Տեսեք ուժի այդ յոգայի մատրիցը։ Մատրիցներ. Շարժվել մատրիցների վրայով: Մատրիցների վրա գործողությունների գերակայություն. Տես մատրիցան: Մատրիցների ծալման և վիզուալացման գործողություններ

Մատրիցներ. Շարժվել մատրիցների վրայով: Մատրիցների վրա գործողությունների գերակայություն. Տես մատրիցան:

Մատրիցներկարող է կարևոր արժեք լինել կիրառական մաթեմատիկայի մեջ, որը թույլատրվում է գրել զգալի մասի պարզ ձևով մաթեմատիկական մոդելներառարկաներ և գործընթացներ. «Մատրիցա» տերմինը հայտնվել է 1850 թվականին։ Նախկինում մատրիցները գուշակվում էին Հին Չինաստանում, ավելի ուշ՝ արաբ մաթեմատիկոսների մոտ։

Մատրիցա A=Amn m * n կարգը կոչվում է թվերի ուղղագիծ աղյուսակ.

Մատրիցայի տարրեր աիջ,որի համար i=j կոչվում են անկյունագծային i հիմնական անկյունագիծ.

Քառակուսի մատրիցայի համար (m=n) գլխի անկյունագիծը կազմված է a 11, a 22,..., a nn տարրերից:

Ռիվնիստական ​​մատրիցներ.

A=Bպարզապես մատրիցների հերթականությունը Աі Բսակայն, որ a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Շարժվել մատրիցների վրայով:

1. Մատրիցների ավելացում՝ տարր առ տարր գործողություն

2. Դիտման մատրիցներ՝ տարր առ տարր գործողություն

3. Թվերին մատրիցա ավելացնելը տարր առ տարր գործողություն է

4. Բազմակի Ա*Բմատրիցա ըստ կանոնի շարք վերեւում(A մատրիցայի սյունակների թիվը կարող է հավասար լինել B մատրիցի տողերի թվին)

Amk * Bkn = Cmnինչու է մաշկի տարրը հ իջմատրիցներ Cmnավելացնել A մատրիցի i-րդ շարքի և B մատրիցի j-րդ սյունակի այլ տարրերի գումարը, tobto:

Օրինակով ցույց տանք մատրիցների բազմապատկման գործողությունը

5. Հղումներ ոտքերի մոտ

m>1 բջիջ ամսաթիվը. A-ն քառակուսի մատրից է (m=n) tobto: համապատասխան քառակուսի մատրիցների համար

6. Մատրիցային տրանսպոզիցիա A. Փոխանցված մատրիցը նշվում է A T-ով կամ A-ով

Տողերն ու սյունակները հիշատակվում էին առաքելությունների միջոցով

հետույք

Մատրիցների վրա գործողությունների հզորությունը

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Վիդի մատրիցներ

1. Ուղղանկյուն: մі n- բավականին դրական թվեր

2. Քառակուսի: m=n

3. Մատրիցային տող. m=1. Օրինակ, (1 3 5 7) - շատ գործնական առաջադրանքների համար նման մատրիցը կոչվում է վեկտոր

4. Matrix Stovpets: n=1. Օրինակ

5. Անկյունագծային մատրիցա: m=nі a ij = 0, նման i≠j. Օրինակ

6. Միայնակ մատրիցա: m=nі

7. Զրոյական մատրիցա: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Տրիկոտի մատրիցա. վերնագրի անկյունագծի տակ գտնվող բոլոր տարրերը գումարվում են մինչև 0:

9. Սիմետրիկ մատրիցա: m=nі ա իջ = ա ջի(հավասար տարրեր կանգնել գլխի սիմետրիկ անկյունագծերի վրա), ինչպես նաև Ա»=Ա

Օրինակ,

10. Skew matrix: m=nі a ij =-a ji(Այդ պատճառով սիմետրիկ հիմնական անկյունագծերի վրա կան պրոտիլենային տարրեր)։ Նաև գլխի վրա անկյունագծով կանգնած են զրոները (քանի որ հետ i=jՄիգուցե a ii =-a ii)

ես հասկացա Ա»=-Ա

11. Հերմիտյան մատրիցա: m=nі a ii =-ã ii (ã ji- համալիր - ստացվել է մինչև ա ջի, ապա. յակշո A=3+2i, ապա կոմպլեքս - ստացված Ã=3-2i)

Գծային հանրահաշվի ղեկավար. Մատրիցայի հայեցակարգ. Տես մատրիցան: Գործողություններ մատրիցներով. Razv'yazannya առաջադրանքներ մատրիցների վերափոխման համար.

Մաթեմատիկայի տարբեր առաջադրանքների դեպքում մայրը հաճախ աջ է բերվում թվերի աղյուսակներով, որոնք կոչվում են մատրիցներ։ Լրացուցիչ մատրիցների համար ձեռքով վերանայեք գծային հավասարեցումների համակարգը, վերանայեք վեկտորներով հարուստ գործողությունները, վերանայեք համակարգչային գրաֆիկայի տարբեր առաջադրանքները և այլ ինժեներական առաջադրանքներ:

Մատրիցան կոչվում է Թվերի ուղղագիծ աղյուսակ, ինչ վրեժ լուծել շպրատից մ ryadkіv ta deyaka kіlkіst Պստոպցիվ. Թվեր տі Պկոչվում են մատրիցային կարգեր: Միեւնույն ժամանակ տ = Պ,մատրիցը կոչվում է քառակուսի, իսկ թիվը m = n-її ըստ հերթականության։

Մատրիցների ձայնագրման համար Նադալը արգելափակվելու է կամ կրկնակի գագաթներով, կամ կլոր կամարներով.

Աբո

Կարճ մատրիցային արժեքի համար դուք հաճախ կօգտագործեք մեկ մեծ լատինատառ (օրինակ՝ A) կամ խորհրդանիշը || ա իջ ||և երբեմն վարդերի բացատրություններով. ԲԱՅՑ = || ա իջ || = (aij),դե (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n):

Թվեր աիջ,որոնք մտնում են տվյալ մատրիցայի պահեստ, կոչվում են її տարրեր: Պոստում այժառաջին ցուցանիշը і նշանակում է տողի համարը, իսկ մյուս ցուցանիշը ժ- Կայանի համարը. Քառակուսի մատրիցով

(1.1)

ներկայացնել գլխի և կողային անկյունագծերի հասկացությունները: Մատրիցի (1.1) գլխի անկյունագիծը կոչվում է անկյունագիծ ա 11 ա 12 … աննինչն անցնում է մատրիցայի վերին ձախ անկյունից դեպի մատրիցայի ստորին աջ անկյուն: Նույն մատրիցայի կողային անկյունագիծը կոչվում է անկյունագիծ a n 1 a (n -1) 2… a 1 n, sho գնալ ձախ ստորին Կուտից դեպի աջ վերին Կուտ:

Հիմնական գործողությունները մատրիցների վրա ուժային գործողություններն են:

Անցնենք մատրիցների վրա հիմնական գործողությունների սահմանմանը։

Մատրիցների ավելացում.Սումի երկու մատրիցա A = | ա իջ || ,դե і B = | | բ իջ || ,դե (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)մեկ և նույն կարգը տі Պկոչվում է C = մատրիցա || հ իջ || (i = 1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n)հանգիստ կարգը տі Պ,տարրեր հ իջորոնք վերագրվում են բանաձևին

, դե (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.2)

Երկու մատրիցների գումարը հասկանալու համար կատարվում է գրառում Z \u003d A + U.Մատրիցների գումարը ծալելու գործողությունը կոչվում է դրանց ծալում։ Օտժե, նշանակվածի համար.

+ =

Մատրիցների գումարի նշանակումից, ավելի ճիշտ՝ (1.2) բանաձևերից աննկատելի է, որ ծալովի մատրիցների գործողությունը կարող է հզորություն ունենալ, իրական թվերի ծալման գործողությունը և ինքն իրեն.

1) լիազորությունների փոփոխություն. A + B = B + A,

2) լավ ուժով. A + B) + C = A + (B + C):

Tsі իշխանությունները թույլ չեն տալիս dbati լրացուցիչ մատրիցների անցման կարգի մասին երկու կամ ծալելիս ավելի մեծ թիվմատրիցներ.

