Իներցիայի մոմենտների փոփոխություն առանցքների զուգահեռ փոխանցման միջոցով: Կտրման իներցիայի մոմենտների փոփոխություն առանցքների զուգահեռ շարժմամբ

Կտրման իներցիայի մոմենտների փոփոխություն ժամը զուգահեռ փոխանցումկացիններ.

Բացի ստատիկ պահերից, մենք նայում ենք ևս երեք առաջադեմ ինտեգրալների.

Նախկինում x-ի և y-ի միջոցով dF տարրական տարածքի ընթացիկ կոորդինատները հայտնի են բավականաչափ վերցված կոորդինատային համակարգում xOy: Առաջին 2 ինտեգրալները կոչվում են իներցիայի առանցքային պահեր x և y առանցքների ընտրությունը պարզ է. Երրորդ ինտեգրալը կոչվում է իներցիայի գերկտրման կենտրոնական պահըլավ x, y. Առանցքային պահերը միշտ դրական են, քանի որ մակերեսը dF համարվում է դրական: Իներցիայի կենտրոնական մոմենտը կարող է լինել և՛ դրական, և՛ բացասական, այն կարող է հնացած լինել x, y առանցքների երկարությամբ ընդլայնման առումով։

Մենք ցույց կտանք իներցիայով մոմենտի փոխակերպման բանաձևը՝ առանցքների զուգահեռ տեղափոխմամբ։ (Div pic): Կարևոր է, որ x 1 և y 1 առանցքների համար մենք պետք է սահմանենք իներցիայի և ստատիկ մոմենտները: Անհրաժեշտ է հաշվարկել x2 և y2 առանցքների մոմենտները։

Փոխարինելով այստեղ x 2 \u003d x 1 -a և y 2 \u003d y 1 -b Հայտնի է

Ծուռ աղեղներ, գուցե:

Եթե ​​x 1 և y 1 առանցքը կենտրոնական են, ապա S x 1 = S y 1 = 0 և otrimani virazi ասում են.

Երբ առանցքները շարժվում են զուգահեռաբար (օրինակ, առանցքներից մեկը կենտրոնական է), իներցիայի առանցքային մոմենտները փոխվում են այն չափով, որը մեծացնում է խաչմերուկի տարածքը առանցքների միջև քառակուսիով:

2. Տարածքի ստատիկ պահերը առանցքների լայնությամբ Օզі Օյ(բաժանում 3, մ 3):

4. Իներցիայի կենտրոնական պահը առանցքների լայնությամբ Օզі Օ՜(բաժանում 4, մ 4):

Oscilki, ապա

Առանցք Ժզі Ջիայդ բևեռային Ջ p իներցիայի պահերը միշտ դրական են, ինտեգրալի նշանի տակ գտնվող բեկորները այլ աշխարհի կոորդինատներ են: Ստատիկ պահեր Սզі Սի, ինչպես նաև իներցիայի կենտրոնական պահը Ջզիկարող է լինել և՛ դրական, և՛ բացասական:

Գլանափաթեթների համար գլորված պողպատի տիրույթում նշվում են մոդուլի հետևում գտնվող կենտրոնական պահերի արժեքները: Նշանի բարելավման համար իրենց իմաստները ձեռք բերելու համար ռոզրահունկաներն ունեն հետևյալը.

Կծիկի կենտրոնական կետի նշանի նշանակման համար (նկ. 3.2) նկատելի է, որ այն նման է երեք ինտեգրալների գումարի, որոնք հաշվվում են միայն ծայրամասի այն մասերի համար, որոնք տարածված են քառորդների վրա։ կոորդինատային համակարգը։ Ակնհայտ է, որ 1-ին և 3-րդ եռամսյակներում տարածվող մասերի համար կունենանք ինտեգրալի դրական արժեք, zydAկլինի դրական, իսկ II և IV եռամսյակներում տարածվող մասերի համար հաշվարկված ինտեգրալները՝ բացասական (tvir. zydAլինել բացասական): Otzhe, համար kutochka է նկ. 3.2, իսկ իներցիայի կենտրոնական պահի արժեքը բացասական կլինի:

Rozmirkovuyuchi-ի նույն աստիճանը վերամշակման համար, այնպես որ, եթե ցանկանում եք մեկ ամբողջական համաչափություն (նկ. 3.2, բ), կարող եք պատրաստել վիսնովկա, այնպես որ. իներցիայի կենտրոնական մոմենտը J zy հավասար է զրոյի, քանի որ առանցքներից մեկը (Oz կամ Oy) ամբողջովին սիմետրիկ է կտրվածքին։Միանշանակ, ջրային կենտրոնի 1-ին և 2-րդ քառորդում գտնվող տրիկոտի մասերի համար իներցիայի մոմենտները դուրս են բերվում միայն նշանով։ Կարելի է ասել, որ կան մի քանի մասեր, որոնք հանդիպում են III և IV քառորդներում։

Ստատիկ պահեր Նշանակված են կարևորության կենտրոնին

Հաշվարկելի ստատիկ պահեր առանցքների լայն շրջանակի համար Օզі Օյուղղանկյունը ցույց է տրված Նկ. 3.3.

