Բազմանդամների թիվը գործակիցների թվից. Kіntsev դաշտերը, հիմնված kіltsy առատորեն հատվածավորված. Հարուստ հատվածներ մեկ zminnoy վերեւում դաշտում

Դաշտի վրա հարուստ տերմինների օղակը (մատանի վրա գտնվող հարուստ տերմինների հիման վրա) կարող է ունենալ մի շարք հատուկ ուժեր, որոնք մոտ են ամբողջ թվերի օղակի հզորություններին Z: Podіlnіst richom. Dobre vіdomy R դաշտի բազմանդամների համար, որը նման է «kutom»-ին, միայն թվաբանական dії գործակիցների նկատմամբ, և այդ պատճառով այն շատ առատորեն կոչվում է ցանկացած դաշտում k: Vin-ը հնարավորություն է տալիս երկու ոչ զրոյական հարուստ տերմինների համար p,sk [x] առաջացնել այնպիսի հարուստ տերմիններ q (ոչ ավելի մասնավոր) և r (ավելցուկ), այնպես, որ p = q * s + r, ընդ որում, կամ r = 0 , կամ աստիճան (r)< deg(s). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным (или приведенным), если его старший коэффициент равен 1. Определение. Общим наибольшим делителем ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД(p, s), что 1. ОНД(p, s) | p; ОНД(p, s) | s. 2. q | p, q | s q | ОНД(p, s). По определению, для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0. Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов. Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения. Основная теорема теории делимости (для многочленов). Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q. Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги. Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень(но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим: r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0, то deg(r) Замечание. Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов ОНД для подходящих многочленов. Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.

Հետևանք. Be-yaky іdeal іѕ kіltї առատորեն արտահայտված է դաշտում є osnovnym: Ճիշտ է, ասենք բոլոր բազմանդամների p - OND, որոնք ներառված են I. Todi, de Իդեալի նպատակով աստղերը պարզ են, որոնք, ապա, I = (p): Բազմապատկում. Դաշտը բերեք դեյկա, փ, ք, ս-ն առատորեն արտահայտված են կ-ի վրա։ Եթե ​​p=q*s, ընդ որում, q և s բազմանդամները կարող են լինել ավելի փոքր, ցածր p, ապա p բազմանդամը կոչվում է շարժական բազմանդամ (k դաշտի վրա): Մյուս դեպքում p-ն անկրճատելի է։ Անկրճատելի հարուստ անդամ k[x] օղակում Z օղակի պարզ թվի անալոգն է: Հասկանալի է, որ ոչ զրոյական p= բազմանդամը կարող է ընդլայնվել հեռուստացույցով. p= *, որտեղ բոլոր բազմանդամները չեն կրճատվում k-ի վրա և կարող են ունենալ ավելի բարձր գործակից, որը հավասար է 1-ի: Այն կարելի է հասցնել բազմապատկիչների կարգի: Զրոզումիլո, բազմապատիկների թվում կարող են լինել նույնը; այդպիսի բազմապատկիչները կոչվում են բազմապատիկ: Միավորելով բազմաթիվ գործոններ՝ կարող եք գրել նույն դասավորությունը այսպես՝ p = 0: Կիրառել: մեկ.. Արժե հարգել, որ առաջին քայլի հարուստ պայմանները ոչ մի բնագավառից վեր չեն։ Բազմապատկիչ x є բազմապատիկ, інші - պարզ: 2. Հարուստ տերմինը չպետք է տեղադրվի ռացիոնալ թվերի Q դաշտի վրա: Ճիշտ է, եթե ()=(x-a)*q, ապա հիմնավորելով x=a-ի հավասարությունը՝ անհրաժեշտ է. ռացիոնալ թիվա. Խոսքի թվերի R դաշտի վրա նույն բազմանդամն առաջանում է. ավելին, մյուս բազմապատկիչն ունի բացասական դիսկրիմինանտ և չի կարող ընդլայնվել R-ի վրա: Զրեշտոյու, դաշտի վրայով Գ բարդ թվեր maєmo: , de = - 1-ի խորանարդ արմատը: Այդ դեպքում կարելի է հասկանալ աղբյուրի կրճատելիությունը, որպեսզի նման դաշտի վրա բազմանդամը տեսանելի լինի: Հարուստ անդամների ուժը, որպեսզի չհրահրվի: 1. Քանի որ այն p-անկրճատելի հարուստ տերմին է i d = OND (p, q) 1, ապա p | ք. Ճիշտ է, p = d*s і so deg(s)>0, p-ի անկրճատելիությունը գերհաշվարկելու համար, і so deg(s)=0, ապա d | QP | ք. 2. Ինչպես պ | i p-ն ինդուկտիվ չէ, բայց p | չի պ | . Ճիշտ է, հակառակ դեպքում gcd(p,) = gcd(p,) =1 եւ հետեւաբար կեղծության տեսության հիմնական թեորեմները՝ աստղերը՝ նույնպես, ապա gcd(p,)=1 i, նույնպես, deg(p)=0:

