Անանձնական բնական թվերի դասակարգում. Բնական թվի և զրոյի հասկացությունը: «Հավասարապես», «պակաս», «Մեծ» արտահայտությունը անանձնական բնական թվերի վրա Հասկանալով սնուցումը մաթեմատիկական վերլուծության համար

N բնական շարքին այլընտրանք է համարվում անանձնական բնական թիվը, որը չի փոխում a բնական թիվը, ուստի N = (x | x N i x a):

Օրինակ, N ce անանձնական բնական թվեր, այնպես որ, մի փոխեք 7-ը, այսպես. N = (1,2,3,4,5,6,7):

Բնական շարքի երկու ամենակարևոր ուժերը.
1) Be-yaky vіdrіzok N վրեժ մենակություն. Tsya vlastivistvo viplivaє іz vyznachennya vіdrіzka բնական շարքը:
2) Եթե x թիվը անհետանում է N і x a հակառակորդից, ապա x + 1 թիվը գալիս է նրանցից հետո և անհետանում է N-ի մեջ:

Bezlich A-ն կոչվում է kіtsevim, կարծես այն հավասար է N բնական շարքի նույն նմանակին։ Օրինակ՝ անդեմ Եվ տրիկուտնիկի գագաթները՝ անդեմ գարշահոտությունը հավասար է N = (1,2,3), այսինքն. A~B~N .
Քանի որ A թիվը ոչ դատարկ է և հավասար է N-ի, ապա բնական թիվը կոչվում է A բազմապատկիչի տարրերի թիվ և գրվում է n(A) = a: Օրինակ, եթե A-ն եռյակի գագաթների բազմապատկությունն է, ապա n(A) = 3:

Եթե ​​դատարկ չլիներ, ապա kіtsev bezlіch-ը հավասար է բնական շարքի մեկ և ավելի քան մեկ vіdrіzk, tobto: մաշկի էնդիան հոգնակի Եվ այն կարելի է դնել եզակի հավասար թվի մեջ, որպեսզի անանձնական Ա-ն փոխադարձաբար միանշանակ լինի N թվի մեջ։

Փոխադարձ և մեկ ազնվականության կարգավորումը անտանելի բազմալիվոյի անտանելիների էթիկան է և բնական շարքում ուտել ռախունկա գութան Ա Զկիլկա նույն թվի պաշտամունքի հետևում։ Մի դասում բոլոր մեկ տարրային բազմապատկիչները կկրճատվեն, մյուսում՝ երկտարրականները և այլն։ Առաջին թիվը կարելի է դիտարկել որպես հավասար ուժ ունեցող իշխանների դասի վերջնական ուժ։ Այս հերթականությամբ, տեսական-բազմակի տեսակետից, բնական թիվը տերմինալային բազմապատկիչների դասի հիմնական հզորությունն է։

0 թիվը կարող է լինել նաև բազմապատկիչ-տեսական՝ այն պետք է սահմանել դատարկ բազմապատկիչ՝ n() = 0:

Նաև բնական թիվը՝ որպես քանակի հատկանիշ, կարելի է տեսնել երկու դիրքից.

1) որպես ռահունկայի համար շահած տարրերի քանակ A խմբում.
2) որքան հզոր է kіtsevyh նույնքան ուժեղ բազմությունների դասի ուժը:

Վերջնական բազմապատկիչների և բնական թվերի միջև կապերի հաստատումը թույլ է տալիս տալ «պակաս»-ի բազմապատկիչ-տեսական ամպամածություն։

Եթե ​​a = n(A), b = n(B), ապա a թիվը փոքր է b թվից, նույնիսկ եթե A բազմապատկիչը հավասար է բազմապատկիչի հզորության ենթաբազմապատկիչին, ապա. A ~ B, de B, B, B (նկ. 1) . Abo եթե բնական N є շարքում եկեք շատ ուժ ստանանք vіdrіzka N, tobto. N N.

Թվերը а і b հավասար են, yakscho գարշահոտությունը հավասար են հավասար բազմապատիկների՝ a = k А~B de n(A) = a, n (B) = k: Օրինակ, 2 = 2, քանի որ n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B:

Բնական թվերի «պակաս» տերմինի գերակայությունը նույնպես նման է բազմապատկիչ-տեսական ամպամածությանը. դրա հետ է կապված այս տերմինի անցողիկությունն ու հակասիմետրիկությունը, որը անցողիկ է և հակասիմետրիկ «դառնում է բազմապատկիչ» տերմինի:

Ցույց է տրվում, որ բնական թվերի «պակաս»-ի բազմատեսական մեկնաբանությունը, որը 2 է
Վերցնենք A բազմապատկիչը՝ 2 տարր վրեժ լուծելու համար, իսկ B բազմապատկիչը՝ 5 տարրից վրեժ լուծելու համար, tobto: n(A) = 2, n(B) = 5. Օրինակ, A = (a, b), B = (c, d, e, f, r): B բազմապատկիչից կարելի է տեսնել ենթաբազմապատկիչը, հավասար բազմապատկիչը A. օրինակ B = (c, d) і A ~ B:
Արդարություն Ն
Tsyu nerіvnіst կարող եք նայել փոքրիկ 2-ին. Արի 2-ը ծալքերի քանակն է, իսկ 5-ը քառակուսիների թիվն է: Եթե ​​դուք շրջանակները դնում եք քառակուսիների վրա, ապա կարելի է վստահորեն ասել, որ քառակուսիների մի մասը մնացել է անավարտ:

Otzhe, ծալքերի թիվը պակաս է, քան քառակուսիները, tobto. 2
Անհավասարության բազմապատկիչ-տեսական զգացում 0

Մաթեմատիկայի «cob» դասընթացում թվերի հավասարեցումը մշակվում է տարբեր ձևերով. այն հիմնված է բոլոր այն մոտեցումների վրա, որոնք մենք դիտարկել ենք «պակաս» արտահայտությունը մեկնաբանելուց առաջ:

Թեորեմներ «ամենամեծ» և «նվազագույն» թվի մասին

Թեորեմ 4 («նվազագույն» թվի մասին): Եթե ​​դատարկ չլիներ, շրջապատված լիներ անանձնական թվերի հատակով, վրեժ լուծեք ամենափոքր թվով: (Այստեղ, ինչպես բնական թվերի դեպքում, «բազմապատիկ» բառը փոխարինվել է «բազմապատիկ» E բառով.

Բերելով. Թող O A Z i A-ն ներքևից ծոպեր է, tobto: 36? Զվա՞ Ա(բ)< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

Արի հիմա LA.

Թոդի Ուա է Աֆ< а) и, значит, Уа А(а - Ь >Օ).

Բոլոր թվերից անանձնական M դարձնենք a - b, de probіgaє անանձնական A, tobto: M \u003d (s [c \u003d a - b, a E A)

Ակնհայտ է, որ անանձնական Մ-ն դատարկ չէ, բեկորները Ա 74 0

Յակ ավելի բարձր է, M C N: Հետագայում, հետևելով o r a l n o m h i s l e թեորեմին (54, գլ. III), M բազմապատկիչն ունի ամենափոքր բնական թիվը m: A, և առնվազն M-ի բեկորներ, հետո Վա: Ա(տ< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

Թեորեմ 5 («ամենամեծ» ամբողջ թվի մասին): Եղիր ոչ դատարկ բան, շրջապատիր անանձնական թվերի գազանին, որպեսզի վրեժխնդիր լինես ամենամեծ թվի համար:

Բերելով. Թող O 74 AC Z i A-ն շրջապատված է գազանով b թվով, այսպես. ? ԶՎա է Ա(ա< Ь). Тогда -а >b բոլոր թվերի համար a? ԲԱՅՑ.

Հետագայում M բազմապատկիչը (z g \u003d -a, a? A) դատարկ չէ և շրջապատված է ստորև (-6) թվով: Նախորդ թեորեմի համաձայն M բազմապատկիչն ունի ամենափոքր թիվը, այսինքն. ace? ՄՔԴ? Մ (զ< с).

Tse նշանակում է, թե ինչ Wah? Ա(ներ< -а), откуда Уа? А(-с >ա)

Z. Ամբողջ թվերի մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդի տարբեր ձևեր. Թեորեմ podіl іz ավելցուկի մասին

Թեորեմ 1 (մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդի առաջին ձևը): Թող P(s) - մեկ պրեդիկատ, հանձնարարություններ Z ամբողջ թվերի բազմապատիկներին., 4: Նույն կերպ deyaky NUMBER-ի և Z-ի համար առաջարկը P (o) і Բավարար ամբողջ թվի համար K > a z P (K) սահեց P (K -4- 1), ապա P (g) առաջարկը ճիշտ է բոլոր թվերի համար: z > a (այսպես Z є բազմապատկիչի վրա պրեդիկատների հաշվարկման իրական բանաձևը հետևյալն է.

P(a) cibulya > + 1)) Vus > aP(s)

ցանկացած ֆիքսված ամբողջ թվի համար a

Բերելով. Թող P (c) դրույթները ճշմարիտ լինեն ամեն ինչի համար, գնալ դեպի թեորեմի միտքը, tobto:

1) P(a) - ճշմարիտ;

2) KK SC to +-ը նույնպես ճիշտ է:

Մի տեսակ անընդունելի. Ենթադրենք, որ այդպիսի թիվ կա

բ> ա, շո ՌԴ) - բարեւ։ Ակնհայտ է, որ a, oskіlki R (ա) ճիշտ է: Գոհունակությամբ անանձնական M = (z?> a, P (z) - hibno):

Todi bezlich M0, oskіlki L? M և M-ը ներքևում սահմանափակված են a թվով: Հետագայում, na i m e n n m e l e l o m h i sl թեորեմից հետո (թեորեմ 4, 2), M բազմապատկիչն ունի ամենափոքր c թիվը։ Zvіdsi z\u003e a, sho, my black, pulling s - 1\u003e a.

