Պարզեք հարուստ տերմինի բոլոր ռացիոնալ արմատները առցանց: Հավասարում բոլոր մաթեմատիկայի մեջ Հարուստ տերմինների ռացիոնալ արմատը. Հորների սխեման. Chi є tse ռացիոնալ թիվ

x փոփոխականի տեսքով հարուստ տերմինը կոչվում է այլ կերպ՝ anxn + an-1 xn-1 +: . . +a 1 x+a 0 de n բնական թիվ է; ան, ան-1, . . . , a 1, a 0 - արդյոք դրանք թվեր են, կոչվում են այս բազմանդամի գործակիցներ: Virazi anxn, an-1 xn-1, . . . 1 x-ը, a 0-ը կոչվում են բազմանդամի անդամներ, իսկ 0-ը՝ կամայական անդամ: an - գործակիցը xn-ում, an-1 - գործակիցը xn-1-ում և այլն: օրինակ, 0x2 + 0x + 0 հարուստ տերմինը զրոյական է: Բազմանդամի գրառումից պարզ է դառնում, որ vin-ը գումարվում է անդամների թվից։ Հնչում է «հարուստ անդամ» տերմինը (հարուստ անդամներ): Երբեմն հարուստ տերմինը կոչվում է բազմանդամ: Այս տերմինը հիշեցնում է հունարեն պոլի - հարուստ և νομχ - անդամ բառերը:

Հարուստ անդամ մեկ փոփոխության x-ով նշանակվում է. f (x), g (x), h (x) և այլն, օրինակ, որպես առաջին ավելի հարուստ տերմիններ f (x), ապա կարող եք գրել. f (x) = x 4+2 x 3+ (- 3) x 2 + 3/7 x + √ 2. 1. h (x) հարուստ տերմինը կոչվում է f (x) և g (x) հարուստ տերմինների ամենամեծ քնաբերը, ուստի հնարավոր է. ավելացնել f (x), g (x) և կաշվե դիլնիկ։ 2. F(x) n քայլի P դաշտի գործակիցներով հարուստ տերմինը կոչվում է կրճատելի P դաշտի վրա, այդպիսով հաստատելով h(x), g(x) Î P[x] աստիճանի n-ի հարուստ անդամներ, որպեսզի f (x) = h( x)g(x):

Սա հարուստ տերմին է f(x) = anxn+an-1 xn-1+: . . + a 1 x + a 0 і an≠ 0, ապա n թիվը կոչվում է f (x) հարուստ տերմինի փուլ (կամ թվում է. f (x) n-րդ աստիճանն է) և գրել Art. f(x) = n. Եվ այստեղ an-ը կոչվում է ավագ գործակից, իսկ anxn-ը այս բազմանդամի ավագ անդամն է։ Օրինակ, եթե f (x) = 5 x 4 -2 x +3, ապա Art. f(x) = 4, ավագ գործակիցը` 5, ավագ ժամկետը` 5 x4: Բազմանդամ քայլը նրա գործակիցների թվերից ամենամեծն է՝ զրոյի առաջատար տիպերը։ Զրոյական քայլի հարուստ անդամներն ամբողջ թվերն են, որոնք նույնն են, ինչ զրոյականը։ քայլի զրոյական հարուստ տերմինը չի կարող լինել. հարուստ տերմին f(x) = a, որտեղ a-ն թիվ է, որը հավասար չէ զրոյի, առավելագույն քայլը 0 է; քայլ լավ կլինի մի այլ բազմանդամ, որն ավելի թանկ է x փոփոխության քայլի ամենամեծ ցուցիչին, հաջորդի գործակիցը զրո է:

Ռիվնիստ հարուստ անդամներից։ Երկու հարուստ անդամներ f(x) և g(x) համարվում են հավասար, թեև դրանց գործակիցները հավասար են x փոփոխության և ազատ անդամների (հավասար їх відпровідні գործակիցներ) նույն աստիճաններում։ f(x) = g(x): Օրինակ, հարուստ տերմինները f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 і g (x) \u003d 2 x 23 x + 1 հավասար չեն, դրանցից առաջինն ունի x3 ավելի հավասար գործակից: 1-ին, իսկ մյուսն ունի զրո ( ճիշտ ընդունված բանականությամբ, կարող ենք գրել՝ g (x) \u003d 0 x 3+2 x 2 -3 x + 1: Այդ դեպքում՝ f (x) ≠ g (x x 2 -3 x + 5, s ( x) =2 x 2 + 3 x + 5

Եվ հարուստ տերմինի առանցքը f 1 (x) \u003d 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 і g 1 (x) \u003d 2 x 5 + կացին 3 -2 x + 3 հավասարապես, նույնիսկ եթե a = 3 , բայց b = -2: Տրե՛ք հարուստ տերմինը f(x) = anxn+an-1 xn-1+: . . +a 1 x+a 0-ը c թիվ է: Թիվ f(c) = ancn+an-1 cn-1+: . . +a 1 c+a 0 կոչվում է f(x) բազմանդամի արժեք x = c-ում: Նման կերպ f (c) իմանալու համար անհրաժեշտ է հիմնավորել x-ը և կատարել անհրաժեշտ հաշվարկներ։ Օրինակ, եթե f(x) = 2x3+3x2-x+5, ապա f(-2)=2(-2)3+(-2)2-(-2)+5=3: Հարուստ անդամ՝ x փոփոխության տարբեր արժեքներով կարող է ընդունվել տարբեր արժեքներ. Թիվը կոչվում է f (x) բազմանդամի արմատ, ուստի f (c) =0։

Կարևոր է ուշադրություն դարձնել երկու պնդումների միջև եղած տարբերությանը. «f(x) հարուստ տերմինը հավասար է զրոյի (հակառակ դեպքում, հարուստ անդամը f(x) զրո է)» և «f(x բազմանդամի արժեքը) x=z-ում հավասար է զրոյի»: Օրինակ, f (x) \u003d x 2 -1 բազմանդամը հավասար չէ զրոյի, vіn-ը կարող է լինել ոչ զրոյական գործակիցներ, ինչպես x \u003d 1-ի արժեքը հավասար է զրոյի: f(x) ≠ 0 և f(1) =0: Հարուստ տերմինների համարժեքության ըմբռնումների և հարուստ տերմինի իմաստի միջև նույն սերտ փոխհարաբերությունն է։ Եթե ​​տրված են f(x) և g(x) երկու հավասար բազմանդամներ, ապա їх հավասարների հավասար գործակիցներ են, և, հետևաբար, c մաշկի համարի համար f(c) = g(c):

Գործողություններ բազմանդամների վրա Հարուստ տերմիններ կարելի է ավելացնել, տեսնել և բազմապատկել՝ համաձայն աղեղի ընդլայնման և նմանատիպ անդամների կրճատման սովորական կանոնների: Սրանով, արդյունքում ես նորից մտնում եմ հարուստ անդամ։ Նշանակված գործողությունները կարող են ունենալ հզորություն՝ f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h(x), f(x) g(x) = g(x) f(x), f(x)(g(x) h(x)) = (f(x) g( x)) h(x), f(x)(g(x) + h(x)) = f(x) g(x) + f(x) h(x):

Թույլ տվեք ձեզ երկու հարուստ տերմին տալ f(x) = anxn+an-1 xn-1+: . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, i g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+։ . . +b 1 x+bm≠ 0. Պարզ էր, որ Արվ. f(x)=n և արտ. g(x) = m. Եթե ​​դուք qi-ն բազմապատկեք երկու բազմանդամ, ապա կհայտնվեք f(x) g(x)=anbmxm+n+ ձևի հարուստ անդամով: . . +a 0 b 0. Oskilki an≠ 0 and bn≠ 0, ապա anbm≠ 0, նույնպես, արտ. (f(x)g(x))=m+n. Հնչյունները բարձր են և կարևոր:

Բազմապատկիչների քայլերի գումարին երկու ոչ զրոյական հարուստ անդամ ավելացնելու քայլեր, արվեստ. (f(x)g(x)) = ստ. f(x) +st. g(x). Բազմապատկիչների ավագ անդամները (գործակիցները) գումարելու համար երկու ոչ զրոյական հարուստ անդամի ստեղծման ավագ անդամը (գործակիցը): Երկու հարուստ անդամների ստեղծման ազատ անդամն արժանի է համատեղ բազմապատկիչների ազատ անդամների ստեղծմանը: Առատորեն արտահայտված f(x), g(x) և f(x) ±g(x) քայլերը կապված են գալիք spivvіdnoshennia-ի հետ. արվեստ: (f (x) ± g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)):

f(x) և g(x) բազմաթիվ տերմինների սուպերպոզիցիան կոչվում է: հարուստ տերմին, որը նշանակվում է f-ով (g (x)), որը կարող է նաև x-ի փոխարեն մտնել f (x) բազմանդամը, փոխարինել g (x) բազմանդամը: Օրինակ, եթե f(x)=x 2+2 x-1 і g(x) =2 x+3, ապա f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2x2+4x+1. Կարելի է տեսնել, որ f(g(x)) ≠g(f(x)), որը բազմակի տերմինների սուպերպոզիցիա է f(x), g(x) և բազմակի տերմինների սուպերպոզիցիա g(x), f( x) տարբեր. Այս կերպ սուպերպոզիցիայի գործողությունը տեղաշարժման ուժ չունի։

, թերագնահատման և գերհոսքի ալգորիթմ Այն դեպքում, թե արդյոք f(x), g(x) պարզ է q(x) (մասնավոր) և r(x) (ավելցուկ), այնպես որ f(x)=g(x)q(x) )+ r(x) և քայլերը՝ r(x)

Բազմանդամների բառարաններ Հարուստ տերմինի բառարան f(x) հարուստ տերմին է g(x) այնպիսին, որ f(x)=g(x)q(x): Ամենամեծ մահճակալը երկու առատ հատվածներից Ամենամեծ մահճակալը հարուստ հատվածով f(x) և g(x)-ն այնպիսի երկտեղանոց մահճակալ է d(x), որը կարելի է բաժանել իրենց ցանկացած այլ մահճակալի:

F(x) և g(x) հարուստ տերմինների ամենամեծ ընդհանուր օրագրի Էվկլիդեսի ալգորիթմը (վերջին ենթագծի ալգորիթմը) Թոդին f(x) և g(x) ամենամեծ դիլնիկն է։