Մատրիցը թվով բազմապատկելը. Լրացուցիչ մատրիցա A = || ա իջ || , De (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) խոսքում l թիվը կոչվում է մատրիցա. Z = | | հ իջ || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n)տարրեր, որոնք վերագրվում են բանաձևին.

, դե (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.3)

Թվի համար մատրիցայի ստեղծման ճանաչման համար կատարվում է գրառում Z \u003d l Ակամ Z \u003d A l.Թվերին մատրիցայի ստեղծումը գումարելու գործողությունը կոչվում է մատրիցային թվի բազմապատկում։

Բանաձևից (1.3) պարզ է դառնում, որ մատրիցը թվով բազմապատկելը կարող է ունենալ նույն հզորությունը.

1) թվային բազմապատկիչի նման լավ հզորությամբ. (l m) A = l (m A);

2) rozpodіlnoyu իշխանության shkodo գումարի մատրիցներ: l (A + B) = l A + l B;

3) rozpodіlnoyu իշխանության shkodo sumi համարները: (l + m) A = l A + m A

Հարգանք.Մանրածախ երկու մատրիցա ԲԱՅՑі ժամընույն կարգը տі Պբնականաբար անվանել այդպիսի մատրիցա Վհանգիստ կարգը տі Պ, yak u sumі z մատրիցա Բտալիս է A մատրիցը: Երկու մատրիցների միջև տարբերությունը որոշելու համար օգտագործվում է բնական գրառում. W = A - Արվեստ.

Նույնիսկ ավելի հեշտ է շփոթվել տարբեր բաների մեջ Վերկու մատրիցա ԲԱՅՑі ժամըգուցե buti otrimana համար կանոն C \u003d A + (-1) B.

Հեռուստատեսային մատրիցակամ մատրիցային բազմապատկում.

Dobootcom Matrix A = | ա իջ || դե (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) maє պատվերներ, vіdpovіdno հավասար տі n,մատրիցայի վրա B = | | բ իջ || ,դե (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., p), maє պատվերներ, vіdpovіdno հավասար nі Ռ,կոչվում է մատրիցա Z = | | հ իջ || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), scho maє պատվերներ, vіdpovіdno հավասար տі Ռտարրեր, որոնք վերագրվում են բանաձևին.

դե (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

Մատրիցայի ստեղծման իմացության համար ԲԱՅՑմատրիցայի վրա ժամըվիկորիստի ռեկորդ C = A × B. Մատրիցային ծալման գործողություն ԲԱՅՑմատրիցայի վրա ժամըկոչվում է մատրիցների բազմապատկում:

From ձեւակերպված vishche vznachennya viplivaє որ A մատրիցը կարելի է բազմապատկել ոչ թե մատրիցով,դա անհրաժեշտ է, schob շարք մատրիցային սյունակներ ԲԱՅՑավելի շատ, քան մատրիցայի տողերի թիվը Արվեստ.

Բանաձևը (1.4) C մատրիցի տարրերը ծալելու կանոնն է, որը մատրիցայի ստեղծումն է։ ԲԱՅՑմատրիցայի վրա Արվեստ.Այս կանոնը կարող է բանավոր ձևակերպվել. c i j տարրը, որը կանգնած է C = AB մատրիցի i-րդ շարքի և j-րդ սյունակի հատման վրա, ավելացնում է նույն տարրերի զույգ ստեղծման գումարը A մատրիցի i-րդ շարքում և j-րդ սյունակում: մատրիցա B.

Որպես հանձնարարված կանոն սահմանելու օրինակ՝ ներկայացնում ենք տարբեր կարգի քառակուսի մատրիցների բազմապատկման բանաձևը։

× =

Բանաձևերը (1.4) նման ուժ են հաղորդում մատրիցայի ստեղծմանը ԲԱՅՑմատրիցայի վրա AT:

1) լավ հզորություն. (AB) C = A (BC);

2) rozpodіlna schodo sumi մատրիցներ իշխանության:

(A + B) C = AC + BC կամ A (B + C) = AC + AC:

Սնուցում մատրիցայի ստեղծման վրա հզորության փոխակերպման (վերաբնակեցման) մասին Ամատրիցայի վրա ժամըավելի շատ իմաստ սահմանել քառակուսի մատրիցների համար Ա և Բնույն կարգը.

Բերենք կարևոր okremі vpadki մատրիցներ, որոնց համար արդար է և իշխանության փոխակերպումը։ Երկու մատրիցա նրանց ստեղծման համար, ովքեր իրավացիորեն փոխում են իշխանությունը, ընդունված է անվանել փոխադրամիջոց:

Քառակուսի մատրիցների կեսը կարելի է տեսնել որպես անկյունագծային մատրիցների դաս, այս տարրերի մաշկի մեջ գլխի անկյունագծային դիրքի կարումը հավասար է զրոյի։ Մաշկի անկյունագծային մատրիցը ըստ հերթականության Պկարող է նայել

D= (1.5)

դե d1, d2,… , դն-yakі zavgodno համարներ. Բաչիտին հեշտ է, որ թվերն իրար մեջ հավասար են, այսինքն. d1=d2=… = d nապա ցանկացած քառակուսի մատրիցի համար ԲԱՅՑպատվեր Պարդարությունն արդար է A D = D A.

Անկյունագծերի (1.5) մատրիցների կեսը կազմված են տարրերից d1=d2=… = d n = = դՀատկապես կարևոր դեր է խաղում երկու մատրիցա։ Այս մատրիցներից առաջինը դուրս է գալիս ժամը d=1կոչվում է ինքնության մատրիցա n ե.Մեկ այլ մատրիցա մուտքագրելու համար d=0կոչվում է զրոյական մատրիցա nրդ կարգը, այն նշվում է նշանով Օ՜նման կերպ,

E= O=

Վերը նշվածի ուժով A E = E Aі AO = ՊՐՈ Ա.Ավելին, դա հեշտ է ցույց տալ

A E \u003d E A \u003d A, A O \u003d O A \u003d 0: (1.6)

Բանաձևերից առաջինը (1.6) բնութագրում է միայնակ մատրիցայի հատուկ դերը Ե,նման է ձեր դերին, կարծես իրական թվերը բազմապատկելիս խաղում եք 1 թիվը: Ո՞րն է զրոյական մատրիցայի հատուկ դերը Օ,ապա դա ոչ միայն ցույց է տալիս (1.7) բանաձևերի ընկեր, այլև հավասարություն, որը տարրականորեն հակադրվում է.

A+0=0+A=A.

Եզրափակելով, հարգելի է, որ զրոյական մատրիցայի ըմբռնումը կարող է ներկայացվել ոչ քառակուսի մատրիցների համար (զրոն կոչվում է. բե-յակումատրիցա, որի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի):

արգելափակման մատրիցներ

Ասենք, որ Deak մատրիցը A = | ա իջ ||հորիզոնական և ուղղահայաց ուղիղ գծերի օգնությամբ այն բաժանվում է okremі ուղիղ կտրված բջիջների, մաշկը ավելի փոքր չափերի մատրիցով և կոչվում է արտաքին մատրիցայի բլոկ: Նման ժամանակում պատճառը արտաքին մատրիցին նայելու կարողությունն է։ ԲԱՅՑինչպես նոր (այսպես կոչված բլոկ) մատրիցա ԲԱՅՑ = || Ա ա բ ||, որի տարրերը նշանակված են բլոկներ: Տարրերի նշանակումները նշանակվում են լատինատառ մեծ տառով, հեկեկոցով, գարշահոտությամբ, վզագալի թվացյալով, մատրիցներով և ոչ թվերով: բլոկի տող, իսկ մյուսը՝ բլոկային շարքի համարը։

Օրինակ՝ մատրիցա

դուք կարող եք նմանվել բլոկային մատրիցայի

տարրեր, ինչպիսիք են այս բլոկները.

Տարօրինակ է այն փաստը, որ բլոկային մատրիցներով հիմնական գործողությունները հետևում են նույն կանոններին, որոնց հետևում գարշահոտությունը հետևում է ամենակարևոր թվային մատրիցներին, բլոկները խաղում են տարրերի դերը:

Տեսողական հայեցակարգ.