Ասենք, որ Р(с-1) ճիշտ է։ Եթե ​​c-1 = a, ապա P (c-1) ճիշտ է մտքի ուժով:

Թող c-1 > a. Todi pripuschennya, scho R (s-1) - hibno, իր հետևից քաշելով s 1-ի տիրապետումը: M, որը չի կարող լինել, բայց s-ի թիվն ամենափոքրն է M-ում:

Այս հերթականությամբ s - 1> a և P (c - 1) - ճշմարիտ:

Մտածեք P((c- 1) + 1) առաջարկը P((c- 1) + 1) առաջարկից - դա ճիշտ է: R(s) - ճշմարիտ: Tse superechit ընտրությունը թվի c, oskіlki? Թեորեմն ավարտված է.

Հարգանքներով, այս թեորեմը Պեանոյի աքսիոմների 1-ին հետևանքն է:

Թեորեմ 2 (ամբողջ թվերի մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդի մեկ այլ ձև): Թող P (s) - deaky one-m_sny predshsatp, vizna-day) Z ամբողջ թվերի բազմակի վրա։ Այնուամենայնիվ, P (c) առաջարկը վավեր է K տասնորդական ամբողջ թվի համար և համարժեք ամբողջ թվի համար s Առաջարկը շտկելու համար P (c) բոլոր ամբողջ թվերի համար, որոնք բավարարում են K-ի անկանոնությունները:< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >Նախքան.

p align="justify"> Այս թեորեմի ապացույցը հարուստ է, ուստի ես կրկնում եմ նմանատիպ թեորեմի ապացույցը բնական թվերի համար (Թեորեմ 1, 55, Գլ. III):

Թեորեմ 3 (մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդի երրորդ ձևը): Թող P(s) - մեկական պրեդիկատ, հանձնարարություններ բազմապատկիչ Z cіlіs CHІСі: Եթե ​​P(c)-ը ճշմարիտ է զրոյական բնական թվերի M տասնորդական բազմապատկիչի բոլոր թվերի համար Բավարար ամբողջ թվի համար a C-ն ճիշտ է P(a), ապա P(a - 1)-ը ճշմարիտ է, ապա P(c) առաջարկը. ճշմարիտ բոլոր թվերի համար:

Ապացույցը նման է բնական թվերի կրկնակի թեորեմի ապացույցին։

Proponuemo yogo նման cicava ճիշտ է:

Հարկ է նշել, որ գործնականում մաթեմատիկական ինդուկցիայի երրորդ ձևն ավելի արտահայտված է, ավելի ցածր և ցածր: Բացատրվում է, որ її zastosuvannya-ի համար անհրաժեշտ է իմանալ բնական թվերի բազմապատկիչի անսահման M ենթաբազմապատկիչը, պարզ կլինի թեորեմում։ Նման բազմապատկիչի իմացությունը կարող է բարդ առաջադրանքներ թվալ:

Ալե, երրորդ ձևի առավելությունը մյուսներից առաջ այն է, որ P (c) լրացուցիչ առաջարկը բերվում է բոլոր ամբողջ թվերին:

Ստորև մենք ուղղում ենք երրորդ ձևի zastosuvanya-ի հետույքը»: Ալե, մեջք թիկունք, դամոն ավելի հարգալից հասկացողություն է:

Նշանակում. A ամբողջ թվի բացարձակ արժեքը կանոնի համաձայն նշանակված թիվն է

0, եթե a O a, եթե a > O

Ա յակչո ա< 0.

Otzhe, ինչպես 0, ապա? Ն.

Ընթերցողին առաջարկվում է, որ նա իրավունք ունի այդպիսի իշխանությունը հասցնել բացարձակ մեծության.

Թեորեմ (հորդառատության մասին). Մինչ այդ a i b, de b 0, iсnuє i թվերի ցանկացած թվի համար կա միայն մեկ զույգ q U m այնպիսի թվեր, որ a r՝ bq + T L D:

Բերելով.

1. Խաղադրույքի հիմքը (ք, տ).

Թող a, b? Z i 0. Ցույց է տրվում, որ գոյություն ունի q i թվերի զույգ

Ապացուցումն իրականացվում է ինդուկցիայի միջոցով երրորդ ձևով a մեծության համար՝ ֆիքսված b թվով։

M = (mlm = n lbl, n? N):

Ակնհայտ է, որ M lt-ը f: N M արտահայտությունն է, որը որոշվում է f (n) = nlbl կանոնով ցանկացած n-ի համար: N-ը բիեկցիա է: Ցե նշանակում է, որ M N, որ. Մ-անորոշ կերպով:

Ասենք, որ որոշակի թվից ա. Մ (і L-ֆիքսված) թվերի q і t զույգի հիմքի մասին թեորեմի պնդումը ճիշտ է։

Ճիշտ է, թող լինի մի (- M. Todi a pf! իրական պ.

Եթե ​​b > 0, ապա a \u003d n + O: Հաշվի առնելով այժմ q \u003d n և m O, մենք վերցնում ենք q և m թվերի անհրաժեշտ զույգը:< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

Zrobimo այժմ ինդուկցիոն նպաստ. Ենթադրենք, որ բավարար ամբողջ թվից s (և բավարար ֆիքսված b 0) թեորեմի պնդումը ճիշտ է, ուրեմն. այնպիսի թվերի (q, m) զույգ է, որ

Կարելի է ցույց տալ, որ ավելի ճիշտ i է թվի համար (з 1): Z-ը հավասար է s \u003d bq -4 - viplivaє bq + (t - 1): (մեկ)

Հնարավոր է ընկնում:

1) t\u003e 0. Todі 7 "- 1\u003e 0: Այս պահին, դնելով - t - 1, մենք վերցնում ենք z - 1 - bq + Tl, de para (q, 7" 1,) ակնհայտորեն հաճելի է. միտք

0. Թոդի հ - 1 բք1 + 711 դե ք1

Առանց պրակտիկայի հնարավոր է, որ 0< < Д.

Այս հերթականությամբ հաստատունությունը ճշմարիտ է և թվերի խաղադրույքի համար

Թեորեմի առաջին մասը ավարտված է։

P. Մեկ խաղադրույք q і այլն:

Ենթադրենք, որ a i b 0 թվերի համար կարելի է հաստատել երկու զույգ թվեր (q, m) i (q1, որպեսզի բավարարեն մտքերը (*)

Տեսնենք, որ հոտերը փախչում են։ Օ՜, արի

ես ա բք1 Լ Ո< Д.

Zvіdsi vyplivaє, scho b(q1 -q) t-7 1

Այժմ ենթադրենք, որ q ql, ապա q - q1 0, աստղերը lq - q1l 1: - q11 D. (3)

Vodnocha іz nerіvnosti 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

U r a f n i n nya:

1. Լրացրե՛ք 5-ի 2-րդ և 3-րդ թեորեմների ապացույցները 1:

2. Լրացրե՛ք 3-րդ, 1-ին թեորեմ 2-րդ եզրակացությունը:

3. Ավելացնենք, թե որքա՞ն է NS Z-ի գումարը, ինչ է գումարվում տրված թվերից ձևով.< п + 1, 1 >(n? N), այդ բազմապատկման ծալման փակ եղանակ։

4. Թող N-ը նշանակի այն նույն անանձնական բաները, որոնց իրավունքը դուք ունեք: 3. Բերեք այն, ինչ տեսնում եք:

1) ј - bієktsіya;

2) j(n + m) = j(n) + j(m) և j(nm) = j(n) j(m) ցանկացած n, m, i (H, +,) թվերի համար:

5. Լրացրե՛ք 2-ի 1-ին թեորեմի ապացույցը:

6. Ապացուցելու համար, որ a, b թվերի ցանկացած քանակի համար վավեր են հետևյալ հետևանքները.

7. Ասա ընկերոջդ թեորեմի այդ երրորդը Զ.

8. Ապացուցել, որ Z ամբողջ թվերի թիվը չի վրեժխնդիր զրոյի թվերից:

գրականություն

1. Բուրբակի Ն. Բազմակի տեսություն. Մ.: Սվիտ, 1965:

2. Վինոգրադիվ Ի. Մ.Թվերի տեսության հիմունքներ. Մ.: Նաուկա, 1972. Զ.Դեմիդով Ի. T. Տրե՛ք թվաբանություն: M: Uchpedgiz, 1963 թ.

4. Կարգապոլով Մ.Ի., Մերզլյակով Յու.Ի. Խմբերի տեսության հիմունքները.

M: Nauka, 1972 թ.

5. Կոստրիկին Ա.Ի. Ներածություն հանրահաշիվին. M: Nauka, 1994 թ.

բ. Kulikov L. Ya. Հանրահաշիվ և թվերի տեսություն. M: Վիշչա: դպրոց, 1979 թ.

7. Կուրոշ Ա.Գ. Ամենաառաջադեմ հանրահաշվի ընթացքը. M: Nauka, 1971 թ.

8. Lyubetsky V. A. Դպրոցական մաթեմատիկայի հիմնական հասկացությունները. M: Prosvitnitstvo, 1987 թ.

9. Լյապին Է.Ս. որ մեջ. Հենց խմբերի տեսությունից։ M: Nauka, 1967 թ.

10. Մալցև Ա.Ի. Հանրահաշվական համակարգեր. M: Nauka, 1970 թ.

11. ՄենԴելսոն Էգե. Մաթեմատիկական տրամաբանության ներածություն. M: Nauka, 1971 թ.

12. Նեչաև Վ.Ի. Թվային համակարգեր. M: Prosvitnitstvo, 1975:

13. Նովիկով Պ.Ս. Մաթեմատիկական տրամաբանության տարրեր. M.. Nauka, 1973 թ.

