Шугаман шугамын системүүд. Вектор системийн элементийн хувиргалт. Вектор системийн алхам алхмаар систем

Цаг 5. Анхан шатны өөрчлөлтүүдШугаман тэгшилгээний системийг урагшлах өөрчлөлтүүд гэж нэрлэдэг.

1) хоёр тэнцүү газартай эсэхээс үл хамааран солих;

2) ижил тооны хоёр хэсгийг үржүүлэх;

3) хоёр дахь тэнцүү хэсгүүдийн аль алинд нь нэг тэнцүү хэсгийг нэмж, тоогоор үржүүлнэ к;

(үүнтэй зэрэгцэн гол мөрөн байнгын болдог).

Тэг тэнцүүдоромжилсон сэтгэлгээтэй тэнцүү гэж нэрлэдэг:

Теорем 1. Be-like хамгийн сүүлийн дараалал анхан шатны хувиргалт болон хувиргах тэг тэгшитгэлийн ням гаригийн хувиргах нь ижил хүчтэй шугаман тэгшитгэлийн нэг систем, шугаман тэгш байдлын өөр системийг орчуулах.

авчирч байна. 4-р догол мөрийн эрх мэдлийг харвал, теоремыг okremo-ийн хувиргалтанд зориулж арьсанд авчрах.

1. Тогтолцооны зэрэглэл солигдох тохиолдолд цол нь өөрөө өөрчлөгддөггүй тул томилгооны хувьд тогтолцоо нь адилхан хүчтэй байдаг.

2. Нотлох баримтын эхний хэсгийн ачаар эхний тэнцүүлэх хатуу байдлыг авчрахад хангалттай. Системийг (1) тоогоор үржүүлснээр бид системийг авна

(2)

Аливээ  систем (1) . Ижил тоо нь системийн тэгш байдлыг хангана (1). Эхнийх нь системийн (2) oskіlki бүх тэгшитгэлүүд нь системийн (1) тэнцүү zbіgayutsya тул тоо нь бүх тэнцүү байдлыг хангана. Тооны хэлтэрхий нь системийн эхний тэгшитгэлийг (1) хангаж байгаа нь анхны тоон тэгшитгэл байж болно:

Йогог тоогоор үржүүлэх К, Бид зөв тоон тэгш байдлыг авна:

Тэр. суулгах, юу  систем (2).

Буцаад, якчо системийн шийдэл (2), дараа нь тоонууд нь системийн сахлыг хангана (2). oskіlki системийн бүх тэнцүү (1) системийн тэнцүү (2) нь zbіgayutsya эхний нэг, дараа нь тоо бүх тэнцүү хангаж байна. Тооны хэлтэрхий нь системийн эхний тэгшитгэлийг (2) хангаж байвал тоон тэгш байдал (4) хүчинтэй байна. Доромжлолыг тоонд хуваасны дараа бид тоон тэгшитгэлийг (3) хасаад дүгнэж байна.  системийг салгах (1).

Томилгооны хувьд Zvіdsi 4 систем (1) систем (2) -тай тэнцүү байна.

3. Нотлох баримтын эхний хэсгийн ачаар эхний болон бусад тэнцүү тогтолцооны хатуу байдлыг авчрахад хангалттай. Системийн эхний тохируулгын хоёр хэсэгт Додамо К, системийг ав

(5)

Аливээ системийн шийдэл (1) . Ижил тоо нь системийн тэгш байдлыг хангана (1). Эхний системийн (5) бүх тэнцүү тоонууд нь (1) системийн тэнцүү тоотой нийлдэг тул тоонууд нь бүх тэнцүүг хангана. Тооны хэлтэрхий нь системийн эхний эквивалентыг хангаж байна (1)

Найздаа анхны тэгшитгэл дээр гишүүн бүлгийг нэмж, тоогоор үржүүлнэ КБид зөв тоон тэгшитгэлийг авдаг.

§7. Шугамын системүүд

Тэгш тогтолцоо. Шугаман шугамын системийн элементийн өөрчлөлт.

Аливээ З- талбай нийлмэл тоо. Оюун ухаантай тэнцүү

де
, шугаман тэнцүү гэж нэрлэдэг nневидомими
. Захиалгын багц
,
шийдвэрүүдийг тэнцүү гэж нэрлэдэг (1), гэх мэт.

систем мшугаман rivnyan z nсистемийг оюун ухаантай тэнцүү гэж нэрлэдэг:

- Шугаман шугамын системийн коэффициентүүд, - Чөлөөт гишүүд.

