Պարզեք թվի ամենակարևոր գործառույթը: Տարածաշրջանի սակավաթիվ փոփոխությունների ամենակարևոր գործառույթները. Բազմաթիվ փոփոխությունների գործառույթներ

Նշանակում 1.11 Թող դրվի երկու փոփոխողների ֆունկցիան z = z (x, y), (x, y) Դ . Կրապկա Մ 0 (x 0 ;y 0 ) - տարածքի ներքին կետը Դ .

Յակշոն ներս Դ є այսպիսի թաղամաս UM 0 բծեր Մ 0 , որը բոլոր կետերի համար

հետո մի հատիկ Մ 0 կոչվում է տեղական առավելագույն կետ: Եվ իմաստը զ(Մ 0 ) - տեղական առավելագույնը.

Իսկ ինչ վերաբերում է բոլոր կետերին

հետո մի հատիկ Մ 0 կոչվում է ֆունկցիայի տեղական նվազագույնի կետ z(x,y) . Եվ իմաստը զ(Մ 0 ) - Տեղական նվազագույն.

Տեղական առավելագույնը և տեղական նվազագույնը կոչվում են ֆունկցիայի տեղական ծայրահեղություններ z(x,y) . Նկ. 1.4 բացատրվում է երկրաչափական զմիստտեղական առավելագույնը: Մ 0 - մատնանշեք առավելագույնը, այն, ինչ կա մակերեսի վրա z = z (x, y) հստակ կետ Գ 0 ավելի լավ իմանալ ցանկացած այլ պատճառով Գ (Որն ունի առավելագույն տեղայնություն):

Հարգանքով, մակերեսի վրա կան կետեր (օրինակ. ժամը ), եթե ավելին գիտեք Գ 0 , ale qi կետեր (օրինակ, ժամը ) ոչ «դատական» կետով Գ 0 .

Զոկրեմա, կետ ժամը հաստատում է գլոբալ առավելագույնի ըմբռնումը.

Նմանապես, գլոբալ նվազագույնը որոշվում է.

Համաշխարհային առավելագույնների և նվազագույնների մասին գիտելիքները կքննարկվեն 1.10 պարագրաֆում:

Թեորեմ 1.3 (պահանջվող ծայրահեղություն):

Թող գործառույթը սահմանվի z = z (x, y), (x, y) Դ . Կրապկա Մ 0 (x 0 ;y 0 Դ - Տեղական ծայրահեղ կետ.

Ինչ ունես զ" x і զ" y , ապա

Երկրաչափական հաստատումը «ակնհայտորեն». Ինչ է հաջորդը Գ 0 վրա (նկ. 1.4) կետային հարթ տարածք նկարելու համար, այնտեղ «բնականաբար» անցնում է հորիզոնական, այսինքն՝ գլխարկի տակով։ 0° դեպի առանցք Օ՜ ես առանցքի OU .

Նույնը վերաբերում է մասնավոր հարազատների երկրաչափական փոփոխությանը (նկ. 1.3).

այն, ինչ անհրաժեշտ էր բերել:

Նշանակում 1.12.

Ինչ է հաջորդը Մ 0 մտածիր (1.41), ապա այն կոչվում է ֆունկցիայի անշարժ կետ z (x, y) .

Թեորեմ 1.4 (բավարար միտք էքստրեմումի համար).

Թույլ տվեք հարցնել z = z (x, y), (x, y) Դ , քանի որ կետի շրջակայքում կարող են լինել այլ կարգի մասնավոր միջոցառումներ Մ 0 (x 0 , յ 0 ) Դ . Իսկ ինչու Մ 0 - Ստացիոնար կետ Եկեք հաշվարկենք.

Վիկորիստի թեորեմի ապացույցը նրանց կողմից (Թեյլորի մի շարք փոփոխականների ֆունկցիայի բանաձևը և քառակուսի ձևերի տեսությունը), որը չի դիտարկվում որևէ օգնականի կողմից։

հետույք 1.13.

