Algebralliset ja transsendentaaliset luvut. transsendenttiset numerot transsendenttiset numerot

eli a = 1 palveli meille geometrisen progression summan tarkoitusta. Olettaen, että Gaussin lause on todistettu, oletetaan, että a = a 1 on yhtä suuri juuri (17),

Ottaen huomioon viraasin f(x) ja uudelleenryhmittelytermit, otamme huomioon samanlaisuuden

f(x) = f(x) − f(a1) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1).

(21) Nyt tarkasteltaessa kaavaa (20), voimme nähdä kertoimen x − a 1 ihojäsenestä ja sitten syyttää Yogoa jousesta, lisäksi jouseihin jääneen rikkaan jäsenen jalat muuttuvat yhdeksi. Vähemmän. Kokoamalla uusia jäseniä otamme pois samanlaisuuden

f(x) = (x − a1 )g(x),

missä g(x) on vaiheen n − 1 rikas termi:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1x + b0.

(B:n kautta tunnettujen kertoimien laskentaa kutsutaan tässä.) Sama laskenta on tarpeen etäisyydellä polynomista g (x). Gaussin lauseen mukaan neliöjuuri a2 on g(x) = 0, joten

g(x) = (x − a2 )h(x),

missä h(x) on vaiheen n − 2 uusi polynomi. Toistetaan n − 1 kertaa

Samaisuudesta (22) eivät vain ne, jotka ovat kompleksilukuja a1, a2,

An on yhtäläisen (17) juuren olemus ja niiden, joilla ei ole muita yhtäsuuren (17) juuria. Totta, yakbi-luku y oli yhtälön (17) juuri, sitten s (22) liukui bi

f(y) = (y - a1) (y - a2). . . (y - an) = 0.

Alemi Bachili (s. 115), että kompleksilukujen lisääminen nollaan tällä tavalla ja enemmänkin, yhtenä nollan kertoimista. Myös yksi kertojista y−ar on yhtä suuri kuin 0, joten y = ar, joka on tarpeen asettaa.

§ 6.

1. Tarkoitus on se ravitsemussyy. Mitä tahansa lukua x kutsutaan algebralliseksi luvuksi;

130 MATEMAATTINEN NUMEROJÄRJESTELMÄ luku. II

de numerot ai numerot. Joten esimerkiksi luku 2 on algebrallinen sen kanssa, joka on tyytyväinen

x2 − 2 = 0.

Algebrallisen luvun samassa järjestyksessä, onko juuri, onko se yhtä suuri, kolmannen, neljännen, viidennen kokonaisten kertoimien kanssa, onko se maailma, ja itsenäisesti lisäksi se voidaan ilmaista vai ei. radikaalien toimesta. Algebrallisen luvun käsite on luonnollinen käsitys rationaaliluvun käsitteestä tavalla, joka vahvistaa okremyn putoamisen n = 1.

Kaikki reaaliluvut eivät ole algebrallisia. Tse vipliva z loukkaavaa, Kantorin kanssa, lauseet: rachunkivin algebran kaikkien lukujen persoonallisuus. Bo bezlich usikh päivän numerot on mahdoton erottaa, niin obov'yazkovon on syytä käyttää todellisia lukuja, koska ne eivät ole algebrallisia.

Otetaan esiin yksi menetelmä persoonallisten algebrallisten lukujen ratkaisemiseksi. Iho vastaa ulkonäköä (1) on yhtä suuri kuin tavoiteluku

h = | an | + | an-1 | +. . . + | a1 | + | a0 | +n,

tyylin vuoksi kutsumme sitä "korkeaksi" tasaiseksi. Skiniin saakka kiinteä arvo n on vain viimeinen luku, joka vastaa muotoa (1), jonka korkeus on h. Tällaisten yhtäläisten iholla voi olla enemmän kuin n juurta. Tätä varten on mahdollista käyttää vain viimeistä algebran lukua, jotka generoidaan yhtäläisillä korkeudella h; isä, kaikki algebralliset luvut voit roztashuvati nähdessään sekvenssin, ylittäen pään niistä, koska ne ovat syntyneet yhtä korkeilla korkeus 1 sitten - korkeus 2 ja niin edelleen.

Tämä todiste persoonattomien algebrallisten lukujen identiteetistä muodostaa reaalilukujen perustan, koska ne eivät ole algebrallisia. Tällaisia ​​​​lukuja kutsutaan transsendenttisiksi (latinan sanasta transcendere - mene yli, käännä); Euler antoi hänelle sellaisen nimen, joka haisee "algebran menetelmien tiukkuuden kumoamiseksi".

Cantorin todiste transsendenttisten lukujen perustasta ei ole rakentavien lukujen edelle. Teoreettisesti katsottuna olisi mahdollista indusoida transsendenttinen luku ylimääräiselle diagonaaliproseduurille, joka suoritetaan eksplisiittisellä listalla, joka sisältää kymmeniä laajennuksia kaikista algebran numeroista; Mutta tällainen menettely säästyi kaikilta käytännön merkitykseltä, eikä se johtaisi numeroon, joka voitaisiin kirjoittaa kymmenenteen (tai mihin tahansa muuhun) dribiin. Suurin osa transsendenttisiin lukuihin liittyvistä ongelmista liittyy sen todistamiseen, että peevn, tietyt luvut (tässä ovat luvut p ja e, noin jako 319-322) ovat transsendenttisia.

**2. Liouvillen lause ja transsendenttisten lukujen rakentaminen. Todisteen transsendenttisten lukujen perustasta antoi ennen Cantoria J. Liouville (1809–1862). Sen avulla voimme itse asiassa rakentaa esimerkkejä tällaisista numeroista. Lіouvil todistus on tärkeämpi, alempi kuin Cantorin todiste, eikä se ole yllättävää, sirpaleita rakentaa pusku, tulehtunut näyttävä, taitettu, alempi tuomaan perusta. Alempana johtaminen on Liouvillen todistus, ehkä se näyttää vähemmän koulutetulta lukijalta, joka haluaa ymmärtää todisteen riittävällä perusmatematiikan tuntemuksella.

Kuten Lіouville on osoittanut, irrationaalisilla algebrallisilla luvuilla on se voima, että niitä ei voida approksimoida rationaalisilla luvuilla jo ennestään suurella tarkkuudella, älä vain ota murto-osien bannereita, joita ne arvioivat, ne ovat erinomaisen mahtavia.

