Իրական թվերի աքսիոմներ. Թվերի տեսության աքսիոմների հետևում

Խոսքի համարները, որոնք նշվում են (այսպես կոչված R ruban) միջոցով, ներմուծվում է գումարման գործողությունը («+»), այնպես որ մաշկի զույգ տարրերը ( x,y) vіdpovіdnіst տարրի վրա դրված անանձնական խոսքի թվերով x + y z tsієї w բազմապատկիչ, վերնագրեր sumo xі y .

Բազմակիության աքսիոմներ

Ներկայացված է բազմապատկման գործողությունը («·»), այնպես որ մաշկի զույգ տարրերը ( x,y) անանձնական խոսքի թվերի համար դրեք տարր (հակառակ դեպքում՝ կրճատ, xy) s tsієї w բազմապատկիչ, ստեղծման կոչումներ xі y .

Zvyazok dodavannya որ հոգնակի

Պատվերի աքսիոմներ

«» կարգի առաջադրանքի վրա (մեկից պակաս), ապա խաղադրույքի համար x, y vykonuєtsya ցանկանալով լինել մեկը մտքում abo.

Zv'yazok որպեսզի ծալովի

Zvyazok vіdnoshennia կարգը, որ հոգնակի

Շարունակականության աքսիոմա

Մեկնաբանություն

Այս աքսիոմը նշանակում է, որ Xі Յ- իրական թվերի երկու դատարկ բազմապատկիչ այնպես, որ կա որևէ տարր Xմի շրջեք որևէ տարր Յ, ապա նրանց միջև կարող եք տեղադրել խոսքի համար: Համար ռացիոնալ թվերայս աքսիոմը հաղթական չէ. դասական հետույք. ճանաչելի դրական ռացիոնալ թվեր և տեսանելիորեն անանձնականություն Xայն թվերը, որոնց քառակուսին փոքր է 2-ից, իսկ մյուսը՝ մինչև Յ. Թոդի միժ Xі Յչի կարող ռացիոնալ թիվ տեղադրել (ոչ ռացիոնալ թիվ):

Սա հիմնական աքսիոմն է, որն ապահովում է անվտանգությունը և դրանով իսկ թույլ է տալիս մաթեմատիկական վերլուծություն իրականացնել: Դրա կարևորությունը պատկերացնելու համար թույլ տվեք մատնանշել դրանից երկու հիմնարար հետևանքներ:

Աքսիոմների ժառանգություն

Առանց միջանկյալ աքսիոմայի, սարկավագները կարևոր են այսօրվա թվերի ուժի համար, օրինակ.

զրոյի միասնություն,
բազմացման և վիրուսային տարրերի միասնությունը:

գրականություն

Զորիչ Վ.Ա.Մաթեմատիկական վերլուծություն. Հատոր I. M.: Fazis, 1997, մաս 2:

Դիվ. նույնպես

Պոսիլանյա

Վիքիմեդիա հիմնադրամ. 2010 թ .

Տես նաև «Իրական թվերի աքսիոմատիկա» այլ բառարաններում.

Խոսքը, որը իրական թիվ է, մաթեմատիկական աբստրակցիա է, որը vinikla z-ն պահանջում է անհրաժեշտ լույսի երկրաչափական և ֆիզիկական քանակների օգտագործում, ինչպես նաև այնպիսի գործողություններ, ինչպիսիք են արմատահանումը, լոգարիթմների հաշվարկը, լուծումները:

Խոսքը, chi փաստացի թվերը մաթեմատիկական աբստրակցիա է, ինչ մատուցել, զոկրեմա, ֆիզիկական մեծությունների արժեքի այդ նմանության դրսեւորում։ Նման թիվը կարող է ինտուիտիվ կերպով ներկայացվել որպես ուղիղ գծի վրա կետի դիրքը նկարագրող:

Վիքիբառարանն ունի «աքսիոմ» հոդվածը Աքսիոմ (հունարեն ... Վիքիպեդիա

Աքսիոմա, քանի որ այն օգտագործվում է տարբեր աքսիոմատիկ համակարգերում։ Իրական թվերի աքսիոմատիկա Հիլբերտի Էվկլիդեսյան երկրաչափության աքսիոմատիկա Կոլմոգորովի իմովիրնոստի տեսության ... Վիքիպեդիա

Համարային համակարգ

Ենթադրենք, որ բնական շարքը հայտնվել է օբյեկտների տեղափոխման համար։ Բայց եթե մենք ուզում ենք աշխատել օբյեկտների հետ, ապա մեզ անհրաժեշտ են թվաբանական գործողություններ թվերի վրա։ Տոբտո, եթե ուզում ենք խնձոր ծալել կամ տորթ բաժանել, պետք է թվերի թիվը թարգմանենք։

Ամոթալի հարգանք է, որ բնական թվերի լեզվով + і * գործողությունների ներդրումից հետո անհրաժեշտ է ավելացնել աքսիոմներ, որոնք նշանակում են այդ գործողությունների հզորությունը։ Ալետոդներ և անանձնական բնական թվեր tezh ընդլայնվելով.

Մենք հիանում ենք, թե ինչպես են ընդլայնվում անանձնական բնական թվերը: Ամենապարզ գործողությունը, քանի որ դա անհրաժեշտ էր առաջիններից մեկի համար՝ ce dodavannya: Եթե մենք ցանկանում ենք լրացուցիչ վիրահատություն նշանակել, ապա պետք է նշանակել դրան վերադարձ՝ որոշում։ Ճիշտ է, ինչպես գիտենք, որ օրինակ 5 և 2 ավելացնելու արդյունքում մենք մեղավոր ենք տիպի հերթականությանը ավելացնելու համար՝ ինչ պետք է ավելացնել 4-ին, վերցնել 11: zvorotnu diyu - vіdnіmannya. Ale, yakscho dodavannya բնական թվերը կրկին տալիս են բնական թիվ, ապա բնական թվերին նայելով ստացվում է մի արդյունք, որը չի տեղավորվում N-ի մեջ։Մեզ ավելի շատ թվեր են պետք։ -ի խելամիտ տեսլականի անալոգիայով ավելի մեծ թիվՓոքրիկ boulo-ն ներկայացրեց vidnіmannya z-ի կանոնը փոքր ավելի մեծ - այսպիսով հայտնվեց բացասական թվերի քանակը:

Բնական շարքը լրացնելով + і - mi գործողություններով՝ հասնում ենք անանձնական ամբողջ թվերի։

Z=N+գործողություններ(+-)

Ռացիոնալ թվերի համակարգ yak mov թվաբանություն

Հիմա եկեք նայենք սա ծալովի diu - հոգնակի: Սա, ըստ էության, բագատարասային հավելում է։ І ամբողջ թվերի լրացուցիչ թիվը լրացվում է ամբողջ թվով։

Ale, հակադարձ գործողություն է բազմակի - tse podіl. Բայց դա հեռու է միշտ լավ արդյունք տալուց։ Եվ նորից մենք կանգնած ենք երկընտրանքի առաջ՝ կամ ընդունել, կարծես արդյունքը հնարավոր չէ «հասկանալ», կամ գուշակել նոր տեսակի թիվը։ Այսպիսով, նրանք մեղադրում էին ռացիոնալ թվերին:

Վերցնենք ամբողջ թվերի համակարգ և լրացնենք այն աքսիոմներով, որոնք որոշում են բազմապատկման և հատակի գործողությունը։ Մենք հանում ենք ռացիոնալ թվերի համակարգը։

Q=Z+ գործողություններ (*/)

Հայրիկ, ռացիոնալ թվերի լեզուն թույլ է տալիս աշխատել բոլոր թվաբանական գործողություններըթվերի նկատմամբ։ Բնական թվերի լեզուն բավական չէր։

Աքսիոմատիկորեն ներկայացնենք ռացիոնալ թվերի համակարգը։

Նշանակում. Անանձնական Q-ը կոչվում է ռացիոնալ թվերի անանձնականություն, ինչպես տարրերը՝ ռացիոնալ թվերը, որպես մտքի առաջադեմ համալիր, վերնագրերը կոչվում են ռացիոնալ թվերի աքսիոմատիկա.

Ծալովի գործողության աքսիոմներ. Be-like-ordered խաղադրույքի համար x, yտարրեր Ք deyaky տարր x+yÎQ, դասակարգումներ հանրագումարով Xі ժամը. Երբ հաղթում ես, մտածիր այսպես.

1. (Isnuvannya zero) Iznuє տարր 0 (զրո) այնպիսին, որ ցանկացած XՕՔ

X+0=0+X=X.

2. Ցանկացած տարրի համար X Q Q հիմնական տարր - XО Q (հակառակ X) այնպիսին է, որ

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Կոմուտատիվություն) Ինչի համար էլ լինի x, yО Ք

4. (Ասոցիատիվություն) Ցանկացած x, y, z Q-ի համար

x + (y + z) = (x + y) + z

Բազմապատկման գործողության աքսիոմներ.

Be-like-ordered խաղադրույքի համար x, y Q-ի տարրերը, որոնք վերագրված են փաստացի տարրին հուÎ Q, ստեղծագործության վերնագրեր Xі y.Երբ հաղթում ես, մտածիր այսպես.

5. (Isnuvannya մեկ տարր) Iznuє տարր 1 Q այնպիսին, որ ինչի համար էլ լինի XО Ք

X . 1 = 1. x = x

6. Ցանկացած տարրի համար X Q Q, ( X≠ 0) հիմնական տարր X-1 ≠0 այնպիսին, որ

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Ասոցիատիվություն) լինել-իրերի համար x, y, zО Ք

X . (ժամը . z) = (x . y) . զ

8. (Կոմուտատիվություն) Ինչի համար էլ լինի x, yО Ք

Axiom zv'azku ծալված ու բազմապատկած.

9. (Բաշխիչ) Ինչ էլ որ լինի x, y, zО Ք

(x+y) . z=x . z+y . զ

Աքսիոմները կարգավորված են.

Եղեք երկու տարրի պես x, y, Q Q սկիզբը տողի վերջում ≤: Երբ հաղթում ես, մտածիր այսպես.

10. (X≤ժամը)Լ ( ժամը≤x) ó x=y

11. (X≤y)Լ ( y≤ զ) => x≤զ

12. Բե-յակահի համար x, yО Q կամ x< у, либо у < x .

Կարգավորում< называется строгим неравенством,

Հարաբերակցություն = կոչվում է Q տարրերի հավասարություն:

Axiom zv'yazku dodavannya այդ կարգը.

13. Ցանկացած x, y, z нQ, (x £ y) z x+z £ y+z

Axiom zv'yazku mnozhennya այդ կարգը:

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) z (0 £ x´y)

Արքիմեդի հավերժության աքսիոմը.

15. Եթե a > b > 0, մենք ունենք m N և n Q այնպես, որ m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Այսպիսով, ռացիոնալ թվերի համակարգը Զեմի թվաբանությունն է։

Պաշտպանեք, գործնական հաշվելու առաջադրանքների վերևում, ֆիլմը բավարար չէ:

Աքսիոմատիկ մեթոդ մաթեմատիկայի մեջ.

Բնական շարքերի աքսիոմատիկ տեսության հիմնական ըմբռնումը և ըմբռնումը: Բնական թվի նշանակում.

Բնական թվերի գումարում.

Բնական թվերի աճ:

Բնական թվերի բազմապատկիչի հզորությունը

Vіdnіmannya raspodіl բնական թվեր:

Աքսիոմատիկ մեթոդ մաթեմատիկայի մեջ

Աքսիոմատիկ հուշումով լրացվում է ինչ-որ մաթեմատիկական տեսություն երգիր կանոնները:

1. Deyakі հասկանալ տեսությունը vibirayutsya նման մայորնա ընդունվում է առանց երաշխիքի:

2. Ձևակերպված աքսիոմներ, որոնք ընդունվում են առանց ապացույցների այս տեսությունների կողմից, որոնք ուժ ունեն հասկանալու հիմնականները։

3. Մաշկը հասկանում է տեսությունը, որպեսզի վրեժխնդիր չլինի հիմնականների ցուցակից, տրված է. նշանակումը, նորի համար բացատրվում է յոգո զմիստը հիմնականների և ճակատի այս հասկացողության օգնության համար։

4. Տեսության մաշկի դրույթը, որը չի կարող վրիպել աքսիոմների ցանկից, կարելի է ի հայտ բերել։ Նման առաջարկները կոչվում են թեորեմներև բերել դրանք աքսիոմների և թեորեմների հիման վրա, որոնք վերամշակման ենթակա են։

Աքսիոմների համակարգը կարող է լինել.

ա) աննկատ.մենք մեղավոր ենք buti vpevnenі, scho, roblyachi raznі vysnovki z տրված համակարգի աքսիոմների, չեն գալիս superechnosti;

բ) անկախաքսիոմներից և ոչ մեկը մեղավոր չէ համակարգի մյուս աքսիոմների համար:

մեջ) կրկին, նույնիսկ այս շրջանակում միշտ հնարավոր է բերել ֆիրմայի չի, որը թվարկված է յոգոն։

Տեսության աքսիոմատիկ դրդապատճառի առաջին ապացույցը պետք է հաշվի առնել Էվկլիդեսի երկրաչափության գիրքը Յոգոյում «Կոբս» (3-րդ դար ե.): Զգալի ներդրում երկրաչափություն և հանրահաշիվ ոգեշնչող աքսիոմատիկ մեթոդի զարգացման գործում մշակվել է Ն.Ի. Լոբաչևսկին և Է.Գալուան։ Օրինակ՝ 19 փ. Իտալացի մաթեմատիկոս Պեանոն խախտեց թվաբանության աքսիոմների համակարգը:

Բնական թվի աքսիոմատիկ տեսության հիմնական ըմբռնումը և ըմբռնումը: Բնական թվի նշանակում.

Որպես հիմնական (ոչ էական) հասկացողություն deakіy բազմակիության մեջ Ն ընտրել կափարիչ , եւ navіt vikoristovuyutsya տեսական-բազմակի ըմբռնում, ի navіt տրամաբանության կանոնները:

Տարր, որը հետևում է տարրին առանց ընդհատումների ա,նշանակել ա».

