Selvitä kaikki rikkaan termin rationaaliset juuret verkosta. Yhtälö kaikessa matematiikassa Rikkaiden termien rationaalinen juuri. Hornerin suunnitelma. Chi є tse rationaalinen luku

Rikas termi muuttujan x muodossa kutsutaan eri tavalla: anxn + an-1 xn-1 +. . . +a 1 x+a 0 de n on luonnollinen luku; an, an-1, . . . , a 1, a 0 - ovatko ne numeroita, joita kutsutaan tämän polynomin kertoimiksi. Virazi anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 kutsutaan polynomin jäseniksi ja 0 kutsutaan mielivaltaiseksi jäseneksi. an - kerroin kohdassa xn, an-1 - kerroin kohdassa xn-1 ja niin edelleen. esimerkiksi rikas termi 0x2 + 0x + 0 on nolla. Polynomin tietueesta on selvää, että vin lasketaan yhteen termien lukumäärästä. Kuulostaa termiltä "rikas jäsen" (rikkaat jäsenet). Joskus rikasta termiä kutsutaan polynomiksi. Tämä termi muistuttaa kreikan sanoja πολι - rikas ja νομχ - jäsen.

Rikas jäsen yhden muutoksen x muodossa on merkitty: . f (x), g (x), h (x) ja niin edelleen, esimerkiksi ensimmäisenä osoittaen rikkaammin termejä f (x) suhteen, niin voit kirjoittaa: f (x) = x 4+2 x 3+ (- 3) x 2 + 3/7 x + √ 2. 1. Rikasta termiä h (x) kutsutaan rikkaiden termien f (x) ja g (x) suurimmaksi nukkujaksi, joten se on mahdollista lisätäksesi f (x), g (x) ja nahka dilnik. 2. Rikasta termiä f(x), jolla on kertoimet vaiheen n kentästä P, kutsutaan pelkistetyksi kentän P yli, jolloin muodostuu rikkaat termit h(x), g(x) Î P[x] askeleen pienemmäksi n niin, että f (x) = h(x)g(x).

Tämä on rikas termi f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . + a 1 x + a 0 і an≠ 0, niin lukua n kutsutaan rikkaan termin f (x) vaiheeksi (tai näyttää: f (x) on n:s vaihe) ja kirjoita Art. f(x) = n. Ja tässä a:ta kutsutaan seniorikertoimeksi ja anxn on tämän polynomin vanhempi jäsen. Jos esimerkiksi f (x) = 5 x 4 -2 x +3, niin Art. f(x) = 4, seniorikerroin - 5, seniorikausi - 5 x4. Polynomiaskel on suurin kertoimiensa luvuista, johtavat nollatyypit. Nollaaskeleen rikkaat termit ovat kokonaislukuja, jotka ovat samoja kuin nolla. vaiheen nollarikas termi ei voi olla; rikas termi f(x) = a, jossa a on luku, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, maksimiaskel on 0; askel hyvin jokin muu polynomi, joka on kalliimpi muutosaskeleen x suurimmalle indikaattorille, kerroin seuraavalla on nolla.

Rivnisti rikkaiden jäsenten. Kaksi rikasta termiä f(x) ja g(x) katsotaan yhtäläisiksi, vaikka niiden kertoimet ovat yhtä suuret muutoksen x ja vapaiden termien samoissa vaiheissa (yhtä їх відпровідні kertoimet). f(x) = g(x). Esimerkiksi rikkaat termit f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 і g (x) \u003d 2 x 23 x + 1 eivät ole yhtä suuret, ensimmäisellä on kerroin x3 yhtä suurella 1:ksi ja toisella on nolla ( Hyväksytyillä älykkyyksillä voimme kirjoittaa: g (x) \u003d 0 x 3+2 x 2 -3 x + 1. Missä tapauksessa: f (x) ≠ g (x) x 2-3 x + 5, s(x) =2 x 2+3 x+5

Ja rikkaan termin akseli f 1 (x) \u003d 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 і g 1 (x) \u003d 2 x 5 + ax 3 -2 x + 3 yhtä paljon, vaikka a = 3 , mutta b = -2. Anna rikas termi f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 on luku c. Luku f(c) = ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 kutsutaan polynomin f(x) arvoksi kohdassa x = c. Tällä tavalla f(c) tuntemiseksi on tarpeen perustella x ja suorittaa tarvittavat laskelmat. Jos esimerkiksi f(x) = 2x3+3x2-x+5, niin f(-2)=2(-2)3+(-2)2-(-2)+5=3. Voidaan ottaa rikas jäsen, jolla on erilaiset muutoksen x arvot erilaisia ​​arvoja. Lukua kutsutaan polynomin f (x) juureksi, joten f (c) =0.

On tärkeää kiinnittää huomiota kahden lauseen eroon: "rikas termi f(x) on yhtä suuri kuin nolla (muuten rikas termi f(x) on nolla)" ja "polynomin f(x) arvo kun x=z on yhtä suuri kuin nolla". Esimerkiksi polynomi f (x) \u003d x 2 -1 ei ole nolla, vіn voi olla nollasta poikkeavia kertoimia, kuten arvo kohdassa x \u003d 1 on yhtä suuri kuin nolla. f(x) ≠ 0 ja f(1) = 0. Rikkaiden termien vastaavuuden ja rikkaan termin merkityksen ymmärtämisen välillä on sama läheinen suhde. Jos annetaan kaksi yhtä suurta polynomia f(x) ja g(x), niin їх ovat yhtä suuret kertoimet, ja siksi f(c) = g(c) iholuvulle с.

Operaatiot polynomeilla Rikkaita termejä voidaan lisätä, nähdä ja kertoa tavanomaisten kaaren laajentamisen ja samankaltaisten termien pienentämisen sääntöjen mukaisesti. Tämän seurauksena liityn jälleen rikkaaksi jäseneksi. Määrätyillä toiminnoilla voi olla teho: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h(x), f(x) g(x) = g(x) f(x), f(x)(g(x) h(x)) = (f(x) g( x)) h(x), f(x)(g(x) + h(x)) = f(x) g(x) + f(x) h(x).

Annan sinulle kaksi rikasta termiä f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, i g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Oli selvää, että Art. f(x)=n ja art. g(x) = m. Jos kerrot qi:n kaksi polynomia, tuloksena on rikas termi muotoa f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Oskilki an≠ 0 ja bn≠ 0, sitten anbm≠ 0, myös, art. (f(x)g(x))=m+n. Äänet ovat kovia ja tärkeitä.

Vaiheet kahden nollasta poikkeavan rikkaan termin lisäämiseksi kertoimien vaiheiden summaan, art. (f(x)g(x)) = st. f(x) +st. g(x). Kahden nollasta poikkeavan rikkaan ehdon luomisen vanhempi jäsen (kerroin) kertoimien vanhempien jäsenten (kertoimien) lisäämiseksi. Kahden rikkaan jäsenen luomuksen vapaa jäsen on yhteiskertoimien vapaiden jäsenten luomisen arvoinen. Rikkaasti nivelletyt f(x), g(x) ja f(x) ±g(x) askeleet liittyvät tulevaan spivvіdnoshenniaan: art. (f (x) ± g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Useiden termien f(x) ja g(x) superpositiota kutsutaan. rikas termi, jota merkitään f (g (x)), joka voi myös mennä polynomiin f (x) x:n sijaan, korvaa polynomin g (x). Jos esimerkiksi f(x)=x 2+2 x-1 і g(x) =2 x+3, niin f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2x2+4x+1. Voidaan nähdä, että f(g(x)) ≠g(f(x)), eli useiden termien f(x), g(x) superpositio ja useiden termien g(x), f( x) erilainen. Tällä tavalla superpositiolla ei ole siirtovoimaa.

, Aliarvioinnin ja ylivuodon algoritmi Onko f(x), g(x) selvä q(x) (yksityisesti) ja r(x) (ylijäämä), joten f(x)=g(x)q(x) )+ r(x) ja vaiheet r(x)

Polynomin sanakirjat Rikastermin f(x) sanakirja on rikas termi g(x) siten, että f(x)=g(x)q(x). Suurin kahden runsassegmentoidun sänky Suurin runsassegmentoidun f(x):n ja g(x):n sänky on sellainen d(x):n parisänky, joka voidaan jakaa mihin tahansa muuhun omaan sänkyyn.

Suurimman yhteisen rikkaiden termien f(x) ja g(x) päiväkirjan euklidisen algoritmi (viimeisen alarivin algoritmi) Todi on f(x):n ja g(x):n suurin dilnik.