Եկեք նայենք գեղեցիկ քառակուսի մատրիցին, անկախ նրանից, թե ինչ հերթականությամբ P:

A= (1.7)

Նման մաշկի մատրիցով մենք կապում ենք մեկ թվային բնութագիր, ես այն անվանում եմ նշանակիչ, մատրիցայի նշանավոր թիվը:

Ինչպես պատվիրել nմատրիցները (1.7) հավասար են 1-ի, ապա այս մատրիցը կազմված է մեկ տարրից ա i j-ն առաջին կարգի նշանն է, որը համապատասխանում է նման մատրիցին, մենք անվանում ենք տարրի արժեք։

ապա այլ կարգի նշանը, որը ցույց է տալիս նման մատրիցա, կոչվում է ավելի շատ թիվ a 11 a 22 - a 12 a 21և նշվում է նշաններից մեկով.

Հայրիկ, նշանակվածի համար

(1.9)

Բանաձևը (1.9) փոփոխականը միանման մատրիցայի տարրերից հետո այլ կարգով ծալելու կանոն է։ Այս կանոնի բանավոր ձևակերպումը հետևյալն է. այլ կարգի նշան, երկրորդ մատրիցա (1.8), տարրերի ավելի թանկ մանրածախ հավելում, որը պետք է կանգնի մատրիցայի գլխի անկյունագծով, և տարրերի ավելացում, որոնք. պետք է կանգնի երկրորդական անկյունագծով: Մյուս և ավելի բարձր կարգի առաջնորդները լայն զաստոսուվանյա գիտեն գծային գծերի համակարգերի կատարելության ժամին։

Եկեք նայենք, թե ինչպես աչքով անել գործողություններ մատրիցներով MathCad համակարգում . Մատրիցային հանրահաշվի ամենապարզ գործողությունները իրականացվում են MathCad-ի կողմից որպես օպերատորներ: Օպերատորների կուլիսային գրությունը հնարավորինս մոտ է բուն մաթեմատիկական ֆունկցիային։ Մաշկի օպերատորն արտահայտվում է նույն կերպարով։ Եկեք նայենք MathCad 2001-ի մատրիցային և վեկտորային գործողություններին: n x 1,Հետևաբար, բոլոր գործողությունները վավեր են նրանց համար, ինչպես նաև մատրիցների համար, որոնք առանձնապես հագեցած չեն (օրինակ, նման գործողություններ կարող են կատարվել միայն մինչև քառակուսի մատրիցներ): n x n) Yakіs dії թույլատրելի է միայն վեկտորների համար (օրինակ, սկալյար պտույտ), իսկ yakіs, անկախ նույն գրությունից, այլ կերպ վեկտորների և մատրիցների վրա:

Երկխոսության համար նշեք մատրիցայի տողերի և սյունակների քանակը:

q Երբ OK կոճակը սեղմվում է, ցուցադրվում է մատրիցային տարրեր մուտքագրելու դաշտ: Մատրիցային տարր մուտքագրելու համար կուրսորը տեղադրեք դիրքի նշման վրա և ստեղնաշարից մուտքագրեք անգամների թիվը կամ քանակը:

Որպես լրացուցիչ գործիքագոտու գործողություն որպես վիկոնատ օգտագործելու համար անհրաժեշտ է.

q տեսեք մատրիցը և կտտացրեք վահանակի վրա գործող կոճակի վրա,

q կամ սեղմեք վահանակի կոճակը և արժեքի դիրքում մուտքագրեք մատրիցայի անունը:

«Սիմվոլներ» ընտրացանկը ունի երեք գործողություն. փոխադրում, ինվերսիա, օսլիլատոր.

Tse-ն նշանակում է, օրինակ, որ դուք կարող եք հաշվարկել մատրիցայի ինդեքսը՝ մուտքագրելով հրամանը Նշաններ/Մատրիցա/Ստորագրություն.

MathCAD մատրիցայի առաջին տողի (առաջին սյունակի i) համարը վերցված է ORIGIN փոփոխությունից: Ակցիաների համար օրինագիծը կատարվում է զրոյից։ Մաթեմատիկական նշումներում հաճախ ընդունված է պահպանել 1 մուտքի արժեքը: MathCAD-ում մուտքի տողերի և սյունակների թիվը 1 է, անհրաժեշտ է սահմանել ORIGIN:=1 փոփոխության արժեքը:

Գծային հանրահաշիվից ռոբոտներին տրված գործառույթներն ընտրվում են «Տեղադրել ֆունկցիա» երկխոսության «Վեկտորներ և մատրիցներ» բաժնում (ենթադրաբար, այն սեղմվում է «Ստանդարտներ» վահանակի կոճակով): Դրանց հիմնական գործառույթները կներկայացվեն ստորև:

Փոխադրում

Նկ.2 Մատրիցային փոխադրում

MathCAD-ը կարող է ավելացնել մատրիցներ, այնպես որ կարող եք դրանք տեսնել մեկ առ մեկ: Այս օպերատորների համար գծագրվում են նշաններ <+> կամ <-> ակնհայտորեն. Նույն խաղաղության մոր շնորհիվ մատրիցներ, հակառակ դեպքում կտեսնեք հիշեցում ներման մասին։ Մաշկի տարրը երկու մատրիցների գումարն է և մատրիցա-լրացումների մյուս տարրերի գումարը (հետույքը Նկար 3-ում):
Matrix folding, MathCAD-ն աջակցում է սկալյար արժեքով մատրիցա ավելացնելու գործողությանը, tobto: համարը (հետույք նկ. 4): Ստացված մատրիցայի մաշկի տարրը հավասար է ելքային մատրիցայի տարրի և սկալյար արժեքի գումարին:
Բազմապատկման նշանը մուտքագրելու համար անհրաժեշտ է սեղմել ստեղնը zirochka-ով<*>կամ արագացնել գործիքագոտին Մատրիցա (Matrix),սեղմելով կոճակը Կետային արտադրանք (բազմապատկում)(նկ.1): Մատրիցային բազմապատկումը նշվում է հապավումների կետով, ինչպես ցույց է տրված նկ. 6-ի հավելվածում: Մատրիցային բազմապատկիչ խորհրդանիշը կարող է ընտրվել այնպես, ինչպես i սկալյար արտահայտություններում:
Մեկ այլ օրինակ, որը կարելի է բազմապատկել վեկտորով i մատրիցով տողով, այժմ՝ տողերը վեկտորով, ներկայացված է նկ. 7. Մեկ այլ տողում, որի օրինակը ցույց է տալիս, թե ինչպես է երևում բանաձևը, երբ ընտրում եք բազմապատկման օպերատորը Ոչ մի տարածություն (Միասին):Այնուամենայնիվ, նույն բազմապատկման օպերատորը բաժանվում է երկու վեկտորի և այլ կերպ .

Նմանատիպ տեղեկատվություն.

Մատրիցներ. Տես մատրիցան: Գործողություններ մատրիցների և ուժի յոգայի վրա:

n-րդ կարգի նշանակալի մատրիցա։ N, Z, Q, R, C,

m*n կարգի մատրիցը կոչվում է s թվերի ուղղանկյուն աղյուսակ, որը կարող է փոխարինվել m-տողով և n-սյունակով։

Ռիվնիստական ​​մատրիցներ.

Երկու մատրիցա կոչվում են հավասար, քանի որ դրանցից մեկի տողերի և սյունակների թիվը ավելի նման է մյուսի և մյուսի տողերի և սյունակների թվին: էլ-տի ցիխ մատրիցները հավասար.

Նշում. El-ty, yakі կարող են ունենալ նույն ցուցանիշները, є vіdpovіdnimi:

Տես մատրիցա.

Քառակուսի մատրիցա. մատրիցը կոչվում է քառակուսի, քանի որ տողերի թիվը հավասար է սյունակների թվին:

Ուղղանկյուն. մատրիցը կոչվում է ուղղանկյուն, քանի որ տողերի թիվը հավասար չէ սյունակների թվին:

Տողերի մատրիցա. 1 * n (m = 1) մատրիցը կարող է նմանվել a11, a12, a13 և կոչվում է տողերի մատրիցա:

Մատրիցային վառարաններ՝………….

