Հանրահաշվական և տրանսցենդենտալ թվեր. տրանսցենդենտալ թվեր տրանսցենդենտալ թվեր

այսինքն a = 1-ի համար մեզ ծառայել է երկրաչափական առաջընթացի գումարի նպատակը: Ենթադրելով, որ Գաուսի թեորեմն ապացուցված է, ենթադրվում է, որ a = a 1 հավասար արմատ է (17),

Հաշվի առնելով virase s f(x) և վերախմբավորման տերմինները՝ մենք հաշվի ենք առնում նույնականությունը

f(x) = f(x) − f(a1) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1):

(21) Այժմ մաքրելով բանաձևը (20), մենք կարող ենք տեսնել x − a 1 բազմապատկիչը մաշկի անդամից և այնուհետև մեղադրել Յոգոյին աղեղի համար, ընդ որում, հարուստ անդամի ոտքերը, որոնք մնացել են աղեղների մեջ, դառնում են մեկ: ավելի քիչ: Վերախմբելով նոր անդամներ՝ մենք հանում ենք նույնականությունը

f(x) = (x - a1 )g(x),

որտեղ g(x)-ը n − 1 քայլի հարուստ անդամ է:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1x + b0.

(Գործակիցների հաշվարկը, որոնք հայտնի են b-ի միջոցով, մենք այստեղ ենք կոչվելու:) Անհրաժեշտ է նույն հաշվարկը հեռացնել g (x) բազմանդամից: Համաձայն Գաուսի թեորեմի՝ a2 քառակուսի արմատը հավասար է g(x) = 0, այնպես որ

g(x) = (x - a2)h(x),

որտեղ h(x)-ը n − 2 քայլի նոր բազմանդամ է: Կրկնելով n − 1 անգամ

Նույնությունից (22) ոչ միայն նրանք, որոնք բարդ թվեր են a1, a2,

An-ը հավասարի (17) արմատի էությունն է, իսկ հավասարի (17) այլ արմատներ չունեցողները։ Ճիշտ է, yakbi համարը y-ն հավասար (17) արմատն էր, այնուհետև s (22) սահեց bi

f(y) = (y - a1) (y - a2): . . (y - an) = 0:

Ale mi bachili (էջ 115), որ կոմպլեքս թվերի գումարումը զրոյին այն և ավելի քիչ, որպես զրոյի բազմապատկիչներից մեկը։ Նաև y−ar բազմապատկիչներից մեկը հավասար է 0-ի, ուստի y = ar, որն անհրաժեշտ է սահմանել։

§ 6.

1. Նպատակն այդ սննդային պատճառն է։ Ցանկացած x թիվը կոչվում է հանրահաշվական թիվ;

130 ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳ գլ. II

դե համարներ նա թվեր. Այսպիսով, օրինակ, 2 թիվը հանրահաշվական է, այն, ինչը գոհ է հավասարից

x2 - 2 = 0:

Հանրահաշվական թվի նույն աստիճանում կա արդյոք արմատ, լինի դա հավասար, երրորդ, չորրորդ, հինգերորդի ամբողջ գործակիցներով, լինի դա աշխարհ, և ինքնուրույն, ի լրումն, կարող է արտահայտվել, թե ոչ. արմատականների կողմից։ Հանրահաշվական թվի հայեցակարգը ռացիոնալ թվի հայեցակարգի բնական ըմբռնումն է այնպես, որ հաստատում է օկրեմի անկումը n = 1:

Ամեն իրական թիվ չէ, որ հանրահաշվական է: Tse vipliva z վիրավորական, Kantor-ի հետ, թեորեմներ. Rachunkiv հանրահաշվի բոլոր թվերի անանձնականությունը: Բո բեզլիչ ուսիխ օրվա համարներըանտարբերելի է, ապա obov'yazkovo-ն պետք է օգտագործի իրական թվերը, քանի որ դրանք հանրահաշվական չեն:

Նշենք անանձնական հանրահաշվական թվերի լուծման մեթոդներից մեկը։ Մաշկը հավասար է արտաքին տեսքին (1), որը հավասար է թիրախային թվին

h = | մի | + | ան-1 | +. . . + | a1 | + | ա0 | +n,

հանուն ոճի, մենք այն անվանում ենք «բարձր» հավասար: Մինչև մաշկի ֆիքսված արժեքը n-ը միայն վերջին թիվն է, որը հավասար է h բարձրությամբ (1) ձևին: Նման հավասարներից մաշկը կարող է լինել ավելի քան n արմատ: Դրա համար կարելի է օգտագործել հանրահաշիվների միայն վերջին թվերը, որոնք ստեղծվում են h բարձրությամբ հավասարներով; հայրիկ, ամեն ինչ հանրահաշվական թվերդուք կարող եք roztashuvati աչքում հաջորդականության, overshooting գլուխը նրանց, քանի որ նրանք ծնվել են հավասար բարձրության 1 ապա - բարձրությունը 2 եւ այլն:

Անանձնական հանրահաշվական թվերի նույնականության այս ապացույցը հաստատում է իրական թվերի հիմքը, քանի որ դրանք հանրահաշվական չեն: Նման թվերը կոչվում են տրանսցենդենտալ (լատիներեն transcendere - անցնել, շուռ գալ); Էյլերը նրան այնպիսի անուն է տվել, որ հոտ է գալիս «հանրահաշվի մեթոդների խստությունը տապալելու համար»։

Տրանսցենդենտալ թվերի հիմքի մասին Կանտորի ապացույցը կառուցողական թվերի առաջ չի ընկած: Տեսականորեն, հնարավոր է տրանսցենդենտալ թիվ առաջացնել լրացուցիչ անկյունագծային ընթացակարգի համար, որն իրականացվում է հանրահաշվի բոլոր թվերի տասնյակ ընդլայնումների հստակ ցուցակի վրա. Բայց նման ընթացակարգը զերծ մնաց որևէ գործնական նշանակությունից և չէր հանգեցնի մի թվի, որը կարելի էր գրել տասնյակներով (կամ որևէ այլ) դրիբով։ Տրանսցենդենտալ թվերի հետ կապված խնդիրների մեծ մասը կապված է ապացուցելու հետ, որ peevn-ը, հատուկ թվերը (այստեղ p և e թվերը, div. 319-322-ի մասին) տրանսցենդենտալ են:

**2. Լիուվիլի թեորեմը և տրանսցենդենտալ թվերի կառուցումը. Տրանսցենդենտալ թվերի հիմքի ապացույցը Կանտորից առաջ տվել է Ջ.Լյուվիլը (1809–1862): Այն մեզ թույլ է տալիս իրականում կառուցել նման թվերի օրինակներ: Lіouvil-ի ապացույցն ավելի կարևոր է, ավելի ցածր, քան Cantor-ի ապացույցը, և զարմանալի չէ, որ բեկորները կառուցում են հետույք, բորբոքված թվացյալ, ծալված, ցածր՝ հիմքը բերելու համար: Ավելի ցածր առաջատարը Լիուվիլի ապացույցն է, թերևս այն ավելի քիչ նման է պատրաստված ընթերցողի, որը ցանկանում է ապացույցը հասկանալ տարրական մաթեմատիկայի բավարար իմացությամբ:

Ինչպես ցույց տվեց Լյուվիլին, իռացիոնալ հանրահաշվական թվերն ունեն այնպիսի հզորություն, որ դրանք չեն կարող մոտավորվել ռացիոնալ թվերով արդեն իսկ մեծ ճշգրտությամբ, պարզապես մի վերցրեք կոտորակների դրոշակները, որոնց մոտավոր են, չափազանց մեծ:

Ենթադրենք, որ z թիվը բավարարում է ամբողջ թվային գործակիցներով հանրահաշվի հավասարումը

բայց դուք չեք բավարարվում ցածր մակարդակի նման հարթեցմամբ։ Թոդի

թվում է, որ x-ն ինքնին n աստիճանի հանրահաշվի թիվն է։ Այսպիսով, օրինակ,

z = 2 թիվը հանրահաշվի 2 մակարդակի թիվն է, այնպես որ x2 − 2 = 0√ մակարդակը բավարարվում է 2-րդ մակարդակով, բայց ոչ առաջին մակարդակի մակարդակը չի բավարարվում. z = 3 2 թիվը - քայլ 3, որը բավարարվում է x3 - 2 = 0-ով, բայց չի բավարարվում (ինչպես ցույց ենք տալիս III բաժնում) ստորին քայլը: n > 1 քայլի հանրահաշվական թիվը

չի կարող ռացիոնալ լինել, քանի որ ռացիոնալ թիվը z = p q

բավարարում է մակարդակը qx − p = 0 քայլ 1. Մաշկ իռացիոնալ թիվ z-ն որոշ չափով ճշգրտությամբ կարող է մոտավորվել լրացուցիչ ռացիոնալ թվով. չի նշանակում, որ դուք միշտ կարող եք նշել ռացիոնալ թվերի հաջորդականությունը

p1, p2,. . .