Բրինձ. 3.3. Մինչև ստատիկ պահերի հաշվարկը

Այստեղ: ԲԱՅՑ- հատման տարածք, y Գі z C- Ծանրության կենտրոնի կոորդինատները. Ուղղանկյան ծանրության կենտրոնը փոխված է անկյունագծերի վրա։

Ակնհայտ է, որ եթե առանցքը, որտեղ հաշվարկվում են ստատիկ պահերը, անցնում է գործչի ծանրության կենտրոնով, ապա դրա կոորդինատները կհասնեն զրոյի ( z C = 0, y Գ= 0), i, բանաձևի նման (3.6), ստատիկ պահեր և հավասար են զրոյի: նման կերպ, քրոսովերի ծանրության կենտրոնը այն կետն է, որը կարող է ունենալ այդպիսի հզորություն՝ ստատիկ մոմենտը, ինչ առանցք էլ լինի, դրա միջով անցնելը,զրո.

Բանաձևերը (3.6) հնարավորություն են տալիս իմանալ ծանրության կենտրոնի կոորդինատները z Cі y Գկրկնել ծալովի ձև. Յակշչո պերետին կարելի է տալ տեսարանին nմասեր, որոնք գտնվում են ծանրության կենտրոնի տարածքում, ապա ամբողջ խաչմերուկի ծանրության կենտրոնի կոորդինատների հաշվարկը կարելի է գրել այսպես.

.

(3.7)

Իներցիայի մոմենտների փոփոխություն առանցքների զուգահեռ փոխանցման միջոցով

Թույլ տվեք տեսնել իներցիայի պահեր Ժզ, Ջիі Ջզիշոդո կացիններ Օյզ. Անհրաժեշտ է հաշվարկել իներցիայի պահը Ջ Զ, Ջ Յі JZYշոդո կացիններ Օ 1 ԵԶ, առանցքներին զուգահեռ Օյզ(նկ. 3.4) ա(հորիզոնական) և բ(ուղղահայաց)

Բրինձ. 3.4. Իներցիայի մոմենտների փոփոխություն առանցքների զուգահեռ փոխանցման միջոցով

Տարրական մայդանչիկի կոորդինատները dAկապեք ձեզ նման համարժեքներով. Զ = զ + ա; Յ = y + բ.

Հաշվենք իներցիայի մոմենտները Ջ Զ, Ջ Յі JZY.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Ինչպիսի մի կետ Օկացիններ Օյզվազել կետով Զ- պերեզիսի ծանրության կենտրոնը (նկ. 3.5); ստատիկ պահեր Սզі Սիդառնում են հավասար զրոյի, և բանաձևերն ասում են՝ Y i Զ իՊետք է վերցնել սիմվոլների բարելավմամբ։ Իներցիայի պահի առանցքի վրա կոորդինատների նշանները չեն տեղավորվում (կոորդինատները տեղափոխվում են մեկ այլ քայլ), իսկ իներցիայի կենտրոնական պահի առանցքը՝ գծի կոորդինատների նշան (ստեղծում). Զ ի Յ ի Ա իկարող է բացասական լինել):

Ներկայացնում ենք Օքսի դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը: Կարող ենք նայել կոորդինատների հարթությանը, A հարթությունից կա մի փոքր գերհատում (փակ տարածք) (նկ. 1):

Ստատիկ պահեր

C կետ կոորդինատներով (x C, y C)

կանչեց ծանրության կենտրոն.

Եթե ​​կոորդինատային առանցքները անցնում են եզրի ծանրության կենտրոնով, ապա եզրի ստատիկ մոմենտները կհասնեն զրոյի.

Իներցիայի առանցքային պահեր x և y առանցքներով անցնելը կոչվում են ձևի ինտեգրալներ.

Իներցիայի բևեռային պահըԿոորդինատների կոդի հատումը կոչվում է ձևի ինտեգրալ.

Իներցիայի կենտրոնական պահըբաժինը կոչվում է մտքի ինտեգրալ.