Գնալ դեպի ծայրահեղություն.

1. Մենք գիտենք համակարգը կոտրող անշարժ կետերը (1.41).

Այսպիսով, մենք գտել ենք որոշ անշարժ կետեր: 2.

Թեորեմ 1.4-ից հետո միավորները նվազագույն են: Իսկ ինչու

կետի 1.4 թեորեմի համաձայն

Առավելագույնը. Իսկ ինչու

§10 Փակ տարածքում երկու փոփոխականների ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը

Թեորեմ 1.5 Բաց թողեք փակ շրջանի մոտ Դ գործառույթը սահմանված է z = z (x, y) , որը կարող է լինել առանց ընդհատումների առաջին կարգի մասնավոր ուղևորություններ։ Կորդոն Գ շրջաններ Դ є shmatkovo հարթ (որ ծալված է shmatkіv «հարթ դոտիկի վրա» կորերից կամ ուղիղ գծերից): Թոդին տարածաշրջանում Դ ֆունկցիան z(x,y) հասնել քո մեծագույնին Մ և ամենաքիչը մ արժեքը։

Առանց հաստատման։

Դուք կարող եք քարոզել հանդիմանության հաջորդ ծրագիրը Մ і մ . 1. Աթոռներ ենք լինելու, շրջանի շրջափակման բոլոր հատվածները կարող ենք տեսնել Դ և մենք գիտենք կորդոնի բոլոր «kutovі» կետերը: 2. Մենք գիտենք մեջտեղի անշարժ կետերը Դ . 3. Հայտնի են մաշկի անշարժ կետերը կորդոններից։ 4. Հաշվեք բոլոր անշարժ և գագաթնակետային կետերում, այնուհետև ընտրեք առավելագույնը Մ և ամենաքիչը մ իմաստը.

Դեպք 1.14 Իմացեք ավելին Մ և ամենաքիչը մ ֆունկցիայի արժեքը z = 4x2-2xy+y2-8x փակ տարածքի մոտ Դ , սահմանափակված. x=0, y=0, 4x+3y=12 .

1. Տեղափոխենք տարածքը Դ (նկ. 1.5) բնակարանի վրա Օհու .

Kutovі միավորներ: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Կորդոն Գ շրջաններ Դ բաղկացած է երեք մասից.

2. Մեզ հայտնի են շրջանի մեջտեղի անշարժ կետերը Դ :

3. Կորդոնների վրա գտնվող անշարժ կետեր լ 1 ,լ 2 ,լ 3 :

4. Վեց արժեք է հաշվվում.

Վեց արժեքներ բաց թողնելուց ընտրեք ամենաշատը և նվազագույնը:

Թեորեմ 1.5 Բաց թողեք փակ շրջանի մոտ Դ գործառույթը սահմանված է z = z (x, y) , որը կարող է լինել առանց ընդհատումների առաջին կարգի մասնավոր ուղևորություններ։ Կորդոն Գ շրջաններ Դ є shmatkovo հարթ (որ ծալված է shmatkіv «հարթ դոտիկի վրա» կորերից կամ ուղիղ գծերից): Թոդին տարածաշրջանում Դ ֆունկցիան զ (x, y) հասնել քո մեծագույնին Մ և ամենաքիչը մ արժեքը։

Առանց հաստատման։

Դուք կարող եք քարոզել հանդիմանության հաջորդ ծրագիրը Մ і մ .
1. Աթոռներ ենք լինելու, շրջանի շրջափակման բոլոր հատվածները կարող ենք տեսնել Դ և մենք գիտենք կորդոնի բոլոր «kutovі» կետերը:
2. Մենք գիտենք մեջտեղի անշարժ կետերը Դ .
3. Հայտնի են մաշկի անշարժ կետերը կորդոններից։
4. Հաշվեք բոլոր անշարժ և գագաթնակետային կետերում, այնուհետև ընտրեք առավելագույնը Մ և ամենաքիչը մ իմաստը.