Անկյունագիծ. քառակուսի մատրիցայի անկյունագիծը, որն անցնում է վերին ձախ կուտից դեպի ներքևի աջ կուտա, որը ձևավորվում է a11, a22 ... տարրերով, կոչվում է գլխի անկյունագիծ: (սահմանումը. քառակուսի մատրիցա բոլոր տարրերով, որոնք գումարվում են զրոյի, կրեմը հանգիստ է, որը փռված է գլխի անկյունագծով, կոչվում է անկյունագծային մատրիցա։

Միայնակ. անկյունագծային մատրիցը կոչվում է միայնակ, քանի որ բոլոր տարրերը տեղադրվում են գլխի անկյունագծով և ավելացնում են 1:

Վերին տրիկոտաժ՝ A = | | aij | | կոչվում է վերին տրիկոտի մատրիցա, ուստի aij=0: Մտածեք i>j.

Ստորին տրիկոտաժ՝ aij=0: ես

Զրո՝ ce matrix El-ty որպես լավ 0:

Գործողություններ մատրիցների վրա.

1. Տրանսպոզիցիա.

2. Մատրիցայի բազմապատկումը թվով:

3. Ծալովի մատրիցներ.

4. Մատրիցների բազմապատկում.

Հիմնական sv-va podії մատրիցների վրա:

1.A+B=B+A (փոխադարձություն)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (ասոցիատիվություն)

3.a(A+B)=aA+aB (բաշխվածություն)

4.(a+b)A=aA+bA (դիստրիբյուտոր)

5.(աբ)Ա=ա(բԱ)=բ(աԱ) (ասոոց.)

6.AB≠BA (օրը ում):

7.A(BC)=(AB)C (ասոց.) Virobiv մատրիցները հաղթական են:

8.A(B+C)=AB+AC (դիստրիբյուտոր)

(B+C)A=BA+CA (դիստրիբյուտոր)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Քառակուսի մատրիցայի նշանը ուժի այդ յոգայի նշանակությունն է: Vyznachnik-ի դասավորությունը շարքերում և շարքերում: Թեկնածուների հաշվարկման ուղիները.

Եթե ​​մատրիցն ունի m>1 կարգ, ապա այս մատրիցի նշանը թիվ է:

Հանրահաշվական գումարումներ Aij el-ta aij մատրիցը A կոչվում է փոքր Mij, բազմապատկվում է թվով

ԹԵՈՐԵՄ 1. Նշանակալից մատրիցը A-ն բավարար շարքի (ստովպցյա) բոլոր տարրերի ստեղծագործությունների լավ գումարն է՝ իրենց հանրահաշվական հավելումներով:

Նշանակվողների հիմնական լիազորությունները.

1. Մատրիցային նշանակիչը չի փոխվում փոխադրման ժամին:

2. Երկու տող վերադասավորելիս (ստովպցիվ) նշանը փոխում է նշանը, բայց յոգոյի բացարձակ արժեքը չի փոխվում։

3. Նշանակալից մատրիցա, որը կարող է ունենալ 0-ի հավասար երկու նույնական տողեր:

4. Մատրիցայի տողը (stovptsya) її թվով բազմապատկելիս նշանը բազմապատկվում է ամբողջ թվով։

5. Եթե մատրիցայի տողերից մեկը (ստոփթ) գումարվում է 0-ին, ապա մատրիցայի շարքի ինդեքսը հավասար է 0-ի:

6. Թեև մատրիցայի i-րդ շարքի (stowptsya) բոլոր տարրերը ներկայացված են երկու լրացուցիչ մատրիցների գումարի տեսադաշտում, ապա նույն նշանը կարող է ներկայացվել երկուսի գումարի գումարի տեսքով. մատրիցներ.

7. Նշանակվողը չի փոխվում, որպեսզի մի սյունակի (տողի) տարրերին ավելացվի մյուս սյունակի (տողի) հետագա տարրը բազմակի դիմաց: նույն թվի համար:

8. Առաջնորդի հաջորդ սյունակի (տողի) ամենակարևոր տարրերի գումարը հաջորդ սյունակի (տողի) տարրերի հանրահաշվի վերևում հավասար է 0-ի:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Հիմնական գումարի հաշվարկման մեթոդներ.

1. Չի սահմանման համար թեորեմ 1-ով:

2. Տրիկոյի տեսքի բերված:

Շրջադարձային մատրիցայի այդ հզորության նշանակությունը. Շրջանառության մատրիցայի հաշվարկ: Մատրիցային հավասարեցում.

Նշում. n կարգի քառակուսի մատրիցը կոչվում է մատրիցայի առանցք և նույն կարգով նշանակվում է i

Որպեսզի A մատրիցը հիմնված լինի հակադարձ մատրիցի վրա, անհրաժեշտ և բավարար է, որ A մատրիցի ծագումը լինի 0:

Առանցքային մատրիցայի գերակայությունը.

1. Միասնություն՝ A մատրիցի համար її շրջելի՝ միասնություն։

2. մատրիցային նշանակում

3. Տրանսպոզիցիան վերցնելու և պտույտի մատրիցը վերցնելու գործողությունը:

Մատրիցային հավասարեցում.

Թող A և B լինեն նույն կարգի երկու քառակուսի մատրիցներ:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Հասկանալով մատրիցային սյունակների գծայինությունը և անկախությունը: Գծային մոլորության գերակայությունը և գործընկերների համակարգի գծային անկախությունը:

Stovptsі A1, A2 ... An-ը կոչվում են գծային ֆլյուլ, քանի որ դա տրիվիալ գծային համակցություն չէ, որն ավելի մոտ է 0-րդ սյունակին:

A1, A2 ... An սյունակները կոչվում են գծային անկախ, քանի որ դրանք տրիվիալ գծային համակցություն չեն, որը հավասար է 0-րդ սյունակին:

Գծային համակցությունը կոչվում է տրիվիալ, քանի որ բոլոր С(l) գործակիցները հավասար են 0-ի և այլ կերպ տրիվիալ չեն:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2. որպեսզի սյուները գծային անկման լինեն, դա անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի դրանք լինեն այլ սյուների գծային համակցություն։

Սյունակներից 1-ը բերեք այլ սյունակների գծային համադրությամբ:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" գծային ֆայլ, ապա բոլոր սյունակները գծային են:

4. Ինչպես որ քնաբերների համակարգը գծային անկախ է, այնպես էլ ենթահամակարգն ինքնին գծային անկախ է:

(Այն, ինչ ասվում է ստովպցիվի մասին, ճիշտ է նաև շարքերի համար)։

Փոքր մատրիցներ. Հիմնական անչափահաս. Մատրիցային աստիճան. Մեթոդը շրջանակված է անչափահասների կողմից մատրիցայի աստիճանի հաշվարկում:

A մատրիցի կարգի մինորը տողերի և A մատրիցի սյունակների վրա որոշակի տեսակավորման տարրի նշանն է:

Եթե ​​բոլոր անչափահասները A = 0 մատրիցի րդ կարգի են, ապա կա արդյոք մինչև +1 կամ նույնիսկ 0 կարգի մինոր:

Հիմնական անչափահաս.

Ա մատրիցի աստիճանը բազային մինորի կարգն է։

Անչափահասների շրջանակի մեթոդ. - Մենք ընտրում ենք A մատրիցի ոչ զրոյական տարր (եթե այդպիսի տարր չկա, ապա դասակարգումը A = 0)

Այն շրջանակված է առջևի 1-ին կարգի անչափահասով 2-րդ կարգի անչափահասով: (Եթե այս մինորը հավասար չէ 0-ի, ապա աստիճանը >=2 է) Եթե առաջին մինորի աստիճանը 0 է, ապա 1-ին կարգի մինորի թրթռումները շրջանակվում են 2-րդ կարգի այլ փոքրերի կողմից: (Եթե 2-րդ կարգի բոլոր անչափահասները = 0, ապա մատրիցայի աստիճանը = 1):

Մատրիցային դասակարգում. Մատրիցայի աստիճանի որոշման մեթոդներ.