Muuta muita Ratkaisu: Tiedämme näiden rikkaiden termien GCD:n, vahvistamalla euklidisen algoritmin 1) х3 + 6 х2 + 11 х + 6 х3 + 7 х2 + 14 х + 8 1 - х2 - 3 х - 2 8 x2 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x - 2 - x - 4 4 x 2 + 12 x + 8 0 Otzhe, rikas termi (- x2 - 3 x - 2) Tulos on vidomyn polynomin lipun alla.

Tiedämme luvun alajaon tuloksen. x 3 + 6 x 2 + 11 x + 6 - x 2 - 3 x - 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x - x - 3 3 x 2 + 9 x + 6 0

Hornerin menetelmä jakaa liian rikas termi f(x) nollasta poikkeavaksi rikkaaksi termiksi g(x) - ne tarkoittaa f(x):n paljastamista näkymässä f(x)=g(x) s(x)+ r(x), de s(x) ) i r(x) -rikkaat termit i tai r(x) = 0 tai st. r(x)

Rikkaat segmentit, jotka seisovat sen spіvvіdnoshennia vasemmalla ja oikealla puolella, yhtäläiset ja myös yhtäläiset їhnі vіdpovіdni koefіtsіentsi. Se on yhtäläinen heidän kanssaan, kun hän on avannut jouset edessä ja tiputtanut samanlaisia ​​​​raajoja tasa-arvolinjan oikeaan osaan. Miinus: a = bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1, a 0 = r - cb 0 Virazimo їх іz otrimanih yhtäläisyydet: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 \u003d cb 1 + a 1, r \u003d cb 0 + a 0. Tiesimme kaavat, joilla voidaan laskea parittoman yksityisen s (x) ja ylimääräisen r:n kertoimet. Tämän avulla maksut laaditaan pöydän etuosaan; sitä kutsutaan Hornerin järjestelmäksi.

Taulukko 1. Kertoimet f(x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Kertoimet s(x) ovat liikaa. Kirjoita toiselle riville, lähellä ensimmäistä solua, numero c. Rivin Reshta klitiini täytetään laskemalla yksitellen epälineaarisen yksityisen s:n (x) ja ylimääräisen r:n kertoimet. Kirjoita toisella asiakkaalla ylös kerroin bn-1, joka, kuten olemme asentaneet, on kalliimpi an.

Kerroin seisomaan ihon hyökkäysseinällä lasketaan seuraavan säännön mukaisesti: luku c kerrotaan etuseinällä seisomisen luvulla ja luku lisätään tulokseen seisomaan seinän yläpuolella, muistettava . Jotta muistaa, sanotaanko viisi klitiiniä, tietääkseen sen kertoimen mukaan, on tarpeen kertoa c luvulla, joka on neljännessä klitiinissä, ja lisätä tulokseen luku, joka on viidennen klitiinin yläpuolella. Jaetaan esimerkiksi rikas termi f (x) \u003d 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 x-2 іz liikaa, Hornerin kaava. Ensimmäistä riviä täytettäessä ei saa unohtaa kaavion numeroita polynomin nollakertoimista. Joten kertoimet f(x) ovat lukujen 3, 0, - 5, 3, - 1 arvoja. Toinen asia, joka on pidettävä mielessä, on, että epätäydellisen yksityisen askel on yksi pienempi kuin rikas termi f(x).

Lisäksi se näyttää olleen jaettu Hornerin kaavion mukaan: Taulukko 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 On tärkeää huomata, että yksityinen s(x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 ja ylijäämä r=33. Kunnioittavasti olemme laskeneet polynomin arvon f (2) =33. Jaetaan nyt erittäin rikas termi f(x) x + 2 іz liikaa. Minulla on vipadku, jossa = -2. valinnainen: Taulukko 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Tuloksena f(x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x-11) + 21 .

Polynomien juuri Nehai с1, с2, …, сm - Polynomin f(x) eri juuri. Silloin f(x) on jaollinen x-c1:llä, sitten f(x) = (x-c1) s1(x). Maksetaan tämä tasa-arvo x=c2. Vähennetään f(c2) = (c2-c1) s1(c2) i, joten f(c2) =0, sitten (c2-c1) s1(c2) =0. Ale c2≠c1, sitten c2 -c1≠ 0, mikä tarkoittaa, että s 1 (c 2) = 0. Myös c2 on polynomin s 1 (x) juuri. Se osoittaa, että s1(x) on jaollinen x-c2:lla, joten s1(x) = (x-c2) s2(x). Kuvittele, että viraasi vähennetään arvosta s 1 (x) y yhtä kuin f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Toukokuu f(x) = (x-c1) (x-c2) s2(x). Kun on lisätty loput yhtälöstä x \u003d c3, korjataksemme f (c 3) \u003d 0, c3 c1, c3 c2, oletetaan, että c3 on polynomin s 2 (x) juuri. Joten, s 2 (x) \u003d (x-c 3) s 3 (x) ja sitten f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) ja niin edelleen. jotka ovat kadonneet, c4, c5, ..., cm, mi, nareshti, f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x) on otettu pois, tämä on tuodaan alempaan kaavaan.

Koska c1, c2, ..., cm on polynomin f (x) eri juuri, niin f (x) voidaan antaa katsomalla f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x). Kuulostaa tärkeältä seuraukselta. Koska c1, c2, ..., cm on polynomin f (x) juuri, niin f (x) jaetaan polynomilla (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Nollasta poikkeavan polynomin f(x) eri juurien lukumäärä ei ole suurempi kuin alempi askel. Totta, koska f(x):llä ei ole juuria, on selvää, että lause on oikea, enemmän Art. f (x) ≥ 0. Olkoon f (x):llä nyt m juuria c1, c2, ..., cm, ja lisäksi kaikki hajut ovat erilaisia. Aivan kuten f (x) jaetaan arvolla (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Joskus Art. f(x)≥st. ((X-C1) (X-C2) ... (X-Cm)) = st. (x-c1) + art. (X-C2) + ... + Art. (x-cm) \u003d m, sitten st. f(x)≥m, ja m on huomioon otettavan rikkaan termin juurien lukumäärä. Ja akselin nolla rikas termi on äärettömän rikas juuret, vaikka sillä on merkitys mitä tahansa x on kauniimpi 0. Zokrema, sen vuoksi aiheuttaa sen, äläkä rankaise samaa lauluvaihetta. Hyvin todistetuista teoreemoista käy ilmi sama väite.

Jos polynomi f(x) ei ole moninomi, jonka porrasta on suurempi, pienempi n ja voi olla suurempi, pienempi n juurta, niin f(x) on nollapolynomi. Todellakin, yrityksen mielen perusteella on selvää, että f (x) on nollapolynomi tai taide. f(x) ≤n. Olettaen, että polynomi f(x) ei ole nolla, niin art. f(x) ≤n, ja sitten f(x) ei voi olla enemmän, alle n juuren. Olemme tulossa loistopisteeseen. Näin ollen f(x) on nollasta poikkeava rikas termi. Olkoot f(x) ja g(x) portaan nollasta poikkeavia rikkaita termejä, ei suurempia, pienempiä n. Jos q polynomia saa saman arvon n + 1 muutoksen x arvoille, niin f (x) = g (x).

Todistukseksi katsotaan rikas termi h(x) = f(x) – g(x). Minulle valkeni, että - joko h (x) = 0 tai st. h (x) ≤n, silloin h (x) ei ole vaiheen rikas termi, suurempi kuin, pienempi kuin n. Otan nyt luvun niin, että f (c) = g (c). Silloin h(c) = f(c) - g(c) = 0, jolloin h on polynomin h(x) juuri. Myös rikkaalla termillä h(x) on n+1 juuria, ja jos, kuten on tehty, h(x) = 0, niin f(x) = g(x). Jos f(x) ja g(x) ovat samat arvot kaikille muuttujan x arvoille, niin

Multinomin useat juuret Koska luku є on multinomin f (x) juuri, tämä polynomi on ilmeisesti jaollinen x-s:llä. Voi olla mahdollista, että f(x) voidaan laajentaa seuraavaan vaiheeseen bugato-jäsen x-s ts. kohdassa (x-c) k, k>1. Tätä vipadkaa kutsutaan monijuureksi. Muotoillaanpa tapaaminen selkeämmin. Lukua kutsutaan polynomin f (x) monikertaisuudeksi k (k-kertainen juuri), joten polynomi on jaollinen (x-c) k:llä, k>1 (k on luonnollinen luku), mutta ei jaollinen ( x-c) k + 1. Jos k=1, niin sitä kutsutaan yksinkertaiseksi juureksi ja jos k>1, sitä kutsutaan polynomin f (x) monijuureksi.