Դեպք 1.14 Իմացեք ավելին Մ և ամենաքիչը մ ֆունկցիայի արժեքը զ = 4x2-2xy+y2-8x փակ տարածքի մոտ Դ , սահմանափակված. x = 0, y = 0, 4x + 3y = 12 .

1. Տեղափոխենք տարածքը Դ (նկ. 1.5) բնակարանի վրա Օհու .

Kutovі միավորներ: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Կորդոն Գ շրջաններ Դ բաղկացած է երեք մասից.

2. Մեզ հայտնի են շրջանի մեջտեղի անշարժ կետերը Դ :

3. Կորդոնների վրա գտնվող անշարժ կետեր լ 1, լ 2, լ 3 :

4. Վեց արժեք է հաշվվում.

Դիմել

օրինակ 1.

Այս ֆունկցիան նշանակված է բոլոր փոփոխվող արժեքներով x і y , crim կոորդինատների կոճը, de znamennik վերածվում է զրոյի։

Հարուստ անդամ x2+y2 անխափան usudi, և հետևաբար i չընդհատվող ֆունկցիայի անխափան քառակուսի արմատ:

Drib-ը կլինի անխափան ամենուր, Crimea dot, de banner to zero. Այդ ֆունկցիան, որը դիտարկվում է, անխափան է ամբողջ կոորդինատային հարթության վրա Օհու , ներառյալ կոորդինատների կոճը:

հետույք 2.

Անվտանգության համար հետևեք գործառույթին z=tg (x, y) . Արժեքների շոշափում և առանց ընդհատումների բոլորի համար վերջնական իմաստներարգումենտ, հանցավոր արժեք, հավասար մեծության չզույգված թվին π /2 , ապա. ներառյալ կետերը, դե

Մաշկային ֆիքսված հետ «կ» Հավասարումը (1.11) նշանակում է հիպերբոլիա: Հետևաբար, ֆունկցիան є անխափան գործառույթ x և y ներառյալ կետերը, որոնք ընկած են կորերի վրա (1.11):

օրինակ 3.

Իմացեք մասնավոր բացօթյա գործառույթները u=z-xy , z > 0 .

հետույք 4.

Ցույց տալ, թե որն է ֆունկցիան

գոհ է նույնությամբ.

- այս հավասարությունը գործում է բոլոր կետերի համար M(x; y; z) կրեմ կետ M 0 (a; b; c) .

Դիտարկենք երկու անկախ փոփոխականների z=f(x, y) ֆունկցիան և տեղադրենք մասնավոր փոփոխականների երկրաչափական փոխարինումը։ z" x = f" x (x, y) і z" y = f" y (x, y) .

Ում միտքը հավասար է z=f (x, y) є մակերեսի հարթեցում (նկ. 1.3): Պահվում է հարթ y = կոնստ . At pererizі tsієї մակերեսային մակերեսների z=f (x, y) vide deyka գիծ լ 1 peretina, vzdovzh, որոնք փոխվում են ավելի քիչ, քան չափը X і զ .

Անձնական ճամփորդություն z" x (її երկրաչափական տեղաշարժ առանց միջին vyplyaє z-ի, որը մեզ հայտնի է մեկ փոփոխականի նմանատիպ ֆունկցիայի երկրաչափական իմաստով) թվային առումով գերազանցում է kuta-ի շոշափողին: α հիվանդագին, առանցքի ընդլայնմամբ Օ՜ , շոդո L1 դեպի կորը լ 1 , scho գնալ մոտ մակերեսին z=f (x, y) հարթ y = կոնստ կետում M (x, y, f (xy)): z «x \u003d tgα .