Ա մատրիցի դասակարգումը բազային մինորի կարգն է:

Հաշվարկման մեթոդներ.

1) Մինորների սահմանազատման մեթոդը. - Ընտրեք A մատրիցի ոչ զրոյական տարր (եթե այդպիսի տարր չկա, ապա դասակարգում = 0) - 1-ին կարգի մինորը 2-րդ կարգի մինորով ուղղեք առաջ: gif" width="40" >r+1 Mr +1=0.

2) Մատրիցը փուլային տեսքի բերելը. այս մեթոդը հիմնված է տարրական փոխակերպումների վրա: Տարրական փոխակերպումների դեպքում մատրիցայի աստիճանը փոխվում է:

Հետևյալ փոխակերպումները կոչվում են տարրական փոխակերպումներ.

Երկու տողերի փոխարկում (ստովպցիվ):

Deyago stovptsya (շարքեր) թվի բոլոր տարրերի բազմապատկումը =0 չէ:

Հաջորդ շարքի (տողի) տարրերի լրացում հաջորդ շարքի (տողի) տարրերի, առաջ բազմապատկված նույն թվով:

Հիմնական մինորի մասին թեորեմը. Այդ բավարար բանականությունն անհրաժեշտ է նշանակիչի զրոյի հավասարության համար։

A մատրիցի հիմնական մինորը գերիշխող տեսքի 0-ի ամենամեծ նախա-րդ կարգի մինորն է:

Հիմնական փոքր թեորեմ.

Հիմնական շարքերը (վառարանները) գծային անկախ են: Արդյոք A մատրիցի տողը (stovpets) հիմնական տողերի գծային համակցություն է (stovptsiv):

Այն տողերը և սյուները, որոնց ցանցաթաղանթի վրա կանգնած է հիմնական փոքրը, հիմնականում կոչվում են հիմնական տողեր և սյունակներ:

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ակ1 ակ2…..ակր ակջ

Նշանակողի զրոյին հավասար լինելու համար անհրաժեշտ և բավարար միտք.

Այդ նպատակով n-րդ կարգի առաջատարը = 0, դա անհրաժեշտ և բավարար է, որպեսզի տողերը (ստուպները) լինեն գծային:

Գծային գծերի համակարգերը, դրանց դասակարգումը և գրանցման ձևը: Կրամերի կանոն.

Եկեք նայենք նևիդոմիմի եռյակից 3 գծային գծերի համակարգին.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image048" width="64" height="38 id=">!}!}

կոչվում է համակարգի արբիտր:

Առաջիկա շարքում մենք ավելացնում ենք ևս երեք առաջատար. մենք հաջորդականությամբ փոխարինում ենք D-ին ազատ անդամների սյունի սյուների 1-ին, 2-րդ և 3-րդ հաջորդականությամբ:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image052" width="93" height="22 id=">!}!}

Բերելով. Ավելի ուշ, եկեք դիտարկենք 3 հավասարների համակարգը nevіdomimi-ի եռյակից: Համակարգի 1-ին հավասարեցումը բազմապատկում ենք a11 տարրի A11 հանրահաշվի ավելացմամբ, 2-րդ հավասարեցումը A21-ով և 3-րդը՝ A31-ով.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image056" width="247" height="31 id=">!}!}

Եկեք նայենք կապանքի մաշկին և tsy-ի հավասար հատվածին: 1-ին սյունակի տարրերի համար արբիտրի դասավորության մասին թեորեմի համաձայն

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image060" width="324" height="42 id=">!}!}

Նմանապես, կարելի է ցույց տալ, որ i .

Նարեշտին չի մտածում դա հիշել

Otzhe, otrimuemo խանդը:

Հայր,.

Նմանապես, ցույց են տրված թեորեմի համարժեքությունը և աստղերը և ամրացումը:

Գծային գծերի համակարգեր. Ումովի գծային ռիվնյանի գումարումը. Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմը.

Հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծումը կոչվում է C1,C2,C3……Cn n թվերի այնպիսի բազմություն, քանի որ y-ը հիմնավորելիս համակարգը գտնվում է x1,x2,x3…..xn տարածության վրա։

Հանրահաշվի գծային հավասարեցումների համակարգը կոչվում է համատեղ համակարգ, կարծես այն չի կարող ունենալ մեկ լուծում։

Պառակտված համակարգը կոչվում է երգեցողություն, քանի որ կա միայն մեկ լուծում, և այն անտեսանելի է, քանի որ կա անանձնական լուծում:

Լվացեք գծային հանրահաշվական գծերի համակարգերի գումարումը:

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

ԹԵՈՐԵՄ. Որպեսզի m գծային հավասարումների համակարգը n-ի հետ անփոփոխ համահունչ լինի, դա անհրաժեշտ և բավարար է, որպեսզի ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը բարձրացվի մինչև A մատրիցի աստիճանը:

Նշում. Այս թեորեմը տալիս է ավելի քան չափանիշ լուծման հիմքի համար, բայց չի նշում լուծում փնտրելու մեթոդը:

10 սնունդ.

Գծային գծերի համակարգեր. Հիմնական մինորի մեթոդը գծային հավասարեցման համակարգերի բոլոր լուծումներն ուսումնասիրելու վայրի եղանակ է:

A=a21 a22…..a2n

Հիմնական փոքր մեթոդ.

Թող համակարգը լինի spilna, որ RgA=RgA'=r: Տվեք A մատրիցի վերին ձախ անկյունում գտնվող մակագրությունների հիմնական մինորը:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">......gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Եթե ​​հիմնական մատրիցի և վերլուծվածի աստիճանը r=n է, ապա այս դեպքում dj=bj і համակարգն ունի միայն մեկ լուծում։

Գծային գծերի միասնական համակարգեր:

Հանրահաշվի գծային հավասարումների համակարգը կոչվում է միատարր, քանի որ նրա բոլոր ազատ անդամները հավասար են զրոյի։

AX=0 – միատարր համակարգ.

AX \u003d B-ն տարասեռ համակարգ է:

Միատարր համակարգեր յուրաքանչյուր ննջասենյակի համար:

X1 = x2 = .. = xn = 0

Թեորեմ 1.

Միատարր համակարգերը կարող են ունենալ տարասեռ լուծումներ, եթե համակարգի մատրիցայի աստիճանը փոքր է ոչ միատարրերի թվից։

Թեորեմ 2.

n-գծային հավասարումների համասեռ համակարգ n-անավարտ maє զրոյական լուծումներով, եթե A մատրիցի նշանը հավասար է զրոյի։ (detA=0)

Ուժը rozvyazkіv odnorodnyh համակարգերի.

Լինի դա միատարր համակարգի լուծման և համակարգի լուծումների գծային համակցություն:

α1C1 + α2C2; α1 և α2 իրական թվեր են։

A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(AC1) + α2(AC2) = 0, այսինքն. k (A C1) = 0; (AC2) = 0

Տարասեռ համակարգի համար իշխանության տեղ չկա.

Հիմնարար լուծման համակարգ.

Թեորեմ 3.

Քանի որ մատրիցային համակարգի աստիճանը հավասար է n-անկախ dorivnyu r-ին, այս համակարգը կարող է ունենալ n-r գծային անկախ լուծումներ:

Թողեք հիմնական մինորը վերին ձախ անկյունում: Յակշչո ռ< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1, 1.0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

n-անկախ r շարքերով գծային հավասարումների համասեռ համակարգի n-r գծային անկախ լուծումների համակարգը կոչվում է լուծումների հիմնարար համակարգ։

Թեորեմ 4.

Գծային հավասարեցումների համակարգի լուծումը հիմնարար համակարգի լուծման գծային համակցություն է:

С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

Յակշչո ռ

12 սնունդ.

Zagalne rozvyazannya տարասեռ համակարգ.

Sleep (zag. ոչ համազգեստ.) \u003d Coo + Mid (մասնավոր)

AX = B (տարասեռ համակարգ); AX = 0

(ASoo) + ASch = ASch = B, ուստի (ACoo) = 0

Քուն = α1C1 + α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Sch

Գաուսի մեթոդ.

