Գծային գծերի համակարգեր. Վեկտորային համակարգերի տարրական փոխակերպում. Վեկտորային համակարգերի քայլ առ քայլ համակարգ

Նշանակում 5. Տարրական փոխակերպումներԳծային հավասարեցումների համակարգերը կոչվում են її առաջադեմ փոխակերպումներ.

1) երկու հավասար տեղերի փոխակերպում, թե ոչ.

2) նույն հավասար թվի երկու մասերը բազմապատկելը.

3) մեկ հավասար մասերի երկու մասերին գումարելով երկրորդ հավասար մասերը` բազմապատկելով թվով կ;

(միաժամանակ գետերը դառնում են մշտական)։

Զրոն հավասար էկոչվում է վիրավորական մտքին հավասար.

Թեորեմ 1. Եղեք նման տարրական փոխակերպումների վերջին հաջորդականության և զրոյական հավասարեցման կիրակիի փոխակերպման՝ գծային հավասարումների մի համակարգին հավասարապես ուժեղ, և մեկ այլ գծային հավասարությունների համակարգին:

Բերելով.Մի հայացքով 4-րդ պարբերության հեղինակությանը, թեորեմը մաշկին հասցնել օկրեմոյի վերափոխման համար:

1. Համակարգի շարքերի փոխակերպման դեպքում աստիճաններն իրենք չեն փոխվում, ուստի համակարգը հավասարապես ամուր է նշանակումների համար։

2. Ապացույցի առաջին մասի ուժով բավական է ամրություն բերել առաջին հավասարի համար։ Համակարգը (1) բազմապատկելով թվով, վերցնում ենք համակարգը

(2)

Դե արի  համակարգ (1) . Նույն թվերը բավարարում են համակարգի հավասարությունները (1): Քանի որ oskіlki բոլոր հավասարները համակարգի (2) առաջինի zbіgayutsya հետ հավասարների համակարգի (1), ապա թվերը բավարարում են բոլոր հավասարներին: Թվի բեկորները բավարարում են համակարգի առաջին հավասարությունը (1), կարող է լինել առաջին անգամ թվային հավասարությունը.

Յոգոն բազմապատկելով թվով Կ, Մենք վերցնում ենք ճիշտ թվային հավասարություն.

Դա. տեղադրել, ինչ  համակարգ (2).

Ետ, յակշո համակարգի լուծումը (2), ապա թվերը բավարարում են համակարգի բեղերը (2): Առաջինի oskіlki (1) համակարգի բոլոր հավասարները zbіgayutsya համակարգի (2) հավասարների հետ, ապա թվերը բավարարում են բոլոր հավասարներին: Թվի բեկորները բավարարում են համակարգի առաջին հավասարությունը (2), ապա վավեր է թվային հավասարությունը (4): Վիրավորանքները թվի բաժանելուց հետո հանում ենք թվային հավասարությունը (3) և եզրակացնում.  համակարգի անջատում (1).

Zvіdsi նշանակումների համար 4 համակարգը (1) հավասար է համակարգին (2):

3. Ապացույցի առաջին մասի ուժով բավական է ամրություն բերել առաջին և մյուս հավասար համակարգի համար։ Dodamo համակարգի առաջին հավասարեցման երկու մասերին Կ, վերցրեք համակարգը

(5)

Դե արի համակարգի լուծում (1) . Նույն թվերը բավարարում են համակարգի հավասարությունները (1): Քանի որ առաջինի (5) համակարգի բոլոր հավասարների թվերը համակցված են (1) համակարգի հավասարների հետ, ապա թվերը բավարարում են բոլոր հավասարներին։ Թվի բեկորները բավարարում են համակարգի առաջին համարժեքը (1)

Ընկերոջ առաջին հավասարությանը տերմին առ անդամ ավելացնելով` բազմապատկված թվով Կվերցնում ենք ճիշտ թվային հավասարություն։

§7. Գծային համակարգեր

Հավասար համակարգեր. Գծային գծերի համակարգի տարրական փոխակերպում.

Դե արի Զ- դաշտ բարդ թվեր. Հավասար խելքին

դե
, կոչվում են գծային հավասարներ nնևիդոմիմի
. Պատվերների հավաքածու
,
կոչվում են հավասար որոշումներ (1), ինչպես .

համակարգ մգծային ռիվնյան զ nհամակարգը կոչվում է մտքին հավասար.

- Գծային հավասարեցումների համակարգի գործակիցները, - Անվճար անդամներ:

Ուղղանկյուն սեղան

,

կոչվում է աշխարհի մատրիցա
. Ներկայացնենք նշումը. ես- Մատրիցայի տող,
- կ-Ty stovpets matrix. Մատրիցա ԲԱՅՑավելի նշանակել
կամ
.