Ցանցաթաղանթի և մակերեսի վրա z=f (x, y) հարթ X = կոնստ լայն գիծ պերետինա լ 2 , vzdovzh որ փոփոխության պակաս, քան մեծության ժամը і զ . Todi մասնավոր զվարճանք զ» յ թվային առումով գերազանցում է քութայի շոշափողին β նահիլու ընդլայնմամբ դեպի առանցքը OU , շոդո L2 նշված տողին լ 2 պերետինան կետերով M (x, y, f (xy)): z «x \u003d tgβ .

Օրինակ 5.

Ինչպիսի kutvoruє іz vіssyu Օ՜ dotichna դեպի գիծ:

կետում M(2,4,5) ?

Vikoristovuєmo երկրաչափական փոխարինում մասնավոր փոխարինող փոխարինման համար X (արագ ժամը ):

Օրինակ 6.

Զգիդնո (1.31):

Օրինակ 7.

Vvayayuchi, scho հավասար

անուղղակիորեն սահմանել ֆունկցիա

իմանալ z" x , զ» յ .

Այս պատճառով (1.37) մեզ անհրաժեշտ են ապացույցներ:

Օրինակ 8.

Գնալ դեպի ծայրահեղություն.

1. Մենք գիտենք համակարգը կոտրող անշարժ կետերը (1.41).

Այսպիսով, մենք գտել ենք որոշ անշարժ կետեր:
2.

Թեորեմ 1.4-ից հետո միավորները նվազագույն են:

Իսկ ինչու

4. Վեց արժեք է հաշվվում.

Վեց արժեքներ բաց թողնելուց ընտրեք ամենաշատը և նվազագույնը:

Գրականության ցանկ.

ü Բելկո Ի. Վ., Կուզմիչ Կ. Հիանալի մաթեմատիկատնտեսագետների համար I կիսամյակ. Էքսպրես դասընթաց. - Մ.: Նոր գիտելիքներ, 2002. - 140 էջ.

ü Գուսակ Ա.Ա. Մաթեմատիկական վերլուծությունև դիֆերենցիալ հավասարեցում: - Մինսկ: TetraSystems, 1998. - 416 p.

ü Gusak A. A. Vishcha մաթեմատիկա. Վերնագիր ուղեցույց համալսարանականների համար 2 հատորով. - Mn., 1998. - 544 p. (1 հատոր), 448 էջ. (2 տոննա):

ü Կրեմեր Ն.Շ., Պուտկո Բ.Ա., Տրիշին Ի. M., Fridman M. N. Mathematics for Economists: A Handbook for Universities / Ed. պրոֆ. N. Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2002. - 471 p.

ü Յաբլոնսկի Ա.Ի., Կուզնեցով Ա.Վ., Շիլկինա Է. Ի. որ մեջ. Վիշչայի մաթեմատիկա. Zagalniy դասընթաց: Pidruchnik / Zag. խմբ. Ս.Ա.Սամալ. - Մն.՝ Վիշ. դպրոց, 2000. - 351 էջ.

Ավելի ու ավելի քիչ իմաստ

Գործառույթը, որը շրջապատված է փակ տարածքում, հասնում է իր ամենամեծ և ամենափոքր արժեքին կա՛մ անշարժ կետերում, կա՛մ այն ​​կետերում, որոնք գտնվում են սահմանային տարածքում:

Ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է.

1. Գտեք անշարժ կետեր, որոնք գտնվում են այս շրջանի մեջտեղում և հաշվարկեք դրանց համար ֆունկցիայի արժեքները:

2. Իմանալ միջտարածաշրջանի ֆունկցիայի ամենաշատ (նվազագույն) արժեքը:

3. Հավասարեցրեք ֆունկցիայի բոլոր բացասական արժեքները՝ ամենամեծը (պակաս) և կլինի ֆունկցիայի ամենամեծ (ամենափոքր) արժեքներն այս պատկերասրահի համար:

հետույք 2. Գտե՛ք ֆունկցիայի ամենամեծ (նվազագույն) արժեքը՝ y .