Փոխեք ուրիշներին Լուծում. Մենք գիտենք այս հարուստ տերմինների GCD-ն՝ ամրագրելով էվկլիդեսյան ալգորիթմը 1) х3 + 6 х2 + 11 х + 6 х3 + 7 х2 + 14 х + 8 1 - х2 - 3 х - 2 8 x3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x - 2 - x - 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Otzhe, հարուստ տերմին (- x2 - 3 x - 2) Արդյունքը գտնվում է vіdomy բազմանդամի դրոշի տակ:

Թվի ստորաբաժանման արդյունքը իմանանք. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x - 2 x3 + 3 x2 + 2 x - x - 3 3 x2 + 9 x + 6 0

Հորների սխեման՝ չափազանց հարուստ f(x) տերմինից ոչ զրոյական հարուստ տերմինի բաժանելու g(x) - ne նշանակում է բացահայտել f(x) տեսակետում f(x)=g(x) s(x)+: r(x), de s(x) ) i r(x) -հարուստ տերմիններ i կամ r(x) = 0, կամ st. r(x)

Հարուստ հատվածներ, որոնք կանգնած են նրա spіvvіdnoshennia-ի ձախ և աջ մասերում, հավասար են, ինչպես նաև հավասար են їhnі vіdpovіdni koefіtsіentsi: Դա հավասար է նրանց՝ բացելով աղեղները առջևից և նույնանման վերջույթներ ներարկել հանգստության գծի աջ մասում։ Մինուս՝ a = bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1, a 0 = r - cb 0 Virazimo їх іz otrimanih հավասարումներ՝ bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 \u003d cb 1 + a 1, r \u003d cb 0 + a 0: Մենք գիտեինք բանաձևերը, որոնք կարող են օգտագործվել կենտ մասնավոր s-ի (x) և r ավելցուկի գործակիցները հաշվարկելու համար: Սրանով մեղադրանքները կազմվում են սեղանի դիմաց. այն կոչվում է Հորների սխեման:

Աղյուսակ 1. Գործակիցներ f(x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 s(x) գործակիցները չափազանց շատ են: Մեկ այլ շարքում՝ առաջին բջիջի մոտ, գրեք c թիվը։ Շարքի Ռեշտա կլիտինը լրացվում է՝ մեկ առ մեկ հաշվելով ոչ գծային մասնավորի գործակիցները (x) և ավելցուկը r։ Մեկ այլ հաճախորդի մոտ գրեք bn-1 գործակիցը, որը, ինչպես մենք տեղադրել ենք, ավելի թանկ է an.

Մաշկի հարձակողական պատի մոտ կանգնելու գործակիցը հաշվարկվում է հետևյալ կանոնով. c թիվը բազմապատկվում է առջևի պատին կանգնելու թվով, և թիվը գումարվում է արդյունքին՝ պատից վեր կանգնելու, հիշելու համար։ . Որպեսզի հիշենք, ասենք, հինգ կլիտին, որպեսզի իմանանք իր գործակցի վրա կանգնելը, անհրաժեշտ է c բազմապատկել այն թվով, որը գտնվում է չորրորդ կլիտինում, և արդյունքին գումարել այն թիվը, որը կանգնած է հինգերորդ կլիտինից վեր։ Եկեք բաժանենք, օրինակ, հարուստ տերմինը f (x) \u003d 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 x-2 іz չափազանց շատ, Հորների սխեմայով: Առաջին շարքը լրացնելիս չի կարելի մոռանալ բազմանդամի զրոյական գործակիցների մասին սխեմայի թվերը։ Այսպիսով, f(x) գործակիցները 3, 0, - 5, 3, - 1 թվերի արժեքներն են: Մեկ այլ բան, որ պետք է հիշել, այն է, որ անավարտ մասնավորի քայլը մեկով փոքր է քայլից: հարուստ տերմինը f(x):

Նաև, թվում է, թե այն բաժանվել է ըստ Հորների սխեմայի. Աղյուսակ 2: 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Կարևոր է նշել, որ մասնավոր s(x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 և ավելցուկ r=33: Հարգանքով՝ մենք հաշվարկել ենք f (2) =33 բազմանդամի արժեքը։ Հիմա եկեք շատ հարուստ f(x) տերմինը բաժանենք x + 2 іz չափազանց շատ: Ես ունեմ vipadku = -2-ով: ընտրովի՝ Աղյուսակ 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Արդյունքում, f(x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x-11) + 21 .

Բազմանանդամների արմատ Nehai с1, с2, …, сm - f(x) բազմանդամի տարբեր արմատ: Այնուհետև f(x)-ը բաժանվում է x-c1-ի, ապա f(x) = (x-c1) s1(x): Եկեք վճարենք այս հավասարության համար x=c2: Մենք հանում ենք f(c2) = (c2-c1) s1(c2) i, այնպես որ f(c2) =0, ապա (c2-c1) s1(c2) =0: Ale c2≠c1, ապա c2 -c1≠ 0, ինչը նշանակում է, որ s 1 (c 2) = 0: Բացի այդ, c2-ը s 1 (x) բազմանդամի արմատն է: Այն ցույց է տալիս, որ s1(x)-ը բաժանվում է x-c2-ի, ուստի s1(x) = (x-c2) s2(x): Պատկերացրեք, որ s 1 (x) y-ի համար հանում ենք virase-ը հավասար f (x) = (x-c 1) s 1 (x): Մայիս f(x) = (x-c1) (x-c2) s2(x): Ներդրելով մնացյալ x \u003d c3 հավասարությունը՝ ամրագրելու համար, որ f (c 3) \u003d 0, c3 c1, c3 c2, մենք ենթադրում ենք, որ c3-ը s 2 (x) բազմանդամի արմատն է։ Այսպիսով, s 2 (x) \u003d (x-c 3) s 3 (x), այնուհետև f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) և այլն: որոնք կորցրել են, c4, c5, ..., սմ, մի, նարեշտի, f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x) վերցված է, սա է. բերվել է ավելի ցածր բանաձեւի.

Քանի որ c1, c2, ..., cm-ը f (x) բազմանդամի տարբեր արմատն է, ապա f (x) կարելի է տալ՝ նայելով f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) սմ (x). Կարևոր հետևանք է հնչում. Քանի որ c1, c2, ..., cm-ը f (x) բազմանդամի արմատն է, ապա f (x)-ը բաժանվում է (x-c1) (x-c2) ... (x-cm) բազմանդամի վրա։ Ոչ զրոյական f(x) բազմանդամի տարբեր արմատների թիվը ստորին աստիճանից մեծ չէ։ Ճիշտ է, քանի որ f(x)-ն արմատ չունի, պարզ է, որ թեորեմը ճիշտ է, ավելի շատ Արվեստ. f (x) ≥ 0. Հիմա թող f (x)-ն ունենա m արմատներ c1, c2, ..., cm, ընդ որում, բոլոր հոտերը տարբեր են: Ինչպես f (x)-ը բաժանվում է (x-c1) (x-c2) ... (x-cm): Երբեմն Արվեստ. f(x)≥st. ((X-C1) (X-C2) ... (X-Cm)) = ստ. (x-c1) + արտ. (X-C2) + ... + Արվեստ. (x-cm) \u003d մ, ապա ք. f(x)≥m, իսկ m-ը հարուստ տերմինի արմատների թիվն է, որը կարելի է դիտարկել: Իսկ զրոյական հարուստ տերմինի առանցքը անսահմանորեն հարուստ է արմատներով, եթե նույնիսկ իմաստ ունի ինչ x ավելի գեղեցիկ է 0. Զոկրեմա, հանուն պատճառելու, և մի պատժեք նույն երգող քայլին։ Լավ ապացուցված թեորեմներից ակնհայտ է դառնում նույն պնդումը.

Եթե ​​f(x) բազմանդամը քայլի բազմանդամ չէ, ավելի մեծ, ցածր n, և կարող է լինել ավելի մեծ, ցածր n արմատ, ապա f(x)-ը զրոյական բազմանդամ է: Իրոք, ֆիրմայի մտքի գիտակցությունից պարզ է դառնում, որ f (x)-ը զրոյական բազմանդամ է կամ արվեստ: f(x) ≤n. Եթե ​​ենթադրենք, որ f(x) բազմանդամը զրո չէ, ապա արտ. f(x) ≤n, իսկ հետո f(x)-ը չի կարող ավելի շատ լինել, n արմատից ցածր: Մենք հասնում ենք գերազանցության կետին: Հետևաբար, f(x)-ը ոչ զրոյական հարուստ անդամ է: Թող f(x) և g(x) աստիճանի ոչ զրոյական հարուստ անդամներ լինեն, ոչ ավելի, ավելի ցածր n: Եթե ​​q բազմանդամները ձեռք են բերում նույն արժեքը x փոփոխության n + 1 արժեքների համար, ապա f (x) = g (x):

Ապացույցի համար նայենք h(x) = f(x) – g(x) հարուստ տերմինին: Ինձ պարզվեց, որ կամ h (x) = 0, կամ st. h (x) ≤n, ապա h (x)-ը քայլի հարուստ անդամ չէ, ավելի, քան n-ից ցածր: Թույլ տվեք հիմա վերցնել թիվն այնպես, որ f (c) = g (c): Ապա h(c) = f(c) - g(c) = 0, ապա h-ն h(x) բազմանդամի արմատն է: Նաև h(x) հարուստ տերմինն ունի n+1 արմատ, և եթե, ինչպես արվեց, h(x) = 0, ապա f(x) = g(x): Եթե ​​f(x) և g(x)-ն ունեն նույն արժեքները x փոփոխականի բոլոր արժեքների համար, ապա

Բազմանդամի բազմաթիվ արմատներ Քանի որ є թիվը f (x) բազմանդամի արմատն է, այս բազմանդամը, ըստ երևույթին, բաժանվում է x-երի: Հնարավոր է, որ f(x)-ը կարող է տարածվել հաջորդ քայլին bugato-անդամ x-s, այսինքն՝ (x-c) k-ի վրա, k>1: Այս վիպադկան կոչվում է բազմակի արմատ: Ավելի հստակ ձեւակերպենք նշանակումը. Թիվը կոչվում է f (x) բազմանդամի k բազմանդամության արմատ (k-ծալովի արմատ), ուստի բազմանդամը բաժանվում է (x-c) k-ի, k>1 (k-ն բնական թիվ է), բայց չի բաժանվում (-ի վրա): x-գ) k + 1. Եթե k=1, ապա այն կոչվում է պարզ արմատ, իսկ եթե k>1՝ f (x) բազմանդամի բազմակի արմատ:

Այսպիսով, f(x) բազմանդամը կարող է ներկայացվել որպես f(x)=(x-c)mg(x), m-ը բնական թիվ է, vin-ը բաժանվում է (x-c) m+1-ի և ապա, եթե g(x)-ը բաժանվում է. x-c . Իսկապես, եթե g(x)-ը բաժանվում է x-c-ի, ապա g(x)=(x-c)s(x), ապա f(x)=(x-c) m+1 s(x), և նաև՝ f(x) բաժանվում է (x-c) m+1-ի: Հետ, քանի որ f(x)-ը բաժանվում է (x-c) m+1-ի, ապա f(x)=(x-c) m+1 s(x): Այնուհետև (x-c) mg (x) \u003d (x-c) m + 1 s (x) և (x-c) m-ի կարճ ժամանակից հետո վերցվում է g (x) = (x-c) s (x): Թվում է, թե g(x)-ը բաժանվում է x-ների:

Պարզ է, օրինակ, որ chi-ն 2-րդ թիվն է՝ որպես հարուստ տերմինի արմատ f(x) = x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24, և եթե այո, ապա մենք գիտենք դրա բազմությունը: Առաջին սնուցման աղբյուրը ստուգելու համար մենք կարող ենք ստուգել լրացուցիչ Horner սխեման, որը բաժանում է f(x) x-2-ով: կարող է լինել՝ Աղյուսակ 4: 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Ինչպես և Բաչիմոն, f(x)-ը x-2-ով բաժանելիս ավելցուկը 0-ից ավելի է, ուստի այն պետք է բաժանվի. x-2. Այսպիսով, բազմանդամի 2-արմատը: Բացի այդ, մենք հանեցինք այն f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12): Հիմա ակնհայտ է, chi є f (x)-ի վրա (x-2) 2. Tse to ավանդ, ինչպես mi schoyno բերել, հաշվի առնելով g (x) բազմանդամի բաժանելիությունը \u003d x 4 -3 x 3 -3 x. 2 + 16 x-12 x-2-ի վրա:

Կրկին արագացում Հորների սխեմայով. Աղյուսակ 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 -x2 -5x +6): Այնուհետև f (x) \u003d (x-2) 2 (x 3 -x 2 -5 x + 6): Նաև f(x)-ը բաժանվում է (x-2) 2-ի, այժմ պետք է ասել, որ f(x)-ը բաժանվում է (x-2)3-ի։ Որի համար շրջելի է, որ h(x) \u003d x 3 -x 2 -5 x + 6 բաժանվում է x-2-ի. Աղյուսակ 6: 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 x-2, նաև, f(x) բաժանվում է (x-2) 3-ի, i f(x)=(x-2)3(x 2+x-3):

Այնուհետև, նույն կերպ, կարելի է ստուգել, ​​թե արդյոք f(x)-ը բաժանված է (x-2)4-ի, որպեսզի s(x)=x 2+x-3 բաժանվի x-2-ի. Աղյուսակ 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Հայտնի է, որ ավելցուկը, երբ s(x)-ը բաժանվում է x-2-ի, հավասար է 3-ի, ապա s(x)-ը չի բաժանվում x-2-ի: Բացի այդ, f(x)-ը չի ստորադասվում (x-2) 4-ում: Այս կերպ, f(x)-ը ստորադասվում է (x-2)3-ին, բայց չի ստորադասվում (x-2)4-ին: Նաև 2 թիվը 3 f(x) հարուստ տերմինի բազմակիության արմատն է։

Հնչեք արմատի ռեվերբը սեղանի շուրջ քիչ հաշվելու բազմակի համար: Այս հավելվածի համար աղյուսակը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ. Աղյուսակ 8: 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Հորները հանել է f (x) բազմանդամը x-2-ով, մեկ այլ շարքում հանում ենք g (x) բազմանդամի գործակիցները։ Այնուհետև եկեք այս մյուս տողը վերցնենք նոր Horner համակարգի առաջին շարքում և հանենք g (x) x-2-ով և այլն: Այս կերպ արմատի բազմակիությունը հավասար է otrimanih զրոյական ավելցուկների թվին։ Անընդմեջ, մնացած ոչ զրոյական ավելցուկից վրեժ լուծելու համար կան նաև այն մասի գործակիցները, երբ f (x)-ը բաժանվում է (x-2) 3-ի։

Այժմ, vikoristovuyuchi schoyno proponovan սխեման արմատի վերահաստատման բազմակիության համար, թվում է, թե առաջադրանքը գալիս է: Ցանկացած a-ի և b-ի համար հարուստ տերմինը f(x) \u003d x 4 + 2 x 3 + ax 2 + (a + b) x + 2-ի համար կարո՞ղ է - 2 թիվը լինել 2-ի բազմակի արմատը: Այսպիսով, - 2 արմատի բազմապատկությունը պայմանավորված է 2-ով ավելացնելով, այնուհետև, առաջարկված սխեմայի համար այն բաժանելով x + 2-ի, մենք կրկնապատկելով պետք է վերցնենք 0-ի ավելցուկը, իսկ երրորդում՝ ավելցուկը, որը հավասար է զրոյի: Մայիս՝ Աղյուսակ 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 aa a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

Այս շարքում թիվը - 2 є արմատը 2-ի բազմապատկման արտաշնչման հարուստ տերմինի, ապա և միայն այն ժամանակ, եթե

Բազմանդամի ռացիոնալ արմատը Եթե l/m ոչ կարճ անդամը (l, m թվի ամբողջ թվերն են) բազմանդամի f(x) հարուստ անդամի արմատն է, ապա բազմանդամի ամենաբարձր գործակիցը բաժանելի է։ m-ով, իսկ երկարատևը բաժանվում է 1-ի: Ճիշտ է, ինչպես f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, de an, an-1, . . . , a 1, a 0-ն ամբողջ թվեր են, ապա f(l/m) = 0, ապա an(l/m) n+an-1 (l/m) n-1+: . . +ա 1լ/մ+ա 0=0. Համարժեքության գնի վիրավորական մասերը բազմապատկել մն-ով: Վերցրեք anln+an-1 ln-1 m+: . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Անլն=մ (-ան-1 լն-1 -...- ա 1 լմն-2 -ա 0 մն-1) հնչում է.

Բաչիմո, anln ամբողջ թիվը բաժանվում է m-ի: Ale l/m-ը ոչ կարճ դրիբ է, ուստի l և m թվերը փոխադարձաբար պարզ են, բայց նաև, ըստ ամբողջ թվերի վավերականության տեսության, ln և m թվերը նույնպես փոխադարձաբար պարզ են: Otzhe, anln բաժանվել m-ի և m-ի, փոխադարձաբար պարզ է ln-ից, ինչպես նաև, an-ի բաժանվելը m-ի: Մենք գիտենք f (x) հարուստ տերմինի ռացիոնալ արմատը \u003d 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8: Ըստ թեորեմի, բազմանդամի ռացիոնալ արմատը ոչ կարճ կոտորակների մեջ է գտնվում l/m ձևով, de l-ը a 0 \u003d 8 ազատ անդամի դիլնիկն է, իսկ m-ը ամենաբարձր a գործակցի դիլնիկն է։ 4 \u003d 6. Եթե այո, ապա լ / մ բացասական է, ապա «-» նշանը հասնում է թվի հավաքմանը: Օրինակ, - (1/3) = (-1)/3: Նաև կարող ենք ասել, որ l-ն 8 թվի գործակիցն է, իսկ m-ը 6 թվի դրական գործակիցն է։

8 թվի տատանողները՝ tse ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, իսկ 6 թվի դրական ընդլայնիչները կլինեն 1, 2, 3, 6, այնուհետև թվացյալ հարուստ տերմինի ռացիոնալ արմատը ներառված է. թվեր ± 1, ± 1/2, ± 1 /3, ±1/6, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8/3: Կռահեք, որ մենք գրել ենք ավելին, քան կարճ կոտորակները: Այս հերթականությամբ մենք կարող ենք ունենալ քսան թիվ՝ արմատների «թեկնածուներ»։ Մնում էր միայն վերանայել նրանց կաշին ու ընտրել նրանց, կարծես արմատներին հավատարիմ։ Գալիս է թեորեմ, որը կհեշտացնի ռոբոտի աշխատանքը։ Քանի դեռ l/m-ը բազմաթիվ գործակիցներով f(x) բազմակի անդամի արմատն է, ապա f(k)-ը բաժանվում է l-km-ի ցանկացած k ամբողջ թվի համար մտքի համար, որ l-km≠0:

Թեորեմն ապացուցելու համար մենք f(x)-ը շատ ենք բաժանում x-k іz-ի: Մենք հանում ենք f(x)=(x-k)s(x)+f(k): Oskіlki f(x)-ը qlimi գործակիցներով հարուստ անդամ է, ապա այդպիսի հարուստ անդամը s(x) է, իսկ f(k)-ն ամբողջ թիվ է: Թող s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0: Ապա f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+… +b1x+b0): Այս հավասարության համար վճարենք 1 x=l/m։ Եթե ​​f(l/m)=0, ապա f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+ …+b 1(l/m)+b 0). Մնացած սեփական կապիտալի վնասազերծող մասը բազմապատկեք mn-ով. mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Պարզ է, որ mnf (k) թիվը բաժանվում է l-km-ի։ Ale oskіlki l і m փոխադարձաբար պարզ են, ապա mn і l-km նույնպես փոխադարձաբար պարզ են, նույնպես, f (k)-ը բաժանվում է l-km-ի: Թեորեմն ավարտված է.