Ըստ երևույթին, «առանց միջնորդի հետևել» բավարարվում են առաջիկա աքսիոմներով.

Axioms Peano:

Աքսիոմա 1. Անդեմների մոտ Ն іsnuє տարր, առանց միջինի ոչ վիրավորականոչ մի տարրի համար բազմապատկիչներ չկան: Եկեք կոչենք յոգա մենակությունորոնք խորհրդանշում են 1 .

Աքսիոմա 2. Մաշկի տարրի համար ա հ Ն հիմնական մեկ տարր ա" , անխնա առաջ գնալու համար ա .

Աքսիոմա 3. Մաշկի տարրի համար ա հ Նіsnuє ոչ ավելի, քան մեկ տարր, որի համար այն հետևում է առանց միջնորդի ա .

Աքսիոմա 4.Եղեք որպես բազմապատկիչ Մ անդեմ Ն spіvpadє z Ն , yakscho maє հզորություն: 1) 1 վրեժ լուծել Մ ; 2) ինչից ա վրեժ լուծել Մ , հաջորդը, ինչ ես ա" վրեժ լուծել Մ.

Նշանակում 1. Բեզլիչ Ն , որի տարրերի համար տեղադրված է փեղկ «Անմիջապես հետևեք«, որը բավարարում է 1-4 աքսիոմներին, կոչվում է bezlіchchu բնական թվերև յոգայի տարրեր - բնական թվեր.

Այս նշանակված անձը ոչինչ չունի ասելու բազմապատկիչի տարրերի բնույթի մասին Ն . Այսպիսով, դուք կարող եք այնտեղ լինել: Vibirayuchi նման անդեմ Ն օրը կոնկրետ բազմապատկիչ է, որի վրա տրվում է կոնկրետ հղում «առանց միջնորդության», որը բավարարում է 1-4 աքսիոմները, վերցնում ենք. այս համակարգի մոդելը աքսիոմներ.

Պեանոյի աքսիոմների համակարգի ստանդարտ մոդելը թվերի շարք է, որը հանդիսանում է հաջորդականության պատմական զարգացման գործընթացի արմատը՝ 1,2,3,4,... Բնական շարքը սկսվում է 1 թվից (աքսիոմա 1. ); Մաշկի բնական թվից հետո անմիջապես հաջորդում է մեկ բնական թիվ (աքսիոմա 2); մաշկի բնական թիվը հետևում է ոչ ավելի, քան մեկ բնական թվին (աքսիոմա 3). սկսելով 1 թվից և շարժվելով, որպեսզի բնական թվերը մեկը մյուսի հետևից առաջ գնան, վերցնում ենք թվերի բոլոր բազմապատկիչները (աքսիոմա 4):

Otzhe, մենք մշակեցինք բնական թվերի աքսիոմատիկ պոբուդով համակարգը հիմնականի ընտրությամբ vodnosiny «առանց միջնորդի հետևել»այդ աքսիոմը, ուժի յոգայի որոշ նկարագրություններում: Մի փոքր ավելի հեռու՝ Պոբուդովի տեսությունից՝ փոխանցելով դրանցից բնական թվերի ուժերը և գործողությունները: Գարշահոտը կարող է լինել rozkritі ժամը նշանակված եւ թեորեմներ, tobto. ներմուծված «առանց միջին նկատառման» ներդրման ամենօրյա տրամաբանական ճանապարհով և 1-4 աքսիոմներով:

Առաջին բանը, որ պետք է հասկանալ, ինչպես ներկայացնում ենք բնական թվի նշանակումից հետո, այն է կափարիչ «անմիջապես առաջ» , yake հաճախ vikoristovuyut մեկ ժամ նայում լիազորությունների բնական շարք.

Նշանակում 2.Ինչ է բնական թիվը բ հետևել առանց միջնորդիբնական թիվ ա, այդ թիվը ա կանչեց անմիջապես առաջ(հակառակ դեպքում՝ առջևում) համարը բ .

Vіdnoshennia «pereduє» maє իշխանությունների կողքին.

Թեորեմ 1. Միասնությունը չունի առաջադիմական բնական թիվ։

Թեորեմ 2. Մաշկը բնական թիվ է ա, Vіdmіnne vіd 1, maє մեկ առաջ համարը բ,եւ ինչ բ»= ա.

Բնական թվերի տեսության աքսիոմատիկ հիմնավորումը չի երևում ոչ միջնակարգ դպրոցում, ոչ էլ միջին դպրոցում: Prote dominion vіdnosinі «առանց միջնորդի հետևելու», ինչպես դա եղել է Պեանոյի աքսիոմներում, є ուսումնասիրության առարկա մաթեմատիկայի կուրսում: Արդեն առաջին դասի ժամանակ մեկ ժամ է առաջին տասնյակի թվերին նայելու համար, պարզ է, քանի որ կարող եք մաշկի համար ստանալ: Որում հասկացվում են «սահեց» և «նախքան» բառերը: Մաշկը նոր թիվ է՝ որպես բնական թվերի շարքի ոլորված ոլորման շարունակություն։ Սովորեք վերանայել tsiom-ում, scho-ն մաշկի համարով, նույնն է, և մեկից ավելի, որ թվերի բնական շարքն անսպառ է:

Բնական թվերի գումարում

Աքսիոմատիկ տեսության հուշման կանոնների համար, որոնք նշանակում են բնական թվերի գումարում, անհրաժեշտ է իրականացնել փոխանորդ, «անմիջապես հետևեք», հասկանում եմ «բնական համար»і «նախորդ համարը».

Viperedimo vyznachennya folded առաջխաղացման mirkuvannyami. Ինչպես հասնել ցանկացած բնական թվի աավելացրեք 1, ապա վերցրեք համարը ա»,անխնա առաջ գնալով ա, ապա. ա+ 1= ա"Եվ, ապա, մենք ընդունում ենք ցանկացած բնական թվին 1 գումարելու կանոնը: Ale yak ավելացնել աբնական թիվ բ, vіdmіnne vіd 1? Մենք արագացնում ենք գալիք փաստը. եթե տեսնենք, որ 2 + 3 = 5, ապա գումարը կլինի 2 + 4 = 6, որն առանց միջնորդի հաջորդում է 5 թվին։ Այս հերթականությամբ՝ 2 + 4 = 2 + 3։ " =(2+3)". Շոգի մեջ կարծես թե գուցե, .

Այս փաստը հիմք է հանդիսանում աքսիոմատիկ տեսության մեջ բնական թվերի նշանակման համար։

Նշանակում 3. Բնական թվերի գումարումկոչվում է հանրահաշվական գործողություն, որը կարող է հզոր լինել.

Թիվ ա + բ կանչեց թվերի գումարը աі բ , և թվերն իրենք աі բ - դոդանկի.

ՕՄՍԿԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՄԱՆԿԱՎԱՐԺԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ
OmDPU-ի ՄԱՍՆԱՃՅՈՒՂ Գ.ՏԱՐԻԻ մոտ
LBC-ն աշխատում է խմբագրության և հրատարակության որոշումների համար
OmDPU-ի 22-րդ 73-րդ մասնաճյուղը մետրոյի Տարիի մոտ
Ch67

Մանկավարժական բուհերի ուսանողների համար ճանաչված են առաջարկություններ, քանի որ նրանք դասավանդում են «Հանրահաշիվ և թվերի տեսություն» առարկան։ Այս կարգի շրջանակներում 6-րդ կիսամյակում մշակվում է «Համակարգի համարներ» բաժինը։ Այս առաջարկությունները ներառում են նյութեր բնական թվերի համակարգերի աքսիոմատիկ հիմնավորման մասին (Պեանոյի աքսիոմների համակարգ), ամբողջ թվերի և ռացիոնալ թվերի համակարգերի վերաբերյալ: Ցյա աքսիոմատիկան թույլ է տալիս ավելի լավ հասկանալ, թե որն է այդպիսի թիվը, որպես դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացը հասկանալու հիմնականներից մեկը: Նյութի ամենակարճ յուրացման համար առաջարկվում է համապատասխան թեմաների ներմուծում։ Օրինակ, առաջարկություններ և առաջարկություններ, հայտարարություններ, առաջադրանքներ:

Գրախոս՝ բ.գ.թ., պրոֆ. Դալինգեր Վ.Ա.

Ստորագրվել է ընկերոջը - 22.10.98թ

Թերթի թուղթ
Տպաքանակը՝ 100 օրինակ։
Օպերատիվ մեթոդ միմյանց համար
OmDPU, 644099, Օմսկ, նաբ. Տուխաչևսկի, 14
ֆիլիա, 644500, Տարա, փ. Շկիլնա, 69

1. ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐ.

Բնական թվերի համակարգի աքսիոմատիկ պատճառաբանությամբ կարևոր է հաշվի առնել բազմապատկիչի, կապույտի, ֆունկցիաների և այլ բազմատեսական ըմբռնումները։

1.1 Պեանոյի աքսիոմների համակարգը և ամենապարզ եզրակացությունները:

Պեանոյի աքսիոմատիկ տեսության մեջ տարածված հասկացողությունն անանձնական N-ն է (ինչպես կոչվում է բնական թվերի անանձնականություն), հատկապես նոր և երկուական հարաբերությունից զրո թիվը (0) «հետևում է» N-ին, որը նշվում է S-ով ( ա) (կամ ա ().
AXIOM:
1. ((a(N) a"(0 (Սա բնական թիվ 0 է, որը չի հաջորդում որևէ թվի:))
2. a=b (a"=b"
3. a «=b» (a=b (Մաշկի բնական թիվը հաջորդում է մեկից ավելի թվերի):
4. (ինդուկցիայի աքսիոմա) Որպես բազմապատկիչ M(N և M) բավարարում է երկու միտք.
Ա) 0 (M;
B) ((a(N) a(M ® a)(M, ապա M=N):
Ֆունկցիոնալ տերմինաբանության մեջ ze նշանակում է, որ S:N®N-ն անգործուն է։ Աքսիոմներից 1-ից պարզ է դառնում, որ S:N®N խմորումը sur'active չէ: Աքսիոմ 4-ը հիմք է հանդիսանում ծանր աշխատանքը «մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով» ապացուցելու համար։
Զգալիորեն գործում է բնական թվերի ուժը, որոնք առանց միջնորդի աղաղակում են աքսիոմներ:
Հզորություն 1. Մաշկը բնական թիվ է a(0 հաջորդող մեկ և մեկից ավելի թվերի:
Բերելով. Զգալիորեն M անանձնական բնական թվերի միջոցով scho անհետանում է զրո և բոլոր բնական թվերը, ցանկացած թվի ցանկացած հետևորդ: Բավական է ցույց տալ, որ M=N, միասնությունն ակնհայտ է 3-ի աքսիոմներից: Եկեք ապացուցենք ինդուկցիայի 4-ի աքսիոմը.
A) 0 (M - արագ բազմապատկիչով M;
B) նույնիսկ a(M, այդ a"(M, ավելի a"-ին հաջորդում է a.
Միջին աքսիոմներից 4 M=N.
Հզորություն 2. A (b, ապա «(b») նման:
Իշխանությունը բերվում է «անընդունելիից» մեթոդով, վիկորիստի աքսիոմ 3։ Նմանապես, նման իշխանություն բերվում է 3, վիկորիստի աքսիոմ 2։
Հզորություն 3. «(b», ապա a (b.)»-ի նման
Հզորություն 4. ((a(N)a(a). (նրան հաջորդում է ոչ մի բնական թիվ):)
Բերելով. Թող M=(x(x(N, x(x))). ) Umov-ի նման աստիճանում A) աքսիոմները 4 0(M - հաղթում են: Եթե x(M, ապա x(x"), ապա 2 x" ((x")"-ը իշխանության մեջ է, իսկ tse-ն նշանակում է, որ Umov B) x (M ® x"(M. Ալեթոդիկորեն հետևում է 4 M=N աքսիոմին."
Թողեք (- բնական թվերի հզորության դյուցազունը։ Այն, որ a թիվը ունի հզորություն (, գրեք ((ա))։
Առաջադրանք 1.1.1. Ասեմ ձեզ, որ անանձնական բնական թվերի նշանակման 4-րդ աքսիոմն ավելի մոտ է առաջացող կարծրությանը. ցանկացած տեսակի հեղինակության համար (ինչպես ((0) i, ապա):
Առաջադրանք 1.1.2. Միավոր գործողությունը (a(=c, b(=c, c(=a)) այս կերպ է սահմանվում A=(a,b,c) եռամասերի բազմապատկիչի վրա):
Առաջադրանք 1.1.3. Թող A \u003d (a) - մեկ տարրի բազմապատկիչ, ա (= ա) Յակի Պեանոյի ճշմարտության աքսիոմներով A բազմապատկիչի վրա գործողությամբ (?)
Առաջադրանք 1.1.4. N-ի բազմակի վրա նշանակալի է միանման գործողությունը, անկախ նրանից, թե ով: Բացատրեք, թե ինչն է ճշմարիտ Պեանոյի աքսիոմների համար, որոնք ձևակերպվել են գործողության առումով:
Առաջադրանք 1.1.5. Դե արի։ Ապացուցեք, որ A-ն փակ է գործողության միջոցով (. A բազմապատկիչի վերաբերյալ Պեանոյի աքսիոմների ճշմարտացիությունը հակադարձեք (.) գործողությամբ:
Առաջադրանք 1.1.6. Արի,. Զգալիորեն Ա-ի վրա միանման գործողություն է, սակայն: Ինչպե՞ս են Պեանոյի աքսիոմները ճշմարիտ գործողության A բազմապատկիչի վրա:

1.2. Պեանոյի աքսիոմների համակարգի ոչ գերընտրականությունն ու կատեգորիկությունը։

Աքսիոմների համակարգը կոչվում է ոչ գերադասելի, քանի որ її աքսիոմների դեպքում անհնար է բերել T թեորեմը և її լայնակի (T. Հասկանալի էր, որ աքսիոմների գերարդյունավետ համակարգերը մաթեմատիկայում չեն կարող ունենալ նույն արժեքը, քանի որ նման տեսությունը հնարավոր է բերել այն ամենին, ինչ հետևաբար, աքսիոմների համակարգի հոյակապության բացակայությունը բացարձակապես էական է։
Յակշչոն Aksіomatic Theoret-ում չի հոսել թեորեմ t і ї ї ї ї ї ї ї չի նշանակում, aksi համակարգը ծանրաբեռնված չէ. այն փաստը, որ աքսիոմների համակարգի մեկնաբանումը ակնհայտորեն ոչ գերհավասարակշիռ տեսության S, ապա. աքսիոմների համակարգը ինքնին ոչ գերհավասար է:
Պեանոյի աքսիոմների համակարգի համար կարելի է հարուստ տարբեր մեկնաբանություններ ներկայացնել։ Հատկապես հարուստ է բազմակիության տեսության մեկնաբանությամբ։ Նման մեկնաբանություններից մեկը նշանակալից է. Բնական թվերով կարող ենք վերցնել բազմապատիկ (, ((), ((())), (((())),..., զրոն կտարբերակենք (. (M) թվով՝ միակ տարրը. այսքանը և այդպիսին M. Այս հերթականությամբ ("=((), (()"=((()) և այլն)) փոքր է. այն ցույց է տալիս, որ Պեանոյի աքսիոմների համակարգը թեև բազմապատիկների տեսությունն է. Գերազանց չէ, բայց ավելի կարևոր է բազմապատիկների տեսության աքսիոմների համակարգի ոչ գերքաղաքականության ապացույցը։
Աքսիոմների համակարգը, որը գերադասելի չէ, կոչվում է անկախ, քանի որ այս համակարգի մաշկի աքսիոմը չի կարող ապացուցվել որպես թեորեմ՝ այլ աքսիոմների հիման վրա։ Բերել այդ աքսիոմը
(1, (2, ..., (n, ((1))
բավական է ապացուցելու, որ աքսիոմների համակարգը ոչ գերակշռելի է
(1, (2, ..., (n, ((2))
Ճիշտ է, yakby (հնարավոր էր տարբերվել համակարգի մյուս աքսիոմներից (1), այնուհետև համակարգը (2) գերխելացի էր, դրա բեկորները ճիշտ կլինեն թեորեմի համար (և աքսիոմի ((.)):
Նաև աքսիոմների անկախությունը բերելու համար (համակարգի այլ աքսիոմներից (1) բավական է խրախուսել աքսիոմների համակարգի մեկնաբանությունը (2)։
Անկախությունը համակարգի axioms մեծ neobov'yazkova. Երբեմն «կարևոր» թեորեմների ապացուցումից խուսափելու համար մենք կստեղծենք աքսիոմների վերաշխարհային (ավանդային) համակարգ։ Այնուամենայնիվ, «զայվ» աքսիոմները հեշտացնում են տեսության մեջ աքսիոմների դերը, ինչպես նաև տեսության տարբեր բաժինների միջև ներքին տրամաբանական կապերը։ Ի լրումն, pobudova іnterpretatsіy աքսիոմների ֆլյուտային համակարգերի համար զգալիորեն ծալված է, ավելի ցածր՝ անկախների համար. նույնիսկ եթե դուք պետք է վերանայեք «զայվիհ» աքսիոմների վավերականությունը։ Հողի սնուցման պատճառներից, վաղուցվա աքսիոմներից, առաջին նշանակությունն էր տրվում. Փորձեք ձեր ժամանակին մոտեցնել, որ 5-րդ պոստուլատը Էվկլիդեսի աքսիոմատիկայում «Դա ոչ ավելի, քան մեկ ուղիղ է, որն անցնում է ուղիղ գծին զուգահեռ Ա կետով» (», є թեորեմով (մյուս աքսիոմներում պառկել) և բերեց Լոբաչևսկու երկրաչափության եզրակացությանը):
Ոչ վերագրանցային համակարգը կոչվում է դեդուկտիվորեն նոր, կարծես թե տվյալ տեսության Ա դրույթը կարող է բերվել, կամ հռչակվել, ապա կա՛մ Ա, կա՛մ (Ա-ն տվյալ տեսության թեորեմն է։ աքսիոմը կոչվում է դեդուկտիվ պովնոտա - tezh ոչ obov'yazkova vimoga, օրինակ, խմբերի տեսության աքսիոմների համակարգ, տարածքի տեսություն, ջրելու տեսություն - ճիշտ չէ, բեկորները հիմնված են և kіntsevі և neskіnchennі խմբերի, kіltsya, դաշտերի, ապա սրանք. տեսություններ, որոնք դուք չեք կարող հարցնել, չեք կարող բերել առաջարկություն: «Խումբ (kіltse, դաշտ) վրեժ լուծելու kіltse kіlkіst տարրերից»:
Հարկ է նշել, որ հարուստ աքսիոմատիկ տեսություններում (իրենք՝ ոչ ֆորմալացվածներում) անանձնական դրույթները չեն կարող ճշգրիտ հաշվի առնել, և անհնար է բերել նման տեսության աքսիոմների համակարգի դեդուկտիվ ամբողջականությունը։ Երկրորդ փոփոխությունը հաճախ կոչվում է կատեգորիկ: Աքսիոմների համակարգը կոչվում է կատեգորիկ, այնպես որ դա լինի երկու մեկնաբանություն իզոմորֆ, այնպես որ կա նման փոխադարձ միանշանակ տարբերակում բազմակի կոճ առարկաների և այլ մեկնաբանությունների միջև: Կատեգորիկություն - tezh neobov'yazkova միտքը. Օրինակ՝ խմբերի տեսության աքսիոմային համակարգը կատեգորիկ չէ։ Պատճառն այն է, որ Կինցևի խումբը չի կարող լինել իզոմորֆ չմաշկավորված խումբ։ Այնուամենայնիվ, թվային համակարգի տեսության աքսիոմատիզացմամբ, obov'yazkova-ի կատեգորիկ բնույթով; Օրինակ, բնական թվերը նշանակող աքսիոմների համակարգի կատեգորիկ բնույթը նշանակում է, որ մինչև իզոմորֆիզմը գոյություն ունի միայն մեկ բնական շարք։
Բերենք Պեանոյի աքսիոմների համակարգի կատեգորիկությունը։ Թող (N1, s1, 01) և (N2, s2, 02) լինեն Պեանոյի աքսիոմների համակարգի երկու մեկնաբանությունները: Անհրաժեշտ է նշել այնպիսի biektivne (փոխադարձ միանշանակ) f արտահայտություն՝ N1®N2, որի համար պետք է մտածել.
ա) f(s1(x)=s2(f(x)) ցանկացած x N1-ի համար;
բ) f(01) = 02
Եթե միանման s1 և s2 գործողությունները վիրավորված են նույն հարվածից, ապա umova ա) վերագրեք.
ա) f(x()=f(x)(.
Զգալիորեն բազմապատկիչ N1(N2)
1) 01f02;
2) ինչպես xfy, x(fy(.
Փոխենք, ի՞նչ օգուտ N1 խմորումից N2, հետո մաշկային x s N1.
((y(N2)xfy(1)
Զգալիորեն M1 անանձնական տարրերի միջոցով x N1, որոշ մտքերի համար (1) հաղթում է: Թոդի
Ա) 01 (M1 z 1);
Բ) x(M1 ® x((M1 2-ի ուժով) և 1 կետի հզորությունը:
Հետևաբար, ըստ աքսիոմ 4-ի, հնարավոր է, որ M1=N1, իսկ tse i նշանակում է, որ N1 N2-ի f є խմորման ներմուծումը։ Tsimu z 1)-ում ակնհայտ է, որ f (01) = 02: Umov 2)-ը գրված է այսպես՝ f(x)=y, ապա f(x()=y(։ Այն հնչում է f(x()=f(x)(։ Նաև f-ի արտացոլման համար մտածեք. )) և բ.
Զգալիորեն M2-ի միջոցով, N2-ի անանձնական հանգիստ տարրերը, դրանցից որևէ մեկի մաշկը N1-ի մեկ և միայն մեկ տարրի տեսքով, երբ ցուցադրվում է f:
Բեկորներ f(01)=02, ապա 02 є: Եթե այդպես է x(N2 і x(01), ապա հզորության համար 1 տարրը 1 x հետևում է ընթացիկ տարրի c z N1 і ապա f(x)=f(c()=f(c)((02. Միջին, 02 f) մեկ տարրի աստիճանը 01, ապա 02 (M2.
Շարունակեք y(M2 і y=f(x), որտեղ x-ը y տարրի եզակի նախապատկերն է: Այնուհետև a) y(=f(x)(=f(x()), ապա y( є x տարրի պատկերը (. Թող c-ը լինի y(, ապա f(c)=y(։ որն իմաստալից է d-ի միջոցով)) Այնուհետև y( =f( c)=f(d()=f(d)(, պայմանավորված 3 աքսիոմով y=f(d)): M2 ® y
Նախահունական բոլոր մաթեմատիկան քիչ էմպիրիկ բնույթ ունի: Տեսության բոլոր տարրերը խեղդվում էին գործնական առաջադրանքների մշակման էմպիրիկ մոտեցումների զանգվածի մեջ։ Հույները տվեցին տրամաբանական վերլուծության այս էմպիրիկ նյութը, փորձեցին գտնել կապը տարբեր էմպիրիկ տվյալների միջև։ Ում համար երկրաչափության ողջ զգացողությունը մեծ դեր ունի Պյութագորասի և դպրոցի կողմից (մ.թ. 5-րդ դար): Աքսիոմատիկ մեթոդի գաղափարները հստակորեն հնչել են Արիստոտելի աշխատություններում (մ.թ. 4-րդ դար)։ Պրոտեի, այս գաղափարների գործնական զարգացումն իրականացրեց Էվկլիդեսը «Կոբս» յոգայում (մ.թ. 3 դար):
Աքսիոմատիկ տեսությունների երեք ձև կարելի է անվանել.
մեկը): Զմիստովնայի աքսիոմատիկան, իբր այն մեկն էր մինչև անցյալ դարի կեսերը։
2). Napіvformal axiomatics, scho vinyl անցյալ դարի վերջին քառորդում:
3). Ֆորմալը (այլ կերպ ձևակերպված) աքսիոմատիկան է, որի ծննդյան տարեթիվը կարելի է համարել 1904 թվական, եթե Դ. Հիլբերտը հրապարակեր իր հայտնի ծրագիրը ֆորմալացված մաթեմատիկայի հիմնական սկզբունքների մասին։
Մաշկի նոր ձևը չի արգելափակվում առջևում, բայց զարգացումով և հստակեցմամբ, նույնը վերաբերում է մաշկի նոր ձևի զարգացմանը, ավելի ցածր՝ առջևում։
Զմիստովնայի աքսիոմատիկան բնութագրվում է նրանով, որ աքսիոմներ ձևակերպելուց առաջ դրանք կարող են ինտուիտիվ հասկանալի լինել։ Ուրեմն, Էվկլիդեսի «Քոբում» հասկացողության կետի տակ նրանք, ովքեր ինտուիտիվորեն ինքնին ակնհայտ են այս ըմբռնումների տակ։ Միևնույն ժամանակ կա մեծ լեզու և մեծ ինտուիտիվ տրամաբանություն, որն ավելի շատ նման է Արիստոտելին։
Պաշտոնական աքսիոմատիկ տեսությունները նույնպես ունեն ուժեղ լեզու և ինտուիտիվ տրամաբանություն: Այնուամենայնիվ, առաջին հասկացողները չեն ապավինում նույն ինտուիտիվ իմաստին, նրանց բնորոշ են միայն աքսիոմները։ Ինքը՝ Թիմը, խստություն է շարժում, ինտուիցիայի բեկորները երգող աշխարհով հաղթում են խստությանը: Բացի այդ, քնկոտությունն աճում է, քանի որ նման տեսության մեջ բերված մաշկի թեորեմը ցանկացած մեկնաբանության մեջ արդարացի կլինի։ Ակնհայտորեն ֆորմալ աքսիոմատիկ տեսության տեսքով՝ Հիլբերտի տեսությունը, որը ներառված է «Imagine Geometry» (1899) գրքում։ Nap_vformalnyh տեսությունների հետույքներն են նաև kіlets-ի տեսությունը և այլ տեսություններ, որոնք ներկայացված են հանրահաշվի ընթացքում։
Ֆորմալացված տեսության հիմքը բառերի քանակի հաշվարկն է, որը մշակվում է մաթեմատիկական տրամաբանության ընթացքում։ Վրա vіdmіnu vіd zmіstovnoї եւ napіvformalії axiomatics, պաշտոնականացման տեսության հաղթական հատկապես խորհրդանշական mova. Տեսության այբուբենը վերագրված է իրեն, այնպես, որ այն անանձնական նշանների շղթա է, որոնք խաղում են նույն դերը, ինչ տառերը բնագրի լեզվում։ Լինի դա kіntseva սիմվոլների հաջորդականությունը կոչվում է viraz կամ բառ: Վիրուսների մեջ կա բանաձևերի դաս, և այն ճշգրիտ չափանիշը, որը թույլ է տալիս ճանաչել մաշկի վիրուսը, նշվում է բանաձևով։ Բանաձեւերը խաղում են նույն դերը, ինչ մեծ լեզվի խոսքը։ Deyakі բանաձեւեր goloshuyutsya աքսիոմներ: Բացի այդ, սահմանվում են տեսողության տրամաբանական կանոններ. Նման կանոնը նշանակում է, որ բանաձևերի ամբողջության ընթացքում ամբողջ բանաձևը առանց միջին է։ Թեորեմի ապացույցն ինքնին բանաձևերի լանցի վերջն է, մնացած բանաձևը հենց թեորեմն է, իսկ մաշկի բանաձևը կա՛մ աքսիոմա է, կա՛մ թեորեմն ավելի վաղ է բերվել, այլապես այն երգում է առաջի կեսից։ նիզակի բանաձեւերը դիտարկման կանոններից մեկի վրա. Այս շարքում մենք չպետք է պաշտպանենք ապացույցների վավերականությունը, հակառակ դեպքում Դանիական lanciugє ապացույց, կամ є, չկան վերջնական ապացույցներ: Cim-ի հետ կապում աքսիոմատիկան ձևակերպված է պրիմինգի հատկապես նուրբ սկզբունքներին ընտելանալու համար մաթեմատիկական տեսություններ, եթե ակնհայտ ինտուիտիվ տրամաբանությունը կարող է հանգեցնել ներումների, որոնք մեր մեծ շարժման անճշտությունների ու երկիմաստության միջոցով հիմնական աստիճանն են։
Այսպիսով, ինչպես մաշկի վիրազի մասին տեսության ֆորմալիզացիայի ժամանակ, կարելի է ասել, որ դա բանաձեւ է, ապա կարելի է հաշվի առնել պաշտոնականացված տեսության անանձնական դրույթները։ Սրա հետ կապված՝ սկզբունքորեն կարելի է քանդել դեդուկտիվ պատճառի, ինչպես նաև ոչ մակերեսայնության ապացույցի մասին փաստարկը՝ առանց մեկնաբանության մեջ մտնելու։ Մի շարք ամենապարզ ձևերով դուք կարող եք տեսնել տարբերությունը: Օրինակ՝ հաշվարկի մակերեսայնության բացակայությունն իրականացվում է առանց մեկնաբանության։
Ոչ ֆորմալացված տեսություններում անանձնական դրույթները հստակ չեն սահմանվում, ուստի ոչ մակերեսայնությունն ապացուցելու պատճառը, առանց մեկնաբանության գնալու, դրվում է հիմարաբար։ Նույն արժեքն ու սնունդը դեդուկտիվ պովնոտիի ապացույցի մասին: Սակայն, քանի որ հնչել է չֆորմալացված տեսության նման դրույթ, քանի որ դա անհնար է բերել կամ հարցնել, ուրեմն տեսությունը, ակնհայտորեն, դեդուկտիվորեն ոչ ճշգրիտ է։
Աքսիոմատիկ մեթոդը վաղուց հաստատվել է ոչ միայն մաթեմատիկայի, այլև ֆիզիկայի մեջ։ Նախ, ուղղակիորեն փորձիր, Արիստոտելը փորձեց դա անել, բայց նա նաև ուղղեց ֆիզիկայի իր սեփական աքսիոմատիկ մեթոդը՝ բացառելով Նյուտոնի ռոբոտներին մեխանիկայից:
Գիտությունների մաթեմատիկացման բուռն գործընթացի հետ կապում է նաև աքսիոմատացման գործընթացը։ Աքսիոմատիկ մեթոդներից ոչ մեկը չի հայտնաբերվել կենսաբանության տարբեր բաժիններում, օրինակ՝ գենետիկայի մեջ։
Աքսիոմատիկ մեթոդի հնարավորություններն անսահման չեն։
Հատկանշական է, որ չպետք է մոռանալ տեսությունների պաշտոնականացման մասին՝ չանտեսելով ինտուիցիան։ Տեսությունն ինքնին ֆորմալացվում է՝ առանց ցանկալի իմաստի մեկնաբանության։ Դրա համար մեղքը ցածր է պաշտոնականացված տեսության և մեկնաբանության միջև կապի վրա: Բացի այդ, ինչպես տեսությունների ֆորմալիզացիայի դեպքում, հարց է առաջանում աքսիոմների համակարգի ոչ գերակայության, անկախության և ամբողջականության մասին։ Բոլոր նման սննդի ամբողջությունը դառնում է մեկ այլ տեսության էություն, քանի որ այն կոչվում է պաշտոնականացված տեսության մետատեսություն։ Ֆորմալացված տեսության հիման վրա լեզվի մետատեսությունը ամենակարևոր առօրյա լեզուն է, իսկ տրամաբանական հայելավորումն իրականացվում է բնական ինտուիտիվ տրամաբանության կանոններով։ Այսպիսով, ինտուիցիան, որը կրկին վերցված է ֆորմալացված տեսությունից, նորից հայտնվում է մետատեսության մեջ։
Բայց աքսիոմատիկ մեթոդի հիմնական թուլությունը ցոմայում չէ։ Նախկինում արդեն մտածված էր Դ.Հիլբերտի ծրագրի մասին, քանի որ այն հիմք դրեց ֆորմալացված աքսիոմատիկ մեթոդին։ Հիլբերտի հիմնական գաղափարն է դասական մաթեմատիկան դարձնել որպես ֆորմալացված աքսիոմատիկ տեսություն, բերել չգերազանցություն։ Սակայն ծրագիրն իր հիմնական կետերով ուտոպիստական էր թվում։ 1931 թվականին հայտնի ավստրիացի մաթեմատիկոս Կ. Յոմուն դուրս եկավ կոդավորման իր մեթոդի օգնությունից՝ սովորելու համար ֆորմալացված թվաբանության բանաձևերի օգնությամբ և բերելու այն մետատեսության օգնությունը, որ այդ բանաձևերը տեսանելի չեն թվաբանության պաշտոնականացման մեջ: Այս կերպ, ֆորմալացված թվաբանությունը դեդուկտիվորեն անճշտ էր: Գոդելի արդյունքներից ակնհայտ էր, որ եթե նույնիսկ աքսիոմների թվին ներառվում է անապացուցելի բանաձև, ապա կա մեկ այլ անապացուցելի բանաձև, որն արտահայտում է նույն ճիշտ դրույթը։ Այս ամենը նշանակում էր, որ ոչ միայն բոլոր մաթեմատիկան, այլ թվաբանություն սովորելը, ամենապարզ մասը, անհնար է պաշտոնականացնել: Զոկրեման, Գյոդելը, ներշնչելով մի բանաձև, որը ցույց է տալիս «Ֆորմալացված թվաբանությունը գերակշռելի չէ» դրույթները և ցույց տալով, որ բանաձևը նույնպես չի կարող ցուցադրվել։ Այս փաստը նշանակում է, որ ֆորմալացված թվաբանության անկատարությունը չի կարելի հասցնել բուն թվաբանության կեսին։ Zrozumіlo, դուք կարող եք խրախուսել ուժեղ ֆորմալացված տեսությունը և її՝ ձևականացված թվաբանության ոչ գերակայությունը բերելու միջոցով, և միևնույն ժամանակ ավելի կարևոր մեղադրել նոր տեսության ոչ գերակայության համար:
Գոդելի արդյունքները ցույց են տալիս աքսիոմատիկ մեթոդի վավերականությունը։ Եվ, որ ավելի կարևոր է, podstav համար հոռետես visnovkіv տեսության իմացության մեկի, ով չգիտի ճշմարտությունը, - ոչ. Այն, որ հաստատվում են թվաբանական ճշմարտություններ, որոնք հնարավոր չէ հասցնել թվաբանության պաշտոնականացմանը, չի նշանակում ճշմարտությունների անտեղյակության դրսեւորում և չի նշանակում մարդկային մտքի մթագնում։ Վինը նշանակում է միայն, որ մեր մտքի հնարավորությունները չեն կրճատվի ընթացակարգերի, որ դրանք ավելի ֆորմալացվելու են, և որ մարդիկ դեռ պետք է փորձարկեն և գտնեն ապացույցների նոր սկզբունքներ:

1.3.Բնական թվերի պահպանում

Պեանոյի առանցքների համակարգով բնական թվերի ծալման և բազմապատկման գործողություններ չեն դրվում, այլ գործողությունների փոխարեն։
Նշանակում. Բնական թվերի գումարումը կոչվում է երկուական հանրահաշվական գործողություն + N բազմապատկիչի վրա, որը կարող է հզոր լինել.
1 վ. ((a(N)a+0=a);
2c. ((a, b (N) a + b (= (a + b)).
Մեղադրել սնուցումը՝ ի՞նչ է նման վիրահատությունը, բայց եթե այդպես է, ապա ի՞նչ է դա։
Թեորեմ. Բնական թվերի գումարումը անհրաժեշտ է և միայն մեկ.
Բերելով. Հանրահաշվի երկուական գործողությունը N բազմակի վրա դա խմորումն է (:N(N®N. Պետք է բերել, որ կա միայն մեկ խմորում (:N(N®N հզորություններով՝ 1)) ((x(N) ((x,0)= x; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y))). 0) )=x;).
Զգալիորեն N բազմապատկիչի վրա, երկուական արտահայտությունը fx մտքերի կողմից.
ա) 0fxx;
բ) ինչպես yfxz, y(fxz(.
Փոխենք, ինչ օգուտ N-ից N, հետո մաշկի համար y z N
(((z(N) yfxz (1)
Հատկանշական է, որ M-ի միջոցով y բնական թվերի բազմապատկիչը, որի համար հաղթական է միտքը (1): Այսպիսով, մտածեք a) vyplyaє, scho 0 (M, a z um b) և հզորությունը 1 p. և նշանակում է, որ fx-ը N-ի խմորումն է N: Ո՞ր խմորման համար մտածեք.
1() fx(0)=x - s a);
2() fx((y)=fx(y() - բ) միջոցով:
Թիմն ինքը բերեց ծալման պատճառաբանությունը։
Մենք բերում ենք միասնություն։ Թող + i (- նման լինի հանրահաշվի երկու երկուական գործողությունների N բազմությունների վրա 1c և 2c հզորություններով: Անհրաժեշտ է բերել, որ
((x, y(N) x + y = x(y)
Հաստատված է բավականաչափ x i թիվը նշանակալի է անանձնական y բնական թվերի S-ի միջոցով, որի համար հավասարություն
x+y=x(y (2)
հաղթել. Skіlki zgіdno 1с x+0=x і x(0=x, ապա
Ա) 0 (Ս
Հիմա թող y(S, որպեսզի հավասարությունը (2) հաղթի: Այսպիսով, x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y))(і x+y=x(y, ապա) ) աքսիոմներ 2 x+y(=x(y(, որպեսզի միտքը հաղթի)
B) y (S ® y ((S.)
Այսպիսով, 4-րդ աքսիոմով S=N, որն ավարտում է թեորեմի ապացույցը։
Իշխանություններին բերենք դոդավանյա.
1. 0 թիվը գումարման չեզոք տարրն է, ուստի a+0=0+a=a մաշկի բնական թվի համար:
Բերելով. Հանդարտություն a+0=a գոռում է մտքից 1s. Բերում ենք հավասարություն 0+a=a:
Զգալիորեն M անանձնական թվերի միջոցով, որոնք չեն հաղթի: Ակնհայտորեն, 0+0=0 և 0(M. Թող a(M, ապա 0+a=a.) Ապա 0+a(=(0+a)(=a(i, aka, a((M))) Otzhe, M=N, ինչպես և անհրաժեշտ է բերել:
Տվեք մեզ մի լեմա:
Լեմմա. a(+b=(a+b)(.
Բերելով. Թող M լինի բոլոր բնական թվերի անանձնական թիվը b, որոնց համար հավասարությունը a(+b=(a+b)(ճշմարիտ է a-ի ցանկացած արժեքի համար):
A) 0(M, բեկորներ a(+0=(a+0)(;);
C) b(M ® b ((M. Միանշանակ, քանի որ b(M և 2c) հնարավոր է)
a(+b(=(a(+b))(=((a+b)()(=(a+b()(,
այնպես որ, b ((M. Mean, M = N, ինչ ես պետք է բերեմ):
2. Բնական թվերի գումարումը կոմուտատիվ է:
Բերելով. Թող M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a))) Ասա ինձ, որ M=N. Գուցե.
Ա) 0 (M - արժեքը 1.
C) a (M ® a ((M)
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.)).
Միջին a((M, i աքսիոմից 4 M=N):
3. Ասոցիատիվ ավելացում.
Բերելով. Դե արի
M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)+c=a+(b+c))
Պետք է բերել, որ M=N. Այսպիսով (a+b)+0=a+b և a+(b+0)=a+b, ապա 0(M: Թող s(M, ապա (a+b)+c=a+(b+c) ) .
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c())).
Միջին c((M i ըստ աքսիոմի 4 M=N):
4. a+1=a(, de 1=0(.
Բերելով. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Եթե b(0), ապա ((a(N)a+b(a)):
Բերելով. Թող M=(a(a(N(a+b(a)) 0+b=b(0, ապա 0(M)). 2 p.1 (a+b)((a(հակառակ դեպքում a( +b) (ա)) նշանակում է a((M і M=N)):
6. Եթե b(0, ապա ((a(N)a+b(0))
Բերելով. Եթե a=0, ապա 0+b=b(0, եթե a(0 і a=c(, ապա a+b=c(+b=(c+b))((0. Այսպիսով, y լինի- որը ժամանակ ա) + բ (0.
7. (Տրիխոտոմիայի ծալման օրենքը). Ցանկացած բնական թվերի համար a և b երեք նմանություններից միայն մեկն է ճիշտ.
1) a = b;
2) b=a+u de u(0;
3) a=b+v de v(0.
Բերելով. Մենք ամրագրում ենք որոշակի a թիվ և M-ի միջոցով նշանակալի է բոլոր բնական թվերի b բազմապատկիչը, որի համար կարող ենք շահել 1), 2), 3 թվերից թեկուզ մեկը): Պետք է բերել, որ M=N. Թող b = 0: Եթե a=0, ապա 1), և եթե a(0, ընդամենը 3), ապա a=0+a: Օտժե, 0 (Մ.
Այժմ ընդունելի է, որ b(M, այնպես որ a-ի հակադարձը 1), 2), 3-ի հակադարձերից մեկն է: Եթե a=b, ապա b(=a(=a+1, ապա b-ի համար (օֆսեթը հաշվվում է 2): հաշվվում է) 2) Եթե a=b+v, ապա հնարավոր է երկու անկում. v=1 և v(1. Եթե v=1, ապա a=b+v=b», ապա b»-ի համար հակադարձ հարաբերակցությունը 1 է. վերցված և v(1, ապա v=c", de c(0 և ապա a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, de c(0, այնպես որ b-ի համար «մենք ունենք հակադարձ 3): Հետագայում բերեցինք, որ b (M ® b «(M, i, նաև M = N, այնպես որ a-ի և b-ի համար պետք է օգտագործել 1-ին համահունչներից մեկը), 2), 3) դրանք միանգամից չեն կարող հաղթել spіvvіdnoshennia 2) և 3), ապա փոքր b a = (a + u) + v = a + + (u + v), բայց դա անհնար է 5-ի և 6-ի հզորության միջոցով: 7-ի հզորությունը վերջանում է։
Առաջադրանք 1.3.1. Թող 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))).Ասա ինձ 3+5 = 8, 2+4=6.

1.4. ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ԲԱԶՄԱՑՆՈՒՄ.

Նշանակում 1. Բնական թվերի բազմապատկումը կոչվում է այնպիսի երկուական գործողություն (N բազմապատկիչի վրա, որի համար խելքը հաշվվում է.
1u. ((x(N) x(0=0);
2տ. ((x, y(N)x(y)=x(y+x):
Ես կրկին արդարացնում եմ սնուցումը. ինչու է նման վիրահատությունը և ինչպես է այն, ապա ո՞րն է միակ բանը:
Թեորեմ. Բնական թվերի բազմապատկման գործողությունը միայն մեկն է։
Ապացույցը կարող է իրականացվել նույն կերպ, ինչպես լրացուցիչ ապացույցների դեպքում։ Անհրաժեշտ է իմանալ այնպիսի արտահայտություն (:N(N®N), ինչպես
1) ((x(N)) ((x,0)=0;
2) ((x, y (N) ((x, y")) = ((x, y) + x):
Մենք ամրագրում ենք բավականին x թիվ: Հնարավոր է նաև մաշկի x(N іsnuvannya vіrazhennya fx: N®N s հեղինակություն
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
ապա ֆունկցիան ((x,y), որը հավասար է ((x,y)=fx(y)-ի և բավարարում է 1) և 2-րդ մտքերը):
Հետագայում թեորեմի ապացույցը հասնում է այդ միասնության հիմքի ապացուցմանը fx(y) ֆունկցիայի մաշկի x-ի համար՝ 1") և 2" հզորություններով): Սահմանենք N արժեքների քանակը հետևյալ կանոնի համաձայն.
ա) զրո թիվը սահմանվում է 0 համարի,
բ) քանի որ y թվին տրված է c թիվը, ապա y թիվը (c + x թիվը հավասար է):
Եկեք վերանայենք, որ նման պարամետրում մաշկի y թիվը կարող է լինել մեկ պատկեր, և կարևոր է, որ հնարավոր է N-ը վերածել N-ի: Հատկանշական է, որ M-ի միջոցով բոլոր բնական y թվերի անանձնականությունը կարող է ձևավորվել մեկ պատկեր: Մտածեք ա) որ 1-ին աքսիոմը պարզ է, ուրեմն 0(M. Թող y(M. Մտածեք b) և աքսիոմ 2 պարզ է, որ y((M. Այսպիսով, M=N, ուրեմն մեր պատճառը N է) N-ում, նշանակալիորեն fx-ով, ապա fx(0)=0 a)-ի և fx(y()=fx(y)+x-ով b-ի պատճառով):
Ավելի ուշ հաստատվեց բազմապատկման գործողության պատճառը։ Թույլ տվեք հիմա (i (- լինի երկուական գործողություններ N բազմապատկիչի վրա 1y և 2y հզորություններով: Մնում է ասել, որ ((x,y(N) x(y=x(y) Մենք ամրագրում ենք բավականին x թիվ և մի արա))
S=(y?y(N(x(y=x(y))
Բաց թողնել 1y x(0=0 і x(0=0, ապա 0(S. Թող y(S), ապա x(y=x(y))
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
i, ապա, y((S. Այսպիսով, S=N, ցածր i, թեորեմի ապացույցն ավարտվում է):
Զգալիորեն շատ սարկավագներ իշխանության.
1. Չեզոք տարրը սովորաբար 1=0(, ուրեմն ((a(N) a(1=1(a=a)) թիվն է։
Բերելով. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a)) Այս կերպ լրացվել է a(1=a) հավասարությունը: N) (1(a=a). Այսպիսով, 1 (0=0, ապա 0(M. Թող a(M, ապա 1(a=a)). Ապա 1(a(=1(a+1=a +1=) a(, i, otzhe, a( (Մ. Այսպիսով, 4 M=N աքսիոմներից, որն անհրաժեշտ էր բերել):
2. Տոնավաճառների հավաքածուի համար, ճիշտ բաշխիչ օրենք, ապա
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc).
Բերելով. Թող M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)c=ac+bc))), ապա 0(M. Այսպիսով, c(M, ապա (a+b) c=ac+bc), ապա (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a+b=(ac+a)+(bc+b)= ac(+bc(.) Այսպիսով, c((M і M=N):
3. Բնական թվերի բազմապատկումը կոմուտատիվ է, այսինքն՝ ((a,b(N) ab=ba):
Բերելով. Եկեք ճիշտ հասկանանք b-ի համար (N հավասար է 0-ի (b = b (0 = 0. Հավասար b (0 = 0) պարզ է 1y: Թող M = (b (b (N (0 (b = 0))) ) 0 =0, ապա 0(M. Այսպիսով, b(M, ապա 0(b=0, ապա 0(b(=0(b+0=0)) i, նույնպես, b((M. So, M= N, ապա հավասարություն 0(b=b(0 բերված է բոլորին b(N. Եկեք ավելի առաջ գնանք) S=(a (a(N(ab=ba))). a) (S, ապա ab = ba. Ապա a (b) = (a + 1) b = ab + b = ba + b = ba (, ապա a ((S. So S = N), որն անհրաժեշտ է բերել) .
4. Բազմակի բաշխիչ ծալքավորում: Tsya dominion viplivaє z տիրապետություն 3 և 4:
5. Հոգնակի թիվը ասոցիատիվ է, այսինքն՝ ((a, b, c (N) (ab) c = a (bc)):
Ապացուցումն իրականացվում է, ինչպես պահեստում, ինդուկցիան s.
6. Եթե a(b=0, ապա a=0 և b=0, ապա N-ն չունի զրո բաժանարար:
Բերելով. Թող b(0 і b=c(. Եթե ab=0, ապա ac(=ac+a=0, ապա նշանները հետևում են 6 կետի 3-ի հզորությանը, հետևաբար a=0):
Առաջադրանք 1.4.1. Թող 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))).Ասա ինձ ինչ 2(4) =8, 3(3=9.
Թող n, a1, a2, ..., an լինեն բնական թվեր: a1, a2,...,an թվերի գումարը կոչվում է թիվ, քանի որ նրա միջոցով նշվում է մտքերով. ցանկացած բնական թվի համար k
a1, a2,...,an թվերի ենթաբազմությունը բնական թիվ է, քանի որ այն նշվում է i-ով և նշանակվում է մտքերով՝ ; ցանկացած բնական թվի համար k
Ինչպես է այդ թիվը նշվում a-ի միջոցով:
Առաջադրանք 1.4.2. Ինչ բերեք
ա);
բ);
մեջ);
G);
ե);
ե);
և);
ը);
і) .

1.5. ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ԿԱՐԳԸ.

«Հետևում է» արտահայտությունը հակառեֆլեքսիվ է և հակասիմետրիկ, բայց անցողիկ չէ և չի հետևում այդ կարգին։ Մենք էապես փոխում ենք հերթականությունը՝ հենվելով բնական թվերի գումարման վրա։
Նշանակում 1. ա
Նպատակակետ 2. a(b (((x(N) b=a+x)).
Perekonaєmosya, scho vіdnoshennia Vіdznachimo deyaki vlastnostі բնական թվեր, povyazanih іz vіdnosinami іnоnostі ի nerіvnostі:
1.
1.1 a=b (a+c=b+c):
1.2 a = b (ac = bc):
1.3 ա
1.4 ա
1.5 a+c=b+c (a=b).
1.6ac=bc(c(0(a=b):
1.7a+c
1.8ac
1.9 ա
1.10 ա
Բերելով. 1.1 և 1.2 գերակայությունը բխում է ծալման և բազմապատկման գործողությունների յուրահատկությունից: Յակշչո ա
2. ((a(N) a
Բերելով. Օսկիլս a(=a+1, ապա a
3. Նվազագույն տարրը 0-ն է, իսկ ամենափոքրը՝ N\(0) տարրը 1-ն է։
Բերելով. Այսպիսով ((a(N) a=0+a, ապա 0(a, i, հետևաբար, 0-ը N-ի ամենափոքր տարրն է:) Այնուհետև, ինչպես x(N\(0), ապա x=y(, y( N ) , հակառակ դեպքում x = y + 1. Պատասխանն այն է, որ ((x (N \ (0)) 1 (x, ուրեմն 1-ը N \ (0)-ի ամենափոքր տարրն է):
4. Առաջարկություն ((a, b (N) ((n (N)) b (0 (nb> a)):
Բերելով. Ակնհայտորեն, ցանկացած բնական a-ի համար կա նաև n բնական թիվ, որը
a Նման թիվ є, օրինակ, n = a (. Dahl, եթե b (N \ (0), ապա 3 հզորության համար
1(բ(2)
Z (1) և (2) 1.10 և 1.4 լիազորությունների հիման վրա վերցնում են աա.

1.6. ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ԻՐԱԿԱՆ ԿԱՐԳԸ.

Նշանակում 1. Որպես պատվիրված բազմապատկիչի մաշկի ոչ դատարկ ենթաբազմապատկիչ (M; Վերանայեք, որ նոր կարգը գծային է: Թող a և b լինեն երկու տարր ամբողջ դասավորված բազմապատկիչից (M; Lema) . 1) ա
Բերելով.
1) a((b (b=a(+k, k(N)(b=a+k(, k((N\(0))))
2) a(b(b=a+k, k(N)(b(=a+k(, k((N\(0))))
Թեորեմ 1. Բնական թվերի բազմության բնական կարգը ավելի բարձր կարգ է։
Բերելով. Թող M-ը դատարկ լինի անանձնական բնական թվերից, իսկ S-ը N-ի ստորին միջակայքերի աննյութականությունն է, ուստի S = (x (x (N (((m (M)) x (m)). հաջորդը՝ 0(S): Յակբին հաղթական էր, իսկ Ումովի մյուս աքսիոմները 4 n(S(n((S, ապա փոքր b S=N)):
Թեորեմ 2. Եթե անանձնական բնական թվերի գազանի համար կա ոչ դատարկ սահման, ապա կարող է լինել ամենամեծ տարրը:
Բերելով. Թող M լինի ոչ դատարկ սահմանը անանձնական բնական թվերի գազանի միջև, իսկ S-ը վերին կորդոնների անանձնականությունն է, ուստի S=(x(x(N((m(M)) m(x))): Զգալիորեն x0-ի միջոցով y S-ի ամենափոքր տարրը. Եթե m
Առաջադրանք 1.6.1. Ինչ բերեք
ա);
բ);
մեջ):
Առաջադրանք 1.6.2. Արի (- բնական թվերի դակ հզորություն և կ-ն բնական թվից ավելի. Բեր ինչ
ա) բնական թվի նման լինելը կարող է լինել հզորություն (ինչպես, օրինակ, միայն 0-ն կարող է ուժ լինել ցանկացած n-ի համար (0
բ) արդյոք դա բնական թիվ է, մեծ կամ հավասար է k-ին, maє հզորությունը (, եթե միայն k maє tsyu հզորությունը i ցանկացած n (k (n) բացթողման համար, scho n maє հզորություն (, հաջորդ, scho համարը n + 1 նաև Վոլոդյա tsієyu իշխանությունը) ;
գ) անկախ նրանից, թե դա բնական թիվ է, մեծ կամ հավասար է k-ին, կարող է ունենալ հզորություն (քանի որ միայն k-ն կարող է հզորություն ունենալ, և ինչի համար էլ n-ը (n>k) նպաստ է, որ բոլոր t թվերը, որոնք նշանակված են մտավոր k-ով (t):

1.7. Ինդուկցիայի ՍԿԶԲՈՒՆՔ.

Բնական թվերի համակարգի Vikoristovuyuchi povryadkovannost, կարող եք բերել նման թեորեմ, ապացուցման մեթոդների հիմքերից մեկը, վերնագրերը մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով:
Թեորեմ (ինդուկցիայի սկզբունք). Usі vyslovlyuvannya z հաջորդական A1, A2, ..., An, ... є іstnymi, yakshcho vykonuyutsya միտքը:
1) A1-ը ճիշտ է.
2) ինչպես օգտագործել Ak-ը k-ի հետ
Բերելով. Թույլատրելի է չընդունել՝ մտածեք 1) և 2) հաղթել, բայց եթե թեորեմը ճիշտ չէ, ապա մենք թույլ չենք տա є անանձնական M = (m (N (N \ (0), Am - hibno)): տարր, որն իմաստալից է n-ի առումով մտավոր 1) A1-ը ճշմարիտ է, իսկ An-ը վատ է, ապա 1(n, i, aka, 1)
Ինդուկցիայի մեթոդով հաստատման համար կարելի է տեսնել երկու փուլ. Առաջին փուլում, որը կոչվում է ինդուկցիայի հիմք, շրջվում է մտքի մտածելակերպը 1): Բեմի մյուս կողմից, որը կոչվում է ինդուկցիոն խարույկ, միտքը բերվում է 2): Ամենից հաճախ վիպադներ են անցնում, եթե Անի ճշմարտությունն ապացուցելու համար հնարավոր չէ օգտագործել Ակի ճշմարտության հաղթականությունը k at k.
հետույք. Անհավասարություն բերելու համար Վճարելի = Սկ. Անհրաժեշտ է բերել Ak=(Sk) ածանցյալի ճշմարտացիությունը: Դեդուկցիայի հաջորդականությունը, ինչպես նկարագրված է 1-ին թեորեմում, կարող է առաջանալ A(n) պրեդիկատից, որը վերագրված է N բազմությանը կամ Nk=(x(-րդ ենթաբազմությանը: x(N, x(k)), որտեղ k-ը հաստատուն բնական թիվ է:
Սոկրեմա, եթե k=1, ապա N1=N(0), և համարակալումը կարող է իրականացվել լրացուցիչ հավասարումների համար՝ A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A(n), .. Եթե k(1, ապա առաջացման հաջորդականությունը կարելի է վերցնել լրացուցիչ հավասարություններից A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n-1), . Այդպիսի արժեքների դեպքում 1-ին թեորեմը կարող է ձևակերպվել այլ ձևով:
Թեորեմ 2. A(m) պրեդիկատը ճիշտ է նաև Nk բազմապատկիչի վրա, այնպես որ դուք գիտեք.
1) A(k) ճիշտ է;
2) ինչպես օգտագործել A(m)-ը m-ի համար
Առաջադրանք 1.7.1. Ասեմ ձեզ, որ այս կարգի հավասարությունը որոշում չի կայացնում բնական թվերի պատկերասրահում.
ա) x + y = 1;
բ) 3x = 2;
գ) x2 = 2;
դ) 3x+2=4;
ե) x2+y2=6;
զ) 2x+1=2y.
Առաջադրանք 1.7.2. Բերե՛ք մաթեմատիկական ինդուկցիայի հաղթական սկզբունքը.
ա) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
բ);
մեջ);
G);
ե);
ե).

1.8. VIDCHITANNYA I DELENNYA ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐ.

Նշանակումը 1. a և b բնական թվերի տարբերությունն այնպիսի բնական x թիվ է, որ b+x=a: a և b բնական թվերի տարբերությունը նշվում է a-b-ով, իսկ տարբերության տարբերության գործողությունը կոչվում է տարբերություն։ Vіdnimannya-ն հանրահաշվի գործողություն չէ: Tse vyplyvaє iz nastupnoї թեորեմ:
Թեորեմ 1. Մանրածախ a-b-ն միակ տարբերությունն է և միայն մեկը, եթե b(a. Եթե տարբերություն կա, ապա միայն մեկը):
Բերելով. Եթե b(a, ապա հղումի նշանակման համար (եթե դա x բնական թիվ է, ապա b+x=a: Ale ce i նշանակում է, որ x=a-b. որ b + x = a. Alece նշանակում է, որ b (a .
Մենք բերում ենք միասնություն մանրածախ a-b. Թողեք a-b=x և a-b=y: Նույնը վերաբերում է 1 b+x=a, b+y=a նշանակումներին։ Zvіdsi b+x=b+y і, նույնպես, x=y.
Նպատակակետ 2. Երկու բնական թվերի a և b(0) կոտորակը կոչվում է c բնական թիվ, որ a = bc:
Թեորեմ 2. Այն ավելի մասնավոր է, քան մեկը:
Բերելով. Արի = x որ = y: Նույնը վերաբերում է 2 a=bx և a=by նշանակումներին: Zvіdsi bx=by і, նույնպես, x=y.
Հատկանշական է, որ այդ առիթով իրականացված գործողությունները կարելի է բառացիորեն նույն կերպ հաշվել, ինչպես դպրոցի օգնականների դեպքում։ Tse-ն նշանակում է, որ 1-7-րդ պարբերություններում Պեանոյի աքսիոմների հիման վրա դրվել է բնական թվերի թվաբանության տեսական հիմքը, և հետագա զարգացումները հաստատվել են մաթեմատիկայի ավագ դպրոցի դասընթացում և «Հանրահաշիվ և թիվ» համալսարանական դասընթացում։ տեսություն».
Առաջադրանք 1.8.1. Բերե՛ք նման պնդումների արդարացիությունը՝ ընդունելով, որ բոլոր տարբերությունները, որոնք նշված են նրանց բանաձևերում, պարզ են.
ա) (a-b)+c=(a+c)-b;
բ) (a-b) (c = a (c-b (c);
գ) (ա+բ)-(գ+բ)=ա-գ;
դ) a-(b+c)=(a-b)-c;
ե) (ա-բ)+(գ-դ)=(ա+գ)-(բ+դ);
ե) (ա-բ)-(գ-դ)=ա-գ;
է) (ա+բ)-(բ-գ)=ա+գ;
ը) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
դեպի) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
ժա) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
լ) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
մ) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
ժե) a2-b2=(a-b)(a+b).
Առաջադրանք 1.8.2. Առաջիկա դժվարությունների արդարությունը բերել՝ ընդունելով, որ ամեն ինչ մասնավոր է, որ դրանք նշված են տվյալ բանաձեւում, պարզ է.
ա); բ); մեջ); G); ե); ե); և); ը); i); դեպի); լ); մ); n); մասին); P); Ռ).
Առաջադրանք 1.8.3. Ապացուցել, որ երկու տարբեր բնական լուծումների մայրերը չեն կարող այդքան հավասար լինել. ա) ax2+bx=c (a,b,c(N); բ) x2=ax+b (a,b(N); գ) 2x= ax2 + b(a,b(N).
Առաջադրանք 1.8.4. Բացահայտել հավասար բնական թվերը.
ա) x2+(x+1)2=(x+2)2; բ) x + y = x (y; c); դ) x2+2y2=12; ե) x2-y2 = 3; ե) x + y + z = x (y (z.
Առաջադրանք 1.8.5. Ապացուցել, որ բնական թվերի ոլորտում նման հավասար լուծում չկա՝ ա) x2-y2=14; բ) x-y = xy; մեջ); G); ե) x2=2x+1; զ) x2 = 2y2.
Առաջադրանք 1.8.6. Անհավասարության բնական թվերի բացահայտում. ա) ; բ); մեջ); դ) x+y2 Առաջադրանք 1.8.7. Ասա ինձ, որ բնական թվերի ոլորտում spiving-ի սկիզբը արդար է. ա) 2ab(a2+b2; բ) ab+bc+ac(a2+b2+c2; գ) c2=a2+b2 (a2+b2). +c2 1.9 ԿԻԼԿԻՍՆԻԻ ՄԱՀ բնական թվեր.
Իրոք, բնական թվերը պետք է տեղադրվեն որպես տարրերի ռահունկայի գլխավոր աստիճան, և որոնք պետք է տեսականորեն տեղավորվեն Պեանոյի կողմից բնական թվերի հաշվում:
Նպատակակետ 1. Անանուն (x(x(N, 1(x(n)) կոչվում է ի տարբերություն բնական շարքի) և նշվում է (1; n () միջոցով):
Նշանակում 2. Kіntsevoj բազմապատկիչ կոչվում է արդյոք այն բազմապատկիչ է, հավասար է բնական շարքի ցանկացած հաշվիչին, ինչպես նաև դատարկ բազմապատկիչ: Bezlich, ինչպես ոչ є kіtsevim, կոչվում է unskinned.
Թեորեմ 1 դեպի թացը(Tobto podmnozhini, vіdmіny vіd A):
Բերելով. Ինչպես A=(, թեորեմը ճշմարիտ է, դատարկ ենթաբազմապատիկների դատարկ բեկորներ չկան: Եկեք A((і A) հավասարապես կոշտ (1,n((A((1,n()).)) Մենք կարող ենք ապացուցել թեորեմ ինդուկցիայի միջոցով n-ի վրա Յակշո n= 1, այնուհետև A((1,1(, այնուհետև մենք օգտագործում ենք A բազմապատկիչի մեկ ենթաբազմապատկիչը դատարկ բազմապատկիչ է: Պարզ էր, որ A(i, նույնպես, n=1-ի համար): , թեորեմը ճշմարիտ է Ենթադրենք, որ թեորեմը ճշմարիտ է n=m-ի համար, ապա բոլոր տերմինալների բազմապատկիչները, հավասար ուժերով (1,m(, մի մտածեք հավասար ուժի մասին). հակադարձ)) (1,m+1(A-ում Եթե ((k)-ը հայտնի է ak-ով, k=1,2,...,m+1, ապա անանձնական Ա-ն կարելի է գրել որպես A=(a1, a2, ...)) , am, am+: 1) Մեր նպատակն է ապացուցել, որ A-ն չունի հավասարապես ուժեղ հզորության ենթաբազմապատիկներ:
Դիտարկենք A1 = A (am + 1) և B1 = B (am + 1) բազմապատկիչները: Քանի որ f(am+1)=am+1, ապա f zdіysnyuvatime ֆունկցիան կենսաակտիվ կերպով ցուցադրում է A1 բազմապատկիչը՝ B1 բազմապատկիչով: Այս աստիճանում անանձնական A1-ը հավասար կլինի իր հզոր ենթաբազմաթիվ B1-ին: Ale oskіlki A1((1,m(, չեն փոխարինում ինդուկցիայի նպաստը):
Եզրակացություն 1. Բնական թվերի բացակայությունը սահմանափակված չէ։
Բերելով. Պեանոյի աքսիոմներից պարզ է դառնում, որ S:N®N\(0), S(x)=x(օբյեկտիվորեն) խմորվում է։
Եզրակացություն 2. Եթե kіntsev-ի բազմապատկիչ A-ն դատարկ չէ, ապա այն հավասար է բնական շարքի մեկ և միայն մեկին:
Բերելով. Թող A((1,m(і A((1,n(. Todі)) (1,m((1,n(, թեորեմ 1-ի շնորհիվ պարզ է), ուրեմն m=n.)):
Վերջին 2-ը թույլ է տալիս մուտքագրել նշանակում:
Նշում 3. Որպես A((1,n(, ապա բնական թիվը n կոչվում է A բազմապատկիչի տարրերի քանակ, և A և (1,n) բազմապատկիչների միջև փոխադարձ միանշանակ նմանություն հաստատելու գործընթացը (կոչվում է թիվ. տարրերի բազմապատկիչ Ա. Դատարկի բազմապատիկի բնական տարրերի թիվը մուտքագրեք) զրո թիվը.
Գործնական կյանքի համար ռահունկայի նշանակության մեծության մասին խոսեք զայվե.
Հարգանքներով, իմանալով բնական թվի հաշվարկը, հնարավոր կլիներ բազմապատկման գործողությունը հաշվարկել հենց գումարման միջոցով.
.
Առայժմ մենք այդպես չուղարկեցինք՝ ցույց տալու համար, որ թվաբանությունն ինքնին անհրաժեշտ չէ հաշվարկային իմաստով.

1.10. ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԸ ՈՐՊԵՍ ԴԻՍԿՐԵՏ ՀԱԿԱՌԱԿ Է ԿԱՐԳԱՎՈՐ ԲԱԳԱՏՈ:

Մենք ցույց ենք տվել, որ անանձնական բնական թվերը համատեղելի են բնական կարգի և ամբողջ կարգի հետ։ Եթե այո, ((a(N) a
1. ցանկացած թվի համար a (N іsnuє sudіdnє նրա հետևից եկող 2. ցանկացած թվի համար a(N \ (0) іsnuє suіdnє yoma ձեր առջև) Անանձնականի ամբողջ կարգը (A;()) 1 և 2 ուժերով. կոչվում է հիշողության դիսկրետ ցիկլ, ըստ երևույթին, 1 և 2 հզորություններով դասավորությունը բնական թվերի համակարգի բնորոշ ուժն է: i տարրը, ինչպես նաև աքսիոմ 1, հաղթում է Պեանոն):
Այսպիսով, դա նման է գծային կարգի, ապա ցանկացած տարրի համար a կա մեկ տարր, որը հետևում է դրան և ոչ ավելի, քան մեկ առաջադիմական տարր: մտածեք.
1) a0(M, որտեղ a0-ը A-ի ամենափոքր տարրն է.
2) a(M (a((M.)))
Ասենք, որ M=N. Ընդունելին չի ընդունվում, ապա A\M((. Հատկանշական է, որ b-ի միջոցով ամենափոքր տարրը A\M-ում:
Բերեցինք նաև բնական թվերի համակարգի այլ նշանակման հնարավորությունը։
Նշանակում. Բնական թվերի համակարգը կոչվում է, թե արդյոք բազմակիությունը կարգված է որպես ամբողջություն, որի վրա հաշվում են մտքերը.
1. ցանկացած տարրի համար դրա հետևում կա հաջորդ առաջադիմող տարրը.
2. ցանկացած տարրի համար՝ ամենաքիչ տեսանելի տարրը, հիմնական դատական տարրը։
Іsnuyut іnshі pіdhodi նպատակակետ համակարգի բնական թվերի, որի վրա մենք չենք այստեղ zupinaєmosya:

2. ԾԻԼԻ ԵՎ ՌԱՑԻԱԼ ԹՎԵՐ.

2.1. ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ՆՇԱՆԱԿՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ ՀԶՈՐՈՒԹՅՈՒՆԸ.
Թվում է, թե ինտուիտիվ մտքի մեջ ամբողջ թվեր չկան, և մատանին կարողանում է ծալել այդ բազմապատկիչը, ավելին, մատանին բնական թվերի վրեժը լուծելու համար է։ Հասկանալի էր, որ kіltsі tsіlih թվերում հայհոյանք չկա, ինչպես դա վրեժ կլուծի բոլոր բնական թվերի համար: Թվում է, թե իշխանության qi-ն կարող է հիմք հանդիսանալ թվերի համակարգի խիստ նշանակման համար: 2.2-րդ և 2.3-րդ պարբերություններում կբերվի նման նշման ճիշտությունը:
Նշանակում 1. Թվերի համակարգը կոչվում է հանրահաշվական համակարգ, որի համար միտքն է.
1. Հանրահաշվական համակարգ є kіltse;
2. Պետք է հաշվի առնել բնական թվերի անանունությունը, ընդ որում, այդ բազմապատկման գումարումը kіltsі ենթաբազմապատիկի վրա վերցված է բնական թվերի այդ բազմապատկիչի գումարումից, tobto.
3. (umova minimality): Z-ը նվազագույնն է 1 և 2 հզորությամբ բազմապատկիչի ներառման համար։ Այսինքն՝ բնական թվերի վրեժ լուծելու համար, ապա Z0=Z։
Նշանակումը 1-ին կարող է տրվել աքսիոմատիկ բնույթ: Այս աքսիոմատիկ տեսության առաջին հասկացությունները կլինեն.
1) Անանուն Z, որի տարրերը կոչվում են ամբողջ թվեր։
2) Հատուկ ամբողջ թիվ, քանի որ այն կոչվում է զրո և նշվում է 0-ի միջոցով:
3) Երրորդական vіdnosini + ta (.
N-ի միջոցով, ինչպես միշտ, անանձնական բնական թվերը նշանակվում են ծալումներով (և բազմապատկումներով: Փաստորեն, մինչև 1 նշանակումը, ամբողջ թվերի համակարգը կոչվում է հանրահաշվի այդպիսի համակարգ (Z; +, (, N. ), որի համար հաղթական են հետևյալ աքսիոմները).
1. (Kіltsya-ի աքսիոմներ):
1.1.
Այս աքսիոմը նշանակում է, որ + є-ը հանրահաշվի երկուական գործողություն է Z բազմության վրա։
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c)).
1.3. ((a, b (Z) a + b = b + a).
1.4. ((a(Z) a+0=a, ուստի 0 թիվը կարելի է ավելացնել որպես չեզոք տարր):
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0), ուստի մաշկի ամբողջ թվի համար կա հակառակ թիվը a()):
1.6. ((a,b(Z))((! d(Z) a(b=d)).
Այս աքսիոմը նշանակում է, որ բազմապատկումը հանրահաշվի երկուական գործողություն է Z բազմապատկիչի վրա։
1.7. ((a, b, c(Z)) (a(b)(c = a((b(c))).
1.8. ((a, b, c (Z) (a + b) (c = a (c + b (c, c ((a + b)) = c (a + c (b))
2. (Z-ի և բնական թվերի համակարգի կապի աքսիոմներ):
2.1. N(Z.
2.2. ((a, b (N) a + b = a (b).
2.3. ((a, b(N)) a(b = a(b).
3. (մինիմումի աքսիոմա):
Եթե Z0-ը Z և N(Z0) օղակի վերջն է, ապա Z0=Z:
Թվերի համակարգի զգալի ուժի ակտեր:
1. Կաշիների թիվը կարելի է ներկայացնել՝ նայելով երկու բնական թվերի տարբերությունը։ Տեսքը երկիմաստ է, ընդ որում՝ z=a-b և z=c-d, de a, b, c, d (N, երկուսն էլ և միայն եթե a+d=b+c)։
Բերելով. Հատկանշական է, որ Z0-ի միջոցով բոլոր ամբողջ թվերի բացակայությունը, դրանցից որևէ մեկի մաշկը, կարծես երկու բնական թվեր: Ակնհայտորեն, ((a(N) a=a-0, i, aka, N(Z0):
Եկեք գնանք x,y(Z0, ապա x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N. Հետո x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--(b + c )=(a(d)-(b(c)), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d))- ( a(d(b(c). Տեսանելի է, որ x-y, x(y(Z0 i, այսուհետ, Z0-ը Z օղակի ենթաբազմությունն է՝ անանձնական N.-ի վրեժ լուծելու համար):
2. Ամբողջ թվերի օղակը միասնությամբ կոմուտատիվ օղակ է, իսկ օղակի զրոն 0 բնական թիվն է, իսկ օղակի միասնությունը՝ 1 բնական թիվը։
Բերելով. Թող x,y(Z. Վավերական է 1 հզորության համար x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N.) Այնուհետև x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)- (ad) +bc)=(a(c(b(d))-(a(d(b(c)), y(x=(c-d))(a-b)=(ca+db)-(da+ cb) )=(c( a(d(b)-(d(a(c(b))).Ուրեմն բնական թվերի բազմապատկման փոխադարձության շնորհիվ այն համապատասխանում է xy=yx-ին:Բազմապատկման փոխադարձությունը բերվել է Z օղակը 2 vyplyvayut վիրավորական ակնհայտ հավասարություններից, որոնցում 0-ի և 1-ի միջոցով հայտնի են զրո և մեկ բնական թվերը՝ x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0= (a+0)+(-b) =(a(0)+ (-b) = a-b = x x (1 = (a-b) (1 = a (1-b (1 = a (1-b (1 = ա-բ = x)))

2.2. ІSNUVANNYA ՀԱՄԱԿԱՐԳ CYLIKH ԹԻՎ.

Թվերի համակարգին վերագրվում է 2.1՝ որպես նվազագույն օղակի ընդգրկման համար, որը վրեժ է լուծում բնական թվերի համար։ Vikaє pitanya - ինչ է նույն kіltse: Այլ կերպ ասած՝ s 2.1 աքսիոմների համակարգը գերպարզեցված է։ Աքսիոմների համակարգի ոչ գերակայությունը բերելու համար անհրաժեշտ է մեկնաբանություն առաջացնել հստակ ոչ վերահսկելի տեսության մեջ։ Նման տեսությունը հաշվի է առնվում բնական թվերի թվաբանությամբ։
Կրկին անհրաժեշտ է բացատրել աքսիոմների համակարգի մեկնաբանությունը 2.1. Թողնենք անանձնականին։ Ում համար անանձնականը զգալիորեն երկու երկուական գործողություն է և երկուական կարգավորում: Եթե զույգերի այդ բազմապատկման գումարումը կրճատվում է բնական թվերի այդ բազմապատկման գումարմանը, ապա բնական թվերի համար այդ զույգերի բազմապատկման գումարումը կոմուտատիվ է, ասոցիատիվ, իսկ բազմապատկումը բաշխման առումով նման է գումարմանը։ Եկեք վերանայենք, օրինակ, զույգերի գումարման փոխադարձությունը՝ +===+։
Եկեք նայենք vіdnoshennia-ի հզորությանը: Oskіlki a + b = b + a, ապա ~, ապա կարգավորում ~ ռեֆլեքսիվ: Եթե ~, ապա a+b1=b+a1, ապա a1+b=b1+a, ապա ~: Otzhe, setting ~ սիմետրիկ. Առաջ գնալ ~ i ~. Վավեր են նաև a+b1=b+a1 և a1+b2=b1+a2 հավասարումները։ Հավասարությունների թվերը գումարելով՝ հանում ենք a + b2 = b + a2, ապա ~: Otzhe, setting ~ նաեւ անցողիկ і, otzhe, є համարժեք. Համարժեքության դասը, որը վրեժխնդիր է զույգին, կորոշվի: Այս աստիճանում համարժեքության դասը կարող է նշանակվել ձեր սեփական զույգը և դրա հետ միասին
(1)
Համարժեքության բոլոր դասերի անանունությունը նշանակալի է միջոցով: Մեր խնդիրն է ցույց տալ, որ ծալման և բազմապատկման որոշակի գործողության դեպքում բազմապատկիչը կլինի աքսիոմների համակարգի մեկնաբանությունը 2.1-ից: Անդեմների վրա գործողությունները նշանակալի են հավասարումներով.
(2)
(3)
Եթե i է, ապա N բազմապատկիչի վրա վավեր է a+b(=b+a(, c+d(=a+c(,)) հավասարությունը, հավասարությունը (a+c)+(b(+d( )=(b ) +d)+(a(+c(), որը (1-ի) ուժով ընդունելի է, ինչը Tse նշանակում է, որ (2) համարժեքությունը նշանակում է բազմապատկիչի վրա գումարելու եզակի գործողություն, այնպես որ չպառկել զույգերի ընտրության մեջ, ինչը նշանակում է լրացումներ) և դասերի բազմապատկման եզակիությունը Այս կերպ (2) և (3) հավասարությունները վերագրվում են հանրահաշվի երկուական գործողությունների բազմությանը։
Oskіlki-ի ավելացման և բազմապատկման դասերը կարող են կառուցվել մինչև ծալովի և բազմապատկելու զույգեր, այս գործողությունները փոխադարձ են, ասոցիատիվ և բազմապատկող դասերը բաշխվածորեն հեշտ ծալովի են: Հավասարություններից սահմանվում է, որ դասը ծալման եղանակի չեզոք տարրն է, իսկ մաշկի դասը՝ բազմացող մեկ դասը։ Այսպիսով, բազմապատկիչը շրջանագիծ է, ուստի 2.1-ից 1 խմբի աքսիոմները հաշվվում են:
Եկեք նայենք kіl'tsі podmnozhina-ին: Եթե a(b), ապա (1)-ի միջոցով, և եթե a
Անձնականի վրա երկուականը նշանակալից է (հետևում է (; ինքն իրեն հետևում է դասին, հետևում է դասին, de x (є բնական թիվ, գալիս է x-ից հետո, դասակարգից հետո, բնականաբար նշանակում է միջով): Դասը հետևում է դրան, դասը i դեռ միայն մեկն է.
Եկեք նայենք պատկերին. Ակնհայտ է, որ խմորման նպատակը բիակտիվ է, և միտքը f(0)= , f(x()==(=f(x)(.)). ;, () Այլ կերպ ասած՝ հանրահաշիվ (;, () Պեանոյի աքսիոմների համակարգի մեկնաբանություն է: Բխում է իզոմորֆ հանրահաշիվներից, այնպես որ կարող եք հարգանքով համարել, որ անանձնական N-ն ինքնին ենթաբազմապատկված է: ) \u003d a + c, a (c \u003d ac, ինչը նշանակում է, որ դրա գումարումը Բնական թվերի գումարումներին և բազմապատկումներին ավելացվում է բազմապատկում kіltsi-ում N-ի ենթաբազմապատկման վրա:Այսպիսով տեղադրվում է 2-րդ խմբի աքսիոմների գումարումը:
Արի Z0 - եղիր kіltse pіdkіltse-ի նման, scho վրեժխնդիր լինել անանձնական N i-ից: Հարգանքներով՝ scho th, otzhe,. Ale oskіlki Z0 - a kіlce, ապա այս դասերի տարբերությունը կարող է լինել նաև kіltsu Z0-ի հետ: З հավասարումներ -= (= պիտանի, շո (Z0 і, aka, Z0=. բերված է 2.1 կետի աքսիոմների համակարգի ոչ գերակայությունը)։

2.3. ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ՄԻԱՍՆՈՒԹՅՈՒՆ.

Ես ունեմ միայն մեկ թվային համակարգ իմ ինտուիտիվ մտքի համար: Tse-ն նշանակում է, որ աքսիոմների համակարգը, որը նշանակում է թվերի թիվը, կարող է լինել կատեգորիկ, ուստի աքսիոմների համակարգի մեկնաբանությունը լինի իզոմորֆ: Կատեգորիկ և նշանակում է, որ մինչև իզոմորֆիզմը գոյություն ունի միայն մեկ թվային համակարգ: Perekonayemosya, scho tse ճշմարիտ այնքան.
Թող (Z1;+,(,N) և (Z2;(,(,N)) լինեն 2.1 կետի աքսիոմների համակարգի երկու մեկնաբանություններ.) լցված են անզուսպ և կրեմով Z1 օղակի x և y տարրերի համար: արդարություն
(1)
. (2)
Հարգանքներով՝ N(Z1 և N(Z2) բեկորները, ուրեմն
, a(b=a(b. (3)
Թող x(Z1 і x=a-b, de a,b(N. Սահմանեք x=a-b տարրը u=a(b, de) տարրին, աստղերը z (3) a(d=b(c і, otzhe, a(b=c(d)) tse-ն նշանակում է, որ մեր կարողությունը ընկնելու որպես x տարրի ներկայացուցիչ՝ որպես երկու բնական թվերի և cim-ի տարբերություն, ցույց է տրված f-ում՝ Z1® Z2, f(a-b)=a(b): Հասկանալով, որ v(Z2 і v=c(d), ապա v=f(c-d).) f արտահայտությունը sur'jective է:
Եթե x = a-b, y = c-d, de a, b, c, d (N і f (x) = f (y), ապա a (b = c (d): Alethodі a (d = b (d, c) ) ուժ (3) a+d=b+c, ուրեմն a-b=c-d Մենք բերել ենք, որ x=y-ի հավասարությունն ակնհայտ է f(x)=f(y) հավասարությունից, ապա արտահայտությունը. f-ն անգործուն է:
Եթե a(N, ապա a=a-0 і f(a)=f(a-0)=a(0=a.) Այսպիսով, բնական թվերը ոչ բռնի են, երբ f-ը չափազանցված է: Հեռու, ինչպես x=a-b , y=c-d , de a, b, c, d (N, ապա x + y = (a + c) - i f (x + y) = (a + c) ((b + d) = (a (c) ) (( b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y)). Հավասարության (1) արդարությունն ապացուցված է. Շրջելի հավասարություն (2) սանդղակներ f( xy)=(ac+ bd) )((ad+bc)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))), իսկ մյուս կողմում f(x)(f( y))=(a (b)((c (d)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))). Այսպիսով, f(xy)=f(x) (f(y)) , որն ամբողջացնում է n. աքսիոմների համակարգի կատեգորիկության ապացույցը) 2.1.

2.4. ՌԱՑԻԱԼ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ԱՐԺԵՔԸ ԵՎ ՀԶՈՐՈՒԹՅՈՒՆԸ.

Անանուն Q ռացիոնալ թվեր տվյալ ինտուիտիվ rozumіnnі դաշտում, որոշ անանձնական Z ամբողջ թվերի համար є pіdkіltsem: Եթե այո, ապա ակնհայտ է, որ Q0-ը Q դաշտի ենթադաշտ է, թվերի վրեժ լուծելու համար, ապա Q0 = Q:
Նշանակում 1. Ռացիոնալ թվերի համակարգը հանրահաշվի այնպիսի համակարգ է (Q; +, (; Z), որի համար օգտագործվում է միտքը.
1. հանրահաշվական համակարգ (Q; +, () є դաշտ;
2. Ring Z ամբողջ թվեր є pіdkіltsem դաշտը Q;
3. (նվազագույնը), եթե Q դաշտի Q0 ենթադաշտը վրեժ է լուծում Z ենթադաշտից, ապա Q0=Q:
Մի խոսքով, ռացիոնալ թվերի համակարգը նվազագույնն է ներառված դաշտի համար՝ թվերի քանակի վրեժ լուծելու համար: Դուք կարող եք ավելի շատ զեկույցներ տալ ռացիոնալ թվերի համակարգի աքսիոմատիկ սահմանման վերաբերյալ:
Թեորեմ. Մաշկի ռացիոնալ x թիվը կարող է ներկայացվել որպես մասնավոր երկու ամբողջ թվեր, ուստի
, de a, b (Z, b (0. (1)
Արտաքին տեսքը երկիմաստ է, ընդ որում՝ de a, b, c, d (Z, b (0, d (0)):
Բերելով. Զգալիորեն Q0-ի առումով կան անանձնական ռացիոնալ թվեր, ինչպես երևում է (1): Հաշտեցումն ավարտելու համար Q0 = Q. Դե ա, բ, գ, դ (Z, b (0, d (0): Այնուհետև դաշտի հզորության համար հնարավոր է՝ , իսկ c-ի համար. (0) Q0 միջինը փակ է ոչ զրոյական թվի վրա, i, ապա, Q դաշտի є ենթադաշտը: Այսպիսով, եթե a թիվը ներկայացված է տեսադաշտում, ապա Z (Q0. Քանի որ այն նվազագույն և ակնհայտ է. , Q0 = Q. Ակնհայտ թեորեմի մյուս մասի ապացույցը։

2.5. ՌԱՑԻԱԼ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ՀԻՄՆԱԴՐՈՒՄԸ.

Ռացիոնալ թվերի համակարգը նշանակված է որպես թվերի քանակի վրեժ լուծելու նվազագույն դաշտ: Zvichayno vinikaє pitanya - chi іsnuє այնպիսի դաշտ, որ chi є є nesuperechlivuyu աքսիոմների համակարգ, scho vyznaє ռացիոնալ թվեր: Ոչ գերակայությունը հաստատելու համար անհրաժեշտ է առաջացնել աքսիոմների համակարգի մեկնաբանություն: Ո՞ւմ մոտ հնարավոր է պտտել ամբողջ թվերի համակարգի հիմքը: Եկեք մի պահ վերծանենք Z(Z\(0) որպես անփոփոխ թիվ: Հանրահաշվի երկու երկուական գործողությունները նշանակալի են բազմապատկիչի վրա:
, (1)
(2)
այդ երկուականը
(3)
Dotsіlnіst sama նման նշանակումը գործառնությունների եւ vіdnosinі ~ vyplyaє z որ ի іy іyіnpretatsії, ինչպես ես եմ լինելու, մի երկու բառ ավելի մասնավոր են:
Հեշտ է գերագնահատել, որ (1) և (2) գործողությունները փոխադարձ են, ասոցիատիվ և բազմապատկվում են բաշխման եղանակով: Իշխանության բոլոր ուժերը հարգվում են թվերի այդ բազմապատկման ավելացման ավելի բարձր հզորությունների հիման վրա: Պերևերիմո, օրինակ, բազմակի զույգերի ասոցիատիվությունը.
Նմանապես, վերանայվում է, որ տարբերությունը ~ є համարժեք է, և, հետևաբար, անանձնական Z(Z \ (0)) բաժանվում է համարժեքության դասերի: i զույգերով, ըստ մտքի (3) մենք վերցնում ենք.
. (4)
Մեր խնդիրն է նշանակել այդ բազմապատկիչը բազմապատկիչի ծալելու գործողությունը, որպեսզի այն լինի դաշտ: Գործողությունների քանակը նշանակալի է հավասարումներով.
, (5)
(6)
Այսպիսով, այնուհետև ab1=ba1 և այնուհետև cd1=dc1, այնուհետև բազմապատկելով հավասարության արժեքները, մենք վերցնում ենք (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), և tse-ն նշանակում է, որ Tse-ն մեզ կփոխի այն մեկից, որը կա. հավասար (6) ) արդյունավետորեն նշանակում է միանշանակ գործողություն անանձնական դասի վրա, ինչպիսին է մաշկի դասի ներկայացուցիչների ընտրության մեջ ընկնելը: Նմանապես, վերանայվում է գործողության եզակիությունը (5):
Քանի որ դասերի գումարումը և բազմապատկումը կարող են կրճատվել մինչև ծալովի և բազմապատկվող զույգերի, ապա (5) և (6) գործողությունները փոխադարձ, ասոցիատիվ և բաշխիչ են և կարող են ավելացվել:
Հավասարություններից սահմանվում է, որ դասը չեզոք տարր է, երբ լրացվում է, իսկ մաշկի դասի համար օգտագործվում է պրոտելլա յոմա տարրը: Նմանապես, ակնհայտ է, որ դասը բազմակարծության չեզոք տարր է, իսկ մաշկի դասի՝ ուղղիչ դասը։ Նաև, є գործառնությունների ոլորտը (5) և (6); նախ Ումովը նշանակված կետում հաղթում է 2.4:
Եկեք նայենք անանձնական հեռավորությանը. Ակնհայտորեն, . Անանձնականությունը փակվում է՝ տեսնելով այդ հոգնակի թիվը, իսկ ավելի ուշ՝ դաշտի փիդկիլներով։ Ճիշտ է,. Եկեք նայենք տեսլականին, . Այս դրսևորման սյույեկտիվությունը ակնհայտ է. Եթե f(x)=f(y), ապա x(1=y(1 կամ x=y: Նշանակում է f և ներարկային: Բացի այդ, իզոմորֆ kіltsya, կարելի է հասկանալ, որ Z kіlce-ն դաշտի ենթակետն է, որպեսզի. խելքը ծեծված է 2 նշանակված 2.4 կետով. դաշտեր i,արի։ Բո, ախ, ուրեմն: Ale oskіlki - դաշտը, ապա մասնավոր tsikh տարրերը tezh պառկած են դաշտում: Թիմն ինքն է դա վեր հանել, ի՞նչ է, ուրեմն՝ տոբտո։ Ավարտվել է ռացիոնալ թվերի համակարգի հիմքը։

2.6. ՌԱՑԻԱԼ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ՄԻԱՍՆՈՒԹՅՈՒՆ.

Եթե ժամանակակից ինտուիտիվ իմաստով կա ռացիոնալ թվերի միայն մեկ համակարգ, ապա ռացիոնալ թվերի աքսիոմատիկ տեսությունը, ինչպես երևում է այստեղ, կարող է լինել կատեգորիկ։ Կատեգորիկ և նշանակում է, որ մինչև իզոմորֆիզմը կա ռացիոնալ թվերի միայն մեկ համակարգ։ Եկեք ցույց տանք, որ դա ճիշտ է:
Թող (Q1;+, (; Z) և (Q2; (, (; Z)) - նմանվեն ռացիոնալ թվերի երկու համակարգերին:
(1)
(2)
ցանկացած x և y տարրերի համար Q1 դաշտից:
Մասնավոր a և b տարրերը Q1 դաշտում կնշանակվեն, իսկ Q2 դաշտում՝ a:b: Քանի որ Z є pіdkіltse kozhny s polіv Q1 і Q2, ապա ցանկացած թվի համար a ի b համարժեքություն.
, . (3)
Արի և դե, . Տրված x տարրին վերագրում ենք y=a:b տարրը Q2 դաշտից։ Եթե Q1 դաշտում հավասարությունը ճշմարիտ է, ապա Z օղակի 2.4 կետի թեորեմը շահում է ab1=ba1 հավասարությունը, հակառակ դեպքում (3) հավասարության շնորհիվ, և նույն թեորեմի համար նույնպես հավասարությունը a. b=a1:b1 վավեր է Q2 դաշտում: Tse-ն նշանակում է, որ Q1 դաշտի տարրին վերագրելով Q2 դաշտից y=a:b տարրը, մենք այն կցուցադրենք, .
Q2 դաշտի ցանկացած տարր կարող է ներկայացվել որպես a:b, de, otzhe, є տարրի աստիճան Q1 դաշտից: Otzhe, vodobrazhennya f є sur'єktivnym.
Այո, ապա Q1 դաշտում և նույնը: Այս կերպ խմորումը f є bієktivnym և բոլոր tsіlі թվերը դառնում են անզուսպ: Անհրաժեշտ է արդարություն հաստատել (1) և (2) հավասարության համար: Ենթադրենք a,b,c,d(Z, b(0, d(0): Այնուհետև i, նշանները պայմանավորված են (3) f(x+y)=f(x)(f(y): Նմանապես և աստղեր.
(Q1; +, (; Z) և (Q2; (, (; Z)) առաջընթացի մեկնաբանությունների իզոմորֆիզմը:

VІDPOVIDI, VKAZIVKI, RISHENNYA.

1.1.1. Լուծում. Նեհայ Ումովի 4-ի աքսիոմիան ճշմարիտ է (բնական թվերի այնպիսի հզորություն, որը ((0) i. Եկեք դա անենք: Այսպիսով, M-ը բավարարում է 4-րդ աքսիոմի ուժերը, բեկորները ((0) (0(M i. Otzhe), M=N, այնպես որ բնական եղեք) ).թիվը հզոր է (. Հետ։ Ընդունելի է, որ ուժ կա, թե ոչ (այդ ((0)-ից i, հաջորդ. Թող M լինի N-ի ենթաբազմապատկիչ, որ 0(M i. ) Կցուցադրվի, որ M = N. Ներկայացնենք հզորությունը (, հարգանքով. Todi ((0), oskіlki, i.) Otzhe, M=N.
1.1.2. Դատավճիռ՝ Պեանոյի 1-ին և 4-րդ աքսիոմների ճիշտ պնդումը։ Hibne-ի 2-րդ աքսիոմների հաստատում.
1.1.3. Դատավճիռ. Պեանոյի 2,3,4 աքսիոմների ճշմարտացի պնդումը: Hibne-ի 1-ին աքսիոմների հաստատում.
1.1.4. Ճշմարիտ պնդումներ 1, 2, 3 Պեանոյի աքսիոմները. Հիբնեի 4-րդ աքսիոմների հայտարարությունը. Vkazіvka: բերել, scho բավարարված է աքսիոմի 4-ի հնարավորություններով, ձեւակերպված գործողության առումով, ale.
1.1.5. Vkazіvka. 4-րդ աքսիոմի ճշմարտացիությունն ապացուցելու համար նայեք M z A ենթաբազմապատկիչին, քանի որ այն բավարարում է մտքերը. ա) 1 ((M, b) և անանձնական:
1.1.6. Պեանոյի 1,2,3 աքսիոմների ճշմարիտ պնդումը։ Պեանո Հիբնեի 4-րդ աքսիոմների հայտարարությունը.
1.6.1. ա) Որոշում. Խնդրում եմ տեղեկացրեք ինձ, եթե ժամը 1-ն է: Ետ. Արի առավոտյան
1.6.2. ա) Որոշում. Ընդունելի. M-ի միջոցով մենք էականորեն անանձնական ենք բոլոր թվերից, որպեսզի հզոր չլինենք (. Ենթադրությամբ, M((. Թեորեմ 1-ի ուժով M-ն ունի ամենափոքր տարրը n(0): Արդյոք x թիվը
1.8.1. զ) Նշել p. e) և p. c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, նաև, (a-b)-(c-b)=a-c.
ը) հաղթել իշխանությունը.
ժբ) Նշեք էջ բ).
ժբ) Նշեք p. բ) և էջ ը):
1.8.2. գ) Maєmo, otzhe,. Հայր,.
դ) Մաեմո. Հայր,.
և):
1.8.3. ա) Like (i (տարբեր լուծում հավասար է ax2+bx=c), այնուհետև a(2+b(=a(2+b(.)) . Ճիշտ ((. Այնուամենայնիվ (2=a(+b>a(, նույնպես, (>ա.))).
գ) Նեհայ (i (- i-ի հավասար տարբեր արմատներ (>(. Todі 2((-()=(a(2+b))-(a(2+b))=a((-())( ( (+( ) Հետագայում՝ a((+()=2), բայց (+(>2), ավելի ուշ՝ a((+()>2), որն անհնար է):
1.8.4. ա) x = 3; բ) x = y = 2 գ) x=y(y+2), y-ը բնական թիվ է; դ) x = y = 2; ե) x = 2, y = 1; զ) Ճիշտ մինչև x=1, y=2, z=3 փոխարկումները։ Լուծում. Օրինակ՝ ասենք x(y(z. Ապա xyz=x+y+z(3z, ուրեմն xy(3.) Այսպիսով, xy=1, ապա x=y=1 і z=2+z, այսպես) Անհնար է. եթե xy = 2, ապա x = 1, y = 2: Այդ դեպքում 2z = 3 + z, ապա z = 3: Եթե xy = 3, ապա x = 1, y = 3: Ապա 3z = 4+z , ուրեմն z=2, հավելավճարը վերադրել y(z.
1.8.5. բ) Եթե x=a, y=b-ը պառակտում է, ապա ab+b=a, ապա. ա>աբ, որ անհնար է։ դ) Եթե x=a, y=b-ը պառակտում է, ապա b
1.8.6. ա) x=ky, de k,y - բավականաչափ բնական թվեր և y(1. բ) x - բավարար բնական թիվ, y=1: գ) x-ը բավականին բնական թիվ է y=1: դ) լուծում չկա: ե) x1 = 1; x2=2; x3=3. զ) x>5.
1.8.7. ա) Եթե a = b, ապա 2ab = a2 + b2: Եկեք, օրինակ, ա

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

1. Ռեդկով Մ.Ի. Թվային համակարգեր. /Մեթոդական առաջարկություններ «Թվային համակարգեր» դասընթացին. Մաս 1. - Օմսկ: OmDPІ, 1984. - 46s.
2. Էրշովա Թ.Ի. Թվային համակարգեր. / Մեթոդական մշակումգործնական ընդունման համար: - Սվերդլովսկ: SDPI, 1981. - 68s.