3. Բազմանդամների շրջան ամբողջության տիրույթի վրա:

Այնուհետև մենք կդիտարկենք միայն հարուստ տերմիններ՝ K մեծության չափում ունեցող գործակիցներով (զրոյական ընդլայնման շրջանակը կոչվում է քանակի շրջան), այսինքն. kіltsya K-ից, որի համար երկու տարրերի ավելացումը կարող է հասնել զրոյի, օրինակ, բազմապատկիչներից մեկը կարող է հասնել զրոյի: Ցե զավժդին ուվազին հայհոյելու է, նավիթ յակշչոն հատուկ չի քննարկվելու.

Առատորեն սահմանված n փուլն ավելացնելիս այդ m փուլը ավագ անդամն է, ինչպես դա (2) բանաձևում է, ավելի կարևոր (գործակիցը ժամը): Քանի որ kіltsі-ում զրոներ չկան, ապա, otzhe, . Մեր mirkuvannya-ից այդպես լաց լինելով

Tsya բանաձեւը є պարզաբանեց nerіvnostі (5) համար vipadku, եթե kіltsі K չունի զրոներ: Բանաձևը (6) նույնպես վավեր է, և եթե նույնիսկ f(x), g(x) կամ այլ տերմիններից մեկը հավասար է զրոյի: Հետևաբար, երկու ոչ զրոյական հարուստ անդամների գումարումը ոչ զրոյական հարուստ անդամ է, դրա համար վավեր է հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ 1

Մենք բազմանդամի հանրահաշվական սահմանում ենք տվել ֆունկցիաների վերաբերյալ նույն հանելուկներից վրեժ լուծելու համար: Prote, K արժեքի տարածքի մաշկի բազմանդամով, կարելի է բնական կարգը կապել մի ֆունկցիայի հետ, որը վերագրված է K-ին և ընդունում է K-ի արժեք:

Արի՛ - Կ-ի գործակիցների հարուստ անդամ Ինչ էլ որ լինի, հնարավոր է

de viraz-ը աջ մասում հասկացվում է որպես K. Oberzhuvannya-ի վերջում կատարվող գործողությունների արդյունք, որի դեպքում տարրը կոչվում է f (x) բազմանդամի արժեքը x0 կետում: («speck» բառը օգտագործվում է որպես անկման անալոգիա, եթե x0-ը կարող է ներկայացվել որպես կետ դինամիկ առանցքի վրա:) Այս կերպ K օղակի մաշկի x0 տարրին վերագրվում է f (x0) տարրը նույն օղակը, և ֆունկցիան ինքնին վերագրվում է K-ին K-ի արժեքներով:

Կցուցադրվի, որ հարուստ տերմինների այդ բազմակի ավելացումն իրականացվում է գործառույթների վրա կատարվող ամենակարևոր գործողություններով, եթե դրանք ավելացվեն կամ, ակնհայտորեն, մաշկի կետում ֆունկցիաների արժեքները բազմապատկվեն:

Դիտարկենք երկու բազմանդամներ՝ , . Թող h(x) = f(x) + g(x) – їх գումար: Ասենք, որ h(x0)= =f(x0) + g(x0) մաշկի համար: Համապատասխան (1) = , դե , Ինչ բանաձևին և անհրաժեշտ է բերել:

Արի հիմա - լրացուցիչ հարուստ տերմիններ f(x) և g(x): Ասենք, որ մաշկի համար։ Մենք բազմապատկում ենք համարժեքությունը , . Koristuyuchis գործողությունների ուժը kіltsі K-ում (zokrema, commutativeness and associative plurality), վերցնում ենք՝ , de . Վերցված արդյունքի հավասարեցումը (2) բանաձևով թույլ է տալիս աճեցնել բեղերը, որոնք .