Անդրադառնանք մեր հետույքին և թեորեմն ապացուցելուց հետո ավելի հնչեղ է ռացիոնալ արմատի ձայնի մասին։ Անհրաժեշտ է վերագրել թեորեմը k=1 і k=-1-ի համար, այսինքն, քանի որ ոչ կարճ drіb l/m-ը f(x) տերմինի արմատն է, ապա f(1)/(l-m), և f(-1)/(l + m) . Հեշտ է իմանալ, որ f(1)=-5, իսկ f(-1)=-15 ժամանակներում: Հարգանքներով, մենք միանգամից անջատեցինք այն ± 1: Այսուհետ մեր հարուստ տերմինի ռացիոնալ արմատը հետևյալ միջին թվերն է ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2: /3, ± 4/3, ± 8 /3. Դիտարկենք l/m=1/2: Այնուհետև l-m=-1 և f(1)=-5 բաժանվում են ամբողջ թվի վրա։ Dalі, l+m=3 і f(1) =-15, ուստի ինքնին բաժանվում է 3-ի: Այսպիսով, drіb 1/2-ը մնում է «թեկնածուների» մեջտեղում՝ արմատում:

Թույլ տվեք հիմա lm=-(1/2)=(-1)/2: Այս դեպքում l-m=-3 і f(1) =-5-ը չի բաժանում -3-ի: Այսպիսով, drіb -1/2-ը չի կարող լինել այս հարուստ տերմինի արմատը, և մենք կարող ենք անջատել այն հեռավոր տեսադաշտից: Կրակոցների մաշկի կիրառման համար անհրաժեշտ է վերանայել, հաշվի ենք առնում, որ արմատը գտնվում է 1/2, ± 2/3, 2, - 4 թվերի մեջ։ Այս շարքում ավարտելու նույն պարզ հնարքը Դիտարկվող բազմանդամի ռացիոնալ արմատների շրջանը իմաստալից հնչեց։ Դե, բաց թողնված թվերը կրկին ստուգելու համար մենք կարող ենք օգտագործել Հորների սխեման՝ Աղյուսակ 10: 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Bachimo, scho 1/2-ը f(x) հարուստ տերմինի արմատն է և f(x) = (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1): ) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Պարզ էր, որ f(x) բազմանդամի մյուս արմատները վերցված են g(x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8 բազմանդամի արմատներից, այնուհետև «թեկնածուների» հետագա ստուգումը ք. արմատը կարող է իրականացվել արդեն նույն բազմանդամից: Մենք գիտենք. Աղյուսակ 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Մենք հանեցինք, որ ավելցուկը, երբ g(x)-ը բաժանվում է x-2/3-ի, ավելի է - 80/9: , ապա. 2/3-ը g(x) բազմանդամի արմատ չէ, նաև՝ i f(x): Ավելին, մենք գիտենք, որ - 2/3-ը g (x) և g (x) բազմանդամի արմատն է \u003d (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4):

Այնուհետև f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4): Հետագա ստուգումը կարող է իրականացվել x 2+2 x-4 բազմանդամի համար, որը նկատելիորեն ավելի պարզ է, g (x)-ի համար ավելի ցածր կամ f (x) համար ավելի մեծ: Արդյունքում հաշվի է առնվում, որ 2 i - 4 թվերը արմատավորված չեն։ Բացի այդ, հարուստ տերմինը f(x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 ունի երկու ռացիոնալ արմատներ՝ 1/2 i - 2/3: Այս մեթոդը հնարավորություն է տալիս իմանալ մեծ թվով գործակիցներով հարուստ տերմինի միայն ռացիոնալ արմատը: Թիմը երբեմն մայրական և իռացիոնալ արմատի հարուստ անդամ է: Այսպիսով, օրինակ, հարուստ տերմինի եզրին նայելիս կա միայն երկու արմատ՝ - 1±√5 (հարուստ տերմինի այս արմատը x2 + 2 x-4 է): բազմանդամը կարելի է անվանել ոչ նյութական ռացիոնալ արմատ:

Այլ թեորեմների հետագա մշակումից հետո «թեկնածուներին» ստուգելիս հարուստ տերմինի արմատում «թեկնածուները» ստուգելիս, մյուս թեորեմների հետագա մշակումից հետո, թեկնածուների համար ձախը պետք է անվանել k=± 1: Այլ կերպ ասած, եթե l/m-ը «թեկնածու» է ժամը. արմատը, այնուհետև դուք շատ կմտածեք, որ f( 1 ) և f(-1) l-m-ի և l+m-ի վրա ճիշտ են: Բայց դա կարող է լինել, օրինակ, f(1) =0, այսինքն՝ 1-ը արմատն է, այնուհետև f(1)-ը կարող է երկարացվել որպես թիվ, և նորից ստուգումը իմաստ ունի: Այս դեպքում f(x)-ը բաժանեք x-1-ի, ուստի վերցրեք f(x)=(x-1)s(x) և ստուգեք s(x) բազմանդամը: Եթե ​​մոռանաք, որ f(x)-x բազմանդամի մեկ արմատը 1=1 - մենք արդեն գիտեինք: Եթե ​​«թեկնածուները» հակադարձված են արմատից, որոնք կորել են ռացիոնալ արմատի մասին մեկ այլ թեորեմից հետո, Հորների սխեմայից հետո հնարավոր է, որ, օրինակ, l/m արմատն է, ապա պետք է իմանալ դրա բազմակիությունը։ Եթե ​​ավելի թանկ է, ասենք, k, ապա f(x)=(x-l/m) ks(x), իսկ s(x)-ի համար կարող է կատարվել հետագա վերստուգում, որը կկրճատի հաշվարկը։

Լուծում. y=2 x փոփոխությունը փոխելուց հետո անցնենք մեկին հավասար գործակից ունեցող բազմանդամի ամենաբարձր քայլի համար։ Այս ուսի համար մենք վիրազը բազմապատկում ենք 4-ով, եթե արմատի ֆունկցիան հանվում է, ապա գարշահոտը հայտնվում է ազատ անդամի մեջտեղում։ Գրելի ix: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15±, ±20, ±30, ±60

Այս կետերում հաջորդաբար հաշվում ենք g(y) ֆունկցիայի արժեքը մինչև զրո։ Tobto, y=-5 є արմատ, otzhe, є արտաքին ֆունկցիայի արմատ։ Անցկացվում է երկանդամի վրա հարուստ տերմինի ստովպչիկի (կծիկի) տակ

Դիլնիկովի վերստուգումը, որը կորցրած է, պետք է կատարվի թերի, այնպես որ ավելի հեշտ է Օտժեի քառակուսի եռանկյունը դասավորել հանումների բազմապատկիչների մեջ,

Vykoristannya արագ բազմապատկման բանաձևերը և Նյուտոնի երկանդամը հարուստ տերմինի ընդլայնման համար Inodi գործոններով հին տեսքբազմանդամ՝ առաջարկելու համար յոգայի տարածման եղանակը բազմապատկիչների վրա։ Օրինակ, անհետևողական փոխակերպումներից հետո Պասկալի տրիկոտից անընդմեջ վիշիկովիվության գործակիցները Նյուտոնի երկանդամի գործակիցների համար։ հետույք. Դրեք բազմապատկիչ տերմինը:

Լուծում. Մենք շրջում ենք այն մինչև կետը. բազուկներում գումարի գործակիցների հաջորդականությունը հստակ ցույց է տալիս, թե ինչ է դա: Նույնից հիմա կձևակերպենք քառակուսիների տարբերության բանաձևը. Վիրազ մյուս աղեղը գործողության արմատներ չունի, բայց առաջին աղեղից հարուստ տերմինի համար ևս մեկ անգամ ձևակերպում ենք քառակուսիների տարբերության բանաձևը.

Վիետայի բանաձևերն արտահայտում են բազմանդամի գործակիցները րդ արմատի միջոցով: Այս բանաձևերով դուք կարող եք ձեռքով շտկել հարուստ տերմինի արմատի իմաստի ճիշտությունը, ինչպես նաև տրված արմատների համար հարուստ տերմինի ծալման համար: Բանաձևը Որպես բազմանդամի արմատ, ապա գործակիցները դրսևորվում են արմատների սիմետրիկ հարուստ անդամներով, և

Այսինքն՝ k արմատից բոլոր հնարավոր ստեղծագործությունների գումարը։ Որպես բազմանդամի ավագ գործակից, ապա անհրաժեշտ է Վիետայի բանաձևից առաջ բոլոր գործակիցները բաժանել 0-ի։ Մնացած բանաձևից Vієta ուժեղ է, կարծես հարուստ անդամի արմատը ամբողջ թիվ է, ապա գարշահոտը յոգո ազատ անդամի դիլնիկներն են, որը նույնպես ամբողջ թիվ է։ Ապացույցը հիմնված է համարժեքության տեսակետի վրա՝ խլելով հարուստ տերմինի դասավորությունը ըստ արմատների՝ vrakhovuchi, որ a 0 = 1 հավասարեցնելով գործակիցները x-ի նույն մակարդակներում՝ տարված է Vієta բանաձևով։

Անջատեք հավասարեցումը x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Բացեք: Զգալիորեն y \u003d x 3, չնայած այն հավասար է y 2 - 5 y + 4 \u003d 0 նայելուն, հակառակ դեպքում Y 1 \u003d 1; Y 2 \u003d 4. Otzhe, vyhіdne r_vnyannya համարժեք է rіvnyan-ի ամուսնությանը. x 3 \u003d 1 chi x 3 \u003d 4, այսինքն X 1 \u003d 1 chi X 2 \u003d Vid

Bezout Destination Theorem 1. Տարրը կոչվում է հարուստ տերմինի արմատ, ուստի f(c)=0: Բեզուտի թեորեմը. Pn(x) բազմանդամի (x-a) երկանդամի բաժանման մեջ ավելցուկը մեծացնում է բազմանդամի արժեքը x = a-ում: Բերելով. Ալգորիթմի ուժով f(x)=(xc)q(x)+r(x), de կամ r(x)=0, հակառակ դեպքում։ Հետագայում f(x)=(x-c)q(x)+r, ավելի ուշ, f(c)=(c-c)q(c)+r=r, և f(x)=(xc)q(x) + զ(գ).