Անհայտի վերջին խաղողի (փոփոխվող) եղանակը՝ նրանց մոտ, ովքեր տարրական փոխակերպումների օգնությամբ հավասար համակարգը բերվում է աստիճանական տեսքի հավասար համակարգի, որից սկսած մնացած փոփոխություններից. իմանալ փոփոխությունները.

Թողեք a ≠ 0 (եթե այդպես չէ, ապա հավասարների փոխակերպմամբ կռահում են, թե որն է):

1) ներառյալ x1-ը մյուսից փոխելը, երրորդ ... n-րդ աստիճանը, առաջին աստիճանը բազմապատկելով երկրորդ թվով և արդյունքները ավելացնելով 2-րդ, 3-րդ ... n-րդ աստիճանին, ապա վերցնում ենք.

Մենք նույնքան ուժեղ ենք համարում համակարգը:

2) անջատել փոփոխությունը x2

3) անջատել x3 փոփոխությունը և այլն:

Շարունակելով փոխարինման x4-ի հետագա անջատման գործընթացը. x5 ... xr-1-ը վերցված է (r-1) բերքի համար:

Մնացած n-r զրոյի թիվը հավասարում նշանակում է, թե ինչ տեսք ունի դրա ձախ մասը՝ 0x1 +0x2+..+0xn

Եթե ​​vr+1, vr+2 թվերից մեկը չի ցանկանում հավասար լինել զրոյի, ապա հավասարությունը գերհավասար է, իսկ (1) համակարգը՝ համահունչ: Այս հերթականությամբ, be-նման համահունչ համակարգի համար vr+1 … vm հավասար է զրոյի:

Մնացած n-r-ը (1; r-1) համակարգում հավասար է є նույնությամբ և չի կարող հարգվել:

Երկու հնարավորություն կա.

ա) համակարգի հավասարների թիվը (1; r-1) հավասար է անհայտների թվին, ուստի r = n (համակարգն այս դեպքում բարդ է թվում):

բ) r

Անցումը (1) համակարգից հավասար համակարգին (1; r-1) կոչվում է ուղիղ քայլ դեպի Գաուսի մեթոդ։

Համակարգից փոփոխությունը փոխելու մասին (1; r-1) - շրջադարձային կետ Գաուսի մեթոդին:

Գաուսի փոխակերպումն իրականացվում է ձեռքով, դրանք կառուցելով ոչ թե հավասարներով, այլ դրանց գործակիցների ընդլայնված մատրիցով։

13 սնունդ.

Նմանատիպ մատրիցներ.

Դիտարկենք միայն կարգի քառակուսի մատրիցները n/

A մատրիցը կոչվում է համանման մատրից (A~B), քանի որ կա այնպիսի ոչ եզակի S մատրից, որ A=S-1BS:

Նման մատրիցների հզորությունը:

1) A մատրիցը նման է իրեն: (A~A)

Ինչպես S=E, այնպես էլ EAE=E-1AE=A

2) Եթե A ~ B, ապա B ~ A

Yakscho A = S-1BS => SAS-1 = (SS-1) B (SS-1) = B

3) Եթե A~B և մեկ ժամ B~C, ապա A~C

Հաշվի առնելով, որ A=S1-1BS1 և B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, de S3 = S2S1

4) Նմանատիպ մատրիցների նշանակիչները հավասար են:

Տրված է, որ A ~ B, պահանջվում է բերել այդ detA=detB։

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (շուտով) = detB։

5) Նմանատիպ մատրիցների շարքերը փոխվում են.

Vlasnі vektori i vlasnі մատրիցների արժեքները:

λ թիվը կոչվում է A մատրիցի տրված արժեք, քանի որ այն ոչ զրոյական X վեկտոր է (մատրիցի սյունակ) այնպիսին, որ AX = λ X, X վեկտորը կոչվում է A մատրիցի տրված վեկտոր, իսկ համակցությունը. բոլոր արժեքները կոչվում են A մատրիցի սպեկտր:

Հզոր վեկտորների ուժը.

1) Հզորության վեկտորը բազմապատկելիս հզորության վեկտորից թիվը հանվում է նույն հզորության արժեքներից.

AX = λ X; Х≠0

α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) \u003d \u003d λ (α X)

2) Խոնավ վեկտորները զույգ-տարբեր խոնավ արժեքներով գծային անկախ են λ1, λ2,.. λk:

Թող համակարգը կազմված լինի մեկ վեկտորից, այն դարձնենք ինդուկտիվ.

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - բազմապատկել Ա-ով:

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn = 0

С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. + Сn λn Хn = 0

Բազմապատկեք λn+1-ով և տեսեք

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn + Cn +1 Xn +1 = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Պահանջվող schob С1 = С2 = ... = Сn = 0

Cn+1 Xn+1 λn+1 =0

Հատկանշական հավասար:

A-λE-ն կոչվում է A մատրիցի բնորոշ մատրիցա:

Որպեսզի ոչ զրոյական X վեկտորը լինի A մատրիցի ազատ վեկտորը, անհրաժեշտ է համապատասխանել ազատ արժեքին, որպեսզի ոչ զրոյական X վեկտորը լինի գծային-հանրահաշվական հավասարումների միատարր համակարգի լուծում (A. - λE)X = 0

Համակարգի ոչ տրիվիալ լուծումը կարող է լինել, եթե det (A - XE) = 0 - այն բնութագրականորեն հավասար է:

Հաստատակամություն։

Նման մատրիցների բնութագրերը տարբեր են:

det(S-1AS - λΕ) = det(S-1AS - λ S-1ЕS) = det(S-1 (A - λΕ)S) = det S-1 det(A - λΕ) detS= det(A - lE)

Հատկանշական հարուստ անդամ.

det(A – λΕ) - λ պարամետրի ֆունկցիա

det(A – λΕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Այս բազմանդամը կոչվում է A մատրիցի բնորոշ բազմանդամ։

Վերջին:

1) Որպես A~B մատրիցներ, ապա դրանց անկյունագծային տարրերի գումարը մեծանում է:

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2) Կան նմանատիպ մատրիցների շատ հզոր արժեքներ:

Յակշո բնորոշ հավասարեցում matrices zbіgayutsya, ապա գարշահոտություն neobov'yazkovo podіbnі:

Ա մատրիցայի համար

B մատրիցի համար

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

Որպեսզի A մատրիցը անկյունագծվի n-ի կարգով, անհրաժեշտ է, որ օգտագործվեն A մատրիցի գծային անկախ ալիքային վեկտորները:

Հետևանք.

Չնայած A մատրիցի բոլոր արժեքները տարբեր են, այն անկյունագծված է:

Հզորության վեկտորների և հզորության արժեքների իմացության ալգորիթմ:

1) ծալովի բնութագրական հավասար

2) գիտենք rіvnyan արմատը

3) մենք ավելացնում ենք ձեր վեկտորի հանձնարարության հավասարեցման համակարգ:

λi (A-λi E)X = 0

4) մենք գիտենք հիմնարար լուծման համակարգը

x1,x2..xn-r, de r - բնութագրական մատրիցայի աստիճան:

r = Rg (A - λi E)

5) հզորության վեկտորը, λi հզորության արժեքները գրանցվում են տեսադաշտում.

X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, de C12 + C22 + ... C2n ≠ 0

6) ստուգեք, թե արդյոք մատրիցը կարող է կրճատվել անկյունագծով:

7) մենք գիտենք Ագ

Ag=S-1AS S=

15 սնունդ.

Ուղիղ գծի, քառակուսու, տարածության հիմքը:

http://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif» Վեկտորի մոդուլը հավասար է զրոյի, նույնիսկ եթե վեկտորը զրո է։

4. Orth վեկտոր.

Այս վեկտորի ուղղաձիգը կոչվում է վեկտոր, որը, սակայն, ուղղորդվում է այս վեկտորով և կարող է ունենալ մոդուլ, որն ամենատարածված միավորն է:

Rivnі vectori mayut rіvnі orti.

5. Կտրեք երկու վեկտորների միջեւ:

Տարածքի փոքր մասը շրջապատված է երկու փոխադարձ կապերով, որոնք գալիս են նույն կետից և ուղղվում են նույն վեկտորներով:

Վեկտորային պահեստավորում. Վեկտորը թվով բազմապատկելը.