Тэгш өнцөгт ширээ

,

дэлхийн матриц гэж нэрлэдэг
. Тэмдэглэгээг танилцуулъя: - би-Матрицын Ta эгнээ,
- к-Ты зуухны матриц. Матриц ГЭХДЭЭилүү илэрхийлнэ
эсвэл
.

Матриц дахь мөрүүдийн дараагийн хувиргалт ГЭХДЭЭанхан шатны гэж нэрлэдэг:
) тэг эгнээ унтраах; ) дурын эгнээний бүх элементүүдийг тоогоор үржүүлэх
; ) өөр аль ч мөрийн аль ч эгнээний нэмэлт, үржүүлсэн
. Матрицын баганын ижил төстэй өөрчлөлтүүд ГЭХДЭЭматрицын элементар хувиргалт гэж нэрлэдэг ГЭХДЭЭ.

Матрицын аль ч эгнээний эхний тэг биш элемент (илүү чухал нь баруун талд). ГЭХДЭЭэнэ эгнээний дамжуулагч элемент гэж нэрлэдэг.

Уулзалт. матриц
Үүнийг ингэж ариусгасан мэт алхам гэж нэрлэдэг.

1) матрицын тэг эгнээ (өмхий гэх мэт) нь тэгээс бага байна;

2) якчо
матрицын эгнээний элементүүдийг явуулах, дараа нь

Тэг биш матрицтай адил байх Мөн энгийн элементар хувиргалтын хувьд шаталсан матриц болгон бууруулж болно.

өгзөг. Индукцтай матриц
алхам матриц руу:
~
~
.

Системийн коэффициент бүхий матрицыг нугалав шугаман шугамуудыг (2) системийн үндсэн матриц гэнэ. Матриц
, Отриман, чөлөөт гишүүдийн элсэлтийн хамт системийн өргөтгөсөн матриц гэж нэрлэдэг.

Багцын дарааллыг шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлүүд (2), мөн системийн арьсны шугаман шугаман тохируулгын шийдвэрүүд гэж нэрлэдэг.

Шугаман тэгшилгээний системийг уялдаа холбоотой гэж нэрлэдэг, учир нь энэ нь зөвхөн нэг шийдэл байж болох бөгөөд үүнийг шийдвэрлэх боломжгүй тул галзуу биш юм.

Шугаман тэгшилгээний системийг дуулах гэж нэрлэдэг, учир нь ганц шийдэл байдаг, нэг нь тэмдэглэгдээгүй, нэгээс олон шийдэл байдаг.

Шугаман тэгшилгээний системийн удахгүй болох өөрчлөлтийг энгийн гэж нэрлэдэг.

) оюун ухаантай тэнцэх тогтолцооноос хасах;

) хоёр хэсгийн үржвэр, тэнцүү эсэхээс үл хамааран
,
;

) өөр тэнцүү байгаа эсэхийг нэмж, ,-ээр үржүүлнэ.

Шугаман шугамын хоёр систем nүл мэдэгдэхийг адилхан хүчтэй гэж нэрлэдэг, учир нь өмхий үнэр нь уялдаа холбоогүй боловч тэдний олон шийдвэрийг гаргадаг.

Теорем. Жишээлбэл, шугаман тэгшилгээний нэг системийг ), ), ) төрлийн бусад энгийн хувиргуудаас хассан бөгөөд энэ нь харааны системтэй адил хүчтэй юм.

Үл мэдэгдэхийг үл тоомсорлох аргаар шугаман тэгшилгээний системийг хянан үзэх (Гауссын аргаар).

Системийг явуул мшугаман rivnyan z n unwidomimi:

Оюун санааны өшөөг авах систем (1) шиг

тэгвэл систем нь нэгдмэл биш байна.

(1) систем (2) хэлбэртэй тэнцүү биш гэж үзье. Систем (1) коэффициентийг өөрчилье xЭхлээд 1 тэнцүү
(тийм биш юм шиг, тэгш газруудыг дахин зохион байгуулснаар юунд хүрэх боломжгүй, тиймээс бүх коэффициентүүд тийм биш юм. x 1 нь тэгтэй тэнцүү). Застосуйемыг шугаман шугамын системд (1) анхан шатны хувиргалтыг урагшлуулах ланцетууд:

, Додамо өөр түвшинд;

Эхний тэнцүү, үржүүлсэн
, Додамо гурав дахь түвшин гэх мэт;

Эхний тэнцүү, үржүүлсэн
системийн бусад хэсэгт dodamo.

Үүний үр дүнд бид системийн хүч чадал (1) -тэй тэнцэх шугаман тэгшилгээний системийг (шугаман тэгшилгээний системийн хувьд бид хамгийн богино SLN-ийг өгсөн) хасдаг. Нөгөө системд энэ нь тоотой тэнцүү байгааг олж мэдэх байх би, би 2, үл мэдэгдэх өшөөг бүү ав x 2. Аливээ кхамгийн багадаа натурал тоо, юу нь мэдэгдэхгүй байна x кБи өөрийнхөө өшөөг нэг тоогоор авмаар байна би, би 2. Тоди отримана систем rivnyan maє выгляд:

Систем (3) систем (1)-тэй тэнцүү байна. Одоо дэд систем рүү залгаарай
SLN (1) дээр статистик хийсэн шугаман шугамын систем (3) микроскоп. Тэгээд одоог хүртэл. Энэ үйл явцын үр дүнд хоёр үр дүнгийн аль нэг нь ирдэг.

1. Бид оюун ухаантай тэнцэх SLU-г авч хаядаг (2). Энд SLE (1) нь нийцэхгүй байна.

2. Анхан шатны өөрчлөлтүүд, SLN-д зогсонги байдал (1), гадаад төрх байдлын өшөөг авдаг системд хүргэдэггүй (2). Tsomu vipadku SLP (1) дээр энгийн хувиргалтаар
оюун ухаантай тэнцэх систем рүү заана:

(4)

де, 1< к < л < . . .< с,

(4) хэлбэрийн шугаман тэгшилгээний системийг алхам алхмаар гэж нэрлэдэг. Энд та хоёр уналт хийх боломжтой.

а) r= nдараа нь систем (4) харагдах болно

(5)

Систем (5) нь зөвхөн нэг шийдэлтэй. Дахин хэлэхэд (1) системийг зөвхөн шийдэж болно.

B) r< n. Хэний сэтгэлд гэр орон байхгүй
(4) системд тэдгээрийг толгой давамгайлагч бус гэж нэрлэдэг, эс тэгвээс энэ системд давамгайлахгүй - чөлөөтэй (зургаан нэг дэхь) n- r). Надамо хэд хэдэн тоон утгыг оруулах шаардлагагүй, тэр ч байтугай SLU (4) matime нь системтэй (5) адилхан харагдаж байна. Үүнээс харахад гарчиг нь хоёрдмол утгагүй юм. Энэ зэрэглэлд систем нь шийдэгдэх боломжтой тул уялдаа холбоотой байдаг. Oskіlki vіlnim nevidomim нэлээд тоон утгыг өгсөн З, дараа нь систем (4) тодорхойгүй байна. Дахин хэлэхэд (1) систем тодорхойгүй байна. SLN-д Viraziv (4) smut nevidomі vіlnі nevidomі, otrimaemo систем, системийн хамгийн зэрлэг шийдэл гэж нэрлэдэг (1).

өгзөг. Аргын дагуу шугаман тэгшилгээний системийг тайл Гаусса

Бид шугаман тэгшилгээний системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн эгнээний хувиргалтын тусламжтайгаар шаталсан матриц руу авчирдаг.

~

~
~
~

~ . Матрицыг орхигдуулснаар бид шугаман тэгшитгэлийн системийг олж чадна.
Ця систем нь гадаад системтэй тэнцүү байна. Үл мэдэгдэх толгой шиг
vіlnі nevіdomі. Дашрамд хэлэхэд үл мэдэгдэх толгой нь зэрлэг үл мэдэгдэх замаар л байдаг:

Бид SLN-ийн бүрэн шийдлийг устгасан. Намайг явуул

(5, 0, -5, 0, 1) нь SLP-ийн хувийн шийдэл юм.

Бие даасан харааны даалгавар

1. Мэдэгдэхгүйг унтраах аргаар дэлхийн шийдэл болон тэнцүү системийн өөр нэг шийдлийг мэдэхийн тулд:

1)
2)

4)
6)

2. Мэдэх өөр өөр үнэ цэнэпараметр аГол мөрний системийн дэлхийн шийдэл:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§найм. Вектор орон зай

Вектор орон зайн тухай ойлголт. Хамгийн энгийн хүч.

Аливээ В ≠ Ø, ( Ф, +,∙) – талбар. Талбайн элементүүдийг скаляр гэж нэрлэдэг.

Исгэх φ : Ф× В –> Вүржүүлэх элементүүдийг үржүүлэх үйл ажиллагаа гэж нэрлэдэг Вталбайн скаляр дээр Ф. Чухал ач холбогдолтой φ (λ, а) дамжуулан λаэргүүлэх элемент аскаляр хүртэл λ .

Уулзалт.Безлич Вүржүүлэгчид элементүүдийг нэмэх замаар өгөгдсөн алгебрийн үйлдлээс Втэр олон элемент Вталбайн скаляр дээр Ф F талбар дээрх вектор орон зай гэж нэрлэгддэг бөгөөд энэ нь дараах аксиомуудыг илэрхийлнэ.

өгзөг. Аливээ Фталбай, Ф n = {(а 1 , a 2 , … , a n) | а би Ф (би=)). Олон тооны арьсан элемент Ф nдуудсан n- энгийн арифметик вектор. Нэмэх үйлдлийг танилцуулъя n-Энх тайвны векторууд ба үржүүлэх n-скаляр z талбарт дэлхийн вектор Ф. Аливээ
. Үүнийг хийцгээе = ( а 1 + б 1 , … , а n + б n), = (λ а 1 , λ а 2 , … , λ а n). Безлич Ф n энд үйлдлүүдийн танилцуулга нь вектор орон зай бөгөөд үүнийг гэж нэрлэдэг n-талбар дээрх энгийн арифметик вектор орон зай Ф.

Аливээ В- вектор орон зайталбай дээгүүр Ф, ,
. Ийм шинж чанарууд байдаг:

1)
;

3)
;

4)
;

Бат бөх байдлын баталгаа 3.

Хурдан бүлэглэлийн хуульд атаархлын З ( В,+) магадгүй
.

Шугаман уриншил, вектор системийн бие даасан байдал.

Аливээ В- Талбай дээрх вектор орон зай Ф,

. Векторыг векторуудын системийн шугаман хослол гэж нэрлэдэг
. Вектор системийн бүх шугаман хослолуудын үл мэдэгдэх байдлыг нэрлэдэг шугаман бүрхүүл tsієyu систем vektorіv би poznaєєєєєyu.

Уулзалт.Ийм скаляруудыг ашигладаг тул векторуудын системийг шугаман уринш гэж нэрлэдэг
бүгд тэгтэй тэнцүү биш, тиймээс

Хэрхэн тэнцэх (1) нь ялах эсвэл түүнээс бага, хэрэв λ 1 = λ 2 = … = =λ м=0, векторуудын системийг шугаман бие даасан гэж нэрлэдэг.

өгзөг.Чи з'ясувати чи є векторуудын систем = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) зай R 3 шугаман уринш буюу бие даасан.

Шийдэл.λ 1 , λ 2 , λ 3 байг
і

 |=> (0,0,0) – системийн шийдэл. Otzhe, вектор систем нь шугаман бие даасан байна.

Шугаман төөрөгдлийн давамгайлал ба вектор системийн бие даасан байдал.

1. Нэг тэг векторын өшөөг авахыг хүссэн векторуудын систем нь шугаман уринштай.

2. Шугаман уринш дэд систем, шугаман уриншаас өшөө авах векторуудын систем.

3. Векторуудын систем, de
є шугаман уринштай бєгєєд нэг л удаа, хэрэв та системийн нэг вектор, нэг вектор, є урагш векторуудын шугаман хослолыг хvсвэл.

4. Векторуудын систем нь шугаман бие даасан боловч векторуудын систем юм
шугаман уринш, дараа нь вектор та векторуудын шугаман хослол ба ижил зэрэглэлийг харж болно.

авчирч байна.Хэрэв вектор систем шугаман уринш байвал
бүгд тэгтэй тэнцүү биш, тиймээс

Вектор эквивалент (2) λ м+1 ≠ 0 λ м+1 \u003d 0, дараа нь s (2) \u003d\u003e Векторын систем нь шугаман уринш, хэлтэрхий байгааг бид харж байна. λ 1 , λ 2 , … , λ мбүгд тэгтэй тэнцүү биш. Тэд оюун ухаанаа арчих гэж ирсэн. Z (1) => de
.

Векторыг таны харж байгаа байдлаар харуулъя: Вектор тэгшитгэлтэй Todo
Вектор системийн шугаман бие даасан байдлаас бид үүнийг харж болно
1 = β 1 , …, м = β м .

5. Вектор ба хоёр системд өгөгдөл өг
, м>к. Хэрэв вектор системийн векторыг вектор системийн шугаман хослол болгон нэгтгэж чадвал вектор систем нь шугаман уринш болно.

Суурь, векторын системийн зэрэглэл.

Сансар дахь Кінцева вектор систем Вталбай дээгүүр Ф дамжуулан утга учиртай С.

Уулзалт.Вектор системийн Бе-яка шугаман бие даасан дэд систем Свекторын системийн суурь гэж нэрлэдэг Сякчо бе-якы вектор систем Ста вектор системийн шугаман хослолыг харж болно.

өгзөг.Векторын системийн үндсийг ол = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. Векторуудын систем, шугаман бие даасан, oskіlki, vіdpovіdno 5-д ноёрхсон векторын системийг векторуудын системээс хассан. нэмэлт тусламж суурьцахилгаан механик: анхнынэмэлт тусламж суурьЭлектроникийн инженер"; ...

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн өмнө дараахь зүйлийг харж болно.

1) Нэг тэнцүү хэсгийн хоёр хэсэгт нэмэх, тэгтэй тэнцүү биш ижил тоогоор үржүүлнэ.

2) Номлолын тэнцүү хэсгийг солих.

3).

КРОНЕККЕРИЙН ТЕОРЕМ - КАПЕЛЛИ

(Umova системийн бүрэн бүтэн байдал)

(Германы математикч Леопольд Кронекер (1823–1891))

Теорем: Системийн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү бол систем хуваагдана (нэг шийдлийг хүсч болно).

Мэдээжийн хэрэг (1) системийг дараах байдлаар бичиж болно.

x 1 + x 2 + … + x n

авчирч байна.

1) Хэрэв шийдвэр гарсан бол чөлөөт гишүүдийн багана нь матрицад нэмсэн А матрицын баганын шугаман хослол юм, өөрөөр хэлбэл. А®А* шилжилт нь зэрэглэлийг өөрчлөхгүй.

2) Yakshcho RgA = RgA * , tse нь өмхий үнэр нь ижил үндсэн минорд байж болно гэсэн үг юм. Stovpets vіlnyh termіnі - stovptsіv үндсэн бага шугаман хослол, tі зөв тэмдэглэгээ, илүү өндөр зааж.

өгзөг.Шугаман тэгшилгээний системийн тууштай байдлыг тооцоол.

~ . Rga = 2.

A* = Rga * = 3.

Систем нь галзуу юм.

өгзөг.Шугаман тэгшилгээний системийн нийлбэрийг тодорхойл.

A =; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Унтах систем. Шийдэл: x1 = 1; x2 = 1/2.

2.6 ГАЗСЫН АРГА

(Карл Фридрих Гаус (1777-1855) Германы математикч)

Матрицын арга ба Крамерын аргын үндсэн дээр Гауссын аргыг олон тооны тэгшитгэлүүд болон үл мэдэгдэх зүйлсээс шугаман тэгшитгэлийн системд шилжүүлж болно. Аргын мөн чанар нь дотоодын бус өвчтөнүүдийг дараа нь оруулахад суурилдаг.

Шугаман тэгшилгээний системийг авч үзье.

1-р хэсгийн доромжилсон хэсгийг 11 ¹ 0-д хуваая, тэгвэл:

1) 21-ээр үржүүлснээр би өөр тэнцүү тооноос харж болно

2) 31-ээр үржүүлснээр би гурав дахь тэнцүү байна

, де d 1 j = a 1 j /a 11 j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij - a i1 d 1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.

өгзөг.Гауссын аргыг ашиглан шугаман шугамын системийг илчил.

, Одод зөвшөөрөгдөх боломжтой: x 3 \u003d 2; x 2 \u003d 5; x1=1.

өгзөг.Системийг Гауссын аргаар шалгана уу.

Системийн матрицыг өргөжүүлье.

Энэ зэрэглэлд гадаад системийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

, Одод зөвшөөрөгдөх боломжтой: z = 3; y=2; x = 1.

Otriman v_dpovіd zbіgaєtsya vіdpovіddu, Cramer арга болон матрицын аргаар энэ системд зориулсан otrimana.

Бие даасан харааны хувьд:

Зөвлөмж: (1, 2, 3, 4).

СЭДЭВ 3. ВЕКТОР АЛГЕБРИЙН ЭЛЕМЕНТҮҮД

ҮНДСЭН ЗОРИУЛАЛТ

Уулзалт.Векторшулуун шугам гэж нэрлэдэг (хоёр цэгүүдийг дараалсан). vector_v_vіdnosti-ийн өмнө мөн тэгвектор, zbіgayutsya ийм төрлийн cob.

Уулзалт.Довжина (модуль)векторыг коб ба векторын төгсгөлийн хооронд гэж нэрлэдэг.

Уулзалт. Векторуудыг дууддаг collinearнэг эсвэл зэрэгцээ шугам дээр тархсан өмхий үнэр шиг. Тэг вектор нь ямар ч вектортой коллинеар байна.