Այս հաջորդականությամբ ֆունկցիան, որը ներկայացված է երկու հարուստ անդամների գումարով (վիրտուալ հավելյալ), այն ֆունկցիաների գումարն է (վիրտուալ հավելյալ), որոնք ներկայացված են այդ հարուստ անդամների կողմից։

Ըստ երևույթին, բազմանդամների և նրանց ֆունկցիաների նմանությունը փոխադարձաբար միանշանակ չէ: Պրոտե, քանի որ K օղակն անսպառ է, ուրեմն K[x] օղակի տարբեր բազմանդամները միշտ պետք է տարբեր ֆունկցիաներ ունենան։

Մնացորդների մասին (XTO): Թեորեմ. Եկեք - զույգ-զույգ թվերը պարզեցրեք, = , ..., վերցրեք նույն 1, = , . Համակարգի Todi լուծումը կունենա հետևյալ տեսքը. Ցյա թեորեմ є օրթոգոնալ հիմքերի մեթոդի հիմքը ես ժամի համար ավելորդ դասերի համակարգից կտեղափոխեմ դիրքային թվային համակարգ։ Թող ավելորդ դասակարգերի համակարգի հիմքերը. = = - Սահմանեք համակարգի տիրույթը: Համակարգի ընտրությունը որոշվում է ...

4. Երկուական բլյուզ. Մաթեմատիկան որպես գիտություն ստեղծում է փոխադարձաբար պարզ և ծալվող առարկաների աշխարհը (խոսք, երևույթներ, գործընթացներ): Մաթեմատիկան, վերացական իրականությունից, դիտարկում է միանման, երկուական և այլ կապույտ: Սնուցման մեջ անհրաժեշտ է նայել երկուական բլյուզին, նրանց հեղինակությանը և հատկապես հարգել համարժեք համարժեքությունը, որը դրված է մեկ բազմապատկիչի վրա: Եկեք նայենք...

X*y. Դաշտը կոչվում է k միասնությամբ այնպիսի ասոցիատիվ կոմուտատիվ օղակ, որի համար կարող է լինել ոչ զրոյական տարր՝ . Նման կոչման դեպքում ոլորտի նշանակման համար օրվա օրերը զրո են։ Օղակը կոչվում է անվերջություն R հանրահաշվի երկու գործողությամբ (+, *), որոնք են՝ 0։ R օղակի այդ տարրերը կոչվում են հակադարձ, քանի որ կարող են պտտվել բազմապատկման գործողության պես, տրվածում անվերջական R։ գործ...

Քուիթը, ով աշխատելով էլեկտրատեխնիկայի պատկերասրահում, սկսեց մտածել տվյալների պահպանման համար տեխնոլոգիաներ ստեղծելու հնարավորության մասին, որը կապահովի տարածության ավելի խնայող պատուհաններ։ Նրանցից մեկը Կլոդ Էլվուդ Շենոնն էր՝ հիմնադիրը ժամանակակից տեսությունտեղեկատվություն։ Այդ ժամանակվանից ավելի գործնական էր սովորել Հաֆմանի և Շենոն-Ֆանոյի դաջման ալգորիթմները։ Իսկ 1977 թ. մաթեմատիկոսներ Յակոբ Զիվը և Աբրահամ Լեմպելը...

Kіntsі դաշտերը կարելի է կանչել մի փունջ առատորեն բաժանված թվերից նույն կերպ, կարծես դաշտերը կանչվել են ամբողջ թվերի փունջից: Թույլ տվեք ունենալ առատորեն արտահայտված օղակ F[x]դաշտի վրայով Ֆ.Հենց այդպես, նրանց հուշում էին մատանի Զ, vodnosin մատանին, դուք կարող եք խրախուսել եւ vodnosin մատանին F[x].Վիբելյուչի s F [x]բավականին հարուստ անդամ p(x),դուք կարող եք անվանել մի օղակ vіdnosin, vicorist p(x)որպես ամբողջ շրջանագծի թվաբանության առաջադրանքի մոդուլ։ Մենք տարված ենք ոչ այնքան ենթադրյալ հարուստ անդամներով, օբմեժենյայի բեկորները գիտեն մտքի անտեղի աննշանությունը:

Նշանակում 2.4.1.Բավականին դրդված հարուստ անդամի համար p(x)ոչ զրոյական քայլ դաշտի վրայով Ֆկոչվում է բոլոր բազմանդամների անանձնականություն over Ֆ,որի քայլերն ընտրվում են բազմանդամի քայլից p(x), sմեկ մոդուլի համար հարուստ տերմինների ծալման և բազմապատկման գործողություններ p(x): Tse մատանին ընդունված է նշանակել միջոցով F(x)/(p(x)):

Լրացուցիչ տարր r(x) kіltsya F[x]դուք կարող եք պատկերացնել օղակի տարրը PF[x]/(p(x))օգնության համար r(x)-Ռ P(X):Երկու տարր կացին)і b(x)հ F[x],քարտեզագրված են մեկ և նույն տարրի մեջ F[x]/(p(x)),կոչվում են հավասար.

a(x) = b(x)(Mod p(x)).