q 1 q 2

Շրջապատված չէ աճող պաստառներով, որ Վոլոդյա Թիմ-

ինչ, ինչ

p r → z. qr

Լիուվիլի թեորեմը ապշեցուցիչ է. եթե չլիներ n > 1 քայլի z հանրահաշվի թիվը, այն չէր կարող ավելի մոտ լինել լրացուցիչ ռացիոնալին:

ավարտել մեծ bannermen obov'yazkovo vykonuetsya nerіvnіst

Մենք ընտրում ենք ապացուցել թեորեմը, և ավելի վաղ կցուցադրվի, թե ինչպես կարելի է տրանսցենդենտալ թվեր ստանալ լրացուցիչ օգնության համար։ Եկեք նայենք թվին

z = a1 10-1! + a2 10-2! + a3 10-3! +. . . + am · 10−m! +. . . = = 0,a1 a2 000a3 000000000000000000a4 000: . ,

de ai-ը նշանակում է 1-ից 9-ի որոշակի թվեր (ավելի հեշտ կլիներ բոլոր ai-ը հավասարեցնել 1-ի), իսկ n-ի նշանը: . . n. Նման թվի տասներորդ բաշխման բնորոշ ուժը նրանք են, ովքեր խմբեր են, որոնք արագորեն մեծանում են իրենց դոժինայի հետևում, նորում զրոներ են գծվում օկրեմի թվանշաններով, որոնք նման են զրոյի։ Զգալիորեն zm-ի միջոցով, տասներորդ դրիբի վերջը, որը կարգավորվում է, եթե բոլոր անդամները վերցված են դասավորությամբ մինչև am · 10−m! ներառական։ Թոդին հանիր նյարդայնությունը

Ենթադրենք, որ z-ն n քայլի հանրահաշվի թիվն է։ Todi, հարգելով Lіouville-ի նյարդայնությունը (3) pq = zm = 22pm: , մենք մեղավոր մայրեր ենք

|զ - զմ | > 10(n+1)մ!

մ բարձր արժեքներով։ Մնացած անհավասարության համեմատությունը նյարդայնության հետ (4) այո

աստղերը հետևում են (n + 1) մ! > (մ + 1)! − 1 մեծ մ. Alece-ն սխալ է m-ի n-ից մեծ արժեքների համար (թող ընթերցողը փորձի մանրամասնորեն ապացուցել այս պնդումը): Մենք didshli սուպեր-սրություն. Բացի այդ, z թիվը տրանսցենդենտալ է:

Մնում է ավարտել Լիուվիլի թեորեմը։ Ենթադրենք, որ z-ը n > 1 աստիճանի հանրահաշվի թիվն է, որը բավարարում է (1) հավասարումը, այնպես որ.

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn).

Զմ − z-ի վրա վիրավորական մասերի հետ վարվելը և հանրահաշվական բանաձևով միջուկը

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

ընդունում ենք.

Քանի որ zm-ը ճիշտ z-ն է, ապա երբ դուք հասնում եք մեծ m-ին, ռացիոնալ է, որ zm թիվը հաշվի առնվի մեկով պակաս: Հետևաբար, մեծ մ-ի չափաբաժնի համար դուք կարող եք վաստակել այսպիսի մոտավոր գնահատական.

N|an|(|z|+1)n−1 = M, (7)

ընդ որում, աջլիկ լինելու համար M թիվը հաստատուն է, z բեկորները ապացուցման գործընթացում չեն փոխվում։ Vibero հիմա մ հատակը հիանալի է, շոու

կոտորակ z m = p m ստանդարտ q m ավելի բարձր, ցածր M; նույնպեսքմ

այնպես որ f(x) բազմանդամից հնարավոր եղավ տեսնել նաև բազմապատկիչը (x − zm), i, նույնպես, z-ը բավարարվեց ստորին ստորին n-ի մակարդակով։ Otzhe, f(zm) 6= 0. Ale թիվը հավասարության աջ մասում (9) Այսպես, zіzstavlennya sіvvіdnіshen (8) և (9) vyplyaє nerіvnіst:

դեռ պահեստ zmіst zaznachenї թեորեմ.

Մնացած մի քանի տասնամյակների ընթացքում հանրահաշվական թվերը ռացիոնալ թվերով մոտավորելու հնարավորությունը տարածվում էր հեռավորության վրա: Օրինակ, նորվեգացի մաթեմատիկոս Ա. Թյուը (1863–1922) պարզել է, որ Լյուվիլի անհավասարությունը (3) կարող է ունենալ n + 1 ցուցիչ, որը փոխարինվում է ավելի փոքր n 2 + 1 ցուցիչով։

Siegel-ը ցույց է տալիս, որ դուք կարող եք վերցնել նույնիսկ ավելի փոքր (փոքր

ավելի մեծ n) ցուցիչով 2 n.

Տրանսցենդենտալ թվերը միշտ էլ եղել են թեմա, քանի որ դրանք մաթեմատիկոսների հարգանքն են սրել իրենց նկատմամբ: Ալե, մինչև օրվա կեսի վերջին ժամը, ինչպես tsіkavі հզոր ուժերի կողմից, այդպիսիք շատ չեն եղել, տեղադրվել է նման բուլոյի տրանսցենդենտալ բնույթը: (P թվի գերազանցման պատճառով, ինչպես դա տեղի է ունենում III բաժնում, ցիցը քանոնի և կողմնացույցի օգնությամբ քառակուսի դնելու անհնարինություն կա:) Փարիզի միջազգային մաթեմատիկական կոնգրեսում իր ելույթում 1900 թ. Դեյվիդ Հիլբերտը երգում է երեսուն մաթեմատիկական

խնդիրներ, որոնք թույլ են տալիս պարզ ձևակերպումներ, deyakі - navіt zovsіm տարրական և ավելի հայտնի, չգիտես ինչու ոչ միայն vilіshena չէր, այլ navіtі չի տրվել շենքի կողմից, այլ թույլատրվել է tієї դարաշրջանի մաթեմատիկոսների կողմից: Qi «Hilbert-ի խնդիրները» ուժեղ արթնացման կոչ տվեցին մաթեմատիկայի զարգացմանը առաջիկա շրջանում։ Mayzhe բոլոր գարշահոտությունները քայլ առ քայլ թույլատրվում էին, իսկ հարուստ վիպադկաներում նրանց վիրիշենիան պայմանավորված էր ավելի աղաղակող և ցայտուն մեթոդների իմաստով հստակ դրսևորված հաջողություններով։ Խնդիրներից մեկը, որի հետ հուսահատվածը համարձակվեց զբաղվել

ապացույց, որ թիվը

є տրանսցենդենտալ (chi wanta b իռացիոնալ): Երեք տասնամյակ շարունակ հնարավոր չէր ճնշում գործադրել նման pidhіd-ի վրա, որպեսզի կերակրվի ուրիշի կողմից, ինչը հաջողության հույս էր ներշնչում: Զրեշտոյուն, Զիգելը և անկախ ռուս երիտասարդ մաթեմատիկոս Ա. Գելֆոնդը հարստության գերազանցությունն ապացուցելու նոր մեթոդներ են հայտնաբերել

թվեր, որոնք կարող են նշանակել մաթեմատիկայի իմաստը: Զոկրեմա, Բուլոն ներդրված

Հիլբերտի թիվ 2 2-ի նման տրանսցենդենցիան և թվերի մեծ դասի թվերի թվերի մեծ դասի թվի 2-րդ թիվը, որտեղ a-ն հանրահաշվական թիվ է, կանոնը 0-ն է և 1-ը, իսկ b-ն իռացիոնալ հանրահաշվական թիվ է:

ԼՐԱՑՈՒՄ ՌԱԶԴԻԼՈՒ II-ին

Բազմապատիկների հանրահաշիվ

1. Թեժ տեսություն. Դասի, sukupnostі, chi անանձնական առարկաների հայեցակարգը մաթեմատիկայի ամենահիմնականներից մեկն է: Անանձնականը նշանակում է սատանայական ուժ («հատկանիշ») Ա, որը կամ մոր մեղքն է, կամ ոչ մոր մորը վերլուծում է առարկան. այդ առարկաները, ինչպես Ա-ի ուժը, կազմում են Ա-ի անանձնականությունը: Այսպիսով, ինչպես տեսնում ենք, որ թվի նպատակն է, որ A-ի ուժը ներում է, ապա A-ի անանձնականությունը գումարվում է սովորական պարզից: համարներ 2, 3, 5, 7, . . .

Մաթեմատիկական տեսությունբազմապատիկները բխում են նրանից, որ հնարավոր է նոր բազմապատկիչներ սահմանել լրացուցիչ գործողությունների համար (նմանապես, ինչպես այդ բազմապատկիչի ծալման լրացուցիչ գործողության թվերից, հայտնվում են նոր թվեր)։ Vyvchennya գործողությունները բազմապատկման վրա՝ դառնալու «բազմակի հանրահաշվի» առարկա, քանի որ այն կարող է առատորեն համահունչ լինել մեծ թվային հանրահաշվին՝ ցանկանալով տեսնել, թե ինչու և դրա մեջ: Այն փաստը, որ հանրահաշվի մեթոդները կարող են շեղվել մինչև այն աստիճան, որ ներառվեն ոչ թվային առարկաներ, ինչպիսիք են անանձնականը, իլու-

ժամանակակից մաթեմատիկայի գաղափարների մեծ սերտաճում։ Մնացած ժամին պարզ էր, որ բազմապատկումների հանրահաշիվը նոր լույս է սփռում մաթեմատիկայի հարուստ մոգության վրա, օրինակ՝ աշխարհի տեսության և երևակայական իրերի տեսության վրա; vona korisna-ն նաև համակարգվածության pіd ժամ է մաթեմատիկան հասկանալոր z'yasuvannі їх տրամաբանական zv'yazkіv.

Նադալ Ես նկատի ունեմ postiynu անանձնական օբյեկտների դեկը, այդպիսի բայդուժի բնույթը և ինչպես մենք կարող ենք այն անվանել համընդհանուր անանձնականություն (կամ mirkuvannya տիեզերքը) և

A, B, C, . . . Եթե ​​I-ը բոլոր բնական թվերի բազմությունն է, ապա A-ն, ասենք, կարող է նշանակել բոլոր զույգ թվերի բացակայությունը, B-ն բոլոր չզույգված թվերի բացակայությունն է, C-ը բոլոր պարզ թվերի բացակայությունն է և այլն: ապա A-ն կարող է լինել անիմաստ կետ այս ցցի մեջտեղում, B-ն՝ անիմաստ կետ մեկ այլ ցցի մեջտեղում և այլն: Մետա, ասես հետևում է մի այնպիսի ընդլայնման, որ խփում է այդ դիրքի փրկության վրա, որ մաշկի հեղինակությունը Ա-ն ցույց է տալիս I-ից շատ տարրեր, որոնք կհանգեցնեն հեղինակության ուժին։ Ժամանակներում, որպես A є համընդհանուր vykonuvan հեղինակություն, որի հետույքը կարող եք ծառայել (ինչպես կարող եք գտնել թվերի մասին), իշխանությունը բավարարում է չնչին համարժեք x = x, ապա բազմապատկիչի դեպքում ես կլինեմ ինքը՝ ես՝ մաշկի տարրը։ կարող է ունենալ այդպիսի լիազորություն. մյուս կողմից, որպես A є որպես ներքուստ գերհզոր ուժ (կշտալտ x 6 = x-ի վրա), ապա հնարավոր չէ վրեժ լուծել տարրերից, այն «դատարկ» է և նշվում է խորհրդանիշով։

Թվում է, թե A բազմապատկիչը B բազմապատկիչի ենթաբազմապատկիչն է, մի խոսքով, «A-ն մտնում է B-ում», կամ «B-ն վրեժխնդիր է Ա»-ին, քանի որ A բազմապատկիչը չունի այնպիսի տարր, որը նույնը չէ, ինչ բազմապատկիչը: Բ.

A B կամ B A.

Օրինակ, բոլոր ամբողջ թվերի անանձնական A-ն, որը բաժանվում է 10-ի, բոլոր ամբողջ թվերի անանձնական B-ի ենթաբազմապատիկն է, որը բաժանվում է 5-ի, ուստի մաշկի համարը, որը բաժանվում է 10-ի, նույնպես բաժանվում է. 5. A B-ն չի ներառում B A. maє mіsce i te y іnshe, ապա.

Tse նշանակում է, որ մաշկի տարրը A є միևնույն ժամանակ B տարրը, і ետ, ուստի բազմապատկեք A և B-ն՝ փոխարինելու նույն տարրերը:

Spivvіdnoshennia A B mizhiny հարուստ ինչ կռահել spіvіdnoshennia ա 6 բ mizh թվեր. Զոկրեմա, ակնհայտորեն հետագծված

փչում զորությունը այս spіvvіdnoshennia:

1) Ա Ա.

2) Եթե ​​AB և BA, ապա A = B:

3) Ինչպես A B-ն և B C-ն, ապա A C-ն:

Պատճառներով spіvvіdnoshennia AB երբեմն կոչվում է «պատվիրել»: Golovna Vidmіnniy Analized SPIVVISHENYNYA VID SPIVVISHENYNYA A 6 b ականներ Պոլեգայի թվերում մեկում, կովի զարմիկը թվերի թվի a і b չէ ռեզերվային անալոգային պնդումը սխալ է. Օրինակ, որ Ա-ն անանձնական է, որը կազմված է 1, 2, 3 թվերից,

իսկ B-ն բազմապատկիչ է, որը գումարվում է 2, 3, 4 թվերից,

ապա ժամանակ չկա A B-ի կամ B A-ի համար: Պատճառներ չկան ասելու, որ A, B, C, . . . բազմապատկիչներ I є «մասնակի պատվիրված», նույնն է, ինչ արդյունավետ թվերը a, b, c, . . .

սահմանել «լիովին պատվիրված» կարգ.

Հարգանքներով, ի թիվս այլոց, որ տարբերություն չկար A-ի և B-ի միջև, որ եթե չլիներ A-ի բազմապատկիչ, ապա I-ի բազմապատկիչ,

Հզորություն 4) կարող է որոշ չափով պարադոքսալ լինել, բայց, եթե մտածեք դրա մասին, տրամաբանորեն ենթարկվում է նշանակված նշանի ճշգրիտ փոփոխությանը: Ճիշտ է, spіvvіdnoshnya A-ն կոտրվել է միայն

մեջ այդ վիպադկային, կարծես դատարկ, շատ տարրեր սխալ տեղավորեցին տարերքը, որը վրեժ չլուծեց բ Ա. բայց այսպես, դատարկ անանձնականի պես, վրեժ մի՛ լուծիր տարրերից, ուրեմն չես կարող լինել, եթե չլիներ Ա.

Մենք այժմ նշանակալի երկու գործողություն ենք բազմապատկելու վրա, որոնք պաշտոնապես թույլ են տալիս հարուստ հանրահաշվային իշխանություններին ավելացնել թվերի այդ բազմապատկությունը՝ ցանկանալով իրենց ներքին zmіsto zovsіm vіdminnі vіd tsikh թվաբանական diy: Թող A և B լինեն երկու բազմապատկիչ: Տերմինների կամ «տրամաբանական գումարի» ներքո A-ն և B-ն հասկանում են անանձնականը, որը կազմված է հանգիստ տարրերից, որոնք գտնվում են A-ում կամ.

մեջ B (ներառյալ և այն տարրերը, որոնք կարելի է գտնել A և B-ում): Այս բազմապատկիչը նշվում է A + B-ով: 1 «Պերետինայի» կամ «տրամաբանական արարման» տակ Ա և Բ-ն հասկացվում են անանձնապես, որոնք կազմված են հանգիստ տարրերից, որոնք կարելի է գտնել A-ում և B-ում: Այս բազմապատկիչը նշվում է AB.2-ով:

A + B և AB գործողությունների հանրահաշվի կարևոր ուժերի շարքում հարձակողականությունը ճնշված է: Ընթերցողը կարող է հակադարձել արդարությունը՝ կախված հենց գործողությունների նպատակից.

Այս բոլոր օրենքների վերստուգումը աջ կողմի ամենապարզ տրամաբանությունն է։ Օրինակ, կանոն 10) սահմանում է, որ տարրերն անանձնական են, որ կա՛մ Ա-ն, կա՛մ Ա-ն, կա՛մ անանձնական Ա-ն. կանոն 12) նշելով, որ անանձնական տարրերը, եթե դրանք գտնվում են A-ում և միևնույն ժամանակ կամ B կամ C են, ապա անանձնական տարրեր են, եթե կան, կամ դրանք միաժամանակ գտնվում են A-ում և B-ում, կամ գտնվում են Միևնույն ժամանակ A-ում և C-ում vykoristovuyutsya-ում ապացուցում են նմանատիպ կանոններ՝ ձեռքով նկարազարդված, կարծես մենք կարողացանք պատկերացնել անանձնական A, B, C, . . . Հրապարակում նման ֆիգուրներին տեսնելով՝ մենք ավելի հարգալից կլինենք այդ առումով, որպեսզի բաց չթողնենք տրամաբանական հնարավորությունները, եթե խոսքը գնում է երկու հավաքածուի հիմնական տարրերի առկայության մասին, կամ, ընդհակառակը, առկայության մասին։ տարրերի մի հավաքածուից, եթե չգտնվի մյուսում:

Ընթերցողն, անկասկած, կորցրել է հարգանքը նրանց նկատմամբ, ովքեր օրենքներ են ընդունում 6), 7), 8), 9) և 12)-ը կոչվում են նույնը ձայնային հանրահաշվի հանրահայտ կոմուտատիվ, ասոցիատիվ և բաշխիչ օրենքներով: Zvіdsi viplivaє, scho tse կանոնները zvichaynoї հանրահաշիվ, yakі z tsikh օրենքներ, արդյունավետ է հանրահաշիվը բազմությունների. Նավպակի, օրենքներ 10), 11) և 13) բնօրինակ հանրահաշվի անալոգներ չկան, և դրանք հանրահաշվին տալիս են շատ պարզ կառուցվածք: Օրինակ, բազմապատկիչների հանրահաշիվում երկանդամ բանաձևը կարող է կրճատվել մինչև ամենապարզ հավասարությունը

(A + B) n = (A + B) · (A + B): . . (A + B) = A + B,

որպես օրենքի 11): Օրենքներ 14), 15) և 17) խոսել նրանց մասին, որ I-ի հոգնակի հզորությունը թվի առումով մինչև այդ թիվը գումարելու գործողությունը նման է 0 և 1 թվերի հզորությանը նախորդող ժամկետի առումով. թվային թվերի գործողություն և այդ հոգնակի գումարում։ Ալե օրենքը 16) թվային հանրահաշիվում նմանը չունի:

Մնում է տրվել ևս մեկ գործողություն բազմությունների հանրահաշիվում: Թող A-ն լինի I համընդհանուր բազմապատկիչի ենթաբազմապատկիչը: Այսպիսով, I-ում A հավելումի տակ կարելի է հասկանալ I-ի բոլոր տարրերի անանձնական լինելը, եթե ոչ A-ում: Բազմապատկիչի համար մենք ներկայացնում ենք A0 արժեքը: Այսպիսով, եթե I-ն անանձնական է բոլոր բնական թվերից, իսկ A-ն անանձնական է բոլոր պարզ թվերից, ապա A0-ն անանձնական է, որը գումարվում է բոլոր պահեստային թվերից և 1-ի հեղինակությունից.

23) A00 = Ա.

24) Spivvіdnenja A B 0A0.

25) (A + B) 0 = A0 B0. 26) (AB)0 = A0 + B0.

Այս լիազորությունների վերստուգում ես կրկին Նադաեմո Չիտաչևը:

Օրենքները 1)-26) ընկած են բազմությունների հանրահաշվի հիմքում: «Երկակիության» հրաշագործ ուժի գարշահոտը հարձակողական սենսացիայի մեջ.

Ինչպես օրենքներից մեկում 1)–26) փոխարինել մեկը մեկի փոխարեն

(մաշկային մուտքի համար), ապա արդյունքում այս օրենքներից մեկը նորից հայտնվում է: Օրինակ, օրենքը 6) վերածվում է օրենքի 7-ի), 12) - 13-ում), 17) - 16-ում) արդարացի: բողբոջ. , «Dvіyna» ї-րդ թեորեմը, որն առաջինից դուրս է գալիս սիմվոլների փոխակերպումների լրացուցիչ իմաստների համար։ Ճիշտ է, ապացույցների բեկորներ

Նպատակ. II ՀԱՇՎԻ ՄՆՈԺԻՆ 139

առաջին թեորեմը կազմված է 1–26 օրենքների հաջորդական լճացումից (կատարվելիք հաշտեցման տարբեր փուլերում), այնուհետև պահեստում «երկու» օրենքների վերջնական փուլերում լճացումը վկայում է « կրկնակի» թեորեմը։ (Նման «կրկնակի» շարժման պատճառով բաժանման երկրաչափության մեջ. Բաժին IV):

2. Zastosuvannya մաթեմատիկական տրամաբանություն. Բազմապատիկների հանրահաշվի օրենքների վերստուգումը հիմնված էր A B-ի և A + B, AB և A0 գործողությունների տրամաբանական իմաստի վերլուծության վրա: Այժմ մենք կարող ենք շրջել այս գործընթացը և 1)–26) օրենքները դիտարկել որպես «տրամաբանության հանրահաշվի» հիմք։ Ավելի ճիշտ. տրամաբանության այդ մասը, քանի որ կան շատ, կամ, ըստ էության, նույնը, առարկաների ուժերը, որոնք դիտարկվում են, կարելի է կրճատել օրենքների վրա հիմնված ֆորմալ հանրահաշվական համակարգի 1): -26): Տրամաբանական «խելացի ամենագիտությունը» նշանակում է անանձնական Ես; Մաշկի հզորությունը Ա-ն նշանակում է անանձնական Ա-ն, որը կազմված է հանգիստ առարկաներից I, ինչպես դա կարող է լինել ուժ: Առավել տրամաբանական տերմինաբանությունը լեզու թարգմանելու կանոններ

Հանրահաշվի առումով կա «Բարբարա» սիլլոգիզմ, ինչը նշանակում է, որ «եթե յուրաքանչյուր A є B և ամեն B є C, ապա յուրաքանչյուր A є C», պարզ է թվում.

3) Եթե AB և BC, ապա AC:

Նմանապես, «դիմադրության օրենքը», որը հաստատում է, որ «օբյեկտը չի կարող միաժամանակ առաջնորդել և չի կարող առաջնորդել այդպիսի ուժ», արձանագրվում է հեռուստադիտողի կողմից.

20) AA 0 = ,

ա «Ընդգրկված երրորդի օրենքը», որը նշանակում է, որ «օբյեկտը մեղավոր է մորը, բայց ոչ մայրը իշխանության սարկավագին», գրված է.

19) A+A0=I.

Այսպիսով, տրամաբանության այդ մասը, ինչպես երևում է սիմվոլների առումով, +, · і 0, կարող է մեկնաբանվել որպես հանրահաշվի ֆորմալ համակարգ՝ համաձայն 1)–26 օրենքների։ մաթեմատիկայի տրամաբանական վերլուծության հիման վրա և մաթեմատիկական վերլուծությունտրամաբանության մեջ ստեղծվել է նոր կարգապահություն՝ մաթեմատիկական տրամաբանությունը, ինչպես նրանցից ոչ մեկը չի հանդիմանում բուռն զարգացման ընթացքին։

Աքսիոմատիկ տեսանկյունից, 1)-26-ով հաստատված այդ հրաշագործ փաստի հարգման շնորհիվ, բազմությունների հանրահաշվի այլ թեորեմների հետ միասին, տրամաբանորեն կարելի է տեսնել գալիք երեք հավասարություններից.

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0) 0 + (A0 + B) 0 = A.

Ակնհայտ է, որ բազմապատիկների հանրահաշիվը կարող է դրդվել որպես դեդուկտիվ տեսություն՝ Էվկլիդեսյան երկրաչափության հիման վրա, այս երեք դիրքերի հիման վրա, որոնք ընդունված են որպես աքսիոմներ։ Ինչպես աքսիոմատիկորեն ընդունված է, ապա AB գործողությունը և A B դրույթը սահմանվում են A + B և A0-ով.

Մենք կոչում ենք մաթեմատիկական համակարգի մեկ այլ օրինակ, որում կոդավորված են բազմապատկիչների հանրահաշվի բոլոր ֆորմալ օրենքները, տրված է ութ թվերի համակարգով՝ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. այստեղ է + բ նշանակում է,

a і b-ի ամենաբարձր, ամենացածր բազմապատիկը, ab - ամենաբարձր dіlnik a і b, a b - կարծրություն «b-ը բաժանվում է a»-ի և a0 - 30 a թիվը: Սու-

Նման կիրառությունների հիմքը առաջացրել է աղաղակող հանրահաշվական համակարգերի զարգացում, որը բավարարում է օրենքները 27): Նման համակարգերը կոչվում են «Բուլյան հանրահաշիվներ»՝ ի պատիվ անգլիացի մաթեմատիկոս և տրամաբան Ջորջ Բուլի (1815-1864), ում «Մտքի օրենքների հետազոտություն» գիրքը լույս է տեսել 1854 թվականին։

3. Անշարժության տեսությունից առաջ կանգառներից մեկը. Հանրահաշիվը կարող է շատ ավելի մոտ լինել անշարժության տեսությանը և թույլ է տալիս նոր լույսի ներքո նայել դրան: Եկեք նայենք ամենապարզ օրինակին. եկեք կատարենք մեր սեփական փորձը հնարավոր nasledkiv-ի վերջին թվից, yakі բոլորը մտածում են «հավասարապես ունակ»: Փորձը կարող է, օրինակ, ընկած լինել նրանում, որ մենք կարող ենք քարտ նկարել նոր տախտակամածից, որը լավ խառնված է: Եթե ​​փորձի բոլոր արդյունքների բազմապատկիչը նշանակալի է I-ի միջոցով, իսկ A-ն նշանակում է, որ այն I-ի ենթաբազմապատկիչն է, ապա հավանականությունը, որ փորձի արդյունքը կհասնի A-ի ենթաբազմապատկիչին, նշանակվում է որպես ընդլայնում:

p(A) = տարրերի քանակը A-ում. տարրերի քանակը I-ում

Եթե ​​ցանկացած A բազմապատկիչի տարրերի թիվը համարենք n(A), ապա մնացած հավասարությունը կարելի է տալ՝ նայելով.

Հոգնակիների հանրահաշիվի գաղափարները ի հայտ են գալիս հնարավորությունները հաշվելիս, եթե հնարավոր է, իմանալով որոշ հոգնակի անիմաստությունը, հաշվել ուրիշների իմովիրությունը։ Օրինակ, իմանալով p(A), p(B) և p(AB) դինամիկան, մենք կարող ենք հաշվարկել p(A + B) դինամիկան.

Բերելը կապ չունի։ Իմ մայրիկ

n(A + B) = n(A) + n(B) - n(AB),

տարրերի բեկորները, որոնք կարող են միաժամանակ զբաղեցնել A-ում և B-ում, ապա AB-ի տարրերը հաշվի են առնվում n(A) + n(B) գումարները հաշվելիս, և, հետևաբար, անհրաժեշտ է տեսնել n(AB) գումարների գումարից, ուրեմն n(A + B) բաժանման տառը ճիշտ է։ Համարժեքության մասով նեղացածներին պահենք n(I) վրա, ինքնաբերությունը կվերցնենք (2):

Cіkavіsha բանաձեւը դուրս գալու համար, հետեւաբար կան մոտ երեք բազմապատկիչներ A, B, C z I:

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) - p[(A + B)C]:

Նախորդ պարբերությունից (12) օրենքը մեզ տալիս է (A + B) C = AC + BC: Ձայները գոռում են.

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) - p(ABC):

Նախորդ կարգով փոխարինելով p[(A + B)C] արժեքը և p(A + B) արժեքը՝ վերցված (2-ից), մենք հանգում ենք անհրաժեշտ բանաձևին.

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) - p(AB) - p(AC) - p(BC) + p(ABC): (3)

Ինչպես հետույքը, մենք կարող ենք դիտել վիրավորական փորձը: Երեք թիվ 1, 2, 3 գրված են ցանկացած հերթականությամբ։ Ի՞նչ է նշանակում այն ​​փաստը, որ թվանշաններից մեկն ընդունված է հիմնված լինել վերևի (զգայական համարակալման) տարածության վրա: Թող A-ն լինի անանձնական փոխակերպում, որի համար 1 թիվը պետք է արժենա առաջին տեղը, B-ն՝ անանձնական փոխակերպում, որի համար 2 թիվը պետք է արժենի մեկ այլ տեղ, C- անանձնական փոխակերպում, որի համար 3 ​​թիվը պետք է արժենա երրորդ տեղը։ . Պետք է հաշվենք p(A+B+C): Ես դա հասկացա

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

արդյունավետորեն, կարծես պատկերը կանգնած է ճիշտ տեղում, ապա երկու հնարավորություն կա վերադասավորելու երկու նիշերի լուծումը հիմնական թվից 3 2 1 = 6 հնարավոր երեք նիշերի փոխարկումներ: Դալի,

Ճիշտ. Մուտքագրեք p(A + B + C + D) վավեր բանաձև և սպասեք մինչև փորձը, որը ներառում է 4 նիշ: Vidpovidna umovirnіst dorіvnyuє 58 = 0,6250:

Կարող է թվալ n բազմապատկելու ընդհանուր բանաձևը

համակցություններ վրեժ լուծելու համար մեկ, երկու, երեք, . . . , (n − 1) տառ A1 , A2 , . . .

ան. Այս բանաձևը կարող է տեղադրվել լրացուցիչ մաթեմատիկական ինդուկցիայից հետո, ինչպես (3) բանաձևը ներկայացվել է (2) բանաձևից:

Բանաձևից (4) կարելի է ավելացնել wisps, որպեսզի լինի n թվանշան 1, 2, 3, : . . n գրված է ցանկացած հերթականությամբ, այնուհետև թվերից մեկը ընդունելու ունակությունը, որպեսզի հենվի պատշաճ տեղում, ավելի շատ է

Ավելին, մնացած անդամից առաջ կա + կամ − նշան, որը կոչ է անում զուգակցված և չզույգացվածներին: Զոկրեմա, n = 5-ի համար

p5 = 1 - 2! + 3! - 4! +5! = 30 = 0,6333: . .

VIII դիվիզիոնում կուզենայինք իմանալ, որ եթե չկա անհամատեղելիություն, վիրազ

1 1 1 1 Sn = 2! - 3! +4! − . . . ±n!

պրագնե 1 ե-ի միջև, որի իմաստը Կոմիից հետո հինգ նշանով.

մեկ 0.36788. Բանաձևից (5) պարզ է, որ pn = 1 − Sn, ապա աստղը պարզ է, որ n-ի համար → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

«Տրանսցենդենտալ» բառը կապված է տրանսցենդենտալ մեդիտացիայի և տարատեսակ էզոթերիզմի հետ։ Բայց յոգայով ճիշտ ապրելու համար անհրաժեշտ է նվազագույնը վերանայել յոգան «տրանսցենդենտալ» տերմինի առումով, իսկ առավելագույնը՝ գուշակել յոգայի դերը Կանտի ռոբոտների և այլ փիլիսոփաների մեջ։

Tse հասկանալի է նմանվել լատիներեն transcendens - «անցել», «անցել», «անցել այն կողմ»: Ընդհանուր առմամբ, գինիները նշանակում են գինիներ, որոնք էմպիրիկ գիտելիքի համար կարևորորեն անհասանելի են կամ հիմնված են ապացույցների վրա: Վերանայեք նեոպլատոնիզմի վինիկլիշե փիլիսոփայություն տերմինը. հիմնադիրն ուղղակիորեն Պլոտինն է, որը վչենյա է արել Մեկի մասին՝ բոլորովին լավ պերշոպոչկա, քանի որ անհնար է մտքերը ճանաչել մտքի օգնությամբ, առանց զգայուն մտքի օգնության: «Մեկը գոյություն չունի, բայց հայր Յոգոն»,- բացատրում է փիլիսոփան։

Ամենավերջին «տրանսցենդենտալ» տերմինը մշակվել է Իմանուել Կանտի փիլիսոփայության մեջ, դե վին վիկորիստովվսյա բնութագրելու համար, որը հստակորեն անփոխարինելի է գիտելիքի և զգալու համար, թե մեր մարմինները զգայուն են, սկզբունքորեն անճանաչելի մնալով, ինչպես գործնականում, այնպես էլ տեսականորեն: Տրանսցենդենցիայի տարածում - նշանակում է կամ անտեսանելիություն, ներքին կապ, լինի դա այն, ինչ օբյեկտն ինքնին օբյեկտի հետ է, կամ օբյեկտի ճանաչում: հատուկ վկայական. Օրինակ, ենթադրենք, որ արարչագործությունների Համաշխարհը, մեծ գաղափարի հետևում, ինքն իրեն տրանսցենդեն էր համարում մեզ համար. մենք կարող ենք միայն վարկածներ անել նոր բանի մասին: Եվ այնուամենայնիվ, ինչպես ես հասկացա, դա ճիշտ է, և հետևանքները մեզ համար անմխիթար են, որոնք ազդում են ֆիզիկական օրենքների և պայմանների վրա, որոնք մենք կարող ենք սպառել: Հետեւաբար, որոշ աստվածաբանական հասկացություններում, Աստված տրանսցենդենտալ է եւ perebuvaet կեցվածքը ստեղծված նրա կողմից հետույք.

Փաստացի ելույթները դեռևս հասանելի են ապրիորի գիտելիքներին. օրինակ՝ տարածություն և ժամանակ, Աստծո գաղափարներ, բարություն և գեղեցկություն, տրամաբանական կատեգորիաներ: Tobto տրանսցենդենտալ առարկաներ - tse, պատկերավոր թվացող, «սահմանված գծի հետևում» մեր մտքում

Մաթեմատիկայում տրանսցենդենտալ բնույթի մասին պնդումը. տրանսցենդենտալ թիվը այն թիվն է, որը չի կարող հաշվարկվել լրացուցիչ հանրահաշիվով կամ հանրահաշիվով (այսինքն, այն չի կարող լինել բազմակի գործակից ունեցող հարուստ տերմինի արմատը, որը նույնը չէ զրոյին): Նրանցից առաջ, օրինակ, π і e թվերը մուտքագրելը:

Հասկացող, «տրանսցենդենտալ»-ին մոտ, և նույնիսկ իմաստներից դուրս՝ «տրանսցենդենտալ»: Գլխի հետևի մասում դա պարզապես նշանակում էր վերացական հռոմեական կատեգորիաների տարածք, և մինչև տարեվերջ Կանտին մեծացնելով, նրա մազերից մակարոն խմելով. անհնար էր փիլիսոփայական համակարգ առաջացնել միայն էմպիրիկ տվյալների վրա: , բայց նա չգիտեր ուրիշների մահվան ճշմարտությունը։ Շրջվելու համար փիլիսոփաները հնարավորություն ունեցան խոստովանելու, որ որոշ ելույթներ դեռ հասանելի են ապրիորի գիտելիքին. օրինակ՝ տարածությունն ու ժամանակը, Աստծո գաղափարները, բարությունն ու գեղեցկությունը, տրամաբանական կատեգորիաները։ Որ տրանսցենդենտալ օբյեկտները՝ tse, պատկերավոր թվացյալ, «նախքան ուղեղների ետևում դրված են» մեր մտքում, որոնց մոտ տեղեկատվությունը նրանց մասին ինքնին ակնհայտ է և չի բխում մեր գիտելիքներից:

Կա ևս մեկ վիճելի ըմբռնում՝ տրանսցենդենցիան: Լայն իմաստով «վոնո» բառը նշանակում է անցում դեպի շղթա երկու տարբեր շրջանների միջև, հատկապես այս աշխարհի ոլորտից անցում դեպի ապագա, տրանսցենդենտ: Պարզության համար եկեք օրինակ վերցնենք գիտական ​​ֆանտաստիկայից՝ զուգահեռ աշխարհ համար մեծ մարդիկ- տրանսցենդենտալ դրսեւորում. Բայց եթե հերոսը խմում էր իր զուգահեռ լույսի տակ, թվում է, որ աստիճանը դրսևորվում է շինարարական յոգայի սպրիյմատիով, ցե տրանսցենդենսով: Բայց մի ծալովի օրինակ էքզիստենցիալ փիլիսոփայության. navkolishniy svitտարբեր կողմերից, բայց ամեն դեպքում մենք չենք կարող մոտենալ ինքներս մեզ լիարժեք ճանաչմանը։ Էլի, մարդը կարող է միանգամից կառուցել տրանսցենդենցիան. նա գերազանցում է, անկախ նրանից, թե դա գետ է՝ իմաստ տալով դրան: Տրանսցենդենտալությունը կրոնի մեջ կարևոր տարր է. այն օգնում է մարդկանց աճել իրենց նյութական էության մեջ և հասնել օտար բանի:

Փիլիսոփայությունից տրանսցենդենտալության հայեցակարգը տեղափոխվել է հոգեբանություն. շվեյցարացի հոգեբան Կարլ Յունգը մշակել է «տրանսցենդենտալ ֆունկցիայի» հայեցակարգը՝ նույն գործառույթը, որը զուգորդվում է այդ անհասկանալիության հետ: Զոկրեմա, տրանսցենդենտալ ֆունկցիան կարող է հաղթահարել հոգեվերլուծաբանը. օգնել հիվանդին վերլուծել անտեսանելիի պատկերները (օրինակ՝ երազելը) և անմիջապես ցույց տալ դրանք սեփական հոգեկան գործընթացներից:

Յակ խոսակցություն

Սխալ է «Ես գրանցվել եմ տրանսցենդենտալ մեդիտացիայի դասի»: Ճիշտ է` «տրանսցենդենտալ»:

Ճիշտ է, «Երբ ես գնում եմ տաճար, ես տրանսցենդենտալ բան եմ դիտում»:

Ճիշտ է, «Տրանսցենդենցիոնալ արվեստը մեզ ճանաչում է առարկաներ նյութական աշխարհից՝ դրանք հիշեցնելով մեծագույն լույսով»:

Իլյա Շչուրով

Մաթեմատիկոս Իլյա Շչուրովը տասնյակ կոտորակների, Pi թվի տրանսցենդենտության և իռացիոնալության մասին։

Ինչպե՞ս «մենակությունը» օգնեց ոգեշնչել առաջին տեղը և այդ մեծ կայսրությունը: Ո՞նց եք փչել ժողովրդի խելքը։ Ի՞նչ դեր է խաղացել նա կոպեկների տեսքի մեջ: Յակ «մեկ» միավորված զրոյի հետ՝ իշխել ժամանակակից աշխարհ? Ամուսնության պատմությունը անքակտելիորեն կապված է եվրոպական քաղաքակրթության պատմության հետ։ Թերի Ջոնսը հումորային առումով ավելի թանկ է վիրուսային՝ մեր ամենապարզ թվի հրաշալի պատմությունը միասին հավաքելու մեթոդով: Համակարգչային գրաֆիկայի օգնությամբ այս ծրագրում մարդը կենդանանում է տարբեր ձևերով: Միայնության պատմությունից պարզ դարձավ, որ աստղերը հայտնվեցին այսօր, և ինչպես զրոյի սխալները, վրյատուվավը հռոմեական թվերը շահելու անհրաժեշտության լույսի ներքո:

Ժակ Սեզիանո

Դիոֆանտոսի մասին քիչ բան գիտենք։ Դե, Վինը ողջ է Օլեքսանդրիայի մոտ: Հույն մաթեմատիկոսներից ոչ ոք դա չի հասկացել մինչև 4-րդ դարը, քանի որ ymovirno-ն կենդանի է 3-րդ դարի կեսերին: Դիոֆանտոսի ռոբոտի գլուխը՝ «Թվաբանություն» (Ἀριθμητικά), վերցվել է 13 «գրքերի» (βιβλία) կոպի վրա՝ բաժանելու համար։ Այսօր մենք կարող ենք ունենալ դրանցից 10-ը և ինքնին. 6-ը հունարեն տեքստում և 4-ը՝ միջին արաբերեն թարգմանության մեջ, մի քանիսը հունարեն գրքերի մեջտեղում՝ I-III գրքեր հունարեն, IV-VII գրքեր արաբերեն, VIII: -X հունարեն: Դիոֆանտոսի «թվաբանությունը» ժամանակացույցից առաջ է, ընդամենը մոտ 260: Տեսություններ, թվացյալ ճշմարիտ, ոչինչ. Գրքի սկզբում չկան ավելի ընդհանուր հրահանգներ, իսկ անհրաժեշտության դեպքում ավելի շատ մասնավոր հարգանք այլ տնօրենների նկատմամբ: «Թվաբանությունն» արդեն հանրահաշվական տրակտատի տեսք ունի։ Դիոֆանտը կոճի վրա տարբեր նշաններ, schob vyslovlyuvati nevidome որ Yogo քայլը, ինչպես նաև deakі հաշվարկ; ինչպես միջինի բոլոր հանրահաշվական նշանները, նրա սիմվոլիկան նման է մաթեմատիկական բառերին: Այնուհետև Դիոֆանտը բացատրում է, թե ինչպես լուծել խնդիրը հանրահաշվի մեթոդով: Բայց Դիոֆանտոսի առաջադրանքն առաջնային իմաստով հանրահաշվական չէ, որպեսզի ամեն ինչ հասցվի չսահմանված հավասարի կամ նման հավասարների համակարգերի:

Ջորջ Շաբաթ

Դասընթացի ծրագիր՝ Պատմություն. Առաջին վարկանիշները. її տրամագծով ցցի հետևողականության խնդիրը: Neskіchennі տողեր, ստեղծել այդ іnshі vrazi համար π. Zbіzhnist եւ її yakіst. Վիրազի, ինչ վրեժ լուծել π. Հերթականություններ, որոնք արագորեն միանում են մինչև π. Ժամանակակից մեթոդներπ-ի հաշվարկ, համակարգիչների քանակ: π և այլ թվերի իռացիոնալության և գերազանցության մասին։ Դասընթացի համար առաջվա գիտելիքները պարտադիր չեն:

Օքսֆորդի համալսարանի պաշտոնյաներն ասացին, որ 0 թվի վաղ ներմուծումը անընդմեջ օրերի քանակը նշելու համար (ինչպես 101-ում) պետք է հաշվի առնի Բախշալիի հնդկական ձեռագրի տեքստը։

Վասիլ Պիսպանեն

Ո՞վ չի փորագրված երեխաների կողմից «Անվանեք ամենամեծ թիվը» խմբում: Միլյոնին, տրիլիոնին և այլ «-նրանք» արդեն սահուն երևում են մտքերում, բայց մենք կփորձենք լուծել մաթեմատիկայի «մաստոդոնը»՝ Գրեհեմի թիվը։

Վիկտոր Կլեպտին

Ճիշտ թիվը կարելի է ճիշտ մոտավորել ռացիոնալ թվերով։ Եվ եթե մենք սիրով անենք դա, կարո՞ղ ենք մոտենալ միմյանց, արդյոք դա համահունչ է յոգայի ծալման հետ: Օրինակ՝ կոտրելը տասներորդ մուտքը x թվերը միացված են k-րդ նիշդրանից հետո 1/10^k կարգի ներմամբ խլում ենք x≈a/10^k հարևանությունը։ Ես վստահ եմ, որ մոտեցող կոտորակի մեջ ամրացնելով q դրոշակը, կարող ենք միանշանակ 1/ք կարգի ներմամբ մոտենալ։ Իսկ ի՞նչ կարող ես ավելի լավ անել: Իմանալով բոլորին, π≈22/7 մոտիկությունը տալիս է 1/1000 կարգի ներողամտություն. դա ակնհայտորեն ավելի լավ է, ավելի ցածր՝ կարելի է ուղղել: Ինչո՞ւ։ Մեզ խնայեցին, ինչո՞ւ է π-ն այդքան մոտ є-ին: Թվում է, որ ցանկացած իռացիոնալ թվի համար є անանձնական կոտորակներ p / q, որն ավելի մոտ է դրան, ցածր է 1 / q ^ 2: Tseverzhuє Dirichlet-ի թեորեմը - եւ mi pochnemo դասընթացը іz її troha ոչ ստանդարտ ապացույց.

1980 թվականին Գինեսի ռեկորդների գիրքը կրկնեց Գարդների պնդումները՝ ավելի մեծացնելով հանրային հետաքրքրությունը մինչև այդ թիվը։ Գրեհեմի համարը շատ անգամների անվան տակ, ավելի ցածր, այլապես լավ տանը մեծ թվեր, այնպես որ, ինչպես googol-ը, googolplex-ը և navit more, իջեցրեք Skewes-ը և Moser-ը: Իրականում, ամբողջ աշխարհը չափազանց փոքր է, որպեսզի ինչ-որ մեկը կարողանա ընդունել Գրեհեմի թվի իր տասներորդ գրառումը:

Դմիտրո Անոսով

Դասախոսություններ կարդաց Անոսով Դմիտրո Վիկտորովիչը, ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների դոկտոր, պրոֆեսոր, Ռուսաստանի գիտությունների ակադեմիայի ակադեմիկոս: Ամառային դպրոց «Ժամանակակից մաթեմատիկա», Դուբնա. 16-18 ապրիլի, 2002 թ

Հնարավոր չէ ճիշտ արձագանքել սննդի շղթային, բեկորներին թվերի շարքմի անցեք վերին սահմանը. Այսպիսով, մինչև որոշակի թիվ, բավական է ավելացնել ևս մեկը, որպեսզի թիվը ավելի շատ լինի: Թեև թվերն իրենք սահմանափակված չեն, բայց նրանց անուններն այնքան էլ հարուստ և հարուստ չեն, այնպես որ նրանց մեծ մասը բավարարվում է ավելի փոքր թվերից գումարված անուններով։ Ես հասկացա, որ թվերի վերջնական շարքում, որը մարդիկ հավաքել են իրենց հզոր անունների համար, նրանք կարող են լինել ամենաշատը: Բայց ինչպես է այն կոչվում և ինչու է հավասար: Արի, փորձենք ինչ-որ կերպ պարզել դա և ճանաչել վարակը, մաթեմատիկոսները մի քանի հիանալի թվեր են բերել:

Համարը կոչվում է հանրահաշվական yakscho դա շատ գործակիցներով թույլ հարուստ տերմինի արմատն է

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(այսինքն՝ հավասարի արմատը a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, դե a n, a n-1, ..., ա 1, ա 0--- թվեր, n 1, ա 0).

Անանձնական հանրահաշվական թիվը իմաստալից տառ է .

Հեշտ է հասկանալ, թե արդյոք ռացիոնալ թիվը հանրահաշվական է: Ճիշտ է, - գետի արմատը qx-p=0բազմաթիվ գործակիցներով ա 1 = քі a 0 =-p. Օտժե, .

Այնուամենայնիվ, ոչ բոլոր հանրահաշվական թվերն են ռացիոնալ. օրինակ, թիվը հավասարության արմատն է x 2 -2 = 0, otzhe, --- հանրահաշվականթիվ.

Հին ժամը մնաց անձեռնմխելի, կարևոր մաթեմատիկական սնուցման համար. ? Պակաս, քան 1844, ճակատագիրը Lіouville առաջին navіv օրինակ տրանսցենդենտալ (tobto. Ոչ հանրահաշվական) թվի.

Ամսվա առաջին օրը դրա գերազանցության ապացույցն էլ ավելի ծալովի է։ Տրանսցենդենտալ թվերի հիման վրա թեորեմը կարելի է բերել էականորեն ավելի պարզ՝ մատնանշելով թվային բազմապատիկների համարժեքությունն ու ոչ համարժեքությունը։

Եվ ինքնին, կարող ենք բերել, որ անանձնական հանրահաշվական թվերը Ռախունկովն են։ Այնուամենայնիվ, բոլոր իրական թվերի բեկորները հավասար չեն, մենք կարող ենք սահմանել ոչ հանրահաշվական թվերի հիմքը:

Եկեք փոխադարձաբար միանշանակ տարբերակենք և մեկ տասնյակով . Ցե իմաստալից է, շո -Լավ է չի ռախունկովո։ Ալե ոսկիլկի , ապա neskіchenno, otzhe, rakhunkovo.

Արի՛ - հանրահաշիվի դեյակե թիվը: Դիտարկենք բոլոր հարուստ անդամները գործակիցների քանակով, որոնց արմատը є է, և ընտրենք հարուստ տերմինների կեսը. Պնվազագույն քայլը (որպեսզի այն նույն հարուստ տերմինի արմատը չլինի փոքր քայլի ամբողջ գործակիցներով)։

Օրինակ՝ ռացիոնալ թվի համար նման բազմանդամը կարող է ունենալ քայլ 1, իսկ թվերը՝ քայլ 2։

Բաժանենք հարուստ անդամի բոլոր գործակիցները Պիրենց ամենամեծ քնածին: Մենք հանում ենք բազմանդամը, որի գործակիցը երկուստեք պարզ է միանգամից (դրանց ամենամեծ քնաբերը 1 է)։ Զրեշտոյու, որպես ավագ գործակից a n vіd'єmniy, բազմանդամի բոլոր գործակիցները բազմապատկում ենք -1 .

Հարուստ անդամի հանումը (այսինքն՝ մեծ գործակիցներով հարուստ անդամը, որի արմատը թիվն է, որը կարող է լինել նվազագույն հնարավոր քայլը, փոխադարձ պարզ գործակիցը և դրական ավագ գործակիցը) կոչվում է նվազագույն հարուստ անդամ։ թիվ.

Կարելի է ապացուցել, որ նման բազմանդամը եզակի է նշանակված. հանրահաշվի մաշկի համարը կարող է լինել ուղիղ մեկ նվազագույն բազմանդամ:

Բազմանդամի իրական արմատների թիվը ոչ ավելի է, քան ստորին աստիճանը: Բացի այդ, դուք կարող եք համարել (օրինակ, աճի համար) նման հարուստ տերմինի արմատները:

Հիմա, լինի դա հանրահաշվի թիվը, այն կճանաչվի իր նվազագույն հարուստ անդամով (այսինքն՝ իր գործակիցների բազմությամբ) և այն թվով, որը տարբերվում է բազմանդամի մյուս արմատներից. (a 0,a 1,...,a n-1,a n,k):

Հետագայում մաշկի հանրահաշվական թվի համար մենք սահմանում ենք ամբողջական թվերի վերջնական բազմության տարբերակումը, ընդ որում, նրան եզակիորեն հաջորդում է այս բազմությունը (այնպես որ տարբեր թվերի տրված են տարբեր բազմություններ)։

Բոլոր պարզ թվերը համարակալված են ըստ աճի (կարևոր չէ ցույց տալ, որ դրանք չափազանց հարուստ են): Մենք հանում ենք աններելի հաջորդականությունը (pk): p1=2,p2=3, p3=5, p4=7, ... Այժմ ամբողջ թվերի բազմություն (a 0,a 1,...,a n-1,a n,k)դուք կարող եք տեղադրել u vіdpovidnіst tvіr

(Այս թիվն ավելի դրական և ռացիոնալ է, բայց մի եղեք բնական, նույնիսկ թվերի միջինը ա 0, ա 1, ..., a n-1, կարող է բացասական լինել): Հարգանքներով, որ թիվը կարճատև չէ, բեկորները պարզ բազմապատկիչներ են, մուտքագրելու համար թվագրքի և դրոշի դնելուց առաջ տարբերությունը։ Արժե նաև հարգել, որ դրական թվերով և տողերով երկու ոչ կարճ կոտորակները հավասար են, նույնիսկ եթե դրանք հավասար թվեր են, ապա այդ їх-երը հավասար են։

Հիմա եկեք նայենք դրան մի հատիկ աղով.

(a 0,a 1,...,a n-1,a n,k) =

Oskіlki տարբեր թվերով հանրահաշիվ սահմանել են ամբողջ թվերի տարբեր բազմություններ և տարբեր բազմություններ --- տարբերռացիոնալ թվեր, այնուհետև մենք, այս կարգով, բազմակիության միջև հաստատեցինք փոխադարձ միանշանակ վավերականություն և մեկ տասնյակով . Ուստի անանձնական հանրահաշվական թվերը նշանակալի են։

Անանձնական իրական թվերի բեկորները չեն տարբերվում, մենք բերել ենք ոչ հանրահաշվական թվերի հիմքը։

Այնուամենայնիվ, պատճառաբանության թեորեմը ցույց չի տալիս, թե ինչպես կարելի է որոշել, թե ինչ ամբողջ թիվհանրահաշվական. Իսկ սնունդը երբեմն կարևոր է մաթեմատիկայի համար:

տրանսցենդենտ թիվ

մի թիվ (dіysne abo yavne), որը չի բավարարվում հանրահաշվի ոչ մի հավասարեցմամբ (Div. Հանրահաշվական հավասարում) բազմաթիվ գործակիցներով։ Այս աստիճանում հանրահաշվական թվերին վերագրվում են Տ. Іsnuvannya T. H.-ն առաջին անգամ ստեղծելով J. Liouville (1844): Լյուվիլի համար մեկնարկային կետը երրորդ թեորեմն էր, որն ասում է, որ տրված ստանդարտով ռացիոնալ կոտորակի մոտարկման ցանկացած կարգ իռացիոնալ հանրահաշվական թվին չի կարող բավականաչափ բարձր լինել: Առավել հանրահաշվական թիվը աբավարարում է հանրահաշվի չկրճատված հավասարը nշատ գործակիցներով, ապա ցանկացած ռացիոնալ թվի համար միայն ավանդ α ) Հետևաբար, α տրված իռացիոնալ թվի համար հնարավոր է ցույց տալ անանձնական ռացիոնալ մոտարկումներ, որոնք չեն բավարարում որևէ անհավասարության ինդուկցիա։ հі n(ոմանք և հանգիստ բոլորի համար մոտ), ապա α є T. h. Նման թվի հետույքը այո է.

Ռ. Կանտորը (1874), նշելով, որ բոլոր հանրահաշվական թվերի անանձնականությունը տարբերվում է (որպեսզի բոլոր հանրահաշվական թվերը հնարավոր լինի վերահամարակալել, բաժանում. Բազմապատկության տեսություն), ապա բոլոր իրական թվերի անանձնականությունն անփոփոխ է։ Հնչում էր անանձնական Տ. հ.

T.h.-ի տեսության ամենակարևոր խնդիրը վերլուծական ֆունկցիաների արժեքը բացատրելու նպատակն է, որոնք կարող են ունենալ այդ մյուս թվաբանական թվաբանական ուժերը փաստարկի հանրահաշվական արժեքներով: Ո՞ր ընտանիքի խնդիրն է ժամանակակից մաթեմատիկայի ամենակարևոր առաջադրանքից առաջ: U 1873 Շ.

1882 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոս Ֆ. Լինդեմանը ավելի նշանակալի արդյունք ստացավ. եα - T. h. Lipdeman- ի արդյունքը զգալիորեն վատթարացավ գերմանացի մաթեմատիկոս Կ. Զիգելի կողմից (1930 թ.), ով ապացուցեց, օրինակ, գլանային ֆունկցիաների լայն դասի արժեքի գերազանցումը հանրահաշվի փաստարկի արժեքներով: 1900 թվականին Փարիզի մաթեմատիկական կոնգրեսում Դ. Հիլբերտը մաթեմատիկայի 23 անձեռնմխելի խնդիրների շարքում մատնանշելով վիրավորականը՝ chi є տրանսցենդենտալ թիվը. α β , դե α і β - հանրահաշվական թվեր, ընդ որում β - իռացիոնալ թիվ, i, zokrema, chi є տրանսցենդենտալ թիվ e π α β bula առաջինը մասնավոր ձեւով դրել է Լ. Էյլեր, 1744): Խնդրի արտաքին տարբերակը (ամուր իմաստով) քիչ թե շատ հաշվի է առնվել 1934 թվականին Ա.Օ. Գելֆոնդի կողմից։ Գելֆոնդի հայտարարությունից՝ զոկրեմա, պարզ է դառնում, որ բնական թվերի բոլոր տասնյակ լոգարիթմները (այսինքն՝ «աղյուսակային լոգարիթմները») T. h. Տեսության մեթոդներ T. h.

Լիտ.: Gelfond A. O., Տրանսցենդենտալ և հանրահաշվական թվեր, Մ., 1952:

Մեծ Ռադիանսկա հանրագիտարան. - M: Radianska հանրագիտարան. 1969-1978 .

Հիանում եք այսպիսի «Տրանսցենդենտ թվով» այլ բառարաններում.

Թիվ, որը չի բավարարվում որևէ թվով գործակից ունեցող հանրահաշիվով: Տրանսցենդենտալ թվեր є: Թիվ: 3.14159...; ցանկացած ամբողջ թվի տասներորդ լոգարիթմը, որը ներկայացված չէ մեկով զրոներով. թիվ e = 2,71828 ... ta in ... Հիանալի Հանրագիտարանային բառարան

- (լատիներեն transcendere անցնել, շուռ գալ) tse recheve abo համալիր համարը, որը հանրահաշվական չէ այլ կերպ ասած՝ թիվ, որը չի կարող լինել բազմաթիվ գործակիցներով հարուստ տերմինի արմատ։ Zmist 1 Power 2 ... ... Վիքիպեդիա

Թիվ, որը չի բավարարվում որևէ թվով գործակից ունեցող հանրահաշիվով: Տրանսցենդենտալ թվեր є թիվ π = 3,14159...; ցանկացած ամբողջ թվի տասներորդ լոգարիթմը, որը ներկայացված չէ մեկով զրոներով. թիվ e = 2,71828... ta in. Հանրագիտարանային բառարան

Թիվ, որը չի բավարարում նույն հանրահաշվին։ ur nіu qіlimi գործակիցներով: T. տարի. є: համարը ПІ = 3.14159...; ցանկացած ամբողջ թվի տասներորդ լոգարիթմը, որը ներկայացված չէ մեկով զրոներով. թիվ e = 2,71828... ta in. Բնական գիտություն. Հանրագիտարանային բառարան

Թիվը, որը նույն գործակիցներով նույն հարուստ անդամի արմատը չէ։ Նման թվերի շրջանակը իրական, բարդ և շառավղային թվերի զրոն է։ Іnuvannya, որն ակնհայտորեն դրդել է T. h. obguruntuvav J. Liouville-ի գործողությունը ... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

Հավասար, ինչպես ոչ є հանրահաշվական: Գինն անվանեք հավասար, որը կարող է ցուցադրվել, լոգարիթմական, եռանկյունաչափական, շրջելի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, օրինակ.

Թիվը՝ մոտավորապես 2718, հաճախ օգտագործվում է մաթեմատիկայի և բնական գիտությունների մեջ։ Օրինակ, երբ ռադիոակտիվ խոսքը փչանում է t ժամի ավարտից հետո, խոսքի ժամանակաշրջանի վերջում, կորում է մի մասը, որն ավելի թանկ է e kt, de k համարը, ... Collier հանրագիտարան

E-ն մաթեմատիկական հաստատուն է, բնական լոգարիթմի հիմքը, իռացիոնալ և տրանսցենդենտալ թիվ։ Այլ կերպ ասած, e թիվը կոչվում է Էյլերի թիվ (մի շփոթեք այսպես կոչված առաջին տեսակի Էյլերի թվերի հետ) կամ Նապիերի թիվ։ Նշանակվում է լատիներեն փոքր «e» տառով։

E-ն մաթեմատիկական հաստատուն է, բնական լոգարիթմի հիմքը, իռացիոնալ և տրանսցենդենտալ թիվ։ Այլ կերպ ասած, e թիվը կոչվում է Էյլերի թիվ (մի շփոթեք այսպես կոչված առաջին տեսակի Էյլերի թվերի հետ) կամ Նապիերի թիվ։ Նշանակվում է լատիներեն փոքր «e» տառով։