Уулзалт. Векторуудыг дууддаг хавтгайжинхэнэ хавтгай шиг, зэрэгцээ өмхий.

Колайнеар векторууд нь дандаа копланар байдаг ч бүх колайнеар векторууд коллинеар байдаггүй.

Уулзалт. Векторуудыг дууддаг тэнцүүтэдгээр нь collinear юм шиг, гэхдээ тэдгээр нь шулуун, ижил модулиуд байж болно.

Be-yaki векторууд болон Hearty cob авчирч чадна, tobto. векторууд болон vidpovidno тэнцүү өгөгдлийг өдөөж, халуун коб хийх. Вектор тэгш байдлын тэмдэглэгээнээс харахад вектор нь тантай тэнцүү хувь хүн бус вектор байж чадах эсэх нь тодорхой байна.

Уулзалт.Шугамын үйл ажиллагаавекторыг давах үйлдлийг тоогоор нэмэх ба үржүүлэх гэж нэрлэдэг.

Sumoyu vector_v є вектор -

Твир - , аль үед kolіnearen .

Чиглэлийн вектор іz вектор ( ), тэгэхээр a > 0.

вектор (?) бүхий protivolezhnoy удирдамжийн вектор, ингэснээр а< 0.

ВЕКТОРИВИЙН ХҮЧ

1) + = + - шилжих чадвар.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – ассоциаци

6) (a + b) = a + b - тархалт

7) a(+) = a + a

Уулзалт.

1) Суурьорон зайг ижил дарааллаар авсан 3 хосгүй вектор гэж нэрлэдэг.

2) Суурьхавтгай дээрх ижил дарааллаар авсан 2 коллинеар бус вектор гэж нэрлэдэг.

3)Суурьшулуун шугам дээрх тэг биш вектор гэж нэрлэдэг.

Нэг багц дахь шугаман тэгшилгээний хоёр систем x 1 ..., x n

Тэдгээрийг эквивалент гэж нэрлэдэг, учир нь тэдний хувийн бус шийдвэр гаргахаас зайлсхийдэг (тиймээс үржүүлэх, K n-ээс зайлсхийдэг). Tse гэсэн үг, sho: эсвэл өмхий нэг дор є хоосон дэд олон тооны (тиймээс довтолгооны систем (I) ба (II) тогтворгvй), эсвэл өмхий нэг дор хоосон биш, i (тиймээс I системийн арьсны уусмал є II системийн уусмал і арьсны уусмал. II системийн є I системийн шийдлүүд).

Хувьцаа 3.2.1.

Гаусын арга

Гаусын санал болгосон алгоритмын төлөвлөгөө нь маш энгийн:

1. Хувь хүн бус шийдлийг өөрчлөхгүйн тулд шугаман тэгшилгээний системд дараалан оруулаарай (ийм байдлаар бид харааны системийн хувийн бус шийдлийг авдаг), "энгийн харагдах" байж болох эквивалент системд очно (энэ нь алхам маягтын нэр);
2. Системийн "энгийн оюун ухаан"-ын хувьд (алхам матрицтай) харааны системийн хувь хүн бус шийдэлд ашигладаг хувийн бус шийдлийг тайлбарлана уу.

"Фан-чэн" ойрын аргыг эртний Хятадын математикт аль хэдийн хэрэглэж байсан нь чухал юм.

Шугаман тэгшилгээний системийн элементийн хувиргалт (матрицын эгнээ)

Тэмдэглэл 3.4.1 (1-р хэлбэрийн үндсэн хувиргалт). Системийн i-р түвшин хүртэл k-р түвшнийг нэмж, тоогоор үржүүлнэ ((i) "=(i) + c(k); дараа нь зөвхөн нэг i-р түвшин (i) ) шинэ түвшинд (i) "=(i)+c(k)) солигдсон. Шинэ i-e тэнцүү харагдах болно (a i1 + ca k1) x 1 + ... + (a in + ca kn) x n = b i + cb k, эсвэл товчхондоо,

Энэ нь шинэ i-р хороололд гэсэн үг a ij " = a ij + ca kj , b i " = bi + cb k.

Тэмдэглэл 3.4.2 (анхан шатны хувиргах төрөл 2). i -е і k -е хувьд тэнцүү нь зэрэглэлээр өөрчлөгддөг, бусад тэнцүү нь өөрчлөгдөөгүй (тэмдэг: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; .,n

Хүндэтгэл 3.4.3. Тодорхой болгохын тулд тодорхой тооцооллын хувьд та 3-р төрлийн энгийн хувиргалтыг нэмж болно: i-р тооцоог тэгээс өөр тоогоор үржүүлнэ. , (i)" = c (i) .