Վերջին 1. Pn (x) բազմանդամի ստորաբաժանման մեջ ավելցուկը ax+b երկանդամով ավելի արժեքավոր է x = -b/a բազմանդամի համար, ապա R = Pn (-b/a): Վերջին 2. Քանի որ a թիվը P (x) բազմանդամի արմատն է, որի բազմանդամը առանց ավելորդության բաժանվում է (x-a)-ի: Դաս 3. Ինչպես կարող է P(x) բազմանդամը զույգերով տարբեր արմատներ ունենալ a 1, a 2, …, an, vin՝ առանց ավելորդության բաժանելով tvir (x-a 1) … (x-an): Դաս 4. n քայլի հարուստ անդամը կարող է լինել երեք կամ ավելի, քան n տարբեր արմատներ: Դաս 5. Ցանկացած P(x) բազմանդամի համար a թիվը տարբեր է (P(x)-P(a)) առանց ավելցուկի բաժանվում է երկանդամին (x-a): Դաս 6. a թիվը P(x) աստիճանի P(x) բազմանդամի արմատն է առաջինից ոչ ցածր և միայն այն դեպքում, եթե P(x)-ը բաժանվի (x-a)-ի առանց ավելորդության:

Ռացիոնալ կոտորակի դասավորությունը պարզագույնի վրա Եկեք ցույց տանք, որ արդյոք կարելի է ճիշտ ռացիոնալ կոտորակը տարածել ամենապարզ կոտորակների գումարի վրա։ Թող տրվի ճիշտ ռացիոնալ փաստարկ (1):

Թեորեմ 1. Եկեք x=а є k ոճի դրոշի արմատը, ապա , de f(a)≠ 0, ապա նույն ճիշտ կոտորակը կարելի է տալ հաջորդ հերթականությամբ երկու այլ կանոնավոր կոտորակների գումարով. ), իսկ F 1 (x)-ը հարուստ տերմին է, որի քայլը ցածր է ստանդարտի քայլից

de richomember, ստանդարտի ինչ-որ ցածր աստիճանի քայլ: І այնպես, ինչպես առաջնային բանաձևը, կարելի է վերցնել. (5)

Ինչպես արդեն նշել ենք, առատորեն սահմանված տերմինների տեսության ամենակարևոր խնդիրներից մեկը դրանց արմատները հասկանալն է: Այս առաջադրանքի կատարման համար դուք կարող եք հաղթել ընտրության մեթոդը, tobto: վերցրեք իրական թիվ և փոխեք այն, որոնք այս բազմանդամի արմատներն են:

Սրանով կարելի է արմատի վրա շվիդկո խմել, կամ ընդհանրապես չիմանալ։ Անհնար է, որ aje-ն այլասերել բոլոր թվերը, նրանց համար, ովքեր չափազանց հարուստ են:

Ինշա գետ, յակբի մեզ հաջողվեց կատակի համար հնչեցնել տարածաշրջանը, օրինակ՝ իմանալ, թե որն է արմատը, ասենք, երեսուն նշված թվերի մեջտեղում։ Իսկ երեսուն թվի համար կարող եք նաև աշխատել ռեվերբայի վրա։ Բեղերի հետ կապում մենք ասում ենք ավելի կարևոր, և տեսնում ենք նման ամրություն.

Քանի դեռ l/m (l,m - թվի ամբողջ թվերը) բազմաթիվ գործակիցներով f(x) բազմանդամի արմատն է, ապա բազմանդամի ավելի բարձր գործակիցը բաժանվում է m-ի, իսկ ավելի մեծ անդամը բաժանվում է. 1.

Իսկապես, եթե f(x) = anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, de an, an-1,...,a1, a0 թվի ամբողջ թվեր են, ապա f. (l /m) = 0, ապա an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+...+a1l/m+a0=0:

Համարժեքության գնի վիրավորական մասերը բազմապատկել մն-ով: Վերցրեք anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0:

Ձայները գոռում են.

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Բաչիմո, anln ամբողջ թիվը բաժանվում է m-ի: Ale l / m - ոչ կարճ drіb, tobto. l և m թվերը փոխադարձաբար պարզ են, ինչպես նաև, ըստ ամբողջ թվերի բաժանելիության տեսության, ln և m թվերը նույնպես փոխադարձաբար պարզ են: Otzhe, anln բաժանվել m-ի և m-ի, փոխադարձաբար պարզ է ln-ից, ինչպես նաև, an-ի բաժանվելը m-ի:

Թեման առաջ է քաշվել՝ թույլ տալու համար տարածքը իմաստալից հնչեցնել՝ մի քանի գործակիցներով հարուստ տերմինի ռացիոնալ արմատի որոնման միջոցով: Մենք դա ցույց կտանք կոնկրետ հավելվածում: Մենք գիտենք հարուստ տերմինի ռացիոնալ արմատը f(x) = 6x4+13x2-24x2-8x+8: Ըստ թեորեմի՝ բազմանդամի ռացիոնալ արմատը գտնվում է ոչ կարճ կոտորակների մեջտեղում՝ l/m ձևով, de l-ը երկարաժամկետ a0 = 8 դիլնիկն է, իսկ m-ը՝ ամենաբարձր գործակցի դիլնիկը։ a4 = 6. եթե այո, yakscho drіb l/m բացասական է, ապա նշանը «-» vodnosimeme թվին: Օրինակ, - (1/3) = (-1)/3: Նաև կարող ենք ասել, որ l-ն 8 թվի գործակիցն է, իսկ m-ը 6 թվի դրական գործակիցն է։

8 թվի օսլիլատորները՝ tse ±1, ±2, ±4, ±8, իսկ 6 թվի դրական դիլատորները կլինեն 1, 2, 3, 6, ապա հետազոտված հարուստ տերմինի ռացիոնալ արմատը միջինն է։ ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3 թվերից։ Կռահեք, որ մենք գրել ենք ավելին, քան կարճ կոտորակները:

Այս հերթականությամբ մենք կարող ենք ունենալ քսան թիվ՝ արմատների «թեկնածուներ»։ Մնում էր միայն վերանայել նրանց կաշին ու ընտրել նրանց, կարծես արմատներին հավատարիմ։ Բայց նորից, ես պետք է շատ վերամշակումներ անեմ: Իսկ առանցքը գալիս է, թեորեմը կհեշտացնի ռոբոտին։

Քանի դեռ l/m-ը բազմաթիվ գործակիցներով f(x) բազմակի անդամի արմատն է, ապա f(k)-ը բաժանվում է l-km-ի այն ամբողջ թվի համար, որը k է, օրինակ, l-km?0:

Թեորեմն ապացուցելու համար մենք f(x)-ը շատ ենք բաժանում x-k іz-ի: Վերցրեք զ (x) = (x-k) ս (x) +զ (կ).Քանի որ f(x)-ը բազմակի գործակիցներով հարուստ անդամ է, ապա այդպիսի բազմանդամը s(x) է, իսկ f(k)-ն ամբողջ թիվ է: Թող s(x) = bn-1+bn-2+…+b1x+b0: Ապա f(x) - f(k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0): Եկեք վճարենք այս հավասարության համար x=l/m: Vrahovoyuchi, scho f (l / m) = 0, դա հնարավոր է

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Մնացած խանդի վիրավորական մասը բազմապատկեք mn-ով.

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1):

Պարզ է, որ mnf (k) թիվը բաժանվում է l-km-ի։ Ale oskіlki l і m փոխադարձաբար պարզ են, ապա mn і l-km նույնպես փոխադարձաբար պարզ են, նույնպես, f (k)-ը բաժանվում է l-km-ի: Թեորեմն ավարտված է.

Այժմ անդրադառնանք մեր հետույքին և թեորեմն ապացուցելուց հետո այն էլ ավելի բարձր է հնչում, երբ խոսքը վերաբերում է ռացիոնալ արմատի ձայնին։ Անհրաժեշտ է վերագրել թեորեմը k=1 і k=-1-ի համար, ուստի. որպես ոչ կարճ drіb l/m-ը f(x) արմատն է, ապա f(1)/(l-m) և f(-1)/(l+m): Հեշտ է իմանալ, որ f(1) =-5, իսկ f(-1) =-15: Հարգանքով, մենք մի հայացքով անջատեցինք վարակը ±1:

Նաև մեր հարուստ տերմինի ռացիոնալ արմատը հետևյալն է ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, միջին թվերից։ ±8/3.

Դիտարկենք l/m=1/2: Այնուհետև l-m=-1 և f(1)=-5 բաժանվում են ամբողջ թվի վրա։ Dalі, l+m=3 і f(1) =-15, ուստի ինքնին բաժանվում է 3-ի: Այսպիսով, drіb 1/2-ը մնում է «թեկնածուների» մեջտեղում՝ արմատում:

Թույլ տվեք հիմա lm = - (1/2) = (-1) / 2: Այս դեպքում l-m=-3 і f(1) =-5 չի բաժանվում - 3-ի: Այսպիսով, drіb - 1/2-ը չի կարող լինել այս հարուստ տերմինի արմատը, և մենք կարող ենք այն անջատել հեռավոր հայացքից: Անհրաժեշտ է վերանայել մաշկային դեղատոմսով նկարահանումները, հաշվի ենք առնում, որ արմատը հայտնաբերվել է 1/2, ±2/3, 2, - 4 թվերի մեջ։

Այս շարքում, նույն պարզ հնարքն ավարտելու համար, նրանք իմաստալից հնչեցրել են տարածաշրջանը՝ վերլուծված բազմանդամի ռացիոնալ արմատ փնտրելու համար: Դե, թվերը կրկին ստուգելու համար մենք օգտագործում ենք Հորների սխեման.

Աղյուսակ 10

Նրանք հանեցին, որ այն ավելցուկը, երբ g (x)-ը բաժանվում է x-2/3-ի, հավասար է 80/9-ի, ուստի 2/3-ը ոչ թե g (x) հարուստ տերմինի արմատն է, այլ նշանակում է i f (x) .

Ավելին, հեշտ է իմանալ, որ - 2/3-ը g(x) և g(x) = (3x+2) (x2+2x-4) բազմակի անդամի արմատն է: Այնուհետև f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4): Հետագա ստուգումը կարող է իրականացվել x2+2x-4 բազմանդամի համար, որն ակնհայտորեն ավելի պարզ է՝ ցածր g(x) կամ ավելի մեծ f(x): Արդյունքում հաշվի է առնվում, որ 2 i - 4 թվերը արմատավորված չեն։

Նաև f(x) = 6x4+13x3-24x2-8x+8 հարուստ տերմինն ունի երկու ռացիոնալ արմատ՝ 1/2 i - 2/3:

Գուշակելով, մեթոդի ավելի շատ նկարագրությունները հնարավորություն են տալիս իմանալ հարուստ տերմինի ռացիոնալ արմատը բազմաթիվ գործակիցներով: Թիմը երբեմն մայրական և իռացիոնալ արմատի հարուստ անդամ է: Այսպիսով, օրինակ, հարուստ անդամի հետույքին նայելիս կա միայն երկու արմատ՝ - 1±v5 (հարուստ անդամի այս արմատը x2 + 2x-4 է): Եվ, ըստ երեւույթին, հարուստ անդամը կարող է ռացիոնալ արմատի մայր չլինել:

Այժմ տիկինը երջանիկ է։

F(x) հարուստ տերմինի սկզբում «թեկնածուներ» փորձելիս, ավելի շատ թեորեմներ մշակելուց հետո հնչեցրեք ձախ կողմը vipadkіv k=±1: Այլ կերպ ասած, քանի որ l/m-ը արմատով «թեկնածու» է, ապա հակադարձվում է՝ արդյոք f (1) և f (-1) կարելի է ակնհայտորեն բաժանել l-m և l+m: Բայց դա կարող է լինել, որ, օրինակ, f (1) = 0, ապա 1-ը արմատն է, և այնուհետև f (1)-ը կարելի է բաժանել մի թվի, և մեր վերստուգումը իմաստ ունի: І այստեղ հաջորդ քայլը f (x)-ը x-1-ի բաժանելն է, ուստի. վերցնել f(x) = (x-1) s(x) և ստուգել s(x) բազմանդամի համար: Եթե ​​չմոռանաք, որ f(x) – x1=1 հարուստ տերմինի մեկ արմատը մենք արդեն գիտեինք: Ինչպես արմատական ​​«թեկնածուները» հակադարձելու դեպքում, որը կորել է ռացիոնալ արմատի մասին մեկ այլ թեորեմից հետո, Հորների սխեմայից հետո հնարավոր է, որ, օրինակ, l/m-ը արմատն է, ապա պետք է իմանալ դրա բազմակիությունը։ Եթե ​​դա ավելի թանկ է, ասենք, k, ապա f(x) = (x-l/m) ks(x), և հետագա ստուգումը կարող է կատարվել s(x-ի համար), ինչը կկրճատի հաշվարկը:

Այս աստիճանում մենք սովորեցինք իմանալ հարուստ տերմինի ռացիոնալ արմատը մեծ գործակիցներով: Երևում է, որ մենք ինքներս ենք սովորել հարուստ տերմինի իռացիոնալ արմատը իմանալ ռացիոնալ գործակիցներով: Իրականում, որքան կարող եմ, օրինակ, հարուստ տերմին f (x) \u003d x4 + 2 / 3x3 + 5 / 6x2 + 3 / 8x + 2, այնուհետև գործակիցները ավելացնելով քնած դրոշի վրա և ավելացնելով յոգա ձեռքերով վերցնում ենք f (x) \u003d 1 /24 (24x4+16x3-20x2+9x+48): Պարզ էր, որ f(x) բազմանդամի արմատները գոյանում են հարուստ տերմինի արմատներից, որոնք կանգնած են թեւերի մոտ, իսկ նոր գործակցի մեջ՝ թվերը։ Ասենք, օրինակ, որ sin100-ը իռացիոնալ թիվ է։ Արագացում sin3?=3sin?-4sin3? տնային բանաձևով: Աստղեր sin300 = 3sin100-4sin3100: Հետ նայելով նրանց, որոնք sin300=0.5 և իրականացնում են անհարմար փոխակերպումներ, մենք կարող ենք ենթադրել 8sin3100-6sin100+1=0: Նաև sin100-ը f(x) = 8x3-6x+1 տերմինի արմատն է։ Ճիշտ այնպես, ինչպես մենք ռացիոնալ կերպով shukatimemo արմատը այդ հարուստ անդամի, ապա մենք perekaєmosya, մենք չունենք նրանց. Otzhe, sin100-ի արմատը ռացիոնալ թիվ է, tobto: sin100-ը իռացիոնալ թիվ է:

Դե արի

- n ≥ քայլի հարուստ տերմին 1 z կոմպլեքս փոփոխականի արդյունավետ արժեքում a i կոմպլեքս գործակիցների արդյունավետ արժեքով. Ապացուցենք հետեւյալ թեորեմը.

Թեորեմ 1

Համահարթեցում P n (z) = 0Կարող եմ մեկ արմատ ուզել։

Եկեք Լեմա:

Լեմմա 1

Թող P n (զ)- n, z քայլի հարուստ տերմին 1 - գետի արմատը.
Պ ն (z1) = 0.
Թոդի Պ ն (զ)կարելի է բացահայտել մի կերպ՝ նայելով.
Պ ն (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
de P n- 1(z)- հարուստ ժամկետային քայլ n - 1 .

Բերելով

Դա ապացուցելու համար եկեք թեորեմ կազմենք (բաժանում. Բազմաթիվ անդամի բաժանումը բազմակի անդամի վրա ծալովի և կոճղի վրա), հնարավոր է ցանկացած երկու հարուստ անդամ P n. (զ)ես Քք (զ), n և k քայլերը, ընդ որում՝ n ≥ k
Պ ն (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
դե Պ ն-կ (զ)- n-k քայլի հարուստ տերմին, U k- 1(z)- քայլի հարուստ ժամկետը k-ից բարձր չէ 1 .

Եկեք դնենք k = 1 , Քկ (z) = z - z 1նույնպես
Պ ն (z) = (z - z 1) P n-1 (z) + c,
de c - արագ. Պատկերացրեք այստեղ z = z 1 որ vrahuєmo, scho P n (z1) = 0:
Պ ն (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + գ;
0 = 0 + գ.
Zvіdsi գ = 0 . Թոդի
P n,
այն, ինչ անհրաժեշտ էր բերել:

Հարուստ տերմինի ընդլայնումը բազմապատկիչների

Նաև թեորեմ 1-ի հիման վրա հարուստ տերմինը P n (զ)Կարող եմ մեկ արմատ ուզել։ Զգալիորեն յոգո յակ զ 1 , Պ ն (z1) = 0. Նույնը կանգնել lemy 1:
Պ ն (z) = (z - z 1) P n-1 (z).
Դալի, ինչպես n > 1 , ապա բազմանդամը P n- 1(z)այնպես որ կարող եմ ուզում մեկ արմատ, որը իմաստալից է, ինչպես z 2 , Pn- 1 (z2) = 0. Թոդի
Pn- 1 (z) = (z - z 2) P n-2 (z);
Պ ն (z) = (z - z 1) (z - z 2) P n-2 (z).

Շարունակելով այս գործընթացը՝ գալիս ենք այն եզրակացության, որ ունենք n z թվեր 1, z 2, ..., z nայնպիսին է, որ
Պ ն (z) = (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n) P 0 (z).
Ալե Պ 0 (z)- tse postiyna. Գործակիցները հավասարեցնելով z n-ին, հայտնի է, որ ավելի թանկ է a n: Արդյունքում, մենք տարված ենք հարուստ տերմինը բազմապատկիչների բաժանելու բանաձևով.
(1) Պ ն (z) = a n (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n).

Z i є թվերը P n հարուստ տերմինի արմատներին (զ).

Ժամը zagalny vpadku ոչ բոլոր z i, scho մտնել առաջ (1) , Ռիզնի. Նրանց թվում կարող են լինել նույն արժեքները. Ինչպես ընդլայնել հարուստ տերմինը բազմապատկիչների (1) տեսադաշտում կարող եք գրել.
(2) Պ ն (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Այստեղ z i ≠ z j համար i ≠ j. Yakscho n i = 1 , ապա արմատ z i կոչ է արել ներել. Vіn մուտքագրեք դասավորությունը բազմապատկիչների համար տեսադաշտում (z-z i). Յակշչո ն ի > 1 , ապա արմատ z i կոչվում է բազմակի արմատ n i . Vіn մուտքագրեք բազմապատկիչների դասավորությունը, երբ նայում եք n i պարզ բազմապատկիչների արդյունահանմանը. (z-z i )(z-z i) ... (z-z i) = (z-z i) n i..

Արդյունավետ գործակիցներով հարուստ տերմիններ

Լեմմա 2

Քանի որ դա արդյունավետ գործակիցներով բազմանդամի բարդ արմատ է, ուրեմն թիվը նույնպես բարդորեն կապված է բազմանդամի արմատի հետ, .

Բերելով

Deisno, yakscho և բազմանդամ գործակիցներ - dіysnі թվեր, ապա.

Այս կարգով բարդ արմատը ներառված է բազմապատկիչների վրա զույգերով դասավորության մեջ՝ իրենց բարդ իմաստներով.
,
դե, - Իրական թվեր.
Նույն դասավորությունը (2) Բազմապատկիչների համար արդյունավետ գործակիցներով հարուստ տերմին կարելի է մուտքագրել միայն արդյունավետ արագության առկայության դեպքում.
(3) ;
.

Հարուստ տերմինը բազմապատկիչների բաժանելու մեթոդներ

Վերևում ասվածի բարելավմամբ, բազմանդամի գործակիցների տարրալուծման համար անհրաժեշտ է իմանալ P n (z) = հավասարման բոլոր արմատները. 0 և նշեք դրանց բազմությունը: Բարդ արմատներով բազմապատկիչները պետք է խմբավորվեն բարդ ձևով: Նույն դասավորությունը կախված է բանաձևից (3) .

Այս վարկանիշում հարուստ տերմինը բազմապատկիչների մեջ տարածելու մեթոդն օգտագործվում է հարձակման մեջ.
1. Մենք գիտենք z արմատը 1 հավասարեցում P n (z1) = 0.
2.1. Յակշչո արմատ զ 1 արդյունավետ, ապա դասավորության մեջ մենք ավելացնում ենք բազմապատկիչ (z-z1) (z-z1) 1 :
.
1(z), սկսած կետից (1) , Մինչև մենք իմանանք բոլոր արմատները.
2.2. Որպես բարդ արմատ՝ є թիվը կոմպլեքսորեն ստացվում է որպես հարուստ տերմինի արմատ։ Todі դնելուց առաջ մուտքագրեք բազմապատկիչ

,
դե բ 1 = - 2 x 1, ք 1 = x 1 2 + y 1 2.
Իմ կարծիքով, դասավորության մեջ մենք ավելացնում ենք բազմապատկիչ (z 2 + b 1 z + c 1)ես նոսրացնում եմ P n (z) հարուստ տերմինը (z 2 + b 1 z + c 1). Արդյունքում մենք վերցնում ենք n քայլի հարուստ տերմինը. 2 :
.
Կրկնենք P n- բազմանդամի գործընթացը. 2(z), սկսած կետից (1) , Մինչև մենք իմանանք բոլոր արմատները.

Հարուստ անդամի արմատի իմացություն

Կենտրոնական գրասենյակ, բազմանդամի ընդլայնմամբ գործոնների, յոգո արմատի նշանակությունը։ Ցավոք, դուք միշտ չէ, որ կարող եք վերլուծական աշխատել: Այստեղ մենք կվերլուծենք վիպադկիվի սպրատը, եթե դուք կարող եք վերլուծական կերպով իմանալ հարուստ տերմինի արմատը:

Առաջին փուլի հարուստ անդամի արմատը

Առաջին քայլի հարուստ անդամը անբաժանելի ֆունկցիա է: Կա միայն մեկ արմատ. Դասավորությունը կարող է լինել միայն մեկ բազմապատկիչ z-ի փոփոխության համար վրեժ լուծելու համար.
.