14. Պետրովա Վ. Տ. Դասախոսություններ հանրահաշիվ և երկրաչափություն. U 2 տարի.

CHL. M: Վլադոս, 1999 թ.

15. Սոչասնիի որոգայթ դպրոցի մաթեմատիկայի դասընթաց Ավ. վարկ՝ Վիլենկին Ն.Յա., Դունիչև Կ.Ի., Կալլժնին Լ.Ա. Ստոլյար Ա.Ա. M: Prosvitnitstvo, 1980 թ.

16. L. A. Kushnir, Elements of Algebra. M: Nauka, 1980 թ.

17. Ստոմ Ռ.Ռ. Անանձնականություն, տրամաբանություն, աքսիոմատիկ տեսություններ. Մ. Օսվիտա, 1968 թ.

18. Stolyar A. A. Տրամաբանական ներածություն մաթեմատիկայի. Մինսկ՝ VISCHII. դպրոց, 1971 թ.

19. V. P. Filippov, Հանրահաշիվ և թվերի տեսություն. Վոլգոգրադ: VGPІ, 1975:

20. Ֆրենկել Ա., Բար-Հիլել Ի. Տրե՛ք բազմապատիկների տեսությունը: Մ: Սվիթ, 1966 թ.

21. Fuchs L. Chastkovo պատվիրման համակարգեր. Մ.: Սվիտ, 1965:

Ի սկզբանե տեսել

Վոլոդիմիր Կոստյանտինովիչ Կարտաշով

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՄԱՍՆԱԿԱՆ ԴԱՍԸՆԹԱՑ

Գլխավոր օգնություն

Խմբագրական պատրաստում O. I. Molokanova Օրիգինալ դասավորությունը նախագծված է O.P. Boshchenko- ի կողմից

«PR 020048 20.12.96թ

Ստորագրվել են միմյանց 28.08.99թ. Ձևաչափ 60x84/16: Դրուկ գրասենյակ. բում. տեսակ. Մ 2. Ուել. կուչ. լ. 8.2. Ուխ.-տես. լ. 8.3. Տպաքանակը՝ 500 օրինակ։ Կախարդանք 2

Վիդավնիցվո «Զմինա»

Բնական թիվն ամբողջ թիվն է, կարծես հաղթում է առարկաների ռահունկայի համար: Vono viniklo z մարդկանց գործնական կարիքները. Բնական թվի ըմբռնման զարգացումը կարելի է բաժանել մի քանի փուլերի՝ 1. ծերերը, աննշանությունը հաղթահարելու համար, սահմանել են էականները՝ օրինակ՝ ներբանները, ձեռքերի մատները։ Nedolik - por_vnyuvani mnozhini vinni buli բայց մեկ ժամ հասանելի է ստուգման համար: 2. Բեզլիճ - միջնորդներ, օրինակ՝ քարեր, կրիաներ, ձողիկներ։ Kіlkіst հասկացությունն ավելի ծալված է: І թվեր կապված կոնկրետ առարկաների հետ: 3. Թվի արտաքին տեսք (թվի նշանակումը տեսանելի թվանշաններով): Մաթեմատիկայի ծնունդը. Թվաբանությունը որպես գիտություն առաջացել է հին ծագման երկրներում՝ Չինաստանում, Հնդկաստանում, Եգիպտոսում, հեռավոր զարգացումՀունաստանում։ «Բնական թիվ» տերմինն առաջին անգամ օգտագործվել է Բոետիոսի հռոմեական ուսմունքների կողմից։ Ռախունոկը անհրաժեշտ է մեծ գումար նշանակելու համար: Rozіb'єmo բոլոր kіlkіsnі բազմապատկիչները համարժեքության դասի վրա, օրինակ, համարժեքության մեկ դասում: տեսնել տրիկուտնիկների անդեմ գագաթները, քառակուսու կողմերը, լույս բառի անդեմ տառերը։ Եթե ​​դուք շարունակեք այս գործընթացը, ապա նրանց միջոցով, ովքեր ունեն համարժեքություն, ամեն ինչ հավասարապես ուժեղ է: Kіntsevі բազմապատկած vyyavlyatsya դասերի համար: Դա. տեսականորեն - kіlkіsnogo բնական թվի բազմակարծությունը - є zagalna vlastіvіst kіntsevіh іnevіlіh іnnosіlnіh mnіzhiny: Մաշկի դասը ունի իր համարը: Զրոն սահմանվել է դատարկ բազմապատկիչ:

A և B թվերը կոչվում են հավասար, քանի որ դրանք թվով հավասար են։

Նման մեթոդը լճանում է կոպի դասերում:

Առաջադրանքների վրա աշխատելու տեխնիկան, որոնք բացահայտում են թվաբանական diy-ի հատուկ իմաստները:

Զգալի տեղ են գրավում թվաբանական առաջադրանքները մաթեմատիկայի դասընթացում։ Մայժեն մաթեմատիկայի դասերից կես ժամ առաջ պետք է ներկայացվի առաջադրանքի ավարտին: Ողջ մեծ հոգևոր և լուսավոր գլորում է, որ գարշահոտը խաղում է երեխաների դաստիարակության ժամին։ Virishennya թվաբանական առաջադրանքները օգնում են բացահայտել թվաբանական գործողությունների հիմնական ըմբռնումը, կոնկրետացնել դրանք և առնչվել երգարվեստի կյանքի իրավիճակին: Զավդաննյա ստանձնել մաթեմատիկան հասկանալ, Vіdnosin, օրենքներ. Երբ առաջադրանքը կատարվում է, երեխաները զարգացնում են բավականին հարգանք, զգուշություն, ավելի տրամաբանական միտք, Մովա, kmіtlivist. Նպատակն է զարգացնել ճանաչողական գործունեության այնպիսի գործընթացներ, ինչպիսիք են վերլուծությունը, սինթեզը, հավասարեցումը և ճշգրտումը:

Թվաբանական առաջադրանքները լուծելու ընթացքում սովորողները սովորում են պլանավորել և վերահսկել իրենց գործունեությունը, բաց ընդունելություն, ինքնատիրապետում (առաջադրանքների վերստուգում, առաջադրանքների գնահատում), նրանք ճոճվում են իրենց ամբարտավանությամբ, կամքով, զարգացնում են հետաքրքրությունը մինչև կետ: առաջադրանքների լուծմանը։ Մեծ է virishennya zavdan-ի դերը երեխաներին կյանքին, ապագային նախապատրաստելու գործում աշխատանքային գործունեություն. Սյուժեի առաջադրանքները լուծելիս սովորողները սկսում են առարկաների և արժեքների միջև անցնել «մաթեմատիկայի լեզու»: Թվաբանական առաջադրանքներում հաղթական է թվային նյութը, որը ներշնչում է երկրի հաջողությունը ժողովրդական պետության, մշակույթի, գիտության տարբեր պատկերասրահներում։ Tse spryaє ընդլայնում է ուսանողների հորիզոնները՝ հարստացված նոր գիտելիքներով թեմատիկ գործողության մասին: Uminnyam vyrishuvati թվաբանական zavdannya uchnі opanovuyut մեծ դժվարություններով:

Երեխաների ներման առաջադրանքների պատճառները մեզ համար աղաղակում են նրանց մտքի առանձնահատկությունների առաջ։ Navchannya rozv'azannyu-ի գործընթացում առաջադրանքները պետք է եզակիորեն ձգվեն առաջին մտքի առաջադրանքի վերևում, անհրաժեշտ է կարդալ մոտեցումը առաջադրանքների ռոզվայազանությանը, կողմնորոշվել դեպի պարզ կյանքի իրավիճակը, նկարագրությունները: առաջադրանքը, Ցանկացած թվաբանական խնդրի վրա աշխատելու գործընթացում կարող եք տեսնել հետևյալ փուլերը.

1. Աշխատեք առաջադրանքի մենեջերի վրա:

2. Պոշուկի խնդրի լուծում.

3. Խնդիրների լուծում.

4. Կարծիքի ձևակերպում.

5. Խնդրի լուծման վերանայում.

6. Հեռու ռոբոտից՝ գլխավոր առաջադրանքների վրա:

Նկատի ունեմ հաջորդի հարգանքը՝ ռոբոտներին գործարանի զմիստի վրայով ամրացնելու՝ տոբտո։ առաջադրանքներում իրավիճակի ըմբռնման, դանիմի և շուկանիմի միջև ընկած հատվածների հաստատման շուրջ։ Առաջադրանքի նվաճման վրա աշխատանքի հաջորդականությունը.

ա) անգրագետ բառերի և վիրազիվների վերլուծություն.

բ) ուսուցչի տված տեքստի ընթերցում և սովորում.

գ) առաջադրանքը կատարելու մասին արձանագրություն.

դ) սննդի առաջադրանքի կրկնությունը.

Vyraznym կարդալով տեքստը ղեկավարի հաջորդ ուսումնասիրության. Պետք է հիշել, որ երեխաներին հատկապես անհրաժեշտ է գովազդային ընթերցանություն կարդալ, նրանք ինքնուրույն չեն կարողանում ճիշտ կարդալ առաջադրանքը, չեն կարողանում տրամաբանական ձայներ դասավորել և այլն։

Լրացուցիչ առարկաների, տրաֆարետների և փոքր երեխաների առաջադրանքների կոնկրետացման կարգը լայն լայնության դպրոցներում ռոբոտների պրակտիկայում ձևավորվել է առաջադրանքը կատարելու համար հետևյալ ձևով.