Санал 3.4.4. 1 ба 2-р хэлбэрийн үндсэн хувиргалтуудын эцсийн тоогоор I системийн төрөл II системд шилжсэнтэй адил II системийн хэлбэрээр та I систем болон 1-р болон 2-р хэлбэрийн үндсэн хувиргалтуудад шилжиж болно. 2-р төрөл.

авчирч байна.

Хүндэтгэл 3.4.5. Бат бөх байдал нь үнэн бөгөөд 3-р төрлийн энгийн хувиргалтуудын үндсэн хувиргалтуудад багтдаг. Якчо i (i)"=c(i) , тэгвэл ta (i)=c -1 (i)" .

Теорем 3.4.6.1, 2-р төрлийн хамгийн сүүлийн тооны элементар хувиргалтуудын сүүлчийн зогсоолын дараа кобтой дүйцэхүйц шугаман тэгшилгээний систем нь шугаман тэгшилгээний системд гарна.

авчирч байна. Нэг элементийн хувиргалтыг нэмж оруулахын тулд I системээс II системд шилжих шилжилтийг авч үзэх нь чухал юм (II системийн санал болгож буй хэсгүүдийг I систем рүү шилжүүлж болно). , оруулах, авчрах тэгш байдал).

Цаг 1.Шугаман тэгшилгээний системийг оюун ухаан (1) , де , талбар гэж нэрлэдэг талбайн дээгүүр n nevidomimi-аас м шугаман шугамын систем, - Домик бус, , , - системийн чөлөөт гишүүдийн коэффициент (1).

Уулзалт 2.Захиалсан n-ка (), де, дуудсан шугаман шугамын системийн дээд хэсэгт(1), арьсан дээрх өөрчлөлтийг сольж байсан ч систем (1) нь зөв тоон тохируулгад шилждэг.

Цаг 3. нойрмог yakscho vain нэг шийдвэр гаргахыг хүсч магадгүй юм. Үгүй бол системийг (1) дуудна галзуу.

Цаг 4.Шугаман тэгшилгээний системийг (1) гэж нэрлэдэг дуулахганцхан шийдэл байж болно. Үгүй бол системийг (1) дуудна томилогдоогүй.

Шугаман шугамын систем

(є шийдвэр) (шийдвэр байхгүй)

нойрмог галзуу

(нэг шийдвэр) (нэг шийдвэр биш)

pevna тодорхойгүй байна

Цаг 5.Талбай дээрх шугаман шугамын систем Рдуудсан нэгэн төрлийн yakscho бүх її vіlnі нэр томъёо тэгтэй тэнцүү байна. Үгүй бол системийг дуудна гетероген.

Шугаман шугамын системийг авч үзье (1). Оюун санааны хувьд ижил нэгэн төрлийн системийг нэгэн төрлийн систем гэж нэрлэдэг. холбоотойсистемээс (1). Нэг төрлийн SLN анх удаа oskolki шийдэж болно.

Арьсны SLN-ийн хувьд хоёр матрицыг нэг дор танилцуулж болно - гол нь өргөтгөсөн.

Цаг 6. Шугаман тэгшилгээний системийн үндсэн матриц(1) матриц гэж нэрлэгддэг, энэ нь ямар ч доромжлолгүй коэффициентүүдээс бүрдэнэ: .

Цаг 7. Шугаман тэгшилгээний системийн өргөтгөсөн матриц(1) матрицыг дуудаж, матрицаас түүний хажууд байгаа олон тооны чөлөөт гишүүдийн замаар таслагдсан: .

Цаг 8.Шугаман тэгшилгээний системийн элементийн өөрчлөлтүүддараах байдлаар дуудагдана: 1) ижил тэнцүү системийн хоёр хэсгийг скаляраар үржүүлэх; 2) нэг түвшний системийн хоёр хэсэгт нөгөө түвшний хоёр дахь хэсгүүдийг нэмэх, элементээр үржүүлэх; 3) оюун ухааныг нөхөх буюу тэнцүүлэх.

Цаг 9.Талбай дээрх шугаман шугамын хоёр систем Рөөрчлөлтийг юу гэж нэрлэдэг адилхан хүчтэй, учир нь тэдний хувийн шийдвэр гаргахаас зайлсхийдэг.

Теорем 1 . Шугаман тэгш байдлын нэг системийг нөгөөгөөсөө үндсэн хувиргалтаар авч хаясантай адил ийм системүүд адилхан хүчтэй байдаг.