Իներցիայի գլխի առանցքները կտրված ենկոչվում են առանցքին երկու փոխադարձ ուղղահայաց, որտեղ ես xy =0: Ինչ վերաբերում է փոխադարձ ուղղահայաց առանցքներին є կտրվածքի ողջ համաչափությանը, ապա ես xy \u003d 0 i, նաև qi առանցք - smut: Գլխի առանցքները, որոնք անցնում են կտրվածքի ծանրության կենտրոնով, կոչվում են գլխի իներցիայի կենտրոնական առանցքները

2. Շտայներ-Հույգենսի թեորեմ առանցքների զուգահեռ փոխանցման մասին

Շտայներ-Հույգենսի թեորեմ (Շտայների թեորեմ).
I-ի խաչմերուկի իներցիայի առանցքային մոմենտը բավականին կայուն առանցքի շուրջ է x-ը ավելին է, քան I-ի խաչմերուկի իներցիայի առանցքային պահի գումարը x* տեսողական զուգահեռ առանցքից, որն անցնում է զանգվածի կենտրոնով։ խաչմերուկը, իսկ A խաչմերուկի լրացուցիչ տարածքը երկու d առանցքի քառակուսու վրա է.

Եթե ​​x և y առանցքների համար հաշվի առնենք I x і I y իներցիայի մոմենտները, ապա ν և u առանցքների համար, որոնք պտտվում են kut α-ով, առանցքի և ծանրության կենտրոնի իներցիայի մոմենտները հաշվարկվում են՝ օգտագործելով բանաձևեր:

Բանաձևերի մատնանշումից պարզ է դառնում, որ

Տոբտո. իներցիայի առանցքային մոմենտների գումարը չի փոխվում փոխադարձ ուղղահայաց առանցքները շրջելիս, ուստի. . Գլխի առանցքները, որոնք անցնում են կտրվածքի ծանրության կենտրոնով, կոչվում են ղեկավար կենտրոնական axes pererazu. Առանցքի սիմետրիկ խաչմերուկների և գլխի կենտրոնական առանցքների հետ համաչափության համար: Մյուս առանցքների խաչմերուկի գլխի առանցքների դիրքը որոշվում է փոխարինող spіvvіdnoshennia-ով.

դե? Իներցիայի պահի առանցքները, ինչպես գլխի առանցքները, կոչվում են գլխի իներցիայի պահերը:

Մեկ այլ հավելման դիմաց գումարած նշանը հասցվում է իներցիայի առավելագույն պահի, մինուս նշանը՝ մինչև նվազագույնը:

Հաճախ գործնական առաջադրանքների դեպքում անհրաժեշտ է նշել առանցքների վրայով իներցիայի պահերը՝ նույն հարթության վրա տարբեր կողմնորոշված: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է ձեռքով կարգավորել պահի արժեքը ամբողջ քրոսովերի իներցիայում (պահեստի բոլոր մասերից վեր), կան այլ առանցքներ, որոնք կարելի է գտնել տեխնիկական գրականության մեջ, հատուկ ցուցիչներում և աղյուսակներում, ինչպես նաև հետևել բանաձևերին: Հետևաբար, կարևոր է տարբեր առանցքների մեկ և նույն խաչմերուկի իներցիայի պահերի միջև ընկած հատվածներ հաստատել:

Վայրի փոփոխության դեպքում անցումը հին կոորդինատային համակարգին կարելի է տեսնել որպես հին կոորդինատային համակարգի երկու հաջորդական փոխակերպումներ.

1) նոր դիրքում կոորդինատային առանցքների զուգահեռ թարգմանության ուղին

2) կոորդինատների նոր կոճ պտտելու միջոց: Դիտարկենք այս փոխակերպումներից առաջինը, այսինքն՝ կոորդինատային առանցքների զուգահեռ փոխանցումը։

Ընդունելի է, որ հին առանցքների թոգոյի խաչմերուկի իներցիայի մոմենտները (նկ. 18.5) գտնվում են տանը։

Վերցնենք առանցքների նոր կոորդինատային համակարգ, որոնք զուգահեռ են մեզ: Զգալիորեն a-ն և b-ն կետի կոորդինատներն են (կոորդինատների նոր կոդի) հին կոորդինատային համակարգում

Եկեք նայենք հին կոորդինատային համակարգի տարրական կոորդինատների տարածքին її y հավասար է y i-ին: Նոր համակարգը հավասարապես հոտ է գալիս

Մենք կարող ենք ներկայացնել առանցքի շուրջ իներցիայի առանցքային պահի կոորդինատների արժեքը

Այլ կերպ - իներցիայի պահը խաչմերուկի ստատիկ պահն է խաչմերուկի F ճանապարհի տարածքի առանցքի երկայնքով:

Օտժե,

Եթե ​​ամեն z-ն անցնում է կտրվածքի ծանրության կենտրոնով, ապա ստատիկ պահը i

Բանաձևից (25.5) երևում է, որ իներցիայի մոմենտը պետք է լինի առանցքի, որպեսզի չանցնի ծանրության կենտրոնով, ավելի մեծ, քան ծանրության կենտրոնով անցնող առանցքի իներցիայի պահը. լծի չափը դրական է. Զուգահեռ առանցքների իներցիայի նույն պահից կարող է իներցիայի առանցքային մոմենտը նվազագույն արժեքինչպես անցնել կտրվածքի ծանրության կենտրոնով:

Առանցքի շուրջ իներցիայի պահը [համաձայն բանաձևի (24.5)]

Օկրեմի անկման դեպքում, եթե ամեն ինչ անցնում է կտրվածքի ծանրության կենտրոնով

Բանաձևերը (25.5) և (27.5) լայնորեն կիրառվում են ծալովի (պահեստային) գերանցումների իներցիայի առանցքային մոմենտները հաշվարկելիս։

Այժմ մենք կարող ենք պատկերացնել իներցիայի կենտրոնական պահի արժեքը առանցքների լայնության համար

Եթե ​​առանցքը կենտրոնական է, ապա պահի առանցքը պետք է նայվի.

15.Հողատարածք իներցիայի պահերը առանցքները պտտելիս:

J x 1 \u003d J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 = J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y) sin2a + J xy cos2a;

Kut a>0, ինչը նշանակում է, որ հին կոորդինատային համակարգից նոր համակարգից անցումը տեւում է մեկ տարի: J y 1 + J x 1 = J y + J x

Իներցիայի պահի ծայրահեղ (առավելագույն և նվազագույն) արժեքները կոչվում են գլխի իներցիայի պահերը. Առանցքները, որտեղ նման առանցքների իներցիայի պահերը կարող են ունենալ ծայրահեղ արժեքներ, կոչվում են իներցիայի գլխի առանցքներ. Իներցիայի հիմնական առանցքները փոխադարձ ուղղահայաց են։ Vіdtsentrovі իներցիայի պահերը shоdo հիմնական առանցքները = 0, ապա. Իներցիայի հիմնական առանցքներն այն առանցքներն են, որտեղ ցանկացած ջրի կենտրոնի իներցիայի մոմենտը = 0: Որպես առանցքներից մեկը, խախտումները փախչում են համաչափության առանցքից, բոլոր հոտերը խճճված են: Kut, որը որոշում է հիմնական առանցքների դիրքը. այնպես որ a 0 >0 Þ առանցքները պտտվում են հակառակ ուղղությամբ: Բոլոր առավելագույնը պետք է սահմանվի ավելի փոքր kut z tієї osі, որպեսզի իներցիայի պահը ավելի նշանակալի լինի: Գլխի առանցքները, որոնք անցնում են վագայի կենտրոնով, կոչվում են գլխի իներցիայի կենտրոնական առանցքները. Այս առանցքների իներցիայի պահերը.

Jmax + Jmin = Jx + Jy: Իներցիայի կենտրոնական մոմենտը հավասար է իներցիայի գլխի կենտրոնական առանցքներին, որոնք հավասար են 0-ի: Արդյունքում, իներցիայի գլխի պահը, պտտվող առանցքներին անցնելու բանաձևը.

J x 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min) sin2a;

Kіntsevoi մեթոդը հաշվարկելու երկրաչափական ցուցումները ռեզեկցիայի և իներցիայի հիմնական կենտրոնական մոմենտների և իներցիայի հիմնական կենտրոնական առանցքների դիրքի որոշման ժամանակ: Իներցիայի շառավիղ - ; J x = F x i x 2, J y = F x i y 2:

Եթե ​​J x ta J y գլխի իներցիայի մոմենտները, ապա i x ta i y - գլխի իներցիայի շառավիղները. Elips, հուշումները գլխի իներցիայի շառավիղների վրա, ինչպես pivos-ում, կոչվում են իներցիայի էլիպս. Իներցիայի էլիպսի օգնությամբ դուք կարող եք գրաֆիկորեն իմանալ i x 1 իներցիայի շառավիղը ցանկացած x 1 առանցքի համար: Դրա համար անհրաժեշտ է մի կետ գծել դեպի էլիպս, x առանցքի 1-ին զուգահեռ և նվազեցնել առանցքի կենտրոնից մինչև կետ հեռավորությունը: Իմանալով իներցիայի շառավիղը՝ կարելի է հաշվարկել առանցքի երկայնքով կտրվածքի իներցիայի պահը x 1: Perepіzіv-ի համար scho-ն կարող է ունենալ սիմետրիայի ավելի քան երկու առանցք (օրինակ՝ colo, քառակուսի, օղակ և іn) առանցքի իներցիայի մոմենտները բոլոր կենտրոնական առանցքների երկայնքով հավասար են միմյանց, J xy \u003d 0, elіps іnertsiy գլորում է մինչև իներցիայի խաղադրույքը.