1. Գրառման ձևը կրճատվում է, երբ առաջադրանքի տեքստում գրվում են թվային տվյալներ և ընդամենը մի քանի բառ ու բառ՝ ըստ առաջադրանքի տրամաբանական իմաստը հասկանալու համար:

2. Գրելու կարճ կառուցվածքային ձև, եթե առաջադրանքի մաշկային տրամաբանական մասը գրված է նոր շարքից։

3. Գրառման սխեմատիկ ձևը.

4. Գրելու գրաֆիկական ձև.

Քանի որ երեխաների մոտ հսկողության գործառույթը թուլացել է, ապա ռոզվյազանյան զավդաննիայի վերաքննությունը կարող է լուսավորվել, և դա ունի կարևոր նշանակություն: Երիտասարդ դասարաններում անհրաժեշտ է.

1. Բանավոր ձևակերպիր առաջադրանքները՝ շրջելով առարկաների վրայով:

2. Վերանայեք իրավիճակի իրականությունը.

3. Վերանայեք բույսի մտքի և սննդի համարժեքությունը: Առաջադրանքների լուծման վերստուգում այլ եղանակներով її vyshennya հնարավոր է 4-րդ դասից:

Առաջադրանքի մշակման ճիշտությունը վերահսկելու համար անհրաժեշտ է ընտրել և գործել ծրագրավորված ուսուցման տարրերի վրա: Այս տարրն էլ ավելի անբարոյական է, որ ես ևս մեկ անգամ հաշվի կառնեմ «չի»-ի կոռեկտությունը և իմ արարքների ներողամտությունը: Գինիների որոշման ներման համար բալի նոր եղանակներ կան.

Ամենայն հավանականությամբ, դպրոցի ուսուցչին երգում են, որ rozvyazannya avdannya-ն լուսավորվել է ուսմունքով: Նրա համար ավելի լավ է իրականացնել այս առաջադրանքի ավարտը շտկելու աշխատանքը: Ֆիքսված առաջադրանքների աշխատանքը կարող է իրականացվել տարբեր ձևերով.

1. Ստեղծեք համալսարանական սնունդ՝ օրը փրկելու համար:

2. Proponuetsya rozpovіsti բոլոր rozvyazannya zadovі z obґruntuvannyam vyboru dіy:

3. Սնունդը դնել okremih diy chi սննդի վրա: Ուսանողների համար կարևոր է անալոգային առաջադրանքների շեղումների քանակը, և նրանց միջև կարևոր է առարկայական իրավիճակի ըմբռնումը: Tsіy metі і ծառայել որպես ռոբոտ առաջադրանքի առաջադրանքների վրա, քանի որ կարող եք տեսնել, թե որքան կարևոր է ձևավորել այս տեսակի առաջադրանքի սկիզբը: Առարկան, առաջադրանքը, տվյալների և շուկանի միջև ընկած հատվածները ավելի լավ հասկանալու համար, առաջադրանքի կատարելագործումը ոչ թե թվերով, այլ բառերով գրված ամենօրյա թվային տվյալների միավորներից: Զգույշ եղեք ցույց տալ, որ լավագույն ուսուցիչները լայնորեն հաղթում են՝ որպես հենց ուսուցիչների կողմից առաջադրանքները դասավորելու առաջադրանքները դասավանդելու մեթոդներից մեկը:

Առաջադրանքի դասավորությունն օգնում է երեխաներին ավելի լավ հասկանալ առաջադրանքի կենսագործնական նշանակությունը, ավելի լավ հասկանալ դրա կառուցվածքը և սովորել տարբերակել տարբեր տեսակների առաջադրանքները, հասկանալ որոշումը: Առաջադրանքների դասակարգումն իրականացվում է պատրաստված առաջադրանքների որոշումներին զուգահեռ: Dosvid այդ զգուշությունը ցույց կտա, որ ավելի հեշտ է uchnіv chastkovo ծալված առաջադրանքը: Սահեցրեք՝ խթանելու տարբեր սյուժեների ղեկավարների ուսմունքների ձևավորումը: Tse spryaє razvitku їhnyoї vyavlyaet ողորմություն, іnіtsiativi: Ավելի ամոթալի է, եթե դպրոցի ղեկավարի պահեստավորման համար նրանք ստանում են այն նյութը, որը «ձեռք են բերում» մեկ ժամ էքսկուրսիաների համար՝ dovіdnikіv-ից, թերթերից, ամսագրերից և այլն։ Ավագ դասարանների ուսանողները պետք է սովորեն, թե ինչպես գրել և գրել այս և այլ ռոսրահունկաների հետ կապված բիզնես փաստաթղթեր: Օրինակ, գրեք հաստատման նամակ, լրացրեք կոպեկի պատվերի ձևը: Բոլոր բարձրագույն նշանակումները կարող են լայնորեն օգտագործվել բոլոր տեսակի առաջադրանքների տոնակատարության ժամանակ:

Պարզ թվաբանական առաջադրանքը կոչվում է առաջադրանք, կարծես թե պետք է լուծել մեկ թվաբանական առաջադրանք: Ներիր զավդաննյային խաղալ մաթեմատիկայի դասավանդման ժամի գերառաջնային դերը: Ամենապարզ առաջադրանքները թույլ են տալիս ընդլայնել հիմնական գիտելիքները և կոնկրետացնել թվաբանական ֆունկցիաները, ձևակերպել այդ և այլ մաթեմատիկական հասկացությունները: Ներեցեք պահեստի ծալման կարգը, ավելի ուշ, ձևավորելով vminnya virishuvati їx, ուսուցիչը ուսանողներին նախապատրաստում է ծալովի կարգի բացմանը:

Մաշկի պրիմինգի հիման վրա սովորեք սովորել ամենապարզ առաջադրանքների նոր տեսակների մասին: Դրանց քայլ առ քայլ ներմուծումը բացատրվում է մաթեմատիկական ըմբռնման խնդրի տարբեր փուլով, հանդարտ թվաբանական գործընթացների մշակման գործընթացով, բացահայտվում է նման գարշահոտության կոնկրետ լուծումը։ Ոչ պակաս հարգանք ուսուցչի նկատմամբ, թե ինչ արժանիքների ու այդ պատվի կոնկրետացումն է առաջնորդում։ Nareshti, ընթերցող է կոնկրետացնել zmіst zavdannya, rozkrivayuchi zalezhnistі mіzh dannymi որ shukanimi համար լրացուցիչ ձեւերի կարճ ձայնագրության.

Լավագույն ընթերցողների աշխատանքի ավարտը ցույց է տալիս, որ թվաբանական առաջադրանքների կատարման նախապատրաստումը պետք է սկսել պրակտիկ ուսուցման զարգացման բարելավումից, դրանք անհրաժեշտ արդյունավետության կողմնորոշումից: Սովորած լինելով՝ պետք է առաջնորդվել կյանքի այն իրավիճակում, որում հնարավոր է կատարելագործվել, վերանայել թվաբանական առաջադրանքները, աշխատել փոխելու ուղղությամբ։ Ընդ որում, այս իրավիճակները մաս առ մաս ստեղծվող հաջորդը չեն, ավելի քիչ հավանական է, որ շրջվեն և արժանանան ուսանողների հարգանքին։ Ուսուցիչը կազմակերպում է անոթների փոխարեն առարկայի բազմաթիվ տարրերի փոփոխվող քանակի պահպանում: bud., sho priyaє razvitku yavlen uchnіv pro kіlkіst է znajomstvo їх іz երգում termіnologiєyu, yak zstrіnetsya առաջադրանքի բանավոր ձեւակերպմամբ՝ դարձավ, ամեն ինչ կորավ, վերցրին, ավելացավ, փոխվեց և այլն։ Պետք է կազմակերպել ուսանողների այնպիսի խաղային և գործնական գործունեություն, որպեսզի, լինելով այս գործունեության անխափան մասնակիցներ, ինչպես նաև հետսերիգայուչի, ուսանողներն իրենք կարողանան մշակել վիսնովկան մաշկի յուղալի կաթիլով. բազմապատկիչի տարրերի թիվը աճել է կամ բազմապատկիչի տարրերի թիվը փոխվել է, և որոշ գործողություն, որը բառային վիրազը ցույց է տալիս աճը կամ փոփոխությունը: Նախապատրաստական ​​աշխատանքների այս փուլը սկսվում է առաջին տասնյակի թվերի և թվաբանական գործողությունների իմացությամբ, առարկայական հոգնակի թվերից գործողությունների լուծումներով և ծալովի կիրառմամբ:

Առաջին հերթին, թվաբանական առաջադրանքների ուսուցման սկիզբը, ուսուցիչը մեղավոր է, որ ինքն իրեն հստակ բացահայտում է, ինչպես գիտելիքը, անհրաժեշտ է այդ հմտությունները տալ աշակերտներին։ Առաջադրանքը լուծելու համար սովորեք թվաբանական թվաբանության պարտականությունները, լսեք, այնուհետև կարդացեք առաջադրանքը, կրկնեք առաջադրանքը սննդից, կարճ գրառման համար, հիշողությունից, տեսեք խնդրի պահեստի բաղադրիչները, ստուգեք առաջադրանքը և հակադարձեք ճիշտությունը: քայքայման մասին։ 1-ին դասարանում սովորողները սկսում են ստուգել պարկը հանդիմանելու առաջադրանքն ու ավելցուկը։ Առաջադրանքի qi-ն մուտքագրվում է առաջին տասնյակի թվերի սկզբի ժամի սկզբից առաջ: Rozvyazannya-ի սկզբում խնդիր էր դրված փոխել նույն դոդանկիվների գումարը, պոդիլի վրա chi podil-ի հավասար մասում zmist-ից հետո, որին հաջորդում էր spiratis՝ բազմապատկիչի և պոդիլի ամենօրյա թվաբանական գործընթացները հասկանալու համար: . Մինչև ուսմունքների միջև տարբերության կարգը բացելը, անհրաժեշտ է հասկանալ առարկաների դասակարգումը մեկ ամբողջության, երկու օբյեկտիվ ամբողջությունների, մեծությունների, թվերի մեջ՝ հաստատելով դրանց նմանությունը նույն համարժեքության տողում։ և նյարդայնություն: Եկեք միասին հավաքենք, կամ միացնենք, թվաբանական առաջադրանքները կոչվում են առաջադրանքներ, ինչպես երկու հոգի չեն կարող ավելինթվաբանական գործընթացներ. Թվաբանական պահեստային առաջադրանքների առանձնահատկությունների զարգացման հոգեբանական ուսումնասիրությունները ցույց են տալիս, որ երեխաները չեն ճանաչում պարզ առաջադրանքները նոր պահեստային առաջադրանքի համատեքստում: Աշխատանքի նախապատրաստումը մինչև պահեստային առաջադրանքների ավարտը պետք է կատարվի ուսումնական հաստատությունների իրավունքների, ընդունելության և հրահանգների համակարգով մինչև պահեստային առաջադրանքների ավարտը: Մինչ պահեստի ղեկավարի ավարտը կարող եք անցնել նույն տեղը, եթե մտափոխվեք, որ գիտնականները հնարքների օգնությամբ յուրացրել են պարզ առաջադրանքների դասավորությունը, եթե գնում եք պահեստի կառավարչի մոտ, ինքներդ կարող եք տեղադրել. միասին երգող մտքի պարզ առաջադրանք: Երբ rozv'yazannі պահեստային zavdan uchnі povinnі կամ է danih դնում սննդամթերքի կամ սննդի ստանալ տվյալներ: Նաև նախապատրաստական ​​շրջանում՝ տոբտո. ձգելով առաջին ճակատագրի վերջինը, որ մեկ այլ ճակատագրի վրա, սովորելով, հետևելով առաջադրանքի ուսմունքներին.

1. Լվացեք ձեր կերակուրը նախքան այն պատրաստ լինելը:

2. Սնունդից գումարի՛ր առաջադրանքը՝ վերցնելով ամենօրյա թվային տվյալները։

Պարզ և պահեստային առաջադրանքները ծալելը, պահեստային առաջադրանքներից սովորել քայլ առ քայլ սովորելը պարզ է, նույնիսկ եթե դրանք էլ ավելի ճիշտ եք կատարել, իրավունք ունեք ծալելու ծալովի առաջադրանքները: Tse ընդունում է պարզ առաջադրանքների տեսակետների ամենակարճ յուրացումը, խելացի դարձնել դրանք պահեստային առաջադրանքներից տարբերելու համար և օգնել սովորողներին վերլուծել առաջադրանքները: Երբ vyrіshennі պահեստ zavdan uchnіv sled nauchit zagalnyh priyom_v աշխատանքը z zavdannyam; vminnyu վերլուծել zmist առաջադրանքները, տեսնելով տրված տվյալների, shukane (հաստատել, թե ինչ է անհրաժեշտ ճանաչել առաջադրանքի մեջ), կախված նրանից, թե որ տվյալներ չեն օգտագործվում առաջադրանքի մեջ սննդի ղեկավարի վերանայման համար: Գործնականում դպրոցի աշխատանքը հավատարիմ է ինքն իրեն՝ օգտագործելով քարտերով աշխատանք, առաջադրանքներ, որոնցում սահմանվում է առաջադրանքների վրա աշխատանքի հաջորդականությունը: Երբ պատվերն ավարտվում է, որոշումը գրվում է սննդի հետ, կամ մաշկի գործողությունը գրանցվում և բացատրվում է: Տվյալ տիպի առաջադրանքների դասավորության նշված մեթոդի տատանումն ապահովվում է տարբեր տիպերով առաջադրանքների դասավորմամբ, սյուժեներով, լուծումներով, որոնք պատրաստված և ծալված են իրենք՝ սովորողները, տվյալ տիպի առաջադրանքները՝ նախկինում լուծված խնդիրների տեսակներով. եւ այլն։

1. Բացատրեք vipadkіv-ի հաշվման մեթոդը 40 + 20, 50-30, 34 + 20, 34 + 2, 48-30, 48-3 պետք է հաշվել հարյուր կոնցենտրացիայով:

1) 40+20= 4d+2d=6d=60

2) 50-30 = 5d-3d = 2d = 20

3) 34+20= 3d+4od+2d=5d 4ed=54

4) 34+2 \u003d 3d + 4od + 2od \u003d 3d 6od \u003d 36

5) 48-30 \u003d 4d + 8od-3d \u003d 1d 8ed \u003d 18

6) 48-3= 4d+8od-3d=4d 5d=45

Usі priyomi եւ հաշվում usnі եւ vykonuyutsya հիման վրա շարքերում ծալովի եւ vіdnіmannya:

Ինչպես պարզվում է, անթիվ բնական թվերը կարելի է դասավորել լրացուցիչ «պակաս» արտահայտության համար։ Բայց պետք է ընդգծել աքսիոմատիկ տեսության կանոնները, որպեսզի նպատակը ոչ միայն որոշվի, այլև բարելավվի այս տեսության մեջ արդեն իսկ նշանակվածների հիման վրա՝ հասկանալու համար։ Դուք կարող եք ավելին անել՝ հավելման միջոցով վճարումը «պակաս» դարձնելով։

Նշանակում. a թիվը փոքր է b թվից (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = բ.

Որպեսզի ցիկական խելքները նույնն ասեն՝ շո համար բավելին անա գրում է բ > ա.

Թեորեմ 12.Ցանկացած բնական թվերի համար աі բկարող է լինել երեք կենսունակներից մեկը և միայն մեկը. a = b, a > b, ա < բ.

Այս թեորեմի ապացույցը բաց է թողնված. Թեորեմի Z ієї ակնհայտ է, ինչ է դա

ա ¹ բ,տե չի ա< b, կամ ա > բ tobto. vіdnoshennia «պակաս» կարող է լինել իշխանությունը pov'yazanostі:

Թեորեմ 13.Յակշո ա< b і բ< с. ապա ա< с.

Բերելով. Այս թեորեմն արտահայտում է անցողիկության ուժը՝ առաջարկելով «պակաս»։

այնպես որ յակ ա< b і բ< с. ապա «պակաս» անվանելու նպատակով կան այսպիսի բնական թվեր նախքանեւ ինչ b \u003d a + i c \u003d b + I.Ալե Թոդի h = (a + k)+ / і ծալովի ասոցիատիվության հիման վրա վերցված է. h \u003d a + (մինչև +/): Օսկիլկի դեպի + I -բնական թիվ է, ուրեմն ա< с.

Թեորեմ 14. Յակշո ա< b, դա ճիշտ չէ բ< а. Բերելով. Ցյա թեորեմն արտահայտում է ուժ հակասիմետրիա vodnosini «պակաս».

Սկսենք սկզբից, ինչ ցանկացած բնական թվի համար ամի Wi-!>! ■ ) її հրաժարական ա< ա.Եկեք չընդունենք, Թոբտո։ ինչ ա< а maє mistse. Թոդի, կապույտ «պակաս»-ի նպատակների համար նման բնական թիվ կա հետ,ինչ ա+ հ= ա,և ոչ թե փոխարինել 6-րդ թեորեմը:

Հիմա ասենք էդ յակշչոն ա< բ, ուրեմն դա ճիշտ չէ բ < ա.Եկեք չընդունենք, Թոբտո։ ինչ յակշո ա< b , ապա բ< а հաղթել. Հավասարությունների ցանկ 12 թեորեմում ա< а, ինչը անհնար է.

Այսպիսով, ինչպես ասում ենք, «պակաս»-ը հակասիմետրիկ և անցողիկ է և կարող է ուժ ունենալ գծային կարգի նկատմամբ, բայց բնական թվերի անանձնականություն: գծային կարգով առանց դեմքի.

«Ավելի քիչ» նշանակումից, որ ուժի յոգան կարող է ներմուծվել բնական թվերի բազմապատկիչի ուժի տանը։

Թեորեմ 15.Բոլոր բնական թվերից մեկն ամենափոքր թիվն է՝ tobto։ Ի< а для любого натурального числа a¹1.

Բերելով. Դե արի ա -լինել բնական թիվ. Այնուհետև կա երկու հնարավորություն. ա = 1 տ ա ¹ 1. Յակշո ա = 1, ապա դա բնական թիվ է բ,որի համար մեկը հետևում է a: a \u003d b " \u003d b +Ես = 1+ բ,տոբտո, վոդնոսինի «պակաս» նպատակով 1< ա. Otzhe, լինի դա բնական ավելի 1 chi ավելի քան 1. Abo, մենակությունը ամենափոքր բնական թիվն է:

«Քիչ»-ի ներմուծումը կապված է միապաղաղության ուժով թվերի ծալման և բազմապատկման հետ։

Թեորեմ 16.

a \u003d b => a + c \u003d b + c, որ a c \u003d b c;

ա< b =>ա + գ< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c և ac > bc.

Բերելով. 1) Այս ամրության արդարությունը ակնհայտ է ծալման և բազմապատկման միասնությունից:

2) Յակշո ա< b, ապա դա բնական թիվ է k,ինչ ա + k = b.
Թոդի բ+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (գ+ դեպի)= (ա + գ) + կ.Սեփական կապիտալ բ+ c = (a + c) + դեպինշանակում է, որ ա + գ< b + Հետ.

Այսպիսով, դա անկասկած է ա< b =>ace< bс.

3) բերվել նույն կերպ.

Թեորեմ 17(Հակադարձ թեորեմ 16):

1) ա+ c = b + cկամ ac ~ bc-Þ ա = բ

2) ա + գ< Ь + с կամ ace< մ.թ.աÞ ա< Ь:

3) ա + գ > բ+ w o ac > bcÞ ա > բ.

