Դաշտի հանրահաշվական ընդլայնում. Ներեցեք ոռոգման ընդլայնումը: Հանրահաշվի դաշտերի պահեստային ընդլայնում

հանրահաշվական դաշտի ընդլայնում- — Տեղեկատվության պաշտպանության թեմա EN ընդլայնման դաշտ… Dovіdnik տեխնիկական թարգմանություն

E դաշտը, որին որպես ենթադաշտ տրվում է K դաշտը: Տիպի ընդլայնում Հանրահաշվի ընդլայնման ընդլայնում, նման є հանրահաշվի բոլոր տարրերը K-ի նկատմամբ, այսինքն՝ նման є-ի նման տարրը հարուստ տերմինի արմատն է f (x) c ... Վիքիպեդիա

EÉ K դաշտի հանրահաշվական ընդլայնում, որը նորմալ է և բաժանելի։ Ցիխական մտքերի համար E-ն կհայրի ավտոմորֆիզմների ամենամեծ քանակությունը K-ի նկատմամբ (քանի որ E-ն եզակի է, ապա ավտոմորֆիզմների թիվը նույնպես ընդլայնման զգալի և ավելի առաջադեմ աստիճան է):

Nap_vugroup A nap_vgroup S, scho revenge Av yak p_demigroup. Ա խմբի անուններն ընդարձակելու, Ատեմի հետ այլ մտքերի հետ կապելու մասին հնչողություն: Իդեալական R. nap_vgroup-ի ամենաառաջադեմ տեսությունը (nap_vgroup, ինչ վրեժխնդիր լինել Av yak ......) Մաթեմատիկական հանրագիտարան

Հավասար է n-րդ փուլի դե հարուստ տերմինի մտքին մեկ կամ մի քանի փոփոխության տեսքով: մեջ Ա. մեկ անհայտ ձայնով. խելքին հավասար. Չկա թիվ, ձայն: գործակիցները հավասար են և є danimi, hnaz. նևիդոմիմ և є… Մաթեմատիկական հանրագիտարան

Դաշտեր k հանրահաշվական. k դաշտի ընդլայնում, որը փակ հանրահաշվական դաշտ է։ Նման ընդլայնումը ցանկացած ոլորտի համար եզակիորեն վերագրվում է մինչև իզոմորֆիզմը: Ա.հ. դաշտերը օրվա համարներըє դաշտ բարդ թվեր(Բաժանում…… Մաթեմատիկական հանրագիտարան

EÉ K դաշտի սովորական ընդլայնված հանրահաշվական ընդլայնումը ցանկացած անկրճատելի հարուստ անդամի համար f(x) K-ի համար, որը կարող է ունենալ մեկ արմատ E, կարող է E-ում ընդլայնվել գծային բազմապատկիչների: Համարժեք նշանակված՝ Yakscho KÌ EÌ K *, de K * ... ... Վիքիպեդիա

Դաշտի հանրահաշվական ընդարձակման բաժանելի ընդլայնումը, որը կազմված է տարանջատելի տարրերից, այնպիսին, որ այդպիսի տարրերը α են, հանդիսանում է f(x) նվազագույն անվավերացուցիչը K-ի նկատմամբ, որի համար բազմաթիվ արմատներ չկան: Pokhіdna f (x) կարող buti համար vishchevkazanim ... ... Վիքիպեդիա

Ընդարձակելով դաշտը, այնպես, որ Ե, մեծ է, Կ ​​յակի վրա վեկտորային տարածություն. E վեկտորային տարածության ընդլայնումը K-ի վրա կոչվում է ընդլայնման աստիճան և նշանակված է: Վերջին ընդարձակումների ուժը ... ... Վիքիպեդիայում

Դաշտերը L դաշտի K դաշտի հանրահաշվական ընդլայնումն են, որը բավարարում է առաջադիմող համարժեք մտքերից մեկին. 1) արդյոք L դաշտը ներդրված է հանրահաշվական դաշտում։ դաշտի փակում є դաշտի ավտոմորֆիզմով L; 2) Տրված բազմանդամների ընտանիքի դասավորվածության L դաշտ s ... ... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

Դաշտերի հանրահաշվական ընդլայնում

Ներածություն.

Մանկավարժական բուհերում մեկնարկել է հանրահաշվի և թվերի տեսության միասնական դասընթացի ծրագիր։ Մետա-դասընթացի ղեկավարը հանրահաշվի հիմնական համակարգերի մշակումն է և հանրահաշվական մշակույթի զարգացումը, որն անհրաժեշտ է ապագա ուսուցչին նպատակների և մաթեմատիկայի հիմնական դպրոցական դասընթացի առաջադրանքների խորը ընկալման համար, ինչպես նաև դպրոցական ընտրովի դասընթացներ.

Մեր կարծիքով, դպրոցական ուսումնական պլանի ամենակարևոր ներդրումը ժամանակակից աբստրակտ հանրահաշիվի տարրերն են:

Մաթեմատիկայի հանրահաշվականացման գործընթացը, որը սկիզբ է առել քսաներորդ դարում, ընդունված չէ, այլ ավելի շուտ ստիպված է փորձել հասկանալ հանրահաշվի հիմունքները դպրոցական մաթեմատիկական կրթության մեջ:

Մաթեմատիկական խորությունը և դաշտերի չափազանց լայն խտությունը կզուգակցվեն հիմնական դրույթների պարզության հետ. դաշտերը հասկանալու համար կարելի է ձևակերպել և ի հայտ բերել մի ամբողջ շարք կարևոր թեորեմներ, որոնք հաճախ հայտնվում են բազմակի տեսության տիեզերքում: Ուստի դաշտի տեսությունն ավելի հարմար է դպրոցականներին ժամանակակից մաթեմատիկայի վերաբերյալ պատկերացում ցույց տալու համար:

Բացի այդ, դպրոցի տեսության տարրերի զարգացումը ծանոթ է դպրոցականներին՝ խթանելով նրանց ինտելեկտուալ աճը, որը դրսևորվում է նրանց մտքի հարստացված տարբեր կողմերի, որակների և բնութագրերի, ինչպես նաև գիտնականների զարգացման մեջ։ , գիտություն և մաթեմատիկա։

1. Դաշտային հանրահաշվի պարզ ընդլայնում:

1.1.Պարզապես ընդլայնեք դաշտը:

Թող P[x] լինի x-ի նման բազմանդամների օղակ P դաշտի վրա, որտեղ P-ը F դաշտի ենթադաշտերն են։ Եկեք գուշակենք, որ F դաշտի a տարրը կոչվում է հանրահաշվական P դաշտի վրա, քանի որ a-ն արմատն է։ P[x] դրական քայլի նման բազմանդամը:

Նշանակում. Թող Պ< F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

Թող a0F, P [x] - բազմանդամների օղակ x i-ում

P[x]=(f(a)*f0P[x]),

այնպես որ P [a]-ն բոլորից անանձնական է a 0 + a 1 a + ... + a n a n de a 0, a 1, ... a n 0P i n ձևով:

Հեշտ է տեսնել, որ +P[a], +, -, ., 1 հանրահաշիվը P(a) դաշտի ենթադաշտն է՝ ենթադաշտը; ամբողջ օղակը նշվում է P[a] նշանով:

Թեորեմ 1.1. Թող P [x] - x-ում բազմանդամների օղակ P-ի և P-ի վրա (a) - P դաշտի պարզ ընդլայնում: Թող y - ընդարձակվի P [x] P [a]-ի վրա, որպեսզի y (f) = f ( ա) -րդ f іz P[x]-ի համար: Թոդի:

(ա) ցանկացած a z P y (a) = a;

գ) y-ը P[x] օղակի հոմոմորֆիզմն է P[a] օղակի վրա;

(դ) Ker y = (f0P[x] * f(a) = 0);

ե) գործոն-շրջանակ P[x]/Ker y իզոմորֆ P[a] օղակին:

Բերելով. (ա) և (բ) պնդումները առանց միջնորդի ճռռում են y-ի նշանակումից։ Ներկայացնելով y-ը, պահպանվում են P[x] օղակի հիմնական գործողությունները, ուստի ցանկացած f і g z P[x]

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1:

Հաստությունը (դ) բոցավառվում է առանց y-ի հետքի:

Եթե ​​y օղակը P[x] օղակի հոմոմորֆիզմն է P[a]-ի վրա, ապա P[x]/Ker y գործոնը իզոմորֆ է P[a] օղակի նկատմամբ:

Վերջին 1.2. Թող a լինի տրանսցենդենտալ տարր P դաշտի վրա: Եթե բազմանդամ օղակը P[x] իզոմորֆ է P[a] օղակին:

Բերելով. Հետ նայելով a-ի տրանսցենդենսին P Kery=(0): Դրան P[x]/(0) - P[a]: Բացի այդ, զրոյական իդեալի հետևում գտնվող P[x] օղակի գործակիցը իզոմորֆ է P[x]-ին: Նաև P[x] - P[a]:

1.2.Հանրահաշվական տարրի նվազագույն բազմանդամը.

Թող P [x] լինի բազմանդամների օղակ P դաշտի վրա:

Նշանակում. Թող a-ն լինի P դաշտի հանրահաշվական տարր: A տարրի նվազագույն բազմանդամը P-ի վրա P [x]-ի ամենափոքր աստիճանի գնահատման բազմանդամն է, որի արմատը є a է: Նվազագույն բազմանդամի քայլը կոչվում է a տարրի քայլ P-ի վրա:

Հեշտ է պարզել, որ ցանկացած a տարրի համար, որը հանրահաշվական է P-ի նկատմամբ, կա նվազագույն բազմանդամ:

Առաջարկ 1.3. Եթե ​​a-ն հանրահաշվի տարր է P դաշտի վրա, իսկ g և j-ն P-ի նվազագույն բազմանդամն են, ապա g = j:

Բերելով. g և j նվազագույն բազմանդամների քայլերը բաց են թողնվում։ Եթե ​​g ¹ j, ապա a տարրը (n քայլ P-ի վրա) կլինի g - j բազմանդամի արմատը, որի քայլը փոքր է j բազմանդամի քայլից (n-ից փոքր), ինչը անհնար է։ Հետագայում g = j.

Թեորեմ 1.4. Թող a-ն լինի n աստիճանի հանրահաշվի տարր P դաշտի վրա (aóP), իսկ g-ը P-ի նվազագույն բազմանդամն է: Այնուհետև.

(ա) g բազմանդամը չի առաջանում P [x] շրջանակում.

(բ) ուրեմն f (a) = 0, որտեղ f 0 P[x], g բաժանել f;

գ) գործակցի շրջանակը P[x]/(g) իզոմորֆ P[a] շրջանագծին.

(դ) P [x]/(g) դաշտ է.

ե) P [a] օղակը համընկնում է P (a) դաշտի հետ:

Բերելով. Ենթադրենք, որ g բազմանդամն առաջացել է P [x] շրջանակում, ապա P [x]-ում j և h բազմանդամները կարող են սահմանվել, որ

g = jh, 1£ deg j, deg h

Այնուհետև g(a) = j(a)h(a) = 0: Քանի որ P(a)-ն դաշտ է, ապա j(a) = Pro կամ h(a) = 0, ինչը անհնար է, բեկորներ, մտքի հետևում: , քայլերի տարրը a P-ի նկատմամբ ավելի շատ p է:

Ենթադրենք, որ f 0 P[x] և f(a) = 0: Մտքի համար g(a) = 0: Այնուհետև f և g չեն կարող փոխադարձաբար ներվել: Եթե ​​g բազմանդամն անկրճատելի է, ապա g-ը բաժանեք f.

Թող j լինի P[x] օղակի հոմոմորֆիզմը P[a] օղակի վրա (y(f)=f(a) ցանկացած f ⊂ P[x]-ի համար՝ հաշվի առնելով 2.1 թեորեմը: 3(բ) y հոմոմորֆիզմի միջուկը կազմված է g բազմանդամի բազմապատիկներից, ուստի. Ker y = (գ): Նաև օղակի գործակիցը P = P[x]/(g) իզոմորֆ է P[a] օղակին:

Oskilki P[a]ÌP(a), ապա P[a]-ը ամբողջականության տարածքն է: Քանի որ P @ P [a], ապա P քանորդը նույնպես ամբողջականության տիրույթն է։ Մենք պետք է ցույց տանք, որ ցանկացած ոչ զրոյական f տարր P-ից կարող է կրճատվել P-ի: Թող f լինի f գումարի դասի տարր: Oskіlki f ¹ 0, ապա f(a)¹0; Հետևաբար, g բազմանդամը չի կարող բաժանվել f բազմանդամի վրա։ Oskіlki բազմանդամը g անկրճատելի է, աստղերը պարզ են, բայց f և g բազմանդամները փոխադարձաբար պարզ են: Նաև Р[x]-ը սահմանում է u և v այնպիսի բազմանդամներ, որ uf + vg=1: uf = 1 արժեքը ցույց է տալիս, որ f տարրը գազանային է P օղակում:

З (с) і (դ) P [a] є դաշտ և ծավալ P(a)ÌP[a]: Մյուս կողմից, ակնհայտորեն, P[a]ÌP(a): Նաև P[a] = P(a): Նաև P[a] օղակը համընկնում է P(a) դաշտի հետ:

1.3. Բուդովի դաշտային հանրահաշվի պարզ ընդլայնումը։

Թեորեմ 1.5. Թող a լինի n դրական դասի հանրահաշվական տարր P դաշտի վրա։ P(a) դաշտի ցանկացած տարր կարելի է եզակի կերպով ներկայացնել n տարրերի 1, a, ..., a n-1 Р գործակիցներով գծային համադրությամբ:

Բերելով. Թող P դաշտի b-be-yakie տարրը (a): Թեորեմ 1.4-ով, P(a) = P[a]; նաև, P[x]-ում f բազմանդամն այնպիսին է, որ

Թող g լինի P-ի նվազագույն բազմանդամը; թեորեմի ուժով առաջին քայլն ավելի առաջադեմ է։

(2) f = gh + r, de r = 0 կամ der r< der g = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c 0 + c 1 a + ... c n -1 a n-1

Ցույց է տրվում, որ տարրը եզակիորեն ներկայացված է 1, a, ..., a n-1 տարրերի գծային համակցության մեջ: Դե արի

(4) b = d 0 +d 1 a + ... d n -1 a n-1 (d i 0 P)

Be-yaké նման դրսեւորում. Դիտարկենք j բազմանդամը

j \u003d (s 0 - d 0) + (c 1 - d i .)x + . . . + (З n-1 -d n -1)x n -1

Vipadok, եթե j քայլը n-ից փոքր է, հնարավոր չէ, որ այրվում է (3) і (4) j(a) = 0 і քայլ j քայլի ամենափոքր տեսակն է g: Ավելի քիչ հնարավոր է փոխել, եթե j \u003d 0, ապա s 0 \u003d d 0: . . , Z n-1 = d p-1: Բացի այդ, b տարրը կարող է եզակի կերպով ներկայացված լինել որպես 1, a,…,a n-1 տարրերի գծային համակցություն:

1.4 Հանրահաշվական իռացիոնալության ձևով տատանումներ կոտորակի դրոշի մեջ:

Առաջադրանք zvіlnennya-ի մասին հանրահաշվի իռացիոնալության տեսքով քայլի կոտորակի դրոշի մեջ: Թող a լինի n>1 աստիճանի հանրահաշվի տարր P դաշտի վրա; f і h - բազմանդամներ P[x] և h(a) ¹0 բազմանդամների շրջանագծից: Անհրաժեշտ է մատակարարել f(a)/h(a)0P(a) տարրը a տարրի քայլերի գծային համակցության դեպքում, ապա j(a) դեպքում.

Tse vdannya virishuєtsya so. Թող g լինի a-ի նվազագույն բազմանդամը P. Oskilki-ի համար, համաձայն թեորեմ 1.4-ի, բազմանդամը չի առաջանում P і h(a) ¹ 0-ի վրա, ապա g-ը չի բաժանում h і, ինչպես նաև, h і g բազմանդամները փոխադարձաբար են: պարզ. Հետևաբար, P[x]-ն ունի u և v այնպիսի բազմանդամներ, որոնք

Oskіlki g(a) = 0, іz (1)

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a):

Նաև՝ f(a)/h(a) = f(a)u(a), ընդ որում՝ f,u 0P[x] և f(a)u(a)0P[a]: Otzhe, մենք zvіlnilis vіd іrrationalnosti f(a)/h(a) .

Հնչում է որպես իռացիոնալ բաններմենի մոտ

Հարուստ p(x) և g(x)=-x 2 +x+1 տերմինները փոխադարձաբար պարզ են: Ուստի կան այնպիսի հարուստ ժ և յ տերմիններ, որ

For vіdshukannya j і y zastosuemo Էվկլիդեսյան ալգորիթմ է բազմանդամների p ի g:

X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1

x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x+1/4

x 2 -x-1 1/2x-1/4

նման կերպ,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Zvіdki գիտեմ

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x2 +x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x2+1/5x+3/5)=1.

նման կերպ,

y(x)= (2/5x 2 +1/5x+3/5):

Օտժե

.

2. Դաշտային հանրահաշվի ծալովի ընդլայնում:

2.1. Kіntseve դաշտի ընդլայնում.

Թող P-ն լինի F դաշտի ենթադաշտերը: Այնուհետև մենք կարող ենք F-ին դիտարկել որպես P-ի վեկտորային տարածություն, այնպես որ կարող ենք դիտել վեկտորային տարածությունը +F, +, (w l ½l 0P),

de w l - F-ի տարրերը l0P սկալյարով բազմապատկելու գործողություն:

Նշանակում. F դաշտի ընդլայնումը կոչվում է տերմինալ, ինչպես F, որպես վեկտորային տարածություն P-ի վրա, հնարավոր է վերջացնել ընդլայնումը: Tsya rozmirnіst նշանակվել միջոցով.

Առաջարկ 2.1. Եթե ​​a-ն P-ի նկատմամբ n աստիճանի հանրահաշվական տարր է, ապա = n:

Այս առաջարկը բացահայտորեն բխում է թեորեմ 1.5-ում:

Նշանակում. P դաշտի F ընդլայնումը կոչվում է հանրահաշվական, քանի որ F-ի մաշկի տարրը հանրահաշվական է P-ի նկատմամբ:

Թեորեմ 2.2. Արդյոք F դաշտի վերջավոր ընդլայնումը հանրահաշվական է P-ի նկատմամբ:

Բերելով. Թող F լինի n-հարթ P-ի նկատմամբ: Թեորեմն ակնհայտորեն ճիշտ է, քանի որ n = 0: Ենթադրենք, որ n>0: Եթե ​​F-ի n+1 տարրերը գծայինորեն զիջում են P. Sokrema-ին, ապա 1, a, ..., a n տարրերի գծային համակարգ, ապա P 0, 1, ..., c n-ի նման տարրերը բոլորը հավասար չեն. զրո, s 0 ×1+ 1 a +…+c n a n = 0:

a տարրը նույնպես հանրահաշվական է P-ի նկատմամբ։

Հատկանշական է, որ կան դաշտային հանրահաշվի ընդարձակումներ, որոնք տերմինալ ընդլայնումներ չեն:

2.2. Հանրահաշվի դաշտի պահեստային ընդլայնում.

P դաշտի F ընդլայնումը կոչվում է ծալովի, ինչպես որ կա

աճող նշտարաձև ենթադաշտ F դաշտի L i այնպիսին, որ

P = L 0 - L 1 - ... L k = F і k>1.

Թեորեմ 2.3. Թող F - դաշտի վերջավոր ընդլայնում L і L - դաշտի վերջի ընդլայնում P. Այնուհետև F - դաշտի վերջի երկարացում P i

=@[L:P]:

Բերելով. Դե արի

(1) a 1,…,a m - L դաշտի հիմքը P-ի վրա (ինչպես վեկտորային տարածություն) և

(2) b 1 ..., b n - F դաշտի հիմքը L-ի նկատմամբ: F-ից ցանկացած d տարր կարող է գծային կերպով արտահայտվել հիմքի միջոցով.

(3) d = l 1 b 1 +...+l n b n (l k 0L):

1 k գործակիցը կարող է գծային կերպով արտահայտվել (1) հիմքով.

(4) l k = p 1k a + ... + p mk a m ​​(p ik 0P):

Հաշիվը փոխարինելով l k (3) գործակիցներով՝ ընդունելի է

d = p a a b k .

Այս կերպ F դաշտի մաշկի տարրը կարող է ներկայացվել որպես B բազմապատկիչի տարրերի գծային համակցություն, դե.

B = (a i b k ½ (1, ..., m), k 0 (l, ..., n)):

Հատկանշական է, որ B բազմապատկիչն ավելացնում է մինչև nm տարրեր:

Մենք ցույց ենք տալիս, որ F-ը հիմք է P-ի նկատմամբ: Մենք պետք է ցույց տանք, որ B բազմապատկիչի տարրերի համակարգը գծային անկախ է: Դե արի

(5) åc ik a i b k = 0,

de c ik 0 P. Քանի որ (2) համակարգը գծայինորեն անկախ է L-ից, ապա (5) հետևում է հավասարությանը.

(6) s 1 k a 1 +...+s mk a m ​​= 0 (k = 1,..., n):

Քանի որ a 1, ..., a m տարրերը գծայինորեն անկախ են P-ից, ապա (6) հետևում է հավասարությանը.

c 1 k = 0, ..., c mk = 0 (k = 1, ..., n),

ցույց տալ, որ (5)-ի գործակիցները հավասար են զրոյի: Այսպիսով, B տարրերի համակարգը գծային անկախ է և հանդիսանում է F-ի հիմքը P-ի նկատմամբ:

Otzhe, տեղադրված, scho = nm = ×: Նաև F є դաշտի վերջին ընդարձակումները P і maє misce բանաձեւ (I):

Նշանակում. P դաշտի F ընդլայնումը կոչվում է ծալովի հանրահաշվական, քանի որ այն P դաշտի ենթադաշտերի աճող նիշն է։

P \u003d L 0 - L 1 - ... L k \u003d F і k> 1 (1)

այնպիսին, որ i = 1,..., k դաշտերի համար L i є պարզապես ընդլայնենք L i-1 դաշտի հանրահաշիվը: K թիվը կոչվում է դոժինա նիզակ (1):

Վերջին 2.4. P դաշտի F հանրահաշվի պահեստի ընդարձակումները P դաշտի տերմինալային ընդարձակումներ են։

Ապացուցումը կարող է հեշտությամբ իրականացվել 2.3 թեորեմի հիմնավորման վրա նիզակի հետևում գտնվող ինդուկցիայի միջոցով (1):

Թեորեմ 2.5. Թող a 1 ,..., ak հանրահաշվական լինի F դաշտի տարրերի P դաշտի վրա: Նույն P(a 1,..., ak) դաշտը P դաշտի վերջին ընդլայնումն է։

L 0 = P, L 1 = P, L 2 = P, ..., L k = P:

Այնուհետև L 1 = P-ը L 0 դաշտի հանրահաշվի պարզ ընդլայնումն է; L 2-ը L 1 դաշտի հանրահաշվի պարզ ընդլայնումն է, քանի որ

L 2 = P = (P) = L 1 = L 1 (a 2) և այլն:

նման կերպ,

P = L 0 - L 1 - ... - L k = F

de L i = L i -1 (a i) i = 1, ..., k-ի համար, ապա Lanziuk-ի (2) տերմինը Lanziuk-ի առաջավոր անդամի հանրահաշվի պարզ ընդլայնումն է: Հետագայում, F դաշտը P դաշտի հանրահաշվի ծալովի ընդլայնումն է: Կրկին, հետևություն 2.4-ի համաձայն, F դաշտը P դաշտի վերջնական ընդլայնումն է:

Վերջին 2.6. Դաշտի հանրահաշիվի պահեստի ընդլայնում є հանրահաշվական դաշտի ընդլայնում։

2.3. Դաշտային հանրահաշվի պահեստային ընդլայնման պարզությունը:

Թեորեմ 2.7. Թող F թվային դաշտը լինի P հանրահաշիվ դաշտի ծալովի ընդլայնումը: Այնուհետև F є մենք կպարզեցնենք P դաշտի հանրահաշվի ընդարձակումները։

Բերելով. Թող P - L - F, ընդ որում, L = P (a), F = L (b) i, ինչպես նաև, F = P (a, b):

Թող f և g լինեն նվազագույն բազմանդամներ P-ի նկատմամբ, ինչը վավեր է a և b և deg f = m, deg g = n թվերի համար: f і g բազմանդամները չեն կարող վերադրվել P і-ի վրա, հետևաբար, այն չի կարող լինել բազմաթիվ արմատների բարդ թվերի E դաշտում։ Դե արի

a = a 1 ,..., a m - f C i բազմանդամի արմատները

b = b 1 ,..., b n - g C բազմանդամի արմատ:

Եկեք նայենք kіtsev bezlіch M:

M = ((a i-a)/(b-b k)½i0(1,…,m), k0(2,…,n)):

Oskіlki P-ն թվային բազմապատկիչ է (i, հետևաբար, չի սահմանափակվում), ապա P-ն c թիվն է, vidminne M, c0P (M, cóM. Nehai) տարրերում:

Todi vykonuyutsya spіvvіdnoshennia

(2) g 1 a i + cb k = (i0 (1, ..., m), k0 (2, ..., n)):

Ճիշտ է, հավասարության ժամանակ a + cb = a i + cb k bulo b

h \u003d (a i -a) / (b-b k) 0 M

scho superchilo-ն օգտագործել է c թվի ընտրությունը:

Թող F 1 = P(g) և F 1 - բազմանդամների օղակ x-ում: Թող h = f(g - cx) բազմանդամ լինի F 1 [x]-ից (g, c0P(g) = F 1): Կարելի է ցույց տալ, որ x-b-ը F 1 [x] օղակի h և g բազմանդամների ամենամեծ բաղաձայնն է։ Կշեռքներ g(b) = 0, ապա x-b բաժանեք g E[x]: Դալի, շնորհիվ (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0:

Դրան x-b բաժանեք h E[x] բազմանդամը: Այս հերթականությամբ x-b-ը E[x] օղակում քնաբեր h և g է:

Հաղորդվում է, որ g і h С արմատներ չկան, vіdmіnkh vіd բ. Պարզապես ասենք, որ b k , k0(2 ,..., n) նրա վայրի արմատն է։ Այնուհետև h(b k) = f(g - сb k) = 0. Այնուհետև կա այդպիսի ցուցանիշ i0(1,..., m) ): Հետևաբար, հնարավոր է, որ x-b-ը E[x]-ում g և h-ի ամենամեծ քնաբերն է: Oskіlki x - b - նորմալացման բազմանդամ, ապա աստղը պարզ է, scho x - b є ամենամեծ տաք dilnik g եւ h y kіltsi F 1 [x]: Թոմ

(x-b) 0 F 1 [x] և b 0 F 1 = P (g):

Ավելին, a = g - cb 0 F 1: նման կերպ,

F = P(a, b) Ì F 1, F 1 ÌF:

2.4. Դաշտ հանրահաշվական թվեր.

Կոմպլեքս թվերի դաշտի ենթադաշտերի դասը ամենակարեւորներից է՝ հանրահաշվական թվերի դաշտը։

Նշանակում. Հանրահաշվական թիվը կոչվում է բարդ թիվ, որը ռացիոնալ գործակիցներով դրական աստիճանի բազմանդամի արմատն է։

Հատկանշական է, որ հանրահաշվի թիվը, լինի դա բարդ թիվ, հանրահաշվական է Q դաշտի վրա։

Թեորեմ 2.8. Բոլոր հանրահաշվական թվերի անանձնական Ա-ն փակված է բարդ թվերի E = +C, +, -, 1 օղակում։ A = +А, +, -, , 1 հանրահաշիվը E դաշտի դաշտ է, ենթադաշտ։

Բերելով. Թող a-ը և b-ը լինեն A-ի տարրերը: Վերջին 2.6-ի համար Q(a, b) դաշտը հանրահաշվական է Q-ի նկատմամբ: Հետևաբար, a + b, -a, ab, 1 թվերը հանրահաշվական են, այնպես որ A-ի բազմապատիկները ստում են: , անանձնական A-ն փակ է ըստ E ցիկլի գլխի գործողությունների: Հետևաբար, A հանրահաշիվը E- ցիկլի ենթաշրջանն է:

Բացի այդ, քանի որ a-ն A-ում ոչ զրոյական տարր է, a -1 0 Q (a, b) և a -1 գտնվում է A-ում: Կրկին A հանրահաշիվը E դաշտի դաշտ է, ենթադաշտեր:

Նշանակում. A = +A, +, -, , 1 դաշտը կոչվում է հանրահաշվական թվերի դաշտ։

Ցույց տվեք, որ ա թիվը = հանրահաշվական:

Լուծում. Z a \u003d գոռալ ա-.

Երրորդ քայլում մնացած համարժեքության մասերը վիրավորական են.

a 3 -3a 2 9a-3=2

a 3 +9a-2 = 3 (a 2 +1):

Այժմ խանդի վիրավորական մասերը տեղափոխվում են մեկ այլ մակարդակ.

ա 6 +18ա 4 +81ա 2 -4ա 3 -36ա+4=27ա 4 +54ա 2 +27

a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23 = 0:

Այս վարկանիշում a є հարուստ տերմինի արմատը

f(x)= a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23=0

ռացիոնալ գործակիցներից։ Ce-ն նշանակում է, որ a-ն հանրահաշվական թիվ է:

2.5. Հանրահաշվի թվերի դաշտի հանրահաշվական փակում.

Թեորեմ 2.9. Հանրահաշվի թվային դաշտը հանրահաշվորեն փակ է:

Բերելով. Թող A [x] լինի x-ում բազմանդամների օղակ հանրահաշվական թվերի A դաշտում: Դե արի

f = a 0 + a 1 x+... + a n x n (a 0 ..., a n 0 A)

Եղեք A[x] դրական քայլի մի քանի բազմանդամ: Մենք պետք է ապացուցենք, որ f-ը կարող է արմատավորվել A-ում: Եթե f0C[x]-ը, իսկ E դաշտը հանրահաշվորեն փակ է, ապա f-ը կարող է արմատավորվել E-ում, որպեսզի այն ունենա այնպիսի բարդ թիվ s, որ f (c) = 0: Թող L = Q (a 0, ... և n), իսկ L(c)-ը L դաշտի հանրահաշվի պարզ ընդլայնումն է c-ի օգնությունից դուրս: Այնուհետև Q - L - L (c)-ը L դաշտի հանրահաշվի տերմինալ ընդլայնումն է: Ըստ թեորեմ 2.2-ի, L-ն Q դաշտի վերջնական ընդլայնումն է: Թեորեմ 2.3-ի ուժով L (c)-ը հանդիսանում է դաշտի վերջավոր ընդլայնում: դաշտը Q. L (c) դաշտը Q i դաշտի հանրահաշվի ընդլայնումն է, հետևաբար՝ c0A: Այսպիսով, եթե դրական քայլի A[x]-ում կա որևէ բազմանդամ A կարող է ունենալ արմատ, ապա A դաշտը հանրահաշվորեն փակ է։

3. Բաժանելի և անբաժանելի ընդարձակումներ.

Եկեք D - դաշտ:

Անշուշտ, ինչպե՞ս կարող է չքայքայվող D[x] բազմանդամը լինել բազմաթիվ արմատների մայր:

Որպեսզի f(x)-ը բազմակի արմատ լինի, f(x) և fN(x) հարուստ տերմինները պայմանավորված են մոր ընդհանուր կրկնակի հաստատուն բազմապատկիչով, որը կարելի է արդեն հաշվարկել D[x]-ով: Թեև f(x) բազմանդամը բաժանելի չէ, ապա ավելի ցածր աստիճանի f(x) ոչ մի հարուստ բազմանդամ չի կարող լինել անհամապատասխան գլոբալ բազմապատկիչների մայր, և, հետևաբար, f "(x) = 0 հավասարությունը:

f(x) =3a n x n fN(x) =3na n x n -1

Այսպիսով, fN(x) = O, մաշկի գործակիցը մեղավոր է զրոյի համար.

n = 0 (n = l, 2, ..., n):

Կարևորը աստղի բնորոշ զրո է, որ n \u003d 0 բոլորը n ¹ 0: Նաև անհամապատասխան բազմանդամը կարող է լինել բազմաթիվ արմատների մայր: Պ_հավասարություն na n \u003d 0 բնութագրերի պահին հնարավոր է ունենալ n ¹ 0, բայց կարող է նաև հավասար լինել

f(x) = a 0 + a p x p + a 2p x 2p +…

Ետ. եթե f(x) կարող է այսպիսի տեսք ունենալ, ապա fN(x)=0:

Այս վիպադկայով մենք կարող ենք գրել.

Ինքը՝ Թիմը, պնդում է. «Զրո» հատկանիշի դեպքում հարուստ անդամը (x) չի բաժանվում D [x]-ով, այն կարող է լինել միայն պարզ արմատ, p հատկանիշի դեպքում՝ f բազմանդամը ( x) (որը նույնպես նույնն է, ինչ հաստատունը) կարող է լինել արմատի բազմապատիկ, եթե հնարավոր է այն ցույց տալ որպես բազմանդամ j vіd x p.

Երբեմն հնարավոր է, որ j(x)-ն իր ձևով բազմանդամ է x p : Այնուհետև f(x)-ը բազմանդամ է, ինչպիսին x p 2-ն է: Թող f(x) - xpe-ի նման հարուստ տերմին

ale є բազմանդամ vіd x pe +1. Հասկանալի է, որ y(y) բազմանդամն անբաժանելի է: Dali, y¢(y) ¹ 0, քանի որ հակառակ դեպքում y(y)-ը նման կլինի c(y p) i-ին, ապա f(x)-ը կունենա c(x pe + 1), որը կփոխարինի բացթողումը: Otzhe, y (y) կարող է լինել միայն պարզ արմատ:

Ընդլայնենք y բազմանդամը, որպեսզի ընդլայնենք հիմնական դաշտը գծային գործակիցների վրա՝ m

y(y) = J(y-b i):

f(x) = J(x pe -b i)

Թող a i լինի x pe - bi բազմանդամի արմատը: Այնուհետև x i pe \u003d b i,

x pe - bi = x pe - a i pe = (x-a i) pe .

Նաև a i є r e -x pe - b i բազմանդամի բազմակի արմատ

f(x) = J(x -a i) p e.

f(x) բազմանդամի արմատի բեղերն այս կերպ կարող են ունենալ p e-ի նույն բազմապատկությունը։

y բազմանդամի m քայլը կոչվում է f(x) բազմանդամի (կամ i արմատի) կրճատման աստիճան; e թիվը կոչվում է f (x) (կամ a i արմատը) բազմանդամի ցուցիչ D դաշտի վրա։

de m f(x) բազմանդամի տարբեր արմատների ավելի թանկ թիվը։

Եթե ​​q-ն այն բազմանդամի արմատն է, որը չի քայքայվում D[x] օղակում, որը կարող է լինել միայն պարզ արմատներ, ապա q-ն կոչվում է բաժանելի տարր D-ի վրա կամ առաջին տեսակի տարր D 1-ի վրա): Սրանով անքակտելի հարուստ տերմինը, որի բոլոր արմատները բաժանելի են, կոչվում է բաժանելի։ Հակառակ դեպքում q հանրահաշվական տարրը և f(x) անբաժանելի հարուստ տերմինը կոչվում են անբաժանելի կամ այլ տեսակի տարր (ինչպես հարուստ անդամը)։ Այժմ S հանրահաշվի ընդարձակումը, որի բոլոր տարրերը բաժանելի են D-ի վրա, կոչվում են բաժանելի D-ից, իսկ հանրահաշվի ցանկացած այլ ընդլայնում կոչվում է անբաժանելի։

Հատկանշական զրոյի ժամանակներում ասվում է, որ մաշկը անբաժանելի հարուստ տերմին չէ (և հետևաբար հանրահաշվի մաշկի երկարացումը) բաժանելի է: Մենք կցանկանայինք իմանալ, որ դաշտերի ամենակարևոր և ամենակարևոր ընդլայնումները բաժանելի են, և որ մենք գիտենք դաշտերի դասի որակը, այնպես որ անբաժանելի ընդլայնումներ (այսպես կոչված, «ավարտված դաշտը») հնարավոր չեն: Z tsієї causa all pov'yazane հատուկ անբաժանելի ընդարձակումներով, որոնք տպագրված են ազատ տառատեսակով:

Այժմ նայենք հանրահաշվի S = D (q) ընդլայնմանը: Եթե ​​n քայլերը հավասար են f(x) = 0, ինչը նշանակում է ավելի մեծ, ավելի առաջադեմ քայլ (S:D), ապա m քայլերի կրճատումը հավասար է S դաշտի իզոմորֆիզմների թվին առաջադիմական իմաստով. կարող է միայն նայել այս իզոմորֆիզմներին [էլփոստը պաշտպանված է]Եթե ​​D ենթադաշտի ցանկացած տարր լցված է ոչ բռնի i-ով, այնուհետև S-ը տեղափոխվում է համարժեք S դաշտ (S դաշտի իզոմորֆիզմը D դաշտի վրա) և ցանկացած դաշտ-պատկերի համար S-ն «միասին պառկելու համար». դաշտի հետ S դաշտի մեջտեղում W. tsikh umovah maє mistse թեորեմ:

W դաշտի համապատասխան ընտրության դեպքում S=D(q) ընդլայնումը կարող է ունենալ D-ի նկատմամբ ճշգրիտ m իզոմորֆիզմներ, իսկ W դաշտի ցանկացած ընտրության դեպքում S դաշտը չի կարող ունենալ m-ից ավելի նման իզոմորֆիզմներ:

Բերելով. Մաշկի իզոմորֆիզմը D-ի նկատմամբ պատասխանատու է q տարրը փոխելու իր ասոցիացիաներին q տարրի հետ W-ից: Ընտրեք W-ն այնպես, որ f(x)-ն ընդարձակվի W-ի վրա և վերածվի գծային բազմապատկիչների, այնուհետև թվում է, որ q տարրը կարող է ունենալ ճշգրիտ m դեպքեր: տարրեր q, qԵթե ​​այո, ապա որպես bi, W դաշտը չի ընտրվել, ապա q տարրը մատիմա չէ m-ից ավելի դեպքերում: Այժմ հարգելի է, որ մաշկի իզոմորֆիզմը D(q)@D(q") D-ի նկատմամբ լիովին կախված է տվյալ նույնականությունից q® q": Ակնհայտ է, որ եթե q-ն անցնում է q-ին, և D-ի բոլոր տարրերը տեղում են մնում, ապա տարրը

3a k q k (yak 0D)

մեղավոր գնալ դեպի

իսկ cym-ը նշանակում է իզոմորֆիզմ:

Sokrema, քանի որ q-ն բաժանելի տարր է, ապա m = n і, հետևաբար, հիմնական դաշտի վրա իզոմորֆիզմների թիվը ավելի հավասարաչափ է ընդլայնվում:

Եթե ​​այո, եթե դաշտը ֆիքսված է, որը կարող է ծածկել բոլոր այն դաշտերը, որոնք դիտվում են, որոնցում կարող են տեղակայվել մաշկի հավասարեցման բոլոր արմատները f (x) = 0 (ինչպես, օրինակ, բարդ թվերի դաշտում) , ապա W-ի չափով դուք կարող եք մեկընդմիշտ վերցնել i դաշտը Սրան ավելացրեք «խղճուկ W-ի մեջտեղում» բառի հավելումը իզոմորֆիզմի մասին բոլոր հայտարարություններում: Այսպիսով, սկսեք վերանորոգել տեսական թվային դաշտերը: Ցանկանում ենք հիշեցնել, որ վերացական դաշտերի համար կարող եք օգտագործել նաև W դաշտը։

Մեջբերված թեորեմը հետևյալ պնդումն է.

Ինչպես ընդլայնել S-ը D-ից դուրս գալու համար հաջորդ ժամանումներ m

հանրահաշվական տարրեր a 1 , ..., a m , ընդ որում, մաշկի ետևում i , є արմատ

ոչ ընդարձակելի D(a 1, ..., a i-1)-ի վրա հավասար է կրճատված աստիճանին n" i, ապա

S-ի ընդլայնումը նույն կերպ կարող է լինել ճիշտ ?n i ¢ իզոմորֆիզմ D i-ի նկատմամբ

ընդարձակումներ չկան ավելի մեծ թիվդաշտի նման իզոմորֆիզմները Ս.

Բերելով. m = 1-ի համար թեորեմը հետագայում մշակվել է: Ենթադրենք, որ її վավեր է S 1 = D(a 1, ..., a m-1) ընդլայնման համար:

W 1 є հենց n i ¢ դաշտի իզոմորֆիզմները S-ի նկատմամբ D-ի նկատմամբ:

Թող S 1 ®S 1 լինի Õ n i ¢ իզոմորֆիզմներից մեկը։ Ենթադրվում է, որ հակադարձ դաշտի հակադարձ կարգով W գինին կարող է շարունակվել S = S 1 (am) @ S = S (am) իզոմորֆիզմով ոչ ավելի, քան n_zh n մ եղանակներով:

a m տարրը բավարարում է f 1 (x) = 0 հավասարումը S 1-ի նկատմամբ n¢ m տարբեր արմատներով: S 1 ® S 1 լրացուցիչ իզոմորֆիզմից հետո հարուստ տերմինը f 1 (x) կարող է թարգմանվել մեկ այլ հարուստ տերմինի f 1 (x): Ale todі f 1 (x) լայնորեն ընդլայնված ձեւով, բայց n m տարբեր արմատներ եւ ոչ ավելին: Թող մի մ - այս արմատներից մեկը: Նայելով a m տարրի ընտրությանը, S 1 @S 1 իզոմորֆիզմը երեք է S (a m) @ S (am) իզոմորֆիզմին m ®a m-ի համար մեկ և միայն մեկ ձևով. արդյունավետորեն շարունակությունը տրվում է բանաձևով.

åc k a m‎k ®å c k a m ​​k

a m տարրի ընտրության նմուշները կարող են սահմանվել n «m եղանակներով՝ օգտագործելով n» m նման տեսակի շարունակությունը հակադարձ իզոմորֆիզմի համար å 1 ®å 1

Oskіlki-ն ունեն իրենց սեփական գիծը, և այս իզոմորֆիզմը կարող է փոխակերպվել

Х n" i ուղիներ,

ապա ամեն ինչ ճշմարիտ է (այդ W դաշտը, որում գտնվում են բոլոր հավասարների բոլոր արմատները, որոնք դիտվում են)

Õ n" i ×n" m = Õ n" i

S-ի ընդլայնման իզոմորֆիզմները D դաշտի վրա, որն անհրաժեշտ էր բերել.

Եթե ​​n i-ն a i տարրի իրական (չկրճատված) քայլն է D-ի նկատմամբ (a 1,...,a i-1), ապա դաշտի D (a 1, ..., a i) ընդարձակման n i ավելի քայլ. D(a 1, .. ., a i-1);

otzhe, քայլերը (S: D) ավելի

Ինչպես թիվը համապատասխանեցնել իզոմորֆիզմների թվին

S = D(a 1, ..., a m) ընդարձակման իզոմորֆիզմների թիվը D-ի նկատմամբ (ցանկացած տրված ընդլայնման W-ի համար) լրացուցիչ քայլ (S:D) նույնիսկ և միայն մեկ անգամ, եթե մաշկի տարրը a i-ը բաժանելի է: դաշտը D(a 1, ..., a i-1): Եթե ​​ցանկանում եք, որ a i տարրն անբաժանելի լինի առանձին դաշտում, ապա իզոմորֆիզմների թիվը փոքր է ընդլայնման աստիճանից։

Թեորեմի տեսանկյունից անմիջապես կհայտնվեն մի քանի կարևոր դիտողություններ. Մեզ համար թեորեմն ասում է, որ a i մաշկի տարրի հզորությունը բաժանելի է առջևի դաշտի վրա, և S ընդլայնման հզորությունը ինքնին անկախ է i գեներացնող տարրերի ընտրությունից: Քանի որ դաշտի լրացուցիչ տարրը կարող է ընդունվել որպես առաջին սերունդ, b տարրը կարծես թե բաժանելի է, քանի որ բոլոր a i-ն այդպիսին են: Հայր.

a i , ... ,a n i տարրերը հաջորդաբար ավելացվում են D դաշտում, a i մաշկի տարրը հայտնվում է դաշտի վրա բաժանելի՝ հեռացնելով հարակից առջևի տարրերը a 1, a 2,..., a i-1 ընդլայնումը:

S = D(a 1, ..., a n)

բաժանելի է Դ.

Զոկրեմա, սումա, մանրածախ, թվիր, որ մասնավոր կերպով առանձնացված տարրերը բաժանելի են։

Ավելին, քանի որ b-ը բաժանելի է S-ից, իսկ S դաշտը բաժանելի է D-ից, ապա b տարրը բաժանելի է D-ից: Սա բացատրվում է նրանով, որ b-ն բավարարում է a 1, ..., a m з գործակիցների վերջնական թիվը: S i-ը կրկին բաժանելի է D-ից (a 1, ..., a m): Tim ինքնին բաժանելի ընդլայնում

D (a 1, ..., a m, b).

Նարեշտի, կարող է տրվել նույն տեղը. տերմինալ բաժանելի S ընդլայնման իզոմորֆիզմների թիվը D դաշտի վրա մինչև ընդլայնման ավելի բարձր աստիճան (S: D):

4. Ոռոգման անսահմանափակ ընդլայնում.

Մաշկի դաշտը առաջանում է իր պարզ ենթադաշտից՝ անսպառ ընդլայնման վերջնական «չի»-ի օգնությամբ: Այս բաժանման մեջ նկատվում են դաշտերի անթիվ ընդլայնումներ, առաջին հերթին հանրահաշվական, իսկ հետո՝ տրանսցենդենտալ։

4.1. Հանրահաշվորեն փակ դաշտեր

Տվյալ դաշտի հանրահաշվի ընդլայնման մեջ կարևոր դեր է խաղում հատկապես հանրահաշվի առավելագույն ընդլայնումը, որպեսզի թույլ չտա հանրահաշվի հետագա ընդլայնումը։ Նման երկարաձգումների պատճառը կբերվի այս պարբերությանը:

Որպեսզի W դաշտը լինի հանրահաշվի առավելագույն ընդլայնումը, անհրաժեշտ է առաջ տանել միտքը՝ W[x] շրջանագծի մաշկի բազմանդամը կարող է քայքայվել գծային բազմապատկիչների։ Tsya միտքը բավարար է. Իրոք, քանի որ մաշկի բազմանդամը W[x]-ում քայքայվում է գծային բազմապատկիչների, ապա W[x]-ի բոլոր պարզ բազմանդամները գծային են, և W դաշտի W» հանրահաշվի ցանկացած ընդարձակման մաշկի տարրերը, կարծես, ցանկացածի արմատն են: գծային հարուստ տերմին x - a W[x]-ով, այսինքն՝ այն աշխատում է W դաշտի իրական a տարրի հետ:

Այդ դամոյի համար նույն ճակատագիրն է.

W դաշտը կոչվում է հանրահաշվի փակում, քանի որ W [x]-ի ցանկացած բազմանդամ կարող է տրոհվել գծային գործակիցների։

W դաշտը հանրահաշվորեն փակ է, այնպես որ W[x] բազմանդամը կարող է ունենալ մեկ արմատ, այսինքն՝ մեկ գծային բազմապատկիչ W[x]-ում։

Իրոք, որպես այդպիսի խելացի վիկոնան և բավականին շատ առումներ, f (x) բազմանդամը քայքայվում է բազմապատկիչների, բայց դրանք չեն քայքայվում, ապա ամբողջ գարշահոտությունն է մեղավոր, այլ գծային:

«Հանրահաշվի հիմնական թեորեմը» ասում է, որ կոմպլեքս թվերի դաշտը հանրահաշվորեն փակ է։ Հանրահաշվորեն փակ դաշտի մոտեցող հետնամասը կարող է լինել բոլոր բարդ հանրահաշվական թվերի դաշտը, այնպես որ անանձնական բարդ թվերը, ինչպես որ բավարարվում են ռացիոնալ գործակիցներով ցանկացած հավասարությամբ: Կոմպլեքս արմատը հավասար է հանրահաշվի գործակիցներին є և իսկապես հանրահաշվական է ոչ միայն հանրահաշվական թվերի դաշտում, այլև դաշտում ռացիոնալ թվեր, այսինքն՝ իրենք հանրահաշվական թվեր են։

Այստեղ մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է առաջացնել բավականաչափ տրված P դաշտի փակ հանրահաշվական ընդլայնում և զուտ հանրահաշվական եղանակով: Շտայնիցին այդպես պառկել

Հիմնական թեորեմ. Մաշկային դաշտի համար՝ W հանրահաշվի փակ հանրահաշվական ընդլայնում: Հենց մինչև համարժեքության ընդլայնումը եզակիորեն սահմանվում է. արդյոք կան երկու հանրահաշվորեն փակ հանրահաշվական ընդարձակումներ՝ P դաշտի W, W «համարժեք են:

Այս թեորեմների ապացույցը պայմանավորված է լեմի ավելցուկով.

Լեմմա 1. Թող W, լինի P դաշտի հանրահաշիվի ընդլայնում: Բավարար միտքՈրպեսզի W-ն լինի հանրահաշվի փակում, є ընդլայնում P[x]-ի ցանկացած բազմանդամի գծային գործակիցների մեջ W[x] օղակում:

Բերելով. Թող f(x) լինի լրացուցիչ բազմանդամ W[x]-ից: Եթե ​​vin-ը չի քայքայվում գծային բազմապատկիչների, ապա կարելի է վերցնել a i-րդ արմատը, որպեսզի հասնի W վերին գերդաշտին: a տարրը հանրահաշվական է W-ի նկատմամբ, իսկ W-ը P դաշտի հանրահաշվի ընդլայնումն է, իսկ արմատը: հաջորդ բազմանդամը g(x) P[x]-ում

Լեմմա 2. Եթե P դաշտը ամբողջականորեն դասավորված է, ապա P[x] բազմանդամների օղակը կարող է ամբողջական կերպով դասավորվել և այնքանով, որքանով այս դասավորված P դաշտը կրկնակի դասավորված կլինի:

Բերելով. Զգալիորեն փոխեք P[x]-ի f(x) բազմանդամների կարգը հետևյալ կերպ. թող f(x)

1) քայլը f(x) քայլի ավելի փոքր տեսակ է g(x);

2) քայլ f(x) ավելի քայլ g(x) և ավելի n, ապա.

f(x) = a 0 x n + ...+ a n, g (x) = b 0 x n + ... + b n

i հաջորդ ցուցանիշի համար k:

և i = b i i-ի համար

ա կ

Եթե ​​այո, ապա 0 բազմանդամի համար մեղադրեք բազմանդամին. նրան վերագրվում է քայլ 0: Ակնհայտ է, որ կարգով դուրս գալու այնպիսի եղանակ է, որի իմաստով P [x]-ն ամբողջությամբ դասավորված է: Այն կցուցադրվի հետևյալ կերպ. հարուստ հատվածների մաշկի ոչ դատարկ հոգնակիում կա ամենափոքր աստիճանի հարուստ հատվածների ոչ դատարկ ենթաբազմ. թող այնքան լավ լինի: նշանակված ենթաբազմապատիկի դեպքում є ունեն հարուստ տերմինների սեփական տողերի ենթաբազմապատկիչը առաջին a 1-ով և այլն: minimnosti, որոնք հաջորդաբար հաղթական են, ըստ ընտրության); այս բազմանդամը տրված բազմապատկիչի առաջին տարրն է։

Լեմմա 3. Եթե P դաշտը դասավորված է որպես ամբողջություն, n і n փուլի f(x) հարուստ տերմինը խորհրդանշում է a 1 ..., a n, ապա P դաշտը (a 1 ,..., a n), որում. f(x)-ը կընդլայնվի գծային բազմապատկիչների վրա

Õ(x-a i), կլինի մեկ աստիճան և մեկ ամբողջություն

պատվեր. Դաշտը P է sensi tsiy є vіdrіzkom:

Բերելով. Հաջորդաբար ավելացնում ենք a 1 ..., a n արմատը, որից հետո P = P 0 հաջորդաբար շահում ենք Р 1, ..., Р n դաշտերը։ Ենթադրենք, որ R i-1 = P(a 1 ..., a i-1) - դաշտն արդեն ստեղծվել է, և որ P-ն պայմանագիր է R i-1-ի հետ; ապա R i կլինի այդպես.

Խնդիր 2-ից առաջ Р i-1 [x] բազմանդամների օղակը դասավորված է ամբողջության մեջ։ f բազմանդամը յուրաքանչյուր kіltsi-ում քայքայվում է անքակտելի գործոնների, որոնց մեջտեղում առաջին տեղն է x - a 1 ,..., x - a i-1 ; Մյուս հոգնակիներից առաջինը թող լինի f i (x) պարզ կարգի իմաստով։ a i նշանի հետ միասին, որը նշանակում է f i (x) հարուստ տերմինի արմատը, մենք նշանակում ենք P i = P i -1 դաշտը որպես գումարների ամբողջություն։

de h-ը f i (x) հարուստ տերմինի քայլն է: Եթե ​​f i (x) գծային է, ապա, իհարկե, մենք հարգում ենք P i = P i -1; a i կերպարը պետք չէ: Խրախուսեք դաշտն ամբողջությամբ պատվիրել լրացուցիչ հարձակողական հետախուզության համար՝ դաշտի մաշկի տարրը

գուցե հարուստ անդամ

Իսկ դաշտի տարրերը դասավորված են նույն կերպ, ինչպես նրանց հարուստ տերմինների դասավորությունը։

Ակնհայտ է, որ նույն Р i-1-ը գտնվում է Р i-ի, իսկ այդ і P-ի նկատմամբ՝ Р i-ի նկատմամբ։

Tim դաշտերը P 1 ,..., P n իրենք դրդված են մի ամբողջ պատվերով: Р n դաշտը եզակիորեն որոնելի է առաջին P դաշտով (a 1,..., a n):

Լեմմա 4

Բերելով. Ցանկացած երկու a, b տարրերի համար միավորեք երկու S a, S b դաշտերը, որպեսզի փոխարինեք a, b և որևէ մեկը մյուսից առաջ: Խռպոտ դաշտում a + b і a × b i տարրերին հատկացվում են նույնքան տարրեր մաշկի դաշտում, որպեսզի վրեժխնդիր լինեն a և b, քանի որ երկու այդպիսի դաշտերի պատճառով մեկը տեղափոխվում է մյուս դաշտը։ Օրինակ բերել ասոցիատիվության օրենքը

ab g = a bg,

մենք գիտենք S a, Sb, S g միջին դաշտերը, որոնք ընդգրկում են երկու այլ դաշտեր (ամենամեծը); որ ոլորտում կա a, b և g i ասոցիատիվության նոր օրենքում vikonano. Նույն կերպ վերանայվում են ասոցիացիայի տարրերի հաշվարկման ռեշտայի կանոնները։

Հիմնական թեորեմի ապացույցը բաժանվում է մասերի՝ W ենթադաշտ և միասնության ապացույց։

Պոբուդովի W. Lemma 1 դաշտերը ապացուցում են, որ P դաշտի W թվացյալ հանրահաշվորեն փակ ընդլայնման համար բավական է առաջացնել P դաշտի հանրահաշվի նման ընդլայնում, որպեսզի P[x]-ի բազմանդամը կարողանա ընդլայնվել այս ընդարձակումների վրա։ գծային բազմապատկիչների մեջ:

1. Դաշտը P f є ob'ednannyam դաշտը P ի բոլոր դաշտերը S g համար g

2. P f դաշտը դասավորված է այնպես, որ P և բոլոր S g դաշտերը g-ով

3. S f դաշտը գալիս է R f-ից f հարուստ տերմինի տրված արմատներին a 1 ,..., a n լրացուցիչ նշաններից հետո վավերական է մինչև lemi 3։

Պետք է բացատրել, որ այս կերպ Р f , S f դաշտերի ամբողջ դասավորությունը արդյունավետորեն նշանակվում է ամբողջ պատվերային դաշտով, ինչպես նաև բոլոր առաջադիմականները Р g, S g արդեն նշանակված են մեկից ավելի անգամ։

Yakshcho vikonano 3, ապա nasampered P f - vіdrіzok S f. Z ogo i vimogi 2 մենք տեսնում ենք, որ P i մաշկի դաշտը S g (g

Р - vіdrіzok S h ժամը ժ

S g - կրկնակի S h ժամը g

Հնչում է P i դաշտերի S h (h բ, յակը կարող է պահպանվել Պֆ. Նույն կարգը բոլոր դաշտերում նույնն է և նույնը P abo S g yak yak yak a, so ib, որ բոլոր ts դաշտը є v_drіzkami մեկից մեկը: Otzhe, կարգադրում է նշանակվել. Նրանք, ովքեր ամբողջովին պատվիրված են անանձնական, ակնհայտորեն, քանի որ մաշկը դատարկ չէ անանձնական x P f-ում, վրեժխնդիր լինել deyakogo դաշտի աշխատանքի առնվազն մեկ տարրից S g, և դա x x Ç Աշխատանք x Ç S-ի առաջին տարրն է: է. Այս տարրը մեկ ժամ է є i առաջին x տարրը:

Նայելով ձեր մտքին 3, f(x) բազմանդամը կրկին տարրալուծվում է գծային գործակիցների S f դաշտում: Այնուհետև, տրանսֆինիտային ինդուկցիայի օգնությամբ ցույց է տրվում, որ S f-ը հանրահաշվական է P-ի նկատմամբ: Իսկապես, ենթադրվում է, որ բոլոր դաշտերը S g (g

Այժմ մենք պահում ենք բոլոր դաշտերի W ավազանը Sf; zgіdno z lemoy 4 հաղթել є դաշտ. Ամբողջ դաշտը հանրահաշվորեն գտնվում է P-ի վրա, և f բոլոր հարուստ տերմինները ընդլայնված են դրա վրա (փոքր մաշկի բազմանդամներն արդեն ընդլայնված են S f-ի վրա): Նաև W դաշտը հանրահաշվորեն փակ է (Լեմա 1):

W դաշտի միասնությունը: Թող W և W" լինեն երկու դաշտեր, որոնք P դաշտի հանրահաշվական և փակ հանրահաշվական ընդարձակումներ են: Բերենք այս դաշտերի համարժեքությունը: համարվում է նաև այս արգումենտներից մեկով) ենթաբազմապատիկ ¢ W-ում: և որոշ իզոմորֆիզմ

P (Â) @ P (¢).

Մայիսի մնացած մասը կբավարարվի առաջիկա կրկնվող սփիվինգով։

1. P(Â) @ P(¢) իզոմորֆիզմը պայմանավորված է դաշտի P դաշտի մաշկի տարրի քայքայմամբ:

2. P(Â) @ P(¢) իզոմորֆիզմը ÁÌ Â-ով կարող է լինել P(Â) @ P(Á» իզոմորֆիզմի ընդլայնումը:

3. Եթե Â-ը մնացած a տարրն է, այնպես որ Â = ÁÈ(a), և եթե a-ն հարուստ տերմինի արմատն է, որը չի կարող քայքայվել P-ում (Á), ապա a» տարրը պետք է լինի. մեղքը P(Á) @ P(I") սեռի առաջին արմատի համար, որը f¢(x) բազմանդամ է լավ դասավորված W դաշտում»:

Անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ P(Â) @ P(¢) իզոմորֆիզմը կարող է արդյունավետ կերպով վերագրվել նույն ձևով, քանի որ այն արդեն նշանակում է ÁÌ Â-ի բոլոր առջևի եզրերի համար: Այստեղ անհրաժեշտ է առանձնացնել երկու կետ.

Առաջին կաթիլ. Անանձնական Â-ը չի կարող ունենալ մնացած տարրը: Նույն կաշվե տարրը պետք է ընկած լինի երգող առջևի բաճկոնի վրա Á; այդ  є-ին Á-ի համակցված ջրումներին, այդ P(Â)-ին՝ P(Á) կուտակային դաշտերին ÁÌ Â-ի համար: Եթե ​​P(Á) @P(Á") իզոմորֆիզմներից մաշկի տարրերը բխում են նախորդներից, ապա մաշկի տարրը a այս բոլոր իզոմորֆիզմներով ունի միայն մեկ տարր a»: Հետևաբար, կա մեկ և ավելի թեքություն P(Â) → P(¢), որը շարունակում է բոլոր առաջընթաց իզոմորֆիզմները P(Á) → P(Á»), իսկ թեքությունն ինքնին a®a»: Ակնհայտ է, որ դա իզոմորֆիզմ է և 1-ի և 2-ի համակցություն։

Եվս մեկ կաթիլ. Անանուն maє մնացած տարր a; նաև,  = ÁÈ(a). Վերջապես, a» տարրը, որը կապված է a տարրի հետ, եզակիորեն վերագրվում է: Քանի որ a» դաշտը P(I») (վերլուծված իզոմորֆիզմի իմաստով) բավարարում է «նույնը» անհամապատասխանորեն հավասար է i a-ին P(I) նկատմամբ), ապա P(I)→P(I") իզոմորֆիզմը (այն դեպքում, եթե I-ը դատարկ է, ապա նույն P®P իզոմորֆիզմը) բարձրանում է P(I, a) ®P(I", a¢ իզոմորֆիզմը. ), երբ a-ն անցնում է a"-ով: Մաշկի իզոմորֆիզմը միանշանակորեն բացահայտվել է մաշկի առաջարկությամբ, ուստի ռացիոնալ մաշկային ֆունկցիան j(a) ընդհանուր լեզվի գործակիցներով անցնում է j "(a") ֆունկցիայի՝ Á-ի համարժեք գործակիցներով: ) ® P(¢) ակնհայտորեն համապատասխանում է 1-ին և 2-ին:

Այսպիսով, ավարտվում է P(Â)→P(¢) իզոմորֆիզմի փոխարինումը։ Զգալիորեն W» միջոցով բոլոր դաշտերի ընդհանրացումը P(В¢); այնուհետև կա իզոմորֆիզմ P(W)®W» ​​կամ W®W», որը չի պարունակում P դաշտի տարր մաշկի տարածության վրա: Քանի որ W դաշտը հանրահաշվորեն փակ է, ուստի Buti і W ", և W"-ին համապատասխանեցվում է W¢ պահանջվող դաշտի հետ:

Տվյալ դաշտի հանրահաշվորեն փակ ընդլայնման իմաստը նույնն է նրանով, որ մինչև համարժեքությունը հնարավոր է հաղթահարել հանրահաշվական դաշտի հնարավոր ընդարձակումները։ Ավելի ճիշտ.

Եթե ​​W-ը P դաշտի հանրահաշվի հանրահաշվորեն փակ ընդլայնումն է, իսկ S-ը P դաշտի բավականին հանրահաշվական ընդլայնումն է, ապա W-ի մեջտեղում կա S 0-ի ընդհանուր ընդլայնում, որը համարժեք է S-ի ընդլայնմանը։

Բերելով. Մենք կարող ենք S-ն ընդլայնել որոշակի փակ հանրահաշվական ընդարձակման W-ի վրա: Այն կլինի հանրահաշվական և P-ից ավելի, և հետևաբար համարժեք W-ի ընդարձակմանը: Ցանկացած իզոմորֆիզմի դեպքում W-ը W-ի վերածելու համար՝ վերցնելով P-ի անկոտրում մաշկի տարրը, S դաշտը անցնում է յոմա ենթադաշտի մեջ, որը համարժեք է S 0W:

4.2. Ներեցեք տրանսցենդենտ ընդլայնումը:

Մաշկը պարզապես D դաշտի տրանսցենդենտալ ընդլայնումն է, որը, ըստ երևույթին, համարժեք է D[x] բազմանդամների օղակի մասնավոր D(x) դաշտին։ Այն մի վիվչիմո ցե մասնավոր դաշտին

W դաշտի տարրերը ռացիոնալ ֆունկցիաներ են

Թեորեմ. n քայլի h տրանսցենդենտալ տարրը տրանսցենդենտալ է D і դաշտը D(x) n քայլի D(h) դաշտի հանրահաշվի ընդլայնումն է։

Բերելով. h = f(x)/g(x) ներկայացումը կարճատև չէ: Նույն x տարրը բավարարված է

g(x)×h - f(x)=0

D(h) գործակիցներով։ Գործակիցների թիվը չի կարող հավասար լինել զրոյի: Իսկապես, եթե բոլոր հոտերը հավասար էին զրոյի, իսկ ak տառը նույն աշխարհում x-ը լինի g (x) բազմանդամի ոչ զրոյական գործակիցը, իսկ b k-ը՝ f (x) բազմանդամի ոչ զրոյական գործակիցը, ապա այն. Բավական չի լինի, որ մայրը հավասար լինի

աստղեր h = b k / ak = const, որը սնահավատություն է: Կրկին x տարրը հանրահաշվական է D(h) նկատմամբ:

Եթե ​​h տարրը թեև հանրահաշվական է D-ի նկատմամբ, ապա x-ը թեև D-ի նկատմամբ հանրահաշվական է, ինչը, սակայն, այդպես չէ։ Կրկին h տարրը տրանսցենդենտալ է D-ի նկատմամբ:

x տարրը n քայլի հարուստ տերմինի արմատն է

ռինգում D(h)(z). Այս բազմանդամը անբաժանելի է D(h)[z]-ում, բեկորները նույնպես vin bouv bi կարող են քայքայվել n kіlci D, і, vin-ի բեկորները գծային են h-ում, maw bi-ի բազմապատիկներից մեկը հնարավոր չէ: ավանդ դնել h, կամ պակաս z. Բայց այդպիսի բազմապատկիչ չի կարող լինել, քանի որ g(z)-ը և f(z)-ը փոխադարձաբար պարզ են։

Բացի այդ, x տարրը n հանրահաշվի քայլ է D(h) դաշտում: Աստղերը ամուր են, ուստի (D(x) : D(h)) = n

Ավելի ստորության համար կարևոր է, որ հարուստ անդամը

Չկան բազմապատիկներ, որոնք կարող են ընկած լինել միայն z-ի մոտ (D[z]-ի մոտ պառկել): Tse-ի պնդացումը վերացվում է, եթե h-ն փոխարինվում է իր f (x) / g (x) արժեքներով և բազմապատկվում է g (x) դրոշով, մենք ինքներս բազմանդամ ենք:

g(z)f(x) - f(z)g(x)

kіltsya D չկան բազմապատկիչներ, ընկնում են միայն vіd z.

Վերը բերված թեորեմներից երեք դիտողություն կա.

1. h - f(х)/g(х) ֆունկցիայի քայլը պետք է տեղադրվի միայն D(h) և D(x) դաշտերում, այլ ոչ թե x առաջացնող մեկ այլ տարրի ընտրության մեջ:

2. Ռիվնիստ D(h) = D(x)-ը նույնից փոքր է, եթե h-ն փոքր է 1-ից, ապա դա հարվածային-գծային ֆունկցիա է։ Tse-ն նշանակում է՝ դաշտի մայր տարրը՝ x տարրի ծալքավորը, կարող է լինել x-ի նման կոտորակային-գծային ֆունկցիա և միայն այդպիսի ֆունկցիա։

3. D(x) դաշտի ցանկացած ավտոմորֆիզմ, որը կտավի վրա թողնում է D դաշտի տարրը, մեղավոր է x տարրը դաշտի ցանկացած տարրի վերածելու համար։ Ետ, եթե x-ը թարգմանվում է մայր տարրի x = (ax + b) / (cx + d) և մաշկի ֆունկցիայի j (x) - y ֆունկցիայի j (x), ապա դուրս է գալիս ավտոմորֆիզմ, երբ D բոլոր տարրերը մնացել են: թիրախի վրա. Օտժե,

D(x) դաշտի բոլոր ավտոմորֆիզմները D դաշտի վրա հարվածային-գծային փոխարինումներ են

x = (ax+b)/(cx+d), ad – bc ¹ 0:

Կարևոր է որոշ երկրաչափական նվաճումների համար

Լուրոտի թեորեմա. Մաշկի միջանկյալ S դաշտը, որի համար DÌSID(x) պարզ տրանսցենդենտալ ընդարձակումներ է՝ S = D(q):

Բերելով. x տարրը մեղավոր է S-ի նկատմամբ հանրահաշվական լինելու համար, քանի որ եթե h - եթե S-ի որևէ տարր չի պատկանում D դաշտին, ապա, ինչպես ցույց տրվեց, x տարրը հանրահաշվական է D (h) և նույնիսկ ավելի հանրահաշվական S-ի նկատմամբ: S [z] հարուստ տերմինը ավագ գործակցով 1 և արմատ x կարող է տեսք ունենալ

f 0 (z) \u003d z n + a 1 z n -1 + ... + a n. (մեկ)

Z'yasuєmo Budov-ի հարուստ անդամ.

Տարրերը a i є ռացիոնալ ֆունկցիաներ x. їх-ի քնած դրոշով բազմապատկելու համար այն կարող եք օգտագործել բազմաթիվ ռացիոնալ ֆունկցիաներով և, ավելին, 1-ի փոխարեն վերցնել հարուստ տերմին, ինչպիսին x іz է:

f(x, z) = b 0 (x) z n + b 1 (x) z n-1 + ... + b n (x):

Բազմանդամի քայլերը նշանակալի են m-ով, իսկ z-ով` n-ով:

a i \u003d b i / b 0 z (1) գործակիցները չեն կարող անկախ լինել x-ում, այնպես որ x-ը հակառակ դեպքում կհայտնվի որպես հանրահաշվական տարր D-ի վրա. ուրեմն նրանցից մեկն ասա.

q = a i = b i (x) / b 0 (x),

իրականում մեղավոր է ավանդադրման համար vіd x; Եկեք կարճ հայացքով գրենք յոգան.

g(x) և h(x) բազմանդամների աստիճանները չեն գերազանցում m Բազմանդամը

g(z) - qh(z) = g(z) – (g(x)/h(x))h(z)

(որը նույն զրո չէ) եթե z = x արմատը, ապա vin-ը S[z] օղակում բաժանվում է f 0 (z)-ի: Եթե ​​դուք ուզում եք x հարուստ տերմիններով ռացիոնալից անցնել ցիլիհին x հարուստ տերմիններով zmist 1-ով, ապա դուք պետք է պահպանեք ձեր բաժանելիությունը, և մենք կվերցնենք այն:

h(x)g(z)-g(x)h(z) = q(x, z)f(x, z).

Այս հավասարության ձախ մասը ունի x-ի երկայնքով քայլեր, բայց այն չի շարժվում t: Աջում գտնվող Ալեն արդեն f stupіn t-ի հարուստ անդամ է; otzhe, ձախ մասի քայլերը ճիշտ են հին և q(x, z) x-ում չեն ընկած: Այնուամենայնիվ, անհնար է ավանդադրել z-ից պակաս՝ ձախ մասը բաժանելու համար (ավելին բաժանում); դրա համար q(x, z) հաստատուն է՝

h(x)g(z)-g(x)h(z) = qf(x, z).

Քանի որ q հաստատունի առկայությունը դեր չի խաղում, Բուդովի բազմանդամը f(x, z) նկարագրված է ամբողջությամբ։ x-ում f(x, z) բազմանդամի քայլերն ավելի առաջադեմ են (համաչափության համաչափությամբ), իսկ z-ի քայլերն ավելի առաջադեմ են, ուստի m = n. m, ավելի ուշ, i ֆունկցիան q պայմանավորված է մորից: քայլերից m x.

Ժամանակն է, մի կողմից բեկորները հավասար են

(D(x):D(q)) = m,

իսկ մնացածի համար՝ խանդը

այդ բեկորները վրեժ լուծելու համար D(q),

Վիսնովոկ.

Ռոբոտներն այսպիսի տեսք ունեին, տես P թվային դաշտի ընդլայնումը.

Դաշտային հանրահաշվի պարզ ընդլայնում:

Հանրահաշվի դաշտի պահեստային ընդլայնում.

Անբաժանելի և անբաժանելի ընդարձակումներ.

Ոռոգման անսահմանափակ ընդլայնում.

Վերլուծելով աշխատանքը, կարող եք ստեղծել թուլացած visnovki:

Z-ն նայեց ընդլայնման առաջին երկու մասերին, ինչպիսիք են.

հանրահաշվի պարզ ընդլայնում;

ավարտի ընդլայնում;

Հանրահաշվի պահեստի ընդլայնում.

Հաջորդը, եթե տեսնեք, որ zbіgayutsya і, zokrema ընդլայնումները գծված են P դաշտի պարզ հանրահաշվական ընդարձակումներով:

Հղումների ցանկ

1. Լ.Յա. Կուլիկիվ. Հանրահաշիվ և թվերի տեսություն. - Մ.: Վիշչ. դպրոց, 1979.-528-538 թթ.

2. Բ.Լ. Վան դեր Վաերդեն. Հանրահաշիվ.- Մ., 1976 - 138-151 թթ., 158-167 թթ., 244-253 թթ.

3. Է.Ֆ. Շմիգիրյովը, Ս.Վ. Իգնատովիչ. Հարուստ տերմինների տեսություն. - Մոսիր 2002 թ.

Այս աշխատանքի պատրաստման համար նյութեր ենք հավաքել կայքից