Մատրիցում տողերի առաջիկա փոխակերպումը ԲԱՅՑկոչվում են տարրական.
) զրոյական շարքի անջատում; ) ցանկացած տողի բոլոր տարրերի բազմապատկումը թվով
; ) ցանկացած այլ տողի ցանկացած տողի հավելում, բազմապատկված
. Մատրիցային սյունակների նմանատիպ փոխակերպումներ ԲԱՅՑկոչվում են մատրիցի տարրական փոխակերպումներ ԲԱՅՑ.

Մատրիցի ցանկացած տողի առաջին ոչ զրոյական տարրը (ավելի կարևոր է դեպի աջ): ԲԱՅՑկոչվում է այս շարքի հաղորդիչ տարր:

Նշանակում. մատրիցա
դա կոչվում է քայլ, իբր նրանք սրբագործվել են այսպես.

1) մատրիցայի զրոյական տողերը (ինչպես գարշահոտություն) ավելի ցածր են, քան ոչ զրոյականները.

2) յակշո
վարել մատրիցայի շարքի տարրերը, ապա

Լինել նման ոչ զրոյական մատրիցայի, իսկ սովորական տարրական փոխակերպումների դեպքում այն ​​կարող է վերածվել աստիճանական մատրիցի։

հետույք. Ինդուկտիվ մատրիցա
դեպի քայլ մատրիցա.
~
~
.

Համակարգի գործակիցներով ծալված մատրիցա գծային գծերը (2) կոչվում են համակարգի հիմնական մատրիցա։ Մատրիցա
, Օտրիմանը, ազատ անդամների ընդունմամբ, կոչվում է համակարգի ընդլայնված մատրիցա։

Կոմպլեկտի դասակարգումները կոչվում են գծային հավասարումների համակարգի լուծումներ (2), ինչպես նաև համակարգի մաշկային գծային դասավորության որոշումներ։

Գծային հավասարեցումների համակարգը կոչվում է համահունչ, քանի որ այն կարող է լինել միայն մեկ լուծում, և դա խելագար չէ, քանի որ այն չի կարող լուծվել:

Գծային հավասարեցումների համակարգը կոչվում է երգեցողություն, քանի որ կա միայն մեկ լուծում, այդ մեկը նշված չէ, քանի որ կա մեկից ավելի լուծում:

Գծային հավասարեցումների համակարգի առաջիկա փոխակերպումը կոչվում է տարրական.

) խելքին հավասար համակարգից դուրս մնալը.

) երկու մասերի բազմապատիկ, անկախ նրանից, թե դա հավասար է
,
;

) ավելացնելով, թե արդյոք կա որևէ այլ հավասար, բազմապատկելով ,-ով:

Գծային գծերի երկու համակարգ nանհայտները կոչվում են նույնքան ուժեղ, քանի որ գարշահոտը համահունչ չէ, բայց նրանց որոշումներից շատերը կայացվում են:

Թեորեմ. Օրինակ, գծային հավասարեցումների մի համակարգ հեռացվել է տիպի մյուս տարրական փոխակերպումներից ), ), այն նույնքան ուժեղ է, որքան տեսողականը։

Գծային հավասարեցումների համակարգի վերանայում անհայտի անտեսման մեթոդով (Գաուսի մեթոդով):

Թող համակարգը գնա մգծային ռիվնյան զ n unwidomimi:

Մտքի վրեժ լուծելու համակարգի նման (1):

ուրեմն համակարգը համահունչ չէ։

Ենթադրենք, որ (1) համակարգը հավասար չէ (2) ձևին։ Թող համակարգը (1) փոխի գործակիցը x 1 սկզբում հավասար
(կարծես դա այդպես չէ, ապա հավասար տեղերը վերադասավորելով հնարավոր չէ հասնել ինչին, ուստի ոչ բոլոր գործակիցները x 1-ը հավասար է զրոյի): Zastosuyemo գծային գծերի համակարգին (1) տարրական փոխակերպումների առաջանցիկ նիզակներ.

, Dodamo մեկ այլ մակարդակ;

Առաջինը հավասար է, բազմապատկվում է
, Dodamo երրորդ մակարդակ և այլն;

Առաջինը հավասար է, բազմապատկվում է
dodamo համակարգի մնացած մասերին:

Արդյունքում մենք վերցնում ենք գծային հավասարեցումների համակարգը (մենք տվել ենք ամենակարճ SLN-ը գծային հավասարեցումների համակարգի համար), որը հավասար է համակարգի ուժին (1): Կարող եք պարզել, որ մյուս համակարգում այն ​​հավասար է թվին ես, ես 2, վրեժ մի՛ լուծիր անհայտից x 2. Դե արի կայնքան քիչ բնական թիվ, ինչ անհայտ է x կԵս ուզում եմ վրեժխնդիր լինել ինձ համար մեկ հավասար քանակով ես, ես 2. Todi otrimana system rivnyan maє vyglyad:

Համակարգը (3) հավասար է համակարգին (1): Zastosuєmo այժմ ենթահամակարգ
գծային հավասարեցումների համակարգեր (3) մանրադիտակի, որոնք տրվել են SLN (1): Եվ մինչ այժմ: Այս գործընթացի արդյունքում գալիս է մինչև երկու արդյունքից մեկը։

1. Մենք հանում ենք SLU-ն, որը հավասար է խելքին (2): Եվ այստեղ SLE (1) անհամատեղելի է:

2. Տարրական փոխակերպումները, լճացումը դեպի SLN (1), չեն հանգեցնում արտաքին տեսքի վրեժխնդրող համակարգի (2): At tsomu vipadku SLP (1) տարրական փոխակերպումների միջոցով
մատնանշեք այն համակարգը, որը հավասար է մտքին.

(4)

դե, 1< կ < լ < . . .< ս,

Գծային հավասարեցումների համակարգը (4) ձևով կոչվում է աստիճանական: Այստեղ դուք կարող եք ունենալ երկու անկում:

ա) r= nապա համակարգը (4) կարող է տեսք ունենալ

(5)

Համակարգը (5) ունի միայն մեկ լուծում. Կրկին, համակարգը (1) կարող է լուծվել միայն:

Բ) r< n. Ում միտքը տուն չունի
(4) համակարգում դրանք կոչվում են գլխի ոչ գերիշխող, այլապես ոչ գերիշխող այս համակարգում՝ ազատ (վեց թիվ մեկ n- r) Nadamo-ի մի քանի թվային արժեքներ անհրաժեշտ չեն, նույնիսկ SLU (4) matime-ը նույնն է թվում, ինչ համակարգը (5): Դրանից վերնագրերը միանշանակ են. Այս վարկանիշում համակարգը կարող է լուծվել, ուստի այն համահունչ է: Oskіlki vіlnim nevidomim բավականին թվային արժեք է տվել Զ, ապա համակարգը (4) անորոշ է: Կրկին, համակարգը (1) անորոշ է: Viraziv-ը SLN-ում (4) smut nevidomі միջոցով vіlnі nevidomі, otrimaemo համակարգի, որը կոչվում է համակարգի ամենադաժան լուծումները (1):

հետույք. Անջատեք գծային հավասարեցումների համակարգը մեթոդով Գ aussa

Մենք գրում ենք գծային հավասարումների համակարգի ընդլայնված մատրիցը և տարրական տողերի փոխակերպումների օգնությամբ այն բերում ենք աստիճանական մատրիցայի.

~

~
~
~

~ . Բաց թողնելով մատրիցը, մենք կարող ենք գտնել գծային հավասարումների համակարգ.
Ցյա համակարգը հավասար է արտաքին համակարգին։ Անհայտի գլխի պես
vіlnі nevіdomі. Ի դեպ, անհայտի գլուխը միայն վայրի անհայտի միջով է.

Մենք խլել ենք SLN-ի ամբողջական լուծումը։ Թույլ տուր գնամ

(5, 0, -5, 0, 1) մասնավոր լուծում է SLP-ի համար:

Առաջադրանք անկախ տեսլականի համար

1. Իմանալ հավասար համակարգի գլոբալ լուծումը և ևս մեկ լուծում՝ անհայտն անջատելու եղանակով.

1)
2)

4)
6)

2. Իմացիր հանուն տարբեր արժեքներպարամետր աԳետերի համակարգի գլոբալ լուծում.

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§ութ. Վեկտորային տարածություններ

Վեկտորային տարածության հայեցակարգ. Ամենապարզ իշխանությունը.

Դե արի Վ ≠ Ø, ( Ֆ, +,∙) – դաշտ։ Դաշտի տարրերը կոչվում են սկալերներ։

Խմորում φ : Ֆ× Վ –> Վկոչվում է բազմապատկման տարրերի բազմապատկման գործողություն Վխաղադաշտից սկալերի վրա Ֆ. Զգալիորեն φ (λ, ա) միջոցով լա twir տարր ադեպի սկալարի λ .

Նշանակում.Բեզլիչ Վտրված հանրահաշվական գործողությունից՝ տարրեր ավելացնելով բազմապատկիչի մեջ Վոր բազմաթիվ տարրեր Վխաղադաշտից սկալերի վրա Ֆկոչվում է F դաշտի վեկտորային տարածություն, որը նշանակում է հետևյալ աքսիոմները.

հետույք. Դե արի Ֆդաշտ, Ֆ n = {(ա 1 , ա 2 , … , ա n) | ա ես Ֆ (ես=)): Կաշվե տարրը բազմակի Ֆ nկանչեց n- պարզ թվաբանական վեկտոր: Ներկայացնենք ավելացման գործողությունը n- խաղաղության վեկտորներ և բազմապատկում n-աշխարհի վեկտորը մեկ սկալյար z դաշտում Ֆ. Դե արի
. Եկեք դա անենք = ( ա 1 + բ 1 , … , ա n + բ n), = (λ ա 1 , λ ա 2 , … , λ ա n) Բեզլիչ Ֆ n որտեղ գործողությունների ներդրումը վեկտորային տարածություն է, և այն կոչվում է n- պարզ թվաբանական վեկտորային տարածություն դաշտի վրա Ֆ.

Դե արի Վ- վեկտորային տարածությունդաշտի վրայով Ֆ, ,
. Կան նման բնութագրեր.

1)
;

3)
;

4)
;

Կոշտության ապացույց 3.

Խանդի Զ արագ խմբի օրենքի համար ( Վ, +) գուցե
.

Գծային անկում, վեկտորային համակարգերի անկախություն։

Դե արի Վ- Վեկտորային տարածություն դաշտի վրա Ֆ,

. Վեկտորը կոչվում է վեկտորների համակարգի գծային համակցություն
. Վեկտորային համակարգի բոլոր գծային համակցությունների անանունությունը կոչվում է գծային պատյան tsієyu համակարգ vektorіv i poznaєєєєєyu.

Նշանակում.Վեկտորների համակարգը կոչվում է գծային անկում, քանի որ օգտագործվում են նման սկալերներ
ոչ բոլորը հավասար են զրոյի, ուրեմն

Որքանո՞վ է (1) համարժեքությունը հաղթական կամ դրանից պակաս, եթե λ 1 = λ 2 = … = =λ մ=0, վեկտորների համակարգը կոչվում է գծային անկախ:

հետույք. Chi z'yasuvati chi є վեկտորների համակարգ = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) տարածություն R 3 գծային կամ անկախ.

Լուծում.Թող λ 1, λ 2, λ 3
і

 |=> (0,0,0) – համակարգային լուծում. Otzhe, վեկտորային համակարգը գծային անկախ է:

Գծային մոլորության գերակայությունը և վեկտորային համակարգի անկախությունը:

1. Վեկտորների համակարգը, որը ցանկանում է վրեժխնդիր լինել մեկ զրոյական վեկտորի համար, գծային է:

2. Վեկտորների համակարգ, որը վրեժխնդիր է լինում գծային ընկած ենթահամակարգից, գծային ընկած հատվածից:

3. Վեկտորների համակարգ, դե
є գծային անկում նույնիսկ և միայն մեկ անգամ, եթե ցանկանում եք համակարգի մեկ վեկտոր, մեկ վեկտոր, є առաջընթաց վեկտորների գծային համակցություն:

4. Քանի որ վեկտորների համակարգը գծային անկախ է, բայց վեկտորների համակարգ
գծային ֆայլ, ապա վեկտորը դուք կարող եք դիտել վեկտորների գծային համադրություն և մինչև նույն աստիճանը:

Բերելով.Եթե ​​վեկտորային համակարգը գծային է, ապա
ոչ բոլորը հավասար են զրոյի, ուրեմն

Վեկտորի համարժեքության մեջ (2) λ մ+1 ≠ 0 λ մ+1 \u003d 0, այնուհետև s (2) \u003d\u003e Մենք տեսնում ենք, որ վեկտորների համակարգը գծային է, բեկորներ λ 1 , λ 2 , … , λ մոչ բոլորը հավասար են զրոյի: Եկել էին խելքները ջնջելու։ Զ (1) => դե
.

Թող վեկտորը ցուցադրվի այնպես, ինչպես տեսնում եք. Todo վեկտորային հավասարությամբ
վեկտորային համակարգի գծային անկախության միջոցով մենք կարող ենք տեսնել, որ
1 = β 1 , …, մ = β մ .

5. Տվյալներ տվեք վեկտորների երկու համակարգերին և
, մ>կ. Եթե ​​վեկտորային համակարգի վեկտորը կարող է համակցվել որպես վեկտորային համակարգի գծային համակցություն, ապա վեկտորային համակարգը գծային անկում է:

Վեկտորների համակարգի հիմքը, աստիճանը.

Kіntseva վեկտորային համակարգը տարածության մեջ Վդաշտի վրայով Ֆ իմաստալից միջոցով Ս.

Նշանակում.Բե-յակա վեկտորային համակարգի գծային անկախ ենթահամակարգ Սկոչվում է վեկտորների համակարգի հիմք Ս yakscho be-yaky վեկտորային համակարգ Սկարող եք դիտել վեկտորային համակարգի գծային համադրությունը:

հետույք.Գտեք վեկտորների համակարգի հիմքը = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. Վեկտորների համակարգը, գծային անկախ, oskіlki, vіdpovіdno դեպի գերիշխանություն 5 վեկտորների համակարգը հանվել է վեկտորների համակարգից լրացուցիչ օգնություն հիմունքներէլեկտրամեխանոտրոնիկա: սկզբնականլրացուցիչ օգնություն հիմքըէլեկտրատեխնիկա»; ...

Նախքան տարրական փոխակերպումները կարելի է տեսնել.

1) գումարում մյուսի հավասար մասերի երկու մասերին, բազմապատկված նույն թվով, որը հավասար չէ զրոյի:

2) առաքելությունների հավասարների փոխարկումը.

3).

ԿՐՈՆԵԿԵՐԻ ԹԵՈՐԵՄ - ԿԱՊԵԼԻ

(Umova համակարգի ամբողջականություն)

(Լեոպոլդ Կրոնեկեր (1823–1891) գերմանացի մաթեմատիկոս)

Թեորեմ. Համակարգը տրոհվում է (կարող է պահանջել մեկ լուծում) կամ կամ պակաս, եթե համակարգի մատրիցայի աստիճանը հավասար է ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին:

Ակնհայտ է, որ համակարգը (1) կարող է գրվել հետևյալ կերպ.

x 1 + x 2 + … + x n

Բերելով.

1) Եթե որոշումը կայացված է, ապա ազատ անդամների սյունակը A մատրիցի սյունակների գծային համակցությունն է, որը նույնպես ավելացվում է մատրիցին, այսինքն. անցումը А®А* չի փոխում աստիճանը։

2) Yakshcho RgA = RgA *, tse նշանակում է, որ գարշահոտը կարող է լինել նույն հիմնական մինորում: Stovpets vіlnyh termіnі - գծային համադրություն stovptsіv բազային փոքր, tі ճիշտ նշում, մատնանշված ավելի բարձր:

հետույք.Հաշվարկել գծային հավասարումների համակարգի հետևողականությունը.

~ . Rga = 2.

Ա* = Rga * = 3.

Համակարգը խելագար է.

հետույք.Որոշի՛ր գծային հավասարումների համակարգի գումարը:

A =; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

Ա* =

RgA * = 2:

Քնի համակարգ. Լուծում` x1 = 1; x2 = 1/2.

2.6 ԳԱՈՒՍԻ ՄԵԹՈԴ

(Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուս (1777-1855) գերմանացի մաթեմատիկոս)

Մատրիցային մեթոդի և Կրամերի մեթոդի հիման վրա Գաուսի մեթոդը կարող է վերածվել գծային հավասարեցումների համակարգերի՝ մեծ թվով հավասարեցումներից և անհայտներից: Մեթոդի էությունը հիմնված է ոչ տնային հիվանդների հետագա ընդգրկման վրա:

Եկեք նայենք գծային հավասարումների համակարգին.

1-ինի վիրավորական մասերը բաժանենք 11 ¹ 0-ի վրա, ապա.

1) բազմապատկել 21-ով, որը ես տեսնում եմ մեկ այլ հավասարից

2) բազմապատկել 31-ով, որը տեսնում եմ երրորդ հավասարից

, դե d 1 j = a 1 j /a 11 j = 2, 3, …, n+1:

d ij = a ij - a i1 d 1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1:

հետույք.Բացահայտեք գծային գծերի համակարգը Գաուսի մեթոդով:

, Աստղերն ընդունելի են՝ x 3 \u003d 2; x 2 \u003d 5; x1=1.

հետույք.Ստուգեք համակարգը Գաուսի մեթոդով:

Եկեք ընդլայնենք համակարգի մատրիցը:

Այս վարկանիշում արտաքին համակարգը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

, Աստղերն ընդունելի են՝ z = 3; y=2; x = 1.

Otriman v_dpovіd zbіgaєtsya vіdpovіddu, otrimana այս համակարգի համար Cramer մեթոդով և մատրիցային մեթոդով:

Անկախ տեսլականի համար.

Առաջարկություն՝ (1, 2, 3, 4):

ԹԵՄԱ 3. ՎԵԿՏՈՐԱՅԻՆ ՀԱՇՎԻ ՏԱՐՐԵՐԸ

ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՆՇԱՆԱԿՈՒՄ

Նշանակում.Վեկտորկոչվում են ուղիղ գծեր (պատվիրված են մի քանի կետ): Նախքան vector_v_vіdnosti նույնպես զրովեկտորը, այդ տեսակի zbіgayutsya կոճը:

Նշանակում.Դովժինա (մոդուլ)վեկտորը կոչվում է վեկտորի և վերջի միջև:

Նշանակում. Վեկտորները կոչվում են համագիծինչպես մեկ կամ զուգահեռ գծերի վրա տարածված գարշահոտություն: Զուր վեկտորը համագիծ է ցանկացած վեկտորի հետ:

Նշանակում. Վեկտորները կոչվում են համակողմանիիսկական բնակարանի պես, զուգահեռ հոտի նման:

Համակողմանի վեկտորները միշտ համահավասար են, բայց ոչ բոլոր համակողմանի վեկտորներն են համակողմանի:

Նշանակում. Վեկտորները կոչվում են հավասարկարծես դրանք համակողմանի են, այնուամենայնիվ, դրանք ուղղվում են և կարող են լինել նույն մոդուլները:

Բե-յակի վեկտորները և կարող են բերել սրտաբուխ կոճ, tobto: դրդել վեկտորները եւ vidpovidno հավասար տվյալներ եւ կատարել տաք cob. Վեկտորային հավասարության նշանակումից ակնհայտ է, որ արդյոք վեկտորը կարող է լինել քեզ հավասար անանձնական վեկտոր:

Նշանակում.Գծային գործողություններվեկտորների վրա կոչվում է գումարում և բազմապատկում թվով:

Sumoyu vector_v є vector -

Tvir - , որի ժամանակ kolіnearen .

Ուղղության վեկտոր іz վեկտոր ( ), ուստի a > 0:

Վեկտորը protivolezhnoy դիրեկտիվների հետ վեկտորի (?), որպեսզի ա< 0.

ՎԵԿՏՈՐԻՎԻ ԻՇԽԱՆՈՒԹՅՈՒՆԸ

1) + = + - փոխադարձություն.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – ասոցիատիվություն

6) (a + b) = a + b - բաշխվածություն

7) a(+) = a + a

Նշանակում.

1) Հիմքտարածությունը կոչվում է այնպես, կարծես 3 ոչ համահունչ վեկտորներ՝ վերցված նույն հերթականությամբ:

2) Հիմքհարթակի վրա կոչվում են 2 ոչ գծային վեկտորներ՝ վերցված նույն հերթականությամբ։

3)Հիմքուղիղ գծի վրա կոչվում է ոչ զրոյական վեկտոր:

Գծային հավասարումների երկու համակարգ մեկ հավաքածուում x 1 ..., x n

Դրանք կոչվում են համարժեք, քանի որ խուսափում են նրանց անանձնական որոշումներից (հետևաբար խուսափում են բազմապատկելուց և K n-ից): Tse նշանակում է, sho. կամ միանգամից գարշահոտություն є դատարկ ենթաբազմապատիկներ (այնպես որ վիրավորական համակարգերը (I) և (II) չեն նստում), կամ գարշահոտություն միանգամից դատարկ չէ, i (այսպես I համակարգի մաշկի լուծույթ є համակարգի II լուծույթներ і մաշկի լուծույթ Համակարգ II є համակարգի լուծումներ):

Բաժնետոմս 3.2.1.

Գաուսի մեթոդ

Գաուսի առաջարկած ալգորիթմի պլանը բավականին պարզ է.

1. հաջորդաբար գծային հավասարեցումների համակարգին, որպեսզի չփոխենք անանձնական լուծումը (այս կերպ մենք պահպանում ենք տեսողական համակարգի անանձնական լուծումը) և անցնենք համարժեք համակարգի, որը կարող է լինել «պարզ տեսք» (սա քայլի ձևի անվանումը);
2. Համակարգի «պարզ մտքի» համար (քայլային մատրիցով) նկարագրեք անանձնական լուծումը, որն օգտագործվում է տեսողական համակարգի անանձնական լուծման համար:

Հատկանշական է, որ «ֆան-չեն» փակ մեթոդը կիրառվում էր արդեն հին չինական մաթեմատիկայի մեջ։

Գծային հավասարումների համակարգերի տարրական փոխակերպում (մատրիցների շարք)

Նշում 3.4.1 (1-ին տիպի տարրական վերափոխում). Երբ k-րդ հավասարեցմանը գումարվում է համակարգի i-րդ հավասարեցումը, որը բազմապատկվում է թվով (նշված է (i)"=(i)+c(k), ապա միայն մեկ i-րդ հավասարեցում (i) է. փոխարինվել է նոր հավասարեցմամբ (i) «=(i)+c(k)): Նոր i-e հավասար կարող է տեսք ունենալ (a i1 + ca k1) x 1 + ... + (a in + ca kn) x n = b i + cb kկամ, հակիրճ,

Այսինքն՝ նոր i-րդ թաղամասում ա իջ » = ա իջ + կա կջ , բ ի » = բի + կբ կ.

Նշում 3.4.2 (տարրական փոխակերպման տեսակ 2). i -е і k -е համար հավասարները փոխվում են ըստ շարքերի, մյուս հավասարները չեն փոխվում (նշաններ՝ (i)"=(k) , (k)"=(i) ; .,n

Հարգանք 3.4.3. Պարզության համար, կոնկրետ հաշվարկների համար կարող եք ավելացնել 3-րդ տիպի տարրական փոխակերպումներ. i-րդ հաշվարկը բազմապատկվում է ոչ զրոյական թվով։ , (i)" = c (i) .

Առաջարկ 3.4.4. Ինչպես համակարգի տեսակը, որը ես փոխանցեցի II համակարգին 1-ին և 2-րդ տիպի տարրական փոխակերպումների վերջնական քանակի օգնությամբ, այնպես էլ II համակարգի տեսքով կարող եք դիմել I համակարգին, ինչպես նաև 1-ին և տարրական փոխակերպումներին: 2-րդ տեսակ.

Բերելով.

Հարգանք 3.4.5. Հաստությունը ճշմարիտ է և ներառված է 3-րդ տիպի տարրական փոխակերպման տարրական փոխակերպումների մեջ։ Յակշո i (i)"=c(i) , ապա ta (i) = c -1 (i)" .

Թեորեմ 3.4.6.1-ին կամ 2-րդ տիպի տարրական փոխակերպումների վերջին թվի վերջին կանգառից հետո գծային հավասարեցումների համակարգը, որը համարժեք է կոճին, դուրս է գալիս գծային հավասարումների համակարգին:

Բերելով. Կարևոր է դիտարկել I համակարգից II համակարգ անցումը մեկ տարրական փոխակերպման օգնությամբ և ներառման լուծումը բերել հարստությունների (II համակարգի բերված առաջարկի միջոցով բեկորները կարող են վերածվել I համակարգի և դրան. , ներառականություն, կբերվի հավասարություն)։

Նշանակում 1.Գծային հավասարեցումների համակարգը միտք (1) , de , դաշտ, կոչվում է դաշտի վրայով n nevidomimi-ից m գծային գծերի համակարգ, - Համակարգի ոչ տոմիկ, , , - գործակիցներ (1).

Նշանակում 2.Պատվիրել է n-ka (), դե, կոչված գծային գծերի համակարգի գագաթին(1), նույնիսկ մաշկի վրա փոփոխությունը փոխարինելիս, համակարգը (1) փոխվում է ճիշտ թվային հավասարեցմամբ:

Նշանակում 3. քնկոտ yakscho vain կարող է ցանկանալ մի որոշում կայացնել. Հակառակ դեպքում կոչվում է (1) համակարգը խենթ.

Նշանակում 4.Գծային հավասարումների համակարգը (1) կոչվում է երգումմիայն մեկ լուծում կարող է լինել. Հակառակ դեպքում կոչվում է (1) համակարգը չնշանակված.

Գծային գծերի համակարգ

(є որոշում) (որոշում չկա)

քնկոտ խենթ

(մեկ որոշում) (ոչ մեկ որոշում)

պեվնան անհայտ է

Նշանակում 5.Դաշտի վրա գծային գծերի համակարգը Ռկանչեց միատարր yakscho բոլորը її vіlnі պայմանները հավասար են զրոյի: Հակառակ դեպքում համակարգը կոչվում է տարասեռ.

Դիտարկենք գծային գծերի համակարգը (1): Այդ նույն միատարր համակարգը մտքում կոչվում է միատարր համակարգ, կապվածհամակարգից (1): Միատարր SLN առաջին անգամ, oskolki կարող է որոշվել:

Մաշկի SLN-ի համար կարելի է մի հայացքով ներմուծել երկու մատրիցա. հիմնականը ընդլայնված է:

Նշանակում 6. Գծային հավասարեցումների համակարգի հիմնական մատրիցը(1) մատրիցը կոչվում է, այն կազմված է գործակիցներից, առանց վիրավորական տիպի.

Նշանակում 7. Գծային հավասարեցումների համակարգի ընդլայնված մատրիցա(1) մատրիցը կոչվում է, մատրիցից կտրված ճանապարհով, որը հարում է նրան ազատ անդամների մի շարք.

Նշանակում 8.Գծային հավասարեցումների համակարգի տարրական փոխակերպումներկոչվում են հետևյալ կերպ. 1) միևնույն հավասար համակարգի երկու մասերը բազմապատկելով սկալյարով. 2) համակարգի մի մակարդակի երկու մասերին ավելացնել մյուս մակարդակի երկրորդ մասերը` բազմապատկված տարրով. 3) մտքին համարժեք լրացում կամ ապացուցում.

Նշանակում 9.Դաշտի վրա գծային գծերի երկու համակարգ Ռինչպես է կոչվում փոփոխությունը նույնքան ուժեղ, քանի որ խուսափում են նրանց անանձնական որոշումներից։

Թեորեմ 1 . Ինչպես տարրական փոխակերպումների օգնությամբ գծային հավասարումների մի համակարգը խլվեց մյուսից, նման համակարգերը նույնքան ուժեղ են:

Ձեռքով տարրական փոխակերպումները հասցվում են ոչ թե գծային հավասարեցումների համակարգի, այլ ընդլայնված մատրիցայի:

Նշանակում 10.Տանք R դաշտի տարրերով մատրիցա։ Տարրական փոխակերպումներմատրիցները կոչվում են այսպես.

1) մատրիցի ցանկացած տողի բոլոր տարրերի բազմապատկում aО Р #-ով;

2) մատրիցայի ցանկացած տողի բոլոր տարրերը բազմապատկել aО Р #-ով և ավելացնել հաջորդ շարքի մյուս տարրերը.

3) տեղերի փոխարկումը մատրիցայի երկու շարքով.

4) զրոյական տողի ավելացում կամ ազատում.

8. SLU լուծում:մ անհայտների հետագա բացառման մեթոդ (Գաուսի մեթոդ):

Եկեք դիտարկենք գծային հավասարումների համակարգերի անջատման հիմնական մեթոդներից մեկը, որը կոչվում է. անհայտի հետագա ընդգրկման մեթոդով, էլ ինչ, Գաուսի մեթոդ. Նայեք համակարգին (1) մգծային ռիվնյան զ nնևիդոմիմի դաշտի վրայով R:(1) .

Համակարգը (1) ցանկանում է գործակիցներից մեկը, եթե ոչ լավը 0 . Іnakshe (1) - հավասարների համակարգը () nevіdomimi - tse superechit մտքերից: Հավասարությունները հիշում ենք ըստ ամիսների, որպեսզի առաջին հավասարեցման գործակիցը լավը չլինի 0 . Այս աստիճանում դուք կարող եք vvazhati, շո. Առաջինի վիրավորական մասերը բազմապատկեք հավասար և ավելացրեք մյուսի երկրորդ մասերին, երրորդ, ..., մրդ հավասար. Մենք վերցնում ենք համակարգի միտքը՝ , դե ս- ամենափոքր թիվը, ուրեմն ես ուզում եմ գործակիցներից մեկը, եթե ոչ առողջ 0 . Հավասարությունները հիշում ենք ըստ ամիսների, որպեսզի մյուս տողը ծախսը փոխելիս գործակից ունենա 0 , ապա. մենք կարող ենք կռահել, թե ինչ. Բազմապատկենք մյուսի վիրավորական մասերը հավասար և գումարենք երրորդի հավասար մասերին, ..., մրդ հավասար. Շարունակելով այս գործընթացը՝ մենք հաշվի ենք առնում համակարգը.

Գծային հավասարումների համակարգը՝ յակը, ըստ Թեորեմ 1-ի, հավասար է (1) համակարգին։ . Համակարգը կոչվում է գծային հավասարեցումների աստիճանական համակարգ։ Երկու տարբերակ կա. 1) տարրերից մեկը ցանկանալը լավ չէ 0 . Եկեք, օրինակ. Նույնը գծային հավասարեցումների համակարգի դեպքում, դա նման է այն մտքին, որ դա անհնար է: Tse-ն նշանակում է, որ համակարգը լուծում չունի, և հետևաբար (1) համակարգը չի կարող լուծում ունենալ (երբեմն (1) անհետևողական համակարգ է):

2) Արի, ...,. Todi տարրական փոխակերպման օգնության համար Z) մենք խլում ենք համակարգը - համակարգը rգծային ռիվնյան զ nանհայտ. Ցանկացած փոփոխության դեպքում գործակիցների համար դրանք կոչվում են գլխի փոփոխություն(tse), їх ընդհանուր r. ինշի ( n-r) փոխել անունները անվճար.

Երկու հնարավորություն կա՝ 1) Յակշչո r=n, ապա՝ տրիկոտ տեսքի համակարգը։ Այս մեկի համար վերջին հավասարից գիտենք փոփոխություն, վերջինից՝ փոփոխություն, առաջին հավասարից՝ փոփոխություն։ Բացի այդ, կա միայն մեկ լուծում գծային հավասարեցումների համակարգի, ինչպես նաև գծային հավասարեցումների համակարգի համար (1) (երբեմն նշանակվում է համակարգը (1):

2) Եկեք r . Եվ այստեղ հիմնական փոփոխությունները շրջվում են վիժվածքների միջով և շահում գծային գծերի համակարգի վճռական լուծումը (1): Nadayuyuschie vіlnym zmіnnym sovіlnі znachenya, nabuvayut տարբեր մասնավոր լուծումներ համակարգի գծային գծերի (1) (համակարգը (1) այս դեպքում տեսանելի չէ):