Բերելով. Բերում ենք, օրինակ, ինչ ace< bс հաջորդ ա< b Եկեք չընդունենք, Թոբտո։ որ թեորեմը հաղթական չէ. Թոդին չի կարող բութի, շո ա = բ.այն փաստին, որ նույնիսկ այդ դեպքում խանդը հաղթական կլիներ ac = մ.թ.ա(Թեորեմ 16); չեմ կարող լինել ա> բ,ամեն դեպքում ac > bc(Թեորեմա!6): Հետևաբար, ինչ վերաբերում է թեորեմ 12-ին. ա< b.

16-րդ և 17-րդ թեորեմներից կարելի է ներմուծել տերմին առ անդամ գումարման և անկանոնությունների բազմապատկման կանոնը։ Մենք դա բաց ենք թողնում։

Թեորեմ 18. Ցանկացած բնական թվերի համար աі բ; նույնպես բնական թիվ է n, որը պ ա.

Բերելով. լինել-ում համար ագտնել այդպիսի թիվ Պ, ինչ n > a.Ում համար բավական է վերցնել n = a + 1. Անհավասարության տերմինով բազմապատկելը Պ> աі բ> 1, ընդունելի pb > ա.

Իշխանություններին նայելուց կարելի է տեսնել բնական թվերի բազմապատկիչի կարևոր եզակիությունները երգելու կապույտ «պակաս»-ը, որը մենք առաջ ենք բերում առանց ապացույցների:

1. Ні մեկ բնական թվի համար աայդպիսի բնական թիվ չկա Պ,ինչ ա< п < а + 1. Ցյա իշխանությունը կոչվում է իշխանության մեջ
դիսկրետությունանանձնական բնական թվեր և թվեր աі ա + 1 անուն դատական.

2. Բե-յակ բնական թվերի դատարկ ենթաբազմապատկիչ չէ՝ վրեժ լուծելու համար
նվազագույն թիվը.

3. Յակշո Մ- Անանձնական բնական թվերի դատարկ թիվը
և նույն թիվն է բ,ինչ բոլոր x s թվերի համար Մչի հաղթի
հավասարություն x< բ,ապա անդեմի մեջ Մє մեծ մասը.

Հետույքի վրա 2-ի և 3-ի հզորության պատկերացում: Դե արի Մ- անանուն երկնիշ թվեր: այնպես որ յակ Մє բնական թվերի ենթաբազմապատկիչ і բոլոր թվերի համար< 100, то в множестве ՄԱմենամեծ թիվը 99 է։ Մ, -Թիվ 10.

Այս կերպ «պակաս»-ի ներմուծումը թույլ տվեց դիտարկել (և շարքով բերել վիպադկիվ) բնական թվերի բազմապատկիչի հզորությունների քանակի նշանակությունը։ Զոկրեմա, այն գծային դասավորված է, դիսկրետ, առնվազն 1։

Բնական թվերի «պակաս» («ավելի») պարամետրով երիտասարդ դպրոցականները ծանոթ են սովորելու հենց սկզբին: Եվ հաճախ, յոգոյի բազմապատկիչ-տեսական մեկնաբանությունների կարգով, մեր կողմից տրված սահմանումը աքսիոմատիկ տեսության շրջանակներում անուղղակիորեն հիմնավորվում է։ Օրինակ, ուսանողները կարող են բացատրել, որ 9 > 7, բեկորները 9 - ոչ թե 7 + 2: Հաճախ և անուղղակիորեն հաղթական ուժի միապաղաղ ծալում և բազմապատկում: Օրինակ, երեխաները բացատրում են, որ «6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

ճիշտ

1, Ինչու՞ չի կարելի անանձնական բնական թվերը պատվիրել «գծի հետևում» կապույտի օգնությամբ:

Ձևակերպեք տեսլական ա > բև ապացուցել, որ այն և՛ անցողիկ է, և՛ հակասիմետրիկ:

3. Ասա ինձ, թե ինչ է դա ա, բ, գ- բնական թվեր, ապա.

ա) ա< b Þ ас < bс;

բ) ա+ հ< բ + սու> ա< Ь.

4. Որոշ թեորեմներ գումարման և բազմապատկման միապաղաղության մասին կարող են
vykoristovuvaty երիտասարդ դպրոցականներ, vykonuyuchi zavdannya «Porіvnya, մի vykonuyuchi հաշվարկել»:

ա) 27+8...27+18;

բ) 27-8...27-18 թթ.

5. Ինչպես բնական թվերի բազմապատկիչի ուժը, երիտասարդ դպրոցականները անուղղակիորեն հաղթում են, հաղթում են նույն առաջադրանքը.

Ա) Գրե՛ք թվերը, ինչպես ավելի մեծ, ցածր 65, փոքր, ցածր 75:

Բ) Անվանեք հաջորդ թիվը՝ ըստ 300 թվին նախորդող ամսաթվի (800,609,999):

Գ) Անվանե՛ք ամենափոքր և ամենամեծ եռանիշ թիվը:

Վիդիմանյա

ժամը աքսիոմատիկ մոտիվացիաՀայտնի է, որ բնական թվերի տեսությունը հնչում է որպես գործողության, որը վերադառնում է պահեստ:

Նշանակում. Հաշվի առնելով a և b բնական թվերը, կոչվում է գործողություն, որը հաճելի է միտքը. a - b = s միայն և միայն մի քանիսը, եթե b + c = a:

Թիվ ա - բթվերի տարբերությունը անվանել է i բ,թիվ ա- փոփոխություն և թիվը բ-տեսած.

Թեորեմ 19.Բնական թվերի տատանումներ ա- բіsnuє tоdі і պակաս tоdі, եթե բ< а.

Բերելով. Թող մանրածախ ա- բІсnuє. Todi, նշանակված մանրածախ առևտրի համար կա այդպիսի բնական թիվ հետ,ինչ բ + գ ​​= ա,իսկ tse նշանակում է, որ բ< а.

Յակշչո բ< а, ապա «պակաս» անվանելու նպատակով դա նույնպես բնական թիվ է, որ բ + գ ​​= ա. Todi, նշանակված մանրածախ վաճառքի համար, c \u003d a - b, tobto. մանրածախ ա - բІсnuє.

Թեորեմ 20. Ո՞րն է բնական թվերի տարբերությունը աі բՀամոզված եմ, որ միայն մեկն է.

Բերելով. Ընդունելի է, որ երկուսն են տարբեր արժեքներթվերի տարբերություն աі բ;: ա - բ= գ₁і ա - բ= գ₂, ընդ որում c1 1 c2. Todi նշանակված մանրածախ վաճառողների համար, գուցե. a = b + c1,і a = b + c2:Տեսեք, թե ինչ է հաջորդում բ+ s 1 \u003d b + c 2:իսկ 17-րդ թեորեմի հիման վրա հնարավոր է տեղավորել c1 = c2.Նրանք եկան բացթողման կետին, ուրեմն, դա սխալ է, բայց թեորեմը ճիշտ է:

Vyhodyachi z vznachennya raznitsі բնական թվեր, որոնք մտքում են її іsnuvannya, դուք կարող եք հետևել vіdomі vіdnіmannya թվերի սումիից և սումին թվերից:

Թեորեմ 21. Դե արի ա. բі հ- բնական թվեր.

բայց յակշո a > c, ապա (a + b) - c \u003d (a - c) + b.

բ) Յակշո բ > գ. ապա (a + b) - h - a + (b - c).

գ) Յակշո a > c և b > c.ապա դուք կարող եք vikoristovuvati արդյոք-yaku այս բանաձեւերից:
Բերելով. Ժամանակներում ա) թվերի տարբերություն աі գіsnuє, oskelki ա > գ.Զգալիորեն її միջոցով x: a - c \u003d x.աստղեր a = c + x. Յակշո (ա+ բ) - գ \u003d y.ապա նշանակված գնով, ա+ բ = հ+ ժամը. Մենք ներկայացնում ենք qiu equanimity zamіst ավիրազ h + x:(h + x) + b = c + y.Մենք արագացնում ենք ասոցիատիվության ուժը՝ ավելացնելով. c + (x + b) = c+ ժամը. Այս համաչափությունը փոխենք միապաղաղության ուժի հիման վրա՝ ավելացնելով, որ վերցնում ենք.

x + b = y.. Դանիերեն x-ում փոխարինվել է viraz-ով ա - գ,եկեք մայրիկ (ա -է) + b = y.Այս կոչումով մեզ բերեցին՝ scho yakscho a > c, ապա (a + b) - c = (a - c) + b

Նմանապես, ապացույցն իրականացվում է բ) դեպքում.

Թեորեմի արդյունքը կարելի է ձևակերպել որպես հեշտ հիշվող կանոն. գումարից թիվը վերցնելու համար բավական է թիվը վերցնել մեկ պահեստային գումարից և ավելի շատ լրացումներ ավելացնելու արդյունքում։

Թեորեմ 22.Դե արի ա, բ, գ -բնական թվեր. Յակշո ա > բ+ c, ապա ա- (բ + գ) = (ա - բ) - գկամ a - (b + c) \u003d (a - c) - b.