Լուծում.

կետը անշարժ է; .

2 . Փակ տարածքի սահմանագիծը ռինգն է՝ դե.

Միջտարածաշրջանի ֆունկցիան դառնում է մեկ փոփոխության ֆունկցիա՝ , դե . Մենք գիտենք ամենակարևոր և ամենաքիչ կարևոր գործառույթները։

x = 0-ի համար; (0,-3) և (0,3) կրիտիկական կետերն են:

Հաշվեք ծաղկեպսակի ծայրերի ֆունկցիայի արժեքը

3 . Porivnyuyuchi mizh ինքը otrimuemo,

A և B կետերում.

C և D կետերում.

օրինակ 3.Գտե՛ք ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը փակ տարածքում՝ հաշվի առնելով անհավասարությունը.

Լուծում. Տարածքը є trikutnik, մենք կշրջապատենք і կոորդինատների առանցքները x + y = 1 ուղիղ գծով:

1. Տարածաշրջանի մեջտեղում անշարժ կետեր գիտենք.

; ; y = - 1/8; x = 1/8.

Ստացիոնար կետը չի պատկանում այս տարածքին, ուստի դրանում z-ի արժեքը չի հաշվարկվում:

2 .Doslіdzhuєmo գործառույթը կորդոնի վրա: Սահմանի բեկորները ձևավորվում են երեք dіlyanki-ից, որոնք նկարագրված են երեք տարբեր հավասարներով, doslіdzhuєmo գործառույթով մաշկի dіlantsі okremo:

ա) div 0A: y=0- հավասար է 0A, ապա ; հավասարից պարզ է, որ ֆունկցիան ավելանում է 0Ա-ով 0-ից մինչև 1: Միջին .

բ) 0B հեռավորության վրա՝ x = 0 - հեռավորությունը 0B, ապա; -6y + 1 = 0; - Կրիտիկական կետ.

մեջ) ուղիղ x + y = 1: y = 1-x, ապա վերցնում ենք ֆունկցիան

Մենք հաշվարկում ենք z ֆունկցիայի արժեքը B(0,1) կետում։

3 .Perіvnyuyuchi համարները otrimuemo, scho

Դեպի ուղիղ AB:

Բ կետում.

Թեստ ինքնատիրապետման գիտելիքների համար:

մեկ . Ֆունկցիա ծայրահեղ – ce

ա) її pokhіdnі առաջին կարգը

բ) її հավասար

գ) її ժամանակացույց

դ) її առավելագույն և նվազագույն

2. Հնարավորինս շատ ֆունկցիայի էքստրեմում կարելի է հասնել.

ա) միայն այն կետերում, որոնք գտնվում են նշանակված տարածքի մեջտեղում, որի դեպքում առաջին կարգի մասնավոր արժեքները զրոյից մեծ են.

բ) միայն այն կետերում, որոնք գտնվում են նշանակված տարածքի մեջտեղում, որի դեպքում առաջին կարգի մասնավոր արժեքները զրոյից փոքր են.

գ) միայն այն կետերում, որոնք գտնվում են նշանակված տարածքի մեջտեղում, որի դեպքում առաջին կարգի մասնավոր արժեքները հավասար չեն զրոյի.

դ) միայն այն կետերում, որոնք գտնվում են նշանակված տարածքի մեջտեղում, որի դեպքում առաջին կարգի մասնավոր նմանությունները հավասար են զրոյի.

3. Գործառույթ, որն անխափան է փակ տարածքում՝ հասնելով իր ամենաբարձր և ամենացածր արժեքներին.

ա) անշարժ կետերում

բ) կա՛մ անշարժ կետերում, կա՛մ միջտարածաշրջանի վրա գտնվող կետերում

գ) միջտարածաշրջանի վրա գտնվող կետերում

դ) բոլոր կետերում

4. Անշարժ կետեր ֆունկցիայի համար, թե քանի փոփոխական է կոչվում կետեր.