Մեկ այլ մակարդակի հարուստ անդամի արմատը

Մեկ այլ մակարդակի հարուստ տերմինի արմատն իմանալու համար անհրաժեշտ է բացել քառակուսին հավասար.
Պ 2(z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Որպես տարբերակիչ, ապա կան երկու իրական արմատներ.
, .
Պարզապես նայեք բազմապատկիչներին.
.
Որքա՞ն է D = դիսկրիմինանտը 0 , ապա հավասար կարող է մեկ dvorazovy արմատ:
;
.
Որպես խտրական Դ< 0 , ուրեմն արմատն ավելի բարդ է,
.

Հարուստ կերպով արտահայտված քայլ ավելի բարձր է մյուսի համար

Іsnuyu բանաձեւեր 3-րդ եւ 4-րդ քայլերի հարուստ հատվածների արմատների իմաստի համար: Հազվադեպ են նրանցով խմում, գարշահոտի բեկորները մեծ են։ Չկան 4-րդից բարձր առատորեն արտահայտված աստիճանի արմատների իմացության բանաձեւեր։ Տեղում անգրագետ կերպով, deyakih vipadkas-ում, մարդը գնում է հարուստ տերմինը բազմապատկիչների տարածման մեջ:

Ամբողջ արմատի նշանակությունը

Թվում է, թե դա հարուստ տերմին է, որոշ գործակիցների համար՝ թվերի թիվը, արմատների թիվը, որը կարելի է իմանալ՝ տեսակավորելով բոլոր հնարավոր արժեքները։

Լեմմա 3

Տվեք ինձ մի հարուստ դիք
,
գործակիցները a i, որոնցից - թվի թիվը, որը կարող է լինել z-ի արմատը 1 . Նույն արմատը, ինչ ա թվի դիլնիկը 0 .

Բերելով

Վերագրենք հավասար P n (z1) = 0տեսադաշտում:
.
Թոդի - ցիլե,
Մզ 1 = - a0.
Բաժանվում է զ 1 :
.
Oskіlki M - qile, ապա i - qile. Ինչ է պահանջվել բերելու համար:

Հետևաբար, որպես բազմանդամի գործակիցներ՝ թվերի թվեր, կարող եք փորձել իմանալ արմատի թվերը։ Ում համար անհրաժեշտ է իմանալ ազատ անդամի բոլոր դիլնիկները 0 і, հավասարեցման փոխարինում P n (z) = 0, perverti, chi є գարշահոտություն այդ հավասարի արմատներին:
Նշում. Քանի որ բազմանդամի գործակիցները ռացիոնալ թվեր են, ապա բազմապատկելով հավասար P n (z) = 0 a i թվերի բարձր ստանդարտի վրա վերցնում ենք բազմանդամի հավասարումը ամբողջ թվային գործակիցներով:

Ռացիոնալ արմատի իմաստը

Քանի որ բազմանդամի գործակիցները թվի և արմատների թվի թվերը չեն, ապա n-ի համար ≠ 1 , կարող եք փորձել իմանալ ռացիոնալ արմատը։ Ում համար է անհրաժեշտ փոխարինում ստեղծել
z = y/a n
և բազմապատկել հավասար n n-ով 1 . Արդյունքում մենք հաշվի ենք առնում հարուստ տերմինի հավասարությունը փոփոխության տեսքով և գործակիցների քանակով։ Դալի շուկայմո՝ ազատ անդամի միջին անդամի հարուստ անդամի արմատը։ Քանի որ մենք գիտեինք նման y i արմատը, ապա անցնելով x փոփոխությանը, կենթադրենք ռացիոնալ արմատ.
z i = y i / a n.

Գունավոր բանաձևեր

Ներկայացնում ենք բանաձևեր, որոնց օգնությամբ հնարավոր է բազմանդամը ընդլայնել գործակիցների։

Ավելի վայրենի բնավորություն ունեցեք՝ հարուստ անդամին դասավորելու համար
Պ ն (z) = z n - a 0,
դե ա 0 - դա ավելի բարդ է, անհրաժեշտ է իմանալ յոգոյի բոլոր արմատները, որպեսզի կարողանաք բացել հավասարը.
z n = a 0 .
Tsіvnyannya հեշտ է սխալվել, կարծես ապացուցել ա 0 մոդուլի միջոցով r i արգումենտով:
.
Օսկիլկի ա 0 մի փոխեք, քանի որ վեճին ավելացնենք 2 պ, ապա պատկերացրեք ա 0 տեսադաշտում:
,
de k – qile. Թոդի
;
.
Արժեքների վերագրում k k = 0, 1, 2, ... n-1, Վերցնում ենք բազմանդամի n արմատներ։ Todi yogo-ի դասավորությունը բազմապատկիչների համար կարող է թվալ.
.

Երկկողմանի բագատոնիկ տերմին

Եկեք նայենք երկքառակուսի տերմինին.
.
Երկկվադրատ հարուստ տերմինը կարելի է բաժանել բազմապատկիչների՝ առանց արմատի:

Երբ, գուցե.

,
դե.

Երկխորանարդ և հարուստ հատվածներ, որոնք կարող են կրճատվել մինչև քառակուսի

Եկեք նայենք հարուստ անդամին.
.
Yogo արմատը հավասար է.
.
Հաղթեց առաջնորդվել մինչև քառակուսի հավասարեցումփոխարինում t = z n:
ա 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Վիրիշիվշի ցե եվե, մենք գիտենք յոգո արմատը, տ 1 , տ 2 . Եթե ​​մենք գիտենք դասավորվածությունը տեսադաշտում.
.
Դալին մեթոդով, եկեք նայենք դրան, ընդլայնենք այն բազմապատկիչների z n - t 1 i z n - t 2 . Վիսնովկան ունի մի խումբ մուլտիպլիկատորներ, որոնք բարդ ձևով վրեժխնդիր են արմատից։

Պտտվող ցողուններ

Հարուստ անդամը կոչվում է վերադարձՅակշո Յոգոյի գործակիցները սիմետրիկ են.

Պահվող բագատո-անդամի հետույք.
.

Քանի որ n հակադարձ բազմանդամի քայլերն անկազմակերպ են, այդպիսի բազմանդամը կարող է արմատ ունենալ z = -1 . Նման հարուստ տերմինը զ + 1 , վերցնում ենք քայլի վերադարձի հարուստ ժամկետը

Rozv'yazannі rivnyan i nerіvnjanі հաճախ vykaє nіkaє nebhіdnіst razvіdnіє բազմանդամ razvіdnіє բազմանդամների վրա stupіnіy ի ի dіvnіє երեք կամ ավելի: Մենք կարող ենք նայել այս վիճակագրությանը, թե ինչպես դա ավելի պարզ դարձնել:

Զավժդի պես՝ տեսության օգնության համար գազան.

Բեզուտի թեորեմ stverzhuє, scho ավելցուկ բազմանդամը երկանդամի dorivnyuє բաժանելու դեպքում:

Բայց մեզ համար կարևորը բուն թեորեմը չէ, այլ դրանից հետևանք.

Քանի որ թիվը բազմանդամի արմատն է, ապա բազմանդամը կարելի է բաժանել առանց չափազանց շատ երկանդամի։

Մեր առջև խնդիրն է իմանալ, թե ինչպես պետք է իմանալ հարուստ տերմինի մեկ արմատը, այնուհետև մենք հարուստ տերմինը բաժանում ենք, de - հարուստ տերմինի արմատի: Արդյունքում վերցնում ենք հարուստ անդամ, մեկի ոտքը մեկով փոքր է, ստորինը՝ արտաքինի կողոսկրը։ Եվ հետո սպառման համար կարող եք կրկնել գործընթացը:

Tse zavdannya բաժանվել է երկու: ինչպես իմանալ հարուստ տերմինի արմատը և ինչպես հարուստ տերմինը բաժանել երկանդամի.

Զեկուցենք այս պահերի մասին։

1. Ինչպես իմանալ հարուստ անդամի արմատը:

Ձեռքի թիկունքը հարգված է, chi-ն հարուստ անդամի արմատների 1 և -1 թիվն է։

Ահա մի քանի փաստ, որոնք կօգնեն մեզ.

Քանի որ բազմանդամի բոլոր գործակիցների գումարը հավասար է զրոյի, թիվը բազմանդամի արմատն է։

Օրինակ, գործակիցների գումարի բազմանդամը հավասար է զրոյի. Հեշտ է սխալ մեկնաբանել, թե որն է հարուստ անդամի արմատը:

Քանի որ զուգակցված քայլերում բազմանդամի գործակիցների գումարը նույնն է, ինչ չզույգված քայլերի գործակիցների գումարը, թիվը բազմանդամի արմատն է։ Vilniy անդամ vvazhaetsya գործակիցը կրկնակի մակարդակով, oskolki, եւ - guy համարը:

Օրինակ՝ զուգակցված քայլերի գործակիցների գումարի բազմանդամում : Հեշտ է սխալ մեկնաբանել, թե որն է հարուստ անդամի արմատը:

Եթե ​​nі 1, nі -1 є բազմանդամի արմատներին, ապա հեռավորությունը փլուզվում է։

Քայլի ինդուկտացված հարուստ տերմինի համար (մինչև հարուստ տերմինը, որում ավագ գործակիցը առաջատար գործակիցն է) գործում է հետևյալ բանաձևը.

De-ն հարուստ անդամի արմատն է:

Vієta-ի ավելի շատ բանաձևեր կան, որ կան բազմանդամի այլ գործակիցներ, բայց մենք ինքներս կարող ենք խոսել դրա մասին:

Z tsієї բանաձեւը Vієta viplivaє, scho որպես ամբողջ թվի հարուստ անդամի արմատ, ապա յոգո ազատ անդամի դիլնիկների հոտը, որը նույնպես ամբողջ թիվ է։

Վիհոդյաչի զ ցոգո, մենք պետք է բազմապատիկ ձևավորենք հարուստ տերմինի փոփոխական անդամը և հաջորդաբար, ամենափոքրից մինչև ամենամեծը, հակառակը, հոգնակիներից որն է հարուստ տերմինի արմատը:

Նայեք, օրինակ, հարուստ անդամ

Անդամի անվճար օրագրեր. ; ;

Բազմանդամի բոլոր գործակիցների գումարն ավելի թանկ է, ապա 1 թիվը դադարել է բազմանդամի արմատ լինելուց։

Զույգ քայլերի գործակիցների գումարը.

Չզուգակցված քայլերի գործակիցների գումարը.