Oletetaan, että luku z täyttää algebran yhtälön kokonaislukukertoimilla

mutta et ole tyytyväinen tällaiseen alemman tason tasoittamiseen. Todi

näyttää siltä, ​​että x itse on n-asteen algebran luku. Joten esim.

luku z \u003d 2 on tason 2 algebran numero siten, että taso x2 − 2 = 0 √ on tyytyväinen tasoon 2, mutta ei ensimmäisen tason taso ei täyty; luku z = 3 2 - taso 3, joka tyydyttää x3 - 2 = 0, mutta ei tyydy (kuten näytämme osiossa III) alemman tason tasoon. Askeleen algebrallinen luku n > 1

ei voi olla rationaalinen, koska rationaalinen luku z = p q

täyttää tason qx − p = 0 askel 1. Iho irrationaalinen luku z voidaan tietyllä tarkkuudella approksimoida ylimääräisellä rationaaliluvulla; ei tarkoita, että voit aina ilmoittaa rationaalilukujen sarjan

p1, p2,. . .

q 1 q 2

sitä ei ympäröi kasvavat bannerit, että Volodya Tim-

mitä mitä

p r → z. qr

Liouvillen lause on stverdzhuє: jos askeleen n > 1 algebran numeroa z ei olisi olemassa, se ei voisi olla lähempänä

lopettaa suuret bannerimiehet obov'yazkovo vykonuetsya nerіvnіst

Päätämme todistaa lauseen lauseen, ja aiemmin näytämme kuinka transsendentaalilukuja voidaan saada її:lle lisäksi. Katsotaanpa numeroa

z = a1 10-1! + a2 10-2! + a3 10-3! +. . . + am · 10−m! +. . . = = 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000. . . ,

de ai tarkoittaa tiettyjä lukuja väliltä 1-9 (olisi helpompi laittaa kaikki ai yhtä suureksi) ja symboli n! . . n. Tällaisen numeron kymmenennen laajennuksen tunnusomaista voimaa ovat ryhmät, jotka kasvavat nopeasti dozhinansa taakse, nollat ​​vedetään uuteen okremi-numeroilla, jotka näyttävät nollalta. Merkittävää on, että zm:n kautta kymmenennen pudotuksen loppu, joka on ratkaistu, jos kaikki jäsenet otetaan layoutista am · 10−m asti! mukaan lukien. Todi vie hermostuneisuuden pois

Oletetaan, että z on vaiheen n algebran luku. Todi, kunnioittaen Lіouvillen hermostuneisuutta (3) pq = zm = 22pm! , olemme syyllisiä äitejä

|z - zm | > 10(n+1)m!

korkeilla m arvoilla. Jäljellä olevan epätasaisuuden vertailu hermostuneisuuteen (4) kyllä

tähdet seuraavat (n + 1) m! > (m + 1)! − 1 suurelle m. Alece on väärässä arvoille m, jotka ovat suurempia kuin n (annetaan lukijan yrittää antaa yksityiskohtainen todiste tästä väitteestä). Me didshli super-terävyys. Myös luku z on transsendentaalinen.

Jää vielä loppuun Liouvillen lause. Oletetaan, että z on sen algebran luku, jonka aste on n > 1 ja joka täyttää yhtälön (1), joten

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn).

Käsittelemme loukkaavia osia zm − z:ssä ja ydintä algebrallisen kaavan avulla

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

me hyväksymme:

Koska zm on oikea z, niin suuren m:n saavuttaessa luku zm on järkevää ottaa huomioon z yhden verran pienempi. Siksi suuren m:n annostelulla voit ansaita tällaisen karkean arvion:

N|an|(|z|+1)n−1 = M, (7)

lisäksi oikeakätisenä luku M on vakio, sirpaleet z eivät muutu todistusprosessin aikana. Vibero nyt m lattia loistava, shob

murto-osa z m = p m standardi q m korkeampi, pienempi M; myös qm

niin, että myös kerroin (x − zm ) oli mahdollista nähdä polynomista f(x), i myös z tyytyi alemman alemman n:n tasoon. Otzhe, f(zm) 6= 0. Ale-luku yhtälön (9) oikealla puolella Tällä tavalla zіzstavlennya sіvvіdnіshen (8) ja (9) vyplyaє nerіvnіst

edelleen varasto zmіst zaznachenї lause.

Muutaman jäljellä olevan vuosikymmenen aikana mahdollisuus lähentää algebrallisia lukuja rationaalisilla lukuilla tunkeutui kauas etäisyyteen. Esimerkiksi norjalainen matemaatikko A. Tue (1863–1922) havaitsi, että Liouvillen epätasaisuuden (3) eksponentti n + 1 voisi korvata pienemmällä eksponentilla n 2 + 1.

Siegel osoittaa, että voit ottaa jopa pienempiä (pienempiä

suuremmalla n)-indikaattorilla 2 n.

Transsendenttiset luvut ovat aina olleet aiheena, koska ne ovat saaneet matemaatikot kunnioittamaan itseään. Ale, kunnes viime tunti keskellä päivää, kuten tsіkavі voimakkaiden voimien, ei ollut monia sellaisia, transsendenttinen luonne tällaisen bulo oli asennettu. (Luvun p ylittävyyden vuoksi, kuten osiossa III tapahtuu, on mahdotonta lyödä paalua viivaimen ja kompassin avulla.) Hänen puheessaan Pariisin kansainvälisessä matemaattiskongressissa 1900 r. David Hilbert laulaa kolmekymmentä matemaattista

ongelmat, jotka mahdollistavat yksinkertaisen kaavan, deyakі - navіt zovsіm alkeis ja suositumpi, jostain syystä ei vain ollut vilіshena, mutta navіtі ei antanut rakennus vaan salli tієї aikakauden matemaatikot. Qi "Hilbertin ongelmat" antoi vahvan herätyksen matematiikan kehitykselle tulevalla kaudella. Mayzhe kaikki haisut sallittiin askel askeleelta, ja rikkaassa vipadkahissa heidän virishenniansa johtui selkeästi ilmenevistä onnistumisista räikeämpien ja räikeämpien menetelmien mielessä. Yksi ongelmista, jonka toivoton uskalsi käsitellä

todiste siitä, että numero

є transsendenttinen (chi wanta b irrationaalinen). Kolmeen vuosikymmeneen ei ollut mahdollista painostaa tällaista pididiä ruokkimaan jonkun muun puolelta, mikä herätti toivoa menestyksestä. Zreshtoyu, Zіgel i itsenäisesti nuori venäläinen matemaatikko A. Gelfond löysi uusia menetelmiä rikkauksien ylittävyyden todistamiseksi

numeroita, jotka voivat tarkoittaa matematiikan merkitystä. Zokrema, Bulo lisätty

transsendenssi kuin Hilbertin luku 2 2 , ja th kokonaisluku suureen lukuluokkaan muotoa ab , jossa a on algebrallinen luku, a on algebrallinen luku, a b on irrationaalinen algebrallinen luku.

LISÄYS RAZDILU II:een

Kerrannaisalgebra

1. Kuuma teoria. Luokan käsite, sukupnostі, chi persoonattomia esineitä - yksi matematiikan perustavanlaatuisimmista. Persoonaton merkitsee deaco-voimaa ("attribuutti") A, joka on joko äidin tai ei äidin vika kohteen ihoanalyysit; nämä objektit, kuten A:n voima, muodostavat A:n persoonallisuuden. Joten kuten näemme luvun tarkoituksen, että A:n voima on siinä, että annamme anteeksi, niin A:n persoonallisuus lasketaan yhteen tavallisesta alkuluvusta numerot 2, 3, 5, 7, . . .

