Энэ теоремыг тоон дээрх зөрүүг хуваах дүрэм болгон томъёолж болно. төлөөҮүнээс гадна, зөрүүг тоогоор нь хуваахын тулд бүхэл тоонд хуваахад хангалттай бөгөөд энэ нь өөрчлөгдөж, найзынхаа анхны харцнаас харагддаг.
Теорем 27.Натурал тоо гэж юу вэ анатурал c тоонд хуваагддаг бол дурын натурал тоонд хуваагдана бтвир ab p дээр хуваалцах. Ямар нэгэн хувийн нууцтай бол бүтээлч байдлыг түгээх үед юуг хасдаг ab z тоо руу , хувийн нэг добутка адээр -тай,би дугаарлана b: (a × b): c - (a: c) × b.
авчирч байна. тийм сарлаг агэж хуваагдана -тай,тэгвэл натурал х тоо байна а:в= x, од a = cx.Атаархлын гомдох хэсгүүдийг үржүүлж б,авсан ab = (cx) b. Oskіlki олон тооны ассоциатив, тэгвэл (cx) b = c(x b).Звидси (a b): c \u003d x b \u003d (a: в) б.Теоремыг тоонд хуваах дүрэм болгон томъёолж болно: тоог тоонд хувааж, тоог үржүүлэгчийн аль нэгэнд хувааж, үр дүнг хасаад нөгөө үржүүлэгчийг үржүүлнэ.
Кобын ухаантай математикчийн хувьд подилыг үйл ажиллагааны үржүүлгийн хэлбэрээр томилдог, зэрлэг хүмүүсийн хувьд энэ нь сонсогдохгүй, өгөгдөхгүй, гэхдээ тэд подилийн талаархи мэдлэгийн эхний хичээлээс эхлэн байнга харилцаж байдаг. Тооцооллын явцад үржүүлэх, харилцан хамаарлыг ялах шалтгааныг тэрээр сайн ойлгож, буруутгаж сур. Жишээлбэл, тэрээр 48-ыг 16-д хуваасан, суралцагчид: "48-ыг 16-д хуваана гэдэг ийм тоог мэдэж байна гэсэн үг, 16-аар үржүүлэхэд бид 48 болно; Энэ тоо 3, хэлтэрхий 16 × 3 = 48. Мөн 48: 16 = 3 болно.
зөв
1. Юу авчрах:
a) натурал тоонуудын зөвхөн нэг хэсэг a bхэрэв байгаа бол зөвхөн нэг л байна;
б) тоонууд шиг a bбүртгүүлэх hі a > bтэгээд (a - b): c \u003d a: c - b: c.
2. Бүх өгөгдөл зөв гэдгийг юу баталж болох вэ?
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;
в) 850: 170 = 850: 10:17.
Эдгээр vipadkіv-ийг хүндрүүлэх дүрэм юу вэ? Иог боловсруулж, түүнийгээ авчир.
3. Yakі хүч podіlu є онолын үндэслэл
виконанна ойрын өдрүүд, сургуулийн сурагчдад номлосон cob ангиуд:
Доод талаас нь хамааралгүйгээр та ийм үгсийн утга ижил байх болно гэж яаж хэлж чадах вэ?
a) (40 + 8): 2; в) 48:3; e) (20 + 28): 2;
б) (30 + 16): 3; d) (21 +27): 3; е) 48:2;
Чи vіrnі іvnostі:
a) 48:6:2 = 48: (6:2); б) 96:4:2 = 96: (4-2);
в) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Вирусын үнэ цэнийг тооцоолох боломжит аргуудыг тайлбарла
оюун ухаан:
а) (а+ б): в;б) а:б: хамт; дотор) ( a × b): с .
Санал болгож буй аргууд ба тодорхой өгзөг дээр дүрслэн харуулав.
5. Илэрхийллийн утгыг оновчтой аргаар олох; эзэмшдэг
боодол:
а) (7 × 63): 7; в) (15 × 18):(5× 6);
б) (3 × 4× 5): 15; г) (12 × 21): 14.
6. Дараагийн алхмууд болон доод талыг давхар тоогоор дугуйлна уу:
a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;
б) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;
в) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
г) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560x2 = 1120.
7. Буйдан дор өөрийгөө зодох хэрэггүй, хамгийн оновчтойг нь ол
хувийн аргаар; бэлтгэх арга замыг сонгох:
a) 495:15; в) 455:7; e) 275:55;
6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.
Лекц 34
1. Үл мэдэгдэх тооны үл мэдэгдэх тоо. Олон тооны tsilih nevid'emnyh тоонуудын хүч.
2. Төгсгөлийн үржүүлэгчийн тоо, элементүүдийн натурал цувааг ойлгох. Энгийн ба kіlkіsnі натурал тоо.
Мэргэшлийн бүрэн эрхт байдал хүртэл
1. Талбай дээрх шугаман (вектор) орон зай. өргөдөл гаргах. Орон зайн дор хамгийн энгийн хүч. Шугаман ба бие даасан векторууд.
2. Үндэс ба амар амгалан вектор орон зай. Векторын системийн координатын матриц. Нэг сууриас нөгөөд шилжих. Вектор орон зайн изоморфизм.
3. Комплекс тоонуудын талбайн алгебрийн хаалт.
4. Бүхэл тоонуудын цагираг. Бүхэл тоонуудын дараалал. "Хамгийн том" ба "бага" тооны тухай теоремууд.
5. Бүлэглэх, бүлэг хэрэглэх. Хамгийн энгийн хүчний бүлгүүд. Дэд бүлгүүд. Бүлгүүдийн гомоморфизм ба изоморфизм.