1) երկու վեկտորի գումարում

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) Վեկտորի բազմապատկումը սկալյարով.

Նոր վեկտորը, որը կարելի է անվանել այդ սկալարի ենթավեկտորը, հետևյալն է.

ա) = վեկտորի բազմապատկման մոդուլի ավելացում սկալարի բացարձակ արժեքով:

բ) ուղղակիորեն միաժամանակ բազմապատկված վեկտորի հետ, կարծես սկալարը դրական է, i որպես հակառակը, կարծես սկալարը բացասական է:

λ a(վեկտոր)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Վեկտորների վրա գծային գործողությունների հզորությունը:

1. Հաղորդակցականության օրենք.

2. Ասոցիատիվության օրենքը.

3. Զրո գումարելով:

a(վեկտոր)+ō= a(վեկտոր)

4. Պահպանում անկողնային պարագաներով:

5. (αβ) = α(β) = β(ա)

6; 7. Բաշխվածության օրենք.

Վիրազ վեկտորը Yogo մոդուլի միջոցով i ort.

Գծային անկախ վեկտորների առավելագույն թիվը կոչվում է հիմք:

Գծի վրա հիմք է հանդիսանում ցանկացած վեկտոր:

Ինքնաթիռի վրա հիմք են հանդիսանում երկու ոչ օրացուցային վեկտորները։

Տիեզերքի հիմքը երեք ոչ համահունչ վեկտորների համակարգն է։

Վեկտորի դասավորության գործակիցը փաստացի հիմքով կոչվում է տվյալ հիմքում վեկտորի բաղադրիչներ կամ կոորդինատներ։

Վիկոնատին սկալյարով ծալելու և բազմապատկելու պատճառով, հետևաբար, արդյո՞ք կան մի շարք այդպիսի դիետիկներ.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> կոչվում են գծային ֆոլ, քանի որ կա ոչ տրիվիալ գծային համակցություն, որն է լավը:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> կոչվում են գծից անկախ, քանի որ չկա ոչ տրիվիալ տողերի համակցություն:

Գծային ընկած և անկախ վեկտորների գերակայություն.

1) զրոյական վեկտորը փոխարինող վեկտորների համակարգը գծային է:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> կլինի գծային ֆլյուլ, անհրաժեշտ է, որ վեկտորը լինի այլ վեկտորների գծային համակցություն:

3) որպես վեկտորի մաս համակարգում a1(վեկտոր), a2(վեկտոր) ... ak(վեկտորը) գծային-դեպոզիտ է, ապա բոլոր վեկտորները գծային-դեպոզիտ են:

4) ինչպես բոլոր վեկտորները:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Գծային գործողություններ կոորդինատներում:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src=">

Սկալարի ստեղծման ուժը.

1. Փոխադարձություն

3. (a;b)=0, զույգ և միայն մեկ անգամ, եթե վեկտորները ուղղանկյուն են, կամ եթե վեկտորներից են, ապա քիչ թե շատ 0 են։

4. Բաշխվածություն (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Վիրազ a և b սկալյար ստեղծումը їх կոորդինատների միջոցով

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

Երբ vykonannі լվանալ (), h, l = 1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> և կոչվում է երրորդ վեկտորը, որը գոհ է գալիք հավասարությունից.

3. - իրավունքներ

Վեկտորային ստեղծագործության ուժը.

4. Վեկտոր vitvirկոորդինատային օրթ

Օրթոնորմալ հիմք:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Հաճախ օրթոնորմալ հիմքը որոշելու համար օգտագործվում է 3 նշան

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Յակշոն օրթոնորմալ հիմք է, ուրեմն

https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- ուղիղ գծի հավասարեցում զուգահեռ առանցքՕհ

2) - ՕՀ-ի առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծի հավասարեցում

2. 2 ուղիղ գծերի փոխադարձ ընդլայնում.

Թեորեմ 1

Ա) Թոդին բավականաչափ միտք է անհրաժեշտ, եթե գարշահոտը մի հայացքով երանգավորվում է.

Բ) Դա անհրաժեշտ է և բավարար այն բանի համար, որն ուղղակիորեն զուգահեռ է մտքին.

Բ) Ինչ որ անհրաժեշտ է բավականաչափ մտավորնա, ով ուղղակիորեն զայրացած է մեկ մտքում.

3. Կետից անցեք ուղիղ գիծ:

Թեորեմ. Դեկարտյան կոորդինատային համակարգով անցեք կետից ուղիղ գիծ.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Կտրեք երկու ուղիղ գծերի միջեւ: Լվացքի ուղղահայացություն:

Թող 2 առաջադրանքներ ուղղեն մեծ մակարդակներով դեկարտյան կոորդինատային համակարգին:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Yakscho, ապա ուղիղ գծերը ուղղահայաց են:

24 սնունդ.

Տարածքի մոտ գտնվող տարածքը. Ումովի վեկտորի և հարթության բարդությունը: Vіdstan vіd մատնանշում է ինքնաթիռը: Ումովի զուգահեռությունը և երկու հարթությունների ուղղահայացությունը:

1. Վեկտորի և հարթության Ումովի կոմպլեմենտարությունը:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Առանց'яний4.jpg" width="111" height="39">!}!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Առանց'яний5.jpg" width="88" height="57">!} !}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Կուտ միժ 2 բն. Լվացքի ուղղահայացություն:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Յակշչո, ապա հարթությունները ուղղահայաց են:

25 սնունդ.

Ուղիղ գիծ տարածության մեջ. Տարբեր կերպով տեսեք ուղիղ գծերի հավասարեցումը բաց տարածության մեջ:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Տիեզերքում ուղիղ դասավորվածության վեկտորը:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Կանոնական հավասարությունուղիղ.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Առանց'яний3.jpg" width="56" height="51">!}!}

Հարգանքներով, մատրիցայի տարրերը կարող են լինել ոչ ավելի, քան թիվ: Տեղեկացրու, որ դու նկարագրում ես գրքերը, ինչպես կանգնել քո գրքի ոստիկանի վրա։ Թող ոստիկանները կարգուկանոն պահպանեն, և բոլոր գրքերը կանգնեն երգի վայրերում։ Աղյուսակը, որպես ձեր գրադարանի պատշաճ նկարագրություն (ոստիկանության կողմից և ոստիկանության վերաբերյալ գրքերի հետևում), նույնպես կլինի մատրիցա: Ալե, նման մատրիցը թվային չի լինի: Երկրորդ օրինակ. Թվերի փոխարեն տարբեր գործառույթներ են կանգնած, որոնք իրար մեջ ուտում են մի տեսակ ձագուկ: Օտրիմանի աղյուսակը կոչվում է նաև մատրիցա։ Այլ կերպ ասած, Matrix-ը, այսպես ասած, ուղղանկյուն սեղան է՝ ծալված համանմանտարրեր. Այստեղ և հետագայում մենք խոսում ենք թվերից ծալված մատրիցների մասին:

Մատրիցները ձայնագրելու համար փոխարինեք կլոր թևերը՝ տեղադրելով քառակուսի թեւեր կամ ուղիղ ուղղահայաց գծեր:

(2.1*)

Նշանակում 2. Վիրազիի նման(1) m = n, հետո խոսեք քառակուսի մատրիցա, բայց յակշո , ապա մոտ ուղղանկյուն.

m-ի և n-ի արժեքները բաժանված են մատրիցների հատուկ տեսակների.

Ամենակարևոր հատկանիշը քառակուսիմատրիցներ є її vyznachnikկամ որոշիչ, Ինչ է գոյանում մատրիցայի տարրերից և նշվում

Ակնհայտ է, որ D E = 1; .

Նշանակում 3. Յակշո , ապա մատրիցըԱ կանչեց ոչ կույս կամ ոչ հատկապես.

Նշանակում 4. Յակշո detA = 0, ապա մատրիցըԱ կանչեց վիրուսածին կամ հատկապես.

Նշանակում 5. Երկու մատրիցաԱ іԲ կանչեց հավասար նա գրում է A=B կարծես գարշահոտը նույնն է, տարբերությունները և կենսունակ տարրերը հավասար են,.