Matemaattinen teoria kertoimet syntyvät siitä, että on mahdollista muodostaa uusia kertoimia lisäoperaatioille (samanlailla kuin uudet numerot ilmestyvät luvuista tämän kertoimen taittamisen lisäoperaatioon). Vyvchennya-operaatiot kertoisivat tullakseen "monialgebran" aiheeksi, koska se voi olla rikkaasti johdonmukainen suuren numeerisen algebran kanssa, haluten nähdä miksi ja siinä. Se tosiasia, että algebran menetelmät voidaan porrastaa siihen pisteeseen, että ne sisältävät ei-numeerisia objekteja, kuten persoonattomia, ilu-

modernin matematiikan ideoiden suuren lähentymisen virta. Lopputunnilla oli selvää, että kertolaskujen algebra valaisi uutta valoa matematiikan rikkaalle taikuudelle, esimerkiksi maailmanteorialle ja kuvitteellisten asioiden teorialle; vona korisna on myös pіd systematisoinnin tunti matematiikka ymmärtää että z'yasuvannі їх looginen zv'yazkіv.

Nadal tarkoitan postiynu persoonaton esineiden deak, tällaisten baiduzh luonne, ja kuten voimme kutsua sitä universaali persoonallisuus (tai universumi mirkuvannya), ja

A, B, C, . . . Jos I on kaikkien luonnollisten lukujen joukko, niin esimerkiksi A voi tarkoittaa kaikkien parillisten lukujen puuttumista, B - kaikkien parittomien lukujen puuttumista, C - kaikkien alkulukujen puuttumista ja niin edelleen. silloin A voi olla turha piste tämän panoksen keskellä, B - turha piste toisen panoksen keskellä ja niin edelleen. Meta, ikään kuin seuraten tällaista laajennuspalaa, vannoo tuon asennon säilymisen puolesta, että A:n skin power näyttää paljon I:stä elementtejä, jotka johtavat voiman voimaa. Joskus kun A є yleismaailmallisesti kävinuvan auktoriteetti, jonka takapuolta voit palvella (kuten numeroista löytyy) auktoriteetti täyttää triviaalin ekvivalenssin x = x, niin kertojan tapauksessa minä olen itse I, ihoelementti voi olla tällainen valtuutus; toiselta puolelta, kuten A є sisäisenä supervoimakkaana voimana (kshtalt x 6 \u003d x), silloin ei ole tarpeen kostaa elementeille, se on "tyhjä" ja on merkitty symbolilla.

Vaikuttaa siltä, ​​että kertoja A on kertoimen B lisäkerroin, lyhyesti sanottuna "A tulee B:ssä" tai "B kostaa A", koska kertoimella A ei ole sellaista elementtiä, joka ei ole sama kuin kertoja B.

A B tai B A.

Esimerkiksi kaikkien kokonaislukujen persoonaton A, joka on jaollinen 10:llä, on kaikkien kokonaislukujen persoonattoman B:n osakerta, joka on jaollinen 5:llä, joten iholuku, joka on jaollinen 10:llä, on myös jaollinen 5. A B ei sisällä B A:ta.

Tse tarkoittaa, että ihoelementti A є samalla elementti B, і takaisin, joten kerro A ja B korvataksesi samat elementit.

Spivvіdnoshennia A B mizhiny rikas mitä arvata spіvіdnoshennia a 6 b mizh numeroita. Zokrema, ilmeisesti jäljitetty

puhaltaa tämän spіvvіdnoshennian voimaa:

1) A A.

2) Jos AB ja BA, niin A = B.

3) Kuten A B ja B C, sitten A C.

Syistä spіvvidnoshennia AB kutsutaan joskus "tilauksesta". Golovna Vidmіnniy Analysoitu SPIVVISHENYNYA VID SPIVVISHENYNYA A 6 b MIZH Polegan numeroissa yhdessä, pijami seremoniat (diSny) numerot a і b ei ole samalla tavalla analoginen väite on väärä. Esimerkiksi, että A on persoonaton, joka koostuu luvuista 1, 2, 3,

ja B on kerroin, joka lasketaan yhteen luvuista 2, 3, 4,

silloin ei ole aikaa A B:lle tai B A:lle. Ei ole mitään syytä sanoa, että A, B, C, . . . kertoimet I є "osittain järjestetty", samat kuin teholliset luvut a, b, c, . . .

luoda "täysin tilattu" tilaus.

Kunnioittavasti muun muassa siitä, että A:n ja B:n välillä ei ollut eroa, että jos A:n kertojaa ei olisi, I:n kerrointa,

Teho 4) voi olla jokseenkin paradoksaalinen, mutta jos ajattelee sitä, se on loogisesti alisteinen määrätyn merkin täsmälliselle muutokselle. Totta, spіvvіdnoshnya A oli rikki vain

sisään tuohon vipadkaan, ikään kuin tyhjään, monet elementit sijoittivat elementin väärin, mikä ei kostanut b A:ta; mutta niin kuin tyhjä persoonaton, älä kosta elementeille, et voi olla, ellei A:ta olisi.

Olemme nyt merkittäviä kaksi operaatiota kertoimet, jotka muodollisesti sallivat rikkaiden algebrallisten viranomaisten lisätä tuon moninaisuuden numeroita, jotka haluavat niiden sisäisen zmіsto zovsіm vіdminnі vіd tsikh aritmeettisen diy. Olkoot A ja B kaksi kertojaa. Termillä tai "loogisella summalla" A ja B ymmärtävät persoonaton, joka koostuu hiljaisista elementeistä, jotka sijaitsevat A tai

sisään B (mukaan lukien ja ne elementit, jotka löytyvät A:sta ja B:stä). Tämä kerroin on merkitty A + B:llä. 1 "Peretinan" tai "loogisen luomisen" alla ymmärretään A ja B persoonattomasti, jotka koostuvat hiljaisista elementeistä, jotka löytyvät A:sta ja B:stä. Tämä kerroin on merkitty AB.2:lla.

Operaatioiden A + B ja AB algebran tärkeiden voimien joukossa hyökkäys on ylikuormitettu. Lukija voi kääntää oikeudenmukaisuuden itse toimintojen tarkoituksesta riippuen:

Kaikkien näiden lakien uudelleentarkistus on yksinkertaisin logiikka oikealla. Esimerkiksi sääntö 10) sanoo, että elementit ovat persoonattomia, että joko A tai A tai persoonaton A; sääntö 12), jossa todetaan, että persoonattomat elementit, jos ne ovat A:ssa ja ovat samanaikaisesti joko B tai C, ovat persoonattomia elementtejä, jos ne ovat joko samaan aikaan A:ssa ja B:ssä tai aika on yksi tunti A:ssa ja C vykoristovuyutsya todistamaan samanlaisia ​​sääntöjä, käsin kuvitettu, ikään kuin voisimme kuvitella persoonaton A, B, C, . . . Kun katsomme tällaisia ​​hahmoja ruudulla, kunnioitamme tässä suhteessa enemmän, jotta emme menetä loogisia mahdollisuuksia, jos kyseessä on kahden joukon pääelementtien läsnäolo tai päinvastoin. yhdestä elementtijoukosta, jos sitä ei löydy toisesta.