6. Хуурамч тооны гол хүч. Тоонуудыг уучлаарай. Хувь хүний бус анхны тооны хязгааргүй байдал. Хувьцааны дугаарын каноник зохион байгуулалт нь тэрхүү өвөрмөц чанар юм.
7. Кронекер-Капелли теорем (системийн бүрэн бүтэн байдлын шалгуур) шугаман голууд).
8. Замын үндсэн шинж чанарууд. v_drahuvan модулийн системээр өдөөгдсөн Povna. модульд зориулсан Kіltse kіltse v_drahuvan. Эйлерийн теорем ба Ферма.
9. Porіvnyan-ийн онолын нэмэлт нь высновка нь худал хуурмагийн шинж тэмдэг юм. Zvernennya zvichaynogo фракц арав дахь болон сүүлчийн його хугацаанд томилох.
10. Эффектийн коэффициент бүхий олон гишүүнтийн тодорхой язгуурын амжилт. Баялаг нэр томъёо бүхий бодит тооны талбарт болсон.
11. Нэг өөрчлөлттэй шугаман шугам (rozvyaznosti шалгуур, rozvyazannya арга замууд).
12. Шугаман тэгшилгээний тэгш системүүд. Дараа нь хасах арга нь тодорхойгүй байна.
13. Кильце. Залгуур түрхээрэй. Килетийн хамгийн энгийн хүч. Пидкилце. Бөгжний гомоморфизм ба изоморфизм. Талбай. Услалтын жишээ. Хамгийн энгийн хүч. Рационал тооны талбарын хамгийн бага байдал.
14. Натурал тоо (натурал тооны аксиоматик онолын үндэс). "Хамгийн их" ба "бага" натурал тооны тухай теоремууд.
15. Талбай дээрх баян сегментүүд. podіl іz илүүдэл тухай теорем. Хоёр баян гишүүний хамтын ажиллагааны хамгийн том дилник, тэрхүү танин мэдэхүйн хүч.
16. Хоёртын блюз. Тэнцвэртэй байдлын талаархи санал. Эквивалентийн ангилал, хүчин зүйлийн үржүүлэгч.
17. Натурал болон бүхэл тооны математик индукц.
18. Харилцан анхны тоонуудын давамгайлал. Тооны хамгийн бага ач холбогдол бүхий үржвэр, тэрхүү танин мэдэхүйн хүч.
19. Комплекс тооны талбар, тоон талбар. Геометрийн дүр төрх тригонометрийн хэлбэрнийлмэл тоо.
20. Бүхэл тооны podіl іz илүүдэлтэй холбоотой теорем. Тоонуудын хамгийн том цуглуулга, тэрхүү танин мэдэхүйн хүч.
21. Вектор орон зайн шугаман операторууд. Шугаман операторын цөм ба дүрс. Вектор орон зай дахь шугаман операторуудын алгебр. Шугаман операторын чадлын утгууд ба чадлын векторууд.
22. Хавтгай Афины өөрчлөлт, тэдний ноёрхол нь zavdannya арга зам юм. Хавтгай ба її дэд бүлгүүдийн Афины өөрчлөлтүүдийн бүлэг.
23. Багатокутники. Багатокутник талбай. Шалтгаан ба нэгдлийн теорем.
24. Багатокутникивын эквивалент ба тэгш байдал.
25. Лобачевскийн геометр. Лобачевскийн геометрийн аксиомын системийн үл нийцэх байдал.
26. Лобачевскийн геометрийн параллелизмын тухай ойлголт. Шулуун Лобачевскийн талбайг харилцан өргөтгөх.
27. Formulas ruhіv. Тухайн газрын балгасуудын ангилал. Dodatki нь rozvyazannya даалгавар.
28. Ил задгай талбайн ойролцоо хоёр орон сууц, шулуун, хоёр шулуун орон сууцны харилцан өргөтгөл (шинжилгээний танилцуулгад).
29. Проекктив хувиргалт. Шалтгаан ба нэгдлийн теорем. Проекктив хувиргалтын томъёо.
30. Скаляр, вектор биш zmіshane үүсгэхвекторууд, даалгавруудыг боловсруулахад їх нэмэлтүүд.
31. Вейлийн тривиметрик Евклидийн орон зайн аксиомын систем ба її zmistovna хэтийн бус байдал.
32. Талбайн Рухи, хүч чадлын йог. Бүлэг балгас хавтгай. Хөдөлгөөний үндэс ба нэгдлийн теорем.
33. Тэр її загварын проекцийн хавтгай. Проекктив өөрчлөлт, хүч. Дизайн өөрчлөлтүүдийн бүлэг.
34. Хавтгайтай төстэй байдлын шинэчлэл, тэдний ноёрхол. Хавтгай ба її дэд бүлгүүдтэй төстэй хувиргалтуудын бүлэг.
35. Гөлгөр гадаргуу. Гадаргуугийн эхний квадрат хэлбэр нь zastosuvannya юм.
36. Зэрэгцээ төсөөлж буй йогийн хүч. Зэрэгцээ проекц дахь хавтгай ба өргөн дүрсүүдийн зургууд.
37. Гөлгөр шугам. Сансрын муруйны муруйлт нь ижил байна.
38. Элипс, гипербол, парабола нь төгсгөлтэй парабол. Каноник тэгш байдал.
39. Эллипс, гипербол, параболын чиглүүлэх чадвар. Туйлын тэгшитгэл.
40. Шулуун шугамын зарим цэгийн нөлөөгөөр тэрхүү тооцооны хүч. Эв найрамдалтай хуваагдсан уурын цэгүүд. Повный чотирикутник ба хүчний йог. pobudova дээр rozvyazannya даалгавар нь нэмэлт.
41. Паскаль, Брайанхоны теоремууд. Туйл ба туйл.
Сайн хоол математик шинжилгээ
Урам зориг...