ա) որոշ u

բ) դրանցից մի քանիսն ունեն զրոյից մեծ մասնավոր առաջին կարգի տարբերություններ

գ) դրանցից մի քանիսի համար առաջին կարգի մասնավոր փոփոխությունները հավասար են զրոյի

դ) նրանցից մի քանիսի համար առաջին կարգի մասնավոր վարքագիծը զրոյից փոքր է

Թող y = f (x) ֆունկցիան ընդհատվի քամուց: Ըստ երևույթին, նման գործառույթը հասնում է առավելագույնին: այդ աշխատանքի ընդունումը. արժեքը։ Այս գործառույթը կարելի է վերցնել պատուհանի ներքին կետում կամ պատուհանի սահմանին, tobto: at = a կամ = b. Տրված ֆունկցիայի կրիտիկական կետերի միջնամասը հետագծելու կետի նման:

Մենք ընդունում ենք ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքի արժեքի կանոնը՝

1) որոշել ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը (a, b) միջակայքում.

2) հաշվարկել ֆունկցիայի արժեքները գտնված կրիտիկական կետերում.

3) հաշվարկել արժեքը ֆունկցիայի kintsyah vіdrіzka, tobto. x=a և x=b կետերում;

4) ֆունկցիայի հաշվարկված արժեքների միջինն է ընտրել ամենաշատը և նվազագույնը:

Հարգանք.

1. Եթե y = f (x) ֆունկցիան ունի մեկից ավելի կրիտիկական կետ յուրաքանչյուր vdrіzku-ի համար և շահել է є առավելագույն (նվազագույն) կետը, ապա այս պահին ֆունկցիան ստանում է ամենամեծ (նվազագույն) արժեքը:

2. Քանի որ y=f(x) ֆունկցիան չունի կրիտիկական կետեր, նշանակում է ֆունկցիան նորի համար միապաղաղ մեծանում և նվազում է։ Բացի այդ, ֆունկցիան վերցնում է իր առավելագույն արժեքը (M) հարվածի մի ծայրին, իսկ նվազագույնը (մ) մյուսին:

60. Կոմպլեքս թվեր. Formula de Moivre.
համալիր համարըԱնուն viraz միտք z = x + iy, de x և y - dіysnі թվեր, իսկ ես - այսպես կոչված: ակնհայտ մենակություն. Եթե ​​x=0, ապա դասվում է 0+iy=iy թիվը։ եկեք ցույց տանք այն թվով; թեև y=0, x+i0=x թիվը քարտեզագրվում է ընթացիկ x թվին, բայց դա նշանակում է, որ բոլոր ֆունկցիաների անանձնական R-ն է։ թվեր յավլ. անանձնական Զ ուսիխի բազմության տակ բարդ թվեր, ապա. . Թիվ x անուններ տասնորդական մասը z, . Երկու կոմպլեքս թվեր і կոչվում են հավասար (z1=z2) զույգ և միայն մեկ անգամ, եթե հավասար մասերն ու հավասար մասերը հավասար են՝ x1=x2, y1=y2։ Զոկրեմա, Z=x+iy կոմպլեքս թիվը հավասար է զրոյի, ապա եթե x=y=0։ Կոմպլեքս թվերի համար «ավելի մեծ» և «պակաս» հասկացությունները չեն ներմուծվում։ Երկու բարդ թվեր z \u003d x + iy і, որոնք դիտարկվում են միայն բացահայտ մասի նշանով, կոչվում են ստացված:

Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական ներկայացում:

Արդյո՞ք z = x + iy կոմպլեքս թիվը կարող է ներկայացվել Oxy հարթության M(x,y) կետով, որպեսզի x=Re z, y=Im z: Նախ, կոորդինատային հարթության M(x;y) կետը կարող է օգտագործվել որպես z = x + iy բարդ թվի պատկեր: Տարածքը, որտեղ ցուցադրվում են կոմպլեքս թվեր, կոչվում է բարդ տարածք, քանի որ նա պետք է ստի z = x + 0i = x իրական թվերը: Բոլոր օրդինատները կոչվում են բացահայտ գագաթներ, քանի որ դրա վրա դրված են ակնհայտ բարդ թվերը z = 0 + iy: R=OM=(x,y) օժանդակ շառավիղի վեկտորի ետևում կարելի է տեղադրել Z=x+iy կոմպլեքս թիվը։ r վեկտորի երկարությունը, որը ներկայացնում է z կոմպլեքս թիվը, կոչվում է այս թվի մոդուլ և նշանակվում է | z | կամ ռ. Ռոզմիր կուտա միժ փոկլադե. Ուղիղ իրական առանցքի վրա բարդ թիվ ներկայացնող r վեկտորը կոչվում է կոմպլեքս թվի արգումենտ, որը նշվում է Arg z կամ . Կոմպլեքս թվի արգումենտը Z = 0 նշանակված չէ: Կոմպլեքս թվի արգումենտը - արժեքը առատորեն նշանակալի է և չափվում է ճշգրտությամբ մինչև dodanku, de arg z - փաստարկի հիմնական արժեքը, դրված բացատում (), ապա. - (Երբեմն որպես փաստարկի գլխավոր արժեք վերցրեք այն արժեքը, որը պետք է պարունակի բացը (0; )):

Z թիվը z=x+iy-ով գրելը կոչվում է բարդ թվի հանրահաշվական ձև:

Dії կոմպլեքս թվերի նկատմամբ

Հավելված. Z1=x1+iy1 և z2=x2+iy2 երկու կոմպլեքս թվերի գումարը բարդ թիվ է, որը հավասար է՝ z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2): Կոմպլեքս թվերի գումարումը կարող է փոխվել և փոխել ուժը՝ z1+z2=z2+z1։ (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3): Vіdnіmannya. Vіdnіmannya vyznaєtsya Յակ dіya, zvorotne dodavannya. z1 և z2 կոմպլեքս թվերի տարբերությունը կոչվում է այնպիսի կոմպլեքս z թիվ, որը, գումարվելով z2-ին, ստանում է z1 թիվը, այսինքն. z = z1-z2, ուրեմն z + z2 = z1: Ինչպես z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, այս հանձնարարությունից հեշտ է հանել z-ը՝ z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2): հոգնակի. Z1=x1+iy1 և z2=x2+iy2 կոմպլեքս թվերի լրացումը բարդ թիվ է, որը հավասար է z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2): Zvіdsi, zokrema, i vyplyaє: Եռանկյունաչափական ձևի առաջադրանքների քանակի նման.

Երբ կոմպլեքս թվերը բազմապատկվում են, դրանց մոդուլները բազմապատկվում են, իսկ արգումենտները ավելացվում են: De Moivre բանաձեւը(ինչպես նաև є n բազմապատկիչներն ու հոտը նույնն են).

2020 թվականի վերջին ՆԱՍԱ-ն արշավ է սկսում դեպի Մարս։ Տիեզերանավը Մարս առաքեք էլեկտրոնային կրիչով, որը կրում է արշավախմբի բոլոր գրանցված մասնակիցների անունները:

Քվեարկության մասնակիցների գրանցում. Վերցրեք ձեր տոմսը դեպի Մարս օրհնությունների համար:

Հավանեք այս գրառումը՝ լուծելով ձեր խնդիրը կամ պարզապես արժանի լինելով ձեզ, կիսվեք ձեր ուժերով սոցիալական ցանցերում ձեր ընկերների հետ։