Օրինակ, մատրիցներ և հավասարներ, քանի որ գարշահոտն ավելի մոտ է աշխարհին, և մի մատրիցայի մաշկի տարրը ավելի մոտ է մեկ այլ մատրիցայի համանման տարրին: Իսկ i մատրիցի առանցքը չի կարելի անվանել հավասար, չնայած երկու մատրիցների որոշիչները հավասար են, և մատրիցները նույնն են, բայց ոչ բոլոր այն տարրերը, որոնք կանգնած են նույն հավասար կետերի վրա: Մատրիցները տարբեր են, որպեսզի այլ աշխարհ հնարավոր լինի: Առաջին մատրիցը 2x3 ​​է, իսկ մյուսը՝ 3x2: Չնայած տարրերի թիվը նույնն է՝ 6, իսկ տարրերն իրենք նույնն են՝ 1, 2, 3, 4, 5, 6, ալե հոտ է գալիս մաշկի մատրիցին մոտ տարբեր տեղերում կանգնելու համար: Իսկ մատրիցայի առանցքը առաջընթաց է, zgіdno z vznachennyam 5:

Նշանակում 6. Ինչպես շտկել մատրիցայի շղարշըԱ և այդպիսին է նրա տողերի թիվը, նույն տարրերը, որոնք կանգնած են սյուների և տողերի նշանակման ցանցաթաղանթի վրա՝ ստեղծելու քառակուսի մատրիցա n- րդ կարգը, դրա նախակարապետը կանչեց անչափահաս k- մատրիցային կարգըԱ.

հետույք. Գրեք երեք անչափահասներ մատրիցայի տարբեր հերթականությամբ

Նշանակում.Մատրիցա rozmіru m'n, de m-տողերի թիվը, n-սյունակների թիվը, թվերի աղյուսակը կոչվում է, դասավորված նույն հերթականությամբ: Qi թվերը կոչվում են մատրիցային տարրեր: Մաշկի տարրի տարածքը միանշանակորեն որոշվում է շարքի և սպաթուլայի թվով, որի ցանցաթաղանթի վրա երակներ են հայտնաբերվել: Մատրիցայի տարրերին վերագրվում է ij, որտեղ i-ն տողի համարն է, իսկ j-ը տողի համարն է:

Հիմնական ստորաբաժանումներ մատրիցների վրա:

Մատրիցը կարելի է ծալել մեկ շարքով և մեկ սյունակով: Հիշեք, որ մատրիցը կարող է ծալվել մեկ տարրից:

Նշանակում. Եթե ​​մատրիցայի սյունակների թիվը հավասար է տողերի թվին (m=n), ապա մատրիցը կոչվում է. քառակուսի.

Նշանակում. Յակշո = , ապա մատրիցը կոչվում է սիմետրիկ.

հետույք.- սիմետրիկ մատրիցա

Նշանակում. Քառակուսի մատրիցը կոչվում է անկյունագծայինմատրիցա.

Նշանակում. Անկյունագծային մատրիցա, որի գլխի վրա մեկից պակաս անկյունագիծ ունի.

= Ե, կանչեց մեկ մատրիցա.

Նշանակում. Մատրիցը, որն ունի զրոյից պակաս տարրեր գլխի անկյունագծի տակ, կոչվում է վերին տրիկոտի մատրիցա.Եթե ​​գլխի անկյունագծի վերևում գտնվող մատրիցն ունի զրոյից պակաս տարրեր, ապա այն կոչվում է ստորին տրիկոտի մատրիցա.

Նշանակում. Երկու մատրիցները կոչվում են հավասարինչպես գարշահոտությունը մեկ ռոմինգի և vykonuєtsya հանգստության.

· Լրացուցիչ տեղեկությունմատրիցները կառուցվում են մինչև հաջորդ գործողությունները իրենց տարրերի վրա: Այս օպերացիաների գերագույն իշխանությունը նրանք են, ովքեր գարշահոտ են վերապահված է միայն նույն չափի մատրիցների համար. Այս կարգով հնարավոր է նշանակել այդ տեսողական մատրիցայի ծալման գործողությունը.

Նշանակում.պայուսակ (մանրածախ)մատրիցա є մատրիցա, որի տարրերն են ելքային մատրիցների տարրերի գումարը (մանրածախ):

Z \u003d A + B \u003d B + A:

Գործողություն հոգնակի (podіlu)մատրիցը, անկախ նրանից, թե այն ընդլայնվում է որոշակի թվով, կրճատվում է մինչև մատրիցայի մաշկի տարրի բազմապատիկը (բաժանված) ամբողջ թվով:

a (A + B) \u003d aA ± aB

А(a±b) = aА ± bА

հետույք.Տրված մատրիցը A = ; B = իմանալ 2A + B:

2A =, 2A + B =:

· Նշանակում:ՏվորոմՄատրիցը կոչվում է մատրիցա, որի տարրերը կարող են հաշվարկվել հետևյալ բանաձևերի միջոցով.

Ինդուկացված նշանակումից երևում է, որ բազմապատկվող մատրիցների գործողությունը վերագրվում է միայն մատրիցներին, առաջինի սյունակների թիվը հավասար է մյուսի տողերի թվին։

հետույք.

· Նշանակում. B մատրիցը կոչվում է փոխադրվածմատրիցա A և անցում A-ից B փոխադրումՕրինակ, A մատրիցի մաշկի շարքի տարրերը գրվում են նույն հերթականությամբ B մատրիցի սյունակներում:

A =; B = A T =;

Այլ կերպ ասած, = .

հակադարձ մատրիցա.

Նշանակում. Սրանք նույն կարգի X և A քառակուսի մատրիցներ են, որոնք հաճելի են միտքը.

de E-ը նույն կարգի մեկ մատրից է, ինչ A մատրիցը, ապա կոչվում է X մատրիցը շրջելի A i մատրիցին վերագրվում է A-1:

Մաշկի քառակուսի մատրիցը, որի առանցքը հավասար չէ զրոյի, կարող է ունենալ հակադարձ մատրիցա և մեկից ավելի:

հակադարձ մատրիցա

Ձեզ կարող է առաջարկվել այսպիսի սխեմա.

Դե, ապա մատրիցը կոչվում է ոչ կույս, և այլ կերպ - վիրուսոգեն.

Հակադարձ մատրիցը կարող է առաջանալ միայն ոչ կույս մատրիցների համար:

Հզոր մատրիցներ.

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (AT) -1 = (AT -1) Տ.

Մատրիցային աստիճանկանչեց պատվեր գտնելըմատրիցայի մինորներում զրոների տեսքով։

m´n կարգի մատրիցայի համար, փոքր, կոչվում է r կարգ հիմք yakscho vin-ը հավասար չէ զրոյի, բայց բոլոր անչափահասները կարգին են r+1և հավասար է զրոյի, հակառակ դեպքում անհրաժեշտ է դա ապացուցել։ r zbіgaєtsya m կամ n թվերից փոքրով:

Կոչվում են նաև մատրիցայի սյունակները և տողերը, որոնց վրա կանգնած է մինորը հիմնական.

Մատրիցը կարող է ունենալ փոքր թվով տարբեր հիմնական փոքրեր, որոնք կարող են ունենալ նույն կարգը:

Մատրիցայի տարրական փոխակերպումների ավելի կարևոր հեղինակությունները նրանք են, ովքեր չեն փոխում մատրիցայի աստիճանը։

Նշանակում. Մատրիցները՝ ոտրիմանին տարրական փոխակերպումից հետո, կոչվում են համարժեք։

Հաջորդը, նշեք, թե ինչ հավասարմատրիցներ և համարժեքմատրիցներ - հասկանալ բացարձակապես տարբեր:

Թեորեմ. Ամենամեծ թիվըՄատրիցում գծային անկախ տողերը հավասար են գծային անկախ տողերի թվին:

Որովհետեւ տարրական վերափոխումԵթե ​​դուք չեք փոխում մատրիցայի վարկանիշը, կարող եք պարզապես պարզեցնել մատրիցայի աստիճանը նշանակելու գործընթացը:

հետույք.Գտեք մատրիցայի աստիճանը: