Օղակաձեւ և վեկտորային տարածության մատրիցներ. Գծային վեկտորային տարածություն՝ նշանակում, լիազորություն: Վեկտորային գծի տարածություն

Դասախոսություն 6. Վեկտորային տարածություն.

Հիմնական սնուցում.

1. Վեկտորային գծային տարածություն.

2. Հիմքը տարածության ընդլայնումն է։

3. Կողմնորոշում դեպի տարածություն.

4. Վեկտորի տեղակայում հիմքի հետևում:

5. Վեկտորային կոորդինատներ.

1. Վեկտորային գծային տարածություն.

Անանունություն, որը կազմված է ցանկացած բնույթի տարրերից, որոնցում նշվում են գծային գործողություններ՝ գումարելով երկու տարր, որ տարրը թվով բազմապատկելը կոչվում է. բաց տարածքներ, Եվ їх տարրեր - վեկտորներ th տարածությունը і նշանակվում են որպես і, yak і վեկտորային մեծություններ երկրաչափության մեջ. ՎեկտորներՆման վերացական տարածությունները, որպես կանոն, չեն կարող պատկերացվել մեծագույն երկրաչափական վեկտորներով։ Աբստրակտ տարածությունների տարրերը կարող են լինել ֆունկցիաներ, թվերի համակարգ, մատրիցներ և այլն, իսկ okreme դեպքում՝ փոփոխական վեկտորները։ Դրա համար ընդունված է անվանել վեկտորային բաց տարածություններ .

վեկտորային տարածություն, օրինակ, անթիվ թվով ոչ սովորական վեկտորներ, որոնք նշված են Վ1 , առանց համակողմանի վեկտորների Վ2 , անանձնական վեկտոր մեծ (իրական տարածություն) Վ3 .

Կոնկրետ այս վիպադկայի համար հնարավոր է վեկտորային տարածությանը մի քայլք տալ։

Նշանակում 1.Անանուն վեկտորը կոչվում է վեկտորային տարածություն, Որպես գծային համակցություն, արդյոք բազմապատկիչում կան վեկտորներ, այն նաև այդ բազմապատկիչի վեկտորն է։ Վեկտորներն իրենք են կոչվում տարրերվեկտորային տարածություն.

Այն ավելի կարևոր է և՛ տեսական, և՛ կիրառական տեսանկյունից, և՛ վեկտորային տարածության ավելի վերացական (վերացական) ըմբռնման մեջ։

Նշանակում 2.Բեզլիչ Ռտարրեր, որոնցում ցանկացած երկու տարրի և գումար է վերագրվում, իսկ ցանկացած տարրի համար կոչվում է width=68 վեկտոր(կամ գծային) բաց տարածություն, տարրերի նման՝ վեկտորների, ինչպես վեկտորներ ավելացնելու և վեկտորը թվով բազմապատկելու գործողությունը՝ գալիք մտքերը բավարարելու համար ( աքսիոմներ) :

1) հավելումը կոմուտատիվ է, ուստի gif լայնությունը = «184» բարձրություն = «25»;

3) օգտագործել այնպիսի տարր (զրոյական վեկտոր), որն ինչի համար էլ լինի https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45". 99" height="27">;

5) ցանկացած թվով վեկտորների համար նման λ թիվը կարող է հավասար լինել.

6) ինչ վեկտորների և ինչ թվերի համար λ і µ արդարություն https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" λ і µ արդար ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif» .

Վեկտորային տարածությունը նշանակող աքսիոմներից բացականչեք ամենապարզը ապացույցներ :

1. Վեկտորային տարածությունն ունի մեկից ավելի զրո՝ տարրը զրոյական վեկտոր է։

2. Վեկտորային տարածությունն ունի մեկ վեկտոր:

3. Մինչեւ մաշկի տարր vykonuetsya համեստություն:

4. Ցանկացած օրվա համարի համար λ զրոյական վեկտորի i.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> կոչվում է վեկտոր, որը բավարարում է հավասարությունը https://pandia.ru/ text/ 80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">:

Otzhe, fiyno և անանձնական բոլոր երկրաչափական վեկտորներից є գծային (վեկտոր) տարածության մեջ, ուստի այն տարրերի համար, որոնց համար բազմապատկիչը նշանակվում է գումարում և բազմապատկում թվով, որը բավարարում է աքսիոմների ձևակերպումը:

2. Հիմքը տարածության ընդլայնումն է։

Іstotnimi հասկացությունները վեկտորային տարածության є հասկանալու հիմքը եւ rozmіrnіst.

Նշանակում.Երգման կարգից վերցված գծային անկախ վեկտորների հավաքածու հիմքինչ տարածություն. Վեկտոր. Պահեստային հիմք տարածքի համար, կոչ հիմք .

Անանձնական վեկտորների հիմքը, որը տարածված է dolnіy ուղիղ գծի վրա, կարող եք օգտագործել մեկ համագիծ ուղիղ վեկտոր:

Հիմքը ինքնաթիռի վրաԱնվանենք այս հարթության վրա երկու ոչ սյունակային վեկտոր՝ վերցված նույն հերթականությամբ։

Եթե ​​հիմքի վեկտորները զույգերով ուղղահայաց են (ուղղանկյուն), ապա հիմքը կոչվում է ուղղանկյուն, իսկ եթե q վեկտորները կարող են լինել կրկնակի, հավասար մեկին, ապա կոչվում է հիմք օրթոնորմալ .

Ամենամեծ թիվըգծային անկախ վեկտորները կոչվում են տարածության մեջ խաղաղությունայդ տարածությունը, այսինքն՝ տարածության ընդլայնումը մեծանում է այս տարածության հիմնական վեկտորների քանակով։

Օտչեն, ակնհայտորեն գովաբանեց դագիին.

1. Միաշխարհային տարածություն Վ1 ուղիղ գիծ է, և հիմքը կազմված է մեկ համագիծվեկտոր https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39".

3. Մեծ տարածություն չնչին տարածությամբ Վ3 , որի հիմքը կազմված է երեք ոչ համահունչվեկտոր_վ.

Ինձ թվում է, որ ուղիղ գծի վրա, հարթության վրա, իրական տարածության վրա հիմքի վեկտորների թիվը դրա հետ է տարբերվում, ինչը երկրաչափության մեջ սովորաբար կոչվում է ուղիղ գծի, հարթության, տարածության թիվ։ Բնական է, որ սա հանգեցնում է ավելի կոպիտ պատժի։

Նշանակում.Վեկտորային տարածություն Ռկանչեց n- խաղաղ, ինչպես նոր աշխարհում այլևս չկա nգծային անկախ վեկտորներ և նշանակվում են Ռ n. Թիվ nկանչեց խաղաղությունտարածություն.

Vіdpovіdno մինչեւ rozmіrnostі բաց տարածություն podіlyayutsya kіntsevіі անսահմանափակ. Նշանակումներից դուրս զրոյական տարածության բաց լինելը համարվում է հավասար զրոյի։

Հարգանք 1.Մաշկի տարածության մեջ դուք կարող եք նշել, թե քանի հիմք է անհրաժեշտ, բայց այս տարածության բոլոր հիմքերը գումարվում են նույն թվով վեկտորներից:

Ծանոթագրություն 2.ժամը n- դեպի խաղաղ վեկտորային տարածություն, հիմք է կոչվում պատվիրված կարգը, թե ոչ nգծային անկախ վեկտորներ.

3. Կողմնորոշում դեպի տարածություն.

Համար տարածքը կողմնորոշելու համար անհրաժեշտ է որոշակի հիմք դնել և դրականորեն բարձրաձայնել այն .

Կարելի է ցույց տալ, որ տարածության անանձնական հիմունքները բաժանվում են երկու դասի, որ դրանք բաժանվում են երկու ենթաբազմապատիկի, որ չեն համընկնում։

ա) բոլոր հիմքերը, որոնք պատկանում են մեկ ենթաբազմապատիկի (դասակարգի) կարող են սակայնկողմնորոշում (նույն ցանկի հիմքում);

բ) ցանկացած երկու հիմք, որը սուտ է կյանքը p_dmnozhin (դասարաններ), mayut պրոտիլեժնուկողմնորոշում, ( տարբերհիմք).

Եթե ​​հիմքերի երկու դասերից մեկը դրական է, իսկ մյուսը բացասական է, ապա թվում է, թե տարածությունը կողմնորոշված .

Հաճախ, երբ կողմնորոշվում է դեպի տարածություն, մեկ հիմք է կոչվում կառավարել, և ինշի - լիվիմի .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> անունը կանոն, Այնուամենայնիվ, երբ երրորդ վեկտորը պաշտպանված է, առաջին վեկտորի ամենակարճ շրջադարձն է հակատարվա նետ(նկ. 1.8, ա):

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Բրինձ. 1.8. Աջ հիմք (ա) այդ ձախ հիմքը (բ)

Զանգահարեք դրական հիմքով

Աջ (livy) հիմքը կարող է վերագրվել տարածությանը, իսկ «աջ» («ձախ») պտուտակի կամ ոլորված լրացուցիչ կանոնի համար:

Cim-ի անալոգիայով ներմուծվում է աջ և ձախ հասկացությունը եռյակներոչ կոմունալ վեկտորներ, որոնք պայմանավորված են պատվերով (նկ. 1.8):

Այս կերպ, վայրի միտումով, չպլանավորված վեկտորների երկու դասավորված եռյակներ կարող են ունենալ նույն կողմնորոշումը (նույնը) տարածության մեջ Վ3 եթե վիրավորանքի գարշահոտը ճիշտ է, կամ եթե վիրավորական է՝ ձախ է, իսկ հակառակ կողմնորոշումը (տարբեր), եթե մեկը ճիշտ է, իսկ մյուսը՝ ձախ։

Նման է տեղավորելու և տեղ ունենալու համար Վ2 (Քառակուսիներ):

4. Վեկտորի տեղակայում հիմքի հետևում:

Պարզության համար հայելային պատկերը կարելի է տեսնել տրիվիմիր վեկտորային տարածության օրինակով Ռ3 .

Արի - dovіlny վեկտոր tsgo տարածություն.

ՎԵԿՏՈՐԱՅԻՆ ՏԱՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ (գծային տարածություն), հանրահաշվի հիմնարար ըմբռնումներից մեկը, (ազատ) վեկտորների ամբողջության ըմբռնումը: Վեկտորային տարածության մեջ վեկտորները դիտարկվում են, թե արդյոք դրանք օբյեկտներ են, եթե դրանք կարելի է ավելացնել և բազմապատկել թվերով. անհրաժեշտության դեպքում, որպեսզի հանրահաշվական գործողությունների հիմնական հզորությունները լինեն նույնը, ինչ տարրական երկրաչափության վեկտորների համար: Ճշգրիտ նշանակված թվով դրանք փոխարինվում են K դաշտի տարրերով: Վեկտորային տարածությունը K դաշտի վրա կոչվում է անանձնական V՝ V-ից տարրեր ավելացնելու գործողությամբ և V-ից տարրերը K դաշտի տարրերով բազմապատկելու գործողությամբ: , որը կարող է հանգեցնել իշխանության գալուն.

x + y \u003d y + x x, y z V-ի համար, որպեսզի V-ը ծալվի Աբելյան խմբի մեջ.

λ(x + y) = λ χ + λy ցանկացած λ z K і x, y z V;

(λ + μ)х = λх + մհ ցանկացած λ-ի համար, μ z K ի x z V;

(λ μ)х = λ(μх) ցանկացած λ-ի համար, μ z K i x z V;

1x \u003d x V-ից ցանկացած x-ի համար, այստեղ 1-ը նշանակում է K դաշտի միասնություն:

Վեկտորային տարածության հետույքներ є. բազմապատկիչներ L 1 L 2 і L 3 տարրական երկրաչափության բոլոր վեկտորների, ակնհայտորեն ուղիղ գծի վրա, հարթություններ і տարածության մեջ՝ ծալովի վեկտորների և թվով բազմապատկվող ակնառու գործողություններով. կոորդինատային վեկտորային տարածություն K n , որի տարրերը є բոլոր տողերը (վեկտորները) n են K դաշտի տարրերով, իսկ գործողությունները տրված են բանաձևերով.

անանձնական F(M, K) բոլոր գործառույթներից, որոնք վերագրված են ֆիքսված M բազմապատկիչին և ընդունում են արժեքներ To դաշտում, ֆունկցիաների վրա ամենակարևոր գործողություններով.

e 1 ..., e n վեկտորային տարածության տարրերը կոչվում են գծային անկախ, քանի որ հավասարության λ 1 e 1 + ... n = 0 Є K. Հակառակ ուղղությամբ տարրերը e 1 , e 2 , ·· ·> e n-ը կոչվում են գծային ֆալլ: Եթե ​​V վեկտորային տարածությունն ունի n + 1 տարր e 1 ,..., e n+1 գծային անորոշ և n գծային անկախ տարր, ապա V-ն կոչվում է n-աշխարհի վեկտորային տարածություն, իսկ n-ը V վեկտորային տարածության չափն է։ Ինչպես V վեկտորային տարածություն ցանկացած բնական n գոյություն ունեցող n գծային անկախ վեկտորների համար, այնպես էլ V-ն կոչվում է անսահման վեկտորային տարածություն: Օրինակ, վեկտորային տարածությունը L 1 , L 2 , L 3 і K n նույն կերպ 1-, 2-, 3- եւ n-mіrnі; եթե M-ն անանձնական է, ապա F(M, K) վեկտորային տարածությունը սահմանափակված չէ:

V և U վեկտորային տարածությունը K դաշտի վրա կոչվում են իզոմորֆ, այնպես որ φ : V -> U փոխադարձաբար եզակի է, այնպես որ φ(x+y) = φ(x) + φ(y) x, y z V-ի համար: և φ (λx) = λ φ(x) ցանկացած λ z K i x z V-ի համար: Իզոմորֆ վեկտորային տարածությունները հանրահաշվորեն չեն տարբերվում: Վերջնական վեկտորային տարածությունների դասակարգումը մինչև իզոմորֆիզմը տրված է դրանց բազմազանությանը. արդյոք Do դաշտի վրա կա n-չափ վեկտորային տարածություն, իզոմորֆ է Do n կոորդինատային վեկտորային տարածության նկատմամբ: Հիանալ Հիլբերտի նույն տարածության վրա, Գծային հանրահաշիվ:

Թող R - դաշտ: Տարրեր a, b, ... н Ռմենք կանվանենք սկալարներ.

Նշանակում 1.դաս ՎԲավարար բնույթի առարկաները (տարրերը) , , , ... կոչվում են վեկտորային տարածություն դաշտի վրա Р, և կոչվում են V դասի տարրեր վեկտորներթեև V-ը փակ է, բայց «+» գործողությունը P-ից սկալարներով բազմապատկման գործողությունն է (այսինքն՝ ցանկացածի համար нV + н. Վ; «aÎ R aÎV), և vykonuyutsya այնքան միտք.

A 1: Հանրահաշիվ - Աբելյան խումբ;

A 2՝ a, bÎР, ÎV, թե ոչ, a(b)=(ab)-համապատասխան ասոցիատիվ օրենք;

A 3՝ ինչի համար a, bÎP, ինչի համար ÎV, vikonuetsya (a+b)= a+ b;

A 4. ցանկացած a z P-ի համար, ցանկացած s V-ի համար մենք շահում ենք a(+)=a+a(բաշխիչ օրենքների ավելացում);

A 5. անկախ նրանից, թե V-ը հաղթական է, թե ոչ 1 = , de 1 - դաշտի միասնությունը P - միասնության ուժը:

P դաշտի տարրերը կոչվում են սկալերներ, իսկ V բազմապատկիչի տարրերը՝ վեկտորներ։

Հարգանք.Վեկտորը սկալյարով բազմապատկելը երկուական գործողություն չէ V բազմապատկիչի վրա, բայց մասշտաբը PV®V է:

Եկեք նայենք վեկտորային տարածություններին:

օրինակ 1.Զրո (զրոյական աշխարհ) վեկտորային տարածություն - տարածություն V 0 =() - որը կազմված է մեկ զրոյական վեկտորից:

Ինչ էլ որ լինի aОР a=. Եկեք վերանայենք վեկտորային տարածության աքսիոմների վավերականությունը։

Հարգանքով, զրոյական տարածությունը դաշտի վրա R. Այսպիսով, զրոյական տարածությունը դաշտի վրա ռացիոնալ թվերես դաշտի վերևում օրվա համարները vvazhayutsya raznimi, hoch գումարել մեկ զրոյական վեկտորից:

հետույք 2. P դաշտն ինքնին վեկտորային տարածություն է P դաշտի վրա: Թող V=P: Եկեք վերանայենք վեկտորային տարածության աքսիոմների վավերականությունը։ Քանի որ P-ն դաշտ է, ապա P-ն հավելումային խումբ է, և A1-ը հաղթում է: Հետ նայելով zdіysnennostі-ին R asociativnostі mnozhennja vykonuєtsya A 2-ում: A 3 և A 4 աքսիոմները հաղթում են այն պատճառով, որ R-ն բաշխվում է և ազատորեն բազմապատկվում: Բեկորները դաշտում R-ն մեկ տարր է 1, միասնության հզորությունը A 5: Այս հերթականությամբ P դաշտը վեկտորային տարածություն է P դաշտի վրա։

օրինակ 3.Թվաբանական n-չափ վեկտորային տարածություն.

Թող R - դաշտ: Զգալիորեն անանձնական V = P n = ((a 1, a 2, …, a n) ½ a i P, i = 1, ..., n): Ներկայացնենք V բազմապատկիչի վրա վեկտորներ ավելացնելու և վեկտորը սկալյարով բազմապատկելու գործողությունը հետևյալ կանոնների համաձայն.

«= (a 1, a 2, …, a n), = (b 1, b 2, …, b n) О V, «aО P += (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n. + bn) (1)

a=(aa 1, aa 2, …, aa n) (2)

V տարրերը և բազմապատկիչները կոչվում են n-աշխարհի վեկտորներ. Երկու n-աշխարհի վեկտորները կոչվում են հավասար, քանի որ դրանց երկչափ բաղադրիչները (կոորդինատները) հավասար են: Կարելի է ցույց տալ, որ V-ը վեկտորային տարածություն է P դաշտի վրա: Քանի որ հայտնի է վեկտորը սկալարի մեջ ծալելու և սկալյարով բազմապատկելու գործողությունը, V-ն այս գործողությունների փակ ընտրությունն է: Քանի որ V-ից տարրերի գումարումը կրճատվում է P դաշտի տարրերի ավելացմանը, իսկ P-ն աբելյան հավելումային խումբ է, ապա і V-ն աբելյան հավելումային խումբ է։ Ընդ որում, = , de 0-ը Р դաշտի զրոն է, -= (-a 1, -a 2, ..., -a n): Այս վարկանիշում հաղթում է Ա1-ը: V տարրի բազմապատկման մասշտաբները P տարրով կրճատվում են P դաշտի տարրերի բազմապատկման, ապա.

A 2-ը հաղթում է P-ի վրա բազմապատկիչի ասոցիատիվության շնորհիվ;

A 3-ը և A 4-ը միացված են P-ի վրա ծալվող բաշխիչ բազմապատկման միջոցով;

Եվ 5 հաղթանակ, քանի որ 1 P-ը չեզոք տարր է, որը կարելի է բազմապատկել R-ով:

Նշանակում 2.Անանձնական V = P n (1) և (2) բանաձևերով սահմանված գործողություններով կոչվում է թվաբանական n-չափ վեկտորային տարածություն Р դաշտի վրա:

Եկեք նայենք այն հաջորդականությանը, որը ձևավորվում է գործողության տարրերով պարզ դաշտ ԳՖ(ք) (ա^, ա......a p).Նման հաջորդականությունը կոչվում է l-by

հետեւողականությունդաշտի վրայով ԳՖ)