Lukijaa, joka on epäilemättä menettänyt kunnioituksen niitä kohtaan, jotka hallitsevat lakeja 6), 7), 8), 9) ja 12) kutsutaan samoin tunnetuilla äänialgebran kommutatiivisilla, assosiatiivisilla ja distributiivisilla laeilla. Zvіdsi viplivaє, scho tse säännöt zvichaynoї algebra, yakі z tsikh lait, vaikuttavat joukkojen algebrassa. Navpaki, lait 10), 11) ja 13) alkuperäiselle algebralle ei ole analogeja, ja ne antavat algebralle monta yksinkertaista rakennetta. Esimerkiksi kertolaskujen algebran binomikaava voidaan pelkistää yksinkertaisimpaan yhtälöön

(A + B) n = (A + B) · (A + B). . . (A + B) = A + B,

lain mukaan 11). Lait 14), 15) ja 17) puhua niistä, joissa monikoiden I potenssi luvussa ennen tämän luvun yhteenlaskuoperaatiota on samanlainen kuin lukujen 0 ja 1 potenssi ennen numeeristen lukujen operaatio ja tuon monikon lisääminen. Ale lailla 16) ei ole analogia numeerisessa algebrassa.

Vielä yksi operaatio joukkojen algebrassa on annettava. Olkoon A yleisen kertoimen I alikerroin. Joten I:n lisäyksen A alla voidaan ymmärtää I:n kaikkien alkioiden persoonallisuus, jos ei A:ssa. Kertoimelle otetaan käyttöön arvo A0. Joten jos I on persoonaton kaikista luonnollisista luvuista ja A on persoonaton kaikista alkuluvuista, niin A0 on persoonaton, joka lasketaan yhteen kaikista varastonumeroista ja luvun 1 auktoriteetista:

23) A00 = A.

24) Spivvіdnenja A B 0A0.

25) (A + B) 0 = A0 B0. 26) (AB)0 = A0 + B0.

Uudelleentarkistaa nämä valtuudet I uudelleen nadaemo chitachev.

Lait 1)-26) ovat joukkoalgebran taustalla. "Kaksinaisuuden" ihmeellisen voiman haju hyökkäävässä sensaatiossa:

Kuten yhdessä laissa 1)–26), korvaa yksi yhdellä

(ihon syöttöä varten), sen seurauksena yksi näistä laeista tulee uudelleen esiin. Esimerkiksi laki 6) muuttuu laiksi 7), 12) - in 13), 17) - in 16) vain. alkuun. , "Dvіyna" їth lause, joka tulee ulos ensimmäisestä lisämerkityksiä symbolien permutaatioita. Totta, todisteen sirpaleita

Päämäärä. II ALGEBRA MNOZHIN 139

ensimmäinen lause koostuu lakien 1–26 peräkkäisestä pysähtymisestä (sovittamisen eri vaiheissa), sitten pysähtyminen "kahden" lain viimeisessä vaiheessa varastossa on todiste " kaksinkertainen" lause. (Tällaisen "kaksoisisuuden" vuoksi jaon IV osan geometriassa.)

2. Zastosuvannya matemaattinen logiikka. Kertoimien algebran lakien uudelleentodentaminen perustui A B:n loogisen mielen ja operaatioiden A + B, AB ja A0 analyysiin. Voimme nyt kääntää tämän prosessin ja pitää lakeja 1)–26) "logiikan algebran" perustana. Tarkemmin sanottuna: se osa logiikasta, koska niitä on monia, tai itse asiassa aivan sama, tarkasteltavien objektien tehot voidaan pelkistää muodolliseksi algebralliseksi järjestelmäksi, joka perustuu lakeihin 1) –26). Looginen "älykäs kaikkitietäminen" merkitsee persoonatonta minää; dermaalinen voima A merkitsee persoonatonta A, joka koostuu hiljaisista objekteista I, kuten se voi olla voima. Säännöt loogisimman terminologian kääntämiseksi kielelle

Algebran kannalta on olemassa syllogismi "Barbara", joka tarkoittaa, että "jos jokainen A × B ja jokainen B on C, niin jokainen A × C", se näyttää yksinkertaiselta:

3) Jos AB ja BC, niin AC.

Vastaavasti "vastuslaki", joka vahvistaa, että "esine ei voi samanaikaisesti johtaa eikä johtaa sellaista valtaa", katsoja tallentaa:

20) AA 0 = ,

a "sisältyneen kolmanneksen laki", joka tarkoittaa, että "kohde on syyllinen äidistä, mutta ei äiti vallan diakonista", on kirjoitettu:

19) A+A0=I.

Tällä tavalla se osa logiikasta, symboleina nähtynä, +, · і 0, voidaan tulkita formaaliksi algebrajärjestelmäksi lakien 1)–26) mukaisesti. Matematiikan ja loogisen analyysin perusteella matemaattinen analyysi logiikasta on luotu uusi tieteenala - matemaattinen logiikka, kuten mikään niistä ei nuhtele myrskyisän kehityksen prosessia.

Aksiomaattisesta näkökulmasta, tämän ihmeellisen tosiasian kunnioittamisen vuoksi, jonka 1)-26) yhdessä muiden joukkoalgebran lauseiden kanssa voidaan nähdä loogisesti seuraavista kolmesta yhtälöstä:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0) 0 + (A0 + B) 0 = A.

On selvää, että kertolaskujen algebraa voidaan motivoida deduktiivisena teoriana euklidisen geometrian perusteella näiden kolmen aksioomeiksi hyväksytyn aseman perusteella. Kuten aksiomaattisesti hyväksytään, operaatio AB ja lause A B määritellään A + B:n ja A0:n suhteen:

Kutsumme toista esimerkkiä matemaattisesta järjestelmästä, jossa kertoimien algebran kaikki muodolliset lait on koodattu, annetaan kahdeksan luvun järjestelmällä 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: tässä a + b tarkoittaa,

korkein, pienin kerrannainen a і b, ab - suurin dіlnik a і b, a b - kovuus "b on jaettu a":lla ja a0 - numerolla 30 a. Su-

Tällaisten sovellusten perusta on aiheuttanut törkeiden algebrallisten järjestelmien kehittämisen, mikä täyttää lait 27). Tällaisia ​​järjestelmiä kutsutaan "Boolen algebroiksi" - George Boolen (1815-1864), englantilaisen matemaatikon ja loogikon kunniaksi, jonka kirja "Ajattelun lakien tutkiminen" ilmestyi vuonna 1854.

3. Yksi pysähdyksistä ennen liikkumattomuusteoriaa. Algebra voi olla paljon lähempänä liikkumattomuuden teoriaa ja antaa sinun tarkastella sitä uudessa maailmassa. Katsotaanpa yksinkertaisinta esimerkkiä: tehdään oma kokeilu viimeisestä mahdollisesta nasledkivistä, yakі kaikki ajattelevat kuin "yhtä kykenevä". Kokeilu voi olla esimerkiksi siinä, että voimme nostaa kortin uudesta pakasta, joka on hyvin sekoitettu. Jos kaikkien kokeen tulosten kerroin on merkitsevä I:n kautta, ja A tarkoittaa, että se on I:n alikerroin, niin mahdollisuus, että kokeen tulos on A:n alikerroin, merkitään laajennukseksi.

p(A) = A:n alkioiden lukumäärä. I:n alkioiden lukumäärä

Jos ajatellaan minkä tahansa kertoimen A alkioiden lukumäärää n(A), niin loput yhtälöstä voidaan antaa katsomalla

Ideoita monikoiden algebrasta syntyy laskettaessa mahdollisuuksia, jos on mahdollista joidenkin monikoiden imovirness laskea toisten imovirness. Esimerkiksi, kun tiedämme p(A), p(B) ja p(AB) dynamiikan, voimme laskea p(A + B) dynamiikan:

Ei väliä tuoda. Mi maєmo

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

elementtien sirpaleita, jotka voivat olla yhtä aikaa käytössä A:ssa ja B:ssä, niin AB:n elementit otetaan huomioon laskettaessa summia n(A) + n(B), ja siksi on tarpeen nähdä n(AB) summien summasta, joten n(A + B) jakokirjain on oikea. Pidetään rikolliset loukkaantuneena n(I:n) ekvivalenssin osasta, spontaanius otetaan pois (2).

Cіkavіsha kaava menee ulos, joten kertoimia A, B, C z I on noin kolme.

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Edellisen kappaleen laki (12) antaa meille (A + B) C = AC + BC. Äänet huutavat:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Korvaamalla edellisessä järjestyksessä arvot p[(A + B)C] ja arvo p(A + B), jotka on otettu (2), saamme vaaditun kaavan:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Kuten persettä, voimme katsoa loukkaavaa kokeilua. Kolme numeroa 1, 2, 3 kirjoitetaan missä tahansa järjestyksessä. Mitä tarkoittaa se tosiasia, että yksi numeroista hyväksytään perustuen yläraja-avaruuteen (sensi numbering)? Olkoon A persoonaton permutaatio, jolle luvun 1 tulisi maksaa ensimmäinen paikka, B - persoonaton permutaatio, jolle numero 2 maksaa toisen paikan, C - persoonaton permutaatio, jolle numero 3 maksaa kolmannen sijan . Meidän on laskettava p(A+B+C). Tajusin että

p(A) = p(B) = p(C) = 26 = 13;

tehokkaasti, ikään kuin kuvio seisoisi oikealla paikalla, silloin on kaksi mahdollisuutta järjestää kahden numeron ratkaisu pääluvusta 3 2 1 = 6 mahdollista kolmen numeron permutaatiota. Dali,

Oikein. Syötä kelvollinen kaava arvolle p(A + B + C + D) ja odota kokeiluun, jossa on 4 numeroa. Vidpovidna umovirnіst dorіvnyuє 58 = 0,6250.

Yleinen kaava n kertoimen yhdistämiselle saattaa näyttää

yhdistelmät kostaaksesi yksi, kaksi, kolme, . . . , (n − 1) kirjain numerosta A1 , A2 , . . .

an. Tämä kaava voidaan lisätä ylimääräisen matemaattisen induktion jälkeen - aivan kuten kaava (3) otettiin käyttöön kaavasta (2).

Kaavasta (4) voidaan lisätä wispejä siten, että numeroita 1, 2, 3, n on n. . . n missä tahansa järjestyksessä, kyky hyväksyä yksi numeroista nojataksesi oikeaan paikkaan on parempi

lisäksi ennen jäljellä olevaa jäsentä on merkki + tai −, joka kutsuu parillisia ja parittomia. Zocrema, n = 5

p5 = 1 - 2! + 3! − 4! +5! = 30 = 0,6333. . .

VIII-divisioonassa haluaisimme tietää, että jos ei ole yhteensopimattomuutta, viraz

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! +4! − . . . ±n!

pragne välillä 1 e, jonka merkitys viidellä merkillä komin jälkeen,

yksi 0,36788. Kaavasta (5) käy selväksi, että pn = 1 − Sn, niin tähti on selvä, että n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Sana "transsendenttinen" liittyy transsendenttiseen meditaatioon ja erilaisiin esoterismiin. Mutta jotta voisimme elää joogaa oikein, jooga on vähintään herätettävä henkiin termistä "transsendenttinen" ja korkeintaan - arvailla joogan rooli Kantin roboteissa ja muissa filosofeissa.

Tse on ymmärrettävissä muistuttavan latinaa transcendens - "ylittää", "ylittää", "mennä yli". Yleensä viineillä tarkoitetaan niitä, jotka ovat olennaisesti empiirisen tiedon ulottumattomissa tai todisteisiin perustuvia. Ajattele uudelleen termiä viniklische uusplatonismin filosofia - perustaja Plotin teki suoraan vchennyan Yhdestä - kaiken hyvästä pershopochkasta, ikään kuin ajatuksia ei olisi mahdollista tunnistaa mielen avulla ilman herkän mielen apua. "Yksi ei ole olemassa, mutta isä Yogo" - selittää filosofi.

Viimeisin termi "transsendenttinen" kehitettiin Immanuel Kantin filosofiassa de vin vikoristovuvsya kuvaamaan, selvästi välttämätön tiedolle ja kuinka tuntea kehomme on herkkä, jää periaatteessa tunnistamattomaksi, kuten käytännössä ja teoriassa. Transsendenssin leviäminen - : se tarkoittaa joko näkymättömyyttä, sisäistä yhteyttä, olipa kyseessä sellaisena kuin esine on itse kohteen kanssa, tai kohteen tunnistamista erityinen todistus. Oletetaan esimerkiksi, että luomusten koko maailma suuren idean takana piti itseään meille transsendenttinä - voimme vain tehdä hypoteeseja uudesta. Ja kuitenkin, kuten minä sen käsitin, se on totta, ja seuraukset meille ovat immanentteja, jotka vaikuttavat fyysisiin lakeihin ja olosuhteisiin, joita voimme kuluttaa. Siksi joissakin teologisissa käsitteissä Jumala on transsendenttinen ja voittaa luomansa asennot.

Varsinaiset puheet ovat edelleen ennakkotiedon ulottuvilla: esimerkiksi tila ja aika, ajatukset Jumalasta, hyvyys ja kauneus, loogiset kategoriat. Tobto transsendenttiset esineet, kuvaannollisesti näennäisesti, "linjan takana" mielessämme

Toteamus transsendenttisesta luonteesta matematiikassa: transsendenttinen luku on luku, jota ei voida laskea lisäalgebralla tai algebrallisesti (eli se ei voi olla runsaan termin juuri, jossa on useita kertoimia ja joka ei ole sama kuin nolla). Ennen niitä syötetään esimerkiksi numerot π і e.

Ymmärtäminen, lähellä "transsendenttista" ja jopa merkityksien tuolla puolen - "transsendenttinen". Selässä se merkitsi yksinkertaisesti abstraktien roomalaisten kategorioiden aluetta, ja vuoden loppuun mennessä Kantin kasvatettuaan, hänen hiuksistaan ​​juotuaan pastaa: oli mahdotonta saada aikaan filosofista järjestelmää vain empiiristen tietojen perusteella. , mutta hän ei tiennyt totuutta muiden ihmisten kuolemasta. Kääntyäkseen filosofit pääsivät myöntämään, että jotkut puheet ovat edelleen ennakkotiedon ulottuvilla: esimerkiksi tila ja aika, ajatukset Jumalasta, hyvyys ja kauneus, loogiset kategoriat. Että transsendenttiset esineet - tse, kuvaannollisesti näyttävät, "ennen laittaa mielen taakse" mielessämme - joiden tiedot niistä on itsestään selvää ja ei vyplyvaet tietomme.

On vielä yksi kiistanalainen ymmärrys - transsendenssi. Laajassa merkityksessä sana "vono" tarkoittaa siirtymistä kahden eri alueen väliseen kordoniin, erityisesti siirtymistä tämän maailman sfääristä tulevaisuuden, transsendenttiseen, sfääriin. Otetaan yksinkertaisuuden vuoksi esimerkki tieteiskirjallisuudesta: rinnakkaismaailma hienoja ihmisiä- transsendenttinen ilmentymä. Mutta jos sankari joi rinnakkaisella valollaan, näyttää siltä, ​​​​että arvo ilmenee rakennuksen jooga spriymati, tse transsendenssi. Taitettavampi esimerkki eksistentiaalisesta filosofiasta: Jean-Paul Sartre, tajuttuaan, että ihminen on transsendentti, sirpaleet eivät ylitä minkään mahdollisen märän totuuden rajoja: voimme navkolishniy svit eri puolilta, mutta joka tapauksessa emme voi päästä lähellekään täydellistä tunnustamista itsestämme. Ale, ihminen voi heti rakentaa transsendenssiin: hän ylittää sen, onko se joki, ja antaa sille merkityksen. Transsendenssi on tärkeä elementti uskonnossa: se auttaa ihmisiä kasvamaan aineellisessa luonnossaan ja saavuttamaan jotain vierasta.

Filosofiasta transsendenttisuuden käsite on siirtynyt psykologiaan: sveitsiläinen psykologi Carl Jung on kehittänyt käsitteen "transsendenttinen toiminta" - sama toiminto, joka liittyy tuon käsittämättömyyden kanssa. Zocreman, transsendenttisen toiminnon voi voittaa psykoanalyytikko - auta potilasta analysoimaan näkymättömän (esimerkiksi unen) kuvia ja näyttämään ne heti omista psyykkistä prosesseistaan.

Jakin puhe

Väärä "Ilmoittauduin transsendenttisen meditaation kurssille." Aivan oikein - "transsendenttinen".

Se on oikein: "Kun menen temppeliin, katson jotain yliluonnollista."

Oikein: "Transendenssitaide tuntee meille esineitä aineellisesta maailmasta, muistuttaen niitä suurimmalla valolla."

Illya Shchurov

Matemaatikko Illya Shchurov luvun Pi kymmenistä murtoluvuista, transsendenssista ja irrationaalisuudesta.

Kuinka "yksinäisyys" auttoi inspiroimaan ensimmäistä paikkaa ja tuota suurta imperiumia? Kuinka räjäytit ihmisten mielet? Mikä rooli hänellä oli pennien esiintymisessä? Jakki "yksi" yhdistyi nollaan hallitsemaan moderni maailma? Sinkkuuden historia liittyy erottamattomasti eurooppalaisen sivilisaation historiaan. Terry Jones on virushaya humoristisella tavalla kalliimmin menetelmällä, joka yhdistää yksinkertaisimman numeromme ihmeellisen historian. Tämän ohjelman tietokonegrafiikan avuksi herää henkiin eri muodoissa. Yksinäisyyden historiasta kävi selväksi, että tähdet ilmestyivät tänään, ja kuten nollan viat, vryatuvavat ottaen huomioon tarpeen voittaa roomalaiset numerot.

Jacques Cesiano

Tiedämme vähän Diofantuksesta. No, Vin on elossa Oleksandriyan luona. Kukaan kreikkalaisista matemaatikoista ei tajunnut sitä ennen kuin 4. vuosisadalla, sillä se, ymovirno, on elossa 3. vuosisadan puolivälissä. Diophantuksen robotin, "Aritmeettisen" (Ἀριθμητικά) pää otettiin 13 "kirjan" (βιβλία) päälle jaettavaksi. Tänään meillä saattaa olla niitä 10, ja sinänsä: 6 kreikankielistä tekstiä varten ja 4 muuta keskimmäistä arabiankielistä käännöstä varten ja muutama kreikkalaisten kirjojen keskelle: kirjat I-III kreikaksi, IV-VII arabiaksi, VIII-X kreikaksi. Diophantuksen "aritmetiikka" on aikataulusta edellä, vain lähellä 260. Teoriat, näennäisesti totta, ei mitään; Kirjan alussa ei ole yleisempiä ohjeita, ja tarvittaessa enemmän yksityistä kunnioitusta muita ohjaajia kohtaan. "Aritmetiikka" näyttää jo algebralliselta tutkielmalta. Diophantus on tähkä erilaisia ​​merkkejä, schob vyslovlyuvati nevidome että joogo askel, myös deakі calculus; Kuten kaikki keskiosan algebralliset symbolit, sen symboliikka muistuttaa matemaattisia sanoja. Sitten Diophantus selittää, kuinka ongelma ratkaistaan ​​algebramenetelmällä. Mutta Diophantuksen tehtävä ei ole ensisijaisessa merkityksessä algebrallinen, joten kaikki voidaan pelkistää määrittelemättömän yhtäläisyyden korkeuteen tai tällaisten yhtäläisten järjestelmiin.

George Shabat

Kurssin ohjelma: Historia. Ensimmäiset arvosanat. Halkaisijaltaan її olevan panoksen konsistenssiongelma. Neskіchennі rivit, luo että іnshі vrazi varten π. Zbіzhnist ja її yakіst. Virazi, mitä kostaa π. Sekvenssit, jotka konvergoivat nopeasti arvoon π. Nykyaikaiset menetelmätπ:n laskeminen, tietokoneiden lukumäärä. π:n ja muiden lukujen irrationaalisuudesta ja transsendenssista. Eteenpäin tietämys ei ole kurssille välttämätöntä.

Oxfordin yliopiston virkamiehet sanoivat, että luvun 0 varhaisessa käyttöönotossa peräkkäisten päivien lukumäärän osoittamiseksi (kuten numerossa 101) tulisi sisältää Bakhshalin intialaisen käsikirjoituksen teksti.

Vasil Pispanen

Ketä lapset eivät kaiverru ryhmään "nimeä suurin numero"? Milyoni, trillionit ja muut "-he" näkyy ajatuksissa jo sujuvasti, mutta yritämme ratkaista matematiikan "mastodonin" - Grahamin numeron.

Viktor Kleptsin

Oikea luku voidaan arvioida täsmälleen rationaalisilla luvuilla. Ja jos teemme sen ystävällisesti, voimmeko päästä lähelle toisiamme - onko se linjassa joogataittamisen kanssa? Esimerkiksi rikkoutuminen kymmenes merkintä numerot x päällä k:s numero sen jälkeen otamme pois läheisyyden x≈a/10^k suuruusluokkaa 1/10^k olevalla anteeksiannolla. I vzagali, kun bannerin q on korjattu lähestyvään murto-osaan, voimme ehdottomasti ottaa lähestymisen anteeksi kertaluvun 1/q kanssa. Ja mitä voit tehdä paremmin? Kaikille tiedossa, läheisyys π≈22/7 antaa anteeksi luokkaa 1/1000 - se on selvästi parempi, alempi voisi korjata. Miksi? Me säästyimme, miksi π on niin lähellä є:tä? Näyttää siltä, ​​että mille tahansa irrationaaliselle luvulle є persoonaton murtoluku p / q, joka on sitä lähempänä, on pienempi 1 / q ^ 2. Tseverzhuє Dirichlet'n lause - ja mi pochnemo kurssi іz її troha ei-standardi todiste.

Vuonna 1980 Guinnessin ennätyskirja toisti Gardnerin väitteet, mikä lisäsi edelleen yleistä kiinnostusta kyseiseen numeroon asti. Grahamin numero nimessä monta kertaa enemmän, pienempi muuten hyvä talossa hienoja lukuja, joten, kuten googol, googolplex ja navigoi enemmän, pienennä Skewes- ja Moser-lukua. Todellisuudessa koko maailma on liian pieni, jotta joku ottaisi omaa kymmenennen ennätyksensä Grahamin numerosta.

Dmitro Anosov

Luennot: Anosov Dmitro Viktorovich, fysiikan ja matemaattisten tieteiden tohtori, professori, Venäjän tiedeakatemian akateemikko. Kesäkoulu "Moderni matematiikka", Dubna. 16.-18. huhtikuuta 2002

Ei ole mahdollista reagoida oikein ravintoketjuun, sirpaleisiin numerosarjaälä pidä ylärajaa. Joten tiettyyn numeroon asti riittää, että lisäät yhden, jotta numeroa saadaan vielä enemmän. Vaikka itse numeroita ei ole rajoitettu, niiden nimet eivät ole niin rikkaita ja rikkaita, joten useimmat ovat tyytyväisiä nimiin, jotka lasketaan yhteen pienemmistä luvuista. Tajusin, että viimeisessä numerosarjassa, jonka ihmiset ovat kasanneet voimakkaiden nimiensä vuoksi, ne voivat olla eniten. Mutta miten sitä kutsutaan ja miksi se on tasa-arvoinen? Yritetään nyt selvittää se jotenkin ja tunnistaa tartunta, matemaatikot ovat keksineet hienoja lukuja.

Numeroon soitetaan algebrallinen yakscho se on rikkaan termin juuri, jossa on paljon kertoimia

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(eli yhtäläisen juuri a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, de a n, a n-1, ..., a 1, a 0--- numerot, n 1, a 0).

Persoonaton algebrallinen luku on tarkoituksenmukaisesti kirjain .

On helppo nähdä, onko rationaalinen luku algebrallinen. Totta, - joen juuri qx-p = 0 monilla kertoimilla a 1 = qі a 0 =-p. Otzhe, .

Kaikki algebralliset luvut eivät kuitenkaan ole rationaalisia: esimerkiksi luku on tasa-arvon juuri x 2-2 = 0, otzhe, --- algebrallinen määrä.

Vanha tunti jätettiin koskemattomaksi, tärkeä matematiikan ravitsemuksen kannalta: ? Alle 1844 Lіouvillen kohtalo oli ensimmäinen esimerkki transsendenttisesta (tobto. ei-algebrallinen) numerosta.

Kuukauden ensimmäisenä päivänä todiste sen ylivoimaisuudesta on vieläkin taitettavampi. Transsendenttisten lukujen perusteella oleva lause on mahdollista tuoda huomattavasti yksinkertaisemmalla tavalla osoittamalla numeeristen kertoimien ekvivalenssi ja ei-ekvivalenssi.

Ja itse, voimme tuoda, että persoonattomat algebralliset luvut ovat Rakhunkov. Kaikkien reaalilukujen sirpaleet eivät kuitenkaan ole yhtä suuret, voimme asettaa ei-algebrallisten lukujen perustan.

Tehdään toisistaan ​​yksiselitteisesti ero ja kymmenellä . Tse on merkityksellinen, sho - Se on hyvä chi rakhunkovo. Ale oskilki , sitten neskіchenno, otzhe, rakhunkovo.

Tule nyt - algebran deyake-luku. Tarkastellaan kaikkia rikkaita termejä kertoimien lukumäärällä, jonka juuri on є, ja valitaan rikkaiden termien keskiosa P vähimmäisaskel (jotta se ei ole saman rikkaan termin juuri ja pienemmän askeleen koko kertoimet).

Esimerkiksi rationaaliluvulle tällaisella polynomilla voi olla askel 1 ja luvuilla - askel 2.

Jaetaan kaikki rikkaan jäsenen kertoimet P suurimmalle nukkujalleen. Otetaan pois polynomi, jonka kerroin on keskenään yksinkertainen (niiden suurin ratapölky on 1). Zreshtoyu, vanhempi kerroin a n vіd'єmniy, kerromme kaikki polynomin kertoimet -1 .

Rikkaan termin (eli rikkaan termin, jolla on suuria kertoimia, jonka juuri on luku, joka voi olla pienin mahdollinen askel, keskenään yksinkertainen kerroin ja positiivinen seniorikerroin) vähennyslaskua kutsutaan rikkaan vähimmäistermiksi. määrä.

Voidaan osoittaa, että tällainen polynomi on yksilöllisesti osoitettu: algebran ihonumero voi olla täsmälleen yksi minimipolynomi.

Polynomin todellisten juurien lukumäärä on korkeintaan alempi askel. Voit myös numeroida (esimerkiksi kasvua varten) tällaisen rikkaan termin juuret.

Olipa kyseessä algebran luku, se tunnistetaan sen minimaalisesta rikkaasta termistä (eli sen kertoimien joukosta) ja numerosta, joka eroaa polynomin muista juurista: (a 0,a 1,...,a n-1,a n,k).

Myöhemmin dermaaliselle algebralliselle luvulle asetimme eron kokonaislukujen lopulliselle joukolle, ja sitä lisäksi yksiselitteisesti seuraa tämä joukko (joten eri joukot annetaan eri luvuille).

Kaikki alkuluvut on numeroitu kasvujärjestyksessä (ei ole väliä osoittaa, että ne ovat liian rikkaita). Otamme pois anteeksiantamattoman sekvenssin (pk): p1=2,p2=3, p3=5, p4=7, ... Nyt joukko kokonaislukuja (a 0,a 1,...,a n-1,a n,k) voit laittaa u vіdpovidnіst tvіr

(Tämä luku on positiivisempi ja rationaalisempi, mutta älä ole luonnollinen, edes numeroiden keskellä a 0, a 1, ..., a n-1, voi olla negatiivinen). Kunnioittavasti, että numero ei ole lyhytaikainen, sirpaleet ovat yksinkertaisia ​​kertoimia, syötettävä ennen numerokirjan ja bannerin asettamista, ero. On myös syytä kunnioittaa, että kaksi ei-lyhyttä murto-osaa, joissa on positiiviset numerot ja säkeet, ovat yhtä suuret, vaikka ne olisivat yhtä suuret numerot, ne їх ovat samanarvoisia säkeitä.

Katsotaanpa sitä nyt suolalla:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Oskіlki eri algebran numerot ovat asettaneet erilaisia ​​kokonaislukuja ja eri sarjoja --- erilainen rationaaliluvut, niin me tässä järjestyksessä määritimme moninkertaisuuden keskenään yksiselitteisen validiteetin ja kymmenellä . Siksi persoonattomat algebralliset luvut ovat merkittäviä.

Persoonaton reaalilukujen sirpaleet ovat erottamattomia, olemme tuoneet ei-algebrallisten lukujen perustan.

Päättelylause ei kuitenkaan osoita, kuinka määritellä mikä koko numero algebrallinen. Ja ravitsemus on joskus tärkeä matematiikalle.

transsendentti numero

luku (dіysne abo yavne), joka ei ole tyytyväinen mihinkään algebran taajuuskorjaukseen (Div. Algebraic equalization) monilla kertoimilla. Tässä luokassa T. h. on osoitettu algebrallisille numeroille. Іsnuvannya T. H. perusti ensin J. Liouvillen (1844). Oikea kohta Liouvillelle oli th lause, jossa sanotaan, että mikä tahansa rationaalisen murtoluvun likimäärä annetulla standardilla kolmanteen irrationaaliseen algebralliseen lukuun ei voi olla riittävän korkea. Algebrallisin luku a täyttää algebran pelkistämättömän yhtäläisen n monilla kertoimilla, minkä tahansa rationaalisen luvun tallettamiseksi vain α ). Siksi tietylle irrationaaliselle luvulle α on mahdollista osoittaa persoonattomia rationaalisia approksimaatioita, jotka eivät täytä epätasaisuuden induktiota millekään hі n(jotkut ja hiljaa kaikille läheisille), sitten α є T. h. Tällaisen numeron takapuoli on kyllä:

R. Kantor (1874) mainitsi, että kaikkien algebrallisten lukujen persoonallisuus on erotettavissa (jotta kaikki algebralliset luvut voidaan numeroida uudelleen; div. Multiplicity teoria), niin kaikkien reaalilukujen persoonallisuus on muuttumaton. Se kuulosti persoonattomalta T. h.

T. h.:n teorian tärkein tehtävä - tse z'yasuvannya että chi є T. h. analyyttisten funktioiden arvo, joilla voi olla ne muut aritmeettiset aritmeettiset voimat argumentin algebrallisilla arvoilla. Minkä perheen tehtävä on modernin matematiikan tärkeimmän tehtävän edelle. U 1873 Sh.

Vuonna 1882 saksalainen matemaatikko F. Lindemann teki merkittävämmän tuloksen: koska α on algebran luku, niin eα - T.h. Lipdemanin tulosta pahensi merkittävästi saksalainen matemaatikko K. Siegel (1930), joka osoitti esimerkiksi laajan sylinterifunktioluokan arvon ylittämisen algebra-argumentin arvoilla. Vuonna 1900 Pariisin matematiikan kongressissa D. Hilbert 23 loukkaamattoman matematiikan ongelman joukossa huomautti loukkaavan: chi on transsendenttinen luku α β , de α і β - lisäksi algebralliset luvut β - irrationaalinen luku, i, zokrema, chi є transsendentaalinen luku e π α β bulan ensimmäisenä yksityisessä muodossa laittoi L. Euler, 1744). A. O. Gelfond otti ongelman ulomman version (vahvassa mielessä) enemmän tai vähemmän huomioon vuonna 1934. Gelfondin lausunnosta zokrema käy ilmi, että kaikki kymmenet luonnollisten lukujen logaritmit (eli "taulukkologaritmit") ovat T. h. Teorian menetelmät T. h.

Lit.: Gelfond A. O., Transsendentaaliset ja algebralliset luvut, M., 1952.

Suuri Radianska Encyclopedia. - M: Radianska Encyclopedia. 1969-1978 .

Ihmettele tällaista "Transcendenttistä numeroa" muissa sanakirjoissa:

Luku, joka ei ole tyytyväinen mihinkään yhtä suureen algebraan, jolla on mikä tahansa määrä kertoimia. Transsendenttiset numerot є: numero? 3,14159...; minkä tahansa kokonaisluvun kymmenes logaritmi, jota ei esitetä ykkösellä nollien kanssa; numero e = 2,71828 ... ta in ... Loistava Ensyklopedinen sanakirja

- (latinaksi transcendere mennä yli, kääntää) tse recheve abo kompleksiluku, joka ei ole algebrallinen eli luku, joka ei voi olla runsaan termin juuri, jossa on monia kertoimia. Zmist 1 Power 2 ... ... Wikipedia

Luku, joka ei ole tyytyväinen mihinkään yhtä suureen algebraan, jolla on mikä tahansa määrä kertoimia. Transsendentaaliset luvut є luku π = 3,14159...; minkä tahansa kokonaisluvun kymmenes logaritmi, jota ei esitetä ykkösellä nollien kanssa; numero e = 2,71828... ta in. Ensyklopedinen sanakirja

Luku, joka ei täytä samaa algebraa. ur nіu qіlimi kertoimilla. T. vuosi. є: numero ПІ = 3,14159...; minkä tahansa kokonaisluvun kymmenes logaritmi, jota ei esitetä ykkösellä nollien kanssa; numero e = 2,71828... ta in. Luonnontiede. Ensyklopedinen sanakirja

Luku, joka ei ole saman rikkaan termin, jolla on samat kertoimet, juuri. Tällaisten lukujen laajuus on todellisten, kompleksisten ja säteittäisten lukujen nolla. Іnuvannya, joka ilmeisesti sai T. h. obguruntuvav J. Liouvillen toimintaan ... Matemaattinen tietosanakirja

Tasa-arvoinen, kuten ei є algebrallinen. Kutsu hintakohdistus, joka voidaan näyttää, logaritminen, trigonometrinen, käännettävä trigonometrinen funktio, esimerkiksi: Suvorishe nimityksen kuten: Transsendenttinen linjaus tavoitteen ... Wikipedia

Lukua, noin 2,718, käytetään usein matematiikassa ja luonnontieteissä. Esimerkiksi radioaktiivisen puheen katketessa tunnin t jälkeen, puhejakson lopussa, häviää osa, joka on kalliimpaa e kt, de k numero, ... Collier Encyclopedia

E on matemaattinen vakio, luonnollisen logaritmin perusta, irrationaalinen ja transsendentaalinen luku. Toisin sanoen lukua e kutsutaan Euler-luvuksi (älä sekoita ns. ensimmäisen tyypin Euler-lukuihin) tai Napier-luvuksi. Se on merkitty pienellä latinalaisella kirjaimella "e".

E on matemaattinen vakio, luonnollisen logaritmin perusta, irrationaalinen ja transsendentaalinen luku. Toisin sanoen lukua e kutsutaan Euler-luvuksi (älä sekoita ns. ensimmäisen tyypin Euler-lukuihin) tai Napier-luvuksi. Se on merkitty pienellä latinalaisella kirjaimella "e".