Թոդի b(x)= Օհ)+ Ք (x) p (x) deyaky հարուստ անդամի համար Q(x).

Թեորեմ 2.4.2.Անանուն F1х]/(р(х)) є kіltsem.

ԲերելովՀուսով եմ, որ ընթերցողը իրավացի է:

Vibero է kіltsі առատորեն արտահայտված ԳՖ(2), օրինակ, հարուստ տերմին p(x)= x 3+1. Հարուստ տերմինների նույն օղակը մեկ մոդուլի համար p(x)մեկ ԳՖ(2) [x] / (x 3 +մեկը): Այն կազմված է տարրերից

{0, 1, x, x + 1, x 2, x 2 + 1, x 2 + x, x 2 + x + 1):Այս օղակում հոգնակի թիվը հաղթական է, օրինակ՝ այս կարգով.

(x 2 +1) (x 2) = R x 3 + 1 ((x 2 +1) (x 2)) = R x 3 + 1 ((x 3 +1) x + x 2 + x) \u003d x 2 + x,

de vikoristano կրճատում ըստ կանոնի x 4 = x (x 3+ 1) + X.

Թեորեմ 2.4.3.Բազմանդամների օղակը, որը մոդուլ է առաջացրել p(x) հարուստ տերմինը նույն դաշտն է և միայն այն դեպքում, եթե հարուստ անդամը p(x) պարզ է.Եկե՛ք կռահենք, որ պարզ հարուստ տերմինը միաժամանակ անհասկանալի է և ինդուկտիվ: Որպեսզի դաշտը դրդենք ապացուցել p(x-ի անկրճատելիությունը), մեզ հաջողվեց դիտել նաև այն բազմանդամները, որոնք ավելի հեռու են գտնվում, և արդյունքներն ավելի քիչ լուրջ բնույթ են կրում։

Բերելով.Տվեք ինձ մի հարուստ դիք p(x)պարզ. Բերելու համար, թե ինչ է մատանին, ինչին նայում են, դաշտը կազմում, բավական է ցույց տալ, որ ոչ զրոյական տարրի մաշկը կարող է բազմապատկվող վերադարձ լինել։ Արի ս (X)- մատանի որոշ ոչ զրոյական տարր: Թոդի դեգ ս (X)< աստիճան p(x): Oskіlki հարուստ անդամ p(x)պարզ, ապա gcd = 1. Հետևում է 2.3.7

NID = 1 =a(x)p(x) + b(x) s(x)

որոշ հարուստ անդամների համար Օհ)і b(x).Օտժե,

1 = Ռ p(x)[ 1] = Ռ p(x)=Ռ p(x){ Ռ p(x)

Հեշտ է բաչիտի, scho-ն առանց որևէ այլ հարուստ անդամների, որոնք ունեն գործակիցներ ԿԿատարում եմ կոմուտատիվ օղակ, որը նշանակված է կ[x] և աստիճան ring of richly articulated over կ . Խորհրդանիշ xսկսեք այն անվանել «օձ», վինիլային տերմինաբանությունը պարզ է բազմանդամ ֆունկցիաներվերևում Ռկամ ավելի Գ. Այնուամենայնիվ, zagalnomu-ն ունի առատորեն արտահայտված բազմանդամ ֆունկցիա՝ ամբողջ խոսքը. օրինակ՝ վերջի դաշտի վրայով $\backslash mathbb\; F\_p$հարուստ հատվածների պարզ քանակի տարրերից $x$і $x^p$սահմանել մեկ և նույն ֆունկցիան, բայց կան տարբեր հարուստ տերմիններ (հարուստ անդամները համարվում են հավասար կամ նույնից փոքր, եթե ունեն բոլոր գործակիցները): Otzhe, փոխել xչի կարող մտնել վերին դաշտ կ; մատանու մասին կ[x] կարող եք այսպես մտածել. դաշտի բազմաթիվ տարրերին ավելացնում ենք նոր տարր xԵվ հենց դրա համար հաղթական էին Չինաստանի աքսիոմները և xանցում դաշտային տարրերից.

Տարրերի սկալերը և հարուստ տերմինների քանակը կարող են բազմապատկվել դաշտի սկալարներով կ, դա իրականում ասոցիատիվ հանրահաշիվ է դաշտի վրա կ. Ինչպես նայել կ[x] յակ վեկտորային տարածություն(ուրեմն մոռացեք բազմապատկման մասին), կարող է լինել անսպառ հիմք 1-ին տարրերով, x, x 2 և այլն