Այս տեսության ապացույցը նման է 21-րդ թեորեմի ապացույցին։

22-րդ թեորեմը կարելի է ձևակերպել որպես տեսողական կանոն, որպեսզի թվերից թվերի գումարը դիտարկենք, հերթով հերթով դիտարկենք թվերի գումարը։

ժամը կոճմաթեմատիկոսներ vyznachennya vіdnіmannya yak dії, zvorotnogo dodavannya, ի տեսողության, ձայնի, չեն տալիս, բայց նրանք անընդհատ koristuyutsya, pochinayuchi z vykonannya dіy ավելի քան միանիշ թվերի. Սովորեք լավ հասկանալ ծալքերի մասին ձեր ասելիքը և հաշվարկելիս հաղթել փոխհարաբերություններին: Տե՛ս, օրինակ, 40 թվից 16 թիվը, սովորի՛ր նշել այսպես. «Նայի՛ր 16 թիվը 40-ից, ինչը նշանակում է իմանալ այդպիսի թիվ, այն 16 թվով ծալելիս մուտքագրի՛ր 40; այս թիվը կլինի 24, ուրեմն 24 + 16 = 40. Միջին. 40 - 16 = 24"

Մաթեմատիկայի «Cob» դասընթացում թվերը գումարից և թվերից գումարը մեկնաբանելու կանոններ. տեսական հիմքՀաշվարկել այլ եկամուտներ: Օրինակ, virase-ի արժեքը (40 + 16) - 10 կարելի է իմանալ ոչ միայն թեւերի գումարը հաշվելով, այլ դրանից հետո հաշվելով 10 թիվը, բայց այդպիսի աստիճանով.

ա) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

բ) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46:

ճիշտ

1. Chi-ն ճիշտ է, մաշկի որքա՞ն է բնական թվով դուրս գալ անխափան առաջացող մենակությունից:

2. Ինչու՞ է 19-րդ թեորեմի տրամաբանական կառուցվածքը հատուկ: Կարո՞ղ եք հաղթական կերպով ձևակերպել «անհրաժեշտ է, որ բավարար» բառերը:

3. Բերեք այն, ինչ.

բայց յակշո b > c,ապա (a + b) - c \u003d a + (b - c);

բ) յակշո a > b + c, ապա ա - (բ+ գ) = (a – b) – p.

4. Chi can, առանց հաշվելու, ասենք, իմաստը նման virazіv dorivnyuvatimut:

ա) (50 + 16) - 14; դ) 50+ (16 -14 ),

բ) (50 - 14) + 16; ե) 50 - (16 - 14);
գ) (50 - 14) - 16, զ) (50 + 14) - 16:

ա) 50 - (16 + 14); դ) (50 - 14) + 16;

բ) (50 - 16) + 14; ե) (50 - 14) - 16;

գ) (50 - 16) - 14; ե) 50 - 16-14:

5. Yakі Power vіdnіmannya є priyomіv հաշվարկի առաջխաղացման տեսական հիմքը, scho vychayutsya մաթեմատիկայի կուրսում:

12 - 2-3 12 -5 = 7

բ) 16-7 \u003d 16-6 - P;

գ) 48 - 30 \u003d (40 + 8) - 30 \u003d 40 + 8 \u003d 18;

դ) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45:

6. Նկարագրե՛ք արժեքը հայացքով հաշվելու հնարավոր մեթոդները: ա - բ- հև նկարազարդել դրանք կոնկրետ հետույքների վրա:

7. Ասա ինձ ինչ բ< а և լինի ցանկացած բնական գ վիրնա համեստություն (a - b) c \u003d ac - bc.

Վկազիվկա. Ապացույցը հիմնված է 4-րդ աքսիոմի վրա։

8. Հաշվիր virazu-ի արժեքը՝ առանց տառերը հաշվելու։ Vidpovidi փաթաթան.

ա) 7865 × 6 - 7865 × 5, բ) 957 × 11 - 957; գ) 12×36 - 7×36.

Պոդիլ

Բնական թվերի աքսիոմատիկ տեսության համաձայն, ռոզպոդիլը հնչում է որպես գործողություն, որը վերածվել է բազմապատկման:

Նշանակում. a և b բնական թվերի ստորաբաժանումը միտքը բավարարող գործողություն է. a: b \u003d s todi և միայն todi,նախքան եթե բ× h = ա.

Թիվ ա:բկանչեց մասնավորթվեր աі բ,թիվ ա dilimim, թիվ բ- Դիլնիկ.

Ինչպես երևում է, անհրաժեշտ չէ բնական թվերը տարբերել անանձնական բնական թվերի վրա, և չկան մասնավոր հիմքի այնպիսի ակնհայտ նշաններ, որքան դա անհրաժեշտ է մանրածախ վաճառքի համար։ Є tilki անհրաժեշտ միտքհիմքը մասնավոր.

Թեորեմ 23.Մասնավոր երկու բնական թվեր ստեղծելու համար աі բանհրաժեշտ բ< а.

Բերելով. Պահպանեք մասնավոր բնական թվերը աі բԵս դա գիտեմ. այնքան բնական c թիվ է, որ bc = a. Oskіlki ցանկացած բնական թվի համար 1 վավեր է nerіvnіst 1 £ հետ,ապա վիրավորական մասը բազմապատկելով բնական թվով բ, վերցված բ£ մ.թ.ա.ալե bc \u003d a,օձե, բ£ ա.

Թեորեմ 24.Ինչպիսի՞ն են մասնավոր բնական թվերը աі բіsnuє, կա միայն մեկը:

Թեորեմի ապացույցը նման է բնական թվերի տարբերության միասնության թեորեմի ապացույցին։

Vykhodyachi z vyznachennya բնական թվերի մասերը, որոնք մտածում են Yogo іsnuvannya, դուք կարող եք կլորացնել կանոնը ըստ սումիի (մանրածախ, ստեղծել) թվի վրա:

Թեորեմ 25.Որոնք են թվերը աі բբաժանել ըստ թվի հետ,ապա այդ գումարը ա + բկիսվել և ավելի մասնավոր կերպով ա+ բմեկ թվով հետ,մասնավորների մեկ գումար ավրա հі բվրա հ, ապա. (ա + բ):c = a: c + b:Հետ.

Բերելով. Oskіlki համարը աբաժանվել հետ,ապա սա բնական թիվ է x = ա;հ, շո a = cx.Նմանատիպ գոյություն ունեցող բնական թվին y = բ:հետ,ինչ

բ= սու.Ալե Թոդի a + b = cx+ su \u003d - s (x + y): Tse նշանակում է ինչ ա + բբաժանվում է գ-ով, ընդ որում՝ ավելի մասնավոր է, որը հանվում է սումի տարածելիս ա+ բդեպի c թիվը, որն ավելի թանկ է x + y, tobto. կացին + բ՝ գ.

Թեորեմի արդյունքը կարելի է ձևակերպել՝ օգտագործելով գումարը թվի վրա բաժանելու կանոնը. գումարը թվի վրա բաժանելու համար բավական է գումարը բաժանել մաշկային հավելումների թվի վրա և հանել արդյունքները։

Թեորեմ 26.Ինչպես բնական թվերը աі բբաժանել ըստ թվի հі ա > բապա մանրածախ ա - բբաժանվի c-ի, ընդ որում, այն մասնավոր է, շահել է, երբ տարբերությունը բաժանվում է c թվի վրա, ավելի մասնավոր, շահել է, երբ տարբերությունը բաժանվում է ավրա հі բդեպի գ, tobto. (a - b): c \u003d a: c - b: c.

Այս թեորեմի ապացուցումն իրականացվում է այնպես, ինչպես նախորդ թեորեմի ապացույցը։

Այս թեորեմը կարելի է ձևակերպել որպես թվի տարբերության ենթաբաժանման կանոն. համարԲացի այդ, տարբերությունը թվի վրա բաժանելու համար բավական է բաժանել ամբողջ թվի վրա, որը փոխվում է և երևում է ընկերոջ առաջին անձնական հայացքից։

Թեորեմ 27.Ինչ է բնական թիվը աբաժանվում է c բնական թվի վրա, ապա ցանկացած բնական թվի բ tvir աբկիսվել p. Ինչ-որ գաղտնիության դեպքում ինչ է վերցվում, երբ դուք ստեղծագործականություն եք տարածում աբ z թվին , շարքայինի մեկ դոբուտկա ավրա հետ,ես համարը b: (a × b): c - (a: c) × b.

Բերելով. այնպես որ յակ աբաժանվել հետ,ապա կա բնական x, որ ա= x, աստղեր a = cx.Բազմապատկելով խանդի վիրավորական մասերը բ,վերցված ab = (cx) բ. Oskіlki հոգնակի ասոցիատիվ, ապա (cx) b = c(x b). Zvіdsi (a b): c \u003d x b \u003d (a: c) b.Թեորեմը կարելի է ձևակերպել որպես թիվը թվի ենթաբաժանելու կանոն՝ թիվը բաժանել թվի, թիվը բաժանել բազմապատկիչներից մեկի վրա և հանել արդյունքը, բազմապատկել մյուս բազմապատկիչը։

Քաղցրավենիքի մաթեմատիկոսի համար պոդիլը նշանակված է որպես շրջադարձի գործառնություն, վայրենի տեսքի համար այն ձայն չի տալիս, բայց նրանք անընդհատ կորիստվում են՝ սկսած պոդիլի իմացության առաջին դասերից։ Սովորեք մեղադրել լավ բանականությանը, որ նա հաշվարկների ժամանակ տվել է բազմապատկումների և հաղթական փոխհարաբերությունների պատճառները։ Օրինակ, նա 48-ը բաժանեց 16-ի, սովորողները ասում են. «48-ը 16-ի բաժանել նշանակում է իմանալ այդպիսի թիվ, այն 16-ով բազմապատկելիս կկազմեն 48; այս թիվը կլինի 3, բեկորները 16 × 3 = 48: Նաև 48: 16 = 3:

ճիշտ

1. Բերեք այն, ինչ.