Гараар энгийн хувиргалтуудыг шугаман тэгшитгэлийн системд оруулдаггүй, харин өргөтгөсөн матриц руу шилжүүлдэг.

Цагийн тов 10. R талбараас элементүүдтэй матриц өгье. Анхан шатны өөрчлөлтүүдматрицуудыг ингэж нэрлэдэг:

1) матриц дээрх дурын эгнээний бүх элементүүдийг aО Р # -ээр үржүүлэх;

2) матриц дээрх дурын эгнээний бүх элементүүдийг aО Р # -ээр үржүүлж, дараагийн эгнээний бусад элементүүдийг нэмэх;

3) матрицын хоёр эгнээ бүхий газруудыг солих;

4) тэг эгнээ нэмэх буюу гаргах.

8. SLU шийдэл:м үл мэдэгдэх зүйлийг дараа нь хасах арга (Гаусын арга).

Шугаман шугамын системийг салгах үндсэн аргуудын нэгийг авч үзье. үл мэдэгдэхийг дараа нь оруулах аргаар, өөр юу, Гауссын арга. Системийг харна уу(1) мшугаман rivnyan z nневидомими талбай дээгүүр R:(1) .

Систем (1) нь сайн биш бол коэффициентүүдийн аль нэгийг хүсдэг 0 . Іnakshe (1) - () nevіdomimi - tse superechit оюун ухаанаас тэнцүү систем. Эхний тэгшитгэлийн коэффициент нь сайн биш байхын тулд бид тэгшитгэлийг сараар санаж байна 0 . Энэ зэрэглэлд та vvazhati болно, sho. Эхний хэсгийн зөрчилтэй хэсгийг үржүүлж, нөгөө, гурав, ... хоёр дахь хэсэгт нэмнэ. м th тэнцүү. Бид системийн сэтгэлгээг авдаг: , де с- хамгийн бага тоо, тиймээс би эрүүл биш бол коэффициентүүдийн аль нэгийг хүсч байна 0 . Зардлаа өөрчлөх үед нөгөө эгнээнд коэффициент байхын тулд бид саруудын тэгш байдлыг санаж байна 0 , дараа нь. бид юу гэж таамаглаж чадна. Нөгөөтэйгүүрийн доромжилсон хэсгийг үржүүлээд гурав дахь, ..., тэнцүү хэсэгт нэмье. м th тэнцүү. Энэ үйл явцыг үргэлжлүүлэхийн тулд бид системийг харгалзан үзнэ:

1-р теоремын дагуу шугаман тэгшитгэлийн систем сарлаг нь (1) системтэй тэнцүү байна. . Системийг шугаман тэгшилгээний шаталсан систем гэж нэрлэдэг. Хоёр боломж бий: 1) Элементүүдийн аль нэгийг нь хүсэх нь сайн зүйл биш 0 . Жишээлбэл, алив. Шугаман тэгшилгээний системтэй адил энэ нь боломжгүй гэсэн бодолтой адил юм. Tse гэдэг нь системд шийдэл байхгүй, тиймээс (1) системд шийдэл байхгүй (заримдаа (1) нь нийцэхгүй систем байдаг) гэсэн үг юм.

2) Алив, ...,. Тоди энгийн хувиргалт Z) тусламжийн төлөө бид систем - системийг авч хаях rшугаман rivnyan z nүл мэдэгдэх. Ямар ч өөрчлөлт гарсан тохиолдолд тэдгээрийг коэффициент гэж нэрлэдэг толгойн өөрчлөлт(tse), їх нийт r. Инши ( n-r) нэрийг өөрчлөх үнэгүй.

Хоёр боломж бий: 1) Якшчо r=n, дараа нь - трикот харагдах систем. Үүний хувьд хамгийн сүүлчийн тэнцүүгээс өөрчлөлтийг, сүүлчийнх нь өөрчлөлтийг, эхний тэнцүүгээс өөрчлөлтийг мэддэг. Мөн шугаман тэгшилгээний систем, мөн шугаман тэгшилгээний систем (1)-ийн хувьд зөвхөн нэг шийдэл байдаг (заримдаа систем (1) хуваарилагдсан байдаг).

2) Алив r . Энд гол өөрчлөлтүүд нь бүдүүлэг замаар эргэлдэж, шугаман шугамын системийн шийдвэрлэх шийдлийг ялах болно (1). Nadayuyuschie vіlnym zmіnnym sovіlnі znachenya, шугаман шугамын системийн өөр өөр хувийн шийдэл nabuvayut (1) (систем (1) энэ тохиолдолд харагдахгүй байна).