Նաև -1 թիվը նույնպես բազմանդամի արմատն է։

Շրջելի է, որ chi-ն 2-րդ թիվն է՝ որպես հարուստ տերմինի արմատ, ինչպես նաև 2 թիվը հարուստ տերմինի արմատն է: Հետագայում, հետևելով Բեզութի թեորեմին, հարուստ տերմինը կարելի է առանց ավելորդության բաժանել երկանդամի։

2. Ինչպես հանել հարուստ անդամը երկանդամի:

Հարուստ տերմինը կարելի է բաժանել կոճղով երկանդամության։

Մենք հարուստ տերմինը ստոմպչիկով բաժանում ենք երկանդամի.

Բազմանդամը երկանդամի ենթաբաժանելու երկրորդ եղանակը Հորների սխեման է։

Հասկանալու համար դիտե՛ք տեսանյութը ինչպես կարելի է հարուստ տերմինը բաժանել երկուական տերմինի՝ i քայլով լրացուցիչ Հորների սխեմայի համար:

Ես հարգում եմ, որ երբ rozpodіlі stovpchik նման քայլերի, որոնք անծանոթ են vyhіdny բազմանդամ vіdsutnya-ին, її mіstsі գրել 0 - ինչպես і, ինչպես Հորների սխեմայի համար ծալված աղյուսակից:

Հետևաբար, քանի որ մենք պետք է հարուստ տերմինը բաժանենք երկուական անդամի և արդյունքում վերցնենք հարուստ տերմինը, ապա մենք կարող ենք իմանալ Հորների սխեմայի հիմքում ընկած գործակիցները.

Կարող ենք նաև վիկորիստ Հորների սխեմանհակադարձելու համար, եթե թիվը տրվում է որպես հարուստ անդամի արմատ. եթե թիվը հարուստ անդամի արմատն է, ապա հարուստ անդամի ենթադաշտում ավելցուկը հավասար է զրոյի, ուստի մնացած սյունակում. Հորների սխեմայի մյուս տողը մենք վերցնում ենք 0:

Վիկորիստովյուչի Հորների սխեման՝ մենք «մեկ քարով երկու թռչուն ենք թակում». մեկ ժամ ստուգում ենք, որ թիվը հարուստ տերմինի արմատն է, և հարուստ տերմինը բաժանում ենք երկանդամի։

հետույք.Վիրիշիթի Ռիվնյանիա.

1. Գրիր ազատ անդամի դիլնիկները, իսկ ազատ անդամի միջին դիլնիկների հարուստ անդամի արմատը շուկատիմո։

24 թվի երկխոսություններ.

2. Շրջելիորեն chi-ն հարուստ տերմինի թիվ 1 արմատն է:

Բազմանդամի գործակիցների գումարը, նաև 1 թիվը բազմանդամի արմատն է։

3. Արտաքին հարուստ տերմինը բաժանեք երկուական անդամի՝ օգտագործելով Հորների սխեման:

Ա) Գրի՛ր ելքային բազմանդամի գործակիցների աղյուսակի առաջին տողը.

Oskіlki անդամ, scho vengeance vіdsutnya, այդ սեղանի սեղանի մոտ, որը կարող է ունենալ գործակից, երբ մենք գրում ենք 0. Գրում ենք գիտելիքի չար արմատը՝ թիվ 1:

Բ) Պահպանեք աղյուսակի առաջին շարքը:

Մնացած սյունակում, կարծես պարզ էր, մենք հանեցինք զրո, աշխարհը բաժանեց վերջին հարուստ անդամը երկանդամի առանց ավելորդության։ Բազմանդամի գործակիցները, որոնք ստացվում են աղյուսակի մեկ այլ տողի կապույտ գույնով պատկերի տակ.

Հեշտ է սխալ հասկանալ, որ 1 և -1 թվերը հարուստ տերմինի արմատներ չեն

Գ) Մենք շարունակում ենք աղյուսակը: Շրջելիորեն chi-ն 2-րդ թիվն է՝ որպես հարուստ տերմինի արմատ.

Այսպիսով, բազմանդամի քայլը, որը հայտնվում է ենթակետի արդյունքում, մեկով պակաս է ելքային հարուստ անդամի քայլից, ինչպես նաև գործակիցների և սյունակների թիվը մեկով պակաս է։

Մնացած սյունակում մենք հանեցինք -40 - մի թիվ, որը չի ավելանում զրոյի, հետևաբար, հարուստ անդամը բաժանվում է երկուական անդամի ավելցուկից, իսկ 2 թիվը հարուստ անդամի արմատը չէ:

Գ) Շրջելիորեն chi-ն -2 թիվն է՝ որպես հարուստ տերմինի արմատ: Այսպիսով, ինչպես նախկինում, թեստը հեռու չէր, այնպես որ գործակիցներով խարդախություն չեղավ, ես անընդմեջ եմ, որ հաստատում եմ իմ թեստը.

Հրաշքա՜ Ավելորդից հանվել է զրոն, այնուհետև հարուստ անդամը բաժանվել է առանց ավելորդության երկանդամի, իսկ -2 թիվը հարուստ անդամի արմատն է։ Բազմանդամի գործակիցները, որոնք արդյունքում կանաչ գույնի պատկերի աղյուսակում բազմանդամը բաժանում են երկանդամի:

Արդյունքում մենք հանեցինք քառակուսի եռանկյունը , որի արմատը հեշտ է իմանալ Վիետի թեորեմի հետևում.

Otzhe, արտաքին վերածննդի արմատը.

{}

Առաջարկություն: ( }

Յակշոյի հարուստ անդամ

Բերելով

є բազմանդամի գործակիցներն ունենանք ամբողջ թվերով, իսկ a թիվը լինի րդ հարուստ անդամի արմատը։ Նրան, որում հնչյունը փայլում է ամեն պահի, գործակիցը բաժանվում է ա.

Հարգանք. Այս թեորեմն իրականում թույլ է տալիս իմանալ այդ դեպքում ավելի բարձր աստիճանների ավելի հարուստ անդամների արմատը, եթե այդ հարուստ անդամների գործակիցները թվեր են, իսկ արմատը՝ ռացիոնալ թիվ. Թեորեմը կարող է վերաձեւակերպվել հետևյալ կերպ. ինչպես գիտենք, որ բազմանդամի գործակիցները թվի թվերն են, իսկ յոգոյի արմատը ռացիոնալ է, ապա ռացիոնալ արմատը կարող է լինել միայն de p-ի նման՝ որպես թվի դիլնիկ։ (ազատ տերմին), իսկ q թիվը թվի լայնացուցիչն է (ավագ տերմին):

Ամբողջ արմատի մասին թեորեմա,ինչ վրեժխնդիր լինել ինքներդ ձեզ հետ

Ինչպես α թիվը բազմակի գործակից ունեցող հարուստ անդամի արմատն է, այնպես էլ α-ն յոգի ազատ անդամի դիլնիկն է։

Բերելով. Եկեք:

P(x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

հարուստ տերմին qlimi գործակիցներով և qile համարով α - yogo արմատ:

Այնուհետև արմատի արժեքը հավասարեցվում է P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Vinosyachi zagalny α բազմապատկիչ աղեղների համար, հանեք համարժեքությունը.

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , աստղեր

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

a 0, a 1,…a n-1, an i α −tsіlі թվի բեկորները, ապա աղեղները պետք է լինեն ամբողջ թիվը, այնուհետև a n-ը բաժանվի α-ի, քանի որ այն պետք է լրացվի:

Թեորեմը բերված է, բայց կարելի է ձևակերպել այսպես՝ գործակիցների քանակով բազմանդամի արմատների թիվը առաջին ազատ անդամի լայնացուցիչն է։
Հիմնադրամի թեորեմի վրա՝ գործակիցների ամբողջ թվով հարուստ տերմինի ամբողջ արմատի որոնման ալգորիթմը.

2. Դոդատկովայի թեորեմ արմատային արժեքի մասին

Ի լրումն ամբողջ թվով գործակիցներով հարուստ տերմինի α-արմատների քանակից, ապա P(1) թվի α-1-բաժանարար, P(-1 թվի α+1-բաժանարար):

Բերելով. 3 նույնականությունը

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

դուք կարող եք տեսնել, որ b і c թվերից bⁿ-cⁿ թիվը բաժանվում է b∙c-ի: Ale ցանկացած հարուստ անդամ P մանրածախ

P (b)-P(c)= (a 0 b+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

і, նաև, zіlimi գործակիցներով P բազմանդամի համար і zіlih թվեր b і c տարբերությունը P(b)-P(c) բաժանվում է b-c:

Հիշենք՝ b = α, z = 1-ի համար P (α)-P (1) = -P (1), ինչը նշանակում է, որ P (1) բաժանվում է α-1-ի: Նմանապես, կա մեկ այլ տեսակետ.

Հորների սխեման

Թեորեմ.Թող կարճաժամկետ drіb p / q є արմատը հավասար լինի a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 մի քանի գործակիցներով, նույն թիվը ք є dilnik ավագ գործակցի a0, իսկ համարը Ռ є dilnik ազատ անդամ ան.

Հարգանք 1. Յոգոյի ազատ անդամի գործակիցների և դիլնիկի հետ հարաբերությունների արմատը եղիր։

Հարգանք 2.Քանի որ ավագ գործակիցը հավասար է ճանապարհի 1 գործակիցների թվին, բոլոր ռացիոնալ արմատները, ինչպես հայտնի է գարշահոտությունը՝ թիվը։

Հարուստ անդամի արմատը.Հարուստ անդամի արմատը f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n є x = c , եւ ինչ զ (գ)=0 .

Ծանոթագրություն 3.Յակշո x = c հարուստ անդամի արմատը , ապա հարուստ տերմինը կարելի է գրել այսպես. f(x)=(x−c)q(x) , դե tse մասնավոր տեսակետը հարուստ անդամի տակ f(x) մոնոմի մեջ x-c

Դուք կարող եք հարուստ տերմինը բաժանել մոնոմիականի՝ օգտագործելով Հորների սխեման.

Յակշո f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a0 ≠0 , g(x)=x−c , ապա երբ rozpodіlі զ (x) վրա է (x) մասնավոր կերպով q(x) կարող է նայել q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , դե b 0 = a 0 ,

b k = c b k − 1 + a k , k=1, 2, ,n−1.ավելցուկ r իմանալ բանաձեւը r=c b n − 1 +a n

Լուծում:Ավագ մակարդակի գործակիցը հավասար է 1-ի; 2; 3; չորս; 6; 12. Վիկորիստովյուչի Հորների սխեման, մենք գիտենք, որ արմատների թիվը հավասար է.

Հորների սխեմայի համար կա մեկ ընտրության արմատ: ապա դուք կարող եք դա անել այսպես x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3