ա) բնական թվերի ընդամենը մի մասնիկ ա բեթե այդպես է, ապա կա միայն մեկը;

բ) թվերի նման ա բբաժանորդագրվել հі ա > բապա (a - b): c \u003d a: c - b: c.
2. Ի՞նչ կարելի է հաստատել, որ բոլոր տվյալները ճիշտ են.
ա) 48:(2×4) = 48:2:4; բ) 56:(2×7) = 56:7:2;

գ) 850: 170 = 850: 10:17:

Ո՞րն է այս vipadkіv-ը սրելու կանոնը: Յոգա ձևակերպեք և բերեք։

3. Yakі իշխանությունը podіlu є տեսական հիմքը համար
վիկոնաննա գալիք օրերը, քարոզեց դպրոցականներին կոպի դասեր:

Ինչպե՞ս կարող ես, առանց ներքևից կախվածության, ասել, որ նման բառերի իմաստները նույնն են լինելու.

ա) (40 + 8): 2; գ) 48։3; ե) (20 + 28): 2;

բ) (30 + 16): 3; դ) (21 +27): 3; զ) 48։2;

Chi vіrnі іvnostі:

ա) 48:6:2 = 48: (6:2); բ) 96:4:2 = 96: (4-2);

գ) (40 - 28): 4 = 10-7:

4. Նկարագրեք վիրուսի արժեքը հաշվարկելու հնարավոր ուղիները
միտք:

ա) (ա+ բ): գ;բ) ա:բ: Հետ; մեջ) ( ա × բ): s .

Առաջարկվող մեթոդներ և նկարազարդումներ կոնկրետ հետույքների վրա:

5. Ռացիոնալ կերպով պարզել արտահայտության իմաստը. սեփական
dії փաթաթել:

ա) (7 × 63): 7; գ) (15 × 18):(5× 6);

բ) (3 × 4× 5): 15; դ) (12 × 21): 14.

6. Կլորացրեք հաջորդ քայլերը և ներքևը կրկնակի թվով.

ա) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;

բ) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;

գ) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

դ) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560x2 = 1120:

7. Ձեզ մի ծեծեք բազմոցի տակ, գտեք ամենառացիոնալը
մասնավոր ճանապարհով; ընտրիր սկզբնավորման ճանապարհը.

ա) 495:15; գ) 455:7; ե) 275:55;

6) 425:85; դ) 225։9; ե) 455:65.

Դասախոսություն 34

1. Անհայտ թվերի անանուն թիվը. Ցիլիհ նևիդեմնիհ թվերի բազմակի ուժը:

2. Հասկանալով վերջնական բազմապատկիչի թվերի և տարրերի բնական շարքը: Սովորական և kіlkіsnі բնական թվեր:

Մինչև մասնագիտության ինքնիշխանությունը

1. Գծային (վեկտոր) տարածություն դաշտի վրա: դիմել. Տիեզերքի տակ՝ ամենապարզ ուժը։ Գծային և անկախ վեկտորներ:

2. Հիմք և խաղաղություն վեկտորային տարածություն. Վեկտորների համակարգի կոորդինատների մատրիցը. Անցում մեկ հիմքից մյուսին. Վեկտորային տարածության իզոմորֆիզմ.

3. Կոմպլեքս թվերի դաշտի հանրահաշվական փակում.

4. Ամբողջ թվերի օղակ: Ամբողջ թվերի դասավորություն. Թեորեմներ «ամենամեծ» և «նվազագույն» թվի մասին.

5. Խումբ, կիրառիր խումբ։ Ամենապարզ ուժային խմբերը. Ենթախմբեր. Խմբերի հոմոմորֆիզմ և իզոմորֆիզմ.

6. Կեղծ թվերի հիմնական ուժը. Ներեցեք թվերը։ Անանձնական պարզ թվերի անսահմանություն: Բաժնետոմսերի համարի կանոնական դասավորությունը հենց այդ եզակիությունն է:

7. Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմը (համակարգի ամբողջականության չափանիշ. գծային գետեր).

8. Ճանապարհների հիմնական բնութագրերը. Պովնա, որն առաջանում է v_drahuvan մոդուլի համակարգով: Kіltse kіltse v_drahuvan մոդուլի համար: Էյլերի թեորեմը և Ֆերմատը.

9. Porіvnyan տեսության հավելումը vysnovka-ին կեղծության նշան է: Zvernennya zvichaynogo կոտորակը մինչև տասներորդը և վերջին յոգոյի շրջանի նշանակումը:

10. Արդյունավետ գործակիցներով բազմանդամի հստակ արմատի հաջողությունը: Տեղի է ունեցել հարուստ տերմիններով իրական թվերի դաշտում:

11. Գծային հավասարեցում մեկ փոփոխությամբ (rozvyaznosti-ի չափանիշ, rozvyazannya-ի ուղիներ):

12. Գծային հավասարեցումների հավասար համակարգեր. Հետագա բացառման մեթոդը անհայտ է:

13. Կիլցեն. Կիրառեք կիլիա: Կիլետների ամենապարզ հզորությունը. Պիդկիլցեն։ Օղակի հոմոմորֆիզմները և իզոմորֆիզմները. Դաշտ. Ոռոգման օրինակ. Ամենապարզ իշխանությունը. Ռացիոնալ թվերի դաշտի նվազագույնը.

14. Բնական թվեր (բնական թվերի աքսիոմատիկ տեսության հիմքերը). Թեորեմներ «ամենամեծ» և «նվազագույն» բնական թվի մասին.

15. Հարուստ հատվածներ դաշտի վրայով: Թեորեմ podіl іz ավելցուկի մասին: Երկու հարուստ անդամների համագործակցության ամենամեծ դիլնիկը, իմանալու այդ ճանապարհի ուժը:

16. Երկուական բլյուզ. Համարժեքության առաջարկ. Համարժեքության դասեր, գործակիցների բազմապատկիչ։

17. Մաթեմատիկական ինդուկցիա բնական և ամբողջ թվերի համար:

18. Փոխադարձ պարզ թվերի գերակայությունը. Թվերի ամենափոքր նշանակալի բազմապատիկը՝ իմանալու այդ ճանապարհի ուժը։

19. Կոմպլեքս թվերի դաշտ, թվային դաշտեր: Երկրաչափական տեսք եռանկյունաչափական ձևհամալիր համարը.

20. Ամբողջ թվերի համար podіl іz ավելցուկի մասին թեորեմը: Թվերի ամենամեծ հավաքածուն, իմանալու այդ ճանապարհի ուժը։

21. Վեկտորային տարածության գծային օպերատորներ. Գծային օպերատորի միջուկ և պատկեր: Գծային օպերատորների հանրահաշիվը վեկտորային տարածության մեջ: Գծային օպերատորի հզորության արժեքները և հզորության վեկտորները:

22. Բնակարանի աթենական փոխակերպումը, նրանց տիրապետությունը զավդաննյայի ճանապարհն է: Հարթության և її ենթախմբերի աթենական փոխակերպումների խումբ։

23. Բագատոկուտնիկի. Բագատոկուտնիկ հրապարակ. Բանականության և միասնության թեորեմ.

24. Բագատոկուտնիկիվի համարժեքությունն ու հավասարությունը։

25. Լոբաչևսկու երկրաչափություն. Լոբաչևսկու երկրաչափության աքսիոմների համակարգի ոչ գերակայությունը.

26. Զուգահեռության հայեցակարգը Լոբաչևսկու երկրաչափության մեջ. Ուղիղ Լոբաչևսկու տարածքի փոխադարձ ընդլայնում.

27. Բանաձեւեր ruhіv. Տարածքի ավերակների դասակարգում. Dodatki to rozvyazannya առաջադրանքներ.

28. Փոխադարձ ընդլայնում երկու բնակարան, ուղիղ հարթակներ, երկու ուղիղ բնակարաններ ընդարձակության մոտ (վերլուծական ներկայացմամբ):

29. Պրոյեկտիվ փոխակերպում. Բանականության և միասնության թեորեմ. Պրոյեկտիվ փոխակերպումների բանաձևեր.

30. Սկալյար, ոչ վեկտոր ստեղծել zmіshaneվեկտորներ, їх լրացումներ առաջադրանքների մշակմանը.

31. Վեյլի համակարգը տրիվիմետրիկ էվկլիդյան տարածության աքսիոմների և її zmistovna ոչ գերակայության:

32. Տարածքի Ռուհի և ուժի յոգա. Ավերակների խումբ բնակարան. Շարժման հիմքի և միասնության թեորեմ.

33. Այդ її մոդելի պրոյեկտիվ հարթությունը։ Պրոյեկտիվ փոխակերպում, ուժ։ Դիզայնի փոփոխությունների խումբ.

34. Բնակարանի նմանության վերափոխում, նրանց տիրապետությունը: Հարթության և її ենթախմբերի նման փոխակերպումների խումբ։

35. Հարթ մակերեսներ. Մակերեւույթի առաջին քառակուսային ձեւը zastosuvannya է:

36. Զուգահեռ նախագծելով ուժի այդ յոգան. Հարթ և ընդարձակ ֆիգուրների պատկերներ զուգահեռ պրոյեկցիայում:

37. Հարթ գծեր. Տիեզերական կորի կորությունը նույնն է.

38. Էլիպերը, հիպերբոլան և պարաբոլան որպես վերջավոր պարաբոլա։ Կանոնական հավասարություն.

39. Էլիպսի, հիպերբոլի և պարաբոլայի ուղղորդող ուժը: Բևեռային հավասարեցում.

40. Ուղիղ գծի որոշ կետերի ազդեցության տակ այդ հաշվարկի հզորությունը. Ներդաշնակ պառակտված գոլորշու կետեր: Պովնի չոտիրիկուտնիկ և ուժի յոգա. Հավելված rozvyazannya առաջադրանքների վրա pobudova.

41. Պասկալի և Բրիանշոնի թեորեմները. Բևեռներ և բևեռներ.

Լավ ուտելիք մաթեմատիկական վերլուծություն