Դուք պետք է պատճենեք և տեղադրեք այս կոդի ընտրանքներից մեկը ձեր վեբ էջի կոդի մեջ՝ պիտակների միջև іկամ հենց պիտակից հետո . MathJax-ի առաջին տարբերակի հետևում նախընտրելի է ավելի փոքր և ավելի քիչ կպչուն կողմ: Natomist-ի մեկ այլ տարբերակ ինքնաբերաբար ընտրում և արդիականացնում է MathJax-ի վերջին տարբերակին: Եթե ​​տեղադրեք առաջին կոդը, այն պետք է պարբերաբար թարմացվի: Եթե ​​տեղադրեք այլ կոդ, կողմերին ավելի կհետաքրքրեն, ուստի ստիպված չեք լինի անընդհատ հետևել MathJax-ի թարմացումներին:

Միացրեք MathJax-ը ամենապարզ ձևով Blogger-ում կամ WordPress-ում. ավելացրեք վիջեթ կայքի վճարման վահանակում, երրորդ կողմի JavaScript կոդը տեղադրելու նպատակակետերը, պատճենեք առաջին կամ մեկ այլ տարբերակը վերը ներկայացված ներգրավվածության կոդում և չափափոխեք վիջեթը ավելի մոտ: ձևանմուշի վերևում (խոսակցությունից առաջ մեզ նոր «լեզու» պետք չէ, MathJax սկրիպտները կանչվում են ասինխրոն կերպով): Բոլորիցս. Այժմ ստուգեք MathML, LaTeX և ASCIIMathML-ի շարահյուսությունը, և դուք պատրաստ եք մաթեմատիկական բանաձևեր տեղադրել ձեր կայքի վեբ էջերում:

Chergovy Նոր ժայռից առաջ... եղանակը ցրտաշունչ է, այդ snizhinki-ն շիբցի վրա... Ամեն ինչ ինձ հուշեց նորից գրել... ֆրակտալների մասին, և նրանց մասին, ովքեր գիտեն Wolfram Alpha-ի մասին։ Іz thogo drive є tsіkava stattya, ի yakіy є հետույք երկչափ ֆրակտալ կառույցների. Անմիջապես աշխարհը կարող է տեսնել չնչին ֆրակտալների ծալված հետույք:

Ֆրակտալը կարող է տեսողականորեն դրսևորվել (նկարագրվել), ինչպես երկրաչափական պատկերը կամ մարմինը (օդում երևացող, որը նույնպես անանձնական է, այս կոնկրետ տեսակին, անանձնական կետ), մանրամասները, որոնք նման ձև են տալիս, ինչպես ինքնին գործիչը: Tobto tse ինքնանման կառուցվածքը, նայելով մանրամասներին, կարծես ընդլայնված լինի, ընդօրինակում է հենց այն ձևը, որն առանց ընդլայնման է: Նմանապես, տեսողականորեն աչքի ընկնող երկրաչափական պատկերում (ոչ ֆրակտալ), ավելի փոքր մանրամասներով, կարծես պարզ ձև կարելի է անել, տեսանելի է ավելի ցածր պատկեր: Օրինակ, երբ ավարտում եք էլիպսի մեծ մասը, այն կարծես ուղիղ ծառ է: Սա չի կարելի ասել ֆրակտալների դեպքում՝ ցանկացած բարելավման համար մենք կրկնելու ենք նույն ծալովի ձևը, կարծես մաշկի բարելավման դեպքում՝ նորից ու նորից։

Ֆրակտալների գիտության հիմնադիր Բենուա Մանդելբրոտն իր հոդվածում «Ֆրակտալներ և առեղծվածներ հանուն գիտության» հոդվածում գրել է. պաշտոնական ձև. Այսինքն, եթե ֆրակտալի մի մասը մեծացվի ամբողջի չափով, այն կդիտվի որպես ամբողջություն, կամ ճշգրիտ, կամ, հնարավոր է, թեթև դեֆորմացիայով։