Joten polynomi f(x) voidaan esittää muodossa f(x)=(x-c)mg(x), m on luonnollinen luku, vin on jaollinen (x-c) m+1:llä ja sitten jos g(x) on jaollinen x-c. Todellakin, jos g(x) on jaollinen x-c:llä, niin g(x)=(x-c)s(x), niin f(x)=(x-c) m+1 s(x), ja myös, f(x ) on jaettu (x-c) m+1:llä. Takaisin, koska f(x) on jaollinen arvolla (x-c) m+1, niin f(x)=(x-c) m+1 s(x). Sitten (x-c) mg (x) \u003d (x-c) m + 1 s (x) ja lyhyen ajan (x-c) m jälkeen otetaan g (x) = (x-c) s (x). Kuulostaa siltä, ​​että g(x) on jaettu x-s:ihin.

On selvää, että esimerkiksi chi on luku 2 rikkaan termin f(x) = x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24 juurena, ja jos on, niin tiedämme sen moninaisuuden. Ensimmäisen virtalähteen tarkistamiseksi voimme tarkistaa Hornerin lisäkaavion, joka jakaa f(x):n x-2:lla. voi olla: Taulukko 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Kuten Bachimo, ylijäämä jaettaessa f(x) x-2:lla on suurempi kuin 0, joten se tulee jakaa x-2. Tästä syystä polynomin 2-juuri. Lisäksi otimme pois, että f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Nyt on selvää, chi є f (x) on (x-2) 2. Tse tallettaa, kuinka mi schoyno toi, ottaen huomioon polynomin g (x) jaotettavuus \u003d x 4 -3 x 3 -3 x 2 + 16 x-12 x-2:lla.

Jälleen nopeuttaminen Hornerin kaavan mukaan: Taulukko 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 -x2 -5x +6). Sitten f (x) \u003d (x-2) 2 (x 3 -x 2 -5 x + 6). Lisäksi f(x) on jaollinen luvulla (x-2) 2, nyt on sanottava, että f(x) on jaollinen luvulla (x-2)3. Jolle on käännettävää, että h(x) \u003d x 3 -x 2 -5 x + 6 jaetaan x-2:lla: Taulukko 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 x-2, myös, f(x) jaetaan arvolla (x-2) 3, i f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Sitten vastaavasti voidaan tarkistaa, onko f(x) jaettu (x-2)4:llä siten, että s(x)=x 2+x-3 jaetaan x-2:lla: Taulukko 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Tiedetään, että ylijäämä, kun s(x) jaetaan x-2:lla, on yhtä suuri kuin 3, silloin s(x) ei ole jaettu x-2:lla. Myöskään f(x) ei liity arvoon (x-2) 4. Tällä tavalla f(x) olettaa arvoon (x-2)3, mutta ei liity kohtaan (x-2)4. Lisäksi luku 2 on rikkaan termin 3 f(x) monikertaisyyden juuri.

Äänitä juuren kaiku, jotta pöydässä lasketaan vähemmän. Tässä sovelluksessa taulukko voi näyttää tältä: Taulukko 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Horner vähensi multinomi f (x) x-2:lla, toisella rivillä otetaan pois polynomin g (x) kertoimet. Otetaan sitten tämä toinen rivi uuden Horner-järjestelmän ensimmäiselle riville ja vähennetään g (x) x-2:lla ja niin edelleen. Tällä tavalla juuren moninkertaisuus on yhtä suuri kuin otrimanih nollaylijäämien lukumäärä. Jäljellä olevan nollasta poikkeavan ylijäämän kostaamiseksi peräkkäin on myös kertoimet osalle, kun f (x) on jaettu (x-2) 3:lla.

Nyt vikoristovuyuchi schoyno proponovan järjestelmä uudelleentarkistus juuren moninkertaisuuden, näyttää siltä, ​​että tehtävä on tulossa. Minkä tahansa a:n ja b:n rikas termi f(x) \u003d x 4 + 2 x 3 + ax 2 + (a + b) x + 2 voiko luku -2 olla 2:n monikertaisyyden juuri? Joten juuren - 2 monikertaisuus johtuu siitä, että lisätään 2, ja kun se on jaettu x + 2:lla proponoidulle skeemalle, meidän on kaksinkertaistettava ottamaan 0:n ylijäämä ja kolmannessa - ylijäämä, joka on yhtä suuri kuin nolla. Toukokuu: Taulukko 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 aa a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

Tässä luokassa luku - 2 є juuri uloshengityksen rikkaan termin luvun 2:n moninkertaisuudesta, silloin ja vain silloin, jos

Polynomin rationaalinen juuri Jos ei-lyhyt termi l/m (l, m ovat luvun kokonaislukuja) on rikkaan termin f(x) monikertoimisen juuri, niin polynomin suurin kerroin on jaollinen. m:llä, ja pitkä termi on jaollinen 1:llä. Totta, kuten f (x )=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, de an, an-1, . . . , a 1, a 0 ovat kokonaislukuja, sitten f(l/m) = 0, sitten an(l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0 = 0. Kerro vastinhinnan loukkaavat osat mn:llä. Otetaan anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1 + a 0 mn = 0. Anln=m (-an-1 ln-1 -...- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1) kuulostaa.

Bachimo, kokonaisluku anln on jaollinen m:llä. Ale l/m on ei-lyhyt drib, joten luvut l ja m ovat keskenään yksinkertaisia, mutta myös kokonaislukujen validiteettiteorian mukaan luvut ln ja m ovat keskenään yksinkertaisia. Otzhe, anln jaettava m:ksi ja m:ksi on keskenään yksinkertainen ln:stä, myös an jaettava m:ksi. Tiedämme rikkaan termin f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8 rationaalisen juuren. Lauseen mukaan polynomin rationaalinen juuri löytyy ei-lyhyistä murtoluvuista muodossa l / m, de l on vapaan termin dilnik a 0 \u003d 8 ja m on suurimman kertoimen a dilnik. 4 \u003d 6. jos näin on, niin l / m on negatiivinen, niin merkki "-" tulee numerovalitsimeen. Esimerkiksi - (1/3) = (-1)/3. Voidaan myös sanoa, että l on luvun 8 kerroin ja m on luvun 6 positiivinen kerroin.

Luvun 8 oskillaattorit - tse ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 ja luvun 6 positiiviset laajentimet ovat 1, 2, 3, 6, niin katsotun rikkaan termin rationaalinen juuri on joukossa numerot ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8/3. Oletan, että kirjoitimme enemmän kuin lyhyitä murtolukuja. Tässä järjestyksessä meillä voi olla kaksikymmentä numeroa - "ehdokkaita" juurille. Jäi vain harkita uudelleen niiden ihoa ja valita ne, ikään kuin juurille uskollisesti. Tulee teoreema, joka helpottaa robotin toimintaa. Niin kauan kuin l/m on monikertoimisen monitermin f(x) juuri, niin f(k) jaetaan l-km:llä millä tahansa mielen kokonaisluvulla k, jolloin l-km≠0.

Lauseen todistamiseksi jaamme f(x):n x-k іz liikaa. Vähennetään f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Oskilki f(x) on rikas termi qlimi-kertoimilla, silloin tällainen rikas termi on s(x) ja f(k) on kokonaisluku. Olkoon s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Sitten f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b1x+b0). Maksetaan tästä tasa-arvosta 1 x=l/m. Jos f(l/m)=0, niin f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n-2+ …+b 1(l/m)+b 0). Kerro jäljellä olevan oman pääoman loukkaava osa mn:llä: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . On selvää, että luku mnf (k) on jaettu l-km:llä. Ale oskіlki l і m ovat keskenään yksinkertaisia, sitten mn і l-km ovat myös keskenään yksinkertaisia, myös f (k) jaetaan l-km:llä. Lause on suoritettu loppuun.

Käännytään takapuoleen, ja lauseen todistamisen jälkeen se on vieläkin soinnillisempi rationaalisen juuren äänestä. On tarpeen määrittää lause k=1 і k=-1, eli koska ei-lyhyt dіb l/m on termin f(x) juuri, niin f(1)/(l-m), ja f(-1)/(l + m). On helppo tietää, että aikoina f(1)=-5 ja f(-1)=-15. Kunnioittavasti sammutimme sen yhdellä silmäyksellä ± 1. Tästä eteenpäin rikkaan termimme rationaalinen juuri on seuraavat keskimääräiset numerot ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2 /3, ± 4/3, ± 8 /3. Katsotaanpa l/m=1/2. Sitten l-m=-1 ja f(1)=-5 jaetaan kokonaisluvulla. Dalі, l+m=3 і f(1) =-15 joten itse on jaettu 3:lla. Eli drib 1/2 jätetään "ehdokkaiden" keskelle juureen.

Anna minun nyt lm=-(1/2)=(-1)/2. Tässä tapauksessa l-m=-3 і f(1) =-5 ei jaa -3:lla. Joten, drіb -1/2 ei voi olla tämän rikkaan termin juuri, ja voimme sammuttaa sen kaukaa katsottuna. Kirjoituslaukauksissa on syytä harkita ihoa uudelleen, otamme huomioon, että juuri löytyy lukujen 1/2, ± 2/3, 2, - 4 joukosta. Tässä luokassa saman yksinkertaisen tempun loppuun saat Tarkastelun polynomin rationaalisten juurien alue kuulosti merkitykselliseltä. Pois jätettyjen lukujen tarkistamiseen voidaan käyttää Hornerin kaaviota: Taulukko 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Bachimo, scho 1/2 on runsaan termin f(x) ja f(x) = (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) juuri ) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Oli selvää, että polynomin f(x) muut juuret on otettu polynomin g(x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8 juurista, sitten "ehdokkaiden" uudelleentarkistus juuri voidaan suorittaa jo samasta polynomista. Tiedämme: Taulukko 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Poistimme, että ylijäämä, kun g(x) jaettiin x-2/3:lla, on enemmän - 80/9 , sitten. 2/3 ei ole polynomin g(x) juuri, myös i f(x). Lisäksi tiedämme, että - 2/3 on polynomin g (x) ja g (x) \u003d (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4) juuri.

Sitten f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Lisävarmennus voidaan suorittaa polynomille x 2+2 x-4, joka on huomattavasti yksinkertaisempi, pienempi g (x):lle tai suurempi f (x). Tämän seurauksena otetaan huomioon, että luvut 2 i - 4 eivät ole juurtuneita. Myös rikkaalla termillä f(x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 on kaksi rationaalista juurta: 1/2 i - 2/3. Tämä menetelmä mahdollistaa vain rationaalisen juuren tuntemisen runsaalle termille, jolla on suuri määrä kertoimia. Tim on joskus äidin rikas jäsen ja irrationaalinen juuri. Joten esimerkiksi kun tarkastellaan rikkaan termin takaosaa, on vain kaksi juuria: - 1±√5 (tämä rikkaan termin juuri on x2 + 2 x-4). polynomia voidaan kutsua ei-aineelliseksi rationaalijuureksi.

Kun testaat "ehdokkaita" rikkaan termin f(x) juuressa muiden lauseiden lisäselvittelyn jälkeen, kannattaa kutsua ehdokkaille vasemmalle k=± 1. Toisin sanoen, jos l/m on "kandidaatti" juurta, silloin ajattelet liikaa, että f( 1 ) ja f(-1) l-m:llä ja l+m:llä ovat oikein. Mutta se voisi olla esimerkiksi f(1) =0, eli 1 on juuri, silloin f(1) voidaan laajentaa numeroksi ja uudelleentarkistus on järkevää. Tässä tapauksessa jaa f(x) x-1:llä, joten ota f(x)=(x-1)s(x) ja testaa polynomi s(x). Jos unohdat, että polynomin f(x)-x 1=1 yksi juuri on - tiesimme jo. Jos "ehdokkaat" käännetään juuressa, jotka ovat kadonneet toisen rationaalisen juuren lauseen jälkeen, Hornerin kaavion jälkeen on mahdollista, että esimerkiksi l / m on juuri, sinun pitäisi tietää sen moninkertaisuus. Jos se on kalliimpi esim. k, niin f(x)=(x-l/m) ks(x), ja s(x:lle) voidaan tehdä lisätarkistus, mikä lyhentää laskentaa.

Ratkaisu. Kun muutos y=2 x on muutettu, siirrytään polynomiin, jonka kerroin on yhtä suuri kuin korkein askel. Tämän olakkeen kohdalla kerromme virazin 4:llä. Jos juuren funktio otetaan pois, haju löytyy vapaan jäsenen keskeltä. Kirjoitettava ix: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15±, ±20, ±30, ±60

Laskemme peräkkäin funktion g(y) arvon näissä pisteissä nollaan asti. Tobto, y=-5 є juuri, otzhe, є ulkoisen funktion juuri. Suoritetaan stovpchik (kela) ja rikas termi binomiaali

Kadonneen dilnikovin uudelleentarkistus tulisi suorittaa epätäydellisesti, joten neliötrinomi Otzhe on helpompi asettaa vähennyskertoimiksi,

Vykoristannya nopean kertolaskun ja Newtonin binomiaalin kaavat rikkaan termin laajentamiseksi tekijöiksi Inodi vanha ilme polynomi ehdottaa menetelmää joogan levittämiseksi kertoimiin. Esimerkiksi epäjohdonmukaisten muunnosten jälkeen vishikovyvayutsya kertoimet peräkkäin Pascalin trikoosta Newtonin binomiaalin kertoimille. peppu. Aseta kertoimen termi.

Ratkaisu. Käännämme asian asiaan: kertoimien sarja käsivarsissa osoittaa selvästi, mikä se on. Samasta, nyt muotoillaan kaava neliöiden erolle: Viraz toisella kaarella ei ole toimintajuuria, mutta rikkaalle termille ensimmäisestä kaaresta muotoillaan jälleen kaava neliöiden erolle

Vietan kaavat ilmaisevat polynomin kertoimet th-juuren kautta. Näillä kaavoilla voit manuaalisesti korjata rikkaan termin juuren merkityksen oikeellisuuden sekä rikkaan termin taittamisen annetuille juurille. Kaava Polynomin juurena kertoimet ilmenevät juurien symmetrisillä rikkailla termeillä, ja

Toisin sanoen, ak rakas summa kaikista mahdollisista luomuksista k-juuresta. Polynomin vanhempana kertoimena on silloin tarpeen jakaa kaikki kertoimet nollaksi ennen Vieta-kaavaa. Muusta kaavasta Vієta on vahva, ikään kuin rikkaan jäsenen juuri on kokonaisluku, silloin haju on joogo-vapaan jäsenen dilnik, joka on myös kokonaisluku. Todistus perustuu näkemykseen ekvivalenssista, joka ottaa pois rikkaan termin järjestelyn juurien mukaan, vrakhovuchi, että a 0 = 1 Kertoimien tasaaminen samoilla x:n tasoilla on pakkomielle kaavalla Vієta.

Irrota kohdistus x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Irrota. Merkittävästi y \u003d x 3, vaikka se on yhtä suuri kuin y 2 - 5 y + 4 \u003d 0, muuten Y 1 \u003d 1; Y 2 \u003d 4. Otzhe, vyhіdne r_vnyannya vastaa rіvnyanin avioliittoa: x 3 \u003d 1 chi x 3 \u003d 4, eli X 1 \u003d 1 chi X 2 \u003d: 1 povnyan;

Bezout Destination Lause 1. Elementtiä kutsutaan rikkaan termin juureksi, joten f(c)=0. Bezoutin lause. Polynomin Pn(x) binomiaalin (x-a) alajaon ylijäämä lisää polynomin arvoa kohdassa x = a. Tuominen. Algoritmin perusteella f(x)=(xc)q(x)+r(x), de tai r(x)=0, muuten. Myöhemmin f(x)=(x-c)q(x)+r, myöhemmin f(c)=(c-c)q(c)+r=r ja f(x)=(xc)q(x) + f(c).

Viimeinen 1: Ylijäämä polynomin Pn (x) alajaossa binomiaalisella ax+b:llä on arvokkaampi polynomille kohdassa x = -b/a, sitten R = Pn (-b/a). Viimeinen 2: Koska luku a on polynomin P (x) juuri, jonka polynomi on jaollinen (x-a):lla ilman ylijäämää. Oppitunti 3: Kuinka polynomi P(x) voi olla pareittain eri juuret a 1 , a 2 , … , an, vin jaettuna tvir:llä (x-a 1) … (x-an) ilman ylijäämää. Oppitunti 4: Vaiheen n rikas jäsen voi olla kolme tai useampi yli n eri juuria. Oppitunti 5: Minkä tahansa polynomin P(x) kohdalla tämä luku a on erilainen (P(x)-P(a)) jaollinen ilman ylijäämää binomilla (x-a). Oppitunti 6: Luku a on polynomin P(x) juuri, jonka aste ei ole pienempi kuin ensimmäinen ja vain jos P(x) jaetaan (x-a):lla ilman ylijäämää.

Rationaalisen murtoluvun järjestely yksinkertaisimmille Osoitetaan, että voidaanko oikea rationaalinen murtoluku jakaa yksinkertaisimpien murtolukujen summalle. Annetaan sille oikea rationaalinen argumentti (1).

Lause 1. Olkoon x=а є tyylin k bannerin juuri, jolloin , de f(a)≠ 0, niin sama oikea murtoluku voidaan antaa kahden muun säännöllisen murtoluvun summana seuraavassa järjestyksessä: ( 2) , ja F 1 (x) on rikas termi, jonka askel on alempi kuin standardin askel

de richomember, jonkinlaisen standardin alemman asteen askel. І samoin kuin termiinikaava voidaan ottaa: (5)

Kuten olemme jo osoittaneet, yksi rikkaasti määriteltyjen termien teorian tärkeimmistä tehtävistä on niiden juurien ymmärtäminen. Tämän tehtävän suorittamiseksi voit voittaa valintamenetelmän tobto. ota reaaliluku ja muuta sitä, jotka ovat tämän polynomin juuret.

Tämän avulla voit juoda shvidkoa juurista tai et voi tietää sitä ollenkaan. Aje on mahdotonta vääristää kaikkia numeroita niille, jotka ovat liian rikkaita.

Insha river, yakby onnistuimme äänittämään alueen vitsiksi, esimerkiksi tietääksemme mikä juuri on, vaikkapa kolmenkymmenen määritellyn luvun keskellä. Kolmenkymmenen numeron kohdalla voit myös työstää kaikua. Linkissä viiksien kanssa sanomme tärkeämmän, ja näemme sellaisen lujuuden.

Niin kauan kuin l/m (l,m - luvun kokonaislukuja) on monisanaisen f(x) ja kokonaislukukertoimien juuri, niin polynomin suurempi kerroin on jaollinen m:llä ja suurempi termi jaollinen mennessä 1.

Todellakin, jos f(x) = anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, de an, an-1,...,a1, a0 ovat luvun kokonaislukuja, niin f (l/m) = 0, sitten an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+...+al/m+a0=0.

Kerro vastinhinnan loukkaavat osat mn:llä. Ota anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Äänet huutavat:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Bachimo, kokonaisluku anln on jaollinen m:llä. Ale l / m - ei lyhyt dіb, tobto. luvut l ja m ovat keskenään yksinkertaisia, myös kokonaislukujen jakoteorian mukaan luvut ln ja m ovat keskenään yksinkertaisia. Otzhe, anln jaettava m:ksi ja m:ksi on keskenään yksinkertainen ln:stä, myös an jaettava m:ksi.

Aihe on nostettu esille, jotta alue saadaan mielekkäästi kuulostamaan etsimällä rationaalista juurta rikkaalle termille, jossa on useita kertoimia. Esittelemme sen tietyllä sovelluksella. Tunnemme rikkaan termin f(x) = 6x4+13x2-24x2-8x+8 rationaalisen juuren. Lauseen mukaan polynomin rationaalinen juuri löytyy ei-lyhyiden murtolukujen keskeltä muodossa l / m, de l on pitkän aikavälin dilnik a0 = 8 ja m on suurimman kertoimen dilnik. a4 = 6. jos näin on, yakscho drіb l/m on negatiivinen, niin merkki "-" vodnosimeme numeroon. Esimerkiksi - (1/3) = (-1)/3. Voidaan myös sanoa, että l on luvun 8 kerroin ja m on luvun 6 positiivinen kerroin.

Luvun 8 oskillaattorit - tse ±1, ±2, ±4, ±8 ja luvun 6 positiiviset laajentajat ovat 1, 2, 3, 6, jolloin tutkitun rikkaan termin rationaalinen juuri on keskimmäinen. luvuista ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Oletan, että kirjoitimme enemmän kuin lyhyitä murtolukuja.

Tässä järjestyksessä meillä voi olla kaksikymmentä numeroa - "ehdokkaita" juurille. Jäi vain harkita uudelleen niiden ihoa ja valita ne, ikään kuin juurille uskollisesti. Mutta jälleen kerran, minun on tehtävä paljon muokkausta. Ja akseli on tulossa, lause helpottaa robotin toimintaa.

Niin kauan kuin l/m on monikertoimisen monitermin f(x) juuri, niin f(k) jaetaan l-km:llä millä tahansa kokonaisluvulla k on esimerkiksi l-km?0.

Lauseen todistamiseksi jaamme f(x):n x-k іz liikaa. Ota f (x) = (x-k) s (x) +f (k). Koska f(x) on rikas termi, jolla on useita kertoimia, niin tällainen polynomi on s(x) ja f(k) on kokonaisluku. Olkoon s(x) = bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Sitten f(x) - f(k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0). Maksetaan tämä tasaisuus x=l/m. Vrahovoyuchi, scho f (l / m) = 0, se on mahdollista

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Kerro jäljellä olevan mustasukkaisuuden loukkaava osa mn:llä:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1ln-2+b0mn-1).

On selvää, että luku mnf (k) on jaettu l-km:llä. Ale oskіlki l і m ovat keskenään yksinkertaisia, sitten mn і l-km ovat myös keskenään yksinkertaisia, myös f (k) jaetaan l-km:llä. Lause on suoritettu loppuun.

Käännytään nyt takapuoleemme, ja lauseen todistamisen jälkeen se kuulostaa vielä kovemmalta, kun on kyse rationaalisen juuren äänestä. On tarpeen antaa lause k=1 і k=-1, joten. ei-lyhyenä drіb l/m on f(x), sitten f(1)/(l-m) ja f(-1)/(l+m) juuri. On helppo tietää, että f(1) =-5 ja f(-1) =-15. Kunnioittavasti sammutimme tartunnan yhdellä silmäyksellä ±1.

Myös rikkaan termimme rationaalinen juuri on seuraava keskilukujen ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3.

Katsotaanpa l/m=1/2. Sitten l-m=-1 ja f(1)=-5 jaetaan kokonaisluvulla. Dalі, l+m=3 і f(1) =-15 joten itse on jaettu 3:lla. Eli drib 1/2 jätetään "ehdokkaiden" keskelle juureen.

Anna minun nyt lm = - (1/2) = (-1) / 2. Tässä tapauksessa l-m=-3 і f(1) =-5 ei jaa -3:lla. Joten, drіb - 1/2 ei voi olla tämän rikkaan termin juuri, ja voimme kytkeä sen pois päältä kaukaa katsottuna. Ihon kautta annettuja reseptipistoksia on harkittava uudelleen, otamme huomioon, että juuri löytyy numeroista 1/2, ±2/3, 2, - 4.

Tässä luokassa saman yksinkertaisen tempun viimeistelemiseksi he soittivat aluetta mielekkäästi etsiessään analysoidun polynomin rationaalista juurta. No, numeroiden uudelleentarkistamiseen käytämme Hornerin kaavaa:

Taulukko 10

He ottivat pois, että ylijäämä, kun g (x) jaettiin x-2/3:lla, on yhtä suuri kuin 80/9, joten 2/3 ei ole rikkaan termin g (x) juuri, vaan tarkoittaa, i f (x) .

Lisäksi on helppo tietää, että - 2/3 on monitermin g(x) ja g(x) = (3x+2) (x2+2x-4) juuri. Sitten f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Lisävarmennus voidaan suorittaa polynomille x2+2x-4, joka on selvästi yksinkertaisempi, pienempi g(x) tai suurempi f(x). Tämän seurauksena otetaan huomioon, että luvut 2 i - 4 eivät ole juurtuneita.

Myös rikkaalla termillä f(x) = 6x4+13x3-24x2-8x+8 on kaksi rationaalista juurta: 1/2 i - 2/3.

Arvaamalla, menetelmän lisäkuvaukset antavat mahdollisuuden tietää monikertoimisen rikkaan termin rationaalisen juuren. Tim on joskus äidin rikas jäsen ja irrationaalinen juuri. Joten esimerkiksi kun tarkastellaan rikkaan jäsenen takapuolta, on vain kaksi juuria: - 1±v5 (nämä rikkaan jäsenen juuri on x2 + 2x-4). Ja ilmeisesti rikas jäsen ei välttämättä ole rationaalisen juuren äiti.

Nyt nainen on onnellinen.

Kun kokeilet "ehdokkaita" rikkaan termin f(x) juuressa, tarkennettuasi lisää lauseita, soita vasemmalle arvolle vipadkіv k=±1. Toisin sanoen, koska l/m on "kandidaatti" juuressa, on päinvastainen, voidaanko f (1) ja f (-1) jakaa l-m ja l+m ilmeisesti. Mutta voi olla, että esim. f (1) = 0, sitten 1 on juuri ja sitten f (1) voidaan jakaa luvulla, ja uudelleentarkistus on järkevä. І tässä seuraava askel on jakaa f (x) x-1:llä, joten. ota f(x) = (x-1) s(x) ja testaa polynomi s(x). Jos et unohda sitä rikkaan termin f(x) yhtä juurta – x1=1 – tiesimme jo. Kuten "ehdokkaiden" käänteessä juurissa, joka katosi toisen lauseen jälkeen rationaalisesta juurista, Hornerin kaavion jälkeen on mahdollista, että esimerkiksi l / m on juuri, sinun pitäisi tietää sen moninkertaisuus. Jos se on kalliimpi, oletetaan k, niin f(x) = (x-l/m) ks(x), ja s(x:lle) voidaan tehdä lisätarkistus, mikä lyhentää laskentaa.

Tässä luokassa opimme tuntemaan rikkaan termin rationaalisen juuren suurilla kertoimilla. Näyttää siltä, ​​että olemme itse oppineet tuntemaan rikkaan termin irrationaalisen juuren rationaalisilla kertoimilla. Itse asiassa, sikäli kuin voin, esimerkiksi rikas termi f (x) \u003d x4 + 2 / 3x3 + 5 / 6x2 + 3 / 8x + 2, sitten lisättyään kertoimet nukkumisbanneriin ja lisättynä jooga käsivarresta otamme f (x) \u003d 1 /24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Oli selvää, että polynomin f(x) juuret muodostuvat rikkaan termin juurista, jotka seisovat käsivarressa, ja uudessa kertoimessa - numeroista. Oletetaan esimerkiksi, että sin100 on irrationaalinen luku. Nopeutetaan kotikaavalla sin3?=3sin?-4sin3?. Tähdet sin300 = 3sin100-4sin3100. Tarkasteltaessa niitä, jotka sin300=0.5 ja suorittamalla hankalia muunnoksia, voidaan olettaa 8sin3100-6sin100+1=0. Myös sin100 on termin f(x) = 8x3-6x+1 juuri. Aivan kuten me shukatimemomme rationaalisesti tuon rikkaan jäsenen juuren, niin me perekaєmosya, meillä ei ole niitä. Otzhe, sin100:n juuri on rationaalinen luku, tobto. sin100 on irrationaalinen luku.

Älä viitsi

- vaiheen n rikas termi ≥ 1 kompleksimuuttujan z efektiivisessä arvossa kompleksikertoimien tehollisella arvolla a i . Todistetaan seuraava lause.

Lause 1

Tasoitus P n (z) = 0 Haluaisin yhden juuren.

Lema tullaan.

Lemma 1

Olkoon P n (z)- vaiheen n, z rikas termi 1 - joen juuri:
P n (z1) = 0.
Todi P n (z) voidaan paljastaa yhdellä tavalla katsomalla:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
de P n- 1(z)- rikas termi vaihe n - 1 .

Tuominen

Todistetaan se tekemällä lause (div. Moninkertaisen termin jakaminen taitteen ja kannolla), se on mahdollista kahdelle rikkaalle termille P n (z) i Q k (z), vaiheet n ja k, lisäksi n ≥ k
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
de P n-k (z)- vaiheen n-k rikas termi, U k- 1(z)- askeleen rikas termi ei ole suurempi kuin k- 1 .

Laitetaan k = 1 , Qk (z) = z - z 1 myös
P n (z) = (z - z 1) Pn-1 (z) + c,
de c - nopea. Kuvittele tässä z = z 1 että vrahuєmo, scho P n (z1) = 0:
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + c.
Zvіdsi c = 0 . Todi
P n ,
mitä piti tuoda.

Rikkaan termin laajentaminen kertoimiin

Myös Lauseen 1 perusteella rikas termi P n (z) Haluaisin yhden juuren. Merkittävästi yogo yak z 1 , P n (z1) = 0. Sama telineessä lemy 1:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z).
Dali, kuten n > 1 , sitten polynomi P n- 1(z) niin voinko haluta yhden juuren, joka on merkityksellinen kuten z 2 , Pn- 1(z2) = 0. Todi
Pn- 1 (z) = (z - z 2) P n-2 (z);
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) P n-2 (z).

Jatkamalla tätä prosessia, tulemme siihen tulokseen, että meillä on n numeroa z 1, z 2, ..., z n sellasta
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n) P 0 (z).
Ale P 0 (z)- tse postiyna. Yhtälöimällä kertoimet kohdassa z n tiedetään, että se on kalliimpi a n . Tämän seurauksena olemme pakkomielle kaavasta, jolla rikas termi jaetaan kertoimiin:
(1) P n (z) = a n (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n).

Numerot z i є rikkaan termin P n juuriin (z).

Tällä zagalny vpadku ei kaikki z i, scho kirjoittaa ennen (1) , Rizni. Niiden joukossa voi olla samat arvot. Kuinka laajentaa rikas termi kertoimeksi (1) voit kirjoittaa nähdessäsi:
(2) P n (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Tässä z i ≠ z j i ≠ j:lle. Yakscho n i = 1 , sitten juuri z i kutsutaan anteeksi. Vіn kirjoita layout kertoimet näkyvissä (z-z i ). Yakscho n i > 1 , sitten juuri z i kutsutaan moninkertaisuuden monijuureksi n i . Vіn kirjoita kertoimien asetteluun, kun tarkastellaan n i alkulukukertoimien erotusta: (z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i.

Rikkaat termit efektiivisillä kertoimilla

Lemma 2

Koska se on polynomin kompleksijuuri, jolla on teholliset kertoimet, niin luku liittyy myös kompleksisesti polynomin juureen, .

Tuominen

Deisno-, yakscho- ja polynomikertoimet - dіysnі numerot, sitten.

Tässä järjestyksessä monimutkainen juuri sisältyy kertoimien asetteluun pareittain niiden monimutkaisilla merkityksillä:
,
de, - Reaalilukuja.
Sama asettelu (2) rikas termi, jossa on teholliset kertoimet kertoimille, voidaan syöttää heti, kun läsnä on vain tehokas nopea:
(3) ;
.

Menetelmät rikkaan termin jakamiseksi kertoimiin

Edellä sanotun parannuksella polynomin hajottamiseksi tekijöiksi on tiedettävä yhtälön kaikki juuret P n (z) = 0 ja määritä niiden moninaisuus. Kertoimet, joilla on monimutkaiset juuret, on ryhmiteltävä monimutkaisella tavalla. Sama asettelu riippuu kaavasta (3) .

Tässä luokassa menetelmää, jolla rikas termi levitetään kertoimiin, käytetään hyökkäyksessä:
1. Tiedämme juuri z 1 tasaus P n (z1) = 0.
2.1. Yakshcho juuri z 1 tehokas, niin asettelussa lisäämme kertoimen (z-z1) (z-z1) 1 :
.
1(z), alkaen pisteestä (1) , Kunnes tiedämme kaikki juuret.
2.2. Kompleksisena juurina luku є saadaan kompleksisesti rikkaan termin juurena. Todі ennen asettelua kirjoita kerroin

,
de b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
Mielestäni asettelussa lisäämme kertoimen (z 2 + b 1 z + c 1) laimentan rikasta termiä P n (z):lla (z 2 + b 1 z + c 1). Tämän seurauksena otamme rikkaan termin vaiheesta n - 2 :
.
Toistetaan prosessi polynomille P n- 2(z), alkaen pisteestä (1) , Kunnes tiedämme kaikki juuret.

Rikkaan jäsenen juuren tuntemus

päätoimisto, polynomin laajentuessa tekijöiksi, joogojuuren merkitys. Valitettavasti et aina voi työskennellä analyyttisesti. Tässä analysoidaan vipadkivin kilohailia, jos tiedät rikkaan termin juuren analyyttisesti.

Ensimmäisen vaiheen rikkaan jäsenen juuri

Ensimmäisen askeleen rikas jäsen on kiinteä funktio. On vain yksi juuri. Asettelu voi olla vain yksi kerroin z:n muutoksen kostamiseksi:
.

Toisen tason rikkaan jäsenen juuri

Jotta tietää toisen tason rikkaan termin juuren, on tarpeen purkaa neliö yhtä suureksi:
P 2(z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Diskriminanttina on kaksi todellista juurta:
, .
Katsokaa vain kertoimia:
.
Mikä on diskriminantti D = 0 , niin yhtä suuri voi olla yksi dvorazovy-juuri:
;
.
Syrjivänä D< 0 , silloin juuri on monimutkaisempi,
.

Rikkaasti muotoiltu askel korkeammalle toiselle

Іsnuyu-kaavat 3. ja 4. vaiheen rikkaiden segmenttien juurien merkitykselle. Ne haisevat harvoin niiden kanssa, hajun sirpaleet ovat isoja. Neljännen astetta korkeamman rikkaan artikuloidun asteen juurien tuntemiseen ei ole kaavoja. Tietämättä paikan päällä, deyakih vipadkaissa, mennään rikkaan termin levittämiseen kertoimiin.

Koko juuren merkitys

Näyttää siltä, ​​​​että se on rikas termi joillekin kertoimille - numeroiden lukumäärälle, juurten lukumäärälle, joka voidaan tietää lajittelemalla kaikki mahdolliset arvot.

Lemma 3

Anna minulle rikas muna
,
kertoimet a i joista - sen luvun numero, joka voi olla z:n juuri 1 . Sama juuri kuin luvun a dilnik 0 .

Tuominen

Kirjoitetaan uudelleen yhtä suuri P n (z1) = 0 näkyvissä:
.
Todi - tsile,
Mz 1 = - a0.
Jaettuna z:llä 1 :
.
Oskіlki M - qile, sitten i - qile. Mitä tuomiseen tarvittiin.

Siksi polynomin kertoimina - numeroiden numeroina voit yrittää tietää juuren numerot. Kenelle on välttämätöntä tietää kaikki vapaajäsenen dilnikit 0 і, tasauskorvaus P n (z) = 0, perverti, chi є haisevat juurille, että yhtä.
Merkintä. Koska polynomin kertoimet ovat rationaalilukuja, niin kertomalla yhtä suuri P n (z) = 0 lukujen a i korkealla tasolla otamme polynomin tasauksen kokonaislukukertoimilla.

Rationaalisen juuren merkitys

Koska polynomin kertoimet - luvun ja juurien lukumäärät eivät ole, niin n ≠ 1 , voit yrittää tietää rationaalisen juuren. Kenelle on välttämätöntä luoda korvaus
z = y/a n
ja kerrotaan yhtä suurella a n n- 1 . Tämän seurauksena otamme huomioon rikkaan termin yhtäläisyyden muutoksen muodossa ja kertoimien lukumäärän kanssa. Dali shukaimo vapaan jäsenen keskijäsenen rikkaan jäsenen juuri. Koska tiesimme sellaisen juuren y i , niin siirtymällä muutokseen x, oletamme rationaalisen juuren
z i = y i / a n.

Värilliset kaavat

Esittelemme kaavoja, joiden avulla on mahdollista laajentaa polynomi tekijöiksi.

Ole rajumpi luonne jakaa rikas jäsen
P n (z) = z n - a 0,
de a 0 - se on monimutkaisempi, sinun on tiedettävä kaikki joogon juuret, jotta voit purkaa yhtä:
z n = a 0 .
Tsіvnyannya on helppo erehtyä, ikään kuin todistaakseen a 0 moduulin r i argumentin kautta?
.
Oskilki a 0 älä muuta väitteen lisäämiseksi 2 pi, kuvittele sitten a 0 näkyvissä:
,
de k – qile. Todi
;
.
Arvojen antaminen k k = 0, 1, 2, ... n-1, Otetaan polynomin n juurta. Todi yogo -asettelu kertoimille voi näyttää:
.

Bisquare bagatonic termi

Katsotaanpa kaksikvadraattista termiä:
.
Biquadrate-rikas termi voidaan jakaa kertoimiin ilman juuria.

Milloin, ehkä:

,
de.

Bicubisia ja täyteläisiä segmenttejä, jotka voidaan pienentää neliöiksi

Katsotaanpa rikasta jäsentä:
.
Yogo root tarkoittaa yhtäläistä:
.
Voitti opastetaan asti neliön kohdistus substituutio t = z n :
a 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Virishivshi tse eve, tunnemme joogojuuren, t 1 , t 2 . Jos tiedämme järjestelyn nähdessämme:
.
Dali menetelmällä, katsotaanpa sitä, laajenna se kertoimiin z n - t 1 i z n - t 2 . Visnovkalla on joukko kertoimia, jotka kostavat juuren monimutkaisella tavalla.

Pyörivät varret

Rikas jäsen on nimeltään palata yakscho yogo -kertoimet ovat symmetrisiä:

Varastoitavan bagato-jäsenen takapuoli:
.

Koska käänteisen polynomin n askelmat ovat parittomia, tällaisella polynomilla voi olla juuri z = -1 . Jakamalla niin rikkaan termin z:hen + 1 , otamme askeleen tuottorikkaan termin

Jos kyseessä on rozv'yazannі rivnyan i nerіvnjanі, usein vykaє nіkaє nebhіdnіst razvіdnіє polynomi razvіdnіє polynomeissa, stupіnіy і і dіv dіv. Voimme tarkastella näitä tilastoja, kuinka tehdä siitä yksinkertaisempi.

Kuten zavzhd, petollinen apua teorialle.

Bezoutin lause stverzhuє, scho ylijäämä polynomin jakamisessa binomiaaliksi dorivnyuє.

Mutta se, mikä meille on tärkeää, ei ole itse lause, vaan seuraus siitä:

Koska luku on polynomin juuri, polynomi voidaan jakaa ilman liikaa binomia.

Ennen meitä on tehtävä tietää kuinka tietää yksi rikkaan termin juuri, sitten jaamme rikkaan termin rikkaan termin juureksi. Tuloksena otamme rikkaan jäsenen, yhden jalka on pienempi, alempi on ulomman kylkiluu. Ja sitten kulutukseen, voit toistaa prosessin.

Tse zavdannya jaettu kahteen osaan: kuinka tietää rikkaan termin juuren ja kuinka jakaa rikas termi binomiaaliin.

Raportoikaamme näistä kohdista.

1. Kuinka tietää rikkaan jäsenen juuri.

Käden takaosaa kunnioitetaan, chi on rikkaan jäsenen juurten numero 1 ja -1.

Tässä on joitain faktoja avuksi:

Koska polynomin kaikkien kertoimien summa on nolla, luku on polynomin juuri.

Esimerkiksi kertoimien summan polynomi on yhtä suuri kuin nolla: . On helppo tulkita väärin, mikä on rikkaan jäsenen juuri.

Koska polynomin kertoimien summa paritusaskelissa on sama kuin kertoimien summa parittomissa vaiheissa, luku on polynomin juuri. Vilniy jäsen vvazhaetsya kerroin kaksinkertaisella tasolla, oskolki, ja - kaveri numero.

Esimerkiksi kertoimien summan polynomissa parittomissa portaissa : ja kertoimien summassa parittomissa portaissa : . On helppo tulkita väärin, mikä on rikkaan jäsenen juuri.

Jos nі 1, nі -1 є polynomin juuriin, etäisyys romahtaa.

Askeleen indusoidulle rikkaalle termille (tobto rikkaaseen termiin, jossa vanhempi kerroin on kerroin at - johtavassa) pätee seuraava kaava:

De on rikkaan jäsenen juuri.

Vієtan kaavoja on enemmän, että polynomilla on muita kertoimia, mutta voimme puhua siitä itse.

Z tsієї formula Vієta viplivaє, scho kokonaisluvun rikkaan jäsenen juurena, sitten joogo-vapaan jäsenen dilnikkien haju, joka on myös kokonaisluku.

Vihodyachi z tsogo, meidän on asetettava rikkaan termin muuttuva termi kerrannaisiksi ja peräkkäin, pienimmästä suurimpaan, käänteinen, mikä monikoista on rikkaan termin juuri.

Katsokaa sitä esimerkiksi rikas jäsen

Vapaat jäsenpäiväkirjat: ; ; ;

Polynomin kaikkien kertoimien summa on kalliimpi, jolloin luku 1 on lakannut olemasta polynomin juuri.

Kaksoisaskelten kertoimien summa:

Parittoman askeleen kertoimien summa:

Lisäksi luku -1 on myös polynomin juuri.

On käännettävää, että chi on luku 2 rikkaan termin juurena: myös luku 2 on rikkaan termin juuri. Myöhemmin Bezoutin lausetta noudattaen rikas termi voidaan jakaa ilman ylimäärää binomiaaliksi.

2. Miten rikas termi vähennetään binomiaaliin.

Rikas termi voidaan jakaa binomiaaliin, jossa on kanto.

Jaamme rikkaan termin binomiaaliksi stompchikilla:

Toinen tapa jakaa polynomi binomiiksi on Hornerin järjestelmä.

Katso video ymmärtääksesi kuinka jakaa rikas termi binääritermiksi vaiheella i Hornerin lisäkaaviossa.

Kunnioitan, että kun rozpodіlі stovpchik tykkää vyhіdny-polynomille vіdsutnya tuntemattomista askelista, її mіstsі kirjoita 0 - like і, kuten Hornerin kaavion taitetusta taulukosta.

Siksi, koska meidän on jaettava rikas termi binääritermiksi ja sen seurauksena otamme rikkaan termin, voimme tietää Hornerin kaavion takana olevat kertoimet:

Voimme myös vikoristaa Hornerin suunnitelma käänteiseksi, jos luku annetaan rikkaan termin juurina: jos luku on rikkaan termin juuri, niin rikkaan termin alikentän ylijäämä on yhtä suuri kuin nolla, joten jäljellä olevassa sarakkeessa Hornerin kaavion toiselle riville otetaan 0.

Vikoristovuyuchi Hornerin kaaviossa "koputamme kaksi kärpästä yhdellä iskulla": tunnin ajan tarkistamme, että luku on rikkaan termin juuri ja jaamme rikkaan termin binomiaaliksi.

peppu. Virishiti Rivnyannia:

1. Kirjoita muistiin vapaan jäsenen dilnikit ja shukatimemo vapaan jäsenen keskimmäisen rikkaan jäsenen juuri.

Numeron 24 dialogit:

2. Käänteisesti chi on rikkaan termin numero 1 juuri.

Polynomin kertoimien summa, myös luku 1 on polynomin juuri.

3. Jaa ulospäin rikas termi binääritermiksi käyttäen Hornerin kaavaa.

A) Kirjoita lähtöpolynomin kerrointaulukon ensimmäinen rivi.

Oskіlki jäsen, scho vengeance vіdsutnya, tuossa pöytäpöydässä, jolla voi olla kerroin, kun kirjoitamme 0. Kirjoitamme tiedon pahan juuren: numero 1.

B) Tallenna taulukon ensimmäinen rivi.

Lopussa sarakkeesta, ikään kuin se olisi selvää, vähennimme nollan, maailma jakoi viimeisen rikkaan termin binomiaaliin ilman ylimäärää. Polynomin kertoimet, jotka tuloksella on kuvan alla sinisellä toisella taulukon rivillä:

On helppo ymmärtää väärin, että luvut 1 ja -1 eivät ole rikkaan termin juuria

C) Jatkamme taulukkoa. Käänteisesti chi on luku 2 rikkaan termin juurena:

Eli alitermin tuloksessa esiintyvän polynomin askel on yksi pienempi kuin ulostulorikkaan termin askel, myös kertoimien määrä ja sarakkeiden määrä on yksi vähemmän.

Sarakkeen loppuosasta otimme pois -40 - luvun, joka ei lisää nollaa, joten rikas termi jaetaan binääritermillä ylijäämästä, eikä luku 2 ole rikkaan termin juuri.

C) Käänteisesti chi on luku -2 rikkaan termin juurina. Joten, kuten ennenkin, testi ei ollut kaukana, joten kertoimilla ei ollut huijausta, olen peräkkäin, että vahvistan testini:

Ihmeellinen! Ylimääräisestä otettiin pois nolla, sitten rikas termi jaettiin binomiaaliksi ilman ylijäämää, ja luku -2 on rikkaan termin juuri. Polynomin kertoimet, joka tuloksessa jakaa polynomin binomiiksi kuvan taulukossa vihreällä värillä.

Tuloksena vähennimme neliötrinomin , jonka juuri on helppo tietää Viet-lauseen takaa:

Otzhe, ulkoisen herätyksen juuri:

{}

Ehdotus: ( }

Yakscho rikas jäsen

Tuominen

Olkoon polynomin є kertoimet kokonaislukuina, ja olkoon luku a rikkaan termin juuri. Sen, jossa ääni loistaa joka hetki, kerroin jaetaan a:lla.

Kunnioittaminen. Tämän lauseen avulla voit itse asiassa tietää rikkaimpien termien juuret siinä tapauksessa, jos näiden rikkaiden termien kertoimet ovat lukuja ja juuri on rationaalinen luku. Lause voidaan muotoilla uudelleen seuraavasti: aivan kuten tiedämme, että polynomin kertoimet ovat luvun lukuja ja joogon juuri on rationaalinen, niin rationaalinen juuri voi olla kuin de p luvun dilnikinä. (vapaa termi), ja luku q on luvun laajentaja (vanhempi coy).

Lause koko juuresta, mitä kostaa itsellesi

Aivan kuten luku α on monikertoimisen rikkaan termin juuri, α on joogan vapaan termin dilnik.

Tuominen. Älä viitsi:

P(x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

rikas termi qlimi-kertoimilla ja qile-luvulla α - yogo-juuri.

Sitten juuren arvo tasoitetaan P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Vinosyachi zagalny -kerroin α jousille, ota pois vastaavuus:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , tähdet

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

Sirpaleet luvusta a 0 , a 1 ,…a n-1 , an i α −tsіlі, silloin kaarien tulee olla kokonaisluku, sitten a n jaettuna α:lla, kuten sen pitikin valmistua.

Lause on tuotu esille, mutta se voidaan muotoilla näin: polynomin juurien lukumäärä kertoimien lukumäärällä on ensimmäisen vapaan termin laajennin.
Perusteiden lauseessa algoritmi rikkaan termin kokonaislukujuuren etsimiseksi kertoimien kokonaismäärällä:

2. Dodatkova-lause juuriarvosta

Kokonaislukukertoimien rikkaan termin P(x) α-juurien lukumäärän lisäksi luvun P(1) α-1-jakaja, luvun P(-1) α+1-jakaja

Tuominen. 3 samanlaista

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xy -2 +yⁿ -1)

voit nähdä, että lukujen lukumäärästä b і c luku bⁿ-cⁿ on jaollinen b∙c:llä. Ale kaikille rikkaille jäsenille P vähittäismyyntiin

P(b)-P(c)= (a 0 b+a 1 bⁿ-1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ-cⁿ)+a 1 (bⁿ-1-cⁿ-1)+…+a n-1 (b-c)

і myös polynomille P, jolla on zіlimi-kertoimet і zіlih luvut b і c, ero P(b)-P(c) jaetaan b-c.

Muista: kun b = α, z = 1, P (α)-P (1) = -P (1), mikä tarkoittaa, että P (1) jaetaan α-1:llä. Vastaavasti on olemassa toinenkin näkemys.

Hornerin suunnitelma

Lause: Olkoon lyhytaikainen drіb p / q є juuri yhtä suuri a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 useilla kertoimilla, sama luku q є seniorikertoimen dilnik a0 ja luku R є dilnik vapaa jäsen an.

Kunnioitus 1. Ole yogo-vapaan jäsenen kertoimien lukumäärän ja dilnikin suhteen juuri.

Kunnioitus 2.Koska vanhempi kerroin on yhtä suuri kuin tien 1 kertoimien lukumäärä, kaikki rationaaliset juuret, kuten haju tunnetaan - numero.

Rikkaan jäsenen juuri. Rikkaan jäsenen juuri f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n є x = c , mitä sitten f (c) = 0 .

Huomautus 3. Yakscho x = c rikkaan jäsenen juuri , niin rikas termi voidaan kirjoittaa seuraavasti: f(x)=(x-c)q(x) , de tse yksityinen näkymä rikkaan jäsenen alla f(x) monomiiksi x-c

Voit jakaa rikkaan termin monomiiksi käyttämällä Hornerin kaavaa:

Yakscho f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a0 ≠0 , g(x)=x-c , sitten kun rozpodіlі f (x) päällä g (x) yksityisesti q(x) saattaa näyttää q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , de b 0 = a 0 ,

b k = c b k − 1 + a k , k=1, 2, ,n−1. ylijäämä r tietää kaavan r=c b n − 1 +a n

Ratkaisu: Ylimmän tason kerroin on 1; 2; 3; neljä; 6; 12. Vikoristovuyuchi Hornerin järjestelmä, tiedämme juurten määrän yhtä suureksi:

Hornerin järjestelmässä on yksi valinta. sitten voit tehdä sen näin x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3